MATERIAL DE APOYO PARA PROFESORES DE MATEMTICA DE LA EDUCACIN SECUNDARIA BSICATEMA: ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Autores: Aurelio Quintana ValdsJess Cantn ArenasA los profesores:Este material de apoyo sobre Estadstica Descriptiva ha sido elaborado con el propsito de contribuir a elevar su nivel de preparacin para impartir los temas relacionados con el procesamiento de datos.

El material est dedicado al nuevo contenido introducido en noveno grado y que no estn desarrollados en los libros de texto y cuadernos complementarios del nivel. En este, se hace un resumen sobre algunos aspectos relacionados con la historia de la Estadstica, se sistematizan los conceptos, las proposiciones y los procedimientos que sirven de base al tratamiento de los contenidos relacionados con el procesamiento de datos agrupados en clase y una coleccin de ejercicios a utilizar en las clases y en las tareas. La seleccin y ordenamiento de los ejercicios para sus clases, estarn en correspondencia con el nivel de aprendizaje logrado en sus estudiantes y con los criterios didcticos y metodolgicos que las circunstancias lo requieran.

Los autores.

UN POCO DE HISTORIAEl procesamiento de datos en su forma ms simple, tuvo sus orgenes en las civilizaciones antiguas. Se tiene conocimiento de hallazgos que expresan la cantidad de personas, animales y cosas, mediante representaciones en rocas, pieles, maderas, paredes de cuevas y otros medios.

Los babilonios alrededor del ao 3000 (a.n.e), usaban pequeas tablillas de

arcilla donde recopilaban datos relacionados con la produccin agrcola, las ventas y los cambios o trueques propios de la poca. Los egipcios del siglo XXXI (a.n.e), anterior a la construccin de las pirmides representaron datos sobre la poblacin y sobre los ndices de renta del pas.

Los chinos, antes del ao 2000 (a.n.e), realizaron estudios sobre la poblacin y las posibilidades materiales de sus habitantes. Los griegos, con el propsito de contar los impuestos, llevaron a cabo un censo de poblacin cuyos resultados fueron utilizados hasta alrededor del ao 594 (a.n.e).

Confucio relata que en el siglo V a.n.e., el rey Yao llev a cabo un censo muy importante en China. El historiador Tcito refiere que el emperador Augusto orden que se contaran todos los navos, armas y soldados del imperio romano. Este emperador public tambin un edicto para que se hiciera un censo de todos los habitantes romanos.

Los hebreos, los egipcios, los sirios, los persas y los griegos contabilizaban los

nacimientos, las reparticiones de tierras y la cantidad de pobladores, entre otras actividades. El gran imperio romano fue el primero que con un inters gubernamental, recopil numerosos datos sobre la poblacin, las superficies y las rentas en todos los territorios bajo su control.

En la Europa de la Edad Media se realizaron, bajo la orientacin de diferentes reinados, censos exhaustivos de poblacin, estudios relacionados con la actividad de la iglesia e innumerables recopilaciones de datos con fines econmicos, sociales y militares. Alrededor del ao 1086, despus de la conquista de Inglaterra por los normandos, fue que en este pas se realiz un censo cuyos resultados fueron publicados.

Los hechos anteriores demuestran que desde los tiempos ms remotos, los pueblos necesitaron contar sus hombres y sus recursos para organizar su vida. Con el transcurso de los siglos, la organizacin de los pueblos y sus modos de contar se fueron perfeccionando. Los pueblos se convirtieron en Estados y naci una parte importante de las Matemticas, la Estadstica, que se ocup, principalmente, de enumerar y describir las situaciones de inters para el Estado.

El nombre Estadstica se deriv del latn status en sus dos sentidos:

-el estado en cuanto a la situacin geogrfica,

-y el estado en cuanto a entidad poltica.

En el siglo XVIII la Estadstica Matemtica se consider una ciencia. En la actualidad est muy difundida, su uso es inevitable y se manifiesta en la recopilacin, procesamiento y anlisis de la informacin relacionada con datos econmicos, polticos, sociales, biolgicos, geogrficos, psicolgicos, fsicos, qumicos, etc. El desarrollo de la Informtica y las posibilidades crecientes de comunicacin, benefici sustancialmente la aplicacin de la Estadstica en todas las esferas de la vida.

Hoy en da, es relativamente fcil acceder a mltiples datos de alcance local, nacional o mundial, relacionados con temas de la cotidianidad o de cualquier gestin investigativa que se est abordando, a la vez que se dispone de eficaces sistemas, tabuladores electrnicos y asistentes matemticos para el procesamiento estadstico. Esto significa que la preparacin del hombre en el uso de la Estadstica y de las nuevas tecnologas es el principal reto de hoy, al cual no se puede renunciar.

