ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI...
Transcript of ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI...
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA RX -
Oleh :
ERNITA DWI HASTUTI
M0106040
SKRIPSI
Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2011
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
MOTO
“Tuhan pasti kan menunjukkan kebesaran dan kuasaNya
bagi hambaNya yang sabar dan tak kenal putus asa”
(D’Masiv)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Orang tuaku tercinta atas doa, kasih sayang, kesabaran, semangat dan
pengorbanan yang diberikan.
Saudara-saudara atas doa dan pengorbanan yang diberikan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
ABSTRAK
Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA &呻− 观. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Grafik pengendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) ialah sebuah grafik yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan sebagai alat untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali secara statistik atau tidak. Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil karena grafik EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Dalam suatu proses produksi tidak ada dua unit produk yang identik, sehingga adanya variansi tidak dapat dihindarkan. Oleh karena itu dibutuhkan dua grafik pengendali EWMA, yaitu grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses variansi.
Dalam penelitian ini dikaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan grafik pengendali EWMA &呻− 观 untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dapat dibuat dengan mencari statistik yang digambarkan pada grafik pengendali. Sedangkan statistik yang digambarkan pada grafik pengendali EWMA &呻− 观 merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik untuk mean dan variansi. Untuk memperjelas kajian teori digunakan contoh kasus data netto kemasan air minum Makhoa 240 ml. Hasil penelitian menunjukkan bahwa grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali namun batas pengendalinya yang berbeda. Namun grafik pengendali EWMA &呻− 观 akan lebih efisien bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah, karena grafik pengendali EWMA &呻− 观 memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit. Kata kunci: Mean, variansi, EWMA, EWMA &呻− 观
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
ABSTRACT
Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMATION OF PARAMETER EWMA &呻− 观 CONTROL LIMITS. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.
Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart is a chart which is used for statistical processing control and as a tool to consider whether the process is controlled statistically or not. EWMA control chart is very effective for a small shift because EWMA chart using information from previous samples. There is no identical of two units product in the production process, so the variance is inevitable. So that we need two EWMA control chart, i.e. EWMA control chart to detect the shift of mean process and EWMA control chart to detect the shift of variance process.
In this study we assessed EWMA control charts for mean and variance separately and EWMA &呻− 观 control charts to monitor the process mean and variance simultaneously. We can made EWMA control chart for mean and variance separately by finding the statistics that plotted on control chart. Otherwise, the statistics that plotted on EWMA &呻− 观 is the maximum absolute value of the statistics for the mean and variance. To clarify the theoretical studies we used the example of the net data packaging of 240 ml Makhoa drinking water. The result shows that the EWMA control chart for monitoring process of mean and variance jointly and separately gave similar results that the process is in control but the control limits are different. However, EWMA &呻− 观 control chart would be more efficient than EWMA control chart separately, because the EWMA&呻− 观 control chart has a widercontrol limits. Key words: mean, variance, EWMA, EWMA &呻− 观
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Alláh SWT. atas
segala limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Drs. Muslich, M.Si selaku Pembimbing I
dan Pembimbing II atas kesediaan dan kesabarannya dalam membimbing dan
memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini.
2. Ibu Wiwik selaku manajer Makhoa yang telah memberikan ijin kepada penulis
untuk melakukan penelitian dan pengambilan data.
3. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada
umumnya, dan bagi penulis pada khususnya.
Surakarta, April 2011
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR ISI
JUDUL ........................................................................................................... i
PENGESAHAN ............................................................................................. ii
MOTO ............................................................................................................ iii
PERSEMBAHAN ........................................................................................... iv
ABSTRAK ..................................................................................................... v
ABSTRACT ................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ................................................................................... vii
DAFTAR ISI .................................................................................................. viii
DAFTAR TABEL .......................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xi
DAFTAR NOTASI ........................................................................................ xii
BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 3
1.3 Batasan Masalah ..................................................................................... 3
1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................... 3
BAB II. LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka .................................................................................... 4
2.1.1 Variabel random .............................................................................. 5
2.1.2 Interval kepercayaan ....................................................................... 5
2.1.3 Interval kepercayaan untuk mean ................................................... 6
2.1.4 Interval kepercayaan untuk variansi .............................................. 6
2.1.5 Pengendalian kualitas statistik ....................................................... 7
2.1.6 Pengendalian proses statistik ......................................................... 7
2.1.7 Grafik pengendali .......................................................................... 8
2.1.8 Grafik pengendali variabel ............................................................ 8
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ix
2.1.9 Grafik pengendali Shewhart .......................................................... 9
2.1.10 Grafik pengendali RX - .............................................................. 9
2.1.11 Distribusi normal ......................................................................... 12
2.1.12 Distribusi uniform ....................................................................... 12
2.1.13 Uji kenormalan ............................................................................. 12
2.1.14 Uji independensi ........................................................................... 13
2.2 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 14
BAB III. METODE PENELITIAN
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1 Grafik pengendali EWMA ....................................................................... 17
4.1.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ................................. 17
4.1.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ............................. 19
4.2 Grafik pengendali EWMA RX - ............................................................ 20
4.2.1 ARL (Average Run Length) ........................................................... 24
4.2.2 Merancang grafik pengendali EWMA RX - ................................ 25
4.3 Contoh kasus ........................................................................................... 26
4.3.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ................................. 28
4.3.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ............................ 29
4.3.2 Grafik pengendali EWMA RX - .................................................... 29
BAB V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 33
5.2 Saran ....................................................................................................... 34
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 35
LAMPIRAN ................................................................................................... 37
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR TABEL Tabel 1
Tabel 2
Tabel 3
Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan
ukuran sampel (n = 5) ………………………………………......
Nilai CDF tiap sampel ……………………………………….....
Nilai iii ZBA ,, dan iW ……………………………………….....
27
30
31
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 4
Gambar 5
Gambar 6
Grafik pengendali …………………………………………...
Plot probabilitas normal data netto air minum ………………
Plot independensi data netto air minum ……………………..
Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ……………….
Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi …………….
Grafik pengendali EWMA RX - …………………………...
9
26
28
28
29
32
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xii
DAFTAR NOTASI
X : Rata- rata populasi
R : Range/ rentang sampel
R : Rentang rata-rata
S : Ruang sampel
x : Observasi
m : Mean
2s : Variansi
s : Standar deviasi
s : Taksiran untuk standar deviasi
W : Rentang relatif
2d : Mean dari W
3d : standar deviasi dari W
n : Ukuran sampel
m : Banyaknya sampel
l : Konstanta smoothing
v : Derajad bebas distribusi Chi-kuadrat
d : Pergeseran proses mean
b : Pergeseran proses variansi
iZ : Statistik EWMA untuk proses mean
'iR : Range/ rentang dari distribusi normal
2iS : Statistik EWMA untuk proses variansi
iM : Statistik EWMA RX -
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Kualitas suatu produk mempunyai hubungan yang sangat erat dengan
kepuasan pelanggan. Untuk mempertahankan kualitas, secara kontinu proses
produksi harus dimonitor dan dikendalikan. Kualitas suatu produk dapat diamati
dari beberapa karakteristik dengan suatu alat yang wajib dimiliki oleh suatu
perusahaan untuk meningkatkan kualitas produksinya. Salah satu alat yang
digunakan untuk meningkatkan kualitas produksi adalah grafik pengendali.
