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Ecuaciones Diferenciales
Catalina DomınguezRicardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matematicas y estadıstica
14.09.2015
Pagina 1 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
EDO lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Una ecuacion lineal de segundo orden homogenea con coeficientesconstantes es de la forma
ay′′ + by′ + cy = 0 con a, b, c ∈ IR y a 6= 0 (1)
Note que al ser los coeficientes constantes son funciones continuascuyo dominio comun es I := R.
Supongamos que la solucion es de la forma y = erx para algun r ∈ R.
Reemplazando en (1)
y = erx, y′ = rerx, y′′ = r2erx
se obtiene:
. ay′′ + by′ + cy = ar2erx + brerx + cerx = erx(ar2 + br + c) = 0
entonces para que y(x) = erx sea solucion, r debe satisfacer la ecuacion
Ecuacion caracterıstica
ar2 + br + c = 0
Las raıces r1 y r2 de la ecuacion caracterıstica
ar2 + br + c = 0
estan dadas por
r1 =−b+
√b2 − 4ac
2ar2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
y su naturaleza depende del discriminante ∆ := b2 − 4ac, siendo
Raıces reales y distintas (∆ > 0).
Raıces reales e iguales (∆ = 0)
Raıces complejas y distintas (∆ < 0).
Pagina 3 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Primer Caso: r1 y r2 raıces reales y distintas
Tenemos dos soluciones
y1(x) = er1x y2(x) = er2x
W (er1x, er2x) =
∣∣∣∣
er1x er2x
r1er1x r2e
r2x
∣∣∣∣= e(r1+r2)x(r2 − r1) 6= 0
{er1x, er2x} forma un conjunto fundamental de soluciones de laecuacion ay′′ + by′ + cy = 0
Una solucion general estarıa dada por
y(x) = c1er1x + c2e
r2x
Pagina 4 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Encontrar una solucion general de las siguientes ecuaciones2y′′ − 7y′ + 4y = 0 y y′′ + 2y′ = 0.
2y′′ − 7y′ + 4y = 0
2r2 − 7r + 4 = 0
r1, r2 =−(−7)±
√49− 4 · 2 · 4
2 · 2
=7±
√49− 32
4
=7±
√17
4
r1 =7 +
√17
4, r2 =
7−√17
4
y(x) = c1e7+
√
17
4x + c2e
7−√
17
4x
y′′ + 2y′ = 0
r2 + 2r = 0
r(r + 2) = 0 entonces
r1 = 0 r2 = −2
o calcular
r1, r2 =−2±
√4− 4 · 1 · 02 · 1
r1 =−2 + 2
2= 0 r2 =
−2− 2
2= −2
y(x) = c1e0x + c2e
−2x = c1 + c2e−2x
Pagina 5 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Segundo Caso: r1 = r2 raıces reales e iguales (b2 − 4ac = 0)
En este caso r1 = r2, por tanto y(x) = er1x es solucion. Debemosencontrar otra solucion que sea linealmente independiente con y(x) = er1x.
Reduccion de orden y2 = u(x)y1
Forma estandar
y′′ +b
ay′ +
c
ay = 0
P (x) = ba
e−∫
b
adx = e−
b
ax
u(x) =
∫e−
b
ax
(er1x
)2dx
r1 =−b±
√b2 − 4ac
2a= − b
2a
u(x) =
∫e−
b
ax
(e−
b
2ax)2
=
∫e−
b
ax
e−2b
2axdx
=
∫e−
b
ax
e−b
axdx =
∫
1dx = x
y2(x) = xer1x
Solucion general
y(x) = c1er1x + c2xe
r1x
Encontrar una solucion general de 2y′′ − 8y′ + 8y = 0 y y′′ = 0
2y′′ − 8y′ + 8y = 0
La ecuacion caracterıstica asociadaa la ecuacion es
2r2 − 8r + 8 = 0
r1, r2 =−(−8)±
√64− 4 · 2 · 8
2 · 2
=8±
√0
4= 2
r1 = 2 = r2
y(x) = c1e2x + c2xe
2x
y′′ = 0
La ecuacion caracterıstica asociadaa la ecuacion es
r2 = 0
r1 = r2 = 0
y(x) = c1e0x + c2xe
0x = c1 + c2x
Pagina 7 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Tercer Caso: Raıces complejas (si b2 − 4ac < 0)En este caso las raıces son de la forma
r1 =−b
2a+
√
−(b2 − 4ac)
2ai, r2 =
−b
2a−
√
−(b2 − 4ac)
2ai
r1 =−b
2a︸︷︷︸
α
+
√
−(b2 − 4ac)
2a︸ ︷︷ ︸
β
i, r2 =−b
2a︸︷︷︸
α
−√
−(b2 − 4ac)
2a︸ ︷︷ ︸
β
i
r1 = α+ βi, r2 = α− βi donde α = − b
2a, β =
√
−(b2 − 4ac)
2aFormalmente no hay diferencia entre este caso y el primer caso, por lo que
y(x) = c1e(α+βi)x + c2e
(α−βi)x = eαx(
c1eβxi + c2e
−βxi)
Sin embargo, usando la formula de Euler
eiθ = cos θ + i sin θ
encontramos que:eβxi = cos βx+ i sin βx
e−βxi = cos βx− i sin βx
Tercer Caso: Raıces complejas (si b2 − 4ac < 0)
Por lo que la solucion general toma la forma
y(x) = eαx(
(c1 + c2) cos βx+ i(c1 − c2) sin βx)
Note que
Si c1 = c2 ⇒ y1(x) = eαx cos βx es solucion
Si c1 = −c2 ⇒ y2(x) = eαx sinβx es solucion.
