Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie med ...
Transcript of Ett kulturellt besök i matematikundervisning: En aktionsstudie med ...
Malmö högskola Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Ett kulturellt besök i matematikundervisning:
En aktionsstudie med ett etnomatematiskt perspektiv.
A cultural visit in mathematics education:
Action research with an ethnomathematical perspective.
Annica Andersson
Magisterutbildning 20p i Utbildningsvetenskap med inriktning mot matematikDatum för slutseminarium: 2007-06-07
Examinator: Malin Ideland Handledare: Tine Wedege
2
3
SAMMANFATTNING
I denna magisteruppsats har jag, inspirerad av etnomatematik, redovisat en teoretisk
litteraturgenomgång som beskriver dels vad etnomatematik är och dels innehållet i det
etnomatematiska forskningsfältet. Innebörden av en etnomatematisk forskningsdiskurs
finns också beskriven.
Därefter har jag sökt besvara frågan om etnomatematik kan vara ett möjligt sätt att
uppnå det programmål i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet som
säger att skolan i sin undervisning ska sträva efter att eleverna får insikt om hur
matematiken har skapats av människor i olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas. Med aktionsforskning som metod genomförde jag
en studie med gymnasieelever på ett samhällsvetenskapligt program, åk 2, på en
gymnasieskola i södra Sverige. Aktionsstudien bestod av två delar. Den första delen
innehöll ett längre lektionspass med en introduktion till etnomatematik med bl.a.
exempel på andra kulturers matematik. Inledningen följdes av en diskussion kring
globala frågor, urbefolkningars matematik och rättvisefrågor. Den andra delen av
aktionsstudien bestod av ett studiebesök på utställningen ”Dreamtime” på Arken i
Köpenhamn där eleverna fick möjlighet att studera exempel på den australiska
urbefolkningens matematik i form av kartor som konstverk.
Aktionsstudien visade att etnomatematik kan vara en möjlig ingång för att uppnå
ovanstående programmål i matematik. Etnomatematik kan även vara en möjlig väg att
anlägga en alternativ diskurs i matematikundervisningen som främjar diskussioner om
globala frågor, global rättvisa och matematikens roll i samhället.
Förord Ett stort varmt tack till dig, Tine, för handledning under arbetes gång.
Jag vill också rikta en varm tanke till eleverna som deltog på studieresan och vars
diskussioner och svar jag här fått möjlighet att reflektera mera över. Tack ska ni ha!
4
ABSTRACT
Inspired of ethnomathematics I have, in this masters paper, presented a theoretical
review of literature describing both what ethno mathematics is as a concept and the
content of the ethnomathematical research field.
After that I have tried to answer the question if an ethno mathematic approach can be a
way to achieve the goal in the social science education programs mathematical
education which says that the students shall deepen their insight into how mathematics
has been influenced by people from many different cultures, and how mathematics has
developed and still continues to develop. With action research as a method I carried out
a study with students in the second grade in an upper secondary school in Sweden. The
action research study contains of two parts. The first part is a longer lesson in school
with an introduction to ethno mathematics with examples i.e. of other cultures
mathematics. The introduction was followed by a discussion in class on topics like
global issues, indigenous people’s mathematics and questions about mathematics,
global fairness and power. The second part of the study contains of a study visit to the
exhibition “Dreamtime” at Arken in Copenhagen where the students got the opportunity
to study examples of the Australian aboriginals mathematics as maps as art.
The research showed that ethno mathematics can be a possible way to reach the above
described goal in mathematics education. It also showed that ethno mathematics can be
a possible way to build an alternative discourse in mathematics education that promotes
discussions about global issues, global fairness and the roll of mathematics in society.
5
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
Sammanfattning 3
Förord 3
Abstract 3
Innehållsförteckning 5
1. Inledning 6
2. Syfte och frågeställningar 10
3. Litteraturgenomgång 11
3.1 Etnomatematik 11
3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet 16
3.3 Matematikundervisning – varför och för vem? 18
3.4 De aboriginiska kartorna 24
4. Aktionsforskning som metod 27
4.1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell 27
4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens museum for kunst 40
4.3 Etiska hänsyn 41
5. Resultat 42
5.1 Klassrumsintroduktionen 42
5.2 Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket 45
5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion 50
6. Konklusioner 53
7. Referenslista 58
6
1. INLEDNING
En värld full av ockerröda slätter, porlande vattendrag,
Byar fulla av liv och drömmar om liv och död trängde fram, framför våra ögon.
Vi såg topografiska kartor som visade vägar till byar och viktiga vattenhål samt
mer abstrakta kartor som visar skilda vägar genom livet
Elevers poetiska beskrivning av Dreamtimeutställningen.
Ett av programmålen i matematik för det samhällsvetenskapliga programmet är
formulerat på följande sätt:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om
hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)
Detta programmål har varit en givande utmaning för mig som matematiklärare på en
mindre gymnasieskola att uppfylla. Med olika klasser har jag genom åren gjort
exempelvis studiebesök på Kulturen i Lund och tittat på modernismen samt på äldre
byggnader och hus från olika delar av Sverige och från olika tidsperioder för att för
eleverna tydliggöra konst och arkitektur ur ett matematiskt perspektiv. År 2004 hade
Louisiana, Museum for Moderne Kunst i Humlebeck, en utställning om den danske
arkitekten Jörn Utzon som jag besökte med två klasser. Detta studiebesök var så
uppskattat och gav så goda diskussioner och ökad motivation i
matematikundervisningen för den elevgruppen att jag önskat kunna göra det igen.
Reflektionerna efteråt över den positiva reaktionen har fått mig som lärare att fundera
över hur ovanstående programmål både kan uppfyllas och samtidigt utnyttjas på ett
positivt sätt i matematikundervisningen.
Ett stipendium gjorde det möjligt för mig att resa till Auckland, Nya Zeeland och delta i
den internationella konferensen ”the Third Conference on Ethnomatematic, ICEM-3” i
februari 2006. Kunskaperna från denna konferens inspirerade mig att anlägga ett
etnomatematiskt och kulturellt perspektiv i min matematikundervisning (Andersson,
2007). Ett moment blev att göra en studieresa med matematikelever som går andra året
7
på det internationella/samhällsvetenskapliga programmet och det är erfarenheterna från
denna studieresa jag redovisar i denna uppsats. Studieresans mål var Arken, Statens
museum för Kunst, i Köpenhamn, Danmark där eleverna studerade utställningen
”Dreamtime, Aboriginal art from the Ebes Collection”. Utställningen omfattade mer än
100 aboriginiska konstverk och visade bl.a. exempel på aboriginiska kartor (för mer
information om utställningen se www.arken.dk/exhibition). Denna utställning visade
exempel på en annan kulturs matematik och därmed andra uttrycksformer för
matematik än svenska elever är traditionellt vana vid. Eleverna fick under studiebesöket
besvara frågor som syftade till tydliggörande av att matematik kan ses ur andra
perspektiv än vårt västerländska perspektiv. Med denna studieresa uppfylldes målen att
sammankoppla matematikundervisningen med kultur som finns i programmålen för det
samhällsvetenskapliga programmet på gymnasiet och i kursplanen för deras
matematikundervisning.
Som forskare inom det matematikdidaktiska problemfältet söker man bl.a. att besvara
frågorna Varför; anledning till matematikundervisning, Vad; undervisningens och
lärandets mål, Vem; agenter i undervisning och lärande och Hur; kontext för
undervisande och lärande (Wedege, 2000). Dessa ord har inspirerat mig i planeringen av
denna undervisningssekvens. Wedege (2006) argumenterar för att det är ett tecken på
kvalitet när matematikdidaktiker deklarerar vad han eller hon uppfattar som matematiskt
vetande och samtidigt tydliggör uppfattningar om varför man lär matematik och varför
det bör undervisas i matematik. Wedege skriver också att
En matematikdidaktisk problematique tematiserer relationen lærer-elev-matematik og
problematiquen konstitueres bl.a. ved explicitering af hvad der menes med ”matematik” og
”matematiklæring” (Wedege, 2000:38).
Vad är då matematik? Matematik definieras av Nationalencyklopedin som ”en abstrakt
och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling”
(Nationalencyklopedin, 2007). Encyklopedia Brittanica definierar matematik som
…the science of structure, order, and relation that has evolved from elemental practices of
counting, measuring, and describing the shapes of objects. It deals with logical reasoning and
8
quantitative calculation, and its development has involved an increasing degree of
idealization and abstraction of its subject matter. (Encyclopedia Brittanica, 2007).
Vidare står det i artikeln att matematiken har utvecklats av praktiska behov och för
särskilda ändamål exempelvis inom handel och jordbruk.”This growth has been greatest
in societies complex enough to sustain these activities and to provide leisure for
contemplation and the opportunity to build on the achievements of earlier
mathematicians. “ (Encyclopedia Brittanica, 2007). I den svenska kursplanen för
matematik på det samhällsvetenskapliga programmet inleds beskrivningen av
matematikämnets karaktär på följande sätt:
Matematiken har genom en mångtusenårig utveckling bidragit till det kulturella
arvet. Matematiken är en förutsättning för stora delar av samhällets utveckling och
den genomsyrar hela samhället, ofta på ett sätt som är osynligt för den ovane
betraktaren. (Skolverket, 2000)
Denna inledning i skolverkets karaktärsbeskrivning av matematikämnet tydliggör
dilemmat med matematik som begrepp – matematik ”genomsyrar hela samhället” men
ofta på ett sätt som inte är uppenbart för alla och envar. Ur mitt lärarperspektiv ser jag
det som en del av mina arbetsuppgifter att tydliggöra matematik som finns i vår
omvärld för eleverna. Min övertygels är att om matematik tydliggörs och sätts i ett
sammanhang blir ämnet både mer greppbart och elevernas motivation att lära matematik
ökar då ämnet får en verklighetsförankring utanför skolmiljön. Skolverkets text
fortsätter sedan att beskriva matematik som utvecklad ur praktiska behov och
människans nyfikenhet. Matematiska begrepp och metoder har växt fram inom olika
kulturer. Det står också att matematik är en internationell vetenskap, vars metoder,
begrepp och kunskapsområden ständigt utvecklas. Matematikämnet beskrivs vidare som
en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning kan ses som en
skapande aktivitet. Inom matematikämnet arbetar man med definierade begrepp, och
teorier byggs upp genom strikt bevisföring. De fyra aspekterna som enligt skolverket
ska genomsyra undervisningen på samhällsvetenskapliga programmet är
problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och
matematikens idéhistoria (Skolverket, 2000).
9
Ordet matematik består av två delar; mathema från grekiskans förståelse och förklaring
samt tics som härstammar ur teknik, tekniker och konst/hantverk (se t.ex. D’Ambrosio,
2006 och Nationalencyklopedin, 2007). När matematik kopplas ihop med ordet etno
med betydelsen kultur, i analogi med etnografi, etnologi och etnobiologi blir det
etnomatematik som denna uppsats fokuserar på. Ovanstående tydliggörande av
matematik och skolverkets beskrivning av matematikämnets karaktär ska i denna
uppsats ses som definitioner av vad matematik är och vad matematikundervisning
innebär. Denna bakgrund gör det intressant för mig som matematiklärare att ur ett
matematikdidaktiskt perspektiv tydliggöra för eleverna matematiken i vår egen och
andras kultur. Via en etnomatematisk undervisning vill jag genom aktionsforskning
prova och se vad som sker i klassrummet. Hur ser eleverna på matematik? Det blir då
intressant att ge eleverna möjlighet att lära och förstå matematik med stöd av ett
kulturellt perspektiv (gäller både ur vår egen kultur eller andra kulturers perspektiv) i
undervisningen. Men, min nyfikenhet på hur eleverna själva kan uppfatta matematik i
en annan kultur är en av grundstenarna för mig i undervisningssekvensen som redovisas
i denna uppsats.
10
2. SYFTEN OCH FRÅGESTÄLLNINGAR
Denna uppsats har två syften. Det första syftet är att göra en presentation av ett
teoretiskt perspektiv på etnomatematik, det etnomatematiska forskningsområdet och en
etnomatematisk forskningsdiskurs. Det andra syftet är att genom aktionsforskning
besvara frågan om, och i så fall hur etnomatematik vara ett möjligt sätt att i en
gymnasieklass på samhällsvetenskapliga programmet i Sverige uppfylla programmålet:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om
hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas. (Skolverket, 2000)
Med bakgrund av mina erfarenheter från undervisningssekvensen önskar jag
även diskutera följande fråga: Hur kan en diskussion om etnomatematik och
globala frågor berika matematikundervisningen i en gymnasieklass i Sverige
och samtidigt uppfylla ett av syftena för matematikundervisning på
gymnasieskolans samhällsvetenskapliga program? Syftet för
matematikundervisning är formulerat på följande sätt:
Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna
analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,
som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.
(Skolverket, 2000)
11
3. LITTERATURGENOMGÅNG
Etnomatematik är ett forskningsområde som beskriver hur matematik utvecklas inom
olika kulturer och subkulturer. Forskare inom det etnomatematiska fältet diskuterar bl.a.
urinvånares matematik, vilket detta paper delvis fokuserar på, men även andra kulturella
gruppers matematik. En förutsättning för denna diskussion är att man finner acceptens
för tesen att matematik utvecklas i alla kulturer, men inte nödvändigtvis på samma sätt
(Bishop, 1991). Etnomatematik kan även ses som en undervisningsdiskurs med
undervisning som präglas av bl.a. frågor om global utveckling och rättvisa,
utvecklingsländernas problematik, kunskap och makt och där eleverna utvecklar en
förståelse för matematikens betydelse i samhället. Etnomatematiker visar på möjligheter
att utveckla matematikundervisning som baseras på en redan etablerad etnomatematisk
kompetens.