Qu es la estadstica?La Estadstica es la ciencia que provee de mtodos que permiten colectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto de individuos u observaciones, que permiten extraer conclusiones vlidas y tomar decisiones lgicas basadas en dichos anlisis.

Una estadstica de cualquier naturaleza se caracteriza porque:

Se refiere a nmeros, hechos, ya sean personas, objetos materiales o fenmenos (se refiere a conjuntos y permite diferenciar propiedades cuantificables).

No estudia hechos aislados como la edad de una persona, el precio de un artculo en un da determinado, las calificaciones de un estudiante en un examen entre otros.

Trabaja con datos referidos a conjuntos lo ms numerosos posible y ocurridos en diferentes instantes de tiempo.

La estadstica es un fenmeno de masas y es preciso recurrir a ella en cuanto deja de razonarse sobre individualidades y hay que tener en cuenta conjuntos o multiplicidades de individuos.

1) CONCEPTOS BSICOSLa parte de la Estadstica que solo trata de descubrir y analizar un grupo de datos (sobre una muestra) sin sacar conclusiones o inferencias sobre un grupo mayor (poblacin) se denomina Estadstica Descriptiva.

Al recolectar datos respecto a las caractersticas de un grupo de objetos o individuos, tales como las estaturas y el peso de todos los estudiantes de una secundaria bsica son la finalidad de hacer un estudio de su comportamiento, es casi imposible observar el comportamiento de las caractersticas del grupo completo de individuos que la forman el que esllamado poblacin o universo, entonces se examina una parte del mismo llamada muestra. Poblacin: conjunto de individuos (objetos, sucesos o procesos) que poseen entre sus caracterstica una comn.

Muestra: cualquier subconjunto de una poblacin.

Este subconjunto tiene que ser representativo de la poblacin.

Una muestra es representativa no por su tamao, sino, porque realmente representa a todas las caractersticas de la poblacin.

Las caractersticas de la poblacin reciben el nombre de variable estadstica. Variable estadstica: cualquier caracterstica o propiedad de los miembros de una poblacin susceptible de tomar determinados valores mediante un

procedimiento de medicin, de modo que dichos valores pueden ser clasificados de forma exhaustiva en un cierto nmero de categoras posibles.

De ello se deduce que no todas las variables estadsticas son del mismo tipo. Por lo general, se dividen en:

CualitativasCuantitativadiscretas continuasVariables cualitativas: se refieren a caractersticas o atributos que expresan una cualidad, que no puede tomar valores numricos, o sea, no se pueden medir.

Ejemplos:-La profesin de las personas (profesor, mdico, mecnico, etc) .

- El estado civil (soltero, casado).

-El color de los ojos (verdes, azules, pardos, etc).

- La carrera que se desea estudiar (periodismo, magisterio, medicina, etc).

- El rendimiento acadmico de un estudiante (bajo, medio, alto)

Variables cuantitativas: se refieren a atributos que expresan una cantidad o cantidad de magnitud y por tanto toma valores numricos, o sea, se pueden medir numricamente.

Ejemplos:- La edad de una persona (2 aos, 15 aos, ).

- La cantidad de estudiantes de un grupo o de una escuela (15, 30, 700,).

- La talla de una persona (1,64 m, 2,00 m,).

- Los registros de temperatura de una ciudad (30C, 5C, 0C, ).

Las variables cuantitativas se clasifican en: discretas y continuas.

Variable estadstica discreta: cuando solo pueden tomar un nmero finito o a lo sumo numerable de valores (suelen coincidir con nmeros enteros).

En los ejemplos anteriores las variables cuantitativas discretas seran las dos primeras: la edad de una persona y la cantidad de estudiantes de un grupo o escuela pues slo pueden tomar un nmero finito de valores.

Variable estadstica continua: cuando puede tericamente, tomar cualquier valor de un intervalo real.

En los ejemplos anteriores las variables cuantitativas continuas seran las dos ltimas: la talla de una persona y los registros de temperatura de una ciudad, pues en este caso pueden tomar valores dentro de un intervalo determinado.

2) REPRESENTACIN DE DATOS AGRUPADOS MEDIANTE TABLAS Y GRFICOS2.1) Representacin de datos agrupados mediante tablas.Entre los objetivos de realizar estudios estadsticos est el de facilitar la realizacin de comparaciones que se consideren pertinentes entre determinados procesos, fenmenos o situaciones. Para ello, es imprescindible, organizar los datos de manera resumida y operativa de forma tal que se facilit e

la descripcin de la situacin objeto de estudio. Precisamente a ello est dedicada la Estadstica Descriptiva.

