Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contábeis : volume 2 / ...
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www.EditoraAtlas.com.br
EstatísticaEste volume é uma continuação natural do anterior, onde são enfocados: Estatística Descritiva,
Medidas sobre uma Distribuição, Principais Estimadores e Probabilidades.
O volume 2 conceitua variável aleatória e as principais distribuições de probabilidades necessárias
ao desenvolvimento da Inferência Estatística.
Após alguns comentários sobre Amostragens, apresenta os processos de Estimação por intervalo
e os Testes de Signifi cância para os principais parâmetros de populações.
Finalizando, apresenta alguns testes de Hipótese com base na Curva Característica da Operação. O
objetivo é mostrar a diferença entre testes de signifi cância e testes de hipótese e criar motivação
para o estudo desta importante ferramenta estatística.
APLICAÇÃO
Livro-texto para a disciplina Estatística/Estatística I dos cursos de Economia, Administração de
Empresas, Ciências Contábeis e outros cursos que usam a Estatística como ferramenta de análise.
EconomiaAdministração
Ciências Contábeis
Para os cursos de:
2
EconomiaAdministração
Ciências Contábeis
Para os cursos de:
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM O USO DO EXCEL
Terceira EdiçãoM
edeiros
•
Med
eirosG
onçalves
•
Mu
roloEstatís
tic
a
Estatística
Os autores acumulam larga experiência
no ensino de Matemática, Estatística e
Pesquisa Operacional em cursos superio-
res de Economia, Administração e Ciên-
cias Contábeis.
Ermes Medeiros da Silva é licencia-
do em Matemática pela Faculdade de Fi-
losofi a, Ciências e Letras de Rio Claro-SP.
Elio Medeiros da Silva é bacharel e
licenciado em Matemática pela PUC-SP e
pós-graduado em Matemática Aplicada
pela USP e em Administração de Empre-
sas pela EAESP-FGV.
Valter Gonçalves é graduado em
Ciên cias Econômicas e Administração de
Empresas, pós-graduado em Engenharia
de Produção e Didática do Ensino Superior.
Afrânio Carlos Murolo é graduado
em Matemática, com especialização em
Estatística pela Unicamp, pós-graduado
em Administração de Empresas, Didática
do Ensino Superior e mestre em Engenha-
ria de Produção.
Outros livros dos autorespublicados pela Atlas
• Cálculo básico para cursos superiores
• Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis (vol. 1)
• Matemática: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis (2 volumes)
• Matemática básica para cursos superiores
• Pesquisa operacional: para os cursos de Administração e Engenharia
• Tabelas de estatística
Ermes Medeiros da Si lvaEl io Medeiros da Si lva
Val ter GonçalvesAfrânio Car los Murolo
6468.indd 1 26/09/2011 15:06:20
Ermes MedeirosElio Medeiros
Valter GonçalvesAfrânio Murolo
Estatística 2
Solução dos Exercícios Propostos
São Paulo
Editora Atlas S.A. – 2011
Material de Consulta do Professor
Terceira Edição
Portal Atlas
Índice dos Exercícios
Item 1.3 Exercícios propostos
Exercício 8 ........................ 6
Exercício 9 ........................ 7
Exercício 10 ...................... 8
Item 1.4 Exercícios propostos
Exercício 4 ........................ 9
Exercício 4 ...................... 10
Exercício 5 ...................... 11
Exercício 6 ...................... 12
Exercício 7 ...................... 13
Exercício 7 ...................... 14
Exercício 9 ...................... 15
Item 1.6 Exercícios propostos
Exercício 4 ...................... 16
Exercício 5 ...................... 17
Item 2.2 Exercícios propostos
Exercício 5 ...................... 18
Item 2.3 Exercícios propostos
Exercício 3 ...................... 19
Exercício 4 ...................... 20
Exercício 5 ...................... 21
Exercício 7 ...................... 22
Exercício 8 ...................... 23
Exercício 9 ...................... 24
Exercício 10 .................... 25
Exercício 12 .................... 26
Exercício 13 .................... 27
Exercício 14 .................... 28
Exercício 15 .................... 29
Item 2.4 Exercícios propostos
Exercício 1 ...................... 30
Item 3.7 Exercícios propostos
Exercício 9 ...................... 31
Exercício 10 .................... 32
Item 5.4 Exercícios propostos
Exercício 10 .................... 33
Item 5.5 Exercícios propostos
Exercício 2 ...................... 34
Exercício 3 ...................... 35
Exercício 4 ...................... 36
Exercício 5 ...................... 37
Item 5.6 Exercícios propostos
Exercício 4 ...................... 38
Exercício 1 – Listão ......... 39
Exercício 2 – Listão ......... 40
Exercício 4 – Listão ......... 41
Exercício 5 – Listão ......... 42
Exercício 7 – Listão ......... 43
Exercício 8 – Listão ......... 44
Exercício 9 – Listão ......... 45
Exercício 10 – Listão ....... 46
Exercício 14 – Listão ....... 47
Exercício 17 – Listão ....... 48
Exercício 21 – Listão ....... 49
Exercício 22 – Listão ....... 50
Exercício 23 – Listão ....... 51
Exercício 24 – Listão ....... 52
Exercício 26 – Listão ....... 53
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 4
Exercício 27 – Listão ....... 54
Exercício 30 – Listão ....... 55
Item 6.6 Exercícios propostos
Exercício 5 ...................... 56
Exercício 6 ...................... 57
Exercício 8 ...................... 58
Exercício 10 .................... 59
Item 7.2 Exercícios propostos
Exercício 4 ...................... 60
Exercício 5 ...................... 61
Item 7.3 Exercícios propostos
Exercício 6 ...................... 62
Exercício 8 ...................... 63
Exercício 9 ...................... 64
Item 7.4 Exercícios propostos
Exercício 5 ...................... 65
Exercício 8 ...................... 66
Exercício 9 ...................... 67
Item 7.6 Exercícios propostos
Exercício 9 ...................... 68
Exercício 10 .................... 69
Item 7.7 Exercícios propostos
Exercício 3 ...................... 70
Exercício 10 .................... 71
Item 7.8 Exercícios propostos
Exercício 6 ...................... 72
Exercício 8 ...................... 73
Exercício 9 ...................... 74
Item 7.9 Exercícios propostos
Exercício 3 ...................... 75
Exercício 4 ...................... 76
Exercício 7 ...................... 77
Exercício 8 ...................... 78
Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 5 ...................... 79
Exercício 6 ...................... 80
Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 8 ...................... 81
Exercício 9 ...................... 82
Item 7.11 Exercícios propostos
Exercício 3 ...................... 83
Exercício 6 ...................... 84
Exercício 9 ...................... 85
Item 7.12 Exercícios propostos
Exercício 1 ...................... 86
Exercício 2 ...................... 87
Exercício 3 ...................... 88
Exercício 5 ...................... 89
Exercício 6 ...................... 90
Item 8.3 Exercícios propostos
Exercício 1 ...................... 91
Exercício 3 ...................... 92
Exercício 4 ...................... 93
Exercício 6 ...................... 94
Exercício 8 ...................... 95
Exercício 9 ...................... 96
Item 8.4 Exercícios propostos
Exercício 1 ...................... 97
Exercício 2 ...................... 98
Exercício 3 ...................... 99
Exercício 4 .................... 100
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 5
Exercício 5 .................... 101
Exercício 6 .................... 102
Exercício 7 .................... 103
Exercício 8 .................... 104
Exercício 9 .................... 105
Exercício 10 .................. 106
Item 8.5 Exercícios propostos
Exercício 1 .................... 107
Exercício 3 .................... 108
Exercício 4 .................... 109
Exercício 5 .................... 110
Exercício 6 .................... 111
Exercício 7 .................... 112
Exercício 8 .................... 113
Exercício 9 .................... 114
Exercício 10 .................. 115
Item 8.6 Exercícios propostos
Exercício 2 .................... 116
Exercício 2 .................... 117
Exercício 3 .................... 118
Exercício 4 .................... 119
Exercício 5 .................... 120
Item 8.7 Exercícios propostos
Exercício 1 .................... 121
Exercício 2 .................... 122
Exercício 3 .................... 123
Exercício 4 .................... 124
Exercício 5 .................... 125
Exercício 6 .................... 126
Exercício 7 .................... 127
Exercício 8 .................... 128
Exercício 9 .................... 129
Exercício 10 .................. 130
Item 8.8 Exercícios propostos
Exercício 1 .................... 131
Exercício 2 .................... 132
Exercício 3 .................... 133
Exercício 4 .................... 134
Exercício 5 .................... 135
Exercício 6 .................... 136
Exercício 7 .................... 137
Exercício 8 .................... 138
Exercício 9 .................... 139
Exercício 10 .................. 140
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 6
Item 1.3 Exercícios propostos
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 8
Dados b = bola branca p = bola preta
Urna A contém 3b e 2p Urna B contém 5b e 1p
Solução
Espaço amostral: S ={ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,b b b p p p p b }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
21 2 1
1
21 2 1
1
21 2 1
1
21 2 1
1
5 3 16 5 2
1 3 16 5 101 2 16 5 15
5 2 16 5 3
bP b b P P bb
bP b p P P pp
pP p p P P pp
bP p b P P pp
∩ = = × =
∩ = = × =
∩ = = × =
∩ = = × =
Função de probabilidade ( )
0 1 23 13 1 20 30 2
x
P x
21
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 7
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 9
Dados: b = bola branca A = urna A BA = bola branca da urna A
PA = bola preta da urna A B = urna B BB = bola branca da urna B
vB = bola vermelha da urna B.
Solução
Retirar uma bola da urna A. Espaço amostral: bA, pA, com ( ) 37
P bA = e ( ) 47
P pA = .
Retirar uma bola da urna B, após a transferência: Espaço amostral: bB, pB, vB.
a) A bola retirada da Urna A é branca: b) A bola retirada da urna A é preta
( ) 36
P bB = ( ) 26
P bB =
A probabilidade de ocorrer bola branca é então: ( ) 3 3 2 4 176 7 6 7 42
P bB = × + × =
Função de probabilidade: ( )
0 125 17x 42 42
x
P
10
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 8
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.3 – Ex. 10
Dados: B = peça boa D = peça defeituosa
Na urna: 3 peças boas e duas peças defeituosas
Solução
O experimento encerra quando retiramos a segunda peça com defeito ou quando retiramos a
terceira peça boa, o que ocorrer primeiro. A árvore de decisão pode ser a seguinte:
D BBDD ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10
P BBDD = × × × =
D B BBDB ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10
P BBDB = × × × =
B B BBB ( ) 3 2 1 15 4 3 10
P BBB = × × =
B D B B BDBB ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10
P BDBB = × × × =
D BDBD etc
D BDD
B D DBBD
B DBBB
D B D DBD
D DD
O espaço amostral é equiprovável. A função de probabilidade será, então:
( ) 2 3 4 0,1 0,3 0,6
xP x
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 9
Item 1.4 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 4
Dados: L = lucro por unidade vendida P(V) = expectativa de venda
La = lucro por unidade reaproveitada = Lucro − custo adicional
P(R) = expectativa de reaproveitamento
K = proporção na produção
A, B, C, D = modelos de fralda descartáveis
Solução
A B C D
L 0,04 0,08 0,02 0,10
P(V) 0,70 0,80 0,60 0,60
La 0,02 0,03 0,01 0,06
P(R) 0,30 0,20 0,40 0,40
L . P(V) + La . P(R) 0,034 0,07 0,016 0,084
K 0,50 0,30 0,10 0,10
( ) ( )( ). .K L P V La P R+ 0,017 0,021 0,0016 0,0084
( ) ( ) ( )( ). . 0,048 por unidade vendidaretorno K L P V La P Rµ = + =∑
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 10
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 4
Dados x = número de bolos vendidos no dia
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0,01 1 0,05 x=2 0,20 3 0,30
4 0,29 x=5 0,15
P x P x P P x
P x P
= = = = = = =
= = =
Solução
X 0 1 2 3 4 5
P(x) 0,01 0,05 0,20 0,30 0,29 0,15
Custo 50 50 50 50 50 50
Receita 0 20 40 60 80 100
Lucro 50− 30− 10− 10 30 50
L.P(L) 0,5− 1,5− 2− 3 8,7 7,5
L2 2500 900 100 100 900 2500
L2.P(L) 25 45 20 30 261 375
( ) ( )2 15,2 L 756LP L P LΣ = Σ =
( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2= 15,2 L 756 15,2 524,96L LP L L E E Lµ σΣ = = − = − =
( ) 22,91Lσ =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 11
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 5
Dados: L = lucro na venda do automóvel
Solução
Dia 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª.