Grafik pengendali merupakan metode statistika yang digunakan untuk
mengontrol agar produk yang dihasilkan sesuai dengan target dan memiliki
variabilitas tidak terlalu besar.
Menurut Ariani (2005) statistik merupakan metode pengambilan keputusan
tentang suatu proses dalam populasi berdasarkan pada analisis informasi yang
terkandung di dalam sampel dari populasi tersebut. Metode statistika mempunyai
peranan yang sangat penting dalam pengendalian kualitas. Metode statistika
digunakan untuk menentukan cara-cara pengambilan sampel produk, menguji
serta mengevaluasi informasi di dalam data untuk mengendalikan dan
meningkatkan kualitas produksi.
Karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya digunakan dua grafik
pengendali, yaitu grafik Ú呻, untuk memonitor proses mean dan grafik pengendali
R atau grafik pengendali S, untuk memonitor proses variansi. Pada awalnya
banyak dikembangkan grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan
proses variansi secara terpisah, yaitu grafik pengendali Shewart, Cumulative Sum
(CUSUM), dan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), akan tetapi
menurut Costa dan Rahim (2006) jika menggunakan dua grafik pengendali
secara terpisah kurang efisien dalam memonitor proses, sehingga dikembangkan
pula grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan proses variansi
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
secara bersama-sama. Menurut Montgomery (2005) grafik pengendali tersebut
diklasifikasikan sebagai grafik pengendali tipe Shewart, tipe CUSUM dan tipe
EWMA. Grafik pengendali tipe Shewart hanya menggunakan informasi sampel
yang terakhir sehingga kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil,
sedangkan grafik pengendali tipe CUSUM dan tipe EWMA lebih sensitif terhadap
pergeseran proses yang kecil, karena menggunakan informasi dari beberapa
sampel.
Grafik pengendali tunggal dibuat dengan menggabungkan grafik
pengendali Ú呻 dan grafik pengendali R. Dalam membentuk grafik pengendali Ú呻
dan grafik pengendali R, nilai mean dan nilai variansi diestimasi dengan mean
sampel dan variansi sampel. Menurut Montgomery (2005) untuk ukuran sampel
kecil, misal 柜≤ 10 menghitung nilai variansi dengan range sampel akan lebih
efisien dibandingkan dengan standar deviasi, sehingga nilai variansi diestimasi
dengan range sampel.
Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji grafik pengendali EWMA
untuk mean dan variansi secara terpisah dan mengkaji ulang penelitian yang telah
dilakukan oleh Khoo et al. (2009) khususnya merancang grafik pengendali
EWMA Ú呻− 观 untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi secara
bersama-sama dengan menggunakan mean dan range sampel. Dalam merancang
grafik pengendali EWMA Ú呻− 观 dilakukan dengan menyusun grafik pengendali
untuk mean dan variansi secara terpisah terlebih dahulu kemudian menyusun
grafik pengendali dengan menggabungkan dua grafik pengendali sekaligus.
Selanjutnya untuk memperjelas kajian akan diterapkan pada data kemasan air
minum Makhoa 240 ml karakteristik kualitas netto.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana merancang
grafik pengendali EWMA dengan mengestimasi parameter batas pengendali Ú呻− 观 secara terpisah dan bersama-sama untuk mendeteksi pergeseran proses
mean dan variansi.
1.3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, batasan masalah yang digunakan adalah penggunaaan
tabel nilai 晃扑,晃莆 dan 拐 hasil penelitian Khoo et al. (2009).
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang estimasi parameter batas
pengendali Ú呻− 观 secara terpisah dan bersama-sama dalam pembuatan grafik
pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran mean dan variansi.
1.5 Manfaat
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan informasi
ilmiah tentang penerapan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran
proses mean dan variansi baik secara terpisah maupun bersama-sama.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada landasan teori ini akan dibahas dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan
kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil-hasil penelitian yang telah
dilakukan peneliti terdahulu dan ada hubungannya dengan penelitian yang akan
dilakukan, selain itu juga diberikan teori-teori yang melandasi dalam kajian di
pembahasan.
2.1 Tinjauan Pustaka
Grafik pengendali adalah alat yang digunakan untuk mengendalikan proses
secara statistik dan untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali statistik atau
tidak. Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang pertama kali
dikembangkan, grafik ini diperkenalkan oleh W. A Shewhart (1931). Grafik
pengendali Shewhart kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. Hastuti
(2002) dalam skripsinya yang berjudul “ Grafik pengendali Shewhart dan EWMA
terhadap data berkorelasi “ membahas bahwa grafik pengendali EWMA lebih sensitif
terhadap pergeseran proses yang kecil bila dibandingkan dengan grafik pengendali
Shewhart.
Karakteristik kualitas yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik
pengendali EWMA, yaitu untuk memonitor proses mean dan variansi. Menurut
Reynold dan Staumbos (2004) serta Costa dan Rahim (2006) grafik pengendali untuk
mean dan variansi secara terpisah kurang efisien dalam memonitor pergeseran proses,
karena harus membuat dua grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan
variansi, sehingga dikembangkan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses
mean dan variansi secara bersama-sama. Chen et al. (2001) mengembangkan grafik
pengendali MaxEWMA yang merupakan grafik pengendali tunggal untuk memonitor
proses mean dan variansi dalam satu grafik pengendali. Grafik pengendali
MaxEWMA sangat efektif untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi.
Khoo et al. (2009) merancang grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观 untuk memonitor
4
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观
merupakan pengembangan dari grafik pengendali MaxEWMA, tetapi grafik
pengendali «Ǵan ö呻− 观 menggunakan range sampel sedangkan grafik pengendali
MaxEWMA menggunakan variansi sampel.
Untuk mengkaji grafik pengendali «Ǵan ö呻− 观 diperlukan teori-teori yang
mendukung sebagai berikut.
2.1.1 Variabel Random
Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random, dinotasikan X,
jika X merupakan fungsi yang didefinisikan dari seluruh ruang sampel S, yang
menghubungkan suatu bilangan asli ö纵硅邹= 果 dengan setiap hasil 硅 yang mungkin di
S. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan
variabel random kontinu.
