ESTUDO NUMÉRICO DO ESCOAMENTO AO REDOR...
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ESTUDO NUMÉRICO DO ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA TORRE
ANEMOMÉTRICA UTILIZANDO O MÉTODO DE VÓRTICES: COMPARAÇÃO
COM A IEC 61400-12-1
Rodrigo Rodrigues de Souza Pereira
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da
Universidade Federal do Rio de Janeiro como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro Mecânico.
Professor: D. Sc., Roney Leon Thompson
Rio de Janeiro
Setembro de 2019
ESTUDO NUMÉRICO DO ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA TORRE
ANEMOMÉTRICA UTILIZANDO O MÉTODO DE VÓRTICES: COMPARAÇÃO
COM A IEC 61400-12-1
Rodrigo Rodrigues de Souza Pereira
PROJETO DE GRADUAÇÃO APRESENTADO AO CURSO DE ENGENHARIA
MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À
OBTENÇÃO DO TÍTULO DE ENGENHEIRO MECÂNICO.
Examinada por:
_______________________________________________
Prof., Roney Leon Thompson, D. Sc.
_______________________________________________
Vanessa Gonçalves Guedes , D. Sc.
_______________________________________________
Prof., Gustavo Cesar Rachid Bodstein, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
SETEMBRO DE 2019
iii
Pereira, Rodrigo Rodrigues de Souza
Estudo Numérico do Escoamento ao Redor de uma Torre
Anemométrica Utilizando o Método de Vórtices:
Comparação com a IEC 61400-12-1/ Rodrigo Rodrigues de
Souza Pereira – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica,
2019.
XII, 65 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Roney Leon Thompson
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Mecânica, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 61-65.
1.Escoamento Atmosférico 2.Torre Anemométrica
3.Método de Vórtices Discretos 4.Método dos Painéis 5.IEC
61400-12-1. I. Thompson, Roney Leon. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Programa de
Engenharia Mecânica. III. Estudo Numérico do Escoamento
ao Redor de uma Torre Anemométrica Utilizando o Método
de Vórtices: Comparação com a IEC 61400-12-1.
iv
AGRADECIMENTOS
Fui criado em uma família que trabalhava na indústria de óleo e gás – meu avô
paterno trabalhou na Shell e na Petrobras e, em seguida, ambos os meus pais
trabalharam para a Petrobras. Por esse motivo, não só em encontros familiares, mas
também em eventos com amigos de meus parentes, os assuntos normalmente
perpassavam petróleo e energia. Foi somente no início dos anos 2000, quando minha
mãe passou a se envolver em projetos de arquitetura na empresa com foco no padrão
LEED (Leadership in Energy and Environmental Design), que tive meu primeiro
contato com sustentabilidade. À medida que aprofundava meus conhecimentos em
energia e sustentabilidade, entendi que esses temas são interdependentes e que poderia
usar meus conhecimentos em engenharia para ajudar a encontrar soluções sustentáveis
para atendimento da demanda energética por meio do uso de energia renováveis.
Em julho de 2016, iniciei um estágio em pesquisa no CEPEL (Centro de
Pesquisas de Energia Elétrica da Eletrobras), onde trabalhei por 2 anos ajudando a
equipe do atual Departamento de Materiais, Eficiência Energética e Geração
Complementara (DME) a otimizar parques eólicos, resultando numa melhor
distribuição das turbinas que levaram a ganhos significativos para as empresas
controladoras e para a indústria como um todo.
Esses anos foram formativos no meu desenvolvimento profissional, adicionando a
pesquisa no meu rol de paixões: nesse período, ajudei na produção de 6 artigos, muitos
dos quais foram apresentados em conferências de energia pelo Brasil. Esse trabalho foi
a inspiração para usar meus anos estudando, pesquisando e trabalhando com energias
renováveis para analisar como otimizar a geração de energia eólica, tema sobre o qual
me debrucei para desenvolver o trabalho a seguir.
Portanto, agradeço a minha família, a meus pais – Fernando e Christina – e meus
irmãos – Guilherme, Leonardo, Michelle e Bianca – pela educação e apoio dado ao
longo deste tempo. Agradeço aos meus colegas de faculdade, em especial ao Daniel
Agnese Ramos, pelo esclarecimento de dúvidas sobre o mercado energia eólica.
Agradeço aos colegas do Cepel e à D.Sc. Vanessa Guedes Gonçalves pela orientação e
conhecimentos ao longo do estágio e do desenvolvimento deste trabalho. Por fim,
agradeço aos professores do Programa de Engenharia Mecânica da UFRJ pelos
ensinamentos ao longo do curso e ao Prof. D.Sc. Roney Leon Thompson pela
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentada à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ESTUDO NUMÉRICO DO ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA TORRE
ANEMOMÉTRICA UTILIZANDO O MÉTODO DE VÓRTICES: COMPARAÇÃO
COM A IEC 61400-12-1
Rodrigo Rodrigues de Souza Pereira
Setembro/2019
Orientador: Roney Leon Thompson
Curso: Engenharia Mecânica
Este trabalho utilizou o método de vórtices discretos associado ao método dos painéis
com singularidade constante, para simular numericamente o escoamento incompressível
bidimensional ao redor de um cilindro triangular. Após a determinação de hipóteses
simplificadoras e de condições de não-escorregamento e impenetrabilidade no corpo, o
algoritmo lagrangiano de convecção e difusão dos vórtices com avanço de 2ª ordem de
Adam-Bashfotth foi comparado a resultados experimentais presentes na literatura.
Utilizou-se de um cilindro retangular para validação pela existência de um maior
número de trabalhos na literatura acadêmica e pela presença de cantos vivos similares
ao cilindro triangular. A motivação para o estudo do escoamento ao redor do cilindro
triangular é o fato de que esta geometria se aproxima de torres treliçadas utilizadas em
campanhas de medição de vento de parques eólicos. Os resultados obtidos são
comparados com os resultados apresentados na norma IEC 61400-12-1.
vii
Graduation Project’s abstract presented to Polytechnic School/UFRJ as a mandatory
requirement for obtaining the title of Mechanical Engineer.
NUMERICAL STUDY OF THE ATMOSFERIC FLOW AROUND ANEMOMETRIC
TOWERS BY USING THE VORTEX METHOD: A COMPARISON WITH IEC
61400-12-1
Rodrigo Rodrigues de Souza Pereira
September/2019
Advisor: Roney Leon Thompson
Course: Mechanical Engineering
This study used the discrete vortex method associated with the panel method to with
constant singularity to simulate an incompressible, bidimensional flow past a triangular
cylinder. Firstly, simplifying hypothesis, no slip and impenetrability conditions were
considered to form the lagrangean algorithm with vortex convection and diffusion and a
two-step Adam-Bashfotth method. The results were compared to experimental academic
results. The validation geometry chosen was the rectangular cylinder due to its sharp
corners and its frequency in the academic literature. This study was motivated by the
resemblance of an anemometric tower used to measure wind speed campaigns and a
triangular cylinder. The final results were then compared to the IEC 61400-12-1.
viii
SUMÁRIO
1 Introdução .................................................................................................... 13
1.1 MOTIVAÇÃO ................................................................................................................ 13
2 Revisão Bibliográfica .................................................................................. 16
3 Metodologia ................................................................................................. 18
3.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................... 19
3.1.1 Domínio ....................................................................................................................................... 19
3.1.2 Hipóteses simplificadoras ........................................................................................................... 20
3.2 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO ................................................................ 21
3.2.1 Adimensionalização do problema de valor de Contorno ........................................................... 22
3.2.2 Equação do Transporte da Vorticidade ...................................................................................... 23
3.2.3 Método de Vórtices Discretos (MVD) ......................................................................................... 24
3.2.4 Método dos Painéis .................................................................................................................... 27
3.2.4.1 Escoamento Potencial ............................................................................................................ 29
3.2.4.2 Velocidades Induzidas............................................................................................................. 31
3.2.4.3 Somatório do Escoamento Incidente com as Velocidades Induzidas..................................... 34
3.2.4.4 Condição de impenetrabilidade e de não-escorregamento ................................................... 36
3.2.5 Implementação Numérica .......................................................................................................... 36
3.2.5.1 Discretização do Corpo ........................................................................................................... 37
3.2.5.2 Cálculo da Matriz de Influência .............................................................................................. 38
3.2.5.3 Geração de Vorticidade .......................................................................................................... 38
3.2.5.4 Convecção dos Vórtices .......................................................................................................... 38
3.2.5.5 Reflexão de Vórtices ............................................................................................................... 39
3.2.5.6 Difusão dos Vórtices ............................................................................................................... 39
3.2.5.7 Cálculo do Coeficiente de Pressão sobre o Corpo .................................................................. 40
3.2.5.8 Cálculo de Forças sobre o Corpo ............................................................................................ 40
3.2.5.9 Avanço no Tempo ................................................................................................................... 40
3.2.5.10 Conferência de Critérios de Parada ........................................................................................ 41
4 Resultados .................................................................................................... 42
ix
4.1 VALIDAÇÃO COM O CILINDRO DE SEÇÃO RETANGULAR .............................. 42
4.2 RESULTADOS PARA O CILINDRO DE SEÇÃO TRIANGULAR ............................ 47
4.2.1 CASO I – Seção a 0° ..................................................................................................................... 48
4.2.2 CASO II – Seção a 30° .................................................................................................................. 51
4.2.3 CASO III – Seção a 60° ................................................................................................................. 54
5 Comparação e Discussão ............................................................................ 57
6 Conclusão ..................................................................................................... 59
7 Referências ................................................................................................... 61
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Geometria e região fluida .............................................................................. 20 Figura 2 – Vórtice circular ............................................................................................. 25
Figura 3 – Vórtices de Lamb .......................................................................................... 26 Figura 4 – Pontos para a formação de painéis ................................................................ 27 Figura 5 – Definição dos pontos de controle e dos pontos de geração de vórtices ........ 28 Figura 6 – Rotação do corpo em torno da origem .......................................................... 28
