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ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL RASANTE EN VIGAS EN T

DE HORMIGÓN ARMADO REFORZADO CON FIBRAS DE ACERO

Jose Antonio López Juárez

www.ua.es

www.eltallerdigital.com

Jose Antonio López Juárez

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Tesis doctoralAlicante, septiembre 2016

Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante

ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL RASANTE EN VIGAS EN T

DE HORMIGÓN ARMADOREFORZADO CON FIBRAS DE ACERO

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ED|UA Escola de DoctoratEscuela de Doctorado

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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR

ESTUDIO DEL RASANTE EN VIGAS EN T DE HORMIGÓN ARMADO

REFORZADO CON FIBRAS DE ACERO

JOSE ANTONIO LÓPEZ JUÁREZ

Tesis presentada para aspirar al grado de DOCTOR POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE

INGENIERÍA DE MATERIALES, ESTRUCTURAS Y TERRENO: CONSTRUCCIÓN SOSTENIBLE

Dirigida por: JOSE LUIS BONET SENACH

Titular de Universidad

Tutor: SALVADOR IVORRA CHORRO

Catedrático de Universidad

Estudio experimental del rasante en vigas en T de hormigón armado reforzado con fibras de acero.

Jose Antonio López Juárez pág. 3

ÍNDICE GENERAL

1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................... 11

2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO ................................................................ 15

3 METODOLOGÍA..................................................................................... 195

4 PROGRAMA EXPERIMENTAL................................................................. 205

5 RESULTADOS EXPERIMENTALES .......................................................... 233

6 ANÁLISIS DE RESULTADOS.................................................................. 249

7 REVISIÓN Y CONTRASTE DE MÉTODOS ................................................ 285

8 CONCLUSIONES ................................................................................... 341

9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................... 353

ANEJO A: RESULTADOS EXPERIMENTALES

ANEJO B: CAMPOS DE TENSIONES. DEMOSTRACIÓN



ÍNDICE DETALLADO

1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................... 11 1.1 ANTECEDENTES.......................................................................................... 111.2 OBJETO Y CONTENIDO ................................................................................ 12

2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO ................................................................ 15 2.1 GENERALIDADES........................................................................................ 16

2.1.1 Definición........................................................................................ 162.1.2 Enfoque del problema ....................................................................... 172.1.3 Cortante vertical y cortante horizontal................................................. 182.1.4 Consideración del rasante a nivel diseño.............................................. 19

2.2 ESTUDIOS EXPERIMENTALES DEL RASANTE EN VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO ................................................................................................. 202.2.1 Alas comprimidas ............................................................................. 222.2.2 Alas traccionadas ............................................................................. 33

2.3 EVALUACIÓN DEL ESFUERZO RASANTE.......................................................... 342.3.1 Modelo viga tradicional...................................................................... 35

2.3.1.1 Material elástico lineal: estado no fisurado............................. 362.3.1.2 Material elástico lineal: estado fisurado ................................. 372.3.1.3 Material elástico no lineal .................................................... 402.3.1.4 Cálculo del rasante en el ala de una viga ............................... 43

2.3.1.4.1 Rasante medio en un tramo Δx ....................................... 442.3.1.4.2 Rasante en una sección x en flexión simple....................... 462.3.1.4.3 Métodos prácticos de cálculo........................................... 47

2.3.1.5 Influencia del mecanismo resistente ..................................... 482.3.2 Deformabilidad de las alas, arrastre de cortante y ancho eficaz............... 50

2.3.2.1 Generalidades ................................................................... 502.3.2.2 Formulación del ancho eficaz ............................................... 522.3.2.3 Distribución de tensiones en el ala........................................ 602.3.2.4 Influencia del ancho eficaz en el esfuerzo rasante................... 612.3.2.5 Conclusiones ..................................................................... 63

2.3.3 Esfuerzos no contemplados en el modelo viga ...................................... 642.3.3.1 Esfuerzo axil concomitante con el rasante.............................. 64

2.3.3.1.1 Razaqpur y Ghali (1984) ................................................ 672.3.3.1.2 Páez y Díaz del Valle (1992) ........................................... 692.3.3.1.3 Jaeger y Bakht (2001) ................................................... 702.3.3.1.4 Distribuciones plásticas.................................................. 722.3.3.1.5 Conclusiones ................................................................ 72

2.3.3.2 Flexión transversal del ala por curvatura de la viga ................. 722.3.3.3 Flexión transversal del ala por cargas exteriores..................... 742.3.3.4 Efecto arco en tableros multivigas ........................................ 74

2.3.4 Método de bielas y tirantes ................................................................ 752.3.4.1 Generalidades ................................................................... 752.3.4.2 Aplicación al rasante de alas de vigas en T ............................ 77

2.3.4.2.1 Modelo global o completo ............................................... 772.3.4.2.2 Modelo parcial o combinado............................................ 812.3.4.2.3 Esfuerzos internos en las alas ......................................... 83

2.3.5 Método de los campos de tensiones .................................................... 842.3.6 Otros métodos más complejos ........................................................... 87

2.4 RESISTENCIA A ESFUERZO RASANTE ............................................................ 892.4.1 Conceptos generales......................................................................... 89

2.4.1.1 Método de bielas y tirantes.................................................. 892.4.1.1.1 Resistencia de las bielas................................................. 902.4.1.1.2 Resistencia de los tirantes .............................................. 93


pág. 6 Jose Antonio López Juárez

2.4.1.2 Lajas y losas de hormigón armado ....................................... 942.4.1.2.1 Análisis límite ................................................................94

2.4.1.2.1.1 Aplicación a lajas .........................................942.4.1.2.1.2 Aplicación a losas ........................................97

2.4.1.2.2 Campo de compresiones .................................................972.4.1.2.2.1 Aplicación a lajas .........................................972.4.1.2.2.2 Aplicación a losas ......................................102

2.4.1.3 Transferencia a corte ........................................................1022.4.1.3.1 Mecanismos de transferencia a corte...............................1032.4.1.3.2 Modelos empíricos o semi-empíricos de corte-fricción ........1042.4.1.3.3 Modelos analíticos o racionales.......................................106

2.4.2 Métodos de diseño propuestos por diversos autores .............................1102.4.2.1 Métodos empíricos............................................................111

2.4.2.1.1 Davies (1969) .............................................................1112.4.2.1.2 Johnson (1970) ...........................................................1122.4.2.1.3 Regan y Placas (1970)..................................................1122.4.2.1.4 Razaqpur y Ghali (1986) ...............................................1152.4.2.1.5 Tizatto (1987) .............................................................1172.4.2.1.6 Páez y Díaz del Valle (1992) ..........................................117

2.4.2.2 Basados en el Límite Inferior de Plasticidad ..........................1182.4.2.2.1 Campos de tensiones....................................................1192.4.2.2.2 Métodos simplificados...................................................122

2.4.2.2.2.1 Morley y Rajendran (1975)..........................1222.4.2.2.2.2 Tizatto (1987) ...........................................125

2.4.2.3 Basados en el Límite Superior de Plasticidad.........................1272.4.2.4 Analogías de bielas y tirantes .............................................1282.4.2.5 Conclusiones....................................................................131

2.4.3 Métodos de diseño según normativa ..................................................1342.4.3.1 Normas que aplican el método de bielas y tirantes ................1352.4.3.2 Normas que aplican transferencia a corte.............................137

2.4.3.2.1 Código ACI-318 ...........................................................1382.4.3.2.2 AASHTO .....................................................................1392.4.3.2.3 Canadá.......................................................................1412.4.3.2.4 Japón.........................................................................141

2.4.3.3 Conclusiones....................................................................1432.5 HORMIGÓN REFORZADO CON FIBRAS DE ACERO...........................................145

2.5.1 Generalidades ................................................................................1452.5.1.1 Normativa, códigos y recomendaciones................................146

2.5.2 Resistencia a tracción ......................................................................1472.5.2.1 Resistencia a la primera fisura............................................1492.5.2.2 Resistencia postfisuración ..................................................149

2.5.2.2.1 Fórmulas analíticas ......................................................1492.5.2.2.2 Fórmulas experimentales ..............................................1532.5.2.2.3 Formulación basada en resistencias nominales .................155

2.5.2.3 Ecuación constitutiva ........................................................1572.5.2.3.1 Método σ–w (tensión–abertura de fisura) ........................1572.5.2.3.2 Método σ–ε (tensión–deformación) .................................158

2.5.2.4 Normas y recomendaciones ...............................................1602.5.2.4.1 DBV 2001 ...................................................................1612.5.2.4.2 RILEM TC 162-TDF.......................................................1612.5.2.4.3 CNR-DT 204/2006........................................................1622.5.2.4.4 EHE 2008 ...................................................................1652.5.2.4.5 Código Modelo 2010.....................................................166

2.5.2.5 Conclusiones....................................................................1672.5.3 Resistencia a compresión .................................................................169

2.5.3.1 Parámetros generales .......................................................1692.5.3.1.1 Resistencia máxima de compresión y deformación

correspondiente...........................................................1692.5.3.1.2 Deformación última......................................................1702.5.3.1.3 Contenido óptimo de fibras............................................170

2.5.3.2 Ecuación constitutiva ........................................................171



2.5.3.2.1 Función racional...........................................................1712.5.3.2.2 Método β ....................................................................1722.5.3.2.3 Función parabólica-multilineal ........................................1732.5.3.2.4 Modelo p-q..................................................................1742.5.3.2.5 Otros modelos .............................................................174

2.5.3.3 Normativa y códigos......................................................... 1742.5.3.4 Conclusiones ................................................................... 175

2.5.4 Transferencia a corte en HRFA ......................................................... 1752.5.4.1 Modelos empíricos............................................................ 1772.5.4.2 Modelos racionales ........................................................... 1802.5.4.3 Resistencia residual o equivalente ...................................... 1812.5.4.4 Conclusiones ................................................................... 181

2.5.5 Vigas y modelización de la flexión..................................................... 1822.5.5.1 Modelos de fisuración discreta ........................................... 182

2.5.5.1.1 Vigas sin armadura longitudinal .....................................1822.5.5.1.2 Vigas con armadura longitudinal.....................................183

2.5.5.2 Modelos de fisuración distribuida........................................ 1842.5.5.3 Conclusiones ................................................................... 186

2.5.6 Lajas y placas de HRFA ................................................................... 1862.5.6.1 Análisis límite .................................................................. 1872.5.6.2 Campo de compresiones ................................................... 189

2.5.7 Bielas y tirantes ............................................................................. 1912.5.7.1 Aportaciones de diversos estudios de elementos

estructurales de HRFA analizados por ByT........................... 1912.5.7.1.1 Tirantes......................................................................1912.5.7.1.2 Bielas.........................................................................193

2.5.7.2 Conclusiones ................................................................... 1932.5.8 Estudios experimentales en vigas en T de HRFA.................................. 194

3 METODOLOGÍA..................................................................................... 195 3.1 ANÁLISIS DEL ESTADO DEL CONOCIMIENTO ................................................ 195

3.1.1 Sobre la evaluación del esfuerzo rasante en hormigón armado.............. 1953.1.2 Sobre el rasante resistente en hormigón armado ................................ 1963.1.3 Sobre el hormigón reforzado con fibras de acero................................. 198

3.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA................................................................ 1993.2.1 Objetivo general ............................................................................ 1993.2.2 ldentificación de conceptos y carencias.............................................. 1993.2.3 Metodología................................................................................... 201

3.2.3.1 Diseño de la campaña experimental.................................... 2013.2.3.2 Determinación del rasante solicitante.................................. 2023.2.3.3 Revisión teórica de modelos .............................................. 2023.2.3.4 Contraste de modelos....................................................... 203

4 PROGRAMA EXPERIMENTAL................................................................. 205 4.1 OBJETIVO DEL PROGRAMA EXPERIMENTAL................................................... 2064.2 MODELO DE ENSAYO................................................................................. 2064.3 PARÁMETROS DE ESTUDIO ........................................................................ 207

4.3.1 Armadura transversal dispuesta en las alas........................................ 2074.3.2 Contenido de fibras de acero............................................................ 208

4.4 DEFINICIÓN DE LAS VIGAS........................................................................ 2094.5 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES............................................................ 212

4.5.1 Hormigón...................................................................................... 2124.5.2 Acero ........................................................................................... 2134.5.3 Fibras de acero .............................................................................. 215

4.6 VIGAS: FABRICACIÓN, INSTRUMENTACIÓN Y ENSAYO................................... 2164.6.1 Fabricación.................................................................................... 2164.6.2 Instrumentación............................................................................. 2204.6.3 Ejecución del ensayo ...................................................................... 224



4.7 CARACTERIZACIÓN DEL HRFA.....................................................................2264.7.1 Flexotracción..................................................................................2274.7.2 Push-off ........................................................................................229

5 RESULTADOS EXPERIMENTALES.......................................................... 233 5.1 RESULTADOS GENERALES ..........................................................................233

5.1.1 Carga última ..................................................................................2335.1.2 Modos de fallo ................................................................................234

5.1.2.1 Cortante..........................................................................2345.1.2.2 Rasante ..........................................................................2355.1.2.3 Flexión............................................................................238

5.2 RESULTADOS DIRECTOS ............................................................................2415.2.1 Carga vertical – Flecha ....................................................................2415.2.2 Deformación longitudinal en sección central........................................2435.2.3 Deformación por compresión del ala ..................................................2445.2.4 Deformación transversal del ala ........................................................247

6 ANÁLISIS DE RESULTADOS.................................................................. 249 6.1 DATOS PRELIMINARES...............................................................................249

6.1.1 Ancho eficaz...................................................................................2496.1.2 Parámetros seccionales....................................................................2506.1.3 Momento de fisuración.....................................................................252

6.2 RASANTE DE FISURACIÓN..........................................................................2526.3 RASANTE SOLICITANTE..............................................................................258

6.3.1 Planteamiento ................................................................................2596.3.1.1 Ley en compresión del HRFA ..............................................2606.3.1.2 Ley en tracción del HRFA ...................................................2616.3.1.3 Resultantes de tensiones en la sección ................................2626.3.1.4 Resultante de compresiones en el ala ..................................2656.3.1.5 Resolución del problema seccional ......................................266

6.3.2 Resultados por vigas .......................................................................2676.3.3 Resumen de resultados....................................................................281

7 REVISIÓN Y CONTRASTE DE MÉTODOS................................................ 285 7.1 REVISIÓN DE MÉTODOS ENMARCADOS EN NORMAS INCORPORANDO FIBRAS ...285

7.1.1 Bielas y tirantes..............................................................................2867.1.1.1 Hormigón armado.............................................................2867.1.1.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero....................288

7.1.2 Transferencia a corte.......................................................................2907.1.2.1 Hormigón armado.............................................................2907.1.2.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero....................293

7.1.3 Campos de tensiones ......................................................................2947.1.3.1 Hormigón armado.............................................................2947.1.3.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero....................295

7.2 CONTRASTE DE RESULTADOS .....................................................................2967.2.1 Resultados en vigas de hormigón armado...........................................296

7.2.1.1 Otros autores...................................................................2967.2.1.1.1 Ancho eficaz................................................................2987.2.1.1.2 Armadura mínima que garantiza un ancho eficaz ..............3047.2.1.1.3 Rasante solicitante en la situación de fallo de la viga.........306

7.2.1.2 Contraste de métodos de cálculo ........................................3097.2.1.2.1 Modelo de bielas y tirantes ............................................3117.2.1.2.2 Modelo de transferencia a corte .....................................3157.2.1.2.3 Modelo de campos de tensiones .....................................318

7.2.2 Resultados en vigas con fibras de acero .............................................3217.2.2.1 Datos..............................................................................3217.2.2.2 Contraste de métodos de cálculo ........................................323

7.2.2.2.1 Modelo de bielas y tirantes ............................................323



7.2.2.2.2 Modelo de transferencia a corte......................................3267.2.2.2.3 Modelo de campos de tensiones .....................................3307.2.2.2.4 Utilidad de las curvas límite ...........................................333

7.3 COMPARACIÓN DE MODELOS ..................................................................... 3357.3.1 En vigas de hormigón armado.......................................................... 3357.3.2 En vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero................. 337

8 CONCLUSIONES ................................................................................... 341 8.1 CONCLUSIONES ....................................................................................... 341

8.1.1 Campaña experimental ................................................................... 3418.1.2 Cálculo para diseño ........................................................................ 3428.1.3 Cálculo para comprobación .............................................................. 3448.1.4 Elección de un ancho eficaz utilizando la armadura.............................. 3478.1.5 Hormigón con fibras de acero........................................................... 347

8.2 CONTRIBUCIONES ORIGINALES.................................................................. 3498.3 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN ......................................................... 350

9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................... 353 9.1 Bibliografía citada ..................................................................................... 3539.2 Bibliografía consultada............................................................................... 355

ANEJO A: RESULTADOS EXPERIMENTALES ANEJO B: CAMPOS DE TENSIONES. DEMOSTRACIÓN



1 INTRODUCCIÓN 1.1 ANTECEDENTES El diseño y comprobación del rasante en alas de vigas en T o similares de hormigón armado constituye el artículo 44.2.3.5 de la versión actual de EHE (2008) [1], enmarcado dentro del artículo general dedicado al estado límite de agotamiento frente a cortante. Siempre ha sido un artículo específico de la instrucción española. En la primera versión de 1939 era el artículo 38, titulado Piezas en T en donde, en relación al rasante, se incluía simplemente un criterio de armadura mínima. En la versión actual se formula el problema como una aplicación del método general de bielas y tirantes, cuyas bases se establecieron por primera vez de una forma explícita en la versión anterior de 1998. La versión actual de EHE [1] incorporó como novedad, entre otros, el anejo 14 dedicado a establecer unas recomendaciones para la utilización de hormigón con fibras. La presencia de fibras en la masa de hormigón puede ser tenida en cuenta en los cálculos estructurales, cumpliendo ciertas condiciones, y el anejo 14 recoge estas condiciones y revisa todos aquellos aspectos en los que el articulado general sufre alguna modificación, con base a conocimientos suficientemente contrastados [2]. El anejo 14 ha de entenderse como una primera versión del documento y no todos los aspectos quedan cubiertos, entre ellos, el artículo dedicado al rasante en donde solamente se advierte de la necesidad de basarse en campañas experimentales concluyentes para considerar el efecto beneficioso de las fibras, principal motivo que ha originado la redacción de la presente tesis doctoral. El problema tampoco está resuelto en otras normas o recomendaciones que han introducido bases de cálculo para este tipo de hormigón estructural, aparecidas principalmente en la pasada década, fruto del interés creciente para ofrecer herramientas de cálculo para los ingenieros calculistas. En la literatura no existen publicaciones específicas para el problema, pero además, la información sobre datos disponibles de vigas de hormigón armado tampoco es numerosa. Los estudios específicos para el rasante en vigas de hormigón armado se publicaron entre la década de los años 70 y 80, y proporcionan una base de datos de 48 vigas con las alas funcionando en compresión y 25 en tracción, y no todas ofrecen una información útil.



1.2 OBJETO Y CONTENIDO El objeto de la presente tesis doctoral es contribuir a establecer una base de datos de vigas en T de hormigón armado reforzado con fibras de acero para el estudio del esfuerzo rasante entre alas y alma, así como revisar el método simplificado de cálculo adoptado por EHE [1] para considerar la contribución resistente de las fibras de acero, incluyendo otros métodos simplificados vigentes en otras normativas. El contenido se plantea con 7 capítulos que se describen brevemente a continuación. En el Capítulo 2, "Estado del conocimiento", se reúne toda la información existente relativa al problema del esfuerzo rasante entre alas y alma de vigas en T o similares de hormigón armado, comenzando por la descripción de los estudios experimentales que se han realizado, y siguiendo con dos bloques dedicados a la evaluación del esfuerzo rasante solicitante y al cálculo de resistencia frente a este esfuerzo, en donde se incluyen teorías generales y métodos específicos de cálculo. El último bloque se centra exclusivamente en el hormigón armado reforzado con fibras de acero y, dado que no existen publicaciones específicas sobre el estudio del rasante, se revisan aquellas características del material que se precisan para ser consideradas en los métodos establecidos para hormigón armado. En el Capítulo 3, "Metodología", se procede a un análisis del estado del conocimiento que permita concretar el objetivo general de la tesis, así como identificar conceptos importantes y carencias existentes que ayuden plantear las diferentes tareas necesarias para desarrollar el presente estudio. En el Capítulo 4, "Programa experimental", se describe en primer lugar las limitaciones que han condicionado el alcance del estudio experimental, que ha consistido finalmente en la fabricación de 13 vigas en T para ser ensayadas con el esquema más sencillo y más usado en la literatura, con las alas funcionando en compresión y sin flexión transversal. El capítulo contiene además la descripción del proceso de fabricación y ensayo, y toda la información relativa al establecimiento de los ensayos de caracterización de los materiales y las características finalmente obtenidas para los mismos. En el Capítulo 5, "Resultados experimentales", se describen los resultados experimentales obtenidos correspondientes a las 13 vigas ensayadas, comenzando por los procesos de rotura observados y continuando con el comentario de los resultados directos de la instrumentación utilizada, cuya representación gráfica completa se recoge en el anejo A. Los resultados de los ensayos de probetas de caracterización de los materiales no están contenidos en este capítulo, sino un resumen en el capítulo 4 previo y completos en el citado anejo A. En el Capítulo 6, "Análisis de resultados", se tratan los resultados experimentales del capítulo previo para valorar el esfuerzo rasante solicitante en el ala en cada una de las 13 vigas ensayadas. Se procede en primer lugar a estudiar el rasante de fisuración, buscando un planteamiento teórico que permita estimar el valor de dicho esfuerzo, identificado por otra parte en los resultados experimentales. Posteriormente se plantea el análisis seccional necesario para estudiar el esfuerzo rasante no sólo en la situación final de agotamiento de la viga, sino durante toda la evolución del proceso de carga de la viga, a partir de los registros de carga y de deformaciones, tratando el ancho eficaz como una variable a ser determinada en el proceso de cálculo. El análisis se aplica a las 13 vigas y se comentan los resultados individualmente.



En el Capítulo 7, "Revisión y contraste de métodos", se incluye un primer bloque de desarrollo teórico para revisar los métodos simplificados seleccionados a partir del análisis del estado del conocimiento, y adaptarlos también para considerar el efecto de las fibras de acero. En un segundo bloque se aplican los métodos revisados solamente para vigas de hormigón armado, y se hace sobre los datos disponibles en la literatura más los nuevos aportados por la campaña experimental del presente trabajo. El principal objetivo es establecer el nivel de seguridad alcanzado. A continuación se procede igual con las nuevas vigas de hormigón reforzado con fibras de acero. Finalmente se comparan los métodos entre sí distinguiendo entre vigas de hormigón armado y de hormigón armado reforzado con fibras de acero, para ello se utiliza el nivel de seguridad alcanzado en cada caso; y también se comparan los resultados de los métodos revisados y adaptados para las fibras con los modelos revisados para el hormigón armado. Finalmente, en el Capítulo 8, "Conclusiones", se estructuran las conclusiones por temas de interés práctico. Los dos primeros temas pueden utilizarse también como unas recomendaciones iniciales para la aplicación en diseño y en comprobación de los métodos revisados. Se finaliza con el establecimiento de futuras línea de investigación.



2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO El estudio del problema del esfuerzo rasante en alas de vigas en T y similares queda enmarcado, a nivel normativo, en los Estados Límites Últimos. Esto requiere la evaluación del esfuerzo rasante de cálculo que debe ser comparado con la capacidad resistente del ala frente a dicho esfuerzo. La incorporación de fibras de acero en el problema resulta novedosa ya que, aunque en los últimos años textos referentes importantes como el Código Modelo 2010 [3] o normativos como la EHE (2008) [1] han añadido aspectos de diseño y cálculo para HRFA, no han cubierto todas las comprobaciones de diseño. Atendiendo a esto, el contenido del presente capítulo se estructura en una revisión de los estudios experimentales que existen sobre el rasante en vigas de hormigón armado seguido de tres grandes bloques. El primer bloque trata de la evaluación del esfuerzo rasante, problema que en la literatura técnica y normativa se ha abordado tradicionalmente con el modelo viga clásico. Se revisan las expresiones directas que se deducen para el esfuerzo rasante en régimen elástico y el cambio que sufren cuando los materiales alcanzan su comportamiento no lineal. El modelo viga tiene limitaciones en el caso de vigas en T o similares a las que debe prestarse atención. La primera es el problema de la deformabilidad del ala frente al rasante, que en la práctica se resuelve adoptando un ancho eficaz para la misma. Otra limitación es la incapacidad de reproducir la existencia de un axil transversal concomitante con el rasante. También se menciona la presencia de otros esfuerzos concomitantes como la flexión transversal, que puede condicionar el funcionamiento del mecanismo resistente. Aparte del modelo viga se incluye el método de bielas y tirantes, que constituye otra herramienta de cálculo del esfuerzo rasante. Aunque inicialmente se desarrolló como modelo resistente frente al cortante vertical, su generalización en el cálculo del hormigón estructural permite emplearlo como modelo global, y no solo como modelo para estudio de regiones D. Finalmente se citan estudios realizados sobre el rasante de vigas en T mediante modelos estructurales más complejos. El segundo bloque se dedica a la resistencia a esfuerzo rasante. En él se revisan los distintos modelos generales que pueden agruparse básicamente en modelos de bielas y tirantes, modelos desarrollados para lajas y losas de hormigón, y modelos de transferencia a corte. Se comentan los estudios experimentales realizados por diversos autores sobre vigas de hormigón armado y la aplicación de los modelos descritos en el problema resistente del ala frente al rasante, para terminar por los métodos propuestos en la normativa, generalmente decantados por el uso del modelo de bielas y tirantes. Finalmente, el tercer bloque se dedica al hormigón reforzado con fibras acero. Se describen sus características básicas y se recopila aquella información que se emplearía con los métodos



habituales para el problema del rasante en hormigón armado, ya que no hay publicaciones específicas sobre este aspecto en HRFA. Se trata de la ley constitutiva de tensiones normales y la caracterización para la transferencia a corte, esta última diferente al mecanismo de resistencia al cortante vertical en vigas y losas, que sí se ha estudiado profundamente. Además se trata el tema del modelo viga con las características especiales que aportan las fibras y se repiten algunos temas tratados en el bloque de hormigón armado, como el modelo de bielas y tirantes y el estudio de lajas y placas. 2.1 GENERALIDADES 2.1.1 Definición El rasante es un esfuerzo tangencial que se obtiene en piezas flectadas cuando se realiza en ellas un plano de corte longitudinal, paralelo a la directriz. En normas como EHE [1] y EC2 [4], que dedican un apartado específico al diseño y comprobación frente a este esfuerzo, proporcionan una definición general del mismo:

xFS

ΔΔ

= E.2.1

El rasante del ala se define, entonces, como el esfuerzo tangencial S desarrollado en el plano de unión del ala con el alma (plano AA' de la Fig.2.1a) y que resulta de la variación del esfuerzo axil ∆F en la parte del ala exterior al plano de corte, en un tramo de viga de longitud ∆x (Fig.2.1b). Se mide como fuerza por unidad de longitud y en otras ocasiones se habla de tensión rasante media, obtenida dividiendo entre el espesor del ala.

A'B'C C'

(a) (b)

A'

(c)

Fig.2.1. Definición de esfuerzo rasante: (a) planos o superficies de corte; (b) definición del rasante del ala según normas; (c) sección con acartelamientos para desplazar el plano de corte más débil.

El término rasante, utilizado frecuentemente en la bibliografía, se debe a la dirección horizontal del esfuerzo [5,6]. Otros términos utilizados son cortante horizontal o cortante longitudinal, derivados de la bibliografía internacional en inglés (horizontal shear, longitudinal shear), por lo que habitualmente se emplean como abreviaturas las letras H o S, mientras que V se reserva para el cortante vertical, esfuerzo tangencial producido en un plano perpendicular a la directriz [5]. Hay autores que reservan el término rasante para el cortante horizontal producido entre dos hormigones de edades diferentes [7], como ocurre en vigas compuestas de hormigón, en donde una losa se hormigona in situ sobre vigas prefabricadas, lo que correspondería a una superficie de corte tipo CC' (Fig.2.1a). Cualquier plano de corte paralelo a la directriz de la pieza genera una superficie sobre la que se desarrolla un esfuerzo rasante, sin embargo, es fácil deducir que el rasante en un ala de espesor



constante es máximo según el plano de corte AA', y que cualquier otro plano del tipo BB' (Fig.2.1a) proporciona un rasante de menor valor. Por ello, en vigas monolíticas, se entiende siempre que el rasante se estudia en el plano vertical de arranque del ala desde el alma, aunque no debe olvidarse la posibilidad de que, en casos especiales, pueda existir una superficie de corte más débil. Por ejemplo, con la presencia de acartelamientos (Fig.2.1c). También debe contemplarse la posibilidad de la pérdida de monolitismo, fisurando incluso antes de que actúe el esfuerzo de corte, y por razones no relacionadas con él, como tracciones causadas por coacción a las deformaciones por retracción o temperatura, golpes accidentales [8] o acciones que causen flexión transversal. 2.1.2 Enfoque del problema Hay dos aspectos importantes en el problema del esfuerzo rasante que interesa adelantar, y que serán desarrollados en apartados posteriores:

— La aplicación de la ecuación E.2.1, junto con la teoría de vigas, admite distintos desarrollos en función del nivel de carga de la pieza, para lo cual hay que escoger la ley constitutiva adecuada de los materiales. De este modo puede obtenerse una expresión para el rasante correspondiente a niveles bajos de carga, y otra diferente para niveles de carga cercanos al agotamiento en flexión de la viga. No obstante, no resulta del todo correcto llamar rasante elástico al primer caso y plástico al segundo, sino que debe observarse el siguiente punto.

— El valor del esfuerzo rasante depende del mecanismo de respuesta que presenta la viga para dicho esfuerzo. El concepto es similar al problema de la redistribución de momentos flectores en vigas hiperestáticas: si la respuesta de las secciones críticas es dúctil y se alcanza dicho estado con el nivel de carga de estudio, el cálculo de esfuerzos debe hacerse en consecuencia. Normalmente en servicio se realiza un cálculo elástico y en rotura un cálculo con redistribución. De modo análogo, si la resistencia frente a rasante se moviliza de una forma dúctil, la distribución del esfuerzo rasante a lo largo de la pieza se producirá de un modo más uniforme, según se incremente el nivel de carga de la pieza, y es adecuado entonces emplear el término rasante plástico. En aquellos tramos de la viga donde no se ha alcanzado el comportamiento dúctil, o también capacidad plástica, puede emplearse el término rasante elástico.

La ductilidad del mecanismo resistente se consigue con la incorporación de una cuantía de armadura mínima que atraviese el plano de corte, ésta suele oscilar entre el 0,1% según el Código Modelo [3] y EHE [1] y, por ejemplo, el 0,15% según la norma británica BS-8110 [9]. La disposición de una armadura con cuantía inferior supone la consideración de que el mecanismo resistente tiene un comportamiento frágil. Como consecuencia, a efectos prácticos, el enfoque general del problema del diseño frente a esfuerzo rasante consiste en prever el nivel de carga y el mecanismo resistente adecuado para satisfacer la condición de agotamiento, lo cual suele requerir un tanteo previo. Si se propone un mecanismo resistente frágil debe evaluarse el rasante elástico, para lo cual la expresión E.2.1 se usa tomando un tramo Δx pequeño, que permita describir mejor la distribución del esfuerzo rasante a lo largo de la pieza. Si el rasante elástico supera la capacidad resistente prevista, ésta debe cambiarse hacia un comportamiento dúctil, incorporando armadura suficiente, lo que permite recalcular el rasante como plástico, de modo que la expresión E.2.1 puede usarse escogiendo un tramo Δx grande, siempre que en él se mantenga constante el signo de variación de la fuerza resultante ΔF en el ala de estudio.



Este modo de operar puede observarse en la EHE [1] cuando trata el problema general del rasante en la junta entre hormigones. El art. 47º propone como valor pequeño para Δx un canto útil y, en caso de disponer de armadura suficiente, permite emplear el máximo valor indicado anteriormente para Δx. No obstante, para el caso particular del rasante en las alas de vigas monolíticas (art. 44.2.3.5), asume que el rasante puede considerarse que se distribuye uniformemente, lo que obliga a disponer una armadura transversal en el ala que se obtiene aplicando el método de bielas y tirantes. En general, todas las normas, bien mediante bielas y tirantes (Código Modelo [3], EHE [1], EC2 [4]) o bien mediante corte-fricción (ACI 318-11 [10], AASHTO LRFD Bridge [ 11 ], CAN/CSA-S6-06 [ 12 ], JSCE/SSCS [ 13 ]), coinciden en dar importancia a garantizar la unión del ala con el alma mediante la disposición de armadura suficiente para tener un mecanismo resistente dúctil. 2.1.3 Cortante vertical y cortante horizontal Los tratados de hormigón y normas incluyen el rasante en el capítulo general del cortante pero existen diferencias entre el cortante vertical y el rasante o cortante horizontal que conduce a tratamientos diferentes. En la Fig.2.2 se esquematizan ambos esfuerzos. En el plano cc' se desarrollan las tensiones tangenciales cuyas resultantes, V o S respectivamente, están contenidas también en el plano pp', perpendicular al primero.

(a) (b)

Fig.2.2. Funcionamiento del cortante vertical y del cortante horizontal: (a) Cortante vertical; (b) Cortante horizontal.

El cortante vertical V siempre es considerado en el diseño de la viga, el cual va acompañado del esfuerzo de flexión My, ambos esfuerzos de entidad que caracterizan el trabajo de la viga. El plano pp' (Fig.2.2a) resulta ser el plano de flexión y por este motivo sobre cc' se genera una distribución de tensiones normales cuya variación se produce según la dirección del cortante, creándose un bloque de compresiones y otro de tracciones. Este trabajo favorece la aparición de fisuras sobre la sección, y el mecanismo resistente frente a cortante acaba dependiendo de parámetros asociados a la flexión, como el brazo mecánico, la cuantía de la armadura de tracción, o incluso el momento de fisuración. Siendo el método de bielas y tirantes el método general para el estudio del cortante [1], la gran experimentación acumulada en vigas y los numerosos estudios realizados ha conducido a una formulación corregida con otros factores resistentes [14]. El rasante S sólo es objeto de comprobación si existen planos de debilidad paralelos a la directriz que transmitan esfuerzos cortantes. En la Fig.2.2b el plano pp' no es un plano de flexión, aunque aparecen tensiones normales sobre cc' antes de fisurar, la variación de las mismas según x es



muy suave para cargas uniformes [15], y su resultante es nula si se integran para toda la pieza (v. 2.3.3.1). Además estas tensiones son ignoradas en la formulación habitual del rasante resistente [6] que, o bien se basa en la aplicación básica del método general de bielas y tirantes, o bien en una expresión de transferencia a corte. Otra diferencia con el cortante vertical es la presencia de flexión transversal Mx, que habitualmente no influye en la formulación del mecanismo resistente frente a rasante, sino que ambos problemas se estudian separadamente y posteriormente se aplican unas reglas para el reparto de la armadura transversal del ala. Como excepción, el código japonés (JSCE/SSCS [13]) incluye la flexión transversal en la formulación de la transferencia a corte. En resumen, el cortante vertical resistente presenta una formulación más evolucionada que la proporcionada por el método de bielas y tirantes, más compleja, y que depende en gran medida del flector contenido en su plano, mientras que el cortante horizontal o rasante resistente presenta una formulación muy básica, deducida de un modelo de bielas y tirantes o de transferencia a corte, que ignora el axil concomitante desarrollado por el trabajo longitudinal de la viga, y que lo trata separadamente de la flexión transversal. 2.1.4 Consideración del rasante a nivel diseño A nivel diseño, una viga es objeto de comprobaciones en situación de agotamiento y en situación de servicio, sin embargo en los códigos y normas el rasante parece recibir atención sólo en ELU, por lo que deben hacerse unas consideraciones al respecto. Rasante en Estados Límite Últimos. La importancia de la comprobación frente al rasante en ELU es inmediata, debe garantizarse la unión del ala con el alma para que la viga desarrolle la capacidad a flexión supuesta en los cálculos, en donde el ala desempeña un papel importante como cabeza de compresión o de tracción. De hecho, una forma de evaluar el rasante de cálculo consiste en partir de la situación de agotamiento a flexión de la viga, en lugar de la combinación de acciones pésima actuante sobre ella, con lo que de este modo suele añadirse un margen adicional de seguridad. Rasante en Estados Límite de Servicio. Los dos aspectos más tratados en ELS son la fisuración y la deformación pero ningún texto recoge comprobaciones explícitas para el rasante enmarcadas en estos conceptos. La conclusión que puede obtenerse es que un diseño correcto del rasante en ELU garantiza un comportamiento satisfactorio en ELS. Si se profundiza en el problema puede relacionarse de un modo implícito el rasante con los dos aspectos de diseño en servicio mencionados: — La fisuración por esfuerzos rasantes parece quedar resuelta si, aparte de verificar el ELU, se

respetan las cuantías mínimas prescritas para la armadura. En este sentido, la EHE [1], que emplea el método de bielas y tirantes para el diseño frente a rasante, recomienda limitar la capacidad de los tirantes a la correspondiente a una deformación del 2‰.

— La deformación de una viga en T depende de la deformabilidad del ala en su plano,

movilizada por el rasante. Para los casos habituales este problema no necesita ser estudiado, sino que las normas proponen un ancho eficaz del ala que permite utilizar la teoría elemental de flexión. De no hacerlo, se infravalorarían las flechas calculadas, cometiendo un error del lado de la inseguridad. La deformabilidad del ala en su plano depende de varios factores, entre ellos de la cuantía de la armadura transversal, sin embargo, por simplicidad, se formula



básicamente a partir de la relación de aspecto del ala en planta (ancho/luz), y se basa en estudios en donde la armadura transversal es la suficiente para garantizar la resistencia a flexión de la viga y, por tanto, la resistencia frente a rasante.

Aparte, es interesante citar una recomendación de la RPX-95 [16] que, aunque trata sobre el diseño de la conexión en tableros mixtos para puentes, comparte similitudes con el rasante en vigas de hormigón. De un modo muy claro esta recomendación establece que la disposición de los conectadores calculados (según la condición de agotamiento) debe ajustarse en lo posible a la envolvente de esfuerzos rasantes elásticos, con objeto de limitar la deformación de la conexión y asegurar un comportamiento cuasilineal de la estructura en servicio. Volviendo a las vigas de hormigón armado, aunque la mayoría de normas como la EHE [1] admite la redistribución completa del esfuerzo rasante y, por tanto, la distribución uniforme de la armadura en un tramo Δx cuyo valor máximo lo establece como la distancia entre las secciones de momento nulo y máximo; una medida encaminada a lograr una distribución de la armadura más acorde con el funcionamiento en servicio se consigue reduciendo el valor máximo permitido para Δx. El EC2 [4], por ejemplo, redujo dicho valor máximo a la mitad en su última versión. El derogado código británico BS 8110-1:1997 [9] se expresa de un modo claro en el apartado relativo a la construcción compuesta. Indica que el cortante horizontal está gobernado por la comprobación en ELU, y que las reglas dadas para este estado límite aseguran que no se rompa la acción compuesta en los estados límite de servicio. Entre esas reglas figura la distribución de la tensión rasante media de una forma proporcional al cortante vertical. En resumen, basta diseñar en ELU y adoptar unas sencillas reglas en la armadura transversal para garantizar el buen funcionamiento del ala en servicio. Estas reglas consistirían en limitar la deformación de la armadura en rotura y en proporcionar una distribución de la misma más acorde al rasante elástico. 2.2 ESTUDIOS EXPERIMENTALES DEL RASANTE

EN VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO Desde el punto de vista específico del estudio del rasante en alas de vigas en T, el número de ensayos ha sido reducido, en la bibliografía publicada pueden contabilizarse 48 vigas que recogieron el caso de alas comprimidas, y 25 para alas traccionadas. Desde un punto de vista general del funcionamiento de este tipo de vigas hay gran cantidad de publicaciones, las cuales se centraron inicialmente en aspectos no directamente enfocados a cuantificar la resistencia de las alas frente a rasante. Bach y Graf (1910-1922) publicaron en Alemania resultados sobre ensayos de vigas en T para verificar la unión de la placa con el alma, pero se trataba más bien de observar qué parte de la resistencia a compresión del ala era utilizada en la resistencia a flexión de la viga. En algunos casos se produjeron formas de rotura que condujeron a una conclusión común: la importancia de la armadura transversal para garantizar la unión ala–alma. En el Instituto Alemán de Materiales y Ensayos, entre 1956 y 1965, se realizaron ensayos para el estudio del ancho eficaz [17]; hubo vigas que registraron con un ancho eficaz decreciente en rotura, hecho que Brendel (1960) [18] atribuyó a una armadura transversal insuficiente. En Londres, Regan (1967) y Placas (1969) presentaron sendas tesis sobre el estudio del cortante en vigas de hormigón armado, incluyendo vigas en T. Tres de estas vigas, fabricadas sin armadura transversal en el ala, agotaron por separación lateral de uno de los vuelos del ala.



Estos hechos confirman que a finales de los años 60 no se poseía un conocimiento completo del funcionamiento de las vigas en T pero ayudaron a despertar el interés en su estudio, siendo a partir de los años 70 cuando comenzaron a plantearse ensayos específicos para el estudio del rasante. En primer lugar, los propios Regan y Placas (1970) [19] utilizaron sus resultados previos para proponer uno de los primeros métodos específicos de diseño de la armadura mínima en vigas de hormigón armado, con base experimental y argumentos teóricos (v. 2.4.2.1.3). Como aspecto anecdótico, aunque no se trata de un estudio experimental frente a rasante, es interesante la referencia que dio Rao (1982) [20] del fallo de un puente real de tres vanos continuo de hormigón armado con sección en cajón, atribuido a la ausencia de una adecuada armadura transversal en la unión alas–alma. Paralelamente hay que señalar que el grueso de la experimentación de vigas en T en aquellos años correspondía a vigas de hormigón compuestas o a vigas mixtas, pero en estos casos se centraba el interés en el rasante originado en la interfaz de unión. Autores que estudiaban el problema de transferencia a corte no sólo ensayaron probetas de push-off (v. 2.4.1.3) sino también vigas compuestas. En relación a vigas mixtas es interesante a citar a dos autores. El primer autor, Davies (1969) [21], resaltó la inexistencia de estudios sistemáticos para evaluar la cuantía mínima de la armadura transversal. En 4 vigas mixtas de escala media ensayadas, consistentes en una losa hormigonada sobre un perfil metálico, varió la cuantía de la armadura transversal mientras mantenía una densidad de pernos conectadores generosa, consiguiendo roturas como la ilustrada en la Fig.2.30, descrita como una rotura por separación lateral. Planteó un modelo empírico para cálculo de la armadura (v. 2.4.2.1.1) que perfectamente podía aplicarse a vigas de hormigón, y sus resultados experimentales fueron usados posteriormente por Morley y Rajendran (1975) [22] para contrastar un modelo de cálculo frente a rasante desarrollado para vigas de hormigón armado (v. 2.4.2.2.2.1). El segundo autor, Johnson (1970) [23], reunió gran cantidad de resultados disponibles de ensayos en vigas mixtas, incluyendo más de 60 vigas ensayadas en la Universidad de Cambridge. Propuso una fórmula experimental para la cuantía mínima de la armadura transversal de la losa (v. 2.4.2.1.2) y consideró que podría ser empleada en vigas en T de hormigón armado, señalando que, hasta la fecha, dicho problema no había sido verificado mediante ensayos. Como puede observarse, los autores citados observaron paralelismo entre el rasante en vigas de hormigón armado y en vigas mixtas, no obstante, Regan (1982) [24] advirtió que la comparación entre ambos tipos de vigas añadía incertidumbres, debido a diferencias importantes. Estas diferencias consistían en que las vigas mixtas presentaban un mecanismo resistente propio del alma metálica frente al cortante vertical, así como un modo particular en que el rasante era introducido en las alas, mediante conectores que, a su vez, introducían unas fuerzas locales que no estaban presentes en las vigas monolíticas de hormigón armado. En lo concerniente sólo a vigas de hormigón armado, los resultados experimentales para estudiar el comportamiento frente a rasante de las alas de vigas en T o similares son escasos. Prácticamente la experimentación existente se extiende en un corto período de tiempo, entre 1970 y 1987, comenzando por las vigas estudiadas por Regan y Placas (1970) [19] y terminando por la campaña experimental de Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26]. Con posterioridad a esa fecha no se han encontrado publicaciones de ensayos realizados con este fin. Jaeger y Bakht (2001) [27] referenciaron el ensayo de una viga en T, realizado por Bartlett (1998), que agotó por separación lateral de las alas, y que utilizaron para contrastar un método de cálculo del axil transversal generado en el plano vertical de unión alas–alma (v. 2.3.3.1.3). Dado que dicho



método se fundamentaba en análisis lineal, no precisaba conocer la armadura transversal del ala y no aportaron información sobre la misma. Recientemente Schütte y Sigrist (2014) [ 28 ] contrastaron un método de cálculo mediante campos de tensiones (v. 2.4.2.2.1) pero usaron datos experimentales de autores del período indicado. Existen dos referencias importantes en donde se relacionan y describen brevemente los ensayos experimentales llevados a cabo por diversos autores. En primer lugar el informe de Regan (1982) [24] elaborado para el CEB, en donde se recogía información de los ensayos experimentales realizados hasta ese año, dentro del objetivo general del CEB de revisar algunos modelos resistentes del reciente Código Modelo 1978. Y en segundo lugar el trabajo de Fiorito (1987) [25] y de Tizatto (1987) [26], siendo el último una tesis en donde se planteaba además un método de diseño. Estas referencias se han empleado para describir el trabajo de algunos autores de los que no se ha podido consultar la publicación original. El análisis referente a los estudios experimentales previos se ha dividido en dos apartados, el primero centrado en vigas funcionando con las alas comprimidas y el segundo con las alas traccionadas. Dado que la presente tesis se centra en el primer caso, se proporciona mayor detalle de estos ensayos, mientras que se mencionan brevemente los relativos a alas traccionadas. 2.2.1 Alas comprimidas Como ya se ha anotado, Regan y Placas (1970) [19] utilizaron resultados previos de vigas ensayadas dentro de un estudio general del cortante. De entre ellas, varias vigas en T fueron empleadas para analizar el problema del rasante, todas ellas consistentes en una viga aislada simplemente apoyada funcionando con las alas comprimidas. El esquema de estos ensayos y los datos relevantes de la resistencia de estas vigas se anota en la Tabla 2.1. En la mayoría de los casos la carga se aplicó sobre el alma, concentrada en una sola sección o repartida uniformemente en 8 secciones, pero en dos vigas (U5 y U6) la carga repartida se aplicó sobre las alas para producir además flexión transversal. Como puede observarse, no todas las vigas agotaron por rasante. Las vigas D3, T21 y T24 fueron fabricadas sin armadura transversal en las alas, y todas ellas manifestaron una rotura por separación lateral de las alas respecto del alma. La rotura siguió casi inmediatamente a la aparición de fisuración longitudinal en el encuentro ala–alma, que se localizó en el tramo central de la viga, correspondiente al de máxima flexión. Los autores atribuyeron la forma de rotura a la generación de un axil transversal en el plano vertical de unión ala–alma, distribuido de tal forma que conseguía estar autoequilibrado y, a la vez, crear un par en equilibrio con la resultante axil de compresiones en el ala, en la sección de máxima flexión vertical. Aparte, dicha resultante axil de compresiones estaba en equilibrio longitudinal, obviamente, con un rasante según el plano de corte. Este esquema de fuerzas se representa en la Fig.2.3a, adaptada del texto original, y es básico para comprender el funcionamiento de las alas exentas, empleado por diversos métodos de cálculo propuestos en la literatura (v. 2.4.2), incluidos los propios Regan y Placas (1970) [19]. El resto de vigas con igual geometría que T21 y T24 manifestaron también fisuración longitudinal para una carga entorno al mismo valor, pero la presencia de armadura transversal, repartida uniformemente en toda la viga, garantizó la unión ala–alma y permitió incrementar la carga hasta agotamiento, en este caso, por un motivo diferente al rasante, cortante vertical. Las vigas U1, U4, U3 y U7, de dimensiones diferentes y solicitadas por una carga uniforme,



manifestaron también el mismo fenómeno, aunque con otro valor del cortante en apoyo, similar entre sí. Esto permite establecer lo que se puede denominar como rasante de fisuración, que sería característico de la viga y de su esquema de carga. Regan y Placas (1970) [19] consiguieron justificar numéricamente el rasante de fisuración en el caso de las vigas cargadas puntualmente, pero no así en el caso de vigas con carga uniformemente repartida (v. 2.4.2.1.3).

Tabla 2.1. Datos resistentes de vigas en T ensayadas por Regan (1967) y Placas (1969).

VIGA ρl·fy

[MPa] ρw·fy [MPa]

ρf ·fy [MPa]

fc [MPa]

Vfis [kN]

Vu [kN]

Mu [kNm]

mt [kNm/m] tipo de rotura

D3 - - - - 0 32 50 50 31 0 rasante T21 26,5 2,25 0 32 140 150 137 0 rasante T24 26,5 2,25 (45º) 0 35 160 170 156 0 rasante T37 26,5 2,25 0,52 32 160 210 192 0 cortante vertical T32 26,5 2,25 0,79 28 160 217 199 0 cortante vertical T14 26,5 2,25 (45º) 1,58 33 180 220 201 0 cortante vertical T6 26,5 2,25 1,58 26 180 205 188 0 cortante vertical U1 26,5 2,25 0,38 30 220 310 237 0 rasante U4 26,5 1,57 0,38 28,5 190 270 206 0 rasante U3 26,5 2,25 1,02 30 220 330 252 0 rasante+cortante vert.U7 26,5 2,25 6,74 29,2 220 360 275 0 flexión longitudinal U5 26 1,57 3,37 30 - - 250 191 19,5 cortante vertical U6 26 1,57 6,74 29,6 - - 190 145 29,6 cortante vertical

Las cuantías geométricas ρl, ρw y ρf corresponden, respectivamente, a la armadura longitudinal de tracción (referida al área útil del alma = bw·d), la transversal de cortante en el alma y la transversal del ala; Vfis es el valor del cortante en apoyo para la situación de fisuración del ala; Vu y Mu son el cortante en apoyo y el momento flector en la sección de máxima flexión para la situación de agotamiento de la viga, despreciando el peso propio; mt es el momento flector transversal para la situación de agotamiento de la viga. Vu, Mu y mt son datos experimentales.

vigas D3, T6, T14, T21, T24, T32 y T37 vigas U1, U3, U4, U5, U6 y U7a a a2·

Viga b bw h hf d a D3 152,5 102 - - 38 191 610 T14, T21, T24, T32, T37 y T6 229 152 305 76 254 915

viga U6

viga U5

resto de vigas

h fh

wb

d

b

w380 380

190190

b U1, U3, U4, U7, U5 y U6 459 152 305 76 254 1375 En la Fig.2.3b se representan los datos de deformación de la armadura transversal del ala, medidos en la zona de unión con el alma, en el caso de la viga T32. Puede apreciarse cómo las barras de la armadura cercana a la sección de aplicación de la carga puntual experimentan un crecimiento temprano de su deformación de tracción, llegando incluso a plastificar, mientras que las barras cercanas a los apoyos experimentan este crecimiento pero con mayor retraso, sin alcanzar los niveles de deformación de las primeras. Lo que confirma el modo en el que aparece la fisuración y cómo se propaga. El rasante de fisuración para esta viga está fijado en un valor de la carga de 2×160=320kN (por apreciación visual), y a partir de él todas las armaduras han cambiado su velocidad de deformación. La barra más traccionada es la 8 y apenas alcanza una deformación del 1‰.



TRAMO DEL ALAEN PLANTA

secciónM=0

a

fN

fN TC

máxMsección

máxM

b

(a) (b)

Fig.2.3. Funcionamiento de la viga aislada: (a) esquema de fuerzas; (b) deformación de la armadura transversal del ala. Adaptado de Regan y Placas (1970) [19].

Otra información interesante proporcionada por Regan y Placas (1970) [19] es la deformación longitudinal del paramento superior comprimido en las vigas de la familia "U", de mayor anchura de alas. En la Fig.2.4 se representa de forma simplificada esta deformación normalizada respecto a la deformación sobre el alma, para un valor de la carga entorno al 90% de la carga de rotura de la viga. En ningún caso se aprecia un funcionamiento eficaz 100% de las alas y los autores no profundizaron en este problema, señalando simplemente que no existía una clara división entre una armadura satisfactoria e insatisfactoria, sólo un comportamiento más integral del ala con el aumento de la cantidad de armadura. Puede añadirse que el salto del valor de la deformación entre alma y alas ha de ser originado por la fisuración del ala, como así indica la Tabla 2.1 (Vfis<Vu). Las vigas U1 y U4, pobremente armadas en el ala, mostraron aplastamiento del hormigón limitado solo a la anchura del alma, lo que indica que el alma falló finalmente por flexión, al no ser acompañada eficazmente por las alas, que habían fallado previamente por rasante. La viga U7, dotada de una armadura más generosa, falló por flexión longitudinal y el aplastamiento del hormigón se observó en una anchura extendida a todo el ala. Este detalle no pudo observarse en las vigas U5 y U6, con alas solicitadas a flexión transversal, ya que fallaron prematuramente por otra causa, no obstante, poseyendo una cuantía de armadura más generosa, sobre todo U6, acusaron también diferencias notables entre la deformación medida en extremos y en el ala. El salto de valor entre alma y alas, sin embargo, es muy reducido en U6. El fallo de las vigas U5 y U6 tenía la apariencia de fallo por cortante de las alas actuando como losas en voladizo. El siguiente estudio corresponde a Petersen y Lyhne (1975) en el que ensayaron unas 8 vigas simplemente apoyadas, con una o dos cargas concentradas aplicadas sobre el alma, acorde a los datos y esquemas de la Tabla 2.2. Como puede observarse, se varió la anchura de alas, la luz de cortante (av) y la cantidad de la armadura transversal así como su distribución. En 6 vigas la armadura transversal del ala se colocó concentrada bajo la carga puntual, en 1 viga la armadura se distribuyó uniformemente en la mitad de la luz de cortante más próxima a la carga puntual, y sólo en la viga restante se distribuyó en toda la luz de vano.



Fig.2.4. Deformación longitudinal del paramento comprimido de las vigas de gran anchura de alas: (a)

vigas sin flexión transversal; (b) vigas U5 y U6 con flexión transversal. La información aportada no llega a ser del todo útil, 2 vigas fallaron por anclaje deficiente de la armadura longitudinal de flexión, siendo una de ellas la que disponía de la armadura distribuida en todo el vano, y sólo fallaron por rasante las vigas con armadura concentrada, un tipo de distribución que en la práctica no se realiza. No obstante, los autores plantearon un modelo de cálculo para el caso de armadura concentrada (v. 2.4.2.2.1). En las vigas 102 a 105 se observa cómo el aumento de av produce una transición del modo de rotura, de cortante vertical a rasante. Las vigas 104 y 106 parecen comparables, con la misma geometría y armadura concentrada la viga 104 agota por rasante para un valor de la carga mayor que la viga 106, con armadura repartida en av/2, pero esta última emplea mayor armadura transversal, menor armadura longitudinal de flexión y acaba agotando finalmente por flexión, por lo que resulta difícil sacar conclusiones claras.

Tabla 2.2. Datos básicos de las vigas de Petersen y Lyhne (1975).

Viga b [mm]

av [mm]

am [mm]

ρf ·fy [MPa] distribución de ρf fc

[MPa]Vu

[kN] tipo de rotura

101 540 600 0 uniforme 26 56 anclaje As longitudinal 102 540 150 900 15,4 concentrada 26 133 cortante 103 540 300 600 4,7 concentrada 23 102 rasante + cortante 104 540 450 300 2,3 concentrada 24 69 rasante 105 540 600 0 1,2 concentrada 34 62 rasante 106 540 450 300 3,8 uniforme en av/2 29 60 flexión 107 940 600 0 2,5 concentrada 28 58 anclaje As longitudinal 108 940 450 300 4,2 concentrada 28 75 rasante La cuantía geométrica ρf está referida al área de rasante, es decir: ρf =Asf/(av·hf). Vu es el valor del cortante en apoyo para la situación de rotura.

av

13740160

1200

avva vama1200

am= 0

[ ]mm



Badawy y Bachmann (1977) [29] ensayaron un total de 5 vigas de proporciones más generosas, todas con la misma geometría, variando únicamente la distribución y cantidad de la armadura transversal e introduciendo flexión transversal en 3 de ellas. Aparte, dos vigas más con idéntica geometría y también con flexión transversal en las alas fueron ensayadas por Bacchetta y Bachmann (1977) [30], con la novedad de incorporar pretensado transversal en las mismas. La geometría y esquema de ensayo se ilustra en la Tabla 2.3. La carga exterior consistió en dos fuerzas puntuales dispuestas simétricamente, aplicadas sobre el alma, pero la flexión transversal, en las vigas Q3 a Q7, se aplicó con un sistema independiente autoequilibrado, que se apoyaba en la cara inferior de la viga, introduciendo una compresión vertical en el alma.

Tabla 2.3. Datos resistentes de las vigas en T ensayadas por Badawy y Bachmann (1977) [29] y por Bacchetta y Bachmann (1977) [30].

VIGA fc

[MPa] ρf ·fy [MPa] Distribución armadura

Vu [kN]

mt [kNm/m] tipo de rotura

Q1 25,6 2 × (1,60 a 0,48) variable en 2 capas iguales 508 0 rasante Q2 29,2 2 × 2,18 uniforme en 2 capas iguales 550 0 flexión

superior: 3,03 a 1,36 variable Q3 22,9 inferior: 1,51 a 0,48 variable 532 10,7 flexión

superior: 1,36 y 2,48 uniforme en 2 escalones Q4 27,9 inferior: 0,50 y 1,09 uniforme en 2 escalones 541 >11,1 flexión transversal

superior: 1,36 y 2,60 uniforme en 2 escalones Q5 27,4 inferior: 0,50 uniforme 539 10,7 flexión

superior: 0,55 y 1,60 uniforme en 2 escalones Q6 28,3 inferior: 0,50 y 1,09 uniforme en 2 escalones 549 10,7 flexión

superior: 0,55 y 1,66 uniforme en 2 escalones Q7 28,3 inferior: 0,50 uniforme 549 10,7 flexión

La distribución variable disminuye hacia el punto de aplicación de la carga. La distribución uniforme en 2 escalones concentra mayor armadura en un tramo de 1,5m entorno a cada carga puntual. Todas las vigas poseen igual armadura longitudinal de tracción (ρl·fy=21,4MPa) e igual armadura vertical en el alma (ρw·fy=5,59MPa).

400 400

FF

520 5202000 2000 2000

100

d=550

620

mm[ ]

2F

vigasQ1 y Q2

vigas Q3, Q4 y Q5

2Fq/2 q/2

q/2 q/2430 430

vigas Q6 y Q7

2Fq/2 q/2

q/2 q/2430 430

p p

En todas las vigas la armadura transversal de las alas se dividió en dos capas, escogiendo diversos criterios para su distribución longitudinal y considerando un mínimo de armadura constructiva con distribución uniforme. Es interesante revisar el planteamiento de los diversos criterios, ya que reflejan un intento de enfocar el problema de un modo sencillo, utilizando conceptos el enfoque del problema en Europa en aquellos años:

Viga Q1: según el modelo clásico o modelo de tracción principal, así denominado por Badawy y Bachmann (1977) [29], explicado en el siguiente párrafo.

Viga Q2: según la analogía de la celosía o modelo de bielas y tirantes.

Viga Q3: superposición de la armadura requerida por el modelo clásico o de tracción principal y la requerida por flexión transversal.



Vigas Q4 y Q6: superposición de la armadura requerida por el modelo de bielas y tirantes más la requerida por flexión transversal.

Viga Q5 y Q7: armadura requerida por flexotracción, consistente en la flexión transversal más la tracción obtenida del modelo de bielas y tirantes.

El modelo clásico o modelo de tracción principal procede de la información que puede obtenerse del modelo viga clásico, esta consiste en la compresión longitudinal y en la tensión tangencial rasante. Con este estado tensional en la junta de unión ala–alma, los autores utilizaron el círculo de Mohr para obtener la tracción principal, y calcular la armadura transversal en consecuencia. Obviamente descartaron este modelo ya que no cumplía el equilibrio transversal y conducía a una distribución de la armadura inapropiada, inclinándose por el modelo de bielas y tirantes (v. 2.4.2.4). De hecho, la única viga que agotó por rasante fue precisamente la viga Q1, mientras que las restantes vigas disponían de suficiente armadura transversal para provocar el agotamiento por flexión longitudinal, excepto la viga Q4, que agotó por flexión transversal en las alas, y en ninguno de estos casos se observaron signos del efecto del esfuerzo rasante. Las vigas Q1 y Q2 constituyen los casos interesantes para la presente tesis. En la Fig.2.5 se representa la fuerza de tracción transversal en el ala registrada con la instrumentación de la armadura situada en la capa superior, para tres niveles de carga (F1, F2 y Fu), así como la capacidad resistente máxima a tracción de dicha armadura (ρf ·fy·hf /2). La gráfica de la Fig.2.5a corresponde a la viga Q1 en donde puede apreciarse la distribución de la armadura transversal según el modelo clásico, con cuantía creciente hacia los apoyos. Los niveles de carga F1 y F2 son coherentes con el esquema de fuerzas transversales planteado en la Fig.2.3a, la mayor tracción se obtiene en el entorno de aplicación de cada carga puntual, y un pequeño tramo ha alcanzado la plastificación. Llegados al nivel Fu de agotamiento prácticamente la totalidad de la armadura se encuentra plastificada, y como la cuantía en el tramo central resulta insuficiente la mayor tracción se obtiene hacia los apoyos, en donde la cuantía crece. Pero esta distribución del esfuerzo de tracción no es natural con el esquema de trabajo de la pieza, así que acaba descendiendo bruscamente, desaprovechando la armadura dispuesta en el entorno de los apoyos. Aquí pueden observarse dos aspectos: la capacidad de la armadura de redistribuir el esfuerzo de tracción a lo largo de la viga, en este caso, desde los puntos de aplicación de las cargas puntuales hacia ambos lados; y que esta capacidad tiene un límite si la armadura no está adecuadamente distribuida. La gráfica de la Fig.2.5b corresponde a la viga Q2, que dispone de una distribución uniforme de la armadura, y mayor cantidad total que en el caso de la viga Q1. La distribución del esfuerzo de tracción es similar en los tres niveles de carga representados, aunque creciendo en intensidad. Puntualmente, en el nivel Fu de agotamiento de la viga, se alcanza la plastificación en dos secciones, ambas cercanas a cada una de las cargas concentradas. La cuantía de armadura transversal es generosa y la viga acabó fallando por flexión longitudinal. El análisis de estas dos vigas permite plantear el hipotético caso representado en la gráfica de la Fig.2.5c, que correspondería a la viga Q2 con una cuantía de armadura igualmente distribuida pero en menor cantidad. Se representa la tracción correspondiente al nivel Fu original, que supera a la capacidad de la armadura en los tramos entorno a cada carga puntual; y se representa la probable redistribución del esfuerzo, que habría permitido mantener el mismo tipo de rotura de la viga con un ahorro en armadura transversal.



Fig.2.5. Fuerza de tracción medida y resistencia máxima en la capa superior de armadura: (a) viga Q1;

(b) viga Q2; (c) viga Q2 hipotética en agotamiento. Adaptado de Badawy y Bachmann (1977) [29]. Los experimentos descritos hasta ahora, si bien no son numerosos, sí permiten obtener una idea del funcionamiento de la viga, de los esfuerzos generados en el ala y de la importancia de la armadura transversal, y puede aplicarse también al caso de otras geometrías similares, como ocurre con las dos vigas con sección en U invertida ensayadas por Tan y Goh (1979), pertenecientes a un trabajo de estudiantes realizado en Londres. El esquema de ensayo se representa en la Fig.2.6. En este caso se trata de un ala interior, así que puede existir cierta coacción al desarrollo del axil transversal representado en la Fig.2.3a, en la unión de cada semiala con su alma correspondiente. No obstante, al tratarse de una sola viga los resultados mostraron máxima deformación transversal en la unión ala–alma en las proximidades de la sección de máxima flexión. Una viga falló por flexión longitudinal, mientras que la otra, con menor cuantía de armadura, falló por rasante, presentando el 75% de la armadura transversal del ala plastificada.

1000 1000 650

2503050

[ ]mm Fig.2.6. Esquema de ensayo de viga en U invertida de Tan y Goh (1979).



También en Londres, Domingues (1981) ensayó 12 vigas en T con alas de gran anchura, de las cuales 4 fueron con las alas comprimidas, cargadas sobre el alma mediante dos cargas puntuales dispuestas simétricamente. Los datos relevantes se anotan en la Tabla 2.4. Las variables consideradas fueron la cuantía de la armadura transversal, su posición en el ala, la luz de cortante y, como novedad, se introdujo prefisuración en la unión alas–alma de una de las vigas, mediante flexión transversal en ambos sentidos.

Todas las vigas fallaron por rasante, localizándose el daño en el tramo de junta extendido hasta el punto de intersección del paramento inferior de las alas con la última fisura inclinada por cortante en el alma. La viga T1-121 concentró la armadura transversal del ala en una sola capa, localizada en el plano medio, y siendo la viga con menor cuantía, toda la armadura plastificó en agotamiento. Algo similar ocurrió con la viga más corta T1-211, plastificando la práctica totalidad de la armadura. La desvinculación parcial de las alas del alma provocó en ambas vigas el aplastamiento del hormigón en compresión en el paramento superior del alma, lo que representa una gran pérdida de eficacia de la sección en flexión.

Las vigas T1-111 y T1-112 aparentemente son iguales, poseen una mínima diferencia en la luz de cortante, pero la verdadera diferencia estriba en la fisuración inicial del plano de corte en la segunda, que falló para un valor de la carga entorno al 75% de la carga conseguida por la primera, de alas monolíticas. En ambas vigas la armadura transversal plastificó en el entorno de las secciones de flexión máxima.

Tabla 2.4. Datos de las vigas ensayadas por Domingues (1981).

VIGA av

[mm] am

[mm] ρl·fy

[MPa] ρf ·fy [MPa] Notas fc

[MPa] Vfis [kN]

Vu [kN]

tipo de rotura

T1-121 2250 500 18,39 0,88 1 sola capa centrada 30,0 175 247,5 rasante T1-111 2265 470 24,02 1,70 33,9 175 335 rasante T1-211 1500 500 18,39 1,70 28,4 150 366 rasante T1-112 2250 500 18,39 1,70 alas prefisuradas 27,6 -- 255 rasante La distribución de la armadura transversal es uniforme en todos los casos, repartida en dos capas excepto el caso indicado de la viga T1-121. Igual armadura vertical en el alma para todas las vigas (ρw·fy=5,51MPa).

mm

50060

425

675 675

am avav[ ] 500 500

1500

Finalmente, el último estudio experimental realizado para el análisis del rasante corresponde a Fiorito (1987) [25] y a Tizatto (1987) [26]. El primero ensayó 5 vigas en T simplemente apoyadas, solicitadas por dos cargas puntuales dispuestas simétricamente, vigas que se incorporaron también al estudio del segundo, que ensayó 9 vigas más con el mismo esquema, 6 de ellas con flexión transversal. El conjunto de 14 vigas se describe en la Tabla 2.5, con la notación de ambos autores. Aparte de los dos tipos de carga aplicada, la otra variable escogida fue la cuantía de la armadura transversal en las alas, utilizando un mismo diámetro de barra en todas las vigas excepto en dos. La armadura se localizó en una sola capa superior y se repartió longitudinalmente en la viga siempre de forma uniforme. En el caso de las vigas de la serie VT la flexión transversal en las alas se aplicó primeramente hasta un valor preestablecido (q), que se mantuvo constante con la aplicación de la carga sobre el alma. El número utilizado en el nombre de la viga permite emparejar vigas MT y VT que poseen prácticamente las mismas



características y sólo se diferencian en la flexión transversal, lo que permite valorar el efecto de la misma en la capacidad resistente.

Tabla 2.5. Datos de las vigas del estudio de Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26].

Viga Fiorito / Tizatto

hf [mm]

ρf [%]

ρf·fy [MPa]

fc [MPa]

Fu [kN]

q [kN/m]

Vfis [kN]

Vu [kN]

Mu [kN·m] tipo de rotura

- - / MT1 70 0 0,00 35,1 250 - - 250 250 500 rasante - - / MT2 75 0,11 0,68 41,6 300 - - 300 300 600 rasante T1 / MT3 75 0,19 1,13 31,3 375 - - 325 375 750 rasante T5 / MT4 70 0,3 1,66 35,8 365 - - 290 365 730 rasante T2 / MT5 70 0,3 1,82 30,8 390 - - 300 390 780 rasante T4 / MT6 70 0,4 2,43 32,8 430 - - 320 430 860 rasante - - / MT7 70 0,4 2,91 32,8 430 - - s/dato 430 860 flexión T3 / MT8 75 0,56 3,40 27,5 450 - - 300 450 900 flexión - - / VT3' 75 0,19 1,13 32 313 5 - - 338 658 rasante + flex. transv. - - / VT3 75 0,19 1,13 34,3 300 7,5 - - 338 649 rasante + flex. transv. - - / VT4 75 0,28 1,55 37,6 280 10 - - 330 625 rasante + flex. transv. - - / VT5 75 0,28 1,7 30,8 280 15 - - 355 657 rasante + flex. transv. - - / VT6 70 0,4 2,43 33,9 350 15 - - 425 797 rasante + flex. transv. - - / VT8 70 0,6 3,64 29,4 347 25 - - 472 856 rasante + flex. transv.

Armadura transversal con Ø6,55mm, excepto vigas MT4 y VT4 con Ø8mm. Todas las vigas poseen igual armadura longitudinal de tracción (ρl·fy=30,6MPa) e igual armadura vertical en el alma (ρw·fy=5,8MPa).

1350300 3002000 2000 1000

1000 1000 1000 500 1000 500 600 600

VigasMT

VigasVT

600 600150

430

mm[ ]

50

270

500sfA

hfFF F

FFF2·q q q

En las vigas de la serie MT la instrumentación permitió detectar la fisuración longitudinal en la unión alas–alma para un valor de la carga entre 200 y 250kN, pero visualmente sólo pudieron ser detectadas entre 250 y 320kN, que es el valor anotado en la Tabla 2.5. La aparición de la fisuración longitudinal se correspondió con las fisuras inclinadas por cortante en el alma alcanzando el paramento inferior de las alas en su encuentro con el alma. Las vigas MT1 y MT2 agotaron prácticamente al aparecer la fisuración longitudinal. Las siguientes vigas, con cuantía mecánica de la armadura transversal creciente, resistieron mayor carga, y con el aumento de la misma se marcaron fisuras inclinadas a lo largo de la unión alas–alma hasta cerca de los apoyos, en donde se apreció mayor inclinación. El patrón de fisuración de la viga MT3, representativa de una cuantía de la armadura relativamente baja, puede observarse en la Fig.2.7a, en donde la extensión de la fisuración longitudinal es notable, transformándose de una línea más o menos continua, en el tramo central, a una colección de líneas cortas levemente inclinadas y paralelas, conforme se extiende hacia los apoyos. En la cercanía de los apoyos pierde la fisura longitudinal para transformarse en fisuras cortas con mayor inclinación y paralelas. La zona de daño se concentra en este caso a continuación del punto de aplicación de la carga izquierda. La Fig.2.7b corresponde a la viga MT8, con la cuantía máxima. La extensión de la fisura longitudinal queda restringida



prácticamente al tramo central situado entre cargas puntuales, más allá de las cuales se produce fisuración oblicua y más distanciada que en el caso anterior. Al fallar esta viga por flexión la zona de daño se concentra en la sección central, con el hormigón aplastado en gran parte de la anchura del ala.

(a)

(b)

Fig.2.7. Patrón de fisuración final de vigas MT: (a) viga MT3 (=T1); (b) viga MT8 (=T3). La armadura transversal de las alas plastificó en su totalidad en el caso de la viga MT2. En las vigas MT3 a MT8 la plastificación ocurrió en un tramo de viga entre el 60 y el 30% de la luz de la viga. Las vigas MT7 y MT8, con alta cuantía de armadura, fallaron por flexión. La carga de rotura de MT7 algo inferior se debió probablemente a la necesidad de descargar y volver a cargar la viga por problemas técnicos. Después de la fisuración longitudinal, en las vigas con cuantía intermedia que resistieron el rasante de fisuración, se produjo una diferencia o salto de valor en la deformación longitudinal del hormigón en la cabeza comprimida, entre las alas y el alma, signo de una pérdida de eficacia de las alas. Es decir, las alas comprimidas se relajaron un poco y para compensar el alma incrementó su trabajo. Este salto se hizo más notable con el incremento de la carga. Puede observarse el caso de la viga MT4 en la Fig.2.8a, en donde además se aprecia la disminución de la deformación hacia el extremo libre del ala, menos acusado en la fibra inferior. Las vigas MT7 y MT8, que fallaron por flexión, mostraron bastante uniformidad en la deformación longitudinal del hormigón de las alas, tanto en la fibra superior como en la inferior, signo de una alta eficacia de las mismas. En la Fig.2.8b se muestra el caso de la viga MT8, en donde sólo se aprecia un salto en el nivel 6 de carga, cercano al de rotura, pero dado que la deformación supera el 3‰ prácticamente en toda la anchura del ala, a nivel tensional el hormigón se encuentra plastificado en compresión y todo el ancho resulta eficaz a efectos prácticos. No obstante, Tizatto (1987) [26] empleó el diagrama tensión–deformación real del hormigón y concluyó que la anchura eficaz del ala (v. 2.3.2) era un 93% del ancho real en la viga MT8, y un 58% en la viga MT4.



(a) (b) Fig.2.8. Deformación longitudinal del hormigón en el ala, en la sección central: (a) viga MT4; (b) viga

MT8. Adaptado de Tizatto (1987) [26]. En las vigas de la serie VT la aplicación de la flexión transversal provocó directamente la aparición de fisuración longitudinal en el paramento superior de la unión alas–alma, y se formaron fisuras paralelas adicionales en las vigas VT5 A VT8, que poseían mayor cuantía de armadura a la vez que mayor valor de la flexión transversal. El patrón de fisuración puede observarse en la Fig.2.9b para ambos casos. La armadura transversal plastificó en todos los casos y el hormigón en el paramento inferior del ala sufrió spalling. Tizatto estableció como causa de rotura la combinación de rasante y flexión longitudinal, ya que el momento último resistente registrado en los ensayos resultó inferior que el obtenido en las vigas MT de características similares. No obstante, la viga VT8, con más armadura en las alas, agotó para un valor del momento flector igual al 95% del momento de agotamiento de la viga MT8, que rompió por flexión longitudinal. Parejo a este descenso en la capacidad resistente a flexión también se acusó mayor pérdida de eficacia de las alas. La diferencia en la deformación longitudinal entre el alma y el extremo libre del ala resultó más notable que en ausencia de flexión transversal.

Fig.2.9. Patrón de fisuración final de vigas VT. Adaptado de Tizatto (1987) [26].



Como resumen, el número total de vigas ensayadas por todos los autores citados asciende a 48, consistentes todas en vigas en T simplemente apoyadas, con la excepción de dos casos de vigas en U invertida. El sistema de carga consistió en 1 o 2 cargas puntuales simétricas aplicadas sobre el alma, o varias cargas puntuales para simular una carga repartida, aplicadas sobre el alma o también sobre las alas para obtener flexión transversal. Unas 20 vigas fallaron por rasante puro, 2 vigas por una combinación de rasante y cortante vertical, y otras 6 vigas por una combinación de rasante y flexión transversal. El resto fallaron por otras causas. Hay que recordar que no todas las vigas fueron concebidas para estudiar el rasante; los primeros autores citados, Regan y Placas (1970) [19], reutilizaron vigas de un estudio previo general de cortante, y 6 de sus vigas fallaron por cortante vertical, lo que no las convierte en información muy útil, aunque sí permiten valorar una resistencia a rasante inferior a la que realmente habrían alcanzado. 2.2.2 Alas traccionadas En cuanto a alas traccionadas, los primeros resultados fueron publicados por Jonasson (1975), quien había ensayado 2 vigas en T, más 2 vigas en U invertidas. Posteriormente Jonasson (1976) añadió los resultados de 6 vigas más en T con alas traccionadas. El esquema de ensayo de una de estas vigas se ilustra en la Fig.2.10, en la puede observarse el funcionamiento de un tramo de ala delimitado por las secciones de momento nulo y máximo, en correspondencia con la Fig.2.3a utilizada para el caso de alas comprimidas. El esquema de fuerzas se invierte y cobra gran importancia la armadura longitudinal del ala y cómo se realiza el corte y anclaje de la misma.

2250 1500

1540

[ ]mmsecciónM=0

fN

fNT C

máxMsección

2250

viga en T viga en U invertidaTramo delala en plantade viga en T

Fig.2.10. Esquema de ensayo habitual para el estudio de alas traccionadas y funcionamiento de un

tramo de ala delimitado por las secciones de momento nulo y máximo. Bacchetta y Bachmann (1979) [31] ensayaron 6 vigas en I siguiendo el mismo esquema de la Fig.2.10, con dimensiones diferentes, e introdujeron flexión transversal en 4 de ellas. Aparte, en uno de los voladizos de estas 4 vigas, introdujeron también pretensado transversal parcial en las alas traccionadas. Una viga normal falló por rasante y las otras 4 fallaron por una combinación de rasante y flexión transversal. Paralelamente, Eibl y Kühn (1979) [32] ensayaron 4 vigas en T con alas de gran anchura más una quinta formada por dos vigas en T cruzadas ortogonalmente, formando una cruz en planta, de modo que se producía una región de tracción biaxial en el punto central de apoyo. Ninguna de ellas falló por rasante y en todos los casos se verificó mayor deformación de tracción en las barras longitudinales del ala próximas al alma. Pueden añadirse 2 vigas en U invertidas, pertenecientes al trabajo estudiantil de Tan y Goh (1979), fallando una de ellas por rasante. Finalmente, Domingues (1981) ensayó 8 vigas en T consiguiendo el fallo por rasante en 6 de ellas, un fallo por combinación de rasante y cortante vertical y, a pesar de cargar todas las vigas sobre el alma, un fallo curioso por flexión transversal en el ala inducida por la



curvatura de la viga (v.2.3.3.2), favorecido por concentrar la armadura transversal únicamente en el extremo cargado de la viga. El patrón de fisuración en el ala es una combinación entre las fisuras que se originarían transversalmente al alma debido a la tracción longitudinal, más las fisuras oblicuas debido a la inclinación de las compresiones en el ala para transmitir el rasante al alma. En la Fig.2.11 se reproducen las fotografías de dos casos de vigas ensayadas por Bacchetta y Bachmann (1979) [31], ambas con la carga aplicada sobre el alma. La primera viga (Z1) repartió la armadura longitudinal entre las alas y el alma, y agotó por flexión. La segunda viga (Z2) repartió la armadura longitudinal sólo en las alas y agotó por rasante, produciéndose el aplastamiento del hormigón por compresión oblicua en la zona de aplicación de la carga, zona con una alta concentración de tracciones transversales.

Fig.2.11. Patrón de fisuración en el ala traccionada: (a) viga Z1, agotada por flexión; (b) viga Z2,

agotada por rasante. Adaptado de Bacchetta y Bachmann (1979) [31]. El conjunto de todos los autores citados suman un total de 25 vigas ensayadas para estudiar el funcionamiento de las alas traccionadas, 14 de ellas fueron vigas en T, 6 en I, 4 en U invertida y 1 viga especial formada por dos vigas en T cruzadas. En todos los casos se trató de vigas simplemente apoyadas con alas exentas, con la excepción de las vigas en U, aunque la coacción transversal en este caso era reducida al tratarse de vigas aisladas. Un caso no comentado fue una viga en I en pequeña escala ensayada por Domingues (1981) para reproducir las condiciones de una viga continua. 2.3 EVALUACIÓN DEL ESFUERZO RASANTE En este apartado se exponen los métodos comúnmente utilizados para evaluar el esfuerzo rasante de vigas en T o similares, y que son el uso del modelo viga tradicional y el método de bielas y tirantes. Se añaden aquellos aspectos no cubiertos por el modelo viga que tienen influencia en el problema del rasante, como son la deformabilidad de las alas y la presencia de esfuerzos concomitantes. Y finalmente se citan estudios realizados sobre el rasante mediante modelos estructurales más complejos.



2.3.1 Modelo viga tradicional El modelo viga clásico es el método principal de cálculo propuesto en cualquier texto normativo de estructuras de hormigón, metálicas o mixtas. Aunque tiene limitaciones que se tratarán aparte (v. 2.3.2 y 2.3.3.1) es el método mayoritariamente empleado en la evaluación del esfuerzo rasante en una pieza de hormigón. A continuación se exponen los supuestos que se van a emplear en los siguientes apartados:

• Se cumplen los principios de cálculo señalados en los textos normativos referentes a las vigas. Normalmente estos principios se enumeran en el artículo del ELU frente a solicitaciones normales (EHE [1] art. 42.1.2 y EC2-1-1 [4] aptdo. 6.1):

– Relación luz/canto grande para que puedan desarrollarse zonas con distribución uniforme de tensiones (regiones B, donde aplican las hipótesis de Bernouilli-Navier). Normalmente se emplea el principio de Saint-Venant, EHE [1] establece una relación luz/canto>2, mientras que EC2-1-1 [4] sube el valor de la relación mínima a 3.

– Deformación plana de las secciones transversales (la hipótesis cinemática de la teoría de vigas de Euler-Bernouilli consiste en aceptar que las secciones planas permanecen planas después de deformarse la viga, y que se mantienen además perpendiculares a la directriz de la misma). En el caso especial de formas en T, doble T, cajón o asimilables, debe incluirse una limitación del ancho del ala para emplear en los cálculos (ancho eficaz, EHE [1] art. 18.2.1).

– Igualdad de deformación entre la armadura y el hormigón que la rodea.

– Las tensiones de los materiales se obtienen a partir de unas leyes constitutivas σ–ε predefinidas, en las que se desprecia la tracción en el hormigón excepto en situaciones de servicio en las que la sección no haya sufrido un momento flector superior al momento de fisuración. En HRFA, sin embargo, se considera que las fibras de acero aportan tracción incluso en agotamiento.

• La viga ha de ser prismática, es decir, de sección constante o sensiblemente constante. Este supuesto permite que la sección transversal responda frente a solicitaciones normales con tensiones exclusivamente normales.

• El trabajo que desarrolla la viga es básicamente flexión recta. Ello implica que la sección es simétrica respecto del plano vertical y que la flexión en el plano horizontal es inexistente o despreciable.

En este apartado se explican las distintas formas que adopta la expresión general E.2.1 con los supuestos anotados. Aparte, se supone carga monótonamente creciente hasta el agotamiento en flexión. En todo el proceso de carga de la viga, se entiende que nunca se supera la capacidad resistente frente a rasante. La hipótesis de deformación plana implica además que la unión de las alas con el alma se mantiene perfecta e intacta en todo el proceso. Una exposición similar, al tratar la distribución de tensiones tangenciales en la sección transversal de una viga de hormigón, puede seguirse en los libros de Calavera [7] y de Jiménez Montoya et al. [5]. Se distinguen dos fases para el comportamiento elástico y lineal de los materiales, la primera con el hormigón íntegro y la segunda con fisuración, y una tercera y última fase para el comportamiento no lineal.



2.3.1.1 Material elástico lineal: estado no fisurado Con niveles bajos de carga en la viga se acepta que el hormigón se comporta como un material elástico lineal y se considera la sección íntegra de hormigón, siempre que la fibra más traccionada no supere la resistencia a flexotracción. En la Fig.2.12a se representa una sección trabajando según el caso general de flexión compuesta, sometida a unos esfuerzos N y M referidos a la directriz. La sección tiene un área A y una inercia I referida al eje Oy que pasa por su centro de gravedad. Una parte de la sección se representa rayada, y tiene un área Ap y una inercia Ip referida a su propio centro de gravedad, así como un momento estático Sp referido a Oy.

(a)

pM

M

N

pN

y

z

GxGpx

O x

z

pA

(b)

fA

Fig.2.12. Esfuerzos parciales bajo solicitaciones normales genéricas N-M.

Sobre el área parcial resultan unos esfuerzos parciales Np y Mp, referidos al propio centro de gravedad de dicha área. En el análisis de secciones en régimen elástico y lineal, mediante la integración directa de las tensiones normales, estos esfuerzos parciales pueden expresarse a partir de los esfuerzos totales del siguiente modo:

MI

SN

AA

N ⋅+⋅= ppp E.2.2

MI

IM ⋅= p

p E.2.3

Para el rasante entre ala y alma de una sección en T se escoge el área parcial de un ala, anotada ahora con el subíndice "f" (Fig.2.12b). Usando la definición del rasante E.2.1 para un tramo diferencial de viga (dx) y la expresión del axil parcial E.2.2, particularizada para flexión simple (N=0), se obtiene:

xM

IS

MI

Sx

MI

Sxx

NxFS

dd

dd

dd

dd

⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ΔΔ

= ffff

y finalmente

VI

SM

IS

xS ⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ff

dd E.2.4

en donde V es el cortante vertical. La expresión también es válida para el caso menos habitual de tener un axil constante en la viga (N≡cte). Si la viga presenta una sección constante los parámetros Sf e I resultan también constantes, así que la expresión E.2.4 se transforma en la conocida expresión del rasante elástico, aplicable tanto a un ala superior como inferior:

VI

SS ⋅= f E.2.5



Siendo estrictos, el momento estático del ala y la inercia deben obtenerse homogeneizando las armaduras longitudinales, y éstas pueden experimentar variación según la longitud de la viga, pero en la práctica esto ocurre de una forma discontinua y siempre podemos establecer tramos en la viga en donde la relación Sf/I sea constante. Por simplicidad, pueden emplearse también los parámetros brutos ya que la repercusión de los cambios en la armadura longitudinal es mínima. El rasante elástico procedente de acciones gravitatorias resulta proporcional al esfuerzo cortante vertical, y presenta un criterio de signos que se deduce del criterio seguido para el cortante vertical y de la posición del ala, superior o inferior. En la Fig.2.13 se ilustra el caso general de una viga en doble T simplemente apoyada sometida a carga repartida.

y

z

f1S >0ala 1, comprimida

ala 2, traccionadaf2S >0

ala 1

ala 2

1S >01S <0

2S <0

2S >0

+

+

_

_

Fig.2.13. Rasante en viga en doble T sometida a carga repartida. Criterio de signos. 2.3.1.2 Material elástico lineal: estado fisurado Una vez se supera el nivel de carga que provoca la fisuración por tracción del hormigón se trabaja con la sección fisurada homogeneizada, manteniendo el régimen elástico de los materiales. Ahora el centro de gravedad de la sección se traslada, el eje Oy de la Fig.2.12a asciende y la inercia de la sección reduce su valor hasta Ifis. En flexión simple el centro de gravedad coincide con la profundidad de la fibra neutra, luego Oy representa también la fibra que separa la zona comprimida de la traccionada. El ala comprimida ve reducido su momento estático ya que su altura respecto al eje Oy se reduce. El ala traccionada, por el contrario, sufre dos cambios de efectos contrarios, por una parte aumenta la distancia al eje Oy y por otra su sección se reduce únicamente al área homogeneizada de las armaduras dispuestas en el ala. Dado que la sección sigue en régimen lineal se llega a la misma expresión E.2.4 pero en esta ocasión usando los parámetros de la sección fisurada homogeneizada:

VI

SM

IS

xS ⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fis

fisf,

fis

fisf,

dd E.2.6

La expresión corresponde a flexión simple pero sería válida también para axil constante (N≡cte), en cuyo caso hay que recordar que los parámetros de la sección fisurada dependerían de las solicitaciones normales N-M. La hipótesis de sección fisurada y la condición de que el hormigón sólo trabaja en compresión conduce a que si la geometría y el armado de la viga no cambia en el tramo estudiado, las



características de la sección fisurada en flexión simple se mantienen constantes, de modo que el primer término de E.2.6 puede anularse y se tiene una expresión del rasante análoga al caso de régimen lineal no fisurado:

VI

SS ⋅=

fis

fisf, E.2.7

La realidad del problema es más compleja, un estudio detallado del entorno de la sección fisurada revela que el hormigón adherido a la armadura traccionada contribuye en la rigidez de la misma, que es lo que se conoce como efecto tensorrigidez (tension stiffening). El Código Modelo (1990) [33] propone emplear un nuevo diagrama σ–ε multilineal para la armadura traccionada "embebida", manteniendo la hipótesis de despreciar el hormigón en tracción, pero esto rompe la hipótesis inicialmente adoptada de material lineal. No obstante, la influencia de estas consideraciones es pequeña y a efectos prácticos se mantiene la validez de la expresión E.2.7. Es interesante observar además que, aunque el momento estático del ala Sf y la inercia I son parámetros que cambian sustancialmente de valor con el paso del estado no fisurado al estado fisurado, su relación, sin embargo, guarda prácticamente la misma proporción, sobre todo en secciones con alas anchas:

fis

fisf,f

IS

IS

≈

Según la expresión E.2.7 la relación Sf,fis/Ifis representa la fracción del cortante vertical que se transforma en rasante, pero tiene un significado general que se explica a continuación. Para ello, en la Fig.2.14a se representa una sección en doble T fisurada en flexión simple, donde la fibra neutra (x) cae dentro de la altura del alma, lo que aporta mayor generalidad. Por simplicidad, se representa una sola capa de armadura en tracción y ninguna en compresión.

fh x

wb fb

sA sfA

M

NtN

cN

z

ftN

fcN

V

= 0

(a) (b) (c) Fig.2.14. Sección fisurada en régimen lineal: (a) sección transversal fisurada; (b) distribución de

tensiones normales sobre toda la sección y (c) sobre el ala derecha comprimida y traccionada. En la Fig.2.14b se representa la distribución de tensiones normales sobre la sección completa, Nc es la resultante de compresiones cuya altura de paso es z, medida desde la armadura traccionada, cuya resultante Nt guarda equilibrio con Nc. En la Fig.2.14c se representa la distribución de tensiones normales sobre el ala derecha comprimida y traccionada, con resultantes Nfc y Nft, respectivamente. Las dos resultantes axiles de compresión pueden ser consideradas como axiles parciales por lo que, según E.2.2, pueden ser expresados en función del momento flector:

MISN ⋅=

fis

cc y M

IS

N ⋅=fis

fisf,fc



Siendo Sc el momento estático del área comprimida. La resultante de compresiones puede relacionarse, a su vez, con el flector total mediante el brazo mecánico:

M = Nc·z

Las tres relaciones previas permiten escribir:

zSS

IS 1

⋅=c

fisf,

fis

fisf, E.2.8

y otra expresión que, como se verá posteriormente, puede generalizarse:

zNN

IS 1

⋅=c

fc

fis

fisf, E.2.9

Para el ala traccionada el desarrollo sería el mismo, pero con los parámetros referidos a la armadura total traccionada As y a la que se encuentra en el ala de estudio Asf. El razonamiento es también válido para sección no fisurada, obteniendo expresiones análogas. La expresión E.2.8 puede utilizarse para deducir fácilmente otras expresiones más inmediatas para los dos siguientes casos particulares:

— Ala comprimida: cuando la fibra neutra cae dentro del espesor del ala (x≤hf) la relación entre momentos estáticos se transforma en una relación de anchos.

zbb

IS 1

⋅= f

fis

fisf, E.2.10

Si la fibra neutra cae en el alma (Fig.2.14a) normalmente la zona de área comprimida comprendida entre hf y x tiene un valor relativo pequeño y, a efectos prácticos, la expresión E.2.10 resulta una aproximación válida.

— Ala traccionada: cuando la armadura se dispone en una sola capa.

zAA

IS 1

⋅=s

sf

fis

fisf, E.2.11

Si la armadura se dispone en varias capas, con diferente distribución en el ancho del ala, puede ocurrir que el c.d.g. de la armadura traccionada total As presente una altura diferente de la de la armadura parcial Asf, por lo que la expresión E.2.11 dejaría de ser exacta, pero en la práctica resulta una aproximación válida, ya que las diferencias que pueden darse son pequeñas.

La expresión E.2.9 permite dar un significado general a la relación Sf,fis/Ifis. Para el caso del ala comprimida se trata del producto de la inversa del brazo mecánico por la proporción entre la resultante de compresiones en el ala de estudio y la resultante de compresiones en la sección completa. Como el brazo mecánico es un parámetro que clásicamente se ha considerado constante para una viga de hormigón armado en flexión simple [7], la conclusión para el ala comprimida es:

La fracción del cortante vertical que se trasforma en rasante en el ala comprimida es proporcional a la razón entre las resultantes de compresiones del ala y de la sección completa, siendo la constante de proporcionalidad igual a la inversa del brazo mecánico en flexión.



Lo anterior es válido tanto si la fibra neutra cae en el alma como en el ala, ya que en este caso el área traccionada del ala no contribuye en la resultante de tensiones normales al despreciar la tracción en el hormigón. También es extensible al ala traccionada, empleando en este caso la resultante de tracciones. El significado de la expresión E.2.9 es general, y se mantiene válido también fuera del rango lineal de comportamiento de los materiales, según se expone en el siguiente apartado. 2.3.1.3 Material elástico no lineal En estados avanzados de carga, y sobre todo próximos al agotamiento de la pieza, el hormigón abandona su rango de comportamiento lineal y si, como es habitual, la sección ha sido armada para proporcionar una rotura dúctil, el acero también. En la práctica se cambia la ley constitutiva lineal del hormigón por otra no lineal, aunque simplificada, y se usa una ley elasto-plástica para el acero. Para el diseño de secciones las diversas normas y códigos proponen leyes rectangulares, trapezoidales o parabólicas para el hormigón. Para análisis estructural no lineal el EC2 [4], por ejemplo, propone una curva genérica con rama descendente, a utilizar para cualquier nivel de carga del hormigón. Si se usan leyes constitutivas genéricas para los materiales, el análisis seccional requiere un cálculo iterativo hasta obtener el plano solución de deformaciones, que es el que genera una distribución de tensiones normales en equilibrio con el momento flector solicitante, y autoequilibradas en el caso de flexión simple. Resuelto este problema se pueden evaluar las resultantes parciales de tensiones normales y el brazo mecánico.

oxdH

cA

cfA

εo

εc

εs

y

z

oχ

1

SECCIÓNCOMPLETA

SECCIÓNPARCIAL

σc

σs σsf

fhx

wb

fbb

sfA

M

tN

cN

z

ftN

fcN

V

fn

Fig.2.15. Análisis seccional con leyes constitutivas genéricas para los materiales.

En la Fig.2.15 se representa el plano solución de deformaciones para una sección en doble T solicitada por un momento flector M, así como un cortante V. Se emplea la siguiente notación:

Nc y Nt resultantes de compresión y tracción en la sección completa. Nfc y Nft resultantes parciales de tensiones en el ala comprimida y en el ala

traccionada. Ac y Acf áreas comprimidas de hormigón en la sección total y en el ala de estudio. As y Asf armadura traccionada total y en el ala de estudio.

Leonhardt [34 ] denomina factor de transferencia a la razón entre la resultante parcial de tensiones normales en el ala de estudio, y la resultante total de las tensiones del mismo signo sobre la sección completa. El EC2 [4] emplea un factor que denomina β para el mismo concepto, aunque sólo lo utiliza en el caso del rasante en juntas entre hormigones:



— Factor de transferencia para ala comprimida: c

fc

NN

=β

— Factor de transferencia para ala traccionada: t

ft

NN

=β E.2.12

El factor de transferencia ya ha aparecido anteriormente en la expresión E.2.9 y es útil para desarrollar la fórmula del rasante en rango no lineal. En primer lugar, mediante la definición de brazo mecánico en flexión simple se puede expresar la resultante parcial del ala comprimida en función del momento flector:

zMNN ⋅β=⋅β= cfc

Tomando ahora la definición del rasante E.2.1 en su forma diferencial:

xM

zM

zxzM

xxN

Sdd

dd

dd

dd

⋅⋅β+⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅β=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β==11fc

y finalmente, válido tanto para ala comprimida como traccionada, el rasante resulta:

zVM

zxS ⋅β+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅β=1

dd E.2.13

La ecuación E.2.13 es una generalización de las expresiones E.2.4 y E.2.6, vistas para sección no fisurada y sección fisurada respectivamente en rango lineal. Como ya se ha indicado, a nivel práctico, en vigas de sección constante en flexión simple se supone un brazo mecánico constante, y además puede comprobarse que la variación del parámetro β a lo largo de la pieza, empleando esta vez leyes no lineales, es también despreciable. De hecho, es frecuente encontrar en tratados y normas expresiones sencillas para β en función de los parámetros geométricos de la sección, expresiones que no por ser sencillas dejan de ser exactas en algunos casos. Por tanto, el primer sumando de E.2.13 puede anularse resultando que el rasante entre ala y alma de una viga en T o similar, de sección constante y funcionando en flexión simple en rango no lineal, se expresa:

zVS ⋅β= E.2.14

donde V cortante vertical en la sección de estudio.

z es el brazo mecánico, para el que habitualmente se adopta z=0,9·d.

β es el factor de transferencia, relación entre la resultante parcial de las tensiones normales en el ala de estudio y la resultante total de las tensiones normales del mismo signo en la sección completa, correspondiente al momento flector M que actúa simultáneamente con V.

En la Tabla 2.6 se dan las expresiones simplificadas que resultan para β en el caso de ala comprimida. Dependen de la ley constitutiva del hormigón que se emplee y de la posición de la fibra neutra. El significado de los diferentes parámetros puede consultarse en la Fig.2.15. La expresión simplificada E.2.15 es exacta, independientemente del valor de la fibra neutra, cuando se usa el bloque rectangular como el definido por EHE [1] o EC2 [4], aplicable a situaciones de agotamiento en flexión. La determinación de las áreas Ac y Acf debe hacerse con la altura del bloque comprimido, no con la fibra neutra. Esta expresión puede encontrarse en la antigua norma alemana DIN 4224 [35].



Tabla 2.6. Expresiones simplificadas del factor de transferencia en el ala comprimida.

Fibra neutra Ley σc(εc) Uso Expresión simplificada

cualquier xfn Bloque rectangular Exacto

c

cf

AA

=β E.2.15

xfn ≤ hf Cualquiera Exacto bbb

bb

2wf −

==β E.2.16

Cualquiera Aproximado, conservador b

bbb

b2

wf −=<β E.2.17

hf < xfn Trapezoidal o

curva No, inseguro c

cf AA

≈>β E.2.18

La expresión E.2.16 es la más sencilla, consistente en establecer la relación entre el ancho del ala y el ancho total. Es exacta cuando la fibra neutra cae dentro del ala (Fig.2.16a), independientemente de la ley constitutiva que se emplee para el hormigón, siempre que el espesor del ala sea constante o si la profundidad de la fibra neutra es menor al espesor mínimo. Cuando la fibra neutra cae en el alma pasa a ser una expresión aproximada (E.2.17), equivalente a despreciar el área comprimida del alma Acw (Fig.2.16b), por lo que sobreestima el valor de β, y queda del lado de la seguridad. Por tanto, puede ser empleada incluso sin haber realizado previamente el análisis seccional frente a flexión. Si se emplea una ley trapezoidal o curva en el análisis seccional y la fibra neutra cae en el alma, no puede calcularse β como la relación entre áreas (E.2.18) ya que se infravalora, excepto si se elimina el área comprimida del alma Acw del área total Ac (Fig.2.16b). Aparte, tampoco resulta coherente emplear una ley más sofisticada en el análisis seccional frente a solicitaciones normales y pretender evaluar el rasante con una expresión aproximada. En la práctica, el uso de una ley curva se hace a través de una herramienta de cálculo programada, por lo que la inclusión de una opción para el cálculo de las resultantes de compresiones no supone ninguna dificultad y en este caso el valor de β se obtiene directamente con su definición E.2.12.

(a)

cfAcwfA

cfA

cfcwfc σc

σs

xfn

(b)

cfAcwfAcfA

cfcwc σc

σs

cwf

cwA

xfn

Fig.2.16. Posición de la fibra neutra: (a) en el ala; (b) en el alma. La sustitución de E.2.16 en E.2.14 y el empleo de un brazo mecánico igual a 0,9 veces el canto útil proporciona una expresión clásica del rasante en alas comprimidas recogida en tratados de hormigón [5,7,34]:

dV

bbbS

0,92w ⋅

−= E.2.19

Las actuales normas optan por dar la expresión del rasante en forma general E.2.1, pero en normas antiguas como la EH-91 [36] es frecuente encontrar el rasante con la forma simplificada de la expresión E.2.19. Otros autores, para estudios prácticos, consideran una distribución



uniforme en todo el espesor del ala y toman el brazo mecánico como la distancia entre el plano medio del ala y el c.d.g. de la armadura principal de tracción (Regan y Placas 1970 [19]; Razaqpur y Ghali 1986 [37]):

f

w

0,52 hdV

bbb

S−

⋅−

= E.2.20

siendo d el canto útil y hf el espesor del ala según la Fig.2.15. Para el caso de ala traccionada la expresión simplificada de β se establece a partir de las áreas de armaduras traccionadas, con las anotaciones de la Fig.2.15. La expresión es única, no interviene la fibra neutra, pero en la Tabla 2.7 se matizan dos situaciones referentes a la distribución de la armadura y al nivel de tensiones desarrollado.

Tabla 2.7. Expresión simplificada del factor de transferencia en el ala comprimida.

Uso y comentarios Expresión simplificada Exacto si las armaduras consisten en una o varias capas con igual distribución en el ancho del ala, o bien si están todas plastificadas. s

sfβAA

= E.2.21

No, inseguro, infravalora el valor de β si las armaduras consisten en dos o más capas con desigual distribución en el ancho del ala y si no están plastificadas. s

sf βAA

≈> E.2.22

Si se estudia la sección en situación de agotamiento en flexión y se trata de una sección crítica, las armaduras traccionadas se encuentran plastificadas (Fig.2.17a) y la expresión E.2.21 proporciona el valor exacto de β. En el caso de secciones en rango no lineal pero aún sin agotar en flexión, puede suceder que la armadura traccionada no se encuentre plastificada, y la existencia de dos o más capas de armado con diferente distribución (Fig.2.17b) conduce a infravalorar β si se emplea la relación entre áreas (E.2.22). En la práctica el error no es muy acusado y los estudios simplificados del rasante suelen utilizar sólo las secciones críticas.

(a)

sfAsA

σc

yf(b)

σc

σs1

σs2sfAsA

Fig.2.17. Rasante en ala traccionada: (a) armaduras plastificadas; (b) armaduras en capas con tracciones diferentes.

Procediendo igual que en el ala comprimida, la sustitución de E.2.21 en E.2.14 conduce a la expresión clásica del rasante en alas traccionadas [5,7,34,36]:

dV

AA

S 0,9s

sf ⋅= E.2.23

La expresión E.2.23 también figuraba en la antigua EH-91 [36] y no en la norma EHE [1] actual. 2.3.1.4 Cálculo del rasante en el ala de una viga En los apartados previos se ha tomado la definición general del rasante E.2.1 reduciendo el tramo de estudio ∆x a un diferencial dx, lo que ha permitido en flexión simple expresar el rasante como una fracción del cortante vertical V. Esta segunda forma de expresar el rasante (E.2.14) permite evaluarlo en cualquier sección x de la viga, incluso sin resolver el análisis seccional frente a



solicitaciones normales ya que pueden usarse expresiones simplificadas (E.2.19 y E.2.23). Según esto pueden establecerse dos formas de abordar el problema del cálculo del rasante en el ala de una viga y que, aunque normalmente se contemplan ambas en los textos y normas, no reciben ningún nombre en concreto, de modo que se van a designar del siguiente modo:

— Forma general para el rasante medio en un tramo Δx, y

— Forma particular, para el rasante en una sección x en flexión simple, expresado en función del cortante vertical.

Entre ambas formas de resolver el problema pueden anotarse varias diferencias:

– Con la forma general se puede abordar el cálculo de piezas que trabajen en flexión compuesta, mientras que la forma particular es válida para flexión simple, cosa que, por otra parte, es lo habitual en vigas.

Se recuerda que para obtener una expresión sencilla del rasante en función del cortante vertical se necesita expresar la resultante de compresiones en la sección a través del brazo mecánico del modo Nc=M/z .

– Con la forma general se puede conocer el rasante medio en un tramo Δx de la viga, aunque no cómo se distribuye en él, salvo si se subdivide a su vez dicho tramo en otros más pequeños; mientras que la forma particular permite expresarlo de un modo continuo, en cualquier sección x, y conocer cómo se distribuye a lo largo de la viga.

– Con la forma general se tiene en cuenta la capacidad resistente de la sección frente a solicitaciones normales, pero no ocurre así con la forma particular.

Es interesante, no obstante, conocer la forma que tiene la ley del esfuerzo rasante en una viga a partir de la ley de esfuerzos cortantes ya que de este modo se pueden identificar los tramos de la viga donde el rasante mantiene su signo, y se puede entonces escoger adecuadamente la discretización de la viga en tramos Δx para proceder a al cálculo mediante la forma general. 2.3.1.4.1 Rasante medio en un tramo Δx Para expresar el rasante medio desarrollado entre ala y alma de una viga en T, doble T o asimilable, en un tramo Δx definido por las secciones xi y xj, se utiliza la definición general E.2.1 pero conviene anotarla del siguiente modo:

ij

ij f,ij Δ

Δx

NS = E.2.24

donde ΔNf,ij = Nf,j–Nf,i es la diferencia de resultantes de tensiones normales actuantes sobre el ala de estudio entre la sección frontal (j) y la dorsal (i).

Δxij = xj–xi es la longitud del tramo de viga escogido, con las precauciones que se comentan más adelante.

Según el análisis seccional y con la notación de la Fig.2.15, las resultantes parciales en las alas se expresan del siguiente modo: — Para el ala comprimida, sin considerar la armadura longitudinal

( )( ) zbzNx

hxdfcfc

o

fo⋅εσ= ∫ −

E.2.25

— Para el ala traccionada, en el caso de varias capas de armaduras ( )( )∑ εσ⋅=

kksksf,ft zAN E.2.26

donde xo es la profundidad de la directriz, medida desde el borde superior;



σc(ε) y σs(ε) son las leyes constitutivas adoptadas para el hormigón y el acero; ε(z) = εo + χ·z es la deformación unitaria de la fibra z, con el criterio habitual de

compresiones positivas (ε>0): z altura de una fibra de la sección, medida desde la directriz

escogida para la pieza; εo deformación de la fibra directriz de la pieza; χ curvatura del plano de deformación de la sección.

El plano de deformación de una sección queda definido por los parámetros εo y χ, y se obtiene como aquel que presenta una distribución de tensiones normales tal que se consigue el equilibrio con los esfuerzos normales solicitantes de la sección N y M, ya que esta forma de abordar el problema es general. Estas condiciones se expresan:

( )( ) ( ) ( )( )∑∫ εσ⋅+⋅⋅εσ=−

kksskc

o

od zAzzbzN

x

Hx E.2.27

( )( ) ( ) ( )( )∑∫ εσ⋅⋅+⋅⋅εσ⋅=−

kksskkc

o

od zAzzzbzzM

x

Hx E.2.28

Las expresiones E.2.27 y E.2.28 constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son εo y χ, y se trata de un problema que puede ser programado y resuelto mediante métodos numéricos sencillos. En el proceso de cálculo del plano εo-χ deben incorporarse las deformaciones de agotamiento que se adoptan convencionalmente para los materiales. Esto permite comprobar que la pareja de esfuerzos N-M considerada no agota la sección y que existe un plano solución al problema. Es decir, que esta forma general de proceder tiene en cuenta la capacidad resistente de la sección frente solicitaciones normales. Debe prestarse atención a la elección del tramo Δx, como el rasante es una magnitud con signo, deben escogerse tramos en donde se conserve el mismo signo. Si se observa la expresión E.2.14, particular para flexión simple, al hacer depender el rasante de una forma proporcional al cortante vertical, se concluye que interesan:

– Tramos en donde se conserva el signo del cortante V. EHE [1] lo expresa como tramos en donde la ley de momentos flectores M presenta variación monótona creciente o decreciente.

– Tramos en donde, además, el cortante V no presente ninguna discontinuidad. EC2 [4] lo expresa diciendo que la longitud ∆x no debe exceder la distancia entre secciones donde apliquen cargas puntuales.

De esto se deduce que las secciones que deben delimitar los tramos Δx son, al menos, aquellas en las que se anule el cortante, en las que se aplique una carga puntual y las secciones de apoyo. En relación a la ley constitutiva a adoptar para el hormigón es necesario recordar que el bloque rectangular es válido para estudiar secciones en situación de agotamiento a flexión, que son las secciones de máximo momento flector, por lo que no es correcto emplearlo para secciones intermedias. Para operar de una forma coherente, cuando se emplee el bloque rectangular debe ser para una situación de agotamiento en flexión de la viga, y tomar el máximo valor posible para los tramos ∆x, si no se corre el riesgo de que si la altura del bloque comprimido cae en el alma en las dos secciones i y j que delimitan un tramo ∆xij, el rasante resulte nulo cuando en realidad no lo es.



Este problema de indeterminación del rasante en ELU es advertido también por Calavera [7], incluso si se emplea la ley parábola-rectángulo, señala que dichas leyes han sido propuestas para elaborar un comportamiento válido para los casos de flexión, pero no tienen precisión para problemas como este.

cd

2

Δx

σsj

ij

siσ

ji cd

2fh

ijS = 0

Fig.2.18. Problema de indeterminación del rasante en ELU.

No obstante, este problema surge en casos extremos y es fácil de detectar. Por ejemplo, en el caso de utilizar la ley parábola-rectángulo definida por EHE [1] para hormigones de resistencia normal, ocurriría en el tramo de viga en el que todas las fibras del ala adquiriesen una deformación de compresión igual o superior al 2‰ (Fig.2.18), y normalmente correspondería a zonas de máxima flexión positiva en donde el rasante resulta de valor pequeño. En estos casos puede optarse por escoger tramos ∆x más grandes, o utilizar leyes constitutivas curvas más complejas, con rama de ablandamiento, como la ley de Sargin (1971) o similares recogidas en EHE [1] y EC2 [4], o en literatura más especializada. 2.3.1.4.2 Rasante en una sección x en flexión simple El rasante entre ala y alma de una viga en T, doble T o asimilable, trabajando en flexión simple, y en una sección x cualquiera, tiene una expresión E.2.14 que ya se ha deducido anteriormente, pero interesa expresarla de la siguiente forma más general, para señalar la dependencia de todos los parámetros de la sección x de estudio:

( ) ( ) ( )( )xxxβx

zVS ⋅= E.2.29

donde V(x) es el cortante vertical en la sección de estudio. z(x) es el brazo mecánico correspondiente al momento flector M(x) que actúa

simultáneamente con el cortante V(x) en la sección de estudio. Aunque es habitual emplear valores simplificados para el brazo mecánico, puede obtenerse también del resultado del análisis seccional.

β(x) es el factor de transferencia (E.2.12), relación entre la resultante parcial de las tensiones normales en el ala de estudio y la resultante total de las tensiones normales del mismo signo en la sección completa, correspondientes a M(x). A continuación se resumen las expresiones particulares de β:

zI

S⋅=β f en sección no fisurada en régimen lineal.

zI

S⋅=β

fis

fisf, en sección fisurada en régimen lineal.

bbbb

22wf −

=≈β en ala comprimida de sección fisurada en régimen no lineal, aunque puede emplearse en régimen lineal. La expresión es exacta si la fibra neutra cae dentro del espesor del ala.



s

sf

AA

≈β en ala traccionada de sección fisurada en régimen no lineal, aunque puede emplearse en régimen lineal.

Con la expresión E.2.29 el rasante solamente resulta nulo cuando el cortante lo es, ya que en flexión simple los otros dos parámetros, β y z, no pueden anularse. No existe el problema de indeterminación en el valor del rasante señalado en el apartado anterior (2.3.1.4.1). Puede emplearse perfectamente la ley parábola-rectángulo para evaluar β y z. Las expresiones particulares de β son puramente geométricas y se pueden evaluar sin necesidad de cálculo seccional previo, así que esta forma de evaluar el rasante no puede proporcionar en sí misma un valor límite correspondiente a la situación de agotamiento en flexión de la pieza, para lo cual habría que realizar un estudio aparte, y deducir así el valor del cortante V correspondiente. Otro planteamiento para obtener un valor del esfuerzo rasante máximo es, obviamente, realizar un estudio de la envolvente de esfuerzos cortantes mediante la combinación de acciones en ELU. 2.3.1.4.3 Métodos prácticos de cálculo Para el problema general de evaluar el esfuerzo rasante en una viga sometida a un nivel de carga Q, se resumen brevemente las dos opciones disponibles mediante el modelo viga:

(A) Cálculo mediante análisis seccional general, válido para flexión simple y compuesta. 1.– Se divide la viga en tramos Δx definidos por unas secciones xi de referencia. 2.– Se evalúan las solicitaciones normales en cada sección de referencia, N(xi) y M(xi),

correspondiente al nivel de carga Q. 3.– Se establecen las leyes constitutivas para los materiales. 4.– En cada sección se busca el plano de deformaciones εo-χ que equilibra a N(xi) y

M(xi), resolviendo el sistema E.2.27 y E.2.28. En general, el proceso es iterativo e incluye la discusión sobre la fisuración, la linealidad de los materiales y el agotamiento de la sección frente al flector solicitante.

5.– En cada sección se evalúa el volumen de tensiones normales Nf en el ala de estudio, correspondiente al plano de deformaciones εo-χ.

6.– En cada intervalo Δx se procede al cálculo del rasante medio por diferencia entre resultados en sus secciones extremas (ecuación E.2.24). Se obtiene así una representación escalonada del rasante.

Este es el enfoque general dado en el Código Modelo [3], EHE [1] y EC2 [4] para diseñar la armadura transversal del ala mediante bielas y tirantes.

Una expresión sencilla y práctica, adecuada para la hipótesis de distribución uniforme del rasante en ELU, se obtiene al escoger un tramo Δx de longitud máxima, comprendido entre una sección con momento nulo y otra con momento máximo Mmáx, el rasante en el ala comprimida resulta el menor de los dos siguientes valores:

cfcdmáxf 1 0,9

1 Afxd

Mbb

xS ⋅

Δ≤⋅⋅

Δ= E.2.30

con la notación de la Fig.2.15. La desigualdad tiene en cuenta el caso en el que la profundidad del bloque de compresiones supere el ala y caiga en el alma [7]. Para una viga simplemente apoyada de luz L con carga distribuida, obviamente resulta un tramo Δx=1/2L.



(B) Cálculo mediante el cortante vertical, válido para flexión simple. 1.– Se evalúan las leyes de esfuerzos cortantes V(x) y flectores M(x) correspondientes al

nivel de carga Q. 2.– Pueden establecerse valores aproximados para el brazo mecánico z y para el factor

de transferencia β. En general son parámetros poco sensibles al nivel de carga, aunque también cabe la posibilidad de elaborar un análisis seccional por lo que aplican los puntos 3, 4 y 5 del método (A).

3.– A partir de V, z y β se está en condiciones de representar el rasante en la viga (ecuación E.2.33).

Este enfoque es sugerido como forma alternativa por la parte de puentes del EC2 [38], es considerado por Calavera [7] para el diseño en ELU en el caso de que no sea válido suponer una redistribución uniforme del rasante, así como por otros autores [5,39]. Sin embargo, este es el método propuesto para el diseño del rasante en junta entre hormigones diferentes, por el EC2 [4], la EHE [1] y, en general, el resto de normas.

También pueden combinarse ambas formas de proceder, aunque normalmente, como se ha anotado previamente (2.1.4), se procede así en el caso del rasante en juntas entre hormigones de piezas compuestas (BS 8110-1:1997 [9]) o entre hormigón y acero en piezas mixtas (RPX-95 [16]). Se trata de la siguiente opción:

(C) Cálculo mediante análisis combinado. 1.– Se establecen intervalos Δx grandes, comprendidos entre secciones críticas

(secciones de flexión máxima, mínima y nula). 2.– Se evalúa el rasante en cada tramo Δx como en la opción (A) y se obtiene, por tanto,

un valor del rasante medio en cada tramo. Hasta aquí es como en la opción (A), pero se continúa con un paso más.

3.– Se distribuye el rasante en cada tramo de una forma proporcional a la envolvente de esfuerzos cortantes V(x).

2.3.1.5 Influencia del mecanismo resistente El cálculo del rasante resistente será objeto del apartado 2.4, pero antes es necesario señalar que el mecanismo resistente frente al rasante influye en el valor del rasante solicitante. El concepto es similar a cuando en vigas continuas se procede a realizar un cálculo lineal con redistribución limitada, para lo que se exige que las secciones críticas presenten rotura dúctil. La redistribución de esfuerzos en el ala de una viga en T ya ha sido comentado brevemente en relación a la Fig.2.5, correspondiente a la tracción que experimentan las armaduras transversales del ala, medida durante uno de los ensayos de Badawy y Bachmann (1977) [29]. El problema es que las expresiones de cálculo del rasante E.2.24 o E.2.29 no contemplan el mecanismo resistente frente a rasante, en concreto, ignoran su posible comportamiento dúctil, lo que puede impedir que el esfuerzo rasante crezca en aquellos tramos de la viga en donde se está próximo a agotar su capacidad resistente. La limitación al valor del rasante solicitante de las expresiones vistas solamente proviene del cálculo seccional a flexión de la viga, necesario para la evaluación de ΔNf,ij en el caso de E.2.24 o para el cálculo de β(x), si se utiliza la definición genérica E.2.12, en el caso de E.2.29. Para explicar la influencia del mecanismo resistente frente a rasante sirve la Fig.2.19, en donde se representan dos vigas sometidas a una carga uniformemente distribuida. La diferencia entre



ambas es que el rasante resistente del ala de estudio es dúctil en el caso (a) y frágil en el caso (b). Se supone que las dos vigas ofrecen el mismo valor de agotamiento del rasante Su, constante para cualquier tramo de la viga, representado con una línea de trazos. También se representa la ley de rasantes solicitantes Sd1 correspondiente a un nivel de carga Qd1, determinada teóricamente con cualquiera de las formas que se han expuesto (v. 2.3.1.4).

(a)

LÍMITEd1S

d1S

d1Q

uS

uS

*

(b)

d1S

d2S

d1Q

uS

uS

d1Qd2Q <

Fig.2.19. Viga con mecanismo resistente a rasante Su : (a) dúctil y (b) frágil.

En el caso dúctil (Fig.2.19a) se observa que en los tramos extremos de la viga Sd1 supera a Su, estos tramos no son capaces de ofrecer mayor resistencia pero pueden mantenerla por ser dúctil, y "pasan" el rasante que no son capaces de resistir a los tramos adyacentes de la viga, en los que el rasante teórico resulta inferior a su valor de agotamiento (Sd1<Su). Es decir, el área rayada verticalmente, rasante no resistido, pasa a ocupar el área rayada horizontalmente, dando forma a una nueva ley de rasantes solicitantes anotada como Sd1

*. Puede aumentarse el nivel de carga y el área rayada horizontalmente crecería y se extendería hasta la línea vertical "límite", instante en el que la viga habría alcanzado toda la capacidad teórica frente a rasante. La condición para llegar a esta situación es que las primeras secciones que alcanzaron su resistencia deben ser capaces de "esperar" hasta este instante, deben ser suficientemente dúctiles. En el caso frágil (Fig.2.19b), por el contrario, los tramos extremos en donde Sd1 supera a Su agotan su resistencia, y pasan de resistir Su a no resistir teóricamente nada, debido a su comportamiento frágil. El área rayada verticalmente, que representa el rasante no resistido, ahora sería mayor que en el caso (a) y no podría ser absorbida por zonas adyacentes, porque ocurriría el mismo proceso, se superaría el rasante resistente y agotarían frágilmente. De este modo el agotamiento de la viga se produciría de un modo brusco, comenzando en los extremos y trasladándose hacia la zona central. La ley de esfuerzos rasantes Sd1 corresponde, por tanto, a un nivel de carga Qd1 que en realidad no puede alcanzarse. La capacidad resistente de la pieza se alcanzaría para un nivel de carga menor, Qd2, cuyo valor habría de ser tal que el rasante teórico Sd2 en los extremos igualase al valor Su. Resulta así que teniendo una resistencia teórica a rasante igual en ambas vigas, la primera de ellas sería capaz de soportar un nivel de carga superior a la segunda. La clave está en el comportamiento dúctil y, en segundo lugar, en la distribución de las cargas. Si en vez de emplear una carga Qd repartida se aplicara una carga puntual, se obtendría un rasante teórico horizontal, con lo cual ambas vigas sí resistirían el mismo nivel de carga, aunque agotarían de modo diferente, con mayor y menor deformación, respectivamente. Puede afirmarse, por tanto, que el mecanismo resistente frente al rasante influye en la distribución de los esfuerzos rasantes solicitantes. De aquí se desprende también la idea de



que si se puede contar con una respuesta dúctil, para la situación de agotamiento puede distribuirse uniformemente el rasante total solicitante en tramos Δx adecuadamente escogidos. En el caso de la Fig.2.19a, al menos deben tomarse dos tramos ∆x, que son los separados por la sección de rasante nulo (línea "límite"). La resolución del problema de considerar el mecanismo resistente en la evaluación del rasante solicitante no es fácil. En la práctica, el ingeniero escoge el mecanismo resistente y en función de ello evalúa el rasante y diseña la pieza. La forma de escoger el mecanismo resistente consiste básicamente en establecer un valor límite de la armadura de cosido, el cual permite distinguir a un plano de corte dúctil de uno no dúctil. A su vez, si el rasante solicitante resulta de escaso valor puede replantearse el mecanismo resistente para que sea frágil y, en caso contrario, dúctil. Este enfoque es el que se ha plasmado en las normas, aunque solamente se permite un diseño frágil en el caso de juntas de hormigonado de una losa sobre un sistema de vigas, siempre que el rasante de cálculo sea de escasa entidad. En el caso del rasante desarrollado entre las alas y el alma de una viga es común aceptar la redistribución del esfuerzo, obligando entonces a disponer de un armado suficiente para tratar la unión ala–alma como junta dúctil, pudiendo emplear entonces para su diseño el modelo de bielas y tirantes o una fórmula de corte-fricción Por último, una consecuencia práctica del razonamiento seguido con la Fig.2.19 es que siempre y cuando no se alcance la capacidad resistente frente al rasante, la ley de esfuerzos rasantes solicitantes resulta proporcional a la ley de esfuerzos cortantes. 2.3.2 Deformabilidad de las alas, arrastre de cortante y

ancho eficaz 2.3.2.1 Generalidades Se conoce como arrastre de cortante o shear lag al fenómeno de la no uniformidad de las tensiones normales en las alas, debidas a la flexión, que son introducidas por el rasante en la línea de unión ala-alma. Esta falta de uniformidad procede de la deformabilidad del ala en su plano [40]. El resultado es una deformación y tensión longitudinales en la intersección del ala con el alma que son mayores que aquellas que se obtendrían con la teoría elemental de flexión si se emplease el ancho real del ala [41]. El fenómeno no se aprecia en alas estrechas, pero a medida que crece la anchura la zona del ala más alejada del alma contribuye en menor medida a resistir las solicitaciones normales de la sección, y la viga resulta finalmente más débil de lo que indicaría la teoría elemental de flexión. La hipótesis de deformación plana de la sección transversal utilizada por dicha teoría deja de ser válida. La solución práctica en el cálculo de tensiones es reemplazar la anchura real de las alas por un cierto ancho reducido, llamado ancho eficaz, de modo que la teoría elemental de flexión pueda aplicarse a la sección transversal transformada de la viga para proporcionar el valor correcto de la tensión máxima de flexión [42]. Una forma de visualizar el problema se ilustra en la Fig.2.20. En (a) se representa el alzado de una viga en T deformada al ser solicitada por una carga puntual en centro de vano. Sobre la planta (b) se selecciona el ala de estudio ABCD. Según la teoría elemental de flexión la distribución de tensiones tangenciales τxy en el ala en BC es lineal (d) y la de tensiones normales σx es uniforme (e). El ala ABCD puede representarse como una malla de elementos regulares que, siendo iguales, se muestran deformados por la compresión uniforme σx, máxima en BC con resultante igual a Nf, y nula en AD (c). Sin tener en consideración el principio de Saint-Venant,



al tener un esfuerzo cortante constante en la viga, cualquier sección entre AD y BC tiene la misma distribución de tensiones tangenciales τxy, y en el borde AB se desarrolla una tensión rasante τs constante (c). Cada fila longitudinal de elementos posee un mismo nivel de tensiones tangenciales, que disminuye en la fila siguiente más alejada del alma. Si se añade la deformabilidad por corte de cada elemento de la malla resulta la forma ABC'D' (f). El resultado es un desplazamiento o arrastre de las fibras longitudinales del ala hacia la izquierda, y la fibra que mayor arrastre experimenta es DC por estar más alejada del alma y acumular la distorsión de las fibras precedentes, pasando a ocupar la posición D'C' (la deformación por corte ABC'D' está exagerada ya que el punto D' no puede encontrarse a la izquierda de la vertical con su apoyo correspondiente).

A B

D

D

A

C

C

B

P

τxy

D' C'

A B

σx,máx

τxy τxy

τs =

σx,máx

fN

C'=C

B

(a)

(b)

(c)

(f)

(g)

(d)

befb

σ ?

(e)

(h) (i)

D'

A

x,mínσ

x

yx

y

(B)

Fig.2.20. Fenómeno de arrastre de cortante y definición de ancho eficaz.

En el ala deformada ABC'D', la fibra D'C' mantiene la misma longitud que la fibra AB (f), lo que resulta en un absurdo, puesto que el punto C' se ha desplazado respecto de su posición original, cuando por simetría del problema no debería moverse. La forma de compatibilizar el problema consiste en aliviar la compresión de la fibra C'D', manteniendo el punto C' en su posición original C, y lo mismo, de forma gradual, para las fibras contiguas hasta llegar a la fibra AB. La malla ha de reajustarse (g) y ello conduce a anular la hipótesis de distribución uniforme de tensiones normales σx en el ancho del ala b, resultando una distribución curva en donde la tensión normal máxima σx,máx se produce en la unión con el alma (h). El valor de esta tensión máxima σx,máx extendido uniformemente en el ancho eficaz bef (i) proporciona la misma resultante axil Nf.



