Estatística Básica na Metrologia Química · A escolha entre uma e outra, entretanto, jamais deve...

Estatística Básica na Metrologia Química

Disciplina: Metrologia Química – PPGEB Professores: Vicente Machado Neto João Antonio Palma Setti

Estatística na MQ Tópicos

1) Box Plot 2) Outlieres 3) Teste de Hipóteses, Distribuição Normal critérios de normalidade 4) Tamanho das Amostras 5) Análise de Variância, Análise de resíduos 6) Regressão Linear 7) Exercícios com Minitab

Box Plots - Medidas separatrizes

As medidas separatrizes delimitam proporções de observações de uma variável ordinal. Como a mediana divide o conjunto em duas metades, é razoável pensar numa medida separatriz que efetue uma divisão adicional: dividir cada metade em duas metades. Essas medidas separatrizes são denominadas quartis. De modo semelhante, é possível encontrar valores que delimitem porções expressas em percentagem de dados em um conjunto ordenado. Esses valores são denominados percentis. Entretanto, de todas essas medidas separatrizes, teremos interesse particular na mediana, e nos quartis.

Box Plots - Quartis

Os quartis dividem um conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais. São elas: -Primeiro quartil Q1: 25% dos valores ficam abaixo e 75% ficam acima desta medida. - Segundo quartil Q2: 50% dos valores ficam abaixo e 50% ficam acima desta medida, corresponde à mediana (Q2=Md). - Terceiro quartil Q3: 75% dos valores ficam abaixo e 25% ficam acima desta medida.

Observa-se facilmente que o primeiro quartil é o percentil 0,25, a mediana é o percentil 0,5 e o terceiro quartil é o percentil 0,75.

Box Plots - Quartis

Para determinar os quartis: 1º caso: quanto n é impar

Box Plotsxemplo Quartil n impar

10

Box Plots - Quartis no Minitab O Minitab calcula os valores dos quartis de forma um pouco diferente, dependendo da situação isto pode levar a resultados distintos.

Box Plots - Quartis no Minitab

Que conclusões podemos tirar só olhando para o boxplot?

Box Plots - Quartis no Minitab

Para obtermos os quartis acima como o Minitab calcula, usamos a fórmula 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝑖𝑖4

(𝑁𝑁 +1). 𝑄𝑄1 = 1

410 + 1 = 2,75, o valor 2,75 está entre 9 e 16, pega-se a parte fracionária do

2,75 (0,75) e multiplica-se pelo intervalo entre 9 e 16 (7), e soma-se ao 9, assim, (16-9)=7x0,75=5,25+9=14,25. Da mesma forma obtemos 𝑄𝑄2 𝑒𝑒 𝑄𝑄3. 𝑄𝑄2 = 2

410 + 1 = 5,5 o valor 5,5 está entre 39 e 45; (45-39)=6x0,5=3+39=42.

𝑄𝑄3 = 34

10 + 1 = 8,25 o valor 8,25 está entre 46 e 48; (48-46)=2x0,25=0,5+46=46,5. A amplitude interquatílica é dada pela diferença (46,50-14,25)=32,25.

OUTLIERS O Minitab considera um outlier ou valor aberrante quando o valor está fora da faixa: Limit Superior: Q3 + 1,5 (Q3-Q1) e Limite Inferior: Q1 – 1,5(Q3-Q1) Exitem vários testes para valores aberrantes.

Três testes foram desenvolvidos por Grubbs para detectar valores aberrantes (outliers) em distribuições normais. Todos usam testes estatísticos baseados em distribuições padrão. O primeiro é um teste para somente um valor aberrante. 𝐺𝐺′𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = �̅�𝑥−𝑥𝑥1

𝑠𝑠 ou 𝐺𝐺′ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ = 𝑥𝑥𝑛𝑛−�̅�𝑥

𝑠𝑠

O segundo teste é para um par de valores aberrantes em posições opostas do conjunto de dados. 𝐺𝐺′′ = 𝑥𝑥𝑛𝑛−𝑥𝑥1

𝑠𝑠 (valores críticos se estiver acima dos tabelados)

O terceiro teste é para um par de valores aberrantes no mesmo lado do conjunto de dados.

𝐺𝐺𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙′′′ = 𝑛𝑛−3 .𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑜𝑜 2 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑜𝑜2

𝑛𝑛−1 .𝑠𝑠2 (valores críticos se estiver acima dos tabelados)

𝐺𝐺ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ′′′ = 𝑛𝑛−3 .𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑜𝑜 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑜𝑜2

𝑛𝑛−1 .𝑠𝑠2 (valores críticos se estiver abaixo dos tabelados)

Teste de Grubbs OUTLIERS

Teste de Grubbs

OUTLIERS

Exercício: Determine se entre as medições das massas de uma amostra existe valores aberrantes. 1) Calculando 𝐺𝐺′

𝐺𝐺𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙′ =157,43 − 147

12,34= 0,8425 ⋯𝐺𝐺ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ′ =

184 − 157,4312,34

= 2,153

Os valores críticos pela tabela de Grubbs 𝐺𝐺′; n=7 para 95%=2,020 e 𝐺𝐺′; n=7 para 99% = 2,139. Assim comparando com os valores calculados pode-se concluir que o valor 184 é um valor aberrante para confianças de 95% e 99% já que o valor calculado 2,153 é maior do que os valores tabelados. O valor 147 não é considerado aberrante já que o 0,8425 é menor do que os valores tabelados.

Teste de Grubbs

Massa (g) 159 153 184 153 156 150 147 Média 157,43

Ordenados 147 150 153 153 156 159 184 Des Padrão 12,34

Rank 1 2 3 4 5 6 7

OUTLIERS

Exercício: Determine se entre as massas de uma amostra existe valores aberrantes.


Exercício: Determine se entre as massas de uma amostra existe valores aberrantes. 1) Calculando 𝐺𝐺′′

𝐺𝐺′′ =184 − 147

12,34= 2,998

Os valores críticos pela tabela de Grubbs 𝐺𝐺′′; n=7 para 95%=3,222; n=7 para 99% = 3,338. Como o valor calculado é menor do que o tabelado, podemos afirmar que os dois valores extremos não formam pares de valores aberrantes.

Teste de Grubbs

Massa (g) 159 153 184 153 156 150 147 Média 157,43

Ordenados 147 150 153 153 156 159 184 Des Padrão 12,34

Rank 1 2 3 4 5 6 7

OUTLIERS

Exercício: Determine se entre as massas de uma amostra existe valores aberrantes. A variância excluindo os dois valores menores é 171,5; excluindo os dois valores maiores é 11,7 e a variância total é 152,29. Assim: 1) Calculando 𝐺𝐺′′′ 𝐺𝐺𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙′′′ = 4 𝑥𝑥 171,5

6 𝑥𝑥 152,29= 0,751 ... 𝐺𝐺ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ′′′ = 4 𝑥𝑥 11,7

6 𝑥𝑥 152,29= 0,051

Os valores críticos para 𝐺𝐺′′′ são 0,0708 para 95% de confiança e 0,0308 para 99%. LEMBRANDO QUE ESTES SÃO VALORES CRÍTICOS ABAIXO. Observa-se que 𝐺𝐺ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖ℎ′′′ é significante para 95% mas não para 99%. Na prática, com um valor aberrante identificado, não se pode aplicar os testes para pares até que o valor identificado não seja investigado ou eliminado.


Testes de hipóteses O teste de hipóteses é um procedimento estatístico em que se busca verificar uma hipótese a respeito da população, no sentido de aceitá-la ou rejeita-la, a partir de dados amostrais, tendo por base a teoria das probabilidades.

Em geral, um problema científico (expresso na forma de pergunta) conduz a uma hipótese científica (resposta provisória a esta pergunta) que requer uma pesquisa científica para a sua verificação. O teste de hipótese é um dos procedimentos mais utilizados na pesquisa científica, sobretudo na pesquisa experimental.

Testes de hipóteses No uso de um teste de hipóteses fazemos algumas suposições tais como: a) Ambas as amostras foram extraídas de populações independentes que podem ser descritas por distribuições normais; b) Que o desvio padrão ou variância das populações são iguais; c) E que os dados são variáveis aleatórias independentes.

A suposição de independência é crítica, mas se as rodadas de experimentação forem sorteadas e demais variáveis forem selecionadas aleatoriamente, normalmente, satisfaz-se a suposição de independência.

As suposições de variância igual e normalidade são facilmente verificadas usando-se gráficos de verificação da normalidade. Normalmente softwares incorporam opções de verificação da normalidade, ou mesmo o procedimento pode ser executado manualmente, colocando os dados em ordem crescente e seguindo procedimento específico.