Figura 7 – Grandezas para o calculo de 𝐼𝑓𝑛 e 𝐼𝑓𝜏 ......................................................... 33 Figura 8 – Fluxograma do algoritmo implementado ...................................................... 37 Figura 9 – Discretização do cilindro retangular e seus pontos de controle .................... 42 Figura 10 – Valores de Cp ao redor do corpo para um cilindro circular: (a) simulação
numérica realizada (b) experimental (LEE, 1975) ......................................................... 43
Figura 11 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para
o cilindro retangular........................................................................................................ 44
Figura 12 – Linhas de corrente no entorno de um cilindro retangular à Re = 105 obtida
em (TAMURA, OHTA e KUWAHARA, 1990) ............................................................ 45 Figura 13 – Campo de velocidade para simulação do cilindro retangular ..................... 45 Figura 14 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
retangular ........................................................................................................................ 46 Figura 15 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro retangular .............................. 46
Figura 16 – Ângulos de incidência dos cilindro triangulares ......................................... 47 Figura 17 – Resultados experimentais do escoamento ao redor de cilindros triangulares
com variação de ângulos obtido em (IUNGO e BURESTI, 2009) ................................ 48
Figura 18 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 00º ................................................................................................................ 48
Figura 19 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para
o cilindro triangular a 00º ............................................................................................... 49
Figura 20 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 00º ............. 49 Figura 21 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 00º ................................................................................................................ 50 Figura 22 - Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 00º ....................... 50
Figura 23 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para
o cilindro triangular a 30º ............................................................................................... 51 Figura 24 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 30º ................................................................................................................ 51 Figura 25 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 30º ............. 52
Figura 26– Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 30º ................................................................................................................ 52 Figura 27 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 30º ...................... 53 Figura 28 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para
o cilindro triangular a 60º ............................................................................................... 54 Figura 29 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 60º ................................................................................................................ 54
Figura 30 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 60º ............. 55 Figura 31 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 60º ................................................................................................................ 55 Figura 32 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 60º ...................... 56
xi
Figura 33 – Gráfico de comparação entre os Cd’s obtidos e os resultados apresentados
em (IUNGO e BURESTI, 2009) .................................................................................... 57 Figura 34 – Gráfico de comparação entre os Cl’s obtidos e os resultados apresentados
em (IUNGO e BURESTI, 2009) .................................................................................... 57
Figura 35 – Comparação entre simulações: (a) Média temporal da série de simulações a
00º (b) Imagem apresentada na Norma IEC 61400-12-1 .............................................. 59
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Comparação de resultados para o cilindro retangular................................... 44 Tabela 2 – Compilado dos resultados do cilindro retangular para diferentes ângulos ... 58
13
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
A geração de energia em larga escala se desenvolveu, primordialmente, em torno
do uso de combustíveis não renováveis, sendo esse o meio mais usual de suprir nossa
demanda energética. Isso remonta da Revolução Industrial, quando a fonte energética
que impulsionou a automação dos meios de produção era proveniente de um
combustível fóssil: o carvão mineral, que alimentava as primeiras máquinas a vapor
(FOUQUET e PEARSON, 2012). Nos séculos XIX, com o querosene substituindo o
óleo de baleia como a principal fonte de iluminação pública (YERGIN, 2010), e XX,
com a gradual massificação dos motores a combustão e a ascensão da gasolina, elevou-
se o status dos derivados do petróleo, os quais se tornaram as mais importante fontes de
energia (GRUBLER, 2012). Essa dependência ao petróleo impactou todos os setores da
sociedade, sendo responsável por novas dinâmicas geopolíticas, com crises econômicas
nacionais e internacionais (SILVÉRIO e SKLO, 2012), e especulação nos mercados de
commodities (TOKIC, 2010). O uso de combustíveis fósseis também foi responsável
por problemas ambientais ao longo de sua cadeia produtiva, bem como o aumento de
incidência de doenças pulmonares e oftalmológicas (DOCKERY, SCHWARTZ e
SPENGLER, 1992) decorrentes da emissão de poluentes (FINLAYSON-PITTS e
PITTS JR., 1997). Além dessas discussões, outra questão relevante é a previsão do
momento da escassez do petróleo, a chamada previsão do pico de produção mundial do
petróleo – o ponto a partir do qual a produção em novos campos não vai mais
compensar a queda natural de produção nos campos ao redor do mundo ( (HÖÖK,
HIRSCH e ALEKLETT, 2009) e (OWEN, INDERWILDI e KING, 2010)).
Esses debates chamaram a atenção da população, governos e empresas, que viram
o desenvolvimento de novas tecnologias que permitissem a conservação do meio-
ambiente e da nossa saúde como uma necessidade e uma oportunidade de diversificar
seu portfólio energético, sem perder de vista questões fundamentais como viabilidade
econômica e escalabilidade. Apesar do aumento da quantidade de fontes de energia, a
matriz energética mundial ainda tem grande dependência da queima de combustíveis
fósseis. As maiores dificuldades para sua substituição são sua densidade energética, a
14
facilidade logística de transporte e estoque dos derivados de petróleo em forma líquida
ou gasosa, o baixo preço em relação às outras formas não convencionais de energia, e a
infraestrutura desenvolvida ao longo de mais de um século com combustíveis fósseis
em mente.
Porém, graças à demanda pública, à perspectiva de escassez de energias não
renováveis, às preocupações com meio-ambiente e saúde, e ao barateamento de fontes
não convencionais de energia, as energias renováveis vêm se mostrando mais presentes
tanto no meio urbano quanto rural, sendo cada vez mais visadas, como indicado pelos
futuros investimentos mundiais em energias renováveis (IEA, 2017).
Uma forte evidência dessa mudança de paradigma pode ser observada pelo
aumento do interesse por construções sustentáveis, como o de zero-energybuildings
(CELLURA, GUARINO, et al., 2015), e fachadas solares (CAO, HASAN e SIRÉN,
2013), para sistemas off grid. Temos também um aumento da participação de energias
renováveis na matriz energética do mundo e em especial da energia eólica no Brasil,
que por tradição teve um grande foco em geração de energia hidroelétrica e que começa
a explorar seu potencial eólico e solar. O que vemos, então, é o aumento dos
investimentos em energia eólica e, com isso, nos estudos em relação aos melhores locais
para sua produção e maneiras de como otimizar a geração de energia por essa fonte.
Para a definição adequada e desenvolvimento de parques eólicos, medições
anemométricas – após a prospecção de uma área de interesse – e cálculos feitos a partir
dessas medições embasam a escolha adequada do tipo de aerogerador e o melhor layout
do site para produção de energia eólica – com foco na otimização do posicionamento
dessas turbinas para a maximização do retorno sobre o investimento, resultado do valor
do projeto subtraído do seu custo de investimento e, então, dividido pelo próprio custo
de investimento.
Escoamentos ao redor de corpos rombudos são caracterizados pela separação da
camada limite e pela formação de uma generosa esteira atrás do corpo. Esses fenômenos
tornam a previsão do escoamento muito difíceis, e muitas vezes métodos empíricos são
utilizados para obtenção de forças aerodinâmicas. A maioria dos estudos numéricos e
experimentais do escoamento em corpos rombudos se dão ao redor de um cilindro
circular (WISSINK e RODI, 2008). Uma variedade de métodos com e sem malhas
também são usados ( (CHORIN, 1973) e (LEONARD, 1980)). No geral, resultados para
escoamentos incompressíveis ao redor de uma seção transversal de um cilindro
15
triangular com diferentes ângulos de ataque, para um número de Reynolds maior que 1
x 104, são raros na literatura (IUNGO e BURESTI, 2009).
Este trabalho tem como um dos objetivos explorar o potencial de simulações
lagrangeanas bidimensionais incompressíveis ao redor de corpos rombudos, as quais
dispensam o uso de geração de complexas malhas e conseguem simular com sucesso
esse tipo de escoamento turbulento, concentrando a região de cálculo na camada limite e
na esteira viscosa.
O estudo a seguir se baseia no estudo de Guedes (2003), adaptando o modelo
utilizado para descrever os escoamentos ao redor de corpos rombudos, com seções
retangulares, para um modelo que descreva como esses escoamentos se comportam
quando a seção é um triângulo equilátero em diferentes ângulos em relação ao fluxo de
vento. O interesse na geometria escolhida é devido ao fato de o uso da torre treliçada
para medições anemométricas está prevista na norma atual, com padrões de montagem
exigidos estabelecidos pela IEC 61400-12-1. Como a metodologia aplicada não possui
alto tempo computacional devido à suas vantagens citadas, o objetivo é poder realizar
simulações mais detalhadas do escoamento (ao invés de utilizar fórmula empírica
sugerida por norma) em função da direção preferencial do escoamento no local de
interesse, a fim de melhor quantificar as incertezas nas medições de velocidade de vento
em função do posicionamento da torre.
16
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O trabalho apresentado nos próximos capítulos foi constituído a partir de uma
simulação numérica de adaptação própria. Para aferir se tal adaptação condiz com a
realidade física, se faz necessário um melhor entendimento dos casos já estudados e
disponíveis na literatura acadêmica.
Ao iniciar o estudo, deve-se observar o fenômeno físico em um ambiente com
condições controladas para validação de modelos matemáticos que descrevam o
problema. Por isso, de forma a tornar este trabalho inteligível, aborda-se primariamente
trabalhos experimentais.
Aqui estão listados alguns dos principais trabalhos para os quatro casos que serão
apresentados no Capítulo 4 – Resultados. A começar pelo caso utilizado para validação
do modelo numérico – cilindro retangular de razão de aspecto igual à 1 – e pelo caso
que foco é deste trabalho – cilindro triangular.
Rosenhead (1963) trata do desenvolvimento e da estabilidade da camada limite
laminar para escoamentos incompressíveis. Em Rosenhead (1931) tentou-se, pela
primeira vez, a simulação do campo de vorticidade por meio da implementação do
método de vórtices discretos. O problema desta implementação era a divergência que
ocorria após alguns passos de tempo.
Vickery (1966) apresentou um estudo da variação de arrasto e sustentação para
um cilindro retangular de razão de aspecto igual à 1. Neste mesmo trabalho, foram
aplicadas pequenas variações angulares, ideia similar à utilizada neste trabalho para a
seção triangular.