El concepto de ancho eficaz va ligado sólo al modelo viga clásico, que es incapaz de reproducir el fenómeno y necesita de este artificio, así que el empleo de otra teoría más avanzada de cálculo, capaz de considerar la deformabilidad de las alas en su plano, hace innecesaria su consideración. Estas teorías más complejas han sido empleadas por numerosos autores para conocer la distribución real de tensiones normales σx en el ala, algunos de ellos se citarán en el siguiente apartado (v. 2.3.2.2). Conociendo esta distribución, como valor promedio según el espesor y aplicada en su plano medio, la definición clásica de ancho eficaz (Fig.2.20i) se expresa del siguiente modo:

∫σ⋅σ

=b

yb0

xmáxx,

ef d1 E.2.31

La fórmula E.2.31 constituye una definición basada en tensiones, y pensada inicialmente para espesores del ala pequeños en comparación con el canto de la viga, como ocurre en vigas metálicas, sin embargo, dado que en vigas de hormigón el espesor del ala puede llegar a tener un valor relativo no despreciable, la definición de ancho eficaz ha sido replanteada por diversos autores (Chiewanichakorn et al. 2004 [43]; Nie et al. 2007 [44]), pero siempre se trata de encontrar un ala eficaz que proporcione básicamente la misma resultante de tensiones y la máxima tensión real producida en el encuentro con el alma. Los autores ya citados Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26] (v. 2.2.1) valoraron experimentalmente el ancho eficaz realizando medidas directas de la deformación en el ala, en su paramento superior e inferior, manejando un tratamiento análogo. En el diseño de estructuras las diversas comprobaciones se agrupan en ELS y en ELU, lo que también suscita el interrogante de plantear otras definiciones del ancho eficaz diferentes a la equivalencia tensional. Moffat y Dowling (1972) [45] definieron el ancho eficaz del ala basado en deformaciones, como la anchura de la placa que, cuando se utiliza junto con las fórmulas de la teoría elemental de flexión, da el mismo resultado para la flecha en el alma de la sección transversal considerada que la que se obtendría con una teoría que considerara correctamente la deformación por corte de las alas. Estrictamente hablando, no hay identidad entre el ancho eficaz de tensión y el ancho eficaz de deformación [46], por ello los textos normativos suelen indicar valores diferentes del ancho eficaz en función del aspecto a estudiar, normalmente un valor sencillo para realizar el análisis estructural (esfuerzos y deformaciones) y un valor más detallado para el análisis seccional (tensiones y resistencia). El estudio práctico del esfuerzo rasante requiere solamente la definición de ancho eficaz basada en tensiones y, dado que su tratamiento en las normas se enmarca dentro de las comprobaciones ELU, el ancho eficaz ha de corresponder a la situación de agotamiento. El problema es realmente complejo y extenso, y para entender el planteamiento actual de las normas de hormigón armado es necesario plantear una breve revisión histórica del problema, heredero en gran medida de los estudios realizados en alas metálicas. En el próximo apartado se procede a esta revisión seleccionando las contribuciones de autores más notables y su repercusión en las normas. 2.3.2.2 Formulación del ancho eficaz El estudio del arrastre de cortante tuvo su origen a finales del siglo XIX en la industria naval, en donde se detectaron problemas en cascos de barcos construidos con chapas metálicas rigidizadas, pasando posteriormente a la industria aeroespacial a principios del siglo XX [47]. Conocido el problema de una pérdida de eficacia a flexión de una chapa unida a un nervio, fue Von Karman



(1924) quien introdujo el término de ancho eficaz por primera vez, empleando un método teórico para resolver el problema. El método fue recogido en el libro "Theory of Elasticity" de Timoshenko y Goodier (1933) [42], como ejemplo de aplicación del Principio del Trabajo Mínimo en placas rectangulares, y la fórmula resultante proporcionó un formato que, como se verá más adelante, prácticamente se ha mantenido en muchas normas actuales, revelando además como principales parámetros el tipo de acción y las condiciones de apoyo y la distancia entre secciones de momento nulo, que define el tramo en el que se posiciona la sección de estudio. El problema elemental resuelto consistió en una viga de longitud infinita y continua sobre apoyos equidistantes (Fig.2.21c), con todos los vanos igualmente cargados y con simetría respecto de cada centro de vano. La anchura del ala era infinita y su espesor muy pequeño (Fig.2.21a), de modo que las tensiones en el ala (σx) podían tratarse con elasticidad plana, utilizando una función de Airy expresada en forma de serie de Fourier. Con estos trucos, con la consideración de un caso particular en el que la ley de flectores adoptaba una forma cosenoidal (Fig.2.21d) y utilizando la definición basada en tensiones (E.2.31), Von Karman (1924) dedujo la expresión simplificada del ancho eficaz para la sección central:

( )2ef 2342

ν−ν+⋅π=⋅

Lb E.2.32

siendo ν el coeficiente de Poisson y L la distancia entre secciones de momento nulo, denominada habitualmente luz eficaz y anotada de otras formas (Lo ó Le). La distancia L define el tramo de flexión con signo constante que contiene a la sección de estudio, en este caso la sección central. Si se adopta como material el acero (ν=0,3) y se considera que la ley de flectores cosenoidal difiere muy poco de una ley parabólica con igual momento máximo, correspondiente a una sobrecarga uniforme [48], la fórmula E.2.32 se transforma en el ancho eficaz para el caso de la sección central de una viga simplemente apoyada de longitud L, sometida a una sobrecarga uniforme, a la que hay que añadir como límite superior, obviamente, el ancho real b:

bef = 0,18·L ≤ b E.2.33Para el caso de hormigón podría emplearse ν=0,2, pero conduce a un factor 0,189 en la expresión anterior, que no modifica sustancialmente el resultado, siendo preferible el valor más conservador de 0,18.

L2·

L

1M

L

1M

y

x

xM 1M(x)= cos· L

πx

M(x)L2·

h

(c)

(d)

(e)

(a)

(b)

ef ef

σx

f

σx,máx

Fig.2.21. Concepto de ancho eficaz desarrollado por Von Karman. Figura adaptada de [42].



Timoshenko y Goodier (1933) [42] presentaron la solución para el caso de una ley de momentos flectores triangular (Fig.2.21e), obteniendo un 85% del valor expresado en E.2.32, así que el caso de viga simplemente apoyada de longitud L, sometida a una carga puntual en centro de vano, puede solucionarse anotando:

bef = 0,15·L ≤ b E.2.34de donde se concluye que el efecto del arrastre de cortante es más desfavorable para una carga puntual. Por extensión, es de esperar un efecto igualmente desfavorable en la sección de apoyo interior. Las ecuaciones E.2.33 y E.2.34 pueden ser normalizadas respecto del ancho real b. La relación entre ancho eficaz y real se anota habitualmente como ψ=bef/b, y se denomina factor de ancho eficaz o coeficiente de arrastre de cortante [40]. El factor L/b se denomina relación de aspecto y se revela como el parámetro más importante. Ambas ecuaciones se representan sobre el gráfico de la Fig.2.22, correspondiente a un estudio comparativo entre códigos de diversos países elaborado por Brendel (1960) [18]. Dado que algunos códigos incorporaban parámetros nuevos para las vigas de hormigón, como el espesor del ala y el ancho del alma, dicho autor escogió el caso de una relación 10 entre el ancho y el espesor del ala, y una relación 40 entre la luz y el ancho del alma. Aunque existen diferencias notables entre algunos códigos, lo cierto es que la mayoría conserva la forma de las fórmulas prácticas E.2.33 y E.2.34, siendo Francia el país con la propuesta más parecida, y los restantes con propuestas, en general, más conservadoras. La rama horizontal por debajo del valor 1 corresponde a limitaciones en función del espesor de la losa, tales como 6 veces (bef ≤6hf) en el caso de la norma alemana DIN 1045. La justificación de dichas limitaciones no quedaba explicada, algunos autores posteriores han sugerido que era una herencia de las limitaciones en alas metálicas comprimidas para prevenir inestabilidades [49,50] o simplemente un límite práctico para prevenir valores grandes de la anchura eficaz en vigas con alta relación de aspecto, habida cuenta que no se consideraban otros factores como la conexión alas-alma, y la definición de ancho eficaz se basaba solamente en equivalencia de tensiones, siendo la equivalencia en deformaciones otra posibilidad no contemplada entonces [51]. Brendel (1960) [18] aportó además un nuevo estudio centrado en vigas de hormigón, utilizando trabajos de autores previos y resultados de ensayos realizados por el Instituto Alemán de Materiales en Dresde, sobre vigas de hormigón armado a escala real y vigas de yeso a escala reducida 1/10 [17] en donde se empleó alambre como sustituto de la armadura. Se comprobó experimentalmente que el ancho eficaz crecía con el nivel de carga, excepto en unos modelos de yeso, lo cual Brendel (1960) [18] justificó como consecuencia de un refuerzo transversal de alambre insuficiente en las alas. Su estudio se realizó mediante la teoría de la elasticidad en vigas con material homogéneo, de modo que se obviaba la fisuración del hormigón y la plastificación tanto del hormigón como de la armadura para altas cargas, sin embargo se creía que ambos efectos eran contrarios y se compensaban, aceptando así la validez de los resultados [34]. El resultado se plasmó básicamente en unas tablas con algunas reglas, que se incorporaron al texto alemán DIN 4224 [35], fueron recogidas por Leonhardt en su obra general de 1973 [34], y hay que añadir que figuraron en la instrucción española entre la EH-68 y la EH-91 [36]. Anteriormente, el texto español contenía reglas sencillas y limitaciones como la ya comentada en la Fig.2.22 de 6 veces el espesor del ala. En estos textos se concluye que los parámetros que afectaban al ancho eficaz eran la relación de aspecto L/b, las condiciones de apoyo, el tipo de carga (repartida o puntual), la distinción entre ala exterior e interior y, propios de las vigas de hormigón (Fig.2.23), la relación entre el espesor del ala y el canto de la viga, y la relación entre la luz y el ancho del alma. Como conclusiones generales importantes Brendel (1960) [18] anotó que: (1) la teoría de la elasticidad era útil y proporcionaba resultados del lado de la seguridad; y (2) el ancho eficaz aumentaba con el aumento de la carga.



efb

b

Lb

efb =0,18·L b<_efb =0,15·L b<_

Algunas leyes están particularizadas para:

Ancho / espesor del ala

b/hf = 10

Luz / ancho del alma

L/bw = 40

Fig.2.22. Ancho eficaz según diversos códigos en 1960. Adaptado de Brendel (1960) [18].

(a) (b)

Fig.2.23. Distribución de tensiones (a) real y (b) ideal en un ala comprimida de una viga de hormigón. Adaptada de Leonhardt (1973) [34], adaptada a su vez de Brendel (1960) [18].

Aunque el concepto ya era conocido, las fórmulas en los códigos respondían a un momento en el que dominaban los argumentos a favor de la simplicidad [52]. A nivel práctico se proyectaron estructuras de puentes con reglas muy sencillas. En un breve período comprendido entre 1969 y 1971 se produjeron cuatro importantes fallos de puentes metálicos entre Europa y Australia [49,53] más un quinto en Alemania del Este ocultado por las autoridades hasta 1998 [54], todos durante la fase de construcción. De interés es el caso del West Gate Bridge (Melbourne, octubre de 1970), ocho meses después del suceso un detallado informe redactado por un comité [55] fue hecho público, poniendo de manifiesto que el diseño original se había realizado con el modelo viga clásico, sin tener presente el arrastre de cortante. Mediante un cálculo con elementos finitos capaz de reproducir el fenómeno, el comité encontró zonas en donde la tensión máxima superaba en un 80% a la calculada originalmente. El puente tiene atribuida la etiqueta de "error de diseño" en una reciente base de datos de colapso de puentes [56]. Pero no sólo fueron puentes metálicos, puede añadirse un puente construido en 1977 que en su día fue récord en hormigón pretensado, al salvar una luz de 241m en el vano central. Se trata del Koror-babelthaup Bridge, en las Islas Palao, que colapsó en septiembre de 1996, seis meses después de una intervención para corregir



una flecha que en 1995 era de 1,39m en centro de vano, y seguía creciendo, lo que suponía más del doble de la flecha estimada inicialmente con un modelo viga clásico, que incluía una corrección por arrastre de cortante en la losa superior debido al peso propio. Bažant et al. (2008-2012) [57,58,59] consiguieron explicar el comportamiento mediante un cálculo con elementos finitos 3D e integración paso a paso, poniendo de manifiesto la importancia del arrastre de cortante que generaron concentraciones de tensiones que amplificaron los efectos diferidos del hormigón y de las pérdidas de pretensado. No cabe duda que los sucesos en puentes metálicos impulsaron la revisión de los textos normativos y el método de los elementos finitos fue adoptado como nueva herramienta de análisis. En este sentido un referente importante lo constituye el trabajo de Moffatt y Dowling (1972) [45], mediante elementos finitos elaboraron una serie de tablas y reglas para recoger numerosos casos para secciones metálicas en régimen elástico. Posteriormente, Moffatt y Dowling (1979) [60] consideraron válidos estos resultados para losas de hormigón de vigas mixtas, pero introdujeron un término corrector para contemplar la fisuración de la losa en apoyos continuos. La norma británica para puentes BS 5400 adoptó estos resultados [61] y fue la parte 5, dedicada precisamente a puentes mixtos, la primera en publicarse en 1979 (BS 5400-5 [62]). Posteriormente, en 1982 se publicaría la parte dedicada a puentes metálicos (BS 5400-3 [63]). La parte dedicada a puentes de hormigón (BS 5400-4 [64]), en su segunda edición de 1984, aunque mantenía una regla sencilla para el ancho eficaz, remitía a la parte 3 metálica para un cálculo más refinado. Las especificaciones americanas para puentes (AASHTO [11] y CAN/CSA-S6-06 [12]) tomaron también los resultados de Moffatt y Dowling (1975) [41] pero sólo para vigas metálicas, adaptados por Wolchuk y Mayrbaurl (1980) para los casos más habituales en vigas continuas con carga uniforme, condensados en forma gráfica posteriormente por Wolchuk (1990). La normativa de hormigón mantuvo reglas más sencillas. Otro referente de cálculo con una variante del método de los elementos finitos lo constituye el trabajo de Cheung y Chan (1978), en Canadá, planteado mediante el método de la banda finita. En este caso, en lugar de tablas ajustaron una fórmula a los resultados de más de 300 modelos de puentes de hormigón y mixtos, con dos tipologías, losa apoyada en vigas y vigas en cajón. El código de puentes canadiense CAN/CSA-S6-06 [12] tiene adoptado estos resultados para el ancho eficaz de puentes mixtos y también de hormigón [65], constituyendo una fórmula sencilla. También siguieron realizándose estudios con métodos teóricos basados en teorías de elasticidad con el objeto de obtener fórmulas que condensaran mejor la información. Maquoi y Massonnet (1982) [48] dedujeron una fórmula teórica sencilla similar a la determinada por Von Karman (1924) (E.2.32), pero considerando un ancho real b finito, si bien resultó ser un caso particular del extenso estudio realizado posteriormente por Sedlacek y Bild (1993) [66]. Estos autores aplicaron la teoría avanzada de vigas de pared delgada y la teoría de la elasticidad, y consideraron factores de ortotropía para contemplar la rigidización de alas metálicas y no linealidades como la fisuración en alas de hormigón. El resultado práctico fue una única fórmula simplificada final que, de una manera elegante, era capaz de sintetizar con gran aproximación las ocho tablas contenidas en BS 5400-3 [62]. Su aplicación requiere la división de la viga en tramos de longitud L, comprendidos entre puntos de inflexión (Fig.2.24a), y proporciona el ancho eficaz de la sección central de cada tramo, incluyendo un factor de forma m de la ley de momentos flectores:

( ) ( )2

00

ef

1 3,2 1 4,01

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ α−+

α++

==ψ

Lb

Lbb

b

mm

E.2.35a



máx4

MMΔ

=m E.2.35b

en donde b es el ancho real del ala situada a un lado del alma; bef su ancho eficaz; m el factor de forma caracterizado por el valor absoluto del momento máximo Mmáx y la concavidad de la ley de momentos ΔM (Fig.2.24c); y α0 un factor de rigidización longitudinal aplicable a alas metálicas (Fig.2.24b) y que en hormigón adoptaría el valor α0=1. Diversos casos del factor m se proporcionan en las Fig.2.24d-e-f. La propuesta de Sedlacek y Bild (1993) [66] formó parte del Eurocódigo de estructuras metálicas, para definir el ancho eficaz elástico, incorporada por primera vez en 1996 en la parte correspondiente a elementos metálicos de chapa plegada (EC3-1-3 [67]) y posteriormente en la parte de vigas armadas (EC3-1-5 [68]). No ocurrió así con los Eurocódigos para estructuras de hormigón (EC2-1-1 [4], EC2-2 [38]) ni para la losa de hormigón de estructuras mixtas (EC4-1-1 [69], EC4-2 [70]), en estos casos se prefirió conservar una formulación más sencilla. Una excepción ocurrió en España, cuando en 1995 se publicaron las recomendaciones para puentes metálicos (RPM-95 [71]) y mixtos (RPX-95 [16]), cuya redacción fue impulsada por la Dirección General de Carreteras del Ministerio de Fomento debido al retraso en la disponibilidad de los Eurocódigos [72]. Estos textos se adelantaron en adoptar los casos m=–1, m=+0,5 y m=0 de la expresión E.2.35, completándolos con reglas adicionales, y aplicaron las mismas reglas a la losa de hormigón de puentes mixtos. Además, la actual EHE (2008) [1], aunque proporciona una regla sencilla para el ancho eficaz (art.18.2.1), permite utilizar los criterios de la RPX-95 [16] para puentes de hormigón con secciones en cajón o en T. Otro trabajo notable, planteado para la obtención de fórmulas de aplicación práctica, lo constituye el desarrollado por Song y Scordelis (1990) [73,74], empleando teoría de la elasticidad y análisis armónico. Sus fórmulas, no obstante, resultaron más pesadas de aplicar aunque plantearon propuestas a casos no contemplados hasta entonces, como la carga puntual aplicada en una posición cualquiera, diferente a centro de vano, y la combinación del axil del pretensado con otras cargas gravitatorias.

L L LL

+

_

+

_

__

++

M

L

P

p

MΔ

MMΔ4m= m = 1

M

L

MMΔ 4=

p

M

L

P

MΔ

m = 0

=0

m = +1

MMΔ 4=M

L

P

p

= ·p L

(d)

(f)(e)

(c)

(b)

(a)

b2·

t

t

AΔ bAΔ1+=α t·

Fig.2.24. Estudio de Sedlacek y Bild (1993) [66]: (a) división de una viga genérica en tramos de

caracterización de la ley de momentos; (b) sección transversal; (c) definición del factor de forma m; (d) caso de ley convexa; (e) caso de ley lineal; (f) caso de ley cóncava.



Las formulaciones del ancho eficaz citadas hasta ahora se basaban en estudios teóricos que empleaban la teoría de la elasticidad, aunque experimentalmente habían evidencias de que el ancho eficaz en alas de hormigón crecía con el aumento de la carga hasta agotamiento, siempre que la armadura transversal del ala fuera adecuada [18]. Al incorporarse el método de los estados límite en la década de los 70 se cuestionó también qué ancho eficaz debía considerarse en agotamiento. Una regla sencilla fue adoptada por el código británico de puentes de hormigón BS 5400-4:1990 [64] permitiendo utilizar todo el ancho real del ala en ELU, confiando en la plasticidad de los materiales para redistribuir las tensiones en el ancho del ala. En España, para la redacción de las recomendaciones RPM-95 [71] y RPX-95 [16], se barajaron varias opciones representadas en la Fig.2.25a, elaborada para el caso estándar de centro de vano en flexión positiva con sobrecarga uniforme. Entre las diversas opciones hay que destacar dos de ellas:

— Curva de European Convention for Constructional Steelworks (ECCS 1990): 1ψ2ψ elult ≤⋅= E.2.36

— Curva de Dowling (1987): ( ) 1ψψ Lb

elult ≤= E.2.37en donde ψult es el factor de ancho eficaz en agotamiento o ELU y ψel el factor de ancho eficaz elástico obtenido según Sedlacek y Bild (1993) [66]. La primera opción fue adoptada por las recomendaciones españolas y, por tanto, aplican a la losa de hormigón, mientras que la segunda fue adoptada por el EC3 [67,68], empleada conjuntamente con diversas reglas para contemplar la inestabilidad local por abolladura propia de chapas metálicas, y actualmente queda recogida en la reciente instrucción española de acero estructural EAE (2011) [75]. De este modo, la actual EHE (2008) [1] admite la validez de emplear la relación E.2.36 también para puentes de hormigón armado o pretensado, pero no hay mayor explicación o detalle al respecto. Aparte, hay que añadir que la RPX-95 [16] sugiere una interpolación lineal del ancho eficaz entre los valores extremos a efectos de la determinación del diagrama momento-curvatura, en función de la deformación en el encuentro del ala con el alma. El concepto es aclarado en el Manual de aplicación de las Recomendaciones RPM-RPX (2002) [72], representado en la Fig.2.25b para el caso de ala metálica, pero omite su particularización para el caso de ala de hormigón. La EAE (2011) [75] repite la misma sugerencia pero planteando la interpolación respecto de la curvatura. Es probable que una revisión de estas recomendaciones para puentes, necesaria por los cambios sufridos por la normativa de estructuras de hormigón y metálicas en España, actualice estos conceptos, y quizás se incline por la relación E.2.37, en concordancia con los Eurocódigos, que produce resultados más conservadores, como puede apreciarse en la representación de la Fig.2.26. En el panorama actual de la normativa de hormigón prevalecen reglas más sencillas que en la normativa de estructuras metálicas, y los comentarios de la EHE (2008) [1], apuntando a una formulación más detallada y a un ancho eficaz en agotamiento más generoso, constituyen prácticamente una excepción. Estas reglas sencillas consisten básicamente en emplear una fracción de la luz, que comúnmente adopta los siguientes valores:

LLb ⋅== 0,110ef E.2.38

ó

LLb ⋅== 0,1258ef E.2.39

La primera fracción (E.2.38) es adoptada por el Eurocódigo para estructuras de hormigón EC2 [4,38], la parte para puentes de hormigón de la norma británica BS 5400-4 [64], la EHE [1], el



Código Modelo CM-90 [33] y el reciente CM-2010 [3]. La segunda fracción (E.2.39) es adoptada por el Eurocódigo para estructuras mixtas EC4 [69], el texto americano para estructuras de hormigón ACI 318-11 [10] y para estructuras mixtas AISC 360-05 [76]; así como el texto japonés para estructuras de hormigón JSCE/SSCS [13]. Estos valores resultan inferiores a la relación 0,15L de la expresión E.2.34, obtenida por Timoshenko y Goodier [42] para carga puntual en centro de vano, por lo que son valores conservadores que evitan la distinción entre carga uniforme y puntual. Por su similitud, además, hay quien sostiene que esta forma de expresar el ancho eficaz parece una herencia de la teoría de la elasticidad [49]. Debe matizarse que las actuales versiones del EC2 (2004) [4] y del Código Modelo (2010) [3] modificaron su fórmula del ancho eficaz añadiéndole un anchura adicional igual al 20% del ancho del ala. Acorde a la notación de la expresión E.2.35, esta fórmula puede reescribirse del siguiente modo:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅≤

⋅+==

LbLbbb

51

1

1010,2ψ ef E.2.40

siendo ψ el factor de ancho eficaz aplicable tanto en ELS como en ELU, evitando así la complejidad de proporcionar reglas que tengan en cuenta los efectos de la redistribución de tensiones. Hendy y Smith (2007) [77] sostienen que la repercusión práctica en el uso del mismo ancho en ELS y ULS no suele ser grande para puentes de hormigón en donde normalmente puede contarse con todo el ancho real. Otros autores se han pronunciado sobre la sencillez del criterio, pero en relación al EC4 [69], aunque resulta perfectamente trasladable a vigas de hormigón. Viñuela y Martínez (2009) [78] opinan que la regla parece adecuada para sección de vano, aunque excesivamente restrictiva para el caso de las secciones de flexión negativa en apoyos, en donde el hormigón fisura y la plastificación de la armadura en ELU permitiría redistribuir las tensiones a un mayor ancho eficaz. Previamente, Amadio et al. (2002, 2004) [79,80] propusieron duplicar el ancho eficaz elástico en flexión negativa, manteniendo igual el ancho eficaz en la secciones de flexión positiva; todo ello debido a la menor ductilidad del hormigón en flexo-compresión que la armadura en tracción.

ψ

ψ

ψ

ψ=

ψ

ψ

4ε ε(b)(a) Fig.2.25. Ancho eficaz en ELU: (a) propuesta de diversos autores; (b) ancho eficaz en función de la

deformación. Adaptado de [72].



En la Fig.2.26 se representan las opciones comentadas del factor del ancho eficaz. Las curvas del EC3 [68], RPM [71] y RPX [16] se corresponden al caso de ala sin rigidización en centro de vano a flexión positiva con carga uniforme, el valor elástico corresponde al caso m=–1 de E.2.35, y el valor último según E.2.37. Las curvas del EC2 [4] no distinguen entre carga uniforme ni concentrada, ni entre ELS y ELU; la versión 2004 corresponde a E.2.40 mientras que la versión 1992 corresponde a E.2.38.

elástico (EC3, RPM & RPX)último (EC3)último (RPM & RPX)(EC2 edición 2004)(EC2 edición 1992)

ψψψψψ

ψ

Lb

Fig.2.26. Factor de ancho eficaz en función de la relación de aspecto.

Según se ha expuesto, las normas actuales de hormigón optan por mantener reglas sencillas con valores del ancho eficaz próximos a servicio, y sólo en algunos casos como en la EHE [1] remiten a formulaciones más detalladas que se encuentran en las normas de construcción mixta o metálica. El texto japonés JSCE-SSCS (2007) [13] llega a sugerir criterios para casos no contemplados en otras normas como pretensado, retracción y fluencia. Fuera de normas, la tendencia es el empleo de análisis mediante elementos finitos para tratar de encontrar mayor precisión que la formulación establecida por las normas [43,44,79,81,82,83,84,85,86,87], o para estudiar aspectos no cubiertos en ellas, como geometrías o esquemas estructurales más complejos [88,89,90], procesos constructivos [91], o pretensado y acciones indirectas [92,93] 2.3.2.3 Distribución de tensiones en el ala Tal y como se plantea la definición del ancho eficaz basada en tensiones (E.2.31), el cálculo de la distribución real de tensiones en el ala constituye el principal problema a resolver en cualquiera de los métodos citados en el apartado previo. Moffatt y Dowling (1975) [41] aportaron una fórmula para la estimación de las tensiones longitudinales reales en las partes del ala alejadas del alma, se trataba de una expresión parabólica de 4º grado ajustada a los resultados numéricos de su estudio mediante elementos finitos, y contrastada experimentalmente. La fórmula fue incorporada primeramente a la norma británica de puentes mixtos BS 5400-5 (1979) [62], aplicable a la losa de hormigón, y se mantiene vigente en el EC3-1-5 (2004) [68], con un ligero cambio formal y en un factor:

( ) ( )4

212 1y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅σ−σ+σ=σ

by E.2.41

siendo σ2 = (ψ–0,2)·σ1 ≥ 0, la tensión en el punto más alejado del alma; ψ el factor de ancho eficaz; e y la distancia del punto considerado del ala medida a partir del alma (Fig.2.27).



Caso ψ>0,2 (a) b

σ2

ef

σ1 σ (y)

y

Caso ψ≤0,2 (b)

σ2

σ1 σ (y)

ef

=0

sb ψ b=5 ·y

Fig.2.27. Distribución de tensiones normales en el ala según EC3-1-5 [68].

No hay ninguna referencia al uso de E.2.41 en el EC2 [4,38], pero en la revisión correspondiente a la parte de puentes de hormigón realizada por Hendy y Smith (2006) [77] anotan que dicha fórmula puede emplearse en caso de precisar una distribución de tensiones normales más realista. No hay aclaración en cuanto a la situación de plastificación parcial del ala. En estudios numéricos como el de Marí y Bernat (1985) [94] pueden encontrarse ejemplos de distribuciones obtenidas con elementos finitos similares a la forma parabólica ilustrada en Fig.2.27. Evidencias experimentales en vigas de hormigón existen muy pocas. Algunos de los estudios descritos en 2.2.1 presentaron datos de mediciones de deformaciones longitudinales del ala en donde, en general, se apreciaba menor deformación en aquellos puntos de las alas más alejados del alma. Tizatto (1987) [26] llegó a medir en 5 puntos distintos del ala, tanto en el paramento superior como en el inferior, como se aprecia en la Fig.2.8, para diversos niveles de carga. Al emplear la misma geometría de viga no pueden sacarse conclusiones pero sí poner de manifiesto la importancia de diversos factores: la cuantía de la armadura transversal del ala; la existencia de un rasante de fisuración longitudinal, que puede ocasionar discontinuidades en el punto de unión alas–alma, más o menos pronunciadas en función de la armadura; y la influencia de flexión transversal, que agudiza la diferencia de deformaciones entre el alma y el punto más alejado del ala. Estos factores son característicos de las alas de hormigón y no parecen haber sido considerados en los estudios numéricos planteados para estudiar el arrastre de cortante, en donde se considera la deformabilidad del ala en su plano pero no la integridad de la unión ala–alma. La validez de la afirmación de Hendy y Smith (2006) [77] depende, por tanto, de un correcto armado de las alas de hormigón. 2.3.2.4 Influencia del ancho eficaz en el esfuerzo rasante En el cálculo del esfuerzo rasante mediante el modelo viga, la influencia del ancho eficaz es directa, puesto que la geometría real del ala es modificada para considerar una distribución uniforme de tensiones. Basta fijarse en la definición del factor de transferencia β, introducido en el apartado 2.3.1.3. Pero no solo afecta en el análisis seccional, sino que, dado que influye en la rigidez de la viga, tiene efecto también en el análisis estructural de vigas hiperestáticas y, por tanto, en las leyes de momentos flectores y de cortantes, necesarias para evaluar el rasante. Moffatt y Dowling (1972) [45] se cuestionaron sobre qué ancho eficaz era el más adecuado para el análisis estructural, que tiene dos vertientes, el cálculo de deformaciones y el cálculo de esfuerzos. Para deformaciones establecieron un ancho eficaz basado en la equivalencia de flechas, pero encontraron que no era muy sensible ni a la posición de la sección ni al tipo de carga, por lo que su propuesta práctica para uso en códigos fue utilizar el ancho eficaz basado en tensiones correspondiente a la sección de un cuarto de luz. Para el cálculo de esfuerzos, encontraron que el análisis estructural realizado con las propiedades de la sección sin reducción



en las alas era suficientemente aproximado, aunque el análisis seccional debía ser realizado con el ancho eficaz basado en la equivalencia tensional. Con estas conclusiones, la norma británica para puentes mixtos BS 5400-5 (1979) [62], en su apartado 5.3.1, permitió adoptar un ancho eficaz constante en todo el vano para el cálculo del esfuerzo rasante, cuyo valor se tomaba igual al de la sección de cuartos de vano. Posteriormente, la parte dedicada puentes de hormigón BS 5400-4 [64] permitió el uso del ancho completo para análisis estructural. Un análisis más detallado consistiría en considerar la variabilidad del ancho eficaz a lo largo de la viga. En su libro de construcción mixta, Martínez Calzón (1978) [95] señaló que el carácter variable del ancho eficaz a lo largo de la pieza y fenómenos locales de concentración de cargas eran responsables de producir ciertas perturbaciones en la distribución de esfuerzos rasantes. Esto puede observarse en resultados publicados por Razaqpur y Ghali (1984) [15], en donde comparó el rasante obtenido con el modelo de viga clásico con sección constante y el obtenido con el modelo de viga con teoría elástica 2D resuelto mediante elementos finitos (Fig.2.28). Como puede observarse, la consideración de la deformabilidad del ala genera perturbaciones de la ley teórica de rasantes, pero a efectos prácticos no resultan excesivas.

(a) (b)

(c) (d)

Fig.2.28. Rasante elástico unitario S1 en viga simple: (a) viga simple con 2 cargas puntuales; (b) viga simple con carga uniforme; (c) viga continua con 2 cargas puntuales; (d) viga continua con carga

uniforme. S1 resulta de dividir el rasante de elementos finitos entre el de la teoría de vigas. Adaptado de Razaqpur y Ghali (1984) [15].

En la actualidad, las normas no hacen referencia específica sobre el cálculo del rasante, sino simplemente sobre el análisis estructural. El EC2 [4] permite usar un valor constante igual al de



la sección de centro de vano, lo que habitualmente conduce a considerar el ancho completo [77]. EHE [1] omite cualquier comentario pero, en su defecto, la RPX-95 [16] anota que, en general, no es necesario considerar la reducción de anchuras para el cálculo de esfuerzos, excepto en casos de bajos valores del factor de ancho eficaz elástico ψel, sin proponer ningún valor para el mismo. El ancho eficaz sí debe considerarse en el análisis seccional, EC2 [4] y EHE [1] plantean el mismo tanto en ELS como en ELU, pero no así la RPX-95 [16] (E.2.36). En relación a otras normas de hormigón hay que mencionar que los textos americanos ACI-318 [10], CSA A23.3-04 [96], AASHTO (2012) [11], CAN/CSA-S6-06 [12] simplemente establecen un único valor del ancho eficaz, y el texto japonés JSCE-SSCS (2007) [13] explícitamente establece que para el cálculo de esfuerzos en estructuras hiperestáticas puede emplearse el ancho real del ala. 2.3.2.5 Conclusiones La deformabilidad de las alas es un problema complejo sobre el que existe una bibliografía muy extensa. La solución práctica para contemplar este fenómeno en el modelo viga consiste en definir un ancho eficaz y todas las normas de hormigón contienen propuestas sobre su formulación. Se trata de fórmulas sencillas y conservadoras ya que proporcionan un ancho eficaz próximo a valores de servicio, inferior al que podría desarrollar la viga en agotamiento. En este sentido la norma que suscita más interés es la EHE [1] ya que, aunque proporciona unas reglas muy simples, también permite emplear la RPX-95 [16], que contiene una formulación más detallada, heredera de los numerosos estudios desarrollados para vigas metálicas y mixtas. Sobre los factores de los que depende el ancho eficaz, el EC2 [4] cita a la armadura transversal dispuesta en el ala, y otros autores sostienen también la relevancia de este factor [26,77], pero llama la atención la ausencia de la armadura transversal del ala en cualquiera de las formulaciones del ancho eficaz citadas en los apartados previos. Las recomendaciones FIP (1999) [97] van un poco más lejos y sugieren que puede considerarse un ancho eficaz mayor si se diseña y detalla la armadura transversal adecuadamente para ello, pero no establece ninguna relación, no establece límites para el ancho eficaz, ni proporciona ninguna referencia. La ausencia de la armadura transversal en la formulación del ancho eficaz solamente puede tener una explicación, y es que se supone que la armadura garantiza la integridad de la unión alas–alma. Es decir, hay establecido un proceso de cálculo directo: se establece un ancho eficaz, se evalúa el rasante en agotamiento y se diseña la armadura, la cual garantiza como mínimo el ancho eficaz establecido previamente. El ingeniero no dispone entonces de criterios sencillos ampliamente aceptados para proceder de modo inverso, es decir, la opción de obtener un ancho eficaz más generoso mediante el armado del ala. Esta opción resultaría interesante ya que a menudo la geometría y el esquema estructural no se pueden cambiar, pero la cuantía de la armadura resulta un parámetro con más libertad de elección. No obstante, las normas son abiertas al empleo de modelos de cálculo más complejos siempre que permitan verificar de un modo fiable la adopción de anchos eficaces más generosos. Como se verá en el apartado 2.4.2, existen métodos de diseño frente al rasante, no recogidos en normas, que proporcionan relaciones directas entre el ancho eficaz y la cuantía de la armadura transversal. Normalmente el ancho eficaz es introducido como dato pero pueden usarse de modo inverso, es decir, fijar cuantía de la armadura y deducir un ancho eficaz. Sin embargo no existen discusiones sobre si este ancho eficaz, que se podría denominar resistente, es compatible con el ancho eficaz en agotamiento que sería capaz de desarrollar la viga acorde a su geometría y



esquema estructural, por ejemplo, el formulado en RPX-95 [16]. Además, los métodos están contrastados con un escaso número de ensayos, generalmente consistentes en vigas simplemente apoyadas con alas exentas. No obstante, utilizando la formulación de la RPX-95 [16], parece razonable plantear condiciones como la siguiente:

1ψ2ψψψ elultresel ≤⋅=≤≤ E.2.42

en donde ψres sería el factor de ancho eficaz resistente, sobre el que el ingeniero puede actuar modificando la cuantía de la armadura. En relación al estudio planteado en la presente tesis, conclusiones de Brendel (1960) [18], por ejemplo, y la observación de los resultados experimentales de Tizatto (1987) [26], conducen a pensar si la armadura es adecuada el ancho eficaz debería crecer con el nivel de carga, y decrecer en caso contrario. Por tanto, la formulación existente del ancho eficaz no resulta fiable para estimar la resistencia de las vigas, sino que debe ser un dato a establecer a partir de los resultados experimentales. 2.3.3 Esfuerzos no contemplados en el modelo viga Existen una serie de esfuerzos que aparecen o pueden aparecer en el plano vertical de unión alas–alma, conjuntamente con el esfuerzo rasante, y que el modelo viga no es capaz de reproducir, requiriendo un análisis adicional. La consideración de estos esfuerzos puede ser importante en la valoración de la capacidad resistente de las alas frente a rasante, por lo que se dedica el presente apartado a su descripción. 2.3.3.1 Esfuerzo axil concomitante con el rasante La teoría clásica de vigas permite obtener el esfuerzo rasante solicitante en el plano vertical de unión de un ala con el alma de la viga, pero no es capaz de ofrecer información sobre un esfuerzo axil concomitante que aparece en el mismo plano. La existencia de este esfuerzo axil es fácilmente demostrable planteando el equilibrio del ala, pero su cálculo no es inmediato. En la Fig.2.29a se ilustra el caso de un segmento Δx de ala comprimida, delimitada por una sección libre y otra donde actúa una resultante de compresión Nx. El equilibrio en sentido longitudinal proporciona la fuerza rasante total Nxy. Si se toman momentos respecto del punto O, debe aparecer un momento que equilibre la excentricidad de Nx, lo que se conseguiría, en principio, con una fuerza de compresión Cy. Sin embargo, el equilibrio en sentido transversal obliga a que aparezca una fuerza de tracción Ty que iguale a la compresión Cy, y que esté más cercana al punto O, para mantener el equilibrio de momentos. La Fig.2.29b presenta el esquema para el caso de ala traccionada.

(a) = S x

xN

xyNyC

yTO

xyN ·Δ (b)

Fig.2.29. Axil transversal concomitante con el rasante: (a) ala comprimida; (b) ala traccionada. Figura adaptada de Regan (1982) [24].



La existencia de las fuerzas transversales surge del propio trabajo de flexión longitudinal de la viga, y es descrito como un fenómeno secundario fruto de la tridimensionalidad del funcionamiento de las vigas en T [39]. Pueden encontrarse referencias de este funcionamiento en vigas mixtas ensayadas hasta rotura por Davies (1969) [21]. La Fig.2.30 es una vista en planta del ala una vez agotada la viga, la fisuración longitudinal es apreciable debido a que se dispuso una armadura transversal de escasa cuantía.

Fig.2.30. Rotura del ala por fisuración longitudinal. Adaptado de Davies (1969) [21].

Estudios experimentales más extensos, en donde se midió la deformación de la armadura transversal del ala en un gran número de barras, fueron realizados por Badawy y Bachmann (1977) [29], Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26], de quien se adjunta la Fig.2.31 en el caso de una viga con abundante armadura. En este apartado se exponen sólo los acercamientos de diversos autores al problema de caracterización del esfuerzo transversal.

Fig.2.31. Medida de la deformación en la armadura transversal del ala para diferentes niveles de carga.

Tizatto (1987) [26]. Inicialmente se especularon distribuciones sin demostración teórica o experimental (Girkmann 1959; Allen y Severn 1961; Regan y Placas 1970 [19]), posteriormente, mediante el uso del



método de los elementos finitos se dedujeron distribuciones de tensiones para diferentes casos de carga y se ajustaron fórmulas numéricas (Razaqpur y Ghali 1984 [15]; Páez y Díaz del Valle 1992 [6]) y también ha habido estudios teóricos mediante el uso de elasticidad plana (Jaeger y Bakht 2001 [27]). Las primeras propuestas de distribución de tensiones de diferentes autores fueron representadas por Razaqpur y Ghali (1984) [15] frente al resultado obtenido mediante elementos finitos para el caso de una viga en T simplemente apoyada sometida a una carga distribuida uniformemente (Fig.2.32). Las dos primeras no cumplen la condición de equilibrio transversal (Girkmann 1959; Allen y Severn 1961). La propuesta de Regan y Placas (1970) [19] consistía en una distribución lineal autoequilibrada, la cual les permitió justificar con razonable aproximación la rotura de tres vigas en T ensayadas con ausencia de armadura transversal en el ala. Se trataba de vigas solicitadas por una carga puntual central y el criterio fue obtener la tensión principal de tracción en el ala mediante elasticidad plana, considerando la tensión normal longitudinal por flexión, la tensión rasante y la tensión normal transversal; y compararla con la resistencia a tracción del hormigón. La aplicación al caso de carga uniforme dio peor resultado. La finalidad de conocer las tensiones transversales era emplearlas en la formulación de transferencia a corte. Regan y Placas (1971) [98] consideraron ilógico utilizar sólo la fuerza rasante y no las fuerzas transversales directas, argumentando dos motivos. El primero era que el sistema de fuerzas no estaría en equilibrio y podían derivarse errores apreciables. El segundo era que el mecanismo resistente de transferencia a corte se ve afectado por las tensiones transversales en las componentes de cohesión y de fricción. No obstante, Murcia et al. (1993) [39] consideraron que el efecto de las tracciones transversales localizadas en la zona de máximos momentos positivos generalmente no era necesario tenerlo en cuenta, ya que quedaba cubierto por la armadura mínima transversal que, en estas zonas al ser el cortante reducido, sirve para resistir dicha solicitación transversal.

Nq

y

Lq

yN

x

0,5

0

_

0,125 0,25 0,375 0,5

0,242

L0,061

[a][b][c][d]

Girkmann (1959)Allen & Severn (1961)Regan & Placas (1970)Razaqpur & Ghali (1984)(elementos finitos)

xL

1,0

1,5

0,5

TRACCIÓN

COMPRESIÓN0,946 en

=0,019x L

q

L0,09

L0,017

[a][b]

[c][d]

CL

L 2

Fig.2.32. Comparación del axil transversal por diversos autores según Razaqpur y Ghali (1984) [15].



Hay que mencionar que la distribución de fuerzas transversales obtenida por los estudios citados [15,6,27], que tratan al hormigón como un material elástico, no guarda relación con los resultados obtenidos mediante el método de bielas y tirantes. Cuando se emplea bielas y tirantes el propio método es capaz de reproducir el trabajo transversal del ala a través de la celosía contenida en su plano, pero el enfoque es totalmente diferente. La situación descrita por bielas y tirantes corresponde a un hormigón multifisurado con las armaduras que actúan como tirantes plastificadas. Con el criterio habitual de escoger un ángulo constante para la inclinación de las bielas de la celosía del ala, en una viga simplemente apoyada, la tracción obtenida en los tirantes se distribuye uniformemente en el caso de carga puntual, mientras que se distribuye escalonadamente con carga uniforme, resultando mayor tracción en los extremos de la viga. Esta tracción coexiste con una compresión que la equilibra, ligeramente desplazada para compensar la excentricidad del cordón longitudinal del ala. Para obtener resultados correctos debe existir una armadura suficiente que garantice que la celosía propuesta funciona adecuadamente. Por este motivo el método de bielas y tirantes no serviría para describir el agotamiento del ala de la viga de la Fig.2.30, mientras que, como se ha indicado, el planteamiento de Regan y Placas (1970) [19] les permitió justificar la rotura de vigas con ausencia de armadura transversal. 2.3.3.1.1 Razaqpur y Ghali (1984) El estudio realizado por Razaqpur y Ghali (1984) [15] constituye el más extenso realizado sobre la distribución del axil transversal Ny a lo largo de la longitud de la viga. Utilizaron el método de elementos finitos y análisis lineal y elástico. Estudiaron una serie de 40 vigas variando relaciones entre diversos parámetros geométricos, y considerando varios tipos de carga consistentes en una carga uniforme, una carta puntual de posición variable y dos cargas puntuales simétricas. El resultado fue el establecimiento de unas fórmulas aproximadas capaces de dar solución a los casos prácticos más comunes. (a) Viga simple con carga concentrada. Bajo carga concentrada la máxima tracción Nymáx se produce en la sección de aplicación de la carga, y el valor pico alcanzado apenas se modifica con la posición de la carga. Dicho valor es tomado como la mitad del rasante elástico correspondiente a la carga puntual aplicada en centro de vano. A ambos lados de la sección disminuye hasta un valor "meseta" Nyp hacia el apoyo más cercano, y prácticamente se anula hacia el otro lado. La distribución simplificada del axil transversal queda descrita con tres fórmulas, según la notación de la Fig.2.33

4f

ymáxP

ISN ⋅= E.2.43

421 f

ypP

IS

LcN ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= E.2.44

( ) ww 30

12

bbb

Lcs </⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⋅= E.2.45

donde c es la distancia de la carga al apoyo más cercano (c≤L/2). Sf, I tienen el significado de la expresión E.2.5 aunque se opera sobre la sección

bruta. El momento estático corresponde a un vuelo del ala. Como puede observarse en la Fig.2.33, no representaron el valor de compresión para Ny en los extremos, por no ser relevante para diseño, y extendieron la tracción Nyp hasta el mismo eje de apoyo. No obstante, la compresión se concentra en los extremos de la viga, aproximadamente en un tramo de longitud no mayor a 0,1L, según se aprecia en la Fig.2.34, en donde se representan



los resultados por elementos finitos y por la formulación simplificada de dos casos de posiciones extremas para la carga concentrada. En el eje vertical se representa el valor unitario del axil, referido a |Nxy0|, que es el valor del rasante elástico (modelo viga, ecuación E.2.5) en la sección de apoyo para el sistema de carga representado. En caso de interés, siempre puede estimarse la magnitud de la compresión simplemente estableciendo las dos condiciones de equilibrio con el esfuerzo de tracción.

Ny

c

L

bws

Nymáx

Nyp

s wb 1+ 32

b 2Lc

b

P

yN >0

xTRACCIÓN

Fig.2.33. Caso de carga puntual P a una distancia c ≤ L/2 del apoyo.

yN

0,2 L 0,4 0,5 LL 0,6 L 0,8 L L

0,4

0,3

0,2

0,1

0

F.E.

Nxy0| |

F.E.

c L/ = 0,1

c L/ = 0,5

SIMPLIFIED EQUATIONSSIMPLIFIED EQUATIONS

c L/ = 0,5c L/ = 0,1

x

Fig.2.34. Comparación entre resultados de elementos finitos (F.E.) y la formulación simplificada.

Si se le da la vuelta a la viga el ala trabajaría traccionada y las curvas de la Fig.2.34 invertirían su signo, y en las cercanías de los apoyos se produciría en esta ocasión el axil transversal de tracción. El problema de dos cargas concentradas se resuelve sumando los resultados de cada carga estudiada independientemente. (b) Viga simple con carga uniforme. La particularidad de este caso es que se genera un valor sensiblemente uniforme de tracciones en el ala, que ocupan la mayor parte de la luz de vano, aunque los autores suponen tracción en toda la longitud de valor:

( ) qbbI

SN 0,4wf

y ⋅−⋅= E.2.46

en donde q es el valor de la carga distribuida, con sentido gravitatorio, y el ala es superior y se encuentra comprimida.



El parámetro que más influye en la forma de la distribución es la relación de aspecto del ala, es decir, el cociente entre la luz y el ancho de un vuelo. No obstante Razaqpur y Ghali optaron por la expresión E.2.46 independiente de la luz, correspondiente a un valor η=3,2, siendo η un parámetro adimensional utilizado en su estudio paramétrico, definido en la Fig.2.19, donde se representan tres casos de viga con relación de aspecto 10, 16 y 24.

η(x)4Lwbb

Nxy0N

y(x)η(x) = ·

bw

bq

yN

x

4

2

0

2

4_

_0,125 L 0,25 0,375 LL 0,5 L

COMPRESIÓN

TRACCIÓN

η=3,2

L

qx

wbb = 24

= 10= 16

Fig.2.35. Caso de carga uniformemente distribuida.

La distancia en los extremos en la que se desarrollan compresiones se supone igual a 0,5(b–bw). En el caso de estudiar un ala inferior, en estos tramos se desarrollan tracciones, que pueden determinarse igualándolas a la compresión uniforme obtenida con la expresión E.2.46. (c) Vigas continuas. Dado que el estudio fue realizado en rango elástico y lineal Razaqpur y Ghali propusieron que la resolución de casos de vigas continuas podía afrontarse mediante superposición de casos elementales. Resuelta la viga continua, los apoyos interiores son eliminados y tratados con cargas puntuales. 2.3.3.1.2 Páez y Díaz del Valle (1992) Páez y Díaz del Valle (1992) [6] realizaron un estudio similar mediante elementos finitos pero de menor alcance, centrándose en el caso de viga en T simplemente apoyada solicitada con sobrecarga uniforme, con objeto de revisar el diseño de la armadura transversal. La propuesta para evaluar el axil transversal considera como principales parámetros la luz de la viga L y el vuelo del ala bf, dentro del rango de valores:

0,011L < bf < 0,1L El esquema de la distribución de tensiones y la notación de los diferentes parámetros que la definen se proporciona en la Fig.2.36, para el caso de ala superior comprimida. Las tracciones se extienden en una longitud 2c, cuyo valor promedio es:

zbM

LbN

⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= máx

2f

yp 4,4 E.2.47

donde Mmáx es el momento máximo en la sección central, y z es el brazo mecánico para el que los autores proponen la distancia del centro de la armadura traccionada al plano medio del ala. El valor máximo del axil de tracción, que se produce a una distancia u de la sección central:

ypymáx 1,5 NN ⋅= E.2.48



Ny(x)

L

qxbf

bq

yN

x

cua

j

Cy

Nymáx Nyp

L 2

k

Tz

y

Parámetros: a = 0,03L + 0,4bf c = 0,47L – 0,4bf j = 0,256L – 0,05bf u = 0,44L – 0,8bf kz = 0,2485L – 0,15bf

Fig.2.36. Esquema de la distribución del axil transversal. Figura adaptada de [6]. 2.3.3.1.3 Jaeger y Bakht (2001) Jaeger y Bakht (2001) [27] plantearon un estudio directo con la teoría elemental de vigas y elasticidad plana, utilizando una hipótesis adicional consistente en introducir las fuerzas cortantes y flectores en los extremos de la viga de una forma consistente con las tensiones desarrolladas en el interior de la viga, es decir, como si no aplicase el principio de Saint-Venant en los apoyos. El estudio tiene carácter general aunque está planteado para una viga simplemente apoyada, de sección constante y tratada como de un solo material homogéneo, sometida a una carga distribuida q(x). El problema se considera resuelto como suma de dos estados. En el estado I (Fig.2.37a) la viga es sometida a la carga exterior q, y las reacciones en los apoyos se introducen en las secciones extremas como fuerzas cortantes verticales (V1 en el apoyo 1) que generan, a su vez, dos fuerzas cortantes horizontales autoequilibradas, una en cada vuelo del ala (H1 en el apoyo 1). Se aísla el ala de estudio y se toma una rebanada ABCD. El equilibrio de fuerzas longitudinales en la rebanada permite deducir la conocida expresión del rasante (E.2.5) y el equilibrio transversal conduce a expresar una tracción directa en función de las características mecánicas de la sección y de la carga q exterior:

( ) ( )x4

x wfyI q

bbI

SN ⋅−

⋅= E.2.49

con el significado de Sf, I igual que en E.2.43. Las fuerzas H1 y H2 se deducen mediante el equilibrio con la resultante de NyI(x) en toda la longitud de la viga. En el estado II (Fig.2.37b) la viga es sometida únicamente un sistema de fuerzas cortantes horizontales opuestas a las del estado I, restituyendo así a la viga a su estado original. Ahora se trata de un problema de elasticidad plana en el ala, sin embargo, al tratarse de una configuración conocida, los autores conocen la forma de la solución, por lo que proponen directamente una fórmula aproximada para el axil transversal. Para el extremo 1 de la viga la fórmula resulta:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅⋅π

⋅=π

bbHN b xe2x

x -1yII cos E.2.50

El axil NyII(x) se anula en x=3b/2 y a partir de dicha distancia presenta valores muy pequeños.



(a) (b)

Fig.2.37. Descomposición del problema en dos estados de carga: (a) Estado I; (b) Estado II. La expresión final del axil transversal es suma de E.2.49 y E.2.50. La aplicación al caso común de carga uniformemente repartida q conduce a la expresión:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅⋅π

−⋅⋅−

⋅=π

bbLq

bbI

SN b xe14

xx -wf

y cos para 0 ≤ x ≤ L/2 E.2.51

La representación de la ecuación E.2.51 obtiene resultados bastante ajustados a los obtenidos por Razaqpur y Ghali (1984) [15] mediante elementos finitos. Para cargas puntuales, dado que en realidad es un concepto puramente teórico, Jaeger y Bakht sugieren que sean sustituidas por una serie de armónicos. A efectos prácticos proponen usar el primer término de la serie, que se utilizaría para formular el axil del estado I. Para cargas realistas de vehículos encontraron que el axil máximo de tracción raramente supera dos veces el axil promedio, por lo que para estimar la máxima tensión de tracción para cualquier sistema de cargas recomiendan proceder del siguiente modo: (1) La intensidad media de carga Q por unidad de longitud de la viga se evalúa dividiendo la

carga total entre la luz de vano. (2) El axil de tracción promedio se expresa:

Qbb

ISN ⋅

−⋅=

4wf

yp E.2.52

(3) El axil de tracción máximo se localiza aproximadamente en la sección donde se produce la máxima intensidad de la carga exterior:

ypymáx 2 NN ⋅≈ E.2.53 El valor promedio propuesto en E.2.52 resulta inferior al de la expresión E.2.46, pero esto se debe a que es un valor exacto según las hipótesis de Jaeger y Bakht, mientras que Razaqpur y Ghali (1984) [15] trataron de proporcionar un valor práctico conservador, que cubriese la mayoría de casos habituales de la relación de aspecto del ala. Jaeger y Bakht advierten que la aplicación de la formulación para el axil transversal sólo es válida para alas exentas, ya que en alas interiores comprendidas entre dos vigas o dos almas, estos elementos ofrecen una coacción que reduce el desarrollo de estas tracciones.



2.3.3.1.4 Distribuciones plásticas Existen propuestas de distribuciones plásticas para el esfuerzo axil transversal sobre la junta de unión de las alas y el alma, conjuntamente con el esfuerzo rasante, pero no responden directamente al esquema de carga de la viga, sino que se proponen para tramos de ala comprendidos entre la sección de máximo momento y la sección de momento nulo. Estas propuestas forman parte de métodos desarrollados para el análisis resistente de las alas frente a rasante, en los que se plantea el equilibrio del tramo de ala estudiado. El equilibrio transversal se consigue mediante compresiones en el hormigón y tracciones en la armadura transversal, y el equilibrio de momentos estableciendo una excentricidad entre ambas resultantes. Estas propuestas quedan descritas en el apartado 2.4.2 relativo a métodos de diseño. En concreto se trata de las distribuciones planteadas por Regan y Placas (1970) [19] (Fig.2.66b), Petersen y Lyhne (1975) (Fig.2.67a), Morley y Rajendran (1975) [22] (Fig.2.68 y Fig.2.69a), Domingues (1981) (Fig.2.67b) y Tizatto (1987) [26] (Fig.2.71). 2.3.3.1.5 Conclusiones Se pueden señalar tres formas de reproducir el axil transversal en el plano vertical de unión del ala con el alma de una viga en T o asimilable:

— Mediante elasticidad plana resuelta por elementos finitos o por aproximaciones teóricas. — Mediante bielas y tirantes. — Mediante distribuciones plásticas utilizadas en modelos de campos de compresiones.

Las dos últimas opciones se emplean para comprobaciones resistentes, por lo que describen una situación diferente a la contemplada en la primera opción, la cual permite entender el funcionamiento de la viga en estados de servicio. La primera opción ha sido empleada por algunos autores para propuestas de diseño de la armadura (Razaqpur y Ghali 1986 [37]; Páez y Díaz del Valle 1992 [6]) no obstante, otros autores sostienen que la magnitud de este esfuerzo es pequeña en relación al rasante y puede obviarse ya que resulta cubierto por la armadura transversal mínima (Murcia et al. 1993 [39], Jaeger y Bakht 2001 [27]) o con la deducida teniendo en cuenta sólo el rasante. A pesar de la escasa entidad del axil transversal fue utilizado por Regan y Placas (1970) [19] para justificar la rotura de alas sin armadura transversal en vigas solicitadas por cargas puntuales, y Jaeger y Bakht (2001) [27] sugirieron que se reconsiderara este esfuerzo en la revisión de las especificaciones de puentes. En este sentido el axil transversal debería ser incluido en los estudios de fisuración longitudinal, la cual constituye uno de los mecanismos de daño más importante de los tableros de hormigón. En Xanthakos (1994) [49] se reúne información sobre este tema, asociando tableros sometidos a cargas puntuales severas con los que presentan mayor fisuración longitudinal. 2.3.3.2 Flexión transversal del ala por curvatura de la viga La curvatura que adquiere una viga en T al deformarse, cuando es solicitada por cargas gravitatorias, induce una flexión transversal en el ala debido al cambio de dirección que sufren las tensiones normales que se desarrollan en ella. El fenómeno se conoce como flange curling en el diseño de perfiles metálicos conformados en frío o perfiles de chapa plegada y fue estudiado originalmente por Winter (1940) [99]. Ocurre en alas inusualmente anchas y delgadas, la parte



del ala más alejada del alma tiende a flectar hacia el eje neutro de la viga (Fig.2.38b). En general, no es un factor crítico que limite el ancho del ala, aunque debe controlarse en el caso de que la apariencia de la sección sea importante [100].

T

M fC

f

T

MC

(a) (b)

f

f

deformación ala

eje neutro

deformación ala

Fig.2.38. Flange curling en perfil metálico: (a) alzado lateral de una rebanada de viga; (b) sección transversal. f es una carga exterior equivalente del fenómeno. Adaptado de [99].

Este fenómeno no ha recibido apenas atención en vigas de hormigón. En ensayos experimentales realizados en vigas en T para el estudio de la resistencia de la alas frente a rasante, Domingues (1981) identificó el flange curling como un factor que contribuyó en la rotura de una de las vigas. Se trataba de una viga simplemente apoyada solicitada por dos cargas puntuales aplicadas sobre el alma, con un esquema similar al de la Fig.2.10, y en la que el armado transversal del ala se había concentrado en los extremos sobre los apoyos. De este modo, la zona central, donde se aplicaban las cargas concentradas, carecía de armado transversal. Regan (1982) [24] anotó que la deformación por flexión transversal de las alas de hormigón, incluso sin estar cargadas directamente, era un fenómeno apreciable en muchos ensayos. No obstante no lo consideró un efecto importante. Según la Fig.2.39 la fuerza vertical por unidad de longitud que aparece en el arranque del ala comprimida debido a la curvatura es:

rf

vNf = E.2.54

en donde Nf es la resultante de compresiones en el vuelo del ala, y 1/r es la curvatura por flexión longitudinal de la viga. En el supuesto de que la resultante en el ala se distribuya uniformemente en el ancho eficaz bef, el momento transversal por unidad de longitud en la junta es:

2reff

vbNm ⋅= E.2.55

2

fN

fN

efb

vf

vm

r

Δ

θ

θ

ΔfNvF = r

Δ ·2vF

fN fN

Fig.2.39. Flexión transversal inducida por curvatura [24].



Regan (1982) [24] sugirió el cálculo del momento transversal con la curvatura correspondiente a la plastificación de las armaduras longitudinales de flexión de la viga, y su uso para determinar una armadura transversal extra en el ala. Obviamente esta armadura adicional se distribuiría en el entorno de las secciones críticas, en donde se espera la máxima curvatura por flexión longitudinal. Badawy y Bachmann (1977) [29] sugirieron una armadura mínima entre el 0,10 y 0,15% en cada una de las capas de armadura transversal del ala, superior e inferior, y este aspecto fue señalado por Razaqpur y Ghali (1986) [37] para resistir momentos secundarios transversales, de difícil determinación, diferentes a los proporcionados por cargas gravitatorias extendidas sobre las alas, y que se localizan en las posiciones de cargas concentradas y reacciones de apoyos. 2.3.3.3 Flexión transversal del ala por cargas exteriores Otros esfuerzos que pueden actuar combinadamente con el rasante son los correspondientes a la flexión transversal del ala debido a la actuación directa de cargas exteriores en ella. A diferencia del esfuerzo axil concomitante con el rasante (v. 2.3.3.1) la flexión transversal sí está contemplada en las normas de hormigón como esfuerzo a considerar junto con el rasante para dimensionar la armadura del ala. El modelo viga clásico sólo resuelve el trabajo longitudinal de las secciones transversales de la viga y el trabajo frente a rasante, así que la valoración de estos esfuerzos requiere un análisis particular. Esta disociación de esfuerzos obedece a la sencillez del modelo estructural utilizado. En el análisis de tableros de puentes esta disociación entra dentro de lo que se denomina como análisis de esfuerzos locales, los cuales se han calculado clásicamente utilizando la teoría de placas delgadas. De este modo el ala de una viga en T puede ser tratada como una placa empotrada en su unión con el alma. Las cargas puntuales o concentradas en áreas pequeñas requieren la aplicación de métodos derivados de la teoría de placas (fórmulas analíticas, tablas y ábacos, o superficies de influencia), mientras que las cargas repartidas normalmente pueden ser tratadas mediante un cálculo de la sección transversal asimilada como una estructura plana intraslacional [101]. En la obra de Stiglat y Wippel (1968) [ 102 ] se proporciona la solución elástica de numerosos casos de placas apoyadas, resueltos mediante el método de diferencias finitas. Como obra más reciente y completa puede consultarse a Szilard (2004) [103], quien dedica 1036 páginas a revisar las teorías clásicas de placas y los métodos numéricos y soluciones prácticas para ingeniería. En general, las alas de vigas en T o asimilables no disponen de una geometría complicada, se pueden tratar como placas rectangulares de longitud infinita para las que existen soluciones en las referencias citadas. El caso más sencillo es el de vigas en T de alas exentas y con cargas repartidas longitudinalmente, en cuyo caso el tratamiento del ala es directamente como el de una viga en voladizo de ancho unitario. De esta forma procedieron los diversos autores [19,26,29,30] citados en el apartado 2.2.1. 2.3.3.4 Efecto arco en tableros multivigas Este esfuerzo es inexistente en vigas aisladas en donde las alas están exentas, por lo que no será tratado en profundidad. Únicamente hay que citar que en el caso de tableros multivigas, en los tramos de losa entre vigas, aparece un esfuerzo transversal adicional en el encuentro de la losa con las vigas, debido a la presencia de cargas verticales aplicadas sobre la losa, y que suele



denominarse efecto arco o acción membrana de compresión. Los principales factores determinantes del fenómeno son la coacción lateral que las vigas longitudinales ejercen sobre la losa y una alta relación entre la separación entre vigas y el canto de la losa. Produce un efecto favorable, habiendo sido utilizado en Canadá desde los años 90 para diseñar tableros de puentes multiviga reduciendo o eliminando la armadura transversal convencional de la losa. Más información puede encontrarse en [104,105,106,107,108,109]. 2.3.4 Método de bielas y tirantes El método de bielas y tirantes se aplica principalmente para el dimensionamiento de la armadura en zonas de la estructura o en piezas en donde se produce una distribución compleja de deformaciones (regiones D), sin embargo puede considerarse también como un método de cálculo integral de la estructura, en cuyo caso puede aplicarse para evaluar el rasante solicitante ala–alma de una viga en T o asimilable. En este apartado se comentan los aspectos generales del método de bielas y tirantes y los relativos a los modelos habituales propuestos para el rasante. Los criterios resistentes y de comprobación se tratan más adelante en el apartado 2.4.1.1. 2.3.4.1 Generalidades A finales de los años 80 los códigos de diseño de estructuras de hormigón se limitaban a dar reglas de diseño para elementos con distribuciones lineales de deformaciones (regiones B) y carecían de un método general para regiones D, aunque de forma implícita existían criterios de diseño propios del método de bielas y tirantes para elementos como ménsulas cortas o zapatas rígidas. Schäfer et al. (1991) [110] señalaron la necesidad urgente de que los códigos de diseño dispusieran de un método para regiones D, ya que estas regiones más complicadas eran en donde a menudo se concentraban los daños de la estructura. El Código Modelo 1990 [33] se redactó con este enfoque, teniendo en consideración el texto de Schlaich et al. (1987) [111], referenciado como un primer tratado general del método. Desde entonces, los distintos códigos han ido incorporando progresivamente el método de bielas y tirantes en su texto, enunciando la teoría básica y su forma de aplicación. EHE [1] lo incorporó de esta forma por primera vez en su primera versión de 1998, considerándolo como un método válido para el estudio de zonas o regiones de discontinuidad y como el método general de cálculo frente a solicitaciones tangentes. El EC2 [4], aunque indicó la validez del método en su primera versión de 1993, no lo enunció de un modo completo hasta su última versión de 2004. Fuera del entorno europeo, AASHTO LRFD Bridge [11] y los códigos canadiense CSA A23.3-04 [96] y CAN/CSA-S6-06 [12] incorporaron el método en los años 90, y ACI-318 [10] lo incluyó en su versión 2002, por primera vez, como un apéndice para solucionar problemas en donde el diseño seccional clásico no era posible, y actualmente, en la reciente versión de 2014, ha pasado a ocupar el capítulo 23 completo. El código japonés JSCE/SSCS (2010) [13] también dedica una parte completa al método dentro de su segundo bloque dedicado a métodos estándar. Paralelamente fueron publicándose diferentes obras que reflejan la creciente importancia que con el tiempo se le ha ido dando al método como herramienta práctica de diseño, pudiendo citarse, entre otros, a Bergmeister et al. (1993) [112], FIP (1999) [97], ACI SP-208 (2002) [113], ACHE (2003) [114], Martin y Sanders (2007) [115], Miguel et al. (2009) [116], Williams et al. (2012) [117]. El método se basa en visualizar el funcionamiento de una estructura de hormigón armado, o una parte de ella, sometida a una distribución concreta de cargas, como una celosía de barras



articuladas que resume el flujo de tensiones principales correspondientes a la situación fisurada en agotamiento, lo que permite aplicar el teorema del límite inferior de plasticidad y concluir si la celosía propuesta constituye una solución segura para la situación estudiada. La principal aplicación práctica es la posibilidad de diseñar la armadura y de comprobar las tensiones de compresión en el hormigón. En cualquiera de las normas y obras citadas puede consultarse la metodología a seguir. Una particularidad del método es que pueden plantearse diversos modelos de bielas y tirantes para un mismo problema, que satisfagan las condiciones de equilibrio y de resistencia. Schlaich et al. (1987) [111] dieron como criterio práctico para escoger el mejor de ellos aquel que presentase el menor número de tirantes y los más cortos. Existen, no obstante, propuestas más elaboradas como la reciente de Lourenço y Almeida (2013) [118,119], basada en el uso de modelos adaptativos de campos de tensiones. En consecuencia un modelo de bielas y tirantes podría predecir la carga última real sin gran precisión. Hagberg (1983) [120] estudió más de 200 ménsulas cortas ensayadas por otros autores, obteniendo una relación media entorno a 1,2 entre la resistencia experimental y la calculada. Ese valor es aceptable, pero en modelos complejos pueden cometerse errores notables. Ley et al. (2007) [121] llegaron a obtener una relación superior a 2 en algunos modelos de viga de gran canto isostática con hueco. Garber et al. (2014) [122] obtuvieron relaciones entre 1,4 y 1,8 en vigas de gran canto hiperestáticas con tres huecos. Convencionalmente los modelos de bielas y tirantes suponen un comportamiento plástico perfecto de sus elementos y que la estructura tiene suficiente ductilidad para acomodarse a cualquier redistribución de fuerzas, en consecuencia, no se garantiza la compatibilidad de deformaciones, la limitación de la fisuración o la limitación de las rotaciones plásticas [7]. La compatibilidad de deformaciones no es necesaria plantearla para el cálculo de fuerzas internas en un modelo isostático, ni se requiere conocer la rigidez de sus elementos constituyentes, sin embargo, existen ocasiones en las que un modelo hiperestático describe mejor un mecanismo complejo de transmisión de fuerzas, en cuyo caso las fuerzas en las bielas y tirantes varía dependiendo de la deformación inelástica y de la rigidez de sus elementos [123]. En este caso existen dos soluciones prácticas [124]: el método de la celosía plástica en el que los tirantes más solicitados se suponen conocidos y plastificados; y la superposición de modelos isostáticos asignando un porcentaje de la carga a cada uno. En ambos casos se requiere buen juicio y experiencia en estimar aquella información que se desconoce. Puede procederse también con soluciones más elaboradas como aplicar el método de la rigidez secante (Eom y Park 2010 [125]; Kassem 2015 [126]) o realizar un análisis no lineal (Yun 2000 [127]; Yun y Cho 2005 [128]; Hwang y Lee 2000-2002 [129,130]; To 2005 [131]; Salem y Maekawa 2006 [132]; Breña y Morrison 2007 [133]), en donde la rigidez de los elementos queda definida con la elección de áreas resistentes y el uso de leyes constitutivas no lineales. La compatibilidad de deformaciones y la estimación de la rigidez en los elementos también es necesaria si se pretende emplear el modelo de bielas y tirantes para comprobaciones en servicio. Aunque clásicamente el método se había planteado para el análisis resistente, el tratamiento consistente dado al método por Schlaich et al. (1987) [111] incluyó la posibilidad del análisis en servicio en estado fisurado. Para ello, los autores señalaron la importancia de orientar el modelo según la teoría de la elasticidad lineal en hormigón no fisurado, sugirieron que las deformaciones podrían estimarse del lado de la seguridad realizando un análisis elástico lineal de la celosía de barras, y que si a los tirantes se les asignaba el área eficaz de hormigón considerada en la formulación del ancho de fisura, también podría comprobarse este estado límite de servicio.



Actualmente las normas recogen esta posibilidad pero sin entrar en detalles, aunque todas coinciden en la condición de la orientación del modelo según la solución elástica. EC2 (2004) [4] lo recoge genéricamente en sus párrafos 5.6.4(2) y 7.3.1(8), y como detalle para el control indirecto de la fisuración en las zonas de anclaje de piezas postesadas, en 8.10.3(4) establece una limitación de la tensión en la armadura para evitar la comprobación del ancho de fisura, 300MPa en general y 250MPa en puentes [38]. El Código Modelo 2010 [3] apenas menciona esta posibilidad en su apartado general 7.2.2 de modelización estructural. EHE (2008) [1] simplemente anota que una región D diseñada con bielas y tirantes funcionará bien en servicio si se la armadura se orienta según el campo de tensiones de tracción, en la medida de lo posible, y si se limita la deformación máxima de los tirantes en ELU (2‰ en los comentarios del art.40.2). La norma que va un poco más lejos es ACI-318 [10], desde su primera versión en 2002, en su comentario RA.2.1, sugiere el cálculo de deformaciones y control de fisuración en vigas de gran canto y en elementos típicamente estudiados con bielas y tirantes; y para fisuración propone un área eficaz del tirante. 2.3.4.2 Aplicación al rasante de alas de vigas en T El problema del rasante alas-alma de una viga en T, o asimilable, es abordable por el método de bielas y así está planteado en las normas europeas. Permite dimensionar la armadura transversal del ala y verificar las tensiones en el hormigón, pero no necesariamente se utiliza para evaluar el esfuerzo rasante, ello depende del alcance del modelo. Puede distinguir dos casos:

— Modelo completo o global, con el que se busca una estructura reticulada que modelice tanto las alas como el alma de la viga, con celosías adecuadamente conectadas, cuyo análisis permite evaluar el esfuerzo rasante; y

— Modelo parcial o combinado, con el que únicamente se plantea una celosía para el ala, solicitada por esfuerzos que se han obtenido mediante el modelo viga.

2.3.4.2.1 Modelo global o completo El modelo global o completo consiste en buscar una analogía de celosía que represente a la totalidad de la viga, tanto sus regiones D como sus regiones B, resultando una celosía espacial. Para obtener este modelo en una viga en doble T se parte de la celosía plana clásica asignada al alma, con la configuración correspondiente al sistema de carga estudiado, y se sustituye cada cordón longitudinal, que representa la totalidad del ala comprimida o traccionada, por un juego de cordones paralelos que se unen al alma a través de bielas inclinadas y tirantes perpendiculares a ella. Habitualmente se emplean dos cordones paralelos, cada uno representa el ala situada a cada lado del alma. La Fig.2.40 ilustra el caso de una viga simplemente apoyada con carga puntual en centro luz. En los esquemas en planta del ala superior e inferior, las bielas inclinadas del alma no se representan sino sólo su efecto mediante la proyección sobre el plano de la fuerza de compresión que desarrollan. Cada tirante transversal conecta los dos cordones paralelos cuya fuerza es desviada parcialmente, en una cantidad ΔF, hacia el alma mediante un par de bielas inclinadas. El tirante representa un tramo longitudinal del ala, Δx, y el esfuerzo rasante puede calcularse entonces con la expresión E.2.1. La simplicidad conduce a adoptar valores constantes para los diferentes ángulos de inclinación de las bielas y la celosía planteada, gracias a la simetría, es isostática así que, en el caso de la Fig.2.40, el esfuerzo rasante en un ala resulta constante:

2θ

Δ1

ΔΔ

wF

xxFS ⋅⋅== cotg E.2.56



El tramo longitudinal Δx que abarca cada tirante queda establecido a partir de la altura z escogida para la celosía y del ángulo de inclinación de las bielas del alma: Δx = z·cotgθw. El valor correcto para z debe ser el brazo mecánico de la viga, que puede obtenerse de un análisis seccional en centro de vano, aunque siguiendo la norma de la sencillez, puede escogerse el valor aproximado para flexión simple 0,9d o localizar el cordón comprimido en el c.d.g. del ala y el cordón traccionado en el c.d.g. de la armadura longitudinal de tracción. La sustitución de Δx en E.2.56 nos lleva a la expresión más sencilla que se puede obtener para el esfuerzo rasante, correspondiente al caso de carga puntual en centro de vano isostático:

zFS

2= E.2.57

(a) (b)

2F

ΔxFθfs

θw

θfi

F

z

Δx

Fig.2.40. Modelo global en viga en doble T solicitada por una carga puntual: (a) visualización 3D de un extremo de la viga; (b) vistas en alzado de la viga y en planta de cada ala.

Recordando ahora la evaluación del rasante mediante el modelo viga tradicional (2.3.1.3), a esta expresión se puede llegar de igual modo empleando la ecuación E.2.14 y el factor de transferencia β en su forma más simplificada (E.2.16), despreciando además el ancho del alma frente al ancho total del ala:

zV

bbb

zVS ⋅

−≈⋅β=

2w y con bw ≈ 0 resulta

zVS2

=

que es igual a la expresión E.2.24 ya que la reacción F se corresponde con el valor del cortante vertical V en el tramo comprendido entre el apoyo y la sección de aplicación de la carga. De modo análogo puede razonarse para el ala traccionada, en donde el factor de transferencia β se expresaría en función del área de las armaduras longitudinales (E.2.21). Este modelo de bielas y tirantes, consistente en sustituir el ala completa por dos cordones paralelos, asume la simplificación de despreciar la parte común alas–alma, de modo que sobrevalora el esfuerzo rasante, tanto más cuanto menor sea la relación de anchuras entre el ala y el alma. El modelo puede refinarse incorporando un tercer cordón longitudinal, por ejemplo, según se ilustra en la Fig.2.41 para el caso de una viga en T con el ala superior comprimida, sin embargo, este segundo modelo tiene el inconveniente frente al primero de que interiormente no es estáticamente determinado y, por tanto, para el cálculo de fuerzas en las barras debe hacerse una suposición de rigideces en bielas y tirantes, lo cual, no está exento de imprecisión.



(a)

2F

ΔxFθfs

θw

F

z

(a) alzado de viga y planta del ala con 3 cordones comprimidos;

(b) modelo de 3 cordones comprimidos;

(c) descomposición en dos celosías

(b)

σc

σs

2F

z

bw

(c)

Fb ·2w Fb ·2w

CELOSÍA ESPACIAL CELOSÍA PLANA

= +

Fig.2.41. Modelo que considera la contribución del área común alas–alma. La forma sencilla de resolver el problema consiste en preasignar qué porción de la cabeza comprimida corresponde a cada cordón y en resolver la celosía descomponiéndola en otras dos celosías, una espacial y otra plana, que se superponen como se indica en Fig.2.41c. El reparto puede concluirse a partir de un análisis seccional en rotura para centro de vano o bien, simplificadamente, repartir proporcionalmente a la anchura de alas y alma, que es como se ha representado en la Fig.2.41c. En este caso, la celosía espacial permite evaluar el rasante en un ala comprimida con la siguiente expresión simplificada:

zF

bbb

S2

w ⋅−

≈ E.2.58

En el caso de un ala traccionada se reparte según las armaduras longitudinales que caen dentro del alma y en las alas. Como puede observarse, el modelo de bielas y tirantes puede refinarse y obtener un resultado para el esfuerzo rasante muy parecido al obtenido mediante el modelo viga. Para carga puntual se obtiene un rasante constante y para carga repartida puede obtenerse fácilmente una variación escalonada del rasante que sigue una ley lineal, de modo análogo a como se obtendría con el modelo viga. En este caso, la carga uniforme debe descomponerse en cargas puntuales aplicadas en los nudos de la celosía. Falta añadir que la posición en planta de los cordones que modelizan las alas se ha de corresponder con la línea resultante de las tensiones longitudinales en el ala. Aceptando una distribución uniforme de tensiones según el ancho del ala y según su espesor la línea de paso se corresponde con el c.d.g. de la sección transversal del ala. Esto significa aceptar una distribución plástica de tensiones así como emplear el ancho eficaz del ala, en el caso de que presente un ancho real excesivamente grande, acusando deformabilidad frente al rasante (v. 2.3.2). La solución práctica es adoptar cordones paralelos pero no deja de ser una aproximación, especialmente válida en alas de espesor constante en situación de agotamiento y con ancho real pequeño o moderado para no acusar arrastre de cortante.



Como antecedentes del empleo del modelo global, Leonhardt (1970) es citado [15] como el primer autor en aplicar bielas y tirantes al estudio del rasante en vigas en T, con ala comprimida, estableciendo un valor de 45º para la inclinación de las bielas tanto en el ala como en el alma, sin contrastar experimentalmente. Badawy y Bachmann (1977) [29] sí que ensayaron vigas en T sometida a flexión positiva (ala comprimida), utilizando también un modelo global con inclinaciones de 45º para las bielas del alma y un valor ajustado empíricamente entre 22º y 26,5º para las bielas del ala, dependiendo de si se aceptaba que la armadura transversal plastificara o no antes de agotar la resistencia a flexión o corte de la viga, respectivamente. Bacchetta y Bachmann (1979) [31] hicieron lo propio para flexión negativa (ala traccionada), ajustando el ángulo de las bielas del ala traccionada en 26,5º o 31º. Parte de estas propuestas tuvieron reflejo en la obra de puentes de viga en cajón de Schlaich y Scheef (1982) [134], quienes ilustraron los apoyos extremos e internos de una viga en cajón con un modelo global, implicando losa superior, almas y losa inferior. Pero como texto importante de referencia, hay que citar al Código Modelo CM-90 (1990) [33], que cambió el tratamiento del rasante respecto de su versión previa de 1978. El CM-90 proporcionó el esquema básico de la Fig.2.42 para el caso más sencillo de viga en doble T isostática sometida a flexión positiva por carga puntual, la figura sugiere la libertad de escoger unos ángulos variables de inclinación de las bielas en el alma y alas, para acomodarse a la geometría del problema. La EHE [1] incorporó en su primera edición de 1998 otras figuras más generales (Fig.2.43), en donde propuso una celosía global para un tramo genérico correspondiente a un apoyo interior, existiendo una zona de cambio del signo de flexión y cambio, por lo tanto, en la forma de trabajo del ala de estudio. Las alas presentan una inclinación de bielas constante e igual a 45º. Como dato curioso, en Norteamérica diseñan el rasante con un modelo de transferencia a corte (ACI-318-11 [10], AASHTO LRFD Bridge [11], CAN/CSA-S6-06 [12]), y todas las guías de aplicación de bielas y tirantes referenciadas previamente [113,115,117] carecen de ejemplos del rasante en vigas en T, aunque, como excepción, puede encontrarse este tratamiento en un libro general de Wight y MacGregor (2012) [135], titulado Reinforced Concrete Mechanics & Design.

(a)

(b)

(c)

Fig.2.42. Modelo global de bielas y tirantes sugerido por CM-90 para una viga en I:

(a) ala comprimida; (b) alma; (c) ala traccionada. Adaptada de CM-90 [33].



Fig.2.43. Modelo global de bielas y tirantes sugerido por EHE (1998) [1].

2.3.4.2.2 Modelo parcial o combinado La aplicación del modelo de bielas y tirantes de una forma parcial o combinada va enfocada directamente al dimensionamiento y comprobación del ala, no al cálculo del esfuerzo rasante, ya que para proceder de este modo se debe tener calculado el rasante mediante otro método, normalmente, el modelo viga. Dado el extenso uso del modelo viga, este modelo parcial es más empleado que el modelo global. En este caso, escogido un tramo Δx en la viga, con las indicaciones anotadas en 2.3.1.4.1, se plantea en el trozo de ala estudiado una celosía análoga a la empleada para el modelo global, solo que ahora ya no hay conexión con una celosía para el alma. En la Fig.2.44 se representa el modelo parcial más sencillo para el caso de un ala comprimida, en donde el ancho eficaz del ala y la longitud Δx e inclinación θf escogida conduce a establecer tres tirantes con sus correspondientes tres bielas. La tensión tangencial τs se supone uniformemente distribuida, así como la compresión inclinada σc en cada biela, y el trabajo de los tirantes resulta uniforme también.

bef

hf

Δx

θfΔF+FF

τs

Δx

3T3

C

3T3

C

3T3

C

ΔF+FF σc σc σc

Fig.2.44. Modelo parcial de bielas y tirantes en el caso de ala comprimida.



El resultado es análogo al obtenido con un modelo global pero pueden haber diferencias en función de las aproximaciones que se efectúen en el cálculo de la resultante F. Si se realiza un análisis seccional exacto se está en condiciones de no incluir en F la parte correspondiente al área común alma-alas (Acwf de Fig.2.45a), ni tampoco, en el caso de que la fibra neutra caiga en el alma, la parte correspondiente al alma (Acw de Fig.2.45b).

(a)

cwf σc

σs

(b)

cwf σc

σs

cwA

Acwf = área comprimida común alma-alas.

Acw = área comprimida sólo del alma.

Fig.2.45. Áreas no contabilizadas en el cálculo de la resultante de compresiones F: (a) caso de fibra neutra en el ala; (b) caso de fibra neutra en el alma.

(a) (b)

Fig.2.46. Modelo de tres cordones paralelos en el ala: (a) ala comprimida; (b) ala traccionada. Adaptado de Leonhardt (1973) [34].

Esta forma de proceder puede observarse en la famosa obra académica de seis volúmenes de estructuras de hormigón que Leonhardt comenzó a publicar en 1973, obra de gran importancia y de extenso uso en las escuelas de ingeniería, con varias ediciones y traducción al castellano en 1984. En su primer tomo, Leonhardt [34] utilizó un ejemplo consistente en plantear tres cordones paralelos en cada ala, que repartían uniformemente la resultante de tensiones normales, lo que obliga a tener establecido previamente el ancho eficaz. Al emplear tres cordones paralelos densificó también la celosía de bielas inclinadas y tirantes pero, aunque se entrecruzaban varias veces, superpuso celosías estáticamente determinadas (Fig.2.46). Fijó en 45º el ángulo de inclinación de las bielas. El esfuerzo rasante lo formuló con la expresión E.2.14 y empleó como factor de transferencia β las expresiones más sencillas de Tabla 2.6 y Tabla 2.7 (E.2.16 y E.2.21). Las normas incorporaron más tarde el estudio del rasante con bielas y tirantes. El tratamiento parcial puede observarse en la primera versión del EC2 (1991) [4], aunque en la propuesta de la resistencia por agotamiento de los tirantes, deducida para un ángulo de inclinación de las bielas de 45º, todavía incluía un término de resistencia a corte del hormigón.



2.3.4.2.3 Esfuerzos internos en las alas Una vez planteado y resuelto un modelo de bielas y tirantes, ya sea global o parcial, es interesante expresar los esfuerzos internos del ala en función del rasante y de los parámetros intervinientes. Para ello es necesaria la Fig.2.47 en donde se representa un tramo de celosía para ala comprimida y ala traccionada. En la Fig.2.47b se escoge a un tirante que desarrolla una tracción T para desviar una fuerza longitudinal ΔF del ala situada a la derecha del alma. El tirante representa al campo de tracciones transversal de anchura Δx. En la Fig.2.47c se aísla a la biela inclinada correspondiente al tirante, y que desarrolla una compresión C. ΔF es la variación de fuerza en el cordón longitudinal desarrollada en un tramo Δx de la viga.

bef

hf

ΔF+FF

Δx

C T

τs

(c)(b)(a)

θf

T

ΔF+FF

C

Δx

θf

bef

hf

Δx

C

θf

C

Δx

θf

τs

σc

σc

Fig.2.47. Esfuerzos internos en las alas: (a) sección transversal del ala; (b) modelo de bielas y tirantes

en planta del ala; (c) detalle de una biela inclinada. El esfuerzo rasante S es la relación ΔF/Δx (E.2.1), aunque normalmente se maneja un valor medio de la tensión rasante τs, suponiendo que se distribuye uniformemente según el espesor del ala hf. Las expresiones que se obtienen para el trabajo de los tirantes transversales y de las bielas inclinadas de las alas son inmediatas, pudiéndolas expresar en función de la tensión rasante:

— Tensión rasante media: xF

hhS

ΔΔ

⋅==τff

s1 E.2.59

— Tracción en el tirante transversal: xhFT Δθ

τθ

Δ

f

fs

f⋅

⋅==

cotg cotg E.2.60

— Compresión en la biela inclinada: xhFC Δθ

τθ

Δ

f

fs

f⋅

⋅==

coscos E.2.61

Las limitaciones resistentes se establecen habitualmente en términos de tensión (v. 2.4.1.1) por lo que resta expresar así el trabajo del tirante transversal y el de la biela inclinada. Para el tirante se supone una armadura transversal Asf dispuesta con una separación sf, que trabaja a un valor de la tensión σsf. Mediante el uso de E.2.60 puede anotarse:

f

fssf

f

sf

θτ

Δσ

cotgh

xT

sA ⋅

==⋅ E.2.62



La disposición de una armadura transversal inclinada es posible, pero constructivamente implica mayor trabajo y sería una armadura poco eficaz para la existencia de flexión transversal en el ala. En el caso de la biela, el ancho en que se reparten uniformemente las compresiones producidas por C es Δx·senθf. Utilizando E.2.61 puede expresarse la tensión de compresión en la biela en función de la tensión rasante:

ff

s

ffc θθ

τθΔ

σcossensen

=⋅⋅

=xhC E.2.63

2.3.5 Método de los campos de tensiones El método de los campos de tensiones comparte conceptos con el método de bielas y tirantes pero tiene un origen distinto. Mientras que el método de bielas y tirantes se originó de una manera intuitiva al buscar una analogía con una celosía de elementos comprimidos y traccionados, sin base teórica hasta la formalización del método por Schlaich y Schäfer (1984) [136] y Schlaich et al. (1987) [111], el método de los campos de tensiones fue desarrollado como una aplicación directa de la teoría de la plasticidad [ 137 , 138 ]. Dos obras importantes de referencia, y que se mantienen vigentes actualmente, son el libro general de Análisis Límite y Plasticidad del Hormigón de Nielsen y Hoang (2010) [139], publicado originalmente en 1984, y el tratado más específico de Muttoni et al. (2006) [140], que es una traducción y ampliación del original de 1988. Dentro de la teoría de la plasticidad se enuncia el teorema del límite inferior que establece que todo sistema de cargas en equilibrio con un campo de tensiones que satisface la condición estática de plasticidad, es un límite inferior de la carga de rotura. La aplicación práctica de este teorema es fácilmente visualizable en elementos o regiones D bidimensionales, en donde se trata de establecer áreas cuyo campo tensional (función que proporciona el estado tensional en cada punto) sea sencillo formular y esté en equilibrio con las cargas en su contorno, que pueden provenir de las áreas adyacentes y de las cargas exteriores. Estas áreas reciben el nombre de campos de tensiones. A su vez, el conjunto de todos los campos de tensiones ha de cumplir el equilibrio global. El método trabaja así con tensiones, a diferencia del método de bielas y tirantes que trabaja con resultantes, y la condición de agotamiento se establece a nivel tensional. En cualquier punto del campo de tensiones la tensión ha de ser igual o inferior a la tensión de plastificación. Clásicamente se utiliza la respuesta rígido-plástica y ello permite establecer líneas de discontinuidad, que se definen como curvas que delimitan regiones dentro de un cuerpo, a lo largo de las cuales pueden producirse saltos (discontinuidades) en el valor de las tensiones paralelas a uno y otro lado de las mismas, debiendo ser iguales sus tensiones normales y tangenciales [138]. Sirve de ejemplo la línea BD de la Fig.2.48c, en el lado izquierdo se tiene una compresión uniaxial σr paralela a la línea BD, y en el lado derecho es nula, sin embargo la tensión normal a la línea BD es nula e igual a ambos lados, así como la tensión tangencial. Muttoni y Ruiz (2006) [138] establecen como elementos básicos de un modelo de campos de tensiones los mismos que los establecidos para un modelo de bielas y tirantes, denominándolos exactamente igual: bielas, tirantes y nudos. Las bielas son campos de compresiones uniaxiales que pueden ser rectos o en abanico (Fig.2.48). Otros autores son más genéricos en la designación de los campos de tensiones, llamando bielas a lo que claramente constituye un flujo uniaxial de



tensiones pero utilizando el nombre genérico de campo de tensión cuando la forma geométrica se aleja de la indicada. Un campo sencillo muy versátil lo constituye el campo triangular, que tiene la propiedad de desarrollar un campo homogéneo de tensiones en el caso de que sus bordes estén cargados por tensiones repartidas uniformemente y las fuerzas resultantes guarden equilibrio [139]. Diversos autores, Petersen y Lyhne (1975), Morley y Rajendran (1975) [22] y Domingues (1981), utilizaron los campos de tensiones triangulares homogéneos para formular la capacidad resistente de alas de vigas en T frente a rasante (v. 2.4.2.2.1).

cσ

σc

(a)

σc

σc,máx

(b)

σr

σr

C

A

polo

B

ED

(c)

rσrσ

polo

C

AB

D

(d)

Fig.2.48. Campos de compresión uniaxial: (a) biela recta; (b) abanico centrado; (c) abanico no centrado en viga de gran canto con sección rectangular; (d) ídem con sección en T.

Igual que se ha indicado para el método de bielas y tirantes, un tratamiento íntegro de la viga con campos de tensiones proporciona el rasante solicitante entre ala y alma, pero no constituye una solución exacta del problema, tan solo una aproximación utilizada para plantear un mecanismo resistente válido y del lado seguro. A nivel teórico Muttoni et al. (2006) [140] presentaron los esquemas de la Fig.2.49 correspondientes a un tratamiento íntegro de una viga en I, en donde se representan los campos de tensiones y, aparte, las resultantes de cada elemento de la viga. El problema está resuelto con campos de compresiones uniaxiales. En el alma (Fig.2.49a) los campos de compresión inclinados (con tonos grises y delimitados entre líneas de trazo continuo) conducen la carga al apoyo indirectamente gracias a la presencia de campos de tracción verticales superpuestos (delimitados entre líneas discontinuas), desarrollados por la armadura vertical. En el ala superior comprimida (Fig.2.49c) el desvío de la fuerza longitudinal se realiza progresivamente mediante armadura transversal resultando en una sucesión de bielas inclinadas. La armadura transversal actúa en la línea de discontinuidad existente entre la biela inclinada y el campo de compresión uniaxial longitudinal, y debe ser anclada a partir de dicha línea. El número de bielas inclinadas del ala resulta de las bielas de compresión inclinada adoptadas para el alma. De un modo similar se plantean los campos de tensiones en el ala inferior (Fig.2.49e). Como puede observarse, las resultantes de los campos de tensiones proporcionan esquemas de bielas y tirantes. En el alma el resultado es obvio (Fig.2.49b) y en las alas la diferencia está en que el esfuerzo en la sección de centro de vano se considera repartido en todo el ancho del ala (Fig.2.49d-f) a diferencia de los esquemas de bielas y tirantes representados en la Fig.2.40b, que se concentra en un único cordón en cada ala. Para el funcionamiento correcto de la estructura en servicio Muttoni et al. (2006) [140] recomiendan el control de fisuras críticas mediante un reparto adecuado de armadura, lo que evitaría además la aparición de fisuras anchas que puedan afectar a la resistencia en agotamiento. Para ello sostienen que debe evitarse las bielas rectas o concentradas que se extiendan sobre distancias grandes sin disponer armadura transversal, especialmente cuando el ángulo entre la biela y el tirante de tracción es pequeño. La descomposición de estas bielas rectas en subsistemas de campos triangulares permite el diseño de esta armadura. Como ejemplo ilustrativo incluyeron



también las alas de vigas en T (Fig.2.50), en esta ocasión modelizadas con un solo campo de compresión uniaxial inclinada (Fig.2.50c), adecuado para una menor luz de cortante.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) Fig.2.49. Modelización de una viga en I con campos de tensiones: (a) alzado, campos en el alma; (b)

alzado, resultantes; (c) planta ala superior, campos; (d) planta ala superior, resultantes; (e) planta ala inferior, campos; (f) planta ala inferior, resultantes. Adaptado de Muttoni et al. (2006) [140].



(a) (b) (c) Fig.2.50. Control de fisuración: (a) modelo inicial con biela concentrada; (b) patrón de fisuración; (c)

modelo refinado. Adaptado de Muttoni et al. (2006) [140]. Ruiz y Muttoni (2007) [137] señalaron entre los inconvenientes del método la necesidad de un procedimiento de prueba-y-error y de cierto nivel de experiencia, la dificultad de implementarlo de un modo general y de establecer el valor de la resistencia eficaz del hormigón que contemple el efecto de la fisuración. Aparte, la consideración de material rígido-plástico impide el cálculo de la ductilidad real de la estructura. Para solucionar el proceso de selección de los campos de tensiones plantearon una propuesta de análisis mediante elementos finitos, considerando al hormigón elasto-plástico con un coeficiente de reblandecimiento y a las armaduras perfectamente elásticas en un primer cálculo, para finalmente ser consideradas elasto-plásticas con endurecimiento. Este planteamiento está abierto, no obstante, al desarrollo de algoritmos automáticos de optimización. Recientemente Lourenço y Almeida (2013) [118,119] han utilizado un criterio energético de optimización aplicado a un cálculo no lineal paso-a-paso de estructuras modelizadas con campos de tensiones uniaxiales (tirantes, bielas rectas y en abanico). Aunque estos planteamiento son prometedores, no parece que actualmente eliminen la intervención del ingeniero en la decisión de las características básicas del modelo, así como en su refinamiento. No obstante, al permitir introducir comportamiento no lineal de los materiales, pueden proporcionar una herramienta útil para, por ejemplo, evaluar anchos de fisura, algo que el método básico de los campos de tensiones no proporciona. 2.3.6 Otros métodos más complejos Los métodos tratados hasta ahora para la evaluación del esfuerzo rasante son el modelo viga, el método de bielas y tirantes y el método de los campos de tensiones, los más sencillos que existen y, básicamente, es el modelo viga el que recogen las normas de hormigón estructural sugiriendo alternativamente el método de bielas y tirantes. Otros métodos más complejos pueden emplearse pero su aplicación práctica es reducida y no entran dentro del alcance de la presente tesis su descripción y aplicación, no obstante, pueden citarse algunas obras generales, pero centradas sólo en el campo de las estructuras de hormigón, que recogen esta clase de métodos, como Maekawa et al. (2003) [141], Hsu y Mo (2010) [142] y Kotsovos (2015) [143] y, a un nivel más práctico para diseño, Rombach (2011) [144]. En el caso específico de las vigas de hormigón en T, al parecer, los primeros estudios complejos fueron para resolver el problema de la deformabilidad del ala frente al rasante (v. 2.3.2), combinando la teoría de la elasticidad de vigas (elemento 1D) con la de la elasticidad plana para tratar el ala (elemento 2D), compatibilizándola con la viga y utilizando análisis armónico. Brendel (1960) [18] proporcionó así tablas numéricas para valorar el ancho eficaz.



Posteriormente, autores como Moffatt y Dowling (1972) [45] utilizaron la teoría de la elasticidad plana lineal y el análisis mediante elementos finitos. Marí y Miquel (1985) [94] justificaron el uso de los elementos finitos para este problema, frente al empleo de la teoría de láminas plegadas y el método de la banda finita, argumentando la posibilidad de considerar nervios, armaduras y análisis no lineal. El análisis elástico lineal permite evaluar esfuerzos, que luego han de utilizarse separadamente con un criterio de agotamiento para establecer la capacidad resistente de la pieza estructural. Con esta idea Razaqpur y Ghali (1984) [15] aplicaron análisis elástico lineal mediante elementos finitos para el estudio específico del rasante en vigas en T, evaluando tanto el rasante como el axil transversal (v. 2.3.3.1.1). En la Fig.2.51 se presenta la comparación obtenida entre el modelo viga clásico y el modelo MEF, observándose cómo el segundo suaviza los saltos de valor del primero, y que se producen en el entorno próximo de las cargas concentradas y de los extremos de viga. En esta línea, Páez y Díaz del Valle (1992) [6] centraron su interés en cuantificar el axil transversal (v. 2.3.3.1.2) pero modelizaron solamente el ala como una placa solicitada en un borde longitudinal por las tensiones tangenciales del rasante. El análisis no lineal incluye el criterio de agotamiento en la propia definición de la ley constitutiva de los materiales, así que permite integrar en el mismo cálculo no solo la evaluación de los esfuerzos solicitantes del ala sino también el mecanismo resistente, con lo que se logra así evaluar la capacidad resistente última. Razaqpur y Ghali (1981) [145] y Razaqpur (1984) [146] se sirvieron de este tipo de análisis para modelizar vigas ensayadas frente a rasante por autores previos [29,30,31], emplearon elementos finitos multicapa y una aproximación incremental iterativa de la rigidez tangente, teniendo en cuenta el comportamiento no lineal del hormigón en compresión, el efecto tensorrigidez y el concepto de fisuración repartida.

(a) (b)

Fig.2.51. Rasante comparado entre modelo MEF y modelo viga: (a) viga con cargas concentradas; (b) viga con carga distribuida sobre el alma. Y ley práctica para diseño, siendo b el ancho total del ala y bw

el ancho del alma. Adaptado de Razaqpur y Ghali (1986) [37]. Aunque ha habido interés en el estudio de vigas en T con posterioridad a los autores citados, aplicando análisis no lineal mediante elementos finitos, estos estudios se han centrado en problemas diferentes del rasante en las alas (Nassif et al. 2001 [147]; Giaccio (2003) [148]). La desventaja de estos métodos es no sólo su coste de cálculo, exigiendo la disponibilidad de



programas de cálculo específicos, sino también la necesidad de tener identificados correctamente todas las variables y parámetros de definición del modelo que aseguren una buena aproximación de los resultados. En este sentido, Razaqpur y Ghali (1981) [145] obtuvieron en algunos casos malos ajustes para la deformación de tracción medida en el ensayo de la armadura transversal del ala, concluyendo que era necesario el desarrollo de modelos más adecuados. 2.4 RESISTENCIA A ESFUERZO RASANTE El planteamiento del cálculo resistente del rasante admite diversos enfoques. Por tratarse de un problema de cortante puede utilizarse el método general de bielas y tirantes, originado como un método intuitivo para analizar el cortante vertical en vigas, pero que fue consolidándose como un método de análisis más general. Si se visualiza el ala como una laja existen teorías que tratan este tipo de elemento estructural de hormigón, también para el comportamiento como placa en el caso de existir flexión transversal. Si solamente se presta atención al plano de unión alas–alma, como zona más crítica del ala, susceptible de fisurar por diversas causas, incluso antes de funcionar a rasante, puede utilizarse cualquier teoría de transferencia a corte en hormigón. En el presente apartado se proporciona en primer lugar una visión de los conceptos generales relativos al método de bielas y tirantes, teorías de lajas y placas y de transferencia a corte. A continuación se describen los métodos específicos para diseño a rasante, primero los propuestos por diferentes autores y finalmente los recogidos en la normativa de hormigón armado. Puede adelantarse que las normas europeas se inclinan por el método de bielas y tirantes mientras que las norteamericanas por modelos de transferencia a corte. En ambos casos resultan métodos más sencillos que los utilizados para placas y lajas que, realmente, no han sido plenamente explotados para el estudio del rasante. 2.4.1 Conceptos generales Los conceptos generales se ordenan del siguiente modo. En primer lugar el método de bielas y tirantes, por ser pionero en el estudio del problema del cortante. En segundo lugar el tratamiento de lajas y placas de hormigón armado, ya que algunos modelos se han inspirado en bielas y tirantes, visualizando la laja como una celosía plana de bielas paralelas. En tercer y último lugar el problema de transferencia a corte ya que, aunque la mayoría de modelos son empíricos, algunos modelos racionales se han basado en teorías aplicadas a lajas. 2.4.1.1 Método de bielas y tirantes El uso convencional del método de bielas y tirantes es el dimensionamiento de la armadura. Una vez planteado el modelo y conocidas las fuerzas internas, se calcula el área de armadura necesaria en los tirantes para que el acero trabaje plastificado, y en las bielas y nudos se verifica que no se supere un valor límite de la compresión. A la inversa, la capacidad resistente de un modelo de bielas y tirantes se obtendría chequeando cada uno de sus elementos, y detectando aquel que, con la geometría y materiales empleados, agota antes su resistencia. Para operar de cualquiera de las dos formas el método establece cómo calcular la resistencia de cada uno de sus elementos: bielas, tirantes y nudos. En el caso particular del rasante en las alas de una viga en T, los modelos ilustrados en 2.3.4.2 tienen la ventaja de que los nudos corresponden al encuentro de bielas sin restricción de su anchura y a tirantes que representan



armaduras distribuidas. Son nudos repartidos según Schlaich et al. (1987) [111] y en ellos no se generan estados tensionales críticos, por lo que la comprobación resistente en ellos es innecesaria. En consecuencia, en los siguientes subapartados se exponen los criterios resistentes correspondientes a bielas y tirantes. 2.4.1.1.1 Resistencia de las bielas La capacidad resistente de una biela es el producto del área de su sección transversal crítica (Ac) por la resistencia eficaz del hormigón adecuada a las condiciones de trabajo de la biela, anotada como f1c según EHE [1], pudiendo añadir la contribución de la armadura que se disponga interiormente en la biela y paralela a ella. Prescindiendo de la notación de coeficientes de seguridad, la resistencia de una biela se expresa:

scsc1ccu σ⋅+⋅= AfAC E.2.64

La sección transversal crítica es la sección transversal de la biela de menor área. En bielas no prismáticas, generadas porque el tamaño de los nudos extremos no es el mismo, Ac corresponde al extremo con el nudo más pequeño. Igualmente en bielas con forma de botella. También se consideran reglas para evaluar Ac si existen vainas de armaduras postesas que atraviesen la biela. La presencia del término de la armadura, Asc·σsc, es contemplada en EHE [1], ACI-318 (2014) [10], AASHTO LFRD [11] y JSCE/SSCS [13], y puede contabilizarse siempre que se respeten reglas para evitar el pandeo. La tensión σsc en la armadura se corresponde con la situación de deformación en la biela cuando esta aplasta, pudiendo adoptarse una deformación límite del 2‰. El parámetro más problemático es la resistencia eficaz del hormigón f1c. El concepto tuvo posiblemente su origen en la formulación planteada por Nielsen y colaboradores, a finales de los años 70, para el diseño de la armadura a corte de una laja mediante análisis límite (v. 2.4.1.2.1), y que aplicaron a la resistencia a corte de una viga con armadura transversal [139]. La resistencia eficaz se expresó a partir de la resistencia uniaxial estándar de la probeta cilíndrica (fc) afectada por un factor de eficacia de origen experimental (ν):

c1c ff ⋅ν= E.2.65

2000,8 cf

−=ν [MPa] E.2.66

El factor ν recoge el hecho de que la resistencia uniaxial depende de la fisuración existente y de la tensión en la dirección transversal. En concreto, la expresión E.2.66 sirve para el tipo de biela inclinada que se desarrolla en el alma, en donde la armadura transversal controla la fisuración pero es oblicua a la biela. El factor ha recibido diversos nombres, notaciones y formulaciones. Está presente en las teorías del campo de compresiones que aparecieron después, siendo denominado comúnmente como coeficiente de reblandecimiento (v. 2.4.1.2.2). La primera contribución notable se atribuye a Vecchio y Collins (1986) [151] (E.2.82) pero tiene el inconveniente de que su valor depende de la deformación transversal, ya que estas teorías utilizan la compatibilidad de deformaciones. Dado que el método de bielas y tirantes convencional utiliza el comportamiento rígido-plástico de los materiales, no se pueden cuantificar las deformaciones, por lo que el fenómeno de reblandecimiento sólo puede considerarse indirectamente, atribuyendo valores discretos a la resistencia eficaz del hormigón. En la generalización del método Schlaich et al. (1987) [111] establecieron cuatro casos, anotados en la Tabla 2.8, los cuales se repiten prácticamente igual en



gran parte de los códigos de hormigón estructural. La fórmula de la condición resistente que mejor puede resumir todos los códigos debe incluir un factor adicional α:

c1cc ff ⋅α⋅ν=≤σ E.2.67dicho factor reductor α presenta básicamente el valor de 0,85 para tener presente el efecto de la carga sostenida en el tiempo. Actualmente EHE [1] propone α=1 con carácter general. JSCE/SSCS [13] atribuye 0,85 a la consideración de la diferencia entre la resistencia a compresión en un elemento estructural y la determinada usando probetas de laboratorio. Para diseño, el valor de fc debe ir afectado por el coeficiente de seguridad correspondiente.

Tabla 2.8. Factor de eficacia ν según E.2.67 en códigos afines.

fisuración oblicua,

con fisu-ración ...

Texto Designación

compresión uniaxial,

ausencia de tracción transversal

fisuración paralela,

armadura transversal

controlada grande Schlaich (1987) [111] sin designación 1 0,8 0,6 0,4 EHE [1] sin designación 1 0,7 0,6 0,4 CM 2010 [3] factor reductor kc 1·ηf 0,75·ηf 0,55·ηf

EC2 [4] ν1 (cortante) ó ν' (general) 1 0,6·ν' JSCE/SSCS [13] ν2 1 0,8 0,6 0,45 EHE [1] proporciona mayor detalle en el tercer caso, por corresponderse con la situación de las bielas inclinadas en el alma de vigas armadas solicitadas a cortante, y también para el rasante en las alas comprimidas de vigas en T. La expresión recuerda a E.2.66:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤=ν

N/mm²

N/mm²

60 para200

0,9

60 para0,6

ckck

ck

fff

E.2.68

El Código Modelo 2010 [3] introduce un factor corrector ηf que tiene en cuenta la fragilidad creciente con el valor de la resistencia a compresión:

1/3

cf

30⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=η

f [MPa] E.2.69

Los valores de la Tabla 2.8 para el caso de fisuración oblicua aplican cuando la armadura mantiene un ángulo con la biela menor que 65º, como es el caso del alma de vigas. Todos los valores además pueden incrementarse en un 10% si existe compresión biaxial o los ángulos entre biela y tirantes son mayores a 45º y en donde la armadura se disponga en múltiples capas. El EC2 [4] considera un factor ν' de igual significado que ηf en el Código Modelo 2010 [3]:

2501' ckf

−=ν [MPa] E.2.70

En el contexto de la formulación de la resistencia a cortante, el EC2 [4] anota el factor reductor como ν1, cuya expresión coincide también con E.2.70. ACI-318 (2014) [10] utiliza una clasificación ligeramente diferente al incluir con mayor detalle las bielas con forma de botella, aunque guarda similitud con los cuatro casos vistos. El factor es anotado como βs y denominado coeficiente de biela, con los valores recogidos en la Tabla 2.9.



Tabla 2.9. Factor de eficacia en ACI-318 (2014) [10].

Geometría de la biela y localización ν (=βs) Notas

Biela con sección constante en toda su longitud 1,0 Como el cordón comprimido de vigas

0,75 Con disposición de armadura resistente a la tracción transversal Biela cuya sección puede

ensancharse entre nodos (bielas en forma de botella) 0,60·λ La armadura no satisface la condición de

resistencia a la tracción transversal Bielas en zonas o elementos traccionados 0,40 Como las alas traccionadas de una viga

Resto de casos 0,60·λ Como bielas en abanico o bielas inclinadas en regiones B

λ es un factor que modifica la resistencia en función del tipo de árido, vale 1 para hormigón de peso normal y 0,75 para hormigón ligero, y más detalle se proporciona el apartado 19.2.4 del código.

Existen también contribuciones de autores para casos específicos. Russo et al. (2006) [149] propusieron su propio factor de eficacia de la biela inclinada en ménsulas cortas. Hoang et al. (2012) [ 150 ] plantearon un factor de eficacia válido para bielas con fisuración paralela y armadura transversal. A diferencia de los valores discretos anotados en Tabla 2.8 y Tabla 2.9, el código canadiense de hormigón CSA A23.3-04 [96] y de puentes CAN/CSA-S6-06 [12], así como AASHTO LFRD [11], adoptan la resistencia formulada del campo modificado de compresiones (MCFT) de Vecchio y Collins (1986) [151] (E.2.82) suponiendo que el estado de deformación de la biela corresponde a una compresión del 2‰. Resulta así un único factor de eficacia aplicable a cualquier biela, que es función de la deformación de tracción transversal a la misma (ε1):

11700,81

1≤

ε⋅+=ν E.2.71

en donde el valor de la deformación ε1 debe introducirse como positivo para tracción. La deformación de tracción puede estimarse a partir del tirante adyacente que presente un menor ángulo con la biela, según la expresión:

( ) s2

ss1 θ 0,002εεε cot⋅++= E.2.72siendo εs la deformación de tracción en el tirante y θs su ángulo con el eje de la biela. Los estribos y la armadura secundaria de piel se ignoran cuando se calcula θs y ε1 [113]. En la Tabla 2.10 se establecen valores de ν adoptando εs igual a su límite elástico (aproximadamente 0,002), y así pueden ser comparados con el de los códigos ya mencionados:

Tabla 2.10. Valores específicos del factor de eficacia según E.2.71 (códigos canadiense y AASHTO).

εs θs ε1 ν 0 90º 0 1,00 0,002 90º 0,002 0,88 0,002 60º 0,0033 0,73 0,002 45º 0,006 0,55

c

ε

ε2

ε1

=−0,002

sθ

0,002 30º 0,014 0,31



Factores de eficacia como E.2.71 o similares son empleados en modelos avanzados de análisis no lineal en donde se consideran las deformaciones de las bielas y de los tirantes, compatibilizándolas para obtener la geometría deformada del modelo. Una de las formas de estimar la deformación transversal de la biela es utilizar el primer invariante del tensor de deformaciones. Como ejemplo, en Eom y Park (2010) [125] puede consultarse una propuesta para bielas inclinadas pertenecientes a una región B a cortante. 2.4.1.1.2 Resistencia de los tirantes La resistencia de los tirantes formados por armaduras es atribuida convencionalmente sólo a las armaduras, despreciando cualquier contribución del hormigón, pudiendo coexistir armaduras pasivas y activas. En general, prescindiendo de la notación de coeficientes de seguridad, las normas expresan la capacidad del tirante del siguiente modo:

pypysu fAfAT ⋅+⋅= E.2.73siendo As y fy el área y límite elástico de la armadura pasiva; y Ap y fpy los de la armadura activa, con la particularidad de que si el pretensado se considera como fuerza exterior en el análisis de esfuerzos, en la expresión E.2.73 debe sustituirse fpy por (fpy–σp), siendo σp la tensión correspondiente a la fuerza de pretensado en la situación estudiada. En la generalización del método de bielas y tirantes, Schlaich et al. (1987) [111] contemplaron el caso de tirantes de hormigón exclusivamente, obviamente sin fisurar, sosteniendo que este tipo de tirantes podían usarse si no existía riesgo de fallo progresivo. Para ello sugirieron una sencilla regla sobre la capacidad del tirante de albergar una hipotética área fisurada sin que se excediese la resistencia a tracción en el resto de área del tirante. Además, en el caso de que el tirante fuera cruzado por una biela, propusieron utilizar una resistencia a tracción biaxial simplificada ilustrada en la Fig.2.52b. La opción de la Fig.2.52a la emplearon para evaluar la resistencia en el caso de carga concentrada en un macizo sin presencia de armadura transversal, en donde se genera una biela con forma de botella. Además, como indica la guía FIP (1999) [97], los tirantes de hormigón también están presentes en almas sin armadura transversal o en el mecanismo de adherencia y anclaje de las armaduras, no obstante, ninguna de las normas de hormigón estructural citadas en el apartado previo contempla la existencia de este tipo de tirantes en sus artículos y apartados dedicados al método. Como excepción se puede citar el caso del código japonés JSCE/SSCS [13], que permite su consideración siempre que se verifique que la resistencia esperada para el hormigón en tracción pueda mantenerse en ELU.

(a) f 0,5

σc

σct

fct

f (b)

σ

fσc

f

ct

ct

Fig.2.52. Resistencia biaxial tracción–compresión simplificada, Schlaich et al. (1987) [111]. Existe también la opción de considerar la contribución del hormigón en los tirantes constituidos por armaduras, pero entre los códigos citados sólo ACI-318 [10] sugiere en sus comentarios (R23.2.3) un área eficaz de los tirantes aunque solamente para la comprobación en servicio de la fisuración, no para la capacidad resistente del tirante. En algunos modelos avanzados de bielas y tirantes se han utilizado áreas eficaces de hormigón (Yun y Cho, 2005 [128]; To, 2005 [131]), permitiendo obtener resultados más ajustados.



2.4.1.2 Lajas y losas de hormigón armado El trabajo del ala en su encuentro con el alma de una sección en T o asimilable se puede estudiar como un problema particular de un elemento bidimensional de hormigón armado sometido a esfuerzos de membrana, a los que habría que añadir los esfuerzos de flexión transversal en aquellas alas que reciban cargas sobre ellas. Siendo más precisos en los términos, las alas desarrollan un trabajo como laja para los esfuerzos contenidos en su plano, como placa para los esfuerzos de flexión transversal, y como losa para ambos esfuerzos actuando simultáneamente.

CARGASDE TRÁFICO

Fig.2.53. Trabajo como laja del ala de una viga en cajón. Adaptado de Rahal (2008) [152].

El problema tratado aquí consiste en la comprobación de tensiones en el hormigón y en el diseño y comprobación de la armadura, entendiendo que el paso previo del cálculo estructural de los esfuerzos está resuelto. En este sentido, el estudio de un elemento bidimensional de hormigón armado se puede realizar con la teoría del análisis límite o con la teoría del campo de compresiones [153]. Dado que el análisis límite se basa en el comportamiento rígido-plástico de los materiales, su aplicación sólo permite predecir la capacidad resistente del elemento de hormigón armado. Con los modelos de campo de compresiones se puede obtener una respuesta del elemento acorde al nivel de carga, hasta su agotamiento. Ambas teorías tienen un alcance genérico, y existen un gran número de modelos. En este apartado se exponen los conceptos principales y se escogen los modelos más representativos, algunos de los cuales han sido empleados o han servido como base para el estudio de la transferencia a corte en hormigón monolítico [154,155,156] o incluso para plantear modelos de cálculo de la armadura transversal del ala frente a rasante [22]. 2.4.1.2.1 Análisis límite La teoría del análisis límite trata de determinar la capacidad resistente de estructuras y elementos estructurales hechos con materiales perfectamente plásticos (rígido-plásticos) [139], los cuales ofrecen una mayor sencillez para desarrollos de cálculo. 2.4.1.2.1.1 Aplicación a lajas Nielsen (1963) se sirvió de este supuesto para ofrecer un método de diseño de la armadura de una laja de hormigón armado. Supuso una cuantía uniforme de armadura en direcciones perpendiculares, localizada en el plano medio de la laja o en capas simétricas respecto del plano medio. Consideró el hormigón con resistencia a tracción nula y las armaduras sólo en tracción, trabajando al límite elástico fy, es decir, que si en una de las direcciones ortogonales existía



compresión, la armadura no era necesaria. Al usar materiales rígido-plásticos sólo empleó condiciones de equilibrio basándose en el elemento laja de la Fig.2.54a, resultando:

θτ+=

θτ+=

tan

cot

σρ

σρ

xyyyy

xyxyx

f

f E.2.74

donde σx, σy y τxy son datos de diseño; ρx, ρy son las cuantías geométricas de cada grupo de armaduras; y θ es el ángulo de inclinación de las fisuras medido desde el eje x, y que señala la dirección principal 2 en el hormigón, de máxima compresión σc2 (valor negativo). En la dirección 1 se tiene σc1=0, en el caso de fisuración (siempre σc2< σc1).

y

xσ

xyτ

xρ

τ xy

yf

ρ yy f

θ

σc2

c2σ

(Criterio de signos positivo)

(a) (b)

τy

xy| |

τ xy| |yσ

Caso 1Caso 2

Caso 4 Caso 3

-1

-1xσ σy τxy=· ²

Fig.2.54. (a) Elemento laja en equilibrio. (b) Gráfico de casos del método de Nielsen (1963). Las hipótesis mencionadas condujeron a establecer cuatro casos en función de la necesidad o no de la armadura en cada dirección:

Caso 1: Tracción en la armadura en ambas direcciones y compresión oblicua en el hormigón. El sistema E.2.74 depende del valor asignado al ángulo θ. Con el criterio de armadura mínima d(ρx+ρy)/dθ=0 se obtiene θ=45º, que fue el valor propuesto por Nielsen.

Caso 2: Tracción sólo en la dirección y, siendo la armadura en x innecesaria por estar comprimida. Compresión oblicua en el hormigón.

Caso 3: Tracción sólo en la dirección x y compresión oblicua en el hormigón.

Caso 4: Compresión biaxial en el hormigón y armadura innecesaria. El resultado de estos casos se resume en la Tabla 2.11. Con las condiciones que identifican a cada caso pueden establecerse las regiones de validez del gráfico de la Fig.2.54b. El problema consiste en, conocidas las tensiones σx, σy y τxy, determinar el caso de la Tabla 2.11 y aplicar las ecuaciones correspondientes para el diseño de la armadura y para la comprobación de la compresión máxima en el hormigón. Inicialmente el límite de la compresión se estableció en 0,85·fc. En su obra reciente, Nielsen y Hoang (2010) [139], mantienen vigente el método y establecen como condición para la compresión:

cc f⋅ν≤σ E.2.75utilizando un coeficiente eficaz conservador

2000,7 cf

−=ν [MPa] E.2.76



Tabla 2.11. Casos para diseño y comprobación de una laja con malla ortogonal (Nielsen 1963).

Caso Condiciones Armadura Hormigón

1 –|τxy| < σx

–|τxy| < σy

ρxfy = σx + |τxy|

ρyfy = σy + |τxy| σc2 = –2|τxy|

2 σx ≤ –|τxy|

σx·σy ≤ τxy²

ρx = 0

x

2xy

yyy σρ

τ−σ=f

x

2xy

xc2 στ

+σ=σ

3 σy ≤ –|τxy|

σx·σy ≤ τxy² y

2xy

xyx σρ

τ−σ=f

ρy = 0 y

2xy

yc2 στ

+σ=σ

4

σx < 0

σy < 0

σx·σy > τxy²

ρx = 0

ρy = 0 2

xy

2yxyx

c2 2

2τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ−

σ+σ=σ

El Código Modelo (1990) [33] admitió el método y describió los cuatro casos con el uso de un diagrama similar al de la Fig.2.54b, estableciendo la resistencia a utilizar para el hormigón. De un modo más genérico el EC2-2 (2005) [38] permite el diseño en ELU de elementos membrana mediante la aplicación de la teoría de la plasticidad y el teorema del límite inferior, por lo que resulta válido el método expuesto, que es recogido en un anexo F de carácter informativo, y además proporciona valores límite para la resistencia a compresión del hormigón como función de los valores de las tensiones principales, incorporando los aspectos básicos de un trabajo de Carbone et al. (2001) [157]. Otros métodos siguieron al de Nielsen (1963) consistentes en variantes que trataban de superar las simplificaciones de aquel. Una revisión de varios de ellos puede consultarse en Isgor (1997) [158] quien destacó que, aunque el método original era menos aproximado, siempre producía resultados del lado seguro, lo que junto con su sencillez lo convertía en idóneo para diseño. El problema inverso consiste en plantear como datos la armadura ortogonal de una laja y buscar entonces la superficie de fluencia F(σx; σy; τxy) que establece su capacidad resistente. Su solución completa puede consultarse en Nielsen y Hoang (2010) [139]. Un caso muy utilizado es el de corte puro (σx=σy=0), en donde la resistencia plástica a corte y el ángulo de inclinación de las fisuras depende sólo de las armaduras:

yyyyxxxy ff ρ⋅ρ=τ E.2.77

yxx

yyy2

ρρ

ff

=θtan E.2.78

siendo fyx y fyy los límites elásticos en cada dirección. Aparte debe cumplirse la condición resistente E.2.75 para la dirección principal de compresión:

cyyyyxx fff ⋅ν≤σ+⋅σ E.2.79La validez de E.2.77 se basa en la plastificación de las armaduras, lo que ocurre con cuantías de armadura bajas o moderadas. Para cuantías altas se introduce un límite superior |τxy|≤0,5fc. Kaufmann (1998) [159] planteó unas modificaciones a la superficie de fluencia F(σx; σy; τxy) cuando comparó los resultados del análisis límite con un modelo del campo de compresiones desarrollado por Kaufmann y Marti (1998) [153]. Carbone et al. (2001) [157] desarrollaron un



método que clasificaron como plástico, con la particularidad de que la resistencia del hormigón dependía de la desviación angular existente entre la dirección principal de compresión en la situación de agotamiento y en la situación en servicio justo antes de fisurar. Todos ellos corresponden a dos familias de armaduras ortogonales. Para el caso de armaduras oblicuas pueden consultarse unas expresiones para las ecuaciones de equilibrio en la guía de diseño para el EC2-2 de Hendy y Smith (2007) [77]. Otros métodos simplificados directos han sido propuestos más recientemente por Rahal (2008) [152] y Miguel et al. (2013) [160], enmarcados en el análisis límite, aunque han utilizado resultados y conceptos de modelos de la teoría del campo de compresiones (v. 2.4.1.2.2). 2.4.1.2.1.2 Aplicación a losas Para el caso de que además de esfuerzos de membrana se presenten esfuerzos de flexión, no se han desarrollado fórmulas sencillas que consideren al elemento de forma íntegra [139], sin embargo puede descomponerse en dos lajas paralelas, de espesor ficticio, y aplicar el análisis descrito anteriormente. Esta idea fue empleada por Baumann (1972) para proponer un método sugiriendo un brazo mecánico igual al 80% del espesor de la losa. Gupta (1986) [161], sin embargo, consideró que los espesores de las capas eran incógnitas, y estableció un método iterativo para su cálculo. El Código Modelo (1990) [33] recogió inicialmente las hipótesis básicas descritas, indicando que el cálculo exacto del reparto de los esfuerzos de membrana y el brazo mecánico para flexión precisaban un cálculo iterativo, estableciendo como valores iniciales un 50% para el reparto y un 66% del espesor para el brazo mecánico. La contribución de la capa intermedia resultante no fue tenida en cuenta aunque debía comprobarse frente a cortante transversal. Lourenço y Figueiras (1995) [162] presentaron una comparación de resultados con ensayos experimentales. Marti (1990) [163] planteó un modelo sándwich para el estudio del cortante transversal en losas. Asignó la resistencia a cortante a la capa intermedia o núcleo, buscando en ella la dirección y magnitud del cortante principal, para discutir la existencia de fisuración oblicua, en cuyo caso los esfuerzos de membrana de las capas extremas se veían incrementadas por un término más, necesario para mantener el equilibrio. Este modelo sándwich queda recogido en el EC2-2 (2005) [38] como anexo informativo (anexo LL). En su última versión, el Código Modelo 2010 [3] también considera este modelo planteando una propuesta simplificada para evitar el cálculo iterativo de todos los espesores de capas y brazos mecánicos. La simplificación no debe aplicarse a placas muy delgadas debido a que en ellas cobra gran importancia la diferencia existente en los brazos mecánicos y recubrimientos de las familias de armado [77]. Una revisión más extensa del análisis límite aplicado a losas puede consultarse en Meyboom (2003) [164]. 2.4.1.2.2 Campo de compresiones 2.4.1.2.2.1 Aplicación a lajas La teoría del campo de compresiones visualiza la resistencia a corte de un panel de hormigón armado en su plano como una celosía de bielas paralelas, flanqueadas por fisuras y atravesadas por una disposición de tirantes normalmente ortogonal, empleando compatibilidad de deformaciones en su resolución y leyes constitutivas no lineales. Su nombre se debe a la analogía que se observa en el modo de fallo de un panel metálico rigidizado en su perímetro, que cuando abolla a corte continúa resistiendo gracias a la aparición de un campo diagonal de tracciones, sin contribución de resistencia a compresión [165]. Cuando un panel de hormigón armado fisura por corte, continúa resistiendo al formarse unas bielas paralelas inclinadas para oponerse al esfuerzo,



constituyendo el campo de compresiones diagonal; transversalmente a él la resistencia a tracción del hormigón es nula o muy reducida, y el panel se mantiene íntegro gracias a la armadura. El planteamiento general consiste en suponer un panel de dimensiones tales que los esfuerzos en su perímetro resultan uniformes y en donde se aplican criterios de elasticidad plana. Para ello la armadura se encuentra uniformemente repartida y se trabaja con valores promedio de tensiones y deformaciones. Los esfuerzos se reparten entre el hormigón y las armaduras (Fig.2.55) de modo que el hormigón desarrolla esfuerzos normales y tangenciales mientras que las armaduras sólo lo hacen según su propia dirección. El reparto de esfuerzos se materializa en tres ecuaciones de equilibrio que, expresadas en términos de tensión, adquieren la siguiente forma:

( ) θ⋅θ⋅σ−σ=τ

σ⋅ρ+θ⋅σ+θ⋅σ=σ

σ⋅ρ+θ⋅σ+θ⋅σ=σ

cossen

sencos

cossen

c2c1xy

syy2

c22

c1y

sxx2

c22

c1x

E.2.80

en donde ρx y ρy son las cuantías geométricas en cada dirección y las tensiones en el hormigón han sido expresadas en función de las tensiones principales (Fig.2.56). El motivo es que la ley constitutiva del hormigón se basa en ensayos de probetas sometidas a un proceso de carga según direcciones principales.

σ

xyτ

τ xy

y

x = +cxσ

τ cxy

cxyτcy

sxσ

sy

(b) (c)(a) Fig.2.55. Elemento laja y reparto de esfuerzos entre hormigón y armaduras: (a) esfuerzos solicitantes

del elemento laja; (b) tensiones de respuesta del hormigón; (c) ídem de las armaduras.

c1

c2σ

θ

ε2

θ

1εy

x

εy

εx

Fig.2.56. Direcciones principales en el hormigón (σc2<σc1). Normalmente se emplea el ángulo θ de inclinación perpendicular a la tensión máxima σc1, que marca la fisuración en caso de que sea de tracción. Se acepta también que las deformaciones principales en el hormigón, anotadas simplemente como ε1 y ε2, presentan la misma inclinación que las tensiones principales (Fig.2.56), de este modo ε1 y ε2 se relacionan con σc1 y σc2 a través de la ecuación constitutiva. Las tensiones en las armaduras σsx y σsy se expresan en función de εsx y εsy mediante la ecuación constitutiva, y puesto que se supone que mantienen una adherencia perfecta con el hormigón en los bordes del elemento analizado (εsx=εcx=εx y εsy=εcx=εy) pueden ponerse también en función de las deformaciones principales del hormigón a través de las ecuaciones de compatibilidad,

( ) θ⋅θ⋅ε−ε=γ

θ⋅ε+θ⋅ε=ε

θ⋅ε+θ⋅ε=ε

cossen

sencos

cossen

21xy

22

21y

22

21x

2

E.2.81

siendo εx, εy y γxy las deformaciones del elemento según los ejes generales xy.