Lucro 3.000 1.800 1.080 648 388,80
P(L) 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05
L.P(L) 1.500 540 108 32,40 19,44
L2 9.000.000 3.240.000 1.666.400 419.904 151.165,44
L2.P(L) 4.500.000 72.000 166.640 20.995,20 7.558,27
( ) ( ). 2.199,84L L P Lµ = =∑
( ) ( ) ( ) 22 2 25.617.193,45 2.199,84 777.897,43L E L E Lσ = − = − =
( ) 881,98Lσ =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 12
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 6
Dados: L = lucro no lançamento do produto
Solução
L 100.000 50.000− ∑
P(L) 0,8 0,2
L . P(L) 80.000 10.000− 70.000
L2 10.000.000.000 2.500.000.000
L2 . P(L) 8.000.000.000 500.000.000 8.500.000.000
( ) . ( ) 70.000L L P Lµ = =∑
( ) ( ) ( ) 22 2 2. 8.500.000.000 70.000 3.600.000.000L L P L L P Lσ = − = − =
( ) 60.000Lσ =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 13
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: t = tempo de reparo do trem
Solução
t 5 15 ∑
P(t) 0,4 0,6
t . P(t) 2 9 11
( ) ( ). 11t t P tµ = =∑ minutos
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 14
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 7
Dados: v = vendas por visita
Solução
v 1.000 1.000 1.000 1.000 ∑
P(v) 0,8 0,8 0,8 0,8
v . P(v) 800 800 800 800 3.200
( ) ( ). 3.200v v P vµ = =∑
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 15
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.4 – Ex. 9
Dados: D = número de defeitos v = preço de venda
Solução
D 0 1 2 3 4 ∑
v 10 5 2,5 1,25 0,625
P(D) 0,9 0,05 0,03 0,01 0,01
v . P(v) 9 0,25 0,075 0,0125 0,00625 9,34
( ) ( ). 9,34v v P vµ = =∑
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 16
Item 1.6 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.6 – Ex. 4
Dados: x = peso da caixa de papelão ( ) 200 gramasP x = ( ) 10 gramasxσ =
peso da unidade do produtoiy = ( ) ( )1.000 gramas 5 gramasy yµ σ= =
peso total da caixa cheiaz = i = 1,2,.....6
Solução
( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 1.000 200 6.200 gramasi iz y x y xµ µ µ µ= + = + = × + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 36 36 25 100 1.000 gramasi iz y x y xσ σ σ σ= + = + = × + =
( ) 31,62 gramaszσ =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 17
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 1.6 – Ex. 5
Dados: x = custo unitário ( ) 5 ( ) 0, 20x xµ σ= =
P = preço unitário ( ) 20 ( ) 1,5p pµ σ= =
Cf = custo fixo = 10.000
Solução
a) Custo 1.000 10.000 (Custo) 1.000 ( ) 10.000 15.000x xµ µ= + = + =
2 2 2(Custo) 1.000 ( ) 40.000xσ σ= =
(Custo) 200σ =
b) Receita 1.000 (Receita) 1.000 ( ) 20.000p pµ µ= = =
2 2 2(Receita) 1.000 ( ) 225.000pµ σ= =
(Receita) 1.500σ =
C) ( )Lucro 1.000 1.000 10.000 (Lucro) 1.000 ( ) ( ) 10000 5.000
p xp xµ µ µ
= − −
= − − =
2 2 (Lucro) (Receita Custo) 225.000 40.000 265.000 (Lucro) 1.513,27
σ σσ
= − = + ==
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 18
Item 2.2 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição de Bernoulli 2 ( ) 0, 24xσ = ( ) 0,5xµ >
Solução
2 ( ) 0, 24 1 1x p q p q q pσ = × = + = ⇒ = −
Substituindo: ( ) 21 0,24 ou 0, 24 0 0,4 ou 0,6p p p p p p− = − + − = ⇒ = =
Como ( ) 0,5 , a solução é ( ) 0,6x p xµ µ= > =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 19
Item 2.3 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 3
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = valorizar ( ) 0, 4P S =
F = desvalorizar ou ficar estável ( ) 0,6P F =
Solução
a) ( )10 0,0001 (Tabela ou função da tabela Excel com 10 e 0, 4)P x n p= = = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 9 10 0,123 (Tabela ou função da tabela Excel)P x P P P≥ = + + =
c) ( )0 0,06 (Tabela ou função da tabela Excel)P x = =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 20
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 4
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = com defeito ( ) 0,30P S =
F = sem defeito ( ) 0,70 4P F n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0,3483 (Tabela ou função Excel)P x P x P x≥ = − = − = =
b) ( ) ( )1 2 0,3483P x P x> = ≥ =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 21
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = defeito ( ) 0,02P S =
F = sem defeito ( ) 0,98 25P F n= =
Solução
( ) 2 23252 0,02 0,98 0,0754
2P x
= = × × =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 22
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 7
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = não comparecer ( ) 0,1P S =
F = comparecer ( ) 0,9 22P F n= =
Solução
a) ( )1 0,3392P x ≤ =
b) ( )3 0,2080P x = = (Tabela ou função Excel)
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Exercício 8
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Item 2.3 – Ex. 8
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = candidato experiente
F = candidato não experiente
Solução
Expectativa de não ocorrer candidato experiente: ( ) ( )100100 1 0,9
0P x p p
= = − =
⇒ ( )101 0,9 0,0105p p− = ⇒ = .
Neste caso, ( ) 1 0,0105 0,9505P F q= = − = .
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 9
Dados: x = variável com distribuição normal
S = um acidente por dia ( ) 0,25P S =
F = nenhum acidente por dia ( ) 0,75P F =
Lucro por atendimento = 350
Tempo parado para retificar = 6 dias Tempo parado para trocar = 1 dia
Solução
Expectativa de ganho em cinco dias = 0,25 350 5 437,50× × =
Diferença de custo caso use a retífica = 500,00
Portanto ele deve usar a retífica, pois a expectativa de ganho em cinco dias de trabalho (usando a troca), não compensa a diferença de custo.
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Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 10
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = ser recebido ( ) 0,80 6P S n= =
Solução
a)( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6
0, 24576 0,393216 0,262144 0,9011P x P x P x P x≥ = = + = + = =
= + + =
b) ( )6 0,2621P x = =
c) ( )0 0,0001P x = =
(Use Tabela ou DISTRIBINOM do programa Excel)
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Exercício 12
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 12
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = cheque com problema ( ) 0,12P S =
F = cheque bom ( ) 0,88 10P F n= =
C = custo da mercadoria L = Lucro na venda
Solução
a) ( ) 0 10100 0,12 0,88 0,2785
0P x
= = × × =
b) ( ) 5 055 5 0,12 0,88 0,000025
5n P x = = = × × =
c) 0,5 pago 0,3L C=
com problema
Cheque 0,12 0,5 não pago L C= −
0,88
bom 0,3L C=
dinheiro 0,3L C=
c1) aceitando pagamento com cheque
( ) ( )( )
0,3 0, 2 0,8 0,12 0,3 0,5 0,5 00 0,88 0,3
0,2376
E L C C C C
E L C
= × + × − + × =
C2) não aceitando cheque para pagamento
( ) 0,75 0,3 0,225E L C C= × =
Conclusão: A esperança de lucro no caso de aceitar pagamento com cheque é maior do que ocorre quando o cheque não é aceito. O pagamento com cheque deve ser mantido.
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Exercício 13
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 13
Dados : x = variável com distribuição binomial
S = cliente com depósito na fila
n = 9
Solução
P(S) = probabilidade de um cliente ter depósito a fazer e de não ter hábito de usar o caixa automático para depósitos.
Portanto, ( ) 0,2 0,7 0,14P S = × =
( ) ( ) 0 991 1 0 1 0,14 0,86 0,7427
0P x P x
≥ = − = = − × × =
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Exercício 14
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Ex. 14
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = fazer pergunta ( ) 0,20P S =
30 minutos = tempo destinado a respostas
5 minutos = tempo para cada resposta
Solução
a) Ocorrer no máximo duas perguntas sem resposta, significa ocorrer no máximo oito perguntas, pois a capacidade de respostas é de seis em 30 minutos.
( ) ( ) ( ) ( )8 0 1 ... 8 0,9532P x P x P x P x≤ = = + = + = =
b) ( )6
06 0,2 0,8 0,9i n i
i
nP x
i−
=
≤ = × × =
∑
O número máximo é de 20 pessoas (Acompanhe na tabela ou simule na função DISTRIBINOM do Excel, com Núm_s = 6, Tentativas = simular, Probabilidade_s=0,20, cumulativo =verdadeiro ).
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Exercício 15
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 2.3 – Exercícios propostos Ex. 15
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = completar a ligação ( ) 0,70P S = n = 3
Solução
10 1: vai telefonar
3 5 0,5 2: não vai telefonar
1 0,973 6 0,5 20 3: completa a ligação
4 0,027 4: não completa
2 5 15 5: ônibus espera
0,5 6: não espera
6 0,5
25
Obs. A probabilidade de o ônibus esperar é 0,50, pois não temos nenhuma informação a respeito deste fato.
A probabilidade de a garota completar a ligação é:
( ) ( )1 1 0 1 0,027 0,973P x P x≥ = − = = − = (veja Tabela ou DISTRIBINOM do Excel)
Calculando-se com auxílio da árvore de decisão a expectativa de custo caso ela vá telefonar, obtemos:
( ) ( )10 20 0,5 0,973 15 25 0,5 0,027 15,135+ × × + + × × =
Caso ela não vá telefonar, o custo é 15, menor que no caso anterior.
Conclusão: não deve ir telefonar
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Item 2.4 Exercícios propostos
Exercício 1
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Item 2.4 – Exercícios propostos Ex. 1
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = carro roubado ( ) 0,035 100P S n= =
Solução
a) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + = .
Como 30 e 0,05n p> < , usaremos a aproximação de Poisson.
3,5λ = roubos para 100 carros
( )3,5 03,50 0,0302
0!eP x− ×
= = =
( )3,5 13,51 0,105
1!eP x− ×
= = =
( )3,5 23,52 0,0,1850
2!eP x− ×
= = =
Portanto, ( )2 0,3209P x ≤ =
b) Prejuízo equivale a mais de 10 carros roubados.
