Estadística

MatemáticaSerie 1 para estudiantes de SecundariaDe la prensa a la MatemáticaFascículo 9: ENCUESTAS

Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 28 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00287

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Daniel Giovanni Proleón PatricioVerificación de estilo MED

Miguel Humberto Fuentes Huerta

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial

María Amparo Vega AguilarHilda B. Villafane RodríguezRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

c

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9 6/18/07 4:22:24 PM6/18/07 4:22:24 PM

1

PRESENTACIÓNEl presente fascículo es un material autoinstructivo que facilita el desarrollo de las capacidades fundamentales, específicas, y las capacidades del área de Mate-mática, así como la vivencia de los valores propuestos en el Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular del nivel de Educación Secundaria.

El conocimiento, como representación de la realidad, suele asumir formas com-plejas, pero utilitarias. En muchas áreas del saber hay que establecer formas de simbolización y proyección que exigen del investigador condiciones y capaci-dades que hagan suficientemente fértiles las acciones que van a caracterizar su tarea científica. Uno de esos campos es la Estadística, rama de la Matemática de gran desarrollo y cultivo a partir del siglo pasado, y que en la actualidad es aplicada por políticos, economistas, educadores, militares, antropólogos, mé-dicos, ingenieros, psicólogos, astrónomos, etc.

¿Quién no conoce que en la actualidad la vida social y práctica se organizan en torno a sondeos de opinión, variables y niveles de producción, promedio de cociente intelectual, resultados de evaluación, resultados de experimentos; términos de gran frecuencia en el análisis e interpretación de los datos que la ciencia provee y que nos ayudan a comprender el mundo?

En este fascículo se planteará cómo las fuentes de comunicación constituyen los medios básicos de información respecto de los hechos humanos o de la naturaleza, y que además permiten hacer comprensible el mundo donde nos movilizamos.

El fascículo contiene las guías y procedimientos que el alumno requiere para concebir e instrumentalizar los modos de acceso en forma técnica, así como el bagaje matemático para entender el entorno y su consecuente manejo prác-tico.

Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de sa-beres previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.

Presentación .......................................................................................................................... �Índice .................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos ......................................................................................... 3Motivación ............................................................................................................................ 4Logros de aprendizaje ........................................................................................................... 4Recuperación de saberes previos ......................................................................................... 4

1. estadística ....................................................................................................................... 5 1.1 Conceptos básicos ...................................................................................................... 5 Actividad 1 ........................................................................................................................ 7

2. distribución de frecuencias Para datos no agruPados ............................................................. 8 2.1 Frecuencia absoluta .................................................................................................... 8 2.2 Frecuencia relativa ..................................................................................................... 9 2.3 Frecuencia porcentual ................................................................................................ 9 2.4 Gráficos de distribución de frecuencias ..................................................................... 9 2.5 Tipos de gráficas ......................................................................................................... �0 2.6 Importancia de los gráficos estadísticos ..................................................................... �3 2.7 Partes de un gráfico ................................................................................................... �3 2.8 Frecuencia absoluta acumulada .................................................................................. �4 Actividad 2 ........................................................................................................................ 16

3. distribución de frecuencias Para datos agruPados ..................................................... �7 3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos? ................................................................................ �7 3.2 Elaboración de tablas estadísticas ............................................................................. �8 3.3 Gráficos de datos agrupados ....................................................................................... 2� Actividad 3 ....................................................................................................................... 22

4. Medidas de tendencia central ...................................................................................... 23 4.1 Media aritmética ........................................................................................................ 23 4.2 Moda .......................................................................................................................... 25 4.3 Mediana ...................................................................................................................... 27 Actividad 4 ....................................................................................................................... 28

5. evaluación ...................................................................................................................... 29

6. Metacognición ............................................................................................................... 30

Bibliografía comentada ........................................................................................................ 3�Enlaces web ........................................................................................................................... 32

índice

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4

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA

LOGROS DE APRENDIZAJE

Identifica conceptos básicos de la Estadística, a través de la resolución de situaciones planteadas, trabajando cooperativamente.

Aplica algoritmos y sigue procesos para la ela-boración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados y no agrupados en forma orde-nada y con precisión.

Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión.

Lee atentamente y responde en una hoja aparte.

Ordena en forma ascendente los siguientes números: 5; -6; 4; ½; 6; 9; -3; 8, 5; 4,5 Se tiene las calificaciones de 20 estudiantes en el área de

Ciencias Histórico Sociales: 14, 16, 12, 08, 17, 06, 08, 11, 12, 10, 15, 14, 12, 11, 13,

17, 15, 16, 14, 16. Ordena en forma ascendente los datos dados. ¿Cuántos estudiantes tienen la menor calificación? ¿Cuántos estudiantes tienen la mayor calificación? ¿Cuál es la calificación/es que más se repite/n? ¿Cuántos estudiantes desaprobaron el área y cuántos

aprobaron? Durante el primer bimestre obtuviste las siguientes no-

tas de matemáticas: 14; 12; 16; 18. ¿Cuál será tu nota bimestral?

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

ENCUESTASMotivación

Cada cinco años, en nuestro país, vivimos pendientes de las encuestas de los medios de comunicación (periódicos, revistas, radio, TV y la internet) que nos llevarán a determinar quién será el nuevo presidente, quiénes tienen más opciones, qué regiones se inclinan más por uno y por otro candidato. Sin embargo, las encuestas son usadas todo el tiempo, y nos sirven para determinar, por ejemplo, qué productos se cotizan más, cuáles se cotizan menos, etc. Y así, diversas opiniones que nos muestran diferentes situaciones a partir de las cuales podemos decidir.

En el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, se muestra una serie de características de los padres, como sus gustos y costumbres. Asimismo, el otro recorte periodístico nos muestra los porcentajes de los gastos por el “Día de la Madre”, su crecimiento respecto del año anterior, las actividades que se realizaron por dicha celebración, los lugares preferidos para las compras y otros datos. Y el recuadro restante nos presenta las tasas de interés en soles y euros, así como la rentabilidad anual de las Administradoras de Fondos Privados (AFP). El presente fascículo nos permitirá aprender a construir y analizar estos datos empleando la Técnica de la Frecuencia y haciendo uso de las diversas estadísticas.

Conociendo mejor a papáYa que mañana es el Día del Padre resultajaejrieroiearjo falesfeoarejai rajeia gus-mfdiam rfaiejfa odaafj eoirj ae a fiemesajfieoajraoir eachocola-aej4roai erar ai rpapáajeirjaiorja merfamiliarejaoijraieraer fueroneiajraoir ar era felices.

Sabía que... (%)De los jefes de hogar son hombres

De los jefes de familia son mayores de 18 años

De los jefes de familia poseen una cuenta de ahorro

De los padres tienen un celular

De los padres acuden a los centros comerciales

De los padres van a los supermercados

81.634.731.447.629.758.3

Principales pasatiempos (%)

33,0%Escuchan música

28,4%Miran

televisión

15,2%Leenlibros

11,2%Hacen

deportes

3,5%Computación,

internet

3,2%Tocan

instrumentomusical

2,8%Cocinan

2,6%Leen

periódicos

PERFIL DEL CONSUMIDOR

12 ECONOMÍA

Deportes que más practican (%)Fútbol

Caminata

Gimnasio

Natación

Correr-Footing

Bicicleta

Básquet

Tenis

Ajedrez

37.64.43.12.92.82.11.71.61.6

Grado de instrucción (%)

Secundaria completa

Técnica completa

Superior completa

Secundaria completa

Posgrado

Superior incompleta

Primaria completa

Técnica completa

Ningún nivel

26.7%19.8%18.3%9.6%7.3%5.9%4.8%2.9%0.3%

42.928.69.18.75.74.13.23.0

Ocupación (%)Trabajador independiente

Empleado

Obrero

Jubilado

Profesional independiente

Estudiante

Desempleado

Ejecutivo empresario

Gasto en regalos por el Día de la

Madre llegó a S/. 176 millonesMARKETING: Estudio22 9 de setiembre del 2004 / EL PERIODICO

Como resultado de la encuesta del

periódico, “Conociendo mejor a

papá”, en ocupación nos dan como

opciones: trabajador independiente,

empleado, obrero, etc., a estas

opciones se les llama variables

cualitativas, y son susceptibles

de clasificación, no se pueden medir.








de clasificación, no se pueden

medir. En cambio, para edades y

tallas obtendrás números, a estos

caracteres estadísticos se les llama

variables cuantitativas; por lo

general, para las edades y número

de vecinos se presentan con números

enteros positivos, mientras que para

las tallas se presentan con números

reales (decimales). A las primeras

se les llama variables cuantitativas

discretas, se pueden contar, como

el número de alumnos de cada aula

de tú institución educativa, y en el

segundo caso, variables cuantitativas

continuas, se pueden medir como

en el caso de las tallas, los pesos, el

tiempo o la temperatura.

















reales (decimales). En cambio, para

edades y tallas obtendrás números,

a estos caracteres estadísticos se les

llama variables cuantitativas.


























En cambio, para edades y tallas

obtendrás números, a estos
































reales (decimales).


















A las primeras se les llama variables

cuantitativas discretas, se pueden

contar, como el número de alumnos

de cada aula de tú institución

educativa, y en el segundo caso,

variables cuantitativas continuas, se

pueden medir.

Cifra presentó un

crecimiento de 21%

respecto al gasto

realizado en la campaña

del 2005

78,0%

29,1%

7,3%6,6%

3,1%2,9%

Reunión familiar en alguna casa

Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa

Visita al cementerio

Paseo familiarNadaOtros

¿Qué hizo usted el Día de la Madre?

Con respecto al 2005,

crece la proporción que

celebra el Día de la Madre

comiendo fuera de casa

(17% a 29%)

Gasto total en regalos

Gasto per cápita

promedio

NSE C37%S/. 65'557.576

S/. 77

2,9%

Gasto per cápita

S/. 65'557.576

NSE D24%S/. 42'097.579

S/. 55 NSE A/B39%S/. 68'374.379

S/. 104

AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2Cifras provisionales, al 24 de mayo

Integra

Horizonte

Unión Vida

Profuturo22,00%

22,50%23,00%

23,50%24,00%

Por disposición de la SBS, Prima no puede mostrar rentabilidad hasta que cumpla un año de operaciones.

