MATEMÁTICA 2OPERACIÓN BINARIA

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OPERACIÓN BINARIA.

Definición:

Llamaremos operación binaria en el conjunto A con valores en B, a una función Ψ del tipo: Ψ: AxA —> B (a ,b) —> Ψ (a ,b)

Esto es, dados cualesquiera dos elementos a y b de A (o bien el (a ,b) A x A) por medio de una ley de correspondencia le asignaremos uno y sólo un elemento de B, al cual llamaremos “a operado con b” y lo denotaremos “a Ψ b”, en vez de “Ψ ( a, b)”.

• Ejemplo 1:• La operación adición en los naturales N.• +: N x N —> N• ( x , y) —> x + y• Esto es; (4,6) —> 4 + 6 = 10 N

• La sustracción de Naturales es una operación binaria definida en N x N, pero con valores en Z. Véase:

• - : N x N —> N• (x, y) —> x - y• Esto es; (4,6) —> 4 - 6 = - 2 Z

EJEMPLOSEJEMPLOS

NOTANOTA

Al definir la operación binaria división en los enteros (Z), encontramos un problema, por ejemplo, cuando se opera el par ordenado (-6, 0) el cual debe representarse así: -6/0 , no tiene imagen bajo la función. Es decir no tiene sentido. (Recuérdese que la división por cero no está definida).

NOTANOTA

Para evitar este problema, se define la operación división, poniendo una restricción al segundo conjunto del producto cartesiano, así: ÷ : Z x (Z – {0}) —> Q (9,3) —> 3 Z C Q (3,9) —> Q

PROPIEDADESPROPIEDADES

DEFINICIÓN: Una operación binaria definida así: Ψ: A x A —> BDiremos que es cerrada o que tiene la propiedad de Cerradura sí y sólo sí B = A.

EJEMPLOSEJEMPLOS

Las operaciones: Unión (ᴜ), Intersección (∩), Diferencia ( – ) y Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos, son cerradas.

La sustracción en N y la división en Z, no son cerradas.

AsociatividadAsociatividad

DEFINICIÓN:

Sea Ψ: A x A —> B una operación (CERRADA) en A. Diremos que dicha operación es asociativa o que tiene Asociatividad si y sólo sí:

A Ψ (b Ψ c) = (a Ψ b) Ψ c para todo a, b, c A

NOTA: Se pide el requisito que la operación Ψ sea cerrada, porque de lo contrario no se garantizaría que (a, b Ψ c) o bien (a Ψ b, c) sean elementos de A.

Elemento neutroElemento neutro

DEFINICIÓN:

Sea Ψ: A x A —> B una operación en A. Diremos que dicha operación cumple con la propiedad de EXISTENCIA DE NEUTRO, si y sólo sí: Existe ε A ⁄ ε Ψ a = a Ψ ε = a Para todo a A.

• i) Al elemento ε le llamaremos Neutro de Ψ.

ii) El hecho que ε Ψ a = a Ψ ε no implica que la operación Ψ sea conmutativa.

iii) Para hablar de la propiedad existencia del Neutro debe cumplirse: A C B, puesto que: a Ψ ε B, mientras que a A; por lo tanto: a Ψ ε A C B.

NOTAS:NOTAS:

Observación:Observación:

La tercera nota no quiere decir que la operación Ψ sea cerrada, ya que puede darse el caso de que a Ψ b B, pero a Ψ b A, con a, b A.

Elemento SimétricoElemento Simétrico

DEFINICIÓN: Sea Ψ: A x A —> B una operación en A con Elemento Neutro, entonces diremos que dicha operación cumple con la propiedad de EXISTENCIA DE INVERSOS (SIMÉTRICOS), si y sólo sí: Para todo x A existe y A tal que: x Ψ y = y Ψ x = ε.NOTA: Al elemento y A tal que x Ψ y = y Ψ x = ε. Se le llama INVERSO de x o ELEMENTO SIMÉTRICO de x.

• DEFINICIÓN:

• La operación Ψ: A x A —> B, diremos que cumple con la conmutatividad o que es conmutativa si y sólo sí a Ψ b = b Ψ a

Para todo a, b A.

ConmutatividadConmutatividad

• Las operaciones: Unión (U), Intersección (∩) de conjuntos son conmutativas; pero la operación Diferencia de conjuntos no lo es.

EjemplosEjemplos

• Llamaremos Estructura algebraica a cualquier conjunto con una, dos o más operaciones definidas en él. Se la llamará según las propiedades que cumpla o cumplan las operaciones.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICASESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Llamaremos Monoide a la pareja

(A, Ψ) (estructura algebraica) siendo A un conjunto cualquiera y Ψ una operación definida en él y que cumple con:

Cerradura.

Asociatividad.

MonoideMonoide

• Los Reales y la Adición. (R, +)

• Los Enteros y la Multiplicación. (Z, ● )

• La familia de los subconjuntos de un conjunto y la operación Unión. (F F , U)

(A, Ψ) (estructura algebraica), es semigrupo si es monoide y además cumple con tener Elemento Neutro.

SemigrupoSemigrupo

• Llamaremos grupo a la pareja (A, Ψ) (estructura algebraica) que cumple con:

– Ser semigrupo.

– Poseer Elemento

GrupoGrupo

• Si (A, Ψ) (estructura algebraica) cumple con:

– Ser Grupo.

– Poseer Conmutatividad.

Grupo Abeliano o conmutativoGrupo Abeliano o conmutativo

Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el

estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente,

etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse

en fórmulas)

* a b

a a b

b b a

* 0 1

0 0 1

1 1 0

Tabla 1

Tabla 2

Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:

0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de

operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso

consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces

* Es una Ley de Composición interna en G* Es una Ley de Composición interna en G

1 * 0 = 1

0 * 1 = 11 * 1 = 0

* se lee “asterisco”

Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G

que se escribe: (G, *), verifica que:

1) G2 G * es una Ley de composición interna en G

2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa

Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.

Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa

(G, *) tiene estructura de semi-grupo si además

3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro

Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”

4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso

Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e

(G, *) tiene estructura de grupo

1a1a 1b1b 1c1c

Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -

5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa

(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo

Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y

(G, * ) es Anillosi . . .

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G, ) es semi Grupo

3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *

a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c)

(b * c) a = (b a) * (c a)

Si la segunda ley de composición es conmutativa,

(G, * ) es AnilloConmutativo

Si (G * ) es Anillo

Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con

Unidad

Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo Anillo con divisióncon división

Si un Anillo con división es conmutativo, se llama CuerpoCuerpo

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible

3) es distributivo respecto de *

Ejemplo: (Z, * (Z, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

No es cuerpoNo es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1

(R, * (R, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

Es CuerpoEs Cuerpo

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