1) Variabel Random Diskrit
Variabel random ö disebut variabel random diskrit jika himpunan semua nilai
yang mungkin dari variabel tersebut adalah himpunan yang terhitung yaitu
nXXX ,...,, 21 . Fungsi ( ) ( )xXPxf == dengan nXXX ,...,, 21 disebut fungsi
kepadatan peluang (Bain dan Engelhardt, 1995).
2) Variabel Random Kontinu
Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random X dikatakan variabel
random kontinu jika terdapat fungsi 归(果) sebagai fungsi kepadatan peluang dari X
dan disajikan sebagai 瓜纵果邹= 董 归纵棍邹 é棍∞能∞ .
2.1.2 Interval Kepercayaan
Menurut Montgomery (2005) estimasi interval untuk parameter adalah
interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang
sebenarnya. Misalkan, untuk mengestimasi interval nilai mean, maka harus dicari
statistik 拐 dan 罐 sebagai berikut
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
官走拐≤ ¶ ≤ 罐奏= 1 − 荒.
Interval 拐≤ ¶ ≤ 罐 disebut interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹%, 拐 dan 罐 adalah limit
kepercayaan bawah dan atas, dan 1 − 荒 adalah peluang yang sebenarnya. Interpretasi
dari interval konfidensi adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk
masing-masing hasil dari suatu sampel random, maka 100纵1 − 荒邹% dari interval-
interval ini akan memuat nilai sebenarnya dari ¶.
2.1.3 Interval Kepercayaan untuk Mean
Menurut Montgomery (2005) misal ö sampel random dengan 柜 observasi.
Untuk 柜 besar, mean sampel ö呻 mendekati distribusi normal dengan mean ¶ dan
standar deviasi √柜世 . Namun nilai √柜世 ditaksir dengan 滚√柜世 . Sehingga diperoleh
interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk mean adalah ö呻− 广崎挠世 魄√坡≤ ¶ ≤ ö呻+ 广崎挠世 魄√坡 (2.1)
2.1.4 Interval Kepercayaan untuk Variansi
Menurut Montgomery (2005) Misalkan ö adalah variabel random berdistribusi
normal dengan mean ¶ dan variansi 挠 yang nilainya tidak diketahui dan variansi
sampel 管挠 dihitung dengan rumus 管挠= ∑ 纵ö平− ö呻邹挠坡平能囊柜− 1 , 管挠 digunakan sebagai penaksir untuk 挠, dan akar positif 滚 sebagai penaksir untuk .
Untuk menaksir interval kepercayaan untuk digunakan distribusi 悔挠. Misalkan ö囊,ö挠, … ,ö坡 adalah sampel random dari populasi normal maka variabel 悔挠=∑ 纵撇腮能撇呻邹潜叁腮呛前弃潜 = 纵坡能囊邹骗潜弃潜 dinamakan distribusi 悔挠 dengan derajad bebas 纵柜− 1邹. Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk variansi adalah 纵坡能囊邹骗潜恰潜汕潜,(叁呛前) ≤ 挠≤ 纵坡能囊邹骗潜恰潜前呛汕潜 ,(叁呛前) (2.2)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
2.1.5 Pengendalian Kualitas Statistik
Menurut Montgomery (2005), ada dua segi umum tentang kualitas yaitu
kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Kualitas rancangan adalah istilah teknik
yang digunakan untuk variasi yang memang disengaja, sedangkan kualitas kecocokan
adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang
disyaratkan oleh rancangan itu.
Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan managemen dan
dengan aktivitas itu dapat diukur ciri-ciri produk, membandingkannya dengan
spesifikasi atau persyaratan dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila
ada perbedaan antara penampilan sebenarnya dan yang standar.
2.1.6 Pengendalian Proses Statistik
Menurut Ariani (2005), pengendalian proses statistik merupakan teknik
penyelesaian masalah yang digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis,
pengelola dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Selain
karakteristik kualitas, terdapat beberapa sumber yang berpengaruh terhadap hasil
produksi, yaitu
1. Bahan baku (raw material)
2. Operator (men)
3. Mesin (machine)
4. Lingkungan (measurement)
5. Metode (method)
Sasaran pengendalian proses statistik adalah mengadakan pengukuran
terhadap variasi-variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Variasi proses terdiri dari
dua penyebab, yaitu penyebab tidak terduga (common cause) dan penyebab terduga
(assignable cause). Penyebab tidak terduga merupakan pengaruh kumulatif dari
banyak sebab-sebab kecil, seperti kondisi emosional karyawan, penurunan suhu udara
dan lain sebagainya. Sedangkan penyebab terduga adalah kesalahan yang berlebihan,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
seperti kesalahan operator, penyimpangan dalam penggunaan mesin, bahan baku
yang cacat, kesalahan perhitungan dan lain sebagainya.
Menurut Montgomery (2005) untuk memeriksa grafik pengendali dan
menyimpulkan bahwa prosesnya tak terkendali apabila dipenuhi satu atau beberapa
kriteria berikut
1. Satu atau beberapa titik di luar batas pengendali.
2. Suatu giliran dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam
dapat dibentuk giliran naik atau turun, giliran di atas atau di bawah garis
tengah, atau giliran di atas atau di bawah median.
3. Dua atau tiga titik yang berurutan di luar batas peringatan 2-sigma tetapi
masih dalam batas pengendali.
4. Empat atau lima titik yang berurutan di luar batas 1-sigma
5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.
6. Satu atau dua titik dekat satu batas peringatan atau pengendali.
2.1.7 Grafik Pengendali
Grafik pengendali adalah metode statistik yang membedakan adanya variasi-
variasi penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga dan sebab terduga.
Penyimpangan yang dipengaruhi sebab terduga biasanya berada di luar batas
pengendali, sedangkan penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga
berada di dalam batas pengendali (Ariani, 2005).
2.1.8 Grafik Pengendali Variabel
Menurut Montgomery (2005), untuk karakteristik kualitas yang dapat
dinyatakan dengan angka, misal diameter sekrup dapat diukur dengan mikro meter
dan juga berat bubuk coklat dapat ditimbang dengan timbangan mikro. Suatu
karakteristik yang mempunyai variasi nilai seperti dimensi, berat atau volume
dinamakan variabel. Apabila bekerja dengan karakteristik kualitas variabel sudah
merupakan praktek standar untuk mengendalikan nilai mean dan variabilitasnya.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Menurut Montgomery (2005), bentuk dasar grafik pengendali terdiri dari
garis tengah yang merupakan nilai rata
keadaan terkendali. Dua garis mendatar yang lain disebut batas pengendali atas
(BPA) dan batas pengendali bawah (BPB).
