ESPRESSIONE DEL DATO ANALITICO - UniTE
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ESPRESSIONE DEL DATO ANALITICO
E’ impossibile effettuare una analisi chimica con risultatiprivi di incertezza, è quindi necessario determinare ilgrado di incertezza associato alla misura per ognicampione analizzato.
Passaggio assolutamente necessario è stabilire quale è il massimo errore tollerabile nella misura!
Come si esprime una misura?
1Chimica Analitica- STA- Compagnone
I dati I dati sono delle informazioni elementari che descrivono aspetti particolari di un
fenomeno
dati di un individuo: Altezza, peso, colore pelle, concentrazione composti chimici nel
sangue, composizione DNA, taglia abiti e calzature,…
I dati possono essere qualitativi o quantitativi
Di per se un dato non ha significato. E’ necessaria una forma di analisi che correli il
dato con qualche aspetto “significativo” del campione stesso in modo da aumentare
la “conoscenza”
p.es. per dare senso alla composizione chimica del sangue è necessario un modello del
corpo umano e delle azioni delle patologie.
2
dato Informazione Conoscenza
analisi modello
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Tipologie di dati
Quantitativi Valore numerico ed unità di misura
La temperatura dell’acqua è 400.0 K I dati quantitativi sono la base della scienza galileiana e delle cosiddette “hard sciences”: le
discipline basate su dati rigorosi connessi tra loro da modelli matematici.
Qualitativi Etichette, descrittori, categorie Generalmente sono espressi verbalmente
“l’ acqua è calda” Dati standardizzabili e riproducibili con difficoltà (es. analisi sensoriale)
Dati discreti: Range (intervallo) limitato e valori pre-definiti
Dati continui Range limitato ma valori continui
I limiti strumentali possono dar luogo a discretizzazioni (p.es.conversione Analogico-Digitale)
3Chimica Analitica- STA- Compagnone
Dati Univariati
Molti procedimenti analitici producono dati univariati in cui cioè il datosperimentale dipende da una sola variabile
Misura di una singola variabile incognita
Controllare le interferenze
Tenere costanti tutte le condizioni sperimentali tranne la variable target (bersaglio)
Richiede una preparazione elaborata del campione per isolare solo la variabile da misurare
Un dato univariato è espresso con uno scalare e una unità di misura.
La misura di una resistenza elettrica è 100KΩ
Il peso di una mela è 80g
La concentrazione di K+ in un campione di acqua è 1.02 mg/l (procedura analitica!)
4Chimica Analitica- STA- Compagnone
pipette di vetro ed automatiche .
©Gary Christian, Analytical Chemistry, 6th Ed. (Wiley)
5Chimica Analitica- STA- Compagnone
Tra gli errori che si commettono bisogna considerare quelli strumentali
©Gary Christian, Analytical Chemistry, 6th Ed. (Wiley)
6Chimica Analitica- STA- Compagnone
e dell’operatore!
Bilancia analitica elettronica.
Le bilance moderne sono elettroniche. Sono calibrate con masse note. Le bilance
analitiche comuni sono sensibili a 0.1 mg. Devono essere accompagnate da certificati
di taratura forniti dalle ditte produttrici.
©Gary Christian,
Analytical Chemistry,
6th Ed. (Wiley)
7Chimica Analitica- STA- Compagnone
Criterio fondamentale della analisi dati
I dati sono rappresentati in spazi vettoriali euclidei
Ad ogni osservabile viene fatta corrispondere una dimensione dello spazio ed è associato
un vettore di base.
Il sistema di riferimento dello spazio vettoriale è costituito da una base di vettori
ortonormali pari al numero degli osservabili descritti.
Questa assunzione è ovvia per i dati univariati:
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Rappresentazione cartesiana
[mg/l]
[mA]
••
•
• • ••
•
•Variabile da misurare
Risposta strumentale
Conc. di glucosio [mg/l]
Corrente elettrica [mA]
Spazi delle variabili Il sensore
•[mg/l]
[mA]•
•
•
•
•
Esempio: sensore di glucosio (procedura analitica semplice)
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I parametri caratteristici degli strumenti:
1. La curva di risposta
Formalmente uno strumento descrive una mappatura dallo
spazio del misurando allo spazio del segnale d’uscita.
Se questi spazi hanno dimensione 1, lo strumento è
rappresentabile attraverso una funzione V=f(M).
Questa funzione è detta risposta I/O o caratteristica dello
strumento, rappresenta il parametro fondamentale per
caratterizzarlo.
La conoscenza della curva di risposta permette di usare lo
strumento per una qualsiasi misura: dalla misura di V si
evince una stima del misurando M
La curva di risposta si ottiene attraverso un processo di
taratura.
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strumento
Misurando M
Segnale V
M
V
Regione lineare
Regione
non-linearesaturazione
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I parametri caratteristici degli strumenti:
2. Reversibilità
La reversibilità esprime la capacità dello strumento di misura di seguire, con una dinamica
tipica dello strumento stesso, le variazioni del misurando.
In particolare, uno strumento è reversibile se al cessare della sollecitazione del misurando la
risposta si annulla.
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t
V
M
tV
M
tV
t
M
tt
reversibileIntegrale “dosimetro”
mono-uso “disposable”
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I parametri caratteristici degli strumenti:
3. Sensibilità
La sensibilità è definita come il rapporto tra la variazione del segnale e la variazione del misurando.