Bearman e Trueman (1972) estudou a possibilidade da redução do coeficiente de
arrasto em cilindro retangulares por meio de um modelo físico bidimensional.
Chorin (1973) traz em seu trabalho um método numérico para a solução das
equações de Navier-Stokes no espaço bidimensional. Este método serve de base para
este trabalho, com a ideia principal da geração e dispersão de vórtices. Neste trabalho
foi utilizado o método do avanço randômico.
Lee (1975) mediu o campo de pressão atuante em um cilindro retangular imerso
em um escoamento uniforme e turbulento e como o aumento da turbulência impacta o
arrasto no corpo.
17
Laneville e Yong (1983) mostraram a visualização de um escoamento médio ao
redor de um cilindro retangular bidimensional. Nele é possível ver uma bolha de
separação na parede do cilindro, bem como a distribuição de vorticidade.
Blevins (1984) dispõe das aplicações do estudo de fluidos para engenharia e
técnicas computacionais. Neste trabalho são demonstradas abordagens para solução das
equações de Navier-Stokes e da camada limite. Ainda neste, Blevins traz medidas de
turbulência e escoamentos potenciais.
O livro de Lewis (1991) aborda algoritmos com as programações de geração de
vorticidade na superfície do corpo e o desprendimento da esteira. Em Lewis (1981), o
Método dos Painéis é utilizado para o Método de Vórtices. Isso facilitou o estudo de
geometrias com maior complexidade.
O trabalho de Tamura, Ohta e Kuwahara (1990) foi usado como referência na
validação do problema. Nele é gerada uma malha radial para visualização das linhas de
corrente no entorno de um cilindro retangular de razão de aspecto 1 imerso em um
fluido com Re = 105.
Norberg (1993) fez diversos experimentos para observar o escoamento que passa
por um cilindro retangular com diferentes razões de aspecto e diferentes ângulos de
incidência.
Chen e Liu (1999) realizou um trabalho similar ao de (NORBERG, 1993), com a
maior diferença entre eles sendo a faixa de número de Re estudada e a exclusividade da
razão de aspecto de 1.
A tese de doutorado de Alonso (2005) trata do estudo de diferentes perfis de
cilindros triangulares com variações angulares. Nele são levantados os coeficiente de
arrasto, de pressão e de sustentação para números de Reynolds entre 104 e 2,6 x 105.
Iungo e Buresti (2009) fizeram um trabalho no qual o foco é aumentar a
quantidade de dados para esta geometria, escassa na literatura. Este estudo experimental
feito com anemometria de fio quente é a comparação utilizada para validar os resultados
numéricos obtidos pelo algoritmo adaptado de Guedes (2003).
18
3 METODOLOGIA
A modelagem matemática utilizada, bem como a implementação númerica-
computacional deste trabalho, foram adaptadas a partir do trabalho original de Guedes
(2003), para escoamentos ao redor de cilindros circulares e cilindros retangulares.
O estudo de escomentos se baseia em duas principais metodologias, experimental
e numérica-computacional. A primeira delas consiste em um ambiente – geralmente em
escala – com condições controladas, onde o estudo do escoamento e a interação entre o
corpo e o fluido é observado para coleta de resultados. Após essa coleta, as conclusões
são realizadas e finalmente as leis são verificadas.
A outra metodologia consiste na implementação numérica de modelos para
representar experimentos. Devido à complexidade de acesso a laboratórios com
condições controladas, à complexidade de corpos estudados e aos avanços
computacionais, essa metodologia se estabeleceu como a mais comum nos dias atuais e
será aplicada desenvolvida neste estudo.
Pode-se apontar quatro critérios para caracterização do método aplicado em
estudos por simulações numéricas, são eles:
Causa x Consequência
Abordagem Euleriana x Lagrangeana
Invariância Galileana x Euclidiana
Dependência x Independência do Usuário
Primeiramente, a diferença entre “Causa” e “Consequência”, como o próprio
nome infere, diz respeito a vorticidade estar ligada a um conjunto de forças ou ser
consequência de um conjunto de forças.
A abordagem Euleriana atenta a região onde ocorrem as vorticidades. Geralmente
é feita com implementação de um sistema de geração de malhas para determinar os nós
de interesse. Já abordagem Lagrangiana acompanha a partícula gerada e percebe seu
desenvolvimento ao longo do tempo.
A invariância Galileana trata do princípio de relatividade, pelo qual há
independência da movimentação de um observador para descrição das leis da natureza,
enquanto a invariância Euclidiana se baseia na dependência do espaço e leva em conta
apenas ângulos e distâncias em sua descrição.
19
Por fim, a dependência do usuário impacta na forma com que o método numérico
será implementado, sendo ajustada a sensibilidade de acordo com os parâmetros
escolhidos de forma empírica pelo usuário.
Esse trabalho tem uma abordagem lagrangeana, com parâmetros inputados pelo
usuário. Nele há dependência do espaço e tem a vorticidade como consequência de um
conjunto de forças provenientes dos pontos gerados a cada iteração.
3.1 MODELAGEM MATEMÁTICA
Primeiramente, apresenta-se a modelagem matemática escolhida para abordar o
problema. Esta modelagem começa pela região de domínio em que se encontra a
geometria e pelas hipóteses simplificadoras e adimensionalizações utilizadas para o
escoamento em questão. Com essas hipóteses estabelecidas, é tratado o Problema de
Valor de Contorno, de onde se obtém a equação de transporte de vorticidade.
Posteriormente, apresenta-se a modelagem numérica-computacional utilizada,
com suas simplificações e adaptações para resolução do problema específico deste
trabalho, cilindros triangulares. Neste trabalho especificamente, escolheu-se por utilizar
o Método dos painéis para modelagem pelo vasto uso em estudos aerodinâmicos de
aerofólios e grande validação na literatura acadêmica (ROY e BANDYOPADHYAY,
2006).
3.1.1 Domínio
Considerou-se um escoamento uniforme para o problema estudado. O sistema de
coordenadas polares foi escolhido como a melhor forma de se analisar as fronteiras da
região fluida: Sc (superfície do corpo) e S∞ (superfície no infinito). Suas fronteiras são
definidas como:
𝑆𝑐 ∶ 𝑟′ = 𝑟′𝑜 (3.1)
S∞: 𝑟′ → ∞ (3.2)
𝑆 = 𝑆𝑐 ∪ S∞ (3.3)
20
Figura 1 – Geometria e região fluida
3.1.2 Hipóteses simplificadoras
Foram consideradas algumas hipóteses simplificadoras para este estudo. São elas:
1 – Hipótese do Contínuo
Essa hipótese estabelece que as propriedades do fluido são continuas, por menor
que seja a resolução estudada. Ou seja, a composição molecular, e seus átomos
discretos, não impacta o movimento do fluido, permitindo este ser estudado através do
cálculo de funções contínuas.
As propriedades atômicas e moleculares são consideradas em outras variáveis
como massa específica e viscosidade.
2 – Fluido newtoniano com viscosidade constante
O fluído tem tensão de cisalhamento diretamente proporcional à taxa de
deformação e viscosidade aparente constante (FOX, PRITCHARD e MCDONALD,
2013).
3 – Fluido incompressível
21
Para velocidades de escoamento muito altas, a massa específica do fluido é
afetada. Isso caracteriza fluidos compressíveis, onde o numero de Mach (Ma = U/c,
onde c é a velocidade do som) é maior que 0,3.
O estudo em questão lida com escoamentos atmosféricos e, portanto, com
velocidades muito abaixo da velocidade do som. Por isso, a hipótese de não alteração da
massa específica pela incompressibilidade do fluido foi utilizada.
4 – Velocidade incidente U constante sobre o corpo
Considerou-se a incidência de um escoamente constante U como modelagem do
escoamento atmosférico na torre anemométrica modelada.
5 – Escoamento bidimensional
Por simplicidade de implementação e pelo Método de Painéis escolhido para
modelagem do corpo, foi considerada apenas uma seção do cilindro estudado e
consequente bidimensionalização do problema.
6 – Região fluida infinita
A região fluida é expansível de acordo com o andamento dos vórtices calculados
para geração de resultados, onde o fator limitante para o tamanho do domínio é a
capacidade de processamento e o tempo da máquina em que a simulação é rodada.
7 – Não há interferência de fatores externos ao corpo
O fenômeno físico foi considerado como sendo afetado única e exclusivamente
pelos métodos elencados neste trabalho, sem que houvesse considerações de fatores do
entorno do corpo que pudessem impactar de outras formas na vorticidade.
3.2 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO
As equações de Navier-Stokes regem o escoamento ao redor de um corpo.
Consistem dos princípios de conservação de massa e da conservação de quantidade de
movimento.
∇′. 𝒖′ = 0 , na região fluida (3.4)
𝐷𝒖′
𝐷𝑡′ = 𝜕𝒖′
𝜕𝑡′ + 𝒖′. ∇′𝒖′ = −1
𝜌∇𝑝′ + 𝜈∇′2
𝒖 (3.5)
O escoamento na superfície do corpo atende a premissa de não escorregamento e
de impenetrabilidade.
