Contributos para a compreensão da função de treinador adjunto. um estudo na modalidade de futebol
Estudo de Função
-
Upload
annaly-schewtschik -
Category
Documents
-
view
219 -
download
1
description
Transcript of Estudo de Função
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
1
FUNÇÃO
Dados dois conjuntos não vazios A e B , denominamos função toda relação BAf →: na qual, para todo
elemento de A , existe um único correspondente em B .
Uma função BAf →: é também representada por:
A lei de formação é uma sentença matemática, representada por:
Exemplo:
1. São dados { }2,1,0,1−=A , { }5,4,3,2,1,0,1,2 −−=B e BAf →: definida por ( ){ }xyBAyxf 2|, =×∈= .
Encontre os pares ordenados de f . .
2. Considere { }11| ≤≤−∈= xZxA , { }22| ≤≤−∈= yZyB e a relação BAR →: , definida por
( ){ }2|, xyBAyxR =×∈= .
.
Observe que para cada elemento de A há um único elemento em B, portanto R é uma função.
� � � �� Par ordenado �1 2�1� � �2 �1,�2� 0 20� � 0 0, 0� 1 21� � 2 1, 2� 2 22� � 4 2, 4�
� � � �� Par ordenado �1 �1�� � 1 �1, 1� 0 0� � 0 0, 0� 1 1� � 1 1, 1�
Observe que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.
Desta forma podemos observar que, um diagrama de relação de � em � representa uma função se:
� de cada elemento de � parte apenas uma flecha;
� não “sobra” elemento em �.
� � ��, �� ∈ � � �|"������ !"#çã "&
� � ��� � é denominado variável independente e �, variável dependente
� �
�1012
�2 �1 0 1 2 3 4 5
01�1�201 �1
2
� �
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
2
� DEFINIÇÃO Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de ℝ faz corresponder exatamente
um elemento chamado fx�, em um subconjunto C de ℝ. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo: Sendo IRIRf →: , onde ( ) 42 += xxfx a , temos:
a. ( ) 4404020 =+=+⋅=f
b. ( ) ( ) 0444222 =+−=+−⋅=−f
c. ( ) ( ) 624224121 +=++=++⋅=+ hhhhf
� DOMÍNIO E IMAGEM E CONTRA DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Seja BAf →: , como toda função é uma relação, temos que o domínio de f é:
A Imagem de f é formada pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio e é definida por:
O contradomínio de f é o próprio conjunto B :
Exemplo
1. Seja a função BAf →: representada pelo diagrama abaixo:
, � �
-" � �� ∈ �|� � ���&
., � �
� �
�1235
45678
9 , � � -" � �4, 5, 6, 7& ., � �
Temos:
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
3
EXERCICIOS
1. Dada a função IRIRf →: definida por ( ) 13
−=x
xf calcule ( ) ( ) ( )0231 fffA ⋅−+−= .
2. Para a função IRIRf →: definida por ( )
<
≥−=
2,2
2,1
xparax
xparaxxf , determine:
a. ( )1−f
b. ( )3f
c. ( )2f
d. ( ) 4, =xfqueparax
3. Dada a função IRIRf →: definida por ( ) 82 −= xxf , determine o elemento do domínio para cada uma das
imagens: a. 3−=y
b. ( ) 8=xf
c. ( ) 0=xf
d. 8−=y
4. Dadas as funções ( ) pxxf += 2 e ( ) qxxg +−= , determine p e q , sabendo que ( ) 41 =−f e ( ) 32 −=g .
� DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO E IMAGEM
� IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL DEFINIÇÃO:
A imagemdeumafunçãoreal CDf →: éosubconjuntodepontos Cy ∈ paraosquaisexistepelomenosum Dx ∈ talque ( ) yxf = :( ) ( ){ }yxfcomDxCyf =∈∃∈= |Im
Exemplo:
1. Seja a função definida por
( ) xxfx
IRIRg
2
:
=
→
a
Determine a imagem da função.
( ) IRg =Im
2. Seja a função definida por
( ) 2
:
xxfx
IRIRg
=
→
a
Determine a imagem da função.
( )
( ) [ )+∞=
= +
,0Im
Im
g
ou
IRg
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
4
� DOMÍNIO
Quandoumafunçãorealédefinidaapenaspelasualeideassociação,convenciona-sequeoseudomínioéomaiorsubconjuntode IR paraoqualépossívelavaliarafunção.
