Estudo de Modelagem de Caixas Acústicas -...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA Estudo de Modelagem de Caixas Acústicas Autor: Adriano Fernandes Cruz Orientador: Luiz Otávio Saraiva 2° Semestre de 2004 i
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
Estudo de Modelagem deCaixas Acústicas
Autor: Adriano Fernandes CruzOrientador: Luiz Otávio Saraiva
2° Semestre de 2004
i
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
Estudo de Modelagem de
Caixas Acústicas
Curso: Engenharia de Controle e Automação – Trabalho Final de GraduaçãoÁrea de Concentração: Modelagem eletromecânico acústico
Trabalho Final de Graduação apresentada à comissão de Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obtenção do título de bacharel em Engenharia Mecatrônica.
Autor: Adriano Fernandes CruzOrientador: Luiz Otávio Saraiva
Campinas, 2004UNICAMP
ii
Dedicatória
Dedico este trabalho a todos que colaboraram para que hoje eu pudesse estar aqui. E, tem uma pessoa em especial que agradeço por estar hoje aqui, ela já não está mais entre nós. No entanto, se ela estivesse ainda conosco, ela estaria muito orgulhosa neste momento:
Dedico este trabalho, principalmente, à minha Mãe.
iii
Agradecimentos
Este trabalho não poderia ser terminado sem a ajuda de diversas pessoas às quais
presto minha homenagem:
Quero agradecer primeiramente ao meu orientador, que teve muita paciência
comigo e que também colocou a minha disposição os seus conhecimentos e seu tempo;
sem ele, este momento não seria possível.
Agradeço também a minha namorada por sua compreensão e companheirismo
nestes dias tão difíceis.
Por estarem presentes de alguma forma em todas as etapas deste trabalho
agradeço a todos os meus professores.
Por fim, não poderia cometer a injustiça de esquecer de todos os meus colegas
de turma e funcionários que nesses anos de graduação sempre me apoiaram.
iv
“Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade.”
Emile Lemoine
"Às vezes é bom acreditar na evolução e pensar que o homem ainda não está concluído."
John . M. Henry
v
Resumo
Cruz, Adriano Fernandes; Estudo de Modelagem de Caixas Acústicas; Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2004, Trabalho Final de Graduação.
Neste trabalho faz-se um estudo da modelagem de caixas acústicas, começando-
se com uma revisão dos modelos clássicos e metodologia geral, e concluindo-se com o
estudo do caso especial do alto-falante planar. Os modelos baseiam-se nas analogias
entre circuitos elétricos e sistemas magnéticos, mecânicos e acústicos e nas
transformadas de Laplace. A partir dos modelos estudados, foi desenvolvido um
programa de simulação em Matlab que, uma vez fornecidos os parâmetros do alto
falante e da caixa, é fornecido a função de transferência da caixa acústica.
Palavras Chave
Alto falante, alto falante plano
vi
Abstract
Cruz, Adriano Fernandes; Study of loudspeakers enclosure modeling; Campinas Mechanical Engineering College, University of Campinas, 2004, Graduation Dissertation.
A loudspeaker modeling has been made on this study. Firstly, a review of the
classical models and the general methodology is done, and then the study is concluded
with an analysis of a planar loudspeaker special case.
The models are based on the analogies between electrical circuits and magnetic,
mechanical, acoustical systems and on the Laplace transformation.
Key Words
Loudspeakers, planar loudspeakers
vii
Sumário
PáginaListagem de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXNomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XICapítulo 1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Capítulo 2 – Revisão Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Capítulo 3 – Modelagem teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Capítulo 4 – Análise e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões para o próximo trabalho . . . . . 36Referência Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Anexo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Anexo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Lista de Figuras
Figura 1 O sistema é composto por subsistemas elétrico, mecânico e
acústico.
Figura 2 Representação simbólica, diagramada e genérica de um sistema
de alto-falante..
viii
Figura 3 Representação esquemática em digrama de bloco do sistema da
figura 1.
Figura 4 Diagrama em bloco para o sistema eletromecânico explicitando
as relações de impedâncias.
Figura 5 Bloco do circuito elétrico do sistema do alto-falante.
Figura 6 Digrama de bloco do sistema do circuito elétrico.
Figura 7 Representa as propriedades mecânicas de acordo com o seguinte
trecho, da parte direita da figura 2, que aqui está representado à
esquerda.
Figura 8 Gerador de força constante equivalente da figura 6.
Figura 9 Bloco de diagrama de impedâncias mecânicas análogas a um
sistema de alto-falante, equivalente à Figura 8.
Figura 10 Expansão do sistema apresentado na figura 9, que apresenta todas
os parâmetros de um alto-falante, exceto os acústicos.
Figura 11 Bloco equivalente à figura 10 com o circuito acústico acoplado.
Figura 12 Impedância Mecânica (esquerda) e acústica (direita) formada ao
se retirar o transformador da figura 11.Figura 13 O esquema apresenta o acoplamento acústico de leitura de ambos
os lados do cone dentro do circuito mecânico
Figura 14Esquema do circuito mecânico correspondente à figura 13 com o
transformador removido.
Figura 15 Acima tem-se a figura 2, novamente representada, e abaixo
apresenta-se o circuito de impedâncias mecânicas análogas ao
sistema generalizado de alto-falante
Figura 16 Resposta em freqüência para as equações de transferência
descritas da equação 96 a 98,
Figura 17 Resposta em freqüência para as equações de transferência
descritas da equação 99 a 101,.
Figura 18 Resposta em freqüência para a equação de transferência descrita
na equação 103 ou 104,
ix
Nomenclatura
A(s) Função definida na equação 31;B(s) Função definida na equação 38;B Densidade de fluxo magnético no ar;c Velocidade do som no ar;C Compliância mecânica equivalente à indutância da bobina móvel definida na
equação 17;CA Compliância acústica de volume V( 2
0 ./ cV ρ= );CMA Equivalente mecânico de CA ( 2/ DA SC= );
CAB Compliância acústica do volume da caixa;CMB Equivalente mecânico de CAB;CO Compliância do volume de ar entre o cone e a membrana de amortecimento; CMS Compliância mecânica do sistema de suspensão do alto-falante;CMPR Compliância mecânica do sistema de suspensão do radiador passivo;CMP Equivalente mecânico da compliância do radiador passivo, referente ao diafragma
do alto falante definido na equação (69);EG Amplitude da tensão do gerador;eG Gerador de tensão expressado em função do tempo, eG(t), ou da freqüência s;eMOT Força contra eletromotriz desenvolvida no circuito da bobina móvel devido ao
movimento na região de fluxo magnético;f Freqüência ( πω .2/= ), também utilizada como fG(s);FG Gerador de força definido na equação 13 e 14;FD Força exercida no diafragma;FMD Soma das Forças de reação exercidas nos componentes do mecanismo do alto
falante;FMP Soma das forças de reação devido as componentes mecânicas do radiador passivo;FAD Força mecânica acústica do diafragma ativo;Gi Função de transferência do sistema definida na equação (23), onde i pode ser D
(diafragma), B (Caixa), P (porta) ou L (perdas); GHi Função de transferência do sistema definida na equação (55); g Freqüência variável normalizada (ω /ω S)h Fração da freqüência de ressonância da caixa do alto-falante (ω B/ω S)j Operador 1− ;l Tamanho do condutor da bobina móvel na região de campo magnético;LVC Indutância Magnética estática;L Símbolo para a transformada de Laplace;L-1 Símbolo da inversa da transformada de Laplace;M Símbolo para o motor montado pela bobina ativa numa região de campo
megnético;mD Massa do diafragma do alto falante;mDT Massa total efetiva do diafragma montado inclusive o carregamento do ar;mPR Massa do radiador passivo do diafragma;
x
mP Massa efetiva correspondente à inércia acústica da porta; ou equivalente em massa