The International Study Group of Ethnomathematics/ISGEm bildades för snart 15 år
sedan med ett brett internationellt deltagande och intresse. Den första internationella
kongressen i etnomatematik (ICEM) hölls i Granada 1998 och återkommer sedan dess
vart fjärde år (D’Ambrosio, 2001). Den senaste konferensen hölls i Auckland 2006.
I kapitel 3.1 definieras och beskrivs begreppet etnomatematik som ett kulturellt
fenomen ytterligare. I kapitel 3.2 beskrivs det etnomatematiska forskningsområdet och i
kapitel 3.3 diskuteras den etnomatematiska undervisningsdiskursen. Teoridelen avslutas
med en presentation av de australiska aboriginernas kartor som konstverk och en kort
förklaring av Dreamtimebegreppet. Detta avsnitt i teorikapitlet motiveras av
utställningen vi besökte på Arkens Museum for Kunst i Köpenhamn.
3.1 Etnomatematik
D’Ambrosio (1985), matematiker och etnomatematiker från Sao Paolo i Brasilien
definierade begreppet etnomatematik som den matematik man finner i olika
identifierbara kulturella grupper. Dessa kulturella grupper ser vi bl.a. hos urinvånare,
exempelvis aboriginerna, men de kan även definieras i olika arbetsgrupper (se
exempelvis Wedege, 2000 som beskrivit matematikanvändandet i arbetsgrupper med
korttidsutbildade vuxna; och FitzSimons, 2000) och bland barn och ungdomsgrupper
(Nunes et all, 1993). Nunes, lektor vid Institute of Education vid London University
12
definierar begreppet streetmathematics som den matematik som lärs och används av
barn och ungdomar utanför skolan. I Brasilien är det vanligt att arbetarklassens barn och
ungdomar tidigt börjar arbeta i föräldrarnas affärer eller själva startar upp
gatuförsäljning av varor som jordnötter, kokosnötter, popcorn eller majs. Denna
försäljning kräver aritmetiska beräkningar, framför allt addition och multiplikation för
att beräkna priser, men även division för att kalkylera kilopriser. Nunes och hennes
medforskares studier visade att dessa barn utvecklade strategiska informella metoder att
utföra beräkningarna och behärskade dessa metoder på ett bättre sätt än de formella de
lärt sig i skolan. Forskningen visade också att barnen/ungdomarna utvecklade både
informella och formella metoder parallellt då de räknade både i skolan och på gatorna.
Lean, tidigare antropolog och forskare på Papua Nya Guinea besökte under många år de
olika folkgrupperna på Papua Nya Guinea och kartlade befolkningens olika
räknesystem. Papua Nya Guinea är ett land där invånarna enligt senaste räkning talar
867 olika språk och Lean har kartlagt över 50 olika sätt att räkna och räknesystem.
Dessa olika räknesystem har utvecklats inom slutna klaner parallellt med alla de
enskilda klanspråken. Vissa grupper av Papua Nya Guineas befolkning använder
bodytallingsystems (en engelsk term som på svenska skulle kunna översättas till
kroppsräkningsystem) och använder därmed namn på olika kroppsdelar, exempelvis de
olika fingrarna, händer, armar och ansiktets delar som namn för räkneord. Andra
grupper visar siffervärden genom att använda och visa korrekt antal fingrar, händer och
fötter. Ytterligare andra folkgrupper på Papua Nya Guinea räknar i cykler med baser
om två, fem, sex, tio eller 20 (Lean, 1992).
De matematiska idéerna och hur de uttrycks varierar mellan olika kulturer och hittas i
skilda kontexter som exempelvis konst, spel och religion. Ett exempel är kalendrar och
almanackor. Även om vi sedan 1582 har en internationellt gemensam kalender används
idag cirka 40 olika kalendrar runt om i världen. Beräkningar och tidsregistrering är ett
ypperligt exempel på etnomatematik (D’Ambrosio, 2001). Ett annat exempel är
rumsuppfattning, rumsorientering och kartritning (Harris, 1991).
13
D’Ambrosio (1985) diskuterar även begreppet kreativitet och skriver att kreativiteten
och därmed elevernas lärande stärks om de upplever en känsla av kulturell tillhörighet.
Han resonerar kring en alternativ pedagogisk diskurs som tydliggör elevernas kulturella
bakgrund och låter den ligga till grund i undervisningen. Kultur ska här ses i ett vidare
begrepp:
The main fact of interest … is the recognition that culture is a broad concept and goes
beyond the traditional view of regarding it as associated with ethnic or geographic
parameters. (D’Ambrosio, 1985:42).
D’Ambrosio definierar kulturbegreppet specifikt till matematik på följande sätt: En
kulturell grupp är en grupp som utvecklat gemensamma kunskaper, koder och praxis.
D'Ambrosios forskning visar även exempel på att sociala grupper, exempelvis olika
åldersgrupper, har sin egen kultur med avseende på symboler, jargonger och koder för
uppträdande och förväntningar. Dessa grupper utvecklar sin egen matematik, vad
D’Ambrosio beskriver med termen ”mathematizing”. Detta står i kontrast till den
akademiska matematiken, den som undervisas i skolor. Denna alternativa pedagogiska
diskurs i matematikundervisningen beskriver D’Ambrosio genom en liknelse med en
planta – insikt och kreativitet behöver en god jord och måste skötas om: ”Here, fertility
is determined by motivation, curiosity and initiative” (D’Ambrosio, 1985:80).
D’Ambrosio ifrågasätter inte om den akademiska och formella matematiken verkligen
utvecklar dessa egenskaper hos eleverna. Hans resonemang visar istället att den till
vissa delar motverkar dessa egenskaper.
En brittisk, dock numera bosatt i Australien, matematikdidaktiker är Bishop. Bishop
(1991) definierade begreppet kultur som ”a set of shared understandings”. Han
diskuterar kultur utifrån fyra olika kategorier av kulturbegrepp: ideologiska
(övertygelser), sociologiska (sedvänjor), sentimentala (attityder) och teknologiska
(verktyg). Bishop har studerat likheterna och sambanden mellan olika kulturella grupper
med avseende på matematiska idéer och aktiviteter. Likheterna lär oss om
kulturfenomenet matematik och möjliggör enligt Bishop en förståelse för det
matematiska tänkandets rötter. De matematiska idéerna och aktiviteterna beskrivs av
Bishop inom de matematiska områdena räkna, lokalisera, mäta, designa, spela och att
14
finna förklaringsmodeller till fenomen. Dessa sex aktiviteter ser Bishop som
tvärkulturella, de går alltså att finna oberoende av vilken kultur vi befinner oss inom.
Likheterna kan också uppfattas som en rekonstruktion av urbefolkningars matematiska
tankar, begrepp och principer. Etnomatematiker söker matematiken i produkter och
artefakter från olika kulturer t.ex. brukshantverk och brukskonst, redskap, arkitektur och
konst. Bishop visar med andra ord på olika forskningsingångar med fokus i den
etnomatematiska forskningen.
Att begreppet kultur är subtilt och mångfacetterat diskuteras av amerikanskan Ascher
(1998). Då hon analyserat ett antal definitioner av begreppet kultur kom hon fram till att
ur ett etnomatematiskt perspektiv finns signifikans i att i alla kulturer delar människor
ett språk, en plats; med traditioner, organisering, föreställningar och tolkningar för att ge
orden en fysisk och social innebörd. Detta påverkar de matematiska idéerna. Olika
kulturer delar vissa idéer, men inte alla. Även om vissa idéer är lika eller liknande
uttrycks de på olika sätt i olika kulturer. Detta påstående gäller matematiska idéer precis
som andra idéer. Siffror och numeriska beräkningar (se exempelvis Lean, 1992 och
Owens, 2001), logiska resonemang, spatiala konfigurationer, strukturer och system tar
sig olika uttryck i olika kulturer enligt Ascher. Hon påpekar att då vi studerar andra
kulturers matematiska idéer är det troligen lättare för oss att upptäcka mönster och idéer
som påminner om de som finns i vår egen kultur. Detta beror på att vi är begränsade av
våra egna kulturella och matematiska begrepp. Då vi diskuterar med andra människor
med annan kulturell bakgrund tvingas vi relatera till vår egen (västerländska) modell
(Ascher, 1998).
Konst och konsthantverk innehåller till viss del matematik, det som allmänt benämns
allmän- eller vardagsmatematik eller det den norske matematikern Mellin-Olsen
definierar som folkmatematik (Mellin-Olsen, 1987). Materialberäkning, beräkningar
under tillverkningsprocessen och ekonomiska beräkningar kan ses som exempel på
detta. Men det finns också en stor del av tillverkningen som inte är matematisk, men
som kan efterkonstrueras som matematik och/eller matematiska
tillämpningar/former/abstraktioner. Harris (1987), lärarutbildare och forskare vid
University of North Texas diskuterar två begrepp av intresse i detta sammanhang.
15
Begreppen definierades av Gerdes (1982 i Gerdes, 1996) nämligen frosted mathematics
och defrosted mathematics. Harris (1987) och Gerdes (1996) använder begreppet
frosted, fruset, om matematik som är gömd i kulturella artefakter. Ett exempel Harris
använder är traditionella mönstervävnader:
A glance at any piece of traditional weaving reveals a huge range of obvious geometry to
anyone who chooses to notice. How could it have got there without mathematical thinking?
(Harris, 1987:27)
Begreppet defrost, upptining, beskrivs av Gerdes (1996) på följande sätt:
… one may try to identify, reconstruct, and thereby ”unfreeze” the mathematical thinking
that which is “hidden” or “frozen” in old techniques (like , for example, basket making).
(Gerdes, 1982 i Gerdes, 1996)
Upptiningsbegreppet är däremot mer komplicerat enligt Harris. Hon ser en fara i att
förutfattade meningar om vad som finns i det frusna kan begränsa vad vi ser vid
upptiningen:
We need a term that implies hatching or germination of undefined potential, as well as
defrosting, because much of the mathematical thinking that has become frozen in an artefact
has been put there by someone who has not been reared on North American textbooks or a
standard Western mathematics education with all its attitudes and prejudices. (Harris,
1987:27)
Harris ger i sin artikel ett mycket konkret exempel på frusen/tinad matematik. Hon
jämför ett vinkelrätt cylinderformat rör som används inom den kemiska industrin
eller inom viss VVS. Problemet vid tillverkningen av dessa vinkelräta rör är att
tillverka vinkeln så att den kan rätas ut till 180 grader då slaggprodukter som
fastnat i rörvinkeln ska sköljas ur effektivt. Inom industrin ses detta som ett typiskt
matematiskt problem. Jämförelsevis ses inte designen vid stickning av hälpartiet på
en raggsocka i allmänhet som ett matematiskt problem enligt Harris som undrar:
Vari ligger skillnaden? ”Dare it be suggested that the reason is that socks are
16
traditionally knitted by Granny – and nobody expects her to be mathematical.
What, dear old gran?” (Harris, 1987:28). Detta som ett exempel på att våra
begränsningar i tanken och förutfattade meningar och kunskaper ibland begränsar
oss i möjligheten att upptäcka matematik i artefakter och därmed blir problemet
med begreppet ”defrosting” tydliggjort.
D’Ambrosios (1985) och Bishops (1991) definitioner av kulturbegreppet och dess
relation till matematik och matematikundervisning ska ses som en definition av hur
dessa begrepp ska uppfattas i denna uppsats.
3.2 Det etnomatematiska forskningsområdet
Gerdes, etnomatematiker och forskare från Moçambique, definierar det
etnomatematiska forskningsområdet som ”the cultural anthropology of mathematics and
mathematical education” (Gerdes, 1996:915). Det etnomatematiska forskningsområdet
beskrivs vidare av Gerdes (1996) som accepterande och reflekterande över en
medvetenhet om flera olika matematikers existens. Gerdes karaktäriserar vidare
etnomatematiker som forskare med bl.a. acceptens för matematik i vid bemärkelse (jfr
Bishops matematiska aktiviteter ovan). Etnomatematiker betonar, framhåller och
analyserar hur sociokulturella faktorer påverkar matematikundervisningen på alla olika
skolnivåer. Matematiken ses enligt Gerdes som en ”universal, pan-human activity” och
etnomatematiska forskare argumenterar för att matematiska tekniker och sanningar är
kulturella produkter i olika samhällen. Ytterligare exempel på detta är etnomatematiker
som i tredje världen söker efter matematiska traditioner och aktiviteter. Målet med
denna forskning är att underlätta matematiklärandet för barnen i dessa länder genom att
utnyttja barnens kulturella bakgrund och kunskaper i undervisningen. Gerdes skriver att
i undervisningssammanhang söker etnomatematiker möjligheter att använda kulturella
aktiviteter för att utveckla matematikundervisning och lärande i klassrummen.
Kontexten kan enligt Gerdes ofta bli sociokritisk och stimulerar därmed eleverna att
även reflektera över bl.a. samhällsfrågor (Gerdes, 1996).
17
Barton (1996), lärarutbildare och forskare inom etnomatematik med inriktning mot
språk och matematik i Auckland, Nya Zeeland har konstruerat en skala i sju steg där
olika typer av forskning om matematik och kultur kan placeras in. Denna skala
tydliggör det etnomatematiska forskningsområdet inom det större forskningsområdet
matematisk forskning. Barton definierar här kultur genom att hänvisa till D’Ambrosios
och Bishops definitioner av kulturbegreppet inom matematik. I denna linjära skala
anlägger Barton även ett antropologiskt perspektiv för att tydliggöra antropologins
betydelse för forskning inom detta område.
Matrisens sju steg är formulerade på följande sätt:
1. Pure Mathematics: pure mathematicians tend to record their work in formally approved
ways in mathematical journals and conference proceedings.
2. Applied Mathematics: this form of writing uses mathematics explicitly, in the
form of mathematical models which are intended to assist analysis and to enable
predictions to be made within other subjects… Writings are also formal, and
appear in journals or conference proceedings of subjects or disciplines.