En grados anteriores los estudiantes aprendieron cmo recoger datos, ordenarlos convenientemente y hacer su anlisis a partir de tablas de frecuencias y de grficos. Tambin, estudiaron y aplicaron en la resolucin ejercicios y problemas la determinacin de las medidas de tendencia central en datos simples (generalmente ante variables discretas), sin embargo, hay situaciones en se presentan en las que las variables que son objeto de estudio son continuas y por tanto pueden tomar cualquier valor de un intervalo real.

Veamos el siguiente ejemplo en que se utiliza como variable cuantitativa continua los resultados de los lanzamientos realizados por la jabalinista cubana Osleydis Menndez, campeona mundial y olmpica.

Durante la preparacin para futuras competencias, su entrenador anota cada uno de los resultados (longitud del lanzamiento en metros) obtenidos en 30 de sus lanzamientos, los que se muestran a continuacin.

58,95 59,26 62,50 68,30 61,50 66,85 58,00 59,04 60,00 67,25

58,60 58, 5 66,00 62,20 70,00 67,25 69,70 69,40 59,30 59,35

63,20 65,65 67,00 69,05 65,40 59,35 64,55 69,00 67,20 68,75

Si los tcnicos quisieran analizar como van comportndose los resultados de la preparacin, tendran que realizar un estudio estadstico de los resultados que va logrando Osleydis durante todos los entrenamientos. Con la finalidad de facilitar el anlisis, primeramente deben organizar los datos como se muestra a continuacin.

58,00 58,60 58,95 58,95 59,04 59,26 59,30 59,35 59,35 60,00

61,50 62,20 62,50 63,20 64,55 65,40 65,65 66,00 66,85 67,00

67,20 67,25 67,25 68,30 68,75 69,00 69,05 69,40 69,70 70,00

Esto facilita, realizar el conteo de los datos para ubicarlos en una tabla de frecuencias. Si se construye una tabla de frecuencias absolutas como las que los estudiantes estn acostumbrados a construir en grados anteriores para datos simples, esta quedara muy extensa, como se muestra a continuacin ya que hay 27 datos diferentes lo que no dara una idea clara del comportamiento del fenmeno que se analiza.

Longitud del lanzamiento en

metrosFrecuencia absolutaLongitud del lanzamiento en

metrosFrecuencia absoluta

58,00165,651

58,60166,001

58,95266,851

59,04167,001

59,26167,201

59,30167,252

59,35268,301

60,00168,751

61,50169,001

62,20169,051

62,50169,401

63,20169,701

64,55170,001

65,401

En casos como este, cuando se tienen grandes cantidades de datos, el procedimiento preliminar ms adecuado para su tratamiento consiste en distribuirlos en clases o categoras, de acuerdo con el nmero de casos que pertenecen a cada una de las clases.

Clase: es el conjunto de todos los individuos u observaciones de la variable, que se encuentran entre determinados lmites.

Cuando se agrupa un conjunto de datos mediante clases de frecuencias es importante conocer determinados conceptos y trminos como los siguientes:

Rango o recorrido de la variable: es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores dados en los datos.

Clase de frecuencias: es el conjunto de todos los individuos u observaciones de la variable, que se encuentran entre determinados lmites.

Lmites de clases: son los valores extremos, que delimitan cada clase. El menor es el lmite inferior Li y el mayor es el lmite superior Ls.

Amplitud de clases: es la amplitud del intervalo de clase. Se obtiene calculando la diferencia: Ls LiPara agrupar los datos en clases de frecuencias es importante tambin tener en cuenta las siguientes consideraciones:

Las clases deben ser exhaustivas, abarcar todas las mediciones y ser mutuamente excluyentes.

El nmero de clases no puede ser muy pequeo ni excesivamente grande. Cuando el nmero de clases es pequeo se puede producir concentracin de los datos, cuando es muy grande se puede producir dispersin. En ambos casos puede haber prdida de la informacin.

Deben evitarse las clases de frecuencia nula.

La amplitud de las clases se debe elegir de modo que en el ncleo o centro de la tabla estn ocupadas todas las clases.