El uso de E.2.80 y E.2.81 junto con las ecuaciones constitutivas de los materiales permite obtener la respuesta del panel frente a los esfuerzos solicitantes. Si, como es habitual, las ecuaciones constitutivas incluyen un criterio de rotura, puede procederse a un proceso de carga creciente del panel hasta obtener la máxima resistencia. Con leyes constitutivas no lineales, cada nuevo valor de carga (σx, σy, τxy) requiere un proceso iterativo de cálculo para resolver el sistema de ecuaciones. Con este planteamiento, para cada nivel de carga existe un ángulo θ de inclinación de las fisuras. Cualquier modelo que siga este planteamiento puede ser descrito abreviadamente como un modelo de fisuración repartida con ángulo variable (rotating angle). En la literatura son numerosas las publicaciones sobre modelos de campos de compresiones con ángulo variable, y múltiples las publicaciones sobre variantes, modificaciones, aplicaciones prácticas e implementaciones en modelos de elementos finitos. Las diferencias entre los modelos estriba principalmente en las ecuaciones constitutivas y, en ocasiones, en la consideración de condiciones adicionales para establecer el agotamiento del panel. Destacan, sobre todo, el modelo del campo modificado de compresiones (MCFT= Modified Compression Field Theory) de Vecchio y Collins (1986) [151] y el modelo de celosía reblandecida con ángulo variable (RA-STM= Rotating Angle Softened Truss Model) de Hsu (1988). La contribución más importante es el concepto de reblandecimiento del hormigón que consiste en considerar la reducción de la resistencia a compresión del hormigón al aumentar la deformación transversal de tracción. La propuesta de Vecchio y Collins (1986) [151] se expresó:

c

c0

1

ccmax

0,340,8fff ≤

εε

⋅−=

E.2.82

siendo fc la resistencia uniaxial a compresión procedente del ensayo estándar; ε1 la deformación de tracción transversal (Fig.2.56); y εc0 la deformación de compresión para la que se produce el pico máximo de resistencia en la ley σ–ε, con un valor sugerido εc0=–2‰, utilizado posteriormente por CSA A23.3-04 [96], CAN/CSA-S6-06 [12] y AASHTO LFRD [11] para establecer su factor de eficacia de la resistencia a compresión de una biela en el método de bielas y tirantes (E.2.71). En el caso de MCFT, el modo de fallo no venía gobernado por las tensiones medias sino por las tensiones locales en la fisura, para las que se añadieron a la formulación nuevas variables y parámetros. El resultado fue un sistema de 15 ecuaciones no lineales. En la Fig.2.57 se comparan los resultados experimentales y analíticos de seis paneles ensayados a corte puro. El método dio origen a numerosas publicaciones posteriores, algunas se citan a continuación. Vecchio y Collins (1988) [166] lo aplicaron para predecir la respuesta a corte de vigas de hormigón armado. Vecchio (1989) [178] lo adaptó para su aplicación con elementos finitos en el análisis de estructuras que podían suponerse trabajando en un estado de tensión plana. Collins y Mitchell (1991) [167] lo incluyeron en su libro general de hormigón pretensado. Vecchio (2000) [168] y Vecchio et al. (2001) [169] desarrollaron DSFM (Disturbed Stress Field Model) para corregir carencias del primero. Hsu (1988) presentó su RA-STM para el estudio de cortante y torsión, y lo amplió para elementos membrana en Hsu (1991) [170]. El planteamiento básico era similar al MCFT, pero existían unas diferencias principales que fueron anotadas como errores de concepto del MCFT por Hsu (1998) [173], explicando cómo eran corregidos por RA-STM. Se trataba de las tensiones locales en la fisura y de la congruencia en las leyes constitutivas de tracción empleadas para el hormigón y la armadura. El modelo proporcionaba buen ajuste siempre que la relación entre las



cuantías mecánicas de las dos armaduras no estuviera fuertemente descompensada. Pang y Hsu (1995) [171] establecieron el límite para la aplicabilidad del método, y fuera de él era necesario plantear otras opciones como fijar el ángulo de fisuración.

Fig.2.57. Resultados con MCFT comparados con experimentales. Bentz et al. (2006) [172].

Si se supone que el ángulo de fisuración queda fijo, cuando ésta aparece, para el resto del proceso de carga, es necesario reformular las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, dando origen a lo que se denominan modelos de campos de compresiones con ángulo fijo. El ángulo de fisuración θF corresponde a la tensión principal de compresión deducida a partir de las tensiones totales σx, σy y τxy que solicitan al panel (σb en la Fig.2.58a). En el instante previo a la fisuración las armaduras apenas contribuyen así que θF coincide con el ángulo θ de la dirección principal de compresión en el hormigón. Superado el nivel de fisuración es cuando las armaduras desarrollan su trabajo y la compresión principal en el hormigón adquiere un ángulo θ que comienza a diferenciarse de θF [173], excepto que se disponga de la misma armadura en ambas direcciones y las tensiones medias sean iguales (ρxσsx=ρyσsy), en cuyo caso los sistemas a-b y 1-2 coinciden [142]. En el sistema a-b existe ahora una componente tangencial en el hormigón τcab (Fig.2.58b). Si se utilizan las tensiones en el hormigón del sistema a-b, las ecuaciones de equilibrio se escriben:

( ) ( )F2

F2

cabFFcbcaxy

syyFFcabF2

cbF2

cay

sxxFFcabF2

cbF2

cax

2

2

θ−θ⋅τ−θ⋅θ⋅σ−σ=τ

σ⋅ρ+θ⋅θ⋅τ+θ⋅σ+θ⋅σ=σ

σ⋅ρ+θ⋅θ⋅τ−θ⋅σ+θ⋅σ=σ

sencoscossen

cossensencos

cossencossen

E.2.83

y, análogamente, las ecuaciones de compatibilidad se expresan:

( ) ( )F2

F2

abFFbaxy

FFabF2

bF2

ay

FFabF2

bF2

ax

2 θ−θ⋅γ−θ⋅θ⋅ε−ε=γ

θ⋅θ⋅γ+θ⋅ε+θ⋅ε=ε

θ⋅θ⋅γ−θ⋅ε+θ⋅ε=ε

sencoscossen

cossensencos

cossencossen

E.2.84

El ángulo que forma el sistema 1-2 con respecto al sistema a-b es denominada ángulo de desviación β (Fig.2.58b), y puede obtenerse mediante la ecuación de compatibilidad:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε−ε

γ⋅=β −

ba

ab1

21 tan E.2.85



x

y

σb σa

θ

σc1

σc2

τcbσ

σcacab cab

(b) (c)(a)

θF

b a 12θF − θβ =

θ

β

Fig.2.58. FA-STM: (a) ángulo fijo θF y tensiones totales principales (σb<σa); (b) tensiones del hormigón

referidas al sistema a-b; (c) tensiones principales del hormigón (RA-STM). Llegados a este punto, existe un problema en la consideración de las ecuaciones constitutivas del hormigón. Pang y Hsu (1996) [174] presentaron su modelo FA-STM (Fixed-Angle Softened-Truss Model) y en él aplicaron las ecuaciones constitutivas del hormigón según los ejes a-b, incluyendo una ecuación para la tensión tangencial τcab, de modo que la influencia del ángulo de desviación no quedaba muy clara. Originalmente β fue usado para una primera fórmula experimental de τcab, Hsu y Zhang (1997) [175] lo eliminaron, y en Hsu y Mo (2010) [142] se incluyó en la ley de compresión a través del coeficiente de reblandecimiento. La opción más lógica habría sido aplicar las leyes constitutivas del hormigón según ejes 1-2, y así lo plantearon Lee et al. (2011) [176], para ello las tensiones σca y σcb en E.2.83 deben ser sustituidas por:

β⋅σ+β⋅σ=σ

β⋅σ+β⋅σ=σ2

c22

c1cb

2c2

2c1ca

cossen

sencos E.2.86

y las deformaciones εa y εb en E.2.84 deben ser sustituidas por:

β⋅ε+β⋅ε=ε

β⋅ε+β⋅ε=ε2

22

1b

22

21a

cossen

sencos E.2.87

De este modo Lee et al. (2011) [176] obtuvieron mejor ajuste con los resultados de paneles ensayados por otros autores y con vigas diseñadas para fallar a cortante antes de la plastificación de la armadura de flexión. Los modelos FA-STM añaden más ecuaciones al problema pero frente a RA-STM y MCFT presentan la ventaja de que permiten deducir una componente del hormigón resistente a corte, gracias a fijar el ángulo θF y al aparecer la tensión tangencial τcab. FA-STM constituye además un caso singular de otro modelo más general que incluye el efecto Poisson, denominado Softened-Membrane Model (SMM), establecido por Hsu y Zhu (2002) [177], capaz de predecir la rama descendente de las curvas carga–deformación. En general, los modelos enmarcados en la teoría del campo de compresiones requieren un esfuerzo de cálculo importante cuando se incluyen relaciones no lineales, y no se puede determinar el agotamiento si no se realiza un análisis completo de carga-deformación. Generalmente la determinación de las condiciones de fallo es el aspecto más importante en la práctica del diseño, y en tales situaciones los análisis de respuesta completos de carga-deformación obtenidos con los modelos de campos de compresiones no son eficientes [159], proporcionan más información de la necesaria y exigen mayor trabajo. No obstante, constituyen una herramienta muy interesante, sobre todo si se implementa en la metodología de los elementos finitos. Como trabajos en este terreno pueden citarse a Vecchio (1989) [178], Vecchio (2000) [179], Wang y Hsu (2001) [180], Foster y Marti (2003) [181] y Pimentel et al. (2010) [182].



2.4.1.2.2.2 Aplicación a losas La extensión de un modelo de campo de compresiones al trabajo como losa entraña mayor complejidad ya que las tensiones normales y rasantes varían a lo largo del espesor de la losa, mientras que se suponen constantes en el caso de la laja. Podría emplearse un modelo sándwich de tres capas en donde las capas extremas se consideran lajas, tal y como se anotó al hablar de análisis límite (v. 2.4.1.2.1.2). El problema se complica ya que, aparte de la resolución del estado de trabajo de cada laja mediante un proceso iterativo, hay que añadir el problema de indeterminación de los espesores de las capas. En la práctica, aquellos autores que han planteado un algoritmo para el cálculo de los espesores de las capas han omitido el uso del campo de compresiones y se han ceñido al análisis límite. Recientemente, Colombo et al. (2014) [183] han incluido el reblandecimiento a compresión del hormigón (E.2.82), no obstante, en el proceso de cálculo no incluyen las ecuaciones de compatibilidad excepto para estimar la deformación transversal ε1 en la situación de agotamiento, adoptando simplificaciones. Se han planteado trabajos en el campo de los elementos finitos, pudiendo citarse a Vecchio y Selby (1991) [184], Polak y Vecchio (1993) [185] y Yamamoto y Vecchio (2001) [186], quienes validaron sus modelos con ensayos en elementos estructurales sencillos como paneles y vigas rectangulares solicitadas a cortante. Palacios y Samartín (2002) [187] (2003) [188] aplicaron a un elemento losa las ecuaciones de equilibrio entre esfuerzos y tensiones, integrando las mismas según el espesor de la losa, que dividieron en múltiples capas, que eran tratadas como lajas sobre las que aplicaron un modelo RA-STM. El método propuesto puede utilizarse para analizar un elemento losa elaborando curvas de respuesta de tensiones y deformaciones hasta hallar el punto máximo, lo que permite verificar la condición de agotamiento en ELU. A modo de ejemplo, sus autores resolvieron el ala en voladizo de una sección en cajón de un tablero de puente (Fig.2.59), limitándose a su solución numérica sin contraste experimental. Ignacio Díaz (2007) [ 189 ] aplicó el método para la optimización del diseño de las armaduras y para su implementación en programas de elementos finitos.

yM

x

y

Nxx

y

N

M

xyNxyN

xyN

Fig.2.59. Ejemplo de aplicación del modelo de Palacios y Samartín (2003) [188] (figura adaptada).

2.4.1.3 Transferencia a corte El término transferencia a corte se emplea como un concepto general sobre la transmisión del esfuerzo cortante a través de un plano de debilidad de una pieza de hormigón, en donde las partes divididas por el plano experimentan un desplazamiento relativo conforme se desarrolla el mecanismo resistente. En los próximos apartados se expone la descripción breve de los mecanismos de transferencia a corte y se relacionan los métodos de cálculo más relevantes, agrupados en dos categorías, empíricos y analíticos, según ACI-ASCE 445 [165], o bien en semi-empíricos y racionales a sugerencia de Rahal (2010) [156].



En relación al rasante en el plano de unión vertical de alas de vigas en T o similares hay que recordar el funcionamiento descrito para las mismas al tratar los ensayos llevados a cabo por diferentes autores (v. 2.2). Inicialmente el plano de corte es monolítico hasta llegar al nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración, pero esta fisuración sólo se producía según el plano de corte en determinados tramos del ala, donde el axil transversal era máximo, mientras que adquiría una inclinación creciente al alejarse de dichos tramos. El interés, por tanto, en los modelos de transferencia a corte ha de centrarse en planos monolíticos y también en planos prefisurados. 2.4.1.3.1 Mecanismos de transferencia a corte Autores como Hofbeck et al. (1969) [8] y Mattock y Hawkins (1972) [154] ensayaron probetas de push-off, ilustradas en la Fig.2.60, y diferenciaron entre la existencia o ausencia de una fisura previa al esfuerzo de corte. Con esta distinción puede describirse el modo de fallo por transferencia a corte.

Probeta prefisurada Probeta no fisurada o monolítica

(a)

(b) (c) (d) (e)

(f) (g)

Fig.2.60. Probeta prefisurada: (a) fisura previa al esfuerzo de corte; (b) deslizamiento y abertura de fisura; (c) fisuración oblicua secundaria en caso de alto grado de refuerzo. Probeta no fisurada o

monolítica: (a) fisuración inicial oblicua; (b) rotación de microbielas; (c) fallo por aplastamiento de bielas; (d) fallo por fisuración adicional.

En probetas prefisuradas, válido también para juntas de hormigonado, el modo de fallo se aprecia con el deslizamiento de ambas partes según la dirección paralela a la junta (Fig.2.60b-c). El mecanismo resistente es complejo y se compone a su vez de varios mecanismos aislados, cuya contribución tiene una evolución que depende principalmente del deslizamiento. Pueden anotarse cuatro mecanismos [3]. El primero es la adhesión, que se desarrolla para deslizamientos por debajo de 0,05mm; sólo existe en juntas de hormigonado y no en juntas prefisuradas. El segundo es el engranamiento de áridos, que puede desarrollar su máximo valor incluso para deslizamientos algo mayores a 0,05mm, luego se desvanece. El tercero es la fricción, progresiva con el deslizamiento que, junto con la rugosidad, crean un efecto "cuña" que obliga a la fisura a abrirse en sentido perpendicular a la misma, provocando una tracción en la armadura que la atraviesa, denominada fuerza de cosido (clamping force). Alcanza su valor máximo cuando la armadura alcanza el límite elástico. El Código Modelo 1990 [33] señaló un deslizamiento necesario entorno a 2mm, pero Loov y Patnaik (1994) [ 190 ] concluyeron que 0,5mm era



suficiente en aceros con límite elástico convencional, y Kahn y Mitchell (2002) [ 191 ] recomendaron mantener un valor máximo de 414MPa para la contribución del acero, después de haber ensayado aceros de mayor limite elástico. Por último, el cuarto mecanismo es el efecto pasador, que alcanza un valor máximo para un deslizamiento comprendido entre 0,1 y 0,2 veces el diámetro de la armadura, según la propuesta actual del Código Modelo 2010 [3]. Los valores máximos de cada mecanismo no se producen simultáneamente, y por eso se habla de que uno de ellos acaba gobernando el mecanismo final resistente. Normalmente se prescinde del efecto pasador si no se espera o se admite un gran deslizamiento. En el fallo de la probeta prefisurada la armadura de cosido juega un papel importante, con cuantías bajas se obtiene un mayor deslizamiento, y no se forma fisuración adicional (Fig.2.60b). Con una alta cuantía se reduce el deslizamiento y puede aparecer una fisuración adicional oblicua (Fig.2.60c), semejante a la que se origina en probetas no fisuradas o monolíticas [8,154]. En probetas no fisuradas o monolíticas el fallo ocurre tras la formación de numerosas fisuras inclinadas con respecto al plano de corte (Fig.2.60d). Antes de la formación de estas fisuras el deslizamiento de los dos bloques es inapreciable, sólo cuando aparecen comienza el movimiento relativo de los dos bloques, pero no es un deslizamiento en sentido estricto. Entre fisuras se forman pequeñas bielas diagonales comprimidas de hormigón que tratan de girar acorde a la fuerza de corte, y este giro inicia un movimiento relativo entre ambos bloques consistente en una separación y en un desplazamiento paralelo (Fig.2.60e). La armadura de cosido, transversal al plano de corte, entra en carga para oponerse al movimiento descrito, y el mecanismo resistente guarda similitud con la analogía de la celosía [8,154]. Por este motivo el efecto pasador es insignificante, ya que gobierna el estiramiento de la armadura sobre su incurvación por corte [8]. La existencia de armadura paralela y cercana al plano de corte es otro factor a tener en cuenta [155] ya que también atraviesa las fisuras oblicuas que tratan de abrirse. El fallo normalmente se corresponde con el aplastamiento del hormigón en las bielas (Fig.2.60f), no obstante la cuantía de la armadura de cosido vuelve a desempeñar un factor importante. Cuantías bajas permiten mayor abertura de la fisuración oblicua, lo que puede conducir a la aparición de una fisuración secundaria según la dirección de corte (Fig.2.60g), que tiende a seccionar las bielas y que pueden llegar a unirse entre sí incrementando el deslizamiento [154]. 2.4.1.3.2 Modelos empíricos o semi-empíricos de corte-fricción El concepto de corte-fricción surgió para dar solución al cálculo de la resistencia a corte de diferentes tipos de conexión en estructuras de hormigón prefabricado. A Birkeland y Birkeland (1966) se les atribuye la introducción de un modelo sencillo de fricción [165] que fue adoptado rápidamente por el código americano ACI 318, apareciendo por primera vez en su texto en 1971. A partir de entonces el modelo ha sido objeto de numerosas revisiones que han consistido básicamente en la modificación de valores de sus parámetros, la consideración de parámetros nuevos o cambios en la forma de la expresión. Todo ello se ha tratado de resumir en la Tabla 2.12, que se comenta a continuación. Birkeland y Birkeland (1966) establecieron una analogía con el deslizamiento que experimentan dos bloques cuya interfaz tiene forma de dientes de sierra (Fig.2.61) y asumieron una abertura de fisura suficiente para provocar la plastificación de la armadura. Propusieron la fórmula E.2.88 en la que se identifican los dos parámetros básicos del mecanismo resistente: ρfy, denominado normalmente grado de refuerzo o fuerza de cosido; y tanφ, denominado posteriormente coeficiente de fricción y anotado como μ, que dependía del tipo de junta o plano de corte y cuyo valor se asignaba experimentalmente. Establecieron tanφ=1,7 para hormigón monolítico, 1,4



para junta artificialmente rugosa y 1 para juntas ordinarias, pero según los resultados experimentales fue necesario establecer un límite a partir del cual el modelo se volvía inseguro en la predicción de la resistencia de corte.

Tabla 2.12. Modelos empíricos de corte-fricción: resumen de fórmulas.

Autor/es Fórmula

Birkeland y Birkeland (1966) MPatan 5,5yu >/ρ⋅ϕ=τ f E.2.88

Mattock y Hawkins (1972) [154] ( ) cnyu 0,3 ffc >/σ+ρ⋅μ+=τ [MPa] E.2.89

Mattock (2001) [192] ( )

( ) ⎩⎨⎧

>/

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥σ+ρσ+ρ+

<σ+ρσ+ρ=τ

3

c2

1nyny1

1nyny

u KK

1,45K para 0,8K

1,45K para 2,25 f

ff

ff E.2.90

Birkeland (1968), Raths (1977) [193], Shaikh (1978) [194] yu K fρ⋅=τ [MPa] E.2.91

Walraven et al. (1987) [195] ( ) 2 y1u CfC ρ⋅=τ

[MPa] E.2.92

Mau y Hsu (1988) [196] ccyu 0,3 0,66 fff >/⋅ρ⋅=τ [MPa] E.2.93

Loov y Patnaik (1994) [190] ( ) ccyu 0,250,1 k fff >/⋅ρ+⋅λ⋅=τ [MPa] E.2.94

Hofbeck et al. (1969) [8] sugirieron considerar una combinación de cohesión y fricción para obtener un mejor ajuste en los resultados con bajo grado de refuerzo, y Mattock y Hawkins (1972) [154] presentaron E.2.89 para diseño en hormigón prefisurado, con un término de cohesión aparente c=1,38MPa, una fricción μ=0,8 y un valor límite expresado en función de fc; aplicable para (ρfy+σn)>1,4MPa, límite establecido por observar desviaciones en resultados experimentales, siendo σn la tensión normal sobre el plano de corte procedente de acciones exteriores, positiva para compresión. El modelo fue denominado corte-fricción modificado, objeto de estudios posteriores como en Mattock et al. (1976) [197] para áridos ligeros.

Δ

w

As

ϕ

As yfτAc u

fAs yuτcA ϕ

fAs y

fAs y

N

fAsuτcAy

ϕtan Fig.2.61. Modelo de fricción de Birkeland y Birkeland (1966).

Mattock (2001) [192] estudió un rango amplio de resistencias del hormigón y propuso la expresión E.2.90, que resulta en una curva trilineal y resuelve la aplicabilidad del modelo previo (E.2.89) para grados de refuerzo pequeños. El valor de los tres parámetros para hormigón monolítico de peso normal es: K1=0,1fc≤5,52MPa; K2=0,3 y K3=16,6MPa.



También se plantearon formas parabólicas como E.2.91, que permitía ajustarse a los resultados de una forma más satisfactoria que el modelo lineal, sin la artificiosidad de imponer un límite superior. Birkeland (1968) es citado [190,194,211] por manejar en sus notas de clase esta expresión con K=2,78MPa. Raths (1977) [193] sugirió K=λ·3,11 para hormigón monolítico, siendo λ=1 para hormigón de peso normal. La propuesta de Shaikh (1978) [194] mantenía una forma similar al modelo lineal de fricción (E.2.88) pero definía un coeficiente de fricción efectivo proporcional a la inversa de la tensión de corte, de modo que la expresión combinada podía expresarse como E.2.91 con K=λ·(6,9μ)0,5, siendo λ=1 para hormigón de peso normal y μ=1,4 el coeficiente de fricción para plano de corte hormigonado monolíticamente. Esta última propuesta fue adoptada por el manual de diseño del PCI y permanece vigente en su última edición (PCI Design Handbook 2010) [198]. Los modelos señalados hasta ahora no incluían la influencia de la resistencia del hormigón, excepto en el límite superior. Walraven et al. (1987) [195] presentaron la fórmula E.2.92 para planos prefisurados, con forma potencial y con unos coeficientes que dependían de la resistencia del hormigón: C1=0,822·fc

0,406 y C2=0,159·fc0,303 [MPa]. Diversos autores discutieron este

trabajo, como Mattock (1988) [199], que introdujo la resistencia a compresión en el término de cohesión aparente, c=0,467·fc

0,545 [MPa], para ser empleado en su ecuación E.2.89. También Mau y Hsu (1988) [196], quienes propusieron E.2.93 para aplicar a planos de corte prefisurados o monolíticos, fórmula fácil de convertir en adimensional. Otra forma parabólica, que incluye la resistencia a compresión del hormigón y contempla un término de cohesión es E.2.94, presentada por Loov y Patnaik (1994) [190], ajustada como límite inferior de ensayos en vigas de hormigón compuestas, siendo λ=1 para hormigón de peso normal, y k un factor que tenía en cuenta la naturaleza de la junta. Propusieron k=0,5 para la rugosidad natural que se había obtenido en los ensayos, y k=0,6 para el caso de plano de corte hormigonado monolíticamente. Básicamente, las fórmulas brevemente descritas en la Tabla 2.12 constituyen el abanico de posibilidades para plantear un modelo de cálculo de corte-fricción. Una revisión más completa puede consultarse en Santos y Júlio (2012) [ 200 ] quienes destacan como contribución significativa reciente su propia propuesta de expresar la cohesión y fricción a partir de un parámetro medible y no como una simple descripción del estado de la superficie. Se trata de un parámetro de rugosidad medido como la profundidad media de valle, válido para superficies uniformes pero extensible a otro tipo de superficies. La versión actual de ACI 318 (2014) [10] mantiene vigente en esencia la primera expresión E.2.88, reduciendo el valor de tanϕ para proporcionar un apropiado margen de seguridad, generalizando la inclinación de la armadura y contemplando la presencia de una compresión sobre la junta, como puede consultarse en el apartado 2.4.3.2.1. El Código Modelo 2010 [3] sugiere el uso de un parámetro de rugosidad para asignar una categoría a la junta y escoger los valores adecuados de la cohesión y de la fricción, aunque no propone ninguno en concreto. 2.4.1.3.3 Modelos analíticos o racionales Como ya se expuso con la descripción de los mecanismos de transferencia a corte (v. 2.4.1.3.1) el hormigón de un plano de corte monolítico inicialmente no fisurado agota de un modo diferente al de un plano prefisurado. Hofbeck et al. (1969) [8] y Mattock y Hawkins (1972) [154] fueron los primeros autores en descartar el modelo de fricción para este caso y en proponer un modelo más racional, aunque el modelo de fricción mantenía su utilidad como herramienta sencilla para



un diseño seguro. Ambos autores se sirvieron de ensayos de push-off con probetas sin fisurar y realizaron un planteamiento similar, hicieron hipótesis sobre el estado tensional en el plano vertical de corte poniéndolo en función de la carga aplicada a la probeta y, mediante la ayuda del concepto de envolvente de Mohr, determinaban de un modo gráfico la relación entre la tensión tangencial de rotura y el grado de refuerzo. El planteamiento de Hofbeck et al. (1969) [8] se ilustra en la Fig.2.62. Supusieron tensiones medias en el hormigón, en el entorno del plano de corte de la probeta, en la situación de agotamiento. La tensión normal horizontal sobre el hormigón (σx) provenía del efecto de cosido de la armadura:

yx fρ=σ ; wb

V⋅

=σy ; db

V⋅

=τ E.2.95

σ

fcfct 0,85

fyρτu

relación

envolvente

O

1

2

yτ( , )σ

τ xσ( , )

θ

ττ

ττ

w

d

V

Vb

xσxσ

yσ

yσ

tan =θ wd

−

1E

E2

E3

B

C

DP

Fig.2.62. Método para probetas push-off inicialmente no fisuradas Hofbeck et al. (1969).

El trabajo con tensiones medias permitía establecer una relación constante τ/σy=–w/d, así que cualquier estado tensional (τ, σy) pertenecía a la línea recta OA. Cualquier círculo de Mohr, tangente a la envolvente (línea E1E2E3) en un punto genérico B, permitía obtener el punto de corte C con la recta OA, que representaba el estado tensional para el plano horizontal. La obtención del punto D era inmediata, y representaba el estado tensional en agotamiento para el plano vertical (τ, σx), es decir, una relación τu-ρfy. El método fue descrito de forma gráfica, así que para obtener la tensión de corte de agotamiento τu correspondiente a un grado de refuerzo ρfy había que proceder por tanteos, obtener unos pocos puntos de la gráfica τu-ρfy y luego interpolar linealmente para el valor deseado. En el gráfico de la Fig.2.62 se observa que la relación τu-ρfy experimenta un cambio de tendencia a partir del punto P, que corresponde al momento en el que los círculos de Mohr dejan de ser tangentes a la envolvente en el tramo E1E2 para pasar a serlo en el tramo E2E3. El contraste experimental fue satisfactorio excepto a partir del punto P, en donde comenzó una separación gradual entre los resultados experimentales y los teóricos, y del lado inseguro. El problema quedó sin resolver pero posteriormente Mattock y Hawkins (1972) [154] escogieron una envolvente de Mohr experimental, que reflejaba el hecho de que el ángulo de fricción interna no era constante e igual a 37º (tramo E2E3 de la Fig.2.62), sino que decrecía con el nivel creciente



de compresiones. Además plantearon un estado tensional más detallado para las bielas paralelas y diagonales originadas en el plano de corte, necesitando crear dos parámetros nuevos a los que asignarles un valor. El procedimiento también resultó gráfico. Nagle y Kuchma (2007) [201] lo aplicaron para el estudio de fallos de cortante por compresión en la base del alma en los extremos de vigas pretensadas con armaduras pretesas. Otro enfoque racional de la transferencia a corte fue planteado por Nielsen (1969) y Nielsen et al. (1978), que puede consultarse completo también en la obra de Nielsen y Hoang (2010) [139]. Emplearon el criterio modificado de Mohr-Coulomb para mostrar que la teoría de corte-fricción era una solución de límite superior en la teoría de la plasticidad [165]. El problema fue tratado en tensión plana (Fig.2.63a) estableciendo una línea de carga atravesada por una armadura perpendicular, sin considerar ninguna excentricidad para la carga P, de este modo, el mecanismo de fallo consistía en un movimiento relativo paralelo entre ambas partes, definido por un ángulo α y un desplazamiento u. El hormigón fue considerado un material Mohr-Coulomb modificado, con una cohesión c y un ángulo de fricción interna φ.

(a)

P

P

α

u

armadura

(b)

d

ψ0,5ν

ν0,5

cf c

a

b

Fig.2.63. Transferencia a corte mediante el teorema del límite superior de plasticidad: (a) Mecanismo de fallo; (b) Representación de la ecuación E.2.96.

En hormigón monolítico, la discusión de casos para el ángulo α en relación al ángulo de fricción φ condujo a establecer cuatro intervalos, buscando siempre el valor mínimo de la resistencia a corte. La formulación, expresada en forma adimensional en la ecuación E.2.96, permite conocer la tensión de corte última τu en función de la armadura de cosido:

Resistencia a corte adimensional: Intervalo de validez para ψ:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ψ−

ϕ−ϕ

⋅−ν⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ψ=

τ

c

ct

c

ct

c

ct

c

u

12

ff

ff

ff

f sensen ( )ϕ+−

ϕ−ν≤ψ sensen 1

21

c

ct

ff E.2.96a

ϕψ+ν

=ϕψ+ϕϕ−

⋅ν=τ

tan tan cossen

cc

u

21

fc

f ( )

211

21

c

ct ϕ−ν≤ψ≤ϕ+−

ϕ−ν

sensensenff E.2.96b

( )ψ−ν⋅ψ=τ

c

u

f ν≤ψ≤

ϕ−ν

21

21 sen E.2.96c

ν=τ

21

c

u

f ψ≤ν

21 E.2.96d

siendo ψ = ρfy/fc el grado de refuerzo, con los significados habituales para ρ, fy y fc, y ν el factor de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón. La ecuación E.2.96 se representa en la Fig.2.63b. La parte de E.2.96a dibujada a trazos corresponde a valores ψ<0 que no tienen significado físico. En el caso de considerar fct=0, el intervalo E.2.96b desaparece, y las



ecuaciones E.2.96a y E.2.96c coinciden. Los autores utilizaron φ=37º y, mediante ajuste de los datos de varios autores, obtuvieron ν=0,67 para hormigón monolítico. Tizatto (1987) [26] utilizó el modelo para su propuesta de método simplificado en el diseño de alas comprimidas en vigas en T frente a rasante, tal y como se expone en 2.4.2.2.2.2. También se han planteado estudios analíticos derivados de la teoría del campo de compresiones (v. 2.4.1.2.2). Hsu et al. (1987) [155] aplicaron un modelo para predecir el comportamiento de las probetas de push-off monolíticas no fisuradas que entra dentro de la categoría de RA-STM, aunque este modelo fue presentado como tal posteriormente por el propio Hsu (1988). El modelo estaba pensado para predecir el comportamiento después de la fisuración diagonal, momento a partir del cual supusieron que las tensiones se redistribuían de una forma uniforme en lo que denominaron zona crítica (Fig.2.64). Despreciando el valor de la tensión normal horizontal, los datos del problema venían expresados en función de la carga P y de la geometría de la probeta:

σx = 0 ; abP

=yσ ; bhP

=τxy E.2.97

Eliminando la carga P se establecía así una relación constante entre tensión normal vertical y tensión tangencial:

σy = K·τxy siendo K = h / a E.2.98A partir de aquí, para un proceso de carga creciente, se trataba de resolver un sistema de ecuaciones no lineales como ya se anotó en 2.4.1.2.2, para construir un diagrama completo carga deformación y obtener así el valor máximo de la resistencia a corte. Un aspecto destacable es que el modelo tenía en cuenta la armadura longitudinal o paralela al plano de corte, que influía favorablemente en la resistencia a corte, es decir, su ausencia conducía a obtener menor resistencia a corte, motivo por el que Hsu et al. (1987) [155] señalaron que los métodos empíricos o semi-empíricos podían resultar inseguros ya que esta armadura era ignorada. La justificación dada era que dichos modelos se obtenían por ajustes de resultados en probetas de push-off que empleaban una armadura longitudinal importante, para evitar roturas diferentes a la buscada por corte, mientras que en los elementos estructurales reales dicha armadura era generalmente pequeña o inexistente.

Fig.2.64. Probeta de push-off y zona crítica, adaptado de Hsu et al. (1987) [155]. Rahal (2010) [156] aplicó al problema de transferencia a corte un método simplificado propuesto previamente en Rahal (2008) [152], que servía para el análisis de elementos bidimensionales de hormigón armado sujetos a esfuerzos de membrana, enmarcado en el análisis límite (v. 2.4.1.2.1.1). El resultado fue satisfactorio en el contraste de 114 probetas de push-off monolíticas y prefisuradas, e incidió, al igual que Hsu et al. (1987) [155], en la importancia de considerar la



armadura longitudinal o paralela al plano de corte. Demostró que en probetas de gran tamaño, con armadura longitudinal reducida, la aplicación de cuatro modelos de base empírica arrojaban resultados claramente inseguros, mientras que su método resultaba ajustado del lado seguro. Finalmente, pueden citarse el modelo de densidad de contacto de Li y Maekawa (1987) [202], surgido de la necesidad en el análisis estructural mediante elementos finitos de disponer de una relación entre las componentes de tensión en la fisura y las deformaciones de la misma. La obra Nonlinear Mechanics of Reinforced Concrete, de Maekawa et al. (2003) [141], está dedicada a este tipo de análisis estructural. El modelo fue utilizado por Ali y White (1999) [203] para proporcionar una fórmula práctica. Entre otros, en elementos finitos, la formulación también ha sido utilizada por Lee et al. (2011) [176] para la aplicación de FA-STM en el estudio del cortante en vigas y adaptada por Suryanto et al. (2010-2012) [204-205] para el estudio de paneles de HRFA. 2.4.2 Métodos de diseño propuestos por diversos

autores En el presente apartado se exponen métodos de diseño para el problema específico del rasante que han sido planteados por diversos autores, al margen de los códigos y normas, para los que se dedica otro apartado específico (2.4.3). Los métodos se han agrupado según sus fundamentos, aunque se pueden encontrar conceptos compartidos entre ellos. En todos ellos el enfoque siempre ha sido resistente, planteado para la situación de agotamiento, siendo el principal objetivo la obtención de la armadura transversal mínima del ala necesaria para resistir el rasante, pero pueden citarse como excepciones dos propuestas para estimar el rasante de fisuración longitudinal el ala. Los primeros métodos empleados fueron empíricos, en concreto, los dos primeros fueron directamente un ajuste experimental sobre resultados de vigas mixtas, pero con un planteamiento aplicable a vigas de hormigón. Con posterioridad, dentro de los métodos empíricos, se han incluido planteamientos que, aunque han empleado razonamientos teóricos sencillos, siempre han incluido alguna fórmula de carácter empírico, como el criterio de agotamiento o la valoración del axil transversal concomitante con el rasante. El desarrollo y difusión de los conceptos de plasticidad en el hormigón armado originó el tratamiento del problema según este particular enfoque. Así, se ha incluido un apartado de métodos basados en el límite inferior de plasticidad y otro de métodos basados en el límite superior. En el primer caso, como aplicación directa, se tienen varios planteamientos empleando el método de los campos de tensiones, así como otras dos propuestas simplificadas. La formulación de la resistencia al rasante está basada completamente en conceptos teóricos, tan solo se incluye un factor de carácter empírico, como es la resistencia plástica del hormigón en compresión cuando no reúne las condiciones idóneas del ensayo estándar. Finalmente, se dedica un apartado a la analogía de bielas y tirantes, aunque presenta una dualidad en sus fundamentos: puede ser considerado como un método empírico, ya que originalmente surgió por observación directa del comportamiento de vigas de hormigón armado; y puede considerarse también basado en el límite inferior de plasticidad. Dado que este método es adoptado básicamente por la normativa europea (v. 2.4.3.1) aquí sólo se recogen las contribuciones de los autores que contrastaron empíricamente el modelo.



2.4.2.1 Métodos empíricos Los dos primeros métodos empíricos recogidos en este apartado, propuestos por Davies (1969) [21] y Johnson (1970) [23], se basaron en ensayos realizados en vigas mixtas, pero podían plantearse también para vigas en T de hormigón armado. El desconocimiento completo del problema les condujo a plantear fórmulas 100% empíricas para el diseño de la armadura transversal, buscando una forma análoga al modelo de corte–fricción con cohesión que había surgido en los 60 como fórmula empírica sencilla para el problema de transferencia a corte. Los métodos que siguieron se plantearon para vigas de hormigón armado e incluyeron conceptos teóricos aunque de una u otra forma emplearon fórmulas empíricas. Por ejemplo, el método de Regan y Placas (1970) [19] encaja como una aplicación simplificada del límite inferior de plasticidad, aunque adoptaron como criterio resistente la fórmula empírica de fricción más cohesión. Hay dos métodos, planteados por Razaqpur y Ghali (1986) [37] y por Páez y Díaz del Valle (1992) [6], que tienen en común el uso de una expresión completamente empírica para evaluar el axil transversal concomitante con el rasante en el plano de unión ala–alma, procedente del ajuste de resultados, no de ensayos, sino de cálculos mediante elementos finitos. Hay también dos planteamientos (Regan y Placas, 1970 [19]; Tizatto, 1987 [26]) que no se centran en el cálculo de la armadura, sino en estimar el valor del rasante que produciría el inicio de la fisuración en el plano de unión ala–alma, pero están planteados sin rigor, aunque resultan interesantes para establecer un criterio para justificar la necesidad de armadura en ausencia de flexión transversal. 2.4.2.1.1 Davies (1969) Aunque Davies (1969) [21] estudió vigas mixtas, uno de los aspectos que trató fue el establecimiento de una cuantía mínima de la armadura transversal de la losa, cuya función era mantener la integridad de la losa para garantizar la capacidad resistente a flexión teórica de la viga. Argumentó la complejidad del problema, agravada en vigas mixtas por la interacción entre la losa y los conectadores, para proponer una solución empírica. Su propuesta puede generalizarse y consiste en ajustar los coeficientes adimensionales k1 y k2 de la expresión E.2.99, a partir de resultados de vigas ensayadas que hayan manifestado fisuración longitudinal antes del agotamiento a flexión:

ysf2cf1f k k fAfhS ⋅⋅+⋅⋅= E.2.99siendo hf el espesor del ala; Asf el área de la armadura transversal dispuesta en el ala por unidad de longitud de la viga; fc la resistencia a compresión del hormigón del ala; fy el límite elástico de la armadura; y Sf el rasante transmitido por el ala justo en el momento en que se hace visible la fisuración longitudinal. Para ello, han de probarse diversos valores de cuantías bajas de armadura transversal, ya que una cuantía elevada impediría la visualización clara de la fisuración longitudinal, permitiendo a la viga agotar a flexión por un valor ligeramente superior al momento último teórico. Davies ensayó 7 vigas mixtas, pero sólo 4 de ellas para tratar la armadura transversal. Empleó una cuantía geométrica de 0,94-0,47-0,235 y 0,118%, y solamente la primera agotó a flexión sin manifestar fisuración longitudinal, así que las tres restantes las empleó para obtener los coeficientes k1 y k2 (la viga con 0,118% agotó según se ha ilustrado previamente en la Fig.2.30). Consideró la constancia de los coeficientes k1 y k2 para cualquier nivel de carga, de modo que con la expresión E.2.99 podría determinarse la armadura mínima necesaria para que la fisuración



longitudinal apareciera en la situación de resistencia última a flexión, sin más que imponer Sf=Su, siendo Su el rasante transmitido justo en la situación de agotamiento teórico a flexión de la viga, es decir:

y2

cf1umínsf, k

kf

fhSA

⋅⋅⋅−

= E.2.100

Esta armadura sólo contempla el funcionamiento de las alas frente a rasante, en ausencia de flexión transversal, problema que Davies indicó que dejaba fuera del estudio. La principal idea aportada es, por tanto, que la fisuración longitudinal que aparece en el encuentro de las alas con el alma es admisible siempre que ocurra en un estado avanzado de carga, durante el desarrollo del agotamiento a flexión, y que el fenómeno es controlable disponiendo un mínimo de armadura transversal. 2.4.2.1.2 Johnson (1970) Johnson (1970) [23] reunió resultados disponibles de ensayos en vigas mixtas, incluyendo más de 60 vigas ensayadas en la Universidad de Cambridge, y consideró los resultados experimentales de las probetas de push-off de Hofbeck et al. (1969) [8] (v. 2.4.1.3). Propuso una fórmula experimental para la cuantía mínima de la armadura transversal de la losa de vigas mixtas, derivada de considerar que la resistencia frente a rasante es suma de una componente de cohesión y de una componente de fricción. En el caso de hormigón de peso normal, no sometido a cargas de fatiga ni a flexión transversal positiva, y válido para tramos de flexión longitudinal positiva y negativa, estableció:

0,552 0,3161,26 cymín ≥⋅−τ⋅=⋅ρ ff [MPa] E.2.101siendo ρ la cuantía geométrica de la armadura transversal total que atraviesa la superficie de corte; fy su límite elástico; fc la resistencia a compresión de la probeta cilíndrica; y τ la tensión rasante en la superficie de corte estudiada. En ausencia de flexión transversal (Mt≈0) recomendó disponer más de 0,5ρmín como capa de armadura inferior, zona afectada por la altura de los conectadores. Con flexión transversal negativa (Mt<0) la capa inferior se beneficia de la compresión que se genera, por lo que recomendó disponer como capa superior el mayor entre 0,5ρmín y la cuantía necesaria por flexión. Si la flexión es grande y la cuantía necesaria por flexión supera a ρmín, no debe eliminarse la armadura de la capa inferior y recomendó disponer una cuantía igual o superior a 0,5ρmín. La expresión E.2.101 no contempla la presencia de una tensión normal sobre el plano de corte, lo que indica que Johnson no consideró ningún axil transversal concomitante con el rasante en planos de corte verticales. Si bien la fórmula fue propuesta para vigas mixtas, Johnson señaló que no existía ninguna razón obvia para que no se aplicara también al caso de vigas en T de hormigón armado, aunque matizó que esta afirmación no había sido verificada mediante ensayos. 2.4.2.1.3 Regan y Placas (1970) Regan y Placas (1970) [19] analizaron el problema del rasante resistente en las alas de vigas en T a partir de resultados experimentales propios, procedentes de las tesis que ambos presentaron en 1967 y 1969, respectivamente, en la Universidad de Londres. Por una parte trataron de justificar la rotura de vigas sin armadura transversal y, por otra, plantearon un método de cálculo de la



armadura mínima transversal basándose en una condición resistente de fricción más cohesión y en las condiciones de equilibrio global del ala. Alas sin armadura transversal y sin flexión transversal. La justificación de la rotura en vigas sin armadura transversal en las alas sólo resultó satisfactoria para el caso de vigas solicitadas con carga puntual en el alma, pero esto parece originado principalmente por usar una distribución especulativa de tensiones normales transversales en el ala, aspecto que los autores no estudiaron en profundidad. El planteamiento puede generalizarse, suponiendo el ala como un elemento plano. Para una distribución de cargas aplicada sobre el alma de la viga, si se conoce la distribución de tensiones planas en la unión del ala con el alma en cada sección x de la viga, σx(x), σy(x) y τ(x), puede determinarse la sección en la que se alcanza la máxima tensión principal de tracción σI(x)máx. Cuando el nivel de carga provoque que dicha tracción iguale a la resistencia a tracción del hormigón (σI(x)máx=fct) se iniciará la fisuración del ala que provocará un agotamiento rápido de la viga, de modo que dicho nivel de carga será aproximadamente la carga máxima resistente de la viga. En la Fig.2.65 se ilustra el caso planteado por Regan y Placas (1970) [19], tramo extremo de viga simplemente apoyada, sometida a una carga puntual a una distancia a del apoyo, que es generalizable a un tramo de viga comprendido entre una sección de flexión nula y otra de flexión máxima. Consideraron una distribución de compresiones uniformes (σx) tanto en el ancho eficaz del ala (bef constante para toda la viga) como en su espesor, un valor aproximado de la tensión rasante (τ=S/hf, siendo S el rasante según E.2.20) y, sin justificación, una distribución lineal de las tensiones transversales (σy). Concluyeron que la máxima tracción principal (σI) se producía en la sección de momento máximo (x=a). Los autores únicamente anotaron estas indicaciones, pero puede deducirse fácilmente la condición de agotamiento:

ct

2ef

22ef

2ef

fef

fI 431 13

2f

ab

ab

ab

hbN

≡⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅=σ E.2.102

con los significados de los parámetros anotados en la Fig.2.65. La expresión E.2.102 puede emplearse también para estimar la carga con la que se inicia la fisuración del ala, válido para el caso de presencia de armadura transversal.

σy

a

PLANTA

x

y

ALZADO

Nf

τxσ

h

bef21 bef

máxMM=0

C

T

d

f

d hf

2−

bef,tot

−0,5máxM

d hf

ef

ef,tot

bbfN =

SECCIÓN

fh

Fig.2.65. Ala sin armadura transversal.



Otras expresiones pueden establecerse para distribuciones de carga diferentes. En el caso de distribución uniforme de carga en el alma de la viga, Regan y Placas (1970) [19] indicaron que el máximo se producía en la sección de apoyo, lo que no encajaba con lo observado experimentalmente. Atribuyeron el problema a sobrevalorar la tensión rasante en el apoyo por dos motivos: utilizar el mismo ancho eficaz en la sección de apoyo que en la sección central, y la presencia en las vigas reales de un tramo extremo que vuela más allá del apoyo. Un tercer motivo no anotado sería cuestionar la validez de la distribución lineal de tensiones transversales σy, pero podrían emplearse soluciones simplificadas propuestas por autores posteriores (v. 2.3.3.1). Alas con armadura transversal uniformemente repartida (sin flexión transversal) En el caso de disponer armadura transversal, una vez superado el nivel de carga deducido de la condición E.2.102 se produce una redistribución de tensiones en la unión ala–alma. Regan y Placas (1970) [19] sugirieron la distribución real de la Fig.2.66a y, para cálculos prácticos, plantearon la distribución de la Fig.2.66b, lo que les convierte, dentro de la bibliografía consultada, en los primeros autores en tener en cuenta la excentricidad de la resultante de compresiones en el ala en el análisis del rasante. La distribución consiste en dos bloques de tensiones normales ocupando parcialmente la junta, generando una excentricidad de la resultante axil para conseguir el equilibrio de momentos con la resultante de compresiones en el ala. Una compresión σc actúa sobre un tramo kc·a, y una tracción correspondiente al límite elástico de la armadura transversal (ρfy) actúa en un tramo opuesto de longitud ks·a, con la particularidad de que ambos tramos pueden llegar a solaparse. La condición de agotamiento se alcanza mediante la aplicación de un modelo de cohesión más corte-fricción asignado solamente al tramo comprimido, que es donde se supone que actúa una tensión rasante distribuida también uniformemente. La componente resistente de fricción se consigue únicamente con la compresión directa σc, es decir, la condición resistente se expresa:

cσ μc τ +≤ E.2.103siendo c la cohesión y μ el coeficiente de fricción.

(a)

τσcx

sσσcy (b)

τ

cσyfρ

askakc

efb

fN

kf

bef

Fig.2.66. Ala con armadura transversal: (a) distribución real sugerida; (b) distribución simplificada para cálculo. Adaptado de Regan y Placas (1970) [19].

Los autores utilizaron la ecuación de equilibrio transversal y la de equilibrio de momentos para encontrar una relación entre kc y ks que minimizara el valor de la cuantía geométrica ρ. La ecuación de equilibrio longitudinal la utilizaron para imponer el agotamiento de la tensión rasante. Debido a un error en las operaciones, el sistema de ecuaciones conducía a una ecuación cúbica en kc, y para su resolución elaboraron un gráfico adimensional. La corrección de Sen



(1971) [98] solucionó este problema y el resultado es una ecuación cuadrática fácilmente resoluble:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

ab

ahN

ahN

ahN ef

ff

f2

f

f

f

fc k μ21

c2

2c1

2c1k E.2.104

siendo a, hf y bef los parámetros geométricos descritos en la Fig.2.66b; kf representa la excentricidad de la resultante axil de compresión en el ala Nf. Para un diseño correcto de la armadura Nf debe calcularse en la situación de agotamiento a flexión de la viga. Una vez conocido kc el problema queda definido con las siguientes relaciones:

2k

1k cs −= E.2.105

c

syc k

k ρσ ⋅= f E.2.106

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅= c

f

f

sy kc

k μ1 ρ

haNf E.2.107

La expresión E.2.107 representa, por tanto, la cuantía mínima de la armadura transversal del ala que garantiza la resistencia frente al rasante. Regan y Placas (1970) [19] no establecieron ningún límite superior para la compresión σc, y particularizaron el problema para una cohesión c=0,125fc, una fricción μ=1 y una excentricidad kf=0,5. En cierto modo, el planteamiento general relaciona el ancho eficaz y la excentricidad de la resultante de compresiones en el ala con la cuantía de la armadura transversal, pero sus autores no profundizaron en estudiar el ancho eficaz y su influencia en la demanda de armadura. Alas con flexión transversal En el caso de presencia de flexión transversal en el ala los autores sugirieron superponer el estado tensional representado en Fig.2.66b y el correspondiente al de la flexión transversal, asumiendo un bloque rectangular de compresiones delimitado por el eje neutro de la flexión. Sin entrar en mayor detalle, y utilizando el resultado de dos vigas, concluyeron como regla práctica de diseño disponer la armadura de flexión siempre que resultase superior a la armadura de rasante. 2.4.2.1.4 Razaqpur y Ghali (1986) Razaqpur y Ghali (1986) [37] propusieron un método completo, en el sentido de que plantearon tanto el cálculo de esfuerzos en el plano de unión ala–alma como el criterio resistente; y de carácter general, ya que incluían cualquier tipo de carga y esquema de apoyo de la viga. Como esfuerzos a tener en cuenta en el plano de corte consideraron el rasante, obviamente, el momento flector transversal y, como novedad frente a autores previos, el esfuerzo axil transversal concomitante. Considerando el ala contenida en el plano horizontal xy, se trataría de los esfuerzos Nxy, Mx y Ny, respectivamente (notación seguida en 2.3.3.1) siendo el eje x paralelo a la viga. Para el esfuerzo rasante propusieron usar la clásica fórmula de análisis elástico lineal, proporcional al cortante vertical, o bien una fórmula simplificada utilizada en análisis elástico no lineal, adoptando como factor de transferencia la relación entre anchos del ala y cabeza



comprimida y concentrando la resultante de compresiones en el espesor medio del ala. Se trata de las expresiones E.2.7 o E.2.20, respectivamente, siendo Nxy=S. También establecieron unas reglas prácticas sobre el valor del rasante en las proximidades de las cargas concentradas y en los extremos de las vigas, ilustradas en la Fig.2.51. En cuanto al axil transversal Ny, la novedad frente autores previos es que emplearon los resultados de un análisis elástico lineal realizado mediante elementos finitos para ajustar una fórmula simplificada de dicho esfuerzo. La formulación de Ny corresponde a un estudio anterior (Razaqpur y Ghali, 1984 [15]) ya descrito en el apartado 2.3.3.1.1, que permite el estudio de vigas simples con carga puntual o uniforme, y vigas continuas. Como criterio resistente recurrieron a un modelo de corte-fricción con término cohesivo, incorporando, obviamente, el efecto del axil transversal Ny que habían formulado. Supusieron un coeficiente de fricción μ=1 y el término cohesivo lo ajustaron a resultados de vigas en T ensayadas por varios autores, y no a resultados de probetas push-off. En el caso de ausencia de flexión transversal (Mx=0), la cuantía total ρ de la armadura transversal debía cumplir la doble condición:

⎪⎩

⎪⎨⎧

σ−τ+σ

≥ρy

yy

cf E.2.108

siendo σy = Ny / hf la tensión normal transversal al plano de corte, concomitante con τ, con valor positivo si se trata de tracción;

τ = Nxy / hf la tensión rasante, siendo hf el espesor del ala; c el término de cohesión, para el que distinguieron dos valores, ajustados a

resultados de ensayos realizados en vigas en T de otros autores: c = 0,1fc para alas comprimidas, habiendo utilizado el trabajo de

Regan y Placas (1970) [19]; c = 0,035fc para alas traccionadas, habiendo utilizado el trabajo de Eibl y

Kühn (1979) [32]; pero siempre con la limitación c≤3MPa.

En el caso de presencia de flexión transversal la condición era similar, pero incorporaba el término de tensiones normales derivadas de la flexión y consideraba la distribución de dos capas de armadura, cada una con cuantía ρ:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅±

⋅±

−+

≥

xf

xy

xf

xy

y

2σ

2τσ

ρ

zhM

zhMc

f E.2.109

en donde el signo + se toma para la capa superior y el signo – para la inferior, con el criterio habitual Mx<0 si produce tracciones en el paramento superior; siendo zx la distancia entre las capas superior e inferior o el brazo mecánico de flexión si la armadura inferior no es necesaria. Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26] cuestionaron la validez teórica del método, de hecho, el segundo señaló que conducía a cuantías de armadura antieconómicas aparte de distribuciones de armadura poco prácticas. La razón puede encontrarse en el hecho de que los esfuerzos Nxy y, principalmente, Ny provienen de un análisis lineal, por lo que son proporcionales a la carga exterior aplicada y no contemplan la redistribución debido a la plastificación de la armadura.



Aparte, Razaqpur y Ghali (1986) [37] dieron a entender que su método era el primero que consideraba de una forma explícita el esfuerzo axil transversal Ny en el diseño, sin embargo, esta afirmación resulta errónea ya que, si bien en las expresiones E.2.108 y E.2.109 efectivamente figura el esfuerzo a través de la tensión σy, lo cierto es autores previos como Regan y Placas (1970) [19] sí que consideraron el axil transversal para hacer cumplir la condición de equilibrio de momentos en el ala, como puede apreciarse en la Fig.2.66b, con el acierto de plantear una redistribución de esfuerzos, adecuada a los criterios habituales de diseño en hormigón armado. 2.4.2.1.5 Tizatto (1987) Si bien no se trata de un método de diseño, Tizatto (1987) [26] propuso una expresión sencilla para evaluar la resultante de compresiones en el ala que provocaría la fisuración longitudinal de la misma (Nf,fis) y, por tanto, el inicio del agotamiento de la viga en el caso de no disponer de armadura transversal en el ala y de ausencia de flexión transversal:

3 2c

eff

fisf, 0,1 fba

haN

⋅⋅=⋅

E.2.110

con los significados habituales de a, hf y bef, para los que resulta válida la Fig.2.65, correspondiente a la propuesta similar de Regan y Placas (1970) [19], con quienes comparte la cuestionable hipótesis de suponer una distribución lineal de tensiones transversales σy, sobre todo después del estudio más detallado sobre este esfuerzo que realizaron Razaqpur y Ghali (1984) [15] (v. 2.3.3.1.1). Tiene además otra hipótesis cuestionable, y es la condición de fisuración longitudinal del ala, ya que simplemente igualó la tracción máxima con la resistencia a tracción uniaxial (σy,máx=fct), prescindiendo del estado tensional bidimensional, cosa que sí tuvieron en cuenta Regan y Placas (1970) [19]. A pesar de estos inconvenientes, lo cierto es que la sencilla expresión E.2.110 permite justificar fácilmente el problema de la necesidad de armadura transversal en vigas de alas anchas comprimidas, en ausencia de flexión transversal. Basta imponer la condición Nf,fis=Nf,u, siendo Nf,u=fc·bef ·hf, el axil de agotamiento a compresión del ala. De este modo, Tizatto (1987) [26] estableció que, para hormigones de resistencia habitual (fc≤40MPa), las vigas con relación bef/a>0,17 iniciarían una fisuración longitudinal antes de agotar la capacidad a compresión del ala, luego, sin otras consideraciones, serían vigas que necesitarían armadura transversal para controlar la fisuración y evitar la rotura por separación del ala. La conclusión opuesta es que vigas con relación bef/a<0,17 podrían diseñarse sin armadura transversal en las alas. Tizatto (1987) [26] no profundizó más en este concepto y ni siquiera contrastó su expresión con resultados experimentales, argumentando el escaso interés práctico. 2.4.2.1.6 Páez y Díaz del Valle (1992) El planteamiento de Páez y Díaz del Valle (1992) [6] guarda cierta similitud con el de Razaqpur y Ghali (1986) [37], tratado en el apartado previo, ya que estudiaron el axil transversal Ny mediante un análisis paramétrico con elementos finitos, propusieron una fórmula ajustada empíricamente a sus resultados para el caso de carga repartida (E.2.47 y E.2.48, según se ha expuesto en el apartado 2.3.3.1.2) y, posteriormente, emplearon este esfuerzo, junto con el rasante Nxy y el flector transversal Mx para proponer un método de diseño de la armadura transversal. Los esfuerzos Nxy, Mx y Ny siguen la notación empleada en 2.3.3.1, que obedece a considerar el ala contenida en el plano xy, con el eje x paralelo a la viga.



La propuesta para diseñar la armadura de unión alas–alma es muy sencilla ya que consiste en la superposición de dos juegos de armaduras, cada uno obtenido para dos estados tensionales procedentes de dos grupos de esfuerzos:

sf,2sf,1sf AAA += E.2.111donde Asf,1 es la armadura transversal frente a solicitaciones normales, es decir, el axil

transversal Ny y el momento flector transversal Mx; y Asf,2 es la armadura encargada de resistir la tracción diagonal producida por el estado de

corte puro que genera el esfuerzo rasante Nxy. Ello implica suponer fisuración oblicua con inclinación de 45º, para lo cual los autores plantearon dos posibilidades: disponer una armadura oblicua con inclinación 45º, como solución técnica eficaz; o disponer una armadura perpendicular, paralela a Asf,1, como solución más práctica. En ambos casos la condición para la armadura puede resumirse del siguiente modo:

f

xyy

f

sf,2y

hN

fsh

Af =τ≥⋅

⋅=ρ E.2.112

siendo hf el espesor del ala y s la separación de la armadura, medida siempre perpendicular a la armadura.

Para el esfuerzo rasante propusieron usar la fórmula simplificada E.2.20, en donde el rasante es proporcional al cortante vertical, siendo Nxy=S, pero utilizando un brazo mecánico ligeramente diferente, igual a d–0,4hf. Son varias las objeciones que pueden realizarse sobre la propuesta. Al igual que con Razaqpur y Ghali (1986) [37] (v. 2.4.2.1.4), el axil transversal Ny proviene de un análisis elástico lineal no fisurado, y generalmente también Nxy, ya que así suele calcularse el cortante vertical, por lo que son proporcionales al nivel de carga, omitiendo cualquier redistribución de esfuerzos, lo que conduce a una distribución de la armadura poco práctica. Aparte, es cuestionable la validez de la superposición de estados, y la armadura de corte se deriva de plantear un estado fisurado con un ángulo de fisuración de 45º, cuando realmente no hay corte puro si se considera el axil transversal Ny y, sobre todo, el axil longitudinal Nx, que no es tenido en cuenta. Finalmente, no contrastaron resultados con ensayos propios ni con los de otros autores. En un ejemplo numérico, la consideración de Ny condujo a emplear un 13% más de armadura transversal tipo Asf,1. 2.4.2.2 Basados en el Límite Inferior de Plasticidad El teorema del límite inferior de plasticidad tiene su aplicación práctica en el método de los campos de tensiones, cuyas generalidades ya han sido tratadas en el apartado 2.3.5. Este método fue empleado para diseño de las alas frente al rasante por unos pocos autores entorno a finales de los años 70, contemplando el estado tensional de cualquier punto del ala y satisfaciendo las condiciones de equilibrio. El planteamiento y resolución podía resultar costoso, dependiendo del número de campos de tensiones empleados en modelizar el ala, por ello se propusieron también soluciones simplificadas que consideraban el ala como un cuerpo rígido y planteaban el estudio de las tensiones sólo en el plano de unión del ala con el alma, ignorando el estado tensional de las restantes zonas. En el presente apartado, por tanto, se dividen las propuestas en dos grupos: campos de tensiones y modelos simplificados.



El teorema del límite inferior también puede aplicarse al método de bielas y tirantes pero, ya que la analogía de la celosía surgió por observación experimental, se ha optado por exponer este método en un apartado diferente (v. 2.4.2.4). 2.4.2.2.1 Campos de tensiones El ejemplo más básico de cómo visualizar el flujo de tensiones en un ala aislada comprimida mediante campos de tensiones lo constituye la propuesta de Petersen y Lyhne (1975), consistente en un campo tensional triangular homogéneo, anotado como A en la Fig.2.67a, y otro campo tensional B nulo para el resto del ala. El campo A presenta un estado uniaxial de compresión paralela a su borde inclinado (σA), que resulta de desviar la compresión longitudinal del ala (σf) mediante una armadura transversal concentrada en la sección de máxima flexión de la viga. Mediante condiciones de equilibrio se puede conocer la relación entre los distintos parámetros intervinientes y el interés estriba en determinar la mínima armadura necesaria para apurar las condiciones plásticas de los materiales. La condición plástica impuesta para la armadura es siempre una tensión de tracción igual al límite elástico fy; y para el hormigón, en este caso, fue limitar la compresión uniaxial del campo triangular, lo que puede escribirse como σA≤ν·fc, según la notación seguida en el análisis límite (v. 2.4.1.2.1), siendo ν el coeficiente de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón cuando éste trabaja en condiciones diferentes al ensayo estándar de compresión uniaxial.

(a)

2efb

σf

fN

σ

τ

yfAs

σB= 0

α σA

(b)

2efb

σf

fN

στ

σB= 0

βσA

σB

fh

yfρ

efb

Fig.2.67. Modelos para ala comprimida aislada: (a) Petersen y Lyhne (1975); (b) Domingues (1981). Dada la sencillez del modelo, con pocas operaciones puede obtenerse la expresión de la armadura mínima, anotada a continuación de forma adimensional:

2

c

2

c

y 0,25 0,5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ−ν⋅−ν⋅=

ρ

fff

E.2.113

siendo ρ=As/(a·hf) la cuantía referida al área de rasante, aunque la armadura As haya de disponerse concentrada; τ=Nf/(a·hf) la tensión rasante distribuida uniformemente; y Nf la resultante de compresiones en el ala eficaz. Obviamente, el inconveniente del modelo de Petersen y Lyhne (1975) reside en la concentración de la armadura, ya que en la práctica se coloca de una manera repartida. Aparte, presenta otro problema, la relación entre compresiones inclinada y longitudinal resulta:

112

ef

f

A >⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=σσ

ab

E.2.114



ello quiere decir que si la condición plástica es con ν=0,6, un valor razonable para hormigón comprimido resistiendo cortante, entonces el nivel de compresión en el ala σf nunca alcanzaría un valor mayor a 0,6fc, lo cual no es razonable. En los ensayos llevados acabo por los propios autores se dio el caso de una viga que con armadura repartida en un tramo a/2, contiguo a la carga concentrada, rompió por flexión cuando tenía una cantidad de armadura menor que otras cuatro vigas con armadura concentrada, que rompieron por rasante. La evolución del modelo anterior, que evita la concentración de armadura, se ilustra en la Fig.2.67b. Se trata de una solución con dos campos triangulares homogéneos A y B, más un tercer campo C nulo, utilizada por Domingues (1981), utilizando los conceptos de plasticidad de Nielsen et al. (1978). En realidad, se trata de una familia de campos de tensiones posibles, definidos por un parámetro geométrico k indeterminado. Domingues (1981) fijó una cuantía de armadura ρ, encargada de desviar las compresiones en la línea de discontinuidad entre los campos A y B, y buscó el valor de k que maximizara Nf, utilizando las ecuaciones de equilibrio global, resultando k=0,5. Conociendo el valor de k las ecuaciones de equilibrio longitudinal entre campos permiten obtener la relación entre compresiones uniaxiales:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅=σσ 2

ef

A

B 210,5

ab E.2.115

y, dado que en la práctica se tiene bef/a<0,5, resulta siempre σB<σA, lo cual es más razonable a la hora de imponer una condición plástica para cada campo tensional. El campo A corresponde a una compresión uniaxial con ausencia de fisuración, y el campo B presenta fisuración paralela u oblicua. En esta ocasión la condición plástica fue establecida sólo para la compresión longitudinal (σA≤ν·fc) y la cuantía mínima de la armadura resultó con una expresión muy sencilla:

2

cc

y 4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ⋅

ν=

ρ

fff

E.2.116

siendo ρ la cuantía de la armadura que se distribuye uniformemente en 0,5a; y τ=Nf/(a·hf) la tensión rasante distribuida uniformemente, igual que en el modelo anterior. La longitud a corresponde al tramo del ala sobre el que se desarrolla el rasante de estudio, comúnmente es entendida como la distancia entre la sección de momento máximo y la sección de momento nulo situada sobre el apoyo, ya que los modelos se han planteado sobre vigas simplemente apoyadas, más sencillas de ensayar. En estos dos modelos descritos se consideró el flujo de compresiones del ala hacia el apoyo, a través del alma, por lo que redujeron la longitud a en una cantidad z/2·cotgθw siendo z el brazo mecánico y θw el ángulo de la fisuración inclinada en el apoyo. Otro modelo con mayor número de campos de tensiones y de resolución más laboriosa fue planteado por Morley y Rajendran (1975) [22]. El modelo se ilustra en la Fig.2.68, queda descrito con 3 campos triangulares homogéneos J, H y K, más un campo G nulo, y precisa de dos parámetros geométricos para su definición, los ángulos α y β. Los campos J y K son uniaxiales y no precisan de armadura, mientras que el campo H se encarga de desviar las compresiones; para ello desarrolla tracciones, siendo preciso emplear en él una armadura transversal. El criterio seguido para diseñar la armadura fue el caso 2 de la Tabla 2.11, propuesto por Nielsen (1963) para una laja de hormigón armado sin armadura longitudinal, según se ha visto en el apartado de análisis límite (v.2.4.1.2.1.1).



efb na= 2

σK

fN

na

στ

σ

τJ

Jy

Hy

H

yx

σG= 0σJ

σK

βα

fh

Fig.2.68. Modelo de campo de tensiones de Morley y Rajendran (1975) [22]. La determinación del campo K es directa, σK cumple la condición plástica ya que se obtiene del análisis seccional necesario para hallar Nf. Sólo queda imponer la condición plástica para el hormigón en el campo J: σJ≤ν·fc. Con los criterios descritos y las ecuaciones de equilibrio los autores buscaron los valores de α y β para minimizar la armadura. El número de operaciones necesario resulta mucho mayor que en los dos modelos previos pero finalmente resultan unas expresiones directas y sencillas:

ef 2 ba

=β tan E.2.117

ef

2

efc 2411

ντα

ba

ba

f−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅= tan E.2.118

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅+⋅−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅=

2ef

c

ef

2ef

y

4 1 ντ 3

τ4 ρ

ab

fab

ab

f E.2.119

siendo τ=Nf/(a·hf) la tensión rasante distribuida uniformemente, aunque el mecanismo resistente contempla dos valores diferentes de la tensión rasante; y a la distancia entre la sección de máxima flexión y la sección de momento nulo, sobre apoyo. La demostración completa de las expresiones E.2.117, E.2.118 y E.2.119 puede consultarse en el anejo B. Morley y Rajendran (1975) [22] plantearon este modelo junto con otro simplificado (v. 2.4.2.2.2.1) y otro basado en el teorema del límite superior (v. 2.4.2.3), en todos ellos emplearon el factor n para expresar la excentricidad de la resultante Nf, anotado en la Fig.2.68. La relación con el ancho eficaz es inmediata (bef=2na). La objeción que encontraron en su modelo de campo de tensiones es que no era capaz de recoger el caso n=0, mientras que no ocurría así en los otros dos modelos, como se verá más adelante. El caso n=0 sería útil para modelizar una semi-ala interior, como en una viga de sección en cajón o en un tablero multivigas. Otros modelos fueron propuestos por Domingues (1981), tanto para alas comprimidas como para alas traccionadas, y ningún autor posterior ha vuelto a plantear o contrastar modelos de campos de tensiones para el problema del rasante hasta el trabajo recientemente publicado de Schütte y Sigrist (2014) [28]. En este trabajo, sin embargo, el planteamiento de los campos de tensiones es mucho más avanzado, incluyendo condiciones de compatibilidad de deformaciones para definir el coeficiente de eficacia ν, similar al coeficiente empleado en la teoría de los campos de compresiones, dentro del concepto de reblandecimiento del hormigón (v. 2.4.1.2.2),



argumentando que las alas podían ser tratadas como paneles o lajas de hormigón, de modo similar al problema del cortante vertical en las almas. El análisis planteado por estos autores contempla conjuntamente la flexión de la viga, el funcionamiento a corte del alma y a rasante de las alas, requiere la discretización en tramos y la resolución iterativa de un sistema de ecuaciones. El modelo lo contrastaron con los resultados experimentales de Badawy y Bachmann (1977) [29] y de Tizatto (1987) [26], 6 vigas en total, sin flexión transversal ni pretensado transversal, concluyendo que proporcionaba mayor precisión que el resto de métodos existentes, excepto en el caso de vigas con cuantía baja de la armadura transversal. 2.4.2.2.2 Métodos simplificados 2.4.2.2.2.1 Morley y Rajendran (1975) Como alternativa a su modelo de campo de tensiones (v. 2.4.2.2.1) y a su modelo basado en el límite superior de plasticidad (v. 2.4.2.3), Morley y Rajendran (1975) [22] plantearon un método sencillo considerando el equilibrio global del ala. Anotaron su similitud con el de Regan y Placas (1970) [19] (v. 2.4.2.1.3), pero tomaron conceptos de la teoría de la plasticidad para plantear el criterio de agotamiento. Según los propios autores, el método sigue la esencia del teorema del límite inferior de la teoría de la plasticidad, pero es aproximado porque solamente se centra en el estado tensional de la junta y no en el resto del ala. En la Fig.2.69a se representa la distribución de tensiones propuesta para un tramo de ala comprendido entre una sección de momento nulo (en A) y una sección de momento máximo (en B). El criterio de fallo del hormigón consiste en admitir que todos los puntos de la junta de corte AB presentan un estado tensional con tensiones principales iguales a 0 y a –f1c, siendo las compresiones negativas y f1c la resistencia plástica del hormigón en compresión. En la situación de fallo se supone que la armadura transversal está plastificada y que las tensiones rasantes τ se distribuyen uniformemente. Esto permite, mediante el círculo de Mohr (Fig.2.69b), determinar las tensiones de compresión en el hormigón para establecer dos tramos que proporcionen el equilibrio de momentos según el eje z, perpendicular al plano del ala.

(a)

efbna

=2

fN

na

τ

−σc

y

x

θ

fh ak·

=0

A

máxM

1cf σc

yfρ

1cf −θ 1cfπ2

Bzona A zona B

M

+σc1cf−σc

−

1cf−

απ−2 τ = fNa hfθ2

σ

τ

τ = fNa hf

−

O

(b)

Fig.2.69. Método simplificado de Morley y Rajendran (1975) [22]: (a) distribución de tensiones en el ala; (b) cálculo de las compresiones sobre el hormigón de la junta de corte.

El resultado de este planteamiento, que utiliza 3 ecuaciones de equilibrio y una 4ª ecuación del círculo de Mohr, permite hallar la cuantía de la armadura transversal (ρ) en función de la tensión rasante y de la excentricidad de la resultante de compresiones en el ala. Utilizando la notación seguida hasta ahora para la resistencia plástica del hormigón en compresión, se emplea f1c=ν·fc, y la fórmula adimensional resultante, comparable con otros métodos, es:



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅−−=

2

c

2

cc

2

c

y τ4ν 2ττν 0,25 ν 0,5 ρ

fffff

n E.2.120

siendo τ=Nf/(a·hf) la tensión rasante uniformemente distribuida en a (Fig.2.69a); y n la excentricidad de la resultante Nf, expresada como una fracción de a. Puede también sustituirse el término n·a por el más familiar 0,5bef, siendo bef el ancho eficaz del ala situada a un lado del alma. En la Fig.2.70 se representa la ecuación E.2.120 para diversos valores de n, adoptando ν=1. Para que el radicando sea siempre positivo, la tensión rasante queda forzosamente limitada según la siguiente expresión:

2c

161

ν 0,5 τ

n+<

f E.2.121

El problema ilustrado en Fig.2.69a queda definido finalmente con las siguientes expresiones:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅=

2

c

2cc

τν 0,25 ν 0,5σf

f E.2.122

cc

cy

σ2 νσ ρ

k−

−=

ff

E.2.123

( )cc νσ2

τ 2α2f−

=tan E.2.124

siendo σc el valor sin signo de la compresión mínima en el hormigón compatible con una tensión tangencial τ (Fig.2.69b); k la fracción de la junta AB con máxima compresión transversal; y α el ángulo de la dirección principal de compresión en la junta en el tramo k·a. Puede observarse cómo el ángulo α permite explicar de una forma simplificada el patrón de fisuración que suele aparecer en el ala debido al rasante, en estados avanzados de carga. La Fig.2.7, correspondiente a resultados experimentales de Fiorito (1987) [25], permite comprobar cómo el ángulo de inclinación de las fisuras es pequeño en las proximidades de la sección de máxima flexión y crece conforme las fisuras se desarrollan en las cercanías del apoyo.

n= 0

n= 0,1

n= 0,2

n= 0,3

n= 0,4n= 0,5

n= 0,6

curva límite

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5ρfy /fc

τ/fc

Fig.2.70. Relación entre tensión rasante y cuantía de armadura para ν=1 y diversos valores de n; curva

límite para el caso ν=α=1 y c=hf . Según Morley y Rajendran (1975) [22].



Según se ha expuesto, la expresión E.2.120 puede utilizarse para determinar la cuantía ρ necesaria para resistir una tensión rasante τ si se conoce la excentricidad n, sin embargo, no implica el agotamiento a compresión del ala o, lo que es lo mismo, el agotamiento a flexión de la sección B de la Fig.2.69a. Los autores plantearon el caso extremo en el que para resistir τ, en la sección de máximo momento flector, el ala alcanzaba su resistencia plástica a compresión, extendida esta vez en un ancho eficaz 2nc·a. Contemplaron también el caso de que el bloque de compresiones en la sección B tuviera una profundidad c, menor o igual que el espesor del ala hf. La resistencia plástica a compresión del ala que utilizaron fue la misma que en la zona de unión ala–alma (f1c=ν·fc), aspecto que resulta cuestionable, pero fácilmente puede introducirse una resistencia plástica diferente, que se anota a continuación como α·fc. Con este planteamiento más general, la ecuación de equilibrio longitudinal permite expresar la excentricidad así:

c

fc α

τ 2 fc

h⋅=n E.2.125

en donde, como se ha indicado, c es la profundidad del bloque comprimido en el ala (c≤hf). La expresión E.2.125 sustituida en E.2.120 conduce a lo que los autores denominaron curva límite:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

2

c

2f2

c

2

c

y τ4ν α

1τν 0,25 ν 0,5 ρ

fch

fff

E.2.126

para la que se deduce el siguiente límite de la tensión tangencial: 2

f

f

c

αν41 1

22 α

τ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅++−⋅⋅≤

ch

hcf

E.2.127

La expresión general E.2.126 no figura en el artículo original, pero sí que aparece representada para el caso ν=α=1 y c=hf, junto con un juego de curvas correspondientes a la expresión E.2.120, tal y como se ilustra en la Fig.2.70. Morley y Rajendran (1975) [22] emplearon la curva límite (E.2.126 con α=ν) para justificar el momento de agotamiento de las cuatro vigas mixtas de Davies (1969) [21], comentadas brevemente en 2.4.2.1.1, cometiendo un error entre el 9 y el 15% del lado seguro, lo que constituye una aproximación satisfactoria. Hay que recordar que 3 de estas vigas disponían de una armadura transversal en el ala deficitaria para que la viga desarrollase su momento máximo resistente teórico. Utilizaron ν=0,6 como valor más adecuado para establecer la resistencia a compresión del hormigón, valor que también encajaba con ensayos propios que habían realizado previamente sobre elementos placa de hormigón armado. Hasta aquí el estudio descrito es aplicable a vigas en T con alas aisladas pero Morley y Rajendran (1975) [22] extendieron su aplicabilidad a las alas interiores, que es el caso que se presenta con la disposición de varias vigas en T paralelas o similares, sin más que adoptar una excentricidad nula para la resultante de compresiones en el ala, es decir, n=0. También dieron indicaciones para el caso de vigas continuas, recomendando como simplificación práctica tomar la sección A de la Fig.2.69a como la sección sobre el apoyo continuo, Nf como la suma de la resultante de compresiones en B y tracciones en A, y n un valor promedio entre ambas secciones. Trataron también la flexión transversal con los mismos criterios simplificados de la teoría de la plasticidad, asignando tensiones rasantes solamente en el espesor comprimido del ala, en donde aplicaron como criterio de fallo un estado tensional con tensiones principales 0 y –f1c, empleando un círculo de Mohr similar al de la Fig.2.69b.



2.4.2.2.2.2 Tizatto (1987) Tizatto (1987) [26] utilizó como criterio resistente el planteamiento teórico de la transferencia a corte dado por Nielsen et al. (1978), dentro de la teoría de la plasticidad, según se ha expuesto en el apartado 2.4.1.3.3. En concreto se trata de la fórmula E.2.96b, debido a que correspondía al intervalo más habitual para las cuantías mecánicas de la armadura transversal empleadas en las alas de las vigas en T. Particularizó la fórmula para un ángulo de fricción interna ϕ=37º y, dado que originalmente no contemplaba la excentricidad de la fuerza de corte (fuerza P de la Fig.2.63a), la reescribió sustituyendo ρfy por una tensión genérica σ normal al plano de corte, adoptando la siguiente forma:

σ0,75ν0,25τ c ⋅+⋅⋅= f E.2.128en donde ν es el factor de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón. Alas comprimidas sin flexión transversal. Tizatto (1987) [26] observó que los ensayos de vigas en T presentaban toda la armadura transversal plastificada cuando la cuantía de la misma era muy baja y/o el ancho eficaz pequeño. En caso contrario, sólo una parte de la armadura llegaba a plastificar. Debido a esta observación planteó dos modelos de cálculo, derivados de las distribuciones de tensiones en el plano de corte ilustradas en la Fig.2.71. El esquema corresponde a un tramo de ala de longitud a, comprendido entre una sección de momento nulo y otra de momento máximo, independientemente del tipo de carga aplicado sobre el alma de la viga. En la situación de agotamiento sólo consideró una tensión rasante resistente en el tramo de ala de longitud kc·a, que está sometido a una compresión uniforme σ para equilibrar el momento de la resultante de compresiones en el ala Nf. La compresión σ es la máxima compatible con τ según el criterio de rotura indicado en E.2.128.

(a)

fN

τσ

ak ·

=0

máxM

c

yfρ

M

ak ·s

=1ks

2efb

(b)

fN

τσ

ak ·

=0

máxM

c

yfρ

M

ak ·s

=1ks

2efb

< 1kc−

Fig.2.71. Modelos de Tizatto (1987) [26]: (a) armadura transversal completamente plastificada (ks=1); (b) armadura transversal parcialmente plastificada (ks<1).

El conjunto de las 3 ecuaciones de equilibrio y la condición de rotura E.2.128 conduce a las siguientes expresiones de la cuantía de la armadura transversal:

— Modelo ks=1, para cuantías bajas y/o relaciones bef/a pequeñas:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅⋅ν⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−ν+ν−⋅⋅=ρ

f

fefc

2

f

fcc

f

fy

12

4

461

haN

ab

fha

Nffha

Nf E.2.129



— Modelo ks<1 (ks=1–kc), para el resto de casos:

f

fefc

f

fefc

y

34

haN

ab

f

haN

ab

ff

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−−ν

⋅⋅ν=ρ E.2.130

El término Nf/ahf es una suerte de tensión tangencial nominal, mientras que la tensión tangencial realmente resistente, acorde al modelo, es 1/kc veces mayor. Ambas expresiones son fácilmente reescribibles en forma adimensional, y así se representan en la Fig.2.72, en donde pueden compararse los dos modelos para diferentes valores de la relación del ancho eficaz (bef/a), adoptando un valor ν=1. La similitud de las curvas para valores de la cuantía mecánica baja condujo a descartar el primer modelo, en favor del segundo, ya que reproducía resultados satisfactorios tanto para cuantías bajas como mayores. Con este razonamiento Tizatto (1987) [26] propuso la ecuación E.2.130 como solución al problema de cálculo de la armadura transversal resistente frente a rasante de un ala comprimida, utilizando como datos el ancho eficaz bef y la resultante de compresiones Nf. La situación de agotamiento plástico del ala queda definida finalmente con las dos siguientes expresiones:

yef

c

yef

c

3 4

3 4

kf

baf

fb

a

ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ν

ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= E.2.131

yc

c k

k1 fρ⋅−

=σ E.2.132

0,1

0,2

0,30,40,10,20,30,4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,0 0,1 0,2ρfy /fc

Nf / ahffc

modelo ks=1modelo ks<1

bef/a

Fig.2.72. Comparación de los dos modelos de Tizatto (1987) [26] con ν=1.

Mientras que Nielsen et al. (1978) establecieron originalmente unos valores para ν de 0,67 para junta monolítica íntegra, y de 0,5 para junta prefisurada, Tizatto (1987) [26] propuso ν=1, ajustado al resultado de sus 8 vigas en T cargadas sobre el alma, de las cuales 5 formaron también parte del estudio de Fiorito (1987) [25], más otras 3 vigas de Domingues (1981).



Alas comprimidas con flexión transversal. En el caso de presencia de flexión transversal, Tizatto (1987) [26] adaptó el esquema de la Fig.2.71b, dividió la armadura de rasante (ρr) en dos capas y contempló un incremento de armadura (ρm) en la capa superior para la flexión transversal (negativa). El análisis del rasante conducía a una fracción kc según E.2.131, tomando ρ=ρr, de modo que estableció un tramo de longitud kc·a flexocomprimido, donde aplicó la condición de agotamiento E.2.128 al bloque comprimido, y un tramo de longitud (1–kc)·a flexotraccionado, donde aplicó como condición de agotamiento la correspondiente a un análisis seccional clásico frente a solicitaciones normales. La sección de análisis a flexotracción quedaba definida solamente por una capa superior de cuantía 1/2ρr+ρm, despreciando la capa inferior (1/2ρr) en compresión. Para el análisis empleó compatibilidad de deformaciones, una ley parábola-rectángulo en compresión para el hormigón y una ley bilineal con endurecimiento para el acero. Su resolución requirió la programación de una herramienta de cálculo, y los resultados los plasmó en una serie de ábacos de interacción entre el rasante y el momento transversal. En el caso de que la flexión transversal fuera inferior al 40% del momento de agotamiento en ausencia de rasante, estableció que la flexión no afectaba a la resistencia a rasante, aunque recomendó distribuir la armadura igualmente en dos capas, con mayor cuantía en la capa traccionada por la flexión, reduciendo en la misma cantidad la de la capa comprimida. Alternativamente, como regla práctica de diseño, para no depender de los ábacos, propuso el cálculo aislado de la armadura de rasante y de flexión, disponiendo la suma de la de flexión más la mitad de la de cortante o sólo la de cortante, dependiendo de cuál fuera mayor. 2.4.2.3 Basados en el Límite Superior de Plasticidad El teorema del límite superior de plasticidad establece que un conjunto de cargas externas actuantes constituye un límite superior de aquellas que causarían el colapso, si puede encontrarse un mecanismo tal que el trabajo ejercido por las fuerzas actuantes sea igual a la energía disipada por la deformación del medio. La aplicación del teorema se conoce como método cinemático, y resulta compleja si se pretende tener en cuenta la deformación de todo el medio, por ello, los pocos autores que aplicaron el teorema al problema del rasante consideraron el ala como un cuerpo rígido y sólo una franja estrecha, según la línea de unión con el alma, quedaba sometida a un flujo plástico tensiones.

(a)

fN

a

u

v AB

naω

(b)

a0,5·L−a

a v

0,5·L

Fig.2.73. Modelos de límite superior: (a) Morley y Rajendran (1975) [22]; (b) Domingues (1981).



Petersen y Lyhne (1975) plantearon un mecanismo puramente rotacional mientras que Morley y Rajendran (1975) [22] consideraron además una traslación según se representa en la Fig.2.73a. En opinión de Regan (1982) [24], este último mecanismo no era muy realista por dos razones: trataba el ala aisladamente, mientras que el fallo de la viga no podía ocurrir sin la formación de un mecanismo global; y consideraba un desplazamiento longitudinal u que en realidad se desvanecía en el extremo de la viga. Un mecanismo más completo, que integraba el ala en un modelo global de fallo de la viga, fue planteado por Domingues (1981), basado en las observaciones de sus propios ensayos. La Fig.2.73b esquematiza este modelo para una viga en T aislada. Autores posteriores que revisaron el problema coincidieron en calificar a estos métodos como poco prácticos [24,25,26], aunque potencialmente valiosos en el análisis de estructuras existentes [24]. La razón es que conducían a sistemas de ecuaciones cuya resolución no era inmediata. Incluso el mecanismo aparentemente sencillo propuesto por Morley y Rajendran (1975) [22] requiere el uso un ábaco para su aplicación, o una rutina programada para resolver el sistema de 3 ecuaciones resultante. Dicho sistema, a modo de ejemplo, se anota a continuación:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= −−

UV

UVU 1

2 11

cf

f senhsenhfha

N E.2.133a

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+−⋅

−= 2222

c

y 1 121 2

1 ρVUVU

Vff

E.2.133b

( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++⋅−

−+⋅−++−+−⋅=⋅

−−

UV

UVUVUV

VUVVVV

1

1 121421 ρ

2

4

11222

222

c

y

cf

f

senhsenh

nff

fhaN

E.2.133c

con los significados de los parámetros anotados en la Fig.2.73a, siendo U=u/(a·ω) y V=v/(a·ω) parámetros adimensionales que representan el movimiento relativo del ala que minimizaría la energía disipada. La eliminación de U y V en el sistema E.2.133 conduciría a una única ecuación que relacionaría ρ con Nf y n, al igual que en otros modelos simplificados, pero este problema ha de resolverse de una forma numérica. Una ventaja encontrada por Morley y Rajendran (1975) [22] en este modelo, frente al otro modelo suyo planteado con campos de tensiones, expuesto en 2.4.2.2.1, es la capacidad de contemplar el caso n=0, útil para el estudio de alas interiores en sistemas de vigas paralelas. 2.4.2.4 Analogías de bielas y tirantes La analogía de bielas y tirantes como método de diseño para el rasante en alas de vigas en T o similares es el método actual que figura en las normas europeas, y se dedica un apartado posterior para su descripción (v. 2.4.3.1), aparte, aspectos generales del método y específicos para el rasante ya han sido recogidos previamente (v.2.3.4.2 y 2.4.1.1). En este apartado se exponen las aportaciones individuales de los escasos autores que aplicaron la analogía de bielas y tirantes para el estudio específico del rasante. El modelo fue presentado por Leonhardt (1970) en unas conferencias, siendo citado como el primer autor en extender el modelo de celosía en el estudio de vigas en T [15]. Posteriormente, en 1973, lo recogió en su importante obra "Estructuras de Hormigón Armado", en su primer tomo [34], como un caso especial de cortante (Fig.2.46), proponiendo un ángulo de 45º para la inclinación de las bielas contenidas en las alas, sin ninguna evidencia experimental. El valor de



45º tenía su origen en la observación de los resultados teóricos de trayectorias de tensiones principales proporcionados por la teoría de la elasticidad, en los extremos de las vigas, pero adoptado como ángulo promedio de difusión de las tensiones principales de compresión en toda la longitud solicitada a rasante. La primera referencia de autores que ensayaron vigas y contrastaron un ángulo de inclinación de las bielas corresponde a Badawy y Bachmann (1977) [29] y Bacchetta y Bachmann (1977) [30]. En estos dos primeros informes presentaron los resultados de un total de 7 vigas en T, ensayadas para estudiar alas comprimidas. Proporcionaron una fórmula de la tracción transversal por unidad de longitud, que dedujeron de un modelo de celosía global (v. 2.3.4.2.1), con bielas inclinadas a 45º en el alma. Expresaron el rasante en función del cortante vertical y descontaron la parte de la cabeza comprimida que era resistida por el ancho del alma. La fórmula es fácilmente deducible a partir de las ecuaciones E.2.58 y E.2.62, y puede expresarse en términos de cuantía de la armadura transversal:

ff

wy

2 θ⋅⋅

−=ρ tan

hzV

bbb

f E.2.134

siendo V el cortante vertical; b el ancho total del ala; bw el ancho del alma; hf el espesor del ala; θf el ángulo de inclinación de las bielas en el ala; y z la altura de la celosía que modeliza el alma, para la que sugirieron la altura entre la armadura longitudinal inferior y el plano medio del ala. Con los resultados experimentales establecieron dos valores para el ángulo de la compresión oblicua del ala aunque, dado el escaso número de vigas ensayadas, señalaron el carácter provisional de las conclusiones: θf=22º (tanθf=0,4) si se aceptaba que la armadura transversal del ala plastificara antes de que la viga agotara por flexión o por cortante vertical; y θf = 26,6º (tanθf=0,5) en caso contrario, para evitar la plastificación de la armadura. Leonhardt consideró estos resultados y en la 3ª edición de su obra, en el tomo III (1977) [206], dedicado a las bases de armado, estableció como válida la posibilidad de emplear un ángulo de 30º para toda la longitud de la viga, incluso en los extremos, aunque mantuvo el criterio general de 45º, lo que supone un diseño más seguro. Aunque la fórmula E.2.134 fue deducida para un esquema de carga consistente en dos fuerzas puntuales, tiene un alcance general. El motivo es la presencia del cortante en la expresión del rasante. Badawy y Bachmann (1977) [29] no discutieron este aspecto, pero sí que establecieron que la armadura transversal ρ obtenida en una sección x, con cortante vertical V(x), según E.2.134, debía colocarse desplazada una distancia 0,6·(z+b) en la dirección del momento flector creciente. Aparte, recomendaron la disposición de la armadura transversal en dos capas, superior e inferior, respetando una cuantía mínima entre el 0,10 y 0,15%; e indicaron usar el mismo límite para la tensión tangencial que el aplicado para el cortante vertical del alma. En el caso de flexión transversal propusieron superponer la armadura necesaria por flexión y la determinada para rasante según el modelo de bielas y tirantes, pudiendo reducir la armadura de rasante en la capa comprimida por flexión en la cantidad correspondiente a la fuerza de compresión proporcionada por la flexión. También indicaron que debía reducirse hasta un 75% el límite de la tensión tangencial. La siguiente referencia corresponde a Bacchetta y Bachmann (1979) [31], quienes estudiaron el caso de alas traccionadas. Se basaron en los resultados de 6 vigas ensayadas por ellos para recomendar un ángulo de inclinación de las bielas en el ala traccionada entre 26,6º y 31º, habiendo planteado también un modelo global de bielas y tirantes, análogo al ilustrado en la



Fig.2.42. Similar a la expresión anterior (E.2.134), la fórmula utilizada para la tracción en los tirantes transversales del ala empleaba un rasante simplificado, función del cortante vertical:

ffsL

fsL,y

2 θ⋅⋅=ρ tan

hzV

AA

f E.2.135

siendo AsL el área de la armadura total de flexión longitudinal; y AsL,f el área de la armadura de flexión longitudinal localizada en las alas. En esta ocasión, la armadura transversal obtenida en una sección debía colocarse desplazada una distancia 0,3·(z+2be) en la dirección del momento flector decreciente (en magnitud), siendo be la separación adoptada de los tirantes longitudinales del ala traccionada. Simultáneamente Eibl y Kühn (1979) [32] publicaron también resultados de 4 vigas en T ensayadas para estudiar el caso de ala traccionada, más una quinta que consistía en dos vigas en T cruzadas perpendicularmente. Aunque contemplaron un modelo de celosía, consideraron también un término adicional de contribución a la resistencia frente al rasante del hormigón. Puede reescribirse entonces la expresión E.2.136 del siguiente modo:

cffsL

fsL,y 0,0375

2 f

hzV

AA

f −θ⋅⋅=ρ tan E.2.136

en donde adoptaron tanθf = 0,5, es decir, un ángulo de 26,6º. Finalmente, una contribución interesante corresponde a Tizatto y Shehata (1990) [ 207 ], consistente en proponer un valor del ángulo θf en función de la relación entre el ancho eficaz bef del ala y la longitud a en la que se transmite el rasante, distinguiendo entre alas comprimidas y traccionadas:

— En alas comprimidas: a

beff 2,5 ⋅=θtan E.2.137a

— En alas traccionadas: a

beff 3 ⋅=θtan E.2.137b

Para ello utilizaron los recientes resultados de las vigas en T ensayadas por Tizatto (1987) [26], así como los de la propia Shehata, autora de una tesis previa, referenciada como Domingues (1981), y además añadieron los resultados de Badawy y Bachmann (1977) [29]. El análisis lo realizaron con un modelo parcial de bielas y tirantes del ala, consistente en un cordón longitudinal con excentricidad constante y bielas inclinadas con ángulo constante θf (Fig.2.74a), expresando así la cuantía de la armadura de una forma más genérica:

ff

fy

θ⋅=ρ tan

haNf E.2.138

En el caso de alas comprimidas la expresión anterior (E.2.138) puede transformarse en otra comparable a la de otros métodos de diseño. Tizatto y Shehata (1990) [207] usaron una expresión simplificada para la resultante axil Nf, suponiendo una compresión uniforme de 0,85fc en todo el espesor del ala, y limitaron el valor del ángulo a un rango de valores entre 15 y 45º. De este modo puede escribirse:

c

2

cc

y τ0,27 τ,942ρ

ffff

⋅≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅ E.2.139

siendo τ=Nf/(a·hf) la tensión rasante. La expresión E.2.139 sólo contempla la limitación inferior (θf≥15º), que es en la práctica la que conduce a una armadura mínima, y se representa en la Fig.2.74b, ofreciendo un ajuste razonable a los resultados experimentales citados.



fN

2efb

a

θf

fh

(a) (b)

Fig.2.74. Propuesta de Tizatto y Shehata (1990) [207]: (a) modelo de ala comprimida; (b) contraste de datos experimentales con la expresión E.2.139.

2.4.2.5 Conclusiones Hay un problema que debe destacarse al revisar los métodos de diseño frente a rasante, y es que el contraste experimental ha sido escaso. Se puede decir que Tizatto (1987) [26] fue el último autor en estudiar en profundidad el problema, al plantear simultáneamente un método de diseño y una campaña experimental, y señaló que la información disponible hasta entonces no era suficiente para adoptar conclusiones con cierto grado de fiabilidad. Recientemente Schütte y Sigrist (2014) [28] se pronunciaban de modo similar, habiendo contrastado su método precisamente con resultados de Tizatto (1987) [26], así como con otros procedentes del trabajo de Badawy y Bachmann (1977) [29]. Aparte, la viga en T con alas aisladas y apoyada simplemente es la que resulta más fácil de ensayar, y la mayoría de métodos han planteado su modelo para el caso de ala aislada comprimida. En el caso de alas interiores o en el de vigas continuas no hay contraste con ensayos experimentales, e incluso en alas aisladas traccionadas el número de ensayos es menor. En este sentido, el método de bielas y tirantes, dada su generalidad y su sencillez, es el más versátil, mientras que los restantes métodos requieren modificaciones o consideraciones especiales que muchos autores han omitido. Morley y Rajendran (1975) [22] (v. 2.4.2.2.2.1) son los que plantearon una discusión más profunda de estos aspectos, sugiriendo soluciones para alas interiores y para vigas continuas. Entre los métodos experimentales merece especial atención destacar el de Regan y Placas (1970) [19] ya que plantearon el equilibrio del ala teniendo en cuenta la distribución plástica del axil transversal. Al usar el modelo empírico de corte–fricción más cohesión como criterio resistente, el método encaja dentro de la filosofía de diseño de las normas americanas que, como se verá más adelante (v. 2.4.3.2) adoptan el mismo modelo de transferencia a corte, aunque existen ciertos matices diferentes. El problema de las normas es que, aunque la formulación general de transferencia a corte contempla la presencia de una fuerza axil sobre el plano de corte, omiten advertir sobre su presencia concomitante con el rasante en alas aisladas, mientras que en el método de Regan y Placas (1970) [19] el axil queda perfectamente integrado, planteando además una redistribución plástica adecuada para el análisis en agotamiento. Los métodos de Razaqpur y Ghali (1986) [37] (v. 2.4.2.1.4) y Páez y Díaz del Valle (1992) [6] (v. 2.4.2.1.6) parecen planteados para sacar partido a los resultados de un análisis de esfuerzos en el plano de unión ala–alma mediante elementos finitos, con el que formularon de forma empírica el



axil transversal (v. 2.3.3.1.1 y 2.3.3.1.2). Sin embargo, la validez teórica ya fue cuestionada en el primero de ellos [25,26], el axil transversal procedía de un análisis lineal y era proporcional a la carga exterior, sin contemplar ningún tipo de redistribución, originando una disposición de la armadura no uniforme, poco práctica y antieconómica. Un argumento similar podría aplicarse al segundo método. La formulación del axil transversal procedente de un análisis lineal sí resulta interesante para emplear en los métodos que estiman el rasante de fisuración longitudinal de la unión ala–alma, ya que las propuestas de Regan y Placas (1970) [19] (v. 2.4.2.1.3) y de Tizatto (1987) [26] (v. 2.4.2.1.5) carecen de rigor, al proponer sin justificación una distribución lineal de este esfuerzo. La estimación del rasante de fisuración puede permitir establecer un límite que, si no se supera, haría innecesaria la armadura transversal, siempre en ausencia de flexión transversal. Aunque ninguno de los autores citados profundizó en el tema, Tizatto (1987) [26] razonó de un modo sencillo que vigas aisladas y simplemente apoyadas con relación bef/a<0,17 podrían diseñarse sin armadura transversal en las alas, siendo bef el ancho eficaz del ala y a la distancia entre la sección de máxima flexión y el apoyo más cercano. El concepto de rasante de fisuración también permite proporcionar una resistencia mínima frente a rasante proporcionada por el hormigón, cuando todos los de métodos de diseño, planteados en agotamiento, concluyen que si la cuantía de armadura es nula (ρ=0) la resistencia a rasante es nula. También permitiría, de un modo justificado, establecer una cuantía mínima de armadura por este motivo, que sería función de la geometría de la viga, de modo parecido a como se establece una cuantía mecánica mínima para flexión longitudinal. Los métodos basados en el límite inferior de plasticidad, desarrollados prácticamente en la década de los 70, aportan soluciones interesantes que aúnan sencillez y una base teórica sólida, que mantiene su vigencia a día de hoy y pueden encajar perfectamente con la normativa actual, sobre todo la europea. Basta observar cómo el último Código Modelo 2010 [3] contiene un apartado (7.3.6) titulado diseño con campos de tensiones y modelos de bielas y tirantes. El planteamiento de Morley y Rajendran (1975) [22] (v. 2.4.2.2.1), con tres campos triangulares de tensiones no nulas, si bien necesita una resolución algo tediosa, ofrece una fórmula resultante que es sencilla de aplicar, aunque el planteamiento no resulta válido para el caso de alas interiores, en donde se supone que el axil de compresión en el ala no presenta excentricidad respecto del plano de corte. Este problema, no obstante, puede solucionarse planteando otros modelos de campos de tensiones o bien, como los propios autores hicieron, proponiendo un método simplificado (v. 2.4.2.2.2.1). Los métodos basados en el límite superior de plasticidad han sido cuestionados y descartados como métodos atractivos para diseño [24,25,26]. En sí mismos proporcionan un límite superior del valor del rasante de agotamiento y, además, mecanismos resistentes sencillos no son capaces de proporcionar una fórmula simple y explícita, a diferencia de los métodos basados en el límite inferior. Sin duda, la analogía de bielas y tirantes constituye el método más sencillo y versátil, y permite un tratamiento consistente con el cortante vertical del alma [24]. Se comenta con mayor detalle al tratar la normativa (v. 2.4.3.3) pero, en relación a los autores aquí citados, queda claro que el problema principal de discusión es la elección del ángulo de inclinación de las bielas en el ala. Una vez fijado el ángulo, la demanda de armadura crece linealmente con el nivel de carga, sin ningún límite, salvo el que se deriva de comprobar adicionalmente la capacidad a compresión del hormigón en las bielas inclinadas, mientras que otros métodos de diseño proporcionan una única fórmula que incluye la limitación de la tensión rasante. El método de bielas y tirantes resulta



conservador o antieconómico para valores bajos del grado de refuerzo ρfy/fc, e inseguro para valores altos, comprobándose experimentalmente que en ese caso no plastifica toda la armadura [26]. Quienes aportaron una solución interesante al respecto fueron Tizatto y Shehata (1990) [207], expresando el ángulo en función del ancho eficaz. En todos los métodos revisados se contempla el ancho eficaz como un dato conocido, un dato invariable que se establece al principio del análisis. Generalmente se emplea la relación de aspecto, cociente entre el ancho eficaz y la longitud de rasante (bef/a). En las fórmulas de diseño de la armadura se observa una relación entre tres parámetros, la cuantía de la armadura (ρ), la tensión rasante (τ) y la relación de aspecto (bef/a). Solamente Morley y Rajendran (1975) [22] profundizaron en el problema un poco más, estableciendo la curva límite (E.2.126), en donde se elimina la relación de aspecto después de haber establecido una relación directa entre ella y la tensión rasante (E.2.125). La curva límite representa el agotamiento simultáneo de la viga frente a rasante y frente a flexión, y permite replantear el ancho eficaz en ELU, haciéndolo depender de la cuantía de la armadura, parámetro en el que el ingeniero puede intervenir con gran libertad en el diseño. Puede conseguirse así mayor capacidad a flexión de la viga que la obtenida siguiendo la normativa, ya que el ancho eficaz propuesto actualmente en el EC2 [4], por ejemplo, corresponde a valores cercanos al comportamiento en rango elástico [77]. La estrategia de la curva límite puede aplicarse también al resto de métodos que plantearon el equilibrio del ala, utilizando la relación:

ab

fhaN

fef

cf

f

c τ

== E.2.140

deducida de asumir Nf=fc·bef·hf. Un matiz que es discutible en todos los métodos que han planteado el equilibrio del ala es que se supone que la excentricidad del rasante es la mitad del ancho eficaz, lo cual no es cierto. El concepto de ancho eficaz empleado en el análisis seccional responde a manejar la misma resultante de tensiones en el ala entre la situación real y la hipotética de una distribución uniforme de tensiones. El punto de paso de la resultante no tiene por qué coincidir, de hecho, la excentricidad supuesta bef/2 resulta siempre inferior al valor de la excentricidad real, en el caso habitual de arrastre de cortante positivo. Esto añade un error del lado inseguro, ya que una mayor excentricidad demanda mayor armadura para un mismo valor del rasante, como así puede observarse en la Fig.2.70. Este error se repite también en la analogía de bielas y tirantes, ya que el cordón longitudinal del ala comprimida se materializa en mitad del ancho eficaz. El error no está cuantificado, pero podría estimarse utilizando las distribuciones teóricas de tensiones propuestas en EC3 [68] (parte 1-5, 3.2.2) que, aunque planteadas para alas metálicas, son sugeridas como válidas para alas de hormigón armado [77]. No obstante, no es probable que el error sea elevado en los casos habituales, aunque se manifestará más en alas de gran anchura. Según lo comentado en los dos párrafos precedentes, si en una viga de alas con gran anchura comprimidas se establece a priori un valor del ancho eficaz acorde a normas, como el EC2 [4], que resultase inferior al ancho real, se infravaloraría no sólo la resultante de compresiones en el ala, sino también la excentricidad de la misma. Si hipotéticamente se empleara una fórmula fiable para determinar la cuantía de armadura transversal necesaria para resistir el rasante así calculado, esta cuantía acabaría resultando insuficiente para la capacidad a rotura que realmente podría haber desarrollado la viga. Es decir, la viga así diseñada, si se ensayara hasta rotura, posiblemente manifestaría signos de agotamiento por rasante, siempre que la armadura longitudinal de tracción fuera generosa. Luego si se pretende realizar una estimación real de la rotura de una viga, el ancho eficaz no ha de ser un dato de partida. En este caso parece más



adecuada la estrategia comentada de Morley y Rajendran (1975) [22], en relación a la curva límite. Finalmente, hay que añadir que existen metodologías de cálculo desarrolladas para problemas de lajas y losas (v. 2.4.1.2), que no han sido empleadas por ningún autor para estudiar específicamente el problema del rasante. El inconveniente de estos métodos es puramente práctico, ya que pueden llegar a resultar ciertamente complejos, algunos de ellos orientados a la implementación en técnicas de análisis con elementos finitos. Puede citarse a Schütte y Sigrist (2014) [28], pero únicamente por emplear el concepto de ablandamiento del hormigón, desarrollado en las teorías del campo de compresiones, para emplearlo como criterio de plastificación del hormigón en su propuesta de campo de tensiones para alas comprimidas sin flexión transversal. En el caso de presencia de flexión transversal puede citarse la resolución anecdótica de un ejercicio teórico mediante el modelo multicapa propuesto por Palacios y Samartín (2003) [188] (Fig.2.59). 2.4.3 Métodos de diseño según normativa En la normativa actualmente vigente se observan dos líneas de cálculo de la resistencia del ala frente a rasante en vigas en T o asimilables. El método de bielas y tirantes es adoptado por las normas del entorno europeo mientras que la transferencia a corte, básicamente el modelo de corte-fricción, es el método adoptado por las normas norteamericanas, a las que se puede sumar, por ejemplo, el código japonés. La causa, sin duda, es la herencia en investigación en ambas metodologías. En los dos próximos subapartados se revisan las normas representativas vigentes y códigos agrupados según estas dos tendencias. Como breve reseña histórica, en el caso de la instrucción española, la primera edición de 1939 dedicaba su artículo 38 a las piezas en T, y obligaba simplemente a poner una armadura mínima transversal en el ala igual a la mitad de la armadura necesaria por cortante vertical. En la versión de 1968 se sustituyó la prescripción de armadura mínima para establecer la comprobación a corte de una sección virtual de ancho el espesor del ala y de altura el canto útil de la pieza. Esta sección virtual surgía de interpretar la expresión del rasante proporcional al cortante vertical (E.2.14), y su resistencia a corte consistía en la suma de una resistencia virtual a corte del hormigón y de la contribución de la armadura transversal. Saltando a la instrucción EH-91 [36], ésta establecía la regla de cosido como el método general de cálculo frente a esfuerzos cortantes según un plano conocido del elemento estructural, y de este modo era tratado el rasante entre alas–alma en el artículo 39.1.3.4, en donde en sus comentarios se indicaba calcular la tensión rasante según E.2.19 para ala comprimida y E.2.23 para ala traccionada. La regla de cosido era explicada como una generalización del método de bielas de Ritter-Morsch, en definitiva, el método de bielas y tirantes, aunque las bases del método no serían establecidas explícitamente hasta EHE (1998) [1]. La particularización de la regla de cosido para un ángulo de la armadura perpendicular al plano de corte conduce a las actuales expresiones E.2.142 y E.2.143, que se exponen en el siguiente apartado (v. 2.4.3.1). La evolución en la instrucción española se ha visto influenciada por el progreso del conocimiento del hormigón en el entorno europeo. Hay que recordar que el método de bielas y tirantes fue formalizado por Schlaich et al. (1987) [111], profesores de la universidad de Stuttgart, Alemania, y difundido ampliamente por el Código Modelo 1990 [33]. Previamente, y en el caso concreto del análisis de vigas en T, otros autores alemanes como Leonhardt (1970),



Badawy y Bachmann (1977) [29] y Bacchetta y Bachmann (1979) [31] ya habían planteado modelos de celosía, los dos últimos con ensayos realizados en Suiza. En el entorno anglo-americano la práctica inicial era prescribir una cuantía mínima de armadura mantenida en los códigos hasta la década de los setenta [15], a partir de la cual fueron incorporando un modelo de transferencia a corte, influenciado por la adopción que hizo ACI en su código de 1971 [165] del modelo de corte-fricción de Birkeland y Birkeland (1966). Este modelo, que ha sufrido diferentes revisiones e incorporaciones de términos de cohesión en diversos códigos, ha quedado arraigado en las reglas de diseño en Norteamérica y no ha sido desplazado por el método de bielas y tirantes, incorporado por ACI-318 desde 2002 [10]. 2.4.3.1 Normas que aplican el método de bielas y tirantes La vigente instrucción española EHE (2008) [1], el EC2 (2004) [4] y el texto de referencia Código Modelo 2010 [3] contienen un apartado específico dedicado al rasante entre alas y alma de una viga, incluido dentro de un apartado más general dedicado al diseño en ELU frente a cortante, y para el que se plantea el uso de bielas y tirantes como método general de diseño. La última versión de la norma alemana DIN 1045-1:2008 [208] contenía también un apartado análogo con el mismo planteamiento. Las normas británicas de estructuras de hormigón BS-8110 [9] y puentes BS-5400-4 [62] eran diferentes pero, al igual que el texto alemán, han sido retiradas desde 2010 para adoptar el EC2 [4], todo ello dentro del objetivo de la implementación de los Eurocódigos como normas europeas con la retirada de todas las normas nacionales conflictivas. Así que puede decirse que, para el diseño frente a rasante entre alas y alma de vigas en T o asimilables, las normas europeas aplican el método de bielas y tirantes. El establecimiento de un modelo de bielas y tirantes para describir el trabajo de las alas y la determinación de esfuerzos internos ha sido descrito en el apartado 2.3.4.2. Son válidos tanto los modelos globales (2.3.4.2.1), sugeridos por el CM-90 [33] (Fig.2.42) y EHE [1] (Fig.2.43), como los modelos parciales (2.3.4.2.2), siendo estos últimos los más prácticos de usar, ya que habitualmente se emplea el modelo viga tradicional para el análisis de esfuerzos en la viga (2.3.1). La Fig.2.75a es del EC2 [4] y responde a este segundo caso de modelo parcial, mientras que la Fig.2.75b corresponde al CM-2010 [3] y representa una unidad de transmisión de fuerzas entre ala superior e inferior en un modelo global. La ventaja del modelo parcial es que ΔFd puede determinarse realmente sobre el área del ala de estudio, mientras que el modelo global sobreestima este valor al utilizar solamente dos cordones en la cabeza de compresión de la viga, y otros dos en la cabeza de tracción.

(a) (b)

Fig.2.75. Esquemas de bielas y tirantes para el rasante: (a) en EC2 (2004) [4]; (c) en CM-2010 [3].



La variación de fuerza normal en el ala situada a un lado del alma (ΔFd) puede suponerse que se reparte uniformemente en un tramo Δx. Para EHE [1] Δx debe abarcar como máximo el tramo con variación monótona creciente o decreciente de la ley de momentos positiva o negativa, ya que los puntos de cambio de signo de momentos deben adoptarse como límites de Δx. EC2 [4] es más restrictivo e indica adoptar un valor máximo mitad del anterior, e incluye las secciones de aplicación de cargas puntuales como límites de Δx. Dada la naturaleza repartida del esfuerzo rasante a lo largo del desarrollo de la viga no existen nudos singulares, por ello las normas utilizan solamente la capacidad resistente de las bielas inclinadas y de los tirantes transversales para establecer el rasante último de agotamiento. Las bielas y tirantes longitudinales de las alas se supone que no son problema ya que previamente la viga ha de verificar el análisis seccional en rotura, necesario para evaluar ΔFd en un modelo parcial. Siguiendo el formato de EHE [1] la condición resistente para el rasante en cada tramo Δx es:

⎩⎨⎧

≤Δ

Δ=

al) transverste(por tiraninclinada) biela(por

u2

u1dd S

Sx

FS E.2.141

Su1 es el esfuerzo rasante de agotamiento por compresión oblicua en el plano del ala, su expresión se obtiene de E.2.63, sustituyendo σc por la resistencia uniaxial de cálculo f1cd:

fff1cdu1 θ⋅θ⋅⋅= cossenhfS E.2.142Su2 es el esfuerzo rasante de agotamiento por tracción transversal, su expresión se obtiene de E.2.62, sustituyendo σsf por la resistencia de cálculo del acero fyd:

fydf

sfu2 θ⋅⋅= cotgf

sA

S E.2.143

Los significados de hf, θf, Asf y sf quedan recogidos en la Fig.2.75a, en donde se marca también el ancho eficaz bef, de influencia directa en la evaluación de ΔFd. La resistencia uniaxial de cálculo f1cd se expresa según E.2.67, introduciendo el coeficiente de seguridad del hormigón. El factor de eficacia ν corresponde al de biela con fisuración oblicua de la Tabla 2.8, distinguiendo dos casos:

— En alas comprimidas ν corresponde al caso de fisuración oblicua controlada, expresado de una forma más detallada por EHE [1] en E.2.68, en función de la resistencia característica del hormigón.

— En alas traccionadas ν corresponde al caso de fisuración oblicua con fisuración grande o de gran abertura.

En España, en el caso de aplicación de las reglas de EHE [1] a edificación ordinaria, se dispone del documento DA-EHE 08 [209], en donde se considera una resistencia uniaxial de cálculo reducida a la mitad, es decir, f1cd=0,3fcd para ala comprimida, y f1cd=0,2fcd para ala traccionada. La EHE [1] proporciona las expresiones E.2.142 y E.2.143 particularizadas para θf=45º, mientras que el EC2 [4] las expresa de un modo ligeramente diferente y recomienda un intervalo de valores para el ángulo de inclinación de las bielas:

— En alas comprimidas: 1 ≤ cotgθf ≤ 2,0 (26,5º ≤ θf ≤ 45º) — En alas traccionadas: 1 ≤ cotgθf ≤ 1,25 (38,6º ≤ θf ≤ 45º)

El CM-2010 [3] propone un intervalo ligeramente diferente:

— En alas comprimidas: 25º ≤ θf ≤ 45º — En alas traccionadas: 35º ≤ θf ≤ 50º



Esto quiere decir que, con un cierto margen, si la compresión inclinada en el ala alcanza un valor pequeño, alejado de la condición de agotamiento, puede escogerse un valor elevado del ángulo θf que reduzca la armadura transversal, y llama la atención que este juego de valores permitiría reducir hasta la mitad la armadura necesaria, si se comparan casos extremos. En este caso, la opción de la EHE [1] es la más conservadora. El diseño de la armadura transversal Asf debe contemplar también la presencia de flexión transversal, y en este aspecto existen diferencias entre los textos tratados, siendo el EC2 [4] el que proporciona un criterio más detallado, según la importancia de las tensiones rasantes, que puede expresarse del siguiente modo:

{ }{ }⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅≤

⋅>+=

ctdsdMsf,Ssf,

ctdsdMsf,Ssf,Ssf,

sf τ si ;

τ si 0,5 ;

fAA

fAAAA

kmáximo

kmáximo E.2.144

siendo Asf,S la armadura calculada por rasante (E.2.143); Asf,M la armadura calculada por flexión; τsd la tensión rasante de cálculo (τsd=Sd/hf); fctd la resistencia a tracción de cálculo; y k un factor cuyo valor recomendado es 0,4. EHE [1] y CM-2010 [3] coinciden en establecer que ambas armaduras, Asf,S y Asf,M, deben superponerse, aunque la instrucción española indica que puede reducirse la armadura de rasante teniendo en cuenta la compresión debida a la flexión transversal, sin proporcionar mayor detalle. En la versión de 1998, la instrucción española establecía simplemente que debía disponerse la mayor de las dos y la explicación puede encontrarse en Calavera (1999) [7] y en Del Pozo (2003) [210]. El primero argumentó que la cabeza comprimida por flexión transversal ejercía una fuerza Asf,M·fyd, que se transformaba en un rasante resistente del mismo valor si se suponía un coeficiente de fricción igual a la unidad. El segundo argumentó que la flexión suponía una redistribución de esfuerzos normales en el plano de corte, así que la colocación de la armadura en la cara superior permitía resistir el rasante y la flexión simultáneamente, debiendo colocar Asf,M en la cara superior y la diferencia Asf,S–Asf,M, si existía, en la cara inferior. Finalmente, el EC2 [4] establece que la armadura longitudinal del ala debe cumplir las reglas de armado para flexión en losas y señala el punto de anclaje en alas traccionadas, punto (B) en la Fig.2.75a, intersección de la armadura y de la biela inclinada que transmite la fuerza al alma en la sección A-A, siendo esta sección la que requiere dicha armadura longitudinal. 2.4.3.2 Normas que aplican transferencia a corte El apartado 2.4.1.3 se dedicó a la transferencia a corte, citando a Birkeland y Birkeland (1966) como los primeros autores en introducir el modelo sencillo de corte-fricción, motivado por la necesidad de tratar la transmisión de fuerzas en piezas prefabricadas compuestas con hormigón in situ. Este trabajo y otros que siguieron por diversos autores se publicaron en Norteamérica y rápidamente ACI incorporó el modelo en su código de 1971 [165], que se ha mantenido vigente hasta su versión actual ACI-318 (2014) [10], tras diversas revisiones, e influyendo en la normativa del entorno como AASHTO [11] y los textos canadienses CSA A23.3-04 [96] y CAN/CSA-S6-06 [12], que incorporan todos un término adicional de cohesión. A diferencia de ACI-318 (2014) [10], estos últimos textos establecen el concepto de región interfaz, que definen como aquella superficie de contacto entre elementos tales como almas y alas, entre materiales diferentes y entre hormigones colocados en diferentes edades, o en fisuras importantes existentes o potenciales, susceptibles de deslizamiento. De este modo, claramente



indican que la unión alas-alma debe diseñarse como región interfaz, para lo que se recurre a un modelo de transferencia a corte, en donde la presencia de armadura transversal es necesaria. Ninguna de las normas citadas dispone de un apartado específico para el diseño de la unión monolítica alas-alma en vigas, pero la idea básica es, por tanto, que debido a que la superficie de unión (vertical) puede fisurar por motivos diferentes de su trabajo a rasante, ésta ha de diseñarse con armadura transversal mediante un modelo de transferencia a corte. Es interesante citar también a la norma británica para puentes de hormigón BS-5400-4 [62], ya que puede incluirse dentro del grupo de normas que aplican transferencia a corte, aunque fue retirada en 2010 a favor del EC2-2 [38]. En este apartado se exponen los modelos de transferencia a corte particularizados para la unión alas-alma monolítica propuestos por ACI-318 (2014) [10], AASHTO (2012) [11], CSA A23.3-04 [96] y CAN/CSA-S6-06 [12], a los que se añade el texto japonés JSCE/SSCS [13], que destaca por una formulación diferente y un tratamiento más detallado de la flexión transversal. Para uniformizar la formulación, ya que existe disparidad en la presentación de la capacidad resistente de las diferentes normas, como fuerza o como tensión, se va a expresar en términos de rasante resistente Su (=τsu·hf). Estas normas, al no disponer de un apartado específico del problema, no dan indicaciones sobre cómo evaluar el esfuerzo rasante de cálculo Sd, excepto en los apartados dedicados al cortante horizontal en juntas de piezas compuestas flectadas. En este caso el método de cálculo corresponde al rasante derivado del cortante vertical (v.2.3.1.4.2) aunque como método alternativo mencionan el cálculo derivado de la variación axil en el ala (v.2.3.1.4.1). No hay mención de la relación entre el ancho eficaz y el cálculo de Sd, pero en la ya retirada norma británica para puentes mixtos BS 5400-5 [62], primera en publicarse en 1979 de la serie de normas para puentes, específicamente establecía que podía adoptarse un ancho eficaz constante en todo el vano para el cálculo del rasante, cuyo valor se tomaba igual al de la sección de cuartos de vano. 2.4.3.2.1 Código ACI-318 El código ACI-318 (2014) [10] no dispone de ningún apartado específico para el rasante alas–alma de vigas en T monolíticas, ni ninguna referencia explícita sobre qué método usar en este caso. En su apartado 9.2.4 establece que en vigas en T el ala y el alma han de hormigonarse monolíticamente o bien su unión ha de verificar la resistencia frente a rasante horizontal, en clara referencia a la construcción compuesta de vigas prefabricadas más losa in situ, para el que dedica un apartado completo (16.4). A pesar de ello el análisis del rasante en alas monolíticas puede ser tratado mediante el modelo de corte-fricción, ya que la idea básica de este modelo contempla el análisis de planos de corte monolíticos si dichos planos son planos de fisuración potencial. La fórmula general, expresada en términos de rasante y adaptada a la notación seguida para el ala, es la siguiente:

nu SS ⋅φ= E.2.145a

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⋅⋅+

⋅⋅≤α⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α⋅⋅μ=

f

fc

fc

yf

sfpy

f

sfn

110,083,3

0,2

hhf

hff

sA

Nfs

AS cossen E.2.145b



con los significados habituales para Su, hf, Asf, sf y fc, estando fy limitado a un valor máximo de 420MPa; el resto de parámetros son:

Sn es el rasante nominal, según el tratamiento de seguridad del texto, y para el que se establecen las limitaciones de E.2.145b, correspondientes al caso de hormigón colocado monolíticamente; estas limitaciones son dimensionales y proporcionan un rasante en N/mm para lo que debe introducirse fc en MPa y hf en mm;

φ es el coeficiente de minoración de seguridad, para corte φ=0,75; μ es el coeficiente de fricción y que toma el valor 1,4λ para hormigón colocado

monolíticamente, en donde λ vale 1 y 0,75 para hormigón de peso normal y ligero, respectivamente;

α es el ángulo de inclinación de la armadura con respecto al plano de corte, a favor del esfuerzo rasante, funcionando a tracción y nunca a compresión;

Np es la fuerza de compresión neta de carácter permanente, por unidad de longitud, sin mayorar y con signo positivo, que pueda actuar sobre el plano de corte. En el caso de existencia de una fuerza de tracción se introduce Np=0 en E.2.145b, y el área de armadura requerida para resistir la tracción ha de sumarse con el área requerida por rasante obtenida con E.2.145.

En caso de flexión transversal, en los comentarios del código, se cita a Mattock et al. (1975) [211] y se indica que debe colocarse la armadura máxima entre la requerida por rasante y la requerida por flexión. Obviamente la necesaria por flexión debe disponerse en la cara traccionada. Como ya se indicó el coeficiente μ no solamente representa la resistencia al corte por la fricción entre las caras de la fisura, sino que engloba también el efecto pasador de la armadura y la resistencia cohesiva del hormigón, adoptando un valor conservador obtenido como límite inferior de los resultados de ensayos. Se trata de una fricción aparente que sirve para dar nombre al modelo de cálculo. Como alternativa al modelo de corte-fricción, ACI-318 (2014) [10] permite el uso de otros métodos de transferencia a corte, siempre que estén basados en una campaña experimental extensa, lo que permitiría dar uso a los modelos citados en 2.4.1.3.2 que cumplan este requisito. A pesar de que el texto incluye actualmente el método de bielas y tirantes como un capítulo más, no se hace ninguna mención explícita sobre su aplicación para el análisis del rasante alas–alma. Además, diversas guías americanas [113,115,117], aparecidas como aplicación del método mediante ejemplos, tampoco incluyen ningún ejemplo de este problema. Puede encontrarse, sin embargo, algún libro publicado en Norteamérica que resuelven la difusión de esfuerzos en el ala de vigas en T con modelos de bielas y tirantes, como en Reinforced Concrete Mechanics & Design, de Wight y MacGregor (2012) [135]. 2.4.3.2.2 AASHTO Las especificaciones de diseño para puentes AASHTO (2012) [11] establecen claramente que el rasante del ala con el alma debe ser tratado como una región interfaz (Fig.2.76) cuyo diseño se realiza mediante un modelo de transferencia a corte, sin embargo, no hacen más menciones específicas de este problema al describir los diferentes parámetros de la formulación.



Fig.2.76. Transferencia a corte longitudinal entre alas y alma de una viga cajón de puente, ilustrado

según AASHTO (2012) [11]. El modelo consiste en un término de fricción, similar al del código ACI-318 (2014) [10] pero particularizado para una armadura Asf perpendicular al plano de corte (α=90º), y en un término adicional de cohesión y/o engranamiento de áridos. El tratamiento de seguridad es análogo, los límites superiores del rasante resistente se establecen para su valor nominal Sn:

nu SS ⋅φ= E.2.146a

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⋅⋅≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⋅=

f2

fc1py

f

sffn

K

K μ

h

hfNf

sA

hcS E.2.146b

en donde el significado de las variables es análogo al de la expresión E.2.145, incluyendo Np, con el mismo límite para fy de 420MPa; el coeficiente de seguridad es φ=0,9 para hormigón de peso normal y φ=0,8 para peso ligero; y los distintos factores adoptan los siguientes valores para hormigón de peso normal colocado monolíticamente:

c = 2,76MPa factor de cohesión; μ = 1,4 coeficiente de fricción; K1 = 0,25 fracción de la resistencia del hormigón disponible para resistir el rasante; K2 = 10,3MPa límite de la resistencia del plano de corte;

En los comentarios se advierte de que estos valores aplican estrictamente a hormigón monolítico y no para situaciones en donde pueda aparecer una fisura en servicio, antes de la situación de agotamiento. En este caso, aunque no lo indica, cabe la posibilidad de considerar aplicable el caso de hormigón de peso normal colocado contra una superficie limpia, libre de lechada e intencionadamente rugosa (amplitud 6mm), para el que se adoptarían los valores: c=1,65MPa; μ=1; K1=0,25 y K2=10,3MPa. Aparte, debe adoptarse c=0 en ménsulas cortas y apoyos a media madera, aclarando en los comentarios que la cohesión no es fiable en planos de corte verticales, lo que plantea también la duda de aplicar este criterio al caso del rasante alas–alma, pero no hay aclaración al respecto. A la armadura además, se le exige un valor mínimo, lo que significa que no se confía totalmente la resistencia a rasante al término de cohesión:

y

ffsf 0,34

fhsA ⋅

⋅≥ [mm y MPa] E.2.147

y la separación sf no debe superar los 600mm en los elementos viga. Finalmente, AASHTO (2012) [11] sugiere el cálculo del rasante solicitante mediante lo que denomina modelo del sólido rígido, aplicado a un segmento de viga, y que conduce a un caso particular de la expresión E.2.14, con β=0,5. En relación a la flexión transversal, omite cualquier comentario, no obstante, éste debería ser afín a ACI-318 (2014) [10].



2.4.3.2.3 Canadá El código de estructuras de hormigón CSA A23.3-04 [96] y el de diseño de puentes CAN/CSA-S6-06 [12] coinciden con AASHTO (2012) [11] en identificar la unión alas–alma de una viga en T o similar como una región interfaz (en sus apartados 11.1.3 y 8.9.1.3, respectivamente), para la que recomiendan su diseño con un modelo de transferencia a corte, consistente en un término de fricción y otro de cohesión, pero que presenta diferentes matices y, aparte, CSA A23.3-04 [96] propone una fórmula alternativa. La fórmula general propuesta por el código de estructuras de hormigón CSA A23.3-04 [96] es:

α⋅φ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α⋅⋅μ+⋅⋅φλ= cossen y

f

sfspy

f

sffcu f

sA

Nfs

AhcS E.2.148

y la fórmula alternativa es:

α⋅φ+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α⋅⋅⋅φλ= cossen y

f

sfscpy

f

sfcu k f

sAfNf

sAS E.2.149

en ambos casos con la limitación de 0,25φcfc para el valor del primer término, que engloba cohesión y fricción, mientras que el segundo término corresponde a la componente de la tracción directa de la armadura debido a su inclinación α. Los parámetros hf, Asf y sf mantienen su significado habitual y el resto son:

φc = 0,65 el coeficiente de seguridad para el hormigón; φs = 0,85 el coeficiente de seguridad para el acero; λ el factor por densidad del hormigón con valores 1, 0,85 y 0,75 para densidad

normal, semibaja y baja, respectivamente; Np es la fuerza por unidad de longitud actuante perpendicular al plano de corte de

carácter permanente y sin mayorar, positiva para compresión y negativa para tracción, aspecto este último diferente a los códigos previamente comentados;

y para hormigón colocado monolíticamente c = 1MPa la cohesión; μ = 1,4 el coeficiente de fricción; k = 0,6

El código de diseño para puentes CAN/CSA-S6-06 [12] propone únicamente la expresión E.2.148 pero particularizada para α=90º, que es el ángulo práctico para la disposición de la armadura transversal en las alas. Además proporciona dos limitaciones para Su, que son 0,25φcfc y 6,5MPa. Mantiene los valores de cohesión y fricción para hormigón colocado monolíticamente. 2.4.3.2.4 Japón El código japonés JSCE/SSCS [13] tampoco tiene un apartado específico dedicado al rasante alas–alma en vigas monolíticas. En la sección dedicada al cortante (9.2.2.1(5)) menciona el problema existente en vigas en T con alas anchas y almas estrechas, y recomienda que el fenómeno sea estudiado como un problema de transferencia a corte directo. El argumento es el mismo ya mencionado, la alta probabilidad de ocurrencia de una fisura en el encuentro ala–alma. La formulación de transferencia a corte es diferente a la de los textos americanos y presenta la novedad de considerar la contribución a corte de la armadura y de incluir un criterio para



contemplar la flexión transversal, lo que claramente está pensado para situaciones como las del rasante alas–alma. También incluye la contribución resistente de llaves de cortante, pero este término se ha eliminado a continuación para presentar la fórmula adaptada al caso de alas monolíticas con el alma, y con una notación más acorde al presente texto. El modelo de transferencia a corte se describe con dos casos:

(a) Rasante último de agotamiento con presencia de esfuerzo axil sobre el plano de corte, que es suma de la transferencia a corte en el hormigón y de las componentes sobre el plano de corte de la fuerza axil y cortante en la armadura:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α⋅⋅⋅−α⋅τ⋅+⋅τ⋅

γ= cossen yd

f

sfs

f

sffc

bu a1 f

sA

sA

hS E.2.150

siendo: b1

Ndf

yd

f

sfbcdc

a −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

α⋅

⋅⋅⋅⋅μ=τ

senhf

sA

f ;

a

0,08 yds

f⋅=τ ;

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ⋅−

α⋅⋅⋅−⋅=

yd

Nd

ff

sf 1,71010,75afhs

Asen

;

donde a debe cumplir 0,75a30,8 ≤≤⋅ , y es un factor reductor que expresa la disminución de la capacidad axil de la armadura (fyd) y el aumento de su capacidad a corte (τs);

γb es un coeficiente de seguridad que, en general, adopta el valor 1,3; α es el ángulo entre la armadura y el plano de corte; μ es el coeficiente medio de fricción para contacto sólido-sólido y puede

tomarse igual a 0,45; b es un coeficiente que representa la naturaleza del plano de corte, siendo b=2/3

para plano fisurado (que corresponde a una unión monolítica original); σNd es la tensión normal media actuante sobre el plano de corte, σNd>0 si es

tracción (desfavorable) y σNd<0 si es compresión, en cuyo caso puede tomarse igual a 0,5·σNd, en todos los casos el paréntesis de τc debe ser positivo;

y los parámetros Asf, sf, hf, fcd y fyd mantienen el significado ya conocido.