Fuente: SBS

Tasas de interésSoles Euros

5,50%

5,18%

4,85%4,53%

4,20%

3,00%

2,68%

2,35%2,03%

1,70%ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d

Fuente: División Mercado de Capitales - Interbank

PORTA FOLIO

5

fascículo 9 / ENCUESTAS

Lee atentamente y responde en una hoja aparte.

Ordena en forma ascendente los siguientes números: 5; -6; 4; ½; 6; 9; -3; 8, 5; 4,5 Se tiene las calificaciones de 20 estudiantes en el área de

Ciencias Histórico Sociales: 14, 16, 12, 08, 17, 06, 08, 11, 12, 10, 15, 14, 12, 11, 13,

17, 15, 16, 14, 16. Ordena en forma ascendente los datos dados. ¿Cuántos estudiantes tienen la menor calificación? ¿Cuántos estudiantes tienen la mayor calificación? ¿Cuál es la calificación/es que más se repite/n? ¿Cuántos estudiantes desaprobaron el área y cuántos

aprobaron? Durante el primer bimestre obtuviste las siguientes no-

tas de matemáticas: 14; 12; 16; 18. ¿Cuál será tu nota bimestral?

1. ESTADíSTiCA 1.1 Conceptos básicos

Definición de Estadística

Es una parte de la Matemática aplicada que nos proporciona instrumentos para recopilar, organizar, resumir, presentar, analizar, hacer predicciones e interpretar datos para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenó-menos de estudio.

Antiguamente la Estadística solo era aplicada a los asuntos del Estado. Ahora, frecuentemente la Estadística se emplea para acontecimientos ordinarios, tales como predicción del tiempo, mediciones, probabilidades futbolísticas, uso popular de productos alimenticios, simpatía de algún personaje público, etc. Pero para ello, es necesario que la Estadística se use adecuadamente para hacer más eficiente las investigaciones que nos proponemos a realizar, por lo que todos los investigadores se deben familiarizar con las técnicas y conceptos básicos de esta ciencia tan útil.

Estadística Descriptiva.- Es la parte de la Estadística que se encarga de recolectar, clasificar, organizar, resumir, presentar y analizar en forma descriptiva sin sacar conclusiones de tipo general.

Estadística inferencial.- Es la parte de la Estadística, cuyo propósito es inferir o deducir conclusiones y/o predicciones con respecto a una pobla-ción en estudio a partir de la información de una muestra. Para asegurar la validez de las inferencias utiliza las Probabilidades.

Población y muestra

Ahora, observa la noticia de la página 4.Como en el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, tú puedes aplicar una encuesta a tus vecinos que sean padres. Puedes tomar las mismas preguntas: edad, ocupación, grado de instrucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras preguntas. Los padres de la cuadra donde vives serían tu muestra y los vecinos de la manzana la población o universo de tu investigación. Estos son conceptos estadísticos.

Población.- Es el conjunto de personas u objetos susceptibles de ser estudiados.Ejemplos: una institución educativa donde se puede estudiar las tallas de los estudiantes, nivel de desnutrición, la procedencia de sus padres. En una ferretería, un stock de focos, etc.

Descriptiva Inferencial

Estadística

Estas dos partes de la Estadística no son mutuamente

excluyentes ya que para utilizar los métodos de la estadística inferencial, se

requiere conocer los métodos de la estadística descriptiva.

PRiMERA DiViSiÓNEquipos PJ PG PE PP GF GC DIF PTS1. FBC Melgar 8 5 � 2 �4 �3 +� 162. Alianza Atlético 8 4 3 � 9 4 +5 �53. Cienciano 8 4 2 2 �4 8 +6 �44. Alianza Lima 8 4 2 2 �4 �0 +4 �45. San Martín 8 4 2 2 �3 �0 +3 �46. Universitario 8 3 2 3 �2 �0 +2 ��7. Sporting Cristal 8 2 4 2 �� 2 -� �08. Sport Boys 7 2 3 2 �0 7 +3 99. Dep. Municipal 8 2 2 4 �� 3 -2 810. Sport áncash 7 � 4 2 6 6 0 711. Bolognesi 8 � 3 4 5 �5 -�0 612. Total Clean 8 � 0 7 6 �7 -�� 3

Tabla de posiciones

El Comercio, 19 de marzo de 2007.

Conociendo mejor a papáYa que mañana es el Día del Padre resultajaejrieroiearjo falesfeoarejai rajeia gus-mfdiam rfaiejfa odaafj eoirj ae a fiemesajfieoajraoir eachocola-aej4roai erar ai rpapáajeirjaiorja merfamiliarejaoijraieraer fueroneiajraoir ar era felices.

Sabía que... (%)De los jefes de hogar son hombres

De los jefes de familia son mayores de 18 años

De los jefes de familia poseen una cuenta de ahorro

De los padres tienen un celular

De los padres acuden a los centros comerciales

De los padres van a los supermercados

81.634.731.447.629.758.3

Principales pasatiempos (%)


28,4%Miran

televisión

15,2%Leenlibros

11,2%Hacen

deportes

3,5%Computación,

internet

3,2%Tocan

instrumentomusical

2,8%Cocinan

2,6%Leen

periódicos

PERFIL DEL CONSUMIDOR

12 ECONOMÍA

Deportes que más practican (%)Fútbol

Caminata

Gimnasio

Natación

Correr-Footing

Bicicleta

Básquet

Tenis

Ajedrez

37.64.43.12.92.82.11.71.61.6

Grado de instrucción (%)

Secundaria completa

Técnica completa

Superior completa

Secundaria completa

Posgrado

Superior incompleta

Primaria completa

Técnica completa

Ningún nivel

26.7%19.8%18.3%9.6%7.3%5.9%4.8%2.9%0.3%

42.928.69.18.75.74.13.23.0

Ocupación (%)Trabajador independiente

Empleado

Obrero

Jubilado

Profesional independiente

Estudiante

Desempleado

Ejecutivo empresario

Gasto en regalos por el Día de la

Madre llegó a S/. 176 millonesMARKETING: Estudio22 9 de setiembre del 2004 / EL PERIODICO








de clasificación, no se pueden medir.










































reales (decimales). En cambio, para

edades y tallas obtendrás números,

a estos caracteres estadísticos se les

llama variables cuantitativas.



























































reales (decimales).


















A las primeras se les llama variables

cuantitativas discretas, se pueden

contar, como el número de alumnos

de cada aula de tú institución

educativa, y en el segundo caso,

variables cuantitativas continuas, se

pueden medir.

Cifra presentó un

crecimiento de 21%

respecto al gasto

realizado en la campaña

del 2005

78,0%

29,�%

7,3%6,6%

3,�%2,9%


Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa

Visita al cementerio



Con respecto al 2005,

crece la proporción que

celebra el Día de la Madre

comiendo fuera de casa

(17% a 29%)


Gasto per cápita

promedio

NSE C37%S/. 65'557.576

S/. 77

NSE D24%S/. 42'097.579

S/. 55 NSE A/B39%S/. 68'374.379

S/. 104

AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2Cifras provisionales, al 24 de mayo

Integra

Horizonte

Unión Vida

Profuturo22,00%

22,50%23,00%

23,50%24,00%


Fuente: SBS

Tasas de interésSoles Euros

5,50%

5,�8%

4,85%4,53%

4,20%

3,00%

2,68%

2,35%2,03%

�,70%ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d


PORTA FOLIO

6

Muestra.- Es un subconjunto de la población, o parte representativa de una población que se desea estudiar.Ejemplo: un grupo de 485 personas de la ciudad de Lima, seleccionado, se le hace una encuesta sobre el programa de erradicación de cultivo de coca.

Variables estadísticas y su clasificación

En una encuesta como la presentada en la página 4 aparecen características como los nombres de los padres con sus ocupaciones, sus edades y sus ta-llas. A cada una de estas características se les denomina variables.

Variable estadística.- Característica o características de una población susceptible de ser medida.

Como resultado de la encuesta periodística “Conociendo mejor a papá”, en cuanto a ocupación, nos da como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc. A estas opciones se les llama variables cualitativas, son susceptibles de clasifi car y no se pueden medir. En cambio, para eda-des y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas. Por lo general, las edades o número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que las tallas se presen-tan con números reales, decimales. A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar (por ejemplo, el número de alum-nos/alumnas de cada aula de tu institución educativa); y, en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, que se pueden medir (como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura).

El siguiente esquema te ilustrará mejor sobre las clases de variables:

Variable Nominal Variable Ordinal

nacionalidad, sexo, estado civil

VARIABLES

Cuantitativa (se puede medir)

Variable Discreta Variable Continua

tallas y pesos de alumnos, temperatura, etc.

año, días de la semana, fecha

¿Está de acuerdo o en desacuerdo con el programa de erradicación de cultivo de coca impulsado por el Estado Peruano?

De acuerdo 57%

En desacuerdo 36%

No precisa 7%

LAS PROTESTAS

Base: total de entrevistados

¿Usted aprueba o desaprueba...?

Los movimientos de protesta en general

Aprueba 49%

Desaprueba 47%

No precisa 4%

El bloqueo de pistas y carreteras que se producen en los actos de protesta

Aprueba 16%

Desaprueba 83%

No precisa 1%

EPOPEYABase: total de entrevistados que conocen o han oído hablar del documento chileno sobre la Guerra del Pacífi co llamado “Epopeya”.

¿Con relación al documental, qué actitud tiene usted?Está bien que el Gobierno Peruano le haya dado importancia,porque perjudica nuestras relaciones con Chile 58%

El Gobierno Peruano no debería darle tanta importancia, es sólo un documento 40%

No precisa 2%

¿Le gustaría o no ver el documental chileno “Epopeya”?

Sí 81%

No 19%

ENCUESTA LIMA

N° de vecinos, N° de CD’s vendidos, N° de hijos, etc.

Cualitativa (no se puede medir): es una

cualidad o atributo

Muestra probabilística de 485 personas



7

Fascículo 9 / ENCUESTAS

Actividad 1Identifi ca conceptos básicos de la Estadística, a través de la resolución de situaciones planteadas, trabajando cooperativamente.Formen un equipo de cuatro integrantes.– Sorteen cada una de las actividades, escribiendo en

un papelito el número de actividad y eligiendo al azar uno de ellos.

– Resuelvan la situación que les tocó.– Compartan con los otros integrantes del grupo, el

procedimiento que utilizaron para resolver la situa-ción que les tocó.