Exemplo:
1.1.1.1. Determine o domínio dafunção ( )x
xf1
= .C.E.: 0≠x Logo,
( ) { }
( ) { }0
0|
−=
≠∈=
IRfD
ou
xIRxfD
2.2.2.2. Determineodomíniode 42 −= xy .C.E.:
22
4
42
042
≥
≥
≥
≥−
x
x
x
x
Logo,( ) { }
( ) [ )+∞=
≥∈=
,2
2|
yD
ou
xIRxyD
3.3.3.3. Qualéodomíniode ( )xx
xf−
=1 ?
C.E.:
000
00
0
><⇔
>−<+⇔
>−<⇔
>⇔
⇔>−
oux
xxouxx
xxouxx
xx
xx
Logo,( ) { }
( ) ( )0,
0|
∞−=
<∈=
fD
ou
xIRxfD
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
5
EXERCÍCIOS1. Encontre o domínio das seguintes funções:
a. ( ) 24 −= xxf
b. ( )x
xg2
=
c. ( )3
1
+=
xxf
d. ( )xx
xxf
4
252 −
+=
e. ( ) xxh =
f. ( ) 3 2+= xxt
g. ( ) 8462 −+−= xxxf
h. ( )2
62
−
+=
x
xxh
i. ( )8
2
−
+=
x
xxg
j. ( )16
22 −
−=
x
xxg
k. ( )3
4 24
93
657
−
+−−+=
x
xxxxf
� RESUMO: DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO
Podemos determinar o domínio e a imagem de uma função a partir de seu gráfico.
Projetando a curva sobre o eixo � obtemos o domínio e projetando a curva sobre o eixo � obtemos a imagem:
��� � U��ℎ�� ⟹ ℎ�� ≠ 0; ��� � ZU��[\] ⟹ U�� ≥ 0; ��� � U��
Zℎ��[\] ⟹ ℎ�� > 0
, � �� ∈ ℝ|�` ≤ � ≤ ��& -" � �� ∈ ℝ|�` ≤ � ≤ ��& Desta forma temos que:
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
6
Exemplo:
1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções representadas graficamente:
� NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO
, � b�2, 1c -" � b0, 4c , � b�2, 3c -" � b�1, 4c , � ℝ∗ -" �c1, 2b∪c � 2, 0b , �c � 2, 2b -" � �1, 2&
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
7
� GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Para obtermos o gráfico de funções definidas por leis ( )xfy = , procedemos, em geral, da seguinte maneira:
a. Construímos uma tabela a partir de valores Dx ∈ , obtendo ( )xfy = .
� � � f�� �g �`
�� ��
�h �i
⋮ ⋮
b. A cada par ( )yx, associamos um ponto no plano cartesiano.
Exemplo
1. Construa o gráfico da função BAf →: , definida por ( ) 1+= xxf , para { }2,1,1,2 −−=A e
{ }4,3,2,1,0,1−=B .
� ��� � � + 1 Par ordenado �2 �2 + 1 � �1 �2,�1� �1 �1 + 1 � 0 �1, 0� 1 1 + 1 � 2 1, 2� 2 2 + 1 � 3 2, 3�
Dependendo do domínio e da lei de formação que define uma função, é importante notar que o seu gráfico pode ter apenas um ponto, alguns pontos, ou ainda infinitos pontos.
Observe que neste caso, o gráfico da função não é contínuo, pois o domínio é um conjunto de números inteiros.
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
8
2. Construa o gráfico das seguintes funções: a. ( ) xxf 2=
b. ( ) 2xxf =
c. ( ) ( )xsenxf =
� � � ���g 2�1� � �2l 20� � 0g 21� � 2� 22� � 4
� � � ���� �2�� � 4�g �1�� � 1l 0�� � 0g 1� � 1� 2� � 4
� � � mno��l 0p �q 1p 0
hp �q �1�p 0
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
9
d. ( )x
xf1
=
e. ��� � r� + 2, s�� < �2�� � 4, s� � 2 ≤ � < 35, s�� ≥ 3
EXERCÍCIO
1. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 12 +−= xy .
2. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 5+= xy .
3. Construa o gráfico da função IRIRf →: , definida por 24 +−= xy .
� RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉ DO GRÁFICO
Além de construir o gráfico de uma função, é possível também reconhecer se um determinado gráfico de uma relação representa ou não uma função.