( )10 0,001P x > = ( Tabela ou DISTRBINOM do Excel)
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Item 3.7 Exercícios propostos
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 9
Dados: ( )Cov , 0,02x y = −
x y 2 3 4 a 0,2 5 0,3 b
Solução
x y 2 3 ( )iP x n=
4 a 0,2 0,2 a+ 5 0,3 b 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a+ 0,2 b+
1) 0,2 0,3 1 0,5 ou 0,5a b a b b a+ + + = ⇒ + = = −
( ) ( ) ( )4 0,2 5 0,3E x a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 4,8b a x a= − = −
( ) ( ) ( )2 0,3 3 0,2E y a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 2,7b a y a= − = −
2) ( ) 8 15 5,4E x y a b= + + . Como ( )0,5 então, E 12,9 7b a x y a= − = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 7 15 5,4 4,8 2,7 0,02Cov x y E x y E x E y a b a a= − = + + − − − = −
Então, 2 0,5 0,06 0,02 0,1 0, 4 ou 0, 4 0,1a a a e b a e b+ − = − ⇒ = = = =
.x y 8 10 12 15 ( )P x y a 0,3 0,2 b
( )x y P x y⋅ 8 a 3 2,4 15 b
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Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 10
Dados: ( , ) 0,344x yσ = −
Solução
x y
1 3 5 ( )iP x x=
2 0,1 a 0,3 0,4 a+ 4 0,2 b 0,1 0,3 b+
( )jP y y= 0,3 a b+ 0,4
Do quadro, 0,7 1 0,3a b b a+ + = ⇒ = − . Mas ( ) ( ),, 0,344
( ) ( )Cov x y
x yx y
ρσ σ
= = −
x y⋅ 2 4 6 12 10 20 ∑ ( )x yσ ⋅ 0,1 0,2 a b 0,3 0,1
x y⋅ ( )x yσ⋅ ⋅ 0,2 0,8 6a 12b 3 2 6 12 6a b+ + ( )6 12 6 6 12 0,3 6 9,6 6a b a a a+ + = + − + = −
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 0, 4 4 0,3 0,3 3,2 2
0,3 3 0,3 5 0, 4 3, 2
, 9,6 6 3, 2 2 3,2 0,4 0,64
E x a a a
E y
Cov x y a a a
= × + + × + − = −
= + × + × =
= − − − × = −
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
22 2
2 2
222
2
( ) 4 0,4 16 0,6 3,2 2 4 0,8 0,96
( ) 0,3 9 0,3 2,5 0,4 3,2 2,76
0,4 0,64( , ) 0,344
0,4 0,8 0,96 2,76
x a a a a a
y
ax y
a a
σ
σ
σ
= × + + × − − − = − + +
= + × + × − =
−= = −
− + + ×
Assim, 20, 4664282 0,7732858 0,096578 0 0,32 ou 0, 20a a a a− + = ⇒ = =
Como 0,3b a= − , a solução é 0,20 e 0,10a b= =
x y
1 3 5
2 0,1 a 0,3 4 0,2 b 0,1
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Item 5.4 Exercícios propostos
Exercício 10
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Item 5.4 – Exercícios propostos Ex. 10
Dados: x = variável com distribuição normal
( ) ( )60 0,05 45 0,15P x P x> = < =
Solução
1) ( ) ( ) ( )60 0,5 60 0,05 60 0,45P x P x P xµ µ> = − < < = ⇒ < < =
Desta forma, 60 1,64µσ−
= (veja Tabela)
2) ( ) ( ) ( )45 0,5 45 =0,15 45 0,35P x P x P xµ µ< = − < < ⇒ < < =
Assim também, 45 1,04µσ−
= − (veja Tabela)
De 1 e 2 vem: 1,64 60 e 1,04 45σ µ σ µ+ = − + = 2,68 15 =5,597σ σ= ⇒ e 50,82µ =
Portanto ( ): 50,82 ; 31,33x N
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Item 5.5 Exercícios propostos
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 2
Dados: ( ) ( )1 2500 ; 4 5 ; 0, 25x N x N= =
Solução
a) 1 2x x x= + 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 500 5 505x x x x xµ µ µ µ= + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 4 0,25 4,25x x x x xσ σ σ σ= + = + = + = , visto que x1 e x2
são
independentes.
Assim, ( ) 2,06xσ = e ( ): 505 ; 4,25x N
b) ( ) ( )501 0,5 501 505P x P x< = − < <
501 505 1,942,06
z −= = − de onde, ( )501 0,5 0,4738 0,0262P x < = − =
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Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 3
Dados: ( ) ( )1 2230 ; 9 30 ; 25 x N x N= =
Solução
1 220x x x= +
( ) ( ) ( )1 2 1 2
2 2 21 2 1 2
( ) (20 ) 20 ( ) ( ) 20 230 30 4.630
20 400 400 9 25 3.625
x x x x xx x x x
µ µ µ µ
σ σ σ
= + = + = × + =
+ = + = × + =
Portanto, ( ) ( )60,21 e : 4.630 ; 3.625x x Nσ = .
( ) ( )4.660 0,5 4.630 4.660 0,5 0,1915 0,3085P x P x> = − < < = − = (veja Tabela)
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Exercício 4
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Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 4
Dados: ( )1 : 70 ; 225x N
Solução
Carga: 110x x=
( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2 21 1
( ) (10 ) 10 ( ) 10 70 700
10 100 100 225 22.500 x 150
x x xx x x
µ µ µ
σ σ σ σ
= = = × =
= = = × = ⇒ =
Assim, ( ): 700 ; 22.500x N
a) ( ) ( ) 880 700880 0,5 700 880 1, 20150
P x P x z −> = − < < = =
( )880 0,5 0,3849 0,1151P x > = − = (veja Tabela)
b) ( ) 7000,0002 (veja bela) 3, 48 ou 1.222 Kg150
aP x a a−> = ⇒ = =
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Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 5
Dados: ( ) ( )1 2: 60 ; 25 : 26 ; 16x N x N
Solução
Lucro ( )1 21.000L x x= = −
( )1 2 1 2( ) (1.000 1.000 ) 1.000 ( ) 1.000 ( ) 1000 60 26 34.000L x x x xµ µ µ µ= − = − = − =
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 21 2 1 21.000 1.000 1.000 41.000.000L x x x xσ σ σ σ= − = + =
( ) 6.403,12Lσ =
a) 25,5% ( ) 0, 255 60.000 15.300de vendasµ = × =
( ) ( ) ( )15.300 0,5 15.300 34.000 0,5 0 3,28 0,9982P L P L P z> = + < < = + < < =
b) 50% do custo = 0,5 26.000 13.000× =
( ) ( ) ( )13.000 0,5 13.000 34.000 0,5 0 3,28 0,9995P L P L P z> = + < < = + < < =
c) ( ) ( ) ( )0 0,5 0 34.000 0,5 0 5,31 0P L P L P z< = − < < = − < < =
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Item 5.6 Exercícios propostos
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Exercícios propostos Ex. 4
Dados: S = completar a ligação na primeira tentativa
( ) 0,6P S = 42n =
Solução
Cálculo do número mínimo de sucessos: ( )1,5 3 42 90 24x x x+ − = ⇒ =
Portanto 24 ligações do tipo S e 18 ligações do tipo F completam 90 minutos.
a) ( ) ( ) ( )90min 24 24,5 , para usar a normal para aproximarP t P x P x≥ = ≤ ≅ < .
No caso, ( ) ( ): 0,6 42 ; 0,6 0,4 42 : 25,2 ; 10,08N N× × × =
24,5 25,2 0,2210,08
z −= = −
( )90min 0.5 0,0851 0,4149P t ≥ = − = (veja Tabela)
b) ( ) ( ) ( )120min 4 pois 1,5 3 42 120 4P t P x x x x= = = + − = ⇒ =
( ) 4 38424 0,6 0,4 0 ou pela normal
4P x
= = × × =
( ) ( ) ( )4 3,5 4,5 6,8 6,5 0P x P x P z= = < < = − < < − =
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Exercício 1 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 1
Dados: x = variável com distribuição binomial, conta o número de faróis fechados
S = encontrar farol fechado n = 4 ( ) 0,75P S =
Solução
Av 1 Av 2 Av 3 Av 4 Av 5
Posição às 9:50
Solução:
a) Para que o tempo empregado seja no máximo 10 minutos, ele deverá encontrar, no máximo, dois faróis fechados. ( ) ( )10min 2 0,2617 (ver Tabela binomial ou
DISTRBINOM do Excel)P t P x≤ = ≤ =
b) ( ) ( ) ( ) ( )10 13 2 2 3 0,4219 idemP t P x P x P x< < = > − ≤ = = =
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Exercício 2 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 2
Dados: x = variável com distribuição binomial
S = ser imediatamente atendido
( ) 0,20 80P S n= =
Solução
a) ( ) 0, 2 80 16xµ = × =
( )2 0, 20 0,80 80 12,8xσ × × = ( ) 3,58xσ =
b)( )0,25 80 16
0,2080
× −=
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Exercício 4 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 4
Dados:
x =número de carros que chegam em 4 horas ( variável com distribuição Poisson)
8 clientes 4 horasλ =
Solução
a) 3 carros na fila requer 11 chegadas ( )11 0,184P x ≥ = (Tabela ou função
Poisson no Excel)
b) ( )8 . 8, 0,85 0,85
!
xeP xx
λ−
= ⇒ =∑
c) Na tabela ou na Poisson do Excel ( )( )
10 0,8159
11 0,8892
P x
P x
≤ =
≤ =
Para garantir o atendimento, tenho que pensar em 11 carros. Serão 10 carros atendidos e um carro na fila de espera.
Portanto, 4 60 minutos 24 minutos por carro10 carros
t ×= =
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Exercício 5 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição de Poisson
1 defeito 80 metrosλ =
Solução
a) x = mede o número de defeitos em 520 metros da bobina. 520 6,5 defeitos para 520 m do plástico80
λ = =
( )5 = 0,3691P x ≤ (Tabela ou Poisson do Excel)
b) ( ) ( )0.0 0,99 0,99 ln 0,99
0!eP x e
λλλ λ
−−= = = ⇒ = ⇒ = −
0,01λ = defeitos para cada 500 m, ou seja, 1 defeito para cada 50.000 m.
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Exercício 7 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 7
Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
a) Ingredientes na mesma proporção: 1 2 31 1 13 3 3
x x x x= + + .
1 2 31 1 1 200 150 100( ) ( ) 150 por Kg3 3 3 3
x x x x gµ µ + += + + = =
( ) ( )2 2 2 2 21 2 3
1 1 1 1 12 6 10 31,113 3 3 9
x x x xσ σ = + + = + + =
( ) 5,58 g por Kgxσ =
b) Ingredientes na proporção de 2:3:5: 1 2 32 3 510
x x xx
+ +=
1 2 32 3 5 2 200 3 150 5 100( ) ( ) 135 g por Kg10 10
x x xxµ µ
+ + × + × + ×= = =
( )2 2 1 2 32 3 5 4 144 9 36 25 100 3410 100
x x xxσ σ
+ + × + × + × = = =
( ) 5,83 g por Kgxσ =
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Exercício 8 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 8
Dados: x = quantidade de nutriente na mistura
x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.
Solução
X i 200 150 100
( )iP x P1 0,5 –P1 0,5
( ) ( ) ( )1 1200 150 0,5 50 140i iiE x x P x P P= ⋅ = + − + =∑
1 150 15 P 0,30P = ⇒ = e 2 0, 20P =
As proporções são: 3:2:5.