(b) Rasante último de agotamiento con presencia de axil Nd y flexión transversal Md sobre el plano de corte, ambos esfuerzos expresados por unidad de longitud, y generando flexión compuesta, es decir, una cara traccionada y una cara comprimida:

cu,tu,Mu SSS +⋅β= E.2.151

siendo 114y

dM ≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=β

MM

My es el momento transversal de plastificación de las armaduras de tracción; Su,c es el rasante resistente calculado según E.2.150 pero correspondiente a la

altura comprimida del espesor del ala x, siendo x la profundidad de la fibra neutra medida desde la cara comprimida; en este caso, la tensión normal media puede tomarse igual a:

xhP

−=σ

f

stNd



siendo Pst la resultante de tracción, por unidad de longitud, obtenida, al igual que la fibra neutra x, del análisis seccional frente a Nd-Md;

Su,t es el rasante resistente calculado según E.2.150 pero correspondiente a la altura traccionada del espesor del ala (hf–x); y en donde puede adoptarse como tensión normal media:

xPP scc

Nd 0,5+

⋅−=σ

siendo Pc y Psc las resultantes de compresión, sin signo y por unidad de longitud, en el hormigón y en la armadura situada en la cara comprimida, respectivamente, obtenidas en el mismo cálculo que Pst. El factor 0,5 refleja una seguridad adicional debido al efecto favorable de la compresión.

(c) Rasante último de agotamiento con presencia de axil Nd y flexión transversal Md, pero generando compresión compuesta sobre el plano de corte. En este caso puede ignorarse el efecto de la flexión y obtener el rasante último empleando una tensión normal media σNd=Nd/hf, en donde Nd incluye signo negativo por ser compresión.

De los tres casos expuestos, el más frecuente es el caso (b) ya que habitualmente existe una flexión transversal en las alas, excepto en ensayos en los que se la carga se aplique exclusivamente sobre el alma, siendo despreciable la flexión transversal por peso propio. El caso (c) puede darse si se dispone pretensado transversal en las alas. 2.4.3.3 Conclusiones Las propuestas recogidas en las normas revisadas para el diseño de la armadura frente al rasante alas–alma son sencillas y fáciles de aplicar, tanto el modelo de bielas y tirantes como el de transferencia a corte. El mayor coste de cálculo parece ser necesario para la evaluación del rasante solicitante de cálculo, en función de la complejidad de la estructura. En el modelo de bielas y tirantes llama la atención que la libertad de escoger un ángulo θf para alas comprimidas pueda conducir a diseños teóricamente satisfactorios con una diferencia de armaduras del doble entre los casos extremos; diferencia menor en alas traccionadas. La consecuencia práctica es que si la comprobación por compresión oblicua resulta holgada, puede forzarse el valor del ángulo θf para obtener el diseño más económico de la armadura transversal. La cuestión es por qué el ángulo no guarda relación con algún parámetro tan característico de las vigas en T como pueda ser la relación de aspecto (bef/a en Fig.2.74a), de influencia directa en el análisis seccional y en el cálculo de ΔFd. Diversos autores han señalado la armadura transversal, que depende directamente del ángulo θf, como uno de los factores que influyen en el ancho eficaz [18,22,24,94], pero en las normas no hay establecida ninguna relación. El ángulo θf=26,5º, que conduce a un ala más flexible en su plano, parece basarse solamente en los ensayos de Badawy y Bachmann (1977) [29] y Bacchetta y Bachmann (1977) [30]; un total de 7 vigas, todas con la misma geometría y una anchura de ala relativamente pequeña que conduce a que el ancho real sea plenamente eficaz, según la formulación del EC2 (2004) [4]. Tan solo las recomendaciones FIP (1999) [97] sugieren que puede considerarse un ancho eficaz mayor si se diseña y detalla la armadura transversal adecuadamente para ello, pero no establece ninguna relación ni proporciona ninguna referencia. Fuera de la normativa, como se ha expuesto en 2.4.2.4, puede consultarse la propuesta de Tizatto y Shehata (1990) [207], estableciendo una relación entre el ángulo y la relación de aspecto. En otros métodos de diseño (v. 2.4.2), aquellos que han planteado el equilibrio del ala, considerando la excentricidad de la fuerza rasante



respecto del plano de corte, pueden encontrarse diversas relaciones entre la armadura y la relación de aspecto. En principio, las diferentes normas permiten escoger un único ángulo θf para toda la longitud del ala, lo que permite simplificar el cálculo, pero hay que observar que esta elección no refleja exactamente el flujo de tensiones en el ala en régimen elástico. Diversos estudios muestran un ángulo de inclinación mayor en la zona de apoyo que en centro de vano, como así lo indican patrones de fisuración en vigas ensayadas [25,26]. Aparte, el método de bielas y tirantes no es capaz de reproducir correctamente la variación del esfuerzo axil transversal en el ala concomitante con el rasante (v. 2.3.3.1), utilizado por algunos autores [6,19,22,26,37] para plantear un diseño de la armadura supuestamente más eficaz, mejor distribuida. El método de bielas y tirantes puede argumentar en este caso la capacidad de redistribución de esfuerzos debido a la plastificación de la armadura, pero en ensayos de vigas solicitadas por cargas puntuales pueden apreciarse casos en donde, siendo el rasante la causa de rotura, la plastificación de las armaduras no resulta completa, concentrándose en el entorno de aplicación de las cargas puntuales [26], lo que pone de manifiesto la presencia de un axil transversal de tracción mayor en esta zona. En los modelos de transferencia a corte no existe la posibilidad de escoger una cuantía de la armadura transversal dentro de un intervalo de valores posibles, como así ocurre en bielas y tirantes, por lo que una vez establecidos los esfuerzos sobre el plano de corte, así como las características de fricción y cohesión, la cuantía de la armadura tiene un valor único. Una carencia importante en los códigos revisados, que no del método en sí mismo, es que omiten la redacción de un apartado específico para el rasante alas–alma, simplemente señalan que debe considerarse como un caso de transferencia a corte, remitiendo al apartado general para el mismo, por lo que el ingeniero puede olvidar entonces considerar el axil transversal concomitante con el rasante, que adquiere mayor relevancia en alas exentas. Los canadienses Jaeger y Bakht (2001) [27] prestaron atención a este esfuerzo (v. 2.3.3.1.3), el problema es que basaron su estudio en un análisis elástico lineal. Si se pretende diseñar la armadura transversal en agotamiento, la opción más adecuada ya ha sido tratada al revisar otros métodos de diseño consistentes en plantear el equilibrio del ala y en suponer una redistribución plástica de esfuerzos en el plano de unión con el alma. En concreto, los métodos propuestos por Regan y Placas (1970) [19] (v. 2.4.2.1.3) y por Tizatto (1987) [26] (v. 2.4.2.2.2.2), tienen un planteamiento que puede integrarse perfectamente en la filosofía de diseño de los códigos americanos. Ambos métodos ofrecen una fórmula de diseño de la armadura transversal que contempla tanto el axil transversal como un modelo de transferencia a corte (fricción más cohesión) y sería interesante revisar cómo dicho modelo se aplica de una forma coherente con la propuesta de los códigos americanos. El olvido del axil transversal también conduce a pensar que el ala comprimida y el ala traccionada se diseñan igual, pero la redistribución del axil en la junta es totalmente opuesta. Solucionado el problema del esfuerzo axil, los diferentes modelos de transferencia a corte propuestos en los códigos revisados permiten considerarlo en su fórmula en el término de fricción, beneficiando en caso de compresión e incrementando el armado en caso de tracción. En resumen, las dos filosofías de diseño presentes en la normativa actual son sencillas de aplicar, recayendo el mayor coste de cálculo en la evaluación del rasante. Ambas presentan también aspectos interesantes para revisar y curiosamente métodos de diseño planteados hace más 30 años parecen ofrecer posibilidades para ello de un modo sencillo. Ninguna relaciona la cuantía



de la armadura con el ancho eficaz, así que el problema sólo va en una dirección, se adopta un ancho eficaz para diseño y se calcula la armadura en consecuencia. Establecer un camino inverso resultaría interesante para permitir optimizar aspectos como la capacidad resistente a flexión. 2.5 HORMIGÓN REFORZADO CON FIBRAS DE

ACERO En el estudio del esfuerzo del rasante en vigas en T fabricadas con hormigón reforzado con fibras de acero interesan conocer todos aquellos aspectos de este nuevo material relacionados con su funcionamiento frente a solicitaciones normales y tangenciales. Tras una introducción y descripción de aspectos generales, el presente apartado se estructura de modo que en primer lugar se revisan las propiedades resistentes como material, resistencia a tracción, a compresión y transferencia a corte, y en segundo lugar se cubren los aspectos estructurales que van a permitir plantear el estudio del problema del rasante, como son la modelización de vigas, el comportamiento de lajas y placas, y el método de bielas y tirantes. 2.5.1 Generalidades Un hormigón reforzado con fibras de acero (HRFA) es un hormigón convencional que alberga en su masa fibras de acero, distribuidas aleatoriamente, cuyos diámetros suelen estar comprendidos entre 0,3 y 1,0mm y longitudes entre 25 y 80mm [212]. La principal modificación que introduce la presencia de fibras de acero en la masa de hormigón es el comportamiento en tracción, ilustrado perfectamente en la Fig.2.77. Para dosificaciones de fibras de acero de hasta aproximadamente 40kg/m³ el comportamiento es típicamente con ablandamiento [213] aunque depende de la esbeltez de la fibra y de la resistencia del hormigón. Volúmenes superiores consiguen gradualmente acercarse al comportamiento con endurecimiento aunque su fabricación y puesta en obra se vuelve más complicada. En ambos casos las fibras aportan ductilidad, una resistencia a tracción para grandes deformaciones que en hormigón convencional no existe.

(a)

P

Deformación de tracción

(b)

(c)

(d)

Fig.2.77. Respuesta en tracción: (a) Diagrama esquemático comparativo; (b) hormigón en masa (HM); (c) HRFA de respuesta con ablandamiento; (d) HRFA de respuesta con endurecimiento. Adaptado de

RILEM [219] y ACI 544.1R-96 [214]. El inicio del uso del HRFA como material de construcción buscaba la mejora de propiedades como la resistencia al impacto y a la abrasión, el control de fisuración o la consistencia de la masa fresca. Comenzaron a emplearse entorno a 1960 en losas, pavimentos y recubrimientos de túneles [212,214] así como en tuberías y otras piezas prefabricadas, y en cimentaciones para maquinaria pesada. Este interés y uso del HRFA dio pie a los primeros informes sobre el estado



del conocimiento emitidos por instituciones como ACI en 1973 [ 215 ] o asociaciones profesionales como RILEM en 1977, aunque metodologías de cálculo para su función estructural, suficientemente contrastadas, se desarrollarían más tarde. En 1988 el Comité ACI 544 publicó un texto, ACI 544.4R [ 216 ], que trataba de referenciar resultados en piezas estructurales basados en su experiencia, con el fin de ampliar las aplicaciones del HRFA ya que hasta esa fecha era rutinariamente empleado sólo en unos pocos tipos de aplicaciones. Dicho texto seleccionaba un método para el agotamiento de vigas en flexión y un término de contribución a corte en vigas de HRFA. La extensión del uso del HRFA a elementos estructurales se ha producido en los últimos años. Actualmente, códigos de hormigón estructural como EHE (2008) [1], o textos de referencia como el Código Modelo 2010 [3] se han revisado incorporando entre sus novedades metodologías de cálculo para las fibras de acero, de modo que ahora el ingeniero proyectista ya dispone de un mayor margen de confianza para el empleo de este material con fines resistentes. En el próximo apartado (v.2.5.1.1) se da una relación de normas, códigos y recomendaciones, y pueden consultarse también obras generales como la monografía de ACHE (2000) [212] y el libro de Bentur y Mindess (2007) [217]. 2.5.1.1 Normativa, códigos y recomendaciones En este apartado se expone una relación de normas, códigos y recomendaciones resultado del interés y esfuerzo por estandarizar procedimientos de caracterización del HRFA para su uso en las diversas obras de construcción, buscando especialmente, y últimamente, establecer métodos de cálculo que permitan explotar el uso estructural de este material:

— Alemania: Dispone desde 1992 de una norma para hormigón con fibras de acero, revisada en 2001 (DBV - Merkblatt Stahlfaserbeton). Fue la primera en aparecer en Europa con el objeto de cubrir el diseño estructural de túneles.

— Asociación internacional RILEM: A través de su comité técnico TC 162-TDF (Test and design methods for steel fibre reinforced concrete) tiene desarrolladas toda una serie de recomendaciones para la normalización de métodos de ensayo y de diseño para el hormigón reforzado con fibras. Han aparecido publicados en su revista Materials and Structures desde 2001: "σ-ε design method" [218]; "Design of steel fibre reinforced concrete using the σ-w method: principles and applications" [219]; "Bending test" [220]; "Uni-axial tension test for steel fibre reinforced concrete" [221].

— Italia: Desde el año 2004 el Comité Nacional de Investigación ha publicado una serie de instrucciones relativas al uso estructural de materiales compuestos, la quinta de esas instrucciones la dedica al hormigón reforzado con fibras (CNR-DT 204/2006 [222]).

— España: En su última revisión, la norma de hormigón estructural EHE (2008) [1] incluyó por primera vez un anejo, el nº14, dedicado a la utilización del hormigón con fibras de varios tipos. Se estructura conforme el articulado general, desarrollando aquellos aspectos novedosos aportados por las fibras y que están suficientemente contrastados. En él se señala que son las fibras de acero las que poseen una base de conocimiento mayor. Aparte, existe toda una serie de normas UNE que definen las características de las fibras de acero a emplear y ensayos necesarios para su caracterización. Entre ellos figura la rotura por compresión, por flexotracción, la resistencia a cortante e índices de tenacidad a compresión y de resistencia a primera fisura.

— CEB-FIP: Ha redactado un nuevo Código Modelo 2010 [3] en el que el HRFA se incluye en el texto tanto en el capítulo dedicado a materiales como en el de diseño.



— Norteamérica: ACI tiene un comité técnico dedicado al hormigón reforzado con fibras, ACI 544, y ha generado bibliografía desde la década de los años 70, a través de sus revistas ACI Materials Journal y ACI Structural Journals. No sólo dispone de numerosos artículos sino que han dado cuerpo a una serie de documentos que revisan periódicamente, a modo de guía o recomendaciones. Los cuatro más destacados son: Report on fiber reinforced concrete (ACI 544.1R [214]); Measurement of properties of fiber reinforced concrete (ACI 544.2R [223]); Guide for specifying, proportioning, and production of fiber reinforced concrete (ACI 544.3R [224]); Design considerations for steel fiber reinforced concrete (ACI 544.4R [225]); Physical properties and durability of fiber-reinforced concrete (ACI 544.5R [226]). Estas publicaciones ACI referencian también a toda una serie de métodos de ensayo de ASTM. En 2008 la revisión del código ACI 318 [10] incluyó por primera vez el HRFA como material estructural, aunque sólo permitido para hormigón de peso normal, y sin desarrollar fórmulas de diseño.

— Francia: Dispone de las recomendaciones para lo que se denominan hormigones reforzados con fibras de ultra-altas prestaciones (UHPFRC) caracterizados por una alta resistencia a compresión y una respuesta en tracción con endurecimiento. Inicialmente redactadas por AFGC-SETRA y publicadas como recomendaciones internas en 2002 [227], siendo las primeras de su clase, y revisadas recientemente en 2013 [228] para, entre otros motivos, que el capítulo de métodos de diseño estructural sea consistente con el EC2 [4].

— Japón: El código japonés JSCE/SSCS ha incluido, en su parte dedicada a Materiales y Construcción (2007) [229], un capítulo específico para el hormigón reforzado con fibras de acero y sintéticas, si bien no constituye una guía de cálculo estructural remite a unas recomendaciones de diseño que en la fecha de publicación del texto se encontraban en fase borrador, pero que se originaron en 1984, así como a toda una serie de normas de ensayo para caracterización de sus propiedades. También dispone de unas recomendaciones para lo que se denominan compuestos cementosos reforzados con fibras de altas prestaciones (HPFRCC), JSCE (2008) [230].

2.5.2 Resistencia a tracción Al tratar de establecer la resistencia a tracción en HRFA es necesario distinguir entre resistencia a la primera fisura y resistencia postfisuración. El significado de resistencia a la primera fisura ha sido objeto de discusión y de diferentes interpretaciones en numerosos estudios, puede implicar la primera fisura visible o la desviación respecto de la linealidad inicial en la curva tensión–deformación [231]. En términos de mecánica de la fractura se define como la tensión de tracción aplicada con la que una imperfección interior se propaga de forma inestable a través de toda la sección del material [232]. En cualquier caso, se entiende que la fisura ha penetrado completamente a través de la zona traccionada del elemento estructural, extendiéndose hasta las caras libres o hasta la región adyacente en compresión [233], causando la separación física en dos partes, aunque la unión se mantiene mediante las fibras interceptadas, y una pequeña contribución del engranamiento de áridos [234]. A continuación se desarrolla la resistencia postfisuración, caracterizada por el efecto de puenteo de las fibras (bridging effect), con el que se ejerce un control sobre la abertura de fisura, siendo deseable que el fallo se produzca por arrancamiento de las fibras (pull-out) frente al fallo por rotura del propio acero de las fibras. El motivo es que el mecanismo de pull-out ofrece un agotamiento más gradual y dúctil [216], lo que se consigue en la práctica con las geometrías habituales de las fibras, las características de su acero y las del hormigón, buscando que la capacidad adherente de la fibra sea inferior a su capacidad a tracción.



A efectos prácticos, las comprobaciones resistentes sobre elementos estructurales se corresponden con situaciones en donde se espera un nivel de deformación en tracción mayor al necesario para alcanzar la resistencia a la primera fisura, incluso en situaciones de servicio, por lo que hay que contar con la resistencia postfisuración. El establecimiento de un valor de la resistencia postfisuración no es sencillo debido a que, una vez producida la primera fisura, la respuesta evoluciona con el nivel de deformación o ancho de fisura. Naaman (1972) [235] definió la resistencia postfisuración (fFpc) como el máximo valor de la resistencia a tracción obtenido después de fisurar, ilustrado en la Fig.2.78. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, Naaman (2003) [236] señaló la necesidad de adoptar un valor promedio y, por tanto, inferior al valor máximo, para estudiar el problema de flexión. Este valor promedio a veces es referido también como resistencia última (fFtu), por corresponderse a una situación de agotamiento, o resistencia residual (fFR). No obstante, el término de resistencia última también ha sido empleado para el máximo valor de la tracción resistente, sin relación alguna con el nivel de deformación, lo que en el caso de respuesta con ablandamiento conduce a que sea igual a la resistencia a primera fisura (fFt). Por otra parte, textos como EHE 2008 [1] y Código Modelo 2010 [3] emplean el término de resistencia residual para una resistencia nominal asociada a un valor concreto de la abertura de fisura en el ensayo de flexotracción. Para complicar más el problema hay que añadir la resistencia resultante del ensayo de tracción indirecta (fFt,i) y la resistencia de flexotracción (fFt,fl), utilizadas también en problemas de comprobación resistente en agotamiento de elementos estructurales.

ε

Lf 2~

1

23

4

2L~ f

w

wε

(c)

(b)

(a)

deformación ó abertura( ó )ε w

Resistencias: fFt = resistencia a primera fisura, en

punto 1. fFpc = resistencia postfisuración.

Respuesta con ablandamiento:

curva (a), fFpc en punto 2; curva (b), fFpc en punto 3.

Respuesta con endurecimiento:

curva (c), fFpc en punto 4.

Fig.2.78. Diferentes respuestas de la resistencia a tracción. Adaptado de [237]. Como puede observarse, el abanico de posibilidades para el establecimiento de resistencias a tracción es variado. Inicialmente se trató de formular la resistencia máxima a tracción, a veces sin distinción entre fisuración o postfisuración. En otras ocasiones se formuló un bloque rectangular de tracciones para la comprobación de elementos estructurales en flexión o cortante, y posteriormente se procedió al planteamiento de leyes constitutivas completas. En la actualidad, las normas proporcionan leyes constitutivas simplificadas, recomendando para qué estado límite son más adecuadas. Así que la solución al problema está en escoger la formulación de la resistencia a tracción adecuada a la comprobación estructural que pretende realizarse. En los siguientes apartados se comentan brevemente los aspectos básicos de la formulación de la resistencia a tracción para terminar con mayor detalle en las propuestas actuales recogidas en normas.



2.5.2.1 Resistencia a la primera fisura El instante de formación de la primera fisura viene precedido por un proceso de propagación de microfisuras en el interior de la matriz. Las microfisuras tienden a crecer alrededor de imperfecciones internas y la presencia de fibras influye en esta fase aumentando la resistencia a tracción del hormigón [238]. Este aumento, sin embargo, no es significativo a efectos prácticos, ya que para valores habituales de las cantidades de fibras empleadas en hormigón no supone un aumento más allá del 10 o el 20% [217], lo que quiere decir que la resistencia a primera fisura del HRFA podría obtenerse a partir de las fórmulas habituales de la resistencia a tracción del hormigón convencional, a partir de la resistencia a compresión, sin cometer un gran error. En la literatura pueden encontrarse propuestas de diversos modelos para la predicción de la resistencia a la primera fisura. Generalmente formulan la resistencia a partir de las características del hormigón sin fibras, incorporando parámetros característicos de las fibras. Se trata de modelos basados en el concepto de espaciamiento [233,239,240], aproximación como material compuesto de dos fases [235,241,242], fórmulas experimentales [243,244,245] y modelos basados en conceptos energéticos y de mecánica de la fractura [232,246,247,248]. A nivel normativo, puesto que se exige un control de la resistencia a tracción mediante ensayo, puede disponerse directamente de un valor de la resistencia a primera fisura. Para ello el Código Modelo 2010 [3] no aconseja los ensayos de tracción directa, y sugiere que se emplee el ensayo de flexotracción descrito en UNE-EN 14651 [249], adoptado también por EHE (2008) [1]. En este caso se habla del Límite de Proporcionalidad, que se corresponde con la resistencia a flexotracción, que puede ser transformada a resistencia a tracción media mediante fórmulas establecidas en las normas para hormigón convencional. 2.5.2.2 Resistencia postfisuración A grandes rasgos, se pueden agrupar en tres bloques las propuestas habidas en la literatura para formular la resistencia postfisuración. Los primeros autores dieron un enfoque analítico al problema en los años 70, mediante el uso de factores de eficacia, también denominado como enfoque clásico [ 250 ]. Esto permitió la identificación de parámetros representativos de la contribución de las fibras, como la fracción de volumen y la esbeltez, que utilizaron posteriormente otros autores para plantear fórmulas de ajuste experimental. Finalmente, tomando como antecedente el texto alemán DBV-Merkblatt Stahlfaserbeton de 1992, recientes normas y recomendaciones establecen una resistencia residual en función de valores procedentes de ensayos de flexotracción. A continuación se describen cada uno de los grupos de formulaciones citados, prestando mayor atención al contenido en las normas. El motivo puede encontrarse en el trabajo de Marti et al. (1999) [251 ] quienes concluyeron que, para fines prácticos del cálculo en rotura, era más recomendable adoptar una resistencia postfisuración obtenida a partir del registro carga–flecha de los ensayos de flexotracción, que usar una fórmula teórica de enfoque clásico, que podía ocasionar algunos casos de predicciones inseguras. 2.5.2.2.1 Fórmulas analíticas El conjunto de fórmulas analíticas disponibles para valorar la resistencia postfisuración asignada al HRFA responde a un mismo razonamiento básico. Dado un conjunto real de fibras con diversas orientaciones que atraviesan un área de hormigón Ac fisurada, que se supone es plana y



perpendicular al campo de tracciones, puede transformarse en otro conjunto equivalente de Ne fibras alineadas con la tracción; en dicho caso, si se conoce la tensión media de tracción en las fibras (σf,media), todas con una misma sección transversal (Af), la resistencia a tracción postfisuración (fFpc) es el resultado de dividir la resultante de tracción total aportada por las fibras entre el área fisurada de hormigón, es decir

c

fmediaf,eFpc A

ANf

⋅σ⋅= E.2.152

La relación Ne/Ac es el número equivalente de fibras alineadas con la tracción e intersectadas por unidad de área de fisura que, según Aveston y Kelly (1973) [252], puede expresarse como:

f

fo

c

e

AV

AN

⋅η= E.2.153

siendo Vf la fracción del volumen de fibras y ηo un factor de eficacia por orientación, que refleja el hecho de que las fibras no alineadas con la tracción contribuyen en menor medida a su resistencia, lo que permite reescribir:

fmediaf,oFpc Vf ⋅σ⋅η= E.2.154 Con la hipótesis habitual de que las fibras que agotan por arrancamiento lo hacen en el lado de la fisura con longitud embebida más corta, la tensión media de tracción de las fibras se suele expresar en función de la tensión en la fibra de longitud embebida máxima (Lf/2), o fibra de referencia, y se hace a través del factor de eficacia por longitud ηL, del que existen básicamente dos definiciones ligeramente diferentes:

— La primera definición establece ηL como la relación entre la tensión media de tracción en la fibra, promediada en su longitud, y la tracción máxima, que se localiza en el borde de la fisura. En este caso, la tracción máxima en la fibra de referencia (σf,1) se sustituye por la resistencia tangencial de adherencia (τfu) considerada constante en toda la longitud embebida y, por equilibrio, la tracción media se expresaría del siguiente modo:

f

ffuLf,1Lmediaf, 2

DL

⋅τ⋅η=σ⋅η=σ E.2.155

Hay que señalar que las fórmulas se basan en la consideración de una fibra de sección circular y diámetro Df, o bien, un diámetro equivalente para el caso de fibras no circulares.

— La segunda definición establece ηL referido a la resistencia última de la fibra (σfu), en cuyo caso la tracción media se expresaría:

fuLmediaf, σ⋅η=σ E.2.156 También puede prescindirse del factor de eficacia por longitud, y considerar que la fibra media representativa tiene una longitud embebida Lf/4, sobre la que actúa una resistencia tangencial de adherencia constante, resultando:

f

ffumediaf, D

L⋅τ=σ E.2.157

Si ahora se añade un factor de forma ηb, como solución práctica para considerar el efecto de la geometría de la fibra en su resistencia al arrancamiento respecto de una geometría de referencia (por ejemplo, la fibra recta), las distintas formas de expresar la resistencia postfisuración se escribirían del siguiente modo:

ff

ffuLobFpc 2 V

DLf ⋅⋅τ⋅η⋅η⋅η= E.2.158



ffuLobFpc Vf ⋅σ⋅η⋅η⋅η= E.2.159

ff

ffuobFpc V

DLf ⋅⋅τ⋅η⋅η= E.2.160

Como se puede observar, se trata de una formulación analítica basada en factores de eficacia, pero no todos los parámetros intervinientes pueden ser formulados analíticamente, como es el caso del factor de forma (ηb) o, principalmente, la tensión de adherencia (τfu), quizás uno de los parámetros de mayor complejidad, de modo que dichas fórmulas deben completarse con experimentación. Las fórmulas hay que interpretarlas como una forma genérica de expresar la resistencia a tracción, ya que no todos los autores que han seguido este enfoque han empleado los mismos factores ni los han formulado de la misma forma. Lim et al. (1987) [242] emplearon la expresión E.2.158 para definir la máxima resistencia postfisuración, denominada por ellos como resistencia última (fFtu). Laws (1971) [253] planteó la expresión E.2.159, menos frecuente, pero reformuló un único factor de eficacia englobando orientación y longitud. Naaman (1972) [235] planteó inicialmente el modelo de la expresión E.2.160, sin ηb, pero en sucesivos estudios llegó a incluir tres (Naaman, 1987 [254]) y hasta cinco factores de eficacia (Naaman, 2008 [231]), señalando que la ventaja de expresar la eficacia de las fibras como un producto de factores residía en la posibilidad de incorporar nuevos conceptos en el caso de ser necesario. Naaman (2003) [250] planteó también una generalización al caso de fibras metálicas con sección no circular. El uso de esta formulación analítica ha sido numeroso, para el análisis de vigas en flexión [255,256,257,258,259,260,261,262,263], para análisis del cortante [264,265,266,267,268,269], de la torsión [270,271,272,273], ménsulas cortas [274], e incluso en modelos de fractura [246]. Algunas propuestas fueron recogidas en ACI 544 (1988) [216]. En la mayoría de los casos citados las fórmulas analíticas fueron particularizadas para disponer de una expresión sencilla de un bloque rectangular de tracciones. Volviendo al factor de orientación ηo, hay que señalar que encierra seguramente el concepto más importante de la resistencia postfisuración en HRFA, que afecta incluso a otros tipos de formulaciones. Su formulación analítica más sencilla incluye solamente consideraciones probabilísticas sobre la distribución espacial de la fibra en un dominio sin contornos. La definición práctica más recurrida ha sido la propuesta inicialmente por Romualdi y Mandel (1964) [239], como la relación entre la longitud media de todas las fibras proyectada en la dirección de estudio y la longitud total. Suponiendo que las fibras tenían la misma probabilidad de orientarse en cualquier dirección, justificaron un valor ηo=0,405 para el caso de un dominio 3D. Este valor fue anotado como incorrecto [275,276] en favor del deducido por Aveston y Kelly (1973) [252], utilizado posteriormente por gran número de autores [277,278,279,280,281], en cuyo caso pueden establecerse los valores de la Tabla 2.13.

Tabla 2.13. Valores del factor de orientación acorde a Aveston y Kelly (1973) [252].

ηo = Caso 1 fibras continuas alineadas con la tracción (θ=0, todas las fibras intersectan la fisura,

caso teórico), referido también como caso 1D 0,637 distribución aleatoria en el caso 2D

0,5 distribución aleatoria en 3D (isotropía)

0 fibras perpendiculares a la tracción (θ=90º, ninguna fibra intersecta la fisura)



La orientación puede ser aleatoria cuando el material es descargado de la mezcladora, pero no es necesariamente el caso cuando ha sido compactado dentro del encofrado o molde [282]. En relación a la forma de la pieza y al método de compactación puede señalarse lo siguiente:

— La proximidad de las fibras a un paramento encofrado provoca en ellas una tendencia a orientarse paralelas a él [282]. Es lo que se conoce como efecto pared en las zonas de contorno, que se suponen de espesor igual a la mitad de la longitud de la fibra [278,283].

— La vibración causa rotación de las fibras dentro de la masa fresca y alineamiento preferencial en planos perpendiculares a la dirección de la vibración [282]. En mesas vibrantes, en donde se compactan las probetas prismáticas del ensayo de flexotracción, la orientación preferencial se produce en planos horizontales [284]. También puede encontrarse mayor concentración de fibras en la mitad inferior de la probeta [275,285]. La vibración interna favorece una orientación más aleatoria, aunque un exceso puede provocar una alineación preferente con la dirección de la aguja [212], vertical normalmente.

— Si la masa fresca tiene suficiente trabajabilidad, durante su colocación las fibras tenderán a orientarse en la dirección del flujo [286,287], aspecto que puede utilizarse para buscar una orientación preferencial de las fibras en hormigones autocompactantes o de altas prestaciones.

La consecuencia es que, para una misma mezcla, la orientación puede hacer variar fuertemente la resistencia postfisuración. Con una colocación y compactación adecuada, una orientación teórica 3D podría tender a una orientación 2D, que si es paralela a la dirección esperable de la tracción supondría un aumento de la resistencia entorno a 0,637/0,5=1,27. Por el contrario, si la orientación 2D es perpendicular a la tracción la resistencia podría prácticamente anularse. Las formulaciones de la resistencia a tracción recogidas en normas (v.2.5.2.4) contemplan este concepto, pero no lo cuantifican. EHE 2008 [1] advierte que su formulación sólo es válida si la distribución y/o orientación de las fibras no es forzada intencionadamente, y sólo el Código Modelo 2010 [3] introduce un factor de orientación similar a ηo, que debe verificarse experimentalmente. Con estas consideraciones, el establecimiento de un valor de ηo puede llegar a ser complicado. Modelos que tienen en cuenta el efecto de las condiciones de contorno pueden consultarse en [285,280,281,288,278]. Además, la orientación de la fibra puede tratarse conjuntamente con el efecto de flexión local y fricción por snubbing [289,290], y dependiendo de la complejidad en la formulación de la fuerza de pull-out, puede no resultar sencillo aislar el efecto de la orientación de las fibras en un simple factor. Dupont y Vandewalle (2005) [291] anotaron que la alta dispersión en los resultados del hormigón reforzado con fibras de acero era inherente al propio material, por lo que a efectos prácticos era suficiente disponer de una formulación simplificada para el factor de orientación. Sorushian y Lee (1990) [285] dejaron a criterio del calculista considerar la influencia de la vibración, recomendando escoger un valor intermedio entre los casos extremos de dominio 2D y 3D. Y existen propuestas empíricas para procesos de fabricación industrial [292]. Detalles de la formulación del factor por longitud ηL pueden encontrarse en Laws (1971) [253] y Allen (1972) [293], entre otros, en donde se maneja el concepto de longitud crítica de la fibra, definida como la longitud mínima requerida para que la acumulación de tensiones por adherencia sea igual a su resistencia a tracción [217]. El concepto es importante, y en la práctica sirve para fabricar fibras de longitud inferior, de modo que permitan una rotura a tracción dúctil por arrancamiento.



En relación a la tensión de adherencia (τfu) existen modelos micromecánicos que tratan de describir en detalle el proceso de pull-out [ 294 ,295 ,296 ,297 ,298 ,299 ,300] pero que resultan complicados para los fines prácticos de las expresiones E.2.158, E.2.159 y E.2.160, siendo preferibles formulaciones más sencillas [251,236,301,302,303,304,263], a menudo función de la resistencia a tracción del hormigón del hormigón sin fibras y, en última instancia, de su resistencia a compresión. (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(i)

(h) Fig.2.79. Diferentes geometrías de fibras metálicas: (a) recta; (b) extremos aplanados; (c) extremos coniformes; (d) dentada; (e) extremos en gancho (hooked-end); (f) extremos ondulados; (g) ondulada

(crimped); (h) helicoidal; (i) anillo [305,306]. Por último, el factor de adherencia o de forma ηb tiene un carácter puramente experimental. Introducido por Henager y Doherty (1976) para encontrar una mejor correlación con resultados experimentales, fue recogido por ACI 544 (1988) [216] y recomendado para el cálculo de la capacidad resistente a flexión de vigas, estableciendo ηb=1 para el caso de fibras rectas lisas, y un intervalo de valores entre 1,0 y 1,2 para fibras con adherencia mejorada. En la Fig.2.79 se reproducen diferentes geometrías de las fibras, siendo la deformación mecánica la mejor solución para mejorar las características de adherencia de las fibras, tales como ganchos, ondas o ensanches localizados en los extremos, y muescas u ondas desarrolladas a lo largo de la longitud de la fibra [307]. Un valor de ηb=1,2 ha sido asignado a fibras tipo hooked-end [308,309] pero debe prestarse atención a la formulación de los autores originales, ya que en ocasiones no toman como referencia la geometría recta sino la deformada [270,271,267,310], tal y como se anota en la descripción de la expresión E.2.163. 2.5.2.2.2 Fórmulas experimentales El desarrollo de las fórmulas analíticas E.2.158, E.2.159 y E.2.160 a principios de los años 70 puso de manifiesto la existencia de dos parámetros característicos de las fibras, la fracción de volumen (Vf) y la esbeltez de la fibra (Lf/Df). El producto de ambos recibe el nombre de índice de refuerzo de las fibras o factor de fibras, anotado generalmente como F [260,311] aunque se han manejado diferentes definiciones para el mismo:

— Referido a la fracción de volumen (Vf): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

f

ffv D

LVF · E.2.161a

— Referido a la fracción de peso (Wf): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

f

ffw D

LWF · E.2.161b

— Incluyendo un factor de adherencia o forma (ηb): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅η=

f

ffbb D

LVF · E.2.161c

siendo la primera la más usada, aunque la tercera representa a las fibras de una forma muy eficaz, al incluir también características de adherencia [312]. Además, como ya se ha indicado, la resistencia tangencial (τfu) fue considerada por algunos autores función de la resistencia del hormigón sin fibras, así que, con estos parámetros identificados, otros autores optaron directamente por ajustar fórmulas empíricas para obtener la resistencia a tracción postfisuración,



evitando así la determinación más compleja de cada uno de los factores de eficacia incluidos en las fórmulas analíticas (v. 2.5.2.2.1), muchos de los cuales requerían además información de la respuesta de pull-out de la fibra individual. Básicamente, la totalidad de fórmulas empíricas revisadas han sido planteadas para el ensayo de tracción indirecta, mientras que el ensayo de tracción directa ha sido utilizado principalmente para la comprobación y ajuste de las fórmulas analíticas (v. 2.5.2.2.1). Dado que en el ensayo de tracción indirecta se registra sólo la máxima carga obtenida, las fórmulas planteadas no distinguen entre resistencia a primera fisura (fFt,i) ni resistencia postfisuración (fFt,iu), ni proporcionan detalle sobre el nivel de deformación por tracción. Ello conduce a plantear fórmulas con al menos dos términos, siendo el segundo nulo cuando no se emplean fibras (Vf=0), de modo que el primero constituye la resistencia a tracción de la matriz. El problema puede solucionarse midiendo la deformación horizontal, tal y como hizo Nanni (1988) [313], quien recomendó el ensayo por su mayor sencillez en ejecución y registro de datos, pero a menudo esta información no es proporcionada por los autores. Otra cuestión es el cálculo de la resistencia a partir de la expresión utilizada en este tipo de ensayo para hormigón convencional, basada en elasticidad:

cciuFt,iFt,

2 ó DL

Fffπ

= E.2.162

en donde F es la fuerza vertical registrada y Lc y Dc la longitud y diámetro de la probeta cilíndrica. Si bien la expresión E.2.162 sólo tiene un significado físico para la primera resistencia, Nanni (1988) [313] señaló que, dado que análisis previos en elementos finitos habían demostrado la validez de la fórmula para materiales plásticos, y las fibras aportaban ductilidad en la fase fisurada, podía usarse como indicador de la resistencia última a tracción del HRFA. Diversos autores demostraron la utilidad de emplear fFt,iu en aplicaciones prácticas de cálculo a flexión, corte y torsión. Narayanan y Kareem-Palanjian (1985-1986) [270,272], Narayanan y Darwish (1987) [265], Kwak et al. (2002) [314], Kang y Kim (2010) [315] coincidieron en usar una expresión de tres términos:

bb

cucf,iuFt, CB

20F

Ff

f ⋅++−

= [MPa] E.2.163

en donde B=0,7MPa y C=1MPa son constantes dimensionales; fcf,cu es la resistencia a compresión de la probeta cúbica para el hormigón con fibras; y Fb el factor de fibras según E.2.161c, con ηb=0,5 para fibras rectas de sección circular; ηb=0,75 para fibras onduladas (crimped); y ηb=1,0 para fibras de geometría dentada (indented). Paine (1998) [304], Padmarajaiah y Ramaswamy (2002-2004) [316,261] y Musmar (2013) [317] utilizaron una expresión de dos términos. Sirve de ejemplo la propuesta del último autor, basada en el análisis de 358 resultados del ensayo de tracción indirecta de diferentes autores:

( ) cviuFt, 0,40,6 fFf ⋅⋅+= [MPa] E.2.164siendo Fv según E.2.161a, para un intervalo entre 0 y 3; y fc la resistencia a compresión de la probeta cilíndrica del hormigón sin fibras, entre 20 y 102MPa. Song y Hwang (2004) [318] y Thomas y Ramaswamy (2007) [319] ajustaron una fórmula de tres términos tanto para la resistencia a tracción indirecta como para la resistencia a flexotracción. Elliott et al. (2002) [243,244] hicieron lo mismo, usando una fórmula de dos términos, pero tiene de especial que distinguieron perfectamente entre resistencia a la primera fisura y resistencia postfisuración, como puede observarse en el caso de la resistencia a flexotracción:



fcuflFt, 1,4 0,7 Vff ⋅+= [MPa y %] E.2.165

( )⎩⎨⎧

<−⋅+≤

=%]y [ 0,8 para 0,82,15

0,8 para

ffflFt,

fflFt,fluFt, MPaVVf

Vff E.2.166

siendo fFt,fl la resistencia a primera fisura de flexotracción y (fFt,flu) la resistencia a flexotracción última ó máxima, que coincide con la primera para un volumen Vf=0,8%. Finalmente, hay que añadir que hubo autores que recurrieron también a la ley de mezclas [320,240,321,322,323] pretendiendo ser una teoría con fundamento analítico, pero lo cierto es que no fue más que una aproximación experimental utilizando un formato de fórmula que simulaba la ley de mezclas, como así fue aclarado por otros autores [324,325], por lo que deberían considerarse dentro del grupo de fórmulas experimentales. 2.5.2.2.3 Formulación basada en resistencias nominales En último lugar, debido a su aparición posterior a las teorías y formulaciones tratadas en los apartados previos (v. 2.5.2.2.1 y 2.5.2.2.2), y con un marcado carácter práctico para diseño, puede utilizarse como resistencia postfisuración una resistencia residual o equivalente, que corresponde a aquella resistencia asociada, respectivamente, a un cierto valor o rango de valores de la abertura de fisura, medida en un ensayo de referencia. Y es importante añadir que los niveles de deformación considerados se escogen acorde al tipo de comprobación que pretende realizarse, servicio o agotamiento. Un antecedente del concepto se tiene en la norma de ensayo japonesa JCI-SF4 (1983), pero fue utilizado para diseño en 1992 por la norma alemana DBV-Merkblatt Stahlfaserbeton. La norma de ensayo americana ASTM C1399-10 [326], redactada por primera vez en 1998, definió su propia resistencia residual. Marti et al. (1999) [251] estudiaron la idoneidad de usar el concepto para fines prácticos del cálculo en rotura. RILEM TC 162-TDF (2000) [327] publicó unas recomendaciones de diseño basadas en este concepto, revisadas finalmente en 2003 [218]. A partir de entonces aparecieron, por orden, el texto italiano CNR-DT 204/2006 [222], el anejo 14 de la EHE 2008 [1] y el Código Modelo 2010 [3], guardando todas ellas gran similitud. Estas normas definen una ley constitutiva en tracción, que será tratada más adelante (v. 2.5.2.4) pero a continuación se explica el concepto de resistencia residual o equivalente empleado en ellas. En general, se propone el ensayo de flexotracción de una probeta prismática y se registra la carga y el ancho de fisura (w) o la flecha (δ), representando una resistencia nominal σN obtenida a partir de la consideración de flexión ideal en material elástico y lineal (Fig.2.80):

2N6

hbM

⋅⋅

=σ E.2.167

siendo b el ancho de la probeta; h la altura de la misma restando la profundidad de la entalla, en el caso de probeta entallada; y M el momento flector en la sección fisurada, expresable en función de la carga según la configuración de carga de la probeta. La resistencia nominal coincide con la resistencia real sólo en la fase previa a la fisuración, luego es una tensión irreal, un simple parámetro de referencia que requiere de una transformación para su uso final en un modelo de tracción uniaxial, según se detalla más adelante.



(a) L3L

F 2F

3L

2

3

h

σN

(b) 1δ0,3

δ 2

w/δ [mm]

N

2ww1

f eq

w i

δ i

R,if

Fig.2.80. Resistencias nominal y residual: (a) esquema de probeta de ensayo cargada en 4 puntos con distribución nominal de tensiones; (b) gráfico genérico σN–w/δ.

A partir del gráfico σN–w/δ (Fig.2.80b) se pueden definir dos resistencias:

— Resistencia residual equivalente o simplemente resistencia equivalente: es la resistencia nominal promedio obtenida en un intervalo de deformación especificado, es decir:

∫∫δ

δ

δσ⋅δ−δ

σ⋅−

=2

1

2

1

1ó 1N

12N

12eq dd

w

w

www

f E.2.168

El texto alemán DBV (2001) y RILEM TC 162-TDF (2000) [327] utilizan un intervalo de flechas con origen en el instante de formación de la primera fisura, y restan la contribución del hormigón sin fibras, considerada simplificadamente como el triángulo post-pico de base 0,3mm (Fig.2.80b). Los intervalos de deformación empleados son los siguientes:

Tabla 2.14. Intervalos de definición de la resistencia residual equivalente feq.

Texto o norma Intervalo en ... Servicio [mm] Rotura [mm] DBV (1992 y 2001) [δ1, δ2] = [0; 0,65] [0,0; 3,15] RILEM TC 162-TDF (2000) [327] [δ1, δ2] = [0; 0,65] [0,0; 2,65] CNR-DT 204/2006 [222] [w1, w2] = [0; 0,60] [0,6; 3,00]

— Resistencia residual: es la resistencia nominal correspondiente a un valor concreto de

deformación producido en la fase postfisuración: ( ) ( )iNiNiR, ó δσσ= wf E.2.169

siendo i un número de identificación adoptado por cada texto. Los valores deformación propuestos para situaciones de servicio y rotura son:

Tabla 2.15. Valores de deformación empleados para la resistencia residual fR.

Texto o norma Servicio [mm] Rotura [mm] RILEM TC 162-TDF (2003) [218] w1 = 0,5 (~δ1=0,46) w4 = 3,5 (~δ4=3,0) EHE 2008 [1] y Código Modelo 2010 [3] w1 = 0,5 w3 = 2,5

Finalmente se establece una equivalencia entre la distribución lineal de tensiones en flexión (Fig.2.81a), definida por la resistencia residual (feq ó fR), y una distribución simplificada más próxima a la situación de flexión planteada, en servicio o en rotura. Todas las normas citadas coinciden en plantear como distribución para la situación en servicio un bloque rectangular de tracción de altura 0,66·h y un bloque comprimido triangular (Fig.2.81b). Para la situación de rotura DBV (2001) y RILEM TC 162-TDF (2003) [218] proponen una altura del bloque de tracción de 0,9·h y un bloque comprimido rectangular (Fig.2.81c), mientras que CNR-DT 204/2006 [222], EHE 2008 [1] y Código Modelo 2010 [3] concentran la compresión en la fibra superior y extienden el bloque traccionado en toda la altura (Fig.2.81d).



(a) ó Rf

h

M

h 2

feq (b)

c

Ftsf

h0,66·

(c) Ftuf

c

h0,9·

(d) f Ftu

h

Fig.2.81. Distribuciones tensionales consideradas en la definición de la resistencia postfisuración. La equivalencia consiste en que ambas distribuciones de tensiones deben proporcionar el mismo momento flector M, resultando varias propuestas de resistencias postfisuración, fFts o fFtu, según la notación utilizada por CNR-DT 204/2006 [222] y el Código Modelo 2010 [3]:

— Para servicio (Fig.2.81b): fFts = 0,45·feq ó fFts = 0,45·fR E.2.170

— Para rotura según Fig.2.81c: fFtu = 0,37·feq ó fFtu = 0,37·fR E.2.171

— Para rotura según Fig.2.81d: fFtu = 0,33·feq ó fFtu = 0,33·fR E.2.172 La resistencia fFtu puede usarse para definir un modelo rígido-plástico para el análisis en agotamiento. En servicio suele recomendarse una ley bilineal construida a partir de los valores de fFts y fFtu, o una ley trilineal, en donde interviene además la resistencia a la primera fisura o límite de proporcionalidad, y estas leyes más detalladas pueden usarse también en rotura (v. 2.5.2.4). 2.5.2.3 Ecuación constitutiva En los apartados previos se han referenciado modelos y fórmulas para valorar la resistencia a tracción del HRFA, siendo básico distinguir entre primera fisura y postfisuración. La modelización más completa de la respuesta a tracción del HRFA se consigue estableciendo una ley constitutiva que permita valorar la contribución de las fibras para cada nivel de deformación. En la literatura pueden distinguirse básicamente dos enfoques: el método σ–w [219] y el método σ–ε [218]. Ambos se describen brevemente a continuación, aunque hay que adelantar que las normas se han inclinado por el segundo (v. 2.5.2.4) ya que, en este caso, el diseño de elementos estructurales puede tratarse de la misma manera que el empleado en hormigón armado convencional. 2.5.2.3.1 Método σ–w (tensión–abertura de fisura) Plantear una relación tensión–abertura de fisura (σ–w) es una conclusión lógica para la caracterización de hormigones reforzados con fibras que exhiben respuesta a tracción con ablandamiento, ya que la abertura de fisura o desplazamiento es lo que se registra en la mayoría de ensayos de tracción. Su utilidad se ligó inicialmente al estudio del hormigón mediante la mecánica de la fractura y Visalvanich y Naaman (1983) [246] se atribuyeron la primera ley general aplicable al hormigón o mortero reforzado con fibras. Posteriormente, aparecieron modelos cuyo objeto consistió en sentar las bases para disponer de una ecuación constitutiva de caracterización del HRFA más orientada al análisis de piezas estructurales, como el de Lim et al. (1987) [242].



El establecimiento de una ley σ–w en tracción uniaxial puede afrontarse de un modo directo, mediante modelos semianalíticos que parten de una base teórica, hasta modelos meramente experimentales. En general, ambos comparten el empleo de ensayos de tracción directa. Los modelos semianalíticos se basan en modelos micromecánicos que describen el funcionamiento a pull-out de una fibra con una orientación arbitraria, para luego integrar en toda la sección fisurada resultando así factores de eficacia. Entre modelos sencillos hasta ciertamente complejos, pueden citarse a Lim et al. (1987) [242]; Soroushian y Lee (1989) [238]; Li (1991-1992) [328,329]; Marti et al. (1999) [251]; Voo y Foster (2003) [301]; Laranjeira (2010) [330]; Lee et al. (2011) [280,281]; Lee et al. (2013) [331]. En los modelos empíricos ha de escogerse una función matemática que sea capaz de reproducir la forma del comportamiento a tracción uniaxial. Zhang y Stang (1998) [332] emplearon una polilínea de cuatro tramos; Lee y Barr (2004) [333 ] propusieron lo que denominaron modelo exponencial cuádruple; y Wang (2006) [245] propuso una función racional y también una función exponencial. También puede plantearse un enfoque diferente para caracterizar la ley σ–w, un modo indirecto a partir de ensayos de flexotracción, lo que se conoce también como análisis inverso. Consiste en reproducir los resultados experimentales de carga–flecha o carga–abertura de fisura a partir de un modelo numérico en el que se ha supuesto una forma predefinida de la ley σ–w, la cual se va modificando en un proceso iterativo hasta conseguir un ajuste satisfactorio. Kooiman (2002) [275] utilizó un modelo multicapa usado por Hordijk (1991) [334] y optó por una ley bilineal. Barros et al. (2005) [335] emplearon un modelo multicapa similar y optaron por una ley trilineal. Woo et al. (2014) [336] utilizaron un modelo de elementos finitos con una ley trilineal. El análisis inverso tiene un coste de cálculo, debe disponerse de un modelo numérico y de un proceso iterativo de ajuste, pero además Laranjeira (2010) [330] señaló una serie de desventajas: — Al no tener una base teórica y consistir en un proceso de prueba y error, no proporciona

ninguna ayuda para comprender el proceso de resistencia postfisuración. — Requiere la caracterización experimental para cada combinación de fibras y propiedades del

hormigón. — La idoneidad del encaje de la curva depende de la forma inicial supuesta para la misma. — Curvas de diferente forma podrían proporcionar encajes numéricos válidos, lo que dota de

cierta ambigüedad al modelo constitutivo. — Las propiedades del HRFA de las probetas de flexotracción pueden diferir de las de las piezas

estructurales en donde se emplee, debido a diferentes circunstancias en el proceso de fabricación, colocación, vibrado, etc.

— Para diseño de elementos estructurales, la coexistencia de fibras de acero y armadura en la misma sección de estudio plantea un inconveniente al tener que transformar deformaciones en aberturas, o viceversa.

Finalmente, hay que recordar que la aplicabilidad de la relación σ–w se limita a hormigones que exhiben comportamiento en tracción con ablandamiento, no obstante, Naaman (2008) [231] propone su uso en el caso de endurecimiento, una vez termina la fase de estabilización de múltiple fisuración, momento en el que se produce la localización de una fisura que termina por abrir y conducir al agotamiento del elemento traccionado. 2.5.2.3.2 Método σ–ε (tensión–deformación) El método σ–ε consiste en plantear una forma para la ley constitutiva σ–ε que proporcione los mismos resultados carga–deformación de la pieza estructural ensayada y, por tanto, no se entra en el detalle del funcionamiento de cada fibra. Pero existe un problema, en el caso de respuesta



con ablandamiento la caracterización del comportamiento postfisuración viene generalmente dominada por la apertura de una sola fisura y, dado que lo que se conoce son resultados de abertura de fisura w, ésta ha de transformarse a valores de deformación unitaria ε. Ello se hace estableciendo una longitud de la pieza que, en términos de deformación o curvatura, se ve afectada por la fisura. Entonces, a partir de la ley σ–w, la obtención de una ley σ–ε es inmediata, sin más que dividir entre dicha longitud de referencia:

cslw

=ε E.2.173

siendo lcs la notación empleada en EHE 2008 [1] referenciada como longitud crítica, o longitud característica en el Código Modelo 2010 [3]. Otras designaciones para el concepto son ancho de banda de fisura [340], longitud de influencia [275] o longitud de rótula no-lineal [219]. Diversos autores [330,333,337] apuntan como precedente del método σ–ε el trabajo de Bazant y Oh (1983) [338] en hormigón convencional, en el terreno de la mecánica de la fractura y del análisis numérico mediante elementos finitos. Se trata del modelo de fisuración distribuida en el que a la zona dañada por la fisura se asigna una banda de cierta anchura, en donde la abertura de fisura se distribuye uniformemente como deformación unitaria. De este modo, conocida por experimentación la ley de ablandamiento σ–w, ésta puede transformarse a una ley σ–ε, que se asigna como nueva característica al material comprendido en la banda. El truco presenta ventajas en el coste de cálculo, ya que para seguir el progreso de la fisura no es necesario adaptar el mallado a la posición de la fisura, ni modificar las condiciones de los nudos que la definen. De modo similar, diversos autores estudiaron el valor de la longitud crítica en el caso de hormigón reforzado con fibras, analizando el fallo a flexión de probetas prismáticas. Básicamente, según la Fig.2.82, el modelo simplificado de la viga consiste en una rebanada de longitud lcs modelizada con una ley σ–ε que la fase fisurada se obtiene a partir de la ley σ–w según E.2.173, utilizando hipótesis geométricas para los planos de la fisura. Fuera de la rebanada puede utilizarse la teoría de vigas clásica o incluso suponer bloques rígidos. Disponiendo de otro modelo numérico sofisticado y/o de resultados experimentales, puede variarse el valor de lcs para obtener el mismo diagrama carga flecha (F–δ).

F

L

h

cs

xδ

Fig.2.82. Modelización de probetas prismáticas en flexión.

Diversos valores para lcs se anotan en la Tabla 2.16. No deben interpretarse como propuestas de aplicación general, sobre todo los tres últimos casos, sino que su alcance corresponde a características similares de la campaña experimental realizada por sus autores. Precisamente los resultados de Minelli y Vecchio (2004) [339] ponen de manifiesto la influencia de la respuesta a tracción dada por las fibras, motivo por el que normas posteriores distinguen entre diversos casos para establecer un valor aproximado de la longitud característica (v. 2.5.3.5). En cuanto a la forma de la ley σ–ε, Dupont (2003) [278] propuso una ley escalonada (Fig.2.83b) y Barros et al. (2005) [335] propusieron una ley trilineal (Fig.2.83c). En ambos casos se trataba de leyes para uso directo en problemas de cálculo, definidas con resultados de resistencias



residuales (v. 2.5.2.2.3), y en donde la longitud crítica no aparecía explícitamente en la formulación, aunque había sido considerada en el planteamiento de las leyes.

Tabla 2.16. Valores de la longitud crítica según algunos autores. h y x según Fig.2.82.

lcs Autores 0,5·h Pedersen (1996) [340]

2·(h–x) Casanova y Rossi (1996) [341] y Dupont (2003) [278] 0,6·h Barros et al. (2005) [335] 0,83·h HRFA con ablandamiento, Minelli y Vecchio (2004) [339] 6,67·h HRFA con endurecimiento, Minelli y Vecchio (2004) [339]

εcr

ε

tuε

fFtu

Ftf

(a)

σ3

ε1 ε2

ε

3ε

σ2

σ1

(b)

σ3

ε1 ε2

ε

3ε

σ2

σ1

(c)

Fig.2.83. Leyes σ–ε: (a) elasto-plástica con escalón de Lim et al. (1987) [242]; (b) escalonada de Dupont (2003) [278]; (c) trilineal de Barros et al. (2005) [335].

No todos los autores realizaron estudios detallados para relacionar w con ε, a través de la longitud crítica, como los citados en la Tabla 2.16. Previamente, Lim et al. (1987) [242], que formularon en primer lugar una ley σ–w, plantearon finalmente la ley σ–ε elasto-plástica con escalón de la Fig.2.83a, para fines prácticos de cálculo. No necesitaron longitud crítica, porque la deformación εcr correspondía a la formación de la primera fisura, aunque al establecer un valor práctico de cálculo para la deformación última εtu, definido para una abertura de fisura aproximada de Lf/16, sugirieron emplear la separación media entre fisuras. Para problemas específicos de análisis de piezas estructurales, diversos autores propusieron directamente leyes sencillas en el formato σ–ε, basándose en estudios previos de otros investigadores. Tan y Mansur (1990) [342], Mansur y Ong (1991) [343] y Tan et al. (1993) [266] plantearon leyes σ–ε para ser implementadas en un modelo de STM (v.2.4.1.2.2), y otros planteamientos similares, para el estudio de la flexión, pueden consultarse en Lok y Pei (1998) [344], Lok y Xiao (1999) [345], Soranakom y Mobasher (2007-2008-2009) [346,347,348] o en Mobasher (2012) [349]. 2.5.2.4 Normas y recomendaciones En este apartado se expone cómo definen la resistencia a tracción del HRFA las diferentes normas y recomendaciones de ámbito europeo, ordenadas cronológicamente. Casi en su totalidad, se han decantado por el ensayo de flexotracción para definir la resistencia a tracción y su ecuación constitutiva, en formato σ–ε, utilizando el concepto de resistencia equivalente o residual (v.2.5.2.2.3). No se utiliza la formulación analítica basada en factores de eficacia (v. 2.5.2.2.1), solamente el texto italiano CNR-DT 204/2006 [222] hace una mención, no obstante, el concepto de orientación está presente y así es destacado por los diferentes textos, pero no está formulado. En la exposición que sigue de las diversas normas se omite el tratamiento de seguridad para mayor simplicidad en la notación.



2.5.2.4.1 DBV 2001 La norma alemana DBV-Merkblatt Stahlfaserbeton apareció en 1992 con el objeto de proporcionar unas bases de cálculo para el hormigón proyectado como revestimiento en túneles, y fue modificada en 2001 incluyendo tres posibilidades para el diagrama σ–ε: trilineal, bilineal y rectangular (Fig.2.84a).

2ε ε31ε

1

ε

σ

2σ

3σ

B

A

CD

O

(a) (b)

δ [mm

0,3

3,0F

LF

δ0 δ2 3δ

IIDID

0,150,5

= área= área

Fig.2.84. DBV (2001): (a) leyes σ–ε; (b) diagrama carga–flecha del ensayo de flexotracción. El diagrama trilineal (curva OABC) es válido para cualquier análisis, mientras que los diagramas simplificados bilineal (curva OBC) y rectangular o rígido-plástico (línea DC) sólo pueden emplearse para el análisis en agotamiento. A partir del ensayo de flexotracción de 4 puntos (probeta prismática b×h×L=150×150×600mm) se emplea el diagrama carga–flecha (Fig.2.84b) para determinar de un modo directo los puntos característicos:

‰ 01 ;0,37‰ 0,1 ;0,45

;

3IIeq,syscf

3

12Ieq,syscf

2

c

11flFt,c

f1

=ε⋅⋅α⋅α=σ+ε=ε⋅⋅α⋅α=σ

σ=ε⋅α=σ

ff

Ef

E.2.174

donde fFt,fl es la resistencia de flexotracción a primera fisura, máximo valor registrado de la carga (FL) hasta un valor de la flecha de 0,1mm; Ec es el módulo elástico considerado para el hormigón; αf

c es un coeficiente para efectos de larga duración (αfc=0,85 para hormigón normal y

αfc=0,75 para hormigón ligero); αsys es un factor de escala que reduce la resistencia para cantos h

superiores a los 150mm de la probeta del ensayo de flexotracción:

⎩⎨⎧

≤≥−

⋅−=α10,8

45

150,21sysh [h en cm] E.2.175

y feq,I y feq,II son las resistencias equivalentes (v.2.5.2.2.3) atribuidas a la contribución de las fibras en el desarrollo de un intervalo medio de flecha de 0,5 y 3mm, respectivamente:

2I

Ieq, ) (0,5 hbLDf

⋅⋅⋅

=mm

; 2II

IIeq, ) (3 hbLDf

⋅⋅⋅

=mm

E.2.176

siendo DI y DII las áreas bajo la curva carga–flecha señaladas en la Fig.2.84b. 2.5.2.4.2 RILEM TC 162-TDF El comité técnico TC 162-TDF de RILEM ofrece dos alternativas, una basada en la relación σ–w y otra basada en la relación σ–ε. Para la primera dedica el documento RILEM TC 162-TDF (2002) [219] en el que no se llega a proponer ninguna ley σ–w específica en tracción sino que



expone las diferentes formas para la misma (rígido-plástica, bilineal, multilineal y de forma libre) y la posibilidad de realizar un análisis directo o inverso (v.2.5.2.3.1). Para la segunda alternativa, inicialmente publicó RILEM TC 162-TDF (2000) [327] en donde la ley σ–ε usaba el concepto de resistencia equivalente y una deformación última del 10‰, guardando gran similitud con el texto alemán DBV (1992); pero posteriormente revisó la propuesta en RILEM TC 162-TDF (2003) [218] utilizando el concepto de resistencia residual, ampliando la deformación última a 25‰ e introduciendo un factor de tamaño, ya que la ley inicial sobrevaloraba la resistencia en vigas de mayor canto que el de la probeta empleada en el ensayo de caracterización.

(a)

σ3

ε1 ε2

ε

3ε

σ2

σ1

(b)

FL

F

[mm] 3,52,51,50,50,05

1F

4F

CMOD

Fig.2.85. RILEM TC 162-TDF (2003) [218]: (a) ley σ–ε; (b) diagrama carga–CMOD. La ley σ–ε final es trilineal (Fig.2.85a), determinada directamente de los resultados del ensayo de flexotracción de 3 puntos, descrito en RILEM TC 162-TDF (2002) [220]. Los puntos son:

( )

‰ 25 ;0,37‰ 0,1 ;0,45

;1,60,7

3hR43

12hR12

c

11flFt,1

=εκ⋅⋅=σ+ε=εκ⋅⋅=σ

σ=ε−⋅⋅=σ

ff

Edf

E.2.177

donde fFt,fl es el límite de proporcionalidad, determinado a partir del máximo valor registrado de la carga (FL) hasta un valor de la abertura de los bordes de la entalla (CMOD) de 0,05mm; Ec es el módulo de elasticidad considerado (Ec=9500·fcm

1/3); fR1 y fR4 son las resistencias residuales (E.2.169) correspondientes a los valores de la carga F1 y F4; y κh es un factor de tamaño, función del canto h [cm] del elemento estructural:

⎩⎨⎧

≤≥−

⋅−=κ10,4

47,5

12,50,61hh [h en cm] E.2.178

Hay que señalar que Barros et al. (2005) [335] aplicaron esta ley a una campaña de ensayos encontrando que reproducía con una aproximación tosca los resultados reales de carga–flecha, y propusieron su propia modificación de la ley. 2.5.2.4.3 CNR-DT 204/2006 El texto italiano CNR-DT 204/2006 [222] sugiere que la ley constitutiva se obtenga a partir del registro de la tensión nominal σN y de la abertura de fisura w del ensayo más adecuado para el tipo de HRFA y pieza estructural de estudio:

— ensayo de tracción uniaxial con entalla (Fig.2.86a) y ensayo de flexotracción de 4 puntos con entalla (Fig.2.86c), para el caso de ablandamiento;

— ensayo de tracción uniaxial sin entalla (Fig.2.86b) para el caso de endurecimiento; y



— ensayo de flexotracción de 4 puntos sin entalla (Fig.2.86d), para el caso de ablandamiento en piezas de espesor menor a 150mm, o también para el caso de respuesta a flexión con endurecimiento.

En probetas entalladas w se mide entre dos puntos del fondo de la entalla (w = CTOD = Crack Tip Opening Displacement). Para respuesta con endurecimiento w representa el alargamiento de la longitud abarcada por la galga extensométrica, en donde se ha producido multifisuración. La expresión de σN es obvia en el caso del ensayo de tracción directa, mientras que en el de flexotracción se utiliza la expresión de flexión en material elástico y lineal (E.2.167).

(b)

(a) (b) (c)

Fig.2.86. Ensayos contemplados por CNR-DT 204/2006 [222] para la caracterización a tracción: (a) tracción uniaxial; (b) flexotracción con entalla; (c) flexotracción sin entalla.

A partir de σN–w se construye la ley σ–ε utilizando la longitud característica lcs (E.2.173), con lo que resultaría una ley de forma genérica. Para el caso de cálculo habitual mediante el modelo viga y la hipótesis de deformación plana de las secciones, lcs se define así:

— Ablandamiento en presencia de armadura convencional: { } ; mínimo mcs xhsl −= E.2.179

siendo h el canto; x la profundidad de la fibra neutra, calculada en fase elástica fisurada sin la contribución a tracción de las fibras; y sm la separación media entre fisuras:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

⋅⋅+⋅ξ=Ø 0,2550 21m kks [mm] E.2.180

siendo k1=0,8 para barras de alta adherencia y 1,6 para barras lisas; k2=0,5 para flexión y 1,0 para tracción pura; Ø el diámetro de las barras en tracción o diámetro ponderado en caso de existir varios diámetros; ρ la cuantía geométrica de la armadura en tracción referida al área efectiva en tracción, la cual queda definida por h–x; y ξ un factor adimensional que considera la esbeltez de las fibras (Lf/Df)

⎩⎨⎧

≥≤

=ξ0,51

50

ff DL E.2.181

— Ablandamiento en ausencia de armadura convencional: lcs = h. — Endurecimiento: lcs = s = longitud galga extensométrica utilizada en el ensayo.

También propone dos leyes σ–ε simplificadas cuya formulación depende del tipo de ensayo de tracción empleado, utilizando dos resistencias equivalentes feq1 y feq2, calculadas a partir del diagrama σN–w según E.2.168, con los intervalos definidos en la Fig.2.87a y en la Tabla 2.17.



N

ww1A w1B w2A w2Bi1w i2wIw

feq2

eq1f

fFt

(a)

εtutsε

Ftsf

ε

endurecimien

to

ablandamiento Ftuf

fFtu

(b)

ablandamiento

endurecimientoFtuf

fFtu

tu

ε

ε(c)

Fig.2.87. CNR-DT 204/2006 [222]: (a) gráfico σN–w procedente del ensayo de tracción escogido y definición de feq1 y feq2; (b) modelo σ–ε bilineal; (c) modelo σ–ε rígido-plástico.

El modelo bilineal (Fig.2.87b) puede emplearse en ELS y en ELU, y se define con dos valores de resistencia postfisuración, uno adecuado para situaciones de servicio (fFts) y otro adecuado para agotamiento (fFtu):

— Ensayo de flexotracción de 4 puntos: eq1Fts 0,45 ff ⋅= E.2.182

( ) 0 0,20,5 eq1eq2Ftsi2

uFtsFtu ≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−⋅−⋅= fff

ww

ff k E.2.183

siendo k=0,7 para sección completamente traccionada; y k=1 para el resto de casos. — Ensayo de tracción uniaxial:

eq1Fts ff = E.2.184

( )eq2eq1i2

uFtsFtu ff

ww

ff −⋅−= E.2.185

La abertura wi2 (Fig.2.87a) y la abertura última de diseño wu se anotan en la Tabla 2.17. El modelo rígido-plástico (Fig.2.87c) sólo puede ser empleado en ELU, caracterizado por una resistencia residual fFtu hasta el valor último admitido para la deformación εtu.

— Ensayo de flexotracción de 4 puntos:

3eq2

Ftuf

f = E.2.186

— Ensayo de tracción directa: eq2Ftu ff = E.2.187

El texto omite dar un valor explícito para εts, sin embargo, en el planteamiento del cálculo de fFts emplea el valor de la abertura de fisura wi1, que es el valor intermedio del intervalo en el que se evalúa la resistencia feq1, de modo que εts=wi1/lcs. El valor de se anota en la Tabla 2.17. En la Tabla 2.17 la longitud s corresponde a la galga extensométrica (Fig.2.86b); y el valor de wI corresponde al desplazamiento registrado con la formación de la primera fisura, que es la situación en la que se registra la máxima carga dentro del intervalo inicial anotado. La resistencia a primera fisura fFt se establece de esta forma, excepto en el caso del ensayo de flexotracción con entalla, en donde se reduce su valor a 0,9 veces el obtenido del ensayo. Los diagramas simplificados no hacen uso de la resistencia a primera fisura fFt, la cual sólo serviría si construye un diagrama σ–ε más genérico, o para estudiar la capacidad resistente a fisuración de la sección.



Tabla 2.17. Valores de la abertura de fisura según CNR-DT 204/2006 [222].

Ensayo flexotracción Ensayo tracción uniaxial con entalla sin entalla con entalla sin entalla

w1A 0 3·wI w1B 0,6 mm 5·wI feq1 wi1 0,3 mm 4·wI w2A 0,6 mm 0,8·wu w2B 3 mm 1,2·wu feq2 wi2 1,8 mm wu

Primera fisura – – – wI en [0; 0,1mm] wI en [0; 0,05mm]

Agotamiento wu=εtu·lcs≤3mm εtu=20‰

wu=3mm εtu≤10‰

wu=1,5mm εtu≤20‰

wu=εtu·s εtu=10‰

2.5.2.4.4 EHE 2008 La EHE 2008 [1] establece tres tipos de leyes σ–ε de determinación directa, obtenidas a partir del ensayo de flexotracción de 3 puntos con entalla, según UNE-EN 14651 [249] (Fig.2.88a), utilizando el concepto de resistencia residual (E.2.169). No obstante, sugiere el uso de probetas no entalladas y la reconfiguración del ensayo en el caso de diseño de elementos con canto inferior a 125mm, o cuando el hormigón presente endurecimiento a flexión.

F

250 25 [mm25 250

150×150×550

25

L

sph

entalla

(a) (b)

F

=0,51

F4

3

F

2F1F

L

2 =1,5 =2,53 =3,54

F

ww w w

w [mm]

w

(c)

A C

B

D EFt,R1ffFt,R3

ε

fFt

ε1 3ε tuεεcrO

(d)

ε

Ftuf

tuε Fig.2.88. EHE 2008 [1]: (a) ensayo de flexotracción; (b) diagrama carga–CMOD (=w); (a) modelos σ–ε

trilineal (curva OBCE) y bilineal (curva OAE); (b) modelo σ–ε rectangular o rígido-plástico. Todas las leyes son válidas para el cálculo de secciones frente a solicitaciones normales en ELU. El diagrama trilineal es indicado para situaciones de pequeñas deformaciones, es decir, ELS o para análisis estructural mediante cálculo no lineal. La definición del diagrama trilineal y bilineal (Fig.2.88c) se realiza con los siguientes puntos:



( )cs

3R1R31R3Ft,

cr1R1R1Ft,

c0

FtcrLFt

2,5 ; 0,2 0,5:D Punto

‰ 0,1 ;0,45:C Punto

1000 ;0,6:B Punto

lfff

ffEfff

=ε−⋅=

+ε=ε⋅=

⋅=ε⋅=

k

E.2.188

donde εcr, ε1 y ε3 se expresan en tanto por mil [‰]; fL es el límite de proporcionalidad, máximo valor registrado de la carga (FL) hasta un valor w=0,05mm; Ec0 es módulo de deformación del hormigón, pero el texto no aclara su valor; k1=1 para flexión y k1=0,7 para tracción; y fR1 y fR3 son las resistencias residuales (E.2.169) determinadas para w1 y w3 (Fig.2.88b), respectivamente; y lcs es la longitud crítica [m] para la que se propone la expresión E.2.179, y se proporciona la Tabla 2.18 para obtener el valor de la separación media entre fisuras (sm). Hay que señalar que el texto omite indicar que la fibra neutra x se evalúa en fase elástica fisurada sin la contribución a tracción de las fibras, como sí lo hace CNR-DT 204/2006 [222] y el Código Modelo 2010 [3]. Sin este matiz se induce a pensar que debe realizarse un cálculo seccional iterativo.

Tabla 2.18. Valores de referencia para sm en la pieza de estudio.

Sin armadura convencional o poco armados (simplificadamente con cuantía geométrica en tracción inferior al 1‰) y hormigón de fibras con comportamiento a flexión con ablandamiento (fR1<fL y fR2<fL)

sm = h (canto de la pieza)

Hormigón de fibras armado, con fR3d<2 N/mm² sm como hormigón armado sin fibras

Hormigón de fibras con comportamiento a flexión con endurecimiento (fR1>fL y/o fR2>fL)

sm según determinación experimental

Otros casos sm según bibliografía especializada La definición del diagrama rectangular (Fig.2.88d), dado que es para agotamiento, se realiza sólo con la resistencia residual fR3, correspondiente a un CMOD de 2,5mm:

3R3

Ftuf

f = E.2.189

Con independencia del diagrama escogido, EHE 2008 [1] adopta εtu=20‰ para secciones sometidas a flexión, y εtu=10‰ para secciones sometidas a tracción. 2.5.2.4.5 Código Modelo 2010 El Código Modelo 2010 [3] sugiere, como solución general para caracterizar la resistencia a tracción del HRFA, la construcción de una ley σ–w mediante análisis inverso a partir del ensayo de flexotracción. Como alternativa propone diversas leyes simplificadas según el estado límite a comprobar, todas de determinación directa procedente también del ensayo de flexotracción de 3 puntos (Fig.2.88a). Los modelos simplificados para ELU son los siguientes:

— Modelo bilineal (Fig.2.87b), definido por:

( )cs

utuR1R3Fts

3

uFtsFtu

cs

1tsR1Fts

;0 0,20,5

;0,45

lw

fffww

ff

lwff

=ε≥⋅+⋅−⋅−=

=ε⋅= E.2.190



— Modelo rígido-plástico (Fig.2.87c), definido por:

cs

utu

R3Ftu ;

3 lwff =ε= E.2.191

en donde fR1 y fR3 son las resistencias residuales (E.2.169) determinadas para w1=0,5mm y w3=2,5mm, respectivamente (Fig.2.88b); wu es el valor de la abertura máxima establecida por cuestiones de diseño estructural:

{ }⎩⎨⎧

⋅ε⋅ε

=entoendurecimi parantoablandamie para 2,5 ; mínimo

csFU

csFUu l

lw

mm E.2.192

siendo lcs la longitud característica adoptada en CNR-DT 204/2006 [222]; y εFU=20‰ para secciones sometidas a flexión, y εFU=10‰ para tracción. Para análisis en ELS propone el modelo multilineal de la Fig.2.89. En él, la primera curva (OABC) corresponde al modelo de tracción establecido para hormigón sin fibras en la versión anterior del texto, CM-90 [33] (aptdo. 2.1.4.4.2), a la que se le añade o superpone la ley lineal postfisuración definida en E.2.190. En el caso de ablandamiento resulta una ley de 4 líneas (Fig.2.89a), y en el caso de endurecimiento una ley trilineal (Fig.2.89b).

(a)

ε

εts tuε

fFtu

fFts

ctffct0,9

ablandamiento

0,15

Hormigón sólosegún CM-90

BA

C

O (b) tsε εtu

fFtsFtuf

0,9 ctf

ε

endurecimien

to

Hormigón sólosegún CM-90

AB

C

O

Fig.2.89. Ley constitutiva en ELS: (a) para ablandamiento y (b) endurecimiento. CM-2010 [3]. Como novedad el Código Modelo 2010 [3] contempla el supuesto de distribuciones de fibras anisótropas, en cuyo caso habla de una resistencia modificada:

KFts

modFts,ff = y

KFtu

modFtu,ff = E.2.193

siendo K un factor de orientación de verificación experimental, para el que no se proporciona ningún valor, simplemente señala que una orientación de las fibras favorable con el esfuerzo conduce a un valor K<1 y, en caso contrario, a K>1. El factor K no coincide exactamente con el factor de orientación ηo (v. 2.5.2.2.1), pero puede establecerse una relación con él. Mayor información puede encontrarse en las recomendaciones de AFGC-SETRA (2002) [227], aunque están redactadas para hormigones reforzados con fibras de ultra-altas prestaciones (UHPFRC). 2.5.2.5 Conclusiones Las fórmulas analíticas identifican los parámetros más importantes que influyen en la resistencia a tracción y ayudan a comprender el problema mediante el establecimiento de factores de eficacia, sin embargo, su aplicación detallada resulta complicada ya que exigen la evaluación de



diferentes variables, lo que en la práctica se traduce en la realización de varios ensayos, básicamente para caracterizar la orientación de la fibras y la fuerza de pull-out. No obstante, muchos autores han recurrido a ella de una forma simplificada, basándose en datos previos de otros investigadores, obteniendo resultados razonablemente válidos. Estas fórmulas proporcionan normalmente el valor de la máxima resistencia postfisuración pero no dan información sobre el nivel de deformación asociado a ella. El empleo de fórmulas experimentales parece resultar útil siempre que se empleen dentro del rango de los parámetros estudiados en la campaña experimental, aunque tienen el inconveniente de que algunas de ellas no establecen la diferencia entre la resistencia a primera fisura y la resistencia postfisuración, e ignoran el nivel de deformación asociado a la resistencia propuesta. Con posterioridad al desarrollo de fórmulas analíticas y experimentales, el concepto de resistencia residual se ha impuesto en los textos normativos para HRFA aparecidos en la última década. Esto convierte a la resistencia residual, a priori, en la elección más adecuada para el diseño estructural. La razón está en que la resistencia residual se corresponde con un nivel de deformación adecuado al problema de estudio, y no tiene que coincidir, por tanto, con la máxima resistencia postfisuración. Además su determinación se realiza a partir de un único tipo de ensayo, de un modo similar a como se procede con la resistencia a compresión, y dicho ensayo diferencia perfectamente la resistencia a la primera fisura o límite de proporcionalidad, de las distintas resistencias postfisuración. Una comparación entre los modelos propuestos por normas y recomendaciones europeas fue realizada por Blanco et al. (2010) [350], mediante una campaña experimental de elementos losa (0,2×1×3m) sometidos a flexión, y con armadura convencional, basándose en la elaboración de diagramas carga–flecha. Sus conclusiones más importantes son: — En pequeñas deformaciones, todos los modelos sobrevaloran la respuesta excepto los de

DBV (2001), que son los que reproducen la respuesta de una forma más fidedigna. — En agotamiento, el modelo rígido-plástico obtiene el mejor ajuste, de cualquier norma

excepto DBV (2001), que infravalora el momento resistente en un 14%. El modelo trilineal y bilineal de EHE [1] obtienen resultados más conservadores, mientras que el modelo trilineal de RILEM [218] y el bilineal de CNR-DT 204 [222] proporcionan resultados más ajustados aunque ligeramente del lado de la inseguridad, pero siempre inferior al 2%.

— El modelo trilineal de RILEM [218] destaca especialmente por considerar una resistencia pico y residual última más elevadas que el resto de los otros modelos, lo que conduce a una sobrevaloración de resultados, menos notable en agotamiento.

La conclusión final de Blanco et al. (2010) [350] es satisfactoria, aunque no existe ningún modelo directo que ajuste bien tanto en servicio como en agotamiento. En este sentido, una ley trilineal ajustada por análisis inverso proporcionaría mejores resultados, según se deduce del trabajo de Barros et al. (2005) [335]. El aspecto menos tratado en las normas es el efecto de la orientación de las fibras. Aunque se menciona la influencia de las posibles diferencias entre el HRFA obtenido en la fabricación de las probetas, y el obtenido finalmente en el elemento estructural, ningún texto proporciona unas bases para su valoración. Tan solo el Código Modelo 2010 [3] incluye un factor K en este sentido (E.2.193), pero sugiere la experimentación para su correcta valoración.



2.5.3 Resistencia a compresión El comportamiento a compresión del HRFA no confinado presenta dos cuestiones de interés: la resistencia a compresión y la ductilidad, que influyen finalmente en la forma de la ecuación constitutiva σ–ε, básica para plantear el análisis seccional. El efecto de la adición de fibras de acero puede resumirse en los siguientes puntos:

— La resistencia a compresión del hormigón no se ve afectada significativamente, aunque el comportamiento post-pico se modifica notablemente, ganando ductilidad, consecuencia de la resistencia aportada por las fibras frente al crecimiento de las fisuras [351].

— La deformación de compresión última obtenida alcanza valores muy superiores al 3,5‰ establecido en los códigos para el hormigón normal.

— Existe un contenido óptimo de fibras de acero a partir del cual resistencia y ductilidad pueden verse perjudicadas.

— Los modelos analíticos de la ecuación constitutiva σ–ε propuestos para HRFA en la literatura son empíricos y, por tanto, la bondad de sus resultados se ajusta más al rango de parámetros utilizado en su campaña experimental.

En los siguientes apartados se concretan detalles de los parámetros generales que caracterizan el funcionamiento a compresión, se revisan brevemente las formas de la ecuación constitutiva que ha sido planteada por diversos autores, y se concluye con las consideraciones adoptadas en los códigos y normas. 2.5.3.1 Parámetros generales 2.5.3.1.1 Resistencia máxima de compresión y deformación

correspondiente El escaso efecto de la presencia de fibras en el valor de la resistencia a compresión fue una conclusión que se obtuvo en los estudios iniciales del problema, en donde se empleaban fibras rectas. Chen y Carson (1971) [352] emplearon volúmenes de fibras entre 0 y 2%, y no registraron incrementos superiores al 10%, excepto con fibras cortas (Lf=12,7mm) dosificadas al 2%, con las que obtuvieron entorno a un 25%. Estudios más recientes, con empleo de fibras metálicas de geometría deformada, que son las utilizadas hoy día, constatan también las conclusiones previas. Sirve de ejemplo representativo el estudio de Thomas y Ramaswamy (2007) [319], en donde hormigones con una gama amplia de resistencias (35, 65 y 85MPa) fueron reforzados con fibras metálicas tipo hooked-end (Lf=30mm, Df=0,55mm), y con volúmenes de 0–0,5–1,0 y 1,5%. El resultado arrojó incrementos de resistencia a compresión siempre inferiores al 10%, aunque la deformación correspondiente aumentó entorno a un 30%. Numerosos autores han formulado la resistencia máxima a compresión del hormigón con fibras y su deformación a partir de los datos del hormigón sin fibras original y de un parámetro característico de las fibras, principalmente el factor de fibras Fv (E.2.161a), recurriendo a un ajuste experimental. Los propios Thomas y Ramaswamy (2007) [319] propusieron:

vvcccf 1,020,0460,84 FFfff ⋅+⋅⋅+= · E.2.194

( ) 6vvc

0,3943cf0 10484,953,5788493,4 ⋅⋅+⋅⋅+⋅=ε FFff [MPa] E.2.195

siendo fcf la resistencia pico del hormigón con fibras; εf0 la deformación para la cual se produce; y fc la resistencia a compresión del hormigón sin fibras. La formulación en tres sumandos



responde al intento de sus autores de recoger la contribución de la resistencia de la matriz, la interacción matriz–fibra, y la dosificación y geometría de la fibra, respectivamente. Otras fórmulas pueden consultarse en los trabajos originales de los autores citados en el apartado dedicado a la ecuación constitutiva σ–ε (v. 2.5.3.2). 2.5.3.1.2 Deformación última Aunque todos los autores coinciden en concluir que la adición de fibras permite al hormigón comprimido alcanzar mayores valores de la deformación, prácticamente ninguno de ellos formula o establece un valor para la deformación última, necesaria para los problemas de diseño y comprobación de secciones frente a solicitaciones normales. Inicialmente Fanella y Naaman (1985) [353] escogieron 15,4‰ como punto de ajuste para su curva de la ecuación constitutiva, ya que experimentalmente registraron deformaciones por encima de este valor, y autores posteriores fijaron 15‰ para evaluar la tenacidad [354,355,356,357]. Bencardino et al. (2007) [358] anotaron que podía alcanzarse 3·εcu, siendo εcu la deformación última del hormigón sin fibras, según sus ensayos de compresión en probetas cilíndricas, habiendo empleado 1,6 y 3% de contenido de fibras tipo hooked-end (Lf=22mm, Df=0,55mm). En ningún caso mencionaron su uso para análisis seccional en flexión. Como excepción, Khuntia y Goel (1999) [260] tomaron una decisión práctica para su estudio de vigas, adoptando:

f0fu 2 ε⋅=ε E.2.196siendo εfu la deformación última del hormigón con fibras y εf0 la deformación correspondiente al pico de resistencia. Haido et al. (2011) [359] precisaron establecer un valor de εfu para definir la curva en compresión del hormigón y emplearla en el estudio de diversos elementos estructurales mediante elementos finitos. A partir del análisis de ensayos de compresión de varios autores establecieron:

3v

69vfu 109,4109,4 0,00920,00092 FF ⋅⋅+⋅+⋅−=ε −− E.2.197

que se representa en la Fig.2.90 para valores del índice de refuerzo Fv de hasta 1,7. Se observa una rápida influencia por la presencia de fibras hasta un valor máximo de 13,2‰ para Fv=0,67. Posteriormente desciende suavemente con el aumento del índice de refuerzo.

3,03

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0,5 1 1,5Fv = Vf · Lf / Df

εfu [‰]

Fig.2.90. Deformación última en HRFA según Haido et al. (2011) [359].

2.5.3.1.3 Contenido óptimo de fibras Li y Mishra (1992) [360] anotaron que la adición de fibras a partir de cierto nivel óptimo podía afectar adversamente a la resistencia a compresión debido a la introducción de defectos



adicionales y dificultades en la fabricación. En la misma línea, Bentur y Mindess (2007) [217] sugirieron que, con volúmenes elevados, la dificultad en compactar la masa fresca podía conducir a mayor porosidad, en perjuicio de la resistencia a compresión. Song y Hwang (2004) [318] sugirieron también que existía un volumen de fibras óptimo a partir del cual la resistencia a compresión decrecía. A partir de su propuesta para la resistencia pico:

2ffccf BA VVff ⋅+⋅+= [MPa] y [ %] E.2.198

puede deducirse un volumen óptimo Vf=1,6% para el caso particular estudiado por sus autores: fc=85MPa, A=15,12 y B=–4,71. No obstante, no todas las fórmulas propuestas en la literatura pueden utilizarse para valorar el contenido óptimo de fibras, es el caso de la anterior expresión E.2.194, en donde fcf crece indefinidamente para Fv. Bencardino et al. (2008) [361] se fijaron en la resistencia a compresión residual y deformación última, sugiriendo que probablemente el volumen de fibra óptimo estaría entorno a 1,6%. En su estudio emplearon un hormigón de resistencias entre 54 y 72MPa, y fibras tipo hooked-end (Lf=22mm, Df=0,5mm). Para una deformación del 10‰ obtuvieron resistencias a compresión residuales sobre el 70% y 50% de la resistencia pico para volúmenes de 1,6 y 3%. Puede observarse cómo con estos datos el factor de fibras resulta Fv=0,016×(22/0,55)=0,64, valor que encaja aproximadamente con el máximo de εfu según la expresión E.2.197 planteada por Haido et al. (2011) [359] y representada en la Fig.2.90. 2.5.3.2 Ecuación constitutiva La mayoría leyes constitutivas σ–ε en compresión existentes en la literatura corresponden a ajustes experimentales, resultando mucho más prácticas que otras soluciones que han buscado mayor racionalidad. Normalmente estas leyes se basan en las curvas experimentales existentes en la literatura para hormigón convencional, siendo el principal inconveniente la definición de la rama residual, problema que se ha solucionado incorporando en la expresión de la curva unos factores de forma que sean función de las fibras. Las diferentes propuestas se describen brevemente a continuación en varios apartados, agrupando autores según la forma de la expresión de la curva, y citando en un último apartado a aquellos que no encajan con ninguna de las soluciones precedentes. 2.5.3.2.1 Función racional El uso de una función racional se debe a la ecuación original de Sargin (1971), que necesitaba de cuatro parámetros para su definición, aunque Wang et al. (1978) [362] la aplicaron de una forma disociada, una para la rama ascendente y otra para la rama descendente, duplicando el número de parámetros para conseguir un mejor ajuste. Esta idea fue utilizada por Fanella y Naaman (1985) [353] quienes plantearon esta función por primera vez para su uso en hormigón reforzado con fibras. La fórmula, adaptada a la notación para HRFA, es la siguiente:

( ) 2

f0i

f0i

2

f0i

f0i

cf

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

⋅=εσ

DC

BAf · E.2.199

en donde fcf es la resistencia máxima a compresión del HRFA y εf0 es la deformación para la cual se produce; Ai, Bi, Ci y Di son los parámetros de ajuste, con i=1 para la rama ascendente (0<ε≤εf0) e i=2 para la rama descendente (εf0≤ε). En la Fig.2.91 se muestra el resultado de las curvas obtenidos para dos volúmenes de fibras.



Fig.2.91. Curvas σ–ε para (a) Vf=1% y (b) Vf=2% (1ksi=6,89MPa). Fanella y Naaman (1985) [353].

El problema de E.2.199, tal y como la usaron Fanella y Naaman (1985) [353], es el tedioso proceso de ajuste, pero pueden encontrarse otras propuestas más sencillas. Dhakal et al. (2005) [363] propusieron directamente usar Ai=Di=1, Bi=0 y Ci=–1, tanto en la rama ascendente como en la descendente. Campione y Mangiavillano (2008) [310] no emplearon la fórmula E.2.199 de forma disociada y redujeron el número de parámetros a sólo 2, utilizando B=D–1 y C=A–2. 2.5.3.2.2 Método β La curva más utilizada para HRFA ha sido la derivada de Carreira y Chu (1985) [364], propuesta originalmente para hormigón convencional no confinado en compresión uniaxial, en la que un único parámetro β definía la pendiente de la curva en el punto de inflexión de la rama descendente. Esta solución, anotada como Método β por autores que la aplicaron también a suelos arcillosos [365], particularizada para HRFA, presenta la siguiente forma:

( )β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+−β

β⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

=εσ

f0

f0cf

1

·f E.2.200

con los significados de resistencia pico ya indicados para fcf y εf0, y con el parámetro β formulado originalmente como:

cif0

cf1

1

Ef

ε−

=β E.2.201

en donde Eci es el módulo tangente inicial de la curva. No obstante, la mayoría de autores han prescindido de esta expresión de β en favor de otras ajustadas directamente a parámetros medibles de las fibras. El efecto de β en la forma de la curva puede apreciarse en la Fig.2.92 Ezeldin y Balaguru (1992) [354], Nataraja, Dhang y Gupta (1999) [355], Oliveira et al. (2010) [357] y Ou et al. (2012) [366] aplicaron tal cual la expresión E.2.200. Hsu y Hsu (1994) [367] la emplearon sólo para la rama ascendente, utilizando una función exponencial para la rama descendente. Lee (2002) [368] la empleó para hormigón de altas prestaciones con el parámetro β desdoblado en dos parámetros diferentes. Mansur et al. (1999) [369] y Bhargava et al. (2006) [356] la aplicaron de forma disociada, introduciendo unos factores que modificaban el parámetro β en la rama descendente. Campione (2011) [311] la empleó también de forma disociada, pero manteniendo el parámetro β. Como ejemplo representativo se escoge el de este último autor, que queda definido con las siguientes expresiones:

fcf = fc + 6,913·Fv [MPa] E.2.202



εf0 = εc0 + 0,00192·Fv E.2.203

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε<ε⋅+⋅ε≤ε≤⋅

=β ⋅

⋅

f0v0,0247

f00,0247

para0,175e1,42760 parae1,4276

c

c

Ff

f

E.2.204

siendo fc la resistencia para la compresión máxima en el hormigón de referencia sin fibras, y εc0 su deformación correspondiente, definida con la expresión:

cc0 00002000160 f,, ·+=ε [MPa] E.2.205

0,0

0,5

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 σ / fcf

ε / εfo

β=1,5

β=2,25

β=2,0

β=1,75

β=2,25

β=1,5

Fig.2.92. Curva normalizada σ–ε. Influencia de β. Nataraja et al. (1999) [355].

Las expresiones E.2.202 a E.2.204 fueron ajustadas para fibras tipo hooked-end, afines a las empleadas en la presente tesis, y su autor lo empleó para el estudio de soportes de hormigón, por lo que este modelo será utilizado posteriormente como ley constitutiva en compresión para proceder al análisis seccional. 2.5.3.2.3 Función parabólica-multilineal Este modelo se basa en la conocida expresión que Hognestad (1951) planteó para hormigón convencional no confinado, que consistía en una parábola de segundo grado ascendente y en una recta descendente ajustada estadísticamente entre los resultados de 120 ensayos [370]. Soroushian y Lee (1989) [238] añadieron un tercer tramo horizontal para representar mejor la ductilidad que proporcionaban las fibras (Fig.2.93a). Xu y Cai (2010) [371] añadieron además una meseta (Fig.2.93b) aunque su modelo lo emplearon para el estudio de UHTCC (Ultra-High Toughness Cementitious Composite).

(a)

fcR

cff

ε

εf00,5 1,0 1,5 (b)

fcf ε

cff

εf1

0,2

f3εεf2

Fig.2.93. Curvas σ–ε esquemáticas con rama parabólica ascendente y multilineal post-pico: (a) Soroushian y Lee (1989) [238]; (b) Xu y Cai (2010) [371].



2.5.3.2.4 Modelo p-q El modelo p-q consiste en el uso de una función de dos parámetros que gobiernan la forma de la curva, q es la relación entre el módulo secante en el punto pico y el módulo tangente en el origen, y p resulta de la minimización del error del ajuste de la curva a los resultados experimentales [365]. La fórmula fue propuesta por Vipulanandan y Paul (1990) para hormigón polimérico y reutilizada por Mebarkia y Vipulanandan (1992) [372] para hormigón polimérico reforzado con fibras de vidrio. Posteriormente ha sido utilizada por Barros y Figueiras (1999) [373] y Neves y Fernandes de Almeida (2005) [374] para el hormigón reforzado con fibras de acero. Presenta una forma similar a una función racional (v.2.5.3.2.1) pero uno de sus términos del denominador es una potencia cuyo exponente depende de los parámetros de forma:

( ) ( ) p/q

pqqp

f

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

=εσ 1

f0f0

f0cf

1

··

· E.2.206

en donde fcf es la resistencia máxima a compresión y εf0 es la deformación correspondiente. Los parámetros de forma p y q deben cumplir unas condiciones:

ci

c01EE

pq −−= E.2.207a

0 < p+q < 1 ; 01>

−p

q E.2.207b

en donde Eci es el módulo tangente inicial y Ec0 el módulo secante en el pico (Ec0=fcf/εf0). Conocidos los módulos secante y tangente sólo se precisa determinar p para tener definida la curva. Su proceso de cálculo queda descrito en Mebarkia y Vipulanandan (1992) [372]. Con una forma similar a E.2.206 Kumar y Sharma (2009) [375] plantearon otro modelo, pero emplearon una pareja de parámetros de forma diferentes. 2.5.3.2.5 Otros modelos Existen otros modelos que plantean curvas de ajuste experimental pero que no encajan exactamente con los modelos precedentes, como el de Khuntia y Goel (1999) [260], pensado para hormigón de cualquier resistencia, con o sin fibras de acero, que emplearon para el estudio de viguetas metálicas embebidas en hormigón reforzado con fibras de acero; y utilizado posteriormente por Shallal y Alowaisy (2008) [376] para plantear un modelo de elementos finitos y reproducir resultados de push-off en HRFA. Como excepción a los modelos puramente experimentales puede citarse a Shah y Rangan (1971) [351], quienes emplearon la ley de mezclas para construir la curva σ–ε del HRFA una vez conocida la curva del hormigón sin fibras; y a Li y Mishra (1992) [360], que propusieron un modelo micromecánico basado en existencia de microfisuras oblicuas a la dirección de compresión, que experimentan deslizamiento y provocan el crecimiento de fisuras orientadas con la compresión, siendo las fibras un elemento de retención, a la vez que de inducción de daño. 2.5.3.3 Normativa y códigos La resistencia a compresión del hormigón es un parámetro básico de proyecto que debe ser objeto de control mediante ensayos, para cumplir con el valor especificado en proyecto. Por esta razón no tiene especial sentido formular la resistencia a compresión del HRFA (fcf) a partir de la



resistencia del hormigón normal y de los parámetros característicos de las fibras, y puede observarse cómo los diferentes códigos y normas carecen de este tipo de fórmulas (como E.2.194, E.2.198 o E.2.202). Los propios ensayos de control se encargan de reflejar el efecto de la adición de fibras. Este criterio es compartido por varios de los autores citados previamente [369,357,373,374,260]. En relación a la curva tensión–deformación CNR-DT 204/2006 [222] propone como solución práctica adoptar la misma ley constitutiva en compresión que el hormigón ordinario. EHE 2008 [1] considera que la adición de fibras no varía de forma significativa el comportamiento del hormigón en compresión y mantiene los mismos dominios de deformación, lo que significa que no se ven modificados ni la deformación pico ni la deformación última (εc0=2‰ y εcu=3,5‰ para fck=≤50MPa), tal y como propuso RILEM TC 162-TDF (2003) [218]. El Código Modelo 2010 [3] se inclina también por esta opción. 2.5.3.4 Conclusiones Claramente llama la atención la postura práctica de los códigos y normas en mantener la ecuación constitutiva del hormigón convencional para el HRFA frente a las numerosas propuestas existentes en la literatura, no obstante, pueden hacerse dos observaciones. Como se ha indicado, dado que la resistencia pico a compresión ha de obtenerse mediante ensayos de control, no es necesaria su formulación a partir de los parámetros característicos de las fibras. En cuanto a la consideración de valores más elevados para la deformación pico (εc0) y última (εcu), no existen discusiones al respecto, pero hay que advertir que el uso de un valor elevado para εcu debería corresponderse con una curva σ–ε que refleje ablandamiento, ya que no se puede contar con el 100% de fc. Esta consideración complicaría la redefinición de las soluciones básicas existentes en los códigos para hormigón ordinario (bloque rectangular y parábola-rectángulo), en perjuicio de la simplicidad. No obstante, es de prever mayor refinamiento en los cálculos seccionales si se emplea alguna de las curvas experimentales citadas. En este sentido la curva más utilizada por su sencillez corresponde al Método β (v.2.5.3.2.2), en donde un único parámetro define la forma de la curva. El empleo de una curva experimental propuesta por otro autor debe ceñirse al rango de datos manejados en los ensayos en los que se basa. La extrapolación puede ser un problema, tal y como puso de manifiesto el trabajo de Ou et al. (2012) [366], llegando a proporcionar resultados inseguros cuando una fórmula se emplea para índices de refuerzo (Fv) superiores a los empleadas en su determinación. 2.5.4 Transferencia a corte en HRFA La transferencia a corte fue considerada una de las aplicaciones más prometedoras del hormigón reforzado con fibras, en opinión de Valle (1991) [377]. Los estudios realizados en este problema coinciden en señalar que la presencia de fibras, a partir de cantidades entorno al 0,5% en volumen, contribuye a aumentar la resistencia máxima a corte del hormigón en masa y le proporciona una resistencia residual post-pico que conduce a gran deformabilidad y, en definitiva, a un fallo dúctil. En cantidades inferiores no aumenta la resistencia pero proporciona igualmente la ductilidad mencionada. En cierto modo su contribución a la resistencia a corte resulta similar a la proporcionada por las armaduras de cosido [378], aunque por sí solas resultan menos eficaces que las armaduras [379]. El uso combinado de armaduras y fibras de acero conduce a resultados satisfactorios, y se han registrado casos en los que un 1% de volumen de fibras puede ser tan eficaz como duplicar la armadura de cosido [378].



En la caracterización de la transferencia a corte de hormigón armado reforzado con fibras de acero, mediante la realización de ensayos de corte directo, puede observarse que no existe un ensayo estandarizado, habiéndose utilizado básicamente tres tipos de probetas. La probeta prismática para ensayo de doble corte (Fig.2.94a), basado en JSCE-SF6 (1990), ha sido utilizada por Mirsayah y Banthia (2002) [380], argumentando que las probetas de push-off tipo Z no reproducían con precisión el corte puro, debido al campo complejo de tensiones generado. La probeta prismática para ensayo de corte simple (Fig.2.94b) basado en FIP (1978), ha sido utilizada recientemente por Khanlou et al. (2013) [381], ya que teóricamente consigue disponer de una fuerza de corte puro. En ambos casos, los autores citados introdujeron una entalla perimetral de 15mm de profundidad para condicionar la formación del plano de fisura. Las probetas prismáticas no precisan la disposición de armaduras. Por último, la probeta en Z o doble L para el ensayo de push-off (Fig.2.94c) es el esquema más utilizado, ofreciendo además gran diversidad de dimensiones, y en la casi totalidad de estudios siempre se dispone una armadura para reducir problemas derivados de una fisuración secundaria (Fig.2.94d).

V

(a)

V

V (b)

V

V (c) (d)

Fig.2.94. Tipos de ensayo: (a) probeta prismática de doble corte; (c) probeta prismática de corte simple; (c) probeta en Z de push-off o también doble L; (d) fisuración secundaria durante el proceso de carga en

probetas en Z de Vinayagam (2004) [378]. En algunos casos de probetas de push-off las dimensiones del plano de corte han sido tan reducidas [382], en relación a la longitud de la fibra, que han sido objeto de crítica al cuestionar su efecto en la distribución aleatoria de las fibras durante la colocación del hormigón, a lo que hay que añadir la presencia de una armadura secundaria [383]. Una propuesta interesante ha sido realizada por Barragán (2002) [384] y Barragán et al. (2006) [385] al obtener una probeta en Z para push-off a partir de los restos de la probeta prismática del ensayo de flexotracción (Fig.2.95), señalando las siguientes ventajas: reducir interferencias en la distribución y orientación de las fibras (no hay armadura y las entallas se obtienen mediante corte), ensayar la misma mezcla de hormigón tanto a flexotracción como a corte, emplear el mismo tipo de molde estándar y reducir el volumen de residuos. Los resultados obtenidos por Barragán et al. (2006) [385] en las curvas de comportamiento en el ensayo de corte, representando la tensión de corte frente al deslizamiento vertical del plano de fisura resultaron similares a los aportados por el resto de autores (Fig.2.96). No obstante, la relación existente en los resultados de tensión tangencial resistente máxima entre los diferentes esquemas de ensayos y dimensiones de probetas no ha sido estudiada, y parece que en ciertos casos puede ser un problema, según apuntaron Lee y Foster (2006) [383], quienes comprobaron que sus resultados con push-off fueron muy inferiores a los obtenidos por Mirsayah y Banthia (2002) [380] con el ensayo de doble corte en probeta prismática, a pesar de que existía cierta



similitud en el tipo de fibras y de hormigón ensayado. Los propios Mirsayah y Banthia (2002) [380] habían criticado el ensayo de push-off por no ofrecer una solicitación de corte puro después de la fisuración. Otros factores como la aplicación de la carga y la velocidad del ensayo pueden tener una influencia que no ha sido estudiada en los trabajos de los autores revisados. Al menos la aparente desventaja del ensayo de push-off parece conducir a resultados conservadores, lo que resulta práctico, ya que situaciones de corte puro en las estructuras son menos frecuentes.

Bending test

75 75450

40

Load

260

150

Prism for push-off

75mmdeepnotch

25

150

75

60 260

25

2

cotas en mm Fig.2.95. Obtención de las probetas de push-off según Barragán et al. (2006) [385].

(a) (b)

Fig.2.96. Curvas tensión–deslizamiento: (a) Barragán et al. (2006) [385]; (b) Khanlou et al. (2013) [381]. En ambos casos se usaron fibras hooked-end (Lf=60mm) con un contenido anotado en kg/m³.

La gráfica de la Fig.2.96b ilustra perfectamente un comportamiento similar a las gráficas carga–abertura de fisura de los ensayos de flexotracción en HRFA. En el caso ilustrado, las dosificaciones iguales o superiores a 60kg/m³ consiguen una resistencia a corte superior a la resistencia a la primera fisura. 2.5.4.1 Modelos empíricos Las soluciones más prácticas para el cálculo de la transferencia a corte en hormigón reforzado con fibras de acero corresponden a los modelos empíricos. En la Tabla 2.19 se han reunido 10 fórmulas empíricas de autores diferentes, y en la Tabla 2.20 se reúnen los datos que brevemente describen los ensayos y materiales empleados. Algunas fórmulas sólo contemplan hormigón y fibras de acero, mientras que otras, con la presencia del límite elástico (fy) indican la presencia de armadura convencional perpendicular al plano de corte. Los datos experimentales utilizados para su deducción han sido reducidos, y dada la gran variedad de fibras y combinaciones posibles del resto de parámetros, la aplicación de las fórmulas ha de hacerse con precaución. Por ejemplo, tanto Wang (2006) [245] como Khanlou et al. (2013) [381] dedujeron su fórmula con tan



solo 18 probetas ensayadas. En este sentido, el modelo que ha contrastado más resultados, propios y de otros autores, con varios tipos de fibras, ha sido el de Ridha et al. (2012) [386], utilizando un total de 108 resultados de ensayos.

Tabla 2.19. Modelos empíricos: resumen de fórmulas.

Autor/es Fórmula ( )Ftuyu 0,855,1 ff +ρ+=τ E.2.208

Swamy et al. (1987) [379] ( )Ftuyu 1,222,78 ff +ρ+=τ [#] E.2.209

Khaloo y Kim (1997) [387] ( ) c3fu

2fufuuu DCBA fVVV ⋅+++=τ E.2.210

Obaidi (1998) ( )bycu 8,8 0,86 0,70,85 Fff +ρ+⋅=τ E.2.211

Mirsayah y Banthia (2002) [380] nf0u K V⋅+τ=τ E.2.212

Vinayagam (2004) [378] ( ) ccFtuyu 0,3 0,575 ffff >/⋅+ρ⋅=τ [#] E.2.213

Lee y Foster (2006) [383] ctf0u K fV ⋅⋅+τ=τ E.2.214

Wang (2006) [245] cffcu 0,8 0,8 fVf ⋅⋅α⋅+⋅=τ E.2.215

Al-Sulayvani y Al-Feel (2009) [388] f

ffnycu 3,3 0,9 0,870,87

dLVff +σ+ρ+=τ E.2.216

Ridha et al. (2012) [386] ( )0,43b

0,66ycu 5 2 0,10,85 Fff +ρ+⋅=τ E.2.217

Khanlou et al. (2013) [381] 0,9fcu 4 0,75 Vf +=τ E.2.218

NOTAS: [#] es fórmula que corresponde a probetas prefisuradas, el resto son para no fisuradas. La mayoría son fórmulas dimensionales en donde se utiliza MPa y el volumen de fibras Vf se expresa en porcentaje (%). Para el significado completo de todos los parámetros se remite a los textos originales.

La resistencia a tracción fFtu sólo aparece en el caso de los autores Swamy et al. (1987) [379] y Vinayagam (2004) [378], para la que usaron expresiones analíticas de la resistencia postfisuración, tipo E.2.158 y E.2.160 respectivamente, basadas en factores de eficacia. En el resto de casos se elimina la resistencia a tracción del HRFA en favor de los parámetros directos de las fibras como es la fracción de volumen (Vf), básicamente. En menor medida se recurre a la esbeltez (Lf/df), también parámetro de determinación directa. El uso del factor de fibras Fb (E.2.161c) deja claro la dependencia de la forma geométrica de las fibras en la capacidad resistente a corte, pero su determinación no es directa, y se recurre al resultado de autores previos que estudiaron la resistencia a tracción postfisuración. En general, la observación del conjunto de los modelos empíricos permite realizar, a efectos prácticos, las siguientes conclusiones: ● La transferencia a corte en hormigón reforzado con fibras de acero puede ser tratada

simplificadamente de un modo análogo al del hormigón armado convencional. ● La contribución de las fibras de acero puede plantearse como un término independiente que

se sumaría a la contribución del hormigón y a la de las armaduras de cosido. ● La caracterización de la contribución de las fibras puede realizarse a partir de varios de los

siguientes parámetros significativos: la fracción de volumen Vf; la esbeltez o relación de aspecto de la fibra Lf/df; y el factor de fibra Fb (E.2.161c). También puede emplearse la resistencia a tracción fFtu pero, a su vez, ésta acaba dependiendo de los factores citados.



Tabla 2.20. Modelos empíricos: resumen de datos característicos.

Autor/es Características y datos experimentales base Swamy et al. (1987) [379]

Probetas: push-off monolíticas y prefisuradas (nº=20+15=35uds) Plano de corte = 220×125mm (monolítico) 220×100mm (prefisurado) fc = 40MPa; ρfy = 0 a 7,14MPa. Fibra fully crimped: Lf = 50mm df = 0,5mm; ffu = 1570MPa. Vf = 0–0,4–0,8–1,0–1,2%. Velocidad ensayo: no anotada.

Khaloo y Kim (1997) [387]

Probetas: push-off monolíticas (nº=28uds). Plano de corte = 220×125mm fc = 28–42–56–70MPa; ρfy = 0. Fibra hooked-end sección triangular, eje torsionado: Lf = 16–32mm; df,eq = 0,55mm; ffu = 520MPa. Vf = 0–0,5–1,0–1,5%. Velocidad ensayo: desplazamiento constante ~ 0,06mm/min.

Obaidi (1998) Probetas: push-off monolíticas (nº=19uds). fc = 56,4 a 67,8MPa; ρfy = 0–4,42–6,87–8,84MPa. Fibra recta: Lf/df = 63,5–65–72–120; Vf = 0–0,5–1,0–1,5%

Mirsayah y Banthia (2002) [380]

Probeta: prismática doble corte monolítica (nº=66uds). Plano de corte = 120×120mm. fc = 47MPa; ρfy = 0. Fibra flattened-end: Lf = 50mm; df = 1,0mm; ffu = 1150MPa. Fibra crimped: Lf = 50mm; df,eq = 1,0mm; ffu = 828MPa. Vf = 0–0,25–0,5–0,75–1,0–1,25–1,5–1,75–2,0%. Velocidad ensayo: carga constante ~0,06 a 0,1MPa/sec.

Vinayagam (2004) [378]

Probetas: push-off prefisuradas (nº=22uds). Plano de corte = 300×120mm fc = 40 a 100MPa; ρfy = 4 a 14MPa. Fibra hooked-end: Lf = 30mm; df = 0,5mm; ffu = 1130MPa. Vf = 0–0,5–1,0–1,5%. Velocidad ensayo: desplazamiento constante ~ 0,1mm/min.

Lee y Foster (2006) [383]

Probetas: push-off monolíticas (nº=20uds). Plano de corte = 100×100mm fc = 40MPa; ρfy = 0. Fibra hooked-end: Lf = 35mm; df = 0,55mm; ffy = 1100MPa. Fibra recta: Lf = 13mm; df = 0,2mm; ffy = 1800MPa. Vf = 0–0,5–1,0–1,5–2,0% Velocidad ensayo: desplazamiento 0,2mm/min hasta pico, después 0,1mm/min.

Wang (2006) [245]

Probeta: prismática doble corte monolítica (nº=18uds). Plano de corte = 130×130mm. fc = 27MPa; ρfy = 0. Fibra flattened-end: Lf = 30mm; df = 1,0mm; ffu = 1150MPa. Fibra hooked-end: Lf = 35mm; df = 1,0mm; ffu = 1100MPa. Vf = 0–0,5–1,0–1,5–2,0%. Velocidad ensayo: carga constante 0,1MPa/sec.

Al-Sulayvani y Al-Feel (2009) [388]

Probetas: push-off (nº=12uds) push-off modificadas (nº=24uds) monolíticas. Planos de corte = 220×158mm y (230–256)×158mm en modificadas fc = 42MPa; ρfy = 2,49–3,38MPa. Fibra shelled: Lf = 32mm; df,eq = 0,97mm; ffu = --. Vf = 0–0,5–1,0–1,5%. Velocidad ensayo: no anotada, carga aplicada incrementalmente.

Ridha et al. (2012) [386]

Probetas: push-off monolíticas (nº=8propias+100otros=108uds). Los siguientes datos son sólo para las 8 probetas propias: Plano de corte = 89×133mm. fc = 74 a 103MPa; ρfy = 2,87MPa. Fibra recta: Lf = 13mm; df = 0,2mm; ffu = 2600MPa. Fibra hooked-end: Lf = 32mm; df = 0,38mm; ffu = 2300MPa. Vf = 0–0,5–1,0–1,5–2,0%. Velocidad ensayo: no anotada.

Khanlou et al. (2013) [381]

Probeta: prismática corte simple monolítica (nº=18uds). Plano corte = 220×220mm. fc = 35 y 60MPa; ρfy = 0. Fibra hooked-end: Lf = 60mm; df = 0,75mm; ffu = 1050MPa. Vf = 0–0,25–0,51–0,76–1,0%. Velocidad ensayo: carga constante 0,5kN/sec hasta 100kN, luego desplazamiento constante 0,06mm/min.



2.5.4.2 Modelos racionales Existen también modelos de cálculo racionales que ofrecen resultados, en general, satisfactorios en la predicción del comportamiento a corte directo, sin embargo no han sido suficientemente contrastados con una amplia variedad de tipos de fibras, ni en combinación con otros parámetros como la fuerza de cosido de las armaduras. Tan y Mansur (1990) [342], y seguidamente Valle (1991) [377], adaptaron el modelo de celosía reblandecida que Hsu et al. (1987) [155] aplicaron al estudio de probetas de push-off de hormigón armado monolíticas. Se trata de una aplicación del modelo de celosía reblandecida y con ángulo de fisuración variable (RA-STM), en donde se sustituyen las ecuaciones constitutivas del hormigón simple por otras que lo contemplan como un material nuevo, HRFA, con fibras incorporadas en su masa. Ninguno de los autores contrastó la ley propuesta σ–ε de tracción para el HRFA con ensayos de tracción directa, aunque Tan y Mansur (1990) [342] utilizaron la formulación de Lim et al. (1987) [242]. Los resultados experimentales de probetas push-off fueron reducidos y, mientras que Tan y Mansur (1990) [342] obtuvieron resultados ajustados y del lado seguro para el valor de la resistencia a corte, Valle (1991) [377] obtuvo valores del lado inseguro entre un 15 y un 20% en el caso de probetas que combinaban armadura y fibras (Fig.2.97c), lo que atribuyó a que el modelo no contemplaba la interacción de las armaduras con las fibras (sólo empleaba leyes constitutivas para materiales aislados), así como a la posible influencia del armado de la probeta en la distribución de las fibras en la masa fresca de hormigón durante su vertido en los moldes .

(a) Con fibras de acero. (b) Con armaduras. (c) Con fibras+armaduras.

Fig.2.97. Comparación de resultados obtenidos en probetas de push-off para hormigón de resistencia normal (NC), adaptado de Valle (1991) [377].

Lee y Foster (2007-2008) [389,390] señalaron la difícil aplicación práctica de los modelos previos [377,342] y presentaron su Variable Engagement Model II (VEMII), un modelo que proporciona la tensión tangencial en función del deslizamiento, una vez producida la fisuración en el plano de corte. Se basaron en el estudio del comportamiento a corte directo de la fibra individual, con orientación prefijada, realizado en trabajos previos [383, 391 ]. Bajo ciertos supuestos estadísticos, integraron la respuesta individual de la fibra en el área de corte, y el resultado es un método que maneja varias ecuaciones, pero que es directo, aunque requiere conocer parámetros experimentales adicionales, lo que lo convierte en un método inaplicable si no se dispone de esa información para el tipo de fibra y hormigón empleado. Posteriormente Htut y Foster (2010) [392] incluyeron también la abertura de fisura, contemplando así un modo mixto de fallo, en el caso de una distribución y orientación aleatoria de la fibra en un dominio 3D. Y finalmente Ng et al. (2012) [393] completaron el modelo denominándolo Unified Variable Engagement Model (UVEM), en el que habían añadido el dominio 2D, considerando un efecto



contorno en términos del espesor de la pieza de estudio, resultando una formulación más pesada. Este último modelo sólo lo pudieron contrastar con 36 ensayos de tracción uniaxial, 8 ensayos de corte directo y ninguno de modo mixto, por lo que dejaron pendiente la validación del modelo para este caso. En el campo de los elementos finitos, Shallal y Alowaisy (2008) [376] consiguieron resultados analíticos con errores inferiores al 10% en comparación con sus resultados experimentales de corte directo en probetas de push-off monolíticas, que contenían armadura y fibras de acero. Para ello emplearon como ecuación constitutiva del hormigón en compresión y en tracción la propuesta de Khuntia y Goel (1999) [260]. Por último, Suryanto et al. (2010-2012) [204-205] plantearon un modelo de transferencia a corte en HRFA que es una adaptación del modelo de densidad de contacto de Li y Maekawa (1987) [202], original para hormigón análisis no lineal del hormigón armado convencional. Expresado en términos de deformación unitaria de corte y normal a la fisura, su utilidad recae en modelos de elementos finitos, en concreto, analizaron paneles de HRFA dentro de la teoría del campo de compresiones FA-STM. 2.5.4.3 Resistencia residual o equivalente Una propuesta interesante de Barragán (2002) [384] y Barragán et al. (2006) [385] consiste en utilizar el ensayo de push-off como ensayo de control, del que se puede obtener una resistencia tangencial equivalente o residual adecuada al tipo de comprobación estructural que se precise, de un modo similar a como se describió para la resistencia a tracción postfisuración procedente del ensayo de flexotracción (v. 2.5.2.2.3). La resistencia equivalente consiste en obtener una resistencia media integrando la curva τ–s (tensión–deslizamiento) hasta cierto valor preestablecido del deslizamiento, mientras que la resistencia residual es la resistencia asociada a un valor concreto del deslizamiento. Los autores barajaron 0,25-0,50 y 1,00mm como valores del deslizamiento para ser empleados en el cálculo de las resistencias residuales y equivalentes. No realizaron ninguna aplicación práctica en piezas estructurales. 2.5.4.4 Conclusiones En el problema de transferencia a corte del HRFA, el efecto de las fibras guarda similitud con el comportamiento obtenido en tracción o en flexotracción. Aportan ductilidad y una resistencia residual, y con cantidades adecuadas pueden aumentar la resistencia máxima que alcanzaría el hormigón sin fibras. No hay consenso en el tipo de ensayo para su caracterización, pero el más utilizado por los investigadores ha sido el ensayo de push-off, siendo la propuesta de Barragán (2002) [384] interesante por usar la misma probeta del ensayo de flexotracción (Fig.2.95), pero no suficientemente experimentada. Los modelos de cálculo para predecir la resistencia a corte directo son mayoritariamente experimentales, resultando fáciles de aplicar ya que, en general, sólo se precisa conocer datos de determinación directa, pero han de ceñirse al tipo de fibra usado en la campaña experimental, por su fuerte influencia en los resultados. Estos modelos guardan similitud con los planteados en hormigón armado y, en general, el efecto de las fibras consiste en un término que se suma al del hormigón y al de las armaduras. Proporcionan únicamente el valor de la máxima resistencia, sin aportar información sobre el deslizamiento. De los diez modelos empíricos consultados (Tabla 2.19) sólo uno de ellos considera la tensión normal sobre el plano de corte [388], lo que lo convierte en un modelo de referencia para el estudio del rasante. Hay que recordar que en el



tratamiento del ala comprimida de vigas exentas (Fig.2.29a y Fig.2.30) el equilibrio de momentos de eje vertical conduce a considerar una compresión normal el plano de corte en la zona sobre apoyo, y tracción en el tramo central. Básicamente existen dos modelos racionales o más bien dos grupos, uno enmarcado en la teoría del campo de compresiones [342,377] y otro que utiliza el concepto de longitud de enganche (modelos VEM II y UVEM) [389,393]. Son capaces de describir la evolución de la resistencia a corte en función de la deformación media y del deslizamiento, respectivamente, pero no han sido suficientemente contrastados. Los primeros son complejos de llevar a la práctica sino se dispone de una herramienta programada para resolver su sistema de ecuaciones no lineales. Los segundos contienen una formulación directa pero pesada y requieren la calibración de diversos parámetros experimentales dependientes del tipo de fibra y resistencia del hormigón. Por último, la propuesta de emplear una resistencia a corte equivalente o residual [384,385] encaja con lo establecido en normas para la resistencia a tracción del HRFA, procedente del ensayo de flexotracción, y resulta interesante, pero no ha sido aplicada a problemas prácticos de resistencia a corte. 2.5.5 Vigas y modelización de la flexión Atendiendo a la forma en la que se establece la ley constitutiva en tracción del HRFA (v. 2.5.2.3), los métodos prácticos para la modelización de la flexión en vigas son dos:

— Modelos de fisuración discreta, basados en una ley σ–w. — Modelos de fisuración distribuida, basados en una ley σ–ε.

Los primeros se emplean para HRFA de respuesta con ablandamiento, habiéndose utilizado más para el caso de vigas sin armadura longitudinal, mientras que los segundos tienen una aplicación más general, encajan con el cálculo tradicional de vigas de hormigón convencional y son, por ello, los más usados en la literatura y los adoptados en las normas y códigos aparecidos en el ámbito europeo (v. 2.5.2.4). 2.5.5.1 Modelos de fisuración discreta En el caso de HRFA de respuesta con ablandamiento, la aparición de una fisura acaba gobernando el comportamiento hasta rotura de la pieza en estudio, pero la presencia de armaduras dispuestas para resistir simultáneamente la tracción puede modificar este comportamiento, por lo que es necesario distinguir entre vigas sin armadura longitudinal y vigas con armadura longitudinal. 2.5.5.1.1 Vigas sin armadura longitudinal En el caso de ausencia de armadura, el funcionamiento de un tramo de viga con un mismo signo de flexión queda condicionado por la localización de una sola fisura, así que no hay espaciamiento regular de fisuras [341]. El concepto es extensible a vigas hiperestáticas, con la aparición de las secciones fisuradas necesarias hasta generar un mecanismo. Conocida la ley σ–w, aplicable al estado fisurado en tracción, y las leyes σ–ε para el estado no fisurado, el tratamiento de una viga simplemente apoyada se ilustra en la Fig.2.98a. Bajo carga creciente la viga funciona inicialmente en rango elástico hasta que en la sección de mayor



solicitación a flexión aparece una fisura; a continuación funciona como si en la sección fisurada existiera una rótula no lineal, de una longitud s, y los tramos adyacentes mantienen su comportamiento en rango elástico no fisurado. La conexión de la rótula con los tramos adyacentes se realiza mediante una sección transversal plana que permanece plana durante todo el proceso de carga. El análisis de la rótula se realiza mediante las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, y es necesario suponer un perfil de fisura y su relación con la deformación de la rótula para poder combinar la ley σ–w en la altura fisurada (a) con la ley σ–ε en la altura no fisurada (h–a) (Fig.2.98b). Con este planteamiento el problema consiste en lo siguiente, dado un valor de wo determinar la deformación de la rótula cuya distribución de tensiones asociada cumple la ecuación de equilibrio axil que, para flexión simple y sección rectangular de ancho unitario, se expresaría:

( ) ( )∫∫ εσ+σ=h

a

aw zz0 2

01 d d E.2.219

con los significados de la Fig.2.98. La deformación de la rótula debe poder quedar determinada con una única variable, cuyo valor se obtiene de la resolución de E.2.219. Normalmente se escoge la profundidad de la fibra neutra x o la curvatura χ de la rótula. Variando los valores de wo puede construirse el diagrama momento curvatura M–χ, que permite obtener el momento máximo de agotamiento. La combinación de la rótula, con curvatura χ, y los tramos adyacentes de la viga, permite obtener la flecha de la viga. La longitud s se corresponde con la longitud crítica lcs tratada en 2.5.2.3.2, aunque existe la posibilidad de plantear un modelo sin longitud de rótula (s=0), como en Oh et al. (2004) [394], Prudencio et al. (2006) [395] y Ahmadi et al. (2011) [396], quienes lo utilizaron para el análisis del ensayo de flexotracción de 4 puntos, descomponiendo la probeta en dos bloques rígidos.