Testes de hipóteses O gráfico mostra a verificação da normalidade de medições de glicose em amostras de materiais de referência.

Testes de hipóteses De modo geral, podemos definir cinco passos para construção de um teste de hipóteses:

1) Definir as hipóteses estatísticas;

2) Fixar a taxa de erro aceitável;

3) Escolher a estatística para testar a hipótese e verificar as pressuposições para o seu uso;

4) Usar as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste;

5) Decidir sobre a hipótese testada e concluir.

Testes de hipóteses – média 1) Definir as hipóteses estatísticas; A hipótese estatística é uma

suposição feita a respeito de um ou mais parâmetros, tais como, média de populações (µ), variâncias de populações (𝜎𝜎2), etc. As hipóteses estatísticas surgem de problemas científicos.

Existem dois tipos básicos de hipóteses estatísticas:

Hipótese de nulidade (𝐻𝐻0): é a hipótese que está sob verificação. Esta hipótese supõe a igualdade dos parâmetros que estão sendo testados;

Hipótese alternativa (𝐻𝐻𝐴𝐴): é a hipótese que será considerada caso a hipótese de nulidade seja rejeitada. Esta hipótese supõe que os parâmetros testados são diferentes.

Testes de hipóteses – média Duas situações são comuns em testes de hipóteses a respeito da média da população (µ):

1. Comparação de uma média (µ) com um valor (𝜇𝜇0).

Nesta situação, temos uma população da qual é extraída uma amostra e a média desta amostra é comparada com um valor já conhecido (valor padrão) que serve como referência. 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇 − 𝜇𝜇0 = 0

𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇 − 𝜇𝜇0 ≠ 0 hipótese bilateral

𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇 − 𝜇𝜇0 > 0 hipótese unilateral direita

𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇 − 𝜇𝜇0 < 0 hipótese unilateral esquerda

Devemos escolher a 𝐻𝐻𝐴𝐴 mais apropriada

Testes de hipóteses – média 2. Comparação entre duas médias (𝜇𝜇1 𝑒𝑒 𝜇𝜇2).

Nesta situação, temos duas populações, de cada uma é extraída uma amostra, e as médias das duas amostras são comparadas.

𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 = 0

𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇1 ≠ 𝜇𝜇2 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 ≠ 0 hipótese bilateral

𝜇𝜇1 > 𝜇𝜇2 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 > 0 hipótese unilateral direita

𝜇𝜇1 < 𝜇𝜇2 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 < 0 hipótese unilateral esquerda

Devemos escolher a 𝐻𝐻𝐴𝐴 mais apropriada

Testes de hipóteses – média Exemplificando com um teste de hipóteses no qual pretende-se avaliar duas formulações de argamassas, que devem ser avaliadas com respeito à resistência a compressão. Obviamente, seria impossível avaliar todas as argamassas produzidas.

População 1 é a formulação 1 da argamassa, a População 2 é a formulação 2 da argamassa. Nestas populações vamos estudar a variável contínua X= resistência da argamassa, supondo que 𝑋𝑋~𝑁𝑁 𝜇𝜇,𝜎𝜎2 e que 𝜎𝜎12 = 𝜎𝜎22.

Testes de hipóteses – média Assim nossos parâmetros de interesse são:

𝐸𝐸 𝑋𝑋1 = 𝜇𝜇1 = resistência média da população 1;

𝐸𝐸 𝑋𝑋2 = 𝜇𝜇2 = resistência média da população 2;

Assim devemos considerar as seguintes hipóteses estatísticas.

𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇1 ≠ 𝜇𝜇2

Testes de hipóteses – média Observemos que a hipótese alternativa não corresponde necessariamente à expectativa do pesquisador, ou seja, à hipótese científica. A hipótese a ser testada em um teste é sempre a hipótese de igualdade entre os parâmetros, enquanto a hipótese alternativa deve ser definida pelo pesquisador, podendo ser bilateral ou unilateral.

A escolha entre uma e outra, entretanto, jamais deve ser feita com base nos dados da amostra, tampouco na expectativa do pesquisador.

A hipótese bilateral é mais genérica e deve ser utilizada quando não temos motivos suficientes para esperar que um dos parâmetros seja maior ou menor que outro. Assim, supomos apenas que os parâmetros serão diferentes, caso a hipótese de igualdade seja rejeitada.

Testes de hipóteses – média As situações de aplicação da hipótese unilateral são mais restritas e nem sempre são muito claras. A opção por uma hipótese unilateral exige que tenhamos mais informações sobre o comportamento da variável de interesse na situação da pesquisa. Estudos anteriores, por exemplo, podem prover evidências que suportem uma hipótese unilateral.

Testes de hipóteses – média A hipótese unilateral pode ser também uma decorrência lógica da situação de pesquisa, como, por exemplo, quando comparamos a média de um grupo tratado (que recebe determinado tratamento) com a média de um grupo controle ou testemunha (que não recebe o tratamento). Neste caso, se o tratamento não tem efeito, esperamos que as médias dos dois grupos sejam iguais; mas se o tratamento tem efeito significativo é bastante razoável esperar que a média do grupo tratado (que expressa este efeito) seja maior (e nunca menor do que a média do grupo controle.

Testes de hipóteses – erros Um elemento intrínseco ao processo de inferência é o erro. Como as conclusões são obtidas a partir de dados amostrais, eventualmente, a amostra pode não representar o todo (população). Como a hipótese sob verificação é 𝐻𝐻0 , dois tipos de erro estão associados à decisão a respeito dela, são eles: Erro Tipo I: rejeitar 𝐻𝐻0 quando ela é verdadeira α = P(erro tipo I) → probabilidade de cometer o erro tipo I Erro Tipo II: não rejeitar 𝐻𝐻0 quando ela é falsa β = P(erro tipo II) → probabilidade de cometer o erro tipo II

Decisão Situação de 𝑯𝑯𝟎𝟎

Verdadeira Falsa

Não rejeitar Acerto Erro Tipo II - β

Rejeitar Erro Tipo I - α Acerto

Testes de hipóteses – erros Como consequência, temos que: (1-α) é a probabilidade de não cometer o erro tipo I, ou seja, é a capacidade de não rejeitar 𝐻𝐻0 verdadeira, e (1-β) é a probabilidade de não cometer o erro tipo II, ou seja, é a capacidade de rejeitar 𝐻𝐻0 falsa. A probabilidade (1-β) é denominada poder do teste. Podemos dizer, então, que o poder do teste é a probabilidade de declarar diferenças quando elas, de fato existem. O poder de um teste está relacionado com os seguintes fatores: tamanho da amostra, variabilidade da variável e magnitude da diferença existente entre as médias.


Verdadeira Falsa



Testes de hipóteses – erros É importante ressaltar ainda que as duas taxas de erro (α e β) estão relacionadas negativamente, de modo que a redução de α implica no aumento de β e vice-versa. Para que os testes de hipóteses tenham validade, é necessário que sejam delineados de modo a minimizar os erros de conclusão. Entretanto, o único meio de reduzir ambos os tipos de erro é aumentando o tamanho da amostra, o que nem sempre é viável. Via de regra a preocupação está voltada para minimizar o erro tipo I. A probabilidade de ocorrência do erro tipo I (α) é chamada de nível de significância do teste.


Verdadeira Falsa



Testes de hipóteses – critério de decisão

A regra de decisão a respeito de 𝐻𝐻0 pode ser estabelecida com base num valor crítico: Teste bilateral: se a hipótese alternativa for bilateral, o valor crítico será: 𝑡𝑡𝛼𝛼 2(⁄ 𝜈𝜈): valor da estatística t, para ν graus de liberdade, que delimita a área 𝛼𝛼 2⁄ , encontrado na tabela da distribuição t (limites bilaterais); Teste unilateral: se a hipótese alternativa for unilateral, o valor crítico será: 𝑡𝑡𝛼𝛼(𝜈𝜈): valor da estatística t, para ν graus de liberdade, que delimita a área α, encontrado na tabela da distribuição t (limites unilaterais); Para decidir comparamos o valor da estatística t= 𝜃𝜃�

𝑆𝑆(𝜃𝜃�) com o valor

crítico: Rejeitamos 𝐻𝐻0, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for maior que o valor crítico: 𝑡𝑡 > valor crítico


O Excel tem uma função que retorna o valor de t. A função =INV.T(probabilidade; graus de liberdade) retorna o valor de t. Para a função =INV.T(0,025;22) o valor retornado será -2,07387, ou se você entrar com a função =INV.T(0,975;22) obterá o valor 2,073873. No teste de hipóteses compara-se sempre o valor do t crítico como positivo, assim mesmo a função =INV.T(0,025;22) retornar o valor -2,07387 o valor do t crítico a ser comparado é 2,07387. Em alguns critérios de rejeição o sinal – está a frente do valor crítico, neste caso o valor a ser comparado será negativo.


