ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN Pedro Godoy G. Colegio Ingles Saint John.
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ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN
Pedro Godoy G.Colegio Ingles Saint John
Media Aritmética
Valor representativo de un conjunto de datos
Para datos no agrupados
Sean x1, x2 , x3 , x4,…………………………, xn un conjunto de datos no agrupados
n
xx
n
i 1
Donde n es la cantidad de elementos de lamuestra
Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”).
NOTA: en las poblaciones se denominan parámetros y en las muestras se les denomina estimadores.
Propiedades
La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que
Ejemplo
Notas x - M5,0 0,24,5 -0,33,7 -1,13,5 -1,37,0 2,22,7 -2,14,7 -0,16,8 2,05,7 0,9
media 4,8 0,0
Propiedad 2
Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor fijo entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión
Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor variable entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión
M(a x)=a M(x)
axMaxM )()(
Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.
Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:
Notas Frecuenciaabsoluta
Notas xF. absoluta
3 5 155 8 40
6 10 60
7 2 14Total 25 129
1,525
129 Media
Datos por frecuencias
Total de datos
1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.2º. El resultado se divide por el total de datos.
Media aritmética en datos agrupados
psu
En el siguiente gráfico, la media aritmética de la muestra es:
x edad
fr
1 2 3 4 5 6
14
12
10
8
6
4
2
16
A.4,075B.4,100C.4,125D.4,150E.4,175
Mediana
La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales.
Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).
La mediana de un conjunto de datos es un valor que supera al 50% de la muestra y al mismo tiempo es superado por el otro 50 % de la muestra
Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:
Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72
1º. Ordenamos los datos:
56, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2º. El dato que queda en el centro es 65.
La mediana vale 65.
Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.
Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 642
6563
Caso:
La mediana
Mediana para datos agrupados
Intervalo
fi Fac
20- 24 28 2825 - 29 33 6130-34 36 9735-39 45 142
40 – 44 35 17745 – 49 25 20250 – 54 10 21255 – 59 36 24860 – 64 8 256
total 256
1° paso : Obtener la frecuencia acumulada2° paso : buscar la frec acumulada mas pequeña que supere a la mitad de la muestra 3° paso : Obtener el intervalo mediano
Fórmula
i
ac
i f
Fn
IyMe1
12
intervalo al ientecorrespond absoluta frec f
anterior acumulada F
muestra la de tamañon
intervalo del amplitud I
mediano intervalo delinferior
i
1-ac
1
frecuencia
extremoyi
Psu
Años de estudio
1 5 52 8 133 9 224 11 335 8 416 3 44
Datos Frec Fac
¿Cuál es la mediana?
Moda
La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.
La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.
Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:
Ejemplo.
La moda es 41.
Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45
Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7
El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.
Lo compran 35 personas
CÁLCULO DE LA MODA Si todas las puntuaciones de una distribución tienen la
misma frecuencia consideraríamos que no existe moda. Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que
dos de ellas son adyacentes, tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones. Ejemplo: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10
En este caso la moda sería la media entre 6 y 7. Mo = 6,5 En el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin
ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera, entonces nos encontramos con una distribución bimodal. Ejemplo: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7
Mo = 3Mo = 6
CÁLCULO DE LA MODA Si los datos están agrupados, entonces la moda
es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. Con datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:
21
1
dd
dILM io
d1: diferencia entre las frecuencias
del intervalo modal y el intervalo
anterior.
d2: diferencia entre las frecuencias
del intervalo modal y el inmediato
superior.
Li: es el límite inferior real del
intervalo modal.
I: amplitud del intervalo.
CÁLCULO DE LA MODA La siguiente tabla presenta la frecuencia de
edades de una muestra agrupada por intervalos. Calculemos la moda de las edades.