3. Mathematical Studies: forms of writing in this category might be described as
mathematical, but are not usually identified as such (as in, for example, articles
on design and navigation)
4. Mathematics in Cultural Settings: descriptions of activities which are particular to
a cultural grouping, but which might be described as ‘mathematical’ (like, for
example, weaving systems, counting procedures, sporting statistics).
5. Descriptions of the Culture of Mathematics: writing which has mathematics as
the subject but which is in another mode (like, for example, history of
mathematics, sociology of mathematics, anthropology of mathematics).
6. The Cultural System of Mathematics: writing which describes the way in whioch
mathematics is itself a system or a culture, and which describes its cultural
characteristics.
7. Mathematics as a Cultural Phenomenon: writing which describes mathematics as
a way of knowing, or places it in relation to other cultural forms such as art or
religion (like, for example, the historiography of mathematics – how we write
about the development of mathematics. (Barton 1996:1037-1038)
18
Modellen ses som linjär, med ren (pure) matematik som punkt ett och då man förflyttas
längs skalan mot punkt sju behandlar forskningen mer och mer forskningsbegrepp om
matematik. Skalan stödjer och pekar på en viktig skillnad som Barton formulerar som
”to distinguish between the anthropology of mathematics and an anthropological
perspective on mathematics” (Barton, 1996:1039). Ungefär vid den fjärde punkten går
en distinkt skiljelinje. Ur en antropologisk synvinkel berör punkterna fyra och fem
forskning ur ett antropologiskt perspektiv av matematik emedan punkterna sex och sju
ger ett antropologiskt perspektiv på matematik. I punkt sex ses matematik som ett eget
kulturellt system och om matematikforskningen ser matematiken som en del av kulturen
befinner sig forskaren under den sjunde punkten. Det etnomatematiska
forskningsområdet placeras oftast runt punkt fyra, t.ex. Aschers och Gerdes forskning
men flera forskare kan även placeras under punkt sju. D’Amdrosios senare arbeten är
enligt Barton exempel på detta. Denna uppsats, som för svenska elever beskriver
aboriginernas matematik i form av kartritning torde placeras under punkt fyra. Men, det
är också möjligt att placera den under punkt sju eftersom vi studerade matematikens
utveckling hos de Aboriginiska folken. Ser vi till programmålet för matematik
(Skolverkat, 2000), att skolan i sin undervisning i matematik ska sträva efter att
eleverna fördjupar sin insikt om hur matematiken har skapats av människor i många
olika kulturer och om hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas, kan
forskning kring detta programmål placeras både under punkt fyra och under punkt sju.
Barton påpekar också att möjligheter finns att konstruera flera liknande modeller
parallellt för forskning i matematikens historia, filosofi och sociologi. På så sätt skulle
man kunna konstruera en teoretisk matris för all forskning inom matematikämnet.
3.3 Matematikundervisning – varför och för vem?
Då jag sökt och läst litteratur om ”the justification problem”, - varför
matematikundervisning och för vem -, är det svårt att finna litteratur och forskare som
inte är normativa. Därför kan detta avsnitt i min uppsats uppfattas som normativt. Den
litteratur jag läst och det urval jag senare gjort för att skriva detta kapitel är gjorda med
ett etnomatematiskt perspektiv så till vida att dessa forskare tar ställning för att globala
frågor och frågor om global utveckling och rättvisa bör vara ett (av många andra) inslag
i matematikundervisningen i våra skolor. Tanken med detta är att både göra
19
matematikundervisningen mer intressant för eleverna men även att visa på
matematikens roll som ett kraftfullt verktyg att använda vid diskussioner om
samhällsfrågor.
Frågorna i rubriken är centrala frågor inom den matematikdidaktiska forskningen idag.
De nationella styrdokumenten tydliggör vad undervisningen ska innehålla, vilka
moment som ska genomgås och vilka bedömningskriterier lärare ska använda i sin
undervisning (Skolverket, 2000). Ascher (1991) argumenterar i detta sammanhang för
att styrdokument inom matematikundervisning även bör ha en multikulturell tyngdpunkt
och att matematikundervisningen bör organiseras även med historiska och kulturella
perspektiv.
Let us take a step toward a global, multicultural view of mathematics. To do this, we will
introduce the mathematical ideas of people who have generally been excluded from
discussions of mathematics. (Ascher, 1991:1).
Ernest är en brittisk forskare och professor i matematikens filosofi med ett
socialkonstruktivistiskt perspektiv i sin forskning om matematik och
matematikundervisning. Ernest (1998) tar som alternativ i sina diskussioner
utgångspunkt i de förväntningar och uppfattningar som han uppfattar finns i
matematikundervisningen. Han föreslår följande sju punkter i ett försök till en bred
tolkning om varför det ska finnas matematikundervisning och vad
matematikundervisningen bör innehålla:
1. Having a qualitative understanding some of the big ideas of mathematics such as
infinity, symmetry, structure, recursion, proof, chaos, randomness, etc.
2. Being able to understand the main branches and concepts of mathematics and
having a sense of their interconnections, interdependencies, and the overall unity of
mathematics;
3. Understanding that there are multiple views of the nature of mathematics and that
there is controversy over its philosophical foundations;
4. Being aware of how and the extent to which mathematical thinking permeates
everyday and shopfloor life and current affairs, even if it is not called mathematics;
20
5. Critically understanding the uses of mathematics in society: to identify, interpret,
evaluate and critique the mathematics embedded in social and political systems and
claims, from advertisements to government and interest-group pronouncements;
6. Beeing aware of the historical development of mathematics, the social contexts of
the origins of mathematical concepts, symbolism, theories and problems;
7. Having a sense of mathematics as a central element of culture, art and life, present
and past, which permeates and underpins science, technology and all aspects of
human culture. (Ernest, 1998:50)
De tre danska didaktikerna Höjgaard, Niss och Wedege har konstruerat en ”justification
matris” för att grafisk åskådliggöra deras tolkning av termen ”justification”. Denna
matris tydliggör genom placering i matrisen objektiva som subjektiva skäl för
matematiklärande på både en global och lokal nivå. Ernst m.fl. forskare diskuterar dessa
begrepp med objektiva ( eller materiella, institutionella) skäl på en global nivå. Som
lärare i matematik på en gymnasieskola i Sverige verkar även jag objektivt,
institutionellt, men på en lokal nivå, i skolan.
Agent level
Extent
Objective (’system’)
reasons
Subjective ’individual’
reasons
Global
reasons
The objective reasons for the very
existence of studies involving
mathematics or physics.
The subjective reasons for
engaging in studies involving
mathematics and physics at all.
Local
reasons
The objective reasons for the specific
design, organisation and implementation
of specific programs.
The subjective reasons for
engaging in particular aspects and
activities of a programme in
particular ways.
(Wedege et all, 1998:10)
Enligt Ernest (1998) bör förväntningar på matematikundervisning vara att den ska ge
förståelse för olika synsätt av matematikens skiftande natur och även ge insikt i den
filosofiska grunden matematiken vilar på. Den bör också tydliggöra matematiken i allas
vår vardag, både den synliga och den osynliga. Vi bör också förvänta oss att
matematikundervisningen ska ge ett kritiskt förhållningssätt till användandet av
matematiken i samhället. Elever och studenter bör lära sig identifiera, utvärdera och
21
kritisera matematik som används i allt från reklam till samhällsstyrning och olika
intressegruppers särintressen. Dessa punkter överensstämmer väl med den danske
filosofen och matematikdidaktikern Skovsmoses (1994) intentioner i förslaget att skapa
”Critical Mathematics Education”, en kritisk matematikundervisning. Han pekar på
undervisningstraditionen i vår västerländska kulturella och filosofiska tradition att
separera begreppen undervisning (education) och kritik. Så länge dessa bägge begrepp
förblir separerade handlar undervisning om att leverera information och socialisering av
elever. Användes begreppet kritik tillsammans med matematik diskuteras enligt
Skovsmose samhällsfrågor, demokratisk kompetens etc.
Tillsammans med Nielsen har Skovsmose (1996) utvecklat begreppet kritisk
matematikundervisning ytterligare. De har fokuserat på några intressepunkter: att
medborgerlighet innebär att utbildning krävs för att bli aktiv i det politiska livet, att
matematik kan ses som ett verktyg för identifiering och analysering av egenskaper i
samhället - både globala och lokala. Vidare skriver Nielsen och Skovsmose att kritisk
matematikundervisning fokuserar på så sätt samspelet i klassrummet som inriktas på
kommunikation mellan lärare och elever för att ”acknowledge the importance of
developing critiqueas as an ongoing educational task with a broad cultural and political
scope” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1261). I sin sammanfattning argumenterar Ernest
(1998) för att den traditionella reproducerande matematikundervisningen inte bara
medför reproducerade kunskaper och färdigheter hos elever, utan att den även
reproducerar sociala orättvisor. Vissa elever gynnas, andra missgynnas med denna typ
av undervisning. Denna ståndpunkt tar, som tidigare sagt, även D’Ambrosio. ” Critical
Mathematics Education must strive to provide equal opportunities and outcomes for
all.” (Skovsmose och Nielsen, 1996:1271).
Om kritisk matematikundervisningsperspektivets tyngdpunkt ligger i kommunikationen
mellan lärare och elever bör som komplement fokus även läggas på
undervisningsmaterial och läroböcker och hur dessa utformas. Läroböckernas och andra
undervisningsmaterials karaktär och kontext har även de stor betydelse för elevernas
motivation och lärande i matematik. Boaler (1993), tidigare gymnasielärare i
matematik, numera forskare vid Stanfords University i Kalifornien, anser att graden av
22
hur matematikuppgifternas eller problemens kontext påverkar elever är vida
undervärderat. Resultaten av den stora skillnaden mellan kontexter i
problemlösningsuppgifter och klassrumsexempel i försök att relatera till ”verkliga livet”
- uppgifter eller vardagsuppgifter för att göra matematiken mer motiverande och
intressant är svårt. Hon frågar sig vems vardag – vems verklighet är det som används i
dessa textuppgifter? Strategin med vardagsuppgifter och s.k. verklighetsbaserade
uppgifter ignorerar enligt Boaler komplexiteten, omfånget och elevernas erfarenheter,
bakgrund och kultur så väl som sambanden mellan individernas tidigare erfarenheter
och matematiska mål och övertygelser (Boaler, 1993).
Den danske forskaren Niss (1996) beskriver utvecklingen av motiven för
matematikundervisning, (the justificationproblem) mellan olika länder och under olika
tidsperioder. Sammanfattningsvis visar hans forskning att länder med traditioner av
demokratiskt styre och kontroll och en något centralt kontrollerad ekonomi (t.ex. de
Skandinaviska länderna och Holland) tenderar att lägga större vikt på utbildningsmål
formulerade som kompetens, aktivitet, empati och ett aktivt kritiskt medborgarskap. I
Sverige beskrivs idag ett av de tre syftena för matematikundervisning på gymnasiets
samhällsvetenskapliga program på följande sätt:
Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna
analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,
som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.
Skolverket (2000)
Denna formulering stämmer någorlunda väl överens med innehållet i
utbildningsmålen Niss beskriver. Som kontrast till dessa ord nämner Niss länder
med auktoritärt styrelseskick som främst motiverar matematikundervisning dels
till ett färre antal personer, dels med mål som beskrivs av en teknisk- och
socioekonomisk utveckling.
Den brittiska forskaren Benn, som studerat aboriginernas kultur men som troligen är
mest känd för sin forskning om vuxna och matematiklärande, deltog i ett projekt år
2001 vars mål var att kartlägga hur australiska aboriginer lär matematik och utvecklar
23
numeralitet. Projektets namn var” Numeracy as a social-cultural construct: an
investigation of how Aboriginal learners engage with and make sense of mathematics
curricula” (Benn, 2002). Hennes studier visar att föräldrar till aboriginiska barn önskar
att barnen ska studera akademisk matematik för att “gain access to the powerfull and
prestigious discourse of western mathematics” (Benn 2002:55). Detta förklarar enligt
Benn varför så många aboriginer inte är intresserade av att bygga vidare på sin egen
vardagsmatematiska diskurs – den är inte lika högt värderad av samhället som den
västerländska matematiken är. Föräldrarna är övertygade om att deras barn får större
social makt och större kontroll över sina liv om de lär matematik med en västerländsk
diskurs. Benn argumenterar för att detta sätt att se på matematik sammankopplar
matematik med de olika maktstrukturerna som finns i ett samhälle. Några av de punkter
hon föreslår att lärarna måste beakta för att underlätta aboriginernas lärande i matematik
är följande:
• To see through the ”commonsenseness” of their own mathematics to the recognition
that other mathematics exist and that they are valuable
• To have at least some awareness of the Aboriginal locale (including language,
interests and customs) and everyday mathematics
• To be able and confident in western academic mathematics
• To be able to construct a pathway from the everyday mathematics to academic
mathematics by use of appropriate language and metaphors (Benn, 2002:57)
Vad jag undrar är – vad skiljer dessa punkter från de reflektioner en lärare borde göra
vid planering av matematikundervisning i ett svenskt klassrum? Genom att byta ut
ordet Aboriginal i ovanstående citat mot ordet barn, ungdomar, en specifik yrkesgrupp
eller vilken annan kulturell grupp man som lärare ska undervisa kan kanske underlätta
lärandet i matematik och planeringen av matematiklektionerna även hos oss i Sverige.
Teorin har påverkat mig att reflektera över planering och innehåll i min matematik-
undervisning och fundera över hur dessa nya kunskaper kan utnyttjas direkt i
undervisningen. D’Ambrosios och Bishops teorier om elevers matematiska kreativitet
och hur den kan påverkas i olika riktningar då hänsyn tas till elevers kulturella bakgrund
är intressant ur ett matematikdidaktiskt perspektiv. Självklart önskar jag som lärare att
elever ska uppleva kreativitet i matematiklärandet. Målet för mig är att göra
24
undervisningen intressant för eleverna och sätta den i ett sammanhang som tydliggör
matematikens möjligheter för olika människor med olika kulturell bakgrund.