Deben tener las clases la misma amplitud (siempre que sea posible). Veamos cmo proceder para construir la tabla de frecuencia, en el ejemplo

propuesto, agrupando los datos en clases:

1) Hallar el recorrido o rango de la variable (datos):

Para ello se identifica de los datos dados el mayor y el menor y se calcula la diferencia entre ellos

Dato menor: 58.00 Dato mayor: 70.00 Diferencia: 70 58 = 12

Por tanto 12 es el recorrido o rango.

2) Determinar el nmero de clases.

Se piensa en el nmero de clases a obtener en correspondencia con el rango de los datos de manera que propicien una distribucin adecuada de estos donde no se propicie la concentracin ni la dispersin.

En este caso, como el recorrido es igual a 12, se pueden elegir 6 clases.

3) Hallar la amplitud de cada clase:

Para ello, dividimos el valor del recorrido entre el nmero de clases determinado.

12 : 6 = 2 Luego, cada clase tendr una amplitud igual a 2.

4)Determinar las clases.

La primera clase tendr por lmite inferior el valor del dato ms pequeo, y por lmite superior la suma del nmero que corresponde del dato ms pequeo con el nmero que corresponde a la amplitud de la clase.En este caso es:58 x < 60 (esta notacin significa que esta clase abarca los

datos desde 58 hasta 60, incluye el 58, no as el 60).

Las siguientes clases tienen por lmite inferior, el lmite superior de la anterior y para obtener el lmite superior, se suma al lmite inferior el recorrido.

60 x < 62 62 x < 64 64 x < 66 66 x < 68 68 x 70(El lmite superior de la ltima clase puede o no estar incluido, depende si existe ese dato entre los que se analizan)

5) Construir la tabla de frecuencias en datos agrupados.

Longituddel lanzamiento enmetrosFrecuencia absoluta

58x < 609

60x < 622

62x < 643

64x < 663

66x < 686

68x 707

Como se puede observar, esta tabla es mucho ms representativa del comportamiento de los datos lo que facilita hacer el anlisis de la situacin objeto de estudio y anlisis.

2.2) Representacin grfica de datos agrupados en clases. El histograma.Las tablas de frecuencias proporcionan de forma ordenada los datos que se obtienen de la informacin del hecho que se est estudiando. Sin embargo, muchas veces se desea obtener una visin global rpida y visual. Para ello se utilizan las representaciones grficas.

Al hacer la representacin grfica de hechos o fenmenos cuando los datos son clasificados como simples, uno de los tipos de grfico que se utilizan con ms frecuencia son los grficos de barras, los que son muy tiles para comparar el comportamiento del los datos en la informacin. En estas grficas, las barras se colocan separadas. Sin embargo, cuando los datos son continuos y estn agrupados en clases, este grfico de barra no es el adecuado, pues entre dos valoras enteros hay infinitos valores reales.

Para representar estos datos de modo que aparezca reflejada la divisin hecha en clases, suelen emplearse los histogramas.

Histogramas: se construyen a partir de un conjunto de columnas o rectngulos unidos, donde se emplea una columna para representar la frecuencia de acuerdo a cada intervalo de clase.

En el eje x (horizontal) se marcan las bases de estos rectngulos, que son dados por los intervalos (pueden ser los lmites reales o los lmites de anotaciones).

En el eje y (vertical) se marca la altura de los rectngulos, la que est determinada por la frecuencia absoluta o relativa de las clases

correspondientes.

En ellos se representan distribuciones de variables continuas y discretas que, por su elevado nmero de datos, se suelen agrupar en clases y hay que indicar el concepto representado en cada uno de los ejes.

En el caso en que las clases no tuviesen la misma amplitud, las alturas de los rectngulos ya no podran corresponder a las frecuencias absolutas, y habra que calcular las reas de los rectngulos proporcionales a las frecuencias de cada intervalo.

Si dibujamos el histograma que corresponde al ejemplo que se est desarrollando, quedara as

F.A.10864258606264666870Longitud del lanzamientoEl histograma sirve para mostrar cmo se distribuyen los datos internamente.

Para la elaboracin de los grficos utilizando el programa Word, se procede de la manera siguiente:

En la barra de men seleccionar la opcin insertar. Seleccionar la opcin grfico.

Seleccionar el tipo de grfico.

Dar clic en aceptar.

Introducir la matriz de los datos.

Dar clic en siguiente e introducir los nombres de los ejes. Dar clic en finalizar.

3) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALCuando los datos con los que se trabajan son muy numerosos y se quiere tener una visin rpida de conjunto en cuanto a su comportamiento. es evidente que se hace necesaria una medida que de cierto modo caracterice y represente a esos conjuntos de datos, o sea, que nos proporcione una informacin sobre la magnitud de los valores de cada serie de datos. Esta magnitud se denomina valor central de cada serie.