– Escúchense con mucho respeto valorando en todo momento lo que dice la otra persona.

1. Considerando a los estudiantes de tu institución educativa, completa el siguiente cuadro, depen-diendo si el carácter estadístico es constante (in-variable) o variable:

2. Ubica los siguientes caracteres estadísticos en el cuadro según corresponda:a. Profesión de los padres.b. Diámetros de tubos de agua.c. Carrera que deseas estudiar.d. Número de acciones vendidas en la Bolsa.e. Capacidad del depósito de gasolina de un auto

modelo Tico.f. Número de granos de una espiga.g. Número de goles marcados en los partidos de

fútbol del último domingo.h. Color de ojos del conejo.

3. Llena el siguiente crucigrama estadístico:

4. En la “Encuesta Lima” de la pestaña de la pági-na 6, identifi que las variables para los tres casos de encuestas y vea qué clase de variables son.

5. Como te sugeríamos antes, elabora una encuesta a los padres de la cuadra donde vives.

En la encuesta puedes tomar las mismas pre-guntas como: edad, ocupación, grado de ins-trucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras. Es muy importante trabajar con res-ponsabilidad y anotar tus datos con veracidad.

Los datos de tu encuesta podrías organizarlos en un cuadro como este:

Propiedades es ¿Por qué?Sexo variable

Estatura

N° de cursos primer año

Distancia de tu casa a la I.E. constante

Mes de nacimiento

Orden Cualitativa Discretas Continuasa

b

c

d

e

f

g

h

Nombres Ocupación Edad Tallas

2

ESTADISTICA

FRECUENCIA

OS

6

4

1

7

58

3

9

1. Variable que se puede medir.

2. Conjunto de valores.

3. Variable que no se puede medir.

4. Tipo de variable que se puede contar.

5. Conjunto de personas u objetos a ser estudiados.

6. Característica que se puede medir.

7. Resultado de la observación.

8. Subconjunto de una población.

9. Ciencia que se encarga de recopilar, representar y analizar los datos recolectados de una determi-nada población.

NO EESCRIBRIBIRRIRRR

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N O E S C R I B I R

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8

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMáTICA

Observa que en un breve cuadro puedes resumir los datos y tener la facilidad de contestar las siguientes preguntas:– Considerando la Tabla 1:

a. ¿Cuántos padres son obreros? b. ¿Cuántos padres son jubilados? c. ¿A qué ocupación se dedica la mayoría de los padres? d. ¿Hay más padres empleados o estudiantes?

– Considerando la Tabla 2a. ¿Cuántos padres tienen menor edad?b. ¿Cuántos padres tienen mayor edad?c. ¿Cuál es la edad que más se repite?

Con este mismo proceso puedes seguir organizando las demás preguntas de tu encuesta y cualquier otra investigación.

Supongamos que en tu cuadra existen 12 padres, de los cuales: 3 son emplea-dos públicos, 4 obreros, 1 estudiante, 2 empresarios, 2 jubilados; y que sus

2.1 Frecuencia absoluta

Ocupación Frecuencia ( fi )

ObrerosEmpleadosEmpresariosJubiladosEstudiantes

4322�

Total �2

Tabla 1: Variable cualitativaEdades Conteo Frecuencia ( fi )20 años25 años38 años40 años42 años58 años60 años

////////////

�23�2�2

Total �2

Tabla 2: Variable cuantitativa discreta

Tablas.- Son cuadros que facilitan la comprensión y posterior análisis y utilización de los datos, los cua-les deben constar de:• Un título adecuado que exprese brevemente su

contenido.• Considerar fuente de datos.• Las unidades en que se expresan los datos.

Frecuencia absoluta.- Número de veces que apa-rece un valor. Se denota por: fi .

La Estadística nos permite medir diversos aspectos de la población.

2. DiSTRiBUCiÓN deFRECUENCiASDATOS AGRUPADOS

parano

San IsidroLima

MirafloresSurco

San J. de LuriganchoLa VictoriaLa MolinaSurquillo

LinceSan Martín de Porres

AteBarranco

BreñaChorrillos

ComasEl AgustinoJesús MaríaLos OlivosMagdalena

Pueblo LibreRímac

San J. de MirafloresSan Luis

San BorjaSan MiguelSanta Anita

IndependenciaVilla El Salvador

Villa María del TriunfoAncón

CarabaylloLurín

PachacámacPucusana

Puente PiedraSan Bartolo

18 12 9 6 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 211111111

En Lima existen unos 140 notarios, pero en San Isidro se agrupa la mayor parte de ellos. De otro lado, la comparación de costos que hace el Indecopi respecto a las tarifas notariales regidas o no por un arancel nos da un panorama de cómo variarían los precios.

Carta Precio Arancel Var.notarial promedio notarial %emitida * **en elmismodistrito S/. 18,7 S/. 19,6 4,7Cartanotarialemitada amenos de15 km deldistritonotarial S/. 25,4 S/. 32,7 28,6Copiascertificadas S/. 9,0 S/. 19,6 117,7Legalizaciónde firmas S/. 9,1 S/. 11,4 25,6

* Vigentes entre el 7 de febrero y el 7 de marzo del año 2003.** Vigente en 1993.

Comparación de precios en servicios notariales

Fuente: Página web del Colegio de Notarios/Indecopi El Comercio, 18 de marzo de 2007

“Cuadro de frecuencias de la existencia de notarios en la ciudad de Lima”.

edades fueran: 20 años, 38 años, 28 años, 40 años, 25 años, 42 años, 58 años, 60 años, 38 años, 60 años, 42 años, 25 años.Podrías organizarlos en las tablas siguientes, llama-das Tablas de distribución de frecuencias.

Así están divididos

9

2.2 Frecuencia relativaVuelve a observar el recorte periodístico de la página 4. En la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá” también puedes observar el grado de instrucción de los padres, pero las frecuencias las dan en porcen-taje, a esta frecuencia se le llama frecuencia relativa.

¿Cómo se obtiene la frecuencia relativa?Si consideramos la Tabla 1, de las ocupaciones, tienes que dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos (suma de todas las frecuencias absolutas).4

120 33

312

0 252

120 17

112

0 08= = = =, ; , ; , ; ,

Luego, la frecuencia relativa es:

Frecuencia relativa.- Es el cociente entre las frecuencias absolutas y el número total de datos. Se denota por: h

i .

Su tabla de frecuencias relativas y conceptuales será:

Ocupación fi absoluta h

i relativa p

i porcentual

ObrerosEmpleadosEmpresariosJubiladosEstudiantes

43221

0.330.250.170.170.08

33%25%17%17%8%

Total 12 1.00 100%

Completa la tabla de frecuencia relativa y porcentual de la Tabla 2.

Edades fi absoluta h

i relativa p

i porcentual

20 años25 años38 años40 años42 años58 años60 años

1231212

0.080.17……………

8%17%……………

Total 12 … …

2.4 Gráficos de distribución de frecuenciasLos datos también pueden presentarse mediante gráfi cos, como los de la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, la de los gas-tos por regalos realizados en este año por el “Día de la Madre” u otros que seguramente has visto en medios de comunicación (la televisión, los perió-dicos, revistas, etc.). Observa detenidamente los siguientes gráfi cos:

2.3 Frecuencia porcentual

Frecuencia porcentual.- Es la frecuencia relativa expresada en porcen-tajes. Se denota por: p

i .

Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje, se multiplica por 100 a la frecuencia relativa.

Tabla 3

Tabla 4

Personajes¿Cuál cree usted que es la principal razón por la qué Ántero Flores-Aráoz renunció al PPC?(Del total de entrevistados que conocen o han oído hablar sobre la renuncia de Ántero Flores-Aráoz al Partido Popular Cristiano)

La actitud poco fraternade algunos dirigentes del PPC

No aceptaba el liderazgode Lourdes Flores

Aspira a ser primer ministrodel gobierno de Alan García

Lourdes Flores no quiere quecompita con ella para lacandidatura de las eleccionespresidenciales del 2011

No precisa

30%

25%

22%

15%

8%

Fuente: Apoyo Opinión y Mercado S.A.

¿Está usted de acuerdo o en desacuerdo con el nombramiento de Julio César Uribe como técnico de la selección peruana?(Del total de entrevistados afi cionados al fútbol)

61%

35%

4%De acuerdo

En desacuerdoNo precisa

¿Cree usted que el Perú clasifi cará o no clasifi cará al Mundial de Sudáfrica 2010?(Del total de entrevistados afi cionados al fútbol)

32%

54%

14%

Clasifi caráNo clasifi cará

No precisa



10


2.5 Tipos de gráficas

a. Gráfi co de líneas

¿Cómo se construyen?

Sigue el siguiente proceso:

1º Construye un sistema de coordenadas.

2º Haz corresponder un punto del eje de la abscisa o eje X positivo con los datos de la variable en estudio, cuidando el orden y la proporción de distancias entre dato y dato.

Observando el gráfi co tenemos:

– Que la mayor parte de los padres son tra-bajadores.

Gráfi co estadístico.- Es la representación de los datos o valores recogidos, en forma de dibujo, de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. Permite dar una visión panorámica de la totalidad de la información.

78,0%29,1%

7,3%6,6%

3,1%2,9%


Almuerzo/cena/desayuno fuera de casaVisita al cementerio



Con respecto al 2005,crece la proporción que

celebra el Día de la Madrecomiendo fuera de casa

(17% a 29%)


Gasto per cápita promedio

NSE C37%S/. 65'557.576S/. 77

NSE D24%S/. 42'097.579S/. 55 NSE A/B

39%S/. 68'374.379S/. 104

Tasas de interés

Soles Euros

5,50%

5,18%

4,85%

4,53%

4,20%

3,00%

2,68%

2,35%

2,03%

1,70%ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d


0

123456789

28

42

Trab. Ind. Obr. Jub. Prof.I. Est. Des. Ejec.

variable

*

*

**

*

**

f

3º Sobre el eje de la ordenada o eje Y (verti-cal), ubica los valores de la frecuencia ab-soluta o de la frecuencia relativa.

4º Ubica el punto en el primer cuadrante, que represente al par variable y su frecuencia.