Skovsmoses, Ernests m.fl. diskussioner om kritisk matematikundervisning är didaktiskt
intressant. Detta perspektiv, att diskutera samhällsfrågor ur ett matematiskt perspektiv i
matematikundervisningen gör mig nyfiken på om och i så fall hur det kan påverka
elevernas motivation och resultat i positiv riktning.
3.4 De Aboriginiska kartorna
Dreamtime är ett begrepp inom den australiska aboriginiska kulturen som beskriver en
spirituell dimension av de australiska aboriginernas existens och länkar samman nutid
med tiden då världen skapades. Dreamtime representeras av sånger, danser och
målningar men även kartor som visar spår i naturen av de allra första urinvånarna i form
av bäckar, sjöar och berg (The Oxford Companion to Australian History). En australisk
forskare som under många år forskat inom det etnomatematiska forskningsområdet ur
en kulturell kontext och speciellt inom aboriginisk kultur, Harris, beskriver
aboriginernas rumsuppfattning och spatiala förmåga så här:
If Aboriginal people were to set up their own mathematics programs uninfluenced by white
Australian traditions of what is important in a school mathematics program… the highest
priority would certainly go to the space strand. (Harris, 1991:19)
Harris beskriver aboriginernas förmåga att var de än befinner sig kunna beskriva
riktningarna för väderstrecken även på för dem nya platser och i nya omgivningar, både
ute i öknarna och inomhus i byggnader. Då (vi) västerlänningar skulle använda
begreppen höger/vänster utnyttjar aboriginer väderstrecken som riktningsangivelser.
Harris använder de aboriginiska kartorna som exempel då hon förklarar aboriginernas
uttryck för abstraktioner. De västerländska kartorna är fyllda av abstraktioner i form av
likartade symboler och ekvidistanslinjer. De aboriginiska kartorna är även de fyllda med
abstraktioner – beroende på om kartan är ”bara en karta” för exempelvis en resa eller
om den även har ett mytiskt eller heligt ändamål. Det är inte ovanligt att aboriginiska
kartor är fyllda med mytologiska symboler för olika platser.
25
De stora konstverken som visades på Dreamtimeutställningen är figurativa bilder som
visar specifika landskap, heliga platser, vegetation och djurspår som har både symbolisk
så väl som praktisk innebörd för den australiska urbefolkningens livsföring i
vildmarken. Aboriginiska kartor visades här som stilfull konst med symboler och bilder
för exempelvis de heliga platserna. På Dreamtimeutställningen studerade eleverna
cirklar och prickar som symboler för platser, men även för vandraren, alltså människan,
och tiden. För att ge sig ut i den okända australiska terrängen krävs att man kan tolka
tecken och symboler för exempelvis vattenhål och träd. Antalet cirklar i konstverken,
kartorna, kan också uppfattas som tid. Fem cirklar före en stor kan tydas som ”fem
dagar senare kommer du fram till ett stort träd”. En bild som föreställer fem män kan
återge en mans resa under fem dagar i landskapet (Ebes, 2006).
Nedanstående bilder är exempel på två konstverk och samtidigt två kartor som visades
på Arkens Museum under Dreamtime-utställningen. Ytligt sett påminner dessa bilder
med punkter, cirklar och streck mest om abstrakta kompositioner. Men, det är figurativa
bilder som fungerar som en slags kommunikation. Med målningarna vidarebefordrar
aboriginer information om sitt levnadssätt, sina förfäder och ritualer till
gruppmedlemmarna. Denna konst är äldre än de egyptiska pyramiderna och kulturen
anses vara den äldsta levande i världen. Däremot är framställandet på duk en relativt ny
företeelse. Ursprungligen målades bilderna på bark, klippor, i trä, sand eller rent av på
marken. Kroppsmålningar förekom också. Först på 70-talet började aboriginerna
tillverka bilder som inte var fysiskt bundna till platser eller kroppar. Holländaren Hank
Ebes var en av dem som med hjälp av ockra- och akrylfärger inspirerade och
uppmuntrade aboriginerna att uppföra sina bilder på duk istället. Denna historik fanns
att läsa på informationsblad på Arkens Museum för Kunst (www.arken.dk).
26
Bild 1. Love story, målad 1972 av Clifford Possum Tjapaltjarri. Syntetiskt polymer på board,
61x45 cm. Målningen föreställer en drömsång, “Dreamsong” vid berget Ngarlu, även kallat
Red Hill. Symbolerna i bilden visar en vandring till Ngarlu som startar i målningens nedre
vänstra hörn. Promenerar man runt i tavlan motsols träffar man på gränserna till Ngarlu, en
utsikts- och riktningsbeskrivning från Ngarlu, en älskares fotsteg och bumeranger som
symboler för kärleksmusik och i slutet regnsymboler. (Exihibitionguide, 2006:40, min
översättning)
Bild 2. Tjirilpatja Dreaming, målad 1992 av Tommy Skeen. Akryl på canvas, 178x119 cm.
Denna målning föreställer Emu och ”Bush Carrot” (Tjirilpatja) som drömsånger vid en plats
med namnet Lirrwarti, nära Balgo. Bush carrot omger tavlan. Fötterna representerar
vandringen mellan olika geografiska platser och samtidigt mellan olika ”ancestors”,
föregångares aktiviteter och ceremonier som associeras med Tingari ancestors.
(Exihibitionguide, 2006:51, min översättning)
27
4. AKTIONSFORSKNING SOM METOD
I kapitel 4.1 presenteras inledningsvis aktionsforskning som metod och därefter placeras
denna undersökning in i en aktionsforskningmodell och beskrivs mer detaljerat.
Studiebesöket på Dreamtimeutställningen presenteras under 4.2. Etiska hänsyn
diskuteras under punkt 4:3. En kvalitetsdiskussion av aktionsforskning finns längre fram
i uppsatsen, i kapitel 5.3.
4:1 Uppsatsens placering inom en aktionsforskningsmodell
Enligt Mertens (2005) förklaringar av de olika forskningsparadigmen bör denna
forskningsrapport placeras inom ett transformativt paradigm under ”Participatory
theory”. Det transformativa paradigmets ontologi beskrivs bl.a. av sociala, kulturella
och etniska värderingar. Epistemologin karaktäriseras av ett nära samarbete mellan
forskare och forskningsdeltagare med en kunskap som är både socialt och historiskt
situerad. Metoder som används är oftast kvalitativa (som i denna undersökning) men
även andra metoder används beroende på forskningens syfte och mål (Mertens, 2005).
Aktionsforskning är en forskningsmetod som ofta används för att utvärdera en
förändring av praxis i exempelvis undervisning, men även inom andra sociala
verksamheter är aktionsforskning vanlig för att utvärdera förändringsarbete. Robson
(2002) skriver att aktionsforskning medverkar till beskrivning, förklaring och förståelse
av förändringar. Improvement och involvement (förbättring och engagemang) är enligt
Robson centrala begrepp inom aktionsforskning. Robson ger följande beskrivning av
aktionsforskning:
There is, first, the improvement of a practice of some kind; second, the improvement of the
understanding of a practice by its practitioners; and third, the improvement of the situation
in which practice takes place. (Robson, 2002:215)
I Mertens definieras begreppet practical participatory evaluation i kontexter som
handlar om utvärdering och som samtidigt involverar de deltagande i forskningen.
Specifikt inom undervisning benämns detta ”classroom action research” (Mertens
2005:243) där lärare, ibland – men inte alltid - med stöd av akademiker genomför
forskning i det egna klassrummet för att utvärdera och förbättra undervisningen.
28
Aktionsforskning beskrivs även av en svensk forskare, Rönneman (2004) som en ansats
med utgångspunkt i den praktiska verkligheten och som verkar för en forskning som
leder till förändring. Den handlar om att utveckla och förändra en verksamhet, men
också om att skaffa sig kunskap om hur förändring sker och vad som händer under
arbetes gång. Praktikern, i detta fall läraren, är delaktig i vad som sker och kan därmed
åstadkomma en bättre grund att agera från.
Förloppet gör att aktionsforskning kan ses ur ett ‘bottom-up’- perspektiv, vilket innebär att
det är praktikern själv som ställer frågorna och agerar för en förändring. (Rönneman,
2004:14)
Detta till skillnad från när någon annan utifrån bestämmer vad som ska ske eller forskar
i verksamheten, ett ”top-down”-perspektiv. Rönneman beskriver aktionsforskningens
historia utifrån en amerikansk forskare, Lewins, modell. En liknande modell finns
beskriven av Robson (2002). Lewins modell beskrivs som cyklisk, Robsons som
spiralisk men stadierna i de olika modellerna är i princip de samma. Bägge modellerna
beskriver olika stadier av aktionsforskning t.ex. reflektion över nuvarande situation,
planering av en aktion utifrån dessa erfarenheter, genomförandet, observationer under
genomförandet samt ett resultat som i sin tur blir föremål för ny reflektion. Denna
reflektion leder vidare till en ny planering, föder nya frågor och därmed ny aktion.
Enligt denna modell planerade jag den nya undervisningssekvensen utifrån nya
kunskaper och inspiration jag fick på ICEM-3 i Auckland samt erfarenheter från tidigare
studiebesök med elever. Undervisningen och studiebesöket genomfördes och
observationerna skedde dels genom elevernas skriftliga reflektioner och svar på
frågorna, dels genom mina observationer i klassrummet och under studiebesöket.
Resultaten beskrivs i denna rapport som förhoppningsvis ska leda vidare till nya frågor
och ny forskning.
Skovsmose och Borba (2000) beskriver en modell för aktionsforskning inom
matematikundervisning och påvisar samband mellan den nuvarande situationen (NS),
den arrangerade situationen (AS) och föreställningen om en ny tänkbar situation (TS)
som visas i figur 1. Den nuvarande situationen, NS, beskriver den rådande
klassrumssituationen och undervisningsmetoder före undervisningsexperimentet. Denna
29
situation initierar en föreställning om att förändra, att göra annorlunda vilket så
småningom blir en föreställning om en ny tänkbar situation, TS. Denna består endast av
olika hypoteser och idéer och ingår i undervisningsdiskursen. Då förändringar i
undervisningen genomförs övergår de tänkbara situationerna till att bli arrangerade
situationer, AS.
AS
NS TS
Figur 1. Modell som visar samband mellan nuvarande situation (NS), den tänkbara
situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och Borba, 2000:11)
Förändringarna är inte statiska, som triangeln kan ge sken av, utan förflyttningarna
mellan de olika situationerna är en pågående process. Sambandet som visas i figur 2
mellan den nuvarande situationen och den tänkbara situationen benämns av Skovsmose
och Borba för den Pedagogisk föreställningen, PF, och beskrivs som en process som ger
stöd för att skapa de nya, tänkbara situationerna. Processen innebär också att som lärare
komma till insikt om att undervisningen skulle kunna förändras och göras annorlunda.
Sambandet mellan den nuvarande situationen och den arrangerade situationen beskrivs
av Skovsmose och Borba som en process för planering av aktiviteter och praktisk
organisation, PO. Slutligen, sambandet mellan den tänkbara situationen och
arrangerade situationen handlar om en analytisk och reflekterande process av de nya
erfarenheterna, RP.
30
AS
PO RP
NS PF TS
Figur 2. Figuren visar sambandet mellan den pedagogiska föreställningen (PF), praktisk
organisation (PO) och den reflekterande processen (RP) i förhållande till nuvarande situation
(NS), den tänkbara situationen (TS) och den arrangerade situationen (AS). (Skovsmose och
Borba, 2000:12)
Denna undersökning placeras inom Skovsmoses och Borbas modell på följande sätt:
Den nuvarande situationen som jag ville förändra var den vardagliga
matematikundervisningen i klassrummet vad gällde programmålet
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om
hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas (Skolverket, 2000).
Eleverna som deltog i denna studiesekvens gick andra terminen i åk 2 på gymnasiet och
var 17-18 år gamla. De var sammanlagt 16 stycken, 14 flickor och 2 pojkar.
Gymnasieprogrammet de valt är i grunden ett samhällsprogram som är
universitetsförberedande med kommunikation och språk som speciell inriktning. I
Sverige startar eleverna på gymnasiet med Matematik A som innehåller grundläggande
aritmetik och geometri, fortsätter i Matematik B med sannolikhetslära och funktionslära
av första och andra graden som huvudsakligt innehåll. Därefter följer Matematik C
bestående av derivata och exponentialfunktioner och avslutas i Matematik D som
behandlar momenten trigonometri och integraler och som ger behörighet att söka till
naturvetenskapligt- och tekniskt universitet/högskola i Sverige. Eleverna som deltog i
denna undersökning befann sig i mitten av kurs C. Den vanliga dagliga undervisningen i
klassen baseras till stor del på undervisningslitteraturens innehåll som i sin tur väl följer
Skolverkets uppsatta mål i matematikämnet. De matematiska momenten genomgås
31
noga och undervisningsmetoderna varierar beroende på vilket matematiskt avsnitt som
är i fokus under pågående lektion. Min strävan i undervisningssituationen är en hög
både muntlig och skriftlig elevaktivitet under lektionerna. Under genomgångar när jag
som lärare står vid whiteboarden och beskriver/förklarar nya moment i kusen är det
viktigt för mig som lärare att eleverna stannar upp, reflekterar och ställer frågor så att
budskapet blir klart och tydligt. Eleverna är aktiva både genom att skriva, ställa frågor
och genom ”bikupor”, där vi tar en paus och eleverna själva diskuterar den
genomgångna teorin eller metoden. De får sedan lösa uppgifter tillsammans med den de
sitter bredvid som sedan löses gemensamt från tavlan. På så sätt ökar jag
elevaktiviteten och att alla frågor och oklarheter reds ut innan eleven börjar lösa bokens
uppgifter och problem på egen hand. Det didaktiska kontraktet jag strävar efter under
mina lektioner med elever präglas alltså till stor del av samtal och diskussioner.