Não temos motivos suficientes para rejeitar 𝐻𝐻0, ao nível α, se o valor da estatística, em módulo, for menor que o valor crítico: 𝑡𝑡 < valor crítico Podemos observar a seguir as regiões de rejeição 𝐻𝐻0 na curva da distribuição t para cada uma das três possibilidades de hipótese alternativa: Para hipótese alternativa bilateral, ou seja, 𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 ≠ 0


Para hipótese alternativa unilateral direita ou seja, 𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 > 0


Para hipótese alternativa unilateral esquerda ou seja, 𝐻𝐻𝐴𝐴: 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 < 0

Testes de hipóteses – Valor p

Outro critério tem sido frequentemente utilizado para decidir sobre 𝐻𝐻0. Essa decisão também pode ser baseada em um valor que expressa a probabilidade de que seja obtido um valor t mais extremo que o valor observado, dado que 𝐻𝐻0 é verdadeiro. Esta probabilidade é conhecida como valor p.


A decisão a respeito de 𝐻𝐻0 é tomada da seguinte forma:

Se o valor p for maior ou igual a α, não rejeitamos a hipótese nula, pois t é típico ou está em uma região de alta probabilidade.

Se o valor p for menor que α, rejeitamos a hipótese nula, pois t é atípico ou está em uma região de baixa probabilidade.


O Valor P para distribuição Z é calculado para testes bilaterais como: 𝑃𝑃 = 2 1 −Φ 𝑍𝑍0 No caso dos testes unilaterais, o valor P é calculado pela equação: 𝑃𝑃 = 1 −Φ 𝑍𝑍0 para o teste unilateral superior; 𝑃𝑃 = Φ 𝑍𝑍0 para o teste unilateral inferior.


Para simplificar o cálculo do P Valor para uma hipótese bicaudal, utilizando a distribuição t, podemos utilizar a função do Excel DIST.T.BC(𝑡𝑡0; graus de liberdade). A função retorna diretamente o P valor. Da mesma forma a função DIST.T.CD (𝑡𝑡0; graus de liberdade), retorna o valor percentual da cauda direita e pode ser usada para cálculo do P Valor para hipóteses unilaterais.

Testes de hipóteses médias – variância conhecida

Testes de hipóteses médias – variância conhecida – Intervalos de confiança

𝑦𝑦� − 𝑍𝑍∝ 2⁄ 𝜎𝜎 𝑛𝑛⁄ ≤ 𝜇𝜇 ≤ 𝑦𝑦� + 𝑍𝑍∝ 2⁄ 𝜎𝜎 𝑛𝑛⁄

𝑦𝑦� − 𝑍𝑍∝ 𝜎𝜎 𝑛𝑛⁄ ≤ 𝜇𝜇 ≤ 𝑦𝑦� + 𝑍𝑍∝ 𝜎𝜎 𝑛𝑛⁄

𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 − 𝑍𝑍∝ 2⁄𝜎𝜎12

𝑛𝑛1+𝜎𝜎22

𝑛𝑛2≤ 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 ≤ 𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 + 𝑍𝑍∝ 2⁄

𝜎𝜎12

𝑛𝑛1+𝜎𝜎22

𝑛𝑛2

Testes de hipóteses médias – variância desconhecida

Testes de hipóteses médias – variância desconhecida – Intervalos de Confiança

𝑋𝑋� − 𝑡𝑡∝ 2⁄𝑆𝑆𝑛𝑛

< 𝜇𝜇 < 𝑋𝑋� + 𝑡𝑡∝ 2⁄𝑆𝑆𝑛𝑛

Intervalos de Confiança Bilaterais

𝑆𝑆𝑝𝑝 =𝑛𝑛1 − 1 𝑆𝑆12 + 𝑛𝑛2 − 1 𝑆𝑆22

𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 − 2

𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 − 𝑡𝑡𝛼𝛼 2;⁄ 𝜈𝜈𝑆𝑆12

𝑛𝑛1+𝑆𝑆22

𝑛𝑛2≤ 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 ≤ 𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 + 𝑡𝑡∝ 2;𝜈𝜈⁄

𝑆𝑆12

𝑛𝑛1+𝑆𝑆22

𝑛𝑛2

𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 − 𝑡𝑡∝ 2;⁄ 𝑛𝑛1+𝑛𝑛2−2𝑆𝑆𝑝𝑝1𝑛𝑛1

+1𝑛𝑛2

≤ 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 ≤ 𝑦𝑦�1 − 𝑦𝑦�2 + 𝑡𝑡∝ 2;⁄ 𝑛𝑛1+𝑛𝑛2−2𝑆𝑆𝑝𝑝1𝑛𝑛1

+1𝑛𝑛2

Testes de hipóteses variâncias

Testes de hipóteses variâncias

𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2

𝜒𝜒2𝛼𝛼 2⁄ ;𝑛𝑛−1≤ 𝜎𝜎2 ≤

𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2

𝜒𝜒21−(𝛼𝛼 2)⁄ ;𝑛𝑛−1

Intervalos de confiança bilaterais

𝑆𝑆12

𝑆𝑆22𝐹𝐹1−∝ 2⁄ ,𝑛𝑛2−1,𝑛𝑛1−1 ≤

𝜎𝜎12

𝜎𝜎22≤𝑆𝑆12

𝑆𝑆22𝐹𝐹∝ 2⁄ ,𝑛𝑛2−1,𝑛𝑛1−1

𝐹𝐹1−∝,𝜈𝜈2,𝜈𝜈1 =1

𝐹𝐹𝛼𝛼,𝜈𝜈2,𝜈𝜈1

Tamanho da Amostra e erros Embora os dois tipos de erros sejam indesejáveis, o erro tipo I é tipicamente mais importante, sendo α chamado nível de significância ou tamanho do teste. A hipótese 𝐻𝐻0 é geralmente elaborada de tal forma que o erro tipo I seja o mais importante a ser evitado.

Para explicar o assunto da relação entre erros e tamanho da amostra, tomemos o exemplo de uma distribuição normal com média 2500 e limites inferior = 2450 e superior = 2550.

Tamanho da Amostra e erros Pela figura percebe-se que a probabilidade α é a soma das duas áreas extremas. Dessa forma, tem-se:

∝= 𝑃𝑃 𝑋𝑋� < 2450 ⋮ 𝜇𝜇 = 2500 + 𝑃𝑃(𝑋𝑋� > 2550 ⋮ 𝜇𝜇 = 2500)

Considerando que as amostras selecionadas tenham vindo de uma população normal, com σ=100psi, a probabilidade α (normalizando-se a distribuição) pode ser calculada da seguinte forma: 𝑍𝑍1 = 2450−2500

100 10⁄ =

− 1,58 ⋯𝑍𝑍2 = 2550−2500100 10⁄ = 1,58

∝= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < −1,58 + 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 1,58 = 0,0571 + 0,0571 = 0,1142

Este resultado quer dizer que 11,42% de todas as amostras aleatórias conduziram à rejeição da hipótese nula, quando a média populacional verdadeira fosse realmente 2.500 psi. Existem duas maneiras de diminuir esse valor do erro:

Tamanho da Amostra e erros a) Aumentando a região de aceitação, através da mudança dos valores críticos, o que implica em alterar o intervalo de confiança:

∝= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 <2400 − 2500

100 10⁄+ 𝑃𝑃 𝑍𝑍 >

2600 − 2500100 10⁄

= 0,000789 + 0,000789 = 0,001578

b) Aumentar o tamanho da amostra, aumentando assim os valores de z (variável normal padrão), com a consequente diminuição de α.

∝= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 <2450 − 2500

100 20⁄+ 𝑃𝑃 𝑍𝑍 >

2550 − 2500100 20⁄

= 0,012674 + 0,012674 = 0,025348

Referência: ∝= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 < −1,58 + 𝑃𝑃 𝑍𝑍 > 1,58 = 0,0571 + 0,0571 = 0,1142

Tamanho da Amostra e erros Com relação ao cálculo da probabilidade β, referente ao erro tipo II, imagine que o valor verdadeiro da média populacional seja µ = 2600 psi e que a média da amostra, 𝑋𝑋� = 2.500, estivesse entre os valores 2.450 psi e 2.550 psi.