Considerando la tabla ubicaremos el punto que representa al par (obrero y su respecti-va frecuencia) y demás pares:

AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2

Cifras provisionales, al 24 de mayo

Integra

Horizonte

Unión Vida

Profuturo

22,00%22,50%

23,00%23,50%

24,00%


Fuente: SBS

Gráfi co 3

Gráfi co 2

Gráfi co 1

ocupación

1990 2000 2001 2002 2003 2004 2005

35302520151050

26,7 27,9 29,61 29,3733,45

26,1 26,11

Importación de librosActualmente el ingreso de los libros al país está gravado con el 12% de aranceles.

En millones de dólares.


Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10 6/13/07 10:36:11 AM6/13/07 10:36:11 AM

11


Las variables de datos principalmente usadas en los gráfi cos de barras son las de tipo cualitativo (llamado también categórico) y las variables discretas. Para variables continuas seguiremos un procedimiento espe-cial más adelante.

– Un menor número de padres son desempleados y ejecutivos.

– Un gran número de padres son empleados.

Luego, el gráfi co de líneas es la representación de los datos mediante líneas.

b. Gráfi co de barras Es aquella representación gráfi ca bidimensional donde los datos son re-

presentados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente, de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar.

Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o vertical-mente. En este último caso reciben también el nombre de gráfi cos de columnas.

Considerando la lámina del periódico, veremos que los caracteres esta-dísticos como edad de los padres, ocupación y deportes que más practi-can, están representados en gráfi cos de barras horizontales.

Considerando la Tabla 2, su gráfi co de barras es el siguiente:

c. Gráfi co circular

De los gráfi cos que se presentan al inicio de la sección 2.4 se observa un informe periodístico sobre las actividades realizadas y el porcentaje de gastos por regalos realizados en el 2006, por el “Día de la Madre”. El primero está representado en un gráfi co de barras. El segundo, si obser-vas bien el estuche de Mamá, (pag 10) es también un gráfi co estadístico, llamado gráfi co circular. Algunos investigadores lo llaman también gráfi co de sectores.

Edades ( f i)

20 años25 años38 años40 años42 años58 años60 años

1231212

Tabla 2 Gráfi co 4

0

1

2

3

4

20 a

ños

38 a

ños

42 a

ños

60 a

ños

Frecuencia ( fi )

Frecuencia ( fi )

25 a

ños

40 a

ños

58 a

ños

158

1.847

2000

761.308

2001

121

2002

211

1.992

2003

309

2.718

2004

336

3.509

2005

1.479

0

ReedicionesPrimera edición

Números de títulos producidosEn el Perú

Gráfi ca de producción de libros en el Perú


Planifi que su rutina diariaSon numerosos las actividades que usted puede realizar a diario, no sólo para mantenerse en forma, sino principalmente para prevenir enfermedades. Escoja las que más prefi ere.

1,050700700

560560560

490455

420420

315315

280245

210151

140105105Tipear en la computadora

Tener sexoManejar un auto

Lavar la ropaJugar al bowling

Bañar al perroJugar pimpón

BailarJugar el golf

NadarMover muebles

Practicar aeróbicosHacer jogging

Montar bicicleta (20 km/hora)Hacer abdominales

Subir escalerasCorrer (10 km/hora)

Jugar fútbolPracticar Tae Bo

Consumo de calorías por actividad (1 hora) Actividad física recreacionalpor nivel socioeconómico (Mujeres)

Nivel socioeconómico bajoNivel socioeconómico alto

Chile Perú Brasil

3%

13%

7,2%

17%

26,3%

2,8%

Plan para una semanaGastar más de1.500 kcalorías

Subir20 pisos

Caminar15 km

1 kcaloría = 1.000 calorías

El Comercio, 18 de marzo de 2007.Fuente: Caloriesperhour.com/ Dr. Víctor Matsudo

Gráfi ca en forma horizontal


�2

Observa cómo se elabora un gráfico circular con los datos de la tabla.

1º Se reparten los 360º del círculo en partes proporcionales, para lo cual realizamos una regla de tres simple en cada caso:

Observa el gráfico adjunto

En el recuadro interior nos indican los colores que representan cada va-riable; a este recuadro se le llama leyenda.

Este tipo de representación permite visualizar mejor y es más apropiada para reflejar datos cuya variable es cualitativa. También es frecuente su uso para frecuencias relativas.

Análisis del gráfico:

El sector verde, el más amplio, nos indica que el mayor porcentaje de alum-nos/alumnas viaja en bus escolar, seguido de los que viajan en bus urbano.

Número de alumnos Grados sexagesimales

200 360º80 xº200 36030 xº200 36050 xº

200 36040 xº

Variable estadística Bus escolar Automóvil Bus

urbano Bicicleta Total

Frecuencia absoluta (Nº de alumnos) 80 30 50 40 200

USO DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTETabla 5

Bus escolar

Automóvil

Bus urbano

Bicicleta

Estas medidas permitirán dividir el círculo en sectores que representarán a cada variable

Frecuencia absoluta (Nº de alumnos)

Bus escolarAutomóvilBus urbanoBicicleta

Gráfico 6

El gráfico circular es la representación de datos mediante un círculo, donde se hace corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el número total de datos con los 360º que mide la longitud de la circunferencia.

¿Cómo se construye? Sigue el procedimiento mediante el siguiente

ejemplo: Consideraremos los datos de la tabla que co-

rresponden a una encuesta hecha a 200 alum-nos/alumnas, teniendo como carácter estadísti-co el medio de transporte que usan para ir de su casa al colegio. La tabla está construida en forma horizontal.

Sí No Sí No

Acceso auna biblioteca

Acceso aInternet

1 ¿Qué le parece más adecuadopara la educación de su hijo?

2 Usa Internet como fuente de consulta porque...

Es másrápido 79,7%

Es másconfiable 4,9%

Es másbarato 4,2%

No tieneacceso a

una biblioteca 11,2%

Respuestas: 757Respuestas: 769

3 ¿Cuán útil cree usted que es Internet para la educación de su hijo?

Muy útil 38,9%

Útil 45,2%

Algo útil 14,4%

Nada útil 1,6%

Respuestas: 763

6 ¿Cuál cree que es el mayor aportede Internet a la educación desus hijos?

Mayor accesoa la información 58,6%

21,2%

14,3%

5,9%

Respuestas: 760

Los familiariza rápidamentecon las nuevas tecnologías

Nuevas opcionespara aprenderPosibilidad de

interactuar con otros

4 ¿Cree que Internet estimulala investigación?

Respuestas: 758

5 ¿Supervisa usted que su hijo nocopie de Internet los trabajos?

Respuestas: 755

El Comercio, 18 de marzo de 2007.Fuente: www.elcomercioperu.com.pe

43,3% 56,7%

30,1%69,9% 48,2%51,8%

La red y la educación de sus hijosUn sondeo realizado a través de la página web de El Comecio nos ofrece una imagen de lo que nuestros lectores piensan de Internet como herramienta educativa.

Gráfico circular sobre sondeo del uso educativo de Internet

Destinos de las exportaciones de libros

De libros, folletos e impresos del Perú 2005

Otros27%

Chile23%

EE.UU.20%

México10%

Ecuador15%

El Salvador15%


�3

fascículo 9 / ENCUESTAS Con solo observar, podemos decir que la menor cantidad de estudiantes

viajan en automóvil.

d. Pictogramas

Observando la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, veremos que la representación gráfica de la frecuencia porcentual de las variables se da mediante imágenes. También podemos encontrar gráficos con representación de objetos y/o personas, a los cuales se les denomina Pictogramas.

Ejemplos:1. Principales pasatiempos El signo musical representa que el 33,0% de padres

escucha música. La cuchara nos muestra que a 2,8% de los padres les

gusta cocinar. La raqueta nos muestra que el ��,2% de los padres

hace deporte. Así puedes deducir en los demás casos.

2. Número de hijos por familia Nos muestra que la mayoría de las familias de la muestra tienen

dos hijos, seguidas de las que tienen un solo hijo. Además, que la menor cantidad de familias de la muestra tiene 5 hijos.

2.6 Importancia de los gráficos estadísticos

a. Son esenciales en el estudio y presentación de trabajos estadísticos y de investigación. Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del análi-sis e interpretación de datos.

b. Permiten observar en forma instantánea el comportamiento de la varia-ble o variables.

c. Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el futuro.

2.7 Partes de un gráfico estadístico

Para la presentación de los resultados de un trabajo estadístico debe conside-rarse los siguientes elementos:1. El título: que exprese el contenido del gráfico.2. La escala: se utiliza el sistema cartesiano, graduándose cada eje según la

naturaleza de las variables y frecuencias.3. El cuerpo: viene a ser el gráfico en sí.4. La fuente: indica el origen de los datos estadísticos que se están repre-

sentando. Si proviene de una encuesta, quiénes la realizaron y la fecha en que se hizo.


28,4%Miran

televisión

15,2%Leenlibros

11,2%Hacen

deportes

3,5%Computación,

Internet

3,2%Tocan

instrumentomusical

2,8%Cocinan

2,6%Leen

periódicos

� 2 3 4 5

Cuerpo

Fuente

Título

�4

Tabla 6: Número de hermanos de estudiantes del tercer grado

Número de hermanos

(xi)

Número de estudiantes

( fi )0�23456

39�32��30

Fuente: Entrevista a alumnos

Número de hermanos

(xi)fi fi

0�23456

39�32��

3�22527282930

Total 30

Tabla de frecuencias absolutas acumuladas

Tabla 7:

(xi) fi fi Hi

0

�

2

3

4

5

6

3

9

�3

2

�

�

�

3

�2

25

27

28

29

30

Total 30

330 = 0.1

�230 = 0.4

2530 = 0.832730 = 0.9

2830 = 0.93

2930 = 0.96

3030 = 1

Tabla 8:

A estos valores los llamaremos frecuencia absoluta acumulada. Para el resto de los valores de la variable estadística calcularemos las frecuencias absolutas acumuladas en la Tabla 7, que denominaremos tabla de frecuen-cias absolutas acumuladas.

¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a tres hermanos? Rpta.: 27¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cuatro hermanos? Rpta.: 28¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cinco hermanos? Rpta.: 29¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a seis hermanos? Rpta.: 30, que, como observarás, es igual al número total de datos.