do radiador passivo mA Inércia acústica devido ao carregamento do ar no diafragma;mMA Equivalente mecânico de mA;pr Pressão sonora produzida pelo alto falante a uma distância r;pG Equivale a um gerador de pressão no som em circuito acústico;PD Pressão exercida pelo diafragma dentro da caixa.P(s) Polinômio definido em s;Q(s) Polinômio definido em s;Q Taxa de reatância para a resistência, fator de seletividade tuned;QS Q na freqüência ω S, definido na equação 83;QT Q total, inclui a resistência de radiação;QSB Q efetivo do alto falante montado em caixa fechada;QB Q da caixa em ω P devido a rMB e definido na equação, definido na equação 84;QP Q da caixa em ω P devido a rMP e definido na equação, definido na equação 85;QL Q da caixa em ω P devido a rML e definido na equação, definido na equação 86;R Equivalente mecânico cprrespondente ao gerador e à resistência da bobina móvel
definida na equação 16;r Distância do alto falante na qual a pressão pr é medida;RG Resistência da fonte de força de acionamento;RVC Resistência estática da bobina móvel ;ℜA Resistência da radiação acústica do diafragma ativo;ℜAMA Equivalente mecânico de ℜA;
rAB Resistência acústica do volume da caixa fechada;rMB Equivalente mecânico de rAB;rMP Equivalente mecânico de rAP, ou resistência equivalente do radiador passivo; rMPR Resistência mecânica efetiva do radiador passivo do diafragma e suspensão;rAL Resistência shunt de vazamento acústico;rML Equivalente mecânica de rAL;
rMS Resistência mecânica do sistema de suspensão do alto falante;rMS(MA) Resistência mecânica efetiva do alto falante incluindo carregamento do ar;rMST Resistência mecânica efetiva do alto falante incluindo carregamentos elétricos e
acústicos;S Freqüência complexa variável ( ωσ .js += );sN Freqüência complexa variável normalizada em Sω , )/.( SN js ωω= ;S0N Freqüência complexa variável normalizada em 0ω , )/.( 0ωωjsN = ;sn Freqüência complexa variável normalizada em 0ω ou Sω ;SD Área efetiva traseira da superfície ativa pelo diafragma;sD1 Área efetiva frontal da superfície ativa pelo diafragma;SDP Área efetiva do diafragma passivo;TEM Transdutor eletromecânico;TMAD Transdutor eletromecânico para o diafragma de área SD;TMAP Transdutor mecânico acústico para o diafragma de área SDP;uG Gerador de velocidade apresenatado na figura 6;ui Velocidade linear equivalente ao elemento de vibração ou abertura, onde i é usado
como D, B, P ou L;Ui Velocidade volumétrica correspondente à Ui;
xi
VB Volume efetivo da caixa fechada;ZE Soma das resistências da fonte e impedância estática na bobina móvel ;ZE(MOT) Impedância de movimento da bobina móvel ;ZM Impedância mecânica total do alto falante;zM Mobilidade mecânica correpondente à ZM ( MZ/1= )zEM Mobilidade mecânica correspondente a impedância elétrica ZE definida pela
equação 12;ZEM Impedância mecânica correspondente a zEM definida na equação 18;ZRC Impedância da combinação RC, apresentado na figura 9, e definido pela equação
18;ZM(EM) Impedância mecânica equivalente dos mecanismos do alto falante incluindo os
mecânicos e carregamentos elétricos;ZA Impedância apresentada atrás do diafragma;ZMA Equivalente mecânico de ZA;ZA(EM) Equivalente acústico de ZM(EM);ZMD Impedância mecânica do diafragma ativo montado;ZMP Impedância mecânica do diafragma passivo montado;ZMT Total impedância mecânica efetiva do diafragma ativo montado, incluindo
carregamentos equivalentes mecânicos, elétricos e acústicos;ZD Total ImpedÂncia mecânica do alto falante e sistema de supensão;ZB Total equivalente mecânico da impedância acústica da caixa de volume e
dissipação;ZP Total equivalente mecânica da impedância acústica da porta ou do radiador
passivo;α Fração da compliância do alto falante pela compliância da caixa ( MBMS CC /= );β Fração da compliância do alto falante pela compliância da porta ( MPMS CC /= );θ ,φ Ângulos de fase;ρ o Densidade do ar ambiente de acordo com condições pré-estabelecidas;ω Freqüência angular;ω 1 Freqüência angular do estado de regime da voltagem de acionamento;ω B Freqüência angular anti-ressonante definida na equação 82;ω H Freqüência definida na equação 52;ω 0 Freqüência angular de ressonância da caixa fechada do sistema de alto falante;ω S Freqüência angular de ressonância da unidade do alto falante;
xii
Capítulo 1Introdução
Esse trabalho inicia-se como uma modelagem através de circuitos analógicos
para modelar um alto falante. Como esse sistema alto falante pode ser desagrupado em
três subsistemas mecânico, elétrico e acústico, assim será feito.
Primeiramente trabalhará com o sistema mecânico, utilizando seus parâmetros
segundo uma modelagem de circuitos. Em seguida, integra-se esse sistema ao elétrico.
E por fim ao acústico.
O objetivo é apresentar uma solução geral para um sistema de alto falante. E a
partir desse último, conseguir usar essa metodologia para modelar um sistema de alto
falante plano, a partir das restrições que este último apresenta em relação a caso geral.
1
Capítulo 2Revisão Teórica
Considerando as condições abaixo:
Todo desenvolvimento feito usará técnicas de circuitos analógicos para a
análise e resultados;
Para a construção do circuito analógico os elementos do circuito podem ser
tidos como parâmetros concentrados. Essa suposição torna-se justificável
quando as dimensões são pequenas, comparadas com o comprimento de
onda do som de maior freqüência de interesse;
Outra consideração importante é que os parâmetros podem ser considerados
constantes tanto para a amplitude da onda, quanto para a freqüência, às vezes
é necessário reavaliar esta suposição para alguns casos.
Para o modelo desenvolvido neste trabalho, essas suposições descritas acima são
aceitáveis.
Também se deve atentar para as notações que serão utilizadas para descrever os
fenômenos estudados que se encontram presente no início do texto, na parte de
nomenclatura.
Ao se estudar as relações entre os sistemas a serem de um alto falante é
necessário perceber que no sistema acústico de interesse encontram-se as seguintes
inter-relações.
Figura 1 – O sistema é composto por subsistemas elétrico, mecânico e acústico.
E este mesmo sistema da Figura 1 pode ser expandido na estrutura abaixo, onde
são descritos os esquemas elétrico, mecânico e acústico. Todo estudo desenvolvido
neste trabalho toma como ponto de partida o sistema abaixo, que é uma representação
genérica do sistema como um todo.
2
Figura 2 – Representação simbólica, diagramada e genérica de um sistema de alto-
falante.
Na figura acima, do lado esquerdo são apresentados os elementos que
compreendem uma caixa de som, com índice S tem-se o sistema de suspensão do alto
falante; com índice D, o diafragma com massa mD e atuado por uma força FD; e com o
índice PR tem-se a porta do radiador passivo com compliância CMPR, resistência
mecânica efetiva rMPR, e massa mPR. Além da resistência shunt de vazamento acústico
rAL, Compliância da caixa CAB e resistência acústica rAB dado ao volume interno da
caixa fechada.
Do lado direito da figura acima, são apresentados os subsistemas do alto falante,
primeiramente é apresentado o sistema elétrico, onde se tem um transdutor que
transforma a tensão de acionamento (eG) em força sobre o diafragma FD, que dá entrada
ao sistema mecânico. No sistema mecânico, parte da Força FD atua sobre os
mecanismos do alto falante (que está representado pela compliância e resistência do
mecanismo de suspensão – CMS e rMS – e massa do diafragma mD), recebendo o nome
FAD; enquanto outra parte atua sobre o mecanismo acústico FAD – força no diafragma
ativo. Quanto ao sistema acústico, tem como entrada a força ativa sobre o diafragma
FAD, que atua na área SD, área do diafragma, passando a realizar uma pressão PD através
do diafragma; e esta pressão atuando sobre o radiador passivo de are SDP atua sobre ar
quanto a propagação através dos seguintes termos rMPR, CMPR e mPR.
Na figura abaixo, apresenta-se esse sistema integrado entre os elementos da
figura 1. Em que os transdutores já estabelecem as relações de transformação de energia
e parâmetros operacionais, e todo o sistema está simplificado através de um circuito
analógico.
3
Figura 3 – Representação esquemática em digrama de bloco do sistema da figura 1.
Na figura 3, acima, tem-se a tensão de acionamento eG atuando sobre a
impedância mecânica ZE, e sobre um transdutor eletromecânico TEM, que possui uma
impedância ZE(MOT) consumindo uma tensão eMOT, gera a Força sobre o diafragma FD,
onde parte é consumida pela impedância mecânica do diafragma e sistema de suspensão
ZMD, e outra parte FAD é destinada ao transdutor mecânico acústico TMAD de área SD.
Onde, a partir do transdutor mecânico acústico de área SD sai uma pressão PD que atua
sobre a impedância acústica, e entra em um transdutor mecânico acústico SDP e o fluxo
leva a uma impedância mecânica acústica do diafragma passivo ZMP.