Secara umum model grafik pengendali adalah
dengan wm adalah mean w
2.1.10
Menurut Montgomery (2005),
normal dengan mean m dan deviasi standar
diketahui. Jika XXX ,...,, 21
dan diketahui bahwa X berdistribusi normal dengan
nXss = .
2.1.9 Grafik Pengendali Shewart
Menurut Montgomery (2005), bentuk dasar grafik pengendali terdiri dari
ngah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik kualitas tertentu dalam
keadaan terkendali. Dua garis mendatar yang lain disebut batas pengendali atas
li bawah (BPB). Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik pengendali
Secara umum model grafik pengendali adalah
ww kBPA sm +=
wGT m=
ww kBPB sm -=
w , ws adalah deviasi standar dan k adalah konstanta.
2.1.10 Grafik Pengendali X dan R
Menurut Montgomery (2005), misalkan karakteristik kualitas berdistribusi
dan deviasi standar s , dengan m dans keduanya tidak
nX sampel berukuran n , maka rata-rata sampel ini adalah
nXXX
X n+++=
...21
berdistribusi normal dengan mean m dan deviasi standar
9
Menurut Montgomery (2005), bentuk dasar grafik pengendali terdiri dari
rata karakteristik kualitas tertentu dalam
keadaan terkendali. Dua garis mendatar yang lain disebut batas pengendali atas
Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
adalah deviasi standar dan k adalah konstanta.
isalkan karakteristik kualitas berdistribusi
keduanya tidak
rata sampel ini adalah
dan deviasi standar
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
Karena nilai ¶ dan biasanya tidak diketahui, maka nilai-nilai itu harus
ditaksir dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses itu diduga
terkendali. Misalkan tersedia Ư sampel, masing-masing memuat 柜 observasi pada
karakteristik kualitas itu. Jika ö囊呻呻呻,ö挠呻呻呻, … ,ö�呻呻呻呻 adalah rata-rata tiap sampel, maka
penaksir terbaik untuk rata-rata proses ¶ adalah mean keseluruhan, yaitu ö深= ö囊呻呻呻+ ö挠呻呻呻+ ⋯ + ö�呻呻呻呻Ư
dan ö深 akan dijadikan garis tengah grafik ö itu.
Untuk ukuran sampel kecil, misal 柜≤ 10 estimasi nilai standar deviasi
biasanya menggunakan metode range. Misal ö囊,ö挠,….,ö坡 adalah sampel random dari n
observasi yang berdistribusi normal dangan mean ¶ dan variansi 挠, range sampel
didefinisikan sebagai berikut 观= max纵果平邹− min纵果平邹 = ö�i铺− ö�平坡 dengan ö�i铺 : nilai sampel terbesar
ö�平坡 : nilai sampel terkecil.
Terdapat hubungan antara rentang suatu sampel dari distribusi normal dan deviasi
standar distribusi itu. Misal didefinisikan variabel random Ǵ = 观 世 yang dinamakan
rentang relatif. Parameter distribusi Ǵ adalah fungsi ukuran sampel 柜. Menurut
Tippett (1925) mean Ǵ bernilai é挠 dari 柜 variabel random berdistribusi normal,
sehingga penaksir untuk adalah 绥= 观é挠世 . Nilai é挠 untuk berbagai ukuran sampel
diberikan dalam lampiran.
Misalkan 观囊,观挠, … ,观� adalah rentang Ư sampel itu. Rentang rata-ratanya
adalah 观呻= 观囊+ 观挠+ ⋯ + 观�Ư
dan taksiran untuk dihitung dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
绥= 观呻é挠世
Jika digunakan ö深 sebagai penaksir untuk ¶ dan 观呻é挠世 sebagai penaksir untuk , maka
batas pengendali grafik ö呻 dengan batas 3-sigma adalah
4官n= ö深− 脑聘潜√坡观呻.
ð2 = ö深 4官4= ö深− 脑聘潜√坡观呻.
Diketahui bahwa rentang sampel berhubungan dengan deviasi standar
proses. Oleh karena itu, variabilitas proses dapat dikendalikan dengan
menggambarkan nilai-nilai 观 dari sampel-sampel yang berurutan pada grafik
pengendali. Grafik pengendali ini dinamakan grafik 观. Batas pengendali grafik 观 dapat ditentukan dengan mencari garis tengahnya 观呻 dan standar deviasi 片. Dengan
menganggap bahwa karakteristik kualitas berdistribusi normal, estimasi untuk 片碎
dapat diperoleh dari distribusi rentang relatif Ǵ = 观 世. Menurut Tippett (1925)
deviasi standar Ǵ bernilai é脑 yang merupakan fungsi 柜 yang diketahui. Nilai é脑
berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.
Jadi karena 观= Ǵ
maka deviasi standar 观 adalah 片= é脑 .
Karena tidak diketahui, maka dapat ditaksir 片 dengan 片碎 = é脑片呻聘潜. Dengan demikian parameter grafik 观 dengan batas pengendali 3-sigma adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
4官n= 观呻+ 3 片碎 = 观呻+ 3é脑观呻é挠 ð2 = 观呻 4官4= 观呻− 3 片碎 = 观呻− 3é脑片呻聘潜. 2.1.11 Distribusi Normal
Distribusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian, adalah salah satu
distribusi penting dalam aplikasi statistik. Variabel random ö berdistribusi normal
dengan mean ¶ dan variansi 挠 dapat dituliskan ö~棺(¶, 挠) dengan fungsi densitas
probabilitas ( Montgomery, 2005). 归纵果邹= 1 √2挥硅能囊挠足撇能启弃 卒潜, dengan 0 ≤ ö ≤ 1
0 ≤ ¶ ≤ 1 挠≥ 0
2.1.12 Distribusi Uniform
Bain dan Engelhardt (1995) memberikan definisi bahwa variabel random X
dikatakan mempunyai distribusi Uniform pada interval 纵逛,瑰邹 jika mempunyai fungsi
densitas probabilitas 归纵ö;逛,瑰邹= 1瑰− 逛
untuk 逛< ö < 瑰 dan 0 untuk nilai ö yang lain. Variabel random yang berdistribusi
Uniform dinotasikan ö~罐(逛,瑰).
2.1.13 Uji Kenormalan
Menurut Montgomery (1992) untuk memeriksa kenormalan data dapat
dilakukan dengan melihat plot antara data dengan nilai probabilitas kumulatifnya.