Klassrumsklimatet ska vara tryggt och tillåtande. De flesta elever är inte vana vid detta
sätt att arbeta under matematiklektioner när de kommer till vårt gymnasium från olika
högstadieskolor. Det tar ungefär en termin för dem att vänja sig – och att våga - ställa
frågor och öppet diskutera matematik och matematiska frågeställningar. En del moment
lärs helt och hållet i grupp och examineras därefter. Exempel på moment i
matematikundervisningen när denna metod fungerar bra i min undervisning är
procentberäkningar, ränteberäkningar, statistik och sannolikhetslära. Ibland får eleverna
gå ut och söka faktiska exempel på de moment som är nya eller nyligen genomgångna i
skolans närområde– detta för att ge eleverna en känsla av att matematiken verkligen
finns utanför skolan (dock brukar vi då upptäcka att matematiken ofta förekommer på
andra sätt än i undervisningsböckernas problemformuleringar).
Ett programmål som varit en givande utmaning att uppnå är målet att eleverna ska
fördjupa sina insikter i hur matematiken utvecklats och utvecklas av människor i olika
kulturer. Detta mål är jämfört med de matematiska målen inte lika tydligt utan kan
upplevas som diffust. Det är heller inget mål som testas vid exempelvis nationella prov.
I läroböckerna kan man ibland finna faktarutor som behandlar detta mål, men de
upplevs enligt min erfarenhet mest som kuriosa av eleverna och tillför inte lärandet i
matematik någon extra dimension. För att nå en annan bild av matematikundervisningen
med en ny diskurs och en ökad samhällsvetenskaplig programinfärgning av
32
matematikundervisningen och med en undervisning med elever och matematik
placerade i en kulturell kontext utvecklade jag en pedagogisk föreställning om en ny
undervisningssituation där vi under matematiklektioner skulle diskutera kulturella och
globala frågor ur ett matematiskt perspektiv. Frågor jag ställde mig under denna period
var av typen: Hur skulle jag få in min idé på ett naturligt sätt i undervisningen? Vilka
moment i matematikundervisningen skulle passa in? Vilka möjligheter såg eleverna
med sina egna olika kulturella bakgrunder?
Under denna tid besökte jag privat utställningen Dreamtime på Arkens Museum i
Köpenhamn och insåg att här fanns en möjlighet att realisera mina idéer och
pedagogiska föreställningar. Jag skulle kanske kunna ta med eleverna till utställningen
och låta dem söka matematiken i de australiska aboriginernas kartor och konstverk?
De praktiska arrangemangen och organisering av studieresan tog vid. Idéerna
förankrades hos skolans rektor både till sitt innehåll och vad gällde ekonomin. Elever
fick en dag ledigt från andra ämnen för att kunna åka på studiebesöket. Buss bokades.
Jag planerade introduktionslektionen och satte ihop en PowerPoint-presentation med
bilder att använda som diskussionsunderlag vid introduktionslektionen. Den nya
arrangerade situationen bestod alltså av en undervisningssekvens i två delar – dels en
längre matematiklektion med introduktion till etnomatematik och dels studiebesöket på
Dreamtime-utställningen där eleverna fick möjlighet att studera en annan
befolkningsgrupps, de australiska aboriginernas, matematik i form av deras kartor,
konstverk och artefakter.
Vid det längre lektionstillfället drygt två veckor före studiebesöket introducerades
eleverna till området etnomatematik med en PowerPoint-presentation av mig.
Presentationen bestod av bilder av maorikonst och hantverk och bilder av intressant
arkitektur ifrån Nya Zeeland och Australien. Bilderna tog jag dels under ICEM -
konferensen i Auckland och dels i Sydney. Exempel på bilder från presentationen finns
nedan, se bild 3-10. Under presentationen berättade jag bl.a. om D’Ambrosio, vem han
är och om hans definition och beskrivning om etnomatematik. Jag beskrev de olika
delarna av matematik man kan studera för att hitta etnomatematik med utgångspunkt i
Bishops definition av etnomatematik. Vi tittade på arkitektur, bl.a. Utzons verk
33
Operahuset i Sydney. PowerPoint presentationen kompletterades efteråt med frågor och
efterföljande diskussioner i klassen om globala frågor, rättvisefrågor samt om vad
urbefolkningar egentligen är. Matematik, makt, vem ska lära matematik och vems
matematik är den riktiga är exempel på problem som diskuterades. Diskussionen leddes
i helklass, men delar av den arrangerades i mindre grupper som sedan redovisade sina
samtal i helkass. Med detta upplägg tänkte jag att så många som möjligt skulle få
möjlighet att diskutera frågorna. De elever som inte önskade uttrycka sina reflektioner
och tankar i den stora gruppen fick möjlighet att göra det i de mindre grupperna.
Frågorna som vi diskuterade i anslutning till presentationen var formulerade på följande
sätt:
• Jag visade en privat flätad korg med en rund cirkulär form och med
geometriska mönster (romber) i olika färger. Korgen är tillverkad i Afrika. Frågan
eleverna fick var: Vilken matematik behövs för att tillverka den här korgen?
Tror du kvinnan som tillverkat den kan denna matematik?
• Orättvisorna i världen – hur kan de kopplas till matematiska kunskaper?
• På Papua Nya Guinea använder man ett bodytallingsystem – man räknar och
visar siffror med kroppen. Kan du tänka dig det? Vilket är det rätta sättet?
• Jag beskrev bakgrunden för ”A settlement of the Brazilian Landless
Movement”, en reform för ockupation av mark i Brasilien, och redogjorde för den
brasilianska professorn och lärarutbildaren Knijniks (Knijnik, 1999 och Knijnik, 2006)
beskrivningar av barnens konkreta matematikundervisning i dessa områden, exempelvis
i forma av salladsodlingar. Eleverna fick sedan diskutera kring detta tema.
Den större diskussionen i helklass leddes av mig och eleverna fick demokratiskt begära
ordet som jag sedan fördelade efter hand. Under tiden eleverna diskuterade i mindre
grupper om tre till fem elever förflyttade jag mig runt i klassrummet och lyssnade på de
olika samtalen som pågick. Dessa samtal redovisades sedan muntligt i den stora
gruppen. En mindre grupp redovisade vad de diskuterat och sedan fick de besvara
eventuella följdfrågor från oss andra innan nästa grupp fick redovisa. Efter lektionens
slut satt jag kvar i klassrummet och antecknade vad som diskuterats och vilka som varit
mer aktiva under diskussionerna än under ordinarie matematiska diskussioner i
34
klassrummet. Dessa anteckningar ligger till grund för mina reflektioner i redovisningen
av klassrumsdiskussionen.
Exempel på bilder från PowerPoint-presentationen kommer nedan:
Bild 3. Exempel på repknytningsteknik som byggteknik i Pacific Ocean House i Auckland, Nya
Zeeland.
35
Bild 4. En bild inifrån ett Maori meeting house, ett whare whakairo med namnet Tane-Nui-A-
Rangi i Auckland. Huset är byggt på så sätt att det är”conceptualized metaphorically as a human
body, usually representing the eponymous ancestor of a tribe” (University of Auckland, 1988).
Vid denna bild diskuterade vi geometri och symmetrier samt vilka matematiska kunskaper som
krävs för att tillverka detta kostverk.
36
Bild 5. Ett annat exempel på mattor och träsnidesarbete från Tane-Nui-A-Rangi. Träsniderierna
och vävnaderna/mattorna beskriver berättelser och myter från respektive maoriklans historia.
Här diskuterades också mönster, symmetrier och geometri.
37
Bild 6. Två inuitiska lärare för yngre barn; Evelyn Yanez och Dora Andrew-Ihrke från
Yup’ikfolket i Alaska visar en traditionell anorak. Förr tillverkade de yngre kvinnorna dessa
anoraker till en hemgift. Skinn var, och är, en dyr vara så det är viktig att lära sig hushålla och
inte slösa med skinn. Hur kan man tillverka dessa bårder och kanter med så lite material som
möjligt? Hur viker man och klipper en perfekt kvadrat direkt utan att slösa med sälskinn?
Bild 7. Denna bild visar en detalj från en anorak hos Yup’ikfolket. Dessa mönster pryder
anorakerna. Barn i de lägre årskurserna använder dessa mönster i geometriundervisning och lär
38
sig språket, hur man ritar och klipper ut jämna fina former utan att slösa med material. I dessa
klasser tar man tillvara de äldres kunskaper genom att de är närvarande och sitter och arbetar
med mönstren i klassrummet. Man arbetar tillsammans men var och en gör sitt eget arbete.
����������� ������
������������
����������������������������
�����������������������������
����������
���������������������������������������
����������������������
Bild 8. Yup'ik Border Patterns (Lipka, 2006:9). Exempel på olika mönster som pryder kanterna
på de Yu’pikska anorakerna.
39
Bild 9. Operahuset i Sydney, Australien ritat av den danske arkitekten Jörn Utzon. Anledningen
till att operahuset upplevs som harmoniskt lär vara att de ingående ”skalen” tillsammans bildar
ett klot vilket ögat uppfattar som en helhet.
Bild 10. Darling Harbour i Sydney, Australien. Darling Harbour färdigställdes i sin nuvarande
form till de Olympiska Spelen som hölls i Sydney år 2000. Arkitekturen med alla dess
geometriska former är intressant. Hur många olika geometriska former hittar du i bilden?
40
4.2 Studiebesöket på Dreamtime-utställningen på Arkens Museum for kunst
Vid studiebesöket på Dreamtime-utställningen fick eleverna som uppgift att besvara tre
frågor under tiden de vistades på utställningen. Observera att i denna uppsats redovisas
och diskuteras endast resultaten från den första frågan. Anledningen till detta är att det
är denna fråga som knyter an till uppsatsens teoriavsnitt.
Den fråga eleverna besvarade under dagen de vistades på utställningen och som alltså
redovisas i denna uppsats var formulerad på följande sätt:
1. Vilka matematikkunskaper tror du kan ligga bakom de respektive
konstverken? Välj ut några av konstverken och reflektera mer över dem.
De matematikkunskaper som underförstås i denna fråga är de kunskaper som de fått
tidigare i sin skolgång – alltså de matematiska kunskaper som beskrivits av Skolverket
(2000) och som ligger till grund för skolundervisningen i matematik.
De två frågorna som inte redovisas i denna uppsats men som eleverna också funderade
på och resonerade kring var följande:
2. Kan du se någon möjlighet att använda urinvånares konst och hantverk i vår
matematikundervisning? Vilka moment i matematiken skulle kunna förstås bättre ur
detta perspektiv?
3. Våra egna svenska konst- och hantverkstraditioner, ser du någon möjlighet för
hur vi skulle kunna använda dem i matematikundervisningen?
Frågorna jag ställde till eleverna besvarades enskilt, individuellt, men eleverna var fria
att studera konstverken tillsammans i mindre, självvalda grupper och även att diskutera
tavlorna och uppgifterna med varandra. Väggtidningar på museet i anslutning till
utställningen gav tillgång till information om de olika konstverken och vad mönstren
och symbolerna i de respektive konstverken betydde samt myterna och historierna
bakom konstverken. Eleverna svarade enskilt på frågorna och skrev ner sina svar under
tiden de befann sig på utställningen och 13 av dem lämnade dem sedan direkt till mig.
Tre elever valde att renskriva sina svar och istället maila dem till mig två dagar senare.
Elevernas skriftliga svar och olika synpunkter genomlästes därefter flera gånger och
sorterades sedan i tre olika grupper som naturligt framkom ur materialet. Två av dessa
grupper definierar olika matematiska kunskaper som ingått i den tidigare
41
undervisningen: geometri, grafer, derivering och talföljder. Den tredje gruppen
representeras av kommentarer som ifrågasätter om det finns någon matematik i
konstverken. Observera att det är kommentarer och reflektioner, och inte enskilda elever
som delats in i grupperna. Exempelvis kan en elev som funnit geometriska former även
ifrågasätta den matematiska bakgrunden och då finns denne elevs kommentarer i bägge
grupperna.
Under studiebesöket gick jag runt och lyssnade på elevernas samtal samtidigt som jag
noterade punkter ur deras samtal och diskussioner på ett medhavt block. Jag valde oftast
att inte delta i samtalen utan satte/ställde mig lite avsides så det inte var uppenbart att
jag lyssnade på deras konversationer. I några av samtalen deltog jag genom att svara på
vissa konkreta kunskapsfrågor men avstod från att direkt delta i samtalen som berörde
frågeställningarna. Noteringarna jag gjorde under studiebesöket ligger till grund för
mina personliga lärarkommentarer i resultatkapitlet.
4:3 Etiska hänsyn
Eleverna informerades före studiebesöket om att deras svar troligen skulle användas i
min magisteruppsats, och i samband med att uppsatsen skrevs vidtalades de en gång till.
Informationen gavs under ordinarie matematiklektion i skolan. Alla elever sa OK, men
en av eleverna med tillägget ”bara man inte kan se vad jag skrivit”. Hänsyn har tagits
till denna elevs önskemål och personens svar har inte citerats i uppsatsen.
Alla namngivna elever i resultatdelen har fått fingerade namn. De två elever som skrev
det inledande poemet i inledningskapitlet på s. 6 tillfrågades speciellt och de gav bägge,
med glädje, sitt samtycke.
42
5. RESULTAT
När vi nu återgår till Skovsmoses och Borbas modell om aktionsforskning återstår enligt
figur 2 reflektionsprocessen och en kritisk granskning av undervisningssekvensen som
beskrivits ovan. Denna reflektion och granskning diskuteras i detta kapitel. I detta
kapitel redovisas klassrumsintroduktionen först i 5.1. Därefter redovisar jag
studiebesöket på Arken i 5.2 för att slutligen diskutera kvalité inom aktionsforskning i
5.3.
