“Estabilidad y error”

“Escuela de Ing. Eléctrica y Electrónica”

ALCALA CH, Rafael A. C.I 13.814.213

Ing. Eléctrico

Sección “c”

Agosto, 2014

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSION - MATURIN

Teoría del control

La teoría del control se aplica a sistemas eléctricos, mecánicos,

neumáticos, hidráulicos, etc. Esta teoría tiene como objeto de

estudio los sistemas físicos en sus características más generales,

prescindiendo de las particularidades.

En el área industrial se encuentra una gran variedad de componentes

y mecanismos de diversa naturaleza; mecánicos, eléctricos,

térmicos, etc. Para comprender el funcionamiento de los sistemas

que hacen uso de estos dispositivos, sean procesos controlados de

producción o máquinas automáticas, es preciso poseer un

conocimiento de las leyes que rigen su funcionamiento, como la

estabilidad y errores que son partes inherentes a cualquier proceso.

La Estabilidad

La estabilidad, en Regulación Automática, a menudo se define de la

siguiente manera: un sistema es estable si, ante cualquier entrada

acotada en un intervalo cualquiera de tiempo, la salida también está

acotada. La estabilidad, así definida, se conoce como estabilidad

BIBO (del inglés Bounded-Input-Bounded-Output)

Estabilidad BIBO (Bounded-Input-Bounded-Output)

En el procesamiento de señales , específicamente la teoría de

control , la estabilidad BIBO es una forma de estabilidad

para lineales señales y sistemas que tienen entradas.

BIBO significa Bounded-entrada acotada-salida. Si un sistema es

BIBO estable, entonces la salida será limitada para cada entrada al

sistema que está limitada.

Una señal es limitada si hay un valor finito tal que la

magnitud de la señal no supera nunca , es decir

Para señales de tiempo discreto, o Para señales

de tiempo continuo.

Si un sistema es estable según la anterior definición, entonces el

sistema no puede "explotar", es decir, ante una entrada finita la

salida del sistema no puede tender a infinito en un intervalo todo lo

amplio que se quiera. Matemáticamente, esto significa que para que

un sistema lineal causal continuo en el tiempo sea estable, todos

los polos de su función de transferencia deben

estar situados en la mitad izquierda del plano complejo si se

usa la transformada de La place, es decir, su parte real

debe ser menor o igual que cero

O bien

estar en la frontera o el interior del círculo de radio unidad

si se usa la transformada Z, es decir, su módulo debe ser

igual o menor que la unidad

Las diferencias entre ambos casos no suponen ninguna

contradicción. La transformada de La place es en coordenadas

cartesianas, mientras que la transformada Z es en coordenadas

polares, y se puede demostrar que:

la parte real negativa en el dominio de La place corresponde al

interior del círculo unidad en el dominio Z

la parte real positiva en el dominio de La place corresponde al

exterior del círculo unidad en el dominio Z.

Si el sistema en cuestión tiene una respuesta impulsional de

considerando la transformada Z (véase este

ejemplo) se obtiene con mucho cuidado de la siguiente manera:

Que presenta un polo en (parte imaginaria cero). Este

sistema es BIBO, es decir, asintóticamente estable, ya que el polo

está dentro del círculo unidad.

Sin embargo, si la respuesta impulsional fuera

entonces la correspondiente transformada Z valdría

que tiene un polo en y no es estable

BIBO, puesto que dicho polo tiene módulo estrictamente mayor que

uno.

La condición de estabilidad es fundamental; todo sistema de control

deberá ser estable para prestar alguna utilidad. La condición de

estabilidad significa que, estando el sistema en un punto de equilibrio

y sometido a la acción de una perturbación, o a una variación del

valor de referencia, presentará una respuesta que tenderá a un

nuevo estado de equilibrio. En cambio, un sistema inestable iniciará

una oscilación de amplitud creciente alrededor del valor de equilibrio,

o se saturará en alguno de sus valores extremos.

El teorema de Routh–Hürwitz

Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar

en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están

localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia

de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es

estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que

todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es

estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el

sistema es inestable.

El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del

sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función

de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación

haciendo:

El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado

del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis

estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto

1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su

objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje

imaginario. Dichos puntos marcan el límite de estabilidad del

sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los

polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho

complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es

evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los

resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual

nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de

estable a inestable (ganancia K límite)

Error en Estado Estacionario

Se define como la diferencia entre la salida del sistema y su

entrada, para condiciones de estado estable.

E = c(t) – r(t)

En un sistema realimentado, el análisis del error es el

siguiente:

e(t) = r(t) – H c(t)

(1)

No se debe confundir esta señal de error e(t) con el error de estado

estacionario E, del cual estamos hablando.

Siendo la función de transferencia, por definición:

M = c (t)/r(t)

Resulta, para el sistema realimentado:

c(t) = e(t) G

Pero por (1)

c(t) = [r(t) – H c(t)] G = r(t) G – c(t) HG → c(t) + c(t) GH = r(t) G

c(t) [1 + GH] = r(t) G

M = c(t)/r(t) = G/(1+GH)

Siendo el error de estado estacionario, tal como se ha definido:

E = c(t) – r(t)

Y la salida, en función de M resulta: c(t) = M r(t)

G

H

r(t) c(t)

e(t)

Entonces: E = M r(t) – r(t)

Luego: E = r(t) [M – 1] (2)

Para que el error sea nulo, debería ser M = 1, o sea la FdT unitaria,

lo que equivale a decir: G / (1+GH) = 1

Lo que ocurrirá únicamente si: G = 1/(1 – H)

También, reemplazando M en la ecuación (2), será:

E = r(t) [G/1+GH – 1]

Si fuera la magnitud de GH mucho mayor que uno (GH>>1), podría

despreciarse el uno frente a GH y quedará:

E = r(t) [G/GH – 1] =

= r(t) [1/H – 1]

Y se observa en consecuencia que los elementos de la rama directa

tienen poca incidencia sobre el error, y los cambios en sus FdT no

serán relevantes para el análisis del error.

En cambio, el error dependerá mayormente de la ganancia de los

elementos del lazo de realimentación H, que es justamente la FdT del

elemento de medición y por lo tanto es lógico que el error dependa

de este último en mayor medida.