Untuk membentuk plot normal dapat dilakukan dengan menggambarkan kenaikan
orde data dengan nilai probabilitas kumulatif 辉瓶= 足诡− 囊挠卒棺, dengan 诡= 1,2, …
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
dan 棺 adalah banyaknya observasi. Jika plot yang dihasilkan terletak pada pita
kenormalan atau mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan
sudah dipenuhi. Uji kenormalan dapat juga dilakukan melalui uji Kolmogorof-
Smirnov yang dapat dilihat dari nilai p-value dengan langkah-langkah sebagai berikut
a) Membuat hipotesis 寡难: data berdistribusi normal 寡囊: data tidak berdistribusi normal
b) Menentukan tingkat signifikasi 荒%
c) Menentukan statistik uji 雇= Ư逛诡滚藤瓜纵ö平邹− 轨− 1柜 , 轨柜− 瓜纵ö平邹藤 dengan 瓜纵果邹 adalah fungsi distribusi kumulatif observasi.
d) Membuat daerah kritis yaitu menolak 寡难 jika p-value lebih kecil dari
tingkat signifikansi 荒.
e) Mengambil kesimpulan
2.1.14 Uji Independensi
Menurut Montgomery (1992) data dapat dikatakan independen apabila nilai
data suatu pengamatan tidak dipengaruhi data dari pengamatan lain. Untuk menguji
keindependenan suatu data dapat dilihat dari plot antara data dan order observasi. Bila
data berpola acak maka data tersebut bersifat independen.
2.2 Kerangka Pemikiran
Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya
digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk
memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor
variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran
karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam
membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama,
pertama-tama mengestimasi parameter ¶ dan , kemudian dalam membentuk grafik
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA
untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai 晃 lalu menggambarkan
statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA
untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi
dengan terlebih dahulu menentukan nilai 晃 lalu menggambarkan statistik tersebut
pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses
mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel.
Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk
mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk EWMA ö呻− 观 yang
merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi,
kemudian menggambarkan statistik tersebut dalam batas pengendali.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan
mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan
tujuan penelitian.
Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah
1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan 徽
2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean
dengan langkah sebagai berikut
a. Menentukan nilai 晃.
b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean.
c. Menentukan batas pengendali.
d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali
3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi
dengan langkah sebagai berikut
a. Menentukan nilai 晃.
b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi.
c. Menentukan batas pengendali.
d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali.
4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA º呻− 观 untuk memonitor
proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai
berikut
a. Memilih nilai 晃扑,晃莆 dan L yang dapat ditentukan berdasar
penelitian Khoo et al, (2009).
b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel.
c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.
15
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
d. Menentukan statistik EWMA º呻− 观 yang merupakan maksimum
nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi.
e. Menggambarkan statistik EWMA º呻− 观 pada batas pengendali.
5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml
karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang
diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari
Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil
sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk
setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis
data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan
Microsoft Office Excel 2007.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Grafik Pengendali EWMA
Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil,
karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya.
Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik
pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik
EWMA memonitor proses variansi.
4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean
Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *> didefinisikan sebagai
berikut â> = 晃*> + 纵1 − 晃邹â>能囊,轨= 1,2, … (4.1)
dengan â难= 幌
*>: observasi pada waktu ke- i
晃: konstanta smoothing, 0 < 晃≤ 1.
Untuk menunjukkan bahwa â> adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata
sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â> dengan â>能囊 pada persamaan
(4.1), sehingga didapat â>能囊= 晃*>能囊+ (1 − 晃)â>能挠.
Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut â> = 晃*> + 晃纵1 − 晃邹*>能囊+ 纵1 − 晃邹挠â>能挠. Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang â> dengan orde sebelumnya
diperoleh
â> = 晃素 纵1 − 晃邹凭>能囊凭妮难 *>能凭+ 纵1 − 晃邹>â难.
Jika *> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ挠, maka variansi â> adalah
17
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
�逛r纵â>邹= 晃挠∑ 纵1 − 晃邹挠凭>能囊凭妮难 �逛r 试*>能凭守+ 纵1 − 晃邹挠>�逛r(â难). (4.2)
Karena nilai tertimbang 晃纵1 − 晃邹凭 menurun secara geometri dengan umur rata-rata
sampel, maka
晃挠素 纵1 − λ邹挠凭>能囊凭妮难 = 晃挠纂1 − 纵1 − 晃邹挠>能挠1 − 纵1 − 晃邹嘴
= 企挠能企侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市 dan �逛r 纵â难邹= 0, maka persamaan (4.2) menjadi
�逛r纵â>邹= 晃挠素 纵1 − 晃邹挠凭>能囊凭妮难 Ƽ挠撇t呛鳃+ 0
= Ƽ挠族企挠能企祖侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市, dan diperoleh deviasi standar dari â> adalah Ƽ拼t = Ƽ瞬企挠能企揍1 − 纵1 − 晃邹挠>租. (4.3)
Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA
幌难− ±Ƽ顺 晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租≤ 幌难≤ 幌难+ ±Ƽ顺 晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租, sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean
7.B = 幌难+ ±Ƽ顺 晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租 剐馆= 幌难
7.7 = 幌难− ±Ƽ顺 晃(2 − 晃) 揍1 − (1 − 晃)挠>租 dengan 幌难 adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L
adalah lebar batas pengendali.
Jika 轨 naik, Ƽ挠拼t naik menuju nilai limit
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
lim>→捧Ƽ挠拼t = lim>→捧Ƽ挠释晃2 − 晃恃侍1 − 纵1 − 晃邹挠>市 = Ƽ挠足企挠能企卒.
Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut
7.B = 幌难+ ±Ƽ顺 晃(2 − 晃)
剐馆= 幌难
7.7 = 幌难− ±Ƽ顺 晃(2 − 晃)
4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi
Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik
pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *> berdistribusi normal
dengan mean 幌 dan variansi Ƽ挠, exponentially weighted mean square error (EWMS), 管>挠 didefinisikan sebagai berikut 管>挠= 晃纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹管>能囊挠,轨= 1,2, …
dengan 管难挠= 0
*>: observasi ke i
晃: konstanta smoothing (0 ≤ 晃≤ 1). Untuk nilai 轨 yang besar maka Ć(管>挠) = Ƽ挠, hal ini dapat ditunjukkan dengan
mensubtitusi 轨− 1 untuk i pada persamaan (2.1) 管>能囊挠= 晃纵*>能囊− 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹管>能挠挠, sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut 管>挠= 晃纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹晃纵*>能囊− 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹挠管>能挠挠.