1.1 Estudo das Relações Eletromecânicas
Define-se como FD(s) a força exercida pela bobina móvel com um condutor de
comprimento l percorrido por uma corrente iVC, quando este for submetido a um campo
magnético de intensidade B. Chamamos de uD(s) a velocidade linear desta bobina móvel
e eMOT(s) a força contra eletromotriz devido a esta velocidade. A equação de movimento
da bobina móvel considerada como um transdutor elétrico-mecânico como abaixo:
)(..)( silBsF VCD = ,
(1)
)(..)( sulBse DMOT = ,
(2)
onde s é uma variável complexa: ωσ js +=
)(
.
)(
)(..
)(
)()(
2222
)( sZ
lB
sF
sulB
si
sesZ
MD
D
VC
MOTMOTE === , (3)
onde
)(
)()(
su
sFsZ
D
DM = (4)
4
Está apresentada na equação 4 a impedância mecânica presente na bobina
móvel, que está associada à estrutura. Estão incluso todos os elementos mecanicamente
acoplados na bobina móvel, juntos com alguns elementos acústicos acoplados via
diafragma ou cone. O inverso de ZM(s) é chamado de mobilidade mecânica e é denotada
por zM(s), onde:
)(
1
)(
)()(
sZsF
susz
MD
DM == , (5)
daí temos
)(..)( 22)( szlBsZ MMOTE = (6)
A figura abaixo descreve particularmente a relação ente a entrada elétrica e a
geração da força FD, que sobre o diafragma, conseqüentemente sobre o sistema
mecânico.
Figura 4 – Diagrama em bloco para o sistema eletromecânico explicitando as relações
de impedâncias.
Para encontrarmos a impedância na entrada da bobina móvel, remove-se o lado
direito da figura 4, acima, deixando apenas a parte elétrica, de acordo com a figura
abaixo:
Figura 5 – Bloco do circuito elétrico do sistema do alto-falante.
5
)(..)()()(
)()( 22
)()( szlBsZZsZsi
sesZ MEMOTEE
VC
GinE +=+==
(7)
onde,
sLRRZ VCVCGE .++= (8)
e,
)(
)()(
sF
susz
DM = , (5)
ZE(s) é a impedância interna da fonte. E este assunto não é o foco dos nossos
estudos e pode ser melhor estudado por Rudd (1938).
1.2 O Circuito Mecânico
Para desenvolver a resposta na pressão sonora, primeiramente devemos
expressar o sistema inteiramente em termos mecânicos, e, só então, considerar a pressão
produzida na distância do cone do alto-falante, considerando-o como um diafragma. Se
SD é a área efetiva do diafragma, isto é, a área projetada do cone, e uD(s) sendo a
velocidade linear, a velocidade do volume ou ‘corrente acústica’ produzida pelo
diafragma será:
)(.)( suSsU DDD = (9)
No caso da porta de radiação, a velocidade do ar nela é:
)(.)( suSsU PDP = (10)
onde up(s) é a velocidade linear do pistão de área também SD
Para converter a entrada do sistema, para termos mecânicos, a força é análoga à
corrente e, a velocidade à voltagem, então expressar todos componentes elétricos como
mobilidade mecânica. Assim podemos expressar:
Mobilidade Mecânica:
..
)()(
22 lB
sZsz E
EM = (11)
Velocidade Percorrida:
6
..
)()(
lB
sesu G
G =
(12)
A corrente ao percorrer a bobina ativa gera uma força sobre o diafragma,
)(..)( silBsF VCD = , a qual flui pela mobilidade mecânica zM com uma velocidade uD,
conforme a figura abaixo:
Figura 6 – Digrama de bloco do sistema do circuito elétrico.
No caso do alto-falante trabalhar em “open-baffle”, a mobilidade mecânica zM(s)
pode ser escrita, de acordo com a figura 2, como um circuito em paralelo, representado
no lado direito da figura 7:
Figura 7 – Representa as propriedades mecânicas de acordo com o seguinte trecho, da
parte direita da figura 2, que aqui está representado à esquerda.
)(.
1.
)(
1)( MAMS
MSDT
EME r
sCsm
szsZ ++==
A partir da figura 5, pode-se fazer um corte A-B e, através do Teorema de
Northon, reescrever a constante de “voltagem” (velocidade) do gerador uG(s) por um
gerador de “corrente”(força), conservando todas as propriedades apresentadas até agora,
conforme representado abaixo:
7
Figura 8 – Gerador de força constante equivalente da figura 6.
Onde, )(sFG é:
EM
G
EM
GG zlB
se
z
susF
..
)()()( == (13)
Ou, usando a seguinte relação:
)(
.).()(
sZ
lBsesF
E
GG = (14)
E ao considerar a “Impedância” equivalente do sistema representado na figura 8,
pode-se verificar que a corrente (uD) percorre as duas mobilidades mecânicas, e sistema
da figura 8, pode ser entendido de conforme a figura 9.
Figura 9 – Bloco de diagrama de impedâncias mecânicas análogas a um sistema de alto-
falante, equivalente à Figura 8.
Ou seja, tem-se um gerador FG(s) e dois elementos em série 1/zEM e 1/zM
percorridos por um fluxo que é a velocidade uD(s). E ao considerar as equações 8 e 12,
podemos escrever as seguintes equações:
2222 .
.
. lB
sL
lB
RRZ VCVCG
E ++= (15)
8
Desta forma podemos representar o circuito em série como uma combinação de
resistência e indutância:
VCG RR
lBR
+=
22.
(16)
22 .lB
LC VC= (17)
E não é difícil demonstrar que:
1..)(
+==
sCR
RZsZ RCEM (18)
E ao considerar a relação acima e o sistema apresentado na figura 7, podemos
representar o sistema simplificado abaixo:
Figura 10 – Expansão do sistema apresentado na figura 9, que apresenta todas os
parâmetros de um alto-falante, exceto os acústicos.
E de acordo com a representação acima, pode-se obter a velocidade do
diafragma descrevendo a freqüência em função voltagem de entrada e dos parâmetros
do sistema:
)(
)()(
sZ
sFsu
MT
GD = (19)
e sendo,
sCrsm
sLRR
lBsZ
MSMAMSDT
VCVCGMT .
1.
.
.)( )(
22
++++
=
(20)
Até o momento, apresentamos a relação eletromecânica, desde de entrada
elétrica até ser transformada em velocidade no diafragma, o próximo passo é o estudo
da transformação mecânica em Acústica.
9
1.3 Relação Mecânico-acústica
Uma das formas mais complexas de leitura acústica é uma montagem que
envolve “open Baffle”, em que esses efeitos devem ser incorporados em mDT e rMST.
Assim, podemos considerar o diafragma do alto-falante como um transdutor mecânico-
acústico. Para fazer isso, é necessário separar as propriedades mecânicas (massa,
compliância e resistência) dos parâmetros geométricos representados na figura 2 e 11.
Na figura 2, o cone do alto-falante é representado como um diafragma bem leve
de área SD que se move sem atrito ou fricção nele mesmo. A força é imposta pela bobina
móvel e a pressão, em ambos os lados, agem de várias formas conforme o carregamento
acústico. Como no caso dos transdutores eletromecânicos, pode-se escrever as equações
abaixo:
)()( suSsU DDD = (9)
D
ADD S
sFsp
)()( = (21)
Onde UD(s), é a transformada de Laplace da mudança da taxa de volume
deslocado, e pD(s) corresponde a função da pressão que age no diafragma, que se
relaciona com a força FAD exercida pela parte mecânica. Utilizando as equações 9 e 21,
e usando a relação correspondente a equação 5, pode-se exprimir a impedância
mecânica do diafragma ZMA(s), em função da impedância acústica, como abaixo:
2
2
).(
)(
)(
)(
)()(
DA
DD
D
D
ADMA
SsZ
SsU
sp
su
sFsZ
=
==(22)
Assim, a montagem de um diafragma como um transformador que conecta a
parte mecânica à acústica do sistema, a uma taxa SD, está representada abaixo:
Figura 11 – Bloco equivalente à figura 10 com o circuito acústico acoplado.
10
E ainda, ao retirar o transformador que está conectando as partes, mecânica e
acústica do sistema, obtém-se dois circuitos análogos de acordo com a figura abaixo,
onde a esquerda esta representado a parte mecânica e à direita a parte acústica:
Figura 12 – Impedância Mecânica (esquerda) e acústica (direita) formada ao se retirar o
transformador da figura 11.
Na prática, cada um está representado como uma “caixa-selada” em que cada
lado possui características diferentes.
