étodos uméricos - ufsj.edu.br · • Dois zeros do polinômio de grau 2 em v ... 2]. • Raiz da...
Transcript of étodos uméricos - ufsj.edu.br · • Dois zeros do polinômio de grau 2 em v ... 2]. • Raiz da...
Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
• No cálculo das raizes baseado na aproximação da função f(x) por umPI de grau 1, a estimativa da raiz é o ponto onde a reta intercepta oeixo das abscissas.
• Estimativa pode ser ainda melhor utilizando um polinômio de grau 2.
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
1 – Método de Muller:
• Consiste em aproximar f(x), na vizinhança da raiz [x0, x2], porum polinômio quadrático.
• Polinômio construído de modo a passar pelos três pontos decoordenadas [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] e [x2, f(x2)].
• O zero do polinômio usado como uma estimativa da raiz de f(x) = 0.
• Processo é repetido usando sempre os três pontos mais próximosda raiz.
• Dados os três pontos de coordenadas:
• Polinômio do segundo grau
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
• Definindo
• Sistema linear em termos das incógnitas a e b
• Solução
• sendo r = h1/h2 e
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
• Dois zeros do polinômio de grau 2 em v
• Para ser obtida a raiz mais próxima de xi-1, o sinal na expressão deveser escolhido de modo a tornar o numerador o menor possível.
• Em vista de v = x-xi-1, a próxima estimativa da raiz de f(x) = 0 é
• Na próxima iteração, devem ser utilizados os três pontos maispróximos de .
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 0.001,sabendo-se que [-1, 2].
• Raiz da equação é
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [10, 12].
• Raiz da equação é
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
2 – Método de van Wijngaarden-Dekker-Brent (vWDB):
• Resultado da combinação da interpolação inversa quadrática e dabisseção.
• Implementados de forma a garantir que a raiz continue sempreisolada.
• Na interpolação quadrática, a forma analítica de um polinômio P2(x) f(x) = y é determinada a partir de três pontos de coordenadas
• Para obter um valor aproximado de f(t), basta avaliar P2(t).
• Na interpolação inversa quadrática, o PI de grau 2, 2(y) f-1(y) = x,é construído a partir dos pontos de coordenadas
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
• Para ter um valor aproximado de f-1(z) é necessário avaliar 2(z).
• Utilizando o polinômio de Lagrange 2(y) é:
• Como y = f(x) x = f-1(y), então uma aproximação da raiz de f(x) =0 é o ponto de abscissa correspondente à f-1(0).
• Esta aproximação é dada por x = 2(0).
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
Exemplo: Calcular a menor raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [-5, -3].
• A menor raiz da equação é
Métodos Baseados em Aproximação Quadrática
Exemplo: Calcular a raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [10, 12].
• A raiz procurada é
• A convergência pelo método é garantida desde que haja uma raiz nointervalo.
• Esquema robusto e eficiente.
Métodos Baseados em Tangente
• Exceto o método da Bisseção, os outros são uma aproximação def(x) por polinômios lineares e quadráticos.
• Métodos baseados no cálculo da tangente à curva de f(x): Métodode Newton e Método de Schröder.
Métodos Baseados em Tangente
• Seja a única raiz de f(x) = 0 no intervalo [a, b].
• Seja xk uma aproximação desta raiz sendo que x0 [a, b].
• As derivadas f’(x) e f’’(x) devem existir, ser contínuas e com sinalconstante neste intervalo.
• Geometricamente o método de Newton é equivalente a aproximar umarco da curva por uma reta tangente traçada a partir de um pontoda curva.
• Seja a curva a seguir na qual:
1 – Método de Newton:
Métodos Baseados em Tangente• A fórmula de Newton também pode ser obtida analiticamente:
tal que k tenha um valor pequeno.
• Fazendo uma expansão em série de Taylor
• Substituindo essa correção
• Pela figura, a sequência produzida convergirá para a raiz se o valorinicial for x0 = b.
• Processo pode não convergir se x0 = a, pois se terá x’1 [a, b].
• Escolha do valor inicial deve garantir a convergência.
Métodos Baseados em Tangente• Teorema (Convergência)
Se f(a)f(b) < 0, e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e preservarem o sinalem [a, b], então partindo da aproximação inicial x0 [a, b] tal que
é possível construir uma sequência {xi} que convirja para a raiz def(x) = 0.
• Valor inicial x0 deve ser um ponto no qual a função tenha o mesmosinal de sua derivada segunda.
• Se f’’(x0) > 0, então x0 é tal que f(x0) > 0.
• Se f’’(x0) < 0, então f(x0) < 0.
Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular a maior raiz da função a seguir com 10-5.
• Sabe-se que [2, 4], f(2) < 0 e f(4) > 0.
• As derivadas são:
• Valor inicial: x0 = 4, pois P(4)P’’(4) > 0.
Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular uma raiz positiva da função a seguir com 10-5.
• Esboço da curva: [1, 2], f(1) > 0 e f(2) < 0.
Métodos Baseados em Tangente• As derivadas são:
• Valor inicial: x0 = 2, pois P(2)P’’(2) > 0.
• Raiz da equação é:
Métodos Baseados em Tangente1 – Método de Schröder:
• Método de Newton apresenta convergência linear quando uma raiztem multiplicidade m > 1, pois:
• pela fórmula
• à medida que
• Uma modificação simples permite o cálculo de uma raiz demultiplicidade m
Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular a raiz da função a seguir com 10-5 e demultiplicidade m = 3.
• Esboço da curva: [0, 2]
Métodos Baseados em Tangente• As derivadas são:
• Valor inicial: x0 = 2, pois P(2)P’’(2) > 0.
• Raiz da equação é:
• Método de Newton gasta 27 iterações para calcular esta raiz com amesma tolerância 10-5 .
• Cinco equações e intervalo que isola a raiz
• Utilizados o mesmo número máximo de iterações (500), tolerância (= 10-10).
• Para o método de Newton, x0 foi escolhido como o ponto médio dointervalo dado.
Comparação dos Métodos
Comparação dos Métodos• Bisseção mostrou sua robustez, pois não falhou, apesar de não ser o
mais eficiente.
• Secante, embora seja rápida, encontrou uma raiz fora do intervalodado.
• Regula falsi apresentou uma convergência muito lenta e falhou trêsvezes.
• Pégaso, além de ser robusto, foi competitivo com relação ao vanWijngaarden-Dekker-Brent.
• Muller não foi robusto, embora eficiciente, pois falhou nos casosonde a raiz possui multiplicidade.
• Van Wijngaarden-Dekker-Brent foi robusto, mas também foi menoseficiente na presença de multiplicidade.
• Schroder é uma efetiva modificação do método de Newton paraevitar problemas com raízes de multiplicidade.