En grados anteriores los estudiantes calcularonla media aritmtica y se determin la moda y la mediana para datos simples.

Cmo proceder cuando los datos estn agrupados en clases?

3.1) Media aritmtica.

La media aritmtica es un promedio alrededor del cual se encuentran los datos de un conjunto de datos y se define para datos simples como.

Definicin: sean x1, x2, x3,, xn, n valores medidos.

La Media aritmtica x se calcula mediante la frmula:x 1 2 3 . nnLa media aritmtica se calcula para datos simples o no agrupados sumando las observaciones realizadas y dividiendo el resultado por el nmero de observaciones:

La media aritmtica se puede entender intuitivamente como el valor que tendran los datos si todos fueran iguales, o sea, es el valor que representa todos los datos contenidos en una serie o distribucin.

De manera general la media aritmtica: Se puede utilizar cuando la distribucin notiene varias cimas ni es asimtrica.

Se puede utilizar con datos continuos o discretos, pero su dominio deben ser los nmeros reales o un intervalo real.

Se puede utilizar con datos nominales (que son atributos o valores dados por propiedades).

No se puede utilizar para datos ordinales.

Se puede utilizar cuando la distribucin no presenta clases abiertas en los extremos.

Se puede utilizar cuando la muestra no es extremadamente pequea. Tiene como ventajas:

Es nica y fcil de calcular. Es una funcin algebraica de los valores individuales de la serie de datos.

Proporciona valores estimados confiables para los parmetros de la poblacin, cuando el tamao de la muestra es suficientemente grande.

Ejemplo: La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por los 15 estudiantes de un grupo. Calcula la media de las notas obtenidas por los estudiantes del grupo.

NotasFrecuencia absoluta

61

72

84

96

102

Como son datos simples se calcula la media aritmtica as:6.1

.2 .4 .615

0.2 = 8,4

La media aritmtica de las notas del grupo es de 8,4 puntos.

La media aritmtica est influida por valores extremos, lo que constituye una limitante en su utilizacin y afecta su confiabilidad.Ejemplo: Notas de 10 alumnos (calificaciones sobre 100 puntos)

4354100496058564241100

x60,3

Esto significara que la media de las calificaciones de los alumnos tiene un valor de aprobado, sin embargo slo hay 3 aprobados (es decir, tres calificaciones de 60 o ms puntos)

Cmo calcular la media aritmtica para datos agrupados?Para ello calcularemos la media de los 30 lanzamientos de Osleydis Menndez. Es evidente que si se quiere hallar el producto de cada dato por su frecuencia

como procedimos para el clculo con datos simples, no es posible, ya que al estar agrupados los datos en clases hay varios valores dentro de cada clase

que podramos escoger.

Para solucionar este problema es necesario introducir un nuevo concepto:

Marca de clase: es el punto medio de cada intervalo de clase, el cual es un valor representativo de la variable que se estudia. La marca de clase es la media aritmtica de los valores correspondiente al lmite inferior y superior de

Lcada clase. As, la marca de la clase i es: xi

s l .2Longitud

(metros)FrecuenciaMarca de clase

58x < 60959

60x < 62261

62x < 64363

64x < 66365

66x < 68667

68x 70769

Ahora multiplicamos la marca de clase por la frecuencia de cada clase y dividimos el resultado por la cantidad de datos, que en este dato es 30.

59 9

1 2 3 3 5 3 7 630

9 7 =

531 22

89 95 0230

83 = 64

Osleydis logr una media aproximada de 64 metros en sus 30 lanzamientos. En general

Si la serie de datos est presentada en una distribucin de frecuencias, todos los valores que se encuentran en un intervalo dado se consideran coincidentes con el punto medio del intervalo, entonces:

1 x11

2 x22

......

n xnndonde fi es la frecuencia y xi el valor medio del intervalo o marca de clase.

3.2) Moda.Definicin: la Moda M0 de un conjunto de valores x1, x2, x3,, xn es el valor

(o los valores) que se presenta(n) con ms frecuencia en ese conjunto.

La moda es aquel o aquellos valores de la serie que tienen la frecuencia ms elevada. Se utiliza con variables de cualquier tipo.

De manera general la moda:Puede existir o no.

Es aplicable a cualquier tipo de datos. Es muy til para datos cualitativos.

No es nica y puede no existir cuando todos los valores tienen la misma

frecuencia,

No es una funcin algebraica de los datos individuales.

Es apropiada para caracterizar distribuciones con varias cimas o valores donde se concentra la frecuencia de individuos o los resultados de las mediciones.