5.1 Klassrumsintroduktionen.
Det som fascinerade mig som lärare under introduktionslektionen var den högre
elevaktiviteten och elevernas intresse kring frågorna som väcktes både under
PowerPoint-presentationen och under passet efter själva presentationen då vi
diskuterade några globala rättvisefrågor. Det var även andra elever som tog plats och
uttryckte sina synpunkter än vad det brukar vara under en vanlig matematiklektion.
Den flätade afrikanska korgen med en rund cirkulär form och romber i olika färger
väckte geometriska frågor. För att mönstret ska bli jämt måste man ha räknat ut
omkretsen, och då måste man veta vad en radie eller diameter är resonerade eleverna.
För att sedan få ett jämt antal romber som var lika stora måsta man dividera omkretsen
med antalet romber man önskar i mönstret och markera detta. Resonemanget fortsatte
på detta vis och elever som var intresserade och kunniga i geometri hördes flest gånger
men även andra som inte upplever geometri som något intressant tidigare var aktiva. Ett
exempel på detta var Irina som sitter längst bak i klassrummet och sällan räcker upp
handen nu var framme och visade och pekade ut sina idéer på korgen. Eleverna var
tveksamma till om kvinnan som tillverkat korgen behärskade dessa geometriska
begrepp som krävdes för att tillverka korgens mönster. Hur vet vi om hon gått i skola?
Eller ritar hon eller gör på något annat sätt? Är det matte i så all? Vi fann inte svar på
alla frågor, istället formulerades nya följdfrågor.
Frågan om orättvisor i världen kan kopplas till matematiska kunskaper var svår att svara
på då det är en mycket stor fråga. Eleverna diskuterade fram förutsättningen att om man
kan matte har man troligen gått i skola, och då har man en utbildning och lättare att få
jobb. En elevgrupp diskuterade reklam och om man inte kan räkna eller läsa diagram är
det lätt att bli lurad och utnyttjad. Att det fanns andra sätt att räkna än vårt västerländska
43
var det inte många som visste, och att det finns bodytallingsystems visste ingen av
eleverna. De provade några olika sätt tal med kroppsspråk men tyckte generellt att det
var svårt, framför allt med större tal. Vi diskuterade för- och nackdelar med de bägge
systemen och enades om att vårt hade mest möjligheter – med brasklappen som jag la
till att det kan bero på att vi behärskar vårt eget system bäst.
Diskussionen kring Knijniks arbete ”A settlement of the Brazilian Landless Movement”
var den diskussion som berörde eleverna mest emotionellt av de frågor vi diskuterade.
Det var också denna fråga som eleverna tog upp emellanåt senare under kursen. Här
värderade eleverna ockupationen av mark och lärarnas sätt att arbeta ute i områdena.
Eleverna ansåg generellt det var bra att matematik kunde läras ute i de ockuperade
områdena men funderade också på hur mycket matematik man egentligen kunde lära sig
på detta vis eller om man kunde göra på andra sätt. Som lärare reflekterade jag efteråt
att det kunde ha varit intressant att diskutera denna fråga ämnesövergripande då det är
en viktig fråga ur flera perspektiv, inte bara matematiskt. Ett samarbete med en
ämneslärare i samhällskunskap och/eller historia kunde ha lagt ytterligare en dimension
i denna fråga.
Några av eleverna visade enligt min uppfattning en högre aktivitet även under
matematiklektionerna som följde studiebesöket. Processen som pågick i klassrummet
berörde frågor som gav insikt i att det inte är självklart för alla att de får lära matematik
och att matematik faktiskt används även utanför skolans dörrar. En elev uttryckte det så
här långt efteråt: -Annica, nu ser jag matte överallt t.o.m. när jag går på stan… En annan
sa: - Kolla broderiet på mina jeans! Det har jag aldrig tänkt på tidigare att det kan vara
matte!
En kommentar som jag utnyttjade direkt i undervisningen när den kom mitt under en
lektion med genomgång i derivataberäkningar var följande:
– Skulle de Brasilianska barnen ha nytta av att kunna derivata?
– Vad tror du själv? svarade jag och sedan gick debatten med hög intensitet
resten av den lektionen. Eleverna diskuterade betydelsen av att kunna matematik, om
matematikkunskaper behövs för att förändra barnens situation och i så fall vilka
matematikkunskaper. Olika åsikter framkom och diskuterades. När dessa perspektiv lyfs
44
under pågående lektion och eleverna ges möjlighet att fritt diskutera upplever jag som
lärare att fler elever är aktiva och har åsikter om matematik jämfört med en ordinarie
matematiklektion. Åsikterna är, enligt min upplevelse, av en annan mer reflekterande
karaktär än de åsikterna om matematikämnet jag annars brukar höra. Exempelvis kan
elever som tidigare tydligt uttalat att matematik är inget för dem vända i sina tankar och
exempelvis resonera om hur viktigt det är för brasilianska barn att lära sig matematik för
att få arbete och lön i Brasilien. Jag upplever också en större koncentration på
matematikuppgifterna i klassrummet efter en diskussion eller ett samtal av denna typ.
Detta är en tråd jag gärna skulle vilja ta upp och forska vidare i när
aktionsforskningsspiralen senare byggs på. Med dessa diskussioner berör eleverna ”the
justification problem”, varför matematikundervisning ska finnas och för vem. Frågorna
som diskuterades överensstämmer med Skovsmoses (1994) intentioner med kritisk
matematikundervisning. Under dessa resonemang sammankopplas begreppen
undervisning och kritik istället för att separeras. Enligt Skovsmose diskuteras då
samhällsfrågor, demokratisk kompetens etc. och det var verkligen vad vi gjorde under
introduktionslektionen men även vid andra tillfällen senare. Kommunikationen mellan
lärare och elever för att i matematikundervisningen erkänna och diskutera global
problematik, beskriven av Skovsmose och Nielsen (1996) utvecklades också under
denna period. Eleverna fick en insikt i att man får, kan och bör ta upp frågor som berör
matematik även om det inte berör det matematiska innehåll som planerats för just den
lektionen. Eriks kommentar är i detta sammanhang helt underbar: - Vad kul med en
mattelärare som kan mer än bara matte! Min lärarupplevelse är att dessa lektioner blev
mer varierade än vanligt och att det var mer aktivitet under lektionstid. Det skulle vara
mycket intressant att följa upp denna upplevelse och mäta aktiviteten för att på sätt se
både vilken typ av aktivitet som ökas och vad som sekundärt sker vad gäller elevernas
motivation och den matematiska kunskapsnivån.
Ett fenomen som jag noterade under denna arbetsperiod var att alla hann med de avsnitt
och uppgifter som skulle räknas i boken. Tidsplanen för kursen påverkades alltså inte
vare sig av studiebesöket eller av diskussionerna som lyftes emellanåt.
Matematikskrivningen i derivata vi hade en månad efter studiebesöket visade ingen
större skillnad resultatmässigt i matematik jämfört med tidigare skrivningar i klassen.
45
Tiden vi lade på denna undervisningssekvens påverkade alltså inte elevernas
skrivningsresultat negativt om man kan förutsätta att eleverna håller en individuellt
relativt jämn nivå under en kurs. Skrivningsresultaten påverkades inte heller i positiv
riktning. Det skulle vara mycket intressant att följa upp detta och ta reda på om ett
skrivningsupplägg där uppgifterna knöt an till denna undervisningssekvens hade
påverkat elevernas resultat i någon riktning, och i så fall vilka elever kunde ha fått
förändrade resultat?
5.2 Elevernas skriftliga svar på frågan och mina iakttagelser under studiebesöket
Elevernas svar på frågan om det kan finnas, och i så fall vilka matematikkunskaper som
finns i de respektive konstverken divergerade i tre skilda spår, här benämnda A, B och
C. Vad de inte svarade redovisas under punkt D.
A. Elever som fann matematik i form av geometri och grafer.
Majoriteten av eleverna återkopplade till tidigare geometriundervisning och sökte
geometriska kunskaper i form av mönster och geometriska figurer i konstverken. De
fann geometriska former som cirklar, rektanglar och trianglar. Karin konstaterade:
”Former och geometri tycks vara viktiga för aboriginerna.” I de olika mönstren på
tavlorna fann eleverna exempel på symmetrier. Katrin konstaterar om tavlan ”Efter
eldarna” att ”på något vis måste han (konstnären) ha räknat fram tre ganska jämnstora
cirklar som består av olika prickcirklar inuti”. I aboriginernas konst symboliserar dessa
former människor och fenomen i naturen. Saga skriver om tavlan Purnululu:
”Matematikkunskaper som krävs för att göra denna tavla är att kunna avläsa kurvors
former med samma antal linjer och prickar”. Hon fortsätter om tavlan Tingari
Dreaming: Matematikkunskaper som krävs här är att kunna ”avbilda cirklar med jämna
avstånd. Ser cirklar och halvcirklar samt upprepade matematiska mönster”. Saga skissar
sedan exempel på ett av mönstren. Saga avslutar med följande reflektion:
Olika geometriska former som t.ex. cirklar, linjer, rektanglar o.s.v. finns i naturen och det är
härifrån aboriginerna hämtar sin inspiration. Det blir som ett verktyg i varje individ att
upptäcka föremåls former.
46
En elevgrupp fann bilder av funktioner. Dessa beskrev punkter som såg ut att bilda
grafer. Exempelvis skriver Amanda om tavlan ”Kängurumän drömmer”: ”Det där ser ut
som x2 -kurvor i ett koordinatsystem”. Hon fortsätter:
Det finns tre cirklar diagonalt över tavlan med ett fläckigt, färgat mönster som bakgrund. Ett
”L” går fram och tillbaka genom tavlan, som kurvor. Är det streck som visar där Kängurun
hoppat?
Ovanstående elevsvar visar exempel på problematiken kring frusen matematik
och upptining av den samma. Enligt Harris (1987), och även Ascher (1998) är vi
bundna till våra egna erfarenheter och ser det vi förväntar oss att se. Eleverna har
räknat mycket geometri i matematikundervisningen under hela deras skolgång.
Därför blir det naturligt för dem att söka, och finna, geometri även i dessa
konstverk.
Fatima hittade detaljer i bilder som liknades vid tangenter till kurvor med olika
lutningar. Som lärare fann jag det mycket intressant att lyssna till ett samtal mellan två
elever som diskuterade begreppen fart och förändring i detta sammanhang. Både utifrån
idén om tangenterna till kurvor och en konstnärlig diskussion kring färgval och
skuggningarna diskuterade dessa elever hur man bäst visade fart och
förändringshastigheter. Att dessa bägge elever hade begreppet derivata klart för sig
fanns det ingen tvekan om, det bekräftades tydligt av deras samtal. Vad som var
intressant för mig som lärare att lyssna till i deras diskussion var den nya kontexten
detta samtal om derivata utspelade sig och hur fart- och förändringsbegreppen användes
i denna nya kontext. Tänk att begreppet derivata ur elevernas perspektiv kan beskrivas
med olika streck eller olika färger när de befinner sig på en konstutställning.
Som avslutande kommentar till geometri- och grafavsnittet väljer jag att återge ett
längre avsnitt ur Maries reflektioner, där hon diskuterar konstverken utifrån ett
perspektiv hon fått under en lektion i filosofi:
På filosofilektionen fick vi i uppdrag att rita det gräsligaste mönster vi kunde komma på.
Slutsatsen av experimentet blev att vår fantasi är inramad! Vi kan inte skapa något nytt! Allt
vad vi målar är klipp och klistrande av saker och mönster vi tidigare sätt.
47
Samma sak gäller med aboriginernas konst. De föremål och former de målar är sådant de sett
i t.ex. naturen. En apelsin/sol blir en cirkel, en kakaoböna en oval, en orm blir en x2 – kurva
o.s.v.
Naturen följer ett visst mönster och vissa är återkommande och målas ner och bildar
konstverk. Det finns matematiska mönster i naturen! I naturen kan dock avvikelser ske
(mutationer). Helt plötsligt blir treklövern en treklöver med fyra blad. Sådana avvikelser
förekommer dock aldrig inom matematiken!
B. Elever som fann matematik i form av talföljder
En grupp om tre elever fann talföljder då de började räkna prickar och cirklar i de olika
konstverken: ”… och så upptäckte vi ett mönster i tavlorna. Talen 4, 5, 8 och 10 tycktes
dyka upp överallt i tavlorna. Var det en slump eller låg det något bakom? ”undrade Lisa
som sedan, mycket engagerat fortsatte att räkna och fann att talföljden fortsatte. Enligt
dessa flickor bestod cirklarna av prickar som växte i antal enligt följande serie: 4, 5,
8,10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 128, 160…
Hon skrev:” Till vår förtjusning upptäckte vi ytterligare ett samband. Efter sju steg har
det första talet 10-dubblats” och denna grupp elever fann även sambandet: ” Om man
multiplicerar två tal som följer efter varandra som t.ex. 4x5 = 20 och 5x8 = 40 så blir
det ett tal som ligger längre fram i talföljden” och de avslutar käckt muntligt: - Inom
detta område behövs mera forskning!!
Denna elevgrupp fick under besöket en för dem annorlunda upplevelse av matematiken.
Det var intressant för mig som lärare att iaktta dem räkna prickar och cirklar och prova
olika räknesätt för att kunna hitta eventuella samband i och mellan de olika tavlorna. I
vanliga fall under lektionstid är en av dessa elever en mycket ambitiös flicka som
exempelvis räknar alla tal i boken för att säkert förstå allt och lyckas i matematik. Enligt
Skemps (1976) beskrivning av matematiklärande och matematisk förståelse skulle jag
beskriva henne som en relationellt lärande elev – alltså en elev som både förstår vad hon
ska göra när och varför. En av de andra eleverna som hon arbetade med denna dag är
mycket olik henne i sitt lärande. Denna andra elev är inte speciellt intresserad av
matematik under våra vanliga matematiklektioner och jag som lärare upplever att hon
föredrar ett instrumentellt lärande (Skemp, 1976). Hon lär sig nya matematiska metoder
relativt snabbt dock utan att reflektera över frågorna varför och när. Denna flicka
kommer under lektionstid med frågor av typen: Kan du inte bara lära oss reglerna så vi
48
kan börja räkna direkt? Hon räknar därefter undan de lättaste uppgifterna i boken och är
nöjd med detta lärande i matematik. Matematiska förklaringar är för henne onödigt
utnyttjande av tiden enligt vad jag som lärare förstår. Samtidigt, även denna flicka
lyckas i sitt matematiklärande utifrån de egna mål hon satt upp för sitt eget
matematiklärande.