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Exercício 9 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 9
Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )
1
1
( ) 2 defeitos para 1.000 mx 0,4xµ
s=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina ( )
2
2
( ) 3 defeitos para 1.000 mx 0,5xµ
s=
=
Solução
Número de defeitos para rolo de 400 m (200 m cada máquina): 1 20, 2 0,2x x x= +
1 2( ) (0, 2 0,2 ) 0,2 2 0,2 3 1 defeito por rolo de 400 mx x xµ µ= + = × + × =
( )2 2 21 20, 2 0,2 0,04 0,4 0,04 0,5 0,0164x xs + = × + × =
( ) 0,128 defeitos por rolo de 400 mxs =
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Exercício 10 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 10
Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )1
1
( ) 2 defeitos para 1.000 mx 0,4xµ
σ=
=
X2= número de defeitos da segunda máquina ( )2
2
( ) 3 defeitos para 1.000 mx 0,5xµ
σ=
=
Solução
a) Pior especificação: x = 0,4x2
2( ) (0, 4 ) 0,4 3 1,2 defeitos por rolo de 400 mx xµ µ= = × =
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2 22
1 2
1 2
2 2 2 21 2
0, 4 0,4 0,5 0,04 x 0,2 def rolo de 400m
) Especificação: 0,7 0,4 0,3 0,4
( ) (0,7 0,4 0,3 0,4 ) 0,28 2 0,12 3 0,92 def rolo de 400 m
0,7 0,4 0,3 0,4 0,28 0,16 0,12 0,25
x x
b x x x
x x x
x x x
σ σ σ
µ µ
σ σ
= = × = =
= +
= + = × + × =
= + = × + × =
( )
0,016
def0,13 rolo de 400 mxσ =
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Exercício 14 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 14
Dados: x =número de peixes fisgados em um dia (variável com distribuição de Poisson).
( ) 7 peixes por diaxµ λ= =
Solução
( ) ( ) ( )não cumprir 12 1 12 1 0,0532 0,9468P P x P x= < = − ≥ = − = (Tabela ou Excel)
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Exercício 17 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 17
Dados: x = número de crianças com mais de 5 cáries
X = variável com distribuição de Poisson com
( ) 10xµ λ= = crianças com mais de 5 cáries cada 100 crianças
Solução
( )5 0,067P x ≤ = (Tabela ou função Poisson do Excel)
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Exercício 21 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 21
Dados: D = depósito efetuado
D: N (8.000 ; 1.0002)
Solução
a) ( ) ( ) 10.000 8.00010.000 21.000
P saldo positivo P D z −= ≥ = =
( ) ( )10.000 2 0,0228P D P z≥ = > = (veja Tabela ou DIST.NORM do Excel)
b) ( ) ( ) 5.000 8.000débito máximo de 5.000 5.000 31.000
P P D z −= ≥ = = −
( ) ( )5.000 3 0,9986P D P z≥ = > − =
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Exercício 22 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 22
Dados: x = mede o número de chamadas recebidas pela empresa
X = variável com distribuição de Poisson
50( ) 12 10 ligações por 12 minutos60
xµ λ= = × =
Solução
( )12 0,3033P x ≥ = (veja Tabela ou função POISSON no Excel)
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Exercício 23 – Listão
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Item 5.6 – Listão Ex. 23
Dados: ( ): 25 ; 12x N mede a valorização do terreno em %.
( ): 20 ; 4y N mede a valorização do investimento no mercado financeiro em %.
Solução
( ) ( )16 0 2,60 0,5 0,4953 0,5 0,9953P x P z≥ = < < + = + =
( ) ( )16 0 2 0,5 0,4772 0,5 0,9772P y P z≥ = < < + = + =
Nas condições apresentadas, o investimento em terreno é o preferido.
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Exercício 24 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 24
Dados: x = variável normal, representa as vendas por número do calçado, com ( ) 39xµ = .
Solução
Cálculo de ( )xσ para as condições do problema. Para 95% da área sob a curva normal,
devemos ter 1,96z = . Como x assume valores inteiros, devemos ter:
( ) ( )42,5 39 1,96 1,785xx
σσ
−= ⇒ = . Então, ( )2: 39 ; 1,785x N .
Considerando uma área de 70% sob a curva normal, teremos:
35% 1,04z⇒ = . Desta forma, 22
391,04 o que acarreta 40,85
1,785x
x−
= =
35% 1,04z⇒ = − . Desta forma, 11
391,04 o que acarreta 37,15
1,785x
x−
= − = .
Hipóteses para 70% de área, preservando os calçados com números mais vendidos:
1) De 36,5 a 40,5. Área 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 41, 42. 2) De 37,5 a 40,5. Área 60%. Inviável 3) De 37,5 a 41,5. Área de 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 37, 42.
As hipóteses 1 e 3 são soluções para o problema.
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Exercício 26 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 26
Dados: x = representa a medida do molde.
( )2( ) ; 0, 2x N xµ=
Solução
Devemos procurar a média do molde para que 10% das peças moldadas fique acima de 30,5 Cm.
30,5 ( )10% 1,28 ou 1, 28 ( ) 30,2440,2
xz xµ µ−⇒ = = ⇒ =
Assim, o número de peças fundidas deve ser dado por: 30,244 30 61 peças
0,004n −= = .
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Exercício 27 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 27
Dados: vr = velocidade real do carro.
Vl = velocidade mostrada no velocímetro
Solução
Como o velocímetro marca velocidade ( vv) 5% a menos que a velocidade real vr,devemos ter:
0,95vl vr= ou 0,95
vlvr = . Na marca de 98 km/h no velocímetro teremos 98
0,95vr = .
Assim, 2; 20,95
vlvr N =
e no caso, 298 ; 20,95
vr N =
981000,95 1,58
2z
−= =
( ) ( )100 0,5 0 1,58 0,5 0,3413 0,9429P v P z> = + < < = + =
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Exercício 30 – Listão
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 5.6 – Listão Ex. 30
Dados: A primeira opção é formada por 3 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( )1: 1,5 ; 0,25 2 : 2,0 ; 0,16 3 : 0,5 ; 0,01T N T N T N
A segunda opção é formada por 4 trechos com tempos de percurso normais:
( ) ( ) ( ) ( )1: 1,0 ; 0,09 2 : 1,0 ; 0,04 3 : 1,0 ; 0,16 4 : 1,0 ; 0,10T N T N T N T N
Solução
A soma das normais que formam o primeiro trecho ( )1 2 3 : 4 ; 0,42T T T N+ +
A soma das normais que formam o segundo trecho ( )1 2 3 4 : 4 ; 0,39T T T T N+ + +
As opções apresentam a mesma média de 4 horas. Como a segunda opção apresenta menor variabilidade, é a mais confiável.
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Item 6.6 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 5
Solução
Consultando a Tabela para n = 8 graus de liberdade, encontramos o valor 17,53 associado à probabilidade 0,025.
Portanto, ( )2 17,53 1 0,025 0,975P χ ≤ = − =
No Excel a função DIST.QU com os parâmetros X: 17,53 e GRAUS_LIBERDADE: 8,
fornece ( )2 17,53 0,025P χ ≥ =
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Exercício 6
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Item 6.6 – Ex. 6
Solução
Consultando a Tabela para n = 25 graus de liberdade, obtemos na coluna 0,975 o valor
1 13,12K = e na coluna 0,025 o valor 2 40,65K =
No Excel a função INV.QUI fornece os valores com Probabilidade: 0,975 e 0,025 e GRAUS_LIBERDADE: 25
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Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 6.6 – Ex. 8
Solução
Consultando a Tabela para n = 10 graus de liberdade o valor 3,94, obtemos 0,950.
Portanto ( )2 ,94 0,95P χ = . Consultando o valor 20,48 obtemos 0,025. Portanto
( )2 20,48 0,025P χ > = .
Assim, ( )23,94 20,48 0,95 0,025 0,925P χ< < = − =
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Exercício 10
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Item 6.6 – Ex. 10
Solução
Consultando a Tabela da variável normal padrão o valor ( ) 0, 40,P z k< = obtemos o
valor 1,28z = . Portanto, ( )1,28 . 0,10P z > = .
Substituindo na fórmula de 2χ , obtém-se: ( )2
21, 28 2 40 1
51,6962
χ+ × −
= = .
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Item 7.2 Exercícios propostos
Exercício 4
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Item 7.2 – Ex. 4
Dados: x tem distribuição de Poisson com média ( ) 5xµ =
Amostra com 100n = elementos.
Solução
Como ( ) ( )2( ) 5 5 ou seja, 5x x xµ σ σ= ⇒ = =
Assim, ( ) 5x xµ = = e ( ) 5100
xσ =
Fazendo a aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição normal: 5,5 5 2, 24
5100
z −= = .
Procurando na distribuição normal padrão o valor 2,24z = obtém-se 0,4875.
Portanto, ( ) ( )6 0,5 6 0,5 0,4875 0,0125P x P x≥ = − ≤ = − =
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Exercício 5
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Item 7.2 – Ex. 5
Dados: x = variável com distribuição normal, mede o rendimento dos títulos em uma carteira
de investimentos.
( )( ) 0,10 0,02x xµ σ= = Retirada amostra de 40 elementos (n = 40)
Solução
A distribuição amostral das médias de 40 elementos tem:
( ) ( ) 0,10x xµ µ= = e ( ) ( ) 0,02 0,0031640 40x
xσ
σ = = =
Queremos avaliar ( )0,09P x > . Neste caso 0,09 0,10 3,16
0,0240
z −= = −
Consultado a Tabela obtemos ( )0,09 0,4992 0,5 0,9992P x > = + =
(na função DIST.NORMAL do Excel com os parâmetros X: 0,09; Média: 0,10;
Desv_Padrão:0,0316 e Cumulativo: Verdadeiro, obtemos ( )0,09 0,0008P x < = )
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Item 7.3 Exercícios propostos
Exercício 6
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Item 7.3 – Ex. 6
Dados: x = variável com distribuição normal
Amostra com ( ) 2xσ = :
Classes Int classe fi
1 5 7 3 2 7 9 7 3 9 11 10 4 11 13 8 5 13 15 7 6 15 17 5
Solução
448 11,2040
i i
i
x fx
f= = =∑∑
( ) ( )2 2
( ) 1x x
P x z x x zn nα α
σ σµ α
− < < + = −
2 211,20 2,05 ( ) 11,20 2,05 0,9640 40
P xµ − < < − =
( )10,55 ( ) 11,85 0,96P xµ< < =
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Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.3 – Ex. 8
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,90α− =
Solução
1 0,90 1,64zα− = ⇒ =
( ) ( )2 2
( ) 1x x
P x z x x zn nα α
σ σµ α
− < < + = −
0,4 0,42,40 1,64 ( ) 2,40 1,64 0,90100 100
P xµ − < < + =
( ) ( )2,33 ( ) 2,47 0,90P x P xµ< < = =
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.3 – Ex. 9
Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,80α− =
Solução
( ) ( )2 2
( ) 0,80x x
P x z x x zn nα α
σ σµ
− < < + =
1 0,80 1,28zα− = ⇒ =
0,4 0,42,40 1,28 ( ) 2,40 1,28 0,80100 100
P xµ − < < + =
( )2,35 ( ) 2,45 0,80P xµ< < =
Conclusão: O preço máximo deve ser menor que 2,35 um/Kg
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Item 7.4 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.4 – Ex. 5
Dados: População: N=40 máquinas. Amostra: n=5 máquinas
( )4 0,15 4 0,6x xσ= = × = 1 0,98α− =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos usar o fator de correção
( ) ( )2 2
( ) 11 1
x xN n N nP x z x x zN Nn nα α
σ σµ α
− −− < < + = − − −
1 0,98 2,33zα− = ⇒ =
0,6 40 5 0,6 40 54 2,33 ( ) 4 2,33 0,9840 1 40 15 5
P xµ − −
− < < + = − −
( )3,41 ( ) 4,59 0,98P xµ< < =
a) A previsão mínima para o tempo de concerto é de 3,41 h e a previsão máxima é de 4,59 h.
b) Estimativa pontual: 4 40 160× = h
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Exercício 8
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Item 7.4 – Ex. 8
Dados: População: 80 unidades Amostra: 10 unidades 120 .x u m=
1 0,95α− =
( ) 20 . .x u mσ =
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população devemos usar o fator de
correção.