22
𝒖′ = 𝒒′ , em 𝑟′ = 𝑟′0 (3.6)
onde q’ é a velocidade da superfície do corpo. Ao se separar a equação 3.6 nas
componentes normal e tangencial, obtém-se:
𝑢′𝒏 = 𝑞′
𝒏 , em 𝑟′ = 𝑟′0 → Condição de Impenetrabilidade (3.7)
𝑢′𝒕 = 𝑞′
𝒕 , em 𝑟′ = 𝑟′0 → Condição de Escorregamento nulo (3.8)
Estando o corpo em repouso com o fluido se movimento a uma velocidade U,
tem-se 𝒒′ = 0 e, portanto:
𝑢𝒏 = 𝒖′. 𝒏 = 0 , em 𝑟′ = 𝑟′0 (3.9)
𝑢𝒕 = 𝒖′. 𝒕 = 0 , em 𝑟′ = 𝑟′0 (3.10)
Com a condição de contorno em 𝑆∞:
|𝒖′| → 𝑈 , em 𝑟′ → ∞ (3.11)
3.2.1 Adimensionalização do problema de valor de Contorno
O escoamento bidimensional é influenciado por grandezas como o comprimento
característico, a massa específica, a viscosidade do fluido e a velocidade do escoamento
incidente. Essas grandezas podem ser adimensionalizadas por:
𝑥 ≡𝑥′
𝑙, comprimento adimensionalizado na direção x (3.12a)
𝑦 ≡ 𝑦′
𝑙, comprimento adimensionalizado na direção y (3.132b)
𝑟 ≡ 𝑟′
𝑙, comprimento adimensionalizado na direção radial (3.12c)
𝑟0(𝜃) ≡ 𝑟0′(𝜃)
𝑙, forma do corpo adimensionalizada (3.12d)
𝑡 ≡ 𝑡′𝑈
𝑙, instante de tempo adimensionalizado (3.12e)
𝑢 ≡𝑢′
𝑈 , componente da velocidade adimensionalizada na direção x (3.12f)
𝑣 ≡ 𝑣′
𝑈, componente da velocidade adimensionalizada na direção (3.12g)
23
𝑝 ≡ 𝑝′
1
2𝜌𝑈2
, instante de tempo adimensionalizado (3.12h)
E tem-se, por fim o problema na região fluida na forma:
∇. 𝒖 = 0 (3.13)
𝐷𝒖
𝐷𝑡=
𝜕𝒖
𝜕𝑡+ 𝒖. ∇𝒖 = −∇𝑝 +
1
𝑅𝑒∇2𝒖 (3.14)
Com condições de impenetrabilidade, de escorregamento nulo e uma imposição
no infinito descritas anteriormente, respectivemente, se apresentam como:
𝑢𝒏 = 𝒖. 𝒏 = 0 (3.15)
𝑢𝒕 = 𝒖. 𝒕 = 0 (3.16)
|𝒖| → 1 , em 𝑟 → ∞ (3.17)
Calcula-se então os coeficientes de arrasto (Cd), de sustentação (Cl) e de Strouhal
(St).
𝐶𝑑 ≡ 𝐷
1
2𝜌𝑈2𝐴
(3.18)
𝐶𝑙 ≡ 𝐿
1
2𝜌𝑈2𝐴
(3.19)
𝑆𝑡 ≡𝑓𝐷
𝑈 (3.20)
Para validação da precisão do método numérico aplicado, os valores de Cd, Cl e St
são calculados ao fim de cada rodada.
3.2.2 Equação do Transporte da Vorticidade
O vetor vorticidade ω’ é definido como:
𝝎′ ≡ ∇′ × 𝐮′ (3.21)
Ao aplicar essa definição nas equações 3.4 e 3.5, o termo da pressão é cortado e a
equação resultante é mostrada a seguir:
24
𝐷𝝎′
𝐷𝑡′ = 𝜕𝝎′
𝜕𝑡′ + 𝒖′. ∇′𝝎′ = 𝝎′. ∇′𝒖′ + 𝜇∇′2𝝎′
(3.22)
Adimensionaliza-se essa equação com as variáveis das equações 3.12a, 3.12f e
𝝎 =𝑙𝝎′
𝑈, e obtem-se a equação de transporte da vorticidade adimensionalizada:
𝐷𝝎
𝐷𝑡=
𝜕𝝎
𝜕𝑡+ 𝒖. ∇𝝎 = 𝝎. ∇𝒖 + 𝜇∇2𝝎 (3.23)
Ao analisar a equação, entende-se o sentido físico das parcelas, tais quais:
𝒖. ∇𝝎 é a variação da vorticidade causada pela convecção.
1
𝑅𝑒∇2𝝎 é a taxa de difusão de vorticidade por ação da viscosidade
𝝎. ∇𝒖 é a taxa de deformação das linha de vorticidade.
Por se tratar de um escoamento bidimensional, tem-se que o valor de 𝝎. ∇𝒖 é
nulo. Portanto, a vorticidade é representada como uma grandeza escalar por estar
sempre perpendicular ao plano de escoamento, conforme a equação 3.24 abaixo:
𝐷𝜔
𝐷𝑡=
𝜕𝜔
𝜕𝑡+ 𝒖. ∇𝜔 = 𝜔. ∇𝒖 +
1
𝑅𝑒∇2𝜔 (3.24)
3.2.3 Método de Vórtices Discretos (MVD)
Para simulação numérica-computacional de vórtices bidimensionais, a serem
comparados com o método utilizado na IEC 61400-12-1, foi utilizado o Método de
Vórtices Discretos (MVD) pela maior simplicidade de implementação quando
comparado a outras metodologias, tais quais o Método de Elementos Finitos ou o
Método de Volumes Finitos, que necessitam de geração de malhas para o cálculo das
grandezas de forma euleriana.
Pode-se então separar a vorticidade em duas regiões. A primeira, no interior do
círculo amarelo de raio 𝜎0 da Figura 2 com valor igual a ω e a área externa ao círculo
com valor zero
25
Figura 2 – Vórtice circular
Pelo Teorema de Stokes, tem-se que:
∫ (∇ × 𝒒). 𝒏𝑑𝑆𝑆
= ∮ 𝒒𝑑𝑠𝐶
(3.25)
Ao resolvermos o Teorema de Stokes, obtém-se duas equações que variam de
acordo com o raio 𝑟∗ < 𝜎0 < 𝑟, com q e q* constantes no entorno da circunferência
para um mesmo r.
𝑞∗ =1
2𝝎𝒓∗, 𝑟∗ ≤ 𝜎0 (3.26)
𝑞 =𝝎𝜎0
2
2𝒓, 𝑟 > 𝜎0 (3.27)
Neste trabalho opta-se pelo modelo do vórtice de Lamb. Seu modelo elimina
singularidades e tornar as funções velocidade e vorticidade contínuas conforme
representado na Figura 3.
q*
r*
26
Figura 3 – Vórtices de Lamb
O potencial complexo adimensional Ѱ pode ser definido como a soma da parte
real composta pela função corrente ψ com a parte imaginária composta pelo potencial
de velocidade ϕ.
A velocidade complexa externa ao vórtice e a velocidade induzida por ele em um
ponto 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 pode ser escrita como:
𝑄 = 𝑞𝑒−𝑖(𝜃+𝜋
2) (3.28)
Define-se, também, as grandezas adimensionais: a intensidade do vórtice como
𝜅 =𝝎𝜎0
2
2 e a circulação como 𝛤 = 2𝜋𝜅.
Com essas definições, resolve-se a equação:
𝑄 =𝑑Ѱ
𝑑𝑧 (3.29)
E obtém-se a velocidade complexa induzida por um sistema de 𝑁𝑣 vórtices de
intensidade 𝛤𝜅, onde k=1, 2, 3, ..., 𝑁𝑣:
𝑄 = 𝑢 − 𝑖𝑣 = −𝑖
2𝜋∑
𝛤𝜅
𝑧−𝑧𝜅
𝑁𝑣𝜅=1 (3.30)
Na metodologia implementada neste trabalho, os vórtices são gerados de acordo
com a geometria e a discretização do corpo rombudo estudado por meio do Método dos
Painéis. Os vórtices gerados na superfície do corpo se deslocam por convecção e
difusão – caracterizando o método como puramente lagrangiano – e modelam o campo
de velocidade.
27
3.2.4 Método dos Painéis
Esta seção descreve a forma de desratização escolhida para o corpo imerso no
fluido. O Método dos Painéis empregado neste trabalho divide a fronteira onde ocorre a
interação fluido-corpo em painéis geradores de vórtices. Esta divisão é feita de forma
não uniforme a partir do número par de vórtices Nvgfc por iteração para cada face da
seção estudada. Com as arestas da seção definidas, geram-se pontos com distâncias
inversamente proporcionais a 2n a partir do ponto anterior (que serão os limites do
painéis) – a começar pelo centro da face e terminar em uma de suas arestas –, onde n é
uma lista dos números naturais não nulos até (𝑁𝑣𝑔𝑓𝑐 2) − 1⁄ .
Para exemplificação, na Figura 4 abaixo foi considerada uma geometria com face
de tamanho 2𝑥. Observa-se a formação dos pontos que definem a dimensão do paínel a
partir do centro da face com a proporcionalidade mencionada.
Figura 4 – Pontos para a formação de painéis
Após a formação de todos os pontos e painéis na face, é atribuído um ponto de
controle ao centro de cada painel gerado. Desses pontos de controle é dada uma
pequena distância ε, no sentido do vetor normal ao painel, onde serão gerados os
vórtices discretos a cada passo de tempo, conforme mencionado em Guedes (2003) e
demonstrado em um polígono arbitrário na Figura 5 abaixo.
28
Figura 5 – Definição dos pontos de controle e dos pontos de geração de vórtices
Como o foco deste trabalho é o estudo do escoamento ao redor de um corpo
rombudo, pode-se rotacionar a incidência do escoamento ou o corpo em si. Pelo fato das
duas maneiras apresentarem a mesma diferença angular relativa, escolheu-se por manter
a direção do escoamento de intensidade U constante, e rotacionar o corpo imerso no
fluido por um ângulo α em torno da origem, conforme Figura 6.
Figura 6 – Rotação do corpo em torno da origem
29
Dentre os diversos métodos para o cálculo de escoamento potencial, o escolhido
para este trabalho foi o Método dos Painéis. Algumas das vantagens deste método,
proveniente do Método de Elementos de Contorno (BREBBIA, TELLES e WROBEL,
1984), são a facilidade na aplicação para diversas geometrias e a comprovação da
representatividade dos resultados indicados na literatura acadêmica. Esta
representatividade, vinculada ao Método de Vórtices Discretos (MVD) descrita na seção
anterior, pode ser percebida pelos trabalhos de Lewis (1991), Guedes (2003), Alcântara
Pereira (1999) e Silva (2005).
O corpo discretizado por painéis de diferentes dimensões e imerso no fluido é
representado por uma série de singularidades com distribuição constante de fontes. Para
desenvolver a metodologia empregada, esta capítulo foi dividido em: cálculo do
escoamento potencial; cálculo das velocidades induzidas; somatório do escoamento
incidente com as velocidades induzidas; imposição das condições de não-
escorregamento e impenetrabilidade.