Denna sistnämnda flicka visade däremot en stor aktivitet och intensitet under deras
prövande av olika talföljdsteorier på studiebesöket. Detta var mycket intressant för mig
som lärare att iaktta. Hon provade och testade och kom med flera nya uppslag och idéer
om hur antalet prickar och cirklar i konstverken skulle, med olika räknesätt, kunna
kombineras för att hitta matematiska samband mellan dem. Detta är dessutom ingen
matematik vi sysslat med under gymnasiet, däremot förstod jag av deras samtal att söka
mönster var sådant hon tyckt var roligt under tidigare matematikundervisning i
grundskolans mellanstadium. Hade resurser funnits hade jag intervjuat henne för att ta
reda på hur hon uppfattade matematiklärande innan hon började på gymnasiet.
C. Elever som var tveksamma till om det finns matematik i konstverken.
Denna sista grupp elever karaktäriseras av de elever som var tveksamma och ifrågasatte
om det verkligen finns dold matematik i konstverken. Linda skrev exempelvis: Ӏr
detta matte eller avbildas en form som finns i naturen?” Hon svarade själv på sin fråga
genom att skriva så här:
Jag vet inte riktigt, men människan är ju född till en logisk varelse och matte består av logik
så på ett sätt kan man nog en slags matte innan man lär sig ”vår” matematik.
Detta är en intressant kommentar om hon ur sitt perspektiv likställer ”vår”
matematik med skolmatematik. Självklart är det så för henne då det är den kultur
hon växt upp i. Anneli reflekterade på följande vis:
Frågan är om det verkligen ligger matematik bakom konstverken. Matten finns där men när
konstverken gjordes tänkte man antagligen inte på matte…
49
Annelis kommentar sammankopplar jag med Harris (1987) begrepp om
upptining av matematik som är frusen i artefakter. Varför tror Anneli att man
inte tänkte på matematiska problem när konstverket tillverkades? Ändå säger
hon att matematiken finns i konstverket. Problematiken kring begreppet
defrosting/upptining av dold matematik tydliggörs här av Annelis kommentar.
Anneli skrev också då hon studerade tavlan ”Kvinnofigurer”: ”Jag ser mest en
stor noggrannhet, snarare än särskilda matematikkunskaper”. Tora gav följande
kommentar:
Jag stirrade på dom (tavlorna) och försökte komma på det matematiska, vilket var ganska
svårt, och fortsätter: Aboriginerna inspirerades av formerna de såg i naturen, men vad är
matematiken i det?
Tora avslutar sina tankegångar med reflektionen:
Är det jag som är så fjättrad vid det traditionella tänkandet att matematik kräver en fråga,
svarsuppställning och lösning?
Tora visar i denna mening en (nyfunnen?) insikt om att det finns matematik i
olika kulturer och i olika kontexter och frågar sig själv om det är hennes egen
kulturella bakgrund som hindrar henne från att se och uppleva matematik i just
dessa konstverk.
D. Vad har då eleverna inte tagit upp i sina redovisningar?
Denna fråga ställde jag mig då jag studerade elevernas skriftliga svar.
Exempelvis finner jag inga elever som funderat över matematik som liknar
våra läroböckers textuppgifter. Aritmetikuppgifter som de är vana vid i skolan
t.ex. Hur mycket kostade det att tillverka en tavla? Beräkna hur mycket trä som
gick åt till ramen? Hur många procent av tavlan är röd? Denna matematik finns
inte representerad bland svaren hos någon elev. Kanske hade jag fått denna typ
av svar om eleverna inte lyssnat till presentationen av etnomatematik som
föregick besöket på utställningen. Men det kan även finnas andra orsaker.
50
Boaler (1993) diskuterar kontexten i matematikklassrummet och visar exempel på
dikotomin mellan s.k. verklighetsuppgifter, matematikuppgifter ofta satta i en
kontext som ignorerar komplexiteten och omfattningen av elevernas erfarenheter och
övertygelser och som därmed inte alltid upplevs som verklighetsanknuten i elevernas
värld. Då vi nu befann oss utanför klassrumsmiljön med dess inbyggda kultur och
kontext hade eleverna friheten att använda sina egna metoder som ett alternativ till
skolmatematiken. Det var intressant för mig som lärare att notera framför allt
instrumentellt lärande elevers matematiskt fördjupade diskussioner och resonemang.
… if students are encouraged to use their own methods and explore their usefulness, general
mathematical understanding will be deepened. (Boaler, 1993:16)
5.3 Aktionsforskning som metod – en kvalitetsdiskussion.
Feldman (2007) utvecklar i sin artikel ”Validity and quality in action research”
vikten av validitet inom aktionsforskning. Han ställer frågan hur man mäter
validitet inom kvalitativ forskning, speciellt aktionsforskning och ställer detta i
relation till validitet inom kvantitativa studier. Dilemmat Feldman lyfter fram
är att då man söker definitioner av begreppet validitet kopplas dessa ofta till
kvantitativa studier. Feldman citerar en bred, allmänt accepterad definition på
validitet inom kvalitativforskning:
An account is valid or true if it represents accurately those features of the phenomena that it
is intended to describe, explain, or theorise. ( Hammersley in Feldman 2007:23).
Feldmans åsikt är att denna definition av validitet inom kvalitativ forskning öppnar
upp en validitetsdiskussion för andra metoder inom forskning som är kvalitativa och
inte kvantitativa. Feldman påpekar vidare att aktionsforskning inom
undervisningssektorn ska medföra till positiv förändring för lärare, elever och
studenter. Därför skriver Feldman om vikten att tydliggöra i vilken riktning
undervisning skall förändras och det i sig är en politisk och/eller moralisk fråga att ta
ställning till som aktionsforskare. I forskningsrapporten ska det framgå vilka
51
principer som ligger bakom just denna forskningsrapport och hur dessa principer
ledde fram till forskningsresultatet. Jag citerar avslutningen i Feldmans artikel:
…it is when we, as action researchers, pay attention to validity that our action research can
become good. I believe that we should be concerned with validity because action research is
moral and political work. Because our practice affects other people, we have a moral
obligation that any change in our practice is good for others. Action research is also political
wok because it has a normative, teleological component. Not only must the change be good
for those who are affected by the changes, the knowledge embedded in the nature of the
change and why it is good should be presented in ways that affect the political context of
schooling. (Feldman 2007:31)
Forskning bör beskrivas i termer av opartiskhet, förmåga till distans och kritisk
reflektion. Forskaren bör ha en distans till det/de som studeras. Enligt Berlin,
refererad i Rönneman (2004) skiljer sig aktionsforskning markant från det
traditionella forskningsidealet då det är aktionsforskaren som tar initiativ, väcker
frågor och driver sina förändringsförslag. Ett annat problem i sammanhanget som
beskrivs är att händelseförloppet kan vara svårt att förutsäga och kan utvecklas i
oförutsedda riktningar inom en aktionsforskningsprocess. Frågan om reliabilitet blir
därmed problematisk. I denna studie finns uppenbart en relation till eleverna då jag
är den undervisande läraren i klassen. Opartiskheten ligger i att eleverna inte
bedömdes under denna undervisningssekvens. Elevnärvaro var självklart obligatorisk
vilket medförde att alla deltog – både de elever som var intresserade och de som var
ifrågasättande. Detta framgår också av resultatet. Vill man upprepa denna
undersökning får det ske i andra klasser och på andra utställningar då dessa klasser
nu slutat på skolan och utställningen på Arken är stängd. Ändå, det vore en poäng i
att upprepa studien med andra klasser och på andra utställningar eller liknande med
ett matematiskt innehåll som inte tillhör klassrumsvardagen för våra elever och se
vad dessa resultat ger. Det kunde också vara intressant, om det vore möjligt, att visa
t.ex. aboriginernas tavlor i klassrummet på skolan och se om elevernas svar blev
annorlunda. Skulle ovan beskrivna frågor som inte eleverna redovisade i denna
undersökning finnas med om vi befann oss inom skolans undervisningskontext?
52
Kvaliteten inom aktionsforskning är beroende av forskarens reflexiva sensitivitet då all
datainsamling, analys och reflektioner görs av forskaren själv och kommer att påverkas
av forskarens självuppfattning och identitet skriver Somekh (2006). Somekh påpekar att
man som aktionsforskare inom läraryrket måste tydliggöra varför man forskar och
vilken roll som ska tydliggöras – om det är rollen som lärare, undervisningen i sig eller
rentav för egen personlig del. Hon skriver också:
In more recent years I have come to see that conceptualizing the self as socially constructed
and multiple rather than unitary provides many useful insights into the nature of action in
action research. Somekh (2006:15)
53
6. KONKLUSIONER
Målet med denna uppsats har varit att svara på frågan om, och i så fall hur,
etnomatematik kan vara ett möjligt sätt att i en svensk gymnasieklass på
samhällsvetenskapliga programmet uppfylla programmålet
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna fördjupar sin insikt om
hur matematiken har skapats av människor i många olika kulturer och om hur matematiken
utvecklats och fortfarande utvecklas (Skolverket, 2000)
Etnomatematik fungerade mycket bra i denna samhällsvetenskapliga klass för att
uppfylla ovanstående programmål. Etnomatematik förutsätter en insikt och acceptens
för att matematik har skapats av människor i många olika kulturer och fortfarande
utvecklas. Undervisningsmetoden som använts i denna uppsats – att visa bilder och
diskutera matematik ur ett kulturellt och globalt perspektiv via etnomatematik var en
framkomlig väg. Vi genomförde också en studieresa för att studera en annan kulturs
matematik i form av kartor/konst. Ernest (1998) synpunkter på att skolornas
matematikundervisning ska tydliggöra både den synliga och osynliga matematiken i vår
omvärld och att matematikundervisningen bör ge ett kritiskt förhållningssätt till hur
matematik används i samhället och Skovsmoses (1994) intentioner i kritisk
matematikundervisning är också en framkomlig väg för att uppfylla ovanstående
programmål. Eleverna visar efter denna undervisningssekvens en större medvetenhet
om dessa frågor vilket uttryckts emellanåt under matematiklektionerna även lång tid
efteråt.
Att undervisa med en etnomatematisk diskurs kan även vara ett sätt att nå och motivera
några av de elever som inte är intresserade av matematikämnet av den anledningen att
de inte sett eller fått uppleva möjligheterna med matematik utanför skolklassrummet. I
skolverkets (2000) beskrivning av matematikämnets karaktär påpekas det faktum att
matematiken i vårt samhälle inte alltid är synlig för den ovana betraktaren. Att visa
eleverna, eller att låta dem själva söka, matematik i vår omgivning ger dem insikt att
matematik finns, genomsyrar och praktiskt används i samhället. Studiebesöket vi gjorde
visade matematik i andra människors kultur och i konst. Att titta på arkitektur; på
omgivande bebyggelse, torg och parker, att samverka med andra ämnes- och yrkeslärare
54
på skolan och att diskutera ekonomi, miljö och politik ur ett matematiskt perspektiv är
andra förslag på undervisningsteman för att förankra matematikämnet utanför
matematikklassrummet. Som en följd av denna undersökning önskar jag även lyfta
frågan om en diskussion om etnomatematik i en klass på samhällsvetenskapliga
programmet kan vara ett möjligt sätt att uppnå syftet
Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna
analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor,
som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor.
(Skolverket, 2000)
För att uppnå ovanstående syfte ser jag etnomatematik som en möjlig väg, bland
flera andra möjligheter. Diskussionerna vi hade i klassrummet vid
introduktionstillfället berörde definitivt etiska frågor i form av globala frågor,
frågor om global rättvisa och makt och frågor om urbefolkningar och deras
matematik. Intensiteten i diskussionerna tydde på att eleverna upplevde frågorna
som viktiga för dem och ur mitt lärarperspektiv, viktiga även som samhällsfrågor.
Boaler (1993) problematiserar matematiklärares begränsade syn på etnomatematik och
nyttjandet av kulturen i klassrummet på följande sätt:
Unfortunately it seems that mathematics educators’ acceptance of ethnomathematics in the
classroom has taken a restricted view of culture and of cultural mathematics and therefore of
its relevance for all students” (Boaler, 1993:16).
Ur en matematikdidaktisk synvinkel kan undervisningen berikas med diskussioner
intressanta för eleverna med målet att sätta matematiken i en kontext, utanför skolan,
i ett sammanhang för eleverna och därmed vidga deras syn på matematik och dess
tillämpning i enlighet med Skolverkets (2000) intentioner. I andra ämnen i skolan
diskuteras globala frågor och jämförelser görs mellan olika kulturer och länder i
samhälls-, sociala-, historiska-, filosofiska-, språk- och religionsämnen. Detta borde
vara av intresse även i matematikämnet. Kanske som ämnesövergripande teman?
Kulturbegreppet öppnar upp för nya möjligheter och alternativa didaktiska
undervisningsmetoder i undervisningen då det berör andra frågeställningar än de vi
55
traditionellt arbetar med exempelvis i läroböckerna i matematik. D’Ambrosio (1985
och 2006) diskuterar vikten av att utnyttja kulturbegreppet i undervisningen, liksom
Ernest (1998) och Skovsmose och Nielsen (1996). Boaler (1993) har synpunkter på
läroböcker som hon anser ignorerar komplexiteten och omfånget av elevernas
erfarenheter, bakgrund och kultur. Jag ser med glädje framemot att få undervisa med
en lärobok i matematik som tar hänsyn till dessa aspekter fullt ut och inte endast i
form av instuckna små faktarutor som enligt min erfarenhet upplevs mest som
kuriosa av lärare och elever i en bokstyrd matematikundervisning. Undervisnings-
sekvensen som presenterats i denna uppsats visar på ett försök att i
matematikundervisning diskutera frågor i en matematikundervisningskontext likt
kritisk matematikundervisning beskriven av Skovsmose och Nielsen (1996).