Cmo determinar la moda para datos agrupados?Para la determinacin de la moda cuando los datos estn agrupados en clase, se aplican frmulas que se estudiarn en 10 mo grado.

En este nivel solo los estudiantes se limitarn a determinar la clase modal.

La clase modal es la clase de mayor frecuencia cuando las anotaciones se presentan reunidas en intervalos de clase.

Se acostumbra a tomar por la moda el punto medio de dicha clase, que es un

valor aproximado.

En el ejemplo que se desarrolla sobre los resultados de la jabalinista Osleydis Menndez.la clase modal es 58 x < 60 porque es la clase de mayor frecuencia y la moda es aproximadamente 59.3.3) MedianaDefinicin: la Mediana Me de un conjunto de valores x1, x2, x3,, xn dispuestos en orden creciente (o decreciente) es:

El valor que equidista de los extremos, si n es impar.

La media aritmtica de los valores centrales, si n es par.

La mediana de una serie de datos es el valor de la variable que ocupa el valor central, cuando se han colocado en orden de magnitud.

Es ms general que la media, pues solo exige que las variables se puedan ordenar.

Tanto en las variables continuas como en el caso en que se utilizan escalas ordinales pueden ser medidas las variables utilizando esta medida de

tendencia central.

De manera general la mediana: Es aplicable a cualquier tipo de datos que puedan ser ordenados, es decir, tiene sentido cuando los datos pueden ser medidos por escalas mtricas y ordinales.

Siempre existe y es nica.

No es una funcin algebraica de los datos individuales, esto significa que no vara fcilmente al modificar los valores extremos.

Se recomienda para distribuciones asimtricas (es decir, aquellas distribuciones donde los datos se concentran mayoritariamente a un solo lado de la media aritmtica).

Es apropiada para un grupo pequeo de datos.

Cmo determinar la mediana para datos agrupados?Para la determinacin de la mediana cuando los datos estn agrupados en clase, se aplican frmulas que se estudiarn en 10 mo grado.

En este nivel solo se limitarn a determinar la clase mediana.

La clase mediana es la clase donde se encuentra ubicada la mediana.

Cuando una serie de datos estn agrupados en una distribucin de frecuencias, la mediana, por definicin, ser el punto que indique el 50 % de los casos.

Para determinar la clase medianase acostumbra a realizar los siguientes pasos:

- se determina la mitad de la cantidad de los datos de la distribucin,

- se determina la clase donde la frecuencia acumulada es inmediatamente superior a la mitad de los datos.

En el ejemplo que se analiza, la clase mediana es

64x < 66 pues es donde est situado el 50% de los casos

4) EJERCICIOS A RESOLVER1) Lee las siguientes informaciones y responde.

1.1) En los centros universitarios de Wisconsin y Florida fue detectado un virus de la obesidad. El estudio fue realizado con 154 obesos.

Fuente: Juventud Rebelde 24.08.06a) A qu tipo de variable corresponde?

b) Cul sera la poblacin?

c) Cmo hubieses seleccionado la muestra para hacer ese estudio?

d) Localiza en el mapa de Amrica del Norte, ambos estados e investiga su poblacin y principales recursos naturales

1.2) Cuba se sum a los pases que llevan a cabo investigaciones en gemelos

con el objetivo de elevar la calidad de vida de este grupo poblacional. El universo inicial asciende a 4 457 pares de jimaguas hasta la fecha.

Fuente: Juventud Rebelde 19.03.06

a)La cantidad de pares de jimaguas referida en el texto corresponde a la poblacin o a la muestra? Justifica tu respuesta.

b) Investiga en tu consultorio del mdico de la familia la cantidad de partos gemelares de los ltimos tres aos.

c) Consulta con tu profesor de ciencias naturales, las causas biolgicas que propician este tipo de embarazo desde el punto de vista gentico.

2) En un laboratorio, se ha analiza la sangre de 25 pacientes para realizar la determinacin de calcio y se obtuvieron los siguientes resultados:

9,79,310,19,29,19,39,48,78,88,79,28,3

10,2 9,5 9,6 9,7 9,2 9,3 8,8 9,5 9,8 9,1 9,2 9,6 8,4 a) Identifica la variable objeto de estudio.

b) Clasifica la variable en discreta o continua.

c) Construye una tabla de frecuencias que incluya los intervalos de clase, la frecuencia absoluta de cada clase y la marca de clase. Qu acciones realizaste para construir la tabla?

d) Representa la informacin en un histograma.

e) Calcula la media de calcio en sangre de los pacientes analizados. Qu significado tiene para ti el resultado obtenido?

f) Determina la clase modal y la clase mediana. Cmo procediste para determinar cada una de ellas?

g) Qu importancia tiene en el para el organismo la presencia de calcio en la sangre.

h) Busca en la Tabla Peridica la nomenclatura del calcio y en el libro de texto de noveno grado sus propiedades.