O erro tipo II pode ser calculado pelas equações a seguir: 𝛽𝛽 = 𝑃𝑃(2450 ≤ 𝑋𝑋� ≤ 2550 ⋮ 𝜇𝜇

= 2600)

𝑍𝑍1 =2450 − 2600

100 10⁄= −4,74 ⋯𝑍𝑍2

=2550 − 2600

100 10⁄= −1,897

𝛽𝛽 = 𝑃𝑃 −4,74 ≤ 𝑍𝑍 ≤ −1,897= 0,02891 − 0,00= 0,02891

Tamanho da Amostra e erros Este resultado quer dizer que existem 2,89% de chance de se aceitar a hipótese nula, quando na realidade ele é falsa. Esse erro pode ser aumentado rapidamente para o caso do valor verdadeiro da média populacional se aproximar muito do valor de 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇 = 2.500 contra 𝐻𝐻1:µ=2.525 psi), conforme se pode observar na figura.

Tamanho da Amostra e erros Usando o mesmo raciocínio do cálculo anterior, trocando µ=2600 por µ=2525, obtém-se β=0,8817. Como antes, esse erro pode ser diminuído, caso se trabalhe com uma amostra maior.

Duas conclusões importantes podem ser tiradas do exposto acima:

a) À medida que o erro tipo I diminui, o erro tipo II aumenta, para o mesmo tamanho de amostra;

b) Um aumento no tamanho da amostra reduz os dois tipos de erro, desde que os valores críticos permaneçam constantes.

Tamanho da Amostra e erros No caso de um teste de hipóteses onde temos as hipóteses: 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 𝑒𝑒 𝐻𝐻1: 𝜇𝜇1 ≠ 𝜇𝜇2 , não sendo as médias iguais temos que 𝛿𝛿 = 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 , como 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 não é verdade, estamos preocupados com falharmos em rejeitar 𝐻𝐻0, ou seja com o erro tipo II, que depende da diferença das médias δ.

Curvas de β versus δ para um particular tamanho de amostra são chamadas de Curvas Características Operacionais ou curva O.C.

O erro β é também função do tamanho da amostra. Geralmente, para um dado valor de δ, o erro β decresce quando o tamanho da amostra cresce. Ou seja uma diferença específica entre médias é mais facilmente detectada para amostras maiores.

Tamanho da Amostra e erros Curvas Operacionais são úteis para selecionar o tamanho da amostra em um experimento. Por exemplo, suponha que duas formulações de cimento diferem entre si por 0,5 kgf/cm2, desejamos detectar esta diferença com alta probabilidade. Isto porque 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 = 0,5𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐𝑐𝑐2 é a diferença crítica das médias que desejamos detectar, assim um parâmetro d é calculado da seguinte forma: 𝑑𝑑 = 𝜇𝜇1−𝜇𝜇2

2𝜎𝜎= 0,5

2𝜎𝜎= 0,25

𝜎𝜎

Infelizmente, d envolve um parâmetro desconhecido σ. Experiências anteriores indicam σ = 0,25 kgf/cm2, assim d=1. Se desejamos rejeitar a hipótese nula em 95% do tempo, quando 𝜇𝜇1 − 𝜇𝜇2 = 0,5, então β = 0,05. Para β = 0,05 e d=1 as curvas nos mostram 𝑛𝑛∗ =16, aproximadamente. Como 𝑛𝑛∗ = 2𝑛𝑛 − 1 e 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛∗+1

2= 16+1

2= 8,5 ≅ 9

Assim devemos usar 𝑛𝑛1 = 𝑛𝑛2 = 𝑛𝑛 = 9, para β = 0,05 .

Tamanho da Amostra e erros

Estima-se um n* =16

Experimentos de um único fator – Análise de Variância

Suponhamos que desejamos determinar a resistência à tração de cinco diferentes formulações de tecidos, nas quais se variou o percentual de algodão. Estamos interessados em testar se as cinco formulações apresentam diferenças de resistência. Este problema poderia ser resolvido fazendo-se 10 testes t aos pares, para as diferentes combinações possíveis das cinco formulações. Como existem 10 possíveis pares de combinações, sendo a probabilidade de aceitar corretamente a hipótese nula 1-α = 0,95 para cada teste individual, a probabilidade de aceitar corretamente a hipótese nula para todos os 10 testes será de apenas 0,95 10 = 0,60, aumentando grandemente a ocorrência do erro tipo I. O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é a análise de variância. Provavelmente, a técnica mais utilizada em inferência estatística.


Uma boa ideia é examinar os dados graficamente, através de gráficos box plots ou gráfico de pontos.


Uma boa ideia é examinar os dados graficamente, através de gráficos box plots.

Análise de Variância - Parâmetros Descrevendo as observações de um experimento por um modelo

temos: 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑖𝑖 + 𝜖𝜖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑎𝑎𝑗𝑗 = 1,2, … ,𝑛𝑛

Onde 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 é a ij ésima observação, 𝜇𝜇𝑖𝑖 é a média do i ésimo nível do fator ou tratamento e 𝜖𝜖𝑖𝑖𝑖𝑖 é a componente de erro aleatório, que incorpora todas as fontes de variabilidade do experimento incluindo medições, fatores incontrolados, diferenças entre unidades experimentais, ruídos do processo (variação ao longo do tempo, efeitos ambientais e outros). É conveniente pensar nos erros como tendo média zero, de forma que 𝐸𝐸 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑖𝑖.

Análise de Variância - Parâmetros Uma outra forma de descrever o modelo dos dados é: 𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑎𝑎 assim a equação transforma-se em:

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖 + 𝜖𝜖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑎𝑎𝑗𝑗 = 1,2, … ,𝑛𝑛

Neste modelo, 𝜇𝜇 é um parâmetro comum a todos os tratamentos chamado de média geral, e 𝜏𝜏𝑖𝑖 é um parâmetro único do i ésimo tratamento chamado i ésimo tratamento efeito. Este modelo é chamado modelo de efeitos. O modelo é um modelo estatístico linear, isto é a variável de resposta 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 é uma função linear dos parâmetros do modelo. A equação acima é chamada de análise de variância de um único fator.

Análise de Variância - Parâmetros Uma outra forma de descrever o modelo dos dados é: 𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑎𝑎 assim a equação transforma-se em:


Nossos objetivos serão testar as hipóteses apropriadas a respeito das médias dos tratamentos e estima-las. No teste de hipóteses, o modelo dos erros é assumido como sendo normal com variáveis aleatórias e independentemente distribuídas com média zero e variância 𝜎𝜎2. A variância 𝜎𝜎2 é assumida como constante para todos os níveis. Isto implica que as observações sejam:

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖~𝑁𝑁 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖 ,𝜎𝜎2 E as observações são mutuamente independentes.

Análise de Variância - Parâmetros No teste de hipóteses onde a hipótese de igualdade das médias dos tratamentos (𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝜇𝑎𝑎 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐻𝐻0: 𝜏𝜏1 = 𝜏𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝜏𝑎𝑎 = 0) é assumida, pressupomos que os erros 𝜖𝜖𝑖𝑖𝑖𝑖 são normalmente e independentemente distribuídos com média 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖 e variância 𝜎𝜎2. Então 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 é uma somatória quadrática de variáveis aleatórias normalmente distribuídas, desta forma 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 𝜎𝜎2⁄ é distribuída quiquadraticamente com 𝑁𝑁 − 1 (𝑁𝑁 = 𝑎𝑎.𝑛𝑛) graus de liberdade. Igualmente 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸 𝜎𝜎2⁄ é distribuída quiquadraticamente com 𝑁𝑁 − 𝑎𝑎 graus de liberdade e 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑙𝑙𝑠𝑠 𝜎𝜎2⁄ é distribuída quiquadraticamente com 𝑎𝑎 − 1 graus de liberdade.

Análise de Variância

Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

http://cpdee.ufmg.br/%7Efcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/

Análise de Variância Modelo de Efeitos Fixos




Variabilidade total dos dados em relação à grande média

Soma quadrática da diferença entre as médias dos tratamentos e a grande média

Soma quadrática da diferença entre as observações em um tratamento e a média do tratamento

SS nos tratamentos SS devido ao erro

a=número de tratamentos n=número de replicações




Variância comum dentro de cada tratamento

Variância entre os tratamentos

Variância total




a=número de tratamentos; g.l.=a-1 n=número de replicações; Graus de liberdade do erro = na-a Referência: Felipe Campelo - Dept. Engenharia Elétrica/ Electrical Engineering - UFMG

Disponível em http://cpdee.ufmg.br/~fcampelo/files/disciplinas/EEE933/2013-1/



a=número de tratamentos; n=número de replicações; N=número total de experimentos, a.n=N



Análise de Variância - Exercício Para ilustrar a análise de variância, voltamos ao exemplo de testarmos se a percentagem de algodão afeta a resistência da fibra.

Usamos a análise de variância para testar 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇1 = 𝜇𝜇2 = 𝜇𝜇3 =𝜇𝜇4 = 𝜇𝜇5 contra a alternativa 𝐻𝐻1 : algumas médias são diferentes.

