ESTATÍSTICA MULTIVARIADA -...
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2 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variáveis Aleatórias
É uma função que a cada acontecimento ω do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X ().
Ω IR
ω1 x = X(ω1)
3 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variáveis Aleatórias
Exemplo
Experiência Aleatória: Observação das Vendas diárias de uma cadeia de 3 restaurantes.
Espaço de Resultados:
Ω = (v1, v2,v3): vi ≥ 0, i =1,2,3
4 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variáveis Aleatórias
Exemplo
X = Vendas Totais
X(Ω) =xj = v1 + v2 + v3
Y = Vendas Médias
Y(Ω) =yj = (v1 + v2 + v3)/3
Z = …
5 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variáveis Aleatórias
Discretas
Uma V.A. X é discreta se o conjunto de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável
Contínuas
Uma V.A. X é contínua se tomar valores de um intervalo ou de uma colecção de intervalos
6 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Função de Probabilidade
É uma função f que associa a cada valor possível x de X a sua probabilidade f(x) = P[X=x]
Propriedades (V.A. Discreta):
0 ≤ f(x) ≤ 1
∑ f(x) = 1
7 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Função de Probabilidade
Ex.: Lançamento de um Dado
Função de Probabilidade
0
1/6
0 1 2 3 4 5 6 7
8 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Função de Distribuição Acumulada
F(x) = P [X ≤ x]
Propriedades (V.A. Discreta):
0 ≤ F(x) ≤ 1
F(x2) ≥ F(x1) , x2 > x1
lim F(x) = 0
lim F(x) = 1
x→-∞
x→+∞
9 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Função de Distribuição Acumulada
Ex.: Lançamento de um Dado
Função de Distribuição
0
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1
0 1 2 3 4 5 6
10 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Aplicação às V.A. Contínuas
Propriedades da Função de Probabilidade:
V.A. Discreta V.A. Contínua
1. f(x) ≥ 0 1. f(x) ≥ 0
2. ∑ f(x) = 1 2. ∫ f(x) dx = 1
11 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Função de Distribuição Acumulada
Propriedades (V.A. Contínua):
F(x2) ≥ F(x1) , x2 > x1
lim F(x) = 0
lim F(x) = 1
P[x1 ≤ X ≤ x2] = F(x2) - F(x1)
f(x) = dF(X) / dx , se F(X) for derivável
x→-∞
x→+∞
12 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
V.A. Contínuas
Função de Probabilidade
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
Função de Distribuição
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-3 -2 -1 0 1 2 3
13 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Média ou Valor Esperado
Ex.: Nº de Carros vendidos numa semana
x 1 2 3 4 5
f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10
9,210
15
5
14
10
33
10
32
10
11)( XE
)()( xfxXEx
14 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variância
Ex.: Nº de Carros vendidos numa semana
x 1 2 3 4 5
f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10
29,110
1)9,25(...
10
3)9,22(
10
1)9,21()( 222 XVar
)()(])[()( 22 xfxXEXVarx
15 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Revisões de Estatística
Variância
Ex.: Nº de Carros vendidos numa semana
x 1 2 3 4 5
f(x) 1/10 3/10 3/10 1/5 1/10
29,110
1)9,25(...
10
3)9,22(
10
1)9,21()( 222 XVar
)()(])[()( 22 xfxXEXVarx
14,1][2 xVar
16 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Aplicação às V.A. Contínuas
Revisões de Estatística
V.A. Discreta V.A. Contínua
)(xfxx
dxxfx )(
)()( 22 xfxx
dxxfx )()( 22
17 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Distribuição Normal
Notação:
Parâmetros: μ → média
σ2 → variância
Funções:
F(X) : não tem expressão algébrica → tabelas
Revisões de Estatística
X ~ N (µ, σ)
21 X
2
2
1f(X) e
2
f(x)
x
18 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Padronização
Revisões de Estatística
11 1
1
1
X xF(X ) P X x P
xP Z
x
* onde Z ~ N (0, 1) é a Normal Padrão
e a distribuição da Normal Padrão
19 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Operações com a Normal
Sendo X e Y duas variáveis aleatórias com distribuição Normal independentes:
Revisões de Estatística
2
X XX N( , )
2
Y YY N( , )
2 2
X Y X Y(X Y) N( , )
20 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Operações com a Normal
Se tivermos uma família de variáveis Xi com distribuições normais e independentes:
Revisões de Estatística
2
i i iX N( , ) , i 1, ... ,m
m m m2
i i i
i 1 i 1 i 1
X N ( , )
m m m
2 2
i i i i i i
i 1 i 1 i 1
a X N ( a , a )
22 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Revisões de Estatística
POPULAÇÃO AMOSTRA
PARÂMETRO ESTIMADOR
Inferência Estatística
23 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Revisões de Estatística
PARÂMETRO
ESTIMADOR
ESTIMATIVA
24 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Revisões de Estatística
POPULAÇÃO AMOSTRA
2 3
4 5
25 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Revisões de Estatística
(2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
AMOSTRAS
2 2,5 3,0 3,5
2,5
3 3,5 4
3 3,5 4 4,5
3,5 4 4,5 5
MÉDIAS AMOSTRAIS
_ E[X] = 3,5 = µ
26 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Revisões de Estatística
X ~ N (µ, σ)
X ~ N (µ, σ2/n)
27 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Média Populacional (µ)
Variância Populacional (σ2) Conhecida
Revisões de Estatística
Z = X - µ
σ/√n
~ N (0, 1)
28 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Média Populacional (µ)
Variância Populacional (σ2) Desconhecida
X - µ
s’/√n
~ tn-1
Revisões de Estatística
T =
29 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Diferença de Médias (µx-µy)
Variâncias Populacionais (σx2, σy
2) Conhecidas
2 20 , 1
X Y
X Y
X Y
X YN
n n
Revisões de Estatística
30 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Diferença de Médias (µx-µy)
Variâncias Populacionais (σx2, σy
2) Desconhecidas
Se σx2 = σy
2
Revisões de Estatística
( 2)
1 1X Y
X Y
n n
p
X Y
X Yt
sn n
2 2 2 22
( ) ( ) ( 1) ( 1)
2 2
i i X X Y Yp
X Y X Y
x X y Y n s n ss
n n n n
31 TIAGO TARRÉ ESTATÍSTICA MULTIVARIADA
Inferência Estatística
Diferença de Médias (µx-µy)
Variâncias Populacionais (σx2, σy
2) Desconhecidas
Se σx2 ≠ σy
2
Revisões de Estatística
( 2)
2 2 X Y
X Y
n n
X Y
X Y
X Yt
s s
n n