(a)rótula

no linealtramo lineal

s

tramo lineal

wo

R ϕ ϕ=ϕs=R·

χ 1R = s

la rótula

(b)

ctf

σ2

a

ε

w1

x

o

w zz>0

2ϕ ϕ

2M

h

σ

Fig.2.98. Sección con fisura de longitud a y distribución de tensiones. Adaptado de [397]. El modelo más sencillo es el descrito en la Fig.2.98 suponiendo un perfil de fisura lineal, con las caras de la fisura permaneciendo paralelas a las caras de la rótula, tal y como procedieron Maalej y Li (1994) [397] y Pedersen (1996) [340], pero existen otros modelos más elaborados como el propuesto por Casanova y Rossi (1996) [341]. Otros estudios y aplicaciones pueden encontrarse en Stang y Olesen (1998) [398], Kooiman (2000) [275], Buratti et al. (2011) [399] y Caggiano (2013) [400]. 2.5.5.1.2 Vigas con armadura longitudinal La armadura longitudinal normalmente controla el funcionamiento de la viga, originándose múltiple fisuración, hasta que se alcanza un nivel de carga en el que la armadura plastifica, momento en el que una sola fisura crece en mayor medida y domina el funcionamiento final hasta agotamiento. Existen muy pocos estudios publicados con modelos de fisuración discreta en



vigas de HRFA con armadura longitudinal. RILEM TC 162-TDF (2002) [219] sugirió que podían aplicarse los modelos desarrollados para vigas sin armadura, para ello la deformación de la armadura localizada en la fisura podía ser evaluada a partir de la curvatura global de la rótula, siendo proporcional a la distancia a la fibra neutra:

( ) χ⋅−=ε dxs E.2.220en donde d sería la profundidad de la armadura considerada, medida desde el paramento comprimido; y x y χ mantienen el significado de la Fig.2.98. A nivel teórico Olesen (2001) [401] planteó un modelo considerando que la semilongitud s/2 de la rótula correspondía a la longitud de despegue que experimenta la armadura, resultando variable con el nivel de carga (Adaptive Hinge Model). Petersen (2010) [402] planteó una modificación del modelo, también a nivel teórico. El contraste con resultados experimentales, pero con modelos más sencillos, puede consultarse en Löfgren (2005) [403], Janssen (2008) [404] y Montaignac et al. (2012) [405] quienes señalaron que, a efectos prácticos, no era interesante adoptar un valor variable para s, ya que no conducía a una mejora notable de resultados. 2.5.5.2 Modelos de fisuración distribuida El análisis a flexión de una viga de HRFA mediante modelos de fisuración distribuida consiste en aplicar una ley σ–ε para tracción en régimen fisurado, siguiendo las mismas bases de cálculo que las empleadas en el análisis de vigas de hormigón armado convencional. Existen naturalmente particularidades a tener en cuenta, que se comentan brevemente. El cálculo del momento de agotamiento puede realizarse manualmente con soluciones simplificadas que consideran bloques rectangulares de tensiones (Fig.2.99), ampliamente utilizado [260,255,258,262,263,272], pero hay que cuidar el valor escogido para fFtu. Si se utiliza una de las fórmulas analíticas que proporcionan la máxima resistencia postfisuración (fFpc en 2.5.2.2.1) se sobrevalora la capacidad resistente [236, 406 ]. En este sentido, las resistencias residuales para niveles de deformación correspondientes a rotura resultan más adecuadas (v.2.5.2.2.3). Con las propuestas en las normas (v. 2.5.2.4) se consigue un nivel de aproximación muy alto [350].

h d

εt

fε

cu

As

c

εs

x

sA yf

xβ

fFtufFtu

(b)(a) (c)

c c

fFtu

yfAs yfAs

Fig.2.99. Modelos simplificados de cálculo del momento resistente último. Opciones del bloque de tracción: (a) en toda la altura traccionada; (b) a partir de cierta deformación de tracción εtf; (c)

eliminando el espesor de recubrimiento. El uso de leyes σ–ε más detalladas requiere normalmente un proceso iterativo de cálculo para resolver el análisis seccional y evaluar el momento de agotamiento (Mu). En la Fig.2.100 se reúne una variedad de soluciones de diferentes autores. En compresión puede usarse cualquiera de las leyes referenciadas en 2.5.3.2, y en tracción cualquiera de las referenciadas en 2.5.2.3.2 o en 2.5.3.5. Con leyes σ–ε que no sean monótonamente crecientes puede ocurrir que el momento máximo resistente (MR,máx) se alcance antes de que ningún material agote su deformación última,



es decir, MR,máx>Mu. Esto obliga a elaborar un diagrama momento–curvatura y, sobre él, determinar el valor de MR,máx. Para elaborar el diagrama momento–curvatura, de las dos variables necesarias para resolver las ecuaciones de equilibrio, la primera ha de ser monótonamente creciente con el nivel de carga [261,278,344,373]. Las funciones lineales y parabólicas son fácilmente integrables por lo que algunos autores han planteado soluciones cerradas para el diagrama momento-curvatura [347,407,408,409]. En relación al cálculo de deformaciones o flechas es obvio que en rango elástico no fisurado pueden usarse fórmulas de elasticidad lineal, sin embargo, para estudiar ensayos de flexotracción, en donde la relación luz/canto oscila entre 3 y 4, la deformación por cortante puede suponer un 20% del total y debe ser incluida [255]. Una vez producida la fisuración no hay linealidad en la respuesta a tracción. Los diferentes autores se han servido del diagrama momento–curvatura para conocer la distribución de curvaturas a lo largo de la viga, correspondiente al nivel de carga de estudio, y así han procedido a integrar doblemente la curvatura [255,278] o a aplicar el método momento–área [255,347], que establece que la flecha en centro de vano puede determinarse tomando momentos respecto de un apoyo del área bajo el diagrama de curvaturas entre dicho apoyo y centro de vano. Debe prestarse atención al caso de ablandamiento en flexión con ausencia de armadura longitudinal, ya que la primera sección fisurada acaba gobernando el comportamiento de la viga. Para estos casos Soranakom y Mobasher (2008) [347] dieron unas reglas para asignar curvaturas en elementos reforzados sólo con fibras y que han superado su resistencia pico.

As

(a) (b) (d)

(h)(g)(f)(e)

(c)

σs σs σs σs

sσsσsσsσ

ctσctσσct ctσ

σct

σct σctσct

c

εt

cε

tε

ccσ ccσ ccσccσ

ccσ

ccσ

ccσccσ

sε

sε

As

r

β

Fig.2.100. Modelos generales de fisuración distribuida: (a) Lim et al. (1987) [257]; (b) Soranakom y Mobasher (2008) [347]; (c) Maalej y Li (1994) [407]; (d) Dupont (2003) [278]; (e) Barros y Figueiras

(1999) [373]; (f) Lok y Pei (1998) [344]; (g) Padmarajaiah y Ramaswamy (2004) [261]; (h) Soranakom y Mobasher (2007) [408].

Han existido intentos en modificar el parámetro de inercia para el cálculo de deformaciones en servicio. Alsayed (1993) [410] añadió un término experimental a la rigidez correspondiente al hormigón armado. Ashour et al. (1997) [411] y Bywalski y Kaminski (2011) [412], usando un factor de eficacia, visualizaron las fibras como armaduras alineadas con la tracción y las homogeneizaron para el cálculo de la inercia, a pesar de que dicha operación sólo es válida para comportamiento lineal de los materiales.



2.5.5.3 Conclusiones Desde el punto de vista práctico del rasante hay que recordar que se diseña en agotamiento y su cálculo requiere el análisis de la sección crítica a flexión, luego cualquier modelo de los referenciados parece válido pero, sin duda, los modelos de fisuración distribuida son los más atractivos por su mayor sencillez, al manejar los mismos conceptos que en hormigón convencional. En cuanto a la precisión obtenida, estudios como el de Martínez (2006) [413] concluyen que los modelos de fisuración discreta, basados en una ley σ–w, son más realistas, pero que los modelos de fisuración distribuida pueden ofrecer una precisión equiparable si se hace una elección acertada de los puntos característicos del diagrama σ–ε. Para ello se sirvieron del trabajo previo de Barros et al. (2005) [335], quienes modificaron la ley σ–ε propuesta por RILEM TC 162-TDF (2003) [218] para ajustarse mejor a los resultados experimentales de carga–flecha de probetas de flexotracción, ilustrando el beneficio de una ley sencilla, trilineal, combinada con un análisis inverso. Además, una viga en T de HRFA con características normales, cuya forma obedece a una mayor eficacia en flexión, es bastante improbable que se diseñe sin armadura longitudinal. Con esta característica se espera que la armadura gobierne el comportamiento a flexión, generando un reparto de la fisuración, en cuyo caso el método σ–ε resulta adecuado y, dado que las fibras ya no son las principales responsables en la contribución a la resistencia a tracción, se espera que la imprecisión en los resultados sea más reducida. En estos casos de presencia de armadura el método σ–w ha sido menos contrastado, y necesita de un artificio para combinar la abertura de fisura con la deformación de la armadura longitudinal que la atraviesa. Con la elección de modelos de fisuración distribuida el apartado 2.3.1.3, que trataba de la determinación del rasante según el modelo viga tradicional en el caso de leyes constitutivas genéricas, es aplicable completamente y puede obtenerse el rasante para cualquier nivel de carga. Dada la marcada no linealidad de las leyes σ–ε se necesita una herramienta programada para la resolución iterativa del problema del análisis seccional, aunque existen soluciones cerradas que pueden agilizar el cálculo computacional. También pueden elaborarse diagramas momento–curvatura, que permiten obtener el máximo momento resistente en el caso de emplear leyes muy generales, y que pueden usarse para contraste experimental. Finalmente hay que recordar que pueden existir algunos problemas como el efecto tamaño (vigas de mayor canto que las probetas empleadas para deducir la ley σ–ε) [218,414,415]; la posibilidad de variaciones en la orientación de las fibras en diferentes partes de la sección transversal, lo que conduciría a manejar diversas leyes σ–ε en el análisis de la sección transversal [416]; o la contribución dudosa de la fibra localizada en la cobertura de paramentos expuestos a ambientes agresivos [218]. 2.5.6 Lajas y placas de HRFA La disponibilidad de una ley en tracción para el HRFA suscita el interés en revisar las teorías desarrolladas para hormigón armado dedicadas a lajas y placas (v.2.4.1.2), como son el análisis límite y las teorías del campo de compresiones, aunque en la literatura muchos estudios han ido encaminados al simple uso de un software comercial de elementos finitos en donde se ha introducido una ley no lineal en tracción para el HRFA, como en Domingo et al. (2004) [417].



2.5.6.1 Análisis límite El comportamiento en tracción del HRFA admite como simplificación la ley rígido-plástica para ser considerada en comprobaciones de agotamiento, como así recogen las normas europeas (v. 2.5.2.4), por lo que puede ser considerado como un material adecuado para aplicar la teoría del análisis límite, tanto en ausencia como en presencia de armaduras. En la revisión bibliográfica no se han encontrado trabajos de autores dedicados al análisis límite en lajas de HRFA. Como excepción puede citarse a Narayanan y Kareem-Palanjian (1985) [270], pero estudiaron la torsión de vigas de HRFA, no obstante, dado que consideraron la clásica sección hueca resistente, la propuesta de resistencia a torsión se basó en el análisis límite de la resistencia a corte de una laja de HRFA sin armadura, tal y como se ilustra en la Fig.2.101, que permite deducir:

yFtu,xFtu,uxy, ff ⋅=τ E.2.221

xFtu,

yFtu,2

ff

=θtan E.2.222

con la condición de que la tensión principal de compresión σc2 no supere su valor límite cyFtu,xFtu, fff ⋅ν≤+ E.2.223

siendo τxy,u la resistencia a corte puro de la laja, función de la resistencia última a tracción del HRFA en las direcciones x e y (las tres expresiones recuerdan a E.2.77, E.2.78 y E.2.79 para la resistencia plástica a corte puro de una laja de hormigón armado con malla ortogonal). Narayanan y Kareem-Palanjian (1985) [270] escogieron como resistencia última a tracción fFtu la formulación basada en factores de eficacia (fFpc en E.2.160), expresando:

FtuxxFtu, ff ⋅α= E.2.224

FtuyyFtu, ff ⋅α= E.2.2251yx =α+α E.2.226

x

y2

α

α=θtan E.2.227

σc2 xy,u

fFtu,x

Ftu,yf

σc2

θ

xy,u

τ

y

x

12

Fig.2.101. Análisis límite de la resistencia a corte puro de una laja de HRFA.

A nivel normativo o de recomendaciones, el Código Modelo 2010 [3] menciona la posibilidad de aplicar análisis límite a lajas y placas pero es la norma italiana CNR-DT 204/2006 [222] la que proporciona unos criterios de comprobación que son los que se exponen a continuación, prescindiendo de la notación de coeficientes de seguridad. Elementos laja. Según el criterio de esfuerzos del elemento laja de la Fig.2.102a (tracciones positivas) la comprobación resistente depende de la existencia de armadura.



— Laja sin armadura convencional. La comprobación se realiza según las direcciones principales de tensión n1 y n2 (<n1) determinadas según las siguientes expresiones

2xy

2yxyx

1 2

2n

nnnnn +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+= E.2.228

2xy

2yxyx

2 2

2n

nnnnn +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

+= E.2.229

En la comprobación resistente se distingue entre el caso de existencia de tracción y el caso de compresión biaxial: — Para 0≤n1 se establece una resistencia a tracción que tiene en cuenta el nivel de tensión

en la dirección principal 2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−<≤⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

⋅

⋅≤≤⋅−⋅≤ tfntf

fntf

f

tfntftfn

cf2cfcf

2cfFtu

Ftu2cfFtu

1 0,3 para0,7

0,3 para E.2.230

— Para n1<0 se trata de un estado de compresión biaxial en donde sólo preocupa el valor de la dirección principal 2

( )0 12cf ≤≤≤⋅− nntf E.2.231

— Laja con armadura ortogonal según las direcciones x e y. En este caso la comprobación resistente se realiza según la dirección de las armaduras, estableciendo una limitación adicional para el esfuerzo cortante. La elección del nombre de los ejes debe realizarse de modo que nx>ny, en este caso:

( )λ⋅−+≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+−− xyFtuysxxxy

cfysx ntffAnn

tffA E.2.232

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−+≤≤λ⋅+−− xyFtuysyyxycfysy

ntffAnntffA E.2.233

( )2

Ftucfxy 1

λ+

λ⋅⋅+≤

tffn E.2.234

en donde Asx y Asy es la sección de armadura por unidad de ancho, y λ tiene la expresión

( ) ( ) 2xy

2yxyx

xy

4

2λ

nnnnn

n

+−+−−= E.2.235

(a)

(b)

t

Ftuf

Rm

(c) Fig.2.102. Elementos bidimensionales [222]: (a) elemento laja; (b) elemento placa; (c) momento plástico

en placa sin armadura.



En las expresiones anteriores t es el espesor de la laja, fcf es la resistencia a compresión del HRFA procedente de la probeta cilíndrica, y fFtu es la resistencia a tracción residual correspondiente al modelo rígido-plástico de CNR-DT 204/2006 [222], es decir, según la expresión E.2.186, en el caso de utilizar el ensayo de flexotracción de 4 puntos. Elementos placa. En la Fig.2.102b se representa un elemento placa cuya comprobación depende también de la existencia de armadura. En el caso de elementos sin armadura convencional se requiere el cumplimiento de la siguiente relación:

1 2

R

y2

R

x ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mm

mm E.2.236

siendo mR el momento plástico simplificado correspondiente a la Fig.2.102c, en donde la resultante de compresiones se supone concentrada en la fibra superior:

2

2Ftu

Rtf

m⋅

= E.2.237

En el caso de presencia de armadura en la placa, CNR-DT 204/2006 [222] se limita a indicar la posibilidad de aplicar análisis límite, sin proporcionar más detalles. En este caso puede pensarse en proceder de modo análogo a como se plantea para una placa de hormigón armado, según las indicaciones del Código Modelo (1990) [33], consistentes en descomponer el trabajo de flexión de la placa en el trabajo de dos lajas paralelas, y aplicar entonces las condiciones E.2.232 a E.2.235 a cada laja. 2.5.6.2 Campo de compresiones La aplicación de la teoría del campo de compresiones (v. 2.4.1.2.2) al caso de HRFA parece inmediata, se trataría de escoger un modelo existente y sustituir la ecuación constitutiva original del hormigón por la nueva ley del HRFA, expresada en términos de deformación (σ–ε). De este modo procedieron diversos autores utilizando RA-STM, que es el modelo más sencillo con ángulo de fisuración variable, para aplicarlo a problemas de comportamiento estructural que pueden tratarse simplificadamente mediante análisis plano de tensiones, y no a elementos laja, propiamente. Tan y Mansur (1990) [342] y Valle (1991) [377] lo aplicaron a transferencia a corte en probetas de push-off; Mansur y Ong (1991) [343] a vigas de gran canto (Fig.2.103); Tan et al. (1993) [266] y Al-Ta'an y Al-Saffar (2007) [418] al cortante en viga de sección rectangular; Al-Ta'an y Al-Husaini (2014) [419] a vigas de gran canto y ménsulas cortas; Rao y Seshu (2005) [420] a torsión pura de una viga de sección rectangular. Éstos últimos, por simplicidad, utilizaron una ley rígido-plástica en tracción, con un valor de resistencia basado en factores de eficacia. Una comparación entre modelos RA-STM y modelos de ángulo fijo FA-STM, contrastando resultados de 85 vigas fallando a corte de otros autores, fue realizado por Hwang et al. (2013) [421], quienes además replantearon desde el principio las ecuaciones de equilibrio. Para ello consideraron un reparto de esfuerzos en tres fases (Fig.2.104), argumentando que, de este modo, los diferentes parámetros que caracterizan el comportamiento de las fibras podían ser estudiados con mayor detalle, para lo cual emplearon una ley en tracción basada en factores de eficacia (v. 2.5.2.2.1). Entre sus conclusiones señalaron RA-STM como el modelo con peor ajuste frente al



resto de modelos FA-STM, resultando mayor dispersión, especialmente en el caso de bajo volumen de contenido de fibras. Además, los modelos de ángulo fijo ofrecían mejores resultados que las fórmulas experimentales para cortante propuestas por los autores consultados.

(a) (b)

Fig.2.103. Vigas de gran canto ensayadas por Mansur y Ong (1991) [343]: (a) esquema de ensayo y elemento laja de estudio; (b) resultados en una de las vigas.

σsxσcx +=(a) (b) (c)

x

y

xyττxy

σ

cxy

cy

τ

cxyτ

syσ

+ σ

τFxy

Fx

Fy

Fxyτ

(d) Fig.2.104. Reparto de esfuerzos según Hwang et al. (2013) [421]: (a) elemento laja; (b) esfuerzos en

hormigón; (c) en armaduras; (d) y en fibras de acero (referidos al área transversal del elemento laja). Modelos más complejos, aplicados mediante su implementación en elementos finitos, fueron publicados por Minelli y Vecchio (2004) [339] y Minelli y Vecchio 2006 [422] para el estudio del cortante en vigas pretensadas. Solamente existen ensayos de corte puro en paneles de HRFA realizados en la Universidad de Toronto por Vecchio y colaboradores, debido a la necesidad de disponer de una máquina especial para ello. Una descripción de estos ensayos se publicó en Susetyo et al. (2011) [423] y posteriormente Susetyo et al. (2013) [424] contrastaron resultados con el Modelo del Campo Discontinuo de Tensiones (DSFM), aplicado con elementos finitos, habiendo caracterizado el HRFA con ensayos de tracción uniaxial. Su conclusión, con un modelo más avanzado, no fue satisfactoria, argumentando diversas causas: posible influencia de las condiciones de colocación del hormigón en el panel y en las probetas de tracción uniaxial; la diferencia de comportamiento a tracción del HRFA en ausencia o presencia de armaduras; el tratamiento de las tensiones principales de tracción y deslizamiento; y la notable influencia del valor escogido como separación media entre fisuras. Señalaron así la necesidad de desarrollar modelos de tracción biaxial, de progresión de la separación media entre fisuras y del deslizamiento en las superficies de fisuras. Una contribución a la resolución de algunas de estas cuestiones podría encontrarse en Suryanto et al. (2010-2012) [204-205], que incorporaron un modelo explícito de transferencia a corte; y en Ju et al. (2013) [425], que presentaron lo que parece ser la primera ley en tracción ajustada experimentalmente a los ensayos de los paneles HRFA de Susetyo et al. (2011) [423].



Queda patente que, si bien en algunos casos pueden obtenerse resultados satisfactorios con modelos sencillos (Fig.2.103b) la precisión en todos los casos no queda asegurada, ni en modelos más complejos, si no se cuidan los numerosos factores que intervienen en la caracterización del HRFA, como los apuntados por Susetyo et al. (2013) [424] y que requieren de más investigación. En cualquier caso, como ya se anotó para hormigón armado (v.2.4.1.2.2), la aplicación de estos modelos no es inmediata, y hasta los más sencillos requieren una herramienta programada. 2.5.7 Bielas y tirantes Conocidas las características del HRFA, especialmente la ductilidad, es inmediato pensar que la presencia de fibras de acero debe modificar favorablemente la capacidad resistente de los elementos de un modelo de bielas y tirantes, sin embargo, estas cuestiones no han sido resueltas en los textos normativos. EHE (2008) [1] sugiere que la anchura de las bielas de compresión puede aumentar con la presencia de fibras, y que la cuantía de la armadura convencional podría reducirse en las regiones D, pero no concreta ninguna regla de cálculo. No existen bases de cálculo generales publicadas excepto en Fehling et al. (2014) [426] y en Wang (2014) [427], que no llegan a ser completas y precisan de mayor investigación, pero en ambos casos son establecidas para Hormigones de Ultra-Altas Prestaciones, cuya diferencia con HRFA convencional es una gran fragilidad en compresión y endurecimiento en tracción soportando mayores niveles de deformación. Como consecuencia, los valores del factor de eficacia ν para bielas no son extrapolables a HRFA y el valor de la resistencia a tracción del HRFA debería corresponderse con un valor residual adecuado a los niveles de deformación que se esperan en el mecanismo resistente, y no a la máxima resistencia postfisuración. 2.5.7.1 Aportaciones de diversos estudios de elementos

estructurales de HRFA analizados por ByT Los escasos trabajos encontrados en la literatura sobre la aplicación de bielas y tirantes en piezas de HRFA se caracterizan básicamente por estudiar mecanismos resistentes directos, en donde la rotura viene gobernada por un elemento, biela o tirante. No son numerosos, pero permiten confirmar el efecto beneficioso de la inclusión de fibras en la masa de hormigón. 2.5.7.1.1 Tirantes La incorporación de la fibra en la resistencia de un tirante de armaduras no está claramente resuelta, existiendo soluciones diversas. Fattuhi (1994) [428] estudió ménsulas cortas, y asignó una resistencia postfisuración a toda la anchura del campo de tracciones horizontal determinado en el análisis elástico del límite de la región D estudiada, independientemente de que no fuera concéntrico con la armadura traccionada. En cambio, Campione et al. (2005) [274] y Campione et al. (2007) [429], determinaron la geometría considerando la resistencia postfisuración en una altura parcial, pero la resistencia del tirante horizontal la atribuyeron sólo a la armadura, mientras que la contribución de las fibras se producía directamente en la fisura paralela a la biela comprimida (Fig.2.105). De un modo similar Mohamed y Elliott (2008) [430] analizaron apoyos a media madera.



Fpcf

Asfy

As

x

εy

εcr

PP

x·cosα

z

T

C

α

P

sen α

α

tz

FuFpcf

tz

tz

(a) (b) (c) (d) Fig.2.105. Campione (2005) [274]: (a) ménsula corta; (b) análisis de la sección transversal de arranque

para la definición de (c) la geometría del modelo de biela y tirante; (d) contribución de la fibra. También existe la opción de delimitar un área concéntrica con la armadura que constituye el tirante principal. Esta forma ha sido planteada por Campione (2009) [431,432] en ménsulas cortas (Fig.2.184a) y por Campione (2012) [433] en vigas de gran canto con armadura principal de flexión. El objeto era plantear un modelo no lineal contemplando ecuaciones de compatibilidad para evaluar la curva carga–deformación. Este área eficaz del tirante es la misma que la propuesta por ACI-318 (2008) [10] en su comentario RA.2.1 para hormigón armado convencional. Fehling et al. (2014) [426] y Wang (2014) [427] recomiendan que el área eficaz ha de estudiarse en cada caso, y el segundo sugiere una capacidad del tirante limitada por la capacidad a rotura de la armadura:

sussysFtuefc, fAfAfAT ⋅≤⋅+⋅= E.2.238siendo Ac,ef el área eficaz; fFtu la resistencia última a tracción del HRFA; As el área de las armaduras pasivas que forman el tirante; fsy su límite elástico; y fsu su resistencia última. La resistencia fFtu debe corresponderse con la plastificación de las armaduras, y no desvanecerse antes de que las armaduras alcancen su deformación de rotura.

P

Fpcf

TTFpc

εs

εcr

tz

xεc

x·cosα

r2 +Ør2 +Ø

dz

α

b(a)

Ftuf

C

66º

F

C

49º

25º

5252 mm

T

(b)

Fig.2.106. Tirantes: (a) armaduras con área eficaz de fibras, según Campione (2009) [431]; (b) fibras solamente, según Schnütgen (2003) [434].

Tirantes constituidos solamente por fibras han sido considerados por Schnütgen (2003) [434] para decidir detalles de diseño en segmentos prefabricados de revestimientos de túneles. Un detalle se ilustra en Fig.2.184b en donde después de establecer el punto de paso de T, se asigna al tirante una anchura concéntrica, condicionada por el contorno más próximo. Obtuvo un resultado satisfactorio asignando una resistencia fFtu correspondiente a la resistencia equivalente 3 del ensayo de flexotracción propuesto por RILEM TC 162-TDF (2000) [327] (ecuación E.2.168 con el intervalo [δ1, δ2] definido en la Tabla 2.14), es decir, fFtu =0,37·feq,3.



2.5.7.1.2 Bielas Las cuestiones a discutir en el caso de las bielas son su área resistente y la resistencia a compresión, expresada a través del factor de eficacia ν (E.2.65). En relación al tamaño de la biela no hay suficiente información para establecer criterios nuevos respecto del hormigón armado convencional. La tendencia que se observa en la mayoría de los diversos investigadores es mantener la dimensión de las bielas derivadas del planteamiento clásico del modelo de bielas y tirantes y posteriormente modificar el factor de eficacia ν, considerando así una mayor resistencia respecto del hormigón sin fibras. En el caso de bielas que representan campos prismáticos de compresiones, su anchura puede calcularse considerando una resistencia postfisuración en el análisis seccional del contorno de la región D estudiada. En el caso de bielas sin restricción de anchura, que representan campos con forma de botella, normalmente se comprueban en su anchura de entrada en el nudo y se entra en el detalle de comprobar la tracción transversal, planteando a su vez un nuevo sistema de bielas y tirantes que recojan este funcionamiento. Sobre la posibilidad de utilizar una mayor anchura en la biela original pocos autores se han pronunciado. Minelli y Vecchio (2004) [339] concluyeron que el área resistente de las bielas aumentaba, basándose en el ensayo a cortante de vigas, pero el estudio analítico consistió en la aplicación del MCFT mediante elementos finitos y no establecieron ninguna regla. Romero (1994) [435] estudió la biela directa en apoyos de vigas de gran canto, y consideró una anchura de biela mayor a la deducida del nudo, pero aplicó la misma regla al caso de hormigón armado y al reforzado con fibras, y solucionó el problema incorporando unas fuerzas de fricción flanqueando la biela, que aumentaban en magnitud con la presencia de fibras. Colombo et al. (2008) [436] estudiaron expresamente las regiones en cuello de botella sin encontrar una clara tendencia sobre el efecto tamaño. En relación al factor de eficacia pueden encontrarse propuestas en casos concretos de elementos estudiados por diversos autores [428,435,274], mientras que en otros casos mantuvieron el mismo factor de eficacia que en hormigón convencional [429,431,432]. Fehling et al. (2008) [437 ] formularon el factor de eficacia para el caso de bielas con fisuración paralela y armadura perpendicular, con el inconveniente de expresarlo en función de la deformación de tracción transversal, ya que en el método general de bielas y tirantes no se plantean ecuaciones de compatibilidad. Campione (2012) [433] utilizó los resultados experimentales de Demeke y Tegos (1994) para plantear una relación empírica de la resistencia biaxial compresión–tracción, que simplificó a efectos prácticos en una expresión sencilla para el factor de eficacia:

vF 0,28 F⋅+ν=ν E.2.239siendo νF el factor de eficacia para HRFA; ν el correspondiente al hormigón sin fibras; y Fv el factor de fibras (E.2.161a). El estudio Demeke y Tegos (1994) había consistido en paneles comprimidos horizontalmente y traccionados verticalmente mediante armaduras, con un hormigón de resistencia 30MPa reforzado con fibras de acero hooked-end (Lf=30mm y Df=0,5mm) en fracciones de volumen 0–0,5–1 y 1,5%. Es necesario el estudio del problema para armadura inclinada respecto a las direcciones principales de compresión y tracción [437]. 2.5.7.2 Conclusiones El modelo de bielas y tirantes promete ser una herramienta de análisis interesante. Las reglas de diseño existentes y comentadas en este apartado parecen suficientes para algunos casos concretos de ménsulas cortas o vigas de gran canto sin huecos, pero existen aspectos no resueltos completamente que inevitablemente van a obligar a plantear estudios detallados de cada nueva



pieza o región D que se desee diseñar, acompañados de la correspondiente campaña experimental, para poder confirmar reglas prácticas de diseño que permitan considerar las fibras en los cálculos resistentes. 2.5.8 Estudios experimentales en vigas en T de HRFA No se tiene constancia de estudios de rasante en alas. En la búsqueda bibliográfica no se han encontrado publicaciones sobre el análisis del rasante en vigas en T fabricadas con HRFA por lo que este apartado no puede desarrollarse. De hecho, el estudio de vigas en T es escaso, centrado en otros aspectos resistentes [263,405,438,439], y con dimensiones de las alas muy moderadas, con lo que ni el rasante ni la deformabilidad de las alas son un problema.



3 METODOLOGÍA El planteamiento de la tesis se basa fundamentalmente en la extensa revisión del estado del conocimiento realizada en el capítulo 2 y en los medios disponibles para llevar a cabo una campaña experimental. En este capítulo se realiza un análisis del estado del conocimiento para identificar conceptos importantes y carencias que permitan establecer un objetivo y metodología para el presente trabajo. 3.1 ANÁLISIS DEL ESTADO DEL CONOCIMIENTO Parte del análisis del estado del conocimiento ya se ha redactado al crear apartados de conclusiones dentro de los temas tratados en los bloques en que se ha dividido el estado del conocimiento. En el presente apartado se proporciona una visión más general, enfocada a plantear el estudio específico del problema sobre una serie de vigas en T fabricadas y ensayadas a tal fin. 3.1.1 Sobre la evaluación del esfuerzo rasante en

hormigón armado En la evaluación del esfuerzo rasante se impone el modelo viga, por su sencillez y su amplia aceptación, mientras que el empleo de otros modelos resulta anecdótico. Badawy y Bachmann (1977) [29] esbozaron un modelo global de bielas y tirantes para el estudio de sus 5 vigas en T ensayadas, pero el resto de autores que ensayaron también vigas plantearon un análisis seccional simplificado de la sección crítica, y con la resultante de tensiones en el ala así calculada evaluaron el rasante en el tramo de ala de estudio. Esta forma de operar es suficiente ya que los esquemas de ensayos utilizados fueron sencillos, consistentes en vigas simplemente apoyadas solicitadas, en general, por una o dos cargas puntuales. El esquema isostático permite la determinación exacta de los esfuerzos en cualquier sección y facilita el análisis de resultados. Razaqpur y Ghali (1984) [15] aplicaron análisis elástico lineal mediante elementos finitos a una variedad de vigas con diferentes esquemas de carga, de uno y dos vanos, y evaluaron así no sólo el esfuerzo rasante sino también el axil transversal concomitante. En la Fig.2.51 se puede apreciar la diferencia de resultados entre el modelo viga y el modelo MEF, siendo insignificante a efectos prácticos. Este mayor detalle en la evaluación del esfuerzo rasante no es necesaria, sobre todo en vigas con esquemas isostáticos, y a esto hay que añadir que la comprobación del rasante a nivel diseño se enmarca en los estados límite últimos, por lo que cualquier variación que presente el esfuerzo rasante en fase elástica se redistribuye en agotamiento. Una



confirmación de este hecho puede concluirse de los datos de deformación transversal en el ala aportados por Badawy y Bachmann (1977) [29], ilustrados en la Fig.2.5, y también puede apreciarse en resultados aportados por otros autores como Regan y Placas (1970) [19], Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26]. En relación al citado axil transversal concomitante con el rasante, se trata de un esfuerzo que el modelo viga no es capaz de proporcionar, mientras que puede ser evaluado con modelos más complejos. Razaqpur y Ghali (1984) [15] utilizaron los resultados de su modelo MEF para considerar este esfuerzo en el diseño de la armadura transversal del ala y otros autores también procedieron de forma similar [6]. El problema es que no resulta adecuado utilizar resultados elásticos para plantear criterios de diseño en agotamiento de la armadura transversal. En agotamiento se espera la redistribución plástica de esfuerzos y este planteamiento puede observarse en los diferentes métodos simplificados planteados para el diseño del rasante por otros autores (Regan y Placas, 1970 [19]; Domingues, 1981; Morley y Rajendran, 1975 [22]; Tizatto, 1987 [26]). No obstante, resulta útil conocer el axil transversal para evaluar el rasante de fisuración y la propuesta de Razaqpur y Ghali (1984) [15] puede ser una herramienta sencilla y práctica, de mayor generalidad que la propuesta por Páez y Díaz del Valle (1992) [6]. Mayor sofisticación para la evaluación del esfuerzo rasante puede encontrarse aplicando elementos finitos con análisis no lineal, y probablemente los modelos más avanzados, pendientes todavía de mayor estudio y ajuste, sean los que aplican la teoría del campo de compresiones para definir elementos finitos particulares. La ventaja de este análisis es que encierra en el mismo cálculo la evaluación del esfuerzo rasante y la respuesta del mecanismo resistente, siendo capaces de proporcionar la capacidad final de la viga. La desventaja es su coste de calculo y la necesidad tener ajustados numerosos parámetros, y el problema específico del rasante en T no se ha afrontado todavía con estos métodos. Una desventaja de emplear el modelo viga es el desconocimiento del ancho eficaz, sin embargo, los primeros autores que estudiaron el problema establecieron un ancho del ala sin plantear realmente el problema. Morley y Rajendran (1975) [22] plantearon a nivel teórico la consideración del ancho eficaz para resistir el rasante simultáneamente con la situación de agotamiento longitudinal del ala, plasmado en lo que denominaron curvas límite, pero sólo la aplicaron para estimar la capacidad resistente de cuatro vigas mixtas ensayadas previamente por Davies (1969) [21], fabricadas con una cuantía deficiente de la armadura transversal. Con posterioridad, Fiorito (1987) [25] y de Tizatto (1987) [26] instrumentaron especialmente el ala para poder deducir experimentalmente el valor del ancho eficaz. Conocido el ancho eficaz puede valorarse con mayor exactitud el rasante solicitante. 3.1.2 Sobre el rasante resistente en hormigón armado La siguiente necesidad es disponer de modelos resistentes para evaluar la capacidad de agotamiento del ala. En este tema, los métodos o teorías generales que han proporcionado los modelos de cálculo para la comprobación del rasante adoptados por las normas han sido el método de bielas y tirantes y, como caso particular de modelos de transferencia a corte, la teoría de corte-fricción. Las normas europeas (EHE [1], EC2 [4], Código Modelo [3]) plantean el primero de ellos, y reservan un apartado específico para el diseño y comprobación de este problema, considerado como un estado límite último enmarcado dentro de la solicitación general de cortante. La norma americana ACI-318 [10] adopta el modelo de fricción como método general para el estudio de la solicitación de corte a través de un plano de debilidad, y otras normas americanas como AASHTO [11], CSA A23.3-04 [96] y CAN/CSA-S6-06 [12] adoptan un



modelo lineal de fricción más cohesión, o modelo de fricción modificado, a las que se puede añadir el texto japonés JSCE/SSCS [13]. En estos textos, no se dedica ningún apartado específico al caso del rasante en alas de vigas en T, por lo que el problema debe ser tratado dentro del modelo general de transferencia a corte adoptado por cada norma. La aplicación del modelo de bielas y tirantes contempla directamente la intervención de la tracción transversal en el ala, así como la compresión sobre la misma, inclinada y con resultante desplazada respecto de la tracción, para poder recoger la excentricidad de la fuerza longitudinal en el ala. Pero la aplicación directa del modelo de transferencia a corte de las normas americanas omite el problema de la excentricidad del rasante que se produce en alas de vigas exentas. Esta consideración sí fue tenida en cuenta por autores que estudiaron específicamente el problema pero, en general, no aplicaron modelos de transferencia a corte o cuando lo hicieron no se ciñeron estrictamente a las consideraciones del mismo. Badawy y Bachmann (1977) [29] utilizaron bielas y tirantes, proponiendo provisionalmente un ángulo de inclinación de las bielas entre 22º y 26,6º en alas comprimidas, para obtener un mejor ajuste. El EC2 [4] recoge el valor de 26,6º como ángulo mínimo para ser considerado en alas comprimidas, y EHE [1] utiliza por defecto un ángulo de 45º, lo que duplicaría el grado de refuerzo de la armadura necesaria por cálculo. Es quizás este el aspecto que sorprende del modelo de bielas y tirantes, la libertad en la elección del ángulo. Tan solo Tizatto y Shehata (1990) [207] recomendaron un ángulo dependiente de la relación de aspecto del ala. El resto de autores emplearon modelos particulares. Los primeros modelos fueron experimentales, surgidos del estudio de vigas mixtas, extensibles a vigas de hormigón, pero carecen de interés. Los modelos posteriores interesantes se enmarcaron en los teoremas límite de plasticidad o como soluciones simplificadas. En las soluciones simplificadas, la forma de proceder consistió en establecer las condiciones de equilibrio del ala estudiada, tanto longitudinal como transversalmente, siendo necesario establecer también el equilibrio de momentos. Entre estas soluciones es interesante señalar las de Regan y Placas (1970) [19] y Tizatto (1987) [26], porque se sirvieron básicamente de un modelo lineal de fricción más cohesión para plantear la condición de rotura en el plano de unión ala-alma, considerando el ala como un sólido rígido. Este planteamiento constituye un enfoque más racional del modelo de fricción modificado, sin embargo se tomaron libertades a la hora de considerar la plastificación parcial de la armadura en el plano de corte y el origen de la compresión que constituía el término de fricción, matices que no encajan exactamente con las hipótesis básicas del modelo de corte-fricción contemplado en las normas americanas. Hay que destacar los modelos de campos de tensiones, ya que forman parte de una teoría racional como aplicación directa del teorema del límite inferior de plasticidad. Esta característica facilita su aceptación en normas como método de diseño y los convierte en modelos de gran interés. De entre ellos destaca un modelo planteado por Morley y Rajendran (1975) [22], que describe el estado tensional del ala mediante tres campos de tensiones no nulas, dos de ellos uniaxiales y un tercero biaxial para el que emplearon como criterio de rotura la teoría del análisis límite. En concreto, este criterio se emplea para el diseño simplificado de la armadura en lajas de hormigón y, por extensión, también en losas, y queda recogido en el Código Modelo [3] y en algunas normas como el EC2 [4]. Otros métodos para plantear mecanismos resistentes para el esfuerzo de corte pueden tener aplicación en el análisis del rasante, pero son complejos de resolver. Se trata de las teorías del campo modificado de compresiones, y su complejidad se deriva de emplear ecuaciones de



compatibilidad y leyes constitutivas no lineales para los materiales, que tienen como especial característica la consideración del estado biaxial de deformaciones del hormigón. Permiten estudiar un elemento laja solicitado a corte suponiendo distribución de tensiones uniformes en sus bordes, pero esto es una limitación para su aplicación a alas solicitadas a rasante, dado que en sus bordes no se desarrollan tensiones uniformes en toda la longitud. La solución está en discretizar el ala en elementos laja, lo que significa utilizar estas teorías para definir modelos de elementos finitos, que existen en la literatura pero no se han aplicado a este problema en concreto. 3.1.3 Sobre el hormigón reforzado con fibras de acero La revisión del estado del conocimiento para vigas de hormigón armado permite seleccionar qué temas son de interés en el caso de tratar el hormigón reforzado con fibras de acero. En este campo no se han encontrado publicaciones referentes al problema concreto del rasante en alas de vigas en T. La propia EHE [1], que en su texto general dedica su artículo 44.2.3.5 al problema del rasante en vigas de hormigón armado y pretensado, no aporta solución en el anejo 14 dedicado al hormigón reforzado con fibras, solamente advierte de la necesidad de basarse en campañas experimentales concluyentes, principal motivo que ha originado la redacción del presente trabajo. Esta ausencia de información específica está compensada con un gran volumen de publicaciones relativas a la caracterización básica del nuevo material: comportamiento en compresión (v. 2.5.3) y, principalmente, en tracción (v. 2.5.2). También ha habido un gran desarrollo en el estudio de la modelización del comportamiento a flexión de las vigas (v. 2.5.5). Así puede verse en las normas que han publicado textos para el uso estructural del hormigón reforzado con fibras. Todas definen una ley de cálculo en tracción utilizando el concepto de resistencia equivalente o residual procedente del ensayo de flexotracción, o incluso del ensayo de tracción directa, mientras que mantienen iguales las leyes en compresión definidas para el hormigón armado. En este caso, puede encontrarse más detalle en trabajos publicados por diversos autores. Todas las normas adoptan modelos de fisuración distribuida para la modelización de la flexión en vigas, ya que encajan con el cálculo tradicional de vigas de hormigón convencional. Toda esta información es suficiente para poder plantear la evaluación del esfuerzo rasante solicitante del ala de una viga en T, de un modo análogo al planteado en vigas de hormigón armado. No existen, sin embargo, publicaciones relativas al ancho eficaz, pero su definición general puede emplearse conjuntamente con el modelo viga si se dispone de información experimental adicional. La resistencia a cortante vertical en HRFA también ha recibido mucha atención, y está formulada en las normas, pero no ocurre así con los modelos generales como transferencia a corte o bielas y tirantes. La transferencia a corte en junta entre hormigones no tiene realmente sentido en HRFA, ya que difícilmente las fibras de acero pueden llegar a coser la junta, pero existen un número aceptable de estudios de diversos autores realizados con probetas monolíticas y prefisuradas (v. 2.5.4). Son los modelos empíricos los que más se han desarrollado y contrastado, siendo básicamente una imagen de los modelos de fricción modificada utilizados en hormigón armado, en donde las fibras contribuyen como un término más que se suma al grado de refuerzo de la armadura. Por el contrario, los modelos racionales son escasos, no ofrecen un contraste amplio con resultados experimentales y, finalmente, no constituyen herramientas de cálculo sencillas.



El método de bielas y tirantes ha recibido una atención escasa en la literatura (v. 2.5.7). Existen publicaciones sobre elementos estructurales sencillos, como ménsulas cortas o apoyos directos de vigas de gran canto, que habitualmente son diseñados en hormigón convencional con el método de bielas y tirantes. Estos casos permiten, no obstante, plantear modificaciones razonables en los dos elementos básicos que se emplean para la modelización del rasante, las bielas y los tirantes. Al tratarse de elementos repartidos la definición del área resistente no constituye un problema. Campione (2012) [433] aporta la única solución práctica para el factor de eficacia ν de la resistencia a compresión, y otros estudios concluyen la posibilidad de emplear un término de resistencia residual adecuado a los niveles de deformación del tirante, que pueda sumarse a la resistencia de la armadura [427], así como la posibilidad de emplear tirantes constituidos exclusivamente por fibras [434]. Finalmente, los modelos resistentes desarrollados para lajas de hormigón armado tampoco han sido objeto de gran atención (v. 2.5.6). No obstante, el texto italiano CNR-DT 204 [222] proporciona una solución para lajas mediante análisis límite. También pueden encontrarse adaptaciones de los modelos RA-STM, más numerosas que en modelos FA-STM, pero mantienen el nivel de dificultad de los modelos originales, e incluso añaden incertidumbres derivadas, por ejemplo, de las condiciones de colocación del hormigón en este tipo de elementos estructurales. Obviamente, al igual que en hormigón armado, la aplicación de estos modelos de las teorías del campo modificado de compresiones no es inmediata ni práctica. 3.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3.2.1 Objetivo general El análisis del estado del conocimiento permite establecer dos métodos existentes para vigas de hormigón armado en la normativa actual, y ninguna adaptación al caso de HRFA. Los dos métodos vigentes son bielas y tirantes y transferencia a corte, en el marco de la normativa europea y americana, respectivamente. De entre los métodos alternativos desarrollados por diferentes autores, destaca el modelo de campos de tensiones, ya que perfectamente puede ser incorporado en normas por pertenecer a una teoría racional que surge de la aplicación directa del teorema del límite inferior de plasticidad. Por este motivo puede establecerse como objetivo general del presente trabajo la revisión y adaptación de los métodos citados para la consideración de la contribución resistente de las fibras de acero. Dicho estudio sólo puede hacerse con una campaña experimental que incluya vigas de hormigón armado como referencia, y vigas de iguales características que incorporen fibras de acero en la masa de hormigón. El coste económico y la disponibilidad de medios acotan el alcance de la campaña experimental, pero dentro de estas limitaciones se pretende establecer unas primeras bases de cálculo que permitan utilizar estos métodos para el diseño y comprobación de este problema estructural, al menos con un margen de seguridad igual o superior al que existe actualmente con las vigas de hormigón armado. 3.2.2 ldentificación de conceptos y carencias El análisis del estado del conocimiento permite también identificar conceptos importantes y carencias detectadas en los modelos existentes que pueden ayudar a plantear el estudio del problema del rasante en el presente trabajo.



En cuanto a conceptos importantes. — El concepto de rasante de fisuración, tratado por Regan y Placas (1970) [19] y por Tizatto

(1987) [26], cobra una especial importancia, puesto que permite establecer un nivel de carga de la viga que, una vez superado, inicia la fisuración longitudinal del ala en su unión con el alma, momento en el que la armadura transversal adquiere protagonismo en el mecanismo resistente. Si este nivel de carga resulta inferior al nivel de carga teórico de la viga para agotar su capacidad resistente a flexión, entonces la viga sirve para estudiar el modo de fallo por rasante, que dependerá en gran medida del grado de refuerzo. Si, por el contrario, el nivel de carga del rasante de fisuración supera al teórico de agotamiento por flexión, entonces la viga mantendrá la integridad de la unión alas–alma hasta agotar por flexión.

— La identificación experimental del rasante de fisuración puede realizarse mediante la lectura

de las deformaciones transversales en el ala. Para ello deben instrumentarse las armaduras transversales en el punto en el que intersectan el plano vertical de unión del ala con el alma. Esta conclusión se obtiene de la observación de los resultados dados, por ejemplo, por Badawy y Bachmann (1977) [29] y por Tizatto (1987) [26].

— La estimación del rasante de fisuración fue planteada por Regan y Placas (1970) [19] y por

Tizatto (1987) [26], pero en ambos casos especularon sobre la distribución del axil transversal concomitante con el rasante, careciendo así de rigor. La formulación de este esfuerzo dada por Razaqpur y Ghali (1984) [15], adecuada para rango elástico no fisurado del ala, puede ser tenida en cuenta para corregir esta carencia (v. 2.3.3.1.1).

— El concepto de ancho eficaz tiene también una gran importancia, ya que el rasante solicitante

depende directamente de él. Sin embargo, una carencia notable encontrada en los estudios experimentales del rasante en vigas en T es que la mayoría de autores prescindieron de este concepto o adoptaron directamente un valor establecido en normas. En este sentido, la información proporcionada por Tizatto (1987) [26] resulta valiosa porque permite disponer de unos datos experimentales con los que relacionar el ancho eficaz con el grado de refuerzo. El ancho eficaz se muestra así como un parámetro vivo, una vez que se supera el rasante de fisuración.

— Para utilizar la información experimental sobre el ancho eficaz se ha identificado otro

concepto importante en el trabajo publicado de Morley y Rajendran (1975) [22] se trata de la curva límite que consiste en plantear simultáneamente el agotamiento del ala por rasante y por compresión longitudinal en la sección crítica o sección de máximo momento flector, en el caso de alas comprimidas.

En relación a las carencias detectadas — El contraste experimental de los métodos existentes ha sido escaso, de modo que la

información disponible no es suficiente para adoptar conclusiones con cierto grado de fiabilidad [26,28]. La información más numerosa corresponde al caso de ala comprimida en viga exenta simplemente apoyada, con ausencia de flexión transversal, que es la configuración de ensayo más sencilla de llevar a cabo. Tizatto (1987) [26] fue el último autor en estudiar el problema y reunió información útil de 24 vigas, incluyendo las 8 vigas planteadas en su estudio experimental. No obstante, no todas las vigas presentaron un modo de fallo por rasante.



— Las normas americanas, que aplican el modelo de transferencia a corte, presentan una

formulación general que contempla la presencia de una fuerza axil sobre el plano de corte, sin embargo, omiten advertir sobre la presencia de este tipo de fuerza concomitante con el rasante en el caso de alas aisladas, consecuencia, probablemente de la limitación del modelo viga para su cuantificación.

— En el modelo de bielas y tirantes las normas no establecen ninguna relación entre el ángulo

de inclinación de las bielas con la anchura del ala. También permiten adoptar un ángulo constante para toda la longitud del ala cuando existen evidencias experimentales de roturas por rasante en las que el patrón de fisuración indica mayor inclinación en las proximidades del apoyo que en centro de vano, además de una plastificación incompleta de la armadura transversal [29,26].

3.2.3 Metodología Teniendo presente la exposición anterior de conceptos y carencias detectadas, la metodología se divide en varios bloques de tareas que se requieren para alcanzar el objetivo del estudio, y que constituirán el contenido de los siguientes capítulos. 3.2.3.1 Diseño de la campaña experimental El esquema de ensayo más utilizado en la literatura se repite por su sencillez y porque permite entonces ampliar el número de datos existentes. Consiste en una viga simplemente apoyada cargada sobre el alma en dos puntos centrales separados una distancia aproximadamente igual al doble del canto. Los detalles se proporcionan en el capítulo 4, así como las limitaciones impuestas por los medios disponibles, que se concretan básicamente en una geometría prefijada para la viga en donde sólo hay cierto margen para escoger el espesor de las alas, el canto total y la longitud. El objetivo es disponer de vigas que fallen por rasante, y para ello se utiliza el concepto del rasante de fisuración. La idea es actuar sobre los parámetros geométricos, la resistencia del hormigón y la armadura longitudinal de flexión para forzar a que el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración sea inferior al nivel de carga correspondiente al agotamiento por flexión de la viga. Debe buscarse la diferencia máxima posible, dentro del margen de variación para los parámetros indicados, de este modo podrá obtenerse un intervalo en el nivel de carga para poder observar la contribución de la armadura transversal del ala y de las fibras de acero en el mecanismo resistente. Dado que no es posible la fabricación de un número elevado de vigas, se opta por establecer unas características constantes para las mismas, en donde los únicos parámetros variables sean el grado de refuerzo de la armadura y el contenido de fibras de acero. La instrumentación de la viga se plantea principalmente para detectar el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración y para recoger el trabajo a flexión de la sección central de la viga, que permita una evaluación lo más precisa posible del rasante solicitante. Para el primer caso se debe instrumentar la deformación transversal del ala utilizando la armadura dispuesta en ella. Para el segundo caso se instrumenta la armadura longitudinal de flexión y el paramento superior de la viga. Los ensayos de caracterización de los materiales son los habituales para hormigón armado, el ensayo de compresión para el hormigón y el ensayo de tracción de las armaduras. Hay que añadir



el ensayo de flexotracción UNE-EN 14651 [249] que permite ser utilizado para obtener probetas de push-off, según la sugerencia de Barragán (2002) [384]. 3.2.3.2 Determinación del rasante solicitante Los resultados directos de la campaña experimental sirven para observar el comportamiento de las vigas y la caracterización resistente de los materiales. El rasante solicitante para cada nivel de carga no es un dato directo sino que debe ser evaluado a partir de esta información. El esquema estructural de la viga permite utilizar el modelo viga para este fin. El rasante se desarrolla en un tramo de ala comprendido entre una sección sobre apoyo, con momento flector nulo, y una sección de máximo momento flector. Basta evaluar el axil resultante de compresiones sobre el ala para cada nivel de carga, para lo que se precisa efectuar un análisis seccional clásico según el modelo viga, en el que se utilizan leyes de los materiales no lineales, que reflejen la mayor aproximación posible del comportamiento real. La resolución de este problema requiere planificar un proceso iterativo de cálculo. Al disponer de datos de deformación de la sección crítica el ancho eficaz puede ser tratado como una de las dos variables que pueden plantearse en el sistema de ecuaciones de equilibrio de la sección. La opción de evaluar el ancho eficaz a través de la medida de la deformación longitudinal del ala no es posible por la limitación en el número disponible de canales de medida del equipo de registro de datos. 3.2.3.3 Revisión teórica de modelos En el bloque relativo a la revisión teórica de los métodos se busca una expresión formal adimensional común que permita la comparación directa de los modelos. Además, se tratan las carencias detectadas en los modelos, según quedan recogidos en las normas, con la información aportada por el estado del conocimiento. En el caso del modelo de bielas y tirantes se introduce una relación entre el ángulo de inclinación de las bielas en el ala y la relación de aspecto de la misma, según la sugerencia Tizatto y Shehata (1990) [207]. En el caso del modelo de transferencia a corte se utiliza el planteamiento de los modelos simplificados de otros autores, que consideran el ala un sólido rígido con una zona de debilidad que es el plano de unión con el alma, para dar un enfoque más racional al problema e integrar de esta forma en la formulación el axil transversal concomitante con el rasante. Una de las simplificaciones del modelo de bielas y tirantes permite también justificar el estudio del tercer método, el de campos de tensiones. En bielas y tirantes se permite usar un ángulo constante para toda la longitud del ala y el método de campos de tensiones permite entrar en mayor detalle, ya que en cada uno de los campos en que se divide el ala existe un ángulo para la inclinación de las compresiones. Hay dos enfoques que son necesarios para dar solución adecuada a los modelos. El primero busca minimizar el grado de refuerzo de la armadura, lo que permite eliminar la necesidad de escoger un ángulo de inclinación de las compresiones en el modelo de bielas y tirantes, y definir un mecanismo concreto, el más óptimo, dentro del abanico posible de mecanismos resistentes que se presentan en la aplicación de transferencia a corte y campos de tensiones. El segundo enfoque busca hallar la capacidad resistente a partir del grado de refuerzo, para lo que se usa el concepto de curva límite introducido por Morley y Rajendran (1975) [22]. En el tratamiento de los modelos de cálculo se identifican los criterios de rotura del material utilizados en cada uno de ellos para introducir de este modo la contribución de las fibras de acero. Una de las cuestiones que se tratan es la posibilidad de emplear los resultados de los ensayos de push-off.



3.2.3.4 Contraste de modelos El último bloque consiste en el tratamiento conjunto de los resultados de la campaña experimental y de los modelos de cálculo. En primer lugar se procede a revisar la información útil de las vigas de hormigón armado existentes en la literatura, tratar los datos y resultados disponibles junto con los de las vigas de hormigón armado de la campaña experimental del presente trabajo, discutir los valores de los parámetros intervinientes, y valorar el margen de seguridad actual de los modelos de cálculo. En segundo lugar se procede de modo similar con las vigas fabricadas con fibras de acero, para finalmente establecer conclusiones sobre la idoneidad de los modelos de cálculo.



4 PROGRAMA EXPERIMENTAL El programa experimental ha podido ser llevado a cabo gracias a la contribución desinteresada de la empresa Bortubo S.A., que dispone de una fábrica de piezas prefabricadas de hormigón en la localidad de Fortuna, Murcia. El programa ha sido desarrollado acorde a los medios de la fábrica, en donde se han fabricado y ensayado hasta la rotura un conjunto de 13 vigas de hormigón armado. La empresa está especializada en la fabricación de tuberías y marcos de hormigón. Sólo emplea fibras de acero en la fabricación de algunas piezas especiales correspondientes a bocas pozos de registros, en donde sustituyen la armadura, que tendría una geometría complicada, por fibras de acero. Dado que este tipo de piezas no desarrolla un gran trabajo estructural, las fibras de acero utilizadas son las habitualmente empleadas para la fabricación de pavimentos y soleras de hormigón, y son mezcladas con la masa de hormigón de forma manual, por lo que la fábrica no posee dispositivos de mezcla automáticos para las fibras de acero. En estas condiciones, el programa experimental se ha tenido que adaptar a una serie de limitaciones propias de la fábrica y a los medios disponibles de instrumentación y medida del Dpto. de Ingeniería Civil de la Universidad de Alicante. Las limitaciones principales han sido:

— Pórtico de carga de la propia fábrica para una carga máxima de 100ton, siendo recomendable no sobrepasar el 80% de este valor. Por tanto, las vigas diseñadas no podían superar una carga teórica de rotura superior a un valor entorno a 80ton.

— El mezclado de las fibras con la masa de hormigón tenía que de ser manual y, dado que la densidad final de armado de las vigas era elevada, no se podían emplear altas dosificaciones de fibras de acero, que habrían generado problemas en su mezclado y en la colocación del hormigón.

— La fábrica disponía de unas mesas vibrantes para la fabricación de paneles de muro nervados. Siendo de gran interés el empleo de vibración externa en la fabricación de las vigas, y por economía en el ahorro de la fabricación de un encofrado especial, la geometría de las vigas debía ajustarse al encofrado empleado para los paneles de muro. La sección de las vigas debía ser en T, con espesor fijo del alma 200mm, anchura total máxima de las alas de 1200mm y espesor máximo para las mismas de 100mm. Para el canto total de la viga y su longitud existía mayor libertad para escoger un valor.

— Finalmente, la instrumentación ha venido condicionada por el equipo de registro de datos disponible, el cual posee 16 canales, de los cuales uno de ellos estaba dañado sin posibilidad de ser reparado para las fechas programadas de los ensayos.



4.1 OBJETIVO DEL PROGRAMA EXPERIMENTAL El objetivo del programa experimental es estudiar una familia de 13 vigas en T de hormigón armado convencional, 12 de las cuales tienen una armadura transversal en las alas inferior a la mínima teórica para resistir el rasante, así como una cantidad variable de fibras de acero, y la viga restante mantiene una armadura en alas superior a la mínima y se emplea como referencia. El estudio de estas vigas está enfocado a obtener resultados para ser contrastados con los métodos de diseño y comprobación actuales para el rasante, e introducir como nueva variable el contenido de fibras de acero, de modo que la instrumentación ha de tratar de recoger la información básica para realizar el análisis seccional de la sección central, y para estudiar el plano teórico de corte frente a rasante. El programa se completa con los ensayos de caracterización del material que comprenden la resistencia a compresión del hormigón y la resistencia residual aportada por las fibras de acero estudiada con los ensayos de flexotracción y de push-off. El tipo de fibras empleado es fijo, consecuencia de una elección de la longitud y esbeltez de la fibra encaminada a facilitar su puesta en obra y a obtener su máximo rendimiento estructural o resistente. También es un dato fijo la geometría de la viga, la resistencia a compresión y la armadura longitudinal y transversal del alma de la viga. Se adopta como variables la armadura transversal dispuesta en las alas así como el contenido de fibras de acero. 4.2 MODELO DE ENSAYO Las 13 vigas son cargadas en cuatro puntos y ensayadas a flexión positiva creciente hasta rotura. Presentan un esquema isostático de apoyo y son cargadas en el centro de vano mediante dos cargas puntuales simétricas según el esquema de la Fig.4.1.

FF

150

120

20

PLANTA DE LA VIGA

50

40

150100 50

ALZADO DE LA VIGA

Fig.4.1. Configuración de carga de la viga. Cotas en centímetros.

La separación de las cargas es ligeramente superior a dos veces el canto viga para garantizar que la sección central, según el principio de Saint-Vennat, reúna las condiciones adecuadas para



aplicar las hipótesis de la teoría clásica de vigas. Con el esquema de carga se obtiene además una ley teórica constante para el valor del rasante. El alcance del estudio experimental viene condicionado por las características de las alas:

— Alas comprimidas. — Alas exentas, sin coacción a la deformación transversal. — Alas sin flexión transversal, salvo la derivada del peso propio pero que resulta de

escasa entidad. 4.3 PARÁMETROS DE ESTUDIO Los parámetros de estudio se han reducido a los dos más importantes que intervienen en el problema: la cuantía de la armadura transversal en las alas y el contenido de fibras de acero. El tipo de fibras de acero no fue un parámetro ya que se escogió aquella fibra que, siendo de uso extendido, fuera la más eficaz, según se indica en 4.5.3. 4.3.1 Armadura transversal dispuesta en las alas Para establecer la armadura transversal dispuesta en las alas se recurrió a aplicar el EC2 [4], utilizando el valor mínimo del ángulo de inclinación de las bielas en alas comprimidas, θf=26,5º (cotgθf=2) (v. 2.4.3.1), con lo que se obtuvo la cuantía mínima de la armadura que garantizaría la resistencia frente a rasante. El rasante se calculó a partir del valor teórico del momento de agotamiento de la sección transversal, adoptando las hipótesis clásicas del análisis seccional, la ley parábola-rectángulo para el hormigón y la ley elasto-plástica para las armaduras. Para el cálculo del momento de agotamiento de la sección también era necesario establecer el valor del ancho eficaz a usar y, por coherencia con los cálculos, se escogió el formulado por el EC2 [4]. La luz de las vigas (4m) y el ancho de las alas (1,2m) encaja con el caso límite en el que el ancho eficaz coincide con el real. La conclusión fue una cuantía teórica mínima de 568mm²/m y a partir de ella se optó por establecer las cuantías marcadas en la Tabla 4.1.

Tabla 4.1. Armadura transversal y porcentaje respecto del mínimo teórico.

Armadura transversal del ala Cuantía ρf [mm²/m] ρf / ρf,mín [%] 7Ø8 en 4m 88 15,5

Ø8 / 280mm 179,5 31,6 Ø8 / 140mm 359,0 63,2 Ø10 / 140mm 561,0 98,8

No hay armadura transversal nula, sino que se dispone de un mínimo de 7 barras Ø8 que se utilizarán para adherir en ellas galgas de acero para medir la deformación transversal del ala. Hay que anotar que, fijados todos los parámetros de geometría y materiales, esta armadura es sensible al valor considerado del ancho eficaz. Si el ancho eficaz resultase menor que 1,2m, la cuantía teórica mínima se reduciría y entonces la armadura anotada en la Tabla 4.1 contribuiría en mayor medida a resistir el esfuerzo rasante.



4.3.2 Contenido de fibras de acero El alcance del anejo 14 de la EHE está fijado en hormigones con dosificación en fibras inferior o igual al 1,5% en volumen, un valor límite se corresponde aproximadamente con unos 120kg por metro cúbico. Se contactó con la casa BASF que eran los suministradores habituales de Bortubo S.A. y la experiencia recogida por ellos, sobre todo en la zona de Levante, era el empleo máximo de unos 40kg/m³ para fabricación en laboratorio y 30-35kg/m³ para fabricación en procesos industrializados, si bien es cierto que el uso más común era en obras de pavimentación y de hormigón proyectado. La forma de establecer el contenido máximo fue finalmente fabricando una viga de prueba, una vez decididas las características descritas en 4.4. La viga había que fabricarla en posición invertida (Fig.4.9). El proceso de fabricación y colocación del hormigón se describe en 4.6. No se incluyó ningún armado transversal en las alas y se propuso una cantidad inicial de 60kg/m³. Aunque inicialmente la masa resultó de consistencia fluida, la colocación a través del armado principal de flexión dilató en el tiempo la operación y la masa fue perdiendo docilidad lo que acabó ocasionando la creación de coqueras en el alma de la viga (Fig.4.2a). Se empleó una mesa vibrante, que a la vez formaba el encofrado del ala de la viga, y se recurrió a la ayuda mediante picado con barra aplicada en el alma, lugar donde se vertía el hormigón.

(a) (b)

Fig.4.2. Vista lateral del alma, viga en posición invertida después de desencofrar: (a) coquera de gran tamaño en viga de prueba, con 60kg/m³ y vibración externa solamente; (b) una de las vigas posteriores

con 40kg/m³, vibración externa y aguja vibradora. Posteriormente se redujo la cantidad de fibras hasta 40kg/m³ y se fabricó la viga anotada como V1-40 en la Tabla 4.2, utilizando el mismo proceso de colocación que en la viga de prueba. El resultado final al desencofrar mostró también coqueras localizadas a la altura de la armadura longitudinal, aunque de dimensiones mucho más reducidas. Tras este resultado se buscó una aguja vibradora para ser empleada en la mitad superior de la pieza, y antes de emplearla en otra viga con la dosificación de 40kg/m³ se decidió fabricar la siguiente con una cantidad mínima. Para establecer esta cantidad mínima se pensó en aquella que pudiera estar en el límite de lo que se considera un hormigón reforzado con fibras con carácter estructural. La cantidad de 20kg/m³ es el valor mínimo recomendado por EHE [1] y que encaja aproximadamente con el 0,3% de CNR-DT 204 [222]. Así que finalmente se escogió esta cantidad y un tercer valor intermedio, resultando así tres dosificaciones diferentes de fibras:

Contenido de fibras en peso [kg/m³] 20 30 40 Contenido de fibras en volumen [%] 0,26 0,38 0,51



La siguiente viga fabricada fue una con la dosificación mínima, anotada como V2-20 en la Tabla 4.2, resultando con unos paramentos laterales del alma con aspecto liso aceptable. Cuando se finalizaron la fabricación de las vigas con dosificaciones de 20 y 30kg/m³, se procedió del mismo modo con las dos últimas vigas que iban a contener 40kg/m³. El resultado fue mucho mejor que en el caso de la viga V1-40, pero el aspecto del paramento lateral del alma no fue perfectamente liso, sino que acusó zonas con concentración de pequeñas oquedades, como burbujas, zonas punteadas que mostraron el aspecto de la Fig.4.2b. El orden de fabricación de las vigas se anota más adelante en la Tabla 5.1. 4.4 DEFINICIÓN DE LAS VIGAS Se trata de un total de 13 vigas de igual geometría, de sección en T y longitud igual a 5m, para ser ensayadas a flexión positiva, con el mismo esquema de armado empleado en el alma, y con una resistencia a compresión del hormigón establecida igual para todas. La diferencia entre ellas reside en el contenido de fibras de acero,

Total número de vigas: 13 vigas = 4 (sin fibras) + 9 (con fibras), y en la cuantía empleada para la armadura transversal de las alas (Asf). En función de esta cuantía se establecen 4 familias de vigas, y dentro de cada familia se varía el contenido de fibras de acero, excepto la última, que en realidad consiste en una sola viga de hormigón armado, y que se adopta como viga de referencia. La variación de estos dos parámetros se emplea para referenciar cada viga según la Tabla 4.2:

Tabla 4.2. Tabla de notación o referencia de las vigas del programa experimental. Contenido de fibras de acero kg/m³

Familia Armadura transversal del ala: Asf 0 20 30 40 V1 7Ø8 [separación ≈ 500mm] V1-0 V1-20 V1-30 V1-40 V2 179,5 mm²/m [Ø8/280mm] V2-0 V2-20 V2-30 V2-40 V3 359,0 mm²/m [Ø8/140mm] V3-0 V3-20 V3-30 V3-40 V4 561,0 mm²/m [Ø10/140mm] V4-0 - - - - - - - - -

La sección transversal consiste en un ala de 1200mm de anchura y un espesor de 70mm, el canto total es de 400mm y el ancho del alma es de 20cm. Las medidas finales surgieron de tanteos para conseguir que el nivel de carga de agotamiento a flexión (QuF) fuera inferior a 80ton, considerando una resistencia teórica del hormigón fc=25MPa, y que el nivel de carga correspondiente al rasante e fisuración (QuRfis) mantuviera una relación QuF/QuRfis≈2. Inicialmente el valor del recubrimiento r se estableció en 30mm, pero tuvo que ser modificado en el transcurso del ensayo para conseguir cambiar el plano de corte por rasante aparecido en agotamiento, según se explica en 5.1.2.2. Para la obtención de los cantos útiles, aparte de tener controlado el valor del recubrimiento r, se realizaron medidas en la fábrica una vez montados los estribos con el armado longitudinal. El valor medio de las dimensiones del estribo y distancias de las armaduras se anota en la Fig.4.3b, y en la Tabla 4.3 se anota el resultado de los cantos útiles en las diferentes vigas.

Tabla 4.3. Recubrimiento y cantos útiles de las armaduras longitudinales. r d1 d2 d3 d4 Vigas

30 49 247 297 347 V1-0, V2-0 25 44 242 292 342 V3-0, V4-0, V2-20, V3-20, V1-40 12 31 229 279 329 V1-20, V1-30, V2-30, V3-30, V2-40, V3-40



(a)

2Ø121200

500 200

70400

500

3×3Ø25

sfA

(b)

207

5050

330

rd1

2d3d

4d

Fig.4.3. Sección transversal: (a) geometría y esquema de armado; (b) medidas realizadas sobre la armadura montada. Cotas en milímetros.

El armado transversal del alma consiste en estribos Ø10 sencillos o dobles, con la distribución indicada en la Fig.4.4. El detalle [1] de la figura corresponde a un pasador dispuesto para el izado posterior de la viga desde la mesa de fabricación.

1040100 480 1400

doblesestribos

2eØ10 c/7

2000

400

1eØ10 c/8

500

123

[1]

2Ø12 (L=4880)3 capas 3Ø25

(L=4880)

1eØ10 c/20

Fig.4.4. Alzado lateral de media viga en su posición final sobre apoyos. Definición del armado

transversal. Cotas en milímetros. El armado transversal de las alas se ajusta a la separación establecida para la armadura de cortante y debe presentar una posición fija para las 7 barras Ø8 que se emplean para medir la deformación transversal de las alas, por lo que en algún caso debe alterarse la posición de alguna barra pero se mantiene la cuantía establecida en la Tabla 4.2 en los tramos comprendidos entre el apoyo y la sección de aplicación de la carga puntual. La distribución puede observarse en la Fig.4.5, en donde las 7 barras Ø8 que se instrumentarán con galgas se representan con trazo discontinuo y se marcan con un recuadro. En el tramo central, para el esquema de carga empleado, teóricamente no se produce rasante, sin embargo se extiende el armado transversal a todo él aunque con una cuantía ligeramente diferente para adaptarse a los dos huecos de 0,5m dejados por la barra transversal central instrumentada con una galga.



20120

16,5

1416,5

14

120

120

20

16,0

16,0

20

16,9141414 1414 14 14 14 16,9

16,9

16,914 16,9

16,9 141414 141414 14 1414 16,014 16,5

16,9

16,9

16,9

16,9

16,9

16,9141414141414141414 16,5

16,01414 14 141414 14 14 14 14

PLANTAS

26,3 28

ALZADO

4012

020

25,328144228 25,325,3 25,3 28 28421428 26,3

50,64242 50,6 4242

150 5050 150

FF5050

V2

V3

V4

V1

Fig.4.5. Distribución de la armadura transversal en las alas: (a) familia V1; (b) familia V2; (c) familia

V3; (d) familia V4. Cotas en centímetros.



4.5 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 4.5.1 Hormigón La experiencia de Bortubo S.A. en la fabricación de piezas de hormigón armado no requiere de altas resistencias por lo que para este estudio se adoptó un hormigón HA-25 muy utilizado por ellos y representativo para un amplio número de piezas de edificación y construcción. La dosificación por metro cúbico empleada fue parecida a la empleada por Bortubo S.A. en la fabricación de paneles de muro nervados, ya que se iba a emplear el mismo encofrado y sistema de fabricación. Sin contabilizar las fibras de acero, la dosificación final fue la siguiente: 1100 kgs de arena 0/4 880 kgs de gravín 6/12 300 kgs de cemento 42,5 R 1,8 litros de aditivo superplastificante ACE 425 de BASF 150 litros de agua El último componente fueron las fibras de acero para las que se adoptó las cantidades de 20, 30 y 40kg/m³, y con ello se obtuvo 4 tipos diferentes de hormigón, el primero de ellos con contenido nulo. El tipo de fibras de acero empleadas se describe en apartado aparte. El tamaño máximo de árido igual a 12mm se adecuaba a los recubrimientos y separaciones que se obtenían del armado de las vigas, y guardaba relación con la longitud de las fibras de acero para una correcta mezcla. Se empleó una amasada de 1m³ de hormigón para la fabricación de cada viga, y de ella se obtuvieron 3 probetas cilíndricas de 15×30cm para ensayar la resistencia a compresión según UNE-EN 12390-3:2003. El valor de la resistencia del hormigón empleado en los cálculos posteriores de cada viga fue el valor medio de los 3 datos de resistencia obtenidos. Al emplear una amasada por viga la designación de cada hormigón es la misma que la de las vigas. El resultado de la resistencia a compresión de las probetas no fue satisfactorio, tal y como se aprecia en la Tabla 4.4. Por temas de plazos, la fabricación de las vigas se planteó en el mes de julio y principios de agosto y el análisis posterior de estos resultados y la consulta con responsables técnicos de la empresa permitió relacionar una serie de causas: la planta hormigonera tenía establecido un volumen mínimo de 1,5m³ para garantizar un correcto mezclado pero se utilizó solamente 1m³ correspondiente a cada viga para evitar tener que tirar el volumen sobrante; hubo descuidos en el proceso de curado por parte de los operarios de la fábrica, pendientes de mantener el ritmo habitual de fabricación en otras piezas, omitiendo riegos continuos durante los días posteriores a la fabricación, y ningún riego en fines de semana. Para tener las mismas condiciones que el hormigón de las vigas, las probetas se conservaron junto con las vigas (Fig.4.11), las cuales se acopiaron en el exterior y cubrieron con lonas, no habiendo espacio en el interior de las naves para tal fin. Aparte de las probetas cilíndricas, de cada amasada de hormigón se obtuvieron 3 probetas prismáticas 15×15×58cm para ensayar la resistencia a flexotracción según UNE-EN 14651 [249] y la resistencia a corte mediante ensayos de push-off. Por coherencia en la determinación de la resistencia a flexotracción, se empleó el mismo tipo de probeta para el hormigón con contenido nulo de fibras de acero, incluyendo la entalladura de la sección central. Los ensayos de flexotracción y push-off se emplearon para la caracterización del HRFA, en donde se manifiesta de una forma más clara la contribución de las fibras de acero, y se les dedica el apartado 4.7



Tabla 4.4. Tabla de resistencias a compresión de los 13 hormigones.

fc [MPa] fcm desviación CV = coef. ref. horm. prob.1 prob.2 prob.3 [MPa] estándar variación V1-0 19,3 19,8 20,1 19,7 0,4 2,0% V2-0 18,7 21,1 22,4 20,7 1,9 9,1% V3-0 17,1 22,1 22,6 20,6 3,0 14,8% V4-0 19,7 20,1 20,8 20,2 0,6 2,8% V1-20 17,3 19 20,8 19,0 1,8 9,2% V2-20 19,7 19,9 20,1 19,9 0,2 1,0% V3-20 18,5 21 23,4 21,0 2,5 11,7% V1-30 21,8 23 26 23,6 2,2 9,2% V2-30 20,1 20,7 20,7 20,5 0,3 1,7% V3-30 21,3 22,8 23 22,4 0,9 4,2% V1-40 20,4 21,3 21,8 21,2 0,7 3,4% V2-40 20,7 22,6 22,7 22,0 1,1 5,1% V3-40 18 18,2 20,9 19,0 1,6 8,5%

4.5.2 Acero El acero utilizado en las armaduras de la viga es un acero tipo B500SD, de diámetros 12 y 25mm para la armadura longitudinal, diámetro 10mm para la armadura transversal de cortante, y un acero B500T de diámetro 8mm para la armadura transversal del ala, salvo en la viga V4-0 en donde se colocó diámetro 10mm de acero B500SD. El empleo de acero laminado en frío (B500T) en barras Ø8 responde a la disponibilidad que había para este diámetro en las instalaciones de Bortubo S.A., muy utilizado en la elaboración de mallazo para marcos prefabricados. Si bien presenta menos ductilidad que el acero empleado para los otros diámetros, los ensayos de tracción mostraron unos resultados generosos para los alargamientos bajo carga máxima y tras la rotura. La caracterización de este acero se ha realizado con el ensayo de tracción simple en tres muestras de barra de cada uno de los diámetros utilizados, según el procedimiento establecido en UNE-EN 10002-1. Las barras de diámetros 8 y 10 se ensayaron en el laboratorio de materiales de la Escuela Politécnica de Alicante, mientras que las de diámetros 12 y 25 se ensayaron en el laboratorio del suministrador Aceros Para La Construcción S.A., perteneciente al Grupo CELSA. A partir de los resultados del ensayo se han obtenido las curvas medias de tensión–deformación para cada diámetro, así como las propiedades medias, tal y como figuran en la Tabla 4.5 adjunta. Notación: Es = Módulo elástico. ε máx = Alargamiento total bajo carga máxima. ε u5 = Alargamiento de rotura (medido sobre la base de 5Ø). f s = Carga unitaria de rotura. f y = Tensión del límite elástico.



Tabla 4.5. Curvas medias de tensión–deformación del acero empleado en la armadura.

Curva media σ-ε para el acero Ø8, B-500-T. Propiedades medias:

Es = 223.320 MPa ε máx = 4,1 % ε u5 = 13,70 % f s = 662 MPa f y = 592 MPa f s / f y = 1,118

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Deformación [%]

Tensión [MPa]

Curva media σ-ε para el acero Ø10, B-500-SD. Propiedades medias:


0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Deformación [%]

Tensión [MPa]


Es = 209.685 MPa ε máx = 12 % ε u5 = 16,5 % f s = 658 MPa f y = 552 MPa f s / f y = 1,192

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Deformación [%]

Tensión [MPa]



0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Deformación [%]

Tensión [MPa]



4.5.3 Fibras de acero Para este estudio se han empleado fibras de acero de un solo tipo. EHE [1] recomienda longitudes de fibra superior a 2 veces el tamaño máximo de árido, siendo habitual longitudes entre 2,5 y 3 veces el tamaño máximo del árido, lo que nos conduce a una longitud entre 30 y 36mm. Nada menciona sobre su relación con los huecos libres entre armaduras y entre encofrados y armaduras, pero en el texto italiano CNR-DT 204 [222] (aptdo. 6.3) se proponen valores mínimos para la distancia libre entre barras en función de la longitud de la fibra, junto con otros parámetros como el tamaño máximo del árido, el diámetro de la armadura y la tipología de la armadura. No se hace distinción entre distancia vertical y distancia horizontal, y tanto para estribos y mallas como para barras se propone como distancia mínima un 80% de la longitud de la fibra. Mediante un dibujo teórico representado en la Fig.4.6 se obtuvo un valor mínimo de 25mm para la separación vertical entre barras longitudinales de flexión, y para la separación de dichas barras con el encofrado, lo que nos conduce a una longitud de fibra máxima de 31mm, aunque realmente las zonas que más preocupan son los huecos de 38mm entre las barras Ø25 y el hueco de ~35mm en la zona de unión alas-alma.

(a)

70

3×3Ø2515 15

2Ø12~35

25

25

Ø8

(b)

25

25

46

54 70

Ø8

Fig.4.6. Huecos libres teóricos entre barras para las vigas de HRFA: (a) sección transversal; (b) alzado lateral en el tramo más denso. Cotas en milímetros.

En relación al diámetro se anotan las recomendaciones recogidas en ACHE (2000) [212]:

• A igualdad de cuantía de fibras, el número de fibras que entran en un metro cúbico de hormigón es tanto mayor cuanto menor sea el diámetro de las mismas siendo, en general, éstas las de mayor eficacia.

• La adherencia fibras-matriz aumenta con la esbeltez de las fibras. Si se comparan dos volúmenes iguales de fibras, pero uno de ellos con fibras más esbeltas que el otro, se obtendrá mayor resistencia al arrancamiento en el caso de la esbeltez mayor.

Interesa, por tanto, un diámetro reducido que permita obtener una esbeltez elevada. La casa BASF proporcionó su gama de fibras de acero disponibles y se escogió MASTERFIBER 530, por presentar una longitud adecuada con máxima esbeltez. Se trata de fibras de acero al carbono fabricadas según los requisitos indicados en la norma UNE EN-14889-1 mediante



trefilado en frío a partir de hilo de acero de elevada resistencia laminado en la fase de corte, y perfilada con ganchos en los extremos (hooked-end). Los datos técnicos aportados por el fabricante son:

Material ............................: Fibra de acero al carbono de altas prestaciones. Resistencia a tracción.......: > 3.000 MPa. Longitud Lf .....................: 30 mm. Diámetro Øf .....................: 0,35 mm. Esbeltez ............................: 86 Alargamiento....................: < 1% Módulo elástico................: 190.000 MPa.

Fig.4.7. Fibra empleada en la fabricación del hormigón, con los extremos conformados (hooked-end).

4.6 VIGAS: FABRICACIÓN, INSTRUMENTACIÓN Y

ENSAYO 4.6.1 Fabricación El hormigón fue fabricado en las instalaciones de la propia fábrica de Bortubo S.A., que disponía de una planta fija de mezclado automatizada, con sistema vertical de acopio de áridos y sistema de pesaje con célula de carga. La planta no contemplaba el almacenaje y dosificado de fibras de acero, por lo que éstas tuvieron que ser añadidas manualmente, lo cual se realizó en último lugar, después de verter todos los otros componentes (árido, cemento, agua y plastificante). Las fibras de acero se suministraron sueltas, estaban empaquetadas en cajas de cartón de unos 17kg de peso, lo que provocaba que estuvieran completamente apelmazadas (Fig.4.8a). La forma de romper la fibra fue mediante el vertido manual en pequeños montones sobre un garbillo o tamiz fabricado con un marco de madera de dimensiones 60×50cm y una malla metálica cuadrada de huecos 14×14mm (Fig.4.8b-d). El garbillo podía ser manejado por un solo operario el cual se colocaba junto a la tolva y garbillaba sobre la cinta transportadora (Fig.4.8c). De este modo las fibras de acero, de 30mm de longitud, caían completamente sueltas y como la cinta transportadora estaba en movimiento, eran vertidas también de una forma suelta en la amasadora de hormigón, que se encontraba amasando la mezcla de los componentes previos, favoreciendo así su mezclado y distribución. La operación de vertido de la fibra era realizada por tres operarios, dos de ellos abrían las cajas y preparaban los montones para verter sobre el garbillo y el tercero garbillaba sobre la tolva. El resultado era una velocidad de adición de la fibra baja, entorno a 6kg/min, permitiendo una mezcla cuidadosa y uniforme. El tiempo total oscilaba entre 3 y 7 minutos, para las cantidades de fibras de 20 y 40kg/m³, respectivamente. El tiempo total de amasado, contado desde el inicio del vertido de la fibra, estuvo entre 10 y 12 minutos.



(a)

(c)

(b)

(d)

Fig.4.8. Mezclado de las fibras de acero: (a) apelmazamiento de las fibras en las cajas de suministro; (b) malla metálica 14×14mm para el tamizado de las fibras de acero; (c) operario garbillando las fibras

en la tolva sobre la cinta transportadora; (d) garbillo de 60×50cm. Se empleó una mesa vibrante y el encofrado correspondiente que Bortubo S.A. utilizaba para la fabricación de paneles de muro (Fig.4.9). Ello obligó a hormigonar la viga en posición invertida, pero permitió aplicar vibración externa sobre el ala, favoreciendo la orientación de la fibra justo en la zona de interés. El hormigón se colocó desde una tolva suspendida del pórtico-grúa de la nave, la operación se hizo en una sola vez. Para la colocación del hormigón de la mitad superior, donde existía una elevada densidad de armado, inicialmente se empleó picado con barra pero no se consiguió una compactación adecuada por lo que finalmente se sustituyó por una aguja vibrante de pequeño diámetro. La vibración externa, en general, es más recomendable, ya que produce una distribución más uniforme de las fibras según planos horizontales. De este modo, el plano vertical de unión ala–alma presenta la orientación idónea para ser cosido por las fibras de acero. Por otra parte, la vibración interna suele alterar la distribución de las fibras, las cuales tienden a orientarse a lo largo de la aguja, pero este problema no es preocupante ya que se produciría en la parte superior, donde ya no es necesaria una especial distribución ni orientación de las fibras porque la cuantía del armado longitudinal de tracción es tan alta que prácticamente no se notará el efecto resistente de las fibras.



Para garantizar el espesor constante del ala, menor que el usado por Bortubo S.A. para sus paneles de muro (100mm), se incorporó una pieza adicional al encofrado, según puede observarse en la Fig.4.9c y d.

(a)

(c)

(b)

1200 (fijo)

100

200 (fijo)

variable

dirección hormigonado

añadida

originalEncofrado

encofradopieza de

(d)

Fig.4.9. Mesa vibrante y hormigonado de la viga en posición invertida: (a) colocación de la armadura sobre la mesa vibrante; (b) colocación de encofrados laterales; (c) sujeción de encofrados laterales y pieza de encofrado añadida para garantizar el espesor del ala; (d) posición de

hormigonado de la viga. Cada viga tenía un volumen de 0,75m³ y pesaba entorno a 1,9ton. Para su izado se utilizó el puente grúa y unos enganches semi-embebidos en el hormigón en los extremos de la viga, muy utilizados para este fin en algunos tipos de piezas prefabricadas. Es el detalle [1] de la Fig.4.4 y que se ilustra también en las Fig.4.10a y c. Este enganche se colocó a una altura de unos 125mm, aproximadamente la posición del centro de gravedad bruto de la pieza.



(a)

(c)

(b)

(d)

Fig.4.10. Fabricación: (a) sistema de enganche previsto en el montaje de la armadura; (b) despegue e izado de la viga; (c) vista del enganche en su estado final semi-embebido, el hueco se consigue

mediante una goma con forma semiesférica; (d) prefisuración del ala en viga V1-0 por problemas de desmoldeo.

Se utilizaba siempre desencofrante que conseguía que el despegue de la viga de la mesa se produjera suavemente, sin ningún problema. Aparte, los laterales de la mesa eran abatibles, lo que facilitaba esta operación (Fig.4.10b). No obstante, en la primera viga hormigonada con la pieza adicional del encofrado representada en Fig.4.9d, se produjeron problemas durante el desencofrado al no haber untado la pieza adicional con desencofrante. La viga V1-0 es la única viga que presentó prefisuración en el ala antes de ser ensayada, como puede apreciarse en la Fig.4.10d. Durante el hormigonado se llenaban 3 moldes de probetas cilíndricas para el ensayo de compresión, y otros 3 moldes de probetas prismáticas de flexotracción, que servirían más tarde como 6 probetas de push-off. Los moldes rellenos se compactaban colocándolos encima de la misma mesa vibrante utilizada para la viga, y una vez desmoldados se guardaban junto a la viga a la que pertenecían, para ser almacenados en las mismas condiciones que ella (Fig.4.11).



Fig.4.11. Juego de probetas y acopio junto con las vigas.

El acopio de las vigas, junto con su juego de 6 probetas, se realizaba en posición invertida. Para el curado estaba previsto un riego con agua 3 veces al día durante los 5 días siguientes a su fabricación, y la cubrición de las vigas con láminas de plástico para retener la humedad, pero como se ha comentado, la omisión parcial de este plan y otras causas condujeron a obtener una baja en la resistencia a compresión prevista para el hormigón. 4.6.2 Instrumentación La instrumentación fue pensada para obtener información sobre los siguientes conceptos: — Respuesta general de la viga: medida de la flecha. — Respuesta de la sección central: medida de las deformaciones de la armadura longitudinal. — Control del fenómeno de la deformabilidad del ala frente al rasante (ancho eficaz): medida

de la deformación longitudinal del ala en diferentes puntos del ancho de la misma, en la sección central.

— Funcionamiento de la unión ala–alma: medida de la deformación transversal de la armadura transversal del ala.

El equipo de registro de datos disponía de un total de 16 canales, numerados del 0 al 15, sin embargo el canal nº4 presentó un mal funcionamiento que no pudo corregirse para las fechas programadas de los ensayos de las vigas, así que se sacrificó una de las medidas destinadas a controlar el ancho eficaz del ala. El uso de los canales se anota en la Tabla 4.6.

Tabla 4.6. Tabla de uso de los diferentes canales del equipo de registro.

Canal nº Uso 0 Fuerza aplicada por el pórtico, registrada a partir de su célula de carga. 1 Captador de desplazamientos para la flecha de la viga en la sección central. 2 Galga extensométrica adherida a la armadura longitudinal de tracción, Ø25, en

la sección central. 3 Galga extensométrica adherida a la armadura longitudinal de compresión, Ø12,

en la sección central. --, 5, 6, 7, 8 4 galgas extensométricas adheridas al hormigón para medir la deformación

longitudinal de compresión en la sección central. 9 a 15 7 galgas extensométricas para medir la deformación transversal en el arranque

ala-alma, adheridas a la armadura transversal del ala, diámetros Ø8 y Ø10.



Se emplea la numeración de los canales para referirnos a cada dispositivo de medida (célula, captador o galga). La disposición en la sección central del captador de desplazamientos y las galgas se representa en la Fig.4.12. La colocación de galgas se ilustra en las Fig.4.13 y Fig.4.14.

(a)

5 76 8

3

2

1

IZQUIERDAALA ALA

DERECHA

(b)

Fig.4.12. (a) Sección central instrumentada para medir deformaciones longitudinales en la armadura y en el hormigón, y para medir la flecha. (b) Galgas extensométricas nº2 y 3, colocación sobre la

armadura montada en posición invertida.

(a)

(b) Galga nº2 – Ø25 traccionada.

Galga nº3 – Ø12 comprimida.

Fig.4.13. Disposición de las galgas extensométricas nº 2 y 3: (a) pegado y sujeción de cables; (b) protección con masilla.

Se siguió una misma pauta para el pegado de las galgas de hormigón en el ala, tomando como referencia la posición del observador que se encuentra en el control de mando del pórtico de carga. Así, según el sentido de recorrido de izquierda a derecha de la viga, se pudo nombrar un ala izquierda donde se pegó siempre la galga nº5, y un ala derecha donde se pegaron las galgas nº7 y 8 (Fig.4.15).



(a)

(b)

Fig.4.14. (a) Disposición de las galgas extensométricas nº 6, 7 y 8 en el ala de hormigón, sección central; (b) detalle de la galga nº7.

150 15050

F F

40

50 50

ALZADO LATERAL

PLANTA

20120

5

5-6-7-8

1

2-3

1

32

50

6

7

8

ALAIZQUIERDA

ALADERECHA

Posición del observador == control de mando del pórtico

Fig.4.15. Esquema general de la instrumentación de la sección central.

El captador de desplazamientos para medir la flecha se dispuso en la sección central de la viga pero a un lado del balancín de carga, sujeto a un brazo metálico según se ilustra en la Fig.4.16. Según se expuso en el apartado 2.3.3.1, aparte del esfuerzo rasante, aparece un esfuerzo axil transversal a lo largo de la longitud de la viga, necesario para el equilibrio del ala. Rasante y axil transversal son los esfuerzos concomitantes del funcionamiento a flexión longitudinal de la viga, y no guardan relación con la posible flexión transversal en las alas. Para el esquema de carga del ensayo y tomando como referencia el trabajo de Razaqpur y Ghali (1984) [15], el axil generado es de compresión en las proximidades de los apoyos, en una corta distancia inferior al 10% de la luz de vano, y su magnitud no tiene importancia en el diseño porque será resistido por el hormigón; y es de tracción en el resto del vano, siendo máximo bajo el punto de aplicación de la



carga. Como por equilibrio del ala ambos axiles, compresión y tracción, deben anularse, basta tratar de controlar el esfuerzo de tracción en el vano, esfuerzo que además tiene importancia por contribuir en la aparición de la fisuración longitudinal del ala en su arranque del alma.

Fig.4.16. Captador de desplazamiento posicionado en la viga.

Según esto, las galgas extensométricas numeradas desde la 9 hasta la 15 se repartieron a lo largo de la viga, sin cubrir las zonas de apoyo, para medir la deformación transversal del ala en su encuentro con el alma, lo que se consiguió mediante el empleo de 7 barras de diámetro Ø8 en 12 vigas y de diámetro Ø10 en la viga de referencia V4-0. Para controlar ambas alas se dispusieron al tresbolillo y se mantuvo el mismo esquema en todas las vigas. El esquema de la distribución de galgas se representa en la Fig.4.17.

120

42

150

PLANTA

ALZADO LATERAL

50

4020

10

42

150

42

12

11

50,650,6

13

5050

12 11 10

F

13

F 50

42

15

14

14 15

9

9

ALAIZDA.

ALADCHA.

Fig.4.17. Esquema general de la instrumentación de las alas.

Las galgas extensométricas y material auxiliar fueron productos de la casa HBM:

— 117 galgas de acero HBM K-LY41-50/120-3-1.0M, adhesivo rápido Z70 de un componente y masilla de protección AK22.

— 52 galgas de hormigón HBM K-LY41-3/120-3-0.5M y adhesivo rápido X60-NP de dos componentes.



(a) (b)

galga

Fig.4.18. Galga extensométrica en la armadura transversal del ala: (a) galga nº15, colocada y protegida; (b) sección transversal esquemática.

4.6.3 Ejecución del ensayo Las vigas se ensayaron en una máquina hidráulica de 100tf, tipo pórtico, marca SUZPECAR, modelo A-150/M3, y número de serie 2376. La máquina dispone de un equipo de medida y control digital de la fuerza, y la transmisión de la fuerza al equipo es realizada a través de una célula de carga (Fig.4.19).

(a)

(b)

Fig.4.19. (a) Pórtico de ensayo situado en el exterior y (b) equipo interior de medida y control digital de la fuerza.

El pórtico es usado por Bortubo S.A. para el ensayo de tubos, y dispone de un balancín de carga que permitió fácilmente aplicar las dos cargas puntuales sobre las vigas. El pórtico tiene una plataforma de apoyo consistente en una plancha de acero apoyada sobre la cimentación. La longitud de la plancha es de 4m, justo la luz pensada para las vigas, así que para apoyarlas correctamente se colocaron dos perfiles IPE-330 paralelos de mayor longitud. Sobre ellos, a modo de enanos para levantar la viga de hormigón, se colocaron otras dos piezas metálicas, cada una de ellas con un aparato de apoyo tipo articulación.



Las cargas puntuales se aplicaron en un área rectangular de 200×120mm conseguida mediante unos tochos de perfil IPE-120 rigidizados y una lámina de neopreno de 8mm de espesor.

4000

150040

0

"ENANO" METÁLICO

Plancha de acero sobre hormigón2 VIGAS IPE-330

500

Láminas de elastómero

HEB-120

APOYO

Viga de hormigón

500 1500

Balancínde carga

530

Fig.4.20. Configuración del ensayo. Cotas en milímetros.

En la Fig.4.20 se proporciona un esquema acotado de la configuración del ensayo y en la Fig.4.21 puede observarse una de las vigas después de su colocación en el pórtico, y después de realizar la conexión de todos los canales de registro.

Fig.4.21. Disposición de la viga para el ensayo, completamente instrumentada.



El ensayo se realizó 28 días después de la fecha de fabricación de cada viga y el proceso consistió en los siguientes pasos:

— Pegado de las galgas de hormigón en el ala. — Colocación de la viga en el pórtico, alineación y centrado de los puntos de apoyo y de los

de aplicación de la carga. — Sujeción del captador de desplazamientos para la flecha y conexión de todos los canales

de registro del equipo de adquisición de datos y "toma de ceros" de todos los parámetros registrados.

— Precarga de la viga realizada con un valor de la carga entorno a 5ton para el asiento de los puntos de apoyo de la viga en el pórtico.

— Aplicación de la carga por escalones con una velocidad inicial de 200kg/seg. Los escalones de carga se establecían inicialmente en 10ton y, una vez alcanzado un nivel de fisuración importante, se reducían a 5ton. Cuando se estimaba que faltaban un par de escalones de carga para el agotamiento, se reducía la velocidad de carga a 50kg/seg. Durante cada parada se observaba y marcaba la fisuración de la viga, principalmente la fisuración del ala.

— Una vez agotada la viga se finalizaba el registro de datos y se retiraban las conexiones y, en algunos casos de rotura frente a rasante, se proseguía la aplicación de la carga para conseguir separar las partes rotas de la viga y poder observar las superficies de rotura.

4.7 CARACTERIZACIÓN DEL HRFA La caracterización del hormigón a compresión se realiza siguiendo el ensayo estándar para probetas cilíndricas, y sus resultados se han incluido en 4.5.1. La redacción del presente apartado es para describir los ensayos de flexotracción y push-off, que caracterizan la contribución de las fibras de acero, aunque los mismos ensayos se realizaron también para los cuatro hormigones sin contenido de fibras de acero. Para cada viga se fabricó una amasada de hormigón, de la que se obtuvieron 3 probetas prismáticas 15×15×58cm para ser ensayadas a flexotracción según UNE-EN 14651 [249] y la novedad es que se emplearon las dos mitades resultantes para preparar las probetas de ensayo de push-off, siguiendo las indicaciones anotadas por Barragán et al. (2006) [385]. Dichos autores señalan una serie de ventajas de usar este tipo de probetas, como son: — Dimensiones estándar de las probetas y de tamaño fácilmente manejable para su ensayo

(entorno a 14kg cada una). — Las entalladuras obtenidas por corte de sierra no perturban, obviamente, la distribución de

las fibras de acero, cosa que ocurre en los moldes de probetas de push-off que incluyen una forma especial para generar la entalla en el propio hormigón fresco.

— Ausencia de armadura que puede perturbar también la distribución de las fibras, sobre todo en volúmenes pequeños de hormigonado.

Podemos añadir además otras dos ventajas obvias: — Obtención resultados de resistencias a corte justo en la misma probeta en la que se han

obtenido resultados de resistencias a flexotracción. — Economía al aprovechar las dos mitades de las probetas de flexotracción, lo que tiene

también un interés medioambiental.



En la Fig.4.22 se ilustra el modo de obtener dos probetas de push-off, mediante cortes de sierra, a partir de una probeta de flexotracción una vez ensayada. Se proporcionaron dos tipos de corte, (A) y (B), como se explica más adelante.

Fig.4.22. Obtención de dos probetas de push-off a partir de una de flexotracción.

4.7.1 Flexotracción Los ensayos de flexotracción se realizaron a la misma edad que se ensayó la viga a la que correspondían, con unas pocas horas de diferencia. No se realizó un curado especial de las probetas, sino que, como se indicó anteriormente, éstas se almacenaron junto a la propia viga, para mantener sus mismas condiciones. Se siguió la norma UNE-EN 14651 [249]. Para obtener la entalla se empleó una sierra de 2,5mm de espesor, lo que a efectos prácticos resultaba en un ancho de corte de 3mm. El corte fue obtenido por vía húmeda. El parámetro medido fue el CMOD. El único aspecto que no pudo seguirse fielmente fue el modo en que se midió el CMOD. Sólo pudo emplearse un captador de desplazamientos LVDT colocado paralelamente al paramento inferior de la probeta , presentado así una separación entre la línea de medición y el paramento igual a 6mm, la mitad del diámetro del LVDT, y superior a 5mm que es la separación máxima recomendada por la norma. No obstante, el error no tiene especial relevancia y puede ser corregido aproximadamente. En Ferreira et al. (2001) [440] se plantearon separaciones entre 0 y 10mm, proponiendo factores de corrección que dependían de la altura relativa de la fisura, habiéndose basado en la mecánica de la fractura lineal elástica. Como ejemplo, cuando la fisura se había propagado prácticamente en todo el canto de la probeta y la separación era de 10mm, el factor de corrección era 0,92, es decir, el CMOD era un 8% menor al CMOD medido según la línea del aparato medidor. Otra corrección que se deriva de colocar el LVDT en una de las dos mitades de la probeta es que la línea de medición no se mantiene paralela al plano definido por los dos bordes de la entalla. Pero se trata de una corrección inapreciable. Si se plantea una altura de fisura de 150mm y un CMOD=4mm se obtiene un ángulo de desviación de 0,764º, lo que se traduce en un factor de corrección de 0,9997.



(a) (b)

Fig.4.23. Ensayo de flexotracción: (a) configuración; (b) disposición del captador para medir el CMOD.

El interés de estos ensayos es contar con la información necesaria para construir la ley constitutiva de tensiones normales del HRFA y poder así realizar los cálculos del análisis seccional clásico. La ley en tracción adoptada es la ley trilineal propuesta por EHE [1], de modo que los parámetros resistentes obtenidos del ensayo son:

fL = límite de proporcionalidad o resistencia a flexotracción fR1 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=0,5mm fR2 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=1,5mm fR3 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=2,5mm fR4 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=3,5mm

Obviamente, para los hormigones con contenido nulo de fibras de acero únicamente se obtuvo la resistencia a flexotracción o límite de proporcionalidad fL.

En el anejo A se presentan todos los gráficos resultantes de la relación Carga–CMOD, y los datos de resistencias a flexotracción. Las 3 probetas correspondientes a una misma viga se designaron utilizando el propio nombre de la viga y añadiendo simplemente las letras A, B y C. El resultado de promediar los tres valores de las resistencias, para cada uno de los 13 hormigones empleados, se anota en la Tabla 4.7. Son los valores que serán empleados en los cálculos de análisis de resultados.

Tabla 4.7. Tabla de valores medios de las resistencias a flexotracción [MPa].

Viga fc fL fR1 fR2 fR3 fR4 fR1 ≥ 0,4fL fR3 ≥ 0,2fLHormigón sin fibras

V1-0 19,7 3,3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - V2-0 20,7 3,1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - V3-0 20,6 3,1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - V4-0 20,2 3,1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Hormigón con 20kg/m³ V1-20 19,0 3,1 1,0 1,1 1,1 1,1 NO cumple cumple V2-20 19,9 3,1 1,0 1,1 1,1 1,1 NO cumple cumple V3-20 21,0 3,5 1,0 1,1 1,1 1,1 NO cumple cumple

Hormigón con 30kg/m³ V1-30 23,6 3,5 1,9 2,1 2,2 2,1 cumple cumple V2-30 20,5 3,3 1,9 2,0 2,0 1,9 cumple cumple V3-30 22,4 2,9 1,5 1,6 1,6 1,5 cumple cumple

Hormigón con 40kg/m³ V1-40 21,2 3,3 2,1 2,4 2,5 2,4 cumple cumple V2-40 22,0 3,5 2,8 2,9 2,8 2,8 cumple cumple V3-40 19,0 3,2 2,5 2,9 2,8 2,7 cumple cumple



En la tabla también se incluye la resistencia media a compresión y unas dos últimas columnas relativas a la comprobación de los criterios de EHE [1] en su art.31.4 para la consideración de las fibras de acero con función estructural. Como puede observarse, la dosificación de 20kg/m³ en un hormigón de resistencia media entorno a 21MPa no es suficiente para poder considerar al HRFA con función estructural. A partir de 30kg/m³ todos los hormigones cumplen, así que según EHE las fibras de acero pueden ser tenidas en cuenta en los cálculos estructurales. También puede comprobarse que, en todos los casos, se trata de un hormigón HRFA con comportamiento a flexión con ablandamiento, según el criterio de EHE [1] en 39.5, tabla A.14.1 (fR1<fL y fR2<fL). 4.7.2 Push-off Como ya se ha indicado, para realizar los ensayos de push-off se siguió el mismo proceso anotado por Barragán et al. (2006) [385]. Seguidamente al ensayo de flexotracción se procedió al corte de las probetas según el esquema de la Fig.4.24, obteniendo unas probetas prismáticas de 15×15×26cm, con dos entallas que le dan forma de "Z". En la Fig.4.24a se representa a la probeta de flexotracción en su posición original de hormigonado (cara rugosa superior). Se empleó la misma sierra que en flexotracción obteniendo una anchura de entallas de 3mm. Las entallas tienen una profundidad de 75mm y se distancian unos 60mm, resultando así un plano de corte de 150×60mm.

(a)

260

260

tipo (B)

tipo (A)

entalla paraflexotracción

dirección dehormigonado

mm

(b)

150

75

60 260

25

25

3

Fig.4.24. Probetas de push-off: (a) esquema de cortes de sierra sobre la probeta original de flexotracción; (b) dimensiones de la probeta de push-off resultante.

El esquema de corte seleccionado para la probeta de flexotracción permitió obtener dos planos de corte de las probetas de push-off, con diferente orientación con respecto a la dirección de hormigonado y al modo de vibrado. Hay que recordar que el hormigón fresco de la probeta se compactó con vibración externa, colocándola sobre la misma mesa vibrante que servía de encofrado para la viga. El interés de realizar estos dos tipos de corte es observar la influencia del mismo en el desarrollo del ensayo de push-off, y el hecho de contar con 6 probetas para cada tipo de hormigón permitía disponer de un número suficiente de probetas para obtener valores medios en uno y otro caso. No obstante, el plano de corte tipo (A) parece el más adecuado por dos motivos: — El primero es que el plano tipo (A) tiene más probabilidad que el tipo (B) de quedar cosido

eficazmente por las fibras de acero, ya que éstas tienden a orientarse preferentemente según planos horizontales, al haber compactado las probetas sobre una mesa vibrante. Barragán et al. (2006) [385] recomiendan este tipo de corte.



— En segundo lugar, y más importante quizás, es que el plano de corte tipo (A) tiene la misma orientación relativa que tendrá el plano vertical de unión del ala con el alma de la viga en T y, por tanto, es más representativo para el fenómeno que se desea estudiar.

La carga se aplicó a través de unos prismas metálicos de 25×25mm tanto en la cara superior como en la inferior, orientados para ser coplanarios con el plano de corte. El ensayo se realizó aplicando una velocidad constante de 1μm/seg para el desplazamiento del pistón de la prensa, de modo que el valor de la carga ha de adaptarse a la forma de rotura de la probeta. Mediante captadores de desplazamiento LVDT se midió el acortamiento vertical y la expansión horizontal (Fig.4.25), el primero trata de recoger el movimiento paralelo a la junta de corte, una vez que se produzca la fisuración (s ≡ slip o deslizamiento), y el segundo trata de medir la abertura de la fisuración del plano de corte (w ≡ crack width o ancho de fisura).

Fig.4.25. Configuración del ensayo y disposición de LVDTs en una de las caras instrumentadas.

El corte realizado para las entallas dejaba una anchura de 3mm y la finalización del ensayo se estableció para un valor del deslizamiento próximo a este valor, superando los 2,5mm. Puede mencionarse, por ejemplo, que CM-90 [33] proponía una fórmula para la tensión tangencial de cálculo, debida al rozamiento hormigón-hormigón en interfaz rugosa, que correspondía a un valor del deslizamiento aproximadamente igual a 2mm, así que el corte de 3mm permite un recorrido suficiente para estudiar el problema. Del mismo modo que en los ensayos de flexotracción, la dosificación de fibras de acero empleadas condujo a un comportamiento frente a corte con ablandamiento, es decir, hubo un pico para el valor de la carga y luego una caída de su valor hasta estabilizarse más o menos en un valor residual. Este ensayo también se realizó en los hormigones sin fibras en donde no hubo, obviamente, comportamiento post-pico.



El ensayo push-off ha sido utilizado en la literatura para estudiar y proponer formulaciones de la resistencia del hormigón en el problema de la transferencia a corte (v. 2.4.1.3 y 2.5.4). Sus resultados directos no se emplean para designar al hormigón, ni para ser empleados en comprobaciones estructurales, y tampoco hay definiciones consensuadas de parámetros resistentes de la tensión residual. En el anejo A se realizan una serie de propuestas para valorar la resistencia tangencial obtenida de los ensayos, y allí se presentan todos los resultados correspondientes a estos parámetros.



5 RESULTADOS EXPERIMENTALES En este capítulo se describen los resultados experimentales obtenidos correspondientes a las 13 vigas ensayadas, comenzando por los procesos de rotura observados y continuando con el comentario de los resultados directos, cuya representación gráfica completa se recoge en el anejo A. Los resultados de las características de las armaduras y de las probetas de hormigón ensayadas, de compresión, flexotracción y push-off, han sido incluidos resumidamente en el capítulo 4 previo. Los resultados completos de flexotracción y push-off se recogen también en el anejo A. 5.1 RESULTADOS GENERALES 5.1.1 Carga última En la Tabla 5.1 se anotan los valores de la máxima carga Fu aplicada en los ensayos de las 13 vigas fabricadas, y se anotan también datos de interés como la resistencia a compresión del hormigón, el recubrimiento r en la cabeza comprimida de la viga y el modo de fallo. La tabla sigue el orden de fabricación y ensayo aplicado a las vigas, que no coincide estrictamente con el orden creciente en contenido de fibras, pero que permite identificar y explicar algunos cambios aplicados al proceso de fabricación. Se trata de la reducción del recubrimiento r y del uso de aguja vibradora a partir de la 6ª viga (V2-20). Estos cambios guardan relación con el modo de fallo por rasante y por cortante que, junto con el fallo por flexión, son explicados seguidamente.

Tabla 5.1. Resultados generales en agotamiento.

orden Viga Asf [mm²/m] r [mm] fc [MPa] Fu [kN] Modo fallo 1 V1-0 88,0 30 19,7 375,0 rasante V pp 2 V2-0 179,6 30 20,7 506,2 rasante H 3 V3-0 359,3 25 20,6 533,0 rasante H 4 V4-0 570,7 25 20,2 536,2 cortante C 5 V1-40 88,0 25 21,2 494,9 cortante C 6 V2-20 179,6 25 19,9 589,1 rasante H 7 V3-20 359,3 25 21 691,2 flexión R 8 V1-20 88,0 12 19 455,9 rasante V 9 V1-30 88,0 12 23 546,9 rasante V 10 V2-30 179,6 12 20,5 634,6 flexión 11 V3-30 359,3 12 22,4 663,5 flexión R 12 V2-40 179,6 12 22 530,9 flexión 13 V3-40 359,3 12 19 496,3 flexión

NOTACIÓN: rasante V = fallo por rasante según el plano Vertical de unión ala–alma; rasante V pp = igual a rasante V pero con prefisuración parcial de las alas; rasante H = fallo por rasante según una superficie de corte básicamente Horizontal,

tangente a los cercos de la armadura transversal de cortante; cortante C = fallo por cortante debido a la presencia de Coqueras por deficiente

compactación del hormigón; flexión = fallo por flexión; flexión R = fallo aparente por flexión pero con signos avanzados de fisuración

longitudinal por rasante.



5.1.2 Modos de fallo 5.1.2.1 Cortante El modo de fallo por cortante no estaba previsto y se manifestó en las vigas V4-0 y V1-40, fabricadas en 4º y 5º orden, respectivamente, y se debió a una deficiente compactación del hormigón situado en el entorno de la armadura longitudinal de tracción de la viga. Las cinco primeras vigas anotadas en la Tabla 5.1 se fabricaron aplicando solamente la vibración externa de la propia mesa que servía de encofrado al ala (Fig.4.9), así como picado con barra en la zona del alma correspondiente a la armadura longitudinal de tracción. Hay que recordar que las vigas se fabricaron en posición invertida (Fig.4.9). Así como en la viga de prueba aparecieron coqueras notables en el alma (Fig.4.2a), en las vigas V4-0 y V1-40 hubo problemas de compactación y se detectaron coqueras en el alma que fueron suficientes para provocar un modo de fallo prematuro anotado como cortante C en la Tabla 5.1. La Fig.5.1a muestra la viga V4-0 fallando por compresión oblicua en el alma combinada con una adherencia deficiente de las armaduras principales de tracción. En el paramento puede apreciarse una textura picada en ciertas zonas que revelan la deficiente compactación. La Fig.5.2b muestra el fallo de la viga V1-40 por el mismo motivo. La mejor apariencia del paramento del alma se consiguió al tratar de rellenar los huecos con mortero grout, pero la operación no permitió profundizar más en el alma. En ambas vigas además se produjo un fallo adicional por compresión en la cabeza comprimida de una sección cercana a uno de los puntos de aplicación de la carga, solicitada a máxima flexión. Puede apreciarse con mayor detalle en la Fig.5.1c, en donde la gran curvatura adquirida por la viga al iniciar su fallo por cortante parece ser responsable de que el ala partiera por flexión longitudinal, concentrándose la compresión por flexión en la anchura del alma, en donde se aprecia una costra de recubrimiento levantada por la aparición de pandeo en la armadura Ø12 comprimida. El pandeo de la armadura no ocurrió en el caso de V1-40. La comparación de la Fig.5.1a y c permite establecer claramente que el fallo se inició en el alma. Aunque en las alas se había marcado fisuración longitudinal y oblicua, en el momento de fallo de la viga V4-0 no mostró signos de encontrarse en un estado cercano al agotamiento por rasante, y la viga V1-40 tampoco, aunque presentó un estado de fisuración más avanzado. Entrando en mayor detalle en los resultados de la Tabla 5.1, pueden comentarse los siguientes aspectos. La viga V4-0 es la que dispone de un armado transversal mínimo teórico, superior al resto de 12 vigas. La carga de agotamiento resulta 536,2kN, ligeramente superior a la mostrada por la viga con un armado inmediatamente inferior dentro del mismo tipo de hormigón, la V3-0, que agotó por rasante con 533,0kN. Esto, unido al aspecto mostrado por la unión alas–alma, hace pensar que, de no haber fallado por cortante, la resistencia a rasante habría sido superior, e incluso que la viga V4-0 habría terminado por agotar por flexión. La otra viga, V1-40, presenta una carga máxima de 494,9kN, ligeramente inferior a la viga de armado inmediatamente superior, V2-40, que agotó con 530,9kN por flexión, aunque en la comparación hay que tener en consideración que posee un canto útil algo menor (se usó r=25mm en V1-40 y r=12mm en V2-40) y la diferencia en la resistencia a compresión del hormigón. De no haber fallado por cortante, parece que la viga V1-40 habría fallado por flexión, aunque es una hipótesis reñida con el fallo por rasante, ya que el aspecto de la fisuración del ala era más avanzado que en el caso de la viga V4-0.



(a) (b)

(c)

Fig.5.1. Vigas con mala compactación en el alma y fallo prematura por cortante: (a) viga V4-0; (b) viga V1-40; (c) viga V4-0 y detalle conjunto de agotamiento en el alma y en sección central.

Las vigas V4-0 y V1-40 no resultan válidas para el presente estudio pero sus resultados finales pueden ser tenidos en cuenta como referencia y a nivel cualitativo. Constituyen un ejemplo de la importancia del proceso de colocación y compactación del hormigón en el elemento estructural. Esta clase de problemas de compactación no se producían en el tipo de piezas fabricadas habitualmente por Bortubo S.A., para las que empleaba un hormigón sin fibras y con disposiciones de armado mucho menos densas. A partir de la viga 6ª (V2-20) se empleó una aguja vibradora para compactar adecuadamente el hormigón colocado en el alma de la viga. Como puede observarse en la Tabla 5.1, los modos de fallo que siguieron correspondieron solamente a rasante y a flexión. 5.1.2.2 Rasante El fallo por rasante se produjo en 6 de las 13 vigas ensayadas, sin embargo, la superficie de rotura no fue siempre el plano vertical de unión alas–alma y este aspecto guarda relación con el recubrimiento r empleado en el proceso de fabricación de las vigas y que, como puede observarse en la Tabla 5.1, se redujo de un valor inicial de 30 a 12mm. Inicialmente, en las dos

ala partida por flexión

ala íntegra



primeras vigas (V1-0 y V2-0), el elemento separador dispuesto para apoyar la jaula de armaduras sobre la mesa de encofrado consistió en un separador estándar de plástico de 30mm de altura sobre el que apoyaban los estribos, tal y como aparece en la Fig.5.2a. Para el espesor del ala previsto de 70mm, los estribos quedaban altos y el modo de atado de las 2 barras Ø12 longitudinales todavía dejaba a una mayor altura la armadura transversal (Fig.5.2b), lo que provocaba que quedase en la mitad inferior del espesor del ala, una vez girada la viga para su posición final de ensayo. La primera viga ensayada, V1-0, falló por rasante según un plano vertical, tipo 1-2 de la Fig.5.2c, pero el plano de rotura vino condicionado por la prefisuración parcial existente en el ala, como ya se ha comentado (Fig.4.10d). La segunda viga, V2-0, falló por rasante según la superficie 1-3 de la Fig.5.2c, lo que condujo a cuestionar si el recubrimiento sobre los estribos era tan grande como para acabar movilizándose junto con el ala, al fallar ésta a rasante. En las cinco vigas siguientes (V3-0, V4-0, V1-40, V2-20 y V3-20) se emplearon separadores de mortero de 25mm de altura, pero dos nuevas roturas por rasante se produjeron de nuevo según una superficie de corte horizontal 1-3 (Fig.5.2c). Este modo de fallo ha sido anotado como rasante H en la Tabla 5.1. En la Fig.5.3 se ilustra la situación de agotamiento de la viga V3-0 y en la Fig.5.4 el aspecto final de la superficie de corte en el caso de la viga V2-20.

(a)

(b)

Ø8

30

70

~40

(c)

1 3

Fig.5.2. Fallo por rasante: (a) tipos de superficies de fallo obtenidas por rasante; (b) viga en posición invertida y recubrimiento inicial en cabeza comprimida y altura real en armadura transversal.

(a) (b) Fig.5.3. Agotamiento por rasante según una superficie horizontal en viga V3-0: (a) marcado de fisura

longitudinal inferior; (b) vista frontal.



(a) (b) Fig.5.4. Superficie de corte horizontal, aspecto final en viga V2-20: (a) vista general; (b) detalle.

Finalmente se optó por colocar tochos de barra Ø12 como separadores para el resto de seis vigas (r=12mm), consiguiendo entonces dos roturas por rasante según un plano vertical tipo 1-2 de la Fig.5.2c, anotado como modo de fallo rasante V en la Tabla 5.1, y cuatro roturas por flexión que se comentan en el apartado siguiente. En la Fig.5.5 se ilustra el agotamiento por rasante mostrado por la viga V1-20. Aunque la formación de fisuras sigue un patrón de doble simetría (simetría transversal y longitudinal), la rotura final no es simétrica, sólo uno de los cuatro posibles tramos de ala es el que finalmente se separa del alma. La otra viga, V1-30, se ilustra en la Fig.5.6, en donde se ofrece además un detalle de la fisura abierta y cosida por las fibras de acero.

Fig.5.5. Agotamiento en viga V1-20 por rasante según un plano de corte vertical.



(a)

(b)

Fig.5.6. Agotamiento en viga V1-30: (a) vista en planta del ala agotada; (b) detalle de la fisura y presencia de las fibras de acero.

5.1.2.3 Flexión El número de vigas que fallaron por flexión fue de 5 aunque, como ya se ha comentado, las dos vigas que fallaron prematuramente por cortante dieron signos de pertenecer a este grupo, sobre todo la viga de referencia V4-0. Dada la elevada cuantía de armadura longitudinal de tracción, así como la obtención de una resistencia a compresión del hormigón más baja de la prevista, el agotamiento por flexión correspondió en todos los casos a un aplastamiento del hormigón. No obstante, en las vigas V3-20 y V3-30 se pudo apreciar una fisuración longitudinal por rasante en



estado avanzado. Por ello, en la Tabla 5.1 se hace una distinción anotando el fallo de estas vigas como flexión R, mientras que en el resto se anota simplemente como flexión. El caso de la viga V3-20 se ilustra en la Fig.5.7a, que proporciona una vista general después de agotar y retirar los puntos de carga y en la que, además, se han marcado con línea gruesa las fisuras por rasante, que se muestran con mayor detalle en la Fig.5.7b, desde otro punto de vista. En esta segunda imagen puede apreciarse la formación de cierta cascarilla según la fisura longitudinal, señal de una inminente rotura por rasante, no obstante, la viga falló finalmente y aparentemente por flexión. La Fig.5.7c corresponde a una vista lateral del fallo por flexión de la sección central, en ella se puede observar cómo la deformación de la armadura longitudinal de tracción es pequeña, obligando al fallo en la cabeza comprimida; se aprecia, además, que la ausencia de armadura longitudinal en el ala ha permitido que partiese formando una cuña. El caso de la viga V2-30 se ilustra en la Fig.5.8, proporcionando una vista del paramento superior de la sección central y un detalle del pandeo de las dos barras Ø12 comprimidas. Esta viga no mostró signos de fisuración avanzada por rasante como en el caso anterior.

(a)

(b) (c)

Fig.5.7. Agotamiento por flexión en viga V3-20: (a) vista general; (b) detalle de la fisuración por rasante en avanzado estado; (c) vista lateral y detalle del estado final del alma y ala.

fisuración por rasante en avanzado estado



Las restantes tres vigas, V3-30, V2-40 y V3-40, que fallaron sin el pandeo de la armadura, mostraron un comportamiento análogo al descrito: escasa deformación en tracción de la armadura, aplastamiento del paramento superior, ala finalmente partida en sentido transversal, acorde a la flexión longitudinal. Como se ha indicado, la viga V3-30 presentó una fisuración por rasante avanzada, con formación de cascarilla, ilustrada en la Fig.5.9. Dicha fisura se sitúa adyacente a uno de los puntos de carga y en el lado en el de la viga en el que el rasante es no nulo, igual que en el caso ilustrado en Fig.5.7b. La fisura se formó inicialmente de un modo limpio, por tracción, para un valor de la carga de 30ton, como puede apreciarse en el número anotado a mano en el paramento; la formación de cascarilla corresponde al desarrollo de un deslizamiento relativo posterior entre ambos bordes de la fisura, aparecido antes del agotamiento por flexión.

(a) (b) Fig.5.8. Viga V2-30: (a) paramento superior de la sección central, agotado por aplastamiento en

flexión; (b) detalle del pandeo de las barras Ø12 comprimidas.

Fig.5.9. Viga V3-30: aspecto de la fisura longitudinal por rasante en la situación de agotamiento por

flexión. El número 30 escrito a mano indica el valor de la carga en ton con el que se apreció la formación de la fisura.



5.2 RESULTADOS DIRECTOS Los resultados directos recogidos con la instrumentación utilizada en los ensayos son la flecha en la sección central, las deformaciones longitudinales en la sección central, en las alas, en la armadura comprimida y en la armadura más traccionada, y las deformaciones en las armaduras transversales dispuestas en las alas. El resultado gráfico de estos datos se incluyen en el anejo A y en el presente apartado se comentan los aspectos más relevantes. 5.2.1 Carga vertical – Flecha Las curvas en las que se representa la carga vertical aplicada frente a la flecha alcanzada en la sección central permiten comparar la rigidez a flexión entre las distintas vigas. En el caso de las vigas ensayadas la integridad del ala durante todo el proceso de carga es esencial. La unión alas–alma queda materializada por el monolitismo del hormigón y, una vez que comienza a perderse, interviene el cosido proporcionado por la armadura transversal y por las fibras de acero, siendo ambas las variables escogidas en el presente estudio. Las curvas han sido agrupadas por familias con el mismo contenido de fibras de acero. En ellas puede observarse un primer tramo inicial muy corto de máxima pendiente, correspondiente al estado elástico no fisurado, que finaliza entorno a un valor de la carga de 50kN. Sigue un tramo en donde la pendiente se va reduciendo progresivamente hasta estabilizarse, mostrando entonces una tendencia rectilínea. Este segundo tramo rectilíneo se abandona cuando comienzan a manifestarse síntomas de algunos de los modos de fallo anotados en la Tabla 5.1. En el caso de la familia de vigas VN-0 puede apreciarse cómo el aumento de la armadura transversal en el ala consigue que las vigas alcancen mayor carga de rotura. Hasta un valor de la carga entorno a 300kN las curvas guardan gran similitud, dicho valor de la carga se asocia con la aparición de la fisuración longitudinal de la unión alas–alma, detectable con las lecturas de la deformación transversal del ala (v. 5.2.4). A partir de entonces la viga V1-0, la viga con la cuantía más baja de la armadura transversal del ala, abandona el tramo rectilíneo para fallar seguidamente. La siguiente viga en hacerlo es la V2-0, que dispone de mayor cuantía de armadura transversal; el abandono del tramo rectilíneo se produce de una forma suave con un decrecimiento progresivo de la pendiente. Las vigas V3-0 y V4-0 logran mantener el tramo rectilíneo más allá de la carga de 300kN, hasta un valor cercano a 500kN, debido a una mayor cuantía de la armadura transversal en el ala. La viga V4-0 debía haber mostrado una carga de rotura mayor pero hay que recordar que esta viga falló prematuramente por aplastamiento del alma debido a la presencia de coqueras (v. Tabla 5.1 y Fig.5.1a). En la familia de vigas VN-20 se produce un comportamiento similar, pero estas vigas poseen una contribución adicional de las fibras que permite que el tramo rectilíneo se prolongue un poco más que en el caso de la familia VN-0. Así la viga V1-20 abandona el tramo recto para una carga de 400kN, mientras que la viga sin fibras análoga V1-0 lo hace para 300kN. Del mismo modo, la viga V3-20 presenta un tramo recto hasta 600kN, mientras que el de la viga V3-0 llega hasta 500kN. En el caso de la viga V2-20 la lectura de flecha falló tempranamente, pero con las lecturas disponibles se puede observar un comportamiento similar al comentado. En la misma línea, la familia de vigas VN-30 presenta un tramo rectilíneo más prolongado. En la viga V1-30, el tramo recto alcanza una carga de 500kN, unos 100kN por encima del nivel alcanzado por la



viga V1-20. La familia VN-40 presenta un comportamiento anómalo del que cabría esperar, ya que apenas se supera la carga máxima de 500kN como carga de agotamiento. Hasta ese valor las vigas V2-40 y V3-40 mantienen un tramo recto, mientras que la viga V1-40 abandona el tramo recto entorno a una carga de 400kN para terminar fallando por problemas de compactación deficiente en el alma. En la Fig.5.10 se han seleccionado tres diagramas carga–flecha correspondientes a tres vigas con modos de fallo diferentes. En ellos se señala un punto C que marca el inicio de la cedencia en el diagrama carga–flecha. En la viga V1-30 (Fig.5.10a), que agotó por rasante según un plano vertical de unión ala–alma, este punto se identifica con dos fenómenos: el inicio de la plastificación de la armadura longitudinal Ø25 de tracción, como puede observarse de la lectura de la galga S2 en la gráfica momento–deformaciones longitudinales; y la cedencia en las lecturas de la deformación transversal en las alas, signo de que la fisuración longitudinal en la unión alas–alma ha progresado notablemente, como puede observarse en la gráfica carga–deformación transversal en alas. Ambas gráficas pueden consultarse en el anejo A, apartados 1.2 y 1.4, respectivamente. En la viga V3-20 (Fig.5.10b), que agotó por flexión con aplastamiento del hormigón, el punto C se identifica con la plastificación de la armadura longitudinal de tracción, mientras que las deformaciones transversales en el ala siguen creciendo, pero no experimentan ningún crecimiento brusco, como en el caso anterior. Finalmente, en la viga V2-0 (Fig.5.10c), que agotó por rasante según un plano horizontal, el punto C se produce tras un salto brusco de deformación de más de un 1‰ en 4 de las 7 barras transversales en las alas instrumentadas con galgas, signo de aparición de la fisuración longitudinal alas–alma, sin embargo, la armadura longitudinal de tracción todavía se encuentra a 2/3 de su tensión de plastificación.

V1-30

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50 60

Flecha [mm]

F [kN ]

C

(a)

V3-20

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50 60

Flecha [mm]

F [kN ]

C

(b)

V2-0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50

Flecha [mm]

F [kN ]

C

(c)

Fig.5.10. Diagramas carga–flecha: (a) viga V1-30, fallo por rasante según plano vertical; (b) viga V3-20, fallo por flexión; (c) viga V2-0, fallo por rasante según plano horizontal.

Los ejemplos seleccionados ponen de manifiesto dos mecanismos resistentes en el problema de flexión de vigas en T: el par resistente formado por cabeza comprimida y armadura traccionada; y la integridad de las alas. Los signos de inicio de agotamiento en cualquiera de los dos son causa de cambios en las curvas carga–flecha de las vigas. Desafortunadamente, 2 de las 13 vigas manifestaron el mecanismo resistente por cortante, inicialmente no previsto, pero que, como ya se ha indicado, se produjo por deficiencias en la



compactación del hormigón en el alma. La aparición de este modo de fallo también se traduce en una cedencia del diagrama carga–flecha algo más rápida que la detectada por los mecanismos de flexión descritos. 5.2.2 Deformación longitudinal en sección central Las deformaciones longitudinales de las armaduras, galgas 2 y 3, sirven para elaborar el diagrama momento curvatura de la sección central, para lo cual puede usarse también, como información adicional, la galga 6 dispuesta en el paramento superior comprimido del hormigón. Según el esquema de la Fig.5.11, a partir de los tres registros de deformaciones longitudinales pueden establecerse dos valores de la curvatura

S3S2

S2S323 dd −

ε−ε=χ E.5.1

S2

S2C626 d

ε−ε=χ E.5.2

en donde las deformaciones εS2, εS3 y εC6 se introducen como valores sin signo. Las galgas 2 y 3 se dispusieron lateralmente en las barras, por lo que su profundidad coincide, teóricamente, con el canto útil de la barra en cuestión, así que los valores de dS2 y dS3 pueden establecerse con las dimensiones anotadas en la Tabla 4.3. Es interesante mantener diferenciadas las curvaturas y no obtener un plano de deformación ajustado a los tres registros mediante mínimos cuadrados. El motivo es que no se disponía de un sistema de compensación de temperatura en galgas extensométricas, y la galga 6 presentaba condiciones de exposición diferentes a las galgas 2 y 3. Esta diferenciación permite observar si la respuesta de la galga 6 fue coherente con las otras dos.

2

3dS2

S1

S2

C6

ε

εS3χ

1

Fig.5.11. Deformación longitudinal en la sección central.