Para tanto, verificamos se a cada x do domínio corresponde uma única imagem, traçando retas paralelas ao eixo y e observando se cada uma delas intercepta o gráfico em um único ponto.
� � � gv�� � 12�g �1g 1� 1/2h 1/3
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
10
Exemplo:
1. Verifique se os gráficos das relações representam ou não funções
� RAIZ DE UMA FUNÇÃO
Raiz ou zero de uma função é todo valor de x ∈ D que faz fx� � 0.
Para calcular a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação assim obtida.
�x é raiz de � � ��� ⟺ ��x� � 0
Raiz �`
Raiz ��
Raiz �i
Raiz �z
É FUNÇÃO
Qualquer reta paralela ao eixo � intercepta o gráfico em um único ponto.
NÃO É FUNÇÃO
Existe uma ou mais de uma reta paralela ao eixo � que intercepta o gráfico em mais de um ponto.
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
11
Exemplo
1. O gráfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de IR . Determine: a. O domínio da função b. A imagem da função c. Os valores de ( )4−f , ( )2−f , ( )0f e ( )3f .
d. Quais os zeros (raízes) de f .
� ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores do domínio essa função assume valores positivos, nulos ou negativos.
Sendo 1x , 2x e 3x raízes de ( )xf
para � < �` ou �� < � < �i ⟹ ��� < 0
para � � �` ou � � ��ou � � �i ⟹ ��� � 0
para �` < � < �� ou � > �i ⟹ ��� > 0
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
12
Exemplo
1. Faça o estudo do sinal da função f definida pelo gráfico abaixo.
� FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
• Uma função real � � ���, de domínio ,, é crescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer ���� > ��`�.
• Uma função real � � ���, de domínio ,, é decrescente num intervalo contido em , se, para quaisquer �` e �� desse intervalo, com �� > �`, ocorrer ���� < ��`�.
• Se em um dado intervalo do domínio a função não é crescente nem decrescente, então é uma função
constante.
Exemplo
� é Decrescente nos intervalos:
� < �` e �� < � < �i
� é Crescente nos intervalos:
�` < � < �� e �i < � < �z
� é constante para � > �z
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
13
� FUNÇÃO CRESCENTE
DEFINIÇÃO:
Uma função real y � fx�, de domínio D, é crescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� > �x`�.
Exemplo:
A função fx� � 2xi + x � 1 é crescente no intervalo b�1, 1c, ou em qualquer outro intervalo.
� FUNÇÃO DECRESCENTE
DEFINIÇÃO:
Uma função real y � fx�, de domínio D, é decrescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x`ex� desse intervalo, com x� > x`, ocorrer, fx�� < �x`�.
Exemplo:
A função fx� � �2xi + x � 1 é decrescente no intervalo b�∞,�1c,
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
14
� FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
� FUNÇÃO PAR
DEFINIÇÃO:
Uma função real f: D ⟶ C é par se f�x� � fx�, ∀x ∈ D.
Exemplo:
1. ��� � �� é uma função par, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxf
=−
==−=−
,
22
2. ��� � 3�z + 5 é uma função par, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxf
=−
=+=+−=−
,
5353 44
3. A função ��� � 2 � 3�z é uma função par, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxf
IRx
=−
=−=−−=−
∈∀
,
3232
,44
O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y!
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
15
� FUNÇÃO ÍMPAR
DEFINIÇÃO:
Uma função real f: D ⟶ C é ímpar se f�x� � �fx�, ∀x ∈ D.
Exemplo:
1. ��� � �i é uma função ímpar, pois:
( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxf
−=−
−=−=−=−
,
33
2. ��� � 3�i + � é uma função ímpar, pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxxxxxf
−=−
−=+−=−−=−+−=−
,
333 333
3. A função ��� � �i � 3� é uma função ímpar, pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xfxf
Assim
xfxxxxxxxf
IRx
−=−
−=−−=+−=−−−=−
∈∀
,
333
,333
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação origem!
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
16
� OBSERVAÇÕES:
1. Existem funções que não são nem pares nem Ímpares
Exemplo:
A função fx� � 1 � x~
Pois f�2� � 1 � �2�~ � 1—32 � 1 + 32 � 33
e f2� � 1 � 2~ � 1 � 32 � �31, logo f�2� ≠ f2� e f�2� � 33 ≠ 31 � �f2�
2. Existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo, a função nula em ℝ.
fx� � 0
� FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f: A ⟶ B, Bijetora, podemos obter uma função f�` de DemC invertendo-se a ordem dos pares ordenados de f. Essa função é chamada de inversa.