Luego:

Frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable xi , es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi . Se representa por fi

fi = f� + f2 + f3 +…+ fi

Si existe la frecuencia absoluta acumulada, ¿será posible calcular la fre-cuencia relativa acumulada? ¿Cómo la calculamos?Dividimos cada una de las frecuencias absolutas acumuladas, fi , entre el número total de los datos, y obtendremos la frecuencia relativa acumulada. La representaremos por Hi es decir:

Podemos construir la Tabla 8, que denominaremos tabla de frecuencias relativas acumuladas:

H H H H� 2 3 73

30�230

2530

303 ; ; ; ......... ; 00

Sería: 3 + 9 = 122. ¿Cuántos estudiantes tienen menos e igual a 2 hermanos? Sería: 3 + 9 + 13 = 25

2.8 Frecuencia absoluta acumulada

Consideremos la siguiente situación: a los estudiantes de un aula de tercer grado de una institución educativa se les preguntó el número de hermanos que tenían. De los 30 estudiantes, algunos tenían un solo hermano; la mayoría tenía dos hermanos. En la Tabla 6 presentamos el número de hermanos y el número de estudiantes según la situación indicada.

Si nos hacen las siguientes preguntas:1. ¿Cuántos estudiantes tienen menos de dos hermanos?

Tabla de frecuencias relativas acumuladas

�5

Ejemplos:1. Construir las tablas de frecuencias absolutas, relativas,

acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los si-guientes experimentos: a. Si al lanzar una moneda 100 veces obtenemos: 64

caras y 36 cruces.b. Si al lanzar un dado 1 000 veces obtenemos: uno

170 veces, dos 185 veces, tres 195 veces, cuatro 160 veces, cinco 120 veces y seis 170 veces.

Resolución: En las tablas siguientes podemos dar nuestras respuestas:

a.xi fi hi fi Hi

Cara 64 0,64 64 0,64Cruz 36 0,36 �00 �

�00 �

xi fi hi fi Hi

�23456

�70�85�95160�20�70

0,�70,�850,�950,160,�20,�7

�703555507�0830

� 000

0,�70,3550,5500,7�00,830

�� 000 �

b.

Teniendo en cuenta los datos de la tabla 10, representaremos gráficamente a las frecuencias absolutas acumuladas o también denominadas “ojiva”.

Tabla 9 Tabla 10

xi fi

�23456

�703555507�0830�000

Tabla de frecuencia acumulada

Tabla 11

� 2 3 4 5 60

500

�000

�500

variable

Ojiva

frec

uenc

ia a

cum

ulad

a

xi

fi

Gráfico 7

Luego:Encuestas sobre congresistas

OPCIONES Siempre o casi siempre

La mayoría de las veces

Pocas veces

Nunca o casi nunca

No Precisa

Total %

Cumplen las promesas ofrecidas durante ñas campañas electorales

2.0 % 4.0 % 57.0 % 36.0 % 1.0 % �00%

Usan sus cargos para benifio personal 53.0 % 33.0 % 11.0 % 2.0 % 2.0 % �00

%Toman las decisiones correctas para el país 5.0 % 13.0 % 64.0 % 16.0 % 3.0 % �00

%

¿Qué tan honestos u honrados cree que son los congresistas?

�%46%

24%

28%

�%No precisa

Mucho

Algo

Poco honrado

Nada

FICHA TÉCNICA / Encuestadora: Pontificia Universidad Católica del Perú / Nº de registro: 0108-REE/JNE / Uni-verso: Mayores de 18 años, habitantes de 31 distritos de Lima Metropolitana / Marco Muestral: Se hizo utilizando como marco muestral la cartografía digital del INEI del 2004 / Tamaño de la muestra: 449 personas / Error: ± 4.62% / Nivel de confianza: 95% / Técnica: probabilística polietá-pica / Fecha: 2 y 3 de marzo del 2007 / Financiamiento: Pontificia Universidad Católica del Perú. Ficha completa en página web: www.pucp.edu.pe

Fuente: Pontificia Universidad Católica del Perú

En general, ¿con qué frecuencia diría Ud. que los congresistas...?

¿Recuerda usted alguna ley aprobada por el Parlamento actual?

�0%Sí 90%

No

La República, 18 de marzo de 2007.

Frecuencia relativa acumulada de un valor xi , es el co-ciente entre la frecuencia absoluta acumulada del xi y el número total de datos. La frecuencia absoluta acumulada del valor xi se representa por Hi

Ventas totalesEn el PerúEl mercado edito-rial iniciaría unamoderada reacti-vación. La Cámara Peruana del Libro considera que este año habrá un creci-miento de 15%.En millones de US$.

30 38 42

55 6070

108 14

11 16 23

1214

23

15

26

16

20012002

20032004

20052006

La República, 19 de marzo de 2007.

2. Considerando la situación de los estudiantes del tercer grado de una institución educativa, que vimos anterior-mente, sobre el número de hermanos que tenía cada uno de ellos, se informó también que provenían de diferentes

Textos escolares

Interés general

Colecciones placismo

16


Actividad 2últimas emergenciasLluvias intensas y heladas se han presentado desde la quincena de febrero en Ayacucho, Huancavelica, Junín, Huánuco, Pasco, Cusco, Cajamarca, Arequipa y Apurímac. En los últimos días se han producido desbordes de ríos y huaicos que han afectado viviendas, centros educativos y áreas de cultivo, informó el Instituto Nacional de Defensa Civil (INDECI). - Forma un equipo de cinco personas.- Analicen y llenen la siguiente tabla.- Interpreten el gráfico correspondiente.EVALUACIÓN DE DAÑOS PRODUCIDOS POR HELADAS Y GRANIZADAS

intervalo de clase Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados,

llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por: [Li - Ls] Li es límite inferior Ls es límite superior

xi fi fi hi Hi

Cajamarca

Huaraz

Lima

Arequipa

Ayacucho

�9

7

2

�

�

�9

26

28

29

30

30 � �

xi fi fi hi Hi %

0

�

2

3

4

5

6

3

9

�3

2

�

�

�

3

�2

25

27

28

29

30

�0

40

83

90

93

96

�00

N = 30 � �

330930�330230�30�30�330

330�23025302730283029303030

�930

�930

730

2630

230

2830

�30

2930

�30

3030

Recuerda que la frecuencia relativa puede expresarse en porcentaje, multiplicando por �00, también se realiza el mismo procedimiento para Hi .

Tabla 12Tabla 13

Región xi

fi Afectados

fi fi casas

afectadas

fi Ha de cultivo perdido : fi

fi

Ayacucho 162,230 475 16,299

Huancavelica 218,600 670 22,306Junín 2,500 300 3,646Puno 800 302 4,507

Apurímac 144,630 40� 1562Huánuco 900 200 2,854

Pasco 34� �80 887Arequipa �,443 396 300

Cusco �,320 20� 2,�32Cajamarca 850 90 54

Total

provincias: 19 de ellos eran cajamarquinos, 7 eran huaracinos, dos limeños, un arequipeño y un ayacuchano. Debemos construir las tablas de frecuen-cias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los lugares de donde provienen y del número de hermanos:

Resolución: Como en el caso anterior, daremos las respuestas en una sola tabla:

- Representar gráficamente los resultados (mínimo 2 gráficos diferentes) .- Interprete resultados y hagan conclusiones.- ¿Puedes hacer un gráfico con el cual se note claramente que la región más afectada fue Huancavelica en

comparación con las otras regiones?- Encuentre dos regiones de tal manera que, al unirlas, el porcentaje de hectáreas afectadas sea del 8,10%

con respecto al total de hectáreas afectadas.

�7


3. DiSTRiBUCiÓN de FRECUENCiAS

Hasta aquí, en nuestros ejemplos, no hemos utilizado variables continuas ni variables discretas en mayor número, es más, dijimos que tenían un proceso especial. ¿Qué hacer en esos casos? Veamos.

paraDATOS AGRUPADOS

3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos?

A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenada-mente con los datos de una muestra con variable continua:

1. Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolec-ción de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación).

2. Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocare-mos en orden creciente o decreciente.

3. Rango: determinar las diferencia entre el mayor y menor de los da-tos. Se representa por R.

4. Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, di-vidiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases deben tener la misma amplitud o longitud.

Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy pequeño, se pierde información; mientras que, si es muy grande, se introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor se halla con la siguiente fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas de aproximación.

5. Determinación de la amplitud o longitud de los intervalos. Se determina dividiendo el rango entre el número de intervalos:

Recuerda que las variables continuas están representadas por los pesos, las tallas, las temperaturas.

l = R K

Variables continuas

intervalo de clase Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados,

llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por: [Li - Ls] Li es límite inferior Ls es límite superior Estrategia de

ingreso al mercado

Primera fase

Acopio Venta Exportación

Segunda fase

Extender la producción Envasado

Exportación peruanaHigos frescos y secos (En US$)600.000500.000400.000300.000200.000100.000

2005 2006

215.493

504.979

134% de crecimiento

Fuentes: Patricia Zumaeta / ADEX Trade


18

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMÁTICA Con el fin de que la clasificación sea uniforme, los intervalos se deben

construir de tal manera que el extremo superior de una clase coincida con el extremo inferior de la siguiente. Así, en el intervalo [40 – 45 se contabilizan todos los pesos desde los 40 kg (incluido este valor) hasta 45 kg (excluido este valor que se contabiliza en la siguiente clase).

Si [a – b es el intervalo de clase, se tiene que:

a: Límite inferior o valor mínimo que puede tomar un dato.

b: Límite superior que no puede ser igualado ni superado por un dato.

3.2 Elaboración de tablas estadísticas

En ella deberán figurar los intervalos de clase, el Conteo. Efectuaremos el recuento de los datos, ubicándolos en la clase respectiva, y las frecuencias, ya sean absolutas, relativas, acumuladas. También se puede hacer una sola tabla donde se incluya las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas, ab-solutas acumuladas, las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes.

Ejemplo:

1. Recogiendo los pesos de 72 estudiantes de dos secciones del primer gra-do de secundaria del colegio Guadalupe, tenemos:

44; 47,2; 45,5; 40; 41,8; 38; 47,6; 40,4; 51; 49,5; 43,5; 54; 39,4; 44,2; 39; 53,6, 40,2; 41,3; 40,2; 55; 40,7; 53; 43,5; 44; 49; 46,4; 41,2; 45; 44,8; 47,1; 49,5; 50,8; 52,3; 39,7; 49; 36; 42,4; 43; 46; 41,5; 40; 48,5; 45,1; 47,2; 49,8; 43; 41,5; 44,9; 40,2; 47; 38,6; 50; 40,7; 39,6; 51,9; 42; 45,2; 40,3; 40,5; 42,6; 48; 40; 39,3; 46,3; 40,6; 37,8; 39,1; 41,4; 39; 48; 42,5; 40

a. Identifica los 7 datos con menor valor.

b. Determina cuántos estudiantes pesan menos de 40 kg

c. Determina cuántos estudiantes pesan entre 46 kg y 56 kg

d. Determina qué porcentaje de estudiantes pesa 51 kg o más.

