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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:
Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,.
Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:
yyxx dMdMTdNdwdU 2
1
E
U
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasEnergia Potencial de Deformação:
yyxx dMdMTdNdwdU 2
1
,EA
Ndzdw ,
x
xx EI
dzMd
y
yy EI
dzMd ,
GJ
Tdzd
Logo,
y
y
x
x
EI
M
EI
M
GJ
T
EA
N
dz
dU2222
2
1
E
U
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
"A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção."
11 P
U
1
1 M
U
P1 P2
M1d1 q1
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
iiPU 2
1
P1 P2
d1 d2
112
1dP
P
UPdUU ii
112
1 ddPdU
P1 P2
d1 d2
dP1
dd1 P1
P2
d1d2
dP1dd
1 1111 2
1
2
1 dPPddPUdU ii dP1
dd1
Introduzindo um incremento dP1:
Acrescentando o sistema original:
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema de Castigliano:
112
1dP
P
UPdUU ii
1111 2
1
2
1 dPPddPUdU ii Igualando as duas expressões
111111 2
1
2
1
2
1 dPPddPdPP
UP iiii
desprezível
11 P
U
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso:
Integrais de Mohr:
- aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada;
- determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço;
- aplica-se o teorema de Castigliano;
- e anula-se o esforço virtual.
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e
N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento.
dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENNU
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
onde Ev é o esforço virtual.
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasIntegrais de Mohr:
dz
EI
EMM
EI
EMM
GJ
ETT
EA
ENNU
y
vyy
x
vxxvv
2222
2
1
dz
EI
MEMM
EI
MEMM
GJ
TETT
EA
NENN
dE
dU
y
yvyy
x
xvxxvv
v
dzEI
MM
EI
MM
GJ
TT
EA
NN
dE
dU
y
yy
x
xx
Evv 0
Exercícios
As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária.
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):
"O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço."
P1
d11 d21
d22d12
P2 12111
22212
deslocamento do ponto 1
deslocamento do ponto 2
dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj
212121 PP
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos,
P1
d11d21
aplicando-se inicialmente P1 e posteriormente P2
P1
d11 d21
d22d12
P2
1112
1 PU 1212221112
1 PPPU
P2
d12 d22
P2
d12 d22
P1
d11 d21
2222
1 PU 2122221112
1 PPPU
aplicando-se inicialmente P2 e posteriormente P1
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento,
P1
d11 d21
d22d12
P2
1212221112
1 PPPU
P2
d12 d22
P1
d11 d21
2122221112
1 PPPU
212222111121222111 2
1
2
1 PPPPPP 212121 PP (reciprocidade dos trabalhos)
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Método dos EsforçosDeslocamentos em EstruturasTeorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell):Se P1 = P2, 2112 (reciprocidade dos deslocamentos)
"O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1."
P
d1
2 P
d
1
2
M
q
1 2
Mq
1 2
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja a viga abaixo representada.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg
,3r ,2i ,3m ,2e ,4n
42323 g
1g
SP
X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.
X1
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoA Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é:
,01
onde d1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio.
Usando o PSE,
X1
X1
= +
carregamento real
hiperestático
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará.
carregamento real
hiperestático
d10
d11X1
d10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga ed11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
01
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoAssim,
0111101 X11
101
X
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
Os deslocamentos d10 e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
01
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será:
X1
de11 ou 011 de
SP
onde d1
e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda ed1
d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.
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Método dos EsforçosFormulação do Método
= +
carregamento real
hiperestático
X1
X1
d10e d10
d
carregamento real
hiperestático
d11eX1 d11
dX1
Usando o PSE,
Deslocamentos no SP:d10
e – d10d
é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real ed11
e – d11d é o deslocamento, na direção
de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.
011 de
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoLogo,
011111101011 Xdedede 11
101
X
Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas.
Os deslocamentos d10, e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.
Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.
de101010
de111111
onde
011 de
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoSeja o pórtico abaixo representado.O seu grau de hiperestaticidade é: enimrg
3r
3i
6m
3e
6n
63633 g
3g
Vy Mx
N N Vy
Mx
SP
X2 X3
X1X1 X2
X3
X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoAs Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são:
SP
X2 X3
X1 X1 X2
X3
de11 de22 de33
ou
ou
ou
011 de
022 de
033 de
onde
die é o deslocamento, na direção de Xi,
da seção cortada, na parte esquerda edi
d é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita.d1
e, d1d
, d2e e d2
d são deslocamentos lineares enquanto d3
e e d3d são deslocamentos
angulares
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoUsando o PSE,
X2 X3
X1 X1 X2
X3 = X1X1
X2
X2
X3X3+ + +
(a) (b) (c) (d)
(a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática;(b): SP submetido ao hiperestático X1;(c): SP submetido ao hiperestático X2;(d): SP submetido ao hiperestático X3.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoPara cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita.
d10e
X
Y
ZSG
d10d d20
d
d30e
d20e
d30e
di0e – di0
d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real;
d1jeXj
X
Y
ZSG
d1jdXj
d2jdXj
d3jeXj
d2jeXj d3j
eXj
dije – dij
d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoA equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou0 d
iei
,0,1
00
gj
jdij
eij
di
ei
di
ei X
onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura.
Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares:
031321211110 XXX
032322212120 XXX
033323213130 XXX
di
eii 000
dij
eijij
ondeOs deslocamentos di0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoDeterminação de Deslocamentos:
Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP.
Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP.
d = ?
X1d
Exercícios
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários.
viga contínua
SP
R1 R2 R3 R4 R5
L1 L2 L3 L4
M5M1
X3=M4X2=M3X1=M2
R1 R2 R3 R4 R5
L1 L2 L3 L4
M5M1 g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1.
As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão
ou onde i = 1, n-2.
0 di
ei
,0,1
00
gj
jdij
eij
di
ei X
Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações.
Assim, ou011 di
ei
di
ei
2,111,11,10,10,1 0
njj
dji
eji
di
ei M
![Page 28: ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação:](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102513/552fc120497959413d8cb87d/html5/thumbnails/28.jpg)
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
i = 1, n-2. ,02,1
11,11,10,10,111
nj
jd
jie
jidi
ei
di
ei M
011,21,222222202022 nd
ne
ndedede MM
011,11,122,12,10,10,111 nd
nne
nndn
en
dn
en
dn
en MM
011,1,22200 ndni
eni
di
ei
di
ei
di
ei MM
...........................................................................
Desenvolvendo as equações acima:
...........................................................................
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo.
011,1,22200 ndni
eni
di
ei
di
ei
di
ei MM
Li-1
MiMi-1
Li
Mi+1Mi
di 1 e
i
MiMi-1
di
ei 1
Mi+1Mi
Assim, a equação acima se resume a
011,11,00 idiii
dii
eiii
eii
di
ei MMM (Equação dos Três Momentos)
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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i
diii
dii
eiii
eii
di
ei MMM
:00di
ei e rotações, no SP, à esquerda e à
direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real.
:1,eii rotação, no SP, à esquerda do
nó i, devida a Mi-1=1.
:1,dii rotação, no SP, à direita do nó i,
devida a Mi+1=1.
:dii
eii e rotações, no SP, à esquerda e à
direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1.
eio
Li-1
Mi-1=1
eii 1,
Li-1Mi=1
eii
Li-1
dio
Li
Mi=1
dii
Li Mi+1=1
dii 1,
Li
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Prof. Pedro Sá
Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos: 011,11,00 i
diii
dii
eiii
eii
di
ei MMM
Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr):
1
11, 6
ix
ieii EI
L ix
idii EI
L
61, 1
1
3
ix
ieii EI
L ix
idii EI
L
3
Assim, a equação fica:
06336 1
1
11
1
100
i
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
idi
ei M
EI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L
00
Convenção de Sinais:
ou
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i MEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L001
1
11
1
1 62
A cada apoio interno
corresponde uma equação.
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica:
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i MEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L001
1
11
1
1 62
b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.
di
ei 00 e
di
eii
ix
ii
ix
i
ix
ii
ix
i RRMEI
LM
EI
L
EI
LM
EI
L
62 1
1
11
1
1
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
R1 R2 R3
L1 L2 L3
M1 M3
R1 R2 R3
L1 L2
M1
V3d
d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente.
c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica:
di
eixiiiiiii EIMLMLLML 001111 62
di
eixiiiiiii RREIMLMLLML 62 1111
ou
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Método dos EsforçosFormulação do MétodoEquação dos Três Momentos:
Observações:
dx
L
EIMM 10
1
121
62
e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será
01
0n
para engaste no primeiro apoio ou
para engaste no último apoio. e
nn
nxnn L
EIMM 0
1
11
62
Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo.
,001 eiiL
,00 diiL
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Método dos EsforçosFormulação do Método
Fim do Capítulo