3) para hacer un estudio sobre la obesidad en un grupo de noveno grado, se solicit a los estudiantes pesarse en su consultorio mdico y traer los

resultados en kilogramos. El profesor recibe la informacin del jefe de destacamento en una hoja de la siguiente manera.

4046,25050556656,87542,551

525362,548,250,556,556585763

6153,5544752,55258,5556068

a) Qu valor tiene el rango de los pesos obtenidos?

b) Construye la tabla de frecuencias.

c) Representa la informacin en un histograma. Explica cmo procediste para su construccin.

d) Halla el peso promedio del grupo. Cmo lo calculaste?

e) Determina la clase modal y clase mediana.

f) Consulta con tu profesor de Educacin Fsica, la relacin talla/peso y elabora un informe en que valores los resultados obtenidos

4) En un hospital materno se control el peso, en kilogramos, de 50 recin nacidos durante un mes y se obtuvieron los resultados registrados de la siguiente manara:

333,32,52,64,53,53,544

33,33,43,63,73,23,33,433

3,93,73,53,13,13,24,34,244

2,72,82,93,43,23,12,53,333

3,63,83,53,13,24,14,23,63,93,2

a) Los datos registrados corresponden a la poblacin o a una muestra?

b) Si un kilogramo es aproximadamente igual a 2,2 libras, cuntos nios nacieron con ms de 8 libras? cmo consideras el peso de este conjunto de

nios?

c) Construye una tabla de frecuencias con amplitud de clase igual a 0,5. d) Representa en un histograma la informacin recogida.

e) Qu porcentaje de recin nacidos tienen peso inferior a 3,2 kg?

f) Calcula el peso promedio de los recin nacidos.

g) Visita el consultorio del mdico de la familia al cual perteneces y registra el peso de los nios nacidos en los ltimos 6 meses.

5) A continuacin se muestra el registro de la estatura de los jugadores del equipo de ftbol de un municipio del pas:

1,541,611,671,721,811,671,611,541,531,61

1,811,671,571,611,671,801,571,671,721,85

a) En qu unidad de medida est expresada la estatura de los atletas?

b) Construye la tabla de frecuencias donde se incluya la marca de clase. c) Representa la informacin en un histograma.

d) Di cul es la clase modal de las estaturas.

e) Calcula la estatura media. Qu puedes decir de esta estatura para un equipo de voleibol?

f) Averigua la estatura media de los miembros del equipo masculino del equipo de voleibol nuestro pas.

6) Durante el mes de febrero en un pas se han registrado en 0C las siguientes temperaturas mximas por da:

22,52,8344,545612

78910117,58,59,533

10,556,55682711,5

a) Segn la informacin recogida, es un pas clido o fro? Justifica tu

respuesta.

b) En qu medida de tendencia central te apoyaras para dar el criterio anterior.

Por qu?

c) Determina el recorrido o rango de la variable analizada.

d) Representa la informacin en un grfico. Por qu seleccionaste este tipo de grfica

e) Calcula la temperatura mxima promedio de ese pas en el mes de febrero.

f)Menciona cinco posibles pases en quese pueden registrar estas temperaturas. Di en que continente se encuentran.

7) La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por los 30 estudiantes de un grupo de 9no grado en una pregunta escrita de Matemtica.

51067899987

9,58,57,56,58,5661098

87,57,56,58,59,58777

a) Construye una tabla de frecuencias de amplitud de clase igual a 1. b) Representa la informacin en un histograma.

c) Calcula la media de las notas obtenidas.

d) Determina la clase mediana.

e) Qu porcentaje de estudiantes obtuvieron notas inferiores a 8 puntos?

f) Cmo valoras la calidad de notas obtenidas en el grupo? En qu medida de tendencia central te apoyaste para dar el criterio.

8) La siguiente situacin muestra alguno de los aspectos del contenido de una encuesta aplicada.