En el anejo A se proporciona para cada viga dos gráficos. El primero representa la evolución de las deformaciones de las galgas 2, 3 y 6 con el valor del momento flector en el tramo central de la viga. El segundo representa el diagrama momento–curvatura obtenido aplicando las expresiones E.5.1 y E.5.2, importante para conocer la posición de la fibra neutra y para poder contrastar los cálculos teóricos de análisis seccional basados en las hipótesis clásicas del modelo viga. La representación gráfica se realiza hasta que se alcanza el valor máximo de la carga aplicada a la viga, aunque hay algunos casos en los que algunas de las galgas han fallado antes. También hay 3 casos de vigas en los que no pudieron obtenerse registros de la galga 6 y en el primer gráfico se representa su valor hipotético como extrapolación de los valores de las galgas 2 y 3, mientras que solamente se representa el diagrama momento–curvatura obtenido con E.5.1 (vigas V3-0, V4-0 y V3-30). En vigas V2-0, V1-40 y V1-30 los dos diagramas momento–curvatura prácticamente se superponen, mientras que en el resto la curvatura χ26 resulta siempre ligeramente inferior a la χ23. En cuanto a los resultados obtenidos, en la Tabla 5.2 se anota el valor de las deformaciones longitudinales correspondientes a la situación de carga máxima, así como la profundidad teórica de la fibra neutra, excepto en unos pocos casos en donde las lecturas fallaron antes (entre



paréntesis se anota el valor del momento flector correspondiente). Pueden realizarse las siguientes observaciones: — El nivel de deformación es mayor en la armadura traccionada que en la cabeza comprimida,

aunque en todos los casos la fibra neutra en agotamiento supera ampliamente el espesor del ala (x>70mm).

— 7 de las 13 vigas agotaron con la armadura Ø25 más traccionada habiendo alcanzado y superado el límite elástico, que se establece en 2,8‰ según datos de la Tabla 4.5, aunque 3 vigas más se quedaron cerca, mostrando signos de cedencia en los gráficos. El máximo valor de deformación corresponde a la viga V3-20 con εS2=6,372‰, alcanzado antes de la carga máxima, siendo esta carga, además, la mayor del conjunto de las 13 vigas.

— Los diagramas no muestran gran ductilidad debido a que la armadura longitudinal de tracción se dimensionó para conseguir siempre la rotura por compresión en el hormigón, en el caso de producirse el agotamiento por flexión.

— Aunque no en todas, en aquellas vigas con menor cuantía de acero en la unión alas–alma, tanto armaduras como fibras, se puede apreciar una perturbación en los gráficos entorno al valor M=250kNm (F=333kN), que parece corresponderse a una manifestación visible de la fisuración longitudinal entre alas y alma. Los casos más notables son V2-0, V3-0 y V1-20.

Tabla 5.2. Deformaciones longitudinales del alma en situación de carga máxima.

x [mm] Viga MEmáx [kNm] εS2 [‰] εS3 [‰] εC6 [‰]

con S2-S3 con S2-C6 V1-0 281,2 1,986 1,385 0,828 171,4 102,1 V2-0 379,7 3,552 2,215 2,918 163,5 156,5 V3-0 399,7 2,857 1,223 1,826 [a] 133,3 133,3 V4-0 402,2 4,235 1,453 2,293 [a] 120,1 120,1 V1-20 341,9 2,533 2,378 1,605 175,3 127,6 V2-20 441,8 1,240 (M=194,9) 3,848 1,871 - - - - - - V3-20 518,4 6,372 (M=480,6) 5,736 (M=515,4) 2,919 - - - - - - V1-30 410,2 5,12 3,565 2,841 153,3 117,4 V2-30 475,9 3,636 2,201 (M=428,4) 2,322 - - - 128,2 V3-30 497,6 4,493 1,611 (M=465,0) 2,130 (M=465,0) - - - - - - V1-40 371,1 2,421 1,084 1,440 136,2 127,6 V2-40 398,2 2,749 1,520 1,671 137,1 124,4 V3-40 372,2 2,671 1,446 1,844 135,7 134,4

NOTAS: [a] valor extrapolado de las galgas S2 y S3. 5.2.3 Deformación por compresión del ala La deformación por compresión del ala en la sección central sólo pudo medirse en 4 puntos del paramento superior. El interés de disponer de esta información es verificar si todo el ancho de las alas es eficaz para dar validez al análisis seccional clásico, de repercusión directa en la evaluación del esfuerzo rasante. Según la formulación del EC2 [4], en su apartado 5.3.2.1, la geometría de las vigas y la luz de vano escogidas conduce a que el ancho eficaz coincida exactamente con el ancho real, sin embargo, las vigas ensayadas tienen la particularidad de disponer de una cuantía de armadura transversal deficiente para resistir el rasante, aunque parcialmente compensada con una dosificación de fibras de acero, por lo que es de esperar que la pérdida de la integridad de la unión alas–alma provoque un mayor registro de deformación por compresión en la galga 6 situada en medio del ancho ocupado por el alma de la viga. El esquema



de disposición de las 4 galgas utilizadas, nos 5, 6, 7 y 8, puede observarse en Fig.5.12e. En tres casos, uno de los canales de lectura no pudo utilizarse el día del ensayo. En el anejo A se representan los resultados obtenidos mediante dos gráficos, un ejemplo de los cuales se ilustra en la Fig.5.12, correspondientes a dos vigas con diferente modo de agotamiento. El primer gráfico, Fig.5.12a y c, representa la evolución continua del valor de la deformación en cada galga en función de la carga total F aplicada a la viga. El segundo gráfico, Fig.5.12b y d, representa el perfil de deformaciones de compresión en el ala para los diferentes niveles de carga, obtenido uniendo los puntos de registro mediante líneas rectas. Sólo se representan los valores registrados hasta alcanzar la máxima carga resistente de la viga. En el conjunto de resultados correspondientes a las 13 vigas puede observarse aisladamente algún comportamiento anómalo en la lectura de deformaciones, como la mayor deformación dada por la galga 5 frente a la 8 en las vigas V1-0 y V2-30, o la disminución de la compresión experimentada por la galga 8 en la viga V1-0, la galga 6 en la viga V1-20 y la galga 5 en la viga V3-40 en los últimos escalones de carga pero, en general, los datos obtenidos resultan coherentes.

V1-30

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]

εC5 extremaεC6 centralεC7 intermediaεC8 extrema

(a) V1-30: curvas F–εCi en galgas

V1-30

F8=547kN

F1=99kN F2=199kN F3=300kN F4=347kN F5=393kN F6=441kN F7=471kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

(b) V1-30: perfiles de deformación

V3-40

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ε [‰]

F [kN ]


(c) V3-40: curvas F–εCi en galgas

V3-40

F1=197kN

F2=295kN F3=346kN F4=392kN F5=442kN F6=488kN F7=496kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

(d) V3-40: perfiles de deformación

(e)

20,035,055,0

[cm]

Fig.5.12. Ejemplos de resultados de deformación longitudinal del ala en la sección central: (a)-(b) viga V1-30 agotada por rasante; (c)-(d) viga V3-40 agotada por flexión; (e) referencia de galgas.



El caso de la viga V1-30 corresponde a un agotamiento frente a rasante a través del plano vertical de unión ala–alma. En Fig.5.12a se aprecia cómo en el intervalo inicial de carga 0–300kN las curvas de deformación prácticamente se superponen, síntoma de una distribución uniforme de deformaciones de compresión en todo el ancho del ala. A partir de 300kN las curvas comienzan a separarse y la correspondiente a la galga 6 presenta un mayor crecimiento de deformación, síntoma de mayor concentración de tensiones de compresión en el alma, como así se aprecia a partir del nivel F4 en Fig.5.12b. Para este nivel de carga se pudo observar la aparición de fisuración longitudinal en el entorno de los puntos de aplicación de la carga, apreciable a simple vista aunque a una distancia cercana de 50cm, y que se ha marcado con una línea para su mejor visualización en la Fig.5.13.

Fig.5.13. Aparición de la fisuración longitudinal en el entorno de los puntos de carga en la viga V1-30.

El caso de la viga V3-40 corresponde al de la viga con mayor cuantía de fibras y armadura transversal empleada en el conjunto completo de vigas ensayadas, y que agotó por flexión. En Fig.5.12c se aprecia cómo las curvas de deformación resultan prácticamente coincidentes, excepto en el nivel de agotamiento en donde la galga 6 sufre un mayor aumento y la galga 5 se relaja, lo que puede deberse a la configuración final del recubrimiento del hormigón desmenuzado al agotar por aplastamiento. En la Fig.5.12d se aprecian perfiles de compresión bastante uniformes en los niveles de carga previos al de agotamiento. Aunque también se detectó fisuración longitudinal a partir de un valor de la carga entorno a 300kN, la perturbación en las curvas de la es mínima, casi inapreciable, por lo que la conexión materializada por la armadura transversal (ρf=359mm²/m) y las fibras de acero (40kg/m³) permitió aprovechar la capacidad para la anchura del ala. Los casos extremos descritos reflejan el comportamiento general de las 13 vigas ensayadas. En aquellas vigas con menor cuantía de armadura transversal y de fibras de acero se aprecia una disminución en el valor del ancho eficaz conforme aumenta el nivel de carga, al contrario del comportamiento admitido en las normas de hormigón estructural, como así explican Hendy y Smith (2006) [77] en relación al EC2-2 [38], pero no se trata de una contradicción ya que la explicación es la deficiente cuantía de armadura transversal. La disminución del ancho eficaz comienza a manifestarse, en general, con la aparición de la fisuración longitudinal alas–alma, lo que puede observarse con el mayor crecimiento de la galga 6 respecto de las demás. En general, la familia de vigas VN-40 son las menos afectadas, así como las vigas de mayor contenido de armadura transversal en cada familia.



Una consecuencia práctica de este comportamiento es que utilizar un ancho eficaz constante para reproducir el diagrama momento–curvatura mediante análisis seccional clásico no puede conseguir un buen resultado en aquellas vigas que manifiesten este fenómeno de una forma pronunciada. 5.2.4 Deformación transversal del ala La deformación transversal en las alas se ha medido gracias a la disposición de 7 galgas en sendas armaduras transversales (Fig.4.17 y Fig.4.18). De una forma similar a lo realizado para la deformación longitudinal del ala, la información obtenida se ha representado mediante dos gráficos para cada una de las 13 vigas, recogidos todos en el anejo A. El primer gráfico representa la evolución del valor de la deformación de cada galga en función del valor de la carga total aplicada a la viga, mientras que el segundo gráfico representa el perfil de deformaciones transversales en cada ala para los distintos niveles de carga, mediante una representación en planta de la viga y uniendo los valores de deformaciones con tramos rectos. En la Fig.5.14 se representa el primer gráfico correspondiente a dos vigas tomadas como ejemplos representativos del fallo por rasante y el fallo por flexión, vigas V1-20 y V3-40, respectivamente. En ambos casos el tramo inicial de carga es similar, rectilíneo, aunque las galgas correspondientes al tramo central de la viga, S9, S10 y S13, presentan un crecimiento mayor en el valor de su deformación. Entorno al valor de carga 300kN se percibe un escalón en la mayoría de galgas de la viga V1-20, mientras que en la viga V3-40 solamente 3 galgas lo acusan y en menor magnitud. Al escalón le sigue una tasa de crecimiento mayor en el valor la deformación. Este escalón solamente puede justificarse por el incremento de tracción de las armaduras transversales al fisurar el hormigón, mayor en aquellas alas con menor cuantía de armaduras y de fibras de acero, lo cual pudo confirmarse en los ensayos al comenzar a visualizar fisuras longitudinales como las ilustradas en la Fig.5.13.

(a)

V1-20

0

100

200

300

400

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

εst [‰]

F [kN ]

εS9εS10εS11εS12εS13εS14εS15

(b)

V3-40

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5

εst [‰]

F [kN ]


Fig.5.14. Curvas F–εst en las armaduras transversales instrumentadas: (a) viga V1-20; (b) viga V3-40. La viga V1-20 falló por rasante y en valores cercanos a la máxima carga alcanzada puede observarse en la Fig.5.14a cómo la lectura de las galgas comenzó a dispararse indicando lo que parece ser la plastificación de la totalidad de las barras instrumentadas. Las galgas S10 y S14



fallaron antes de alcanzarse la carga máxima. Las barras correspondientes a las galgas S10 y S11 rompieron y en la Fig.5.15 puede observarse la situación final de la barra S11. Un detalle del estado final de otra barra rota por rasante se ilustra en la Fig.5.16. En cambio, en la viga V3-40, que falló por flexión, puede observarse en la Fig.5.14b que las armaduras transversales apenas sobrepasaron la deformación del 1‰, manteniendo la misma velocidad de deformación adquirida después de la formación de la fisuración longitudinal.

Fig.5.15. Viga V1-20, situación final del ala separada de la viga por rasante.

(a) (b)

Fig.5.16. Estado final de una de las barras transversales del ala, viga V1-0: (a) tramo correspondiente a un ala y al alma; (b) detalle con la posición de la galga, una vez retirada la masilla protectora.

La primera viga ensayada V1-0, que agotó por rasante según una superficie horizontal tipo 1-3 de la Fig.5.2b, presenta un comportamiento ligeramente diferente, como puede apreciarse en su gráfico de curvas carga–deformación transversal (F–εst). Las galgas correspondientes al ala derecha, S9, S10, S12 y S14, no presentan el primer tramo recto de gran pendiente, como se puede apreciar en las galgas del ala izquierda, S11, S13 y S15. Ello se debe a que el desencofrado de la viga, la segunda en fabricarse, resultó problemático y el ala derecha fisuró prematuramente en uno de los extremos según el plano vertical de unión alas–alma, aunque la fisura sólo era apreciable a muy corta distancia y el ala afectada mantuvo la planeidad con el resto de las alas de la viga. No obstante, como puede apreciarse, esto afectó al modo en que evolucionó la deformación de las galgas afectadas en el proceso de carga.

barra S12

barra S11

20 cm (alma)



6 ANÁLISIS DE RESULTADOS El principal objetivo del presente capítulo es valorar el esfuerzo rasante solicitante en el ala en cada una de las trece vigas ensayadas. No sólo se evalúa dicho esfuerzo en la situación final de agotamiento de la viga, sino que se realiza un seguimiento de su evolución a partir de los registros de carga y deformaciones, lo que va a permitir ilustrar mejor el funcionamiento resistente de las vigas. Para ello se presenta en primer lugar un apartado de datos preliminares correspondientes a la valoración del ancho eficaz según normativa seleccionada y al cálculo de parámetros seccionales para el análisis en régimen elástico lineal, incluyendo la estimación del nivel de carga correspondiente al régimen fisurado en flexión. Posteriormente se procede a dos análisis diferentes para valorar el rasante. En primer lugar se realiza un análisis en régimen lineal para establecer el rasante de fisuración (v. 6.2), incorporando una estimación del axil transversal concomitante con el rasante, escogida de la revisión realizada en 2.3.3.1. Si en una viga su nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración resulta inferior a su nivel de carga necesario para el agotamiento a flexión, la viga podría agotar por rasante si no dispone de suficiente armadura transversal en las alas. En segundo lugar, se procede a un análisis no lineal más general para valorar el rasante solicitante en cualquier nivel de carga (v. 6.3), incorporando las propiedades que aportan las fibras en las leyes constitutivas del hormigón. Los resultados serán utilizados en el capítulo 7 para contraste de modelos resistentes. 6.1 DATOS PRELIMINARES 6.1.1 Ancho eficaz Para disponer de una referencia sobre el valor del ancho eficaz de las alas (tratado en 2.3.2) se han escogido las formulaciones que figuran en el EC2 [4], la EHE [1], la RPX-95 [16] y la antigua EH-91 [36], y cuyos resultados se resumen en la Tabla 6.1. La fórmula del EC2 [4] figura en su aptdo. 5.3.2.1 y coincide con la del CM 2010 [3]. Está anotada en forma adimensional en E.2.40 y representa el planteamiento actual simplificado del ancho eficaz, proporcionando un valor próximo a la situación de trabajo en servicio. Esta fórmula fue seleccionada originalmente para que el ancho eficaz del ala coincidiera con el valor del ancho real (500mm, a cada lado del alma), contempla un 20% del ancho del alma más 1/10 de la luz eficaz o distancia entre puntos de momento nulo. La fórmula de la EHE [1] (en su



art.18.2.1) omite el término del 20% del ancho del ala y su resultado es más conservador (400mm). Ambos textos no distinguen Si se pretende emplear una formulación más detallada, la EHE [1] remite a la RPX-95 [16], que distingue entre el valor a emplear en servicio y en agotamiento, descritos en su art.4.5 y cuadro 4.4.1, respectivamente. Dado que en las vigas intervienen una carga repartida, correspondiente al peso propio, y las cargas puntuales aplicadas por el pórtico de carga, en teoría debería aplicarse una ponderación entre los anchos eficaces correspondientes a cada tipo de carga, sin embargo se desprecia el efecto del peso propio en favor de las cargas puntuales, de mayor entidad. La RPX-95 [16] sólo contempla el caso de carga puntual centrada en vano, pero puede recurrirse al art.21.3.3 de la EAE (2011) [75] para el caso de cargas no centradas. La consideración de cargas puntuales produce un efecto más desfavorable en el ancho eficaz, resultando un valor de 303mm, que puede duplicarse para su consideración en agotamiento, sin superar el ancho real. La formulación de la antigua EH-91 [36], en su art.50.1, utiliza unas tablas que coinciden con las presentadas por Brendel (1960) [18], basadas en análisis elástico lineal, considerando el efecto del espesor del ala frente al canto de la viga, aspecto no tratado en la formulación de la RPX-95 [16], y que tiene un efecto favorable. Empleando la tabla 50.1.a, correspondiente a viga exenta y a cargas repartidas, se obtiene un valor del ancho eficaz de 438mm, pero ha de corregirse con un factor para considerar el efecto de las cargas concentradas, siempre que se repartan en una longitud inferior al 10% de la luz de la viga. Es el caso de las vigas ensayadas, en donde la carga se aplicó con unos elementos de reparto de longitud 120mm (Fig.4.20), muy inferior a 400mm (=10% de la luz). El resultado es un ancho eficaz de 340mm, ligeramente superior al obtenido por la RPX-95 [16], debido a la influencia del espesor del ala, y algo inferior al establecido por EHE [1] que no considera el efecto de las cargas puntuales.

Tabla 6.1. Ancho eficaz del ala según diversos textos.

Ancho eficaz bef [mm] en E.L.S. en E.L.U.

EC2 [4] (=CM 2010 [3]) 500 ( = E.L.S.)

EHE [1] 400 ( = E.L.S.)

RPX-95 [16] (y EAE [75]) 303 500

bef

EH-91 [36] (Brendel, 1960 [18]) 340 ( = E.L.S.) Estos valores del ancho eficaz se van a utilizar como referencia, pero ninguno de ellos contempla su dependencia con la cuantía de la armadura transversal dispuesta en las alas, sino que, acorde a la filosofía de las normas, la armadura debería diseñarse para el valor del ancho eficaz preestablecido. El ancho eficaz a emplear en las vigas ensayadas se evaluará más adelante (v. 6.3.2), siendo uno de los parámetros a determinar en el análisis seccional. 6.1.2 Parámetros seccionales Los parámetros seccionales permiten el estudio en régimen lineal de la viga y se van a emplear para estudiar el rasante de fisuración. Dada su dependencia del ancho eficaz del ala, y siendo éste un parámetro que deberá ser determinado a partir de los resultados experimentales, se presentan en este apartado los parámetros seccionales correspondientes a los valores más relevantes del ancho eficaz, 500 y 400mm, que son los valores establecidos en EC2 [4] y EHE [1], respectivamente (v. Tabla 6.1).



La geometría de la sección transversal queda descrita en 4.4. Para la homogeneización de las armaduras se emplea el módulo secante del hormigón según art.39.6 de EHE [1], a partir de los resultados de la resistencia a compresión (Tabla 4.4). Para el acero se emplea el módulo de deformación Es=209.685MPa en las armaduras Ø12 comprimidas, y Es=195.414MPa en las armaduras Ø25 traccionadas. En la Tabla 6.2 se anotan los resultados para la sección homogeneizada no fisurada y la sección fisurada: A es el área; g es la profundidad del c.d.g. medida desde el paramento superior de la sección; I es la inercia; Sf es el momento estático del ala situada a un lado del alma; y los subíndices h y fis indican sección homogeneizada no fisurada y sección fisurada, respectivamente. Como puede observarse, el c.d.g., que coincide con la fibra neutra en flexión simple, cae en el alma, lo que deja a las alas funcionando completamente comprimidas.

Tabla 6.2. Parámetros seccionales de la sección eficaz.

Sección homogeneizada no fisurada Sección fisurada Ah gh Ih Sf,h Afis gfis Ifis Sf,fis VIGA

mm² mm mm4 mm3 mm² mm mm4 mm3

Ancho eficaz según EC2 [4]: bef = 500mm V1-0 185.028 153,5 3.010.007.027 4.146.592 132.144 113,5 1.894.016.839 2.747.170 V2-0 184.378 153,0 2.995.891.919 4.130.491 131.326 112,6 1.872.026.407 2.717.663 V3-0 184.441 152,1 2.952.877.591 4.099.380 131.109 111,2 1.807.734.484 2.668.732 V4-0 184.698 152,3 2.958.186.292 4.105.547 131.431 111,6 1.816.123.286 2.680.191 V1-20 185.509 150,4 2.863.331.613 4.037.862 131.662 108,7 1.672.999.487 2.578.565 V2-20 184.894 152,4 2.962.252.915 4.110.268 131.678 111,8 1.822.542.583 2.688.950 V3-20 184.192 152,0 2.947.693.537 4.093.355 130.795 110,9 1.799.532.949 2.657.518 V1-30 183.032 148,8 2.818.272.625 3.983.042 128.579 105,6 1.598.997.840 2.472.660 V2-30 184.505 149,7 2.845.175.307 4.015.817 130.415 107,5 1.643.288.724 2.536.179 V3-30 183.365 149,0 2.824.389.903 3.990.506 128.995 106,1 1.609.097.316 2.487.179 V1-40 184.069 151,9 2.945.146.624 4.090.393 130.641 110,8 1.795.500.033 2.652.000 V2-40 183.594 149,2 2.828.581.179 3.995.616 129.281 106,3 1.616.007.325 2.497.101 V3-40 185.509 150,4 2.863.331.613 4.037.862 131.662 108,7 1.672.999.487 2.578.565 Ancho eficaz según EHE [1]: bef = 400mm

V1-0 171.028 163,2 2.791.699.413 3.588.819 119.990 122,7 1.791.881.739 2.456.148 V2-0 170.378 162,7 2.779.171.227 3.575.915 119.164 121,8 1.771.882.188 2.431.543 V3-0 170.441 161,7 2.739.329.290 3.548.881 118.918 120,3 1.710.941.348 2.388.260 V4-0 170.698 161,9 2.744.036.033 3.553.815 119.243 120,6 1.718.573.090 2.397.819 V1-20 171.509 159,8 2.656.069.566 3.493.972 119.402 117,4 1.582.297.200 2.306.499 V2-20 170.894 162,1 2.747.641.247 3.557.591 119.492 120,9 1.724.411.611 2.405.124 V3-20 170.192 161,6 2.734.732.644 3.544.060 118.602 120,0 1.703.477.879 2.378.900 V1-30 169.032 158,2 2.616.229.077 3.450.349 116.293 114,2 1.514.910.979 2.218.035 V2-30 170.505 159,2 2.640.019.291 3.476.442 118.145 116,1 1.555.264.397 2.271.143 V3-30 169.365 158,4 2.621.639.494 3.456.294 116.713 114,6 1.524.118.454 2.230.187 V1-40 170.069 161,5 2.732.474.171 3.541.690 118.446 119,8 1.699.807.127 2.374.292 V2-40 169.594 158,6 2.625.346.163 3.460.364 117.001 114,9 1.530.416.159 2.238.488 V3-40 171.509 159,8 2.656.069.566 3.493.972 119.402 117,4 1.582.297.200 2.306.499



6.1.3 Momento de fisuración El momento de fisuración tiene interés para discutir qué parámetros seccionales son los adecuados para el estudio del rasante de fisuración (v. 6.2). Para mayor exactitud en el cálculo del momento de fisuración se consideran los parámetros de la sección homogeneizada no fisurada (Ih y gh de Tabla 6.2). Además se considera el momento flector que produce el peso propio en la sección de aplicación de la carga puntual, estimado en 6,56kNm. Se emplea también la resistencia a la primera fisura fL procedente de los ensayos de flexotracción (Tabla 4.7). En relación a la discusión sobre el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración, interesa el valor más alto posible del momento de fisuración, por ello se utiliza como ancho eficaz del ala el ancho real. En la Tabla 6.3 puede observarse que la viga V3-20 presenta el momento de fisuración con el valor más alto, que se corresponde con una carga total aproximada de 46kN. Este valor resulta muy inferior a la carga observada en los ensayos que iniciaba la fisuración longitudinal. En el anejo A, en los diagramas de deformación transversal del ala (aptdo.1.4), puede observarse cómo en el entorno de un valor de la carga total igual a 300kN, la evolución de la deformación acusa un cambio de pendiente o saltos de valor, signo de la aparición de la fisuración longitudinal en el encuentro ala–alma.

Tabla 6.3. Momento de fisuración para bef =500mm (unidades en kNm).

Viga M fis Viga M fis Viga M fis Viga M fis V1-0 40,3 V1-20 35,6 V1-30 39,3 V1-40 39,2 V2-0 37,6 V2-20 37,1 V2-30 37,5 V2-40 39,5 V3-0 36,9 V3-20 41,6 V3-30 32,6 V3-40 36,7 V4-0 37,0

6.2 RASANTE DE FISURACIÓN El rasante de fisuración queda definido por el nivel de carga que inicia la fisuración longitudinal en el encuentro del alma con el ala. Este fenómeno puede apreciarse en la interpretación de las lecturas de las deformaciones de las armaduras transversales del ala, ilustrado en la Fig.5.14, en donde se produce un salto de lectura entorno a un valor de la carga total de 300kN, que encaja con la visualización de la fisuración longitudinal en las vigas, sobre todo en aquellas con menor cuantía de armadura. Varios autores plantearon el cálculo de la carga de fisuración Ffis, como Regan y Placas (1970) [19] (v. 2.4.2.1.3) y Tizatto (1987) [26] (v. 2.4.2.2.2.2), pero ambos utilizaron una distribución lineal de tracciones transversales sin ningún tipo de justificación. En el presente apartado se procede a estimar esta carga utilizando una expresión más racional para las tracciones transversales, procedente del estudio de Razaqpur y Ghali (1984) [15] (v. 2.3.3.1.1), y se entra a valorar en mayor detalle el inicio de la fisuración en relación al espesor de la losa. El planteamiento del problema se ilustra en la Fig.6.1, en donde en (c) se delimita el tramo del ala ABCD estudiado, sobre el que se representan los esfuerzos laja que solicitan al ala según el esquema de carga aplicado en (a), ignorando la parte de viga que sobresale más allá del apoyo. Los esfuerzos Ny y Nxy son repartidos, mientras que Nx representa la resultante axil de compresiones sobre el ala. El punto B, situado bajo la carga puntual F, es el punto de unión ala–



alma más desfavorable para el problema estudiado, como se verá a continuación, y que corresponde al punto donde se produce la tracción transversal máxima Ny,máx, conjuntamente con un valor máximo para Nx. En (d) se esquematiza el criterio habitual para las tensiones planas, con tracciones positivas, y en (e) se ilustran las direcciones principales que resultan, siendo σI y σII las tensiones principales de tracción y compresión, respectivamente.

Ny Ny,máx

F

xyNA B

D C

xy

A

D

B

C

σ

Nx

x

B

τxyσ

y

bef

(a) alzado de la viga

(b) planta de la viga(c) esfuerzos en el ala ABCD

(d) tensiones en B(e) direcciones principales en B

D

A

C

BIθ < 0

θII > 0> 0Iσ < 0σII

fha

Fig.6.1. Esquema de cálculo para el rasante de fisuración.

El criterio para evaluar la carga F correspondiente al rasante de fisuración consiste en establecer la tracción principal igual a la resistencia media a tracción del hormigón (fctm):

σI = fctm E.6.1a

siendo 2xy

2yxyx

I 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ+

σ+σ=σ E.6.1b

fef

xx hb

N⋅

−=σ E.6.1c

f

ymáxy h

N=σ E.6.1d

f

xyxy h

N−=τ E.6.1e

en donde los esfuerzos Ny,máx, Nxy y Nx se introducen como un valor sin signo; hf es el espesor constante del ala y bef es el ancho eficaz considerado (Fig.6.1c). No se disponen de datos directos de la resistencia a tracción fctm, por lo que se emplea la resistencia media a flexotracción



determinada en los ensayos de las probetas prismáticas entalladas (límite de proporcionalidad fL), para ello se usa la relación entre ambas resistencias que proporciona el Código Modelo 2010 [3] (fórmulas 5.1-8 de su aptdo. 5.1.5.1). El resultado se anota en la Tabla 6.4.

Tabla 6.4. Resistencia media a tracción fctm empleada en cada viga [MPa].

V1-0 V2-0 V3-0 V4-0 V1-20 V2-20 V3-20 V1-30 V2-30 V3-30 V1-40 V2-40 V3-40 f c 19,7 20,7 20,6 20,2 19 19,9 21 23 20,5 22,4 21,2 22 19f L 3,3 3,1 3,1 3,1 3,1 3,1 3,5 3,5 3,3 2,9 3,3 3,5 3,2f ctm 2,11 1,98 1,98 1,98 1,98 1,98 2,23 2,23 2,11 1,85 2,11 2,23 2,04 Según se razonó en el apartado 6.1.3, la carga observada en los ensayos para la que se produce el rasante de fisuración se corresponde con una situación en servicio, posterior a la fisuración por flexión, por lo que los esfuerzos laja pueden expresarse con los parámetros seccionales para rango elástico lineal fisurado (Tabla 6.2). En primer lugar, la resultante axil de compresiones en el ala Nx puede obtenerse fácilmente adaptando la expresión E.2.2, resultando:

( )pfis

fis,fx MaF

IS

N +⋅⋅= E.6.2

en donde Sf,fis es el momento estático del ala (eficaz) e Ifis la inercia de la sección transversal, ambos parámetros en régimen fisurado, como ya se ha indicado; a es la luz de cortante (Fig.6.1a) de valor 1,5m; y Mp=6,562kNm corresponde al momento flector del peso propio en B. El esfuerzo rasante Nxy puede evaluarse particularizando la expresión E.2.7, resultando:

( )pfis

fis,fxy VF

IS

N +⋅= E.6.3

en donde Vp=1,875kN es el valor del cortante por peso propio en B. Para la tracción transversal Ny,máx, esfuerzo que no es capaz de proporcionar el modelo viga clásico, se emplea la formulación de Razaqpur y Ghali (1984) [15], detallada en 2.3.3.1.1. La presencia de dos cargas puntuales F, dispuestas simétricamente y con una distancia entre sí de 1m, produce una superposición de leyes del esfuerzo Ny (ilustradas en la Fig.2.33), generándose un valor máximo y constante en el tramo central entre cargas puntuales. Aparte, se añade también el axil transversal correspondiente al peso propio. El resultado, particularizado a la geometría de la viga, conduce a la siguiente expresión:

( )FI

SN ⋅+⋅= 0,2561,5

fis

fis,fmáxy, E.6.4

en la que ha de introducirse las unidades m y kN, resultando el axil en kN/m. Atendiendo a cómo se distribuyen las tensiones planas según la línea AB del ala y observando la expresión de la tracción principal σI (E.6.1b), es fácil deducir que el punto B sufre el valor máximo de σI. Desplazando el punto de estudio desde B hacia A, la tensión de tracción σy (>0) disminuye rápidamente, también lo hace, aunque con mayor suavidad, la magnitud de la tensión de compresión σx (<0), mientras que la tensión rasante τxy permanece constante. El resultado es un descenso en el valor de la tracción principal. Cuando el punto de estudio se desplaza de B hacia el centro de vano, la tracción σy permanece constante, y prácticamente igual ocurre con la compresión σx, ya que el efecto del peso propio es mínimo, mientras que la tensión rasante τxy se anula, por lo que el valor de la tracción principal también disminuye.



Las tensiones planas formuladas en E.6.1 representan valores medios según el espesor del ala, pero para contemplar el hecho de que la tensión de compresión longitudinal σx puede variar notablemente según el espesor, se añaden dos opciones más en el cálculo de la carga de fisuración por rasante, consistentes en formular las tensiones normales en el paramento superior e inferior del ala. Por el contrario, el valor de la tensión rasante se mantiene uniforme en el espesor del ala. Para las tensiones longitudinales se utilizan las expresiones:

fisfis

psupx, g

IMaF

⋅+⋅

−=σ E.6.5a

( )ffisfis

pinfx, hg

IMaF

−⋅+⋅

−=σ E.6.5b

siendo gfis la profundidad del c.d.g. de la sección fisurada, medido desde el paramento superior; y Mp=6,562kNm el momento flector por peso propio, como ya se ha indicado previamente. Para las tensiones transversales, que suelen ser de menor entidad que las tensiones longitudinales, se considera la variación producida por la flexión transversal debida al peso propio del ala, que puede evaluarse considerando la sección bruta, resultando:

0,27ysupy, +σ=σ [MPa] E.6.6a0,27yinfy, −σ=σ [MPa] E.6.6b

siendo σy la tracción calculada según E.6.1d. El resultado de resolver la ecuación E.6.1a en cada una de las vigas ensayadas se presenta en la Tabla 6.5 para el caso de tratar con tensiones medias (se utilizan las ecuaciones E.6.1 a E.6.4); en la Tabla 6.6 para el caso de estudiar el paramento superior del ala (se sustituyen las ecuaciones E.6.1c y d por E.6.5a y E.6.6a); y en la Tabla 6.7 para el caso de estudiar el paramento inferior del ala (se sustituyen las ecuaciones E.6.1c y d por E.6.5b y E.6.6b). En estas tres tablas se resuelve el problema considerando un ancho eficaz bef=500mm. Como datos adicionales de interés se incluyen en las tablas la tensión principal de compresión σII, cuya expresión es análoga a E.6.1b, pero con un signo menos acompañando al término raíz; y las direcciones principales, ilustradas en Fig.6.1e, que quedan definidas con las siguientes expresiones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ−σ

τ⋅=θ

yx

xyII

221 arctg E.6.7

90ºIII −θ=θ E.6.8 Como puede observarse, la carga total (2×F) necesaria para provocar que la tensión principal alcance el valor de la resistencia a tracción es menor cuando se plantea esta condición en el paramento inferior del ala, lo que indica que la fisuración longitudinal se inicia en el paramento inferior para propagarse finalmente a través del espesor del ala hacia el paramento superior. Además el valor obtenido es más o menos constante para todas las vigas, un promedio de 321kN, y las variaciones existentes se deben a diferencias en el valor de la resistencia a tracción entre las vigas, así como en los cantos útiles de las armaduras longitudinales, que modifican los parámetros seccionales. En el anejo A de resultados experimentales, apartado 1.4, pueden observarse los gráficos de deformación transversal en las alas. En gran parte de las vigas, entorno al valor de 300kN de la carga total (anotada allí como F simplemente), se pueden observar saltos en la lectura de las deformaciones, así como cambios en la tendencia de las curvas. El valor así estimado teóricamente de la carga correspondiente al rasante de fisuración resulta una razonable



aproximación, indicando que un ancho eficaz bef=500mm es adecuado para la situación de funcionamiento de las vigas con la unión íntegra entre alas y alma, antes de fisurar. Este comportamiento puede observarse también en los datos de vigas ensayadas por Tizatto (1987) [26], en donde el ancho eficaz prácticamente coincide con el real para los primeros niveles de carga. Claramente sirve de ejemplo la viga V1-20, en la Tabla 6.7 se estima un valor de la carga de fisuración de 302,7kN, y en su gráfico carga–deformación transversal se identifica un salto en las galgas S10, S11, S12 y S14 para un valor de la carga ligeramente inferior, y un cambio de pendiente en las galgas S9 y S13.

Tabla 6.5. Rasante de fisuración. Condición aplicada con tensiones media: σI=fctm. Cálculo para un ancho eficaz bef=500mm.

viga 2×F [kN]

Nx [kN]

Nxy [kN/m]

Ny,máx [kN/m]

σ x,sup [MPa]

τ xy [MPa]

σ y,sup [MPa]

σ I,sup [MPa]

σ II,sup [MPa]

θ I,sup [º]

θ II,sup[º]

V1-0 371,1 413,3 271,9 71,5 -11,81 -3,88 1,02 2,11 -12,89 -74,4 15,6 V2-0 348,2 388,6 255,4 67,2 -11,10 -3,65 0,96 1,98 -12,12 -74,4 15,6 V3-0 344,9 391,6 257,4 66,6 -11,19 -3,68 0,95 1,98 -12,21 -74,4 15,6 V4-0 345,0 391,5 257,3 66,6 -11,19 -3,68 0,95 1,98 -12,21 -74,4 15,6

V1-20 336,6 399,2 262,3 65,0 -11,40 -3,75 0,93 1,98 -12,45 -74,4 15,6 V2-20 345,0 391,5 257,3 66,6 -11,18 -3,68 0,95 1,98 -12,21 -74,4 15,6 V3-20 390,0 441,6 290,7 75,0 -12,62 -4,15 1,07 2,23 -13,78 -74,4 15,6 V1-30 379,9 450,8 296,7 73,1 -12,88 -4,24 1,04 2,23 -14,07 -74,3 15,7 V2-30 358,3 424,9 279,4 69,1 -12,14 -3,99 0,99 2,11 -13,26 -74,3 15,7 V3-30 314,0 374,2 245,6 60,8 -10,69 -3,51 0,87 1,85 -11,67 -74,4 15,6 V1-40 367,4 416,7 274,1 70,8 -11,90 -3,92 1,01 2,11 -13,00 -74,4 15,6 V2-40 380,1 450,6 296,6 73,1 -12,88 -4,24 1,04 2,23 -14,06 -74,3 15,7 V3-40 347,6 411,9 270,8 67,1 -11,77 -3,87 0,96 2,04 -12,85 -74,4 15,6 media 356,0 411,3 270,4 68,7 -11,75 -3,86 0,98 2,06 -12,83 -74,4 15,6

Tabla 6.6. Rasante de fisuración. Condición aplicada al paramento superior del ala: σI,sup=f ctm. Cálculo

para un ancho eficaz bef=500mm.

viga 2×F [kN]

Nx [kN]

Nxy [kN/m]

Ny,máx [kN/m]

σ x,sup [MPa]

τ xy [MPa]

σ y,sup [MPa]

σ I,sup [MPa]

σ II,sup [MPa]

θ I,sup [º]

θ II,sup[º]

V1-0 376,7 419,3 275,9 72,5 -17,32 -3,94 1,31 2,11 -18,12 -78,5 11,5 V2-0 350,5 391,1 257,1 67,6 -16,21 -3,67 1,24 1,98 -16,95 -78,6 11,4 V3-0 348,4 395,5 260,0 67,2 -16,49 -3,71 1,23 1,98 -17,23 -78,6 11,4 V4-0 348,3 395,2 259,8 67,2 -16,45 -3,71 1,23 1,98 -17,20 -78,6 11,4

V1-20 343,0 406,6 267,2 66,2 -17,13 -3,82 1,22 1,98 -17,90 -78,7 11,3 V2-20 348,2 395,0 259,6 67,2 -16,43 -3,71 1,23 1,98 -17,17 -78,6 11,4 V3-20 401,3 454,2 299,1 77,1 -18,96 -4,27 1,37 2,23 -19,82 -78,6 11,4 V1-30 396,2 469,6 309,2 76,2 -20,07 -4,42 1,36 2,23 -20,94 -78,8 11,2 V2-30 369,3 437,6 287,9 71,1 -18,54 -4,11 1,29 2,11 -19,36 -78,7 11,3 V3-30 318,0 378,8 248,6 61,6 -16,15 -3,55 1,15 1,85 -16,85 -78,8 11,2 V1-40 375,0 425,1 279,7 72,2 -17,76 -4,00 1,30 2,11 -18,56 -78,6 11,4 V2-40 395,8 468,9 308,7 76,1 -19,97 -4,41 1,36 2,23 -20,84 -78,8 11,2 V3-40 355,9 421,5 277,2 68,6 -17,77 -3,96 1,25 2,04 -18,56 -78,7 11,3 media 363,6 419,9 276,2 70,1 -17,63 -3,95 1,27 2,06 -18,42 -78,7 11,3



Tabla 6.7. Rasante de fisuración. Condición aplicada al paramento inferior del ala: σI,inf=fctm. Cálculo para un ancho eficaz bef=500mm.

viga 2×F [kN]

Nx [kN]

Nxy [kN/m]

Ny,máx[kN/m]

σ x,sup [MPa]

τ xy [MPa]

σ y,sup [MPa]

σ I,sup [MPa]

σ II,sup [MPa]

θ I,sup [º]

θ II,sup[º]

V1-0 338,8 378,1 248,4 65,4 -6,64 -3,55 0,66 2,11 -8,08 -67,9 22,1 V2-0 317,7 355,5 233,3 61,5 -6,14 -3,33 0,61 1,98 -7,51 -67,7 22,3 V3-0 313,2 356,5 234,0 60,7 -6,11 -3,34 0,60 1,98 -7,49 -67,6 22,4 V4-0 313,6 356,8 234,2 60,7 -6,13 -3,35 0,60 1,98 -7,51 -67,6 22,4

V1-20 302,7 360,0 236,1 58,7 -6,10 -3,37 0,57 1,98 -7,51 -67,3 22,7 V2-20 313,9 357,0 234,3 60,8 -6,14 -3,35 0,60 1,98 -7,52 -67,6 22,4 V3-20 352,6 400,2 263,1 68,0 -6,99 -3,76 0,70 2,23 -8,53 -67,8 22,2 V1-30 337,0 400,9 263,4 65,1 -6,77 -3,76 0,66 2,23 -8,34 -67,3 22,7 V2-30 320,4 380,9 250,1 62,0 -6,46 -3,57 0,62 2,11 -7,95 -67,4 22,6 V3-30 280,4 335,3 219,6 54,5 -5,49 -3,14 0,51 1,85 -6,83 -66,9 23,1 V1-40 332,6 378,1 248,4 64,3 -6,54 -3,55 0,65 2,11 -7,99 -67,7 22,3 V2-40 337,9 401,8 264,0 65,3 -6,82 -3,77 0,66 2,23 -8,39 -67,4 22,6 V3-40 312,3 371,1 243,6 60,5 -6,32 -3,48 0,59 2,04 -7,77 -67,4 22,6 media 321,0 371,7 244,0 62,1 -6,36 -3,49 0,62 2,06 -7,80 -67,5 22,5

En un menor número de vigas, los saltos en el valor de la deformación de las galgas se retrasan a un valor más elevado de la carga, entorno a 350kN, que teóricamente puede justificarse con la consideración de un ancho eficaz menor. Los resultados teóricos para un ancho eficaz bef=400mm se adjuntan en la Tabla 6.8, habiendo utilizado solamente la condición de alcanzar la resistencia media a tracción en el paramento inferior del ala. Como claro ejemplo puede observarse la viga V2-30, en la que se obtiene una carga de fisuración teórica estimada en 361,4kN, y en su gráfico carga–deformación transversal se registra un salto notable en la galga S11 y más suave en las galgas S10, S12 y S14, mientras que en las galgas S15 y S13 se observan cambios de pendiente a partir de este valor de la carga.

Tabla 6.8. Rasante de fisuración. Condición aplicada al paramento inferior del ala: σI,inf=fctm. Cálculo para un ancho eficaz bef=400mm.

viga 2×F [kN]

Nx [kN]

Nxy [kN/m]

Ny,máx[kN/m]

σ x,sup [MPa]

τ xy [MPa]

σ y,sup [MPa]

σ I,sup [MPa]

σ II,sup [MPa]

θ I,sup [º]

θ II,sup[º]

V1-0 380,0 399,7 263,0 73,1 -8,50 -3,76 0,77 2,11 -9,83 -70,5 19,5 V2-0 356,6 376,0 247,3 68,8 -7,88 -3,53 0,71 1,98 -9,15 -70,3 19,7 V3-0 352,1 377,8 248,3 67,9 -7,87 -3,55 0,70 1,98 -9,15 -70,2 19,8 V4-0 352,4 377,9 248,5 68,0 -7,89 -3,55 0,70 1,98 -9,17 -70,2 19,8

V1-20 341,2 382,6 251,4 65,9 -7,90 -3,59 0,67 1,98 -9,20 -70,0 20,0 V2-20 352,6 378,0 248,5 68,0 -7,90 -3,55 0,70 1,98 -9,18 -70,2 19,8 V3-20 396,3 424,2 279,3 76,2 -9,02 -3,99 0,82 2,23 -10,43 -70,5 19,5 V1-30 380,7 427,6 281,4 73,3 -8,86 -4,02 0,78 2,23 -10,32 -70,1 19,9 V2-30 361,4 405,4 266,6 69,7 -8,41 -3,81 0,73 2,11 -9,79 -70,1 19,9 V3-30 316,9 357,4 234,6 61,3 -7,18 -3,35 0,61 1,85 -8,42 -69,6 20,4 V1-40 373,9 400,8 263,7 72,0 -8,43 -3,77 0,76 2,11 -9,78 -70,3 19,7 V2-40 381,6 428,2 281,8 73,4 -8,91 -4,03 0,78 2,23 -10,37 -70,1 19,9 V3-40 352,0 394,4 259,3 67,9 -8,19 -3,70 0,70 2,04 -9,53 -70,1 19,9 media 361,4 394,6 259,5 69,7 -8,23 -3,71 0,73 2,06 -9,56 -70,2 19,8



El estudio realizado permite justificar la aparición de la fisuración longitudinal en el ala en el paramento inferior, lo que encaja con las observaciones experimentales realizadas por otros autores [207]. Además, permite estimar el valor de la carga a partir de la cual se inicia el proceso de fisuración. No en todas las vigas se obtiene una gran aproximación, pero hay que tener presente que la fisuración por rasante se desarrolla de una forma progresiva, por lo que se requiere de un intervalo de carga para que todas las galgas instrumentadas manifiesten cambios en la velocidad de crecimiento de la deformación, lo que quiere decir que la identificación experimental de esta carga, por mera observación de los gráficos carga–deformación transversal, también tiene su margen de error. La identificación es mucho más clara en el caso de vigas con bajas cuantías de refuerzo transversal. Tratando el ancho eficaz como un parámetro a determinar, la conclusión es que, atendiendo a los resultados experimentales, parece situarse en el intervalo razonable de 400 a 500mm, que son los valores correspondientes a EHE [1] y EC2 [4], respectivamente (v. Tabla 6.1). En los datos proporcionados por Tizatto (1987) [26] sobre sus vigas ensayadas, puede observarse también cómo el ancho eficaz prácticamente coincide con el real para los primeros niveles de carga, previos a la fisuración por rasante. Finalmente, el proceso de cálculo descrito resulta ser una herramienta útil para establecer la geometría de una viga en T para que presente riesgo de rotura por rasante y, por tanto, necesidad de disponer de una armadura transversal mínima en las alas. Para ello la carga que produce el rasante de fisuración ha de ser inferior al valor de la carga teórica que produciría agotamiento de la viga por flexión o por cortante vertical También se concluye que, en caso contrario, con alas relativamente cortas, la viga podría funcionar perfectamente sin armadura transversal, todo ello siempre en ausencia de una flexión transversal fuerte en las alas. En el presente cálculo solamente se ha considerado la flexión transversal por peso propio del ala, que ha resultado ser de escasa entidad, permitiendo la aparición de la fisuración en el paramento inferior. 6.3 RASANTE SOLICITANTE En el presente apartado se describe el procedimiento seguido para obtener el rasante solicitante del ala durante todo el proceso de carga de la viga hasta rotura, a partir de los datos experimentales disponibles, y se proporcionan los resultados obtenidos en todas las vigas.

Según el esquema de apoyo y de carga de la viga (Fig.4.1) teóricamente se genera un rasante solicitante constante en un tramo de longitud 1,5m, comprendido entre cada apoyo y la sección más cercana de aplicación de la carga puntual del pórtico. Por simetría basta estudiar uno de estos tramos. Se trata de particularizar el proceso general recogido en el apartado 2.3.1.4.1, denominado rasante medio en un tramo Δx, en el que Δx corresponde al tramo indicado. Despreciando el peso propio y el sobrevuelo de la viga más allá del apoyo, la sección de apoyo presenta momento flector nulo y la sección bajo carga presenta máximo momento flector, así que basta evaluar la sección de máximo momento flector y obtener la resultante axil de compresiones en el ala, para cada nivel de carga en estudio, repartiendo luego entre 1,5m para obtener finalmente el rasante solicitante del ala.

Para proceder así los datos de la sección transversal deben estar perfectamente determinados, sin embargo, el ancho eficaz bef del ala es un dato que no puede darse por conocido a priori, sino que debe estudiarse en cada caso. Fiorito (1987) [25] y Tizatto (1987) [26] pudieron evaluar el



ancho eficaz gracias a haber instrumentado las alas con gran número de galgas, 10 en cada ala, 5 en el paramento superior y 5 en el paramento inferior (Fig.2.8), lo que les permitió sacar un perfil de deformaciones y un perfil de compresiones, suponiendo válida la relación σ–ε procedente del ensayo de compresión uniaxial. Con estos datos evaluaron la resultante de compresiones en el ala, determinando finalmente el ancho eficaz según la definición clásica de equivalencia tensional, teniendo en cuenta el espesor del ala y utilizando como tensión máxima la correspondiente al paramento superior del alma.

En las vigas ensayadas para la presente tesis no pudo emplearse un número suficiente de galgas para proceder de modo similar, pero se dispone de datos para describir la flexión de la sección central mediante las galgas nº2 y nº3 correspondientes al acero (Fig.6.2):

S3S2

S2S323 dd −

ε+ε=χ E.6.9

Es la curvatura χ23 la que se va a utilizar para el análisis seccional. En el apartado 1.2 del anejo A se representa esta curvatura y la obtenida utilizando la galga 2 y la galga en hormigón 6, sin embargo en 3 vigas no se dispuso de valor para la galga 6, en otras tres el diagrama momento–curvatura coincide, pero en el resto la curvatura χ26 resultó siempre inferior a la curvatura χ23. Como ya se anotó en 5.2.2, la galga nº6 tuvo una exposición diferente por encontrarse adherida en un paramento exterior y al aire libre durante la ejecución del ensayo. Estas irregularidades y un cálculo inicial con el planteamiento que se describe a continuación, aconsejó no utilizar el dato de la galga nº6, permitiendo así que todas las vigas se analizaran con la información más coherente proporcionada por la curvatura χ23.

6

2

3dS2

S3

S2

C6ε

ε

εS3χ

1

Fig.6.2. Datos experimentales disponibles para caracterizar la flexión, galgas S2, S3 y C6.

En los siguientes apartados se describe la metodología y la formulación seguida para evaluar la resultante de compresiones en el ala (Nf) a partir de los datos de curvatura. Esto ha permitido poder elaborar gráficos M–Nf, en correspondencia con los gráficos experimentales momento–curvatura M–χ, que han permitido conocer el máximo esfuerzo rasante solicitante desarrollado en cada viga. Estos gráficos se presentan también aquí, para cada viga. 6.3.1 Planteamiento Básicamente, como se ha indicado, el problema consiste en transformar el diagrama experimental M–χ en un diagrama M–Nf. Para ello, a partir de cada pareja de datos experimentales (χE, ME) se busca el plano de deformación de la sección que, con una curvatura χE, guarda equilibrio con los esfuerzos normales consistentes en un flector ME y en un axil nulo. Hay que resolver entonces un sistema de dos ecuaciones, y las incógnitas escogidas son el ancho eficaz bef y un parámetro de deformación, para el que se toma la deformación en la fibra directriz de la pieza (εo). Con esta descripción, las ecuaciones de equilibrio pueden anotarse del siguiente modo:

( ) 0 ; efotot =ε bN E.6.10( ) Eefotot ; MbM =ε E.6.11



siendo Ntot la resultante axil total de la distribución de tensiones normales sobre la sección, y Mtot su flector resultante. Existe una viga, la V2-20, en la que no se dispone de datos de la curvatura para niveles de carga superiores al 45% de la carga máxima, debido a que falló la galga S2, pero sí se dispone de los datos de S3 y C6. En este caso se ha procedido de un modo análogo, escogiendo uno de estos datos de deformación. Por ejemplo, puede establecerse como dato (εC6, ME) y buscar el plano de deformación que, pivotando en la fibra del paramento superior con una deformación εC6, verifica las ecuaciones de equilibrio E.6.10 y E.6.11. Un indicativo de que la viga ha funcionado correctamente, y de que las lecturas de las galgas han resultado acordes a este funcionamiento, sería que el valor deducido del ancho eficaz resultase igual o menor que el ancho real (bef≤500mm). Es de esperar que los resultados obtenidos escogiendo como dato la curvatura experimental (χE=χ23 ó χ26) sean mejores que si solamente se escoge como dato una de las deformaciones unitarias disponibles, por ejemplo εC6, debido a que ella sola no refleja el comportamiento general de la sección, y puede provocar mayor desviación en los resultados. Estos aspectos se discutirán más adelante con la viga V2-20. La resolución del sistema E.6.10–E.6.11 no es directa, las expresiones de Ntot y Mtot resultan complicadas debido a la ley σ–ε adoptada para el hormigón y a la geometría de la sección. Los siguientes apartados detallan el proceso. 6.3.1.1 Ley en compresión del HRFA Dada la similitud de las características de los materiales empleados en la presente tesis, se utiliza la ley en compresión propuesta por Campione (2011) [311] (ecuaciones E.2.200 y E.2.202 a E.2.204), enmarcada en el método β (v.2.5.3.2.2). Esta ley utiliza como datos el factor de fibras Fv (E.2.161a), de determinación directa, y la resistencia del hormigón sin fibras fc. En el presente estudio se dispone, sin embargo, de la resistencia a compresión del hormigón con fibras fcf, por lo que se procede a utilizar de modo inverso la relación original propuesta entre fcf y fc (E.2.202). Resulta así la siguiente ley σ–ε para el hormigón:

( )β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+−β

β⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

=εσ

f0

f0cf

1

·f E.6.12

en donde vcff0 0,001780,000020,0016 Ff ⋅+⋅+=ε

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ε≤ε<ε⋅+⋅ε≤ε≤⋅

=β ⋅−⋅

⋅−⋅

cuf0v6,9130,0247

f06,9130,0247

para0,175e1,42760 parae1,4276

vcf

vcf

FFf

Ff

siendo εf0 la deformación correspondiente a fcf, tensión máxima de compresión de la ley σ–ε. La ley sirve también para el hormigón sin fibras, sin más que introducir Fv=0. En cuanto a la deformación última del hormigón con fibras en compresión (εcu) hay que decir que carece de interés su uso para el análisis que se pretende realizar. El motivo es, como se verá en los resultados, que el valor de εcu no influye en el cálculo del momento máximo resistente (MRmáx) ni en el axil de compresión máxima en el ala (Nfmáx), ya que ambos esfuerzos se obtienen antes de que la fibra más comprimida de la sección alcance εcu. Esto ocurre debido al



empleo de una ley en compresión con rama de ablandamiento. No obstante, se decide establecer un valor de εcu que permita constatar este hecho, y para ofrecer una mayor coherencia se decide usar la propuesta práctica de Khuntia y Goel (1999) [260] (E.2.196), es decir, tomar como deformación última el doble de la deformación correspondiente a la máxima compresión. La consideración de εcu permite entonces evaluar la curvatura máxima teórica y el momento de agotamiento MRu. 6.3.1.2 Ley en tracción del HRFA Para la ley en tracción del HRFA se utiliza la ley trilineal definida por EHE [1] (v.2.5.2.4.4) que, tal y como está recogida en el texto, presenta algunas ambigüedades:

— El módulo de deformación longitudinal tangente en el origen Eco. La norma omite cualquier aclaración sobre él pero dada la notación y ya que describe la fase inicial no fisurada en tracción, se toma igual al módulo tangente en el origen en compresión, utilizando los datos experimentales de la resistencia a compresión fcf, es decir: Eco=10.000·(fcf)1/3.

— La fibra neutra x, que interviene en el cálculo de la longitud crítica. La norma omite aclarar el cálculo de x, mientras que el texto italiano CNR-DT 204/2006 [222] y el Código Modelo 2010 [3] señalan que puede evaluarse en fase elástica fisurada sin la contribución a tracción de las fibras.

EHE [1] establece la longitud crítica lcs como el valor mínimo entre la separación media entre fisuras (sm) y la altura traccionada de la sección (h–x) (E.2.179). En la Tabla 2.18 (tabla A.14.1 original de EHE [1]) se indica que en el caso de hormigón armado con una resistencia residual fR3d<2N/mm² la separación sm puede calcularse como en hormigón armado convencional, según su artículo 49.2.4. Si la condición se expresa sin coeficiente de seguridad se tiene fR3<3N/mm², que es el caso del hormigón de todas las vigas fabricadas. Por otra parte, en la fabricación de las vigas hubo modificación del recubrimiento superior de la armadura, lo que produjo dos valores para el recubrimiento de la armadura traccionada, de modo que al aplicar el citado artículo 49.2.4 se obtienen dos valores para la separación media:

— recubrimiento c=58,5mm ⇒ sm=141mm (vigas V1-20, V1-30, V2-30, V3-30, V2-40, V3-40) — recubrimiento c=45,5mm ⇒ sm=115mm (vigas V2-20, V3-20, V1-40)

Para estimar la altura traccionada, dado que el ancho eficaz es un parámetro que no es completamente conocido a priori, se ha utilizado para él un valor pequeño (bef=800mm), para tratar de obtener el valor más bajo que podría darse en la altura traccionada (h–x). En lugar de realizar un análisis elástico lineal fisurado, se han utilizado los cálculos de análisis seccional realizados en las vigas de hormigón sin fibras, empleando sólo la ley en compresión E.6.12 con Fv=0. En el caso de la viga V1-0, para un proceso de carga creciente, los cálculos seccionales resultaron en una profundidad de la fibra neutra que oscilaba entre 150 y 200mm, con bef=800mm, es decir, una altura traccionada entre 200 y 350mm. Ello ha constatado que las vigas se encuentran en el caso sm< h–x, por tanto, la longitud crítica que se ha adoptado en todos los cálculos ha sido: lcs = sm. No obstante, también se ha comprobado, repitiendo cálculos en algunas vigas de HRFA, que la variación en el valor de la longitud crítica lcs no conduce a grandes diferencias en los resultados, y ello es debido a la alta cuantía de armadura longitudinal de tracción.



6.3.1.3 Resultantes de tensiones en la sección En primer lugar interesa reescribir la ecuación constitutiva del HRFA, para unificar la notación e identificar los cuatro intervalos de definición de la misma: dos tramos de resistencia a tracción residual (R3) y (R1), un tramo de tracción elástica (T), y un tramo de compresión (C). Con el criterio habitual de compresiones positivas, se tiene:

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅⋅

=εσ

ε<β

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

εε

+−β

β⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

εε

≤ε≤εεε<ε≤ε+ε

ε<ε+ε >/

(C) tramo para

f01

f0cf

(T) tramo para (R1) tramo para (R3) tramo para

ctco

ctR1R1R1

R1R3R3

c

0·

0

0

f

TT

EEE

E.6.13

siendo β y εf0 los parámetros definidos en E.6.12; Eco el módulo de deformación tangente en el origen, indicado en 6.3.1.2. Los tramos rectilíneos residuales se definen con:

R3R1

ctR3ctR1R3 -

-εε

=ff

E ; R3R1

R3ctR1R1ctR3R3 -

-εε

ε⋅ε⋅=

ffK

R1ct

ctR1ctR1 -

-εε

=ff

E ; R1ct

R1ctctctR1R1 -

-εε

ε⋅ε⋅=

ffK

y el resto de parámetros quedan claramente ilustrados en la Fig.6.3 (fácilmente identificables con los empleados en E.2.188). En el tramo de tracción residual (R3) debe adoptarse la precaución de que la tensión no sea positiva. Las deformaciones últimas en tracción (εfu) y en compresión (εcu) no son necesarias excepto para la discusión en el cálculo del momento último de agotamiento.

εctεR1

cff

εR3

fct

εfofctR1

R3 R1T

C

0,1

fctR3

DC

B

ε

Fig.6.3. Ley constitutiva del HRFA completa.

Para la armadura longitudinal, constituida por una capa superior de 2Ø12 y tres capas inferiores de 3Ø25, se adopta una ley elasto-plástica, con Es y fy según los datos del apartado 4.5.2:

( )⎩⎨⎧

ε⋅=εσ−≥

≤

y

yss

ff

E E.6.14



Para organizar la integración de tensiones hay que establecer una correspondencia entre el plano de deformación con los intervalos de definición de la ley constitutiva. El plano de deformación se expresa tomando como eje de referencia la directriz de la viga, c.d.g. de la sección bruta eficaz, de modo que la deformación de cualquier fibra situada a una altura z se evalúa con E.6.15, correspondiente a la hipótesis de deformación plana. En la Fig.6.4 se ilustra un plano de deformación genérico, definido por εo y χ, y la distribución de tensiones correspondiente. Existen cuatro fibras características que delimitan cada intervalo de integración, expresiones E.6.16 a E.6.19. La presencia de zR0 se produce en el caso habitual de ER3<0, y señala la fibra a partir de la cual las fibras dejan de contribuir en tracción.

( ) zz ⋅χ+ε=ε o E.6.15

χε

−= ooz E.6.16

χε−ε

= octctz E.6.17

χε−ε

= oR1R1z E.6.18

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ε⋅

χ−=

R3

R3oR0

1ET

z E.6.19

εct

εR1

cff

εo

fct

εfo

fctR1

R3

R1T

C

NcR3

χ

+1

FIBRA NEUTRA

DIRECTRIZ

NcR1

NcT

NcC

zctzR1

zR0

zo

PLANO DEDEFORMACIÓN

DISTRIBUCIÓNDE TENSIONES

Fig.6.4. Correspondencia entre plano de deformación y

distribución de tensiones. La sección transversal se divide en elementos rectangulares. La integración de tensiones se formula a nivel del elemento rectangular, como el ilustrado en la Fig.6.5, definido por sus dimensiones b×h y por las alturas de su fibra inferior y superior, zi y zs. El elemento es dividido en intervalos [zA, zB] con la característica de que en cada uno de ellos la tensión σc (E.6.13) queda determinada por una única expresión, un perfil de tensiones tipo (R3), (R1), (T) ó (C) (Fig.6.4), de este modo la integral, o esfuerzo parcial Nc,perf y Mc,perf en Fig.6.5, es formulable también con una única expresión. Las expresiones posibles se detallan a continuación:

• Esfuerzos parciales en [zA, zB] con perfil de tensiones tipo (C). En este caso se recurre a una integración numérica mediante la regla de Simpson compuesta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ⋅+σ⋅+σ+σ⋅−

⋅= ∑∑=

−

=−

2n

1j2jc

12n

1j12jcBcAc

ABBACc, 24

n3 , zzzzzzbzzN E.6.20

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ⋅⋅+σ⋅⋅+σ⋅+σ⋅⋅−

⋅= ∑∑=

−

=−−

2n

1j2jc2j

12n

1j12jc12jBcBAcA

ABBACc, 24

n3 , zzzzzzzzzzbzzM E.6.21

siendo n un número par de intervalos en los que se divide [zA, zB], de modo que la longitud de cada uno esté entorno 1mm, imponiendo un valor mínimo n=6; σc(zk) es la tensión de



compresión, según el tramo (C) de E.6.13, en la fibra de altura zk=zA+(zB–zA)/n·k (con k=0,1,...,n), cuya deformación ε(zk) se obtiene con E.6.15.

• Esfuerzos parciales en [zA, zB] con perfil de tensiones tipo (T)

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ+⋅ε⋅⋅=

2-- ,

2A

2B

ABocoBATc,zzzzEbzzN E.6.22

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ+⋅ε⋅⋅=

3-

2- ,

3A

3B

2A

2B

ocoBATc,zzzzEbzzM E.6.23

• Esfuerzos parciales en [zA, zB] con perfil de tensiones tipo (R1):

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ⋅+⋅+ε⋅⋅=

2-- ,

2A

2B

R1ABR1oR1BAR1c,zzEzzTEbzzN E.6.24

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ⋅+⋅+ε⋅⋅=

3-

2- ,

3A

3B

R1

2A

2B

R1oR1BAR1c,zzEzzTEbzzM E.6.25

• Esfuerzos parciales en [zA, zB] con perfil de tensiones tipo (R3):

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ⋅+⋅+ε⋅⋅=

2-- ,

2A

2B

R3ABR3oR3BAR3c,zzEzzTEbzzN E.6.26

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅χ⋅+⋅+ε⋅⋅=

3-

2- ,

3A

3B

R3

2A

2B

R3oR3BAR3c,zzEzzTEbzzM E.6.27

zscN

zBε σ

εo

zB

zAz i

h

DIRECTRIZ

ESFUERZOS PARCIALESperfil

zB

σ zA( )z

ε z

b

perf = b σ dzzB

zA

· ·

cM perf = b σ dzzB

zA

· · z·

zAε

Fig.6.5. Elemento rectangular de hormigón. Esfuerzos parciales en [zA, zB].

Dado un plano de deformación εo–χ, la casuística para la integración de tensiones en un elemento rectangular b×h de hormigón surge de ordenar las alturas zi y zs que lo definen con las alturas que establecen los diferentes perfiles de tensiones, que en el caso tratado de curvatura positiva χ>0 resultan zR1<zct<zo (Fig.6.4). En el caso habitual ER3<0 se tiene zR0<zR1, en caso contrario su valor no es necesario considerarlo. Resultan un total de 15 casos que se detallan en la Tabla 6.9, que aplican según la siguiente discusión:

— cuando ER3<0 y zi<zR0 aplican los casos del 11 al 15; — en caso contrario aplican los casos del 1 al 10.



Tabla 6.9. Esfuerzos resultantes en un elemento de hormigón b×h (χ>0).

nº Caso Resultante axil: Nc (o flector Mc sustituyendo "N" por "M")

1 zo≤zi<zs Nc,C(zi, zs) 2 zct≤zi<zo≤zs Nc,T(zi, zo) + Nc,C(zo, zs) 3 zR1≤zi<zct<zo≤zs Nc,R1(zi, zct) + Nc,T(zct, zo) + Nc,C(zo, zs) 4 zi<zR1<zct<zo≤zs Nc,R3(zi, zR1) + Nc,R1(zR1, zct) + Nc,T(zct, zo) + Nc,C(zo, zs) 5 zct≤zi<zs<zo Nc,T(zi, zs) 6 zR1≤zi<zct≤zs<zo Nc,R1(zi, zct) + Nc,T(zct, zs) 7 zi<zR1<zct≤zs<zo Nc,R3(zi, zR1) + Nc,R1(zR1, zct) + Nc,T(zct, zs) 8 zR1≤zi<zs<zct Nc,R1(zi, zs) 9 zi<zR1≤zs<zct Nc,R3(zi, zR1) + Nc,R1(zR1, zs)

10 zi≤zs<zR1 Nc,R3(zi, zs) 11 zi<zR0<zR1<zct<zo≤zs Nc,R3(zR0, zR1) + Nc,R1(zR1, zct) + Nc,T(zct, zo) + Nc,C(zo, zs) 12 zi<zR0<zR1<zct≤zs<zo Nc,R3(zR0, zR1) + Nc,R1(zR1, zct) + Nc,T(zct, zs) 13 zi<zR0<zR1≤zs<zct Nc,R3(zR0, zR1) + Nc,R1(zR1, zs) 14 zi<zR0≤zs<zR1 Nc,R3(zR0, zs) 15 zi<zs<zR0 0

Las resultantes totales sobre la sección, tal y como se necesitan en las ecuaciones de equilibrio E.6.10–E.6.11, se obtienen sumando las resultantes de todos los elementos de hormigón, más las correspondientes a las capas de armadura, a las cuales se les asigna una tensión neta para no contabilizar doblemente la resultante del hormigón en ellas:

( ) ( )[ ]∑∑ εσ−εσ⋅+=capas

kks,cks,sks,

elem.

iic,tot )()( zzANN E.6.28

( ) ( )[ ]∑∑ ⋅εσ−εσ⋅+=capas

kks,ks,cks,sks,

elem.

iic,tot )()( zzzAMM E.6.29

en donde Nc,i y Mc,i son las resultantes axil Nc y flector Mc en el elemento i de hormigón, según la Tabla 6.9; As,k es el área de la armadura situada a una misma altura zs,k (capa k); σs es la tensión en la armadura (E.6.14); y ε(zs,k) se evalúa según E.6.15. En resumen, los esfuerzos totales Ntot y Mtot se definen con E.6.28 y E.6.29 pero para su completa definición precisan de las expresiones E.6.13 hasta E.6.27, incluyendo la Tabla 6.9, y todo depende de los parámetros de deformación εo y χ. 6.3.1.4 Resultante de compresiones en el ala Según se ha planteado el cálculo en el apartado previo, la sección puede dividirse en los 3 rectángulos señalados en la Fig.6.6a, de este modo el ala situada a un lado del ala se identifica



con un elemento rectangular de ancho bef, y fácilmente puede conocerse la resultante Nf de compresiones sobre un ala. Existen tres casos de vigas cuya rotura por rasante se produjo según una superficie básicamente horizontal, formada sobre los estribos de cortante. En este caso, dado que se movilizó toda el ala, la sección transversal se descompone simplificadamente en 4 rectángulos según se indica en la Fig.6.6b. La resultante de compresiones sobre el ala, anotada ahora como Nf2, se obtiene de los dos rectángulos de ancho bef que constituyen las alas a cada lado del alma, más el rectángulo central superior posee una altura igual al recubrimiento geométrico r de los estribos de cortante. El cuarto rectángulo da forma al resto del alma de la viga, de ancho 200mm y altura 400–r. Las vigas que presentan este tipo de superficie de rotura por rasante son: viga V2-0 (r=30mm), viga V3-0 (r=25mm) y viga V2-20 (r=25mm). En estas vigas se proporcionan tanto los resultados de Nf como de Nf2.

(c)

ef

A

200(a) (b)

Af2

σs,1

r

f

200

σc

c,supε

s,infε

ó Nf2fN

s,3σ

cσ

ef efef

σs,2

σs,4

εov

Fig.6.6. Axil de compresión en el ala: (a) para rotura por rasante por plano vertical de unión ala–alma;

(b) para rotura por rasante según superficie horizontal (vigas V2-0, V3-0 y V2-20); (c) plano de deformaciones y distribución de tensiones genérica.

6.3.1.5 Resolución del problema seccional El proceso de cálculo para la resolución del sistema de ecuaciones de equilibrio (E.6.10-E.6.11) consiste en dividir la sección en los elementos indicados en Fig.6.6 y en seguir los siguientes pasos:

(1) Se establece un valor inicial para el ancho eficaz, bef=500mm para comenzar con el proceso de carga o bien igual al valor del cálculo previo para niveles de carga intermedios.

(2) Se utiliza la ecuación de equilibrio axil E.6.10 para obtener el valor de εo, mediante un proceso iterativo. Es sencillo proponer un intervalo de búsqueda de εo en el que en los extremos el axil tome valores de signo contrario.

(3) Con el valor de εo obtenido en el paso previo, se utiliza la ecuación de equilibrio flector E.6.11 para obtener el momento flector M=Mtot(εo; bef) y realizar la siguiente discusión:

— Si M–ME > +0,001kNm se adopta un valor mayor para bef y se repite el paso (2).

— Si M–ME > –0,001kNm se adopta un valor menor para bef y se repite el paso (2).

— Si |M–ME| < 0,001kNm se ha alcanzado una solución satisfactoria y sigue el paso (4).

(4) Con los datos (εo; bef) se procede al cálculo de la resultante axil de compresiones en el ala Nf que, repartida en la longitud 1,5m constituye el rasante que solicita el ala.



En el caso de la viga V2-20, en la que no se dispone de datos de χ a partir de un 45% de la carga máxima, solamente de las deformaciones εC6 y εS3, se ha procedido de igual modo, pero en esta ocasión, la pareja de datos ME–χE se sustituye por la pareja de datos formada por ME y la deformación conocida que es εS3, para lo que se necesita formular la curvatura en función de este nuevo dato, e incorporar esta relación al conjunto de expresiones utilizadas en el problema seccional:

S3

oS3E dv −

ε−ε=χ E.6.30

siendo v la profundidad de la directriz, medida desde el paramento superior de la sección (Fig.6.6). 6.3.2 Resultados por vigas En el presente apartado se exponen los resultados obtenidos en cada viga de forma gráfica, utilizando tres tipos de gráficos, correspondientes todos ellos al estudio de la sección central. El gráfico del diagrama momento–curvatura (M–χ) simplemente reproduce el diagrama experimental obtenido con las curvaturas χ23 y χ26 en el anejo A, pero en él se marcan aquellos puntos que han sido utilizados para proceder con el cálculo seccional expuesto en apartados previos. Se trata de los puntos ME–χE que han permitido construir el segundo gráfico, el diagrama que enfrenta el momento con la resultante axil de compresiones en el ala (M–Nf), y el tercer gráfico, que enfrenta de forma unitaria el ancho eficaz con el nivel de esfuerzo flector. El número de datos escogidos resulta suficiente para construir los diagramas M–Nf y permite concluir que, en algunos casos de vigas, se alcanzó un valor máximo de Nf antes de llegar al nivel máximo de carga soportado por la viga. En todos los casos los puntos ME–χE escogidos presentan un valor de M superior al momento de fisuración (v. 6.1.3), así que la fase inicial de carga con el hormigón no fisurado no ha sido tenida en cuenta en el caso del hormigón armado sin fibras Como ya se ha indicado, en algunas vigas no ha podido disponerse de los datos completos de las tres galgas S2, S3 y C6, por lo que se ha recurrido a utilizar aquel dato de deformación disponible, con resultados menos satisfactorios, como se puede apreciar en los valores resultantes del ancho eficaz. No obstante, ha servido para marcar la tendencia de los diagramas, permitiendo estimar la resultante Nf. Se proporcionan también los resultados del momento resistente máximo teórico (MRmáx), para un ancho eficaz de 500 y de 400mm, que son los valores establecidos en EC2 [4] y EHE [1], respectivamente (v. Tabla 6.1). El resumen de los resultados numéricos se presenta en la Tabla 6.10 y en la Tabla 6.11, en el apartado siguiente (v. 6.3.3).



VIGA V1-0 (sin fibras) Rotura observada: Agotamiento por rasante según plano vertical de unión ala–alma, con el condicionante de prefisuración parcial de las alas en los extremos de la viga, por problemas en las operaciones de desencofrado. MEmáx = 281,24 kNm χ23 = 11,311 ·10-6mm-1 χ26 = 8,110 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 506,3 para bef= 500 MRmáx= 448,2 para bef= 400

Evolución del ancho eficaz

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b

Diagrama M–Nf Diagrama M–χ

050100150200250300350

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

χ [10-6mm -1]

Para una mejor interpretación del diagrama M–Nf es interesante observar el comportamiento de la siguiente viga V2-0. En primer lugar, en la viga V1-0 el valor máximo de Nf (=300kN) parece ser el detonante de la rotura, aunque la viga fue capaz de soportar un incremento más de carga (desde M=240 hasta 281kNm), mientras disminuía tanto Nf como bef. En V2-0 se produce un máximo relativo de Nf en 323kN, más o menos el mismo valor que en V1-0, y en esta viga queda claro que dicho valor corresponde al rasante de fisuración, como se explica más adelante. Luego en V1-0, el valor Nf,máx=300kN es el rasante de fisuración que conduce a la viga, con sólo 7 barras Ø8 transversales, a un rápido deterioro y fallo final. Hasta dicho valor, el comportamiento de M–χ y M–Nf es prácticamente lineal.



VIGA V2-0 (sin fibras)

Rotura observada:

Agotamiento por rasante según una superficie básicamente horizontal, delimitada por los estribos de cortante vertical.

MEmáx = 379,66 kNm χ23 = 19,354 ·10-6mm-1 χ26 = 18,646 ·10-6mm-1

Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 525,3 para bef= 500 MRmáx= 464,7 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


050100150200250300350400

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

χ [10-6mm -1]

Aunque la viga agotó con Nf2 (Fig.6.6), se ofrece el diagrama M–Nf en lugar de M–Nf2, en coherencia con el resto de vigas. Ambos presentan la misma forma, sólo que Nf2 resulta con un valor ligeramente superior al doble de Nf. En M=240kNm se inicia una irregularidad que se corresponde con el rasante de fisuración (Nf,fis=323kN). En los gráficos Carga–Deformación transversal del anejo A puede observarse el salto de deformación en diversas galgas (S9, S10, S12, S14). La resultante Nf sufre un pequeño descenso en su valor, momento en que las alas perdieron su integridad con el alma y en que debió existir un pequeño deslizamiento relativo entre ambas, que no se pudo medir pero que se manifestó en el incremento de la curvatura. La viga precedente V1-0 falló seguidamente, mientras que la mayor cuantía de armadura transversal de la presente viga V2-0 consiguió que el mecanismo resistente volviera a engancharse, para seguir proporcionando un incremento de Nf hasta 363kN, y un mayor incremento de carga en la viga (desde M=240 hasta 380kNm). El descenso en el valor del ancho eficaz es notable en este punto, entorno al 63% de la carga máxima.




Rotura observada:

Agotamiento por rasante según una superficie básicamente horizontal, delimitada por los estribos de cortante vertical. MEmáx = 399,71 kNm χ23 = 13,693 ·10-6mm-1 χ26 = -- Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 513,7 para bef= 500 MRmáx= 454,6 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14

χ [10-6mm -1]

Al igual que en la viga V2-0, aunque el agotamiento se produjo con Nf2 (Fig.6.6), se ofrece sólo el diagrama M–Nf. Para los primeros niveles de carga la demanda de ancho eficaz resulta extremadamente elevada pero se regulariza inmediatamente. Entorno a M=255kNm se han seleccionado varios puntos del diagrama M–χ para tratar de reproducir la situación correspondiente al rasante de fisuración. Al igual que en las vigas precedentes, existe una perturbación en el trazo del diagrama M–χ experimental (puede observarse claramente en el anejo A, pero apenas se aprecia. Ello es debido a la mayor cuantía de armadura transversal. Tampoco se observa un salto apreciable en el diagrama construido M–Nf, pero sí en el caso del ancho eficaz, en donde se observa un salto de valor entorno al 63% de la carga última. Según la opción χ23, la viga presenta un valor máximo del rasante (Nf,máx=515kN) en un escalón de carga previo al de agotamiento de la viga, en concreto, para una carga del 95% de la de agotamiento.




Rotura observada: Viga con coqueras en el alma por deficiente compactación. Agotamiento por cortante (compresión oblicua) junto con adherencia deficiente de barras longitudinales. MEmáx = 402,16 kNm χ23 = 19,086 ·10-6mm-1 χ26 = -- Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 506,3 para bef= 500 MRmáx= 448,2 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

χ [10-6mm -1]

Esta viga debió fallar a flexión con un ancho eficaz probable de 0,8×500=400mm, que coincide con el valor establecido en EHE [1] (Tabla 6.1), y con un nivel de carga mayor. Debido a la presencia de coqueras en el alma, el funcionamiento en el nivel de carga próximo a agotamiento está sujeto a dudas. La viga presenta un armado transversal en el ala aproximadamente igual al mínimo exigido por EC2 [4] y, para el nivel de carga esperable de fisuración por rasante, en el anejo A no se puede apreciar salto o perturbación en las lecturas de las galgas S2 y S3, aunque sí un cambio de tendencia en las lecturas de las galgas de deformación transversal del ala. Este cambio se produce entorno a F≈325kN, es decir, M≈244kNm, siendo difícil dar un valor más preciso con la simple observación del gráfico. Éste es el valor que se ha adoptado como rasante de fisuración. Resta añadir que la evolución del ancho eficaz es prácticamente constante, algo que debe esperarse de una viga con armadura transversal ligeramente superior a la mínima.



VIGA V1-20 (fibras 20kg/m³)

Rotura observada:

Agotamiento por rasante ala–alma según el plano vertical de unión. MEmáx = 341,91 kNm χ23 = 16,481 ·10-6mm-1 χ26 = 12,579 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 469,6 para bef= 500 MRmáx= 416,6 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


050100150200250300350400450500

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

χ [10-6mm -1]

El nivel del rasante de fisuración puede identificarse claramente en el diagrama M–χ para un valor del momento M=217kNm. El ancho eficaz demandado en la primera fase de carga, hasta el rasante de fisuración resulta irreal, ya que la relación bef/b resulta mayor a 1, no obstante, superado el rasante de fisuración su valor desciende a 0,8 para caer finalmente a 0,6 en la situación de fallo, valores ambos mayores que los alcanzados por la viga V1-0, de mismo armado pero sin fibras.




Rotura observada: Agotamiento por rasante según una superficie básicamente horizontal, delimitada por los estribos de cortante vertical. No obstante, se marcaron también superficies verticales de rasante.

MEmáx = 441,83 kNm χ23 = -- ·10-6mm-1 χ26 = -- ·10-6mm-1



0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b

opción χ23

opción εS3


0100200300400500600700

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16

χ [10-6mm -1]

opción χ23

opción εS3

Del mismo modo que en vigas V2-0 y V3-0, el agotamiento se produjo con Nf2 (Fig.6.6), pero se ofrece el diagrama M–Nf en lugar de M–Nf2. En este caso la galga S2 dejó de dar señal a partir del nivel M=195kNm, por lo que sólo se dispone del diagrama M–χ experimental hasta dicho valor. Para tratar de reconstruirlo se ha empleado como parámetro de deformación para resolver el análisis seccional la lectura de S3. Ello resulta en una respuesta aparentemente más rígida, si se compara el tramo inicial del que sí se disponen de datos. A su vez, la lectura de S3 sólo resulta fiable hasta alcanzar el 98,7% de la carga final, momento a partir del cual dispara su valor. La opción εS3 no permite identificar el rasante de fisuración, pero las lecturas de las galgas transversales en el anejo A conducen a estimar un valor M=248kNm para el inicio de la fisuración por rasante.

Para estimar a efectos prácticos Nf no puede utilizarse la única curva disponible (opción εS3) porque sobrestima su valor, demandando un ancho eficaz irreal. En su defecto, para la situación de carga máxima, se prescinde de los datos de deformación y se busca mediante tanteos el ancho eficaz que consigue que la sección alcance como momento máximo resistente el valor del momento máximo experimental, es decir, MRmáx=MEmáx. El resultado es bef=421mm, Nf=574,6kN y Nf2=1244,2kN, que son los únicos valores anotados en la Tabla 6.10.




Rotura observada:

Agotamiento por flexión y aplastamiento del hormigón comprimido, pero con presencia de fisuración avanzada por rasante. MEmáx = 518,44 kNm χ23 = -- ·10-6mm-1 χ26 = -- ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 531,8 para bef= 500 MRmáx= 470,8 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600700

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

χ [10-6mm -1]

La galga S2 dejó de dar lecturas a partir de M=480kNm, lo que constituye un 92% de la carga máxima, y no hubo datos para construir el diagrama M–χ completo. La galga S3 además disparó su lectura justo antes de producirse el agotamiento. En este caso, dado que no se puede proceder a un cálculo para la situación final de fallo con el método establecido, se procede de modo análogo al planteado para la viga V2-20, al tratarse de la situación de agotamiento. Es decir, puede tantearse qué valor del ancho eficaz se necesita para que la sección alcance como momento máximo resistente el valor del momento máximo experimental, MRmáx=MEmáx. El resultado es bef=478,1mm y Nf=682,0kN, valores que encajan con las tendencias marcadas en los gráficos. En la Tabla 6.10 se anota este valor como estimado. El rasante de fisuración no es detectable en el diagrama M–χ por lo que se recurre a las deformaciones transversales del ala recogidas en el anejo A, apreciando el inicio de saltos de valor para un nivel de carga entorno a M=270kNm.




Rotura observada:

Agotamiento por rasante ala–alma según el plano vertical de unión. MEmáx = 410,18 kNm χ23 = 29,146 ·10-6mm-1 χ26 = 24,199 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 539,7 para bef= 500 MRmáx= 479,9 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600700

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

χ [10-6mm -1]

En el anejo A no se puede apreciar el rasante de fisuración en las lecturas de S3, C6 o S2, y ello se traduce en la ausencia de irregularidad en el diagrama M–χ, sin embargo, en las lecturas de las galgas transversales del ala puede establecerse un nivel M=250kNm, de nuevo, para el rasante de fisuración. La perturbación que se produce en el gráfico de la evolución del ancho eficaz es mínima. Éste permanece con un valor prácticamente constante hasta que se desencadena la rotura final por rasante.




Rotura observada:

Agotamiento por flexión, aplastamiento del hormigón. Fisuración por rasante marcada pero poco avanzada. MEmáx = 475,93 kNm χ23 = -- ·10-6mm-1 χ26 = 18,110 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 499,3 para bef=500 MRmáx= 442,2 para bef=400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600700

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

χ [10-6mm -1]

En este caso la lectura de S3 cedió antes de la carga máxima. Dado que la viga falló por flexión, si se plantea el cálculo seccional prescindiendo del dato de deformación, puede tantearse el valor del ancho eficaz necesario para que el momento resistente máximo sea igual al momento experimental máximo, es decir, MRmáx=MEmáx. De este modo se obtiene bef=459,1mm y Nf=645,4kN, que encaja más o menos con la tendencia marcada por los gráficos. En la Tabla 6.10 se anota este valor como estimado. En consecuencia, la resultante de compresiones máxima en el ala se produce para la situación de fallo final. Para identificar el rasante de fisuración ha sido necesario observar el cambio de tendencia en las deformaciones transversales del ala, en el anejo A, estimando un nivel de carga M=255kNm.




Rotura observada:

Agotamiento por flexión, aplastamiento del hormigón. Fisuración por rasante marcada y avanzada, con cascarilla. MEmáx = 497,64 kNm χ23 = -- ·10-6mm-1 χ26 = -- ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 530,7 para bef= 500 MRmáx= 470,5 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600700

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

χ [10-6mm -1]

En esta ocasión la galga S3 falló para una situación del 93% de la carga máxima. Atendiendo al comportamiento de la viga precedente, V2-30, parece que la rama final marca la tendencia hasta agotamiento, sin existir una situación previa en donde se produzca un valor máximo. Al carecer de datos de deformación en la situación de carga máxima se procede a buscar mediante tanteos el ancho eficaz que consigue que la sección alcance como momento máximo resistente el valor del momento máximo experimental, es decir, MRmáx=MEmáx. El resultado es bef=443,7mm y Nf=680,0kN, que encaja con la tendencia de las curvas. En la Tabla 6.10 se anota este valor, por tanto, como estimado. Para identificar el rasante de fisuración ha sido necesario observar en el anejo A el cambio de tendencia en las deformaciones transversales del ala, estimando un nivel de carga igual que en la viga precedente, M=255kNm.



VIGA V1-40 (fibras 40kg/m³) Rotura observada: Viga con coqueras en el alma por compactación deficiente. Agotamiento por cortante (compresión oblicua) junto con adherencia deficiente de barras longitudinales. MEmáx = 371,14 kNm χ23 = 11,761 ·10-6mm-1 χ26 = 11,289 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 542,3 para bef= 500 MRmáx= 479,6 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12 14

χ [10-6mm -1]

El diagrama M–χ resulta más rígido que en otros casos. Para un M=300kN se tiene χ≈8·10-6mm-1 mientras que en vigas que no acusaron una compactación deficiente se alcanza χ≈10·10-6mm-1 (por ejemplo, la viga homóloga de contenido inferior de fibras V1-30). Una posible explicación es que problemas de adherencia en la armadura longitudinal generen, en consecuencia, niveles de deformación en ella inferiores a los alcanzados con la hipótesis de adherencia perfecta, reduciéndose así el valor calculado de la curvatura. Un efecto parece ser una mayor demanda de ancho eficaz, superior al real. Como la curvatura utilizada para el cálculo seccional es ligeramente inferior a la que correspondería a un funcionamiento correcto de la viga, para poder equilibrar el momento flector con niveles de deformación menores se precisa una cabeza de compresión más generosa. La consecuencia práctica es una ligera sobrevaloración de la resultante axil Nf, pero no parece ser excesiva. Para M=300kN en viga V1-30 se tiene Nf=430kN mientras que en V1-40 se alcanza Nf=445kN. El rasante de fisuración puede estimarse solamente si se observan en el anejo A los resultados de las lecturas de deformación transversal en las alas, resultando un nivel de carga estimado de M=260kNm.




Rotura observada:

Agotamiento por flexión, aplastamiento del hormigón. Fisuración por rasante marcada, pero no mostraba signos avanzados. MEmáx = 398,19 kNm χ23 = 14,324 ·10-6mm-1 χ26 = 13,434 ·10-6mm-1 Flexión teórica [kNm & mm]: MRmáx= 542,3 para bef= 500 MRmáx= 482,7 para bef= 400


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 2 4 6 8 10 12 14 16

χ [10-6mm -1]

Para establecer el rasante de fisuración hay que observar en el anejo A el cambio de tendencia en las lecturas de las deformaciones transversales de las alas y, como en otras vigas, puede establecerse en M=250kNm, aunque se produce de forma suave. A partir de este nivel, la relación bef/b se sitúa ligeramente por debajo de 0,8. Si bien esta viga no acusó los problemas de compactación de la viga V1-40, la apariencia de los paramentos laterales del alma no fue perfectamente lisa. Algunas pequeñas oquedades, del tamaño de burbujas, podían observarse en la franja del alma adyacente a la unión con el ala. Aparte, las aristas de las alas mostraban algunos signos de haber sido manipulada toscamente, y pudieron apreciarse algunas fisuras existentes en las alas antes de proceder al ensayo. Esto podría explicar un valor de la carga máxima más bajo que su viga homóloga de cuantía inferior en fibras (V2-30).




Rotura observada:

Agotamiento por flexión, aplastamiento del hormigón. Fisuración por rasante marcada, pero no mostraba signos avanzados.

MEmáx = 372,23 kNm χ23 = 13,818 ·10-6mm-1 χ26 = 13,724 ·10-6mm-1



0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

M/MEmáx

bef /b


0100200300400500600

Nf [kN ]

M [kN·m ]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12 14 16

χ [10-6mm -1]

El establecimiento del rasante de fisuración ha de realizarse observando en el anejo A las lecturas de las deformaciones transversales de las alas, resultando también, de un modo aproximado, un nivel de carga M=250kNm. Su efecto en el ancho eficaz es apenas apreciable, a partir de M/MEmáx=0,6 se observa un ligero descenso de escasa relevancia, señal de que la cuantía de armadura junto con el contenido de fibras parece suficiente para mantener un correcto funcionamiento de la cabeza comprimida. También hay que añadir, al igual que en la viga V2-40, que el aspecto de los paramentos laterales del alma presentó peor apariencia que en vigas con una dosificación de fibras menor, signo de mayor dificultad a la hora de compactar correctamente el hormigón en el entorno del armado longitudinal de tracción de la viga. La situación de fallo de la viga guardó la apariencia de fallo por flexión pero puede observarse que el nivel alcanzado resulta inferior al cálculo teórico con ancho eficaz bef=400mm, mientras que la demanda de ancho eficaz, según los datos experimentales resulta mayor.



6.3.3 Resumen de resultados Los resultados del rasante solicitante ilustrados en forma gráfica en el apartado previo se anotan a continuación en la Tabla 6.10, seleccionando las situaciones más características, como son el instante de inicio de la fisuración longitudinal por rasante (Nf,fis), la situación de máxima resultante axil en el ala (Nf,máx) y la situación de carga máxima soportada por la viga (MEmáx). En algún caso, dos de estas situaciones pueden coincidir. El dato más utilizado para el análisis seccional ha sido la curvatura χ23, atendiendo a unos resultados del valor del ancho eficaz más razonables. Los casos de las vigas V4-0 y V2-20 corresponden a una falta de datos, por lo que se ha empleado otra opción. Asimismo, en otras vigas se ha procedido con una corrección o estimación de la resultante axil Nf. Los detalles de estas operaciones se encuentran en el apartado previo (v. 6.3.2). En la Tabla 6.11 se presentan los resultados teóricos correspondientes a la situación de flexión máxima (MRmáx) y última (MRu) de la sección, realizados bajo el supuesto de emplear un ancho eficaz conocido, en concreto el propuesto por EC2 [4] y por EHE [1] (v. Tabla 6.1). La situación última de agotamiento siempre se alcanza cuando la deformación de la fibra de hormigón más comprimida εc,sup toma el valor εcu preestablecido en 6.3.1.1, mientras que la armadura más traccionada, en algunos casos, apenas supera la deformación del límite elástico. A esta situación le precede, en todos los casos, la correspondiente a la máxima resistencia a flexión, entre un 5 y un 7% mayor que la resistencia última. Sobre la Tabla 6.11 puede observarse lo siguiente, un incremento del ancho eficaz de un 25%, que corresponde a pasar de 400 a 500mm, supone un aumento del momento resistente máximo de tan solo un 13%, pero un aumento similar del ~25% en la resultante axil de compresiones en el ala. Por otra parte, evaluar el rasante utilizando la situación del momento resistente último supone infravalorarlo en un 12% aproximadamente. Son conclusiones que corresponden al caso particular de las vigas ensayadas, en donde la armadura de tracción resulta sobreabundante y no llega a plastificar completamente. Finalmente, con los valores de las deformaciones εc,sup y εs,inf puede deducirse el valor alcanzado por la profundidad de la fibra neutra, resultando siempre superior a 130mm, lo que supone que el ala eficaz trabaja completamente comprimida durante todo el proceso de carga.



Tabla 6.10. Rasante solicitante procedente de datos experimentales.

DATOS RESULTADOS ME bef Nf Nf2 VIGA situación notas kNm mm kN kN

Nf,fis(=Nf,máx) - - - - - - - - - - Nf,máx 240,3 334,2 300,3 - - V1-0 MEmáx 281,2 189,4 254,2 - - Nf,fis 240,2 409,1 323,0 725,1 Nf,máx 374,0 264,7 362,9 837,9 V2-0 MEmáx 379,7 293,9 356,7 809,5 Nf,fis 255,8 420,1 352,3 775,6 Nf,máx 380,3 420,7 515,2 1127,5 V3-0 MEmáx 399,7 352,9 493,3 1089,4 Nf,fis 244,2 409,4 333,4 - - Nf,máx 384,9 392,3 504,2 - - V4-0 MEmáx 402,2 359,8 496,4 - - Nf,fis 216,9 537,1 330,5 - - Nf,máx 315,0 394,4 429,0 - - V1-20 MEmáx 341,9 284,8 374,2 - - Nf,fis - - 247,7 - - - - - - Nf,máx - - - - - - - - - - V2-20 MEmáx estimado 441,8 421 574,6 1244,2 Nf,fis 270,2 379,4 355,4 - - Nf,máx(=MEmáx) - - - - - - - - - - V3-20 MEmáx estimado 518,4 478,1 682,0 - - Nf,fis 251,1 426,0 359,1 - - Nf,máx 380,2 338,8 487,2 - - V1-30 MEmáx 410,2 365,4 453,4 - - Nf,fis 255,0 404,3 355,2 - - Nf,máx(=MEmáx) - - - - - - - - - - V2-30 MEmáx estimado 475,9 459,1 645,4 - - Nf,fis 255,2 456,5 372,1 - - Nf,máx(=MEmáx) - - - - - - - - - - V3-30 MEmáx estimado 497,6 443,7 680,0 - - Nf,fis 261,0 590,1 387,9 - - Nf,máx 359,9 482,6 501,9 - - V1-40 MEmáx 371,1 429,1 496,0 - - Nf,fis 249,4 447,4 360,0 - - Nf,máx(=MEmáx) - - - - - - - - - - V2-40 MEmáx 398,2 392,9 538,1 - - Nf,fis 250,5 483,8 365,3 - - Nf,máx 370,2 472,8 524,9 - - V3-40 MEmáx 372,2 438,1 511,2 - -

NOTA: La curvatura χ está expresada en 10-6/mm, y la deformación unitaria ε en ‰.



Tabla 6.11. Momentos resistentes teóricos para un valor preestablecido del ancho eficaz.

Momento Resistente Máximo Momento Resistente Último εo χ MRmáx Nf εc,sup εs,inf εo χ MRu Nf εc,sup εs,inf VIGA ‰ 10-6/mm kNm kN ‰ ‰ ‰ 10-6/mm kNm kN ‰ ‰

Ancho eficaz según EC2 [4]: bef =500mm (v=123,0mm) V1-0 0,73 17,92 506,3 669,9 2,94 -3,28 1,35 21,42 481,0 589,3 3,99 -3,44 V2-0 0,69 18,52 525,3 703,2 2,97 -3,46 1,32 22,00 497,3 615,8 4,03 -3,61 V3-0 0,66 18,84 513,7 699,3 2,98 -3,46 1,28 22,31 486,4 614,6 4,02 -3,61 V4-0 0,68 18,60 506,3 686,0 2,97 -3,39 1,29 22,07 480,0 603,9 4,01 -3,54 V1-20 0,82 20,40 469,6 651,6 3,33 -2,36 1,61 25,48 442,9 574,8 4,74 -2,37 V2-20 0,78 21,02 485,6 681,5 3,37 -2,50 1,57 26,03 457,0 599,7 4,77 -2,49 V3-20 0,92 21,43 531,8 713,5 3,56 -2,70 1,67 25,57 497,9 624,8 4,82 -2,65 V1-30 0,67 24,22 539,7 786,2 3,65 -3,11 1,61 29,95 503,9 682,0 5,29 -3,07 V2-30 0,88 22,41 499,3 702,5 3,64 -2,61 1,75 27,97 468,6 615,3 5,19 -2,61 V3-30 0,71 23,56 530,7 766,8 3,61 -2,96 1,65 29,38 496,1 666,4 5,26 -2,94 V1-40 1,08 22,84 542,3 727,4 3,89 -2,78 2,07 28,67 506,6 631,3 5,60 -2,77 V2-40 0,78 25,27 542,3 787,5 3,89 -3,16 1,79 31,66 506,0 682,8 5,68 -3,15 V3-40 1,08 22,40 475,0 653,1 3,84 -2,41 2,01 28,57 447,9 575,4 5,52 -2,45

Ancho eficaz según EHE [1]: bef =400mm (v=132,059mm) V1-0 0,82 16,94 448,2 530,3 3,05 -2,82 1,33 20,10 427,1 467,5 3,99 -2,99 V2-0 0,72 17,00 464,7 562,1 2,96 -2,94 1,30 20,62 440,9 488,2 4,03 -3,13 V3-0 0,69 17,29 454,6 559,0 2,97 -2,94 1,26 20,91 431,2 487,3 4,02 -3,13 V4-0 0,71 17,09 448,2 548,3 2,97 -2,88 1,28 20,69 425,8 479,0 4,01 -3,07 V1-20 0,83 18,78 416,6 521,8 3,31 -1,93 1,56 24,09 393,8 456,7 4,74 -1,98 V2-20 0,79 19,32 430,3 546,0 3,34 -2,05 1,52 24,58 405,9 476,2 4,77 -2,09 V3-20 0,91 19,62 470,8 572,0 3,50 -2,23 1,63 24,14 441,6 496,0 4,82 -2,23 V1-30 0,77 22,11 479,9 629,4 3,69 -2,48 1,61 27,86 447,6 539,8 5,29 -2,48 V2-30 0,88 20,66 442,2 562,7 3,61 -2,15 1,69 26,48 416,1 488,8 5,19 -2,20 V3-30 0,79 21,82 470,5 613,4 3,67 -2,41 1,62 27,56 440,1 528,3 5,26 -2,43 V1-40 1,08 21,15 479,6 582,3 3,87 -2,31 2,00 27,22 449,6 501,7 5,60 -2,35 V2-40 0,89 23,12 482,7 630,2 3,95 -2,50 1,79 29,42 450,4 540,5 5,68 -2,53 V3-40 1,07 20,80 421,4 522,7 3,82 -1,99 1,93 27,18 398,6 457,7 5,52 -2,06

NOTA: v es la profundidad de la directriz; εo es la deformación de la directriz; εc,sup es la deformación de compresión en el paramento superior; y εs,inf es la deformación de tracción en la capa de armadura más tendida (Fig.6.6).



7 REVISIÓN Y CONTRASTE DE MÉTODOS En el presente capítulo se revisan primeramente los métodos de bielas y tirantes y de transferencia a corte, por ser ambos los métodos que figuran en la normativa actual, pero existe otro método que también puede tener cabida en la normativa, sobre todo europea. Se trata del método de los campos de tensiones. Como ya se expuso en 2.3.5, dicho método se desarrolló como aplicación directa de la teoría de la plasticidad [137,138] y comparte conceptos con el método de bielas y tirantes. Tanto es así que la última versión del Código Modelo 2010 [3] dedica un apartado a ambos, el 7.3.6, que titula Diseño con campos de tensiones y modelos de bielas y tirantes, incluido dentro de las comprobaciones del estado límite último. Estos tres métodos son revisados para ser contrastados con los resultados experimentales existentes en la bibliografía, escasos y todos de hormigón armado, más los resultados experimentales de la presente tesis. Para usar los datos de vigas de hormigón armado de otros autores es necesario un estudio adicional para establecer el ancho eficaz de las alas en la situación de agotamiento, ya que no todos los autores contemplaron este parámetro. Las conclusiones prácticas de este contraste se añaden en un último apartado, agrupadas en temas o aspectos de cálculo convencionales y de interés, como es el cálculo para diseño, el cálculo para comprobación, el establecimiento de una armadura mínima y el problema del ancho eficaz. 7.1 REVISIÓN DE MÉTODOS ENMARCADOS EN

NORMAS INCORPORANDO FIBRAS Los métodos de bielas y tirantes, transferencia a corte y campos de tensiones se van a revisar en detalle en el presente apartado, buscando una formato de fórmula que relacione la tensión rasante nominal τ con la cuantía de la armadura transversal ρ dispuesta en el ala, de modo que puedan ser comparados entre sí. La revisión se plantea para el esquema de viga de la Fig.7.1, seguido en los ensayos experimentales de la presente tesis, y utilizado también por autores previos para el estudio de alas comprimidas (v. 2.2.1). No obstante, otros esquemas de ensayos similares también son válidos, siempre que proporcionen un tramo de ala comprimida comprendido entre la sección de apoyo y la sección de máxima flexión positiva (secciones A y B de la Fig.7.1), y se pueda admitir la redistribución del esfuerzo rasante.



La tensión rasante nominal resulta de evaluar la resultante de compresiones Nf en el ala eficaz de la sección B, y repartirla en el tramo de ala en estudio, de longitud a y espesor constante hf:

f

f

haN⋅

=τ E.7.1

Como se verá en los próximos apartados, la tensión τ no necesariamente se corresponde con la tensión rasante desarrollada en el mecanismo resistente planteado con cada método estudiado, pero permite establecer una comparación entre ellos.

(a)

fhF

a

F

A B (b)

AfN

bB ef

τ =fha

fN·

Fig.7.1. Esquema de viga en T aislada con alas comprimidas: (a) alzado; (b) planta del ala comprendida entre la sección de apoyo y la sección de momento flector máximo.

Para cada método se presenta en primer lugar la formulación correspondiente al caso de hormigón armado y, en segundo lugar, ésta es reescrita para incluir la contribución de las fibras de acero. La formulación termina por presentarse de forma adimensional, dividiendo entre la resistencia a compresión del hormigón fc. Los parámetros básicos manejados son:

— Tensión rasante nominal adimensional ....... : cfτ

=t E.7.2

— Cuantía mecánica de la armadura................ : c

y

ffρ

=ω E.7.3

— Relación de aspecto del ala eficaz ............... : a

bef=β E.7.4

7.1.1 Bielas y tirantes 7.1.1.1 Hormigón armado Habiendo realizado un análisis seccional en el apartado 6.3 para obtener la resultante de compresiones en el ala en la sección de máximo momento flector, el modelo de bielas y tirantes más adecuado y sencillo es un modelo parcial con un ángulo fijo θf para las bielas inclinadas del ala. En este caso, las ecuaciones E.2.141, E.2.142 y E.2.143 pueden reescribirse para el tramo Δx=a de la siguiente forma:

f2f

fffc

y

c 1

θ+θ

⋅ν=θ⋅θ⋅ν≤θ⋅ρ

=τ

cotgcotgcossencotg

ff

f E.7.5

en donde la resistencia de la biela inclinada f1c se ha sustituido directamente por ν·fc. El factor ν representa, por tanto, la condición de agotamiento por compresión oblicua. Utilizando los límites para el ángulo (1≤cotgθf≤2) recomendados por el EC2 [4] y la notación concentrada, la ecuación puede reescribirse:



⎪⎩

⎪⎨⎧

θ+θ

⋅ν≤

ω⋅≤θ⋅ω=

f2ff

1

2

cotg cotg cotgt E.7.6

La limitación correspondiente a 1≤cotgθf conduce a t≥ω, y no se ha anotado ya que simplemente recuerda que no se generan mecanismos resistentes con una inclinación de las bielas en el alma superior a 45º, de modo que siempre se garantiza una resistencia superior a ω, aunque no mayor que la resistencia máxima por compresión oblicua. En la Fig.7.2 se representa la relación E.7.6 para los casos extremos del valor del ángulo (θf=26,5º y θf=45º) La posibilidad de escoger un ángulo conduce a que la resistencia a rasante presente una variabilidad, siempre dentro de un rango de valores, que no existe en otros métodos de diseño. Una forma de eliminar esta ambigüedad es plantear como objetivo maximizar la contribución resistente de las armaduras. En este caso, para el intervalo 0,2ν≤ω≤0,5ν, basta igualar la tensión resistente proporcionada por las armaduras a su valor límite por compresión oblicua:

1 1 f

f2f

f −ων

=θ⇒θ+

θ⋅ν=θ⋅ω cotg

cotg cotg cotg

y tomando la expresión de cotgθf puede reescribirse la expresión E.7.6 del siguiente modo, pudiendo ser denominada como curva de armadura mínima:

( ){ }⎪⎩

⎪⎨⎧

ω≤νν⋅ν<ω⋅ω−ν⋅ωω⋅

= 0,5 para0,5

0,5 para ; 2 mínimo t E.7.7

(a)

ω

t

0,4·ν

0,5·ν

0,5·ν0,2·ν

θf =45º

θf =26,5º

armadura mínima

(b)0,0

0,1

0,2

0,3

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

ω

t

armadura mínimalímite (η=1)límite (η=0,8)límite (η=0,6)

Fig.7.2. Rasante resistente según bielas y tirantes: (a) curvas convencionales E.7.6 y de armadura mínima E.7.7; (b) curvas límite E.7.12, con ν=0,6.

Otra opción interesante para eliminar el ángulo en la expresión de la resistencia a rasante consiste en ponerlo en función de la relación de aspecto del ala eficaz (β=bef/a) que, de una forma general, puede anotarse:

β=⋅=θ B

efBf

KKcotgba E.7.8

siendo KB una constante para la que Tizatto y Shehata (1990) [207] sugirieron un valor KB=2/5 en el caso de alas comprimidas. Con este valor para KB se obliga a tomar un ángulo θf >26,5º cuando β>0,5·KB=0,2, es decir, en vigas con alas anchas no es recomendable escoger un ángulo de inclinación de las bielas pequeño, ya que la anchura del ala condiciona un ángulo mayor. La consideración de la relación E.7.8 en el concepto de armadura mínima conduce a la siguiente solución, que puede considerarse como la curva de armadura mínima general, más adecuada



para el problema del rasante en vigas en T, que distingue entre alas anchas y estrechas para obtener un mejor margen de seguridad:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ω≤νν⋅

ν<ω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅ω−ν⋅ωω⋅β

ω⋅= 0,5 para0,5

0,5 para ; ; 2 mínimo BK

t E.7.9

Cuando el ala es estrecha, de modo que β≤0,5·KB, la expresión E.7.9 acaba resultando igual a la expresión E.7.7. La eliminación del ángulo θf en favor de β mediante E.7.8 permite además relacionar la resistencia a rasante con la capacidad a flexión de la viga, a través del ancho eficaz. En general, en el diseño de una viga interesa que el agotamiento a flexión sea el modo de fallo dominante. Cuando se alcanza este fallo la resultante axil de compresiones en la sección B de la Fig.7.1b puede expresarse sencillamente:

xbfN ⋅⋅α= efcf E.7.10siendo x la profundidad del bloque comprimido, siempre que resulte inferior al espesor hf del ala, en caso contrario x=hf; y α·fc sería el valor de compresión uniforme en la cabeza comprimida. Si se empleara un bloque rectangular de compresiones en el análisis seccional, como en art.39.5 de EHE [1], se tendría α=1, pero puede mantenerse el factor α para mayor generalidad, sin ser exactamente el factor de cansancio de EHE [1]. Si se divide la expresión E.7.10 entre a·hf·fc se tiene una relación entre la tensión rasante, la relación de aspecto del ala y la condición de agotamiento a compresión del ala por flexión:

ηαβ ⋅⋅=t E.7.11siendo η = x / hf ≤ 1, el parámetro sobre la fracción del espesor del ala que resulta comprimida. Si se utilizan las expresiones E.7.8 y E.7.11 en expresión original E.7.6 se obtiene una nueva relación para el rasante resistente en la que interviene la influencia del ancho eficaz a través de KB y la capacidad a flexión de la sección crítica B (Fig.7.1b) a través del factor α:

( )⎩⎨⎧

⋅η⋅α−ν⋅⋅η⋅α≤ω⋅≤

ω⋅⋅η⋅α=BB

B 2

KK

Kt E.7.12

El planteamiento seguido para E.7.12, consistente en establecer el agotamiento simultáneo a rasante y a flexión, puede observarse en un método simplificado de Morley y Rajendran (1975) [22], enmarcado dentro del límite inferior de plasticidad (v.2.4.2.2.2.1). Dichos autores denominaron a su resultado curva límite (Fig.2.70), por lo que E.7.12 puede ser denominada también del mismo modo, y el concepto es extensible a otros modelos resistentes. 7.1.1.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero Según la revisión realizada en 2.5.7 la consideración de las fibras en los modelos de bielas y tirantes puede implicar mejorar la resistencia de los elementos del modelo del siguiente modo: en bielas puede modificarse el coeficiente ν de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón, y en tirantes puede añadirse una resistencia a tracción última aportada por las fibras y extendida a un área eficaz adecuadamente seleccionada. Para el caso de bielas, en la formulación del apartado previo (v. 7.1.1.1) puede sustituirse ν por un nuevo factor νF, y puede tomarse la expresión E.2.239 como referencia para valorar el efecto de las fibras, a través de su factor Fv (E.2.161a).



Para el caso de tirantes, la resistencia a tracción aportada por las fibras debe corresponderse a una deformación avanzada, que permita acompañar a la armadura del tirante durante su plastificación. Para este caso parece adecuada la resistencia fFtu establecida en las diversas normas, en concreto, se puede usar la establecida por EHE [1] en E.2.189, empleada para la definición del diagrama rectangular (Fig.2.88d) para el que se establece una deformación última εtu=10‰ en secciones sometidas a tracción, valor idéntico al establecido para la armadura. Dadas las posibles diferencias de puesta en obra y compactación del hormigón que forma el tirante y del que se utiliza en las probetas de flexotracción para la obtención de fFtu, debe considerarse un coeficiente que permita tener en cuenta este aspecto. En cuanto al área eficaz, los tirantes formados por la armadura transversal del ala son tirantes distribuidos y, dado que se producen en un elemento con espesor reducido, parece adecuado considerar como área eficaz para la resistencia fFtu el área real del ala, o bien, como se ilustra en Fig.7.3, para grandes separaciones de la armadura (sf>hf), un área concéntrica con cada armadura. Con estas consideraciones, en la formulación del apartado previo (v. 7.1.1.1) puede sustituirse la cuantía ω por la siguiente cuantía de cosido, constituida por las armaduras y las fibras de acero:

FA fK ⋅+ω E.7.13siendo KA el factor de área eficaz, de valor KA=1 si se considera eficaz toda el área

transversal real del tirante o, por ejemplo, de valor KA=hf/sf si sólo se considera un área eficaz hf×hf asignada a cada armadura transversal, en el caso sf>hf, según se ilustra en Fig.7.3;

fF la resistencia adimensional a tracción de las fibras, definida como

c

FtuoF f

f⋅=

Kf E.7.14

en donde fFtu es la resistencia a tracción ya indicada para las fibras, y Ko es el factor comentado sobre la posible diferencia entre el hormigón del tirante y el hormigón de la probeta de flexotracción. Ko=1 significa que el tirante reúne las mismas condiciones de distribución y orientación aleatoria y uniforme en 3D de las fibras que en las probetas de flexotracción.

Fig.7.3. Área eficaz en los tirantes transversales del ala.

La sustitución de νF y de la cuantía de cosido E.7.13 en las fórmulas originales para hormigón armado conduce a los siguientes resultados:

— La expresión general E.7.6 de la tensión rasante en función del ángulo de inclinación de las bielas diagonales del ala, se expresaría

( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ+θ

⋅ν≤

⋅+ω⋅≤θ⋅⋅+ω=

f2f

F

FA

fFA

1

2

cotg cotg

fK cotgfKt E.7.15



— La curva de armadura mínima general E.7.9 se transforma en

( )( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω≤⋅−νν⋅

⋅−ν<ω

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−ω−ν⋅⋅+ω

⋅+ω⋅β

⋅+ω⋅

=

FAFF

FAF

FAFFA

FAB

FA

0,5 para0,5

0,5 para

2

mínimo

fK

fK

fKfK

fKKfK

t E.7.16

— La curva límite E.7.12 se transforma en

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

⋅η⋅α−ν⋅⋅η⋅α≤⋅+ω⋅≤

⋅+ω⋅⋅η⋅α=BFB

FAFAB

2

KKfK

fKKt E.7.17

7.1.2 Transferencia a corte 7.1.2.1 Hormigón armado Según se expuso en 2.4.3.2, ACI-318 [10] utiliza un modelo de corte-fricción, mientras que AASHTO [11] contempla un término adicional de cohesión, así que, para mayor generalidad se emplea esta segunda forma, siguiendo la expresión E.2.146 pero con la notación del presente apartado. La aplicación de este modelo de transferencia supone que el plano vertical de unión ala–alma es una región interfaz, en concreto, la unión es una fisura potencial susceptible de deslizamiento. La evaluación de la capacidad resistente se plantea cuando el mecanismo resistente se ha movilizado de modo que la armadura transversal se encuentra plastificada y el hormigón a cada lado del plano de corte se encuentra comprimido con un valor de la tensión igual a la tracción de la armadura, que coacciona la separación de ambas partes. Esto se representa en la Fig.7.4 con las distribuciones de tensiones ρfy y σ autoequilibradas, extendidas a toda la longitud a del ala, correspondientes a una distribución uniforme de la armadura, que es la solución práctica habitual.

fN

τ

σ

ak·

fh

yfρ (1− )k

2efb

efb#

c τ t

a·

σtΔσcΔ

Fig.7.4. Estudio del rasante en el ala comprimida mediante transferencia a corte.

La normativa americana no profundiza en el problema del ala exterior o ala de viga aislada, de hecho, no dispone de un artículo específico para el diseño de la unión monolítica alas–alma. Tal y como se ilustra en la Fig.7.4, para que exista equilibrio de momentos, admitiendo sólo distribuciones rígido-plásticas de tensiones, han de desarrollarse forzosamente dos variaciones de tensiones normales sobre la junta, una compresión Δσc y una tracción Δσt adicionales que, a su vez, han de resultar autoequilibradas. Ello implica que, en la situación de agotamiento, si se



aplica un modelo de cohesión más fricción, se desarrollan dos tensiones rasantes resistentes, una para el tramo de longitud ka comprimido (τc), adyacente al apoyo, y otra para el tramo de longitud (1–k)a traccionado (τt), adyacente a la sección de flexión máxima:

( )cyc σΔ+ρ⋅μ+=τ fc E.7.18( )tyt σΔ−ρ⋅μ=τ f E.7.19

siendo c la tensión de cohesión y μ el coeficiente de fricción. Las variaciones de tensiones Δσc y Δσt son tratadas como magnitudes sin signo. Siguiendo las recomendaciones de diversas normas, no se considera cohesión para el tramo traccionado, AASHTO [11] lo recomienda para planos verticales de corte, en general, y EHE [1] y EC2 [4] lo indican cuando existe tracción. Con el esquema de la Fig.7.4 se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio que, ligeramente tratadas son las siguientes:

— Equilibrio longitudinal: ( ) tc 1 τ⋅−+τ⋅=τ kk E.7.20— Equilibrio transversal: ( ) tc 10 σΔ⋅−+σΔ⋅= kk E.7.21

— Equilibrio de momentos: ( ) t2

c2 1 σΔ⋅−+σΔ⋅=β⋅τ kk E.7.22

El problema es el siguiente, se conoce la cuantía ρfy y se desea evaluar qué valor de la resultante axil Nf es capaz de resistir el ala, o lo que es lo mismo, qué tensión nominal rasante τ resiste el ala. Para ello se dispone del conjunto de 5 ecuaciones anotado, 2 correspondientes al criterio de fallo (E.7.18 y E.7.19) y 3 de equilibrio (E.7.20, E.7.21 y E.7.22). La tensión τ es incógnita junto con otras 5 variables más, k, τc, τt, Δσc y Δσt, por lo que el problema queda aparentemente indeterminado. Tomando Δσt como una variable supuestamente conocida, la resolución del sistema de 5 ecuaciones conduce a la siguiente expresión de la tensión nominal rasante

( )yt

t fcc

ρ⋅μ+⋅β+σΔ

σΔ=τ E.7.23

Si se observa la expresión E.7.23, la derivada resulta dτ/d(Δσt)>0 luego, fijado el valor de ρfy, τ es creciente con Δσt. El caso extremo, con el que se consigue maximizar la resistencia τ, corresponde al instante en el que la tracción Δσt alcanza su valor máximo posible, que es ρfy, momento en el que la junta se descomprime en el tramo (1–k)a y se anula el término de fricción. En consecuencia, el problema queda solucionado con los siguientes resultados:

βμ−

ρ⋅μ+=τ

1y

cfc

E.7.24

0t =τ E.7.25

( )yc 1fc ρ⋅μ+⋅

βμ−β

=σΔ E.7.26

yt fρ=σΔ E.7.27

yy

1 fcf

ρ⋅β+ρ

βμ−=k E.7.28

( )yy

y fccf

fρ⋅μ+⋅

β+ρ

ρ=τ

E.7.29

Como puede observarse, la tensión rasante nominal τ no guarda una relación lineal con la cuantía ρfy, debido a la necesidad que tiene el ala de desarrollar básicamente dos tramos con diferentes resistencias rasantes reales.



Los modelos corte-fricción, con o sin cohesión, tienen establecida una limitación superior cuyo objeto es proporcionar un límite seguro frente a la predicción de la relación lineal entre τ y ρfy, ya que experimentalmente dicha relación lineal comienza a perderse existiendo mayor dispersión. La limitación aplica a casos con grado de refuerzo o cuantía ρfy elevada, o bien, con una compresión ρfy+Δσc elevada sobre el plano de corte. Mattock (2001) [192] justifica el límite indicando que en planos de corte sobre-reforzados la junta permanece cerrada y el ratio de crecimiento de τ con ρfy se reduce. En general se establece un límite consistente en el menor valor de entre una fracción de la resistencia a compresión y un valor absoluto de resistencia. Se trata, por ejemplo, de los límites K1·fc y K2 en la expresión E.2.146 de AASHTO (2012) [11] siendo K1=0,25 y K2=10,3MPa. Para hormigones de resistencia normal sólo aplica la condición con K1. Otros valores para K1 son 0,2 (ACI-318 [10]) o 0,3 (Mattock y Hawkins 1972 [154]). Es importante tener presente que la aplicación del límite K1·fc puede conducir a resultados conservadores, por lo que su aplicación ha de ser objeto de revisión si se pretenden obtener resultados con el modelo aproximados a los resultados experimentales. En cualquier caso, el límite debe aplicarse a τc (E.7.24) y no a τ (E.7.29), ya que τ es una tensión nominal, pero para manejar una fórmula final τ(ρfy) hay que realizar una transformación. Para ello, se utiliza la relación entre τ y τc que proporciona la ecuación del equilibrio longitudinal (E.7.20), así como la expresión final del factor k (E.7.28). El resultado es la siguiente fórmula:

( ) c1yy

yy

y K1 ffcf

fccf

f⋅⋅ρ⋅

β+ρβμ−

≤ρ⋅μ+⋅β+ρ

ρ=τ E.7.30

con la particularidad de que la propia cuantía aparece en el valor límite. Esta expresión se reescribe a continuación de forma adimensional, siendo comparable entonces con la curva de armadura mínima obtenida en el modelo de bielas y tirantes (E.7.7):

( ) 1K1⋅ω⋅

β+ωβμ−

≤ω⋅μ+⋅β+ω

ω=

c c

c t E.7.31

donde c es la cohesión adimensional (c=c/fc) y el coeficiente K1 puede adoptar valores entre 0,2 y 0,3 para diseño, pero podría aumentarse su valor para buscar mayor precisión en resultados. Análogamente, también puede plantearse la curva límite del mismo modo que el seguido para deducir la expresión E.7.12 en el modelo de bielas y tirantes. Utilizando la relación E.7.11 hay que operar con cada término de la desigualdad de E.7.31 para eliminar β. El resultado es:

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

μ+αη⋅ω

αη⋅+⋅ω⋅

μ+αη≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

αηωμω+

⋅+⋅αηω

= 1K

K41 2

K141 2 2

1

11 cc

ccc

t E.7.32

siendo α el coeficiente usado para definir el bloque rectangular de tensiones de compresión α·fc en el ala, correspondiente a la situación de agotamiento a flexión de la sección crítica B (Fig.7.1b); y η la fracción comprimida del espesor del ala definida en E.7.11. Utilizando t de E.7.32 y β de E.7.11, pueden particularizarse las expresiones E.7.24, E.7.26 y E.7.28, que determinan así el mecanismo resistente de la Fig.7.4, aunque resultan expresiones más pesadas. En el caso de cohesión nula c=0 la expresión E.7.32 no puede emplearse, hay que deducir una nueva a partir de E.7.11 y de E.7.31, resultando:

1

1

KK⋅μ+αη

⋅αη≤ω⋅μ=t E.7.33

es decir, el modelo de corte–fricción es tan sencillo que se mantiene el mismo formato de la fórmula original aunque el valor límite superior queda penalizado debido a la consideración de la



excentricidad del rasante. No obstante, no hay que olvidar que la tensión t es nominal, ya que la verdadera tensión tangencial es τc, con un valor mayor que la nominal cuanto mayor sea la excentricidad del rasante, y sobre ella sigue aplicando la misma limitación: τc≤K1·fc. 7.1.2.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero Para considerar la contribución de las fibras de acero en un modelo de cohesión y fricción, sin alterar la esencia del mismo, la solución consiste en introducir un término adicional de resistencia a tracción postfisuración y normal al plano de corte, equivalente a la fuerza de cosido ρfy de la armadura. En la Tabla 2.19 pueden observarse diversas fórmulas empíricas que contemplan armadura transversal de cosido y fibras de acero y que conservan una forma que encaja con un modelo de cohesión más fricción. Se tiene, por ejemplo, la primera propuesta de Swamy et al. (1987) [379], claramente presentada como un valor fijo de cohesión más un término (ρfy+fFtu) afectado por un coeficiente de fricción; o la propuesta más reciente de Al-Sulayvani y Al-Feel (2009) [388], con una apariencia de términos independientes, incluyendo una componente normal exterior sobre el plano de corte, pero que puede reordenarse estableciendo un coeficiente común de fricción. Estas consideraciones conducen a reescribir la expresión E.7.18 de la tensión rasante en el tramo comprimido del siguiente modo:

( )cFtuoyc σΔ++ρ⋅μ+=τ ffc K E.7.34en donde fFtu y Ko mantienen los significados expuestos en 7.1.1.2 con el modelo de bielas y tirantes. Siendo la cohesión c básicamente una propiedad del hormigón y la fricción μ una propiedad básicamente de las superficies formadas en el plano de corte, en principio, pueden mantener los valores del hormigón armado, y no se cambia la notación. El esquema planteado del ala en estudio para el caso de hormigón armado (Fig.7.4) se mantiene igual, y la solución que proporciona un valor máximo de la resistencia tangencial sería la misma, en este caso, con Δσt=ρfy+Ko·fFtu y resultando igualmente τt=0. Basta entonces reescribir las expresiones deducidas para hormigón armado. La curva de armadura mínima original E.7.31 se transforma en la siguiente expresión:

( )( ) ( ) 1F

FF

F

F K1 ⋅βμ−⋅β++ω

+ω≤+ω⋅μ+⋅

β++ω+ω

=c f

ffcc f

ft E.7.35

en donde fF es la resistencia adimensional a tracción de las fibras ya definida en E.7.14. Y la curva límite original E.7.32 se transforma en la siguiente expresión:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

μ+αη⋅+ω

⋅αη⋅+⋅+ω⋅

μ+αη≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+ω⋅αη+ωμ+

⋅+⋅+ω⋅αη

=

1K

K41 2

K

141 2

21F

1F

1

F

FF

fcf

c

ffcc

cft

E.7.36



7.1.3 Campos de tensiones 7.1.3.1 Hormigón armado En el apartado 2.4.2.2.1 se describieron diversos modelos de campos de tensiones para el estudio del rasante en el ala. De entre ellos se ha escogido el modelo de Morley y Rajendran (1975) [22] que emplea un número mayor de campos de tensiones que otros modelos más simples, con lo que se describe mejor el problema, pero la formulación resultante sigue siendo sencilla. El modelo se ilustra en la Fig.7.5a, consistente en 3 campos de tensiones H, J y K, fuera de ellos el estado tensional es nulo. Los campos J y K son uniaxiales y se les aplica como criterio resistente la limitación de la tensión de compresión. El campo H está sujeto a un estado biaxial de tensiones en donde aparecen tracciones transversales que deben ser resistidas por la armadura transversal, aplicando como criterio resistente el planteado en la teoría del análisis límite para una laja de hormigón armado (Fig.7.5b), se trata del caso 2 de la Tabla 2.11, siendo x el eje longitudinal de la viga.

(a) ak·

2efb

efb

σK

fN

στ

σ

τJ

Jy

Hy

H

y

x

σJσK

q·a

y

xσ

xyτ

ρ yyf

σy

<0

>0

= −ρ yyfxσ

xyτ 2

(b)

Fig.7.5. Modelo de 3 campos de tensiones: (a) esquema de trabajo; (b) criterio resistente para la armadura en el campo H.

Las ecuaciones E.2.117, E.2.118 y E.2.119, ya anotadas en el apartado 2.4.2.2.1 y demostradas en el anejo B, que describen el modelo, se reescriben a continuación con la notación seguida en el presente apartado, y utilizando unos nuevos parámetros geométricos, k y q según la Fig.7.5a. En primer lugar, k y q resultan de minimizar la cuantía de la armadura para resistir un valor dado de la resultante Nf:

0,5=q E.7.37

( )( )22

22

41 4 16 41 16

β+⋅ω+β⋅νβ+⋅ω+β⋅ν

=k E.7.38

Y en segundo lugar, la tensión nominal rasante se expresa:

( )22 41 4

3

β+⋅νω

+β

ω⋅β=t

E.7.39

siendo ν el factor de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón usado para la condición de agotamiento del campo J, es decir: σJ≤ν·fc. La expresión E.7.39 es comparable entonces con la curva de armadura mínima obtenida en el modelo de bielas y tirantes (E.7.7) y de transferencia a corte (E.7.31). Las expresiones para τJ y τH no son necesarias ya que sobre ellas no se aplica ningún criterio resistente.