Ao expandir a figura 11 para incluir dois transformadores, um para cada lado de
acordo com a figura 13. Pois, a atuação da força se dá tanto para dentro da caixa, quanto
para fora, atuando sobre o ar, fazendo-o propagar.
Figura 13 – O esquema apresenta o acoplamento acústico de leitura de ambos os lados
do cone dentro do circuito mecânico, e fora relacionado a propagação acústica.
Multiplicando por SD2 todos os termos mecânicos, podemos encontrar a figura
abaixo.
11
Figura 14 – Esquema do circuito mecânico correspondente à figura 13 com o
transformador removido.
1.4 Solução do circuito mecânico
Antes de resolver o circuito da figura 13, notemos que ZM(EM) representa todas as
impedâncias dos elementos do circuito apresentado na figura 9.
)(
1
)(
)(
sZsF
su
MTG
D = (19a)
Onde ZMT(s) representa a impedância mecânica efetiva total do sistema.
Para sistemas mais complicados como caixas seladas reflexivas, podemos
escrever a equação 19a mais genericamente como:
Equação 23
)()(
1
)(
)(sG
sZsF
sui
MTG
i == (23)
Onde:
ui: representa a velocidade linear do diafragma de radiação;
Gi: é a admitância relacionada a velocidade ui e à força de acionamento FG(s)
Assim, podemos considerar que Gi(s) é conhecida pela análise da função ui(s)
pela ( ))().()( 1 sGsFLtu iGi−=
(24)
Ou seja, o inverso da transformada de Laplace da função de transferência e
Força excitadora permite encontrar a velocidade da onda. Apresentam-se abaixo, dois
casos teoricamente importantes para analisar um circuito como o apresentado acima.
Ao se estudar as respostas dos sistemas considera-se dois casos:
I) Estado de regime para uma função senoidal;
12
II) Transiente, através da resposta impulso e ao degrau unitário.
A função FG(s) da força de acionamento foi expressa na equação 14, como uma
função da voltagem de acionamento eG(s) que neste momento, pode ser expressa como o
produto abaixo:
)(.)( sfEse GGG = (25)
Usando a equação 14
)(
)(..)(
sZ
sflBEsF
E
GGG =
(26)
= −
)(
)().(...)( 1
sZ
sGsfLlBEtu
E
iGGi
(27)
E a partir do conceito de transformada inversa de Laplace pode-se encontrar a
função ui(t) no tempo.
I - Estado de Regime
Ao adotar uma função de entrada:
).sin(.)( 1 tEte GG ω=
(28)
+
= −
)(
)(...)( 2
12
11
sZ
sG
sLlBEtu
E
iGi ω
ω
(29)
Ao expressar a função de transferência Gi(s) como fração de dois polinômios em
s, pode-se escrever:
)(
)()(
sQ
sPsGi =
(30)
e escrevendo,
)()(
)(sA
sZ
sP
E
=
(31)
A equação se torna
13
+= −
)().(
)(...)(
21
2
11
sQs
sALlBEtu Gi ω
ω
(32)
∑=
−−
++
=
+
q
k
ts
kk
tj kesQs
sAe
jQ
jA
sQs
sAL
3
.
21
2
.
11
12
12
1
)(')(
)(
)(.
)(
)().(
)(.1
ωωωω
ωω
(33)
para valores (t > 0), onde
KSSk ds
sdQsQ
=
= )(
)('
e sk com k=3 .. q são as raízes de Q(s)=0.
Devido o segunda a segunda da equação 33 cair exponencialmente com o tempo.
Podemos escrever que a solução em regime é representada apenas pela função da
direita.. Onde podemos reescrever a equação 33.
)sin()(
)(...)( 1
1
1 θωωω += t
jQ
jAlBEtu Gi
(34)
Usando a equação 30, 31 e 1.ωjs =
)sin()(
)(...)( 1
1
1 θωωω += tjZ
jGlBEtu
E
iGi
(35)
ou
)(
)(...)(
1
11 ω
ωωjZ
jGlBEju
E
iGi =
(36)
Ou seja a partir das equações 23 e 26 obtém-se a resposta em regime na equação 37,
usando fG(s)=1 e escrevendo 1.ωjs = , pode-se simplificar a equação 37 para baixas
freqüências se ignorar a pequena indutância dos componentes:
VCGE RRZ +≅
e assim
)(..
)( 11 ωω jGRR
lBEju i
VCG
Gi +
=
14
II – Resposta Transiente
As duas formas mais comuns de comportamento transiente de interesse são as
respostas ao impulso e ao degrau unitário. Substituindo as funções das respostas na
equação 27 obtém-se as respectivas respostas:
)(
)(...)( 1
sZ
sGLlBEtu
E
iGIMPULSEi
−= (40)
e
)(.
)(...)( 1
sZs
sGLlBEtu
E
iGSTEPi
−= (41)
1.5 Considerações sobre a pressão sonora
Até o momento ateve-se a atenção na análise para determinar a velocidade de
vibração no diafragma. A partir desse momento, analisa-se a pressão sonora numa dada
distância em função da voltagem de entrada no circuito, uma vez que o alto falante é
tanto um transdutor eletro-mecânico quanto um radiador acústico.
Considerando )(tpr como pressão sonora instantânea, sendo esta uma função
do tempo medida a uma distância r de uma fonte simples. Além disso, considera-se que
o som se propaga em uma esfera com uma velocidade de volume U(t).
−=
c
rtU
dt
d
rtp o
r ..4)(
πρ
(42)
onde:
oρ : densidade do meio;
−
c
rtU : função da pressão sonora causada à distância r pela velocidade volumétrica
U(t) ocorrido com um atraso de r/c;
Ao ignorarmos o atraso pode-se simplificar a equação a 42 na equação abaixo:
)(..4
)( tUdt
d
rtp o
r πρ=
(43)
Assim para encontrar a magnitude da pressão sonora a uma distância r da fonte,
cuja velocidade volumétrica é U(t), deve-se, primeiramente, encontrar a função da
15
velocidade volumétrica, e depois multiplicar sua primeira derivada por oρ / r..4 π . No
entanto, ao utilizar a transformada de Laplace no domínio da freqüência, e considerar a
equação 43, podemos escrever:
)(..4
.)( tu
dt
d
r
Stp i
Dor π
ρ= (44)
)(...4
. 1 susLr
Si
Do −=π
ρ(45)
e usando a equação 37
)(
)().(.
..4
....)( 1
sZ
sGsfsL
r
lBEStp
E
iGGDor
−=π
ρ
(46)
Ao considerar que as equações encontradas até este ponto, estão relacionadas a
uma fonte simples e ideal que emite ondas esféricas uniformes, dever-se-á considerar os
efeitos e as condições práticas no resultado final. Dois casos de interesse prático serão
considerados. Um deles é um alto-falante montado sobre plano de área infinita e
operando em baixa freqüência, suficiente para evitar qualquer efeito direcional. O outro
é de um alto-falante em uma caixa, cujas dimensões são pequenas se comparadas ao
comprimento de onda da freqüência de interesse, sendo que seus efeitos direcionais de
propagação do som podem ser desconsiderados.
I) Resposta Estacionária: Considerando uma excitação senoidal, pode ser
encontrar a seguinte equação:
+
=
+
=
−
−
)(
)(
..4
.....
)(
)(.
..4
..)(
21
2
11
21
211
sZ
sG
s
sL
r
lBES
sZ
sG
s
sL
r
lBStp
E
iGDo
E
iDor
ωπωρ
ωω
πρ
(47)
Escrevendo
)(
)(.)(
sZ
sPssB
E
=
(48)
Obtêm-se
+
= −
)(.
)(
..4
.....)(
21
2
11
sQs
sBL
r
lBEStp GDo
r ωπωρ
(49)
16
E ao comparar essa acima equação com a 33 e 34, tem-se:
)sin(
)(
)(..
..4
....
)sin()(
)(
..4
....)(
11
11
11
1
θωω
ωωπ
ρ
θωωω
πρ
+=
+=
tjQ
jGj
r
lBES
tjQ
jB
r
lBEStp
iGDo
GDor
(50)
E ao comparar às equações 33 e 34, pode-se escrever
).(
).(..
..4
....).(
1
111 ω
ωωπ
ρωjZ
jGj
r
lBESjp
E
iGDor =
(51)
Se definir uma freqüência de referência, Hω , alta o suficiente para que o
movimento do diafragma do alto-falante tenha massa controlada, mas baixa o suficiente
para o padrão de radiação permanecer não direcional, assim têm-se:
DTHHi mj
jG..