Assim temos:
Exemplos:
1.1.1.1. Encontreainversadafunção�:ℝ ⟶ ℝ,definidapor� � 2� + 3.
( )2
3
,
2
3
32
32
32
1 −=
−=
−=
+=
+=
− xxf
Assim
xy
xy
yx
xporyeyporxTrocando
xy
Domínio de ��` � Imagem de �
Imagem de ��` � Domínio de �
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
17
2.2.2.2. Vamosobterainversa,odomínioeaImagemdafunção ( )
85
23
−
+=
x
xxf bemcomodesua
inversa.
( )
( )
( )35
28
35
28
2835
2835
2385
2385
85
23
85
23
:
1
−
+=
−
+=
+=−
+=−
+=−
+=−⋅
−
+=
−
+=
−
x
xxf
Assim
x
xy
xxy
xyxy
yxxy
yyx
y
yx
xporyeyporxTrocando
x
xy
inversadaCalculo
( )
( )
( )[ ]
−=
≠
≠
≠−
−
+=
5
8,
5
8
85
085..85
23
:
IRxfDomAssim
x
x
xEC
x
xxf
xfdadomíniodoCálculo
( )
( )
( )[ ]
−=
≠
≠
≠−
−
+=
−
−
−
5
3,
5
3
35
035..35
28
:
1
1
1
IRxfDomAssim
x
x
xEC
x
xxf
xfdadomíniodoCálculo
Como o domínio da ( )xf é a imagem de ( )xf1− , e o domínio da ( )xf
1−
é a imagem de ( )xf (devido a serem funções bijetoras), então:
−→
−
−→
−
−
5
8
5
3:
5
3
5
8:
1 IRIRf
IRIRf
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
18
Podemos construir o gráfico de f�` utilizando sua lei ou a partir do gráfico de f.O gráfico de f�` é
simétrico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes:
Exemplo:
Gráfico de fx� � xi e sua inversa f�` � √x�
� COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:
A composição de f e g é a função fog:Dg ⟶ Cf definida por: fog�x� � f�gx��. Exemplos:
1. Sendo ( ) 32 += xxf e ( ) xxg = , calcule:
a. ( )xgf o
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 33322
+=+=+== xxxgxgfxgf o
b. ( )xfg o
( ) ( )[ ] ( ) 32 +=== xxfxfgxfg o
Em geral ( ) ( )xfgxgf oo ≠ .
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
19
Novas funções a partir de antigas: transformações de funções
Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < � < 1) verticalmente o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) xxg cos2= .
Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito
geométrico de alongar (para 0 < � < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )xxg 2cos= .
1. U�� � � ∙ ���: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES VERTICAIS
2. U�� � �� · ��: ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES HORIZONTAIS
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
20
Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima
(quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) ( ) 2cos += xxg .
Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar
horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )2cos += xxg .
3. U�� � ��� + �: TRANSLAÇÕES VERTICAIS
4. U�� � �� + ��: TRANSLAÇÕES HORIZONTAIS
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
21
Multiplicar uma função f por �1tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo x o gráfico de f.
Exemplo:
Para ( ) 42 −= xxf e ( ) ( )42 −−= xxg .
Multiplicar a variável independente x de uma função f por �1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo y o gráfico de f .
Exemplo:
Para ( ) 3xxf = e ( ) 3
xxg −= .
5. U�� � ����: REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO �
6. U�� � ���: REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO �
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
22
� FUNÇÃO DO 1º GRAU
Denominamos função do 1º grau a função f:ℝ → ℝ, definida pela lei y � ax + b, com a e b reais e a≠ 0.
Gráfico
� O gráfico da função ��� � #� + � é uma reta.
� Os pontos onde a reta intercepta os eixos são:
Em �������: � � 0 ⇒ � � � �� ⇒ �� �
� , 0�
Em ��������: � � 0 ⇒ � � � ⇒ 0, ��
� Onde a é chamado de coeficiente angular e b coeficiente linear.
Exemplo:
1. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:
2.
,
12
2
22
2
20
20
+=
+=
=
=
−=−
−=
=
=
−=→=
=→=
xy
baxy
Assim
a
a
a
a
bx
entãob
yb
xyPara
yxPara
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
23
2. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:
42.