3.2.4.1 Escoamento Potencial
Conforme descrito em Batchelor (1967), o escoamento rotacional possui um
campo de velocidade associado que pode ser descrito como o gradiente de uma função
escalar 𝜙, denominado Potencial de Velocidade. Para melhor entendimento deste
potencial de velocidade, considere dois pontos a e b distantes um comprimento s um do
outro em um plano bidimensional. Pode-se definir uma intensidade 𝜆 variante de
acordo com o comprimento. Ao se pensar em um comprimento infinitesimal ds tem-se
que o potencial de velocidade induzido em um ponto por uma fonte de comprimento ds
é descrito por Anderson (1985):
𝑑𝜙 =𝜆𝑑𝑠
2𝜋ln 𝑟 (3.31)
Portanto, para todo o comprimento de corpo que se pretende encontrar o potencial
de velocidade induzido pela distribuição de fontes, deve-se integrar a formulação acima
(3.51) nos limites a e b que compõem o comprimento s.
𝜙(𝑥, 𝑦) = ∫𝜆𝑑𝑠
2𝜋ln 𝑟
𝑏
𝑎 (3.32)
30
Estende-se este conceito para um corpo arbitrário e considera-se a seção de tal
corpo como sendo o plano bidimensional no qual se calcula o potencial de velocidade.
Para este corpo arbitrário existem np painéis que discretizam o perímetro formado, onde
cada painel possui uma intensidade de fonte diferente (𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑗 , … , 𝜆𝑛𝑝). Como o
corpo está imerso em um fluido com escoamento uniforme U (conforme descrito nas
hipóteses simplificadoras) e a superfície do corpo é coincidente com uma linha de
corrente do escoamento resultante, sem que haja escoamento no interior do corpo, o
problema se resume a encontrar valores apropriados para todos 𝜆𝑗 , de modo a atender a
as condições de impenetrabilidade e não escorregamento nos pontos de controle.
Para um ponto P(x,y) dentro do domínio estudado, tem-se 𝑟𝑝𝑗 =
√(𝑥 − 𝑥𝑗)2
+ (𝑦 − 𝑦𝑗)2 como a distância de qualquer ponto de controle do painel j
para este ponto P.
O potencial de velocidade induzido pelo painel j neste ponto P é dado por:
𝛥𝜙𝑗 =𝜆𝑗
2𝜋∫ 𝑙𝑛 𝑟𝑝𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗 (3.33)
Como a singularidade escolhida para o estudo tem distribuição constante de
fontes, o potencial é impactado apenas pelo painel j em questão, e o potencial em P
gerado por todos os painéis é o somatório dos potenciais de velocidade induzidos por
cada um dos painéis, conforme equação (3.34) abaixo:
𝜙(𝑃) = ∑ 𝛥𝜙𝑗𝑛𝑝𝑗=1 = ∑
𝜆𝑗
2𝜋∫ 𝑙𝑛 𝑟𝑝 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1 (3.34)
Ao se considerar em um ponto P coincidente com o ponto de controle do painel i
nas coordenadas 𝑥𝑐𝑖 e 𝑦𝑐𝑖, obtem-se uma fórmla similar à supracitada, porém com 𝑟𝑖𝑗 =
√(𝑥𝑐𝑖 − 𝑥𝑗)2
+ (𝑦𝑐𝑖 − 𝑦𝑗)2. A equação (3.35) trata, mais especificamente, dos
potenciais de velocidade induzidos em cada um dos pontos de controle definidos.
𝜙(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖) = ∑𝜆𝑗
2𝜋∫ 𝑙𝑛 𝑟𝑖 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1 (3.35)
31
3.2.4.2 Velocidades Induzidas
Após o cálculo do escoamento potencial mencionado na subseção acima, utiliza-
se de uma operação de derivada para aferição das velocidades induzidas. Para a
componente induzida da velocidade normal ao painel 𝑢𝑓𝑛 gerada nos pontos de
controle, tem-se que:
𝑢𝑓𝑛(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖) =𝜕
𝜕𝑛𝑖[𝜙(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖)] (3.36)
Ao substituir o valor de 𝜙 da equação (3.35) e realizar a operação, a velocidade
terá como parâmetros 𝜆, x e y. A excepcionalidade deste caso é em i=j em que sua
contribuição no próprio painel é 𝜆𝑖
2 (ANDERSON, 1985).
𝑢𝑓𝑛(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖) =𝜆𝑖
2+ ∑
𝜆𝑗
2𝜋∫
𝜕
𝜕𝑛𝑖𝑙𝑛 𝑟𝑖 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1𝑗≠𝑖
(3.37)
Considera-se, então, a hipótese simplificadora 4 – Velocidade incidente U
constante sobre o corpo – e a equação (3.6) – condição de impenetrabilidade – para
aferição de 𝑢𝑓𝑛 no ponto de controle do painel, como a componente da velocidade U
projetada pelo ângulo 𝛽𝑖 formado entre a direção do escoamento e a normal 𝑛𝑖 ao
painel.
𝜆𝑖
2+ ∑
𝜆𝑗
2𝜋∫
𝜕
𝜕𝑛𝑖𝑙𝑛 𝑟𝑖 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1𝑗≠𝑖
+ 𝑈 cos 𝛽𝑖 = 0 (3.38)
Analogamente, para a componente tangencial faz-se a derivada em função do
vetor tangencial e posterior substituição do parâmetro 𝜙 pela equação (3.35), e obtém-
se:
𝑢𝑓𝜏(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖) =𝜕
𝜕𝜏𝑖[𝜙(𝑥𝑐𝑖, 𝑦𝑐𝑖)] = ∑
𝜆𝑗
2𝜋∫
𝜕
𝜕𝜏𝑖𝑙𝑛 𝑟𝑖 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1 (3.39)
Outra vez, sob a condições das hipóteses simplificadoras, juntas à equação (3.7) –
condição de não escorregamento –, projeta-se a velocidade U para se encontrar 𝑢𝑓𝜏 no
ponto de controle do painel.
32
∑𝜆𝑗
2𝜋∫
𝜕
𝜕𝜏𝑖𝑙𝑛 𝑟𝑖 𝑗𝑗
𝑑𝑠𝑗𝑛𝑝𝑗=1 + 𝑈 sin 𝛽𝑖 = 0 (3.40)
Conforme mencionado anteriormente, o problema pode ser resolvido ao se
encontrar valores adequados de 𝜆𝑗. Para tal, isola-se parcelas que contenham o
parâmetro 𝜆 nas equações (3.38) e (3.40), e obtém-se, respectivamente:
𝜋𝜆𝑗 + ∑ 𝜆𝑗𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗)𝑛𝑝𝑗=1𝑗≠𝑖
= −2𝜋𝑈 cos 𝛽𝑖 (3.41a)
∑ 𝜆𝑗𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗)𝑛𝑝𝑗=1 = −2𝜋𝑈 sin 𝛽𝑖 (3.41b)
onde 𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗) é a integral, multiplicada por 2𝜋, que compõe uma matriz para o
calculo da velocidade normal induzida pelo painel j em um ponto de controle i. A
integral 𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗) é análoga para a velocidade tangencial induzida em um ponto de
controle.
Pelo princípio de conservação de massa, a soma das intensidades das fontes deve
ser zero. Portanto, os somatórios dos valores de 𝜆𝑗 multiplicados pelo tamanho do painel
𝑆𝑝𝑗 deve ser zero.
∑ 𝜆𝑗𝑆𝑝𝑗𝑛𝑝𝑗=1 = 0 (3.42)
As grandezas relevantes para o cálculo das integrais 𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗) e 𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗) são
expostas na Figura 7 abaixo e sua solução pode ser descrita como o sistema de equações
(3.43).