1).(
ωω = (52)
e
).(.
1
..4
....
).(
).(..
..4
....).(
HEDT
GDo
HE
HiHGDoHr
jZmr
lBES
jZ
jGj
r
lBESjp
ωπρ
ωωω
πρω
=
=
(53)
Portanto
).(
).()..(...
).(
).(
111
1
ωωωω
ωω
jZ
jZjGmj
jp
jp
E
HEiDT
Hr
r =
(54)
Ao utilizar os resultados acima e na equação 38, a equação é reduzida para:
).(
).(...).(
).(
1
111
ω
ωωωω
jG
jGmjjp
jp
Hi
iDTHr
r
=
=(55)
Da qual, pode-se escrever:
φ
ωω .1
.
.
).(
).( j
Hr
r eBjC
BjA
jp
jp
++= (56)
onde A, B, C e D são funções de 1ω.
17
C
D
A
B 11 tantan −− −=φ (57)
Normalmente ).( 1ωjGHi é derivado para encontrar a admitância transferida
)(sGi entre a velocidade do elemento radiador em análise e a força de acionamento
)(sFG , multiplicando )(sGi por smDT . e depois fazendo a substituição 1.ωjs = .
Assim
[ ] [ ]11 .. )(..)( ωω jsiDTjsHi sGsmsG == =
(58)
[ ]1
1
.
. )(
)(..)(
ωω
jsG
iDTjsHi sF
susmsG
==
=
(59)
Como exemplo de radiador direto de alto falante, adota-se um caso de baffle
plano, para o qual a impedância mecânica efetiva é dada na equação 20. Este fenômeno
pode ser simplificado ao utilizar baixas freqüências, e a simplificação realizada na
equação 38, que permite agrupar o equivalente mecânico do amortecimento elétrico
através )(MAMSr fornecendo uma resistência total MSTm . Logo, com esta modificação
a equação 23, pode ser escrita da seguinte forma:
scrsm
scRR
lBrsm
sZsGsG
MSMSTDT
MSVCGMAMSDT
MTDi
.
1.
1
.
1..
1
)(
1)()(
22
)(
++=
+
+
++===
(60)
Se Sω é a freqüência de ressonância natural de um alto-falante montado sobre
seu Baffle e QST o total efetivo Q da vibração do sistema medido em Sω , logo:
1.. 2)( =SMAMSDT Cm ω
(61)
e
SMTMSMST
SDTST rCr
mQ
ωω
..
1. ==
(62)
Logo se tem
18
22
21)(
SST
SDTi
sQ
s
s
msG
ωω ++=
(63)
Portanto
[ ] [ ]
!.
22
2
..1 )(..)(
).(
).(
ω
ωωωωω
ω
jS
SST
SjSHiDTjSHi
Hr
r
sQ
s
ssGsmsG
jp
jp
=
==
++===
(64)
Se a variável s for normalizada com a freqüência de ressonância Sω ,
substituindo
gjjs
sSS
N .. 1 ===
ωω
ω
a equação 64 se torna
gjs
NST
N
N
Hr
r
N
sQ
s
s
jp
gjp
.
2
2
11).(
).(
=
++=
ω (65)
Que tem uma forma bem conhecida que é uma equação de segunda ordem, um
filtra passa-alta, em que o filtro “butterworth” é um caso especial onde 2/1=STQ .
Fazendo a substituição gjsN .= na equação e substituindo )(refpr por ).( Hr jp ω ,
assim encontra-se
φ.
2
2
2
2
11
1)1()(
).(
j
ST
ST
r
r
e
Qgg
g
gQ
jg
g
refp
gjp
+
−
=
+−
−=
(66)
Onde
)1.(tan
21
gQ
g
ST −−= −πφ (67)
Ao ignorar o ângulo de fase, a resposta da freqüência em dB relativos a reposta a
freqüência de referência é dado por:
19
2
222
2
)1(
log.20)(
).(log.20
ST
r
r
Q
gg
g
refp
gjp
+−= (68)
1.6 Solução Geral
Agora irá se estabelecer as funções de transferência para sistemas de alto-falante
em geral que incorporam todos os elementos essenciais associados com a variedade dos
sistemas encontrados na prática. As soluções particulares para estes vários sistemas,
serão derivadas como casos especiais da solução geral através da eliminação de
elementos indesejáveis.
A figura 15, representa a impedância analógica do sistema mostrado na figura 2,
do mesmo modo que esboçado anteriormente e ilustrado para simplificar o caso de
sistema de caixa selada nas figuras 13 e 14. A impedância ZM(EM) da figura 14 foi
expandido na figura 15 para mostrar seus componentes mDT, rMST e CMS, onde mDT e rMST
incluem os componentes mecânicos do carregamento acústico que ocorrem em ambos
os lados do cone. Para simplificação vamos denotar impedância do trecho como a.
Figura 15 – Acima tem-se a figura 2, novamente representada, e abaixo apresenta-se o
circuito de impedâncias mecânicas análogas ao sistema generalizado de alto-falante.
20
A compliância CMB e sua resistência de amortecimento rMB representam o
equivalente mecânico da caixa de que é demonstrado através no trecho b. Os elementos
que se relacionam com a emissão sonora através do ar estão representados no trecho c.
Normalmente numa caixa reflexiva, isto incluiria apenas mP e rMP, mas para permitir o
reajuste através de um diafragma radiante passivo de área SDP e compliância CMPR, uma
compliância mecânica deve ser incluída:
2
=
R
DPMPRMP S
SCC (69)
E os componentes mP e rMP devem ser dados por
2
=
DP
DMPRMP S
Srr (70)
e
2
=
DP
DPRP S
Smm (71)
Finalmente, a resistência acústica que causa dissipação na velocidade
volumétrica da caixa para a atmosfera é mostrada como rML e sinalizado como trecho d.
Referente à figura 15, a entrada de admitância mecânica conecta o diafragma de
velocidade uD(s) ao sistema de força de excitadora FG(s) é dado por:
dabcdabcdabc
dbcdbc
sF
susG
G
DD +++
++==)(
)()( (72)
Analogamente, as outras admitâncias que conectam à função de acionamento
FG(s) ao sistema de velocidades uB(s), uP(s) e uL(s) são dadas por:
Admitância na caixa )(sGB ,
)()(
)()(
abcdf
cd
sF
susG
G
BB == (73)
Admitância no radiador passivo )(sGP ,
)()(
)()(
abcdf
db
sF
susG
G
PP == (74)
Admitância de perda acústica )(sGL ,
)()(
)()(
abcdf
bc
sF
susG
G
LL == (75)
21
Onde f(abcd) é o denominador da equação 72, que pode ser representada de
acorda com a figura abaixo, ou seja, a admitância do diafragma pode ser representada
como a soma da admitância da caixa, do radiador passivo e da perda acústica, como na
equação abaixo:
)()()()( sGsGsGsG LPBD ++= (76)
Essa equação expressa o fato da velocidade volumétrica do diafragma o
somatório das velocidades associadas com toda’s aberturas e compliâncias do contato
acústico direto com o diafragma.
Da análise da figura 15, podemos escrever os valores de a, b, c e d, como a
seguir:
sCrsma
MSMSTDT .
1. ++=
sCrb
MBMB .
1+= (77)
sCrsmc
MPMPP .
1. ++=
MLrd =
E assim analisando as equações até agora descritas. Neste processo é
conveniente fazer as seguintes substituições para facilitar as medições.
Sendo
MB
MS
C
C=α (78)
MP
MS
C
C=β (79)
ωωBh = (80)
Logo, sendo:
1.. 2 =SMSDT Cm ω (81)
e
1.. 2 =
++
BMPMB
MPMBP CC
CCm ω (82)
Agora, podendo escrever:
Taxa de reatância do alto falante para a freqüência Sω
22
MSTSMSMST
SDTS rCr
mQ
..
1.
ωω
== (83)
Taxa de reatância na caixa devido resistência mecânica MBr na freqüência Sω
MBSMSMBBMBB rChrC
Q..
1
..
1
ωα
ω==
(84)
Taxa de reatância no radiador devido resistência mecânica MPr na freqüência
Sω
MPSMSMP
BPP rChr
mQ
..
1
ωβαω +== (85)
Taxa de reatância de perda devido resistência mecânica MLr na freqüência Sω
MLSMSBMBLL rCh
CrQ ..... ωα
ω == (86)
Disso, podemos escrever
2.
1
SMS
DTC
mω
= (81a)
22 .
