Estimación Diferencia de dos medias Estimación de muestra pequeña: distribución t Estimación...
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Estimación
Diferencia de dos medias Estimación de muestra pequeña: distribución t Estimación de proporciones Estimación de la varianza de una población normal
Diferencia de dos medias Comparemos dos medias de población calculando su
diferencia Un valor estimado razonable es la diferencia entre las
medias muestrales
),(
),(
2
22
22
1
21
11
2121
nNX
nNX
XX
Independencia del muestreo
2
22
1
21
21
2121
22
212121
)var(
)var()var()var(
)var()var()var(
)()()(
)()()(
nnXX
XXXX
YbXabYaX
XEXEXXE
YbEXaEbYaXE
Combinación lineal de dos v. aleatorias X e Y
MEDIA
VARIANZA
TEOREMA:Si X e Y son normales, entonces cualquier combinación lineal Z= a X+ b Y también es una var. aleatoria normal
2
22
1
21
2121 ,)(nn
NXX
Intervalo de confianza para la diferencia entre medias
2
22
1
21
2121
2
22
1
21
2121
96.1)(
,)(
nnXX
:confianza de 95% con intervalo
nnNXX
Estimación de muestra pequeña: la distribución t
Se supone que las poblaciones originales son normales
n<30 Conocida:
s: desviación standard de la muestra Desconocida:
σ: desviación standard de población
Para muestras grandes, el intervalo de confianza del 95% es:
n
szX 95.0
A cuánto se tiene que aumentar el valor estimado del intervalo para muestras pequeñas?
La Distribución t
ns
Xt
n
XZ
Student de t variablela introduce se
:adaestandariz normal variablela construye se
Comparación entre la distribución normal standard y la t
Grados de libertad de un estadístico Se define como el número de observaciones
independientes en la muestra N menos el número k de parámetros en la población, el cual debe ser estimado de las observaciones de la muestra.
1
ón tdistribuci la para
..
N
kNfd
Intervalo de confianza del 95%
libertad de grados 1con
superior extremo elen
adprobabilid de 2.5% deja que crítico valor el es
025.0
n-
tn
stX
Puntos críticos
Diferencia entre dos medias- (µ1 - µ2) Muestras independientes
Se supone que las dos poblaciones tienen: Medias diferentes Varianza común σ2
Si se conoce σ2 puede usarse:
Si se desconoce, hay que calcularla.
21
2121
1196.1)(
nnXX
La estimación apropiada consiste en sumar todas las desviaciones cuadráticas de ambas muestras y después dividirlas entre los d.f. (n1-1)+ (n2-1), para obtener un estimador no sesgado.
2
11
2
1
21025.0
21025.0212
2
1
2
122
2
111
21
221
nn d.f. con crítico valor el es t
nnstXX
:95% del confianza de intervalo
2 muestra la en nobservació ésima-i X
1 muestra la en nobservació ésima-i X
XXXXnn
s
:es conjunta muestral varianza la
P1
i
i
n
ii
n
iiP
Se requiere el uso de la distribución t
Ejemplo: extracción y análisis de dos grupos de calificaciones en dos grupos numerosos
1175
584186398
)234(
1
2
1
2
2
122
2
111
21
221
P
n
ii
n
iiP
s
XXXXnn
s
Se calcula el intervalo de confianza del 95%:
1.210.143
1
4
111757.20.600.74
11
2
2
21025.0212
1
1
P1 nnstXX
• La gran diferencia entre medias muestrales queda oscurecida por una tolerancia de error de muestreo aún más grande
• Esta tolerancia es consecuencia de la pequeñez de las muestras
•Este procedimiento requiere:
•muestras independientes (no considerar alumnos que estudian juntos)
•que la varianza de las calificaciones sea la misma en los dos cursos
Diferencia entre dos poblaciones(muestra única)
libertad de grados 1con superior extremo
elen adprobabilid de 2.5% deja que críticovalor :
025.0
21
n-
tn
stD
XXD
D
Estimación de proporciones
población de proporción :
superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :z
)1(zP
95% del confianza de intervalo
1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P
grande) ( grandes Muestras
0.025
0.025
n
PP
n
Estimación de proporciones
n
PP
nPP
n
198.0P
muestreo de a tolerancila de máximo valor :41
)1(
superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :1.96t
)1(tP
95% del confianza de intervalo
1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P
)100(50 grandes temedianamen Muestras
0.025
0.025
Muestras pequeñas: gráficos
Diferencia entre dos proporciones
superior extremo elen adprobabilid de 2,5% deja que crítico valor :1.96t
)1()1(t)P()(
95% del confianza de intervalo
1-0población una de extraída muestral media- muestral proporción :P
grandes Muestras
0.025
2
22
1
110.0252121
n
PPn
PPP
Estimación de varianza de una población normal
muestra la de standard desviación :s
población la de standard desviación :
modificada cuadrado chi variablede Def.
2
22
s
Distribuciones de Ҳ2 modificada
Puntos críticos
Intervalo de confianza para σ2
asimétrico confianza de intervalo :nuevo caso325.005.2
10..11 para ejemplo2
22
2975.0
22
2025.0
2
ss
fdn
Cs
Cs
Lectura obligatoria
Teoría de muestreo:
Spiegel págs 161-175 Teoría de muestras pequeñas:
Wonnacott págs 179-198