Ademas, son l.i. ya que
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
eαx cos βx eαx sin βxeαx(α cos βx− β sin βx) eαx(α sin βx+ β cos βx)
∣∣∣∣
= βe2αx 6= 0
y podemos escribir la solucion general de ay′′ + by′ + cy = 0 como
y(x) = c1eαx cos(βx) + c2e
αx sin(βx)
Pagina 9 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior
Una ecuacion diferencial lineal de orden superior homogenea concoeficientes constantes es de la forma
any(n)+an−1y
(n−1)+ · · ·+a2y′′+a1y
′+a0y = 0 ai ∈ IR, i = 0, 1, . . . n
Metodo de solucion: Tomando la suposicion que una solucion toma laforma y = erx, se obtiene el polinomio caracteristico
anrn + an−1r
n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0
Dificultad: Se debe resolver la ecuacion polinomica.
anrn + an−1r
n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0
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Teorema de los ceros racionales
Si r1 =p
qes una raız racional de
anrn + an−1r
n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0
anrn + an−1r
n−1 + · · ·+ a2r2 + a1r + a0 = 0
entonces p es un factor de a0, q es un factor de an
Ejemplo: Resolver la ecuacion polinomica
p(r) = 3r3 + 5r2 + 10r − 4 = 0
Todos los factores de a0 = 4 son ±1,±2,±4 y de a3 = 3 son ±1,±3 ası lasposibles raıces racionales son
{
±1, ±2, ±3, ±4, ±1
3, ±2
3, ±4
3
}
Aplicando el teorema del residuo, se verifica que p(13
)= 0; Es decir, r1 = 1
3 esuna raız. Por lo tanto,
3r3 + 5r2 + 10r − 4y =
(
r − 1
3
)
(3r2 + 6r + 12) = 0
√ √
Ejemplo: Resolver 3y′′′ + 5y′′ + 10y′ − 4y = 0.
La ecuacion caracterıstica toma la forma
3r3 + 5r2 + 10r − 4 = 0
Las raıces de este polinomio son:
r1 =1
3, r2 = −1 +
√3i, r3 = −1−
√3i
En consecuencia, la solucion general es
y(x) = c1ex/3 + c2e
−x cos(√3x) + c3e
−x sin(√3x)
Pagina 12 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Raices con repeticion: Multiplicidad mayor o igual que 2
Si el polinomio
p(r) = anrn + an−1r
n−1 + · · ·+ a1r + a0
puede factorizarse en la forma
p(r) = an(r − α)n
Entonces α es una raız del polinomio p(r) con multiplicidad n.En el caso que la ecuacion caracterıstica de una EDO tome la forma
p(r) = an(r − α)n = 0
entonces la solucion general toma la forma
y = (c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cn−1x
n−1)eαx
Pagina 13 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Resolver y′′′ + 6y′′ + 12y′ + 8y = 0.
Para resolver la ecuacion debemos resolver la ecuacion polinomica
p(r) = r3 + 6x2 + 12x+ 8 = 0
Todos los factores de a0 = 8 son ±1,±2,±4,±8 y de a3 = 1 son ±1 asılas posibles raıces son
{±1, ±2, ±4,±8}Como p(−2) = 0, entonces r1 = −2 es una raız. Al dividir se encuentra
quer3 + 6x2 + 12x+ 8 = (r + 2)(r + 2)(r + 2) = (r + 2)3
En consecuencia, la solucion general es
y(x) = c1e−2x + c2xe
−2x + c3x2e−2x
Pagina 14 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Resolver y(iv) − 3y′′ − 4y = 0.