Seala con una cruz (X) donde corresponda:

SEXOESTADO CIVILPREFERENCIAA. Femenino B. Masculino

A. Soltero B. Casado C. Viudo D. Separado

En los ratos libres prefiere:

A. Escuchar msica B. Leer

Supongamos que esta encuesta se aplica a una muestra representativa constituida por 10 profesores de escuelas secundarias. Las respuestas obtenidas aparecen reflejadas en la siguiente tabla:

S: variable sexo EC: variable estado civil P: variable preferenciaSUJETOSSECP

1ABB

2AAA

3BCA

4ADB

5BCA

6BAB

7AAA

8ABA

9BBB

10ACA

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Clasifica las variables medidas en esta encuesta cmo son?

c) Hay diferencias notables entre los solteros, casados y viudos?

d) Qu es ms frecuente en la muestra, encontrar mujeres u hombres?

e) Ser posible encontrar la media del sexo? Justifica tu respuesta.

9) En una investigacin antropomtrica se midieron los pesos de 40 estudiantes universitarios (peso en libras):

138164150132144125149157

146158140147136148152144

168126138176163119154165

146173142147135153140135

161145135142150156145128

a) Haz una distribucin de frecuencias con 12 clases. b) Determina las marcas de clase.

c) Determina las frecuencias absolutas.

d) Determina las frecuencias relativas.

e) Determina las frecuencias relativas acumuladas.

f) Construye el histograma de esa distribucin. utilizando word

g) Convierte a kilogramos el peso de los 10 primeros estudiantes (primera fila)

10). Al realizar el control, en una revisin mdica, del ritmo cardaco a varias personas, se han obtenido los siguientes resultados en pulsaciones por minuto. (Se considera normal un ritmo cardaco de 60 a 100 pulsaciones por minuto).

a) Cuntas personas se controlaron? b) Qu amplitud de clase se utiliz en la confeccin de la tabla?

d) Halla la frecuencia relativa, y exprsala en tanto por ciento.

e) Determina la clase modal.

d) Calcula la media aritmtica del ritmo cardaco de las personas controladas.

e) Si ninguna persona tuvo 101 pulsaciones

por minuto, qu porcentaje de las personas controladas notenan un ritmo cardaco normal?

11) La siguiente grfica muestra el comportamiento dela estatura de los jugadores de la preseleccin de baloncesto de una escuela de deportes.

Frec.

108642150-160 160-170 170-180 180-190 190-200

Altura (cm)

a)Cuntos jugadores tiene la preseleccin?

b) Qu amplitud de clase se utiliz para agrupar los datos?

c) Cul es la clase que muestra la estatura ms frecuente de los jugadores?

d) Halla la estatura promedio de la preseleccin.

e) Determina la clase mediana.

12). Se realiza una encuesta a varias personas, sobre el tiempo promedio diario que dedican a la lectura. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos.

12.1) Selecciona cul de las siguientes proposiciones verdadera.

a) 55 personas leen menos de 30 minutos.

b) El tiempo promedio de lectura de los encuestados es de media hora.

c) La clase modal y la mediana coinciden. d)

Tres de cada cuatro encuestados leen

ms de 45 minutos, como promedio.

12.2) Qu tipo de libro es el ms te gusta leer?

Por qu?

12.3) Qu importancia tiene para ti la lectura?

13) En una fbrica de balones de ftbol se han fabricado balones de distintos volmenes. Al medirse, en centmetros cbicos, se han registrado los resultados que aparecen en la tabla:

a) Qu amplitud de clase se utiliz para agrupar los datos?

b) Es la variable discreta ocontinua? Por qu? c) Calcula el rango del volumen de los

balonesfabricados.Explicacmo procediste para el clculo

d) Halla el volumen promedio de los balones.

e) Determina la clase modal y clase mediana de los volmenes. Por qu las seleccionaste?

f) Representa en un histograma la informacin de la tabla.

g) A qu cuerpo geomtrico se asemeja el baln?

h) Qu relacin matemtica te permite calcular el volumen de aire contenido en dicho baln

14). La siguiente tabla muestra el consumo elctrico, en kWh, durante un mes en los apartamentos que hay en un edificio.

a) Cuntas apartamentos hay en el edificio?b) Cul fue el consumo promedio de los

apartamentos durante ese mes?

c) Si el plan de consumo para cada apartamento

era hasta 200 kWh, qu porcentaje de ellos incumpli con su plan?

d) Halla la frecuencia relativa de la clase modal e) Di la amplitud de clase utilizada.

f) Controla el consumo elctrico de tu casa durante diez das , elabora una tabla de

frecuencia y construye un grfico donde se reflejen estos resultados

15) Abel ha corrido en su vida 50 carreras de maratn. En las ltimas carreras ha anotado los tiempos realizados con la finalidad de comprobar su estado fsico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo (min)Cant. Carreras

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