33
Figura 7 – Grandezas para o calculo de 𝐼𝑓𝑛 e 𝐼𝑓𝜏
𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗) = ∫𝐶𝑠𝑗+𝐷
𝑠𝑗2+2𝐴𝑠𝑗+𝐵
𝑑𝑠𝑗𝑆𝑝𝑗
0 (3.43)
𝐴 = −(𝑥𝑐𝑖 − 𝑋𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 − (𝑦𝑐𝑖 − 𝑌𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 (3.43a)
𝐵 = (𝑥𝑐𝑖 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑦𝑐𝑖 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.43b)
𝐶 = sin(𝜑𝑖 − 𝜑𝑗) (3.43c)
𝐷 = (𝑦𝑐𝑖 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑖 − (𝑥𝑐𝑖 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑖 (3.43d)
𝑆𝑝𝑗 = √(𝑋𝑝𝑗+1 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑌𝑝𝑗+1 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.43e)
𝐸 = √𝐵 − 𝐴2 = (𝑥𝑐𝑖 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 − (𝑦𝑐𝑖 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 (3.43f)
Com este sistema de equações, obtém-se o resultado para a integral da parcela
normal induzida como:
𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗) =𝐶
2𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) +
𝐷−𝐴𝐶
𝐸(tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸) (3.44)
De forma análoga, para parcela tangencial tem-se:
34
𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗) =𝐷−𝐴𝐶
2𝐸𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) − 𝐶 (tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸) (3.45)
Pode-se descrever, também, as velocidades induzias normal 𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) e tangencial
𝑣𝑓(𝑥, 𝑦) através de um sistema de equações conforme equações (3.46) e (3.47) abaixo:
𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + ∑𝜆𝑗
2𝜋(
𝐶
2𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) +
𝐷−𝐴𝐶
𝐸(tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸))
𝑛𝑝𝑗=1 (3.46)
𝐴 = −(𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 (3.46a)
𝐵 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.46b)
𝐶 = −cos(𝜑𝑗) (3.46c)
𝐷 = 𝑥 − 𝑋𝑝𝑗 (3.46d)
𝑆𝑝𝑗 = √(𝑋𝑝𝑗+1 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑌𝑝𝑗+1 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.46e)
𝐸 = √𝐵 − 𝐴2 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 (3.46f)
𝑣𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑𝜆𝑗
2𝜋(
𝐶
2𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) +
𝐷−𝐴𝐶
𝐸(tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸))
𝑛𝑝𝑗=1 (3.47)
𝐴 = −(𝑥 − 𝑋𝑝𝑗𝑑𝑔) cos 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 (3.47a)
𝐵 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.47b)
𝐶 = −sin(𝜑𝑗) (3.47c)
𝐷 = 𝑦 − 𝑌𝑝𝑗 (3.47d)
𝑆𝑝𝑗 = √(𝑋𝑝𝑗+1 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑌𝑝𝑗+1 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.47e)
𝐸 = √𝐵 − 𝐴2 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 (3.47f)
3.2.4.3 Somatório do Escoamento Incidente com as Velocidades Induzidas
Por fim, calcula-se as componentes horizontal e vertical da velocidade como a
soma do escoamento incidente com a velocidade induzida dos painéis fontes e a
35
contribuição dos vórtices, e podem ser descritas, respectivamente, pelos sistemas de
equações (3.48) e (3.49):
𝑢(𝑥, 𝑦) = 1 + ∑𝜆𝑗
2𝜋(
𝐶
2𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) +
𝐷−𝐴𝐶
𝐸(tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸))
𝑛𝑝𝑗=1 −
1
2𝜋∑ 𝛤𝑗
(𝑦−𝑦𝑗)
(𝑥−𝑥𝑗)2
+(𝑦−𝑦𝑗)2
𝑁𝑣𝑗=1
(3.48)
𝐴 = −(𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 (3.48a)
𝐵 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.48b)
𝐶 = −cos(𝜑𝑗) (3.48c)
𝐷 = 𝑥 − 𝑋𝑝𝑗 (3.48d)
𝑆𝑝𝑗 = √(𝑋𝑝𝑗+1 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑌𝑝𝑗+1 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.48e)
𝐸 = √𝐵 − 𝐴2 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 (3.48f)
𝑣(𝑥, 𝑦) = ∑𝜆𝑗
2𝜋(
𝐶
2𝑙𝑛 (
𝑆𝑝𝑗2+2𝐴𝑆𝑝𝑗+𝐵
𝐵) +
𝐷−𝐴𝐶
𝐸(tan−1 𝑆𝑝𝑗+𝐴
𝐸− tan−1 𝐴
𝐸))
𝑛𝑝𝑗=1 +
1
2𝜋∑ 𝛤𝑗
(𝑥−𝑥𝑗)
(𝑥−𝑥𝑗)2
+(𝑦−𝑦𝑗)2
𝑁𝑣𝑗=1
(3.49)
𝐴 = −(𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 (3.49a)
𝐵 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.49b)
𝐶 = −sin(𝜑𝑗) (3.49c)
𝐷 = 𝑦 − 𝑌𝑝𝑗 (3.49d)
36
𝑆𝑝𝑗 = √(𝑋𝑝𝑗+1 − 𝑋𝑝𝑗)2
+ (𝑌𝑝𝑗+1 − 𝑌𝑝𝑗)2 (3.49e)
𝐸 = √𝐵 − 𝐴2 = (𝑥 − 𝑋𝑝𝑗) sin 𝜑𝑗 − (𝑦 − 𝑌𝑝𝑗) cos 𝜑𝑗 (3.49f)
3.2.4.4 Condição de impenetrabilidade e de não-escorregamento
A condição de impenetrabilidade do painel deve levar em conta a influência dos
demais vórtices gerados, np, e espalhados ao longo do escoamento. Para tal, adapta-se a
equação (3.41a), adicionando mais uma parcela e obtém-se:
𝜋𝜆𝑖 + ∑ 𝜆𝑗𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗)𝑛𝑝𝑗=1𝑗≠𝑖
+ ∑ 𝛤𝑗𝐼𝑣𝑛(𝑖, 𝑗)𝑛𝑝𝑗=1𝑗≠𝑖
= −2𝜋𝑈 cos 𝛽𝑖 (3.50)
Analogamente, o mesmo é feito para a equação (3.41b), de onde obtém-se a
equação de não escorregamento:
∑ 𝜆𝑗𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗)𝑛𝑝𝑗=1 + ∑ 𝛤𝑗𝐼𝑣𝜏(𝑖, 𝑗)
𝑛𝑝𝑗=1 = −2𝜋𝑈 sin 𝛽𝑖 (3.51)
3.2.5 Implementação Numérica
Para colocar em prática o Método de Vórtice Discretos e solucionarmos a
Equação de Transporte de Vorticidade – equação (3.24) –, foi feito um ajuste do
algoritmo utilizado em Guedes (2003). Este algoritmo utiliza o Método dos Painéis para
geração da vorticidade e pode ser entendido de forma resumida como o fluxograma
apresentado na Figura 8 abaixo.
37
Figura 8 – Fluxograma do algoritmo implementado
Este processo foi aplicado para em uma seção retangular de razão de aspecto igual
à 1 para validação do algoritmo. Posteriormente, o mesmo foi aplicado para uma seção
de triângulo equilátero com rotações de 00˚, 30˚, 60˚, para melhor representação de uma
torre anemométrica exposta às condições de escoamento atmosférico.
3.2.5.1 Discretização do Corpo
A discretização de todos os corpos – 1ª etapa do fluxograma acima – segue
explícito para um polígono arbitrário no subcapítulo 3.3.4 – Método de Vórtices. A
particularidade entre o retângulo e o triângulo se dá pelo número de lados e pela
convergência do algoritmo com o número de painéis gerados.
Para o retângulo, os melhores resultados foram obtidos com 56 painéis, enquanto
para um triângulo números abaixo de 18 painéis careciam de detalhes e números acima
de 18 painéis não apresentaram bons resultados.
Discretização do Corpo
Cálculo da Matriz de Influência Geração de
Vorticidade
Convecção dos Vórtices
Difusão dos Vórtices
Cálculo do Coeficiente de Pressão
sobre o Corpo
Cálculo das Forças sobre
o CorpoAvanço no
Tempo
Conferência de Critèrios de Parada
38
3.2.5.2 Cálculo da Matriz de Influência
A segunda etapa do fluxograma é o cálculo da matriz de influência. Esta etapa é
resolvida pela solução de um sistema que visa o atendimento às condições de não-
escorregamento e de impenetrabilidade – equações (3.50) e (3.51). O esquema
apresentado foi feito a partir de Guedes, Bodstein e Hirata (2002) e solucionado por um
algoritmo de eliminação de Gauss.
∑ (𝐼𝑓𝑛(𝑖, 𝑗)𝜆𝑗(𝑡) + 𝐼𝑣𝑛(𝑖, 𝑗)𝛤𝑗(𝑡)) = 𝑏𝑖(𝑡),𝑁𝑗=1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (3.52a)
∑ (𝐼𝑓𝜏(𝑖, 𝑗)𝜆𝑗(𝑡) + 𝐼𝑣𝜏(𝑖, 𝑗)𝛤𝑗(𝑡)) = 𝑏𝑖(𝑡),𝑁𝑗=1 𝑁 + 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑁 − 2 (3.52b)
∑ 𝜆𝑗(𝑡) = 𝑏2𝑁−1(𝑡)𝑁𝑗=1 (3.52c)
∑ 𝛤𝑗(𝑡) = 𝑏2𝑁(𝑡)𝑁𝑗=1 (3.52d)
3.2.5.3 Geração de Vorticidade
Os vórtices são gerados a uma distância 𝜎0 do corpo de acordo com a Figura 2
com uma intensidade 𝛤𝑗. Considera-se também o sistema apresentado na Figura 7 com
coordenadas 𝑥𝑐𝑗 e 𝑦𝑐𝑗. Então, para o cálculo da velocidade induzida no ponto de
controle do painel j (𝑥𝑐𝑗 , 𝑦𝑐𝑗) por um vórtice gerado a uma distancia 𝜎0 do painel, tem-
se a equação:
|𝑢𝑗(𝑥𝑐𝑗, 𝑦𝑐𝑗)| =𝛤𝑗
2𝜋𝜎0 (3.53)
3.2.5.4 Convecção dos Vórtices
Considera-se a convecção sem a presença de difusão, logo, ela pode ser descrita
por:
𝜕𝜔
𝜕𝑡+ 𝒖. ∇𝝎 = 0 (3.54)
39
Têm-se que, conforme mencionado no subcapítulo 3.3.4.2 – Velocidades
Induzidas – e posteriormente desenvolvido no subcapítulo 3.3.4.3 – Cálculo das
Velocidades –, a velocidade pode ser representada pela soma do escoamento incidente
com a velocidade induzida pelos painéis fontes e a contribuição dos vórtices. Como o
escoamento incidente tem apenas componente horizontal de modulo U, o sistema que
descreve as velocidades escalares u e v é:
(𝑢𝑣
) = (𝑈0
) + (𝑢𝑓
𝑣𝑓) + (
𝑢𝑣
𝑣𝑣) (3.55)
Foi escolhido realizar o esquema de Adams-Bashforth de 2ª ordem, pois o mesmo
apresenta erros menores por ser de ordem 𝛥𝑡2.
A discretização de 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝒖(𝑥(𝑡), 𝑡) pelo esquema de Adam-Bashforth de 2ª ordem
é dada, em coordenadas cartesianas, por:
(𝑥(𝑡 + 𝛥𝑡)𝑦(𝑡 + 𝛥𝑡)
) = (𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
) + 𝛥𝑡 ([1,5 𝑢(𝑡) − 0,5𝑢(𝑡 − 𝛥𝑡)]
[1,5 𝑣(𝑡) − 0,5𝑣(𝑡 − 𝛥𝑡)]) (3.56)
3.2.5.5 Reflexão de Vórtices
Para solucionar o problema numérico dos vórtices que entram no corpo, é
utilizado o Método de Reflexão apresentado em Lewis (1991). Neste método, a
velocidade induzida em um painel é redirecionada para uma imagem do painel com uma
pequena distância perpendicular.