Para resolver la ecuacion debemos resolver la ecuacion polinomica
r4 − 3r2 − 4 = 0
Todos los factores de a0 = 4 son ±1,±2,±4 y de a3 = 1 son ±1 ası lasposibles raıces son
{±1, ±2, ±4, }Comprobando se encuentra que r1 = 2 es una raiz. Al dividir se
encuentra que
r4 − 3r2 − 4 = 0 = (r − 2)(r + 2)(r2 + 1)
En consecuencia, la solucion general es
y(x) = c1e2x + c2e
−2x + c3 cos(x) + c4 sin(x)
Pagina 15 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Resolver y(iv) + 2y′′ + 1 = 0.
Para resolver la ecuacion debemos resolver la ecuacion polinomica
p(r) = r4 + 2r2 + 1 = 0
Todos los factores de a0 = 1 son ±1 y de a4 = 1 son ±1 ası las posiblesraıces son
{±1}Comprobando se encuentra que p(±1) 6= 0, entonces el polinomio NO
tiene raices racionales!Tenemos
r4 + 2r2 + 1 = (r2 + 1)(r2 + 1) = 0
entonces las raıces son ±i cada una con multiplicidad 2. Enconsecuencia, la solucion general es
y(x) = c1 cos(x) + c2 sinx+ c3x cos(x) + c4x sinx
Pagina 16 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ecuaciones de Cauchy-Euler
La ecuacion de Cauchy-Euler de orden n es de la forma
anxny(n) + an−1x
n−1y(n−1) + · · · + a2x2y′′ + a1xy
′ + a0y = 0
en la que an, . . . , a0 son constantes con an 6= 0
¿ Cuales de estas EDO son de Cauchy-Euler? Justifique!
2x3y′′′ − x2y′′ +1
3y = 0, y(iv) +
1
2xy′′′ − 3
x2y′′ +
2
x3y′ − 1
x4y = 0,
x3y′′ − x2y′ + 10y = 0,1
x3y′′′ − 1
x2y′′ +
1
xy′ − 1
2y = 0.
¿El siguiente PVI tiene unica solucion? Justifique!
anxny(n) + an−1x
n−1y(n−1) + · · ·+ a2x2y′′ + a1xy
′ + a0y = 0
y(x0) = y0, x0 > 0
Ecuacion de Cauchy-Euler de segundo orden
Son de la forma ax2y′′ + bxy′ + cy = 0. Sustituyendo y = xr tenemos
ax2y′′ + bxy′ + cy = ax2r(r − 1)xr−2 + bxrxr−1 + cxr
= ar(r − 1)xr + brxr + cxr = 0
dividiendo por xr obtenemos la ecuacion cuadratica
ar(r − 1) + br + c = 0
Que equivale a:ar2 + r(b− a) + c = 0
cuyas raıces son
r1 =−(b− a) +
√
(b− a)2 − 4ac
2ar2 =
−(b− a)−√
(b− a)2 − 4ac
2a
Posibles casos:1 Raıces reales y distintas2 Raıces reales e iguales3 Raıces complejas conjugadas
Pagina 18 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Raıces reales y distintas
Para este caso se tiene que y1 = xr1 y y2 = xr2 son soluciones de la EDO.Probemos que es l.i., para ello tenga en cuenta que
W (y1, y2) =
∣∣∣∣
xr1 xr2
r1xr1−1 r2x
r2−1
∣∣∣∣= (r2 − r1)x
r1+r2−1 6= 0
Por lo tanto, {y1, y2} forman un CFS, y la solucion general de la ecuacionpara x > 0 esta dada por
y(x) = c1xr1 + c2x
r2
Pagina 19 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Encuentre la sol. general de la ecuacion 2x2y′′ + xy′ − 15y = 0
Haciendo la sustitucion y = xr tenemos
2x2y′′ + xy′ − 15y = 2x2rr(r − 1)xr−2 + xrxr−1 − 15xr
= 2xrr(r − 1) + rxr − 15xr = xr(2r(r − 1) + r − 15) =
2r(r − 1) + r − 15 = 0 ⇒ 2r2 − r − 15 = 0
las raıces son r1 =1+
√121
4 = 3 r2 =1−
√1+1214 = −5
2
y(x) = c1x3 +
c2
x5/2Solucion general
Pagina 20 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Raıces reales e iguales
Tenemos y1(x) = xr1 es solucion con r1 = − (b−a)2a . Usando el metodo de
reduccion de orden y2(x) = u(x)y1(x)
u(x) =
∫e−
∫P (x)dx
y21(x)dx =
∫e−
∫b
axdx
x2r1dx =
∫e−
b
alnx
x−2 b−a
2a
dx
=
∫x−
b
a
x−b−a
a
dx =
∫1
xdx = lnx
por lo tanto, la solucion general de la ecuacion es
y(x) = c1xr1 + c2x
r1 lnx
Pregunta
¿ Forman {xr1 , xr1 lnx} un CFS? Justifique su respuesta!
