Estatística Geral Ferramentas Matemáticas usadas em Probabilidade (Análise Combinatória)...
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Estatística GeralEstatística GeralFerramentas Matemáticas usadas em Ferramentas Matemáticas usadas em
ProbabilidadeProbabilidade(Análise Combinatória)(Análise Combinatória)
ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMT
Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de Oliveira
BibliografiaCap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística. Cap. XXVI –Dante, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações . Cap. VI – Spiegel, M. R.Estatística.
Análise CombinatóriaIntrodução
Analise a seguinte situação-problema:– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas
diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)?
Resposta Geral: Problemas como estes constituem o que chamamos de PROBLEMAS DE CONTAGEM
Princípio da multiplicação (princípio fundamental da contagem)
Analise a seguinte situação-problema:– Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São
Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
– Resposta Geral: Dizemos que a viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto de DUAS ETAPAS SUCESSIVAS E INDEPENDENTES
Análise CombinatóriaESQUEMA: Viagem de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo
1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
OU
Recife São Paulo
Porto Alegre
A
B
C
D
1
2
3
4
55 possibilidades 4 possibilidades
Resposta: 5 . 4 = 20 Possibilidades: 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, ....5D
Principio fundamental da contagemGeneralizando
1) Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o n° de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o nº de possibilidades na 2ª etapa é n, então o nº de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m . n
Exercícios1- Ao lançarmos uma moeda e um dado, quais são os resultados possíveis?2- Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa?3. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) Quantos nºs de 3 algarismos podemos formar?b) Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar?
Permuta SimplesPermutar = trocar, embaralhar.
Exemplo 1: Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?
__ __ __ __ → 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Possibilidades
Exemplo 2: de quantas maneiras podem 3 pessoas ocupar 3 lugares?– Considerando Pessoas (A, B e C) e Lugares ( L1, L2 e L3)
L1 L2 L3
Iniciando em A temos 3 possibilidades:
L1 L2 L3 L1 L2 L3 L1 L2 L3
A A A
A na 1ª posição A na 2ª posição A na 3ª posição
B C
C Bou
B C
C Bou
B C
C Bou
2 possibilidades de escolha para cada posição de A
Permuta SimplesConclusão do exemplo 2: são 6 as possíveis maneiras de 3 pessoas
ocuparem 3 lugares – Observação: há seis possibilidades de escolha. Para cada um dos três
lugares ocupados pela 1ª pessoa, há duas opções para a segunda pessoa e apenas uma opção para a 3ª.
– 3 . 2 . 1 = 6 → 3! Fatorial: n (n -1) (n – 2)...1
Esquematizando a solução do exemplo 1 (árvore de possibilidades)
A
L1 L2 L3
B
C
B
C
A
C
A
B
C
B
C
A
B
A
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Maneiras de ocupar os lugares
3 X 2 x 1 = 6
Neste exemplo a ordem das pessoas é importante
Temos uma permuta de 3, 3 a 3
P3, 3= 3!
Permuta SimplesGeneralizando
2) Se temos n elementos distintos, então o nº de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n(n – 1)(n – 2) ... 1 = n! esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de Pn = n!
Exercícios1- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO?2- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam com O?3- Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)?
Respostas1) nº de anagramas = P6 = 6! = 7202) P4= 4! = 243) 5 (posições de ão) x P4 (anafgrama das demais letras da palavra perdão) = 5 x4! = 120
Permutações com repetiçõesExercício resolvido: Quantos são os Anagramas da palavra BATATA?– Resposta. Temos: 1B, 3 As e 2 Ts isto significa que as permutações
entre os 3 As ( P3 = 3!) não produzirão um novo anagrama. O mesmo ocorre com os Ts (Permutas com os 2 Ts = P2 = 2!).
Portanto, o nº de anagramas da palavra BATATA é:
Exercícios1- Quantos são os anagramas da palavra ARARA?2- Quantos são os anagramas da palavra CAMARADA?
60!2!3
!3.4.5.6
!2!3
!6
. 23
6 PP
P
Generalizando 2.1) A Permutação de n elementos dos quais α é um tipo, β é outro e γ é outro ainda, com α + β + γ = n, é dada por:
!!!
!,,
n
Pn
Análise Combinatória: Arranjos Simples
Exemplo: De quantas maneiras pode, 4 lugares ser ocupados por 2 pessoas?
Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)
Escolhas de A Escolhas de B
L1
L2
L3
L4
L2L1
L3
L4
L3L1
L2
L4
L4L1
L2
L3
L1 L2 L3 L4
A B 1
A B 2
A B 3
B A 4
A B 5
A B 6
B A 7
B A 8
A B 9
B A 10
B A 11
B A 12
Arranjos simples– Temos uma permutação de 4, 2 a 2. → Pn, p → P4, 2 = 4 . 3 = 12
Observação: não serão ocupados todos os lugares ao mesmo tempo. Neste caso teremos um arranjo. A4,2 = 4 . 3
Reescrevendo a igualdade A4,2 = 4 . 3 Usando conceito de fatorial.
Temos: A4, 2 = 4 . 3 . 2 . 1 A4, 2 = 4 ! 2 . 1 (4-2)!
Exercícios1- Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
2- Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM?
)!(
!, pn
nA pn
Generalizando
3) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. Assim: An,p= n (n – 1) (n – 2) . ... (n – p +1)
p fatores
Ou:
Análise Combinatória: Combinação simplesExemplo 3: – De quantas maneiras posso
escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição?
Escolhaspossibilidades
1ª 2ª
A
B ABABC ACACD ADADE AEAE
B
A BABAC BCBCD BDBDE BEBE
C
A CACAB CBCBD CDCDE CECE
D
A DADAB DBDBC DCDCE DEDE
E
A EAEAB EBEBC ECECD EDED
Observação:– AB e BA correspondem a
escolha das mesmas pessoas (A e B), a ordem em que as pessoas são escolhidas não influi, portanto, no agrupamento.
– Observe que cada agrupamento aparece 2! Vezes (p vezes)
– A quantidade de escolhas é: 5 . 4 = 10
2!Quando a Ordem dos elementos não influi no agrupamento, estamos diante
de um caso de combinação
Análise Combinatória: Combinação Simples
Exemplo: De quantas maneiras posso escolher 2 pessoas entre 5, para que sejam candidatas a uma eleição?
Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)
1º Candidato 2º Candidato → Possibilidades:
A
B
C
D
BC
D
E
CD
E
DE
E
→ AB
→ AC
→ AD
→ AE
→ BC
→ BD
→ BE
→ CD
→ CE
→ DE
Generalizando4) Combinações simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos.
Indica-se por Cn, p ou
Calcula-se por:
p
nouC p
n
!
!
)!(!
! ,,, p
ACou
pnp
nC pn
pnpn
Análise Combinatória: Combinação simples
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta intuitivamente associado à noção de subconjuntos.intuitivamente associado à noção de subconjuntos.– Ex 1Ex 1: Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma : Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma
equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidadesapresentação. Quais e quantas são as possibilidades
Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são: Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G}{A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G}
Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5 Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e escrevemos Cescrevemos C5,25,2=10 =10
– Ex 2: Ex 2: Recalcule o “Ex 1” considerando agora três Recalcule o “Ex 1” considerando agora três representantes da equipe para a apresentação.representantes da equipe para a apresentação.
Resposta: os subconjuntos de 3 elementos são: CResposta: os subconjuntos de 3 elementos são: C5,35,3=10=10
{A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G}{A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G}
Propriedade importante: Cn, p = Cn, n-p
Análise Combinatória
Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento
Analisando o problema da introdução do capítulo:– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas
diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)?
– Resolução:– As 26 letras serão agrupadas de 3 em 3 sem repetição:
– 26 x 25 x 24 = 15.600 agrupamento de letras → A26,3
– Os 10 algarismos serão agrupados de 4 em 4, com repetição:– 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 agrupamentos de algarismos
– Para cada agrupamento de letras podemos usar todos os agrupamentos de algarismos. Então, o total de placas é:
– 15.600 x 10.000 = 156.000.000 placas
Qual será o nº de placas se as letras também puderem ser repetidas?
Análise CombinatóriaLista de exercícios1) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 512
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? R: 336
2) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Centro-Oeste do Brasil, cada um de uma cor? R: 60 ou 120 (se incluir o DF)
3) De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares? R: 60
4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar? R: 80
5) De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de baskete tendo 12 atletas à sua disposição? (1 time = 5 jogadores) R: 792
6) Um conselho de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram–se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 40600
7) De quantos modos posso escolher 4 livros em uma coleção de 10? R: 210
8) Quantos anagramas podemos formar com a palavra LÓGICA? R: 720
9) Quantos anagramas podemos formar com a palavra DEZESSETE? R: 30240