1
SMS
PCh
mω
βα +=
(82a)
SSMSMST QC
r..
1
ω= (83a)
BSMSMB QCh
r..
1
ωα=
(84a)
PSMSMP QCh
r..
1
ωβα += (85a)
SMS
LML C
Q
hr
ωα
.= (86a)
Com estas substituições, nós devemos avaliar as equações dispostas através das
quatros transformadas de Laplace das admitâncias [Gi(s)]i = D, B, P, L das quais as
respectivas respostas de velocidade são obtidas.
23
Para obter as funções de admitâncias do sistema GHi(s), a partir dass quais a
resposta permanente e transiente da pressão sonora são obtidas, deve-se avaliar GHi(s)
para cada interpretação de i = D,B,P ou L, onde D representa o diafragma, B, a caixa, P,
o radiador e L a perda acústica. Para fazer isso devemos multiplicarmos numeradores de
cada equação de Gi(s) por smDT . . Assim fazemos a seguinte substituição:
2..
SMS
DTC
ssm
ω=
Se normalizar a variável s para a freqüência de ressonância do alto-falante Sω
escrevendo sN por s/ Sω , as equações por GH(i)(s) tomando a forma de razão de dois
polinômios de potências descendentes de sN. Assim
01
1
01
1)(
..........
..........)(
BsBsB
AsAsAsG
nNn
nNn
mNm
mNm
iH ++++= −
−
−−
(87)
)(
)()(
N
NiH
sQ
sP= (88)
Como os resultados das funções são difíceis para expressar convenientemente na
forma convencional, foi adotado um formato tabular para os coeficientes como também
permitir que os termos fossem numerados para posterior referência.
A tabela1 do Anexo, demonstra nas colunas verticais os componentes dos
coeficientes Bk, (k=n, n-1,. ..0), do denominador Q(sN) que é comum a todas as quatro
soluções. Os componentes correspondentes aos numeradores de GHB(s), GHP(s), GHL(s) e
GHD(s) estão na tabela2 do Anexo, dos quais o somatório expressa nas equações 76 é
evidente.
Denominador das funções de transferência:K
NK
KR sBQ ∑=
=0,1,2,3,4
A transformada de Laplace da admitância da caixa acústica )(sGHB é:
)(
..
..
)(
345
N
NNP
N
HB sQ
sh
sQ
hs
sGβα
β+
++= (89)
A transformada de Laplace da admitância do radiador passivo )(sGHP é:
24
)(
..
.).(
.
)(
32
4
N
NNB
HP sQ
sh
sQ
h
sGβα
αβα
α+
++
= (90)
A transformada de Laplace da admitância das perdas acústicas )(sGHL é:
)(
).(
..
.
.
.).(
.
)(
...
..
1
)(
23
322
45
N
NL
NPLLB
N
NLPLB
NLB
HL
sQ
sQ
hs
h
h
sQ
sQ
h
QQQ
hs
QQsG
βαββ
βαβ
++
+
++
++
=
(91)
A transformada de Laplace da admitância do diafragma )(sGHD , que é a soma
de todas as anteriores é:
)(
).(
..
..).(
.
)(
.
)(
.
)(
....).(
..
.
11
)(
23
32222
42
5
N
NL
NPLLB
N
NLPLBLBP
NLB
HD
sQ
sQ
hs
h
hhh
sQ
sQ
h
QQQ
h
h
Q
hs
QQsG
βαβ
βαβ
βαα
βαβ
βαβ
++
+
++
++
++
++
+++
+
=
(92)
A partir deste momento, pode-se encontrar as soluções particulares utilizando as
equações de transferência encontradas de 89 a 92. As quais representam a generalização
dos sistemas apresentados da figura 2 a 15. E o denominador dessas equações é
descrito na Tabela 1 (anexo A).
25
Capítulo 3Modelagem Teórica
3.1 Matriz de controle dos denominadores
Para descrever o modelo generalizado a partir da determinação das entradas: QB,
QP, QL, QS, h, g,α e β. É necessário, primeiramente estabelecer quais desses
elementos não existem, de acordo com a figura 15, é necessário verificar quais
elementos deve ser desconsiderados para fazer a montagem do denominador de acordo
com a equação utilizando a tabela 1 do anexo A.
A para gerar o denominador automaticamente de acordo com os elementos
presentes no modelo escolhido, gerou-se uma tabela, para verificar quais desses ser
desconsiderados de acordo com os principais elementos QB, QP, QL, QS.
Tabela 1 - Nesta tabela abaixo, as colunas indicam a presença dos elementos QP,
QS, QB ou QL nas respectivas linhas. E se um desses elementos forem infinitos, essas
linhas não devem ser utilizadas.
QP QS QB QL
1 0 0 0 02 1 0 0 03 0 0 0 04 0 1 0 05 1 1 0 06 0 1 0 07 0 0 0 08 1 0 0 09 0 0 0 0
10 0 0 1 011 0 0 0 012 0 1 1 013 0 1 0 014 0 0 1 015 0 0 0 016 0 0 1 117 1 0 1 118 0 0 1 119 0 0 0 120 1 0 0 121 0 0 0 122 0 1 1 123 1 1 1 124 0 1 1 125 0 1 0 126 1 1 0 127 0 1 0 128 0 0 1 129 1 0 1 1
26
30 0 0 1 131 0 0 0 132 1 0 0 133 0 0 0 134 0 0 1 035 1 0 1 036 0 0 1 037 0 0 0 038 1 0 0 039 0 0 0 0
E para estabelecer se alinha vai ser utilizada ou não, criou-se, também um vetor
de controle, que indica quais desses elementos poderão ser considerados infinitos. De
acordo com o vetor abaixo:
Tabela 2 – Este vetor pode ser descrito com em uma tabela , onde cada linha é
interpretada, quando igual a um, da seguinte forma, que o elemento correspondente está
sendo considerado infinito.
1 QP
0 QS
0 QB
1 QL
Onde, como exemplo, os valores um na linha 1 e 4 indicam que QP é infinito,
assim como QL.
E a partir da multiplicação de cada linha da tabela 1, pela coluna da tabela 2
obtém-se um vetor onde o valor zero, em uma linha desse vetor, significa que o
coeficiente respectivo à linha da Tabela 1 do Anexo A, deve ser utilizada para gerar o
denominador da equação. E se for 1, a linha do vetor não deverá ser utilizada.
E baseado nesse modelo explicado acima, que foi feito o programa do Anexo B.
3.2 Verificação de soluções particulares
3.2.1 Exemplo A - caixa de alto falante reflexiva
Abaixo, apresenta-se uma exemplificação, para um alto falante em uma caixa
reflexiva. Para tanto é necessário analisar a figura 15, que apresenta a generalização, e
verificar os termos que não existem, o que implicará em simplificação dos coeficientes
da equação.
∞→MLr , deste modo, ∞→LQ (condição A)
e
27
∞→MPC , portanto, 0==MP
MS
C
Cβ (condição B)
Utilizando essas condições podemos verificar que, através das condições A,
automaticamente GHL(s) = 0; e, aplicando essas condições nas equações 89, 90 e 92,
encontramos:
)(
..
)(
34
NR
NP
N
HB sQ
sQ
hs
sG
+= (93)
)(
..
)(
223
NR
NNB
HP sQ
shsQ
h
sG
+= (94)
)(
...
)(
2234
NR
NNBP
N
HD sQ
shsQ
h
Q
hs
sG
+
++
=(95)
onde QR(sN) é um polinômio na forma 1
1,2,3,4
−
=∑= K
NK
KR sBQ ; e os elementos
BK são encontrados na Tabela2 do Anexo A.
Dois casos derivados das equações 93 a 95 serão agora considerados por meio de
ilustração. Além do que para todos estes casos adotou-se o valor de g, freqüência
variável normalizada (ω /ω S), igual 1.
3.2.2 Exemplo B - caixa de alto falante reflexiva com amortecimento
Em primeiro momento adota-se um sistema reflexivo com amortecimento no
alto falante, além das condições A e B citadas anteriormente, faz-se:
1=h (Condição C)
e
∞→BQ ; (Condição D)
)(
.1
.
)(
34
NR
NP
N
HB sQ
sQ
s
sG
+= (96)
)()(
2
NR
NHP sQ
ssG = (97)
)(
.1
.