Resolución:

1. El grupo de datos presenta dos características a resaltar: son muchos y, además, forman un abanico muy grande de valores. Por ello, lo más práctico es agruparlos en intervalos de clase.

Marca de clase ( xi ) La marca de clase de un intervalo de clase [ Li - Ls se define como la semisuma de los límites inferior y superior de cada intervalo de clase. Esto es:

Donde:xi es marca de claseLs es límite superiorLi es límite inferior

El término histograma fue utilizado por primera vez por Karl Pearson (1857-1936) en sus conferencias sobre gráficos estadísticos en 1981.Karl Pearson, inglés, ejerció la abogacía al tiempo que continuaba simultáneamente con sus actividades políticas y literarias.A los veintisiete años comenzó a impartir clases de Matemática aplicada en la Universidad de Londres.Hizo aportes importantísimos a la Estadística, que es la que actualmente tiene mayor influencia en todos los campos del saber.

19

Fascículo 9 / ENCUESTAS2. Podemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. O

podemos organizarlos ya en la tabla después de formados los intervalos de clases.

3. Por otra parte, determinamos la amplitud de cada intervalo, primero ha-llamos el rango o recorrido de la variable en estudio:

R = 55 – 36 = 194. Usando la regla de Sturges: “k = 1 + 3, 3 log N” calculamos el número de intervalos. Esto es: k = 1 + 3, 3 log (72) k = 1 + 3, 3 (1,86) k = 7,138 ⇒ k ≈ 8 Luego consideramos 8 intervalos de clase.5. Calculemos ahora la amplitud de cada intervalo: 19 dividido entre el

número de intervalos, que puede ser 8, da por cociente 2,4 (aproximado al décimo), pero para facilitar el trabajo sin dejar de incluir algún dato, decidimos que el valor de la amplitud de cada intervalo sea 2,5.

6. Agrupamos y organizamos los datos y elaboramos una tabla.

[36 – 38,5⟩ 36; 37,8; 38

[38,5 – 41⟩ 38,6; 39; 39; 39,1; 39,3; 39,4; 39,6; 39,7; 40; 40; 40; 40; 40,2;

40,2; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7; 40,7;

[41 – 43,5⟩ 41,2; 41,3; 41,4; 41,5; 41,5; 41,8; 42; 42,4; 42,5; 42,6; 43; 43

[43,5 – 46⟩ 43,5; 43,5; 44; 44; 44,2; 44,8; 44,9; 45; 45,1; 45,2; 45,5

[46 – 48,5⟩ 46; 46,3; 46,4; 47; 47,1; 47,2; 47,2; 47,6; 48; 48

[48, 5 – 51⟩ 48,5; 49; 49; 49,5; 49,5; 49,8; 50; 50,8

[51 – 53,5⟩ 51; 51,9; 52,3; 53

[53,5 – 56] 53,6; 54; 55

Con la tabla anterior, podemos responder las siguientes preguntas:

a. Los 7 pesos de menor valor son 36; 37,8; 38; 38,6; 39; 39,1; 39,3.

b. 11 estudiantes pesan menos de 40 kg.

Sin embargo, las preguntas restantes y otras más que podrían plantearse, se responden mejor con ayuda de una tabla de frecuencias, para cuya confección hacemos primero un conteo de los datos:Tabla 15

Tabla 14

Intervalo de clase(peso corporal expresado en kg)

Conteo

[36 – 38,5⟩ III

[38,5 – 41⟩ IIII IIII IIII IIII I

[41 – 43,5⟩ IIII IIII II

[43,5 – 46⟩ IIII IIII I

[46 – 48.5⟩ IIII IIII

[48,5 – 51⟩ IIII III

[51 – 53,5⟩ IIII

[53,5 – 56] III

HISTOGRAMA

Intervalos de clase

Polígono de Frecuencia

Curva de frecuencias

PESO CORPORAL DE LOS ESTUDIANTES


20


En la tabla de frecuencias aparecen, además de cada uno de los ocho inter-valos de clase y sus respectivas frecuencias, las marcas de clase obtenidas mediante la semisuma de los respectivos valores extremos de cada uno de los intervalos. Así, la marca de clase del primer intervalo es el número que representa al intervalo de clase. Esto es:

Marca de clase del intervalo 36 38 52

37 25+

=,

, → xi = 37,25

La marca de clase nos será útil para grafi car los datos agrupados.Comprueba en la tabla si la marca de clase obtenida es la que corresponde a cada intervalo de clase.

Recordemos que la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites superior e inferior de un intervalo de clase.

Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos simbolizarlo con “c”. Así, en este caso todos los intervalos tienen la misma amplitud: (c = 2,5)

En adelante, para simplifi car nuestro aprendizaje, asumiremos que todos los intervalos de clase presentan la misma amplitud.

Como se puede observar en la tabla, la penúltima columna corresponde a la frecuencia relativa, identifi cada con el símbolo “h”. Los valores de la fre-cuencia relativa también se pueden expresar como porcentaje si el cociente anteriormente señalado es multiplicado por 100:

Frecuencia relativa porcentual: pi = h

i 100%

Con ayuda de la última tabla, damos respuesta a las preguntas:

c. Los estudiantes que pesan entre 46 kg y 56 kg son 25, pues (10 + 8 + 4 + 3 = 25)

d. El porcentaje de estudiantes que pesan 51 kg o más es 9,73 %.

(5,56 % + 4,17 % = 9,73 %)

7. Elaboramos la tabla estadística:

Peso corporal de los estudiantesIntervalo

de clase

Marca de

clase ( xi )

Frecuencia

( fi )

Frecuencia

relativa ( hi )

Frecuencia relativa

porcentual (hi 100) %

36 – 38,5⟩ 37,25 3 0,0417 4,17 %

38,5 – 41⟩ 39,75 21 0,2917 29,17 %

41 – 43,5⟩ 42,25 12 0,1667 16,67 %

43,5 – 46⟩ 44,75 11 0,1528 15,28 %

46 – 48.5⟩ 47,25 10 0,1389 13, 89 %

48,5 – 51⟩ 49,75 8 0,1111 11,11 %

51 – 53,5⟩ 52,25 4 0,0556 5,56 %

53,5 – 56] 54,75 3 0,0417 4,17 %

n = 72

Tabla 16

John Forbes Nash. Matemático

estadounidense.

Premio Nobel 1994.

Nació el 13 de junio de 1928 en

Bluefield, Virginia.

Contribuyó en el desarrollo de la

Teoría de Juegos.

http://www.adeptis.ru/vinci/john_

forbes_nash10.jpg


21


Peso corporal de los estudiantes

Intervalode clase

Marca de clase ( x

i )

Frecuencia( f

i )

Hi

[36 – 38,5⟩ 37,25 3 3

[38,5 – 41⟩ 39,75 21 24

[41 – 43,5⟩ 42,25 12 36

[43,5 – 46⟩ 44,75 11 47

[46 – 48.5⟩ 47,25 10 57

[48,5 – 51⟩ 49,75 8 65

[51 – 53,5⟩ 52,25 4 69

[53,5 – 56] 54,75 3 72

n = 72

2

37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,250

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

3.3 Gráfico de datos agrupados

¿Cómo representar los datos agrupados en intervalos de clase?

Se construirán en forma similar al gráfi co de barras y se les llamará histo-gramas.

Histogramas y polígonos de frecuencia

Histogramas: son un conjunto de rectángulos que tienen:

a. Sus bases sobre el eje x, con centros en las marcas de clase y longitud igual a la amplitud de los intervalos. Por tanto, sus lados laterales son comunes.

b. Superfi cies proporcionales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase tienen todos iguales tamaños, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase.

Ejemplo: Considerando las frecuencias absolutas de los pesos del ejemplo anterior, ordenados en la tabla tenemos:

10

37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,250

20

30

40

50

60

70

80

90

Asimismo, su representación gráfi ca en un histograma se observa en el gráfi co 10(a) y la ojiva de sus frecuencias absolutas acumuladas en el gráfi co 10(b).

Tabla 17

Gráfi co 10 (b)Gráfi co 10 (a)

platicú

rtica

normal

leptocúrtica

Distribución simétrica de curvas de frecuencia

Distribución asimétrica de las curvas de frecuencia

Asimetría negativa cola a la izquierda

Asimetría positiva cola a la derecha


22


Actividad 3

Aplica algoritmos y sigue procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráfi cos de datos agrupados en

forma ordenada y con precisión.

Resuelve la siguiente situación presentando un informe escrito. Considerando los pesos de 30 estudiantes,

completa la siguiente tabla:

Apartir de los datos de la tabla:

a. Construye su histograma de frecuencia absoluta.

b. Grafi ca su polígono de frecuencia absoluta.

c. Grafi ca su ojiva.

¿Cuántas personas pesan más de 55 kilogramos? y ¿cuántas personas pesan menos de 60 kilogramos?

2

34,75 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 54,750

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Peso(Kg)

Marca de clase

Nº de estudiantes ( f

i )

Fi

hi

Hi

[40 – 45

[45 – 50

[50 – 55

[55 – 60

[60 – 65

[65 – 70[70 – 75[75 – 80

42,5

47,5

57,5

62,5

72,5

1

3

10

9

4

2

1

1

4

23

27

29

n = 30 1

1303

3010309

304

302

301

303030

2930

2330

1430

130

Observa que el polígono tiene dos ordenadas en cero

Polígonos de frecuencia

Cuando construimos el histograma, consideramos las marcas de clase. Si ubi-camos los puntos de las marcas de clase en la base de los rectángulos y unimos dichos puntos con el de la frecuencia respectiva, estaremos construyendo un polígono, incluida la porción del eje X. A dicho polígono lo llamaremos Polí-gono de frecuencia. Si con-sideramos la frecuencia rela-tiva, estaríamos grafi cando el Polígono de frecuencia relativa. El área del polígo-no es igual a la suma de las áreas de los rectángulos del histograma.