3.2.5.6 Difusão dos Vórtices
Considera-se a difusão sem a presença de convecção, logo, ela pode ser descrita
por:
𝜕𝝎
𝜕𝑡=
1
𝑅𝑒∇2𝝎 (3.57)
𝜎2(𝑡 + 𝛥𝑡) = 𝜎2(𝑡) +4𝛥𝑡
𝑅𝑒 (3.58)
40
3.2.5.7 Cálculo do Coeficiente de Pressão sobre o Corpo
Para o cálculo do coeficiente de pressão sobre o corpo, utilizamos das
adimensionalizações mencionadas nas equações (3.12) e a decomposição utilizada em
Mustto C., Hirata e Bodstein (1998), Guedes, Hirata e Bodstein (1999) e Guedes (2003)
para obtenção de uma formulação geral do gradiente de pressão.
−1
2∇𝑝 =
𝜕𝒖
𝜕𝑡 (3.59)
O cálculo de 𝐶𝑝 tem seu desenvolvimento apresentado por Lewis (1991). O 𝐶𝑝 no ponto
m é dado por:
𝐶𝑝𝑚 = 1 + 2 (∑𝛤𝑣𝑛
∆𝑡𝑚𝑛=1 − ∑
𝛤𝑣𝑛
∆𝑡
𝑛𝑚𝑎𝑥𝑛=1 ) (3.60)
Foi utilizada a implementação do trabalho Mustto C., Hirata e Bodstein (1998),
onde a pressão máxima encontrada se torna a pressão de referência das demais pressões.
Para tal, criou-se uma variável com valor nulo e realizou-se uma varredura em todo o
corpo para encontrar 𝑝𝑠 = 𝑝𝑚𝑎𝑥 em 𝑛 = 𝑛𝑚𝑎𝑥 a cada instante de tempo.
3.2.5.8 Cálculo de Forças sobre o Corpo
O cálculo das forças é feito utilizando a integral da pressão ao longo do corpo.
3.2.5.9 Avanço no Tempo
Para o caso do cilindro de seção retangular, tem-se o avanço de tempo 𝛥𝑡 –
adimensionalizado pelas equações (3.12) – para um deslocamento puramente
convectivo 𝛥𝑙 de mesma ordem que a distância 𝛥𝑠 entre dois vórtices gerados na
proximidade do cilindro.
𝛥𝑡 = 𝑘𝛥𝑠 (3.61)
Para o cilindro retangular, tem-se que:
𝛥𝑠 =2𝑑+2𝑙
𝑁𝑣𝑔=
2
𝑁𝑣𝑔(1 +
𝑙
𝑑) (3.62)
41
onde l e d são, respectivamente, o cumprimento e a altura da seção estudada.
Como a razão de aspecto (RA) é igual à 𝑙
𝑑 , a formula do avanço temporal pode ser
escrita como:
𝛥𝑡 =2𝑘
𝑁𝑣𝑔(1 + 𝑅𝐴) (3.63)
3.2.5.10 Conferência de Critérios de Parada
O critério de parada neste trabalho é dado como input pelo usuário. O usuário
entra o número de iterações que deseja realizar, e, ao atingir este número, o programa
sai da rotina apresentada na Figura 8, gera os últimos arquivos exportados para pós-
processamento e se encerra.
42
4 RESULTADOS
4.1 VALIDAÇÃO COM O CILINDRO DE SEÇÃO RETANGULAR
A validação da metodologia e implementação explicitadas nos capítulos anteriores
foram dadas através de simulações para gerar os resultados do escoamento ao redor da
seção retangular e da seção triangular. O objetivo dessa etapa é encontrar os resultados
de modo a validar e, por conseguinte, assegurar o correto uso do algoritmo
desenvolvido para os três estudos de casos apresentados a seguir que utilizam o avanço
de 2ª ordem de Adam-Bashfort.
Pelo fato de o objeto foco do trabalho – cilindro de seção triangular – apresentar
uma menor quantidade de estudos na literatura, a forma de validação escolhida foi o
cilindro de seção retangular com razão de aspecto igual a 1. Uma similaridade entre as
formas que motivou a escolha de tal geometria para validação é a presença de cantos
vivos. Escolheu-se um número de Reynolds de 1,20 x 105 devido à disponibilidade de
resultado experimental para comparação com o cilindro triangular. O número total de
vórtices gerados por iteração foi 56, distribuídos igualmente entre os lados da seção
retangular (14 cada), com o maior refinamento da discretização nos vértices da seção,
conforme ilustração abaixo:
Figura 9 – Discretização do cilindro retangular e seus pontos de controle
‘
U
43
Para o caso de validação, foram realizadas 500 iterações, dividida em duas
análises. A primeira análise, quantitativa, compara o coeficiente de pressão (Cp) em
torno do corpo e a média dos coeficientes de arrasto e de sustentação (Cd e Cl) com
resultados apresentados na literatura acadêmica. A segunda análise, com cunho mais
qualitativo, mira a esteira gerada na última iteração por meio do julgamento do
comportamento físico apresentado.
Para o coeficiente de sustentação, espera-se um comportamento oscilatório em
torno do zero pela simetria da seção estudada. Já para o coeficiente de arrasto, uma
comparação com resultados de outros experimentos numéricos e empíricos se faz
necessária para aferir a precisão do modelo desenvolvido.
Primeiramente, comparam-se as médias do coeficiente de pressão, de arrasto e de
sustentação, obtidos através da simulação, com o presente na literatura acadêmica para
escoamentos de mesmo tipo. O gráfico presente na Figura 10 mostra a distribuição do
coeficiente de pressão ao redor da superfície da seção e compara com o resultado
experimental de Lee (1975).
Figura 10 – Valores de Cp ao redor do corpo para um cilindro circular: (a) simulação numérica
realizada (b) experimental (LEE, 1975)
Os gráficos que detalham os demais coeficientes ao longo das iterações são
apresentados na Figura 11, onde podemos perceber uma correta oscilação do coeficiente
de arrasto em torno do zero. Outro ponto interessante a ser notado é a amplitude da
oscilação do coeficiente de arrasto com o passar do tempo de simulação.
(a) (b)
44
Figura 11 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para o
cilindro retangular
Em seguida, obtém-se os coeficientes médios para o arrasto e a sustenção. Os
valores encontrados para a simulação Cd = 1,966 e Cl = 0,044. Ambos são comparados
com valores obtidos na literatura na tabela abaixo.
Tabela 1 – Comparação de resultados para o cilindro retangular
Fonte Cd Std
Simulação Adam-Bashfort 1,966 0,127
Guedes (2003) [Num.] 1,99 0,129
Vickery (1966) [Exp.] 2,05 0,118
Bearman e Trueman (1972) [Exp.] 2,17 0,124
Vê-se, pelos resultados obtidos, que a simulação de Adam-Bashfort se aproximara
de valores numéricos e experimentais obtidos em outros estudos e, portanto, pode ser
utilizada para a comparação qualitativa do escoamento no entorno do corpo.
Para a comparação da física do problema, utilizou-se como base o trabalho
numérico de Tamura, Ohta e Kuwahara (1990), apresentado na Figura 12. Isso foi feito,
pois no estudo foi utilizada a mesma razão de aspecto e o mesmo número de Reynolds.
Através desse experimento, podemos aferir, visual e qualitativamente, se o
comportamento da esteira condiz com o fenômeno físico esperado para o cilindro de
seção retangular.
45
Figura 12 – Linhas de corrente no entorno de um cilindro retangular à Re = 105 (TAMURA,
OHTA e KUWAHARA, 1990)
As simulações de 2ª ordem gerada conforme metodologia apresentada é
apresentada nas Figura 15 e Figura 13.
Figura 13 – Campo de velocidade para simulação do cilindro retangular
46
Figura 14 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
retangular
Figura 15 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro retangular
47
Nela, pode-se perceber um comportamento similar das linhas de corrente ao
trabalho utilizado como referência. Percebe-se também a presença de recirculações ao
longo da esteira.
Do exposto, concluímos que o método apresentado é válido e pode ser utilizado
para a continuação do trabalho – estudo do escoamento em cilindros de seção triangular.
Pode-se verificar também que o número de iterações foi superdimensionado e que para
obtenção de resultados satisfatórios, sem que erros numéricos interfiram no campo de
vórtices, este número pode ser reduzido.
4.2 RESULTADOS PARA O CILINDRO DE SEÇÃO TRIANGULAR
Aqui são apresentadas as simulações realizadas para escoamentos incompressíveis
com Re = 1,20 x 105 ao redor de um cilindro de seção triangular utilizando, a
modelagem e a implementação descritas no Capítulo 3. O objetivo deste capítulo é
testar se a metodologia aplicada ao cilindro retangular pode ser utilizada no cilindro
triangular com sucesso. Ambas as seções apresentam cantos vivos e, portanto, utilizou-
se a mesma implementação.
Para o estudo do escoamento no entorno da seção triangular, foram feitas
simulações para três posições diferentes do cilindro triangular, conforme explicado no
capítulo anterior, o que gerou 3 casos diferentes – seções a 0°, 30° e 60°. Dentro de cada
um desses casos, estudou-se a implementação do avanço de 2ª ordem de Adam-
Bashford. A Figura 16 demonstra de forma visual o ângulo de incidência de cada caso.
Figura 16 – Ângulos de incidência dos cilindro triangulares
Por fim, implementação numérica do cilindro de seção triangular foi sumarizada e
comparada aos resultados experimentais de anemometria de fio quente expostos em
Iungo e Buresti (2009).
‘
UU
00 30
U
60
I II III
48
Figura 17 – Resultados experimentais do escoamento ao redor de cilindros triangulares com
variação de ângulos (IUNGO e BURESTI, 2009)
4.2.1 CASO I – Seção a 0°
Nesse caso foi utilizado uma discretização da seção triangular em 18 vórtices – 6
em cada lado. Após 310 iterações, foram obtidos os seguintes gráficos dos coeficientes
de arrasto e de sustentação para o avanço de 2ª ordem.
Figura 18 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 00º
49
Figura 19 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para o
cilindro triangular a 00º
Os valores da média dos coeficientes, a partir da 50ª iteração, foram: Cd = 1,66 e
Cl = -0,27 e o número de St = 0,25 na simulação com avanço de 2ª ordem de Adam-
Bashford. Pela Figura 19, é possível observar um comportamento oscilatório adequado
dos coeficientes em relação ao tempo da simulação.