Del mismo modo que el seguido para deducir la expresión E.7.12 en el modelo de bielas y tirantes, también se puede proceder a plantear la curva límite. La situación de agotamiento a flexión de la sección crítica B (Fig.7.1b) significa también imponer la condición de agotamiento para la tensión del campo K, es decir, σK=α·fc. Debe utilizarse entonces la relación E.7.11 para eliminar β de las expresiones E.7.38 y E.7.39, resultando fórmulas más sencillas aún:

( )ω+ναη−ω+ν

= 4

4k E.7.40

ω+νη⋅α−ν

⋅ω⋅η⋅α⋅= 3

21t E.7.41

7.1.3.2 Hormigón armado reforzado con fibras de acero La consideración de la contribución de las fibras en el modelo planteado de campos de tensiones requiere revisar los criterios de agotamiento utilizados. El primer criterio consiste en el uso de un factor de eficacia ν para la resistencia a compresión del hormigón, para lo cual se puede proceder a emplear un nuevo factor νF, tal y como se planteó para el modelo de bielas y tirantes (v. 7.1.1.2). El segundo criterio consiste en la plastificación de la armadura funcionando en un elemento laja, enmarcado dentro de la teoría del análisis límite, así que hay que replantear el caso 2 de la Tabla 2.11, ilustrado en la Fig.7.5b para hormigón armado y el campo de tensiones H. Para ello se representa la Fig.7.6 y se introduce una resistencia a tracción postfisuración, que debe ser perpendicular a la fisura con inclinación θ. Para ser coherentes con el tratamiento planteado en modelos previos, esta resistencia postfisuración ha de expresarse Ko·fFtu ya que, como ya se comentó (v. 7.1.1.2), las condiciones de distribución y orientación de las fibras en el ala pueden diferir de las de la probeta de flexotracción. Consideraciones de equilibrio conducen a la siguiente expresión:

FtuoFtuox

2xy

yy ff

f ⋅−⋅−σ

τ−σ=ρ K

K E.7.42

En el anejo B puede consultarse esta demostración y el resto de la implementación de las fibras en la formulación del modelo de campos de tensiones.

yσ

xσ

xyτ

ρ yfFtuf θoK ·

Ecuaciones de equilibrio:

0

0

Ftuoyxyy

Ftuoxyx

=θ⋅−θ⋅ρ−θ⋅τ+θ⋅σ

=θ⋅−θ⋅τ+θ⋅σ

cosKcossencos

senKcossen

ff

f

con el criterio de tracción positiva (σx>0 y σy>0)

Fig.7.6. Criterio de agotamiento de un elemento laja con armadura transversal y fibras de acero según la teoría de análisis límite.

La condición E.7.42, habiendo expresado σx, σx y τxy a partir de las ecuaciones de equilibrio entre los campos de tensiones, se utiliza para encontrar los parámetros geométricos k y q, minimizando la armadura e imponiendo la condición plástica en el campo J (σJ=νF·fc). El resultado, para mayor simplicidad, se expresa en función de la tensión nominal rasante adimensional t:



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+⋅=

tfq F1

21 E.7.43

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

β⋅+⋅

β−=

2F1

411

2 1

tftk E.7.44

y la tensión t se obtiene con la siguiente expresión, que puede denominarse curva de armadura mínima, análoga a la expresión E.7.39 pero incluyendo el efecto de las fibras:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ων

+β+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ων

+β+⋅+ν⋅−+ν++ν

⋅β

=

F

F2

F

F2FFF

2FFFF

141

141423 23

2f

fffff

t E.7.45

siendo fF la resistencia a tracción postfisuración adimensional según E.7.14. Para νF puede tomarse la expresión E.2.239 como referencia. La consideración simultánea del agotamiento a compresión del ala (condición σK=α·fc), derivada de la situación de agotamiento a flexión de la sección crítica B (Fig.7.1b), conduce a la curva límite. Operando del mismo modo que en hormigón armado (v. 7.1.3.1) resultan unos parámetros geométricos de expresión más sencilla:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αη

+⋅= F121 fq E.7.46

( ) ( )( )FFF

F

4 31

fffk

+ω+ν⋅⋅αηω−αη⋅+αη+ω⋅αη

−= E.7.47

y una tensión nominal rasante también más sencilla:

( ) ( ) ( )[ ]2FFFFF

FF

F 23 21

αη−+ν⋅−+ν⋅αη⋅+ω+ν

+ω⋅= fff

fft E.7.48

7.2 CONTRASTE DE RESULTADOS 7.2.1 Resultados en vigas de hormigón armado 7.2.1.1 Otros autores En el apartado 2.2.1 se describieron los ensayos llevados a cabo por diversos autores en vigas en T, casi en su totalidad, con esquemas de carga para conseguir alas trabajando en compresión. Se han seleccionado todos aquellos casos de vigas en T cargadas solamente sobre el alma, con una información suficiente para poder disponer datos que permitan contrastar los modelos de cálculo revisados en el apartado 7.1. En total son 24 vigas con una distribución uniforme de la armadura transversal en el ala, excepto en el caso de la viga Q1 de Badawy y Bachmann (1977) [29]. Dicha viga posee una armadura transversal con una capacidad, anotada ρf·fy en la Tabla 2.3, que por capa oscila de 1,60MPa en apoyo a 0,48MPa en centro de vano. La viga falló por rasante y en la Fig.2.5 puede observarse cómo funciona esta armadura para el nivel de carga en agotamiento, prácticamente el mecanismo



resistente queda gobernado por la cuantía más baja, mientras que se desaprovecha la capacidad de la armadura contigua al apoyo. A efectos de cálculo, entonces, no parece adecuado utilizar un valor promedio de la armadura, que resultaría en 0,75MPa por capa, y mantener el valor de 0,48MPa podría resultar optimista. Finalmente se opta por no contabilizar las armaduras adyacentes al apoyo en un tramo de longitud igual a la mitad de la que existe entre el apoyo y el pico de fuerza de tracción transversal Ny en la Fig.2.5. Según la información disponible, ello conduce a eliminar 3 de las 11Ø6 por capa existentes en el tramo de 2m en donde se desarrolla el rasante, resultando una capacidad de 0,55MPa por capa, 1,09MPa en total, que es valor anotado en la Tabla 7.1.

Tabla 7.1. Datos de las vigas seleccionadas de otros autores.

VIGA bw [mm]

b [mm]

hf [mm]

d [mm]

a [mm]

ρl·fyl [MPa]

fyl [MPa]

ρ·fy [MPa]

fc [MPa]

ME,fis [kNm]

MEu [kNm]

tipo** rotura

Placas (1969): T21 152 152 76 254 915 25,8 621 0 32 128 137 R ~fis. T24 152 152 76 254 915 25,8 621 0 35 146 156 R ~fis. T37 152 229 76 254 915 25,8 621 0,52 32 146 192 C T32 152 229 76 254 915 25,8 621 0,79 28 146 199 C T14 152 229 76 254 915 25,8 621 1,58 33 165 201 C T6 152 229 76 254 915 25,8 621 1,58 26 165 188 C

Regan (1967): U1 152 459 76 254 1375 25,8 621 0,38 30 168 237 R U4 152 459 76 254 1375 25,8 621 0,38 28,5 145 206 R U3 152 459 76 254 1375 25,8 621 1,02 30 168 252 R+C U7 152 459 76 254 1375 25,8 621 6,74 29,2 168 275 F

Badawy y Bachmann (1977): Q1 200 400 100 550 2000 21,4 554 1,09 25,6 764 1036 R Q2 200 400 100 550 2000 21,4 554 2,18 29,2 764 1122 F

Domingues (1981): T1-121 150 675 60 425 2250 18,4 570 0,88 30 394 557 R T1-111 150 675 60 425 2265 24,0 570 1,7 33,9 396 759 R T1-211 150 675 60 425 1500 18,4 570 1,7 28,4 225 549 R T1-112 150 675 60 425 2250 18,4 570 1,7 27,6 prefis. 574 R (prefis.)

Tizatto (1987): MT1 150 600 70* 430 2000 30,6 570 0 35,1 500 500 R fis. MT2 150 600 75* 430 2000 30,6 570 0,68 41,6 600 600 R fis. MT3 150 600 75* 430 2000 30,6 570 1,13 31,3 650 750 R MT4 150 600 70* 430 2000 30,6 570 1,66 35,8 580 730 R MT5 150 600 70* 430 2000 30,6 570 1,82 30,8 600 780 R MT6 150 600 70* 430 2000 30,6 570 2,43 32,8 640 860 R MT7 150 600 70* 430 2000 30,6 570 2,91 32,8 s/dato 860 F MT8 150 600 75* 430 2000 30,6 570 3,4 27,5 600 900 F

* Espesor del ala variable linealmente, siendo hf el valor alcanzado en la unión ala–alma y 50mm en el extremo del ala.

** Notación: R= rasante; C= cortante; F= flexión; "~fis." o "fis."= nivel de carga aproximadamente o igual al rasante de fisuración; "prefis."= ala prefisurada.

La Tabla 7.1 recoge las características más relevantes de las vigas seleccionadas para contrastar resultados, repetición en la mayoría de los casos de la información dada en el apartado 2.2.1, con



alguna excepción como el caso ya comentado de la viga Q1. Como puede observarse, acorde a la información aportada por los autores originales, se anotan vigas que agotaron por rasante pero también por otros motivos diferentes como cortante vertical o flexión. El motivo es que el número de datos experimentales es escaso, y estas últimas vigas pueden proporcionar un valor del rasante solicitante en la situación de fallo que, siendo inferior al rasante resistente último que habría sido capaz de desarrollar cada viga, podría encontrarse en un valor cercano a éste último. Este aspecto se discutirá más adelante. En cualquier caso, no cabe duda que resultará en un rasante resistente del lado seguro, característica que se deberá tener presente en la discusión y contraste de modelos de cálculo. El significado de los distintos parámetros de la Tabla 7.1 es el acostumbrado: bw es el ancho del alma; b es el ancho del ala situada a un lado del alma; hf es el espesor constante del ala, excepto en el caso de las vigas de Tizatto (1987) [26], según se aclara en las notas de la tabla; d es el canto útil; a es el tramo de viga entre el apoyo y la sección de máximo momento flector (Fig.7.1); ρl es la cuantía de la armadura longitudinal de flexión (referida al área del alma bw·d); fyl es el límite elástico de la armadura longitudinal de flexión; ρ·fy es la capacidad de la armadura transversal del ala; fc es la resistencia a compresión del hormigón. Acorde a la Fig.7.1b, se proporciona para la sección B el valor del momento flector en dos situaciones: ME,fis corresponde al instante de inicio de la fisuración longitudinal por rasante; y MEu corresponde a la situación final de fallo de la viga, cuando se alcanza el máximo valor de la carga. Más detalles de las vigas se han proporcionado en el apartado 2.2.1. 7.2.1.1.1 Ancho eficaz El principal dato ausente en la Tabla 7.1 es el ancho eficaz alcanzado por el ala en las dos situaciones de carga anotadas, necesario para la evaluación de la resultante axil de compresiones en el ala y, consecuentemente, del esfuerzo rasante en el tramo a. Sólo Tizatto (1987) [26] proporcionó este dato, correspondiente a una situación cercana al fallo de la viga, resultado de un registro exhaustivo de la deformación longitudinal del ala (Fig.2.8). En el resto de casos, la información existente no permite proceder de una forma similar a la seguida por Tizatto (1987) [26], o en la presente tesis (v. 6.3), así que se va a plantear otro modo de evaluar el ancho eficaz de cada viga. En primer lugar, en la Tabla 7.2 se anotan los escasos datos existentes sobre el ancho eficaz experimental, que corresponden a la serie de vigas MT, así como el ancho eficaz en todas las vigas, resultante de aplicar la normativa seleccionada previamente en el apartado 6.1.1. Las vigas MT1 y MT2 fallaron para una carga correspondiente al rasante de fisuración, entorno a un 60% de la carga última de las vigas MT7 y MT8, que fallaron por flexión. Hay que señalar la práctica coincidencia del valor del ancho eficaz experimental de las vigas MT1 y MT2 con el ancho eficaz establecido en EHE [1], por lo que éste parece la opción más adecuada para estimar el ancho eficaz en una situación de carga de la viga equiparable a servicio, con las alas íntegras, de modo que no se vea afectado por la cuantía de la armadura transversal. La viga MT8, con el mayor valor de ρ·fy, presenta un ancho eficaz experimental a mitad de camino entre el propuesto por EHE [1] y por EC2 [4]. Las vigas MT6 a MT4, con reducción progresiva de ρ·fy pero siempre superando a las vigas MT1 y MT2, ven reducido también su ancho eficaz experimental correspondiente, por debajo incluso de las vigas MT1 y MT2, lo que claramente es un indicativo de que, superado el nivel de carga del rasante de fisuración, la armadura transversal del ala influye en su ancho eficaz. En concreto, la cuantía empleada para estas vigas es incapaz de garantizar el valor del ancho eficaz prescrito en la normativa de hormigón usada. Es evidente que la formulación del ancho eficaz de la normativa no es válida para el estudio de estas vigas.



Tabla 7.2. Ancho eficaz experimental y según normativa.

Ancho eficaz b ef [mm] RPX-95 [16] autor viga b

[mm] experimental (V/Vu %) *

EC2 [4]

EHE [1] E.L.S. E.L.U.

EH-91 [36]

Placas (1969) todas 229 - - 229 183 148 229 189 Regan (1967) todas 459 - - 367 275 390 459 378 Badawy y Bachmann (1977) Q1-Q2 400 - - 400 400 294 400 340

T1-211 - - 485 350 342 675 413 Domingues (1981) resto 675 - - 635 500 411 675 453 MT1 512 (100%) MT2 494 (92%) MT3 sin dato MT4 348 (93%) MT5 355 (96%) MT6 461 (93%) MT7 sin dato

Tizatto (1987)

MT8

600

557 (94%)

600 500 375 600 429

* En la relación V/Vu anotada entre paréntesis, V es el nivel de carga para el que se evaluó el ancho eficaz y Vu es el nivel de carga para el que se produjo el agotamiento de la viga.

Para profundizar más en el establecimiento de un ancho eficaz y su relación con la armadura transversal, en la Tabla 7.3 se reúne el resultado de analizar la sección transversal crítica de cada viga mediante cálculo plástico en flexión, considerando el ancho real del ala y considerando también el ancho eficaz establecido por EHE [1], siendo con este último con el que se establece el valor mínimo de la armadura transversal del ala según el método de bielas y tirantes, utilizando cotgθf=2. En el análisis seccional se ha tenido en cuenta el espesor variable de las alas de las vigas de la serie MT (hf en la unión ala–alma y 50mm en el extremo del ala). Para el bloque comprimido se ha considerado una resistencia α·fc con α=1. Para determinar la capacidad plástica de la armadura longitudinal se ha utilizado el dato fyl, no obstante, en ciertos casos, esta resistencia parece insuficiente, ya que el momento resistente MRu obtenido resulta inferior al valor experimental MEu con una diferencia apreciable. Son los casos de las vigas de Domigues (1981), las vigas MT7 y MT8 de Tizatto (1987) [26] y, en menor medida, las vigas U7 y U3 de Regan (1967). La explicación puede encontrarse en la documentación más detallada dada por Tizatto (1987) [26], en donde claramente fyl=570MPa es un límite elástico convencional, ya que el acero no presenta escalón de cedencia, alcanzando una tensión de rotura de 712MPa con una deformación del 11,6‰. Si se rehacen los cálculos para la viga MT8, buscando MRu=MEu=900kNm para el ancho b=600mm, la resistencia a tracción demandada para la armadura longitudinal resulta fs=650,6MPa, un valor que entra dentro de lo razonable (hay que añadir x=64,34mm y Nf=994kN). En relación al ancho del ala, el empleo de dos valores, el real b y el eficaz bef según EHE [1], sirve para ilustrar cómo una variación apreciable en el ancho apenas influye en el momento resistente teórico MRu, y su efecto queda también reducido, aunque menos, en la resultante axil sobre el ala Nf. El ejemplo más notable lo constituyen las vigas de Regan (1967), una reducción del 40% en el ancho del ala (de b=459mm a bef=275mm) supone sólo una reducción del 4% en el



momento resistente MRu y una reducción del 9% en la resultante axil Nf. La explicación se debe a que la profundidad del bloque comprimido cae dentro del espesor del ala (x<hf) con un margen suficiente como para que cualquier modificación del ancho b no cambie dicha situación. Esto ocurre además con todas las vigas de la Tabla 7.3, lo que permite concluir que, en estos casos, no es necesaria una gran precisión en la estimación de bef. Finalmente, la principal utilidad de la Tabla 7.3 es comparar la armadura transversal en las alas de las vigas con la armadura mínima que se deduce de aplicar EHE [1] utilizando el ángulo mínimo de inclinación de las bielas propuesto por EC2 [4], es decir:

( )211

f

f

ff

fmíny ⋅

⋅=

θ⋅

⋅=ρ

haN

haN

fcotg

E.7.49

Como puede observarse, sólo la viga U7 posee un valor de ρfy que supera ampliamente el valor mínimo, habiendo agotado efectivamente por flexión longitudinal. En esta viga se observó aplastamiento generalizado en toda la anchura del ala y en la Fig.2.4 se aprecia un valor mínimo en la relación ε/εalma de ~0,7; ello permite suponer una deformación ε≈0,7×3,5‰=2,45‰ en el punto del paramento superior del ala más alejado del alma, lo que indicaría que se alcanzó una tensión fc de compresión en toda la anchura y, por tanto, un ancho eficaz bef=b. No puede decirse lo mismo de las vigas U3, U4 y U1, con un valor de ρfy muy inferior al mínimo. En estos casos la Fig.2.4 no resulta suficiente para poder valorar el ancho eficaz bef, que debió resultar inferior al ancho real. Aparte, el hecho de que la viga U3 presente MEu=252 > 238=MRu (con b) indica que debería revisarse el valor de la tensión de tracción de la armadura, ya que seguramente se trató de un acero sin escalón de cedencia, información que no está disponible. Las vigas Q2, T1-112 y MT7 poseen un valor de ρfy que queda ligeramente por debajo del valor mínimo, y la viga MT8 ligeramente por encima. Q2, MT7 y MT8 fallaron por flexión, mientras que el fallo de T1-112 fue descrito como fallo por rasante, pero tenía la particularidad de que la unión alas–alma había sido prefisurada. El resto de vigas ofrecen una clara deficiencia de armadura transversal, con valores de ρfy incluso inferiores a la mitad del mínimo, y la mayoría presentaron una rotura catalogada como fallo por rasante, excepto 4 vigas de Placas (1969) que fallaron por cortante, aunque hay que recordar que las vigas de este autor se enmarcaban en un estudio general del cortante. Es interesante comentar la viga Q2, que posee una anchura del ala pequeña, ya que el ancho eficaz según EHE [1] coincide con el real. En la documentación original [29] se puede ver que el acero longitudinal presenta un escalón de cedencia, luego el uso de fyl es adecuado, ya que se trata de un límite elástico aparente, y es de esperar mayor aproximación en el cálculo del momento último. El fallo observado por sus autores fue de flexión, pero el momento de agotamiento anotado resulta inferior al momento teórico. Dado que la armadura transversal del ala resulta ligeramente inferior a la mínima, podría considerarse un ancho eficaz del ala inferior al real. Si, mediante el análisis seccional plástico, se busca un ancho eficaz bef tal que se igualen los momentos de agotamiento teórico y experimental, MRu=MEu=1.122kNm, se obtiene bef=207mm (con x=196mm, en el alma, y Nf=604kN), valor del ancho que resulta pequeño para las características de la viga. Este ejemplo pone de relieve que, con la información disponible, no parece adecuado plantear el cálculo del ancho eficaz basándose únicamente en la equivalencia del momento flector.



Tabla 7.3. Análisis seccional plástico y armadura mínima por rasante.

DATOS Análisis seccional

con b real Análisis seccional con bef según EHE [1] y (ρ·fy)mín

VIGA ρ·fy [MPa]

fc [MPa]

MEu [N·mm]

b [mm]

hf [mm]

x [mm]

MRu [kN·m]

Nf [kN]

bef [mm]

x [mm]

MRu [kN·m]

Nf [kN]

ρ·fy [MPa]

Placas (1969): T21 0 32 137 229 76 51,0 228 374 183 60,1 223 352 2,53 T24 0 35 156 229 76 46,7 230 374 183 54,9 226 352 2,53 T37 0,52 32 192 229 76 51,0 228 374 183 60,1 223 352 2,53 T32 0,79 28 199 229 76 58,3 224 374 183 68,7 219 352 2,53 T14 1,58 33 201 229 76 49,5 228 374 183 58,3 224 352 2,53 T6 1,58 26 188 229 76 62,8 222 374 183 74,0 216 352 2,53

Regan (1967): U1 0,38 30 237 459 76 31,0 238 427 275 47,3 229 390 1,87 U4 0,38 28,5 206 459 76 32,7 237 427 275 49,8 228 390 1,87 U3 1,02 30 252 459 76 31,0 238 427 275 47,3 229 390 1,87 U7 6,74 29,2 275 459 76 31,9 237 427 275 48,6 229 390 1,87

Badawy y Bachmann (1977): Q1 1,09 25,6 1.036 400 100 92,0 1.186 942 400 92,0 1.186 942 2,35 Q2 2,18 29,2 1.122 400 100 80,6 1.200 942 400 80,6 1.200 942 2,35

Domingues (1981): T1-121 0,88 30 557 675 60 26,1 483 528 500 34,0 478 510 1,89 T1-111 1,7 33,9 759 675 60 30,1 628 689 500 39,3 621 666 2,45 T1-211 1,7 28,4 549 675 60 27,5 482 528 350 48,6 470 483 2,68 T1-112 1,7 27,6 574 675 60 28,3 482 528 500 36,9 477 510 1,89

Tizatto (1987): MT1 0 35,1 500 600 70 41,7 808 877 500 48,9 800 858 3,06 MT2 0,68 41,6 600 600 75 35,1 814 877 500 41,3 808 858 2,86 MT3 1,13 31,3 750 600 75 46,7 803 877 500 55,3 795 857 2,86 MT4 1,66 35,8 730 600 70 40,8 808 877 500 47,9 801 858 3,06 MT5 1,82 30,8 780 600 70 47,5 802 877 500 56,7 794 856 3,06 MT6 2,43 32,8 860 600 70 44,6 805 877 500 52,5 797 858 3,06 MT7 2,91 32,8 860 600 70 44,6 805 877 500 52,5 797 858 3,06 MT8 3,4 27,5 900 600 75 53,4 796 877 500 68,1 787 846 2,82

En consecuencia, se procede del siguiente modo:

— En vigas que fallaron para un nivel de carga correspondiente con el rasante fisuración, carentes o con muy baja armadura transversal en el ala, se usa ancho eficaz de EHE [1]. Prácticamente se trata de las vigas T21 y T24, con ρfy=0, ya que las vigas MT1 y MT2 disponen del valor del ancho eficaz experimental.

— En las vigas de la familia MT con dato experimental del ancho eficaz se usa, obviamente, dicho valor.

— En las vigas restantes, incluidas MT3 y MT7, se calcula un ancho eficaz con una relación semi-empírica basada en los resultados de las vigas MT, siempre y cuando dicho valor no resulte superior al ancho real.



Para establecer esta relación semi-empírica se utilizan los resultados teóricos de la aplicación del método de los campos de tensiones (v. 7.1.3.1) y el concepto de curva límite. El motivo es que este método ofrece una expresión única para la relación t(ω), entre resistencia a rasante y cuantía de la armadura, mientras que los otros dos métodos necesitan expresiones adicionales para definir así valores límites. La solución consiste en buscar una relación entre el ancho eficaz y la cuantía de la armadura transversal. Utilizando E.7.11 puede sustituirse la tensión t en la expresión E.7.41, de modo que se obtiene la siguiente relación:

ω+νω

⋅αη

αη−ν=β

43 E.7.50

en donde hay que recordar que β es el cociente entre el ancho eficaz bef y la longitud a del tramo de ala que resiste el rasante (E.7.4). En consecuencia, debería existir una relación lineal entre β² y ω/(ν+ω). Dado que se conoce β y ω de 6 de las 8 vigas de la serie MT, en la Fig.7.7 se representan estos datos con el valor habitual propuesto para el factor de eficacia de la resistencia a compresión en presencia de fisuración oblicua, ν=0,6, caso recogido en la Tabla 2.8 al suponer fisuración controlada y propuesto por EHE [1] para aplicación del método de bielas y tirantes. Como caso más generoso, dado que ν se utiliza como condición del campo de tensiones J (Fig.7.5a), se añade también la Fig.7.8, en donde se representan los mismos datos pero con ν=0,8, que corresponde a fisuración paralela. Además, se añaden los resultados de las vigas de hormigón armado ensayadas en la presente tesis, las vigas V1-0, V2-0, V3-0 y V4-0. Hay que recordar que el mecanismo resistente planteado por todos los modelos estudiados, en concreto el de campos de tensiones, considera el estado fisurado del hormigón, luego los datos de vigas que fallaron por rasante de fisuración, porque carecían de armadura transversal o presentaban una cuantía muy baja, no resultan válidos para verificar la relación E.7.50. Tizatto (1987) [26] sólo proporcionó el valor del ancho eficaz para la situación del rasante de fisuración en las vigas MT1 y MT2, por ello estas vigas deben descartarse. Basta observar las Fig.7.7 y Fig.7.8 para confirmar que no siguen la tendencia lineal de las restantes vigas cuatro vigas de la misma serie, MT4, MT5, MT6 y MT8. Respecto a las vigas de la presente tesis, puesto que se procedió a evaluar la evolución del ancho eficaz durante todo el proceso de carga, se dispone de información del mismo para la situación del rasante de fisuración y para la situación de máxima carga soportada por la viga. Por ello pueden representarse dos puntos para cada viga, excepto V4-0, que no resulta fiable en la situación de carga máxima ya que falló prematuramente por coqueras en el alma. Como ya se ha comentado, la representación en las Fig.7.7 y Fig.7.8 de la situación correspondiente al rasante de fisuración en estas vigas confirma la independencia de β² con respecto de ω/(ν+ω). Las vigas V2-0, V3-0 y V4-0 ofrecen prácticamente el mismo β², mientras que el valor más bajo de V1-0 puede justificarse por los problemas de prefisuración parcial sufridos en el proceso de desencofrado. Una vez superado el nivel de carga del rasante de fisuración, en la situación de agotamiento de las vigas, se observa que las vigas V1-0, V2-0 y V3-0 siguen una tendencia lineal. Las pendientes de las rectas ajustadas, en teoría, se corresponden con el factor (3ν–αη)/(4αη) de la expresión E.7.50. Dado que ν es un valor propuesto, dentro de los valores habituales recomendados, y α es conocido del análisis seccional, puede deducirse el valor de η, que hay que recordar que se definió en E.7.11 como la fracción del espesor del ala que resulta comprimida (η=x/hf≤1).



Relación β~ω, caso ν=0,6

MT1MT2

MT8

MT6

MT5MT4

V1-0

V2-0V3-0

V4-0

V1-0

V2-0

V3-0

y = 0,4423x

y = 0,2957x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω/(ν+ω)

β²

Nf,fis Tizatto

MEmáx Tizatto

Nf,fis esta tesis

MEmáx esta tesis

Fig.7.7. Relación β~ω según resultados experimentales (caso ν=0,6). Nf,fis= situación de carga

correspondiente al rasante de fisuración; MEmáx= situación de máxima carga.


MT2MT1

MT4 MT5

MT6

MT8

V4-0V3-0

V2-0

V1-0

V3-0

V2-0

V1-0

y = 0,5699x

y = 0,3772x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

ω/(ν+ω)

β²

Nf,fis Tizatto

MEmáx Tizatto

Nf,fis esta tesis

MEmáx esta tesis

Fig.7.8. Relación β~ω según resultados experimentales (caso ν=0,8). Nf,fis=situación de carga

correspondiente al rasante de fisuración; MEmáx=situación de máxima carga. En primer lugar, para las vigas de la serie MT, se adoptó α=1 en el análisis seccional simplificado y de la Tabla 7.3 puede obtenerse un valor promedio η=0,79 de las cuatro vigas MT4, MT5, MT6 y MT8, para el caso de usar el ancho eficaz según EHE [1]. Si bien este cálculo no se corresponde exactamente con la situación experimental de agotamiento, por problemas ya comentados, sí puede tomarse como indicativo de esta serie de vigas, con una cabeza de compresión fuerte, obligando a que el bloque comprimido caiga dentro del espesor del ala. En



segundo lugar, para las vigas de esta tesis no se procedió a un análisis seccional simplificado, sino que se usó una ley no lineal para el hormigón (v. 6.3.1.1). De estos cálculos se sabe que η=1 en todos los casos, debido a una capacidad de la armadura de tracción superior a la capacidad a compresión de las alas. El valor de α puede determinarse con los resultados de la Tabla 6.10, basta repartir el valor de Nf entre el área del ala eficaz y relacionarlo con el valor de la resistencia a compresión, es decir, α=Nf/(bef ·hf ·fc). Para la situación de carga máxima, anotada como MEmáx, el valor promedio obtenido para las vigas V1-0, V2-0 y V3-0 es α=0,93. Con estas consideraciones puede elaborarse la Tabla 7.4, en donde se presenta el factor η de compresión parcial del ala deducido del ajuste experimental entre β y ω, para los casos ν=0,6 y ν=0,8. El parámetro m es la pendiente de las rectas ajustadas en Fig.7.7 y Fig.7.8, así que el factor resulta η=3ν/(α·(1+4m)). Es de destacar el hecho de que en las vigas VN-0, en donde se ha procedido con un análisis seccional más detallado, coherente con el cálculo de bef, el caso ν=0,8 conduce a un valor prácticamente exacto de η (1≈1,03). En las vigas MT la diferencia en η es más notable, pero con ν=0,8 se obtiene mayor aproximación (0,79<>0,73).

Tabla 7.4. Factor η deducido del ajuste experimental entre β y ω.

análisis seccional ajuste de la relación β~ω Vigas α η ν m η

0,6 0,4423 0,65 MT4, MT5, MT6 y MT8 1 0,79 0,8 0,5699 0,73 0,6 0,2957 0,89 V1-0, V2-0 y V3-0 0,93 1 0,8 0,3772 1,03

La propuesta de relacionar β con ω de este modo parece, por tanto, adecuada, de manera que en el resto de vigas de hormigón armado, de las que se carece de información experimental sobre el ancho eficaz, éste podría estimarse a partir de E.7.50, sustituyendo β por su definición:

ω+νω

⋅ηα

ηα−ν⋅=

4 3 ef ab E.7.51

en donde α=1 y para η puede tomarse como valor aproximado el que resulta del análisis plástico anotado en la Tabla 7.3 para el caso ideal de usar el ancho eficaz según EHE [1]. El resultado de aplicar la expresión E.7.51 se presenta conjuntamente con la evaluación del rasante solicitante en la situación de fallo de las vigas en el apartado 7.2.1.1.3. Allí se justifica cómo la variación del factor ν, entre 0,6 y 0,8, afecta en menor medida al valor del ancho eficaz, y su efecto todavía se reduce más en el valor final del rasante nominal adimensional t. 7.2.1.1.2 Armadura mínima que garantiza un ancho eficaz A raíz de los resultados gráficos del apartado anterior, presentados en las Fig.7.7 y Fig.7.8, es interesante crear un apartado nuevo para destacar el hecho de que puede establecerse un criterio para fijar una armadura mínima, cuyo objeto sería garantizar un valor establecido del ancho eficaz en la situación final de agotamiento a flexión. En este caso, el criterio surge de observar el comportamiento de las series de vigas MT y VN-0, independientemente, al relacionar los datos correspondientes al nivel de carga del rasante de fisuración con las rectas ajustadas según el criterio de la curva límite. La Fig.7.9 es repetición de la Fig.7.8, pero en ella se han dibujado unas rectas horizontales que representan el valor medio de β² para el nivel de fisuración en cada familia de vigas. Son



horizontales porque en esta situación el ancho eficaz es independiente de ω. Cada recta horizontal intersecta a la recta ajustada con el criterio de la curva límite en la familia de vigas correspondiente, y este punto de intersección permite deducir un valor de ω/(ν+ω) y, por tanto, de ω, que se podría anotar como ωfis. Este valor ωfis marca la cuantía mínima necesaria para garantizar que la viga, en la situación de agotamiento en flexión, mantenga el valor del ancho eficaz correspondiente al alcanzado con el nivel de carga del rasante de fisuración, que hay que recordar que es aproximadamente igual al ancho eficaz establecido en EHE [1]. En el caso de la familia MT, el único dato disponible de ancho eficaz de viga con ω>ωfis es la viga MT8, la cual falló por flexión y con un ancho eficaz experimental ligeramente superior al de las vigas MT1 y MT2. Según la Tabla 7.3 dicha viga posee una armadura ligeramente superior a la mínima (ρfy=3,4>2,82MPa) deducida con el ancho eficaz de EHE [1], con el modelo de bielas y tirantes, y con el ángulo mínimo sugerido por EC2 [4] (θf=26,5º). En el caso de la familia VN-0, la viga con ω>ωfis es V4-0, cuyo punto del nivel de fisuración está prácticamente alineado con la recta ajustada con las vigas V1-0, V2-0 y V3-0. Lamentablemente esta viga no resulta fiable en los datos de la situación de agotamiento, ya que su fallo vino condicionado por la presencia de coqueras en el alma, pero todo hace indicar que habría sido capaz de mantener el ancho eficaz del nivel de fisuración. En la Tabla 6.10 se aprecia cómo el ancho eficaz del nivel de fisuración es 409mm, baja a 392mm para la situación Nf,máx, que precede a la situación final de fallo en donde termina por alcanzar un valor de 360mm.


MT2MT1

MT4 MT5

MT6

MT8

V4-0V3-0

V2-0

V1-0V3-0

V2-0

V1-0

y = 0,5699xy = 0,3772x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

ω/(ν+ω)

β²

Nf,fis Tizatto

MEmáx Tizatto

Nf,fis esta tesis

MEmáx esta tesis

Fig.7.9. Establecimiento de una armadura mínima para garantizar el ancho eficaz en servicio.

Un comentario que puede hacerse con la serie de vigas VN-0, y no con la serie MT, es que, como se ha podido representar el ancho eficaz en dos situaciones diferentes de carga, la del rasante de fisuración y la del agotamiento final de la viga, queda claro el salto que se produce en el valor de β² cuando se pasa de la primera situación a la segunda. Y el salto se reduce conforme aumenta ω, hasta llegar a ωfis.



Este comportamiento podría generalizarse, aunque no se disponen de datos para su verificación. Se trata de establecer un valor para el ancho eficaz más generoso que el de fisuración, calcular β² e intersectar con dicho valor la recta de la curva límite, para obtener así la armadura ω mínima necesaria. Es de esperar que en vigas de alas anchas, penalizadas por el ancho eficaz prescrito en las normas, pueda utilizarse este criterio para aprovechar más la capacidad a flexión, cuyo coste sería una mayor cuantía de la armadura transversal. No hay que olvidar que se está tratando siempre de vigas en T con ausencia de flexión transversal en las alas. Para finalizar, otro aspecto de interés es que el criterio de establecer la armadura mínima transversal de las alas, utilizando el método de bielas y tirantes con un ángulo θf=26,5º, parece funcionar adecuadamente con el ancho eficaz de EHE [1], pero plantea dudas con el ancho eficaz de EC2 [4], que resulta superior. Es decir, en vigas de alas anchas, la armadura mínima indicada parece garantizar el ancho eficaz de EHE [1] en la situación de agotamiento a flexión, mientras que plantea dudas para garantizar el ancho eficaz EC2 [4]. El ejemplo lo constituye la viga MT8, según los datos presentados en la Tabla 7.5, obtenidos sin el empleo de coeficientes de seguridad.

Tabla 7.5. Viga MT8: ancho eficaz y armadura transversal comparados con EHE y EC2.

datos reales dato experimental según EHE [1] según EC [4] b = 600mm bef = 550mm bef = 500mm bef = 600mm ρfy = 3,4MPa (ρfy)mín = 2,82MPa

(θf=26,5º) (ρfy)mín = 2,92MPa (θf=26,5º)

En este sentido, el criterio que figura en EHE [1] es más seguro ya que, además de proponer un ancho eficaz más conservador, adopta una formulación del método de bielas y tirantes particularizada para θf=45º, que conduciría a ρfy=5,64MPa. 7.2.1.1.3 Rasante solicitante en la situación de fallo de la viga El rasante solicitante en la situación de fallo de las vigas de hormigón armado seleccionadas de la literatura se evalúa a partir de la resultante axil de compresiones en la sección crítica B (Fig.7.1). Esta resultante se calcula a partir del dato experimental del momento de agotamiento de la viga, a través de la expresión simplificada:

zM

bbb

N Eu

efw

eff 2

⋅+

= E.7.52

en donde los valores de bw y MEu se toman de la Tabla 7.1. Como ya se indicó, la reproducción de la situación de flexión de la sección correspondiente a MEu resultaba problemática, aparte de no conocer el ancho eficaz del ala, parecía necesaria conocer la resistencia real del acero de la armadura longitudinal y no el límite elástico convencional, dato no disponible en la mayoría de casos. En su defecto, por simplicidad, para el brazo mecánico se adopta z=d–x/2, siendo x la profundidad del bloque comprimido anotado Tabla 7.3, para el análisis seccional realizado según EHE [1]. Esta simplificación contiene además un ligero factor de seguridad, ya que el valor estimado para z ha de resultar ligeramente superior al real, lo que permite valorar por defecto la resultante Nf. En cuanto al valor del ancho eficaz, en 7.2.1.1.1 se estableció un criterio para estimarlo en aquellas vigas que carecían de este dato experimental y que fallaron para un nivel de carga superior al del rasante de fisuración, gracias a la contribución de la armadura transversal. El criterio se resume en la expresión E.7.51, aunque queda pendiente discutir la influencia del factor



ν, habiendo barajado valores de 0,6 y 0,8. Para ello se presentan los resultados completos de estas vigas en la Tabla 7.6, correspondientes a ambos casos. Como puede observarse, la diferencia en el valor del ancho eficaz es escasa, y esta diferencia se reduce al evaluar la resultante de compresiones en el ala. Con estos resultados, prácticamente es indiferente inclinarse por uno u otro valor del factor ν, no obstante, como ya se indicó con la Tabla 7.4, el caso ν=0,8 permitía un ajuste más aproximado de la curva límite con los resultados experimentales por lo que, en coherencia, se adopta esta última solución.

Tabla 7.6. Efecto del factor ν en el rasante solicitante.

caso ν = 0,6 caso ν = 0,8 VIGA ω η z [mm] bef [mm] Nf [kN] t bef [mm] Nf [kN] t T37 0,016 0,79 224 84 225 0,101 92 235 0,105 T32 0,028 0,90 220 97 254 0,130 109 267 0,137 T14 0,048 0,77 225 144 293 0,127 159 302 0,132 T6 0,061 0,97 217 128 272 0,150 147 286 0,158 U1 0,013 0,62 230 136 330 0,105 145 338 0,108 U4 0,013 0,66 229 134 287 0,096 144 294 0,099 U3 0,034 0,62 230 219 406 0,130 235 413 0,132 U7 0,231 0,64 230 459 514 0,168 459 514 0,168 Q1 0,043 0,92 504 252 736 0,144 285 761 0,149 Q2 0,075 0,81 510 369 866 0,148 400 881 0,151

T1-121 0,029 0,57 408 358 564 0,139 381 570 0,141 T1-111 0,050 0,65 405 416 793 0,172 449 802 0,174 T1-211 0,060 0,81 401 250 527 0,206 277 539 0,211 T1-112 0,062 0,62 407 476 610 0,164 512 616 0,165 MT3 0,036 0,74 402 286 738 0,157 312 751 0,160 MT7 0,089 0,75 404 425 905 0,197 469 918 0,200

Finalmente, en la Tabla 7.7 se reúnen los resultados definitivos del rasante solicitante de todas las vigas, incluyendo las cuatro vigas de la serie VN-0 de la presente tesis, con la novedad de reordenarlas según el modo de fallo (rasante, cortante y flexión) y según el valor creciente de ω. Se añade además un número adicional de identificación para facilitar la localización de la viga en las representaciones gráficas del apartado siguiente, utilizadas para el contraste de los resultados experimentales con los diferentes modelos de cálculo estudiados en 7.1. La tabla también incluye el ancho eficaz adoptado y una breve referencia sobre el criterio seguido para su estimación. Como información adicional de las vigas de la presente tesis, es interesante valorar t en la situación de carga en la viga que provocó un valor máximo de la resultante axil en el ala. Esta situación se anota como Nf,máx en la Tabla 6.10, y de ella se toman los datos para presentarlos en la Tabla 7.8, enfrentando el rasante nominal adimensional t con el correspondiente al de la situación de máxima carga soportada por la viga. Como puede observarse, la consideración de Nf,máx no tiene apenas relevancia en el valor de t. Sólo se aprecia más en la viga V1-0, que presenta la particularidad de que el rasante máximo coincide con el rasante de fisuración; mientras que t=0,123 corresponde al rasante resistido por la armadura en la situación final de fallo de la viga, t=0,145 corresponde al rasante resistido por la unión ala–alma íntegra, con un nivel de carga igual al 85% de la carga máxima.



Tabla 7.7. Rasante solicitante experimental en la situación de fallo de la viga.

ancho eficaz bef VIGA Nº id. modo de fallo ω [mm] criterio

Nf [kN] t

T21 1 rasante 0 183 elástico (=EHE) 216 0,097 T24 2 rasante 0 183 elástico (=EHE) 243 0,100 MT1 3 rasante 0 512 experimental 538 0,109 U1 4 rasante 0,013 145 interpolado 338 0,108 U4 5 rasante 0,013 144 interpolado 294 0,099

MT2 6 rasante 0,016 494 experimental 636 0,102 T1-121 7 rasante 0,029 381 interpolado 570 0,141

U3 8 rasante+cortante 0,034 235 interpolado 413 0,132 MT3 9 rasante 0,036 312 interpolado 751 0,160 V1-0 10 rasante V prefis.parcial 0,038 189 experim.(ME,máx) 254 0,123 Q1 11 rasante 0,043 285 interpolado 761 0,149

MT4 12 rasante 0,046 348 experimental 740 0,148 T1-111 13 rasante 0,050 449 interpolado 802 0,174 MT5 14 rasante 0,059 355 experimental 802 0,186

T1-211 15 rasante 0,060 277 interpolado 539 0,211 T1-112 16 rasante alas prefis. 0,062 512 interpolado 616 0,165 V2-0 17 rasante H 0,073 294 experim.(ME,máx) 357 0,164 MT6 18 rasante 0,074 461 experimental 916 0,199 V3-0 19 rasante H 0,147 353 experim.(ME,máx) 493 0,228 T37 20 cortante 0,016 92 interpolado 235 0,105 T32 21 cortante 0,028 109 interpolado 267 0,137 T14 22 cortante 0,048 159 interpolado 302 0,132 T6 23 cortante 0,061 147 interpolado 286 0,158

V4-0 24 cortante C 0,211 360 experim.(ME,máx) 496 0,234 Q2 25 flexión 0,075 400 real<interpolado 881 0,151

MT7 26 flexión 0,089 469 interpolado 918 0,200 MT8 27 flexión 0,124 557 experimental 1002 0,243 U7 28 flexión 0,231 459 real<interpolado 514 0,168

Tabla 7.8. Rasante solicitante máximo en las vigas hormigón armado de esta tesis.

situación MEmáx situación Nf,máx bef Nf bef Nf VIGA tipo de rotura ω

[mm] [kN] t nivel de carga [mm] [kN] t

V1-0 rasante V prefis.parcial 0,038 189 254 0,123 85% 334 300 0,145 V2-0 rasante H 0,073 294 357 0,164 98% 265 363 0,167 V3-0 rasante H 0,147 353 493 0,228 95% 421 515 0,238 V4-0 cortante C 0,211 360 496 0,234 96% 392 504 0,238



7.2.1.2 Contraste de métodos de cálculo En los métodos de cálculo tratados en 7.1 para vigas de hormigón armado, modelos de bielas y tirantes (v. 7.1.1.1), transferencia a corte (v. 7.1.2.1) y campos de tensiones (v. 7.1.3.1), se plantearon unas funciones t(ω) denominadas curvas de armadura mínima, que dependían del factor β, relación entre el ancho eficaz en la situación de agotamiento de la viga y la longitud del ala (E.7.4), excepto en el modelo de bielas y tirantes, debido a que está formulado en función del ángulo θf y ninguna norma lo relaciona con el ancho eficaz del ala. También se plantearon otras funciones t(ω) denominadas curvas límite, en donde desaparece el factor β al relacionar la situación de agotamiento frente a rasante simultáneamente con la situación de agotamiento a flexión de la sección de momento máximo del ala. En su lugar, aparecen como factores nuevos α y η, definidos en E.7.10 y E.7.11. Ambos tipos de curvas se representan en el presente apartado por separado, junto con los resultados experimentales de las vigas de hormigón armado seleccionadas. Para una mejor discusión de los resultados es necesario elaborar una nueva tabla anotando para las vigas no sólo los valores de ω y t, sino también los valores de los parámetros β, α y η (Tabla 7.10). Los valores de ω y t se toman de la Tabla 7.7. En cuanto al parámetro β se presentan dos valores:

βexp es el valor correspondiente a la situación experimental de agotamiento de las vigas, es decir, βexp=bef /a, siendo el ancho eficaz de la Tabla 7.7.

βEHE es el valor correspondiente al ancho eficaz establecido en EHE [1], que permite discutir qué vigas no poseen un diseño adecuado con la norma; puede evaluarse con la Tabla 7.2, o bien, combinar directamente las expresiones E.7.4 y E.2.38 resultando:

ab

aL

≤⋅

=β10EHE E.7.53

El valor de α y de η se conoce para las vigas de la presente tesis, en ellas el ala resulta completamente comprimida en todo su espesor, por tanto, η=1, y el valor de α puede determinarse con los resultados de la Tabla 6.10, repartiendo el valor de Nf entre el área del ala eficaz, es decir, α=Nf/(bef·hf·fc), utilizando los resultados de la situación de carga máxima, anotada como MEmáx. Como puede observarse en la Tabla 7.10, α resulta prácticamente igual a 1, excepto en la viga V2-0. Dicha viga, sin embargo, presenta α=0,946 en la situación previa al agotamiento, cuando la resultante axil alcanza un valor máximo (anotado como situación Nf,máx), por lo que el valor más bajo de α podría justificarse por irregularidades en las lecturas de las galgas en la situación extrema de carga. Para el resto de vigas de hormigón armado, correspondientes a otros autores, ahora que se conoce un ancho eficaz bef estimado en la situación de agotamiento (Tabla 7.7), puede plantearse un nuevo cálculo seccional simplificado utilizando un bloque rectangular en compresión con α=1, siendo η un parámetro a determinar. En esta ocasión se busca que el momento resistente teórico sea igual al momento máximo experimental, y para ello las incógnitas a resolver con las 2 ecuaciones de equilibrio son la profundidad x del bloque comprimido y la tracción en la armadura, anotada ahora como fs. Esto es necesario porque, como ya se observó al comentar la Tabla 7.3, en algunos casos el valor del momento experimental máximo (MEu en la tabla) no podía alcanzarse con el dato del límite elástico convencional fy, ya que resultaba un momento de agotamiento teórico inferior (MRu en la tabla), incluso utilizando todo el ancho real del ala. En otros casos MRu, considerando la armadura longitudinal plastificada, resultaba muy superior a MEu, señal de que una cabeza comprimida fallaba sin conseguir agotar la capacidad plástica de la armadura.



Los datos y resultados básicos del análisis seccional se dan en la Tabla 7.9 (otros datos de las vigas pueden consultarse en Tabla 7.1). Entre ellos, de especial interés, figura la relación fs/fy, que en algunos casos supera la unidad, alcanzando un valor máximo de 1,24 en la viga T1-111 de Domingues (1981), lo que entra dentro de lo razonable para aceros sin escalón de cedencia dúctiles. En las vigas de la serie MT de Tizatto (1987) [26] se conocen los datos del acero, que presenta una tensión de rotura de 712MPa, así que la tensión máxima fs=655,4MPa demandada en la viga MT8 entra dentro de lo razonable. Los casos con fs/fy<1 corresponden en general a vigas que fallaron con el rasante de fisuración o con un nivel de carga ligeramente superior. El valor obtenido de η se anota de nuevo en la Tabla 7.10, junto con el resto de datos que van a utilizarse para el contraste de métodos de cálculo del rasante.

Tabla 7.9. Análisis seccional simplificado en las vigas de otros autores, con bef conocido.

datos análisis seccional (α=1)

VIGA fy

[MPa] A s,l

[mm²] fc

[MPa] MEu

[N·mm]hf

[mm] b ef

[mm] fs

[MPa] fs / fy x [mm] η

T21 621 1.604 32 137 76 183 361,1 0,58 34,9 0,46 T24 621 1.604 35 156 76 183 412,5 0,66 36,5 0,48 T37 621 1.604 32 192 76 92 566,8 0,91 94,9 1 T32 621 1.604 28 199 76 109 606,3 0,98 119,5 1 T14 621 1.604 33 201 76 159 556,4 0,90 57,5 0,76 T6 621 1.604 26 188 76 147 541,2 0,87 74,9 0,99 U1 621 1.604 30 237 76 145 701,2 1,13 101,7 1 U4 621 1.604 28,5 206 76 144 594,7 0,96 76,2 1 U3 621 1.604 30 252 76 235 701,9 1,13 60,3 0,79 U7 621 1.604 29,2 275 76 459 728,6 1,17 37,4 0,49 Q1 554 4.249 25,6 1.036 100 285 490,9 0,89 122,4 1 Q2 554 4.249 29,2 1.122 100 400 515,2 0,93 75,0 0,75

T1-121 570 2.057 30 557 60 381 677,8 1,19 51,0 0,85 T1-111 570 2.686 33,9 759 60 449 709,6 1,24 53,7 0,89 T1-211 570 2.057 28,4 549 60 277 691,0 1,21 112,0 1 T1-112 570 2.057 27,6 574 60 512 692,5 1,21 44,0 0,73 MT1 570 3.463 35,1 500 70* 512 347,6 0,61 29,2 0,42 MT2 570 3.463 41,6 600 75* 494 417,8 0,73 30,6 0,41 MT3 570 3.463 31,3 750 75* 312 570,4 1,00 160,7 1 MT4 570 3.463 35,8 730 70* 348 527,5 0,93 64,8 0,93 MT5 570 3.463 30,8 780 70* 355 589,0 1,03 157,5 1 MT6 570 3.463 32,8 860 70* 461 622,4 1,09 69,3 0,99 MT7 570 3.463 32,8 860 70* 469 621,5 1,09 65,4 0,93 MT8 570 3.463 27,5 900 75* 557 655,4 1,15 86,0 1 * Espesor del ala variable linealmente, siendo hf el valor alcanzado en la unión ala–alma y

50mm en el extremo del ala.



Tabla 7.10. Datos para contraste de resultados en vigas de hormigón armado.

VIGA Nº id. tipo rotura ω t βexp α η βEHE T21 1 rasante 0 0,097 0,2 1 0,46 0,2 T24 2 rasante 0 0,100 0,2 1 0,48 0,2 MT1 3 rasante 0 0,109 0,256 1 0,42 0,25 U1 4 rasante 0,013 0,108 0,105 1 1 0,2 U4 5 rasante 0,013 0,099 0,105 1 1 0,2

MT2 6 rasante 0,016 0,102 0,247 1 0,41 0,25 T1-121 7 rasante 0,029 0,141 0,169 1 0,85 0,222

U3 8 rasante+cortante 0,034 0,132 0,171 1 0,79 0,2 MT3 9 rasante 0,036 0,160 0,156 1 1 0,25 V1-0 10 rasante V prefis.parcial 0,038 0,123 0,126 0,973 1 0,267 Q1 11 rasante 0,043 0,149 0,143 1 1 0,2

MT4 12 rasante 0,046 0,148 0,174 1 0,93 0,25 T1-111 13 rasante 0,050 0,174 0,198 1 0,89 0,221 MT5 14 rasante 0,059 0,186 0,178 1 1 0,25

T1-211 15 rasante 0,060 0,211 0,185 1 1 0,233 T1-112 16 rasante alas prefis. 0,062 0,165 0,228 1 0,73 0,222 V2-0 17 rasante H 0,073 0,164 0,196 0,838 1 0,267 MT6 18 rasante 0,074 0,199 0,231 1 0,99 0,25 V3-0 19 rasante H 0,147 0,228 0,235 0,97 1 0,267 T37 20 cortante 0,016 0,105 0,101 1 1 0,2 T32 21 cortante 0,028 0,137 0,119 1 1 0,2 T14 22 cortante 0,048 0,132 0,174 1 0,76 0,2 T6 23 cortante 0,061 0,158 0,161 1 0,99 0,2

V4-0 24 cortante C 0,211 0,234 0,240 0,976 1 0,267 Q2 25 flexión 0,075 0,151 0,2 1 0,75 0,2

MT7 26 flexión 0,089 0,200 0,235 1 0,93 0,25 MT8 27 flexión 0,124 0,243 0,279 1 1 0,25 U7 28 flexión 0,231 0,168 0,334 1 0,49 0,2

7.2.1.2.1 Modelo de bielas y tirantes Los resultados de la Tabla 7.10 son representados en la Fig.7.10 para el caso de emplear las curvas de armadura mínima con KB=2/5 y distintos valores de β; y en la Fig.7.11 para el caso de emplear las curvas límite. En primer lugar llama la atención que el grueso de información experimental corresponde a vigas con un grado de refuerzo ω inferior a 0,1, resultando en este caso que la curva extrema correspondiente a β≤0,2 proporciona valores del lado seguro, esta curva corresponde también a la limitación de adoptar un ángulo θf no inferior a 26,5º, es decir, cotgθf =2. Hay que recordar que las vigas que tienen anotado un fallo por cortante o por flexión están representadas con el valor del rasante solicitante en el instante de fallo y que, por tanto, debe ser un valor inferior al rasante resistente que realmente habría sido capaz de desarrollar el ala de la viga. Dentro de la nube de puntos, estas vigas se sitúan en general en la parte inferior, lo que confirma este hecho, y se sitúan a la vez por encima de la curva de armadura mínima, excepto las vigas 25 y 27, que



caen justo sobre la curva extrema, aunque realmente la viga 27 posee βexp=0,235 y debe utilizarse otra curva que añade margen de seguridad. Las vigas 1, 2 y 3 son las que poseen ω=0, por lo que no hay lugar a la formación de un mecanismo de bielas y tirantes cuando se alcanza el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración, que es la situación representada con el valor de t≈0,10. Para un diseño acorde al modelo, estas vigas deberían haberse dimensionado con ω=0,05 como mínimo, aunque resultados de otras vigas con este valor del grado de refuerzo indican que entonces habrían sido capaces de resistir un rasante superior a 0,10. La solución de EHE [1] corresponde a cotgθf =1, que implica β=0,4, que es un valor que no se suele dar práctica, de hecho, el ancho eficaz establecido en la norma para diseño no permite adoptar un valor de β superior a L/(10·a) y si, como es habitual, a≈L/2, esto quiere decir que β no suele superar el valor de 0,2, siempre desde el punto de vista de diseño. En la realidad las vigas adoptan el valor de β que le permite su geometría y esquema de carga, así como la armadura transversal del ala. La curva con β=0,4 cubre con seguridad la totalidad de las vigas, tanto las que fallaron por rasante como por otra causa, excepto la viga 28. Dicha viga alcanzó βexp=0,334, pero agotó por flexión. Esta última viga forma parte del conjunto de 4 vigas que poseen ω>0,1, tres de las cuales presentan resultados aparentemente inseguros pero que deben discutirse con detalle para cada caso. En primer lugar, la viga 19 (V3-0) presentó βexp=0,235 y claramente en la Fig.7.10 se aprecia que la curva de armadura mínima no proporciona un resultado seguro. Esta viga falló por rasante H, descrito en Fig.6.6b, y el valor representado en el gráfico corresponde a la resultante axil Nf, asociada al plano de corte vertical de unión ala–alma, luego el rasante t=0,228 es un valor inferior al rasante resistente que podría haber desarrollado dicho plano de corte. Para una mejor representación de la situación de fallo debe obtenerse el grado de refuerzo ω2 y el rasante t2 asociados a la superficie real de corte desarrollada. Con la información dada con la Fig.6.6b el perímetro de esta superficie de corte, contenido en la sección transversal, es p=200+2×(70–25)=290mm, que es atravesado doblemente por la armadura transversal dispuesta en el ala Ø8 cada 140mm (Tabla 4.2). Con estas consideraciones y conociendo Nf2=1089,4kN (Tabla 6.10) se tiene:

0,07120,6592

140290842 2 2

c

y

f

Ø82 =⋅

⋅⋅π⋅

=⋅⋅

=ωff

spA

y 0,12220,61500290011089,4 3

c

f22 =

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=fap

Nt

La representación de este punto se anota como 19(2a) y se sitúa ligeramente por encima de la curva β=0,25, lo que parece encajar con la situación de rotura con βexp=0,235. No obstante, el punto 19(2a) se sale de la nube de puntos correspondientes al resto de vigas, resultando así un punto anómalo. También se sitúa por debajo de la curva cotgθf=2, lo que constituye un caso inseguro para el modelo convencional de bielas y tirantes (sin β). Si se piensa detenidamente, la superficie de corte se formó por encima de la familia de estribos verticales de cortante, que los envuelve siendo tangencial a ellos (Fig.5.4). En la Fig.2.1 esta armadura de cortante está constituida por 2 estribos Ø10 cada 70mm, luego en sentido longitudinal no toda la superficie de corte está constituida por hormigón, sino que 20mm de cada 70mm son dos barras de acero que restan área. Considerando este caso extremo, en el que 50mm de cada 70mm es hormigón que realmente resiste el rasante, podría sustituirse la longitud a=1500mm por 5/7·a en el cálculo de t2, con lo que resultaría 0,170, que es el punto anotado como 19(2b). Como puede observarse, ahora el punto queda en el lado seguro y se integra perfectamente en la nube de puntos del resto de vigas.



En cuanto al valor que podría haber alcanzado el rasante resistente de la viga 19, según el plano vertical de unión ala–alma, la curva de armadura mínima indica un valor t=0,258 (Fig.7.10), mientras que la curva límite con η=1 predice un valor menor t=0,243 (Fig.7.11), quizás más acertado o, por lo menos, más seguro, pero hay poca información experimental válida para profundizar en este aspecto. La viga 24 (V4-0) corresponde a la primera viga de la serie fabricada para la presente tesis, con problemas de formación de coqueras en el alma que anticipó el fallo de la viga. Así que el punto t-ω representado en los gráficos solamente indica un valor inferior al rasante resistente que realmente habría sido capaz de desarrollar el ala. Sólo pueden hacerse algunas conjeturas. Con el estudio realizado del ancho eficaz experimental en 7.2.1.1.1 se sugirió posteriormente, en 7.2.1.1.2, una propuesta para establecer la armadura mínima que garantiza un valor del ancho eficaz en la situación límite de la viga en la que se alcanzan simultáneamente el agotamiento a rasante del ala y su agotamiento por compresión longitudinal, derivado de la flexión en la sección crítica. Esta propuesta se plasmó en la Fig.7.9 y en ella puede deducirse que la viga V4-0 parece disponer de una armadura transversal ligeramente superior a la necesaria para garantizar que el ancho eficaz alcanzado con el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración se mantenga hasta el nivel agotamiento de la viga. Este ancho eficaz puede estimarse en 420mm a partir de la recta ajustada a los datos de las vigas V1-0, V2-0 y V3-0 (y=0,3772x). Con el ancho eficaz bef=420mm puede procederse a un cálculo seccional no lineal acorde a los criterios de 6.3.1, resultando MRmáx=459,8kNm, Nf=575,9kN y, en consecuencia, t=0,272, que es el punto 24(a) representado en los gráficos. Las curvas de armadura mínima y límite (η=1) indican una resistencia a rasante algo superior a este valor, ello significa que la viga V4-0, en caso de no haber presentado problemas de coqueras en el alma, debió agotar teóricamente por flexión y que el grado de refuerzo ω=0,211 era adecuado para este fin. El punto 24(b) corresponde al caso teórico de usar bef=500mm, ancho establecido por EC2 [4]. El rasante resulta t=0,323, que puede obtenerse fácilmente con los datos de la Tabla 6.11. Dicho valor resulta superior al proporcionado por las curvas de armadura mínima y límite (η=1), e incluso superior al valor extremo 0,3 (=0,5·ν con ν=0,6), lo que significa que la viga no habría sido capaz de desarrollar un ancho eficaz de 500mm, siendo el motivo de fallo el rasante por compresión oblicua. Finalmente, la viga 28 corresponde a la viga U7 de Regan (1967), de la que se anota que falló por flexión longitudinal, habiendo mostrado signos de aplastamiento en toda la anchura del ala. El ancho eficaz estimado coincide con el ancho real (Tabla 7.7), lo que, dada la gran anchura del ala, la convierte en la viga con el valor máximo de la relación de aspecto del ala eficaz. Como puede observarse en Tabla 7.10 se tiene βexp=0,334 que supera ampliamente a βEHE=0,2. Otra característica que presenta esta viga es que la armadura longitudinal de tracción no es capaz de igualar la capacidad máxima a compresión del ala, y el resultado es que la sección transversal, buscando la máxima eficacia, demanda todo el ancho del ala posible, porque la armadura transversal se lo permite, y reduce la profundidad del bloque comprimido dentro del espesor del ala, resultando un valor η=0,49 (Tabla 7.10), para así maximizar el brazo mecánico. Si se utiliza el modelo de bielas y tirantes convencional, curva cotgθf=2 de la Fig.7.10, en donde no se establece ninguna relación con la anchura del ala para escoger el valor del ángulo θf, puede llegarse a la siguiente conclusión: para resistir el rasante presentado por la viga 28 en la situación de agotamiento a flexión, t=0,168, la armadura mínima necesaria resulta con ω=0,084; como el grado de refuerzo real es ω=0,231, la armadura transversal es prácticamente el triple de la mínima. Si se utiliza la curva de armadura mínima con β=0,334 resulta ω=0,140, reduciéndose el



margen de seguridad a menos del doble. Según estos cálculos, la viga 28 poseía armadura transversal suficiente para resistir el rasante, como este rasante correspondía a un nivel de compresión en el ala que la armadura longitudinal de la viga no podía igualar, el fallo ocurrió finalmente por flexión. Así puede constatarse en la Tabla 7.9, en donde se precisa fs/fy=1,17 para poder igualar el momento máximo experimental. Si se utilizan ahora las curvas límite (Fig.7.11), la curva KB=0,4 y η=0,49 señala que con el grado de refuerzo de la viga 28, ω=0,231, el rasante máximo resistente que podría desarrollar el ala sería t=0,213, pero ello supone una resultante de la cabeza comprimida de la sección que la armadura longitudinal no es capaz de alcanzar, por ello la viga debió fallar por flexión, que es lo que ocurrió. En conclusión, el punto que representa a la viga 28 no supone ningún caso extraño que contradiga el modelo resistente. Este simple análisis de la viga 28 permite observar un posible problema en el diseño de vigas en T con alas de gran anchura, en donde la consideración de la excentricidad del rasante, a través de β, conduce a valores más restrictivos del grado de refuerzo, mientras que una aplicación estándar del modelo de bielas y tirantes, con un ángulo θf escogido especialmente bajo, conduciría a un diseño posiblemente inseguro. La curva límite de esta viga estima un rasante resistente t=0,213, como ya se ha anotado, inferior a t=0,292, que es el que se deduciría de la curva de armadura mínima convencional E.7.7, sin tener presente β. No hay más datos experimentales, pero sería interesante plantear en la viga 28 variaciones en la armadura longitudinal de flexión y en la armadura transversal del ala, buscando los casos en los que el modo de fallo de la viga cambiara de flexión a rasante, lo que permitiría un mejor contraste de las curvas de armadura mínima y curvas límite.

Curvas de armadura mínima, K B=0,4

16

15

1413

1211

10

9

87

17

1819

12

3

5

4

6

24

23

2221

20

28

27

26

25

19(2b)

19(2a)

24(b)

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexiónβ=0,25

β=0,3

β ≤ 0,5·K B=0,2 ó cotg θf=2

β=0,35

β=0,4 ó cotg θf=1

( )⋅ω−ν⋅ω =curvo tramo

Fig.7.10. Contraste con el modelo de bielas y tirantes convencional, función de θf .



Curvas límite

6

4

5

3

21

19

18

177

8

9

10

1112

1314

15

16

20

2122

23

24

25

26

27

28

24(a)

24(b)

19(a)

19(b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexión

KB=0,4 ; η=0,6

KB=0,4 ; η=0,8KB=0,4 ; η=1

KB=0,4 ; η=0,49

KB=0,4 ; η=0,4

Fig.7.11. Contraste con el modelo de bielas y tirantes según las curvas límite.

7.2.1.2.2 Modelo de transferencia a corte En primer lugar, en la Fig.7.12 se presentan los resultados de las vigas junto con las funciones t(ω) resultantes de aplicar ACI-318 [10] y AASHTO [11], según se desprende de los textos originales, sin considerar la condición de equilibrio del ala derivada de la excentricidad del rasante. Para el modelo de corte-fricción, si se particulariza la expresión E.2.145, se tiene:

0,2≤ω⋅μ=t E.7.54en donde μ=1,4. Se adopta sólo la limitación de 0,2, por simplicidad, ya que el rango de resistencias del hormigón de las vigas es bajo. Es conveniente recordar que el límite 0,2 es un artificio para evitar que el diseño resulte inseguro en algunos casos, el propio texto en sus comentarios así lo señala, remitiendo a los trabajos de Mattock (2001) [192] y Kahn y Mitchell (2002) [191]. Esto quiere decir, y así puede observarse en resultados de ensayos de push-off de dichos trabajos, que en otros casos el resultado puede ser excesivamente conservador. Para el modelo de fricción más cohesión se particulariza la expresión E.2.146:

1K≤ω⋅μ+= ct E.7.55en donde sólo es necesario utilizar la limitación K1=0,25, debido al rango de hormigones abarcado por las vigas. En el texto original, los valores de la cohesión y de la fricción no quedan exactamente definidos para el caso de hormigón fisurado, pero se puede recurrir al caso de junta de hormigón intencionadamente rugosa en donde μ=1 y la cohesión es 1,65MPa, de modo que el coeficiente adimensional c depende de la resistencia del hormigón, que para el conjunto de vigas tratado, resultaría con valores entre 0,04 y 0,08. El propio texto de AASHTO [11] comenta que los valores de la cohesión y fricción proporcionan un límite inferior de los numerosos datos experimentales disponibles, y estos datos consisten principalmente en ensayos de push-off o de vigas compuestas, sin referencia explícita al problema del rasante en alas de vigas en T.



La opción más sencilla para la cohesión adimensional es fijar un valor independiente de fc. En la Fig.7.12 se representan los casos c=0,1, c=0,08 y c=0,06. La elección de c=0,1 se realiza por tres motivos, en primer lugar porque es un valor que ya fue propuesto por Mattock (2001) [192] en su fórmula E.2.90, y en segundo lugar porque permite ilustrar cómo la aplicación simple del modelo de fricción más cohesión puede conducir a resultados inseguros si se compara con la curva de armadura mínima, que tiene en cuenta la particularidad de la excentricidad del rasante según se detalló en 7.1.2.1. Este segundo motivo se explicará más adelante. El tercer motivo surge de la revisión de modelos simplificados planteados por algunos autores para el problema específico de diseño de la armadura frente a rasante en vigas en T (v. 2.4.2). Pueden citarse a tres autores que utilizaron como criterio de agotamiento en el plano de unión ala–alma el modelo de fricción modificado, aunque su aplicación no se ciñó estrictamente a las hipótesis básicas del modelo consideradas en las normas americanas. No obstante, plantearon valores de la cohesión que contrastaron con los escasos resultados de vigas en T existentes, y es interesante citarlos. Regan y Placas (1970) [19] establecieron c=0,125 (v. 2.4.2.1.3). Razaqpur y Ghali (1986) [37] propusieron c=0,1 para alas comprimidas, con la limitación c·fc≤3MPa (v. 2.4.2.1.4). Y finalmente Tizatto (1987) [26] planteó c=0,25·ν, con ν=1 para conseguir un ajuste medio a sus resultados (v. 2.4.2.2.2.2), siendo ν el factor de eficacia de la resistencia a compresión acorde al tratamiento formal que Nielsen et al. (1978) aplicaron al modelo de fricción modificado dentro de la teoría de la plasticidad, aunque en este último caso sus autores propusieron originalmente ν=0,67 para junta monolítica íntegra, y ν=0,5 para junta prefisurada.

ACI-318 & AASHTO

6

4

5

3

21

19

18

17

78

9

10

1112

1314

15

16

20

2122

23

24

25

26

27

28

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo FlexiónAASHTO c =0,06 μ=1

AASHTO c =0,08 μ=1

AASHTO c =0,1 μ=1

ACI-318 μ=1,4

Fig.7.12. Contraste con modelos de ACI-318 [10] y AASHTO [11].

La Fig.7.12 muestra cómo el modelo de fricción según ACI-318 [10] es un modelo sencillo que deja a todos los resultados experimentales en el lado seguro, excepto la viga 28, lo que no tiene relevancia porque falló por flexión debido a una armadura longitudinal escasa, según se comentó en 7.2.1.2.1. En cuanto al modelo de fricción más cohesión de AASHTO [11] la elección de μ=1 resulta adecuada para la nube de puntos, mientras que es necesario fijar una cohesión reducida para proporcionar seguridad en el diseño, serviría c=0,06, a excepción de nuevo de la viga 28 y de la viga 24, ambos casos sin relevancia. Como ya se discutió en el apartado previo (v.



7.2.1.2.1) si la viga 24 no hubiera fallado anticipadamente por cortante, habría desarrollado probablemente un agotamiento por flexión, habiendo alcanzando el punto 24(a) en el diagrama. Puede observarse cómo, lo que en la Fig.7.12 resultaría un diseño inseguro con c=0,1, en la Fig.7.13 se convierte en un diseño seguro, manteniendo los mismos datos de cohesión y fricción. En esta figura se representa el caso de la curva de armadura mínima (E.7.31) utilizando solamente el valor de la cohesión c=0,1 y variando β entre 0,1 y 0,3, que es el rango de valores en el que se mueve β en el conjunto de las 28 vigas (Tabla 7.10). Incluso aquellas vigas con resultados aparentemente inseguros, con un fallo diferente al rasante, aquí quedan cubiertas sin ningún problema. Por ejemplo, la viga 25 posee βexp=0,2 y la curva AASHTO correspondiente resulta segura. La viga 28 posee βexp=0,334 y la curva AASHTO correspondiente resulta segura. Del mismo modo ocurre con la curva ACI, en donde sólo se modifica el valor límite, manteniéndose intacta la rama inicial inclinada. Como diferencia observable entre las Fig.7.12 y Fig.7.13 es que el valor límite, aplicable a grados de refuerzo grandes, se reduce considerablemente cuando se aplica a la tensión rasante nominal y cuando la excentricidad del rasante aumenta. Ello es lógico, si se tiene presente la Fig.7.4, cuando aumenta la excentricidad del rasante, para un mismo grado de refuerzo ω, se demanda más tracción transversal, lo cual sólo puede conseguirse aumentando la longitud del tramo traccionado, disminuyendo así el factor k. De este modo, se reduce la longitud del tramo comprimido y, para compensar, aumenta el valor de τc, con lo que el límite 0,2 o K1 entra a jugar antes. Este límite, no obstante, parece que podría ser objeto de estudio para variarlo al alza, aunque no hay datos experimentales para su discusión.

Curvas de armadura mínima

16

15

1413

1211

10

9

87

17

18

19

12

3

5

4

6

24

23

2221

20

28

27

26

25

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexión

β=0,3~AASHTO c =0,1



β=0,1~ACI

β=0,2~ACI

β=0,3~ACI

Fig.7.13. Contraste con transferencia a corte aplicado al problema específico del rasante.



Curvas límite

6

4

5

3

21

19

18

17

78

9

10

1112

1314

15

16

20

21 2223

24

25

26

27

28

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexiónη=0,6 ~ ACI

η=0,8 ~ ACI

η=1 ~ ACI

η=0,6~AASHTO c =0,1

η=0,8~AASHTO c =0,1

η=1~AASHTO c =0,1

Fig.7.14. Contraste con transferencia a corte según las curvas límite.

El caso de la curva límite con cohesión (E.7.32) y sin cohesión (E.7.33) se representa en la Fig.7.14. El resultado guarda una forma similar a las curvas de armadura mínima, pero ahora desaparece β y aparece el parámetro η de compresión parcial del espesor del ala. Si la capacidad del ala se reduce progresivamente, porque disminuye η, la curva límite con cohesión exige un mayor grado de refuerzo, aunque no resulta notable. El efecto de η se nota sobre todo en el valor límite cuando el grado de refuerzo supera un valor entorno a 0,1. En esta ocasión, con mayor claridad, todas las vigas quedan en el lado seguro, independientemente de que no hayan fallado por rasante. La viga 28 posee un η=0,49, por tanto, las curvas límite correspondientes se situarían por debajo. 7.2.1.2.3 Modelo de campos de tensiones El modelo de campos de tensiones tratado en 7.1.3.1 se representa a continuación en varios gráficos. La curva de armadura mínima E.7.39 se representa en la Fig.7.15 particularizada con el valor ν=0,8, con el que se consiguió un mejor ajuste del ancho eficaz con los resultados experimentales de las series de vigas MT y VN-0 (v. 7.2.1.1.1). Por ello, en algunos casos de vigas se observa menor margen de seguridad que en los modelos precedentes de bielas y tirantes y de transferencia a corte. Para observar la influencia del factor ν se presenta también la Fig.7.16, en donde las curvas de armadura mínima se particularizan para ν=0,6, que es el valor aceptado en el modelo de bielas y tirantes. El resultado son unas curvas más seguras, siendo cubiertas todas las vigas que fallaron por rasante. Como ya se explicó en 7.2.1.2.1, la viga 28 poseía una armadura longitudinal con cuantía baja, que no permitía aprovechar toda la capacidad del ala, por lo que su resultado en el gráfico no es relevante, únicamente indica que posee un grado de refuerzo ω muy superior al estimado como necesario por la curva con β=βexp=0,334. Como puede observarse, las curvas parecen más sensibles al valor de β que en el caso del modelo de transferencia a corte. De hecho presentan la particularidad de que para distintos



valores de β pueden entrecruzarse. Ello es consecuencia de que la geometría del modelo con 3 campos de tensiones puede resultar muy forzada cuando β tiende, por ejemplo, a cero, siendo entonces necesario replantear el número de campos y la geometría del modelo. No obstante, para el rango de valores de β en que se mueven las vigas de estudio, las curvas de armadura mínima ofrecen resultados similares a los modelos previos. Al no poseer un valor límite artificioso, como en el caso del modelo de transferencia a corte, para los casos de un grado de refuerzo elevado la estimación del rasante resistente es más generosa, y probablemente más ajustada a la realidad, aunque no se disponen de datos experimentales para esta discusión. La curva límite E.7.41 se representa en la Fig.7.17 únicamente para el factor ν=0,8, y con distintos valores para η, habiendo adoptado en todos los casos α=1. La curva con η=1 deja en su interior sólo a 3 vigas que fallaron por rasante, la 10, la 17 y la 19. La viga 10 se ajusta bastante a la curva, tiene la particularidad de haber presentado prefisuración parcial de las alas. Las vigas 17 y 19 también son particulares, habiendo fallado por rasante según una superficie horizontal, tal y como se describió para la viga 19 en el apartado 7.2.1.2.1, pero además la viga 17 posee α=0,838, por lo que la curva con η=1 se ajusta más todavía al punto que la representa. Un margen de seguridad más adecuado se consigue con un factor ν=0,6, utilizado para representar el juego de curvas en la Fig.7.18. Los casos con η=1 y η=0,8 resultan coincidentes, y con valores decrecientes de η las curvas descienden, demandando así mayor grado de refuerzo para resistir el mismo rasante.

Curvas de armadura mínima ν=0,8

6

4

5

3

21

1918

17

78

9

10

1112

1314

15

16

20

2122

23

24

25

26

27

28

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexiónν=0,8 ; β=0,3

ν=0,8 ; β=0,2

ν=0,8 ; β=0,1

Fig.7.15. Contraste con modelo de campos de tensiones, curvas de armadura mínima con ν=0,8.



Curvas de armadura mínima ν=0,6

16

15

1413

1211

10

9

87

17

18

19

12

3

5

4

6

24

23

2221

20

28

27

26

25

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexión

ν=0,6 ; β=0,3

ν=0,6 ; β=0,2

ν=0,6 ; β=0,1

Fig.7.16. Contraste con modelo de campos de tensiones, curvas de armadura mínima con ν=0,6.

Curvas límite, ν=0,8

16

15

1413

1211

10

9

87

17

18

19

12

3

5

46

24

23

2221

20

28

27

26

25

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexiónη=0,6

η=0,8

η=1,0

η=0,4

Fig.7.17. Contraste con modelo de campos de tensiones, curvas límite con ν=0,8.



Curvas límite, ν=0,6

64

5

3

21

19

18

177

8

9

10

1112

1314

15

16

20

2122

23

24

25

26

27

28

24(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexiónη=0,6η=1,0 & η=0,8

η=0,4


7.2.2 Resultados en vigas con fibras de acero Del mismo modo planteado para las vigas de hormigón armado (v. 7.2.1.2), en el presente apartado se procede a representar las funciones t(ω+fF) desarrolladas para los diferentes modelos tratados en 7.1 para vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero, modelos de bielas y tirantes (v. 7.1.1.2), transferencia a corte (v. 7.1.2.2) y campos de tensiones (v. 7.1.3.2), utilizando los resultados experimentales de la presente tesis, no existiendo en la bibliografía otros datos de vigas en T ensayadas frente a rasante y fabricadas con hormigón reforzado con fibras de acero. Para observar el efecto de las fibras de acero se representan el total de las 14 vigas ensayadas, incluyendo las 4 vigas de hormigón sin contenido en fibras. En coherencia con el contraste realizado con las vigas de hormigón armado, las funciones se representan enfrentando el rasante resistente t con el grado de refuerzo de la armadura ω solamente, y la consideración del efecto de las fibras de acero a través de fF se representa con familias de curvas. 7.2.2.1 Datos La resistencia a tracción última adimensional del hormigón fF es diferente para cada viga pero, en general, mantiene un valor más o menos similar en cada familia de vigas, atendiendo a la cantidad empleada de fibras de acero. Esta resistencia se definió en E.7.14 y se anota en la Tabla 7.11 dividida entre Ko, que es el factor que tiene en cuenta la diferencia que puede existir entre el hormigón colocado y compactado en las probetas de flexotracción y el colocado y compactado finalmente en el ala de las vigas. El valor de Ko se decidirá con la representación de los resultados y su contraste con los modelos de cálculo. Para la resistencia fFtu se utiliza la establecida por EHE [1] en E.2.189, tomando fR3 de la Tabla 4.7.



El resto de datos de la Tabla 7.11 son el grado de refuerzo ω y la tensión rasante nominal t, correspondientes al plano de corte vertical de unión alas–alma, la relación de aspecto del ala eficaz βexp y el coeficiente α. Los tres últimos parámetros corresponden a la situación de carga máxima de la viga, y se evalúan con los datos de la Tabla 6.10. Como valor de referencia, βEHE=0,267 en todos los casos. Todos estos parámetros se explicaron con la Tabla 7.10, al tratar las vigas de hormigón armado.

Tabla 7.11. Datos para contraste de resultados en vigas de HRFA.

VIGA tipo rotura ω fF / Ko (= fFtu / fc)

t βexp α

V1-0 rasante V pp 0,038 0 0,123 0,126 0,973 V2-0 rasante H 0,073 0 0,164 0,196 0,838 V3-0 rasante H 0,147 0 0,228 0,235 0,970 V4-0 cortante C 0,211 0 0,234 0,240 0,976 V1-20 rasante V 0,039 0,0193 0,188 0,190 0,988 V2-20 rasante H 0,076 0,0184 0,275 0,281 0,980 V3-20 flexión R 0,145 0,0175 0,309 0,319 0,970 V1-30 rasante V 0,032 0,0319 0,188 0,244 0,771 V2-30 flexión 0,074 0,0325 0,300 0,306 0,980 V3-30 flexión R 0,136 0,0238 0,289 0,296 0,977 V1-40 cortante C 0,035 0,0393 0,223 0,286 0,779 V2-40 flexión 0,069 0,0424 0,233 0,262 0,890 V3-40 flexión 0,160 0,0491 0,256 0,292 0,877

Es interesante representar primeramente en la Fig.7.19 estos resultados y unir mediante una línea aquellas vigas con el mismo contenido de fibras de acero, de este modo puede confirmarse el efecto beneficioso de la presencia de fibras de acero. Esto puede observarse con la familia de vigas VN-20, con respecto a la familia de vigas sin fibras VN-0. El efecto se reduce con la familia VN-30, en donde además se aprecia un resultado anómalo con V3-30. Hay que recordar, no obstante, que la representación de los fallos por otra causa diferente al rasante suponen un valor inferior al rasante resistente que sería capaz de desarrollar el ala con el grado de refuerzo que posee. La familia VN-40 claramente presenta un comportamiento irregular, que podría atribuirse a una menor eficacia de los medios de colocación y compactación del hormigón con un contenido mayor de fibras de acero. La viga V1-40 acusó una deficiente compactación del hormigón en el alma, con coqueras visibles, fallando por lo que podría ser una combinación de compresión oblicua en el alma y problemas de adherencia de la armadura longitudinal de tracción. A pesar de ello, el rasante solicitante en la situación de fallo de la viga V1-40 supera al rasante resistido por las tres vigas de igual grado de refuerzo ω, y contenido inferior de fibras, que sí fallaron todas por rasante. No ocurre lo mismo con las otras dos vigas, V2-40 y V3-40, en este caso, el rasante solicitante en la situación de fallo de la viga, aunque supera al de las vigas de hormigón sin fibras, V2-0 y V3-0, resulta inferior al de las vigas con contenido menor de fibras. En estas vigas se mejoró la compactación del alma introduciendo una aguja vibradora y aunque no mostraron coqueras como en V1-40, el aspecto de los paramentos laterales del alma no fue perfecto. En los resultados del análisis seccional de estas vigas (v. 6.3.2) se observa que el fallo aparente por flexión se produce con una carga entre un 80 y 90% de la capacidad teórica de la sección con ancho eficaz 400mm, según EHE [1].



V1-30 V1-20

V2-20

V3-0

V2-0V1-0

V4-0V1-40

V3-40

V3-20V2-30

V3-30

V2-40

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante fallo Flexión

F0

F20

F30 F40

Fig.7.19. Representación de resultados experimentales.

7.2.2.2 Contraste de métodos de cálculo 7.2.2.2.1 Modelo de bielas y tirantes Para aplicar el modelo de bielas y tirantes (v. 7.1.1.2) considerando la contribución de las fibras es necesario establecer el valor de dos factores. El primero de ellos define el área eficaz de los tirantes del ala, para el que se adopta KA=1, considerando que, al tratarse de tirantes repartidos, toda el área transversal real resulta eficaz. El segundo factor es νF, correspondiente a la eficacia de la resistencia a compresión del hormigón, para el que se toma la expresión E.2.239 que se particulariza para cada clase de hormigón en la Tabla 7.12. En la tabla también se establece la notación que se emplea en los gráficos para las cuatro clases de hormigón, así como un valor medio de la resistencia a tracción adimensional fF/Ko (=fFtu/fc), para reducir el número de curvas a representar.

Tabla 7.12. Valores de parámetros según la clase del hormigón empleado.

Notación = F0 F20 F30 F40 Contenido en fibras (kg/m³) 0 20 30 40 Fracción de volumen Vf 0% 0,26% 0,38% 0,51% Factor de fibras Fv (E.2.161a) 0 0,223 0,326 0,437 Resistencia a tracción fF/Ko, valor medio 0 0,0184 0,0294 0,0436 νF = ν + 0,28·Fv (E.2.239) 0,6 0,66 0,69 0,72

Hay que recordar el modo de fabricación de las vigas (Fig.4.9) para asignar un valor al factor Ko. Las vigas se fabricaron en posición invertida sobre una mesa vibrante, por lo que el hormigón en la zona de las alas se vio sometido a una compactación mediante vibración exterior que favoreció teóricamente la orientación de las fibras según el plano horizontal. Una orientación 2D según el



plano horizontal, que es perpendicular al plano vertical de unión alas–alma, es una orientación óptima para la función estructural que se busca de las fibras en el problema del rasante. Aparte, la exposición a la vibración exterior se produjo durante un tiempo más prolongado que en el caso de las probetas de flexotracción. Recurriendo a los datos del factor de eficacia por orientación de la Tabla 2.13 puede estimarse Ko como la relación entre el factor teórico para orientación 2D (ηo=0,637) y el de orientación 3D (ηo=0,5), es decir, Ko=0,637/0,5≈1,3. Esto quiere decir que cabe esperar una resistencia a tracción del hormigón mayor en la zona de unión alas–alma que la obtenida en las probetas de flexotracción. Para la representación de las curvas teóricas t(ω) se emplea el valor Ko=1,3, que puede considerarse como adecuado si se observa que se mantiene un margen de seguridad coherente con el presentado para las curvas del hormigón armado sin fibras. Las primeras curvas teóricas se representan en la Fig.7.20, correspondientes al modelo de bielas y tirantes convencional (E.7.15), para los valores extremos cotgθf=2 y cotgθf=1. Lo primero que se observa con el aumento del contenido de fibras de acero es el desplazamiento de las curvas hacia arriba y, en mayor medida, hacia la izquierda. La elección de cotgθf=1 produce un resultado muy conservador, y no parece reflejar adecuadamente el comportamiento para el intervalo del grado de refuerzo ω abarcado por las vigas de las familias VN-20 y VN-30, que presentan una pendiente para el crecimiento de t mayor cuando ω<0,1. Las particularidades de las vigas V3-0 y V4-0, que aparentemente caen en el lado inseguro de la curva con cotgθf=2, ya se comentaron en 7.2.1.2.1. La viga V3-0 falló por rasante con una superficie básicamente horizontal, el punto representado corresponde al rasante solicitante sobre el plano vertical de unión ala–alma, pero si se representa adecuadamente el caso real de rotura se tiene el punto V3-0(2b) como más razonable. La viga V4-0 debió fallar teóricamente por flexión según el punto representado V4-0(a), así que cabe esperar un rasante resistente ligeramente superior. En la Fig.7.21 se representan las curvas de armadura mínima (E.7.16), que presentan un cambio de crecimiento más adecuado entorno a ω=0,1. Para mayor simplicidad se ha fijado un solo valor para la relación de aspecto del ala, β=0,2. Hay que recordar que valores de β menores a 0,2 no cambian las curvas, y valores mayores a 0,2 reducen la pendiente del primer tramo recto (v. Fig.7.10). A pesar de que no todos los resultados representados corresponden a fallo por rasante, las curvas se muestran seguras excepto con V3-30, V2-40 y V3-40. Como se ha indicado, V2-40 y V3-40 no son vigas con resultados fiables, en cuanto a V3-30, en la Fig.7.19 también se aprecia un comportamiento que no sigue la tendencia de la familia VN-30. En la Fig.7.22 se representan las curvas límite (E.7.17) que, con la consideración de la situación de la excentricidad del rasante y de la condición de agotamiento simultáneo por compresión longitudinal del ala en la sección de máxima flexión, resultan más conservadoras para valores medios del grado de refuerzo. Están representadas para α=1 y η=1. El análisis seccional de las vigas genera un valor de α ligeramente inferior a 1 (Tabla 7.11), y su efecto en las curvas sería un ligero desplazamiento hacia la derecha del tramo curvo intermedio resultando, por tanto, más seguras. A diferencia de las curvas de armadura mínima, que no tienen en consideración la relación del ángulo θf con la anchura del ala, la viga V3-30 ahora es cubierta con seguridad por la curva correspondiente F30. Si se aceptan los resultados de las curvas límite como los más ajustados al fenómeno resistente, la elección de un valor generoso para Ko no genera valores inseguros. Se diría incluso que, en



general, la resistencia a tracción asignada al hormigón es conservadora. Así puede apreciarse sobre todo en el salto de la familia de vigas VN-0 a la familia VN-20, que supera ampliamente al salto producido entre F0 y F20. Hay que recordar que se utiliza la resistencia fFtu establecida por EHE [1] en E.2.189, basada en la resistencia residual fR3, asociada a un ancho de fisura de 2,5mm del ensayo de flexotracción.

Bielas y tirantes convencional (cotg θf)

V1-30V1-20

V2-20

V3-0

V2-0

V1-0

V4-0V1-40

V3-40

V3-20V2-30 V3-30

V2-40

V3-0(2a)

V3-0(2b)

V4-0(a)

V4-0(b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante

fallo Cortante

fallo Flexión

F0, cotg θf =1

F20, cotg θf =1

F30, cotg θf =1

F40, cotg θf =1

F0, cotg θf =2F20, cotg θf =2

F30, cotg θf =2

F40, cotg θf =2

Fig.7.20. Contraste con el modelo de bielas y tirantes convencional, función de θf .

Curva de armadura mínima, β=0,2

V1-30 V1-20

V2-20

V3-0

V2-0

V1-0

V4-0V1-40

V3-40

V3-20V2-30

V3-30

V2-40

V4-0(a)

V4-0(b)

V3-0(2a)

V3-0(2b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante


F0 F20

F30 F40

Fig.7.21. Contraste con el modelo de bielas y tirantes según la curva de armadura mínima con β=0,2.



Curvas límite

V1-0

V2-0

V3-0

V2-20

V1-20V1-30

V1-40V4-0

V2-40

V3-30

V2-30V3-20

V3-40

V4-0(b)

V4-0(a)

V3-0(2b)

V3-0(2a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante


F0 F20

F30 F40

Fig.7.22. Contraste con el modelo de bielas y tirantes según las curvas límite (α=1, η=1).

7.2.2.2.2 Modelo de transferencia a corte En el contraste de resultados en hormigón armado (v. 7.2.1.2.2) se vieron resultados conservadores, consecuencia de los valores originalmente propuestos para cohesión y fricción, así como para el valor límite K1. Por el contrario, podían producirse resultados inseguros si se aplicaba el modelo original de cohesión más fricción sin tener en cuenta la particularidad de establecer el equilibrio del ala, considerando la excentricidad del rasante. Ello ocurría adoptando una cohesión adimensional c=0,1. La particularización del modelo de transferencia a corte para el caso de hormigón reforzado con fibras de acero (v. 7.1.2.2) solamente incluye la introducción de la resistencia a tracción adimensional fF, así que se mantienen como parámetros característicos del modelo la cohesión c, la fricción μ y el valor límite K1. En general, un contenido bajo o moderado de fibras de acero en la masa de hormigón no tienen por qué modificar los valores de cohesión y fricción, y así puede observarse en los diferentes modelos empíricos resumidos en la Tabla 2.19. El término de cohesión aparece en muchos casos función de fc

0,5, cuya dependencia del contenido de fibras es mínima, así como un coeficiente que acompaña a la fuerza de cosido de la armadura ρfy, que presenta un valor constante. Así que c y μ se mantienen con el valor empleado con hormigón armado, no obstante, para el factor de fricción que acompaña al término de las fibras de acero se pueden consultar los resultados obtenidos en los ensayos de push-off, llevados a cabo a partir de las dos mitades resultantes de la probeta de flexotracción. De los diferentes parámetros de resistencia tangencial residual definidos en el anejo A para tratar los resultados de tensión–deslizamiento de las probetas de push-off, aquellos que resultan más representativos son las resistencias residuales equivalentes, anotadas allí como τRe,j, y definidas



como las resistencias medias en un intervalo de deslizamiento Δsj producido después de la tensión pico (τmáx), que corresponde en todos los casos de los hormigones ensayados al punto en el que se abandona la proporcionalidad entre τ y el deslizamiento s. En la Fig.7.23 se correlaciona linealmente la resistencia tangencial residual expresada de forma adimensional, t=τRe,j/fc, con la resistencia a tracción adimensional en las probetas, que puede anotarse como fF,prob, para diferenciarla de la considerada en la zona de unión alas–alma. En este caso, dado que se trata del hormigón colocado en las probetas prismáticas de flexotracción se debe plantear Ko=1. Como puede observarse, el ajuste lineal es adecuado, y la resistencia residual equivalente 1 es la que proporciona una cohesión aparente que prácticamente coincide con 0,1, la considerada para el hormigón armado. Otras correlaciones lineales se han planteado para los otros parámetros definidos de resistencia residual (absoluta y relativa), pero no se ilustran aquí porque todos ellos han proporcionado valores mucho más pequeños de la cohesión aparente.

Resistencia residual equivalente

y = 1,3926x + 0,0956

y = 1,9154x + 0,0527

y = 2,0489x + 0,0355

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05f F

t

t Re1

t Re2

t Re3

Lineal (t Re1)

Lineal (t Re2)

Lineal (t Re3)

Fig.7.23. Correlación lineal entre la resistencia residual equivalente (t = τRe,j/fc) y la resistencia a

tracción adimensional fF . La resistencia tangencial residual equivalente 1 (τRe,1) corresponde a un deslizamiento de 0,5mm producido justo después de la tensión pico, es decir, en los hormigones ensayados, justo después de la formación de la fisuración por corte. El valor de 0,5mm fue anotado por Loov y Patnaik (1994) [190] como un deslizamiento suficiente para que la armadura transversal al plano de corte alcanzara el límite elástico en aceros convencionales, momento en el que el mecanismo de fricción alcanza su valor máximo. Parece entonces que el parámetro τRe,1 puede ser adecuado para sumar su componente de fricción con la fuerza de cosido, lo que permite escribir

FF fct ⋅μ+ω⋅μ+= que conduce a considerar

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

μμ

+ω⋅μ+= FF fct E.7.56

en donde μ=1 es el valor que ya se ha utilizado para hormigón armado, y μF=1,4 es el valor que procede de la correlación lineal (Fig.7.23). En las expresiones de la curva de armadura mínima (E.7.35) y de la curva límite (E.7.36) puede sustituirse el término (ω+fF) por (ω+μF/μ·fF).



Para el contraste de resultados solamente se van a representar curvas para el modelo con cohesión no nula. En primer lugar, en la Fig.7.24 se representan las curvas de armadura mínima (E.7.35) asumiendo que el valor de K1 se mantiene igual a 0,25, como la propuesta de AASHTO [11] para hormigón armado. Adicionalmente se representa en tono gris las curvas consistentes en el primer término de la expresión (E.7.35) con objeto de apreciar el modelo sin la imposición de ninguna limitación. Para reducir el número de curvas representadas sólo se utiliza el parámetro β=0,2. Las vigas ensayadas presentan, en general, un valor de βexp entorno a 0,2 o superior (Tabla 7.11), y conforme aumenta β las curvas se modifican hacia valores más conservadores, por tanto, resulta suficiente para la discusión adoptar β=0,2. Lo primero que llama la atención en la Fig.7.24 es que la imposición de una limitación superior conduce a que todas las curvas, independientemente del contenido de fibras, tiendan al mismo valor límite, (1–βμ)·K1, cuando el grado de refuerzo aumenta. Sin embargo, los resultados experimentales, aunque son escasos y algunos de vigas con comportamiento irregular, parecen demandar una revisión al alza de K1, en función del contenido de fibras. Así puede observarse si se comparan las vigas V3-0 y V3-20. Si se elimina directamente la limitación se producen resultados ajustados pero presumiblemente seguros, ya que las vigas V3-40 y V4-0(a) no reflejan realmente el valor resistente que se habría obtenido del rasante. Si se compara con el método de bielas y tirantes, el factor K1 simula la limitación por agotamiento por compresión oblicua atribuida al factor ν, y dicho factor se beneficia de la presencia de fibras de acero, pudiendo reescribirse como νF, habiéndose valorado en la Tabla 7.12 en función del factor de fibras según la fórmula E.2.239 propuesta por Campione (2012) [433]. Estableciendo entonces un paralelismo entre K1=0,25 y ν=0,6, y utilizando dicha fórmula, podría proponerse una expresión para el factor K1 reescrito como K1F para considerar el efecto beneficioso de las fibras:

v1v11F 0,12K0,60,250,28KK FF ⋅+=⋅⋅+= E.7.57

El resultado de esta modificación de la limitación superior se representa en la Fig.7.25, proporcionando un comportamiento más adecuado de las curvas de armadura mínima, resultando, en cualquier caso, conservadoras. Incluso las vigas con comportamiento irregular resultan en el lado seguro. En la Fig.7.26 se representan las curvas límite (E.7.36) utilizando el factor K1F, η=1 y, por simplicidad, sólo α=1. El resultado es muy parecido al de las curvas de armadura mínima. La diferencia más notable es que proporcionan resultados ligeramente más generosos cuando el grado de refuerzo es pequeño. Al igual que se ha comentado con el modelo de bielas y tirantes, el salto resistente que se produce entre las curvas teóricas F0 y F20 resulta inferior al salto producido entre las familias de vigas VN-0 y VN-20, que puede observarse en la Fig.7.19, mientras que el salto entre F20 y F30 resulta del mismo orden que entre las familias VN-20 y VN-30. El empleo de un factor Ko=1,3 no parece resultar excesivo, incluso la resistencia a tracción atribuida a las fibras parece quedarse corta para ajustarse mejor a los resultados.



Curvas de armadura mínima, β=0,2

V1-0

V2-0

V3-0

V2-20

V1-20V1-30

V1-40V4-0

V2-40

V3-30V2-30V3-20

V3-40

V3-0(2b)

V3-0(2a)

V4-0(b)

V4-0(a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t

fallo Rasante fallo Cortante fallo Flexión F0 F20 F30 F40

límite(1–βμ)·K1

Fig.7.24. Contraste con transferencia a corte y curvas de armadura mínima (β=0,2 y K1=0,25).

Curva de armadura mínima, β=0,2 y K1F

V1-30V1-20

V2-20

V3-0

V2-0

V1-0

V4-0V1-40

V3-40

V3-20V2-30

V3-30

V2-40

V4-0(a)

V4-0(b)

V3-0(2a)

V3-0(2b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t


Fig.7.25. Contraste con transferencia a corte y curvas de armadura mínima (β=0,2 y K1F).



Curvas límite

V1-0

V2-0

V3-0

V2-20

V1-20V1-30

V1-40V4-0

V2-40

V3-30

V2-30V3-20

V3-40

V4-0(b)

V4-0(a)

V3-0(2b)

V3-0(2a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t


Fig.7.26. Contraste con transferencia a corte según las curvas límite (α=1, η=1).

7.2.2.2.3 Modelo de campos de tensiones El modelo de campos de tensiones desarrollado para hormigón armado reforzado con fibras de acero (v. 7.1.3.2) incorpora solamente la resistencia a tracción fF y modifica el valor del factor de eficacia de la resistencia a compresión del hormigón νF. A la vista de los resultados obtenidos en modelos previos, se mantiene aquí el valor adoptado para factor Ko (=1,3). Para representar las curvas de armadura mínima (E.7.45) se utiliza únicamente β=0,2, mientras que se emplean dos valores para el factor de eficacia del hormigón armado, ν=0,8 y ν=0,6, en las Fig.7.27 y Fig.7.28, respectivamente. El valor de νF obtenido con ν=0,6 figura en la Tabla 7.12, pero se repite a continuación junto con el valor obtenido con ν=0,8, que ha de resultar siempre inferior a 1.

Tabla 7.13. Factor de eficacia a compresión.

νF = ν + 0,28·Fv (E.2.239) F0 F20 F30 F40

ν = 0,6 0,6 0,66 0,69 0,72 ν = 0,8 0,8 0,86 0,89 0,92

Como se puede apreciar, la solución con ν=0,8 produce resultados más ajustados en el caso del hormigón sin fibras, de hecho, el punto V4-0(a) se calculó para un ancho eficaz determinado con el concepto de curva límite y con ν=0,8. Para las familias de vigas con fibras se producen resultados seguros, excepto con la viga V3-40, ya que con la viga V2-40 hay que emplear β=0,262 y, en este caso, se produciría un resultado seguro. La solución con ν=0,6, más acorde al valor habitualmente aceptado para la compresión oblicua en las alas comprimidas de una viga en T en el método de bielas y tirantes, produce unas curvas más seguras, aunque la viga V3-40 sigue manteniéndose en el lado inseguro (puede comprobarse con β=0,292).



Para representar las curvas límite (E.7.48) se procede de un modo similar, estableciendo ν=0,8 en la Fig.7.29, y ν=0,6 en la Fig.7.30. Puesto que la curva límite representa el agotamiento simultáneo por rasante y por compresión longitudinal del ala eficaz en la sección de máxima flexión, el ajuste con los puntos de las vigas V1-0, V2-0 y V3-0 es casi perfecto con ν=0,8. Este ajuste se pierde con la presencia de fibras, aunque las vigas con bajo grado de refuerzo V1-20 y V1-30 guardan gran cercanía con su curva correspondiente, siempre en el lado seguro. Y el margen de seguridad crece con la opción ν=0,6. Frente a los modelos anteriores, el campo de tensiones presenta la ventaja de emplear una única fórmula para describir el mecanismo resistente, sin necesidad de añadir una segunda expresión como limitación superior.

Curva de armadura mínima, ν=0,8 & β=0,2

V1-30 V1-20

V2-20

V3-0

V2-0

V1-0

V4-0V1-40

V3-40

V3-20V2-30

V3-30

V2-40

V4-0(a)

V4-0(b)

V3-0(2a)

V3-0(2b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t


Fig.7.27. Contraste con modelo de campos de tensiones, curvas de armadura mínima (ν=0,8; β=0,2).



Curva de armadura mínima, ν=0,6 & β=0,2

V1-0

V2-0

V3-0

V2-20

V1-20V1-30

V1-40V4-0

V2-40

V3-30

V2-30 V3-20

V3-40

V4-0(b)

V4-0(a)

V3-0(2b)

V3-0(2a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t


Fig.7.28. Contraste con modelo de campos de tensiones, curvas de armadura mínima (ν=0,6; β=0,2).

Curvas límite, ν=0,8 & α·η=1

V1-0

V2-0

V3-0

V2-20

V1-20V1-30

V1-40V4-0

V2-40

V3-30

V2-30V3-20

V3-40

V4-0(b)

V4-0(a)

V3-0(2b)

V3-0(2a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t





Curvas límite, ν=0,6 & α·η=1

V1-30 V1-20

V2-20

V3-0

V2-0

V1-0

V4-0

V1-40

V3-40

V3-20V2-30

V3-30

V2-40

V4-0(a)

V4-0(b)

V3-0(2a)

V3-0(2b)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ω

t



7.2.2.2.4 Utilidad de las curvas límite La utilidad de las curvas límite puede ilustrarse para el caso de las vigas VN-40, que no funcionaron correctamente. Con la curva límite puede estimarse el ancho eficaz en la situación de agotamiento y de este modo estimar el momento flector resistente que realmente deberían haber desarrollado las vigas, con cierto margen de seguridad. En el presente apartado se proporcionan estos resultados teóricos para estas vigas, utilizando el modelo de campos de tensiones. Para la viga V1-40 se tienen los siguientes datos de partida, el grado de refuerzo y la resistencia a tracción, para la que se emplea Ko=1,3:

ω = 0,035 ; 0,05110,03931,3c

FtuoF =⋅=⋅=

ff

Kf

Con ν=0,8 se tiene νF=0,922 (Tabla 7.13) así que, si se admite α·η=1, con la expresión de la curva límite E.7.48 se tiene t=0,197. Utilizando entonces la relación E.7.11 se puede obtener:

0,1971

0,197ηα

β ==⋅

=t ⇒ bef = β·a = 0,197·1500 = 295,5mm < 500mm (real)

Procediendo a realizar un cálculo seccional no lineal, según las bases de cálculo descritas en 6.3.1 pero imponiendo bef como dato, se obtienen los siguientes resultados:

MRmáx = 414,2kNm ; Nf = 428,6kN

Se obtiene una fibra neutra de 199,1mm, superior al espesor del ala 70mm, por lo que se confirma η=1. Sólo queda comprobar el valor de α resultante de repartir uniformemente la resultante Nf en el ala eficaz:



10,97721,270295,5

10428,6α3

cfef

f ≈=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

fhbN

El valor de α es prácticamente igual a la unidad, por lo que la hipótesis hecha α·η=1 es admisible. Este cálculo se repite para las vigas V2-40 y V3-40, y todos los resultados se muestran en la Tabla 7.14. En todos los casos se calcula t suponiendo α·η=1, y tras el análisis seccional se comprueba que η=1 y que α≈1, por lo que puede darse por válido el cálculo.

Tabla 7.14. Estimación de la capacidad resistente de las vigas VN-40.

VIGA ω fF νF t β bef [mm]

MRmáx [kNm]

Nf [kN] α MEmáx

[kNm] V1-40 0,035 0,0511 0,922 0,197 0,197 295,5 414,2 428,6 0,977 371,1 V2-40 0,069 0,0552 0,922 0,233 0,233 349,5 450,5 550,8 0,979 398,2 V3-40 0,160 0,0639 0,922 0,299 0,299 448,5 447,4 586,4 0,982 372,2 Puede observarse que el momento resistente máximo estimado supera al momento resistente real obtenido en los ensayos, tanto en la viga V1-40, que falló de modo irregular por la presencia de coqueras en el alma, como las vigas V2-40 y V3-40, que fallaron aparentemente por flexión. Atendiendo al comportamiento seguro de las curvas límite con otras vigas de las familias VN-20 y VN-30, es previsible que las vigas hubiesen podido resistir un valor ligeramente mayor al estimado. Hay que tener en cuenta que ni siquiera la viga V3-40 aprovecha todo el ancho real del ala; en el caso extremo, con bef=500mm el momento resistente máximo teórico sería 475kNm (Tabla 6.11). Con los valores estimados, no obstante, puede realizarse una comparación con las tres primeras vigas de la familia VN-0. En la Tabla 7.15 se anotan los resultados experimentales de las vigas VN-0 junto con los resultados estimados de las vigas VN-40. En el hormigón sin fibras se aprecia un progresivo aumento del ancho eficaz, del momento resistente máximo y de la resultante axil sobre el ala, fruto de un grado de refuerzo creciente. Este progreso se mantiene en el caso del hormigón con 40kg/m³ de fibras de acero, pero se consigue un mayor ancho eficaz, un mayor momento resistente máximo y una mayor resultante de compresiones en el ala, lo que resultan en una mayor capacidad resistente frente a rasante. Otro hecho notable es que la armadura transversal del ala en la viga V3-0 no permite garantizar el ancho eficaz establecido por EHE [1], igual a 400mm, mientras que la adición de 40kg/m³ permite incluso superarlo.

Tabla 7.15. Comparación vigas VN-0 y VN-40.

Hormigón sin fibras Hormigón con 40kg/m³ de fibras bef MEmáx Nf bef MEmáx Nf VIGA mm kNm kN

VIGA mm kNm kN

V1-0 189,4 281,2 254,2 V1-40 295,5 414,2 428,6 V2-0 293,9 379,7 356,7 V2-40 349,5 450,5 550,8 V3-0 352,9 399,7 493,3 V3-40 448,5 447,4 586,4

En los cálculos descritos para las tres vigas se obtienen siempre la misma clase de resultados, un ancho eficaz menor al ancho real y un ala eficaz aprovechada en todo su espesor con η=1 y α≈1. Podrían ocurrir otros casos diferentes. Si el ancho eficaz estimado por la curva límite supera al ancho real del ala entonces obviamente debe usarse el ancho real para analizar la sección y calcular el momento resistente máximo, y la conclusión sería que la viga agotaría claramente por flexión y no por rasante. Si después del cálculo seccional se obtiene α·η<1 puede procederse a un cálculo iterativo hasta encontrar el valor adecuado de β.



7.3 COMPARACIÓN DE MODELOS Para proceder a una comparación entre los tres modelos de cálculo se utiliza el nivel de seguridad proporcionado por cada uno de ellos cuando se aplica a los datos experimentales válidos de las vigas tratadas, separando entre vigas de hormigón armado y vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero. Las curvas de armadura mínima permiten establecer el grado de refuerzo de la armadura ω necesario para resistir un rasante t, conociendo las características resistentes aportadas por las fibras de acero y habiendo fijado previamente el ancho eficaz, es decir, conociendo también β. Esta sería la forma de proceder en diseño, aplicando una norma, que es la que establece el ancho eficaz que debe usarse en los cálculos. En el caso tratado aquí, el ancho eficaz tiene que ser un dato conocido, así que solamente se utilizan aquellas vigas de las que se conoce el ancho eficaz como dato experimental. 7.3.1 En vigas de hormigón armado Para vigas de hormigón armado se emplean las de la serie MT de Tizatto (1987) [26] y la familia VN-0 de la presente tesis (Tabla 7.7). La viga MT1 no puede usarse por haber fallado con el rasante de fisuración y tener ω=0, que es un comportamiento no contemplado en los métodos de cálculo. La viga MT2 tampoco puede usarse porque, aunque posee un valor no nulo para el grado de refuerzo ω=0,016, el dato proporcionado del ancho eficaz corresponde a la fase que justo precede al rasante de fisuración, con las alas íntegras. Las vigas V2-0 y V3-0 se utilizan con el dato del rasante correspondiente a la superficie real de fallo (comentado en 7.2.1.2.1 al tratar el caso particular de la viga 19 ó V3-0), y la viga V4-0 no puede usarse porque presentó un fallo irregular por cortante. En total, son un conjunto de 7 vigas en las que se conoce el grado de refuerzo real, el rasante en la situación de fallo y la relación de aspecto, anotados como ωreal, t y βexp respectivamente en la Tabla 7.16. En dicha tabla se presentan los resultados para la armadura necesaria por cálculo, anotada como ωcalc, obtenidos con cada uno de los métodos tratados, incluyendo dos posibilidades para cada uno. En el caso del método de bielas y tirantes se utiliza la curva de armadura mínima convencional (E.7.7) y la general (E.7.9) que es función de β. En ambos casos se ha empleado el factor ν=0,6, que es el que se establece en normas. En transferencia a corte se emplea la opción con la limitación superior K1=0,25, y otra en la que se ha eliminado dicha limitación. El motivo es que en las vigas MT6 y MT8 no hay solución para ωcalc porque el rasante t supera al valor límite. Como obviamente las vigas fueron capaces de alcanzar dicho valor del rasante se añade la opción en la que se elimina este límite, resultando valores de ωcalc perfectamente seguros. En ambos casos se ha empleado c=0,1 y μ=1. En campos de tensiones se muestran los resultados de utilizar ν=0,8 y ν=0,6. La relación (ωcalc/ωreal) es el nivel de seguridad alcanzado por cada método. Excepto en dos casos, en donde se produce una predicción casi perfecta, se obtienen valores seguros en la determinación del grado de refuerzo. Las excepciones corresponden a la viga V1-0 cuando se usa campos de tensiones con ν=0,8, y a la viga MT8 cuando se usa bielas y tirantes convencional. Ambos métodos son los que proporcionan el valor promedio de (ωcalc/ωreal) más bajo, siendo el modelo de campos de tensiones el más ajustado con ν=0,8.



La viga V1-0 presentó fisuración parcial con un grado de refuerzo muy bajo, lo que condicionó un valor bajo para βexp, y el método de campos de tensiones proporciona resultados muy ajustados en esta zona del diagrama t(ω), como puede apreciarse en la Fig.7.15. Pero el principal motivo que puede argumentarse parece ser que es la localización de esta fisuración parcial, que ocurrió en extremos de la viga (Fig.4.10d). Esta zona es modelizada por el campo J de tensiones (Fig.7.5a), y en dicho campo el criterio de agotamiento es para la compresión oblicua ν·fc, en principio con fisuración paralela, de ahí el valor inicialmente empleado ν=0,8, pero realmente existe una fisura oblicua que obligaría a usar ν=0,6, en cuyo caso el nivel de seguridad sería 1,29, más acorde al alcanzado en el resto de vigas. La viga MT8 falló por flexión pero el ancho eficaz que alcanzó en rotura fue menor al ancho real del ala, considerado como ancho eficaz por EC2 [4], y superior al ancho eficaz establecido por EHE [1], que puede considerarse como un valor elástico (Tabla 7.2). Esta viga es de las pocas vigas existentes con ω>0,1 y gran anchura de alas, y parece suscitar el interrogante sobre la idoneidad de adoptar el ancho eficaz establecido en EC2 [4] conjuntamente con cotgθf=2 para diseñar la armadura transversal. El nivel de seguridad en esta viga aumenta si se usa la opción general, considerando que cotgθf viene condicionado por β, en este caso puede observarse cómo el nivel de seguridad sube hasta (ωcalc/ωreal)=1,37, mientras que se mantiene igual en casi todas las demás vigas. En relación al nivel de seguridad medio que proporciona cada método, el más bajo 1,29 que corresponde al modelo del campo de tensiones con ν=0,8, seguido de 1,44 y 1,56 correspondientes al modelo de bielas y tirantes convencional y general, respectivamente. El modelo más conservador es el de transferencia a corte con un nivel medio 2,07, y si se elimina la condición límite toma un valor entorno a 1,7, igual que el modelo de campos de tensiones con un el valor más conservador para el factor de eficacia de la resistencia a compresión ν=0,6.

Tabla 7.16. Comparativa de modelos en vigas de hormigón armado.

VIGA MT4 MT5 MT6 MT8 V1-0 V2-0 V3-0 ωreal 0,046 0,059 0,074 0,124 0,038 0,037 0,071 βexp 0,174 0,178 0,231 0,279 0,126 0,196 0,235 t 0,148 0,186 0,199 0,243 0,123 0,130 0,170

valor pro-

medio HA

ωcalc 0,074 0,093 0,100 0,124 0,061 0,065 0,085 - - Bielas y tirantes convencional ωcalc/ωreal 1,59 1,57 1,35 1,00 1,63 1,78 1,20 1,44

ωcalc 0,074 0,093 0,115 0,169 0,061 0,065 0,100 - - Bielas y tirantes general, con β ωcalc/ωreal 1,59 1,57 1,55 1,37 1,63 1,78 1,41 1,56

ωcalc 0,080 0,163 no no 0,052 0,068 0,187 - - Transferencia a corte, K1=0,25 ωcalc/ωreal 1,72 2,76 no no 1,39 1,85 2,62 2,07

ωcalc 0,080 0,114 0,134 0,180 0,052 0,068 0,107 - - Transferencia a corte, sin K1 ωcalc/ωreal 1,72 1,93 1,81 1,46 1,39 1,85 1,50 1,67

ωcalc 0,057 0,087 0,109 0,172 0,036 0,050 0,085 - - Campos de tensiones, ν=0,8 ωcalc/ωreal 1,22 1,46 1,47 1,39 0,96 1,36 1,19 1,29

ωcalc 0,073 0,128 0,147 0,247 0,049 0,059 0,105 - - Campos de tensiones, ν=0,6 ωcalc/ωreal 1,57 2,16 1,98 2,00 1,29 1,62 1,47 1,73



De los tres modelos empleados, se puede decir que el único que se ha aplicado con los criterios actuales establecidos en las normas es el modelo de bielas y tirantes convencional, apurando el valor mínimo del ángulo de inclinación de las bielas en el ala recomendado por el EC2 [4] y sin tener en consideración la anchura de las alas. El nivel de seguridad es (ωcalc/ωreal)=1,44 y sería mucho mayor de haber empleado la opción cotgθf =1, que es la que por defecto viene en EHE [1], aparte hay que añadir que este nivel de seguridad aumenta cuando se emplean los coeficientes de seguridad para la resistencia de materiales y acciones. En conclusión, con los datos experimentales disponibles, puede tomarse 1,4 como un nivel de seguridad de referencia. El modelo de transferencia a corte según AASHTO [11] no se ha aplicado como se deduce del texto original porque ya se argumentó con la Fig.7.12 que conducía a resultados ajustados con la cohesión adimensional c=0,1, lo que quiere decir que se habría obtenido (ωcalc/ωreal)<1 en la mitad de vigas, más o menos. Por el contrario, la aplicación del modelo de un modo más racional, con la misma cohesión c=0,1, considerando la excentricidad del rasante y eliminando la limitación originada por K1, produce resultados satisfactorios, con un nivel de seguridad ligeramente superior a 1,4. El modelo de campos de tensiones no está recogido en normas pero fácilmente puede tener cabida en ellas por compartir conceptos con bielas y tirantes, perteneciendo a una teoría con un origen más racional. Con el esquema de 3 campos planteado en la Fig.7.5a es el modelo que mejor ajuste produce porque alcanza un nivel de seguridad ligeramente inferior a 1,4. Si contabilizamos los resultados con ν=0,8, excepto para la viga V1-0 para la que se contaría el resultado con ν=0,6, el nivel medio alcanzado sería 1,34. Una ventaja de este modelo es que ofrece una única fórmula, sin necesidad de emplear expresiones adicionales para establecer límites. 7.3.2 En vigas de hormigón armado reforzado con fibras

de acero Para las vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero se emplean obviamente las vigas del presente estudio, pero no pueden utilizarse todas debido al comportamiento irregular de algunas de ellas. En la Fig.7.19 se pueden detectar estas vigas, que son V3-30, V2-40 y V3-40. Las vigas que fallaron por un motivo diferente al rasante, V1-40, V2-30 y V3-20, muestran una tendencia que encaja con la tendencia general de las curvas t(ω), así que se incluyen haciendo un total de 6 vigas, sabiendo que estas tres vigas pueden proporcionan un ligero margen de seguridad adicional. En este caso el cálculo de ωcalc se realiza con los modelos adaptados para la consideración resistente de las fibras. El resultado se presenta en la Tabla 7.17. Los valores empleados de los diferentes parámetros se resumen a continuación:

— Para la resistencia a tracción fF se emplea el mismo factor Ko=1,3 en todos los casos.

— En bielas y tirantes se emplea KA=1, admitiendo una sección eficaz para el tirante de fibras igual a la sección real tributaria de la armadura que constituye el tirante, y como factor de eficacia νF se emplean los valores de la Tabla 7.12, resultantes de aplicar la expresión E.2.239.

— En transferencia a corte se mantienen los parámetros de hormigón armado c=0,1 y μ=1, pero para el término de la fuerza de cosido de las fibras se emplea el factor μF/μ con μF=1,4, según se anotó en E.7.56. Se emplea además un límite K1F definido en E.7.57, con K1=0,25.



— En campos de tensiones se usa la misma fórmula que la empleada para bielas y tirantes en el factor de eficacia νF, con los valores anotados en la Tabla 7.13.

En transferencia a corte ocurre un problema igual al comentado en las vigas de hormigón armado, incluso más agudizado. En cuatro de las seis vigas la aplicación del límite superior con K1F no permite establecer un valor para el grado de refuerzo de la armadura, y por ello se proporciona el resultado de no emplear dicho límite. En todos los casos excepto en la viga V3-20, el nivel de seguridad es 2 o superior. De los modelos adaptados para considerar las fibras de acero el modelo de bielas y tirantes es el que produce resultados más ajustados, pero con un margen de seguridad medio de 1,63, seguido del modelo de campos de tensiones si se emplea ν=0,8. Y si se elimina la limitación K1F al modelo de transferencia a corte produce un margen de seguridad medio ligeramente superior al del campo de tensiones.

Tabla 7.17. Comparativa de modelos en vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero.

VIGA V1-20 V2-20 V3-20 V1-30 V2-30 V1-40 fF/Ko 0,0193 0,0184 0,0175 0,0319 0,0325 0,0393 ωreal 0,039 0,076 0,145 0,032 0,074 0,035 βexp 0,190 0,281 0,319 0,244 0,306 0,286 t 0,188 0,275 0,309 0,188 0,300 0,223

valor pro-

medio HRFA

relación

HAHRFA

ωcalc 0,069 0,123 0,190 0,052 0,131 0,060 - - - - Bielas y tirantes convencional ωcalc/ωreal 1,75 1,61 1,31 1,62 1,77 1,72 1,63 1,13

ωcalc 0,069 0,169 0,224 0,073 0,187 0,108 - - - - Bielas y tirantes general, con β ωcalc/ωreal 1,75 2,22 1,55 2,25 2,53 3,08 2,23 1,43

ωcalc 0,083 no no 0,090 no no - - - - Transferencia a corte, con K1F ωcalc/ωreal 2,11 no no 2,77 no no 2,44 1,18

ωcalc 0,083 0,178 0,217 0,066 0,179 0,091 - - - - Transferencia a corte, sin K1 ωcalc/ωreal 2,11 2,33 1,50 2,05 2,42 2,58 2,17 1,30

ωcalc 0,058 0,177 0,250 0,052 0,196 0,082 - - - - Campos de tensiones, ν=0,8 ωcalc/ωreal 1,47 2,32 1,73 1,59 2,65 2,33 2,02 1,56

ωcalc 0,081 0,256 0,378 0,067 0,283 0,104 - - - - Campos de tensiones, ν=0,6 ωcalc/ωreal 2,07 3,36 2,61 2,08 3,82 2,97 2,82 1,63 Al comparar los resultados de las vigas de hormigón armado con los de las vigas de hormigón armado reforzado con fibras de acero, lo primero que destaca es que todos los modelos de cálculo adaptados para las fibras proporcionan un nivel de seguridad mayor. En la propia Tabla 7.17 se incluye la relación entre los resultados obtenidos con los modelos para hormigón con fibras y los obtenidos con hormigón armado, anotada como HRFA/HA. El modelo que se mantiene con un nivel de seguridad más próximo al obtenido en hormigón armado es el modelo de bielas y tirantes convencional, con una relación 1,13. El modelo de transferencia a corte con la limitación de K1F no debería considerarse por la cantidad de vigas nulas que se presentan, aunque en el caso de omitir la limitación, el incremento de seguridad obtenido es el menor que sigue al de bielas y tirantes convencional. El modelo que sufre más descompensación es el modelo de campos de tensiones, de algún modo esto indica que el parámetro νF considerado, así



como la resistencia fF, infravaloran la capacidad real que aportan las fibras para resistir el rasante de las vigas ensayadas. Hay que recordar que la resistencia fF utiliza la definición de fFtu según la expresión E.2.189, dada por EHE [1], que emplea la resistencia residual fR3, correspondiente a un CMOD de 2,5mm del ensayo de flexotracción. El uso de otra resistencia a tracción, como las resistencias equivalentes utilizadas por CNR-DT 204/2006 [222] (v. 2.5.2.4.3), para un intervalo de abertura de fisura adecuado, podría aumentar el valor de fF con el objeto de reducir la relación HRFA/HA pero, en esencia, no cambia la filosofía de ninguno de los métodos. La conclusión práctica que puede obtenerse con esta comparación es que, basándose en este estudio inicial, los modelos revisados para adaptarlos a la presencia de fibras de acero pueden emplearse para diseño con el criterio establecido en los diferentes parámetros, ya que producen un nivel de seguridad superior a los modelos existentes para hormigón armado. El modelo de bielas y tirantes es el que, globalmente, mejor resultado proporciona en el sentido de mejor ajuste a los resultados reales. En cuanto a sencillez, todos los modelos proporcionan fórmulas directas y sencillas cuando consideran las fibras de acero, aunque la curva de armadura mínima del modelo de campos de tensiones resulta más pesada de manejar, pero tiene la ventaja de ser una fórmula única, que no añade expresiones adicionales para establecer valores límite.



8 CONCLUSIONES Después del tratamiento de los resultados experimentales y de su contraste con los tres métodos de cálculo revisados, surgen una serie de conclusiones que pueden agruparse por temas de interés práctico. Se trata del uso de los métodos para diseñar y para comprobar. Además, el estudio ha proporcionado resultados que sugieren la posibilidad de establecer una relación sencilla entre el ancho eficaz y la armadura transversal, herramienta de cálculo que permitiría en algunos casos plantear un diseño más óptimo de las vigas en T. Estos temas de cálculo se exponen en apartados independientes, aunque comparten aspectos que se repiten. Son tratados de un modo general, válido para vigas de hormigón armado y hormigón reforzado con fibras de acero. No obstante, se incluye un último apartado específico para las fibras de acero. Antes es interesante recordar resumidamente las limitaciones del estudio experimental. Se trata de vigas en T simplemente apoyadas, exentas, con las alas comprimidas y sin flexión transversal. Contenidos de fibras entre 20 y 40kg/m³, y fibras de un solo tipo, hooked-end de longitud 30mm y esbeltez 86. Hormigón de resistencia convencional, prevista inicialmente para unos 25MPa, adaptándose al tipo de hormigones fabricados por la empresa Bortubo S.A. para la fabricación de piezas prefabricadas, pero que problemas en el control de curado redujo a valores entorno a 20MPa. A ello hay que añadir unos medios de colocación del hormigón y compactación que condujeron a limitar la dosificación de fibras, y a obtener algunos resultados finales insatisfactorios en ciertos casos, como ya se ha comentado al analizar detalladamente los resultados de las vigas. 8.1 CONCLUSIONES 8.1.1 Campaña experimental Como ya se ha indicado en la introducción, la conclusión general de la campaña experimental no es satisfactoria al haberse producido diversas irregularidades en la fabricación, colocación, compactación y curado del hormigón de las vigas, ya comentadas en el capítulo 4. Algunas de estas irregularidades ponen de manifiesto la importancia de los medios de colocación del hormigón reforzado con fibras de acero para una correcto funcionamiento estructural de la pieza final. La baja en la resistencia a compresión sitúa al hormigón fuera de norma, pero juega a favor en el sentido de que reduce el rasante de fisuración, aumentando la diferencia entre éste y la carga teórica de agotamiento por flexión de la viga.



A pesar de estos inconvenientes, del conjunto de 13 vigas, 5 de ellas han resultado con comportamiento irregular, pero se ha manifestado en estados de carga cercanos al agotamiento, por lo que la fase inicial de carga hasta el rasante de fisuración ha resultado aceptable. Hay que añadir que las vigas irregulares con fibras de acero han resistido más que las vigas de referencia de hormigón armado, las cuales han funcionado correctamente excepto la viga principal de referencia V4-0. Todas estas conclusiones pueden obtenerse de la Fig.7.19, en donde se enfrenta el rasante nominal frente al grado de refuerzo. Los resultados sirven finalmente para constatar el efecto beneficioso de la contribución de las fibras de acero y, además, la tendencia mostrada por los resultados de la Fig.7.19 encaja con los resultados teóricos de modificar los modelos de bielas y tirantes, transferencia a corte y campos de tensiones para considerar la resistencia aportada por las fibras de acero. 8.1.2 Cálculo para diseño Como es sabido, el cálculo para diseño persigue básicamente el cálculo de la armadura necesaria para resistir las solicitaciones a las que se ve sometida la pieza estructural en estudio. Al tratar con hormigón armado reforzado con fibras de acero, la libertad que posee el ingeniero calculista sobre las fibras está muy limitada, mientras que es mucho mayor en las armaduras, con las que puede decidir su posición, dirección y cuantía. Si se dispone de la información resistente que aportan las fibras procedente de los ensayos de caracterización del hormigón, entonces puede usarse como dato de diseño y calcular así la armadura necesaria. En cualquier caso, las curvas de armadura mínima planteadas para los métodos revisados sirven para este fin. Las curvas de armadura mínima tienen un uso directo y sencillo. Funcionan con el valor de β preestablecido, que es la forma como se trabaja cuando se aplican las bases de diseño de una norma. Son pocos los pasos a seguir para su empleo:

(1º) Conocidas las cargas de diseño de la viga y el ancho eficaz bef establecido en la norma, puede diseñarse la viga a flexión estudiando la sección crítica.

(2º) Después del diseño a flexión se está en condiciones de conocer el rasante t que se transmite en la unión ala–alma, sirve para este fin el apartado 2.3.1.

(3º) Con el valor de β (=bef/a) se puede seleccionar la curva de armadura mínima correspondiente de entre cualquiera de los tres métodos estudiados, y con el valor de t se obtiene directamente el grado de refuerzo ω necesario.