Edades
fi
16 - 21 8
22 – 27 12
28 – 33 18
34 – 39 17
40 – 45 17
46 – 51 12
52 – 57 8
58 – 63 9
64 – 69 3
a) Primero se debe calcular el punto medio del intervalo modal. En este caso el intervalo modal es el 28 – 33 y su punto medio es 30,5.
b) Calculamos ahora las diferencias de las frecuencias del intervalo modal con el intervalo anterior y posterior:d1 = 18 – 12 = 6d2 = 18 – 17 = 1
c) Ahora aplicamos la fórmula:
21
1
dd
dILM io
El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de 4° medio es el siguiente:¿Cuál es la moda?
Medidas de Posición: Cuartiles Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo
con su magnitud, el valor central que divide al conjunto en dos partes iguales es la mediana.
Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales.
Estos valores, denotados por Q1, Q2 y Q3, se denominan como primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q2 es la mediana.
Medidas de Posición: Cuartiles Dada la definición, Q1 deja el 25% de los
datos debajo de él y 75% por encima, Q2 el 50% por abajo y por encima de él y Q3 deja el 75% de los datos debajo de él y el 25% arriba.
Medidas de Posición: CuartilesCálculo de cuartiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica
la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los cuartiles:
Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima
A continuación se le asigna a los cuartiles el valor de los datos correspondientes.
nesobservacio de Número
3 , 2 1, cuartil deOrden 4
N
kk
kNQk
Medidas de Posición: Cuartiles Ejemplo: Calcular los 3 cuartiles de: 1, 6, 79, 104, 224, 247, 253, 282, 418, 446,
578, 621, 704, 751, 796, 844, 930 Primero se deben contar: N=17 Luego se calculan los cuartiles:
1642
224104
25.44
17*1
5
1
X
Q
Medidas de Posición: Cuartiles
5,7272
751704
75.124
17*3
418
5.84
17*2
13
3
9
2
X
Q
X
Q
Medidas de Posición: Cuartiles La fórmula para calcular los cuartiles en
datos agrupados es:
nesobservacio de Número N
intervalos los de Amplitud
cuartil el contiene que intervalo del Frecuencia
cuartil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia
cuartil el contiene que intervalo delinferior Límite
1,2,3 cuartil delOrden
4
)1(
)1(
A
f
fa
LI
kk
Af
fakN
LIQ
i
i
i
i
k
Medidas de Posición: Cuartiles
LI Marca fi fac
0 - 850 425 785 785
850 - 1700 1275 234 1019
1700 - 2550 2125 300 1319
2550 - 3400 2975 629 1948
3400 - 4250 3825 876 2824
2824
Medidas de Posición: Cuartiles Los resultados son:
Q1 764.46
Q2 2675.68
Q3 3564.95
Medidas de Posición: Quintiles Al igual que con los cuartiles, los
quintiles son los datos que dividen la muestra en cinco partes iguales, agrupándolas en los porcentajes 20, 40, 60 y 80.
Se denominan Q1, Q2, Q3 y Q4.
Medidas de Posición: QuintilesCálculo de quintiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la
siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los quintiles:
Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima
A continuación se le asigna a los quintiles el valor de los datos correspondientes.
nesobservacio de Número
4 3, , 2 1, quintil deOrden 5
N
kk
kNQk
Medidas de Posición: Quintiles Nótese que: Quintil 1=1/5=0,2 Quintil 2=2/5=0,4 Quintil 3=3/5=0,6 Quintil 4=4/5=0,8 Por lo que para obtener la observación
de cada quintil, hay que multiplicar N por el tanto por uno que corresponda.