Erro padrão de estimativa:
( )2 1
x N ne zNnα
σ −=
− 1 0,95α− =
1,96z =
20 80 101,96 11,6780 110
e −= =
− ( )120 11,67 ( ) 120 11,67 0,95P xµ− < < + =
( )108,33 ( ) 131,67 0,95P xµ< < =
Se ele pode pagar no máximo 3% do valor dos títulos, com 95% de confiança ele pode
pagar entre 3% de 108,33 = 3,25 e 3% de 131,67=3,95
a) Sim, pode pagar 3,00
b) Não, pois não pode pagar mais que 3,95
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.4 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o tempo de emissão da nota fiscal
População: 100 NF Amostra: 40 NF com 20 minx =
Vamos considerar ( ) 0,30 20 6 minxσ = × ≅ .
Solução
Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos aplicar o fator de correção. Dado 1 0,95α− = , temos
2
1,96zα = . Neste caso, o erro padrão de
estimativa é: ( )
2
6 100 401,96 1,451 100 140
x N ne zNnα
σ − −= = =
− −
( ) ( )20 1,45 ( ) 20 1,45 18,55 ( ) 21,45 0,95P x P xµ µ− < < + = < < =
O tempo médio mínimo para preenchimento manual é de 18,55 min, contra o tempo do computador de 12 min.
O ganho será, portanto 18,55 12 0,353118,55
tGt∆ −
= = = ou 35,31%.
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Item 7.6 Exercícios propostos
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.6 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o preço de venda do produto. Amostra: 40 elementos com 26x = e ( ) 2s x = .
Solução
Para 1 0,90α− = , 0,10; 39 1,68t = . O erro padrão de estimativa é:
( )0,10; 39
21,68 0,5340
s xe t
n= = = .
Portanto, ( ) ( )26 0,53 ( ) 26 0,53 25,47 ( ) 26,53 0,90P x P xµ µ− < < + = < < = .
Como 50% de 25,47 é 12,73, o custo máximo para garantir certamente a viabilidade é de 12,73 u.m.
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Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.6 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o tempo gasto na visita ao cliente
Y = variável normal, mede a venda por cliente visitado
Amostra com 10 elementos de uma população com 65 elementos fornece:
90 s ( ) 13x x= = ( )650 100y s y= =
Solução
Intervalo de confiança de 80% para o tempo médio de visita:
0,1: 9 0,1: 913 65 10 13 65 1090 ( ) 90 0,80
65 1 65 110 10P t x tµ − −
− < < + = − −
( )84,74 ( ) 95,26 0,80P xµ< < =
Intervalo de confiança de 80% para a Vanda média por cliente:
0,1: 9 0,1: 9100 65 10 100 65 10650 ( ) 650 0,80
65 1 65 110 10P t x tµ − −
− < < + = − −
( )609,55 ( ) 690,45 0,80P yµ< < =
Número de clientes visitados por mês na previsão otimista: 80 60 5784,74×
=
Receita no mês com a previsão otimista: 57 690,45 39.355,65× =
Comissão no mês neste caso: 4% 39.355,65 1.574,23de =
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Item 7.7 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.7 – Ex. 3
Dados: x = variável normal População: N = 100 elementos ( ) 4xσ =
Erro padrão de estimativa máximo admitido: 2e =
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
( )
( ) ( ) ( )
22 2
22 2 2 2 2 2
2
2,33 4 100 181 2 100 1 2,33 4
z x Nn
e N z x
α
α
σ
σ× ×
= = =− + − + ×
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Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.7 – Ex. 10
Dados: x = variável normal, mede o rentabilidade de empresas de uma indústria
Amostra de n = 10 elementos fornece: ( )0,05 0,016x s x= =
Erro máximo permitido: 0,01e = Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
( ) 22
2 2, 26 0,016 13,075 ou 14 elementos0,01
t s xn
e
α × × = = =
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Item 7.8 Exercícios propostos
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 6
Dados: x = variável binomial. S = mulher. Amostra de n = 100 elementos forneceu:
ˆ 0, 40p = .
Nível de confiança 1 0,98α− = .
Solução
Para 2
1 0,98 devemos ter 2,33zαα− = = .
a)2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1pq pqP p z p p zn nα α α
− < < − = −
0, 4 0,6 0,4 0,60, 4 2,33 0,4 2,33 0,98100 100
P p × ×
− < < + =
( )0,2859 0,5141 0,98P p< < =
b) Não. A proporção pode ser maior que 50%.
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Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 8
Dados: x = variável binomial. S = bóia com defeito
Amostra de n = 50 bóias de população de N = 2.000 bóias:
Nível de significância: 0,04α =
Solução
Como a proporção de elementos da amostra 50 0,025 0,052.000
nN
= = < , não
usaremos o fator de correção.
2ˆ 0,0450
p = = e 0,022
2,05z zα = =
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1pq pqP p z p p zn nα α α
− < < + = −
0,04 0,96 0,04 0,960,04 2,05 0,04 2,05 0,9650 50
P p × ×
− < < + =
( ) ( )0,0168 0,0968 0,96 ou 0 0,0968 0,96P p P p− < < = < < =
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.8 – Ex. 9
Dados: x = variável binomial
Intervalo de confiança para a proporção de bóias defeituosas ao nível de
confiança de 96%: ( )0 0,0968 0,96P p< < =
Lucro por bóia vendida: 5 u.m.
Prejuízo por bóia vendida com defeito: 3.u.m
Solução
Valor esperado do lucro por bóia na pior hipótese, isto é, assumindo a proporção de defeituosas de 0,0968.
3−
0,0968 3 0,0968 5 0,9032 4,2256− × + × =
0,9032
5
Portanto, o lucro esperado para o lote na visão pessimista é: 2.000 4,2256 8.451,20× = u.m. o que supera a meta de 8.000 u.m.
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Item 7.9 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0, 42p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,06.
Solução
0,022
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
2
22
2 2
ˆ ˆ2,05 0,42 0,58 284,37
0,06
z pqn
e
α
× × = = = ou n = 285 elementos
.
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Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 4
Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.
Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0, 42p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,06.
Solução
Para o nível de confiança 1 0,96α− = , 0,022
2,05z zα = = .
Se não há confiança no resultado do levantamento feito, devemos usar a proporção ˆ 0,50p =
(o que significa sem informação a respeito da proporção de sucessos e, em consequência a maior amostra para o nível de significância adotado).
2
22
2 2
ˆ ˆ2,05 0,50 0,50 291,84
0,06
z pqn
e
α
× × = = = ou n = 292 elementos.
.
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Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial. S = indivíduo com sangue tipo O+.
Amostra de n = 50 elementos forneceu ˆ 0,32p = .
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Erro máximo admitido: e = 0,03.
Solução
Para o nível de confiança de 0,96 teremos 0,022
2,05z zα = = .
Como a amostra representa 50 0,083 0,05600
= > dos elementos da população,
devemos usar o fator de correção.
( ) ( )
2
22
2 2 2
2
ˆ ˆ2,05 0,32 0,38 600 377,47
ˆ ˆ1 0,03 600 1 2,05 0,32 0,68
z pqNn
e N z pq
α
α
× × × = = =− + − + × ×
, ou seja 378
elementos.
.
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Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.9 – Ex. 8
Dados: x = variável Binomial. S = sair face 5 no lançamento do dado
Amostra de n = 10 elementos forneceu a proporção de sucessos :
2ˆ 0,2010
p = = . Nível de confiança: 1 0,90α− = .
Erro máximo permitido 0,02e = .
Solução
Para 1 0,90α− = devemos ter 0,052
1,64z zα = = .
2
22
2 2
ˆ ˆ1,64 0, 2 0,8 1075,84
0,02
z pqn
e
α
× × = = = ou seja n = 1.076 elementos.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 79
Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 5
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 30 elementos forneceu:
( )1 140 2,3x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 30 elementos forneceu:
( )2 250 4, 2x s x= =
Nível de confiança: 0,052
1 0,90 t 1,68tαα− = ⇒ = = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
2,3 4,230 30
2 2 46,062,3 4,230 30
30 1 30 11 1
s sn n
GLs sn n
n n
+ +
= − = − =
+++ ++ +
ou GL = 46
Erro padrão: 2 2
1 2
1 22
s se z
n nα= + = 2 22,3 4,21,68 1,47
30 30+ =
( ) ( )( )( )
1 2
1 2
50 40 1,47 ( ) ( ) 50 40 1,47 0,90
8,53 ( ) ( ) 11,47 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
− − < − < − + =
< − < =
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Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 6
Dados:
x1 = variável normal. Amostra de n1 = 20 elementos forneceu: ( )1 11.000 5x s x= =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 20 elementos forneceu: ( )2 2120 3x s x= =
Nível de confiança: 1 0,95α− = .
Solução
Temos que calcular o número de graus de liberdade da distribuição t:
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
5 320 20
2 2 32,395 320 20
20 1 20 11 1
s sn n
GLs sn n
n n
+ +
= − = − =
+++ ++ +
ou GL = 32
0,052
t 2,04tα⇒ = =
Erro padrão: 2 2
1 2
1 22
s se z
n nα= + = 2 25 32,04 1,82
20 20+ =
( ) ( )( )( )
1 2
1 2
1.000 120 2,66 ( ) ( ) 1.000 120 2,66 0,90
117,34 ( ) ( ) 1.122,66 0,90
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < − < + + =
< + < =
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Item 7.10 Exercícios propostos
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 8
Dados: Q x1 = quantidade de pó de café usada x1 = custo correspondeste do café
Q x2 = quantidade de açúcar usado x2 = custo correspondente do açúcar
Após amostra de 30 elementos foram anotados
Insumos custos
( )( )
1 1
2 2
10 1, 2
13 3
Qx s Qx
Qx s Qx
= =
= =
( )( )
1 1
2 2
0,05 0,006
0,0117 s 0,0027
x s x
x x
= =
= =
Solução
Cálculo do número de graus de liberdade da distribuição t;
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,006 0,002730 30
2 2 41,06 410,006 0,0027
30 3030 1 30 11 1
s sn n
GL GLs sn n
n n
+ +
≅ − = − = ⇒ =
+++ ++ +
Portanto, 0,0025 ; 41 2,02t = .
Erro padrão: e = ( ) ( )2 2 2 2
1 2
1 22
0,006 0,00272,02 0,0024330 30
s x s xt
n nα + = + =
( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0,95P x x e x x x x eµ µ+ − < + < + + =
( )( )
1 2
1 2
0,05 0,0117 0,00243 ( ) ( ) 0,05 0,0117 0,00243 0,95
0,059 ( ) ( ) 0,064 0,95
P x x
P x x
µ µ
µ µ
+ − < + < + + =
< + < =
, é o intervalo de confiança de 95% para o custo do cafezinho.