Pagina 21 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Raıces reales e iguales
Resolver y′′ + 5xy
′ + 4x2 y = 0.
Asumiendo x > 0, entonces la ecuacion dada equivale a
x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0
donde a = 1, b = 5, c = 4 y la ecuacion caracterıstica esta dada por:
r(r − 1) + 5r + 4 = 0 ⇒ r2 + 4r + 4 = 0
donde r = −2 es una raız con multiplicidad 2. Entonces la solucion generaltoma la forma
y(x) = c1x−2 + c2x
−2 lnx
Pagina 22 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Raıces complejas conjugadas
En este caso las raıces son
r1,2 =−(b− a)
2a︸ ︷︷ ︸
α
±√
4ac− (b− a)2i
2a︸ ︷︷ ︸
β
las cuales pueden reescribirse de la forma
r1 = α+ βi r2 = α− βi
En forma analoga a las EDO de coeficientes constantes se deduce que
xα±βi = e(α±βi) lnx = eα lnxei(±β lnx) = xα(cos(β lnx)± i sin(β lnx)
)
Las partes real e imaginaria son soluciones linealmente independientes, asıpara x > 0 una solucion general de la ecuacion es
y(x) = c1xα cos(β lnx) + c2x
α sin(β lnx)
Pagina 23 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ejemplo: Raıces complejas conjugadas
Resolver x2y′′ + 7xy′ + 13y = 0
En este caso se asume que x > 0, entonces la ecuacion caracterıstica a laEDO de Cauchy-Euler esta dada por
r(r − 1) + 7r + 13 = 0 ⇒ r2 + 6r + 13 = 0
cuyas raıces estan dadas por
r1,2 = −3± 2i α = −3 β = 2
Entonces la solucion general es la forma
y(x) = c1x−3 cos(2 ln x) + c2x
−3 sin(2 ln x)
Pagina 24 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Ecuacion de Cauchy-Euler (Orden superior)
Veamos que ocurre con la sustitucion y = xr. Tenemos
y′ = rxr−1, y′′ = r(r−1)xr−2 . . . y(n) = r(r−1)·· · ··(r−(n−1))xr−n
sustituyendo en la ecuacion
anxny(n) + an−1x
n−1y(n−1) + · · ·+ a2x2y′′ + a1xy
′ + a0y = 0
anxn r(r − 1) · · · (r − (n− 1))xr−n + · · ·+ a2x
2r(r − 1)xr−2+
+a1x r xr−1 + a0x
r = 0
anxr r(r − 1) · · · (r − (n − 1)) + · · ·+ a2x
r r(r − 1) + a1rxr + a0x
r = 0
xr(anr(r − 1) · · · (r − (n− 1)) + · · ·+ a2r(r − 1) + a1r + a0
)= 0
y se obtiene la ecuacion polinomial.
Ecuacion caracterıstica
anr(r − 1) · · · (r − (n− 1)) + · · ·+ a2r(r − 1) + a1r + a0 = 0
Pagina 25 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Resolver x3y′′′ + 6x2y′′ + 7xy′ + y = 0
La ecuacion caracterıstica asociada a la EDO es
r(r − 1)(r − 2) + 6r(r − 1) + 7r + 1 = 0
r3 + 3r2 + 3r + 1 = 0
(r + 1)(r + 1)(r + 1) = 0
Por lo tanto, la raız del polinomio es r = −1 (con multiplicidad 3)y por lo tanto
y(x) =c1
x+
c2 lnx
x+
c3(lnx)2
x( ln x )2 6= lnx2
Pagina 26 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato
Resolver 2x3y′′′ − 2x2y′′ + xy′ − y = 0
Haciendo y = xr tenemos
2r(r − 1)(r − 2)− 2r(r − 1) + r + − 1 = 0
(r − 1)(2r(r − 2)− 2r + 1) = 0
(r − 1)(2r2 − 6r + 1) = 0
Por lo tanto, las raıces del polinomio son
r1 = 1, r2,3 =3±
√7
2
y por lo tanto
y(x) = c1x+ c2x3+
√
7
2 + c2x3−
√
7
2
Pagina 27 Semana 08 14.09.2015 C. Domınguez -R. Prato