Análise de Variância - Exercício A análise de variância pode ser sumarizada pela tabela abaixo.

Notamos que a média quadrática entre tratamentos (118,94) é muitas vezes maior do que a variância dentro dos tratamentos ou média quadrática do erro (8,06). Isto indica que é improvável que as médias dos tratamentos sejam iguais. Analisando formalmente computando a razão F, 𝐹𝐹0 = 118,94 8,06⁄ = 14,76 . Comparando 𝐹𝐹0,05;4;20 = 2,87 . Como 𝐹𝐹0 = 14,76 > 2,87 , rejeitamos 𝐻𝐻0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem, ou seja que a percentagem de algodão afeta a resistência. Pelo Excel podemos obter F crítico com a função =INV.F.CD(0,05;4;20) que retorna o valor 2,866081. As letras CD indicam cauda direita da distribuição.

Análise de Variância - Exercício Podemos achar o P valor para este teste estatístico. A figura abaixo mostra a distribuição 𝐹𝐹4;20 do teste estatístico 𝐹𝐹0 , observa-se que o P valor é muito pequeno. Isto também podemos observar pela tabela de F onde 𝐹𝐹0,01;4;20 = 4,43 ainda bem menor que 𝐹𝐹0 = 14,76 , concluindo que a probabilidade da cauda superior para 𝐹𝐹0 = 14,76 é menor do que 0,01, 𝑃𝑃 < 0,01 exatamente 𝑃𝑃 =9,11𝑥𝑥10−6.

Análise de Variância - Exercício Pelo Excel podemos obter o 𝐹𝐹0,01;4;20 usamos a função =INV.F.CD(0,01;4;20) que retorna o valor 4,43069. Podemos achar o P valor para este teste estatístico, usando a função =DIST.F(14,76;4;20;VERDADEIRO) que retorna o valor 0,999990886 que deve ser subtraído de 1 para então acharmos o P Valor de 9,11371E-06.

𝑥𝑥

Análise de Variância – Dados desbalanceados

Em alguns experimentos o número de observações feito em cada tratamento pode diferir um do outro. Dizemos que o experimento é desbalanceado. Neste caso a análise de variância pode ser feita com pequenas modificações nas fórmulas. Tendo 𝑛𝑛𝑖𝑖 observações em um tratamento 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑎𝑎 e 𝑁𝑁 = ∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑎𝑎

𝑖𝑖=1 . As formulas para 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 𝑒𝑒 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑙𝑙 tornam-se:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 = �𝑎𝑎

𝑖𝑖=1

�𝑦𝑦2𝑖𝑖𝑖𝑖 −𝑦𝑦2 ..𝑁𝑁

𝑛𝑛𝑒𝑒

𝑖𝑖=1

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑙𝑙𝑠𝑠 = �𝑦𝑦2𝑖𝑖.𝑛𝑛𝑖𝑖

−𝑦𝑦2 ..𝑁𝑁

𝑎𝑎

𝑖𝑖=1

No entanto sempre que possível o experimento balanceado é preferível ao desbalanceado.

Análise de Variância – Estimativa de parâmetros

Estimativas dos parâmetros no modelo de efeitos fixos:


Estimadores aceitos para a média geral e efeito dos tratamentos são dados por:

𝜇𝜇� = 𝑦𝑦�.. �̂�𝜏𝑖𝑖 = 𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�.. , 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑎𝑎

Estes estimadores tem um apelo intuitivo, note que a média geral é estimada pela grande média das observações e que os efeitos dos tratamentos são a diferença das médias dos tratamentos e a grande média.

Análise de Variância – Estimativa de parâmetros

O intervalo de confiança da média do i ésimo tratamento pode ser determinado, sendo 𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 + 𝜏𝜏𝑖𝑖, uma estimativa da média 𝜇𝜇�𝑖𝑖 = 𝜇𝜇� +�̂�𝜏𝑖𝑖 = 𝑦𝑦�𝑖𝑖.. Se 𝜎𝜎2 é conhecido, podemos utilizar a distribuição normal (t student) para definir o intervalo de confiança. Usando 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸 como uma estimativa de 𝜎𝜎2 e a distribuição t, para um intervalo de confiança de 100 1 −∝ para a média 𝜇𝜇𝑖𝑖 do i ésimo tratamento teremos:

𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑡𝑡∝ 2⁄ ;𝑁𝑁−𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

≤ 𝜇𝜇𝑖𝑖 ≤ 𝑦𝑦�𝑖𝑖. + 𝑡𝑡∝ 2⁄ ;𝑁𝑁−𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

O intervalo de confiança 100 1 −∝ entre as médias de dois tratamentos 𝜇𝜇𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝑖𝑖 pode ser determinado por :

𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑡𝑡∝ 2⁄ ;𝑁𝑁−𝑎𝑎2𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

≤ 𝜇𝜇𝑖𝑖 − 𝜇𝜇𝑖𝑖 ≤ 𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�𝑖𝑖. + 𝑡𝑡∝ 2⁄ ;𝑁𝑁−𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

Análise de Variância – Exemplo

Usando os dados do exemplo das percentagens de algodão podemos estimar a média geral e a média dos efeitos dos tratamentos, como 𝜇𝜇� = 376 25⁄ = 15,04 é: O intervalo de confiança da média do 4º tratamento (30% de algodão) é o seguinte: Assim o intervalo de confiança de 95% é 18,95 ≤ 𝜇𝜇4 ≤ 24,25.

Análise de Variância – Análise dos resíduos

Para testarmos se os resíduos obedecem à uma distribuição normal, condição necessária para a análise de variância, temos que primeiramente ranquear os resíduos do menor para o maior. As observações ordenadas são então plotadas contra as suas frequências acumuladas 𝑖𝑖−0,5

𝑛𝑛onde j representa a posição de ordinal

do número j=1 para o primeiro número e j=2 para o segundo e assim sucessivamente. Caso os dados se distribuam normalmente os pontos plotados graficamente irão descrever uma linha reta.


Voltando para o exemplo do ensaio de resistência dos tecidos, de acordo com o percentual de algodão, teremos conforme tabela abaixo os resíduos nas caixas e entre parênteses a ordem em que os dados foram coletados.

Análise de

Variância – Análise

dos resíduos Na figura observa-se que os

dados se distribuem aproximadamente como uma distribuição normal, já que caem próximos da reta ajustada.


Uma análise que pode ser feita é também plotar os resíduos na ordem em que os mesmos foram obtidos. Isto pode ser útil para detectar correlação entre os resíduos. Na figura ao lado não há nenhuma suspeita de correlação. Uma variância dos dados que não seja constante é um problema que pode ser sério e deve ser melhor analisado.


Embora a plotagem dos resíduos seja frequentemente usada para diagnosticar diferenças entre variâncias, muitos testes estatísticos podem ser utilizados para este fim. Ensaios desbalanceados (com diferenças de amostras) ou em casos onde uma variância e muito maior que as outras, indicam um problema que pode ser sério e análises mais aprofundadas devem ser feitas. Em casos de variâncias diferentes devemos transformar os dados antes da análise de variância.

Análise de Variância – Comparação entre tratamentos

Supondo que pela análise de variância detectamos que a hipótese nula de igualdade entre tratamentos foi rejeitada. Então existe diferença entre os tratamentos, mas quais médias diferem não é especificado pela análise de variância. Desta forma outras comparações e análises devem ser feitas para detectar os detalhes das diferenças das médias. Comparação Gráfica das Médias Podemos verificar se todas as médias dos tratamentos encontram-se distribuídas de forma que a variância consiga incluir todas as médias, oque indicaria que os tratamentos são iguais. Assim pegando-se a

média geral 𝑦𝑦�.. e o desvio padrão 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

podemos verificar graficamente

se os tratamentos são iguais.


Comparação Gráfica das Médias Pegando-se a média geral dos tratamentos 𝑦𝑦�.. e o desvio padrão dos erros 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸 𝑛𝑛⁄ podemos montar o gráfico abaixo. Para o nosso exemplo da resistência dos tecidos, teremos uma média geral 𝑦𝑦�.. = 15,04 e 8,05 5⁄ = 1,27


Comparação Gráfica das Médias Olhando para a figura abaixo vemos que as 5 médias não podem ser englobadas pela mesma distribuição. Isto implica que as médias não são iguais já as diferenças entre elas não podem ser atribuídas a erros de amostragem, portanto os tratamentos não são iguais.

