Bydgoszcz, 27 kwietnia 2017 r. godz. 9.00.

Etap szkolny XVII Kujawsko-Pomorskich Zawodów Matematycznych

im. Mariana Rejewskiego uczniów klas I liceów ogólnokształcących.

Zadanie 1. Podzielność ze wszystkimi cyframi. Udowodnić, że liczba

2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9!

jest podzielna przez 10.

Zadanie 2. Romb z wysokościami. W rombie ABCD o boku długości 2 i kącie przy

wierzchołku A równym 60o poprowadzono wysokości CM i DK. Obliczyć

długość odcinka MK.

Zadanie 3. Układ równań z liczbami całkowitymi. Rozwiązać układ równań

𝑎𝑏𝑐 − 𝑎 = 20𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 = 27𝑎𝑏𝑐 − 𝑐 = 29

w liczbach całkowitych dodatnich a, b i c.

Zadanie 4. Trójkąt z okręgiem i styczną. Dany jest trójkąt ABC. Dwusieczne kąta ACB i

jego kąta zewnętrznego przecinają prostą AB w punktach P i Q, a punkt S jest

środkiem odcinka PQ. Udowodnić, że prosta SC jest styczną do okręgu opisanego

na trójkącie ABC.

Bydgoszcz, 27 kwietnia 2017 r. godz. 9.00.

Etap szkolny XVII Kujawsko-Pomorskich Zawodów Matematycznych

im. Mariana Rejewskiego uczniów klas II liceów ogólnokształcących.

Zadanie 1. Równanie z parametrem. Wyznaczyć zbiór liczb rzeczywistych m, dla których

równanie

(𝑚 − 17)𝑥! − 𝑚! − 17 𝑥 +𝑚! − 8𝑚 + 16 = 0

ma dwa pierwiastki różnych znaków.

Zadanie 2. Podzielność z dużymi liczbami. Wykazać, że liczba

1111!!!! + 2112!"" + 3113!""! + 4114!"" + 5115!""! + 6116!"" + 7117!""! + 8118!"" + 9119!""!

jest podzielna przez 5.

Zadanie 3. Trapez z okręgiem. W trapezie o podstawach długości 45 i 15 ramiona mają

długość 18 i 24. Znaleźć promień okręgu stycznego do mniejszej podstawy tego

trapezu i prostych zawierających jego ramiona.

Zadanie 4. Układ równań z liczbami całkowitymi. Rozwiązać układ równań

𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""# − 𝑥! = 2017𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""# − 𝑥! = 2015𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""# − 𝑥! = 2013

…𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""# − 𝑥!""# = 3𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""# − 𝑥!""# = 1

w liczbach całkowitych 𝑥!𝑥!𝑥!… 𝑥!""#.