)(
234
NR
NNP
N
HD sQ
ssQ
s
sG
+
+
=(98)
28
E fazendo os coeficientes abaixo assumirem os seguintes valores:
QS Q na freqüência ω S, definido na equação 83;
QS = 0,5
QB Q da caixa em ω P devido a rMB e definido na equação, definido na equação 84;
QB = 105
QP Q da caixa em ω P devido a rMP e definido na equação, definido na equação 85;
QP = 3
α Fração da compliância do alto falante pela compliância da caixa ( MBMS CC /= );
2=α
β Fração da compliância do alto falante pela compliância da porta ( MPMS CC /= );
0=β
E as respostas das funções de transferência 96, 97 e 98, são obtidas na figura
abaixo:
29
Figura 16 – Resposta em freqüência para as equações de transferência descritas
da equação 96 a 98,
Onde, 96: GHB – está em vermelho;
97: GHP – está em azul;
98: GHD – está em margenta.
E o do valor do denominador encontrado foi:
1.0000 .2.8047 .4.0809 .2.3333.1.0000)( 234 ++++= NNNNNR sssssQ
3.2.3 Exemplo C - caixa de alto falante reflexiva sem amortecimento
Para um sistema reflexivo não amortecido de alto falante, além das condições A
e B citadas anteriormente, faz-se:
1=h (Condição C’)
e
∞→BQ ; (Condição D’)
∞→PQ ; (Condição E)
Após aplicar estas condições as equações da 96 a 98, se tornam:
)(
.)(
4
NR
NNHB sQ
ssG = (99)
)(
.)(
22
NR
NNHP sQ
shsG = (100)
)(
..)(
224
NR
NNNHD sQ
shssG
+= (101)
E ao utilizar a Tabela 1 do Anexo A, pode-se encontrar o denominador )( NR sQ
, para o caso acima. O programa desenvolvido no matlab, verifica linha por linha dessa
tabela montando este denominador. E para esse caso, o denominador assumiu o seguinte
valor:
1.1
).2(.1
.)( 2234 +++++= NS
NNS
NNR sQ
ssQ
ssQ α
30
QS Taxa de reatância para a resistência na freqüência ω S, definido na equação 83;
QS = 0,3827
QB Taxa de reatância para a resistência da caixa em ω P devido a rMB e definido na
equação, definido na equação 84;
QB = 105
QP Taxa de reatância para a resistência da caixa em ω P devido a rMP e definido na
equação, definido na equação 85;
QP = 105
α Fração da compliância do alto falante pela compliância da caixa ( MBMS CC /= );
2=α
β Fração da compliância do alto falante pela compliância da porta ( MPMS CC /= );
0=β
E ao aplicar os valores acima nas equações de 99 a 101, obteve-se as seguintes
funções de transferência, descritas na figura abaixo:
31
Figura 17 – Resposta em freqüência para as equações de transferência descritas
da equação 99 a 101,
Onde, 99: GHB – está em vermelho;
100: GHP – está em azul;
101: GHD – está em margenta.
E o do valor do denominador encontrado foi:
1.0000 .2.6163 .3.4142 .2.6130.1.0000)( 234 ++++= NNNNNR sssssQ
3.3 Alto Falante Plano
Quando se analisa o alto falante plano, percebe-se que a presença da caixa não
existe. Ou seja, à partir da figura 2, onde apresentou-se uma solução genérica de um alto
falante é possível definir um alto falante plano como um caso particular.
Um alto falante plano é tipicamente um caso de ‘Infinity baffle’, onde não há
presença de caixa selada e as freqüências de interesse não são pequenas suficientes para
que não se possa comandar o diafragma, e nem alta o suficiente onde os deslocamentos
não sejam lineares.
32
Para o caso de “Infinity Baffle’ deve-se eliminar a compliância da CAB (
∞→ABC ), obtendo assim, um plano infinito onde toda radiação propagado emana da
frente da caixa. E ignorando o volume C0 residual entre o cone e a membrana
amortecedora, e de acordo com as freqüências em que se deseje trabalhar e a
temperatura do ar a resistência acústica da caixa tem maior ou menor influência.
Utilizando a solução geral encontrada nas equações 89, 90, 91 e 92 pode-se
reescrevê-las para este caso particular, guardando condições apropriadas para o mesmo,
conforme segue abaixo:
KN
KK
KN
KK
HDsB
sA
G∑∑
=
==
0,1,2,3,4,5
2,3,4,5
(102)
2
1111
1
NNS
HD
ssQ
G++
=
112
2
++=
NS
N
NHD
sQ
s
sG
(103)
Onde uma solução particular interessante para este sistema de segunda ordem é
quando 21=SQ , e tem-ser um filtro passa alta como citado anteriormente
“Butterworth”:
1.22
2
++=
NN
NHD
ss
sG (104)
Condições para gerar o gráfico da figura
33
Figura 18 – Resposta em freqüência para a equação de transferência descrita na equação
103 ou 104,
Como era de se esperar a única resposta que aparece é a do diafragma que é a mesma da caixa. E acima se apresenta o filtro “butterworth”.
34
Capítulo 4Análise e Discussão
O modelo descrito no programa em Anexo, está coerente com o modelo teórico
esperado. As curvas de resposta em freqüência encontradas nas figuras 16 e 17
conferem com os modelos encontrados em Benson [1963].
O programa em matlab desenvolvido neste trabalho descreve qualquer modelo
de alto falante e caixa acústica, desde de que, seja devidamente estabelecida a entrada:
os valores dos parâmetros QB, QP, QL, QS, h, g,α e β. Deve-se também, estabelecer
quais desses parâmetros são infinitos através do vetor de controle do programa
desenvolvido (Anexo B), pois a partir da informação dos termos corretos da tabela 1
(Anexo A), serão devidamente escolhidos.
Assim, o propósito deste trabalho, que foi desenvolver o modelo geral para alto
falante e caixas acústicas, e aplicá-lo a uma caixa acústica plana, foi tingido.
35
Capítulo 5Conclusões e Sugestões para Próximos Trabalhos
Neste trabalho houve um enfoque em todo momento na descrição e um método
geral para a descrição de alto falante. E assim foi feito.
Para uma análise mais aprofundada para o tipo particular plano, pode ser
desenvolvido um modelo específico para controle. E no caso particular de um alto
falante plano, é possível descrever cada trilha isoladamente, a fim de aplicar sistema de
filtros e controladores a partir do computador.
Assim sendo, por meio de comandos binários, seria possível enviar as
informações para as trilhas do alto falante e a partir de modelos de filtros, baseados em
transformada Z, estabelecer filtragem para baixas freqüências e para latas freqüências.
De acordo, com modelo mais apropriado para as dimensões e as características de
materiais a serem utilizados.
Ou seja, a partir deste trabalho, é possível abrir um leque de possibilidades de
trabalhos nesta área de acústica. Inclusive, na previsão de refinamentos para casos mais
específicos, ou seja, este trabalho serve como ponto de partida para vários outros nesta
área de modelagem e simulação acústica.
36
Referência Bibliográfica
BENSON, J. E. Theory and design of loudspeakers enclosures. Synergetic Audio
Concepts, Estados Unidos, 1993.
BUTTERWORTH, S. On the theory of filter amplifiers. Experimental Wireless and
Wireless Eng. Out. 1930. pp. 536.
JORDAN, E. J. Loudspeaker enclosure design. Wireless World, v.62, Jan. 1956. pp.8
NOVAK, J. F. Loudspeaker enclosure design. Wireless World, v.62, Mai. 1956.
pp.214 [carta resposta]
NOVAK, J. F. Performance of enclosures for low-resonance high-compliance
loudspeakers. Audio Engineering Society, v.7, Jan.1959. pp.29
OLSON, H. F. Acoustical engineering. Van Nostrand, Princeton, 1957.
RUDD, J. B. The input impedance of the voice coil of a loudspeaker. Amalgamated
Wireless Australasia Technical Review, v.3, n.3, 1938. pp.100.
SETO, W. W. Acoustics. McGraw-Hill, Estados Unidos, 1971.
THIELE, A. N. Loudspeakers in vented boxes. Proc. Instn. Radio Engineering, Ago.
1961. pp.487.
37
Anexo A
Tabela 1 – Nesta tabela estão apresentados os coeficientes para o denominador da equação 88.
Bk
RefB5 B4 B3 B2 B1 B0
1 1
2PQ
h
3 βαβ
+
2.h
4SQ
1
5SP QQ
h
.
.
6SQ
h 2
βαβ+
7 1
8PQ
h
9 βαβ
+
2.h
10BQ
h
βαα+
11 βαα
+
2.h
12SB QQ
h
.βαα+
13SQ
h2
βαα+
14BQ
h
βαα+
15 βαα
+
2.h
38
16LB QQ .
1
17PLB QQQ ..