,
22
4
42
4
20
40
+=
+=
=
=
−=−
−=
=
=
−=→=
=→=
xy
baxy
Assim
a
a
a
a
bx
entãob
yb
xyPara
yxPara
� CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O domínio e o conjunto Imagem da função do 1º grau são: D � ℝeIm � ℝ.
Se a> 0, a função é dita crescente se a< 0 a função é dita decrescente.
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
24
� FUNÇÃO QUADRÁTICA
Denominamos função quadrática ou função do 2º grau a função IRIRf →: , definida pela lei
( ) cbxaxxf ++= 2 com IRcba ∈,, e 0≠a .
O gráfico é uma parábola, se a> 0 a parábola é côncava para cima (VALOR MÍNIMO) se a< 0 a parábola é côncava para baixo (VALOR MÁXIMO).
Gráfico
� O gráfico da função ( ) cbxaxxf ++= 2 é uma parábola.
� As coordenadas do vértice são:
a
bxv 2
−= e a
yv 4
∆−= .
O vértice é dado pelo ponto
∆−−=
aa
bV
4,
2.
� Para o cálculo das raízes, utilizamos báscara ou soma e produto.
báscaraa
acbbx →
−±−=
2
42
produtoesoma
a
cxxP
a
bxxS
=′′⋅′
−=′′+′
:
:
� Domínio e imagem:
Para 0>a : IRDom = e
∆
−≥∈=a
yIRy4
|Im
Para 0<a : IRDom = e
∆
−≤∈=a
yIRy4
|Im
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
25
Exemplo:
1. Determine as raízes, valor máximo ou mínimo o domínio e a imagem das funções:
a. ( ) 652 +−= xxxf
b. ( ) xxxf 126 2 −=
c. ( ) 162 −= xxf
� FUNÇÃO MÓDULO:
Da definição do módulo de um número temos:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
<−
≥==
0,
0,
xfsexf
xfsexfxfxg
Exemplo:
Para ( ) xxf cos= e ( ) ( )2cos += xxg .
Exemplo:
1. Esboceográficode� � 4 � |� � 2|.
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
26
� FUNÇÃO EXPONENCIAL
Para estudarmos função exponencial devemos relembrar alguns conceitos:
� POTÊNCIA
Se x ey são números racionais, temos então as seguintes propriedades:
Exemplo:
1. Utilizando as propriedades das potências, simplifique as expressões:
a. =⋅⋅ −345 333
b. =8
7
5
5
c. =4
35
e
ee
d. =
⋅
⋅
−
−
53
74
2
12
22
1
e. =⋅ −+
n
nn
π
ππ 22
f. =⋅⋅
+
+−
52
12
4
444n
nnn
� EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Exemplo:
1. Dê o conjunto solução de cada uma das equações:
a. 93 2 =+x
b. 812 497 =+x
c. ( ) ( ) 131 2,05 −+ =xx
d. 13333 11 =++ +− xxx
e. 055625 =+⋅− xx
��#��sã � s���� s�ú"�! s����sã ��#�s���!�ú"�! s!�#�s, ���ã : PROPRIEDADES DA POTÊNCIA
1. #�� � #� . # 2. #�� � �¡�¢ 3. #�� � #�
4. #��� � #��� 5. #¡¢ � √#�¢
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
27
� INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Exemplo:
1. Dê o conjunto solução das seguintes inequações exponenciais:
a. 62525 12 ≥−x
b. 4
1
2
12
≥
−xx
c. 3349 −>⋅− xx � FUNÇÃO EXPONENCIAL
As funções exponenciais são as funções da forma fx� � a£, onde a base aé uma constante positiva. Os
gráficos de y � 2£ e y � �`��£ são mostrados abaixo. Em ambos os casos �∞,+∞� é o domínio e a imagem é 0, +∞�.
Gráficos:
a. xy 2=
b. x
y
=
2
1
#� < # ⇔ � < � Para # > 1
#� < # ⇔ � > � Para 0 < # < 1
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
28
c. xey =
Como a base é positiva e diferente de zero temos que ax � 1, portanto todo gráfico de fx� � a£, corta o eixo y no ponto 0,1�. Se a> 1� é crescente se 0 < # < 1 f é decrescente.