Análise de Variância – Contrastes Contrastes podem ser montados a partir de hipóteses de diferenças de médias que queremos testar. Em geral um contraste é uma combinação linear de parâmetros da seguinte forma: Γ = ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝜇𝜇𝑖𝑖𝑎𝑎

𝑖𝑖=1 onde as constantes do contraste 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, … , 𝑐𝑐𝑎𝑎 somadas são iguais a zero, ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖 = 0𝑎𝑎

𝑖𝑖=1 . Para testarmos os níveis 4 e 5 do nosso exemplo da resistência dos tecidos, poderíamos estabelecer as seguintes hipóteses e contrastes:

𝐻𝐻0: 𝜇𝜇4 = 𝜇𝜇5𝐻𝐻1: 𝜇𝜇4 ≠ 𝜇𝜇5

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐 𝐻𝐻0: 𝑐𝑐4𝜇𝜇4 − 𝑐𝑐5𝜇𝜇5 = 0𝐻𝐻1: 𝑐𝑐4𝜇𝜇4 − 𝑐𝑐5𝜇𝜇5 ≠ 0

Usando um teste F para testar o contraste , iremos rejeitar a hipótese nula se: 𝐹𝐹0 > 𝐹𝐹∝;1;𝑁𝑁−𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑛𝑛𝑑𝑑𝑜𝑜 𝐹𝐹0 = 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐶𝐶

𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸= 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐶𝐶 1⁄

𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸

Onde 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐶𝐶 = ∑ 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑦𝑦𝑒𝑒.𝑚𝑚𝑒𝑒=1

2

𝑛𝑛 ∑ 𝑐𝑐2𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒=1

Análise de Variância – Contrastes Para ensaios onde há diferenças nos tamanhos das amostras dos tratamentos temos que utilizar as seguintes fórmulas:

∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖 = 0𝑎𝑎𝑖𝑖=1 e 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐶𝐶 = ∑ 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑦𝑦𝑒𝑒.𝑚𝑚

𝑒𝑒=12

∑ 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑐𝑐2𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒=1

Um caso especial são os contrastes ortogonais, dois contrastes com coeficientes 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑖𝑖 são ortogonais se: ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 = 0𝑎𝑎𝑖𝑖=1 ou para o ensaio desbalanceado ∑ 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 = 0𝑎𝑎

𝑖𝑖=1

Análise de Variância – Contrastes Suponhamos que desejamos testar, no nosso exemplo de resistência de tecidos em função do percentual de algodão, as seguintes hipóteses comparando médias de diversos tratamentos.

Análise de Variância – Contrastes Encontramos então os valores numéricos dos contrastes e a soma quadrática como segue:

Análise de Variância – Contrastes

Os contrastes particionam a soma quadrática. Estes testes são usualmente incorporados na análise de variância. Concluímos a partir dos valores de P e do F crítico = 𝐹𝐹0,05;1;20 = 4,35 que há diferenças significativas entre os níveis (4 e 5) e (1 e 3), mas as médias do níveis 1 e 3 não diferem das médias dos níveis 4 e 5 para α=0,05, e também que o nível 2 não difere das médias dos outros 4 níveis.

Análise de Variância – Teste LSD O teste de Fisher para comparação entre duas médias, também chamado de LSD (least significant difference). Este procedimento usa a estatística F para testar 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑖𝑖. Assumindo uma alternativa bilateral, o par de médias 𝜇𝜇𝑖𝑖 e 𝜇𝜇𝑖𝑖 podem ser declarados significativamente diferentes se:

𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�𝑖𝑖. > 𝑡𝑡∝ 2⁄ ,𝑁𝑁−𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸1𝑛𝑛𝑒𝑒

+ 1𝑛𝑛𝑗𝑗

Sendo 𝐿𝐿𝑆𝑆𝐿𝐿 = 𝑡𝑡∝ 2⁄ ,𝑁𝑁−𝑎𝑎 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸1𝑛𝑛𝑒𝑒

+ 1𝑛𝑛𝑗𝑗

Caso o projeto seja balanceado, 𝑛𝑛1 = 𝑛𝑛1 = ⋯ = 𝑛𝑛𝑎𝑎 = 𝑛𝑛

𝐿𝐿𝑆𝑆𝐿𝐿 = 𝑡𝑡∝ 2⁄ ,𝑁𝑁−𝑎𝑎2𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

No procedimento de Fisher, simplesmente, comparamos as diferenças entre os pares de médias com o correspondente LSD. Caso 𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�𝑖𝑖. >𝐿𝐿𝑆𝑆𝐿𝐿, concluímos que as médias 𝜇𝜇𝑖𝑖 e 𝜇𝜇𝑖𝑖 diferem.

Análise de Variância – Teste LSD Para ilustrar o teste LSD para o exemplo da resistência dos tecidos para α=0,05 temos que:

𝐿𝐿𝑆𝑆𝐿𝐿 = 𝑡𝑡0,025,202𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

= 2,0862(8,06)

5= 3,75

Assim qualquer par de médias de tratamentos que difiram em valor absoluto, por mais do que 3,75 são considerados significativamente diferentes.

Os pares de médias que são significativamente diferentes estão indicados com *. Os únicos pares que não diferem significativamente são 1-5 e 2-3 e o tratamento 4 tem resistência a tração significativamente maior do que os outros.

Análise de Variância – Teste Dunnett`s Em muitos experimentos, um tratamento é o controle, e a análise está interessada em comparar os outros a-1 tratamentos com o controle. Supondo que o tratamento a é o controle e desejamos testar as hipóteses: 𝐻𝐻0: 𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑎𝑎 𝐻𝐻1: 𝜇𝜇𝑖𝑖 ≠ 𝜇𝜇𝑎𝑎. O procedimento de Dunnett`s é uma modificação do teste t. A hipótese nula é rejeitada usando-se o erro tipo I α se:

𝑦𝑦�𝑖𝑖. − 𝑦𝑦�𝑖𝑖. > 𝑑𝑑∝(𝑎𝑎 − 1, 𝑘𝑘) 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸1𝑛𝑛𝑖𝑖

+1𝑛𝑛𝑎𝑎

A constante 𝑑𝑑∝ 𝑎𝑎 − 1, 𝑘𝑘 é tabelado Apêndice IX (livro Montgomery). Teste uni e bilaterais são possíveis. Sendo α o nível de significância dos a-1 testes. Sendo 𝑘𝑘 o número de graus de liberdade associado com 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸.

Análise de Variância – Teste Dunnett`s Ilustrando o teste Dunnett`s para o exemplo da resistência do tecido onde consideramos o tratamento 5 como controle. Neste exemplo, 𝑎𝑎 = 5;𝑎𝑎 − 1 = 4;𝑘𝑘 = 20,𝑛𝑛𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 = 5 . Para o nível de 5%, Tabela IX temos que 𝑑𝑑0,05 4; 20 = 2,65. Assim a diferença crítica torna-se:

𝑑𝑑0,05 4; 202𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

= 2,652(8,06)

5= 4,76

Observe que foi utilizada uma simplificação da equação anterior para projetos balanceados.

Análise de Variância – Teste Dunnett`s As diferenças das médias (3-5) e (4-5) indicam diferenças significativas , assim concluímos que 𝜇𝜇3 ≠ 𝜇𝜇5 𝑒𝑒 𝜇𝜇4 ≠ 𝜇𝜇5. Quando comparando tratamentos com um controle, é uma boa ideia usar mais observações para o tratamento de controle. A razão 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑛𝑛⁄ deve ser escolhida de forma que 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑛𝑛⁄ = 𝑎𝑎 , sendo 𝑛𝑛𝑎𝑎 o número de amostras do controle.

𝑑𝑑0,05 4; 202𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸𝑛𝑛

= 2,652(8,06)

5= 4,76

Análise de Variância – Dispersão Até então usamos a análise de variância e métodos para determinar que níveis de fatores, resultam em diferentes médias entre os tratamentos. Caso tenhamos variâncias diferentes para diferentes tratamentos, usamos transformações para estabilizar a variância. Em alguns problemas, no entanto, estamos interessados em saber se os diferentes níveis dos fatores afetam a variabilidade, isto é estamos interessados em pesquisar se diferentes níveis dos fatores afetam a dispersão dos níveis. Isto ocorre quando o desvio padrão, variância e outras medições de variabilidade são usadas como resposta de saída.

Análise de Variância – Dispersão Para ilustrar esta ideia, consideremos os valores da tabela abaixo resultante de um experimento em uma fundição de alumínio. O alumínio é produzido pela combinação de alumina com outros ingredientes em uma célula de reação, com a aplicação de calor através de uma corrente elétrica que passa através da célula. Alumina é adicionado continuamente à célula para manter a proporção em relação aos outros ingredientes. Quatro algoritmos de controle da mistura são investigados neste experimento. A variável de resposta em estudo é relacionada a tensão elétrica da célula. Especificamente, um sensor mede a tensão da célula várias vezes a cada segundo, produzindo milhares de medições de tensão a cada experimento. O engenheiro de processo decide usar a média da tensão e o desvio padrão da tensão da célula (entre parênteses) como variáveis de resposta. A tensão média é importante pois afeta a temperatura da célula e o desvio padrão da tensão afeta a eficiência da célula.