Selanjutnya dengan mengganti 鬼= 2,3, … diperoleh 管>挠= ∑ 晃>嫩囊凭妮难 纵1 − 晃邹凭能>纵*> − 幌邹挠+ 纵1 − 晃邹凭管难挠.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
Karena nilai ∑ 晃>嫩囊凭妮难 纵1 − 晃邹凭能> + 纵1 − 晃邹凭= 1, maka Ć试管>挠守= ∑ 纵*> − 幌邹挠>嫩囊凭妮难 = Ƽ挠. (4.4)
Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka 骗t潜弃潜 akan mendekati
distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas 郭= 纵2 − 晃邹/晃. Jika Ƽ难 adalah nilai
target dari proses variansi, 管> dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut
Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1 − 荒) dari distribusi Chi- kuadrat dengan
derajad bebas 郭 dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan
(2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100纵1 − 荒邹% untuk grafik
EWMA adalah
Ƽ难顺悔挠剖,囊能(崎挠世)郭 ≤ Ƽ ≤ Ƽ难顺悔挠剖,崎挠世郭 . Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi
7.B = Ƽ难瞬恰潜扫,汕潜世剖
7.7 = Ƽ难瞬恰潜扫,前呛(汕潜世)剖 .
4.2 Grafik pengendali ¸WMA 匠伸− 江
Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi
satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA *呻− R yang lebih
efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama.
Misalkan *>凭, dengan 轨= 1,2, … dan 鬼= 1,2, … ,柜> adalah hasil pengukuran
dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan 幌= 幌难+ 磺Ƽ难 dan
standar deviasi Ƽ = 慌Ƽ难, dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan.
Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika 磺= 0 dan 慌= 1
sehingga 幌= 幌难+ 磺Ƽ难 = 幌难+ 0
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
= 幌难
dan Ƽ = 慌Ƽ难 = Ƽ难.
Misalkan *黔伸= (*>囊+ *>挠+ ⋯+ *>et)/柜> adalah rata-rata sampel ke- i dan R> = *>et − *>囊 adalah range sampel ke- i, dimana *>囊 adalah data terkecil dan *>et data terbesar dalam sampel ke- i .
Diasumsikan 瓜(. ) adalah fungsi distribusi normal, 棺(幌难, Ƽ难挠) dari variabel
random. Jika 磺= 0 dan 慌= 1 maka 光>凭= 瓜(*>凭) untuk j = 1,2,. .. . , 柜> adalah
pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform 罐(0,1). Misal R> ′ = 光>(e>) − 光>(囊) = 瓜(*>et) − 瓜(*>囊)
adalah range sampel ke i untuk pengamatan 光>囊,光>挠, … . ,光>e dimana 光>囊 adalah sampel
terkecil dan 光>e adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan B> = 纵撇砷呻呻呻能启钳邹弃钳税et柿 ,轨= 1,2, … (4.6)
dan 7> = 会能囊走寡纵r ′>邹奏,轨= 1,2, … (4.7)
dengan r> ′ = 裹>纵et邹− 裹>纵囊邹 , 会纵â邹= .纵â ≤ 过邹 dengan â ∼ 棺纵0,1邹, 会能囊 : invers dari fungsi 会纵.邹 寡纵r ′>邹 adalah cumulative distribution function (cdf) dari R> ′, yang diperoleh
dari cdf range sampel sebagai berikut 寡纵r′>邹= 寡纵裹>囊,裹>e邹= 揍瓜纵果>e邹租e − 1 − 揍1 − 瓜纵果>囊邹租e. Diketahui bahwa B>~ 棺(0,1), ketika 磺= 0 dan 慌= 1 rata-rata dari n pengukuran
independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga *黔伸 dan R> untuk 轨= 1,2, … independen maka *黔伸 dan R> ′ untuk 轨= 1,2, … juga independen.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi
pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan, Ė> = 晃扑B> + (1 − 晃扑)Ė>能囊 (4.8)
dan â> = 晃莆7> + (1 − 晃莆)â>能囊 (4.9)
dengan Ė难= â难= 0 adalah nilai awal, 晃扑 dan 晃莆 adalah konstanta smoothing.
Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō> diberikan oleh ō> = max走|Ė>|, |â>|奏,轨= 1,2, … (4.10)
Jika ō> positif, grafik EWMA *呻− R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik ō> pada batas pengendali 7.B = Ć纵ō>邹+ ±税�逛r纵ō>邹 . (4.11)
Karena nilai ō> semua positif maka 7.7 = 0.
Dari persamaan (5) cdf dari ō> adalah
瓜纵桂邹= .r纵ō> ≤ 桂邹 = .r纵|Ė>| ≤ 桂 , |â>| ≤ 桂邹 = .r纵|Ė>| ≤ 桂 邹..r纵|â>| ≤ 桂 邹 = .r纵−桂≤ Ė> ≤ 桂). Pr ( −桂≤ â> ≤ 桂邹 = 揍.r纵Ė> ≤ 桂邹− .r纵Ė> ≤ −桂邹租揍.r纵â> ≤ 桂邹− .r纵â> ≤ −桂邹租 = 纂∅足屏弃嫂t卒− 组1 − ∅足屏弃嫂t卒钻嘴纂∅足屏弃涩t卒− 组1 − ∅足屏弃涩t卒钻嘴 = 族2∅足屏弃嫂t卒− 1祖族2∅足屏弃涩t卒− 1祖,
sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō> adalah
归纵桂邹= 瓜′纵桂邹 = 族挠弃嫂t∅足屏弃嫂t卒祖族2∅足屏弃涩t卒− 1祖+ 族挠弃涩t∅足屏弃涩t卒祖族2∅足屏弃嫂t卒− 1祖. Misalkan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka
归纵桂邹= 族挠破∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖+ 族挠魄∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
Nilai ekspektasi dari ō> adalah
Ć纵ō>邹= 董桂 归纵桂邹 圭桂∞难
= 董族挠屏破∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖∞难 圭桂+ 族挠屏魄∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖 圭桂. Misalkan 棍= 屏破 maka
Ć纵ō>邹= 2董揍2棍∅纵棍邹租族2∅足破迫魄卒− 1祖∞难 圭棍+ 族破潜迫魄∅足破迫魄卒祖揍2∅纵棍邹− 1租 圭棍. Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh
Ć纵ō>邹= 瞬挠纵破潜嫩魄潜邹气 .