El resumen de la formulación a usar en cada método se detalla a continuación. Se mantienen los valores de aquellos parámetros para hormigón armado propuestos en las normas y se sugieren inicialmente valores y expresiones para los distintos parámetros nuevos surgidos con la consideración de las fibras de acero. Las fórmulas se escriben en su forma general, aplicable a hormigón reforzado con fibras de acero, pero se transforman en fórmulas para hormigón armado cuando se anulan los parámetros correspondientes a las fibras de acero. No hay que olvidar que siempre se ha tratado en este estudio el caso de viga en T exenta, simplemente apoyada y con alas comprimidas. En primer lugar, común a todos los métodos, es la resistencia a tracción adimensional fF proporcionada por las fibras de acero, definida como:



c

FtuoF f

f⋅=

Kf E.8.1

en donde fFtu es la resistencia a tracción indicada para ELU cuando se emplea un diagrama rectangular simplificado o modelo rígido-plástico. En general, las propuestas de las normas coinciden y pueden consultarse en 2.5.2.4. En este estudio se ha utilizado la propuesta de EHE [1], la expresión E.2.189 basada en la resistencia residual fR3 del ensayo de flexotracción, correspondiente a un CMOD de 2,5mm. Por su parte, CNR-DT 204/2006 [222] propone E.2.184, basada en la resistencia residual equivalente feq2 del ensayo de flexotracción, obtenida para un intervalo de ancho de fisura entre 0,6 y 1,8mm; y también permite el ensayo de tracción directa proponiendo E.2.185. El factor Ko recoge la posible diferencia entre el hormigón colocado en la zona de unión alas–alma de la viga y el hormigón colocado en la probeta de flexotracción. Ko=1 significa que el tirante reúne las mismas condiciones de distribución y orientación aleatoria y uniforme en 3D de las fibras que en las probetas de flexotracción. Tiene un significado análogo al considerado por el Código Modelo 2010 [3] en su apartado 5.6.7, denominado factor de orientación (E.2.193) y es de determinación experimental. BIELAS Y TIRANTES En el método de bielas y tirantes la relación t(ω) que proporciona el grado de refuerzo mínimo en el ala tiene la siguiente expresión:

( )( )

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω≤⋅−νν⋅

⋅−ν<ω

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−ω−ν⋅⋅+ω

⋅+ω⋅β

⋅+ω⋅

=

FAFF

FAF

FAFFA

FAB

FA

0,5 para0,5

0,5 para

2

mínimo

fK

fK

fKfK

fKKfK

t E.8.2

en donde KA es el factor de área eficaz del tirante de fibras de acero que acompaña a las armaduras

transversales del ala. En general KA=1 es un valor adecuado para tirantes repartidos, como es el caso del problema del rasante.

KB es un parámetro de valor 0,4 que permite discutir la intervención de β en la fórmula, lo que ocurre cuando se trata con vigas de alas anchas (β>0,5·KB)

νF es el factor de eficacia de la resistencia a compresión de las bielas para el que se sugiere inicialmente la expresión experimental νF=ν+0,28·Fv, siendo ν el factor de eficacia utilizado en hormigón armado (ν=0,6 según EHE [1] para alas comprimidas), y Fv el factor de fibras (E.2.161a). La expresión corresponde a E.2.239, propuesta por Campione (2012) [433], ya comentada en 2.5.7.1.2.

TRANSFERENCIA A CORTE En el método de transferencia a corte se propone una expresión para la relación t(ω) que surge de aplicar el modelo de cohesión y fricción considerando la excentricidad del rasante. Inicialmente contiene un valor límite, reflejo del límite establecido en el modelo original:

( )( ) ( ) 1FF

FF

F

F K1 ⋅βμ−⋅β+⋅+ω

⋅+ω≤⋅+ω⋅μ+⋅

β+⋅+ω⋅+ω

=c fm

fmfmcc fm

fmt E.8.3

en donde



c es el coeficiente adimensional de cohesión para el que se adopta c=0,1, propuesto originalmente por Mattock (2001) [192] para hormigón armado y que se considera que no es afectado por la presencia de contenidos moderados de fibras.

μ es el coeficiente de fricción para el que se adopta μ=1, que corresponde a una naturaleza muy rugosa del plano de corte, adoptado así para contemplar el caso de que la fisuración longitudinal por rasante preceda al nivel de carga máximo de la viga. El valor 1 es propuesto por AASHTO (2012) [11] para el caso de junta entre hormigones intencionadamente rugosa.

m es un factor que expresa una relación μF/μ entre el coeficiente de fricción aparente deducido de ensayos de push-off en hormigón sin fibras y el coeficiente de fricción para el hormigón armado. En el presente estudio se ha deducido μF=1,4 según se comentó con la Fig.7.23, proponiendo para su deducción una resistencia tangencial residual equivalente correspondiente a un deslizamiento de 0,5mm producido justo después de la tensión pico en los ensayos de push-off.

K1F es el coeficiente que establece un valor límite para la resistencia a corte, para el que se propone inicialmente la relación K1F=K1+0,12·Fv, siendo K1=0,25 y Fv el factor de fibras (E.2.161a). No obstante, la aplicación de este límite resulta muy conservadora y debe revisarse su valor con más resultados experimentales. Dentro del alcance del presente estudio, para el rango del grado de refuerzo considerado, se han obtenido resultados seguros sin la aplicación de este límite.

CAMPOS DE TENSIONES En el método de campos de tensiones puede emplearse como relación t(ω) para la determinación del grado de refuerzo mínimo la siguiente expresión:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ων

+β+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ων

+β+⋅+ν⋅−+ν++ν

⋅β

=

F

F2

F

F2FFF

2FFFF

141

141423 23

2f

fffff

t E.8.4

siendo νF el único parámetro a considerar, para el que se propone νF=ν+0,28·Fv, la misma relación que en el método de bielas y tirantes. El valor de ν en teoría se corresponde con el caso de compresión con fisuración paralela, ya que aplica a la zona del ala adyacente al apoyo en donde se produce la máxima inclinación de las compresiones, es decir, un valor 0,8, pero si existen fisuras longitudinales previas en esta zona es aconsejable adoptar un valor de 0,6. La expresión E.8.4 se ha aplicado para un rango de valores de β entre 0,1 y 0,33 con resultados aceptables. En vigas con alas muy estrechas se tendrían valores pequeños de β y el modelo de 3 campos de tensiones podría resultar muy forzado, por lo que en este caso sería interesante otra configuración diferente de campos de tensiones. 8.1.3 Cálculo para comprobación El cálculo para comprobación consiste en la estimación de la capacidad resistente de las vigas cuando se conocen todas las características de las mismas. En el caso de vigas en T, no obstante, existe un dato desconocido a priori y que es necesario para realizar un cálculo lo más realista posible, se trata del ancho eficaz de las alas. No puede utilizarse la formulación del ancho eficaz



existente en las normas y códigos, ya que está pensada para proporcionar un valor conservador en los cálculos y asume que la disposición de la armadura transversal en las alas verifica el estado límite último frente al rasante. Para este fin pueden utilizarse las curvas límite (v. 7.2.2.2.4). El resumen de esta formulación, correspondiente a los tres métodos planteados, es la siguiente:

— Para el modelo de bielas y tirantes:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

⋅η⋅α−ν⋅⋅η⋅α≤⋅+ω⋅≤

⋅+ω⋅⋅η⋅α=BFB

FAFAB

2

KKfK

fKKt E.8.5

— Para el modelo de transferencia a corte: ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

μ+αη⋅⋅+ω

⋅αη⋅+⋅⋅+ω⋅

μ+αη≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+ω⋅αη⋅+ωμ+

⋅+⋅⋅+ω⋅αη

=

1K

K41 2

K

141 2

21FF

1FF

1F

F

FF

fmcfm

c

fmfmcc

cfmt

E.8.6

— Para el modelo de campos de tensiones:

( ) ( ) ( )[ ]2FFFFF

FF

F 23 21

αη−+ν⋅−+ν⋅αη⋅+ω+ν

+ω⋅= fff

fft E.8.7

El significado de todos los parámetros y los valores recomendados para ellos ya ha sido expuesto resumidamente en el apartado previo (v. 8.1.2). Para el problema de comprobación se conocen el grado de refuerzo ω así como las características resistentes del hormigón proporcionadas por las fibras, plasmadas en el parámetro fF (E.8.1). El cálculo, en general, no es directo, y requiere una serie de tanteos:

(1) Se supone α=1, lo habitual para las leyes en compresión simplificadas empleadas en el hormigón, por lo que es un valor que puede permanecer fijo.

(2) Se supone un valor para η. Es interesante operar con el ancho real del ala y mediante un cálculo en flexión obtener un valor inicial ηo, es decir, η=ηo.

(3) Conocido ω, fF y el producto α·η se tiene identificada la curva límite t(ω), lo que permite calcular el rasante nominal t

(4) Conocido el rasante nominal puede obtenerse la relación de aspecto β a través de la relación E.7.11, es decir, β=t/(α·η), que permite conocer el ancho eficaz bef=β·a de la sección crítica.

(5) Con el ancho eficaz se procede a la siguiente discusión:

(5.a) Si bef > b la rotura se produce por flexión, ya que el grado de refuerzo ω es capaz de garantizar un ancho eficaz superior al ancho real. En este caso, el cálculo con el ancho real realizado en el paso 2 sirve para establecer la situación de agotamiento de la viga.

(5.b) Si bef < b la rotura viene condicionada por la capacidad resistente del ala frente a rasante, alcanzada simultáneamente con su capacidad a compresión longitudinal. El cálculo seccional con bef permite determinar el valor de η que, en general, será diferente al valor ηo supuesto en el paso (2), así que hay que realizar un cálculo iterativo hasta que converja el valor de η. Hecho esto se tiene identificada la curva



límite final, que permite conocer el ancho eficaz en agotamiento y, en consecuencia, la resistencia a flexión de la viga para esta situación.

El cálculo del rasante resistente con cualquiera de los métodos revisados utiliza como hipótesis la fisuración longitudinal parcial o completa del ala y esta sólo se produce si se supera el rasante de fisuración, así que, alcanzado el paso (5.b), queda pendiente una última comprobación en el caso de que la viga no se encuentra prefisurada en el plano de unión alas–alma. Se trata de valorar el rasante de fisuración según el procedimiento seguido en el apartado 6.2 pero, de nuevo, el ancho eficaz a utilizar en este caso no es un parámetro conocido. No obstante, ahora que el ala funciona de un modo íntegro puede usarse un valor del ancho eficaz utilizando la formulación existente en la literatura, que tiene resuelto el problema con mucho más detalle en vigas metálicas, mientras que en hormigón usa valores elásticos básicamente. Completado este estudio puede definirse Qt,lím como el nivel de carga correspondiente al paso (5.b), procedente del uso de la curva límite; y Qt,fis como el nivel de carga correspondiente al rasante de fisuración. La discusión final procede del siguiente modo:

Qt,fis < Qt,lím ⇒ el ala fisura por rasante y la viga es capaz de resistir mayor nivel de carga gracias al grado de refuerzo ω y la contribución de fF

Qt,fis > Qt,lím ⇒ el ala fisura por rasante, momento en el que el grado ω y fF comienzan a funcionar realmente, pero no son capaces de mantener dicho nivel de carga y la viga acaba fallando de una manera brusca

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25ω

t

nivel Nf,fis

nivel MEmáx

ω fis

t fis

V1-0

V2-0

V3-0

V4-0

curva límite (α·η=0,94)

rasante de fisuración medio

Fig.8.1. Rasante de fisuración y límite en función del grado de refuerzo en las vigas VN-0.

El proceso de comprobación descrito permite estimar la carga de agotamiento de la viga, atendiendo exclusivamente al funcionamiento conjunto frente a flexión y rasante. Una conclusión importante es que la discusión debe realizarse con el nivel de carga y no con los valores del rasante, ya que el máximo nivel de carga que puede soportar la viga no se corresponde necesariamente con el máximo valor del rasante solicitante. En la Fig.8.1 se representan conjuntamente los datos experimentales del rasante de fisuración y del rasante límite de la familia de vigas VN-0, solamente, por simplicidad. Los datos correspondientes al rasante



de fisuración y a la situación de máxima carga de las vigas pueden consultarse en la Tabla 6.10. Para la curva límite se emplea la solución del método de campos de tensiones (E.7.41 con ν=0,8 y α·η=0,94). La viga V1-0 es el ejemplo que ilustra que soportó un rasante máximo para un nivel de carga ligeramente inferior al de agotamiento (ME=240,3kNm para el rasante de fisuración y MEmáx=281,2kNm para el nivel de carga final de agotamiento). 8.1.4 Elección de un ancho eficaz utilizando la armadura El cálculo para comprobación descrito en 8.1.3 y el resultado experimental de algunas vigas tratadas en el presente estudio, permite plantear la posibilidad de escoger un ancho eficaz para diseñar más generoso que el establecido actualmente en las normas, cuyo valor se corresponde aproximadamente con la situación de servicio. Las normas de estructuras metálicas poseen una formulación más detallada para el ancho eficaz, y distinguen entre un ancho eficaz elástico (bef,el) y último (bef,ult). La RPX-95 [16] adoptó un criterio (E.2.37) que aplicó tanto a alas metálicas como de hormigón y EHE [1], en sus comentarios del art.18.2.1, permite su uso para el caso de puentes de hormigón. Esta formulación más detallada del ancho eficaz puede vincularse con el ancho eficaz que interviene directamente en la formulación de los métodos de cálculo revisados para el rasante. De este modo, para diseñar una viga con un ancho eficaz más generoso que el establecido en las normas, que permita aprovechar una capacidad resistente a flexión mayor, se sugiere cumplir las siguientes limitaciones:

⎩⎨⎧

≤≤bb

bb ultef,def,el ef, E.8.8

siendo bef,d el ancho eficaz propuesto para diseño; b el ancho real del ala; bef,el el ancho eficaz elástico, entendido también como el ancho eficaz exigido por la norma; y bef,ult el ancho eficaz último que, según el criterio de RPX-95 [16], resultaría bef,ult=2×bef,el. 8.1.5 Hormigón con fibras de acero En relación a la contribución específica de las fibras de acero en el problema resistente del rasante en alas de vigas en T, puede establecerse como conclusión general que los datos experimentales confirman un incremento resistente notable frente a este esfuerzo, a pesar de que no se han empleado altas dosificaciones de fibras. Las curvas experimentales t(ω) que enfrentan el rasante nominal frente al grado de refuerzo de la armadura (Fig.7.19) se desplazan hacia arriba conforme aumenta el contenido de fibras en la masa de hormigón, lo que significa que el empleo de fibras de acero puede permitir un ahorro de la armadura transversal del ala. La principal limitación del estudio es el escaso número de datos disponibles, aparte hay que resaltar la importancia notable que han tenido los medios disponibles para la colocación y compactación del hormigón en las vigas, cuyo efecto se ha manifestado por el comportamiento irregular de aquellas vigas con dosificaciones más altas de fibras. A ello ha contribuido el hecho de haber empleado una alta cuantía de armadura longitudinal de flexión, con separaciones justas y en tres capas. El comportamiento irregular de las vigas puede deducirse de las propias curvas t(ω) experimentales representadas en la Fig.7.19. La revisión de los tres métodos de cálculo seleccionados para el análisis del rasante en vigas de hormigón armado, y su actualización para la consideración de la contribución de las fibras de acero, es capaz de reproducir el comportamiento experimental de las curvas t(ω) pero la



aproximación conseguida es menor que en el caso de aplicar los métodos en vigas de hormigón armado solamente, con la ventaja de resultar siempre del lado seguro. La comparación de métodos permite establecer el modelo de bielas y tirantes convencional como el que menos incremento de seguridad produce, seguido del modelo de transferencia a corte, pero sólo si se elimina la condición de su valor límite. La forma de tener en cuenta la contribución de las fibras de acero en los métodos de cálculo es sencilla y se adapta a la caracterización que las normas actuales hacen del hormigón reforzado con fibras de acero. Se trata básicamente de emplear la resistencia a tracción fFtu establecida para estados límites últimos en el caso de emplear un modelo rígido-plástico. No obstante, existe una limitación importante que ninguna norma ha resuelto, debido a la dificultad para su determinación, y es la relación entre la resistencia obtenida en las probetas según el ensayo estándar y la resistencia que se espera obtener en el hormigón colocado en la pieza estructural. Solamente el Código Modelo 2010 [3] plantea el uso de un factor que modifica la resistencia a tracción de las probetas, en su apartado 5.6.7, denominado factor de orientación (E.2.193), pero es de determinación experimental para cada caso concreto. En el presente estudio se ha planteado un factor Ko para este concepto, a nivel teórico, pero no ha podido ser determinado experimentalmente y se carece de información detallada para establecer la diferencia existente entre la distribución y orientación de las fibras en la zona de encuentro alas–alma con respecto a la producida en las probetas de flexotracción. En su defecto se ha adoptado un valor razonable consultando la literatura, para recoger las condiciones favorables que presentaba la zona de unión alas–alma de las vigas, al estar contacto con el encofrado vibrante y durante más tiempo que en el caso del hormigón vertido en los moldes de las probetas de flexotracción. Otra conclusión relativa a la resistencia a tracción fFtu utilizada es que probablemente ofrece un valor reducido para ser empleado en este tipo de problema resistente. El valor corresponde a la transformación (E.2.189) de la resistencia residual fR3 del ensayo de flexotracción UNE-EN 14651 [249], correspondiente a un ancho de fisura de 2,5mm. En los ensayos de probetas a flexotracción o a tracción directa, la deformación por tracción se localiza en un área reducida, y así es medida y valorada. En un problema real de una pieza estructural, como es el caso del rasante en el ala, se alcanzan diversos niveles de deformación por tracción en diferentes zonas. Para cuando el ala alcanza su resistencia óptima existen zonas con altas deformaciones de tracción localizada y otras con valores más reducidos. Una redefinición de fFtu, como la resistencia equivalente planteada inicialmente por la norma alemana DBV (1992) o utilizada por la norma italiana CNR-DT 204/2006 [222], puede resultar más adecuada. No obstante, con la resistencia fFtu ciñéndose al texto de la EHE [1], que coincide con el Código Modelo 2010 [3], se obtienen resultados seguros, lo que es interesante como criterio inicial de diseño cuando no se dispone de una gran cantidad de datos experimentales. Existen otros factores que intervienen en los métodos de cálculo que requieren ser modificados para la consideración de las fibras de acero y que se comentan a continuación. En el método de bielas y tirantes y en el método de los campos de tensiones se utiliza un factor de eficacia para la resistencia a compresión del hormigón, νF. El efecto beneficioso de las fibras se ha considerado utilizando la única propuesta práctica existente, la expresión E.2.239 planteada por Campione (2012) [433]. Si bien es una fórmula experimental correspondiente al caso de compresión con fisuración paralela, su aplicación a los resultados del presente estudio se ha mostrado adecuada. En bielas y tirantes su efecto beneficioso se aprecia cuando el grado de refuerzo es elevado y entra en juego la condición por aplastamiento del hormigón en las bielas



inclinadas. En campos de tensiones, dado que sólo usa una única fórmula, su efecto se nota para cualquier valor del grado de refuerzo, pero se hace más notable con valores altos. En el método de transferencia a corte, consistente en el modelo lineal de cohesión más fricción, se han empleado los ensayos de push-off realizados en la campaña experimental para decidir el término de fricción que puede sumarse con el de la armadura transversal. Estos ensayos están fuera de norma, así que se han definido diversos parámetros de resistencia tangencial residual que representa la contribución de las fibras de acero. La fricción es un mecanismo resistente que crece hasta que alcanza su máximo cuando la armadura transversal de acero convencional alcanza su límite elástico. Para sumar la contribución de las fibras se ha considerado aquel parámetro resistente que proporcionaba una cohesión igual a la del hormigón armado, concluyendo que el mejor de ellos era una resistencia tangencial residual equivalente correspondiente a un deslizamiento de 0,5mm producido justo después de la tensión pico. Otro factor interviniente en el modelo de transferencia a corte es la limitación superior establecida en las normas americanas para garantizar resultados seguros. En el modelo revisado se ha empleado el K1=0,25 establecido por AASHTO [11], pero una conclusión importante del tratamiento de los resultados experimentales indica que dicho límite debe ser modificado al alza en función del contenido de fibras de acero. Haciendo un símil con el concepto del factor de eficacia νF del modelo de bielas y tirantes se ha propuesto una modificación del factor. Esta modificación no es capaz de validar el resultado de varias vigas, así que la eliminación de este límite parece razonable para el conjunto de vigas estudiado, ofreciendo así, incluso, un generoso margen de seguridad. Como conclusión final, teniendo presente las limitaciones de la campaña experimental, la sencillez de los métodos tratados permite incorporar la contribución de las fibras adecuándose a la caracterización establecida en normas para el hormigón reforzado con fibras de acero, y el resultado de su aplicación produce un incremento en el margen de seguridad entre un 13 y un 63% en relación al conseguido por los mismos métodos cuando se aplican al caso del hormigón armado convencional. Ello permite adoptar las propuestas iniciales para los diferentes parámetros comentados como válidas inicialmente para utilizar los métodos como herramientas de diseño. 8.2 CONTRIBUCIONES ORIGINALES En la presente tesis doctoral se han obtenido las siguientes aportaciones originales:

— Primeros ensayos experimentales de vigas en T de hormigón armado reforzado con fibras de acero concebidas para el estudio del rasante en alas comprimidas.

— Establecimiento de la curva de armadura mínima en el modelo de bielas y tirantes para eliminar la dependencia del ángulo de inclinación de compresiones en el ala.

— Utilización de las probetas de push-off para establecer el término que contribuye con el grado de refuerzo de la armadura para generar la fuerza de fricción del modelo de transferencia a corte.

— La demostración del modelo de campos de tensiones de Morley y Rajendran (1975) [22], incluida en el anejo A. Está basada en las breves indicaciones de sus autores originales, quienes realmente no presentaron ninguna fórmula, tan solo una curva en una gráfica.



— La adaptación de los tres modelos estudiados, bielas y tirantes, transferencia a corte y campos de tensiones, al caso de hormigón armado reforzado con fibras de acero. Expresiones E.8.2, E.8.3 y E.8.4.

8.3 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN La propia investigación llevada a cabo en la presente tesis no está cerrada, sino que es susceptible de ser revisada ampliando la base de datos con el ensayo de nuevas vigas en T de hormigón reforzado con fibras de acero. Las posibilidades son numerosas, desde variaciones en las características de los materiales y en las dosificaciones de fibras, hasta variaciones en el esquema estructural de la viga. En este último caso pueden citarse casos de alas traccionadas, alas interiores de secciones en π, o esquemas hiperestáticos. A esto hay que añadir la posibilidad de calibrar modelos numéricos para ampliar de esta forma la base de datos. La ampliación de la base de datos es necesaria para estudiar con mayor detalle algunos problemas específicos detectados que pueden constituir líneas de investigación. A continuación se identifican y explican brevemente posibles temas de investigaciones futuras. Relativo al ancho eficaz del EC2 y el ángulo mínimo para la compresión oblicua

Es necesario reunir datos experimentales de vigas en T con alas comprimidas diseñadas para forzar que el ancho real del ala coincida con el ancho eficaz establecido en EC2 [4] y que la armadura transversal del ala esté diseñada con el ángulo mínimo recomendado para la inclinación de las bielas, θf=26,5º (cotgθf=2). El resultado de la viga MT8, comentado con la Tabla 7.5 y obtenido sin coeficientes de seguridad, apunta a que esta particular situación de diseño de una viga puede suponer un caso inseguro. La única propuesta encontrada en la literatura que puede corregir este problema corresponde a Tizatto y Shehata (1990) [207], y está recogida en E.8.2 con el factor KB. La propuesta es 14 años anterior al texto del EC2 [4], por lo que cuando se planteó simplemente se argumentó un mayor ajuste a los resultados experimentales de 13 vigas de diversos autores.

Relativo al valor límite aplicado en el modelo de transferencia a corte

La ampliación de la base de datos de vigas con valores del grado de refuerzo ω>0,1 puede permitir estudiar un valor adecuado para establecer el valor límite aplicado en el modelo de transferencia a corte, representado por el factor K1F en la expresión E.8.3.

Relativo al ancho eficaz condicionado por el grado de refuerzo

Este tema de investigación está tratado como una sugerencia en la exposición de conclusiones (v. 8.1.4), planteada a raíz de los resultados experimentales de muy pocas vigas y a raíz de la revisión del estado del conocimiento de la deformabilidad de las alas frente a rasante (v. 2.3.2). La EHE [1] es la única norma de hormigón estructural consultada que, en sus comentarios, da la posibilidad de emplear una formulación más detallada para el ancho eficaz en puentes de hormigón, que distingue entre valores en servicio y últimos, recogida en la RPX-95 [16] y adoptada, a su vez, de propuestas para alas metálicas (Fig.2.25a). No se han encontrado referencias sobre el estudio en profundidad de esta formulación para vigas de hormigón, siendo interesante relacionarlo con el importante efecto que tienen el grado de refuerzo de la armadura y de las fibras en el desarrollo de un ancho eficaz en agotamiento, según queda patente con el concepto de curvas límite.



Relativo a los ensayos de push-off En la revisión del modelo de transferencia a corte se han adoptado valores para los coeficientes de cohesión c y fricción μ que son aceptados comúnmente para hormigón armado, sin embargo la contribución del término de las fibras, que debe sumarse con el grado de refuerzo ω, se ha decidido con los datos de las probetas de push-off resultantes de las dos mitades de la probeta de flexotracción. El grado de refuerzo total aparece como ω+m·fF en la expresión E.8.3, siendo m el parámetro deducido del análisis de las probetas de push-off. Puede plantearse un estudio más amplio consistente en fabricar probetas de flexotracción, probetas de push-off A resultantes de las anteriores, y probetas diferentes de push-off B convencionales que puedan incluir armadura transversal, aparte de las mismas dosificaciones empleadas para las probetas de flexotracción. El estudio trataría de correlacionar la resistencia residual a tracción fFtu con diferentes definiciones de la resistencia tangencial residual para las probetas de push-off A y con el modelo de transferencia a corte aplicado a las probetas de push-off B.



9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 9.1 Bibliografía citada La bibliografía citada no se ha consultado directamente, sino que se anota en el texto porque resulta necesario, habiendo sido citada por otros autores cuya publicación sí que ha sido consultada directamente (figura en 9.2 bibliografía consultada). Este tipo de bibliografía se cita en el texto sin emplear referencia numérica entre corchetes, simplemente se anota el autor y el año entre paréntesis.

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9.2 Bibliografía consultada 1 CPH (Comisión Permanente del Hormigón): "EHE-08, Instrucción de Hormigón Estructural".

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2 Aguado, A., y F. Laranjeira: "Presentación del anejo de hormigón con fibras de la EHE y ecuación constitutiva del hormigón reforzado con fibras". Aplicaciones estructurales de hormigón con fibras, Jornada Técnica 2007-JT-02, 9 de Octubre de 2007, Barcelona, E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Disponible en http://www.bmbupc.org/.

3 CEB-FIP: "fib Model Code for Concrete Structures 2010". Ernst & Sohn, [2010] 2013, Berlin, xxxi+402pp.

4 CEN (Comité Européen de Normalisation): "Eurocode 2. Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings". EN 1992-1-1, versiones consultadas 1991, 2004.

5 Jiménez Montoya, P.; A. García Meseguer y F. Morán Cabré: "Hormigón Armado". 14ª edición basada en la EHE, ajustada al Código Modelo y al Eurocódigo, Gustavo Gili, Barcelona, 2000, 844pp.

6 Páez Balaca, A. y J. Díaz del Valle: "Armado de las alas de las vigas de sección en T". Hormigón y Acero, no. 184, trimestre 3, 1992, pp.23-39.

7 Calavera, J.: "Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón". Tomos I y II. INTEMAC. Madrid, edición 1999.

8 Hofbeck, J.A.; I.O. Ibrahim y A.H. Mattock: "Shear transfer in reinforced concrete". ACI Journal Proceedings, Vol.66, Issue 2, February 1, 1969, pp.119-128.



9 BS 8110: "BS 8110-1:1997. Structural use of concrete. Part 1. Code of practice for design and

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10 ACI 318: "Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318) and Commentary". American Concrete Institute, versiones consultadas 1995, 1999, 2002, 2005, 2008, 2011, 2014.

11 AASHTO: "AASHTO LRFD Bridge Design Specifications". Washington (DC), American Association of State Highway and Transportation Officials, 5th Edition, 2010; y 6th Edition, 2012.

12 CAN/CSA-S6-06: "Canadian Highway Bridge Design Code". Canadian Standards Association, Noviembre 2006.

13 JSCE (Japan Society of Civil Engineers): "Standard Specifications for Concrete Structures - 2007. Design". JSCE Guideline for Concrete No. 15, [2007] versión en inglés, Diciembre 2010.

14 Romo, J.: "Cálculo de secciones y elementos estructurales. El método de bielas y tirantes". En "La EHE explicada por sus autores", coordinador Antonio Garrido Hernández. 2ª edición, Madrid, Leynfor Siglo XXI, 2003.

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Estudio experimental del rasante en vigas en T de hormigón armado reforzado con fibras de acero. ANEJO A

ANEJO A: RESULTADOS EXPERIMENTALES A – 1

ANEJO A: RESULTADOS EXPERIMENTALES



ÍNDICE

1 VIGAS ...................................................................................................... 5 1.1 DIAGRAMAS CARGA FLECHA ..........................................................................5 1.2 SECCIÓN CENTRAL: DEFORMACIONES LONGITUDINALES...................................7 1.3 ALA: DEFORMACIÓN LONGITUDINAL EN SECCIÓN CENTRAL ............................. 12 1.4 ALA: DEFORMACIÓN TRANSVERSAL .............................................................. 17

2 PROBETAS DE FLEXOTRACCIÓN............................................................. 30 2.1 FAMILIA DE VIGAS VN-0 (sin fibras).............................................................. 31 2.2 FAMILIA DE VIGAS VN-20 (fibras 20kg/m³).................................................... 35 2.3 FAMILIA DE VIGAS VN-30 (fibras 30kg/m³).................................................... 38 2.4 FAMILIA DE VIGAS VN-40 (fibras 40kg/m³).................................................... 41

3 PROBETAS DE PUSH-OFF ....................................................................... 44 3.1 HORMIGÓN SIN FIBRAS............................................................................... 45

3.1.1 Generalidades.................................................................................. 45 3.1.2 Gráficos y tablas de resistencias ......................................................... 49 3.1.3 Conclusiones ................................................................................... 53

3.2 HORMIGÓN CON FIBRAS.............................................................................. 54 3.2.1 Generalidades.................................................................................. 54 3.2.2 Resultados gráficos........................................................................... 58 3.2.3 Tablas de resistencias ....................................................................... 67 3.2.4 Análisis de los resultados................................................................... 76

3.2.4.1 Influencia de la orientación del plano de corte respecto del hormigonado .................................................................... 76

3.2.4.2 Formas de rotura ............................................................... 77 3.2.4.3 Probetas con comportamiento irregular ................................. 83 3.2.4.4 Parámetros de resistencia tangencial .................................... 84

3.2.5 Conclusiones ................................................................................... 85 4 Referencias............................................................................................ 88



1 VIGAS 1.1 DIAGRAMAS CARGA FLECHA FAMILIA DE VIGAS VN-0 (sin fibras)

V1-0

V2-0V3-0

V4-0

0

100

200

300

400

500

600

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Flecha [mm]

F [kN ]V1-0V2-0V3-0V4-0

FAMILIA DE VIGAS VN-20 (fibras 20kg/m³)

V1-20

V2-20

V3-20

0

100

200

300

400

500

600

700

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Flecha [mm]

F [kN ]

V1-20V2-20V3-20

NOTA: En la viga V2-20 el extensómetro para medir la flecha se colocó por error a una mayor altura, así que agotó su recorrido antes de completar el ensayo de la viga, despegando de ella tras registrar una flecha de 29mm.

ANEJO A Estudio experimental del rasante en vigas en T de hormigón reforzado con fibras de acero.

A – 6 ANEJO A: RESULTADOS EXPERIMENTALES


V1-30V2-30

V3-30

0

100

200

300

400

500

600

700

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Flecha [mm]

F [kN ]V1-30V2-30V3-30


V1-40

V2-40

V3-40

0

100

200

300

400

500

600

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Flecha [mm]

F [kN ]

V1-40V2-40V3-40



1.2 SECCIÓN CENTRAL: DEFORMACIONES LONGITUDINALES

En este apartado se representan las deformaciones longitudinales recogidas en la sección central y pertenecientes al alma de la viga. Se trata de las galgas colocadas en las armaduras longitudinales S2 y S3, a las que se suma la galga dispuesta en el paramento superior de hormigón C6, dispuestas según se anota en la figura:

6

2

3dS2

S3

S2

C6ε

ε

εS3χ

1

Se representan los valores de deformación registrados en cada galga en función del valor del momento flector solicitante, y se representa también el gráfico momento–curvatura, obteniendo la curvatura según dos expresiones:

S3S2

S2S323 dd −

ε+ε=χ y

S2

S2C626 d

ε+ε=χ

Los valores de deformación, sean de tracción (εS2) o compresión (εS3 y εC6), se representan y se emplean en las fórmulas sin signo. Los valores de la profundidad de las galgas, dS2 y dS3, se obtienen de los datos presentados en el capítulo 4 (Tabla 4.3), y se anotan a continuación:

dS3 [mm] dS2 [mm] Vigas 49 347 V1-0; V2-0 44 342 V1-40; V2-20; V3-0; V3-20; V4-0 31 329 V1-20; V1-30; V2-30; V2-40; V3-30; V3-40

FAMILIA DE VIGAS VN-0 (sin fibras)

Momento–Deformaciones longitudinales: Momento–Curvatura:

VIGA V1-0 (ρf = 88mm²/m) V1-0

S2S3C6

050

100

150200

250300

350

400

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V1-0

χ26χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

(continúa en página siguiente)



(continuación)

VIGA V2-0 (ρf = 179,5mm²/m) V2-0

S2S3 C6

0

50

100150

200250

300350

400

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V2-0χ26

χ23

0

50

100

150

200

250300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V3-0 (ρf = 359,0mm²/m)

V3-0S2S3 C6

050

100

150

200

250

300350

400

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V3-0χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ23

VIGA V4-0 (ρf = 561,0mm²/m)

V4-0

S2S3 C6

050

100150200250300350400

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V4-0

χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ23

NOTAS:

En las vigas V3-0 y V4-0, ensayadas el mismo día, no pudo utilizarse la galga C6. En los gráficos M–ε figura la curva correspondiente a C6 como extrapolación de los datos de las galgas en las armaduras S2 y S3. En los gráficos M–χ solamente pueden representarse las curvas correspondientes a las galgas dispuestas en las armaduras, ya que si se utiliza C6 conduce a la misma curva.





VIGA V1-20 (ρf = 88mm²/m) V1-20

S2S3C6

050

100150

200250

300350

400

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V1-20

χ26χ23

0

50

100

150

200

250300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V2-20 (ρf = 179,5mm²/m)

V2-20

S2

S3C6

050

100150200250300350400450

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V2-20

χ26 χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V3-20 (ρf = 359,0mm²/m)

V3-20

S2

S3C6

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5 6 7

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V3-20χ26

χ23

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20 25

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

NOTAS:

En viga V2-20 la galga S2 falló su lectura a partir de una carga F=230kN, por lo que no ha podido construirse el diagrama momento–curvatura a partir de este valor. El uso de las galgas S3 y C6 para evaluar una curvatura no es razonable ya que se encuentran muy próximas.

En viga V3-20 la galga S2 dejó de medir correctamente a partir de un valor de la carga ligeramente inferior al máximo de agotamiento, por ello en la gráfica M–ε la curva S2 sólo alcanza un valor M=480kNm, mientras que S3 y C6 llegan hasta el valor máximo M=518,4kNm.





VIGA V1-30 (ρf = 88mm²/m) V1-30S2

S3

C6

0

50100

150

200250

300350

400

0 1 2 3 4 5

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V1-30χ26χ23

050

100150

200250300

350400

0 5 10 15 20 25 30

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V2-30 (ρf = 179,5mm²/m)

V2-30S2

S3C6

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V2-30χ26

χ23

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V3-30 (ρf = 359,0mm²/m)

V3-30

S2S3

C6

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V3-30

χ23

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ23

NOTAS:

En viga V2-30 la galga S3 comprimida falló su lectura a partir de una carga F=386kN, (M=290kNm), cercana a la carga de agotamiento, para las que las galgas S2 y C6 sí que ofrecieron registros coherentes. Por ello, en el diagrama M–χ, el tramo final de la curva χ23 no es correcto.

En viga V3-30 no se pudieron obtener lecturas de la galga C6 en hormigón. En el gráfico M–ε figura su valor extrapolado de S2 y S3, pero en el gráfico M–χ solamente figura la curva χ23.





VIGA V1-40 (ρf = 88mm²/m) V1-40

S2S3

C6

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V1-40χ26 χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V2-40 (ρf = 179,5mm²/m) V2-40

S2

S3C6

050

100150200250300350400450

0 1 2 3

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V2-40χ26

χ23

050

100150200250300350400450

0 5 10 15

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23

VIGA V3-40 (ρf = 359,0mm²/m) V3-40S2S3 C6

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3

ε [‰]

M [kN·m ]

S2S3C6

V3-40χ26 χ23

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15

χ [10-3m -1]

M [kN·m ]

χ26χ23



1.3 ALA: DEFORMACIÓN LONGITUDINAL EN SECCIÓN CENTRAL

Para cada viga se proporciona un diagrama con la evolución del valor de la carga F en función de las diferentes medidas de deformación recogidas en las cuatro galgas dispuestas en el paramento superior de hormigón en la sección central. A la derecha de este diagrama se proporciona una representación de la deformación de compresión del paramento superior del ala para diferentes niveles de la carga F aplicada. FAMILIA DE VIGAS VN-0 (sin fibras)

Carga–Deformación longitudinal del ala: Deformación longitudinal del ala en escalones:

VIGA V1-0 (ρf = 88mm²/m) V1-0

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V1-0

F1=100kN

F2=202kN F3=248kN

F4=276kN F5=306kN

F6=347kN

F7=375kN

0,0

0,5

1,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V2-0 (ρf = 179,5mm²/m) V2-0

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V2-0

F1=198kN F2=247kN F3=276kN F4=302kN F5=344kN

F6=506kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

Referencia de galgas de hormigón en sección central

20,035,055,0

[cm]

(continúa en página siguiente)



(continuación)

VIGA V3-0 (ρf = 359,0mm²/m) V3-0

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]

εC6 centralεC7 intermediaεC8 extrema

V3-0

F1=98kN

F2=197kN


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V4-0 (ρf = 561,0mm²/m) V4-0

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]

εC6 centralεC7 intermediaεC8 extrema

V4-0

F1=93kN F2=197kN

F3=291kN F4=345kN F5=390kN F6=439kN F7=486kN

F8=536kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]


20,035,055,0

[cm] NOTAS:

Las vigas V3-0 y V4-0 se ensayaron a rotura el mismo día y hubo problemas con los canales correspondientes a las galgas C5 y C6, sin poder realizar registros. No obstante, los valores representados para la posición C6 figuran extrapolados a partir de los resultados de las deformaciones en las galgas S2 y S3 dispuestas en las armaduras longitudinales, aproximadamente en la misma línea vertical que C6.





VIGA V1-20 (ρf = 88mm²/m) V1-20

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V1-20

F1=99kN F2=201kN F3=250kN F4=300kN F5=346kN F6=394kN F7=441kN F8=456kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V2-20 (ρf = 179,5mm²/m) V2-20

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V2-20

F1=107kN

F2=224kN

F3=337kN F4=399kN F5=459kN F6=523kN

F7=589kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V3-20 (ρf = 359,0mm²/m) V3-20

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V3-20

F1=102kN F2=198kN F3=247kN F4=297kN F5=346kN F6=394kN F7=441kN F8=491kN F9=538kN

F10=588kN F11=691kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]


20,035,055,0

[cm]





VIGA V1-30 (ρf = 88mm²/m) V1-30

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V1-30

F8=547kN


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V2-30 (ρf = 179,5mm²/m) V2-30

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V2-30

F1=266kN

F2=414kN F3=493kN F4=571kN F5=635kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V3-30 (ρf = 359,0mm²/m) V3-30

0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

ε [‰]

F [kN ]


V3-30

F1=253kN

F2=379kN F3=441kN F4=504kN F5=564kN

F6=620kN F7=664kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-60 -40 -20 0 20 40cm

εC [‰]


20,035,055,0

[cm] NOTAS: En viga V3-30 no pudieron realizarse registros de la galga C6, los valores anotados se han extrapolado de las galgas S2 y S3 dispuestas en las armaduras longitudinales, una de las cuales falló antes del último nivel de carga anotado (F7=534kN).





VIGA V1-40 (ρf = 88mm²/m) V1-40

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ε [‰]

F [kN ]


V1-40

F1=121kN

F2=249kN

F3=371kNF4=434kN

F5=495kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V2-40 (ρf = 179,5mm²/m) V2-40

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ε [‰]

F [kN ]


V2-40

F1=251kN

F2=389kNF3=455kNF4=530kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]

VIGA V3-40 (ρf = 359,0mm²/m) V3-40

0

100

200

300

400

500

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

ε [‰]

F [kN ]


V3-40

F1=197kN


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-60 -40 -20 0 20 40 cm

εC [‰]


20,035,055,0

[cm] NOTAS:

En viga V3-40 no hubo registros de la galga C8.



1.4 ALA: DEFORMACIÓN TRANSVERSAL VIGA V1-0 (sin fibras)

Carga–Deformación transversal en alas: V1- 0

0

100

200

300

400

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

εst [‰]

F [kN ]


Deformación transversal en las alas según niveles de carga:

V1- 0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0x [m ]

εst [‰]


ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

0,42

ALA DERECHA 12

0,420,5060,506

10

0,42

149

0,42

2,00

ALA IZQUIERDA

2,00

11 13 15

NOTAS:

El fallo temprano de la galga S10 no ha permitido completar las curvas de deformación transversal en el ala derecha. Otras galgas como la S9, S12 y S14 fallaron antes de alcanzar la carga de máxima, todas correspondientes al ala derecha.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0εst [‰]

F [kN ]



V2- 0

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]

εst [‰]

F1=198kN

F2=247kN

F3=276kN

F4=302kN

F5=344kN

F6=506kN

ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

0,42

ALA DERECHA 12

0,420,5060,506

10

0,42

149

0,42

2,00

ALA IZQUIERDA

2,00

11 13 15

NOTAS:

Antes del último nivel de carga las galgas S12 y S13 dejaron de marcar coherentemente, por lo que no existe una curva completa para el nivel F6.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0 2,0εst [‰]

F [kN ]



V3- 0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]

εst [‰] F1=98kN F2=197kN F3=294kN F4=349kN F5=392kN F6=441kN F7=488kN F8=533kN

ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

0,42

ALA DERECHA 12

0,420,5060,506

10

0,42

149

0,42

2,00

ALA IZQUIERDA

2,00

11 13 15

NOTAS:

La mayor lectura en galgas S13, S14 y S15 corresponde al fallo por rasante del tramo de viga entre x=2,5m y x=4m.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0 2,0εst [‰]

F [kN ]



V4- 0

-1,5

-0,5

0,5

1,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]


ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

0,42

ALA DERECHA 12

0,420,5060,506

10

0,42

149

0,42

2,00

ALA IZQUIERDA

2,00

11 13 15

NOTAS:

No hubo fallo por rasante y las lecturas no alcanzaron el valor correspondiente a la plastificación de la armadura transversal.




Carga–Deformación transversal en alas: V1-20

0

100

200

300

400

500

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0εst [‰]

F [kN ]



V1-20

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]


ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

La galga S15 comenzó a dar lecturas erróneas a partir de F=200kN. La galga S12 estaba situada en el lado del ala que agotó por rasante. Otras galgas, S9, S11 y S14, fallaron antes de alcanzar el nivel de carta F7.





0

100

200

300

400

500

600

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0εst [‰]

F [kN ]



V2-20

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]

εst [‰] F1=107kN F2=224kN F3=337kN F4=399kN F5=459kN F6=523kN F7=589kN

ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

Las galgas S14 y S15 estaban situadas en el lado de la viga que agotó por rasante, que movilizó ambas alas.





0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 1,0 2,0εst [‰]

F [kN ]



V3-20

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

x [m ]

εst [‰] F1=102kN F2=198kN F3=247kN F4=297kN F5=346kN F6=394kN F7=441kN F8=491kN F9=538kN F10=588kN F11=691kN

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

ALA

D

ER

ECH

AA

LA

IZQ

UIE

RD

A





0

100

200

300

400

500

600

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0εst [‰]

F [kN ]



V1-30

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]

εst [‰]

F1=99kN F2=199kN F3=300kN F4=347kN F5=393kN F6=441kN F7=471kN F8=547kN

ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

La galga S10 dejó de marcar en el nivel F7. Todas las galgas dejaron de marcar correctamente a partir del nivel F7, y no hay lecturas en el nivel F8. Las galgas S12 y S10 etaban localizadas en el ala que agotó por rasante.





0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 1,0 2,0εst [‰]

F [kN ]



V2-30

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]

εst [‰] F1=266kN

F2=414kN

F3=493kN

F4=571kN

F5=635kN

ALA

D

ER

ECH

AA

LA

IZQ

UIE

RD

A

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00





0

100

200

300

400

500

600

700

0,0 1,0 2,0 3,0εst [‰]

F [kN ]



V3-30

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

x [m ]


ALA

D

ERE

CH

AA

LA

IZQ

UIE

RD

A

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

Las galgas S14 dejó de funcionar tempranamente, a partir del primer nivel de carga.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0 2,0 3,0εst [‰]

F [kN ]



V1-40

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0x [m ]

εst [‰] F1=121kN

F2=249kN

F3=371kN

F4=434kN

F5=495kN

ALA

D

ER

EC

HA

ALA

IZ

QU

IER

DA

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

Las galgas S9 y S12 presentaron valores incoherentes en los primeros niveles de carga.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0εst [‰]

F [kN ]



V2-40

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0x [m ]

εst [‰] F1=251kN

F2=389kN

F3=455kN

F4=530kN

F5=531kN

ALA

D

ER

ECH

AA

LA

IZQ

UIE

RD

A

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

La galga S9 no dió lectura, por lo que las curvas del ala izquierda no pueden completarse.





0

100

200

300

400

500

0,0 1,0εst [‰]

F [kN ]



V3-40

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 x [m ]


ALA

D

ER

ECH

AA

LA

IZQ

UIE

RD

A

15

0,420,42

12

ALA IZQUIERDA

ALA DERECHA

0,506

9

0,506

10

11

0,42

14

13

0,42

2,002,00

NOTAS:

La galga S12 no dió lecturas coherentes en todo el proceso de carga, por lo que no ha sido representada.



2 PROBETAS DE FLEXOTRACCIÓN En este apartado se proporcionan los resultados obtenidos de los ensayos de flexotracción de las 3 probetas fabricadas para cada una de las 13 vigas ensayadas. Las probetas eran de dimensiones 150×150×580mm y para su ensayo se siguió básicamente la norma UNE-EN 14651 [1] midiendo el CMOD o desplazamiento del borde de la fisura. Los resultados están agrupados por tipo de hormigón, es decir, por contenido de fibras de acero, y consisten en las gráficas Carga–CMOD y en un cuadro de resultados correspondientes al límite de proporcionalidad (LOP), o resistencia a flexotracción, las cuatro resistencias residuales, y los valores medios para ser empleados en cálculos. La notación empleada es la misma que la seguida en EHE [2]:

fL = límite de proporcionalidad (LOP) o resistencia a flexotracción fR1 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=0,5mm fR2 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=1,5mm fR3 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=2,5mm fR4 = resistencia residual a flexotracción para CMOD=3,5mm

Tanto el LOP como las resistencias residuales han sido calculadas con la expresión de la tensión de tracción en la fibra más tendida en un hipotético régimen elástico y lineal:

2sp2

3hbLFf

⋅⋅⋅⋅

=

siendo b el ancho de la probeta y hsp la altura existente entre el fondo de la entalla y el paramento superior de la probeta. Los valores de b y hsp se obtuvieron como valor medio de dos medidas realizadas sobre la probeta. En el caso de hormigón reforzado con fibras de acero se proporciona además el resultado de las condiciones establecidas por EHE [2] en su artículo 31.4 para establecer la consideración de la función estructural de las fibras de acero.



2.1 FAMILIA DE VIGAS VN-0 (sin fibras) Viga V1-0

Viga V1-0: Diagrama carga - CMOD

0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta B

probeta C

La probeta A rompió sin registros por una aplicación inadecuada de la carga en la prensa.

Probeta V1-0 A V1-0 B V1-0 C CMOD F f CMOD F f CMOD F f punto

[mm] [kN] [N/mm²] [mm] [kN] [N/mm²] [mm] [kN] [N/mm²]

F máxima NULA NULA NULA 0,018 9.690 3,1 0,020 10.556 3,4 LOP NULA NULA NULA 0,018 9.690 3,1 0,020 10.556 3,4

Valor medio del límite de proporcionalidad (resistencia a flexotracción):

fL = 3,3 N/mm²



Viga V2-0


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B probeta C



F máxima 0,026 8.962 2,9 0,022 9.553 3,1 0,024 10.732 3,4 LOP 0,026 8.962 2,9 0,022 9.553 3,1 0,024 10.732 3,4


fL = 3,1 N/mm²



Viga V3-0


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B

probeta C



F máxima 0,038 9.944 3,2 0,029 9.338 3,0 0,034 9.579 3,1 LOP 0,038 9.944 3,2 0,029 9.338 3,0 0,034 9.579 3,1


fL = 3,1 N/mm²



Viga V4-0


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B probeta C



F máxima 0,035 9.615 3,1 0,030 9.610 3,1 0,022 9.916 3,1 LOP 0,035 9.615 3,1 0,030 9.610 3,1 0,022 9.916 3,1


fL = 3,1 N/mm²



2.2 FAMILIA DE VIGAS VN-20 (fibras 20kg/m³) Viga V1-20


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B

probeta C



F máxima 0,025 10.441 3,2 0,030 9.479 3,0 0,033 9.656 3,0 LOP 0,025 10.441 3,2 0,030 9.479 3,0 0,033 9.656 3,0

CMOD1 0,500 3.254 1,0 0,500 2.491 0,8 0,500 3.815 1,2 CMOD2 1,500 3.630 1,1 1,500 2.704 0,8 1,500 4.079 1,3 CMOD3 2,500 3.787 1,2 2,500 2.931 0,9 2,500 4.071 1,3 CMOD4 3,500 3.837 1,2 3,500 2.971 0,9 3,500 4.158 1,3

Valor medio del límite de proporcionalidad y de las resistencias a flexotracción residuales:

fL = 3,1 N/mm² fR1 = 1,0 N/mm² fR2 = 1,1 N/mm² fR3 = 1,1 N/mm² fR4 = 1,1 N/mm²

Consideración de la función estructural de las fibras (según EHE 31.4 [2]):

Limitación 1ª: fR1 ≥ 0,4·fL = 1,24 NO CUMPLE Limitación 2ª: fR3 ≥ 0,2·fL = 0,62 cumple



Viga V2-20


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A probeta B probeta C



F máxima 0,024 9.135 2,9 0,041 9.632 3,1 0,029 10.397 3,3 LOP 0,024 9.135 2,9 0,041 9.632 3,1 0,029 10.397 3,3




Consideración de la función estructural de las fibras (según EHE [2] anejo 14 art.31.4):




Viga V3-20


0

2

4

6

8

10

12

14

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B

probeta C



F máxima 0,034 11.831 3,6 0,031 11.232 3,5 0,025 11.182 3,5 LOP 0,034 11.831 3,6 0,031 11.232 3,5 0,025 11.182 3,5










0

2

4

6

8

10

12

14

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta B

probeta C



F máxima 0,035 11.078 3,5 0,033 11.344 3,5 0,030 11.573 3,6 LOP 0,035 11.078 3,5 0,033 11.344 3,5 0,030 11.573 3,6





Limitación 1ª: fR1 ≥ 0,4·fL = 1,4 cumple Limitación 2ª: fR3 ≥ 0,2·fL = 0,7 cumple



Viga V2-30


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]




F máxima 0,033 10.823 3,4 0,030 9.911 3,1 0,033 10.722 3,3 LOP 0,033 10.823 3,4 0,030 9.911 3,1 0,033 10.722 3,3








Viga V3-30


0

2

4

6

8

10

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A

probeta C

La probeta B fisuró en la fase de contacto del rodillo central con la probeta, por lo que no fue válida y no se ha incluido en los resultados.



F máxima 0,038 9.177 2,9 0,000 0 0,0 0,030 9.353 2,9 LOP 0,038 9.177 2,9 0,000 0 0,0 0,030 9.353 2,9

CMOD1 0,500 4.921 1,5 0,000 0 0,0 0,500 4.691 1,4 CMOD2 1,500 5.256 1,6 0,000 0 0,0 1,500 4.625 1,4 CMOD3 2,500 5.468 1,7 0,000 0 0,0 2,500 4.519 1,4 CMOD4 3,500 5.360 1,7 0,000 0 0,0 3,500 4.350 1,3









0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]




F máxima 0,039 11.117 3,5 0,049 9.846 3,1 0,042 10.552 3,3 LOP 0,039 11.117 3,5 0,049 9.846 3,1 0,042 10.552 3,3








Viga V2-40


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]




F máxima 0,095 11.411 3,6 0,044 10.934 3,4 0,047 11.128 3,6 LOP 0,050 11.246 3,5 0,044 10.934 3,4 0,047 11.128 3,6








Viga V3-40


0

2

4

6

8

10

12

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

CMOD [mm ]

Carga [kN ]

probeta A (NULA) probeta B probeta C

La probeta A fisuró en la fase de conctacto del rodillo central con la probeta, por lo que no es válida. La curva representada corresponde, por tanto, a una probeta prefisurada, pero no se ha utilizado en los resultados de resistencias f.



F máxima 0,000 0 0,0 0,034 9.363 3,0 0,039 10.726 3,4 LOP 0,000 0 0,0 0,034 9.363 3,0 0,039 10.726 3,4

CMOD1 0,000 0 0,0 0,500 7.331 2,3 0,500 8.689 2,7 CMOD2 0,000 0 0,0 1,500 8.329 2,7 1,500 9.755 3,1 CMOD3 0,000 0 0,0 2,500 8.161 2,6 2,500 9.747 3,1 CMOD4 0,000 0 0,0 3,500 7.826 2,5 3,500 9.228 2,9







3 PROBETAS DE PUSH-OFF En este apartado se proporcionan los resultados obtenidos de los ensayos de push-off realizados en probetas resultantes de las dos mitades de las probetas de flexotracción. Aunque numerosos autores han utilizado el ensayo de push-off para la caracterización de la transferencia a corte, tanto en hormigón armado como en hormigón reforzado con fibras, revisados en el capítulo 2 del estado del conocimiento, las dimensiones de la probeta utilizada en el presente estudio solamente ha sido empleada por Barragán (2002) [3] y Barragán et al. (2006) [4]. No existe un ensayo estándar de push-off, por lo que en este apartado no solamente se exponen los resultados gráficos de los ensayos, sino también se comentan las observaciones realizadas sobre el desarrollo de los mismos y se plantean diversos valores de la resistencia residual y equivalente para su posible uso en cálculos resistentes. Dado que se fabricaron 3 probetas de flexotracción por viga, cada viga dispone de 6 resultados de push-off, lo que supone un total de 78 ensayos. La información resultante se organiza en dos bloques, el primero corresponde a la realización del ensayo en el hormigón sin fibras y el segundo corresponde al hormigón reforzado con fibras de acero; dentro de cada bloque los resultados se agrupan por viga. El valor de la tensión tangencial es nominal, obtenido como el reparto uniforme de la carga vertical V aplicada entre el área de corte:

hbV⋅

=τ

siendo b el ancho de la probeta y h la altura existente entre el fondo de las dos entallas horizontales. Los valores teóricos de b y h son 150 y 60mm, respectivamente, pero se obtuvieron como valor medio de dos medidas realizadas sobre la probeta. Para designar a las probetas se emplea el nombre utilizado para la probeta original de flexotracción y se añade al final, entre paréntesis, la letra A o B correspondiente al tipo de corte aplicado para las entallas (Fig.A3.1). Por ejemplo, V2-30A(B) es la probeta de push-off con corte tipo (B) proviniente de la probeta de flexotracción A de la viga V2-30.

260

260

tipo (B)

tipo (A)

entalla paraflexotracción


mm

Fig.A3.1. Tipos de corte para las entallas de push-off.



3.1 HORMIGÓN SIN FIBRAS 3.1.1 Generalidades En el caso de hormigón en masa el único gráfico de interés es la representación de la tensión tangencial nominal frente al deslizamiento vertical (τ-s), ya que apenas se registraron valores para la abertura de fisura salvo una vez ocurrido el fallo, pero esta ya era una situación inestable. Para concentrar estos resultados se representa más adelante un diagrama para el hormigón de cada viga, que incluye las 6 curvas correspondientes. En primer lugar, hay que señalar que en la mayoría de casos se pudo observar la aparición previa de una fisuración que no era debida al esfuerzo de corte, y que precedía al agotamiento por corte. En concreto 21 probetas de las 24 correspondientes al hormigón en masa, presentaron este tipo de fisuración. Básicamente se trata de dos tipos de fisuras:

— Fisuras horizontales situadas a la altura de las entallas, que se inician en la cara lateral opuesta a la del corte de la entalla y progresan hasta una distancia aproximada de 1cm del fondo de la entalla. Este tramo no fisurado de 1cm es el cuello por el que se canalizan las compresiones verticales. Al tratarse de hormigón en masa, una fisura de este tipo presenta una anchura apreciable y prácticamente divide a la probeta en dos bloques que giran en sentido contrario hasta alcanzar una posición de equilibrio, proceso en el que se experimenta una caída del valor de la carga y un aumento del deslizamiento. La formación de una segunda y última fisura de este tipo acaba dividiendo a la probeta en tres bloques, según se puede apreciar en Fig.A3.2a. Estas fisuras se marcan tanto en la cara frontal como dorsal de la probeta y pueden denominarse fisuras horizontales de flexión. La casuística es sencilla ya que sólo aparecen a la altura de las entallas, así que pueden aparecer dos fisuras o solamente una, como en el caso de la Fig.A3.2c, en donde además se aprecia la formación de la fisura final vertical de agotamiento a corte.

— Fisuras verticales que nacen a partir de la entalla, a una distancia entre 1 y 2cm desde el fondo de la misma, y progresan hacia el interior del tramo central de la probeta que contiene el plano de corte de estudio (Fig.A3.2d y e), y su longitud no suele alcanzar la mitad de este tramo, es decir, 3cm. La zona donde se originan es una zona de especial concentración de tracciones [3]. La aparición de estas fisuras puede afectar en el registro del ancho de fisura y del deslizamiento, así como un cambio en la velocidad de crecimiento de la carga. La casuística es más variada, ya que pueden marcarse en una cara pero no en la cara opuesta, de modo que pueden tenerse un total máximo de cuatro fisuras de este tipo. Esta clase de fisuras resultaron mucho menos frecuentes que las anteriores.

Con posterioridad a la aparición de alguna de las fisuras descritas, si así ocurría, en la mayoría de los casos la probeta de push-off agotó con una fisura vertical que unía los fondos de las dos entallas (Fig.A3.2b-c-d-e-f). También pudieron apreciarse unos pocos casos en donde se marcó una fisuración múltiple, oblicua y paralela, delimitando unas microbielas; en la Fig.A3.2g se aprecian 3 fisuras y 2 microbielas. A veces una cara mostraba una fisura vertical y la cara opuesta podía mostrar fisuración oblicua, aunque la gran mayoría de las 24 probetas ensayadas mostraron la fisura vertical. Hay que citar dos casos de probetas que no representan el tipo de rotura buscado. Están recogidos en las fiburas Fig.A3.2h e i, en donde se puede apreciar claramente que el plano vertical de corte agotó principalmente por tracción, o más bien flexión, sin que llegase a unir los fondos de las dos entallas, por lo que es un caso de probeta que no representa el tipo de rotura buscado.



(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Fig.A3.2. Probetas de push-off en hormigón sin fibras y tipo de fisuración aparecida.



Los diagramas τ-s obtenidos reflejan la influencia de la fisuración en el proceso de carga, que hay que recordar que consistía en aplicar una velocidad de desplazamiento constante e igual a 1μm por segundo. El tramo inicial de carga resulta básicamente una línea recta hasta alcanzar un pico máximo, al que sigue una caída de la tensión pero que es recuperada en muchos casos con la formación de un segundo y hasta un tercer pico. Este comportamiento puede explicarse del siguiente modo:

(a) Diagrama con 1 solo pico: Este debería ser el comportamiento ideal y que reflejaría un proceso de carga de la probeta hasta su rotura por agotamiento a corte, apareciendo una única fisura vertical por corte. El pico correspondería a la máxima tensión tangencial desarrollada por el plano vertical delimitado por las dos entallas.

(b) Diagrama con 2 picos: En este caso el primer pico se debe a la aparición de una fisura horizontal o, menos probable, de dos fisuras horizontales simultáneas. En el caso de formarse una fisura, la probeta queda dividida en dos bloques que experimentan un pequeño giro relativo hasta alcanzar una situación de equilibrio, momento en el que la carga disminuye su valor hasta que, conforme avanza el pistón de carga, encuentra de nuevo la resistencia ofrecida por el plano de corte y vuelve a crecer su valor. Se llega así a un segundo pico que corresponde al fallo final del plano de corte.

(c) Diagrama con 3 picos: En este caso los dos primeros picos se deben a la aparición no simultánea de fisuración horizontal por flexión, produciéndose dos fases de giros relativos entre los bloques resultantes de la probeta, hasta alcanzar la correspondiente situación de equilibrio. El tercer pico corresponde al agotamiento por corte del plano delimitado por las dos entallas.

El tipo de fisura vertical por tracción, que no ha sido habitual, si se produce, no es responsable de ningún pico, en todo caso puede provocar cambios de pendiente en la rama de carga. Los pequeños giros relativos que se producen con la aparición de una o dos fisuras horizontales de flexión acaban modificando la orientación del plano vertical de corte, lo que causa la introducción de una componente de tensión normal en el mismo. Suponiendo que se forman 2 fisuras horizontales en los planos medios de las entallas, que los 3 bloques rígidos en que queda dividida la probeta giran hasta que los bordes de la entalla se tocan, y que línea vertical de carga permanece en su posición original, puede obtenerse la inclinación que adquiere el plano de corte con respecto a la línea vertical de carga según se representa en la Fig.A3.3a. Resulta un ángulo de 1,736º pero, a su vez, la cara superior e inferior oscilan 0,529º, lo que debería mover ligeramente el punto de paso de la fuerza vertical V, inclinando la línea de carga hacia el mismo lado que el plano de corte, de modo que la desviación con el plano de corte resultaría inferior a 1,736º. Esto significaría que menos de un 3% de la fuerza vertical V es transformada en una componente normal sobre el plano de corte, lo que no parece tener especial relevancia.



(a)

0,555º

1,736º

V

V (b) sP1

τ

sm* sP1 sm

*

[MPa]

slip [mm]

τP1

τmáx

0,5 1,00,0

0,5

0,0

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Fig.A3.3. Push-off: (a) giro relativo con la formación de dos fisuras de flexión; (b) diagrama τ–s con 3 picos y determinación del deslizamiento para la tensión máxima.

En los diagramas τ–s se puede observar que, en el caso de que presenten más de un pico, el valor máximo de la carga registrado se puede producir en cualquiera de los picos. Este valor máximo es el valor que se va a adoptar como resistencia tangencial nominal de corte τmáx. Para tratar de ofrecer un resultado del deslizamiento sm correspondiente a τmáx que corrija los inconvenientes citados, se propone proceder del siguiente modo:

— En curvas de un solo pico es obvio que sm corresponde al deslizamiento registrado en el pico.

— En curvas de más de un pico sm corresponde al primer pico si éste registra el máximo de la tensión tangencial.

— En curvas de más de un pico, en donde el máximo de tensión ocurre en el segundo o tercer pico, se procede a trasladar la rama ascendente del pico máximo, que se situa por encima del primer pico, hacia la rama inicial de carga, tal y como se ilustra en la Fig.A3.3b. La nueva posición del pico máximo presentará un deslizamiento que se anota como sm

* para indicar que su valor ha sido obtenido mediante corrección del diagrama. Se trata de determinar el punto de corte sP1

* en la rama ascendente de τmáx, para el valor de la tensión del primer pico τP1, mediante interpolación de los registros disponibles, y así se obtiene:

sm* = sP1 + sm – sP1

* La corrección no pretende ser exacta, pero sí mantener dentro de un valor razonable el deslizamiento a partir del cual se abandona el comportamiento lineal por inicio de la fisuración por corte. A continuación se reproducen los diagramas de los cuatro hormigones fabricados para las vigas sin contenido de fibras, VN-0, y se anota el valor de sm

* en los casos necesarios, comentando al final los resultados obtenidos.



3.1.2 Gráficos y tablas de resistencias

Viga V1-0

V1-0 A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0

s = slip [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

PROBETA τmáx [MPa] sm [mm] sm* [mm] wm [mm] Comentarios

V1-0 A (A) 4,440 0,711 0,205 0,057 2 picos V1-0 B (A) 3,714 0,075 × 0,005 2 picos (1º=máx.), no válida V1-0 C (A) 3,061 0,232 × 0,000 2 picos (1º=máximo) V1-0 A (B) 3,849 0,086 × 0,008 1 pico V1-0 B (B) 3,784 0,301 0,233 0,003 3 picos (2º=máximo) V1-0 C (B) 4,130 0,371 × 0,008 1 pico, cambios pendiente

Tensión tangencial máxima promedio: – todas las probetas τmáx = 3,83 MPa – sólo probetas (A) τmáx = 3,74 MPa – sólo probetas (B) τmáx = 3,92 MPa

La probeta B(A) no tuvo una rotura claramente dominada por el esfuerzo de corte (Fig.A3.2h), no obstante el agotamiento se produjo para un valor de la carga similar al de rotura del resto de probetas del mismo hormigón, por lo que se ha incluido en los valores promedio.

La probeta C(A) presenta un valor resistente bajo sin haber manifestado una forma de rotura diferente al de otras probetas. Rompió por un plano de corte limpio, después de la formación de una fisura horizontal por flexión junto a la entalla superior.

La probeta C(B) es la única que presenta un cambio de pendiente en la rama de carga. Aunque se formó un plano de rotura limpio por corte, se observó cómo se marcaba en primer lugar una fisura vertical de tracción, que se inició a unos 1,5cm del fondo de la entalla superior, marcándose tanto en la cara frontal como dorsal. Esta fisuro progresó unos 3cm y apenas abrió, y su efecto fue el cambio de pendiente en la rama de carga.

El valor para sm o sm* oscila entre 0,075 y 0,233mm, si no contamos con C(B), ya que presenta el

cambio de pendiente comentado y un valor algo superior para el deslizamiento del pico máximo, sm=0,371mm.



Viga V2-0

V2-0

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0

s = slip [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)


V2-0 A (A) 3,772 0,333 0,236 0,000 3 picos (2º=máximo) V2-0 B (A) 4,041 0,291 × 0,000 2 picos (1º=máximo) V2-0 C (A) 3,732 0,611 0,277 0,000 2 picos (2º=máximo) V2-0 A (B) 4,101 0,215 × -0,001 2 picos (1º=máximo) V2-0 B (B) 3,948 0,398 0,258 0,000 2 picos (2º=máximo) V2-0 C (B) 3,351 0,227 × 0,000 3 picos (1º=máximo)

Tensión tangencial máxima promedio: – todas las probetas τmáx = 3,82 MPa – sólo probetas (A) τmáx = 3,85 MPa – sólo probetas (B) τmáx = 3,80 MPa En esta ocasión todas las probetas presentaron las dos fisuras horizontales por flexión posibles, salvo B(B) que solo marcó la fisura horizontal inferior, aunque marcó de una forma especial una fisura vertical de tracción paralela al plano de corte y que progresó casi los 6cm (Fig.A3.2e). Como puede apreciarse hay casos en donde la máxima tensión tangencial nominal se produce en el primer pico, y casos en donde se produce en el segundo.

El valor para sm o sm* oscila entre 0,215 y 0,291mm.



Viga V3-0

V3-0

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0

s = slip [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)


V3-0 A (A) 3,887 0,831 0,231 no medido 3 picos (3º=máximo) V3-0 B (A) 4,039 0,204 × no medido 2 picos (1º=máximo) V3-0 C (A) 3,862 0,700 0,254 no medido 3 picos (3º=máximo) V3-0 A (B) 3,575 0,278 × no medido 1 pico V3-0 B (B) 4,018 0,868 0,299 no medido 3 picos (3º=máximo) V3-0 C (B) 4,054 0,323 × no medido 2 picos (1º=máximo)

Tensión tangencial máxima promedio: – todas las probetas τmáx = 3,91 MPa – sólo probetas (A) τmáx = 3,93 MPa – sólo probetas (B) τmáx = 3,88 MPa En esta ocasión el canal de medida para la abertura de fisura w no funcionó, por lo que no hubo registro. Si se observan las probetas previas de las vigas V1-0 y V2-0 se concluye que la deformación registrada horizontalmente es prácticamente nula en todo el proceso de carga hasta la rotura por corte. Todas las probetas presentan las dos fisuras posibles horizontales por flexión, salvo la probeta A(B) que no presentó ninguna, solamente la fisura vertical por corte y alguna fisura vertical secundaria por tracción. En esta ocasión se tienen varias probetas que presentan tres picos y el tercero corresponde al valor máximo registrado de la tensión tangencial nominal. El valor para sm o sm

* oscila entre 0,204 y 0,323mm.



Viga V4-0

V4-0

A (A)

B (A)

C (A)

A (B) B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0

s = slip [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

PROBETA τmáx [MPa] sm [mm] sm* [mm] wm [mm] Comentarios V4-0 A (A) 3,673 0,890 0,227 no medido 3 picos (3º=máximo) V4-0 B (A) 4,254 0,785 0,253 no medido 3 picos (3º=máximo) V4-0 C (A) 3,825 0,776 0,235 no medido 3 picos (3º=máximo) V4-0 A (B) 3,596 0,821 0,316 no medido 3 picos (3º=máximo) V4-0 B (B) 3,927 0,258 × no medido 2 picos (1º=máximo) V4-0 C (B) 3,054 0,240 × no medido 2 picos (1º=máximo), no válida

Tensión tangencial máx. promedio: – todas las probetas τmáx = 3,86 MPa no incluye C (B) – sólo probetas (A) τmáx = 3,92 MPa – sólo probetas (B) τmáx = 3,76 MPa no incluye C (B) En este juego de probetas ensayadas tampoco hubo registro de la abertura de fisura w. La probeta C(B) tuvo un agotamiento dominado por tracciones, en el que la fisura vertical no conectó los fondos de las dos entallas y abrió por la parte superior, como si se tratara de flexión negativa (Fig.A3.2i). Su carga de rotura resulta además anormalmente baja en relación al resto, por lo que no se ha considerado en los valores promedio. El resto de probetas presentaron todas las dos fisuras posibles horizontales por flexión. El valor para sm o sm

* oscila entre 0,227 y 0,316mm.



3.1.3 Conclusiones Una vez presentados los resultados pueden señalarse las siguientes conclusiones en diferentes aspectos de interés.

[a] Influencia de la fisuración horizontal por flexión y vertical por tracción en la medida del deslizamiento.

Ambos tipos de fisuración afectan al valor registrado del deslizamiento, pero es la fisuración horizontal la causante de que en los diagramas τ–s aparezcan picos que preceden al agotamiento por corte. La fisuración vertical provoca generalmente cambios en la pendiente del diagrama. En ambos casos se genera un incremento del valor del deslizamiento. Es posible que un dispositivo de medida localizado en el tramo del plano de corte entre las entallas pueda eliminar o reducir la influencia de ambos efectos pero, para las dimensiones de la probeta utilizada, el dispositivo de medida adoptado, propuesto por [3,4], es el más sencillo que existe. Aunque, en principio, ambos efectos no permiten considerar a este tipo de ensayo como adecuado para evaluar la resistencia a corte y relacionarla con un valor del deslizamiento, la corrección propuesta, comentada en el siguiente punto, parece que puede controlar en gran medida el problema. Hay que esperar también a observar los resultados en HRFA.

Barragan (2002) [3] no comentó la aparición de fisuración horizontal por flexión, solamente la fisuración vertical por tracción. Dentro de su estudio ensayó 3 probetas de push-off con un hormigón sin fibras de resistencia fc=35MPa, y otras 3 probetas con fc=70MPa, lo que parece indicar que una mayor resistencia del hormigón puede contener las tracciones verticales generadas en los laterales de la probeta, evitando la formación de las fisuras horizontales.

[b] Valor del deslizamiento correspondiente a la tensión tangencial máxima (sm).

De las 24 probetas ensayadas, la mitad de ellas han precisado la corrección propuesta para estimar el deslizamiento del pico máximo de tensión (sm

*). Sobre los valores del deslizamiento obtenido puede comentarse lo siguiente:

– Sólo 2 valores han resultado inferiores a 0,1mm (0,075 y 0,086). – Sólo 3 valores han superado los 0,3mm (0,316; 0,323 y 0,371), y 1 de ellos

corresponde a la corrección sm*.

– Los 19 valores restantes han caído en el intervalo 0,2–0,3mm, y 11 de ellos corresponden a la corrección sm

*. – El valor promedio de todos los valores resulta sm = 0,243mm.

Parece razonable establecer un valor sm=0,25mm como el deslizamiento necesario para que la fisuración por corte se desarrolle completamente. Es probable que se obtengan valores menores para sm con hormigones de resistencia fc creciente, ya que el comportamiento de la probeta hasta el pico de carga máxima se corresponde básicamente al de un material elástico. Resultados de Barragan (2002) [3] oscilaron entre 0,1 y 0,27mm para resistencias fc de 35 y 70MPa.

La corrección aplicada a las curvas con más de un pico parece, por tanto, reconducir los valores del deslizamiento de la tensión tangencial máxima a valores coherentes con los casos de probetas sin fisuración horizontal por flexión.

[c] Distinción entre probetas con plano de corte tipo (A) y tipo (B).

Como era de esperar, no existe diferencia apreciable en la resistencia obtenida distinguiendo entre probetas con corte tipo (A) y con corte tipo (B) (Fig.A3.1). La siguiente tabla resume



todos los resultados de la tensión tangencial máxima y permite la comparación entre los diferentes casos: viga V1 viga V2 viga V3 viga V4 fcm [MPa] = 19,7 20,7 20,6 20,2 promedio de todas las probetas τmáx [MPa] = 3,83 3,82 3,91 3,86 promedio de probetas (A) τmáx [MPa] = 3,74 3,85 3,93 3,92 promedio de probetas (B) τmáx [MPa] = 3,92 3,8 3,88 3,76

Se espera que sí que se aprecie alguna diferencia en el caso de hormigón con fibras de acero pero en la rama post-pico, que es inexistente en el caso de hormigón sin fibras.

[d] Valor de la tensión tangencial resistente adoptado.

Como ya se ha indicado, en la mayoría de gráficos τ–s pueden observarse 2 o 3 picos de tensión. El último pico siempre corresponde al fallo por corte pero no necesariamente se registra el máximo valor de la carga, por ello, en estos casos se adopta como tensión tangencial resistente τmáx el valor máximo registrado previamente. Solamente ha habido 2 casos de una rotura en donde no ha dominado el esfuerzo de corte y la forma de detectarlo ha sido simplemente visual (Fig.A3.2h-i).

La elección de τmáx es lógica, se haya formado o no una fisura horizontal, el plano vertical que une los fondos de las entallas siempre está solicitado a corte, y aunque la aparición de más de un pico en el diagrama es señal de la presencia de esfuerzos normales en el plano de corte, este efecto no parece introducir diferencias en los resultados. Si se normalizan los resultados de τmáx respecto de la resitencia a compresión, dividiendo entre fcm

0,5, y se agrupan según el número de picos del diagrama, los valores medios que se obtienen son 0,862, 0,866 y 0,843 para 1, 2 y 3 picos, respectivamente, lo que no revela ninguna tendencia diferente.

3.2 HORMIGÓN CON FIBRAS 3.2.1 Generalidades Son 3 tipos de hormigón con fibras los que se han empleado, con contenido de fibras de acero de 20, 30 y 40kg/m³. De cada tipo de hormigón se fabricaron 3 amasadas, empleadas cada una para fabricar una viga, y de cada viga se ensayaron 6 probetas de push-off, lo que conduce a un total de 54 probetas. Los resultados se van a presentar por viga o amasada, igual que en el caso de hormigón sin fibras. En primer lugar, el contenido de fibras empleado combinado con la resistencia del hormigón obtenida origina un comportamiento resistente con ablandamiento frente al esfuerzo de corte, es decir, la presencia de fibras no se aprecia hasta que se supera la resistencia tangencial pico máxima. Esto conduce a pensar que en la rama inicial de carga no deberían existir diferencias con el hormigón sin fibras, sin embargo, la fisuración horizontal y vertical previa al agotamiento por corte, aparecida por flexión y tracción en las probetas de hormigón sin fibras, queda ahora mucho más amortiguada. Estas fisuras, al estar cosidas por fibras de acero se estabilizan antes y se abren menos, y su efecto en el gráfico carga–deslizamiento (τ-s) es menos acusado que en el caso de hormigón sin fibras. Si se observan los resultados obtenidos en los diagramas carga–deslizamiento (τ-s), con una cantidad de 20kg/m³ de fibras de acero pueden observarse la formación de 2 o 3 picos, pero es



más habitual la formación de un solo pico con presencia de cambios de pendiente en el tramo previo al mismo. En el caso de 40kg/m³ ya solamente se forma un solo pico de carga, correspondiente a la tensión tangencial máxima, y la influencia de la fisuración previa por flexión y tracción se plasma únicamente en cambios de pendiente. De las 54 probetas ensayadas pueden contabilizarse 6 casos con formación de 2 picos entre los hormigones de 20 y 30kg/m³, y 3 casos con formación de 3 picos en el hormigón de 20kg/m³. En cualquier caso, la fisuración por flexión y tracción previa al agotamiento por corte sigue alterando el valor del deslizamiento s registrado y, por ello, una cuestión que se plantería para el HRFA sería cómo medir la tensión residual para un valor de s si han existido perturbaciones en su medida. Para tratar de responder a esta cuestión, junto con los diagramas de resultados, se van a proporcionar unas tablas con diversos parámetros de la resistencia residual. Para definir estos parámetros se utiliza el diagrama de la Fig.A3.4, que corresponde a la probeta V2-20A(B), la cual presentó 2 fisuras horizontales (Fig.A3.5), reflejándose en el diagrama con la formación de 3 picos en la rama de carga. Este hecho, aunque no resultó frecuente en el conjunto de las 54 probetas, sirve para marcar claramente el intervalo [sL, sp], en donde el registro del deslizamiento se ve afectado por la fisuración horizontal, pero no así el registro de la tensión tangencial, que se supone que no se ve afectada de una manera apreciable. Como se verá en los resultados de los diagramas, este efecto disminuirá con el contenido creciente de las fibras de acero.

sL

τ

sp si sj

[MPa]

slip [mm]

Re,j

τmáx

0,5 1,00,0

0,5

0,0

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Rp,jR,i

1,5 2,0

sjΔ

ττ

τ

Fig.A3.4. Diagrama genérico τ–s y diferentes parámetros resistentes.



(a) (b)

Fig.A3.5. Probeta de push-off V2-20A(B) con 2 fisuras horizontales: (a) cara frontal; (b) cara dorsal. Las fisuras están remarcadas para una mejor visualización en las fotos.

El significado de los parámetros anotados en el diagrama de la Fig.A3.4 es el siguiente:

τmáx es la tensión tangencial máxima.

sL es el deslizamiento a partir del cual se abandona la rama inicial de carga. En otro tipo de ensayos, como el de flexotracción, se denominaría límite de proporcionalidad, pero para el caso estudiado aquí puede resultar engañoso, debido a la perturbación que producen otras fisuras diferentes a las del esfuerzo de estudio.

sp es el deslizamiento correspondiente al último pico de la rama de carga, dicho pico marca la caída de la tensión en el caso de respuesta con ablandamiento, así como el comienzo de la contribución de las fibras de acero en la resistencia a corte (resistencia residual), y es identificable visualmente.

si es un valor del deslizamiento absoluto, medido desde origen, prestablecido para caracterizar la resistencia residual. Si se observan los gráficos τ–s de las 54 probetas la caída de tensión suele terminar entorno a los 0,5mm, el caso de la probeta V2-20A(B) (Fig.A3.4) es una excepción, pero queda cubierto si se adopta 1,0mm como inicio de la rama residual. De este modo pueden proponerse 3 valores:

s1 = 1,0 mm ; s2 = 1,5 mm ; s3 = 2,0 mm.

τR,i es la resistencia residual correspondiente al deslizamiento si anterior.

∆sj es el deslizamiento relativo j, medido a partir de sp, con el que se trata de eliminar la perturbación que pueda producirse por la presencia de fisuración horizontal. Se pueden proponer 3 valores: ∆s1 = 0,5mm; ∆s2 = 1,0mm; ∆s3 = 1,5mm.

τRp,j es la tensión tangencial residual correspondiente al deslizamiento relativo j (∆sj), que es igual a la tensión correspondiente al deslizamiento sp+∆sj.

τRe,j es la tensión tangencial residual equivalente j, es decir, valor promedio de la tensión tangencial correspondiente al deslizamiento relativo j (∆sj), o al intervalo [sp, sp+∆sj].

En relación al valor máximo establecido para el deslizamiento (s3=2,0mm ó ∆s3=1,5mm) puede comentarse lo siguiente. El corte realizado para las entallas deja una anchura de 3mm pero durante la realización del ensayo pueden desprenderse partículas con la formación de fisuras que ensucien el interior de la entalla, lo que puede reducir el recorrido libre para el deslizamiento.



Esto se puede traducir en una remontada del valor de la carga para valores del deslizamiento inferiores a los 3mm. Normalmente todos los ensayos superaron el valor del deslizamiento de 2mm sin que existiera remontada en el valor de la carga, excepto en 3 casos en donde el ensayo se paró un poco antes. Así pues, 2mm parece un valor razonable para dar por finalizado el ensayo. A nivel estructural un deslizamiento de 2mm entre dos partes de una pieza que funcionen a rasante es una situación irreversible que sólo podría admitirse en un estado límite de agotamiento, y no parece de interés estudiar valores de deslizamiento superiores. En el siguiente apartado se reproducen no solamente los diagramas carga–deslizamiento, sino también otros dos gráficos más que pueden construirse con los datos registrados en los ensayos de push-off:

τ–s carga – deslizamiento τ–w carga – ancho de fisura s–w deslizamiento – ancho de fisura

Además, para el hormigón de cada viga, se presenta una tabla con los valores medios de las tensiones tangenciales τmáx, τR,i, τRp,j y τRe,j, expresadas en MPa y redondeadas a un decimal. Para identificar posibles diferencias entre el tipo de corte A y B se realizan tres medias, una con las 6 probetas, otra con las 3 probetas con corte A y otra con las 3 probetas con corte B. Los resultados se comentan posteriormente con mayor detalle.



3.2.2 Resultados gráficos

Viga V1-20

V1-20

A (A)

B (A) C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V1-20

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]

τ [MPa ] A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V1-20 A (A) B (A)

C (A) A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]

s [mm ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

Resistencias tangenciales medias [MPa]: promedio τmáx τR,1 τR,2 τR,3 τRp,1 τRp,2 τRp,3 τRe,1 τRe,2 τRe,3 todas 3,5 0,9 0,8 0,7 1,3 0,9 0,7 2,0 1,5 1,3 sólo (A) 3,5 0,7 0,7 0,6 1,3 0,7 0,7 2,1 1,5 1,2 sólo (B) 3,4 1,1 0,9 0,7 1,3 1,0 0,8 2,0 1,6 1,3



Viga V2-20

V2-20

A (A)

B (A) C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V2-20

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V2-20

A (A) B (A) C (A)

A (B) B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]

s [mm ] A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)




Viga V3-20

V3-20

A (A)

B (A) C (A)

A (B) B (B) C (B)0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V3-20

A (A)

B (A)

C (A) A (B)

B (B) C (B)0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V3-20

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V1-30

V1-30

A (A)

B (A) C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]


V1-30

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V1-30 A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V2-30

V2-30

A (A)

B (A)

C (A) A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V2-30

A (A) B (A)

C (A) A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V2-30

A (A)

B (A) C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V3-30

V3-30

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V3-30

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V3-30

A (A)

B (A) C (A)

A (B) B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V1-40

V1-40

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]


V1-40

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V1-40

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B) C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V2-40

V2-40

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]

τ [MPa ]

A (A) B (A) C (A) A (B) B (B) C (B)

V2-40

A (A) B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V2-40

A (A)

B (A)

C (A) A (B) B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





Viga V3-40

V3-40

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 s [mm ]


V3-40

A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]


V3-40 A (A)

B (A)

C (A)

A (B)

B (B)

C (B)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 w [mm ]





3.2.3 Tablas de resistencias Viga V1-20 Resultados en probetas de las distintas situaciones resistentes [mm & MPa]:

Resist. Para deslizamientos absolutos Para deslizamientos relativos máx 1 2 3 Pico último 1 2 3

probeta V1-20 A (A) s 0,217 1,000 1,500 2,000 0,217 0,717 1,217 1,717 w 0,105 1,102 1,533 2,024 0,105 0,882 1,295 1,768 τ 3,448 1,257 1,087 0,957 3,448 1,391 1,219 1,017 τRe,i × × × × × 1,993 1,637 1,462 probeta V1-20 B (A) s 0,202 1,000 1,500 2,000 0,202 0,702 1,202 1,702 w 0,005 1,100 1,557 2,004 0,005 0,794 1,310 1,739 τ 3,183 0,775 0,686 0,581 3,183 0,868 0,729 0,643 τRe,i × × × × × 1,472 1,132 0,984 probeta V1-20 C (A) s 0,160 1,000 1,500 2,000 0,160 0,660 1,160 1,660 w 0,003 1,982 2,603 3,159 0,003 1,213 2,087 2,799 τ 3,861 0,103 0,277 0,329 3,861 1,624 0,193 0,304 τRe,i × × × × × 2,776 1,682 1,208 probeta V1-20 A (B) s 0,231 1,000 1,500 2,000 0,365 0,865 1,365 1,865 w 0,008 1,139 1,679 2,179 0,038 0,990 1,558 2,055 τ 2,980 1,039 0,827 0,691 2,930 1,112 0,873 0,722 τRe,i × × × × × 1,605 1,293 1,125 probeta V1-20 B (B) s 0,309 1,000 1,500 2,000 0,311 0,811 1,311 1,811 w 0,048 1,275 1,650 2,065 0,049 1,130 1,503 1,890 τ 4,030 1,695 1,418 1,164 4,030 1,938 1,505 1,229 τRe,i × × × × × 2,571 2,121 1,874 probeta V1-20 C (B) s 0,142 1,000 1,500 2,000 0,181 0,681 1,181 1,681 w 0,004 1,774 2,327 2,889 0,002 1,323 1,996 2,521 τ 3,304 0,693 0,487 0,378 3,290 0,861 0,618 0,423 τRe,i × × × × × 1,774 1,248 1,005

Resistencias medias [MPa] y coeficiente de variación (CV):

τmáx τR,1 τR,2 τR,3 τRp,1 τRp,2 τRp,3 τRe,1 τRe,2 τRe,3 todas las probetas τmedio = 3,47 0,93 0,80 0,68 1,30 0,86 0,72 2,03 1,52 1,28

CV = 10,6% 53,4% 47,2% 43,7% 30,4% 49,2% 44,3% 23,9% 22,1% 24,3% sólo probetas (A) τmedio = 3,50 0,71 0,68 0,62 1,29 0,71 0,65 2,08 1,48 1,22

CV = 8,0% 66,5% 48,4% 41,5% 24,4% 58,7% 44,5% 25,8% 16,8% 16,0% sólo probetas (B) τmedio = 3,44 1,14 0,91 0,74 1,30 1,00 0,79 1,98 1,55 1,33

CV = 12,8% 36,4% 42,2% 43,4% 35,3% 37,3% 42,0% 21,2% 25,8% 28,8%



Viga V2-20 Resultados en probetas de las distintas situaciones resistentes [mm & MPa]:







CV = 4,4% 51,0% 48,9% 42,2% 51,9% 47,8% 42,5% 33,3% 33,8% 34,2%










CV = 7,4% 13,3% 27,8% 32,2% 14,1% 21,0% 33,2% 6,6% 1,5% 4,8%





probeta V1-30 A (A) s 0,186 1,000 1,500 2,000 0,194 0,694 1,194 1,694 w 0,023 0,940 1,435 1,767 0,032 0,663 1,189 1,551 τ 4,578 2,078 1,601 1,399 4,578 2,328 1,793 1,512 τRe,i × × × × × 3,363 2,737 2,371 probeta V1-30 B (A) s 0,161 1,000 1,500 2,000 0,234 0,734 1,234 1,734 w 0,018 1,175 1,711 2,187 0,034 0,876 1,386 1,924 τ 3,875 1,325 1,105 0,921 3,810 1,490 1,231 1,025 τRe,i × × × × × 2,459 1,903 1,642 probeta V1-30 C (A) s 0,183 1,000 1,500 2,000 0,186 0,686 1,186 1,686 w 0,018 1,045 1,376 1,732 0,018 0,769 1,175 1,546 τ 4,635 2,018 1,770 1,341 4,635 2,416 1,955 1,436 τRe,i × × × × × 3,568 2,813 2,467 probeta V1-30 A (B) — probeta no válida en la rama residual— s 0,211 1,000 1,500 2,000 0,211 0,711 1,211 1,711 w 0,005 no no no 0,005 no no no τ 4,055 no no no 4,055 no no no τRe,i × × × × × no no no probeta V1-30 B (B) s 0,249 1,000 1,500 2,000 0,249 0,749 1,249 1,749 w 0,000 1,402 1,988 2,736 0,000 1,031 1,632 2,363 τ 3,759 0,249 0,309 0,217 3,759 0,788 0,364 0,253 τRe,i × × × × × 2,322 1,314 0,980 probeta V1-30 C (B) s 0,238 1,000 1,500 2,000 0,238 0,738 1,238 1,738 w 0,005 1,217 1,767 2,223 0,005 0,817 1,527 2,014 τ 4,763 1,101 0,693 0,528 4,763 2,311 0,831 0,599 τRe,i × × × × × 3,574 2,440 1,861





CV = 10,0% 63,2% 38,3% 41,7% 49,1% 39,1% 40,6% 21,2% 30,0% 31,0% La probeta V1-30A(B) rompió bruscamente como si se tratara de hormigón sin fibras, separándose en dos bloques en "L", por lo que no hubo rama residual, resultando nula para las resistencias residuales. Sólo se contabiliza para la resistencia tangencial máxima.










CV = 3,1% 19,3% 15,9% 14,8% 22,4% 18,2% 15,8% 10,2% 11,7% 11,5%










CV = 4,0% 2,2% 3,3% 3,9% 3,9% 1,8% 2,3% 15,6% 10,3% 7,5%










CV = 5,3% 22,6% 29,5% 37,1% 15,5% 25,0% 31,5% 6,5% 10,0% 12,8%





probeta V2-40 A (A) s 0,165 1,000 1,500 2,000 0,168 0,668 1,168 1,668 w 0,025 1,201 1,740 2,164 0,025 0,782 1,397 1,868 τ 4,255 1,701 1,509 1,387 4,255 1,867 1,629 1,459 τRe,i × × × × × 3,310 2,765 2,519 probeta V2-40 B (A) s 0,185 1,000 1,500 2,000 0,185 0,685 1,185 1,685 w 0,018 1,188 1,822 2,453 0,018 0,771 1,416 2,068 τ 4,177 2,046 1,701 1,486 4,177 2,327 1,915 1,640 τRe,i × × × × × 3,530 3,060 2,784 probeta V2-40 C (A) s 0,307 1,000 1,500 2,000 0,307 0,807 1,307 1,807 w 0,083 0,916 1,294 1,635 0,083 0,751 1,150 1,502 τ 4,001 2,437 2,324 2,098 4,001 2,465 2,381 2,203 τRe,i × × × × × 3,403 3,154 3,030 probeta V2-40 A (B) s 0,159 1,000 1,500 2,000 0,162 0,662 1,162 1,662 w 0,016 1,322 1,869 2,353 0,020 0,912 1,490 2,029 τ 4,044 1,771 1,423 1,243 4,044 2,057 1,637 1,360 τRe,i × × × × × 3,176 2,752 2,493 probeta V2-40 B (A)* — esta probeta debía ser (B) pero se hizo un corte tipo (A) s 0,208 1,000 1,500 2,000 0,208 0,708 1,208 1,708 w 0,012 1,034 1,428 1,832 0,012 0,725 1,177 1,584 τ 3,976 2,226 2,090 1,819 3,976 2,303 2,172 1,994 τRe,i × × × × × 3,477 3,101 2,926 probeta V2-40 C (B) s 0,225 1,000 1,500 2,000 0,225 0,725 1,225 1,725 w 0,005 1,209 1,789 2,404 0,005 0,896 1,454 2,077 τ 4,155 1,409 1,224 1,077 4,155 1,546 1,317 1,155 τRe,i × × × × × 2,863 2,383 2,160

Resistencias medias [MPa] y coeficiente de variación (CV). En este caso particular se trata de 4 probetas tipo (A) y sólo 2 probetas tipo (B):




CV = 1,8% 21,0% 28,0% 27,4% 17,5% 23,9% 28,4% 8,3% 11,4% 13,5%










CV = 9,1% 55,4% 59,6% 70,6% 48,3% 55,5% 63,0% 35,4% 42,0% 46,2%



3.2.4 Análisis de los resultados 3.2.4.1 Influencia de la orientación del plano de corte

respecto del hormigonado En primer lugar interesa observar de una manera sencilla la influencia del tipo de corte aplicado a las probetas de push-off en relación a la dirección de hormigonado, ilustrado en la Fig.A3.1. Para ello se puede representar la tensión tangencial resistente en función de un parámetro del que dependa fuertemente. En la revisión bibliográfica realizada sobre la transferencia a corte en HRFA puede destacarse el producto de la resistencia a tracción del hormigón por la fracción del volumen de fibras como parámetro utilizado en la propuesta de fórmulas experimentales (Lee y Foster 2006 [5]), y normalmente la resistencia a tracción es expresada como raiz cuadrada de la resistencia a compresión (Khaloo y Kim 1997 [6]; Wang 2006 [7]). También puede pensarse en el factor de fibras, producto de la fracción de volumen por la esbeltez, pero en el caso estudiado solamente se ha empleado un mismo tipo de fibras, con un valor constante de la esbeltez. En la Tabla 3.1 se presentan los valores medios de los resultados en cada una de las 9 vigas ensayadas, escogiendo la tensión tangencial máxima τmáx y, como valor representativo de la tensión residual, la anotada como τR,3, correspondiente a un deslizamiento absoluto s3=2mm. Se anota el valor medio tanto del total de las 6 probetas de push-off, como el de las 3 probetas tipo (A) y el de las 3 probetas tipo (B).

Tabla 3.1 Influencia del tipo de corte en la resistencia tangencial.

Tensión máxima τmáx Tensión residual τR,3 viga fc [MPa] Vf [%] cf fV ⋅

todas sólo (A) sólo (B) todas sólo (A) sólo (B)V1-20 19 0,255 1,11 3,47 3,5 3,44 0,68 0,62 0,74 V2-20 19,9 0,255 1,14 3,36 3,22 3,49 0,55 0,61 0,49 V3-20 21 0,255 1,17 3,86 3,98 3,74 0,58 0,83 0,34 V1-30 23 0,382 1,83 4,28 4,36 4,19 0,88 1,22 0,37 V2-30 20,5 0,382 1,73 4,02 4,03 4 0,76 0,87 0,64 V3-30 22,4 0,382 1,81 4,11 4,23 3,98 0,92 0,9 0,94 V1-40 21,2 0,51 2,35 3,91 3,85 3,98 1,38 1,64 1,13 V2-40 22 0,51 2,39 4,1 4,1 4,1 1,52 1,7 1,16 V3-40 19 0,51 2,22 3,8 3,97 3,63 1,32 1,72 0,92

La representación gráfica de los datos de la Tabla 3.1 se realiza en la Fig.A3.6, en donde se representan también rectas ajustadas por regresión lineal. Aunque el intervalo de valores disponible para el parámetro Vf ·fc

0,5 no es muy amplio, este sencillo estudio permite sacar como conclusión que el tipo de corte aplicado a las entallas de las probetas de push-off, es decir, la orientación del plano vertical solicitado por cortante con respecto a la dirección de hormigonado, no influye en la tensión tangencial máxima τmáx, pero sí en la tensión tangencial residual, en este caso representada por τR,3. En el caso de la tensión residual (Fig.A3.6b) las probetas tipo (A), con el plano de corte paralelo a la dirección de hormigonado, ofrecen una resistencia mayor y, a su vez, presentan una tendencia lineal más confiable que en el caso de las probetas tipo (B), ya que los coeficientes de determinación o R² resultan iguales a 0,738 y 0,401, respectivamente. Esto es indicativo de que las fibras, responsables de la resistencia residual, no se orientaron aleatoriamente en la fabricación de las probetas, sino que la vibración externa aplicada favoreció su alineación según planos horizontales. De este modo, en las probetas tipo (A), las fibras presentaron mayor probabilidad de intersectar el plano de corte con ángulos grandes. En las probetas tipo (B), como



el plano de corte tenía una orientación horizontal durante la fabricación de la probeta, las fibras tenían mayor probabilidad de intersectarlo con ángulos menores, resultando así menos eficaces.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Vf · fc0,5

τmáx [MPa ]

todas sólo (A) sólo (B)


(a)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Vf · fc0,5

τR,3 [MPa ]



(b)

Fig.A3.6. Efecto del tipo de corte en la probeta de push-off: (a) tensión tangencial máxima; (b) tensión tangencial residual 3 (para s=2mm). Las rectas representan líneas de tendencia.

3.2.4.2 Formas de rotura Durante el proceso de carga, que hay que recordar que consistía en aplicar una velocidad de desplazamiento constante e igual a 1μm/s, el valor de la carga se adapta a la forma de rotura de la probeta. Al igual que en el caso del hormigón sin fibras, se pudo apreciar la formación de una fisuración inicial fuera del plano de corte antes de alcanzar la resistencia tangencial máxima pero, en esta ocasión, en menor número de probetas y mucho más amortiguada al quedar estabilizada por la presencia de fibras de acero. Como ya se indicó, esta fisuración consistía en fisuras horizontales situadas a la altura de las entallas y fisuras verticales cercanas al fondo de las entallas. Las primeras eran causantes de la formación de picos en el diagrama carga–deslizamiento (τ–s), mientras que las segundas provocaban cambios de pendiente. Normalmente, entorno a los 9 o 10 minutos solía producirse el pico de máxima tensión y si, en algún caso, se superaba este valor, era por la aparición de la fisuración horizontal, que solía retrasar el pico. La duración total hasta detener el ensayo rondaba entorno a los 40 minutos. Del total de 54 probetas ensayadas, en 25 de ellas no se apreció a simple vista ninguna fisura horizontal por flexión, en 21 probetas se pudo apreciar una sola fisura horizontal y en las 8 probetas restantes se formaron las 2 fisuras posibles, cada una a continuación de cada entalla. Al igual que en hormigón sin fibras, estas fisuras atravesaban toda la probeta, de modo que se marcaban tanto en la cara frontal como en la dorsal, así como en la cara lateral opuesta a la de la entalla. En la Fig.A3.5 ya se ha presentado la cara frontal y dorsal de la probeta V2-20A(B), como ejemplo de la formación de 2 fisuras horizontales. Otro ejemplo puede verse en la Fig.A3.7a, correspondiente a la probeta V1-20B(B), y en la Fig.A3.7b, correspondiente a la probeta V2-40C(A), en esta ocasión se formó una sola fisura horizontal. En estos tres casos, las fisuras horizontales se han tenido que remarcar en la fotografía para que puedan visualizarse fácilmente, lo que confirma el efecto de contención de las fibras de acero.



El número de probetas afectadas por la fisuración vertical por tracción fue mayor. Estas fisuras no atraviesan toda la probeta, por lo que pueden observarse en una cara pero no en la opuesta, y así podemos tener entre 1 y 4 fisuras posibles. Del total de 54 probetas sólo en 13 de ellas no se apreció este tipo de fisuras, y en el resto se pudieron observar mayormente entre 1 y 2 fisuras. La Fig.A3.7c muestra el ejemplo de una fisura vertical nacida a 2cm del fondo de la entalla superior, pero que no progresó en anchura. Por el contrario, en las Fig.A3.7l y m se puede apreciar cómo las fisuras verticales acaban progresando en anchura y acompañando a la fisuración por corte para ayudar a formar bielas inclinadas. En Fig.A3.7h se muestra cómo las fisuras verticales acaban conectando con la fisuración por corte. La fisuración por corte apareció con posterioridad y es la que fue progresando hasta la detención del ensayo por cierre total o parcial de las entallas, lo que provocaba un repunte del valor de la carga, que se ha descartado en la representación de los gráficos. El aspecto que ofrece la fisuración por corte es variado, pero pueden establecerse los siguientes tipos:

— Una única fisura vertical que une el fondo de las dos entallas, su trazo puede ser rectilíneo (Fig.A3.7a) o presentar cierta sinuosidad (Fig.A3.7b). Puede tratarse de una fisura limpia o quedar acompañada por otras fisuras secundarias que son cortas y más o menos paralelas a la fisura principal, pero no hay formación clara de bielas inclinadas comprimidas que funcionen como tales. En la Fig.A3.7c se han remarcado estas fisuras secundarias.

— 2 o 3 fisuras inclinadas que destacan claramente, formando un ángulo entre 15 y 25º con el plano vertical de corte, de modo que se forman bielas relativamente grandes cuya anchura puede resultar ligeramente superior a 1cm (Fig.A3.7d-e-f-g). De nuevo puede tratarse de unas fisuras limpias o quedar acompañadas de fisuras secundarias de menor entidad. La abertura del plano de corte w (lectura del desplazamiento horizontal) se consigue mediante el giro de las bielas. En general, el ensayo había que deternerlo antes del aplastamiento de las bielas ya que los bordes de las entallas comenzaban a tocarse, con la consiguiente estabilización y repunte del valor de la carga. Como excepción, puede observarse la Fig.A3.7h, en la que la biela intermedia aplasta y las entallas acaban cerradas completamente. Normalmente el pequeño giro de las bielas propiciaba la aparición de una o dos últimas fisuras que atravesaban la biela, por su centro o en sus extremos, interconectando todas las fisuras según el plano de corte definido por los fondos de las dos entallas.

— Múltiples fisuras inclinadas que se desarrollan paralelas entre sí y se distribuyen según la extensión del plano de corte, semejantes entre sí en longitud aunque pueden presentar aberturas desiguales (Fig.A3.7i-j). Se trata de 4 fisuras o más, hasta 8 fisuras, aunque en este último caso puede ser un número sujeto a cierta subjetividad del observador. La inclinación de las fisuras es similar al caso anterior, entre 15 y 25º, y se crean bielas pequeñas comprimidas que aplastan y acaban interconectando todas las fisuras con los fondos de las entallas superior e inferior. El aspecto inicial de multifisuración cambia a algo más complejo, con desconchados causados por el aplastamiento de las bielas, aunque se aprecia finalmente un plano de corte vertical, pero no con el aspecto "limpio" comentado en el primer caso, al hablar de una sola fisura vertical (Fig.A3.7k).



(a) V1-20B(B) (b) V2-40C(A) (c) V2-40C(B)

(d) V2-20C(B) (e) V2-40B(A) (f) V3-30C(B)

(g) V3-40C(B) -dorsal- (h) V3-40C(B) -frontal-

(i) V3-30A(A) (j) V1-30C(A)

(k) V1-20B(B)

(l) V3-20C(A) (m) V3-20A(A)

Fig.A3.7 Formas de rotura en probetas de push-off de HRFA.

fase inicial

fase final



Atendiendo a la fisuración por corte descrita, la variación estudiada en el contenido de fibras de acero no es tan amplia como para mostrar una clara diferencia entre las probetas de hormigón con 20kg/m³ y con 40kg/m³. Por ejemplo, existen casos de una única fisura vertical en cualquiera de los contenidos estudiados. En cualquier caso, se puede proceder a una inspección visual de la cara frontal y dorsal de cada probeta y anotar una breve descripción de la fisuración por corte, según se ha descrito, indicando el número de fisuras que se aprecian, distinguiendo entre fisuras principales, que llaman más la atención por su longitud y anchura, y fisuras secundarias, que pueden existir o no. Hay que diferenciar las fisuras de tracción originadas a corta distancia del fondo de las entallas, y tener presente el hecho de que varias fisuras se originan independientemente pero pueden acabar interconectadas. Estas anotaciones resultantes de una inspección visual encierran una componente subjetiva, pero una vez establecidos los criterios es de esperar que la diferencia mostrada por dos observadores distintos sea mínima. El resultado de la fisuración por corte, así como el de la fisuración por flexión y por tracción, se presenta en la Tabla 3.2. Puede realizarse un estudio sencillo utilizando el número anotado de fisuras principales en cada probeta, prescindiendo de las secundarias y de las de tracción, y haciendo una ordenación creciente, dentro de cada conjunto de probetas con el mismo contenido de fibras de acero, distinguiendo entre cara dorsal y frontal, y distinguiendo entre plano de corte tipo (A) y tipo (B). El resultado se puede observar en la Tabla 3.3 La denominación de cara dorsal y frontal se debe al modo de posicionar la probeta de push-off en la máquina de ensayo. Para identificar la cara dorsal y frontal con respecto a la posición de la probeta durante su fabricación basta observar la Fig.A3.8. En el caso de la probeta tipo (A) la cara frontal corresponde al fondo de la probeta, mientras que la cara dorsal corresponde a la cara superior libre, no encofrada. En el caso de la probeta tipo (B), tanto la cara frontal como dorsal presentan las mismas condiciones de orientación.

tipo (A)

cara dorsal


tipo (B)

cara frontal odorsal, indiferente


cara frontal

Fig.A3.8 Identificación de la cara frontal y dorsal de las probetas de push-off.



Tabla 3.2 Fisuración por corte según inspección visual.

Probeta f.f. f.t. fisuras de corte cara frontal fisuras de corte cara dorsal V1-20 A (A) 1 1 4 inclinadas 1 vertical limpia V1-20 A (B) 2 3 1 ppal. inclinada + 1 secundaria corta 3 inclinadas V1-20 B (A) 0 0 2 inclinadas + secundarias 6 inclinadas V1-20 B (B) 2 2 8 inclinadas que acaban interconectadas 1 ppal vertical + secundarias cortas paralelas V1-20 C (A) 1 4 1 curva + 2 de tracción conectadas 2 inclinadas V1-20 C (B) 1 4 3 inclinadas + 1 secundaria + 1 de tracción conectada 1 vertical + 1 de tracción paralela V2-20 A (A) 0 1 1 vertical en S 1 ppal vertical + corta inferior V2-20 A (B) 2 0 1 vertical 1 vertical V2-20 B (A) 0 1 3 inclinadas + secundarias 2 inclinadas V2-20 B (B) 1 1 3 inclinadas + secundarias 1 vertical V2-20 C (A) 0 2 3 inclinadas + 2 de traccion conectadas 1 ppal + 2 secundarias paralelas V2-20 C (B) 0 3 2 inclinadas + 2 de tracción paralelas 2 inclinadas V3-20 A (A) 1 2 1 ppal + 2 secundarias 4 inclinadas, conectadas 3 de ellas V3-20 A (B) 0 1 1 vertical 1 vertical V3-20 B (A) 1 0 2 verticales + 1 paralela 1 vertical V3-20 B (B) 0 1 5 inclinadas interconectadas + 1 de tracción conectada 1 en S + 1 inclinada V3-20 C (A) 1 2 1 inclinada + 1 secundaria paralela + 1 de tracción

paralela 1 irregular + 1 de tracción

V3-20 C (B) 1 4 4 casi verticales + 2 de tracción 3 inclinadas V1-30 A (A) 2 3 3 inclinadas + 2 de tracción paralelas 1 vertical + 1 de tracción paralela V1-30 A (B) 0 0 1 vertical 1 vertical V1-30 B (A) 2 2 1 ppal vertical + 2 secundarias 1 inclinada + 1 de tracción paralela V1-30 B (B) 1 1 1 ppal + 2 secundarias inclinadas 1 curva V1-30 C (A) 1 1 5 inclinadas 1 ppal vertical + secundarias paralelas V1-30 C (B) 0 2 1 vertical + 1 de tracción 1 vertical + 1 de tracción V2-30 A (A) 1 2 3 inclinadas + 2 de tracción 1 vertical + 1 secundaria V2-30 A (B) 0 2 1 vertical 1 vertical + 1 de tracción conectada V2-30 B (A) 1 0 1 ppal + 1 secundaria 2 vertical e inclinada V2-30 B (B) 1 3 1 ppal + secundarias + 2 de tracción conectadas 1 vertical V2-30 C (A) 0 1 3 inclinadas + 1 de tracción conectada 3 inclinadas V2-30 C (B) 0 1 2 inclinadas 1 ppal + secundarias paralelas V3-30 A (A) 2 0 3 inclinadas + 3 secundarias 1 vertical V3-30 A (B) 1 1 2 vertical e inclinada 6 inclinadas interconectadas V3-30 B (A) 0 2 6 inclinadas interconectadas 1 vertical + secundarias + 2 de tracción V3-30 B (B) 0 1 2 inclinada y vertical 3 inclinadas + secundarias V3-30 C (A) 0 0 1 vertical 1 vertical irregular V3-30 C (B) 0 0 3 inclinadas 1 vertical irregular V1-40 A (A) 1 0 3 inclinadas 2 inclinadas V1-40 A (B) 1 3 1 ppal + 2 de tracción 3 verticales e inclinada V1-40 B (A) 1 3 2 vertical e inclinada + 1 de tracción paralela 4 inclinadas + 1 de tracción paralela V1-40 B (B) 2 1 7 inclinadas cortas 1 ppal curva + 1 secundaria inclinada V1-40 C (A) 2 1 2 inclinadas 1 vertical + 1 secundaria paralela V1-40 C (B) 1 2 1 ppal curva + secundarias + 1 de tracción conectada 1 ppal vertical + secundarias + 1 de tracción

conectada V2-40 A (A) 0 0 2 vertical e inclinada 1 en S V2-40 A (B) 0 2 1 vertical + secundarias + 1 de tracción 1 ppal vertical + 1 secundaria + 1 de tracción paralela V2-40 B (A) 1 0 5 inclinadas 3 inclinadas V2-40 B (A)* 1 0 5 inclinadas interconectadas 1 vertical + 3 secundarias inclinadas V2-40 C (A) 1 0 5 inclinadas y verticales 1 en S V2-40 C (B) 0 1 2 inclinadas + secundarias 1 curva + secundarias V3-40 A (A) 0 2 5 inclinadas y vertical interconectadas + 1 de tracción 1 vertical + 2 secundarias + 1 de tracción V3-40 A (B) 0 2 3 inclinadas desiguales + secundarias + 1 de tracción 6 inclinadas V3-40 B (A) 0 3 1 vertical + secundarias paralelas + 1 de tracción 1 ppal vertical + 4 secundarias inclinadas + 1 de

tracción V3-40 B (B) 0 2 2 inclinadas (pero sin progresar) + 2 de tracción

dominantes. Probeta NO VÁLIDA por su forma de rotura

4 inclinadas interconectadas parcialmente

V3-40 C (A) 0 2 3 inclinadas + 1 de tracción 1 vertical + 1 de tracción paralela V3-40 C (B) 0 2 2 inclinadas + 2 de tracción verticales interconectadas 3 inclinadas

NOTAS: f.f. = número de fisuras por flexión; f.t. = número de fisuras por tracción.



Tabla 3.3 Ordenación de la fisuración principal por corte.

Corte tipo (A) Corte tipo (B) cara frontal cara dorsal cara frontal cara dorsal

fibras kg/m³ = 20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40 probeta 1ª = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 probeta 2ª = 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 probeta 3ª = 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 probeta 4ª = 1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 probeta 5ª = 2 3 3 1 1 1 3 1 2 1 1 3 probeta 6ª = 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 1 3 probeta 7ª = 3 3 5 2 1 1 4 2 3 2 1 4 probeta 8ª = 3 5 5 4 2 2 5 2 7 3 3 6 probeta 9ª = 4 6 5 6 3 3 8 3 – 3 6 –

(*) probeta 10ª = – – 5 – – 4 – – – – – – total = 18 26 33 19 12 16 28 14 19 14 16 20

(*) Existe un desajuste en el número de probetas en relación al tipo de corte para el hormigón con contenido 40. En la probeta de flexotracción V2-40B se cometió un error al realizar las entallas de modo que se obtuvieron dos planos de corte tipo (A), cuando uno de ellos debía ser tipo (B).

Fisuras principales en probetas tipo (A). Las probetas tipo (A) sólo presentan un comportamiento razonable en el caso de la cara frontal, y el término razonable hace referencia a la supuesta distribución uniforme de fibras. Para ello hay que recordar que la formación de una sola fisura y, por tanto, ausencia de bielas inclinadas de compresión, es propia de planos de corte que están insuficientemente cosidos. Por otra parte, es conocido que la presencia de fibras de acero ayuda a que en el hormigón se formen mayor número de fisuras, que estén más distribuidas. Esto encaja con los datos presentados en la Tabla 3.3 para la cara frontal, en donde se observa una clara tendencia a aumentar el número de fisuras principales con el aumento del contenido de fibras. No ocurre así con la cara dorsal, en donde no se observa tendencia ninguna. Domina la presencia de una sola fisura de corte, y este hecho no parece verse influenciado por el contenido de fibras. La explicación que puede ofrecerse es la siguiente, durante la compactación mediante vibrado exterior las fibras en la masa fresca de hormigón tendieron a localizarse mayormente en la mitad inferior de la probeta y, por tanto, más cercanas a la cara frontal. Las fibras no se distribuyeron uniformemente según el espesor de la probeta de 15cm. Hay que recordar que las probetas se compactaron colocándolas sobre la misma mesa vibrante en las que fabricaba la viga en T, y se retiraron cuando la lechada afloraba a la superficie. Pueden contabilizarse 77 fisuras de carácter principal que se han marcado en la cara frontal de las probetas con tipo de corte (A) frente a 47 en la cara dorsal. Fisuras principales en probetas tipo (B). Para probetas tipo (B) no se observa ninguna tendencia, ni diferencia notable entre cara frontal y dorsal. El efecto de la distribución no uniforme de fibras según el espesor de 15cm desaparece. El plano de corte en estas probetas es originalmente un plano horizontal, perpendicular a la dirección de hormigonado, y entra en juego otro efecto ya comentado, la orientación preferente de las fibras según el plano horizontal debido a la vibración externa, resultando menos eficaces en el cosido del plano de corte. Este efecto añade una mayor aleatoriedad a la formación de fisuras por corte, y afecta por igual tanto a la cara frontal como dorsal.



En la Tabla 3.3 se puede apreciar, no obstante, cómo el número total de fisuras aumenta ligeramente con el contenido de fibras, excepto en el caso de la cara frontal para un contenido de 20kg/m³, que resulta mayor que el resto. No hay explicación aparente para esta excepción, salvo el azar junto con la parte de subjetividad al realizar las anotaciones. Fisuras secundarias. Las fisuras secundarias son aquellas que, según la apreciación del observador, tienen menor entidad en longitud y abertura que otras fisuras aparecidas, denominadas principales y que parecen dominar el modo de funcionamiento a corte. Si se contabiliza el uso de la palabra "secundaria" en la descripción hecha en la Tabla 3.2 se puede observar que crece con el contenido de fibras; 9, 10 y 13 veces para el contenido de fibras de 20, 30 y 40kg/m³, respectivamente. 3.2.4.3 Probetas con comportamiento irregular Hay que mencionar que una probeta de entre las 54 ensayadas carece de rama residual, comportándose como si se tratara de hormigón en masa. Es la probeta V1-30A(B) que rompió bruscamente separándose en dos bloques en "L". En el plano de corte formado puede observarse cómo las fibras que quedaron desnudas tenían una orientación bastante paralela al plano, por lo que no cosieron eficazmente la fisura por corte (Fig.A3.9a). Como indica la designación de la probeta se trata de un plano de corte tipo (B), de orientación perpendicular a la dirección de hormigonado. Aparte, el número de fibras visibles en el plano de corte resulta inferior que el de otras probetas del mismo hormigón, lo que parece indicar que los operarios llenaron el molde con a una parte de la amasada en donde las fibras se distribuyeron en menor cantidad. Es una probeta que claramente solo puede tenerse en cuenta para el valor de la tensión tangencial máxima τmáx. Como contraste, en la Fig.A3.9b se ilustra el caso de otra probeta tipo (A) de la misma amasada, pero procedente de otra probeta original de flexotracción.

(a) (b)

Fig.A3.9. Aspecto del plano de corte: (a) probeta V1-30A(B) no válida; (b) probeta V1-30B(A), mismo hormigón pero otra probeta de flexotración original, con plano de corte tipo (A). Las dos mitades en L de

las probetas fueron colocadas una encima de la otra para realizar la fotografía



Observando los gráficos de carga–deslizamiento (τ–s) se pueden detectar unas 5 probetas que experimentan una caída del valor de la carga hasta prácticamente anularse, en comparación con el resto de probetas de su mismo hormigón. Tras la caída, el valor de la carga remonta ligeramente, momento en el que las pocas fibras que han cosido el plano de corte comienzan a trabajar, aunque alcanza un valor residual relativamente bajo. Estas probetas son: V1-20C(A), V2-20C(B), V3-20C(B), V1-30A(B) y V2-30B(B). Como puede observarse, 4 de las 5 probetas son con plano de corte tipo (B), una orientación poco favorable, como ya se ha explicado; y además corresponden a cuantías bajas de fibras de acero, 3 probetas con 20kg/m³ y las 2 restantes con 30kg/m³. Finalmente, en la probeta V3-40B(B) puede apreciarse una forma de rotura no válida en la cara frontal (Fig.A3.10a), mientras que en la cara dorsal sí se aprecia una rotura por corte (Fig.A3.10b). En la cara frontal se han remarcado unas fisuras de menor entidad, una de ellas por corte que finalmente no progresó, en favor de las dos fisuras verticales nacizas a unos 2cm del fondo de la entalla superior e inferior. En la cara dorsal sí se aprecia la formación de tres bielas, una de ellas de mayor tamaño, que terminaron conectadas por una fisura vertical.

(a) (b) Fig.A3.10. Probeta V3-40B(B): (a) cara frontal, fisuras secundarias remarcadas; (b) cara dorsal.

3.2.4.4 Parámetros de resistencia tangencial Junto a los gráficos incluídos en el apartado 3.2.2 se proporciona una tabla resumen de las resistencias medias tangenciales, la máxima y las diferentes propuestas de la resistencia residual. En el apartado 3.2.3 se han proporcionado las tablas de los resultados detallados de cada una de las 6 probetas correspondientes a cada viga, así como el coeficiente de variación (CV) de los resultados obtenidos en cada parámetro. En el caso de la resistencia tangencial máxima el valor del CV permanece en casi todos los casos por debajo del 10%, independientemente de análizar las probetas tipo (A) o tipo (B). Los casos en donde CV supera el 10% corresponden a una probeta tipo (A) con 20kg/m³ de fibras, y a dos probetas tipo (B) con 20 y 30kg/m³ de fibras. En el caso de las diferentes propuestas para la resistencia residual tangencial se tienen 81 valores del CV para las probetas tipo (A) y otros tantos para las tipo (B). Hay que recordar que se tienen 9 amasadas de hormigón y se han definido 9 parámetros (3 τR,i + 3 τRp,i + 3 τRe,i).



El 80% de los casos el CV resulta con un valor inferior en las probetas tipo (A), es decir, se produce menos dispersión de resultados cuando el plano de corte ha sido vertical durante la fabricación y compactación de las probetas, sin embargo, la dispersión puede llegar a ser muy superior a la obtenida en el caso de la tensión tangencial máxima. Existen casos en donde el CV puede superar el 50%. Dentro de un mismo tipo de probetas, se puede observar que el CV es similar para las resistencias residuales definidas para un valor concreto del deslizamiento (τR,i y τRp,i), ya sea absoluto o relativo al deslizamiento del último pico del diagrama τ–s. Ello es debido a que la elección del deslizamiento se realizó para que quedase fuera de la rama de caída brusca que se produce justo después del último pico de tensión. La resistencia residual equivalente (τRe,i) es la que proporciona un resultado más satisfactorio en cuanto al valor de CV. De los 27 resultados para las probetas tipo (A), sólo uno de ellos supera el valor del 20%, siendo inferiores en el resto de casos, incluso, en algunos de ellos, equiparables a los valores obtenidos para la resistencia tangencial máxima. Finalmente, los resultados de tensión tangencial residual equivalente resultan siempre superiores a los obtenidos para la tensión tangencial residual. La explicación es que, tal y como se han definido, incluyen el tramo de caída brusca que se produce justo después del último pico de tensión y, dado que en todos los casos se obtiene respuesta con ablandamiento, esto eleva el valor resultante de la tensión tangencial media. 3.2.5 Conclusiones Después de la exposición de los resultados y de un sencillo análisis de los mismos, pueden retomarse los aspectos de interés ya comentados en el caso del hormigón sin fibras (v. 3.1.3) para añadir las siguientes conclusiones:

[a] Influencia de la fisuración horizontal y vertical ajena al corte y valor del deslizamiento correspondiente a la tensión tangencial máxima (sm).

La presencia de fisuración horizontal y vertical, originada por causas diferentes al esfuerzo de corte en estudio, es más reducida que en el caso de las probetas de hormigón sin fibras, gracias al efecto de cosido de las mismas. La alteración del valor del deslizamiento medido es, por tanto, menor. Uno de los hormigones que mejor se comporta, en este sentido, es V3-40, en donde se puede apreciar que las curvas carga deslizamiento solamente presentan un pico, lo que indica que no se precisaría la corrección aplicada al deslizamiento correspondiente a la tensión máxima (sm), tal y como se empleó para la mitad de las probetas ensayadas de hormigón sin fibras. En este caso, para V3-40, el valor medio resulta sm=0,21mm, que no se aleja mucho del valor medio obtenido en el hormigón sin fibras, sm=0,243mm.

[b] Valor de la tensión tangencial máxima.

Para comparar los resultados de la tensión tangencial máxima en HRFA con los obtenidos en el hormigón sin fibras puede normalizarse su valor dividiendo entre la raiz de la resistencia a compresión del hormigón. Utilizando sólo la tensión máxima promediada entre el total de 6 probetas, sin distinguir tipo (A) ni (B), se obtiene la siguiente tabla, diferenciando entre los 4 tipos de hormigón utilizados:



Tabla 3.4 Comparación de la tensión tangencial máxima entre hormigones sin y con fibras.

hormigón sin fibras hormigón 20kg/m³ hormigón 30kg/m³ hormigón 40kg/m³

viga V1-0 V2-0 V3-0 V4-0 V1-20 V2-20 V3-20 V1-30 V2-30 V3-30 V1-40 V2-40 V3-40 fc [MPa] 19,7 20,7 20,6 20,2 19,0 19,9 21,0 23,0 20,5 22,4 21,2 22,0 19,0

τmáx [MPa] 3,83 3,82 3,91 3,86 3,47 3,36 3,86 4,28 4,02 4,11 3,91 4,1 3,8

τmáx / fc0,5 0,86 0,84 0,86 0,86 0,80 0,75 0,84 0,89 0,89 0,87 0,85 0,87 0,87

Como puede observarse, el valor de la relación τmáx / fc0,5 se presenta bastante uniforme en

todos los casos, excepto unos valores más bajos en el hormigón de las vigas V1-20 y V2-20. Este resultado parece indicar la escasa influencia de los efectos de la fisuración horizontal y vertical en el resultado de la tensión tangencial máxima. También puede anotarse que la dosificación de fibras no constituye un factor determinante en el resultado.

[c] Distinción entre probetas con plano de corte tipo (A) y tipo (B).

En el caso de hormigón con fibras de acero sí se hace patente la influencia del tipo de corte proporcionado a las probetas de push-off para la formación de las entallas, pero solamente en la fase post-pico o residual de la resistencia tangencial.

Las probetas tipo (A) resultan más adecuadas para caracterizar la resistencia a corte, y producen resultados más confiables, utilizando como variable el producto Vf·fc

0,5, pero no pueden descartarse los resultados de las probetas tipo (B), y la razón está en el uso que pretenda hacerse de los resultados para el estudio de un elemento estructural. En la aplicación al rasante entre alas y alma de las vigas fabricadas hay que quedarse con los resultados de las probetas tipo (A) para el caso de estudio en el plano vertical unión ala–alma, ya que durante la fabricación dicho plano también permanecía vertical y la vibración externa, al ser aplicada mediante la mesa vibrante, favorecía la orientación de las fibras según planos horizontales. Por el contrario, en el caso de que el fallo por rasante se produjera según un plano horizontal de unión entre ala y alma, habría que emplear los resultados de las probetas tipo (B).

También es interesante la conservación de los dos resultados para analizar situaciones intermedias, en donde el plano de corte del elemento estructural de estudio no tenga una orientación claramente definida, perpendicular o paralela, respecto de los planos preferenciales de orientación de las fibras. Situaciones intermedias podrían estudiarse con interpolaciones entre los casos extremos.

Aparte, el análisis de los dos tipos de probeta puede arrojar conclusiones sobre la orientación de las fibras en la masa fresca. Si no se apreciara diferencias notables entre los resultados de la resistencia residual, sería indicativo de una orientación aleatoria, mientras que diferencias como las mostradas en el caso estudiado indicarían una orientación preferencial.

Finalmente, en relación a otros aspectos propios del hormigón con fibras, hay que anotar que el tipo de rotura ha sido mayoritariamente dúctil, excepto los casos comentados en 3.2.4.3, motivados por el bajo contenido de fibras y la orientación desfavorable en relación al plano de corte de las probetas tipo B. En todos los casos la respuesta resistente ha sido con ablandamiento, produciéndose una caída del valor de la tensión una vez formada y completada la fisuración por corte. Esta caída de tensión precisa de un deslizamiento entre 0,3 y 0,5mm para movilizar a la resistencia residual. El contenido de fibras más bajo, 20kg/m³, ha permitido obtener una resistencia residual inicial entre un cuarto y a un tercio de la resistencia pico, valor que no llega a estabilizarse, sino que va descendiendo suavemente conforme progresa el deslizamiento. El contenido de fibras más alto,



40kg/m³, ofrece una resistencia residual inicial mayor, entorno al 50% de la resistencia pico, también sin estabilizarse, disminuyendo suavemente con el deslizamiento. El desplazamiento horizontal o ancho de fisura presenta unas curvas carga–desplazamiento similares a las ofrecidas por el deslizamiento vertical, con la diferencia de que la rama inicial de carga es prácticamente vertical, y la caída consume una abertura entre 0,5 y 1mm. Los valores finales del ancho de fisura que se obtienen superan escasamente los 2mm, pero si se forman una o dos bielas que se abren y giran, pueden alcanzarse valores mayores, superiores a los 3mm, aunque en nigún caso se ha llegado a los 4mm. La elección de tensiones residuales para deslizamientos superiores a 1mm (τR,i), o deslizamientos relativos superiores a 0,5mm (τRp,i), produce resultados coherentes, ya que son lecturas realizadas una vez que finaliza la caída de tensión, pero la dispersión obtenida es mayor que si se emplea la tensión tangencial residual equivalente (τRe,i). En este sentido, parece que la tensión equivalente resulta un parámetro más adecuado aunque, tal y como está definida, arroja unos valores resistentes superiores, resultado de considerar el tramo de caída brusca que se produce justo después del último pico de tensión.



4 Referencias 1 UNE-EN 14651: "Método de ensayo para hormigón con fibras metálicas. Determinación de la

resistencia a la tracción por flexión (límite de proporcionalidad LOP, resistencia residual)". 2007+A1:2008.

2 CPH (Comisión Permanente del Hormigón): "EHE-08, Instrucción de Hormigón Estructural". Ministerio de Fomento, Gobierno de España, Madrid, 2008.

3 Barragán, B.E.: "Failure and toughness of steel fiber reinforcement concrete under tension and shear". Doctoral Thesis, Universitat Politécnica de Catalunya, Escola Técnica Superior d'Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona, March 2002.

4 Barragán, B., Gettu, R., Agulló, L. y Zerbino, R. (2006): "Shear failure of steel fiber-reinforced concrete based on push-off tests". ACI Materials Journal, vol. 103, issue 4, July 2006, pp.251-257.

5 Lee, G.G. y S.J. Foster: "Behaviour of steel fiber reinforced mortar in shear I: Direct shear testing". Uniciv Report No. R-444 October 2006, The University of New South Wales, School of Civil and Environmental Engineering, Sydney, 185 pp.

6 Khaloo, A.R. y N. Kim: "Influence of concrete and fiber characteristics on behavior of Steel Fiber-Reinforced Concrete under direct shear". ACI Material Journal, Vol.94, No.6, November-December 1997, pp.592-600.

7 Wang, C.: "Experimental investigation on behavior of steel fiber reinforced concrete (SFRC)". Master's thesis, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, New Zealand, August 2006, x-155 pp.

Estudio experimental del rasante en vigas en T de hormigón armado reforzado con fibras de acero. ANEJO B

ANEJO B: CAMPOS DE TENSIONES. DEMOSTRACIÓN B – 1

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