Análise de Variância – Dispersão Uma análise de variância foi feita para determinar se os diferentes algoritmos de controle afetam a tensão da célula. O experimento revelou que os diferentes algoritmos de controle não alteram a tensão média da célula. Para investigar os efeitos da dispersão é melhor usar log 𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜 log 𝑐𝑐2 como variável de resposta, uma vez que as transformações logarítmicas são eficazes em estabilizar a variabilidade em distribuições de amostras de desvio padrão. Como todas as amostras de desvio padrão são menores do que a unidade, usaremos 𝑦𝑦 =− ln 𝑐𝑐 como variável de resposta.

Análise de Variância – Dispersão A análise da variância do Log Natural dos desvios padrões produz os seguintes resultados: Source DF SS MS F P Factor 3 6,1661 2,0554 21,96 0,000 Error 20 1,8716 0,0936 Total 23 8,0377 S = 0,3059 R-Sq = 76,71% R-Sq(adj) = 73,22% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev -+---------+---------+---------+-------- Alg 1 6 3,0877 0,2422 (----*----) Alg 2 6 3,5086 0,3667 (----*----) Alg 3 6 2,1998 0,2337 (----*----) Alg 4 6 3,3559 0,3558 (----*----) -+---------+---------+---------+-------- 2,00 2,50 3,00 3,50

Análise de Variância – Dispersão Pela análise dos resultados verificamos que o algoritmo de controle afeta a dispersão, hipótese 𝐻𝐻0 descartada. Testes padrões de adequação do modelo, indicam que não há problemas com a validade do experimento.

0,500,250,00-0,25-0,50

99

90

50

10

1

Residual

Per

cent

3,53,02,5

0,50

0,25

0,00

-0,25

-0,50

Fitted ValueR

esid

ual

0,60,40,20,0-0,2-0,4

4,8

3,6

2,4

1,2

0,0

Residual

Freq

uenc

y

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram

Residual Plots for Alg 1; Alg 2; Alg 3; Alg 4

Análise de Variância – Dispersão Pela análise dos box plots e as médias dos valores, notamos que o algoritmo 3 produz maior dispersão que os algoritmos 1, 4 e 2, que entre si não apresentam diferenças significativas.

Alg 4Alg 3Alg 2Alg 1

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

Dat

a

Boxplot of Alg 1; Alg 2; Alg 3; Alg 4

Análise de Variância – Dispersão Pela análise dos box plots e as médias dos valores, notamos que o algoritmo 3 produz maior dispersão que os algoritmos 1, 4 e 2, que entre si não apresentam diferenças significativas.

Regressão Linear A regressão linear é usada para estabelecer ou confirmar a relação entre duas variáveis. Na química analítica normalmente é utilizada para expressar a relação entre a resposta analítica e por exemplo a concentração de um analito. A equação geral que descreve a curva ajustada pode ser escrita como:

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 Onde 𝑏𝑏 é a inclinação da reta e 𝑎𝑎 é onde a reta intercepta o eixo y. O método dos mínimos quadrados para regressão linear é usado para achar-se os valores de 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏. O melhor ajuste é obtido pela reta que minimiza a soma quadrática das diferenças entre os valores obtidos para y e a reta ajustada, os chamados resíduos.

Regressão Linear As diferenças observadas entre os valores de y e os valores da reta 𝑦𝑦� , são conhecidos como resíduos. A forma mais comum de regressão é de y dado x, onde assume-se que os valores de x são conhecidos exatamente e o único erro ocorre na medida de y. Pressuposto da Regressão Linear: - Os erros em x podem ser desconsiderados; - Para o cálculo dos intervalos de confiança os erros associados com

os valores de y devem ser normalmente distribuídos. A média de 3 ou mais valores já garante a normalidade;

- A variância dos erros de y devem ser constantes ao longo da faixa de interesse;

- Os valores de x e y devem ser contínuos. A inspeção visual dos dados e resíduos são os meios mais eficientes para verificar as suposições acima.

Regressão Linear Antes de efetuar a regressão linear é uma boa prática examinar os dados tentando identificar possíveis outliers.

Exame visual dos dados

Altas médias causadas por uma desigual distribuição dos pontos.



Outlier alterando a inclinação da reta ajustada.



Outlier alterando a intersecção do eixo y pela reta ajustada.

Regressão Linear Para cálculo de 𝑏𝑏 e 𝑎𝑎 as seguintes equações são utilizadas:

𝑏𝑏 =∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�𝑛𝑛𝑖𝑖=1∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑎𝑎 = 𝑦𝑦� − 𝑏𝑏�̅�𝑥 �̅�𝑥 𝑒𝑒 𝑦𝑦� são as médias de x e y. Uma vez que a e b tenham sidos calculados podemos calcular os resíduos e o desvio padrão dos resíduos. 𝑦𝑦𝑖𝑖 = é um valor medido (proveniente dos meus dados); 𝑦𝑦𝑖𝑖� = é um valor obtido pela reta ajustada; 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦𝑖𝑖� = é um resíduo; 𝑛𝑛 = número de pares medidos (dados).

𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑥𝑥⁄ =∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦𝑖𝑖� 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑛𝑛 − 2

𝑛𝑛 − 2 = é o número de graus de liberdade do desvio padrão dos resíduos.

Cálculo da inclinação e intersecção

Regressão Linear

O desvio padrão da inclinação 𝑐𝑐𝑏𝑏 é calculado usando-se a equação: 𝑐𝑐𝑏𝑏 =

𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑥𝑥⁄

∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

O desvio padrão da intersecção estimada 𝑐𝑐𝑎𝑎 usando-se a equação:

𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑥𝑥⁄∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑛𝑛 ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

Os intervalos de confiança para as estimativas da inclinação e intersecção da reta são:

𝑏𝑏 ± 𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑎𝑎 ± 𝑡𝑡. 𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑜𝑜𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑜𝑜𝑑𝑑𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 ∝= 0,05 𝑒𝑒 𝜈𝜈 = 𝑛𝑛 − 2.

Cálculo da inclinação e intersecção

Regressão Linear

A plotagem dos resíduos pode identificar problemas da curva ajustada incorretamente ou sem qualidade. Caso haja um bom ajuste entre os dados e a curva os resíduos devem ser distribuídos aleatoriamente em relação ao zero.

Inspeção dos resíduos

Distribuição ideal dos resíduos. Os resíduos estão distribuídos aleatoriamente em torno do zero e não há uma tendência definida de variação do desvio padrão com a concentração.

Regressão Linear

Mostra os resíduos do ajuste quando os dados não seguem uma reta, mas uma reta foi ajustada. Provavelmente o melhor modelo de ajuste não seja linear.


Mostra uma tendência de aumento do desvio padrão de y com a concentração.

Regressão Linear

Mostra evidências de uma aproximação dos resíduos, em relação ao zero, a cada valor de x, isto pode indicar uma correlação entre os resíduos. Pode-se aplicar ANOVA para verificar este efeito.


Mostra um padrão de resíduos quando a reta foi incorretamente forçada a passar por zero

Regressão Linear Coeficiente de correlação r

O coeficiente de correlação é determinado pela equação:

𝑐𝑐 =∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�𝑛𝑛𝑖𝑖=1

∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦� 2𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

O coeficiente de correlação mede o grau de associação linear entre as variáveis x e y. O valor de r está na faixa de ± 1. O coeficiente de correlação não pode ser tomado como uma medida de linearidade. O coeficiente r só pode ser interpretado como um indicativo de boa linearidade, quando os resíduos são distribuídos, razoavelmente, em simetria ao longo do eixo x.

Regressão Linear Coeficiente de correlação r

Para que predições feitas com uma curva de calibração, tenham incertezas pequenas, r necessita ser bem próximo de 1. Tendências não lineares são observadas mesmo para r≈0,999. Baixos valores de r não necessariamente significam que não existe relação. Uma relação não linear não necessariamente conduz a um coeficiente de correlação linear alto.

Regressão Linear Incertezas na determinação dos valores de x

Uma vez que a regressão linear tenha sido detectada e a melhor reta ajustada, a equação pode ser usada para determinar valores de x, a partir de valores determinados experimentalmente para y. 𝑥𝑥� = 𝑦𝑦�0−𝑎𝑎

𝑏𝑏 onde 𝑦𝑦�0 é a média de N medições repetidas para 𝑦𝑦.