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.10 – Ex. 9
Dados: Amostra da demanda d: 160, 140, 138, 157, 169, 150
Amostra da produção p: 160, 140, 120, 100, 150, 130
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
Demanda: 904 150,676
idd
n= = =∑ ( )
( )2
2 651,33 130,271 5
id ds d
n
−= = =
−∑
800 133,33
6ip
pn
= = =∑ ( ) ( )22 2.333,33 466,67
1 5ip p
s pn
−= = =
−∑
( ) ( )11,41 21,60s d s p= =
Cálculo dos graus de liberdade:
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
11,41 21,606 6
2 2 8,62 811,41 21,60
6 66 1 6 11 1
s sn n
GL GLs sn n
n n
+ +
≅ − = − = ⇒ =
+++ ++ +
0,052
1,86t tα = = . Erro padrão e =( ) ( )2 2 2 2
1 22
11,41 21,61,86 18,556 6
s d s pt
n nα + = + =
( ) ( )( ) ( ) 1P d p e d p d p eµ µ α − − < − < − + = −
( )150,67 133,33 18,55 ( ) ( ) 150,67 133,33 18,55 0,90P d pµ µ− − < − < − + =
( )1,21 ( ) ( ) 35,89 0,90P d pµ µ− < − < =
O intervalo mostra que não podemos afirmar que a demanda excede a produção em pelo menos 10 unidades.
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Item 7.11 Exercícios propostos
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial S = escolha da marca A de yogurte
X2 = variável binomial S = escolha da marca A de margarina
Amostra de n = 50 elementos mostrou: 1 2ˆ ˆ0, 26 0,30p p= =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
0,052
1,64z zα = =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0, 26 0,74 0,30 0,701,64 0,14750 50
p q p qe z
n nα× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,30 0,26 0,147 0,30 0,26 0,147 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,107 0,187 0,90P p p− < − < =
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Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = usar carro próprio
Amostra 1 de n = 36 elementos fornece: 18ˆ 0,22236
p = =
X2 = variável binomial S = usar carro próprio
Amostra 2 de n = 40 elementos fornece: 28ˆ 0,2040
p = =
Nível de confiança: 1 0,96α− =
Solução
0,022
1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0, 22 0,78 0, 20 0,802,05 0,093936 400
p q p qe z
n nα× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20, 22 0,20 0,0939 0,22 0,20 0,0939 0,96P p p− − < − < − + =
( )2 10,170 0,214 0,96P p p− < − < =
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Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.11 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = cliente da empresa A
Amostra 1 de n = 80 elementos fornece: 126ˆ 0,32580
p = =
X2 = variável binomial S = cliente da empresa A
Amostra 2 de n = 70 elementos fornece: 235ˆ 0,5070
p = =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
0,052
1 0,90 1,64z zαα− = ⇒ = =
Erro padrão: 1 1 2 2
1 22
ˆ ˆ ˆ ˆ 0,325 0,675 0,50 0,501,64 0,1303180 70
p q p qe z
n nα× ×
= + = + =
( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −
( )1 20,50 0,325 0,13031 0,50 0,325 0,13031 0,90P p p− − < − < − + =
( )2 10,045 0,305 0,90P p p< − < =
Nesse nível de confiança, fica claro que a proporção certamente melhorou.
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Item 7.12 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 1
Dados: x = variável normal, mede o número de peças defeituosas com ( )2 16xσ = .
Amostra de n = 51 elementos fornece: ( )2 14s x =
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
Para o nível 1 0,98α− = com n = 51 e Graus de liberdade 1 50n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,98 e GL: 50 21 29,71χ⇒ =
Probabilidade: 0,02 e GL = 50 22 76,15χ⇒ =
( )( ) ( ) ( )( )2 22
2 22 1
1 11
s x n s x nP xσ α
χ χ − −
< < = −
( )214 50 14 50 0,9876,15 29,71
P xσ× × < < =
( )( )29,19 23,56 0,98P xσ< < =
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Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 2
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 4s x =
Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
Para o nível 1 0,95α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 80 21 60,39χ⇒ =
Probabilidade: 0,05 e GL = 80 22 101,89χ⇒ =
( )( ) ( ) ( )( )2 22
2 22 1
1 11
s x n s x nP xσ α
χ χ − −
< < = −
( )216 80 16 80 0,95101,89 60,39
P xσ× × < < =
( )( )212,56 21,20 0,95P xσ< < =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 88
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 3
Dados: x = variável normal, mede a receita das vendas
Amostra de n = 12 elementos fornece: 45 62 ... 60 5212
ixx
n+ + +
= = =∑
e ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 45 52 ... 60 52
59,451 11
ix xs x
n− − + + −
= = =−
∑
Nível de confiança: 1 0,95α− =
Solução
Para o nível 1 0,95α− = com n =12 e Graus de liberdade 1 11n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,975 e GL: 11 21 3,82χ⇒ =
Probabilidade: 0,025 e GL = 11 22 21,92χ⇒ =
( )( ) ( ) ( )( )2 22
2 22 1
1 11
s x n s x nP xσ α
χ χ − −
< < = −
( )259,45 11 59,45 11 0,9521,92 3,82
P xσ× × < < =
( )( )229,84 171,20 0,95P xσ< < =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 89
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede o peso das aves
Amostra de n = 30 aves fornece: ( )1,8 e s 0, 2x Kg x Kg= =
Nível de confiança: 1 0,90α− =
Solução
Para o nível 1 0,90α− = com n = 30 e Graus de liberdade 1 29n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 29 21 17,71χ⇒ =
Probabilidade: 0,05 e GL = 29 22 42,56χ⇒ =
( )( ) ( ) ( )( )2 22
2 22 1
1 11
s x n s x nP xσ α
χ χ − −
< < = −
( )20,04 29 0,04 29 0,9042,56 17,71
P xσ× × < < =
( )( )20,027 0,065 0,90P xσ< < =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 90
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 7.12 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto
Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 0,2s x Kg=
Nível de confiança: 1 0,98α− =
Solução
Para o nível 1 0,98α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela
ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,99 e GL: 80 21 14,26χ⇒ =
Probabilidade: 0,01 e GL = 80 22 49,59χ⇒ =
( )( ) ( ) ( )( )2 2
2 22 1
1 11
s x n s x nP xσ α
χ χ
− − < < = −
( )0,04 29 0,04 29 0,9849,59 14,26
P xσ × ×
< < =
( )( )0,153 0,285 0,98P xσ< < =
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 91
Item 8.3 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 1
Dados: x = variável normal com ( )2 3xσ =
Amostra de n = 20 elementos fornece: 50x =
Nível de significância: 0,10α =
Solução
Teste 0 : ( ) 53: ( ) 53a
H xH x
µµ
= ≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )( ) 50 53 7,75
320
cx xz
xn
µσ− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
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Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal com ( )( ) 6 e 0,5x xµ σ= =
Amostra de n = 15 elementos fornece: 4x = ( ) 1s x =
Nível de significância: 0,05α =
Solução
Teste 0 : ( ) 6: ( ) 6a
H xH x
µµ
= <
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −
( )( ) 4 6 15,49
0,515
cx xz
xn
µσ− −
= = = −
Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
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Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 4
Dados: x = variável normal com ( ) 18xµ =
Amostra: 12 elementos, forneceu 17x = e ( ) 3s x = . Nível de
significância: 0,10α =
Solução
Teste 0 : ( ) 18: ( ) 18a
H xH x
µµ
= ≠
Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 11 retorna o valor 1,80tt = −
( )( ) 17 18 1,15
312
cx xt
s xn
µ− −= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
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Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal
Amostra: 12, 16, 15, 14, 17, 10, 9, 15, 13, 16.
Nível de significância: 0,05α =
Solução
137 13,710
ixx
n= = =∑ ( ) ( )2
2 64,10 7,1221 9
ix xs x
n−
= = =−
∑ ( ) 2,67s x =
Teste 0 : ( ) 15: ( ) 15a
H xH x
µµ
= <
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 9 retorna o valor 1,83tt = −
( )( ) 13,7 15 1,54
2,6710
cx xt
s xn
µ− −= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 95
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 8
Dados: x = variável normal com ( ) 4xµ =
Amostra: 25 elementos, forneceu 5x = e ( ) 1,2s x = . Nível de
significância: 0,05α =
Solução
Teste 0 : ( ) 4: ( ) 4a
H xH x
µµ
= >
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e
Graus_liberdade: 24 retorna o valor 1,71tt =
( )( ) 5 4 4,17
1,225
cx xt
s xn
µ− −= = =
Como c tt t> , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 96
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.3 – Ex. 9
Dados: x = variável normal, mede o IRR do projeto em %.
Amostra de 40 elementos
Nível de significância: 0,05α =
Solução
( ) ( ) 20,70i ix E x P x= =
( ) ( ) ( ) 22 2 432,20 428,49 3,71is x E x E x= − = − = ( ) 1,93s x =
No caso, o pior erro é a taxa ser menor que 21%.
Teste 0 : ( ) 21: ( ) 21a
H xH x
µµ
= <
Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,05 e
Graus_liberdade: 39 retorna o valor e 1,68tt = −
( )( ) 20,70 21 0,98
1,9340
cx xt
s xn
µ− −= = = −
Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
x 18 20 22 24 Soma p(x) 0,2 0,4 0,25 0,15
x.p(x) 3,6 8 5,5 3,6 20,7 x*2.p(x) 64,8 160 121 86,4 432,2
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Item 8.4 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 1
Dados: x = variável binomial S = mulher em cargo administrativo p = 0,15
Amostra de n = 200 elementos obteve: 40ˆ 0,20200
p = =
Nível de significância: 0,05.
Solução
Teste 0` : 0,15: 0,15a
H pH p
= >
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0, 20 0,15 1,98ˆ ˆ 0,15 0,85
200
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a proporção de mulheres
aumentou.
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Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial S = peça defeituosa p = 0,03
Amostra de n = 200 elementos obteve: 8ˆ 0,04200
p = =
Nível de significância: 0,025.
Solução
Teste 0` : 0,03: 0,03a
H pH p
= >
Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975)
ˆ 0,04 0,03 0,83ˆ ˆ 0,03 0,97
200
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a afirmação do vendedor.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 99
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 3
Dados: x = variável binomial S = indivíduo com renda inferior a dois salários mínimos
Amostra de n =60 elementos obteve: ˆ 0, 41p =
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste 0` : 0, 40: 0,40a
H pH p
= >
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0, 41 0,40 0,16ˆ ˆ 0,40 0,60
60
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a porcentagem é ainda de
40%.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 100
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial S = animal morto p = 0,10
Amostra de n = 100 animais forneceu: 4ˆ 0,04
100p = =
Nível de significância: 0,05.