Resultatet av denna undervisningssekvens visar på en hög elevaktivitet under den
inledande diskussionen samt att elever som i vanliga fall inte har så hög
ambitionsnivå i matematik visade större intresse och aktivitet både under
introduktionslektionen och vid utställningsbesöket.
Brittiska forskaren Benn (2001) argumenterar för en undervisning i matematik som
genomgående bygger på en social, ekonomisk, politisk och kulturell medvetenhet. En
sådan undervisning skulle enligt Benn transformera matematikundervisningen och göra
matematiken tillgänglig för fler människor. Detta blev min erfarenhet under denna
undervisningssekvens. Jag som lärare registrerade ett nytt, eller annorlunda, positivt
intresse för matematik hos några av de elever som inte brukar visa så stor aktivitet under
ordinarie matematiklektioner i skolan. Det viktiga för barn och ungdomar är att de var
och en får förståelse för att matematik finns och används i deras eget liv och i andras liv,
oberoende av vilken bakgrund de har eller i vilken kultur de är uppväxta. Matematik är
ju absolut inte ett fenomen som bara ska finnas i läroböcker, i skolans mål eller i
huvudet på deras lärare. Etnomatematik i undervisningen öppnade för diskussioner och
reflektioner kring flera av de punkter Ernest (1998) tolkat om vad
matematikundervisning bör innehålla. Geometriska kunskaper, graftolkningar och
derivatabegreppet diskuterades av eleverna på utställningen. Både under
klassrumsdiskussionen och på utställningen visade eleverna att de hade kunskaper om
att det finns flera olika sätt att se på matematiken, de visade en medvetenhet om att
56
matematiskt tänkande används i samhället även om det inte konkret benämns
matematik, de påbörjade diskussioner och att utvärdera matematik ur ett
samhällsperspektiv och därmed började de få ett kritiskt förhållningssätt till matematik i
vår omvärld. Fem av Ernests sju punkter (se s. 19) om vad matematikundervisning ska
innehålla uppfylldes, i olika grad, med denna undervisningssekvens.
Hur kan vi då använda etnomatematik som en väg att uppnå några av Skolverkets mål
och syften för det samhällsvetenskapliga programmet? Mina funderingar är om det är
möjligt att i matematikundervisningen, med den akademiska matematiken (definierad
bl.a. av Barton, 1996 ; D’Ambrosio, 1985 och i delar av Skolverkets (2000) mål för
matematikundervisning) som självklar bas, lägga in undervisningsperioder med en
etnomatematisk undervisningsdiskurs. Denna formulering ska tolkas brett – här får
elever arbeta med, diskutera och lära sig hur matematiken växt fram i olika kulturer,
vilket starkt verktyg matematiken är i samhället och vilken roll matematiken har och har
haft i världen. Idén med detta är att även syften och mål som formuleras som kritiskt
matematiskt tänkande, reflektioner, matematikens roll i samhället, matematik och aktivt
medborgarskap o.s.v. ska uppnås. Teman som kan vara intressanta att fokusera på beror
på undervisningsgruppens sammansättning, mål, ålder o.s.v. På detta vis kan en
etnomatematisk undervisningsdiskurs användas som stöd i planering och genomförande
av undervisning i matematik för att förhoppningsvis göra matematikundervisningen mer
intressant för flera.
Ytterligare en aspekt av undervisning med etnomatematik som tema är att i
klassrummet diskutera den matematik som finns i den eller de identifierade
kulturen/kulturerna i undervisningsgruppen (enligt D’Ambrosios, 1985, definition av
etnomatematik som den matematik man finner i kulturella grupper) och nyttja dessa i
matematikundervisningen. Jag tolkar styrdokumentens formuleringar om
programinfärgning i matematik som ett exempel på detta. Ett annat exempel kan vara att
i matematikundervisningen nyttja de olika erfarenheter som finns i klasser med elever
med olika bakgrund eller från skilda kulturer.
57
Aktionsforskning innebär som tidigare beskrivits en spiral eller en cirkel som fortsätter
efter reflektionsprocessen med nya tänkbara situationer och därmed nya pedagogiska
föreställningar och forskningsfrågor. Några idéer har presenterats tidigare i arbetet. En
pedagogisk föreställning jag ser som angelägen att arbeta vidare med är att planera en
undervisnings- och lärandeperiod med en tydlig etnomatematisk diskurs alternativt att
lyfta fram ett av de matematiska momenten ur kursen och därefter låta eleverna arbeta
med detta moment helt ur ett etnomatematiskt perspektiv. Att därefter följa upp en
sådan undervisningsperiod med utvärdering och bedömning av de matematiska
kunskaperna och även jämföra dessa elevers matematikkunskaper och resultat med
elever som lär samma moment utan en etnomatematisk undervisning vore intressant.
Med matematikkunskaper avses här de kunskaper som Skolverket (2000) definierar som
mål i matematikundervisningen. De frågeställningar som jag önskar studera är att mäta
om, och i så fall hur de matematiska resultaten påverkas eller förändras. Lika intressant
vore det att studera om, och i så fall på vilket sätt elevernas intresse för matematikämnet
och motivation för matematiklärande påverkas. Om motivation och resultat påverkas –
vilka elevers resultat och motivation är det som förändras? I vilken riktning sker
eventuell förändring? Passar denna undervisningsdiskurs elever bättre på vissa
gymnasieprogram än andra, eller bättre i vissa elevgrupper än andra? Kan det finnas en
genusskillnad?
Etnomatematik är ett relativt ungt, men viktigt och spännande forskningsfält att
upptäcka. Det ger nya didaktiska frågor att reflektera över i undervisningen och nya
möjligheter att utforma lektioner i matematik. Min erfarenhet har blivit att
etnomatematik tillfört en ny dimension i min matematikundervisning och därmed gjort
den mer varierad och intressant för fler av mina elever. Etnomatematik ger också
upphov till nya frågeställningar att fundera över vilket jag med glädje ser framemot.
Jag ser många möjligheter med etnomatematik och en etnomatematisk
undervisningsdiskurs som ett komplement till de didaktiska möjligheter och kunskaper
vi redan har i matematikundervisningen ute på våra skolor. Jag hoppas innerligt att fler
lärare provar att arbeta med etnomatematik, och därefter redovisar sina erfarenheter så
vi får möjligheter att jämföra våra resultat. Det kommer att ge nya spännande
diskussioner att se framemot!
58
7. REFERENSLISTA
Andersson, Annica (2007). A Cultural Visit in Mathematics Education. Accepterad vid MACAS 2 – The Second International Symposium of Mathematics and its Connections to the Arts and Sciences i Odense, Denmark 20070529-0531. Arkens Exibitionguide (2006). Dreamtime - Aboriginal art from the Ebes collection 11 february-11 juni 2006. Danmark: Arken, Museum for Moderne Kunst. Ascher, Maria (1998).Ethnomatematics. A Multicultural View of Mathematical Ideas. California, Belmont: Wadsworth, Inc. Barton, Bill (1996). Anthropological Perspectives on Mathematics and Mathematics Education. I A.J. Bishop, International Handbook of Mathematics Education (pp.1035-1054). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Benn, Roseanne (2002). Secret knowledge: Indigenous Australians and learning mathematics in Östergaard, Lene, Wedege, Tine, I Numeracy for Empowerment and democracy? ALM 8. (pp.50-59). Roskilde: Roskilde University printing. Bishop, Alan J (1991). Mathematical Enculturation. A cultural perspective on Mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Boaler, Jo (1993). The role of contexts in mathematical classrooms. For the learning of Mathematics, 13(2),12-17. Croom, Lucille (1997). Mathematics for All Students: Access, Excellence and Equity. I J. Trenatacosta and M. J. Kenney, Multicultural and Gender Equity in the Mathematics Classroom. The Gift of Diversity. 1997 Yearbook (pp.1-9). America: The National Council of Teachers of Mathematics, INC. D’Ambrosio, Ubiritan (1985). Socio-cultural bases for Mathematics Education. Unicamp, Campinas, Brazil. D’Ambrosio, Ubiritan (2001). Ethnomathematics. Link between Traditions and Modernity. Rotterdam: Sence Publichers. D’Ambrosio, Ubiritan (2006). The scenario 30 years after. Hämtad 20070808 från www.math.auckland.ac.nz/~poisard/ICEm3/1.Keynote/D'Ambrosio-plenary-prez..ppt Ebes, Hank (2006). Arken Museum of Modern Art. Dreamtime-Aboriginal art from the Ebes collection 11 february-11 june 2006. Ishöj: Arken. Encyclopedia Brittanica. Hämtad 20070808 från http://search.eb.com.support.mah.se/eb/article-9109827 Ernest, Paul (1998). Why teach mathematics? I J.H.Jensen, M.Niss och T. Wedege (red) Justification and Enrolment Problems in Education Involving Mathematics and Physics. Roskilde: Roskilde University Press. Feldman, Allan (2007). Validity and quality in action research. Educational Action Research, 15(1),21-31.
59
FitzSimons, Gail, E. (2000) Mathematics for Vocational and Lifelong Learning: Cultural Diversity and Co-operation in Workplace and Adult Education. In A. Ahmed, H. Williams and J.M. Kraemer, Cultural Diversity in Mathematics Education: CIEAEM 51 (pp97-102). Chichester: Horwood Publishing. Gerdes, Paul (1996). Ethnomathematics and Mathematics Education. I A.J. Bishop, International Handbook of Mathematics Education (pp 909-944). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers Harris, Mary (1987). An Example of Traditional Womens Work as a Mathematics Resource. For the Learning of Mathematics (7, 3) 26-28. FLM Publishing Association, Montreal, Quebec, Canada. Harris, Pam (1991). Mathematics in a cultural context. Aboriginal perspectives on space, time and money. Geelong: Deakin University Press. Knijnik, Gelsa (1999). Ethnomathematics and the Brazilian Landless People Education. ZDM 99:3. Hämtad 20070514 från http://www.emis.de/journals/ZDM/zdm993a3.pdf Knijnik, Gelsa (2006). Ethnomathematics and the Brazilian Landless People Education. Föreläsning vid ICEM-3 I Auckland, New Zealand 20060215. Abstract från denna föreläsning finns 20070512 att hämta på ICEM-3s hemsida: http://www.math.auckland.ac.nz/~poisard/ICEm3/1.Keynote/Knijnik-plenary-prez.pdf Lean, Glendon (1992). Countingsystems of Papua New Guinea and Oceania. Thesis submitted toward fulfillment of the degree of doctor of Philosophy. Papua New Guinea, University of Technoligy. Hämtad 20070512 från http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm Lipka, Jerry, Yanez, Evelyn and Andrew-Ihrke, Dora (2006). A Two Way Process for Developing Culturally Based Math: Examples from Math in a Cultural Context. For Submission to the Third International Conference on Ethnomathematics New Zealand, February 2006. Hämtad 20070220 från http://www.math.auckland.ac.nz Mellin-Olsen, Stieg. (1987). The Politics of Mathematical Education. Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers. Mertens, Donna M. (2005). Research and Evaluation in Education and Psychology: Integrating Diversity with Quantitative, Qualitative and Mixed Methods, 2nd Edition. Thousand Oaks: Sage Publications, Inc. Niss, Mogens (1996). Goals of Mathematics Teaching. I A.J. Bishop et al (red). International Handbook of Mathematics Education (pp 11-48). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Nationalencyklopedin. Hämtad 20070212 och 20070808 från www.ne.se/ Nunes, Terezinha; Schliemann; Analucia D; Carraher, David W (1993). Street mathematics and schoolmathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Owens, Kay: 2001. Indigenous Mathematics – A Rich Diversity. I Matehematics: Shaping Australia. Proceedings of the Eighteenth Biennal Conference of the Australian Associaltion of Mathematics Teachers Inc, pp 151-167.
60
Robson, Colin (2002). Real World Research, 2nd Edition. Oxford: Blackwell Publishing. Rönnerman, Karin (2004). Aktionsforskning i praktiken – erfarenheter och reflektioner. Lund: Studentlitteratur. Skemp, Richard R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics teaching, Bulletin of the association of Teachers of Mathematics,77, 20-26. Skolverket (2000). Matematikämnet på samhällsvetenskapliga programmet. Mål att sträva mot. Hämtad 20070314 från www.skolverket.se. Skovsmose, Ole (1994). Towards a philosophy of critical mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Skovsmose, Ole; Borba, Marcelo (2000). Research Methodology and Critical Mathematics Education. Roskilde: Centre for Research in Learning Mathematics. Skovsmose, Ole, Nielsen, Lene (1996). Critical Mathematics Education. I A. J. Bishop. International Handbook of Mathematics Education (pp 1257-1288). Dordrecht: Kluwer Academic Publichers. Somekh, Bridget (2006). Action Research: a Methodology for Change and Development. Glasgow: Bell & Bain Ltd. The Oxford Companion to Australian History. Hämtad 20061025 från http://www.oxfordreference.com University of Auckland (1988). TANE-NUI-A-RANGI. Auckland: University Printing Services Ltd. Wedege, Tine (red); J.H.Jensen; M.Niss (1998). Justification and Enrolment Problems in Education Involving Mathematics and Physics. Roskilde: Roskilde University Press. Wedege, Tine (2000). Matematikviden og teknologiske kompetencer hos kortuddannede voksne. Roskilde: IMFUFA. Wedege, Tine (2006). Hvorfor stave problematik med q? - hvad, hvordan og hvorfor i matematikkens didaktik. Kapitel 16 i Skovsmose, O. og Blomhøj, M. (red.), Kunne det tænkes? - om matematiklæring. København: Malling Beck.