Medidas de Posición: Quintiles Dados los siguientes datos, calcular
Quintil 1, Quintil 2, Quintil 3 y Quintil 4. 39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275,
310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998
Medidas de Posición: Quintiles En este caso, debemos multiplicar 33
por 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8. El resultado que obtenemos es:
Quintil 1: 6.6 → X7
Quintil 2: 13.2 → X14
Quintil 3: 19.8 → X20
Quintil 4: 26.4 → X27
Medidas de Posición: Quintiles Y esos valores son
Quintil 1: 234
Quintil 2: 405
Quintil 3: 571
Quintil 4: 793
Medidas de Posición: Quintiles La fórmula para calcular los quintiles en
datos agrupados es:
nesobservacio de Número N
intervalos los de Amplitud
quintil el contiene que intervalo del Frecuencia
quintil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia
quintil el contiene que intervalo delinferior Límite
4 3, 2, 1, quintil delOrden
5
)1(
)1(
A
f
fa
LI
kk
Af
fakN
LIQ
i
i
i
i
k
Medidas de Posición: Quintiles
LI LS Marca fi fa
0 970 485 444 444
970 1940 1455 4505 4949
1940 2910 2425 9850 14799
2910 3880 3395 7691 22490
3880 4850 4365 1088 23578N =23578
Medidas de Posición: Quintiles El resultado es:
Quintil 1: 1889.75
Quintil 2: 2381.39
Quintil 3: 2845.77
Quintil 4: 3422.48
Medidas de Posición: Deciles Al igual que en los casos anteriores, los
valores que dividen los datos en 10 partes iguales son llamados decíles, los cuales se denotan por D1, D2, …, D9.
En donde cada decil representa al 10%, 20%, …, 90% de los datos, respectivamente.
Medidas de Posición: DecilesCálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la
siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los deciles:
Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima
A continuación se le asigna a los deciles el valor de los datos correspondientes.
nesobservacio de Número
9 ..., 3, , 2 1, decil deOrden 10
N
kk
kNDk
Medidas de Posición: Deciles Al igual que en ,os casos anteriores, se
puede deducir que los factores por los que se debe multiplicar N son:
D1 =1/10=0,1 D2 =2/10 0,2 D3 =3/10=0,3 D4 =4/10=0,4 D5 =5/10=0,5 … D9 =9/10=0,9
Medidas de Posición: Deciles La fórmula para calcular los deciles en
datos agrupados es:
nesobservacio de Número N
intervalos los de Amplitud
decil el contiene que intervalo del Frecuencia
decil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia
decil el contiene que intervalo delinferior Límite
9 ..., 2, 1, decil delOrden
10
)1(
)1(
A
f
fa
LI
kk
Af
fakN
LID
i
i
i
i
k
Medidas de Posición: Percentiles Como en los casos anteriores, los valores
que dividen los datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican como P1, P2, …, P99.
Representando cada uno de ellos al 1%, el 2% y el 99% de los datos, respectivamente.
Medidas de Posición: PercentilesCálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la
siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los percentiles:
Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima
A continuación se le asigna a los percentiles el valor de los datos correspondientes.
nesobservacio de Número
99 ..., 3, , 2 1, percentil deOrden 100
N
kk
kNPk
Medidas de Posición: Percentiles La fórmula para calcular los percentiles en
datos agrupados es:
nesobservacio de Número N
intervalos los de Amplitud
percentil el contiene que intervalo del Frecuencia
percentil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia
percentil el contiene que intervalo delinferior Límite
99 ..., 2, 1, percentil delOrden
100
)1(
)1(
A
f
fa
LI
kk
Af
fakN
LIP
i
i
i
i
k
Ejercicios
Para los mismos datos no agrupados, calcular el decil 6 y el percentil 27.
39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275, 310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998
Nótese que N=33, por lo tanto Decil 6→0,6*33 = 19,8 ~ 20 Decil 6 = 571 Percentil 27→0,27*33 = 8,91 ~ 9 Percentil 27 = 275
Ejercicio
LI LS Marca fi fa
0 970 485 444 444
970 1940 1455 4505 4949
1940 2910 2425 9850 14799
2910 3880 3395 7691 22490
3880 4850 4365 1088 23578
N =23578
Ejercicio
Decil 6:
Percentil 27:
Percentil 12
77.28459850
49496.0*23578*97019406
D
55.20799850
494927.0*23578*970194027 Percentil
61.14834505
44412.0*23578*97097012 Percentil