Solução
Teste 0` : 0,10: 0,10a
H pH p
= <
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = − (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,05)
ˆ 0,04 0,10 2ˆ ˆ 0,10 0,90
100
cp pz
pqn
− −= = = −
×
Como c tz z< , rejeitamos a hipótese nula. O índice de mortalidade diminuiu.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 101
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 5
Dados: x = variável binomial S = resposta positiva ao plano de férias p = 0,20
Amostra de n = 50 elementos obteve: 15ˆ 0,3050
p = =
Nível de significância: 0,06
Solução
Teste 0` : 0, 20: 0,20a
H pH p
= >
Ao nível 0,06α = , 1,55tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,94)
ˆ 0,30 0,20 1,77ˆ ˆ 0,20 0,80
50
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 6% podemos afirmar que o
número de respostas favoráveis aumentou.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 102
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = projeto viável p = 0,50
Amostra de n = 31 elementos forneceu: ˆ 0,60p =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste 0` : 0,50: 0,50a
H pH p
= >
Ao nível 0,10α = , 1, 28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,60 0,50 1,11ˆ ˆ 0,50 0,50
31
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de significância de 0,10, a proporção
é ainda de 50%, o que contradiz a expansão da economia.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 103
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 7
Dados: x = variável binomial S = financiamento a pequena empresa p = 0,20
Amostra de n = 40 elementos obteve: 12ˆ 0,3040
p = =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste 0` : 0, 20: 0,20a
H pH p
= >
Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,30 0,20 1,58ˆ ˆ 0,20 0,80
40
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 104
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 8
Dados: x1 = variável binomial S = inseticida eficiente p = 0,70
Amostra de n = 120 elementos obteve: 32ˆ ˆ0,27 0,73120
q p= = =
Nível de significância: 0,025.
Solução
Teste 0` : 0,70: 0,70a
H pH p
= >
Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975)
ˆ 0,73 0,70 0,72ˆ ˆ 0,70 0,30
120
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. A toxicidade está controlada ao nível de 70%.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 105
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 9
Dados: x1 = variável binomial S = pagamento à vista p = 0,76
Amostra de n = 180 elementos obteve: 40ˆ 0,778180
p = =
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste 0` : 0,76: 0,76a
H pH p
= >
Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)
ˆ 0,778 0,76 0,57ˆ ˆ 0,76 0,24
180
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a
política foi bem sucedida.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 106
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.4 – Ex. 10
Dados: x1 = variável binomial S = favorável à pena de morte p = 0,52
Amostra de n = 500 elementos obteve: 280ˆ 0,56500
p = =
Nível de significância: 0,10.
Solução
Teste 0` : 0,52: 0,52a
H pH p
= >
Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)
ˆ 0,56 0,52 1,79ˆ ˆ 0,52 0, 48
500
cp pz
pqn
− −= = =
×
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. A proporção de favoráveis aumentou após a
divulgação do crime.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 107
Item 8.5 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 1
Dados: x1 = variável normal com ( )21 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu 1 32x =
X2 = variável normal com ( )22 5xσ =
Amostra de n = 20 elementos forneceu: 2 33,5x =
Nível de significância: 0,03α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − ≠
Cálculo de tt :
Cálculo de zt . Tabela com 0,0152
2,17z zα = = (ou INV.NORMP, com Probabilidade
0,985)
Cálculo de ct : 1 2
2 21 2
1 2
32 33,5 2,125 520 20
cx x
ts sn n
− −= = = −
++
Como c tt t> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 3%, podemos afirmar que as
populações apresentam a mesma média.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 108
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal
Amostra de n = 25 elementos forneceu: ( )1 150 4x s x= =
X2 = variável normal
Amostra de n = 30 elementos forneceu: ( )2 248 3x s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − ≠
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4 325 30
: 2 2 45,364 325 30
25 1 30 11 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ ++ +
GL = 45
0,05 ; 45 2,01t =
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
50 48 2,064 325 30
cx x
ts sn n
− −= = =
++
Como c tt t> , rejeitamos a hipótese nula. As médias populacionais são diferentes.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 109
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 4
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )1 150.000 4.000x Km s x Km= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )2 253.000 5.000x Km s x Km= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
4.000 5.00040 40
: 2 2 76,234.000 5.000
40 4041 411 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ +
GL = 76
0,05 ; 76 1,67t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
50.000 53.000 2,964.000 5.000
40 40
cx x
ts sn n
− −= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Os pneus usados em ônibus urbanos
desgastam mais rapidamente.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 110
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )1 1166min 23minx s x= =
X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano
Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )2 2151min 16minx s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
23 1610 10
: 2 2 17,623 1610 10
10 1 10 11 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ ++ +
GL = 17
0,05 ;17 1,74t = (Tabela com p = 10 e GL = 17 ou INVT com Probabilidade 0,10 e
Graus_Liberdade 17)
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
166 151 1,6923 1610 10
cx x
ts sn n
− −= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que os
métodos apresentam a mesma eficiência.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 111
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal, mede o consumo dos homens
Amostra de n = 20 homens forneceu: ( )1 1650 60x g s x g= =
X2 = variável normal, mede o consumo das mulheres
Amostra de n = 10 mulheres forneceu: ( )2 235 50x g s x g= =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
1: ( ) ( ) 021: ( ) ( ) 02a
H x x
H x x
µ µ
µ µ
− = − <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
60 5020 10
: 2 2 23,5960 5020 1021 111 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ +
GL = 23
0,10 ; 23 1,32t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
50.000 53.000 2,964.000 5.000
40 40
cx x
ts sn n
− −= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As mulheres consomem mais que a metade
do consumo dos homens.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 112
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 7
Dados: x1 = variável normal, mede o número de cáries dos alunos do grupo tratado com flúor. Amostra de n = 30 alunos forneceu: ( )1 11,8 0,5x s x= =
X2 = variável normal, mede o número de cáries do grupo sem o tratamento. Amostra de n = 500 pneus forneceu: ( )2 22, 2 0,6x s x= =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 0,630 50
: 2 2 72,090,5 0,630 50
30 1 50 11 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ ++ +
GL = 72
0,05 ; 72 1,67t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
50.000 53.000 2,964.000 5.000
40 40
cx x
ts sn n
− −= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que o
tratamento com cloro diminuiu a incidência de cáries.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 113
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 8
Dados: x1 = variável normal, mede o tempo de embalagem manual
Amostra de n = 60 embalagens forneceu: ( )1 14, 2 min 0,5 minx s x= =
X2 = variável normal, mede o tempo de embalagem automático
Amostra de n = 60 pneus forneceu: ( )2 24 min 1, 2 minx s x= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
0,5 1,260 60
: 2 2 79,560,5 1,260 6061 611 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ +
GL = 79
0,025 ; 79 1,99t =
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
4, 2 4 1,190,5 1,260 60
cx x
ts sn n
− −= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Automatizar a embalagem não melhora o
tempo deste serviço.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 114
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 9
Dados: x1 = variável normal, mede o nível de vendas da região com desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1180 30x s x= =
X2 = variável normal, mede o nível de vendas da região sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )2 2170 30x s x= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − >
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 3030 30
: 2 2 6030 3030 30
30 1 30 11 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ ++ +
GL = 60
0,025 ; 60 2,00t =(Tabela com p = 0,05 e GL = 60 ou INVT com Probabilidade 0,05 e
Graus_liberdade 60)
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
180 170 1,2930 3030 30
cx x
ts sn n
− −= = =
++
Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5% podemos afirmar que o
desconto não aumentou as vendas
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 115
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.5 – Ex. 10
Dados: x1 = variável normal, mede o volume de vendas do produto sem desconto
Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1170 30x un s x un= =
X2 = variável normal, mede o volume de vendas após desconto
Amostra de n = 30 pneus forneceu: ( )2 2230 10x un s x un= =
Nível de significância: 0,025α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − <
Cálculo de tt :
2 22 2 2 21 2
1 22 2 2 22 2 2 2
1 2
1 2
1 2
30 1030 30
: 2 2 35,8030 1030 3031 311 1
s sn n
Gls sn n
n n
+ +
− = − =
+++ +
GL = 35
0,025 ; 35 2,03t = −
Cálculo de ct : 1 2
2 2 2 21 2
1 2
170 230 10,3930 1030 30
cx x
ts sn n
− −= = = −
++
Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As vendas aumentaram com o desconto
concedido.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 116
Item 8.6 Exercícios propostos
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de homens que compram o
produto. Amostra de n = 80 homens forneceu: 28ˆ =0,35 80
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de mulheres que compram o
produto. Amostra de n = 100 mulheres forneceu: 40ˆ 0,40
100p = =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0: 0a
H p pH p p
− = − ≠
Para 0,050,10 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1c
p pz
pqn n
−=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 80 0,35 100 0,40 0,3880 100
n p n pp
n n+ × + ×
= = =+ +
0,35 0,40 0,691 10,38 0,62
80 100
cz −= = −
× +
Como 1,69 1,69cz− < < , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa
entre as proporções dois grupos ao nível de 10%.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 117
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 2
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de deprimidos entre motoristas de
taxi. S = motorista de taxi com depressão.
Amostra de n = 20 motoristas forneceu: 10ˆ =0,25 40
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de deprimidos entre pessoas pouco expostas ao trânsito. S = pessoa com depressão
Amostra de n = 10 pessoas forneceu: 8ˆ 0,2040
p = =
Nível de significância: 0,03α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0: 0a
H p pH p p
− = − >
Para 0,030,03 1,88zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1c
p pz
pqn n
−=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 40 0,25 40 0,20 0,22540 40
n p n pp
n n+ × + ×
= = =+ +
0,25 0,20 0,541 10,225 0,77540 40
cz −= =
× +
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de deprimidos dos dois grupos.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 118
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 3
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre fumantes. Amostra de n1 = 50 motoristas forneceu: 18ˆ =0,16
50p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar
entre não fumantes. Amostra de n2 = 80 pessoas forneceu: 26ˆ 0,075
80p = =
Nível de significância: 0,10α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: 0: 0a
H p pH p p
− = − >
Para 0,100,10 1, 28zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1c
p pz
pqn n
−=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 50 0,16 80 0,075 0,1150 80
n p n pp
n n+ × + ×
= = =+ +
0,16 0,075 1,511 10,11 0,89
50 80
cz −= =
× +
Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que o uso
do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 119
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 4
Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de votos no interior
S = voto favorável ao candidato
Amostra de n = 200 eleitores forneceu: 90ˆ =0,45 200
p =
X2 = variável binomial mede a quantidade de votos na capital.
S = pessoa com depressão.
Amostra de n = 100 eleitores forneceu: 40ˆ 0,40
100p = =
Nível de significância: 0,04α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − >
Para 0,040,04 1,75zα = = .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1c
p pz
pqn n
−=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,45 100 0,40 0,4333200 100
n p n pp
n n+ × + ×
= = =+ +
0,45 0,40 0,8241 10,4333 0,5667
200 100
cz −= =
× +
Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as
proporções de eleitores favoráveis ao candidato na capital e no interior.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 120
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.6 – Ex. 5
Dados: x1 = variável binomial, mede a venda de apartamentos entre casados.
S = venda efetiva.
Amostra de n = 200 motoristas forneceu: 25ˆ =0,125
200p =
X2 = variável binomial mede a venda de apartamentos entre solteiros.
S = venda efetiva
Amostra de n = 120 pessoas forneceu: 30ˆ 0,25
120p = =
Nível de significância: 0,05α = .
Solução
Teste 0 1 2
1 2
: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a
H x xH x x
µ µµ µ
− = − <
Para 0,050,05 1,64zα = = − .