Dengan mensubtitusikan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka
Ć纵ō>邹= 瞬挠纵弃嫂t潜嫩弃涩t潜邹气 . (4.12)
Diperoleh nilai Ć试ō>挠守 sebagai berikut
Ć试ō>挠守= 董桂挠 归纵桂邹 圭桂∞难
= 董族挠屏潜破 ∅足屏破卒祖族2∅足屏魄卒− 1祖∞难 圭桂+ 族挠屏潜魄 ∅足屏魄卒祖族2∅足屏破卒− 1祖 圭桂. Misalkan 棍= 屏破 maka
Ć试ō>挠守= 董揍2r挠棍挠∅纵棍邹租族2∅足破迫魄卒− 1祖∞难 圭棍+ 族挠破遣迫潜魄 ∅足破迫魄卒祖揍2∅纵棍邹− 1租 圭棍. Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh
Ć试ō>挠守= 挠气族r挠棍逛柜能囊足破魄卒+ 诅r + 滚 棍逛柜能囊足魄破卒阻祖. Dengan mensubtitusikan Ƽ扑> = r dan Ƽ莆>= 滚 maka
Ć试ō>挠守= 挠气族Ƽ扑>挠棍逛柜能囊足弃嫂t弃涩t卒+ 诅Ƽ扑>+ Ƽ莆> 棍逛柜能囊足弃涩t弃嫂t卒阻祖, sehingga
�逛r 纵ō>邹= 挠气族Ƽ挠扑>诅棍逛柜能囊足弃潜嫂t弃潜涩t卒− 1阻+ Ƽ挠莆>诅棍逛柜能囊足弃潜涩t弃潜嫂t卒− 1阻+ Ƽ国>Ƽ过>祖 (4.13)
dengan nilai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
Ƽ挠扑> = 企嫂挠能企嫂侍1 − 纵1 − 晃扑邹挠>市 dan Ƽ过> = 企涩挠能企涩侍1 − 纵1 − 晃莆邹挠>市 dengan 晃扑, 晃莆 adalah konstanta smoothing.
Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali
7.B = 瞬挠纵弃嫂t潜嫩弃涩t潜邹气 + ±瞬挠气族Ƽ挠扑>诅棍逛柜能囊足弃潜嫂t弃潜涩t卒− 1阻+ Ƽ挠莆>诅棍逛柜能囊足弃潜涩t弃潜嫂t卒− 1阻+ Ƽ国>Ƽ过>祖 7.7 = 0.
Diketahui bahwa ō> pada persamaan (4.10) akan semakin besar ketika
proses mean mengalami pergeseran ke atas maupun ke bawah dan atau proses
variansi meningkat atau menurun. ō> akan mengecil ketika proses mean dan proses
variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.
Grafik pengendali ĆĖōB *呻− R memiliki keuntungan dengan transformasi
yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu:
i. Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena
distribusi dari B> dan 7> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika 磺= 0 dan 慌= 1.
ii. Grafik pengendali tunggal dibentuk untuk memonitor baik proses mean dan
proses variansi karena B> dan 7> memiliki distribusi yang sama, ketika 磺= 0 dan 慌= 1.
4.2.1 ARL (Average Run Length)
Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada
umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel
yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar
kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan .纵R± = 诡邹= 纵1 − 国邹瓶能囊国 ,诡= 1,2, …
dengan 国 adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average
Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan
sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan
sebagai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
BR± = Ć(R±)
= ∑ 诡..(R± = 诡)捧瓶妮囊
= 国+ 2国纵1 − 国邹+ 3国纵1 − 国邹挠+ 4国(1 − 国)3 + ⋯
= 国[1 + 2纵1 − 国邹+ 3纵1 − 国邹挠+ 4纵1 − 国邹3 + ⋯ ] = 国∑ 纵柜+ 1邹捧e妮难 纵1 − 国邹e.
Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑ 逛e*e捧e妮难
adalah r > 0 maka fungsi 归纵果邹= ∑ 逛e*e捧e妮难 terdeferensiabel pada 试– r, r守 dengan 归′纵果邹= ∑ 柜逛e*e能囊捧e妮囊 . Sehingga akan diperoleh,
BR± = 扑揍囊能纵囊能扑邹租潜= 囊扑. 4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA 匠伸− 江
Grafik pengendali ĆĖōB *呻− R dapat dibentuk dari langkah-langkah
berikut: i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi
dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan 幌难 diestimasi
dengan rumus *深= ∑ 撇砷呻呻呻屏屏>妮囊 dan standar deviasi Ƽ难 diestimasi dengan rumus 片呻聘潜= ∑ 片t纵屏聘潜邹屏>妮囊 dimana 圭挠= 圭挠纵柜呻邹 柜呻= 族纵e前嫩⋯嫩e三邹屏 祖
dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.
ii. Memilih nilai 晃扑, 晃莆, ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-
masing sampel dengan Ė难= â难= 0 untuk nilai awal.
iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).
iv. Menggambarkan sampel i ketika ō> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses
berada dalam batas pengendali. Ketika ō> ≥ 7.B dicek apakah |Ė>| =|晃扑B> + 纵1 − 晃扑邹Ė>能囊| dan |â>| = |晃莆7> + 纵1 − 晃莆邹â>能囊|. Jika |Ė>| > 7.B
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
dan B> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B> < 0 berarti proses
mean menurun. Jika |â>| > 7.B dan 7> > 0 berarti proses variansi meningkat
namun bila 7> < 0 maka proses variansi menurun.
v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari
penanganannya.
4.3 CONTOH KASUS
PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan
(AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml.
data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data
berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data
seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data
harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.
1. Uji kenormalan
Dari data sampel tersebut diuji kenormalan, dengan software Minitab 16 for
windows diperoleh
da ta
Pe
rce
nt
240235230225
99,9
99
9590
80706050403020
10
5
1
0,1
M ean
>0,150
232,3S tD ev 3,004N 150KS 0,047P -Valu e
P robabil ity P lot of dataNormal
Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum
Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan 荒= 0.05 sehingga data netto air
minum berdistribusi normal.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
27
Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5)
no sampel *>囊 *>挠 *>3 *>恼 *>闹 *呻 R>
1 230 228 234 234 236 232.4 8 2 228 236 236 230 232 232.4 8 3 232 236 234 234 230 233.2 6 4 236 230 228 234 236 232.8 8 5 228 234 230 230 232 230.8 6 6 238 238 232 230 234 234.4 8 7 230 230 234 230 236 232 6 8 236 230 232 230 236 232.8 6 9 236 234 234 236 230 234 6
10 228 230 236 234 238 233.2 10 11 230 232 232 234 230 231.6 4 12 238 236 230 230 232 233.2 8 13 234 232 230 236 236 233.6 6 14 232 230 230 234 230 231.2 4 15 236 232 234 238 232 234.4 6 16 232 228 234 230 228 230.4 6 17 230 234 228 238 240 234 12 18 228 236 232 234 232 232.4 8 19 234 236 234 230 230 232.8 6 20 232 234 234 230 232 232.4 4 21 226 234 234 230 234 231.6 8 22 228 232 232 232 232 231.2 4 23 232 234 236 236 230 233.6 6 24 230 232 230 232 236 232 6 25 236 230 234 232 230 232.4 6 26 230 228 232 226 228 228.8 6 27 234 232 230 236 238 234 8 28 234 234 228 238 228 232.4 10 29 228 228 228 228 230 228 2 30 230 234 230 230 232 231.2 4
*深= 232.3067 R呻= 6.4
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
2. Uji independensi
Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak
membentuk pola tertentu. Dari data diperoleh
o b s e r v a s i
da
ta
3 02 52 01 51 050
2 3 5
2 3 4
2 3 3
2 3 2
2 3 1
2 3 0
2 2 9
2 2 8
p l o t i n d e p e n d e n s i
Gambar 3. Plot independensi data netto air minum
Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.