É valido notar que o campo de velocidade gerado com 310 simulações condiz
com o comportamento físico esperado, principalmente nas regiões mais próximas à
seção triangular. As Figura 20 e Figura 21 demonstram a presença de recirculações na
esteira simulada para o modelo com avanço de 2ª ordem. Nessas figuras, é possível
observar as linhas de corrente, que ajudam na compreensão do fenômeno físico.
Figura 20 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 00º
50
Figura 21 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 00º
Figura 22 - Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 00º
51
Conforme vemos
Figura 22, os vórtices de Von-Kármán foram bem capturados quando a metodologia do
avanço de 2ª ordem de Adam-Bashford foi utilizada, pois percebe-se uma concentração
das recirculações com zonas delimitadas.
52
4.2.2 CASO II – Seção a 30°
Nesse caso foi utilizado uma discretização da seção triangular em 18 vórtices – 6
em cada lado. Esse caso apresenta ângulo de 30o em relação ao Caso I apresentado.
Após 300 iterações foram obtidos os seguintes gráficos dos coeficientes de arrasto e de
sustentação para o avanço de 2ª ordem.
Figura 23 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para o
cilindro triangular a 30º
Figura 24 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 30º
Os valores da média dos coeficientes a partir da 50ª iteração foram: Cd = 1,44 e
Cl = -0,87 e o número de St = 0,38 na simulação com avanço de 2ª ordem de Adam-
53
Bashford. Pela Figura 23, é possível observar um comportamento oscilatório adequado
dos coeficientes em relação ao tempo da simulação.
É válido notar que o campo de velocidade gerado com 310 simulações condiz
com o comportamento físico esperado, principalmente nas regiões mais próximas à
seção triangular. A Figura 25 e abaixo apresentam a presença de recirculações na esteira
simulada para o método com avanço 2ª ordem. Nessas figuras é possível ver também as
linhas de corrente, que ajudam na compreensão do fenômeno físico. Observa-se
também, na Figura 26, a variação da magnitude de velocidade e linhas de corrente que
oscilam. Isso condiz com o comportamento esperado devido aos vórtices de von-
Kármán.
Figura 25 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 30º
Figura 26– Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 30º
54
Figura 27 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 30º
Mais uma vez, conforme vemos Figura 27, os vórtices de Von-Kármán foram bem
capturados quando a metodologia do avanço de 2ª ordem de Adam-Bashford foi
utilizada. Esse caso mostrou com clareza a formação de recirculações atrás de corpo.
Vê-se também que, para o avanço de 2ª ordem, os vórtices gerados não se limitam a
esteira logo atrás do corpo.
55
4.2.3 CASO III – Seção a 60°
Nesse caso foi utilizado uma discretização da seção triangular em 18 vórtices – 6
em cada lado. Esse caso apresenta ângulo de 60º em relação ao Caso I apresentado.
Após 310 iterações foram obtidos os seguintes gráficos dos coeficientes de arrasto e de
sustentação para o avanço de 2ª ordem.
Figura 28 – Coeficientes de arrasto e sustentação ao longo do tempo de simulação para o
cilindro triangular a 60º
Figura 29 – Valores de Cp ao redor do corpo para a simulação numérica para o cilindro
triangular a 60º
Os valores da média dos coeficientes a partir da 50ª iteração foram: Cd = 1,35 e
Cl = -0,70 e o número de St = 0,13 na simulação com avanço de 2ª ordem de Adam-
56
Bashford. Pela Figura 28 é possível observar um comportamento oscilatório adequado
dos coeficientes em relação ao tempo da simulação.
É valido notar que o campo de velocidade gerado com 310 iterações condiz com o
comportamento físico esperado, principalmente nas regiões mais próximas à seção
triangular. As Figura 30 e Figura 31 abaixo apresentam a presença de recirculações na
esteira simulada tanto para o método com avanço de 2ª ordem. Nessas figuras é possível
ver também as linhas de corrente, que ajudam na compreensão do fenômeno físico.
Observa-se também, na Figura 31, a formação de recirculações de sentidos opostos
intercaladas e linhas de corrente que oscilam. Isso condiz com o comportamento
esperado devido aos vórtices de von-Kármán.
Figura 30 – Campo de velocidade para simulação do cilindro triangular a 60º
Figura 31 – Campo de velocidade com as linhas de corrente para simulação do cilindro
triangular a 60º
57
Figura 32 – Dispersão de vórtices na esteira do cilindro triangular a 60º
Novamente, para este caso, vemos com clareza a formação dos vórtices de Von-
Kármán pela Figura 32. Porém, era de se esperar que o valor de Cl fosse próximo de
zero, uma vez que o corpo apresenta uma simetria em relação ao escoamento incidente.
58
5 COMPARAÇÃO E DISCUSSÃO
Os valores de Cd, Cl e St obtidos nas simulações acima são contrapostos com os
valores experimentais obtidos em Iungo e Buresti (2009) e Alonso (2005) para uma
melhor análise dos casos individuais e da variação dos coeficientes conforme o corpo é
girado.
Figura 33 – Gráfico de comparação entre os Cd’s obtidos e os resultados apresentados em Iungo
e Buresti (2009)
Figura 34 – Gráfico de comparação entre os Cl’s obtidos e os resultados apresentados em Iungo
e Buresti (2009)
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 10 20 30 40 50 60
Cd
Graus rotacionados [o]
Cd x Graus rotacionados
Alonso (2005) h/w=3 h/w=2 h/w=1.5 h/w=1 Resultados Obtidos ESDU (1979)
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0 10 20 30 40 50 60
Cl
Graus rotacionados [o]
Cl x Graus rotacionados
Alonso (2005) h/w=3 h/w=2 h/w=1,5 h/w=1 Resultados Obtidos
59
onde ℎ𝑤⁄ é a razão de aspecto do corpo do experimento de Iungo e Buresti
(2009).
Os valores utilizados para a plotagem do gráfico foram as médias das simulações
com 310 iterações, caso a caso, conforme indicado na apresentação dos resultados. Os
valores foram compilados e exibidos na tabela abaixo para melhor quantificar a análise
proposta.
Tabela 2 – Compilado dos resultados do cilindro retangular para diferentes ângulos
Graus [o] Cd Cl St
0 1,66 -0,27 0,25
30 1,44 -0,87 0,38
60 1,35 -0,70 0,13
Pela tabela acima e pelas
Figura 33 e Figura 34, os coeficientes resultaram em médias diferentes dos
esperados para a vasta maioria dos casos estudados. Ao analisar o gráfico comparativo,
percebe-se que na situação em que o corpo se encontra a 0o os resultados obtidos
ficaram próximos do resultado experimental, em que o Cl deveria ser bastante próximo
de zero pela simetria em relação ao escoamento. A Figura 22 nos mostra uma esteira
muito coerente com regiões de maior intensidade de vórtices bem definidas.
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 10 20 30 40 50 60
Cd
Graus rotacionados [o]
Cd x Graus rotacionados
Alonso (2005) h/w=3 h/w=2 h/w=1.5 h/w=1 Resultados Obtidos ESDU (1979)
60
No cilindro triangular rotacionado em 30o, o avanço de 2ª ordem apresenta um
comportamento um pouco mais divergente para ambos os coeficientes, conforme
percebido da Tabela 2, isso se deve ao comportamento não natural da esteira formada.
Por fim, para o caso com o corpo posicionado a 60o, vê-se um comportamento dos
valores de Cd e Cl similares aos ocorrido no caso do corpo posicionado a 30º e
comparados aos resultados obtidos em experimentos. Era de se esperar que em 60o o
corpo se comportasse de forma similar ao caso em que o corpo se situava a 0o pela
simetria em relação ao escoamento, mas houve um maior coeficiente de sustentação de
-0,70.
Vê-se que os resultados obtidos foram muito próximos ao apresentado em Alonso
(2005), com exceção do Cl para o Caso III. Isto valida as demais simulações e permite
uma comparação com a norma IEC 61400.
61
6 CONCLUSÃO
Figura 35 – Comparação entre simulações: (a) Média temporal da série de simulações a 00º
(b) Imagem apresentada na Norma IEC 61400-12-1
A Figura 35 tem como objetivo comparar as simulações realizadas e a norma IEC-
61400-12-1: Medições do desempenho de potência de aerogeradores. Para tanto, foi
feita a média da série temporal de 100 instantes de tempo diferentes simulados por meio
da implementação do avanço de Adam-Bashfort para o Caso I – cilindro de seção
triangular a 0° –, por ter apresentado resultados mais próximos da literatura acadêmica.
Com isso, obteve-se a imagem apresentada na Figura 35a, que, quando comparada ao
exposto na norma, mostra um comportamento similar.
Conforme discutido no Capítulo 1, a correta mensuração da velocidade de uma
região de prospecção de produção de energia de parques eólicos é de suma importância
uma vez que essa variável é elevada ao cubo no cálculo da potência disponível do vento.
Qualquer erro em tal medição traz consigo um impacto direto no cálculo da produção de
energia esperada e na taxa interna de retorno de um empreendimento comercial.
Este, que se baseia em Guedes (2003), adaptando o modelo utilizado para
descrever os escoamentos ao redor com seções retangulares, para um modelo que
descreva como os escoamentos se comportam quando a seção é um triângulo equilátero
em diferentes ângulos em relação ao fluxo de vento, apresentou resultados satisfatórios
mas precisa de ajustes para a obtenção de melhores de resultados de coeficientes de
arrasto, sustentação e pressão. Como a metodologia aplicada não possui alto tempo
computacional devido às suas vantagens, o objetivo é, em trabalhos futuros,
62
implementar uma ferramenta computacional para realizar simulações mais detalhadas
do escoamento (ao invés de utilizar apenas fórmula empírica sugerida pela norma) em
função da direção preferencial do escoamento no local de interesse, a fim de melhor
quantificar as incertezas nas medições de velocidade de vento em função do
posicionamento da torre.
63
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