1 2
1 2
ˆ ˆ
1 1c
p pz
pqn n
−=
+
onde 1 1 2 2
1 2
ˆ ˆ 200 0,125 120 0,25 0,172100 120
n p n pp
n n+ × + ×
= = =+ +
0,125 0,25 2,871 10,172 0,828
200 120
cz −= = −
× +
Como c tz z< ,rejeitamos a hipótese nula. A proporção de descasados que efetiva a
compra é maior.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 121
Item 8.7 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 1
Dados: x = variável normal
Amostra: n = 25 elementos fornece ( ) 4s x =
Nível de significância: 0,05
Solução
( )( )
20
2
: 15: 15a
H xH x
σσ
= ≠
22 ; 24 ; 0,025 39,36χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,025 e
Graus_liberdade 24)
21 ; 24 ; 0,975 12,40χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,975 e
Graus_liberdade 24)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2
1 25 1 425,6
15n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 21,
2 22,t c tχ χ χ< < , aceitamos a hipótese nula. A variância não se diferencia
significativamente de 15.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 122
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 2
Dados: x1 = variável normal
Amostra: n = 10 fornece ( ) 7s x =
Nível de significância: 0,025
Solução
( )( )
20
2
: 45: 45a
H xH x
σσ
= >
22 ; 9 ; 0,025 19,02χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,025 e
Graus_liberdade 9)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2
1 10 1 79,80
45n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 29 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. A variância não se diferencia
significativamente de 45.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 123
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 3
Dados: x = variável normal em porcentagem
Amostra: n = 10 fornece 8 7 ..... 7,5 7,5
10x + + += =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 8 7,5 ... 7,5 7,5
2,781 9
ix xs x
n− − + + −
= = =−
∑
Nível de significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 6, 25: 6,25a
H xH x
σσ
= <
21, 4,17tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e
Graus_liberdade 9)
( ) ( )( )
( )22
1 2
1 10 1 2,784,00
6,25n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 29 1, tχ χ< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que
o desvio-padrão é menor que 2,5%. O gerente tem razão.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 124
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 4
Dados: x1 = variável normal
Amostra: n = 40 fornece ( )2 6, 4s x =
Nível de significância: 0,05
Solução
( )( )
20
2
: 8, 2: 8,2a
H xH x
σσ
= <
21 ; 39 ; 0,05 25,70χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,95 e
Graus_liberdade 39)
( ) ( )( )
( )22
1 2
1 40 1 6,430,43
8,2n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 239 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. A rede local tem razão ao afirmar que
os preços apresentam grande variação.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 125
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 5
Dados: x = variável normal
Amostra: n = 15 fornece ( ) 2,3s x =
Nível de significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 4: 4a
H xH x
σσ
= >
22 ;14 ; 0,10 21,06χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,10 e
Graus_liberdade 14)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2
1 14 1 2,318,52
4n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 214 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que
a Prefeitura tem razão.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 126
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 6
Dados: x1 = variável normal mede o comprimento das peças
Amostra: n = 20 fornece ( ) 2s x =
Nível de significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 7,84: 7,84a
H xH x
σσ
= <
21 ;19 ; 0,10 11,65χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e
Graus_liberdade 19)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2
1 20 1 29,69
7,84n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 219 2, tχ χ< , rejeitamos a hipótese nula. A variação realmente diminuiu.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 127
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 7
Dados: x = variável normal. Amostra: n = 40 fornece ( )2 6, 4s x = . Nível de
significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 144: 144a
H xH x
σσ
= >
x f x.f ( )2 .ix x f−
50 4 200 1653,772 60 7 420 747,4396 70 8 560 0,888711 80 6 480 560,6705 90 5 450 1933,895
30 2110 4896,667
.70,333
x fx
f= =∑∑
( ) ( )22 .
168,851
x x fs x
f−
= =−
∑∑
,
22 39,08tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,10 e
Graus_liberdade 29)
( ) ( )( )
( )22
1 2
1 30 1 168,8534,00
144n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 229 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que
a variação nas vendas não é maior que a afirmada.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 128
Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 8
Dados: x1 = variável normal mede o peso dos botijões de gás
( )( ) 13 0, 250x Kg x Kgµ σ= =
Amostra: n = 26 fornece ( ) 0,305s x Kg=
Nível de significância: 0,05
Solução
( )( )
20
2
: 0,0625: 0,0625a
H xH x
σσ
= >
22 ; 25 ; 0,05 37,65χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,05 e
Graus_liberdade 25)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2 2
1 26 1 0,30537,21
0,250n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 219 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% de significância,
concluímos que o produto está dentro da especificação.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 129
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 9
Dados: x = variável normal.
Amostra: n = 10 fornece ( ) 1,6s x = . Nível de significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 4, 41: 4, 41a
H xH x
σσ
= <
2;1 4,17tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e
Graus_liberdade 9)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2
1 10 1 1,65,22
4,41n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 29 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que a
política não foi eficaz.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 130
Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.7 – Ex. 10
Dados: x1 = variável normal mede o volume das mercadorias ( ) 12x lσ =
Amostra: n = 25 fornece ( ) 10s x l=
Nível de significância: 0,10
Solução
( )( )
20
2
: 144: 144a
H xH x
σσ
= <
21 ; 24 ; 0,10 15,66χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e
Graus_liberdade 24)
( ) ( )( )
( )2 22
1 2 2
1 25 1 1016,67
12n
n s xx
χσ−
− − ×= = =
Como 2 219 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% de significância
concluímos que a afirmação do funcionário não é correta.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 131
Item 8.8 Exercícios propostos
Exercício 1
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 1
Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 11 fornece ( )1 15s x =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 15 elementos fornece ( )2 10s x = .
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 1 2
2 21 2
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )11 1;15 1 ; 0,05 2,60F − − = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade:
0,05; Graus_liberdade1: 10; Graus_liberdade2: 14)
( )
2
210 ;14 ,15 2,2510cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que as
populações apresentam a mesma variância.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 132
Exercício 2
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 2
Dados: x1 = variável normal.
Amostra: n1 = 11 fornece ( )1 15s x =
x2 = variável normal.
Amostra de n2 = 15 elementos fornece ( )2 10s x = .
Nível de significância: 0,10
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 1 2
2 21 2
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )11 1;15 1 ; 0,10 2,10F − − = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade:
0,10; Graus_liberdade1: 10; Graus_liberdade2: 14)
( )
2
210 ;14 ,15 2,2510cF ==
Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a
variância de 1x é significativamente maior que a variância de 2x .
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 133
Exercício 3
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 3
Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 20 fornece ( )1 8s x =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 9 elementos fornece ( )2 9,6s x = .
Nível de significância: 0,025
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 2 1
2 22 1
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )8 ;19 ; 0,025 2,96F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,025;
Graus_liberdade1: 8; Graus_liberdade2: 19)
( )
2
28 ;19 ,9,6 1,448cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5%, podemos afirmar que as
variâncias são iguais.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 134
Exercício 4
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 4
Dados: x1 = variável normal mede o peso de suínos
Amostra: n1 = 51 fornece ( )1 2, 4s x Kg=
x2 = variável normal mede o peso de suínos
Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 3,1s x Kg= .
Nível de significância: 0,10
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 20 1 2 0 2 1
2 2 2 21 2 2 1
: 0 : 0 ou
: 0 : 0a a
H x x H x xH x x H x x
σ σ σ σσ σ σ σ
− = − = − < − >
( )50 ; 50 ; 0,10 1, 44F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,10;
Graus_liberdade1: 50; Graus_liberdade2: 50)
( )
2
250 ; 50 ,3,1 1,672,4cF ==
Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a
primeira ração é superior à segunda ração.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 135
Exercício 5
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 5
Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 10 fornece ( )1 1, 4s x =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 10 elementos fornece ( )2 0,9s x = .
Nível de significância: 0,10
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 1 2
2 21 2
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )9 ; 9 ; 0,10 2, 44F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,10;
Graus_liberdade1: 9; Graus_liberdade2: 9)
( )
2
210 ;14 ,1, 4 2,420,9cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que as
populações apresentam a mesma variância.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 136
Exercício 6
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 6
Dados: x1 = variável binomial S = atitude favorável ao produto no mercado A
Amostra: n1 = 51 fornece 10ˆ51
p =
x2 = variável binomial S = atitude favorável ao produto no mercado C
Amostra de n2 = 100 elementos fornece 30ˆ
100p = .
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 20 1 2 0 2 1
2 2 2 21 2 2 1
: 0 : 0 ou
: 0 : 0a a
H x x H x xH x x H x x
σ σ σ σσ σ σ σ
− = − = − < − >
( )99 ; 50 ; 0,05 1,39F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,05;
Graus_liberdade1: 99; Graus_liberdade2: 50)
( )21 1 1 1
10 41ˆ ˆ 51 8,03951 51
s x n p q= = × × = ( )22 2 2 2
30 70ˆ ˆ 100 21100 100
s x n p q= = × × =
( )99 ; 50 ,21 2,61
8,039cF ==
Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a
variância dos indivíduos da classe A é menor.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 137
Exercício 7
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 7
Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 31 fornece ( )1 5000s x =
x2 = variável normal. Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 7000s x = .
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 2 1
2 22 1
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )50 ; 30 ; 0,05 1,76F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,05;
Graus_liberdade1: 50; Graus_liberdade2: 30)
( )
2
210 ;14 ,7000 1,965000cF ==
Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que o
primeiro grupo é mais eficiente que o segundo grupo.
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Exercício 8
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 8
Dados: x1 = variável normal mede o tempo para correr 200 m no grupo 1
Amostra: n1 = 21 fornece ( )1 6s x s=
x2 = variável normal mede o tempo para correr 200 m no grupo 2.
Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 4,5s x s= .
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
2 20 2 1
2 22 1
: 0: 0a
H x xH x x
σ σσ σ
− = − >
( )20 ; 50 ; 0,05 1,784F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,05;
Graus_liberdade1: 20; Graus_liberdade2: 50)
( )
2
250 ; 50 ,6 1,777
4,5cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que não
há diferença significativa entre as homogeneidades dos dois grupos.
Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 139
Exercício 9
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 9
Dados: x1 = variável normal mede a TIR do projeto 1
Amostra:
1 21,13i i
i
x fx
f= =∑∑
( ) ( )21 5,57
1i i
i
x x fs x
f−
= =−
∑∑
X2 = variável normal mede a TIR do projeto 2
Amostra:
2 19,50i i
i
x fx
f= =∑∑
( ) ( )22 5,60
1i i
i
x x fs x
f−
= =−
∑∑
Nível de significância: 0,10
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 20 1 2 0 2 1
2 2 2 21 2 2 1
: 0 : 0 ou
: 0 : 0a a
H x x H x xH x x H x x
σ σ σ σσ σ σ σ
− = − = − < − >
( )15 ; 30 ; 0,10 1,72F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,10;
Graus_liberdade1: 15; Graus_liberdade2: 30)
( )50 ; 50 ,5,60 1,005,57cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que não
existe diferença significativa entre as variâncias.
TIR 17 19 21 23 25 Freq 3 7 10 7 4
TIR 15 17 19 21 23 Freq 1 3 6 3 3
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Exercício 10
Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo
Item 8.8 – Ex. 10
Dados: x1 = variável normal mede a TIR do projeto 1
Amostra:
1 8,88i i
i
x fx
f= =∑∑
( ) ( )21 4,94
1i i
i
x x fs x
f−
= =−
∑∑
X2 = variável normal mede a TIR do projeto 2
Amostra:
2 11,68i i
i
x fx
f= =∑∑
( ) ( )22 7,10
1i i
i
x x fs x
f−
= =−
∑∑
Nível de significância: 0,05
Solução
Teste
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 20 1 2 0 2 1
2 2 2 21 2 2 1
: 0 : 0 ou
: 0 : 0a a
H x x H x xH x x H x x
σ σ σ σσ σ σ σ
− = − = − < − >
( )50 ; 50 ; 0,05 1,599F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,05;
Graus_liberdade1: 50; Graus_liberdade2: 50)
( )50 ; 50 ,7,10 1,444,94cF ==
Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que não
existe diferença significativa entre as variâncias.
TIR 5 7 9 11 13 Freq 6 13 15 12 5
TIR 8 10 12 14 16 Freq 10 12 12 10 7