4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean
Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses
mean sebagai berikut
2 82 52 21 91 61 31 0741
2 3 4 .0
2 3 3 .5
2 3 3 .0
2 3 2 .5
2 3 2 .0
2 3 1 .5
2 3 1 .0
S a m p le
EWM
A __X = 2 3 2 .3 0 7
U C L= 2 3 3 .8 5 7
LC L= 2 3 0 .7 5 6
G r a f i k p e n g e n d a l i E W M A X
Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean
Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada
batas pengendali s3 tidak ada pola tren sedangkan untuk BPA 4.2332 =s tidak
ada titik yang di luar batas, untuk BPB 12.2312 =s terdapat 1 titik yang barada di
luar batas s2 yaitu data ke 29, untuk BPA 87.2321 =s terdapat 4 titik berada di
luar batas 1Ƽ tetapi tidak berurutan yaitu data ke 9,10,13,15, dan untuk BPB
8.2311 =s ada 3 titik yang berada di luar batas s1 yaitu data ke 28, 29, 30,
maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
29
4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi
Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk
proses variansi sebagai berikut
BPA = 8.632
BPB = 0
Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi
Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali
dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih
terkendali.
4.3.3 Grafik pengendali EWMA RX -
Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA RX -
a. Estimasi nilai mean adalah 幌难碎 = *呻呻= 232.3067,
estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ难碎 = 片呻聘潜= 2.恼挠.挠32= 2.7515.
b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk
kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et
al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA *呻− R biasanya dipilih nilai ARL
pada kondisi terkendali BR±难= 250 dan 纵磺,慌邹= 纵0.25, 1.5邹. kemudian
dipilih konstanta smoothing 纵晃扑,晃莆邹= 纵0.3,0.3邹 dan nilai ± = 3.13.
c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *>凭 mengikuti
distribusi normal, 棺纵232.3067 ,2.7515邹 untuk 轨= 1,2, … ,15 dan 鬼=1, 2, . . ,5. Diasumsikan 瓜纵.邹 adalah fungsi distribusi dari *>凭 dan 光>凭= 瓜试*>凭守 maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel
2.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel *>囊 *>闹 光>囊 光>闹 226 230 0.010607 0.199683 226 232 0.010607 0.455391 228 232 0.057807 0.455391 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 336 0.057807 0.911387 228 336 0.057807 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 232 240 0.455391 0.997529
dengan *>囊 : data terkecil pada sampel ke i
*>闹 : data terbesar pada sampel ke i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
31
光>囊 : nilai CDF data terkecil sampel ke i 光>闹 : nilai CDF data terbesar sampel ke i
Dari persamaan (4.6)-(4.10) maka dapat dihitung nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> diperoleh hasil sebagai berikut
Tabel 3. Nilai B> ,7> ,Ė>,â> dan ō> No sampel B> 7> Ė> â> ō>
1 0.075822 1.00175 0.022747 0.300525 0.300525 2 0.075822 1.00175 0.038669 0.510893 0.510893 3 0.72596 0.13181 0.244857 0.397168 0.397168 4 0.400891 1.00175 0.291667 0.578542 0.578542 5 -1.22445 -0.06093 -0.16317 0.386701 0.386701 6 1.701167 0.5219 0.396132 0.42726 0.42726 7 -0.24925 0.13181 0.202518 0.338625 0.338625 8 0.400891 0.13181 0.26203 0.276581 0.276581 9 1.376098 0.13181 0.596251 0.23315 0.596251
10 0.72596 1.64336 0.635163 0.656213 0.656213 11 -0.57432 -0.73754 0.27232 0.238087 0.27232 12 0.72596 0.5219 0.408412 0.323231 0.408412 13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197 14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023 15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066 16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885 17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884 18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713 19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242 20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161 21 -0.57432 0.1827 0.003833 0.120545 0.120545 22 -0.89938 -1.37094 -0.26713 -0.3269 0.3269 23 1.051029 0.13181 0.128316 -0.18929 0.18929 24 -0.24925 0.13181 0.015047 -0.09296 0.09296 25 0.075822 0.13181 0.03328 -0.02553 0.03328 26 -2.8498 -1.14523 -0.83164 -0.36144 0.83164 27 1.376098 0.5219 -0.16932 -0.09644 0.16932 28 0.075822 -0.06093 -0.09578 -0.08578 0.09578 29 -3.49994 -2.91195 -1.11703 -0.93363 1.11703 30 -0.89938 -0.73754 -1.05173 -0.87481 1.05173
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
32
Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai 1708.1=BPA dan 0=BPB sehingga
dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.
Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA RX - untuk data netto air minum
Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B = 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di
luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada
di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa
prosesnya masih terkendali.
Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi
mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali
EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7 = 230.756,
untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B = 8.632 dan 7.7 = 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA RX - diperoleh 7.B = 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA RX - memiliki
lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali
EWMA RX - lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali
EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.
BPB = 0
BPA = 1.1708
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
BAB V
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat
diambil adalah sebagai berikut
1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean
a) Untuk > kecil
ò. = 幌难+ y)顺 晃(2 − 晃)
剐馆= 幌难
ò.ò = 幌难− y)顺 晃(2 − 晃)
b) Untuk > besar ò. = 幌难+ y)顺 晃(2 − 晃)揍1 − (1 − 晃)挠平租 剐馆= 幌难 ò.ò = 幌难− y)顺 晃(2 − 晃)揍1 − (1 − 晃)挠平租
2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah ò. = )难瞬举潜扫,汕潜世剖
ò.ò = )难顺举挠剖,囊能(崎挠世)郭
3. Batas pengendali untuk grafik pengendali em v呻− 观 adalah
ò. = 顺2纵)扑平挠+ )莆平挠邹挥+ y顺2挥纂)挠扑平醉棍逛柜能囊组)挠扑平)挠莆平钻− 1最+ )挠莆平醉棍逛柜能囊组)挠莆平)挠扑平钻− 1最+ )国平)过平嘴 ò.ò = 0.
33
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL yang sama, grafik
pengendali em untuk memonitor proses mean dan variansi secara
bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu
prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali em v呻− 观 untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-
sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara
terpisah.
5.2 Saran Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan
peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses
yang telah terkendali.
34