1
18LB QQ
h
.
2
βαβ+
19LQ
h
20PL QQ
h
.
2
21LQ
h3
βαβ+
22SLB QQQ ..
1
23SPLB QQQQ
h
...
24SLB QQQ
h
..
2
βαβ+
25SL QQ
h
.
26SPL QQQ
h
..
2
27SL QQ
h
.
2
βαβ+
28LB QQ .
1
29PLB QQQ
h
..
30LB QQ
h
.
2
βαβ+
31LQ
h
32PL QQ
h
.
2
33LQ
h3
βαβ+
34BQh.
α
39
35PB QQ .
α
36BQ
h
βαβα
+.
37 α
38PQ
h.α
39 βαβα+
2.. h
Tabela 2 – Na tabela abaixo estão apresentados todos os coeficientes do numerador da equação 88.
Bk
RefB4 B3 B2 B1 B0
GHB
1 1
2PQ
h
3 βαβ
+
2.h
GHP
10BQ
h
βαα+
11 βαα
+
2.h
GHL
16LB QQ .
1
17PLB QQQ ..
1
18LB QQ
h
.
2
βαβ+
19LQ
h
20PL QQ
h
.
2
21LQ
h3
βαβ+
40
41
Anexo B
Abaixo, apresenta-se a listagem do programa desenvolvido em matlab, versão 6.5.
D = 0;Nb = 0;Np = 0;Nl = 0;
% Exempplo A%Q_p = 3;%Q_s = 0.5;%Q_b = 100000;%Q_l = 0;
% Exemplo B%Q_p = .3827;%Q_s = 1/sqrt(2);%Q_b = 100000;%Q_l = 0;
% Alto Falante planoQ_p = .3827;Q_s = 1/sqrt(2);Q_b = 100000;Q_l = 0;
beta = 0;alpha = 0;h = 0;
% Matriz das influ^encias dos termos de entrada sobre% os coeficientes que montam o denominador.
A =[0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 0 0;0 1 0 0;1 1 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0;0 1 1 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0;0 0 1 1;1 0 1 1;
42
0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 1;0 0 0 1;0 1 1 1;1 1 1 1;0 1 1 1;0 1 0 1;1 1 0 1;0 1 0 1;0 0 1 1;1 0 1 1;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 1;0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 1 0;0 0 1 0;0 0 0 0;1 0 0 0;0 0 0 0];
%Qp Qs Qb Ql
%V_control = [0; 0; 1; 1]; % Exemplo AV_control = [1; 0; 0; 1]; % Exemplo B
R = A*V_control;
% Equivale `a tabela 1 do anexo A, e% so´ entra na linha se previamente for necessario
if R(1)==0, D = D + [1 0 0 0 0 0], endif R(2)==0, D = D + [0 (h/Q_p) 0 0 0 0], endif R(3)==0 &((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 (beta*h^2/(alpha+beta)) 0 0 0], endif R(4)==0, D = D + [0 1/Q_s 0 0 0 0], endif R(5)==0, D = D + [0 0 h/(Q_p*Q_s) 0 0 0], endif R(6)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 (beta*h^2/((alpha+beta)*Q_s)) 0 0], endif R(7)==0, D = D + [0 0 1 0 0 0], end if R(8)==0, D = D + [0 0 0 h/Q_p 0 0], endif R(9)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 beta*h^2/(alpha+beta) 0], endif R(10)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 alpha*h/((alpha+beta)*Q_b) 0 0 0 0], endif R(11)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 alpha*h^2/((alpha+beta)) 0 0 0], endif R(12)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 alpha*h/((alpha+beta)*Q_b*Q_s) 0 0 0], endif R(13)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 alpha*h^2/((alpha+beta)*Q_s) 0 0], endif R(14)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 alpha*h/((alpha+beta)*Q_b) 0 0], endif R(15)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 alpha*h^2/(alpha+beta) 0], endif R(16)==0, D = D + [1/(Q_b*Q_l) 0 0 0 0 0], endif R(17)==0, D = D + [0 h/(Q_b*Q_l*Q_p) 0 0 0 0], endif R(18)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 beta*h^2/((alpha+beta)*Q_b*Q_l) 0 0 0], endif R(19)==0, D = D + [0 h/Q_l 0 0 0 0], endif R(20)==0, D = D + [0 0 h^2/(Q_l*Q_p) 0 0 0], endif R(21)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 beta*h^3/((alpha+beta)*Q_l) 0 0], endif R(22)==0, D = D + [0 1/(Q_b*Q_l*Q_s) 0 0 0 0], endif R(23)==0, D = D + [0 0 h/(Q_b*Q_l*Q_p*Q_s) 0 0 0], endif R(24)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 beta*h^2/((alpha+beta)*Q_b*Q_l*Q_s) 0 0], endif R(25)==0, D = D + [0 0 h/(Q_l*Q_s) 0 0 0], end
43
if R(26)==0, D = D + [0 0 0 h^2/(Q_l*Q_p*Q_s) 0 0], endif R(27)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 beta*h^3/((alpha+beta)*Q_l*Q_s) 0], endif R(28)==0, D = D + [0 0 1/(Q_b*Q_l) 0 0 0], endif R(29)==0, D = D + [0 0 0 h/(Q_b*Q_l*Q_p) 0 0], endif R(30)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 beta*h^2/((alpha+beta)*Q_b*Q_l) 0],
endif R(31)==0, D = D + [0 0 0 h/Q_l 0 0], endif R(32)==0, D = D + [0 0 0 0 h^2/(Q_l*Q_p) 0], endif R(33)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 0 beta*h^3/((alpha+beta)*Q_l)], endif (R(34)==0)&(h~=0), D = D + [0 alpha/(h*Q_b) 0 0 0 0], disp('oi'), endif R(35)==0, D = D + [0 0 alpha/(Q_b*Q_p) 0 0 0], endif R(36)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 alpha*beta*h/((alpha+beta)*Q_b) 0 0], endif R(37)==0, D = D + [0 0 alpha 0 0 0], endif R(38)==0, D = D + [0 0 0 alpha*h/(Q_p) 0 0], endif R(39)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), D = D + [0 0 0 0 alpha*beta*h^2/(alpha+beta) 0], end
% Monta os numeradores para as respostas% Montando o nb% depente das linhas 1, 2 e 3if R(1)==0, Nb = Nb + [1 0 0 0 0 0], endif R(2)==0, Nb = Nb + [0 (h/Q_p) 0 0 0 0], endif R(3)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), Nb = Nb + [0 0 (beta*h^2/(alpha+beta)) 0 0 0], end
% Montando o np% depente das linhas 10 e 11
if R(10)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), Np = Np + [0 alpha*h/((alpha+beta)*Q_b) 0 0 0 0], endif R(11)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), Np = Np + [0 0 alpha*h^2/((alpha+beta)) 0 0 0], end
% Montando o nl% depente das linhas 16, 17, 18, 19 20 e 21;
if R(16)==0, Nl = Nl + [1/(Q_b*Q_l) 0 0 0 0 0], endif R(17)==0, Nl = Nl + [0 h/(Q_b*Q_l*Q_p) 0 0 0 0], endif R(18)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), Nl = Nl + [0 0 beta*h^2/((alpha+beta)*Q_b*Q_l) 0 0 0], endif R(19)==0, Nl = Nl + [0 h/Q_l 0 0 0 0], endif R(20)==0, Nl = Nl + [0 0 h^2/(Q_l*Q_p) 0 0 0], endif R(21)==0&((alpha~=0)|(beta~=0)), Nl = Nl + [0 0 0 beta*h^3/((alpha+beta)*Q_l) 0 0], end
Nd = Nb+Np+Nl;
cond_1 = Nb*[1 1 1 1 1 1]'; % Verificara´ se nb ´e diferente de zerocond_2 = Np*[1 1 1 1 1 1]'; % Verificara´ se np ´e diferente de zerocond_3 = Nl*[1 1 1 1 1 1]'; % Verificara´ se nl ´e diferente de zerocond_4 = Nd*[1 1 1 1 1 1]'; % Verificara´ se nd ´e diferente de zero
if (cond_1 ~= 0), sys_1 = tf(Nb,D) , endif (cond_2 ~= 0), sys_2 = tf(Np,D) , endif (cond_3 ~= 0), sys_3 = tf(Nl,D) , endif (cond_4 ~= 0), sys_4 = tf(Nd,D) , end
%bode(sys_1,'r',sys_2,'b',sys_4,'m')bode(sys_1,'r')
grid onaxis([0.1 10 -60 20])
44