Há uma incerteza associada com 𝑥𝑥� que pode ser calculada pela

equação: 𝑐𝑐𝑥𝑥� =𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑒𝑒⁄

𝑏𝑏1𝑁𝑁

+ 1𝑛𝑛

+ 𝑦𝑦�0−𝑦𝑦� 2

𝑏𝑏2 ∑ 𝑥𝑥𝑒𝑒−�̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑒𝑒=1

Onde 𝑐𝑐𝑥𝑥� é chamado de erro padrão na determinação de 𝑥𝑥�. A incerteza na determinação de 𝑥𝑥� tem um mínimo na ponto central da reta �̅�𝑥,𝑦𝑦� , aumentando para os pontos extremos. O intervalo de confiança para 𝑥𝑥� é dado por: 𝑥𝑥� ± 𝑡𝑡 . 𝑐𝑐𝑥𝑥�

Regressão Linear

A resposta de um instrumento é determinada por uma solução padrão com seis diferentes concentrações. Cálculo de b e a.

𝑏𝑏 =∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�𝑛𝑛𝑖𝑖=1∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

=708,0

70= 10,114

𝑎𝑎 = 𝑦𝑦� − 𝑏𝑏�̅�𝑥 = 51,67 − 10,114 𝑥𝑥 5 = 1,100

Exercício

Concentração (x) 0 2 4 6 8 10 Média (x) 5

Resposta (y) 0 24 41 60 82 103 Média (y) 51,67

Regressão Linear

Utilizando-se o software Minitab, obtemos os seguintes valores:

Exercício

Concentração (x) 0 2 4 6 8 10 Média (x) 5

Resposta (y) 0 24 41 60 82 103 Média (y) 51,67

Regressão Linear

Utilizando-se o software Minitab, obtemos os seguintes valores:

Exercício

a b

Desvio padrão de a

Desvio padrão de b

Desvio padrão dos resíduos

Intervalos de Confiança de a e b

a - intersecção b - inclinação

Não se pode afirmar que a intersecção seja diferente de zero

Pode-se afirmar que a inclinação é diferente de zero. Portanto y e x são fortemente correlacionados

Regressão Linear Interpretação dos valores de r indicados pelo software Minitab. Exercício

S, R 2 and adjusted R2 are measures of how well the model fits the data. These values can help you select the model with the best fit. · S is measured in the units of the response variable and represents the standard distance that data values fall from the regression line. For a given study, the better the equation predicts the response, the lower S is. · R 2 (R-Sq) describes the amount of variation in the observed response values that is explained by the predictor(s) . R2 always increases with additional predictors. For example, the best five-predictor model will always have a higher R2 than the best four-predictor model. Therefore, R2 is most useful when comparing models of the same size. · Adjusted R2 is a modified R2 that has been adjusted for the number of terms in the model. If you include unnecessary terms, R2 can be artificially high. Unlike R2 , adjusted R2 may get smaller when you add terms to the model. Use adjusted R2 to compare models with different numbers of predictors.

Regressão Linear Exercício

Press and R2 (pred) are measures of how well the model predicts the response. · PRESS is the sum of squares of the prediction error. In general, the smaller the PRESS value, the better the model's predictive ability. PRESS is used to calculate the predicted R. · R2 (pred) indicates how well the model predicts responses for new observations. Predicted R2 can prevent overfitting the model. This statistic is more useful than adjusted R for comparing models because it is calculated with observations not included in model calculation. Larger values of predicted R2 suggest models of greater predictive ability.

Interpretação dos valores de r indicados pelo software Minitab.

Regressão Linear Exercício

Example Output: Summary of Model S = 3.99399 R-Sq = 92.95% R-Sq(adj) = 91.12% PRESS = 880.182 R-Sq(pred) = 85.59% Interpretation The model explains 92.95% of the variation in the Salary data. The adjusted R is 91.12%. R (pred) is 85.59%, indicating that the model explains 85.59% of the variation in Salary when the model is used for prediction.

Interpretação dos valores de r indicados pelo software Minitab.

Regressão Linear

Análise dos resíduos.

Exercício

Regressão Linear Exercício sobre incerteza de x

A equação de melhor ajuste do exercício anterior era y=1,100+10,114 x. A resposta para uma concentração é 80. Determine o valor da concentração e sua incerteza.

𝑥𝑥� =𝑦𝑦�0 − 𝑎𝑎𝑏𝑏

=80 − 1,100

10,114= 7,80 𝑐𝑐𝑘𝑘/𝑣𝑣

A incerteza associada com 𝑥𝑥� pode ser calculada pela equação:

𝑐𝑐𝑥𝑥� =𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑒𝑒⁄

𝑏𝑏1𝑁𝑁

+ 1𝑛𝑛

+ 𝑦𝑦�0−𝑦𝑦� 2

𝑏𝑏2 ∑ 𝑥𝑥𝑒𝑒−�̅�𝑥 2𝑛𝑛𝑒𝑒=1

= 1,76210,114

11

+ 16

+ 80−51,67 2

10,1142.70= 0,197

O intervalo de confiança para 95% do valor de concentração. 𝑥𝑥� ± 𝑡𝑡 . 𝑐𝑐𝑥𝑥� = 7,80 ± 2,776 𝑥𝑥 0,197 = 7,80 ± 0,55mg/l Onde 2,776 é o valor t student para distribuição bicaudal 95%; 𝜈𝜈 = 𝑛𝑛 − 2 = 6 − 2 = 4

Regressão Linear Exercício sobre incerteza de x

Regressão Linear ANOVA para regressão linear

Um software para regressão linear pode fornecer uma tabela de análise de variância, como apresentada abaixo:

Variação relacionada com os erros residuais

Variação relacionada com a própria regressão, indica a correlação entre x e y. Tem que ser significativamente maior que a variação dos resíduos.

Como no teste de significância da inclinação da reta, o teste de significância ANOVA indica uma relação significativa entre as variáveis.

Regressão Linear ANOVA para regressão linear - Exercício

Abaixo a tabela de análise de variância do exercício anterior. Pode-se observar e concluir que as variâncias são significativamente diferentes, já que P value deu praticamente zero. O valor crítico para F é 7,709 𝜈𝜈1 = 1 𝑒𝑒 𝜈𝜈2 = 4 para 95% de significância, portanto bem inferior aos 2306 obtido. Portanto a correlação entre x e y é significativa.

Analysis of Variance Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 1 7160,91 7160,91 7160,91 2306,43 0,0000011 Concentração (x) 1 7160,91 7160,91 7160,91 2306,43 0,0000011 Error 4 12,42 12,42 3,10 Total 5 7173,33

Regressão Linear Calibração, recomendações de projeto

Se as incertezas de calibração são pequenas comparada com outros efeitos na análise de rotina, o projeto de calibração não é crítico. Contudo se as incertezas de calibração são significativas, as seguintes orientações são importantes: - Use pelo menos 5 observações independentes; - Espace as concentrações o mais igualmente possível; - Assegure que as médias das concentração dos materiais de

calibração sejam próximas à concentração de interesse. - Inclua replicações independentes para aumentar a precisão; - Aumente o número de replicatas para no mínimo 3; - Teste as observações extremas quanto a significância;

Regressão Linear Calibração, recomendações de projeto

Se as incertezas de calibração são pequenas comparada com outros efeitos na análise de rotina, o projeto de calibração não é crítico. Contudo se as incertezas de calibração são significativas, as seguintes orientações são importantes: - Verifique a normalidade dos resíduos; - Aumente o número de concentrações independentes (mínimo 7); - Não force a passagem da reta pelo ponto (0;0); - Não inclua o ponto (0;0) quando este não foi medido.

Tarefa relativa ao assunto Exercício sobre Estatística a ser resolvido com o software

Pesquise na internet assuntos relacionados com estatística aplicada á metrologia química, procure direcionar as suas pesquisas a assuntos que mais se aproximem do seu assunto de pesquisa no PPGEB. Não se limite a pesquisar textos em português. Entregar a pesquisa via email (arquivo word nomeado da seguinte forma: aluno_fulano_de_tal_metrologia_quimica_atividade3.doc); A pesquisa deve ter: 1) Descrição sucinta do objetivo; 2) Explicação do método escolhido e porque; 3) Conclusões se houverem; 4) Referências Bibliográficas.

Exemplos de pesquisa: 1) Resolução de exercícios de aplicação de ferramentas estatísticas na MQ;

Referências Bibliográficas - A Bench Guide. ELLISON, S.L.R.; BARWICK, V.J.; FARRANT, T.J.D. Practical Statistics for the Analytical Scientist. RSC Publishing. 2ª Edição. 2009.

Estatística Básica na Metrologia Química · A escolha entre uma e outra, entretanto, jamais deve...

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