Gráfi co 11

La curva de frecuencia del gráfi co 11, comprende a una distribución asimétrica positiva, es decir, con cola a la derecha.


23


4. MEDIDASde TENDENCIA

Cuando quieres saber cómo vas en una determinada área, por ejemplo, Ma-temática, ¿qué haces? Recuerdas tus calificaciones de los indicadores de lo-gro: “Interpretas representaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplicas y utilizas algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados”, además de otros indicadores de participaciones, exposiciones, etc. Luego calculas tu promedio, ¿no es cier-to?, es decir, sumas tus calificaciones y las divides entre el número de cali-ficaciones, obteniendo un número que representa al conjunto de tus notas. Y si tus padres te preguntan: “¿Cómo vas en el área de Ciencia, tecnología y ambiente?”, tú respondes: “De mis siete calificaciones tengo cuatro dieci-séis, un trece y dos doces”. Al dar esta respuesta a tus padres estás haciendo Estadística, estás utilizando estadígrafos. En el primer caso estás calculando la media aritmética y en el segundo caso la moda. A estas medidas se les llama Medidas de Tendencia Central, porque son pocos números que re-sumen o centralizan información en lugar de toda la distribución de frecuen-cias. Sirven para poder relacionar y comparar información de manera más sencilla. Son medidas de tendencia central la Media, la Mediana, la Moda,entre otras.

CENTRAL

4.1 Media aritmética

Si tus calificaciones en el área de Matemática referentes a: “Interpreta re-presentaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplica y utiliza algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados” y otros indicadores de participaciones, exposiciones, son: 16; 16;13; 12; 16; 12; 16; entonces la media aritmética sería:

Tu promedio sería 14.

Luego:

Llamamos media aritmética de una serie de N valores, al cociente obteni-do al dividir la suma de dichos valores entre el número total de datos (n).La denotamos como x , que representa la media aritmética y x1, x2, …, xnson valores dados. Así tenemos:

x

16 16 13 12 16 12 167

1017 14 4,

Cuando quieres saber cómo te va en determinado curso, utilizas medidas de tendencia central.

En una encuesta hecha por estudiantes sobre el número

de habitantes por vivienda en el pueblo joven “El Arenal”

del distrito de Villa María del Triunfo se obtuvo lo

siguiente, en una muestra de 20 viviendas.

Número de viviendas

Número de habitaciones

1234567891011121314151617181920

23252422323223212322

La medida de tendencia central más representativa para esta información está

dada por:

y significa que el promedio de habitaciones por casa en el

pueblo joven “El Arenal” es de 2,45.

24

Serie 1 / DE LA PRENSA A LA MATEMáTICA Significado de la media aritmética.- La media aritmética significa el valor

promedio de la distribución de datos, es el valor promedio en la distribución.Cuando tenemos una serie de datos x� + x2 + x3 + … + xn , para indicar uno, cualquiera de ellos, escribimos xi . Igualmente, para indicar la suma de todos

ellos empleamos la expresión simbólica: xii

n

�

El símbolo ∑ se llama sumatoria. Es la letra mayúscula griega sigma, que equivale a nuestra S, por eso la empleamos para indicar la suma de valores.

La expresión se lee: suma de xi desde i igual a 1 hasta n. Si la desarrollamos, obtenemos:

x x x xi

i

n

n

�

� 2 ...

Empleando este símbolo, la fórmula de la media aritmética queda de la si-guiente manera:

x

x

n

ii

n

�

Características de la media aritmética:

- Son las medidas de centralización más utilizadas.

- Su cálculo aritmético es sencillo.

- Tienen en cuenta todos los datos de la observación.

- No son aplicables a variables cualitativas.

Ejemplo:

1. Considerando una muestra mayor, tenemos la temperatura de 20 estu-diantes, organizados en la tabla 18:

Resolución:

Con el fin de facilitar el cálculo podemos multiplicar cada valor de la varia-ble estadística por su frecuencia absoluta correspondiente, sumar los resul-tados y dividir por el tamaño de la muestra:

x

x

37 2 37 5 4 38 7 38 5 4 39 320

38

, ,

Temperaturaxi

Nº de alumnosfi

37° 237,5° 438° 738,5° 439° 3Total 20

La expresión general de la media aritmética es:

xx f

f

i ii

n

ii

n

�

�

En el caso de que la variable sea continua, la media se calcula a partir de la marca de clase o valor medio de cada intervalo:

x

x fi ii

n

�

n

Tabla 18

Luego:

Precio de metales en laBolsa de Lima

Precio de metales $

Enero 2006

Diciembre 2006

Variación Porcentual

Oro 520,00 635,00 23%

Plata 9,04 �2,90 43%

Cobre 2,08 2,84 36%

Zinc 0,85 �,95 �29%

Plomo 0,50 0,77 54%

Fuente: BOOMBERS LONDON METAL EXCHANGE.Vea usted la manera de calcular el promedio del valor del oro.

El promedio del valor del oro es de 567,5 dólares.

25


Media aritmética para datos agrupados

Para hallar la media aritmética en datos agrupados utilizaremos la misma fórmula. Por ejemplo: considerando el peso de 72 estudiantes, de la siguiente tabla, queremos saber: ¿cuál es el promedio de los pesos, es decir, su media aritmética?

Resolución:

Consideremos las marcas de clase y las frecuencias absolutas. Construiremos una nueva columna, donde colocaremos los productos de las marcas y frecuencias de cada clase.

Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( f

i ) x

i f

i

[36 - 38,5⟩ 37,25 3 111.75

[38,5 – 41⟩ 39,75 21 834.75

[41 – 43,5⟩ 42,25 12 507

[43,5 – 46⟩ 44,75 11 492.25

[46 – 48.5⟩ 47,25 10 472.5

[48,5 – 51⟩ 49,75 8 398

[51 – 53,5⟩ 52,25 4 209

[53,5 – 56] 54,75 3 164.25

Total 72 3 189,5

xx f

nx x

i i= fi = fi =

Â

3189 572

44 29,

,

Luego, la media aritmética será 44,29; que signifi ca que el peso promedio de los 72 estudiantes es de 44,29 kg.

4.2 Moda

Todos hemos oído la expresión “está de moda” o “es la moda”. Si buscamos el signifi cado de la palabra moda, encontramos: “Costumbre o uso que prima en un determinado grupo social”.

En Estadística se mantiene este signifi cado.

Moda es entendida como el valor de la variable estadística que tiene máxima frecuencia. Se simboliza: M

o

Tabla 19

Luego:

La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la distribución se llama bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así sucesivamente. Cuando la variable está agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal.

Signifi cado de la Moda.- Signifi ca el valor que más número de veces se repite en una distribución. Ejemplo:1. Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un autobús escolar:

7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál será su moda? MO = 13

2. Consideremos las califi caciones de 30 estudiantes:

Moda en la vida cotidiana.


26


Moda para datos agrupados

Si consideramos las edades de 22 personas agrupadas en la siguiente tabla, podemos hallar su moda en datos agrupados. Debemos seguir el siguiente procedimiento:

Edades fi

2 – 6 3

6 – 10 5

10 – 14 8

14 – 18 4

18 – 22 ] 2

22

a. Determinemos la clase modal, es decir, la clase que contiene la modaObservando la tabla, esta será: [10 – 14? , pues es la que tiene la mayorfrecuencia (8).

b. Luego Li= 10 (Límite inferior de la clase modal)

C = 4 (Amplitud del intervalo)

c. ∆1 = f

i – f

i – 1 ∆

1 1= 3

Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contiguainferior.

d. ∆2 = f

i – f

i + 1 ∆

2 2 = 4

Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contiguasuperior.

e. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, que aplicaremos paracalcular la moda:

→

→

Reemplazando nuestros datos en la fórmula tenemos:

MO = 10

33 4

4++

ÊËÁ

ˆ¯˜

MO = 10 + 1,71 luego, la moda será:

MO = 11,71

Califi caciones 8 9 10 11 13 15 16 17 18

Nº de alumnos 1 2 3 1 8 3 2 8 2

Calcular la moda:Las modas son: M

O = 13 y M

O = 17, son los valores de la variable que tienen

mayor frecuencia. Es bimodal, signifi cando que la mayor cantidad de veces que se repiten son las califi caciones de 13 y 17.

Tabla 21

Donde:M

0 es moda

Li es límite interior del intervalo modal

C es amplitud de clase fi es frecuencia del intervalo modal

Lo que signifi ca que: la edad que más veces se repite entre las 22 personas es aproximadamente 12.

Tabla 20

∆1 = f

i – f

i –1

∆2 = f

i – f

i +1

Cras Lurigancho

Distribución muestral de internos por tipo de delito, según zona de residencia. Lima-enero 1993.

Fuente: PUCP: Encuesta por muestreo. Tipo de delito es una variable nominal, y la moda es la medida de tendencia central que le corresponde.M

o = Tipo de delito = Robo

Tipo de delito

Resi-dencial

Urba-na

Mar-ginal

Total

Robo - - 8 8

Tráfi co de droga

3 1 3 7

Honor sexual 1 - 3 4

Crimen 1 1 2 4

Otros 1 - 1 2

TOTAL 6 2 17 25


27


Estadísticas deportivas

Imagina una gran final de fútbol. Falta muy poco

para el final del partido; el marcador señala 0 a 0 y el

árbitro pita penal a favor del equipo local. ¿A qué jugador

elegirá el entrenador para patearlo? El entrenador

ojea los datos que tiene de sus tres mejores tiradores.

El primero ha pateado 6 penales esta temporada y ha

metido 4; el segundo tiró 7 y metió 6 y el tercero hizo 2

goles en 5 tiros.

¿A cuál de ellos elegirías tú?

Como ves, la Estadística ayuda a tomar decisiones

en muchos campos. Pero no garantiza el éxito. Quizá el jugador con mejores datos

tiene un mal momento, está nervioso o se equivoca y tira el balón a las nubes.

Habrá estropeado sus estadísticas y habrá causado

un tremendo disgusto a los aficionados.

4.3 Mediana

Dada una variable estadística, podemos disponer de valores en orden creciente o decreciente. El valor que ocupa el lugar central se llama mediana. Según esto, podemos definirla como:

Mediana.- Es el valor de la variable estadística que deja igual número de observaciones inferiores y superiores a ella. La simbolizaremos por Me.