Exemplo:
1. Esboce o gráfico da função � � 3 � 2� e determine seu domínio e sua imagem.
O domínio de uma função exponencial em geral é o conjunto dos números reais
Podemos observar que a Imagem é Im � �∞,3�.
� � � h � ���� �, ¥¦�g �, ¦l g� �gh �¦
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
29
2. A meia-vida do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que metade de qualquer quantidade determinada de
estrôncio será desintegrada em 25 anos.
a. Se uma amostra de �!§x tem uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa que permanece após anos de t.
A cada 25 anos a massa de 24mg do estrôncio 90 cai pela metade dessa forma temos: m0� � 24
m25� � 12 24� m50� � 12 ∙ 12 24� � 12� 24� m75� � 12 ∙ 12� 24� � 12i 24� m100� � 12 ∙ 12i 24� � 12z 24�
Observe que após t anos a massa é:
mt� � 12�̈~ 24� � 24.2��̈~
b. Encontre a massa restante após 40 anos. A massa restante após 40 anos é :
"40� � 24.2�zx�~ � 7,9"U
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
30
� FUNÇÃO LOGARÍTMICA:
Seja a função exponencial fx� � a£, a sua inversa f�` é chamada de função logarítmica na base a, a> 0 e a≠ 1.
log� � � � ⇒ # � �� PROPRIEDADES:
Exemplo:
1.1.1.1. Useaspropriedadeseencontreovalordelog� 80 � log� 5:2.2.2.2. Usandoaspropriedadesdesenvolvaasexpressões:a.a.a.a. ( )zyx ⋅⋅log b.b.b.b. zyx ⋅⋅3log c.c.c.c. ( )3
4log xy
1. log� #� � � para todo � ∈ ℝ 2. #«¬\ � � � para todo � > 0
3.log���� � log� � + log� � 4. log� �� � � log� � � log� �
5. log��®� � ! log� #�
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
31
� EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
É toda equação da forma log¯ x � k ⇒ x � a± ou log x � logm ⇒ x � m, m > 0�# > 0�# ≠ 1.
Exemplo:
1. Encontre a solução das equações: a. ( ) 312log 2 =+x
b. ( ) ( )xx 28log15log 33 −=−
c. ( ) ( ) 313log1log 22 =+++ xx
d. ( ) 2210log 1 =−− xx
� MUDANÇA DE BASE
Dado log¯m, para transformá-lo em um logaritmo de base b, basta obtermos o quociente de log²m por log¯m.
log¯m � log²mlog²a
DEMONSTRAÇÃO: log¯m � x ⇒ a£ � m1� Aplicando logaritmos de base b nos dois membros da igualdade (1):
log² a£ � log²m ⇒ x log² a� log²m ⇒ x � log²mlog²a
Exemplo:
1. Vamos calcular o valor de logz 8, mudando-o para a base 2:
2. Dê o Conjunto solução de cada uma das equações logarítmicas:
a. ( ) ( ) ( )52log6log13log 2
8
12 −=−−− xxx
b. ( ) ( ) 01log6
11loglog 248 =+++− xxx
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
32
� INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Exemplo:
1. Dê o conjunto solução das inequações logarítmicas: a. ( ) 8log42log 33 <+x
b. ( ) ( ) 14log1log2
1
2
1 −≤−−− xx
� LOGARITMO NATURAL
O logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural e tem uma notação especial:
As propriedades são as mesmas, vistas anteriormente:
log� � > log� � ⇔ � > � Para # > 1
log� � > log� � ⇔ � < � Para 0 < # < 1
log³ � � ln �
1. ln �� � � para todo � ∈ ℝ
2. �«´ � � � para todo � > 0
log³ � � � ⇔ � � �
ln � � 1
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOS CAMPOS GERAIS – CESCAGE FACULDADES INTEGRADAS DOS CAMPOS GERAIS
CÁLCULO – Curso de Arquitetura e Urbanismo
MATEMÁTICA Prof. Annaly Schewtschik– [email protected]
33
Exemplos:
1. Encontre o valor de � sabendo que ln � � 5
ln x � 5 ⇒ e~ � x
Ou podemos aplicar a função exponencial em ambos os membros e«´ £ � e~ pela propriedade 2 acima temos; x � e~
2. Resolva a equação �~�i� � 10.
Basta tomar o logaritmo natural de ambos os lados
ln e~�i£ � ln 10
5 � 3x � ln 10
x � 5 � ln 103