En el caso de que el número de datos sea impar, la mediana coincide con uno de los datos. Si el número de datos es par, tenemos dos valores centrales; en este caso se toma como mediana el promedio de los dos.Significado de la mediana: es el dato que divide en dos partes iguales a toda la distribución.Ejemplo:1. Dada la serie estadística correspondiente a los pesos en kilos de nueve niños:

10; 12; 18; 14; 20; 19; 17; 22; 15, calcular la mediana de dichos pesos. Resolución: primero ordenamos los datos (puede ser en forma ascendente

o descendente): 10 – 12 – 14 – 15 – 17 – 18 – 19 – 20 – 22, luego ubicamos el dado central. La media es 17, entonces: Me = 17

Lo mismo que significa que 4 niños tienen pesos de 10 a 15 kilos y los otros 4 niños tienen pesos de 18 a 22 kilos.

2. Si consideramos las edades de 10 personas en un consultorio médico: 50; 25; 12; 20; 45; 08; 15; 24; 60; 17. ¿Cuál será su mediana?

Resolución: Como en el caso anterior, ordenamos los datos: 60 – 50 – 45 – 25 – 24 – 20 – 17 – 15 – 12 – 08 En este caso, hay dos valores centrales: 24 y 20; luego, la mediana es:

M Mee

24 20

2 22.

Lo mismo que significa que el 50% de las personas tienen edades entre 8 y 22 años y el otro 50% de las personas tienen edades comprendidas entre 22 y 60 años.

Mediana para datos agrupados

Si consideramos los datos agrupados de la siguiente tabla, para determinar la mediana en datos agrupados, debemos seguir el siguiente procedimiento:

Edades fi Fi

2 – 6 3 3 6 – 10 5 810 – 14 8 1614 – 18 4 2018 – 22 2 22

Total 22

Tabla 22

a. Determinemos cuál es la clase que contiene a la mediana, esto es: n2

222 11 (undécima posición), donde n es el número total de datos.

Once respecto a la frecuencia acumulada corresponde en la tabla al intervalo de clase [ 10 - 14 .

b. Teniendo en cuenta la tabla dada determinaremos algunos datos:

28

Actividad 4

Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión.

Organizados en grupo de cuatro estudiantes, resuelvan las situa-ciones planteadas y entréguenlas a su profesor/a para que pueda revisar sus aportes.1. De acuerdo con el gráfico, basado en un informe de la Cá-

mara de Comercio de un país latinoamericano, se nos mues-tra los ingresos de las principales empresas de este país en el Perú. Responde:

a. ¿Cuál es la media aritmética de sus ingresos?b. ¿Qué empresa representa la moda? ¿Por qué?c. ¿Qué valor representa la mediana? ¿Qué significa este

valor?

2. Elaboren una encuesta para determinar algunas características de los estudiantes de su colegio como: estatura, peso y edad.

Elijan una muestra de 50 estudiantes de su grado y entrevístenlos. Cada integrante deberá entrevistar a 10 estudiantes.

Elaboren una tabla de frecuencias completa.

El Perú es un mercadorentable para las empresas del país latinoamericano

S/. 4,379FACTURACIÓN TOTAL DE LAS EMPRESAS EN EL 2003

INGRESOS DE LAS PRINCIPALES EMPRESASEN EL PERÚ En S/. millones (2003)Nogal S.A.

1,036Tiendas La Estrella S.A. 833Molinosa 337Aerocusco S.A. 300Eterno Perú S.A. 247Clan Vuelo Alto S.A. 215Indama S.A. 200Boticas Unidas S.A. 197Chogun S.A. 178Productos Ricos Perú S.A. 171

Li = 10 (Li es el límite inferior de la clase que contiene la mediana) f3 = 8 (frecuencia absoluta de la tercera clase) f3 = 16 (frecuencia acumulada de la tercera clase) fi-1 = f3-1 = f2 entonces f2 = 8 (frecuencia acumulada de la clase inferior

al de la clase donde se encuentra la mediana) C = 4 (amplitud del intervalo que contiene a la mediana) c. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, la que aplicaremos:

Sustituyendo los datos que tenemos en la fórmula tenemos:

Me = �0 �� 88 4

Me = 10 + 1,5, luego, la mediana será 11,5. Esto es: Me = 11,5 Significa que el 50% de estudiantes tienen edades comprendidas entre

12 y 22 años.

Mo < Me < X

X < Me < Mo

X = Me = Mo

29

5. EVALUACIÓNCada alumno resuelve los problemas o ejercicios formulados. Para luego socializar sus respuestas con su profesor y compañeros.1. ¿Cuál es la suma de todo los valores de las frecuencias relativas, distribuidos en una tabla de

frecuencia?2. En una distribución de frecuencias en la que se estudia las tallas de 300 personas se sabe que la

mediana es igual a 1,66 m ¿Qué nos indica este resultado?3. ¿Cuál de las medidas de tendencia central depende del orden de los datos?4. La media y la mediana de un conjunto de cinco números naturales distintos es 7 y el rango es 6.

Determina los números.5. Realiza el siguiente experimento: lanza una

moneda de un sol 50 veces y coloca los resultados en la siguiente tabla:

6. A 500 estudiantes de primer grado de Educación Secundaria se les aplicó un test sobre su parecer respecto del colegio y sus respuestas fueron:

Elabora una tabla considerando todos los tipos de frecuencias y representalo a través de una gráfi ca circular.

7. De la tabla de frecuencias siguiente, se tiene: Si la moda es 30, cuya frecuencia es 15:

a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b. ¿Cuántas personas tienen 25 años?c. ¿Cuál es su media aritmética?

8. Las edades de los empleados de una empresa son: 22; 27; 35; 34, 25; 30; 28; 27; 29; 26; 25; 23; 29; 37; 31; 24; 31; 37; 28; 34; 39; 24; 24; 32; 28; 34; 31; 35; 27; 30; 28; 36; 35; 27; 24; 36; 32; 29; 38; 34; 24; 36; 23; 33; 38; 32; 36; 25; 33; 30; 25; 23; 35; 28; 37; 36; 31; 33; 22; 32; 29; 29; 28; 25; 31; 24.a. Elabora una tabla de distribución de frecuencia completa.b. Construye histograma de frecuencias relativas.c. Determina e interpreta sus medidas de tendencia central.

9. En el siguiente cuadro, determina la medida de tendencia central más adecuada para la variable: Tipo de cáncer. Interpreta el resultado.

Variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Cara

Sello

Total

Gusta muchoGustaNo gustaNo gusta nada

15% 56% 19% 10%

Edades fi

%

20 28

25 32

30

Totales

Instituto de Neoplásica Paciente hospitalizados por tipo de cáncer según sexo

Tipo de cáncer

SEXOTotal

Masculino(M) Femenino (F)

Gástrico 15 10 25

Vejigal 20 8 28

Oseo 5 12 17

Pulmonar 10 6 16

Mamario -- 23 23

Uterino -- 18 18

TOTAL 50 77 128

Sugerencia:Masculino: Mo = Cáncer vejigalFemenino: Mo = Cáncer mamario

¿Por qué? � ¡INTERPRÉTALO!Fuente: Realizado PUCP en Instituto Neoplásica: Dpto de Estadística.

N O E S C R I B I RB I RN O E


30


Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades

propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este

fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este

fascículo?

6. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?

Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus compañeros?

¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


3�


1. ángeles Consuelo, Carmen y Adriana La Hoz Mendizabal. Estadística Aplicada a la Educación. Lima. Fondo Editorial de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 1997.

Presenta los aspectos básicos de la Estadística en siete unidades. En la primera lo referente a la presentación de datos, cuadros estadísticos y tablas de frecuencia. La segunda y tercera unidad se refieren al cálculo e interpretación de diferentes estadígrafos que resumen los datos para su análisis. En cuarta unidad hace una descripción e interpretación de distribución de frecuencias. La quinta unidad desarrolla los procesos de regresión y correlación. La sexta, probabilidades; y la séptima unidad trata la teoría del muestreo.

2. Fernández Ch., Juan. J. Estadística Aplicada. Lima. Fondo Editorial de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 1993.

Presenta técnicas para la investigación, desarrollo de los conceptos básicos de la Estadística y su aplicación como instrumento para estudiar e investigar en el área de la Ciencias Sociales.

3. Perelman, Y. Matemáticas recreativas. Barcelona. Ediciones Martínez Roca, 1987.

El propósito de esta obra, como lo dice su autor, reside expresamente en destacar la parte del juego que tiene la resolución de cualquier acertijo, colección de pasatiempos, rompecabezas e ingeniosos trucos.

4. Timoteo Valentín, Salvador. Historia de la Matemática. Lima. Editorial Ingeniería, 1990.

Presenta la historia de la Matemática sobre la base de hechos importantes realzando los aportes matemáticos que han constituido hitos fundamentales en esta ciencia. La primera parte presenta algunos personajes que han contribuido al desarrollo de la Matemática. La segunda es un conjunto de datos históricos y la tercera comprende anécdotas y curiosidades en torno a la Matemática y a los hombres que hicieron aportes a ella.

5. Véliz C, Carlos. Estadística. Lima. Editorial San Marcos, 1993.

Contiene los métodos estadísticos que se desarrollan en tres partes esenciales: la Estadística Descriptiva, la Probabilidad y la Estadística Inferencial.

bibliografíacomentada

32


1. http://platea.pntic.mec.es/jescuder/estadist.htm Contiene curiosidades matemáticas y fórmulas de matemáticas a través del tiempo. 2. www.cortland.edu/flteach/stat-sp.html Contiene conceptos básicos de estadística de manera fundamentada. 3. www. Aulafacil.com/curso Estadística/Lecc-2 thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidácticas/53-1-u-indice.html-4k Los dos últimos contienen cursos de Estadística descriptiva, con ejemplos y problemas

resueltos.

4. http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html Trata de temas didácticos de Estadística general. 5. http://www.pwpamplona.com/wen/descriptiva/descriptiva.htm Contiene temas de Estadística descriptiva y una introducción a la Estadística inferencial

organizadas didácticamente.

6. http:// books. google.com.pe Contiene textos con chistes matemáticos diversos y en general humor sobre temas

variados.

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