Definisce la capacità dello strumento di misuradi seguire le variazioni del misurando
Matematicamente, si esprime come la derivatadella curva di risposta dello strumento
Nella regione di non linearità, S è funzione del misurando.
Nella regione di linearità S è massima, perciòsono massime le prestazioni dello strumento
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S
dV
dMM
V
Regione
lineare
Regione
non-lineare
saturazione
M
S
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I parametri caratteristici degli strumenti:
4. Risoluzione
La risoluzione è legata all’esistenza degli errori di misura e del rumore.
Per questo motivo, il segnale del sensore non è una grandezza deterministica ma ha una
componente aleatoria: V±dV. Dove dV esprime tutti gli errori di misura
dV è limitato inferiormente dal rumore elettronico del segnale V.
La risoluzione esprime come l’incertezza dV si traduce in una incertezza dM sulla misura del
misurando.
Nella regione lineare:
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V±dV
MM±dM
tan S
dV
dM
dM
dV
S
• La risoluzione dipende dalla sensibilità.
• In strumenti con sensibilità più alta gli errori
di misura influiscono di meno sulla stima del
misurando.
• La definizione vale anche per strumenti non
lineari, se nell’intervallo dV la curva è
assimilabile ad una retta.
resolution lim
VoutVnoi se
Vout
S
Vnoise
S
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I parametri caratteristici degli strumenti:
5. Limite di rivelazione
La risoluzione calcolata per un segnale uguale a 0, definisce il limit of detection
(LOD) dello strumento.
La definizione traduce il fatto che non può esservi misura inferiore al suo errore.
Quando l’errore di misura raggiunge il suo limite inferiore, il rumore elettronico
Vn, si ha il limite di rivelazione teorico.
Si definisce un LODconvenzionale= (p.es 3 volte rumore di fondo )
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MVn
LOD
tan S
dV
dM
LOD
Vn
S
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Analisi dati:
deterministica o statistica
Il dato in quanto risultato di una misura è un’entità stocastica
Questo è un concetto fondamentale delle scienze sperimentali
Ripetendo N volte “la stessa misura” si ottengono N valori differenti
Se non si ottengono valori differenti lo strumento di misura ha una risoluzione non adeguata.
Esempio:
Se si misura 5 volte la lunghezza di un asse con diversi strumenti si ottiene:
All’aumentare della risoluzione strumentale il dato diventa da deterministico stocastico
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Strumento Risoluzione Misure [cm]
Metro da sarta 1 cm 120, 120, 120, 120, 120
Metro da falegname 1 mm 119.8, 119.9, 120.1, 120.0, 120.2
Calibro 0.1 mm 119.84, 120.31, 119.83, 120.10, 120. 34
Micrometro 0.01 mm 119.712, 120.032, 119.879, 120.320, 119.982
Interferometro laser 0.5 µm 119.9389, 120.0032, 119.8643, 119.3492, 120.2010
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Analisi Statistica
La statistica è quella parte della matematica che mette in relazione grandezze rappresentate da distribuzioni di probabilità.
Esempio:
La misura dell’asse precedente non ha un valore vero assoluto, ma appartiene ad una distribuzione che fissa la probabilità che eseguita una misura il valore sia compreso in un certo intervallo.
Il concetto di probabilità è il concetto fondamentale della statistica. Essa è definita come:
Esempio: la probabilità tirando un dado “non truccato” di avere un valore è 1 (caso favorevole)/6 (casi possibili).
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possibilicasi
favorevolicasiobabilità
Pr
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Probabilità e Frequenza
Ogni grandezza misurabile è caratterizzata da una distribuzione di
probabilità i cui parametri sono stimabili attraverso misure sperimentali
All’aumentare delle misure sperimentali i valori stimati approssimano i valori
reali.
Lo stimatore, calcolato cioè a partire dai dati sperimentali, della probabilità
è la frequenza.
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FrequenzaN
obabilità
N
NFrequenza
totali
totali
favorevoli
limPr
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Distribuzioni di probabilità (PDF)
Data una grandezza la distribuzione di probabilità, PDF(x), è una funzione del
valore della grandezza estesa a tutti i valori possibili (da - a +).
Per ogni valore essa definisce la probabilità di osservare il valore stesso.
Poiché ogni strumento di misura ha una incertezza intrinseca derivante dal
metodo di misura il risultato di una misura è espresso come intervallo x±∆x. Per
cui la probabilità della misura è la somma delle probabilità di tutti i valori
compresi tra x-∆x e x+∆x:
Ovviamente, poiché la misura esiste si ha la seguente regola di normalizzazione
della PDF
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p PDF x dx
xx
xx
PDF x dx 1
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Esempio: Risultati di un analisi di un campione contenente 30 ppm (mg/L)
di rame(II) (Cu2+) 28.7; 30.2; 29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_ Nx (media-migliore stima del valore medio) = S xi / N = 29.8.
i=1
mediana = (29.8 + 30.1) /2 = 29.95
ACCURATEZZA (accuracy): indica la vicinanza del valore espresso al suo
valore vero o accettato come vero. E’ composta da PRECISIONE ED
ESATTEZZA. Si esprime come incertezza della misura (errore relativo o
assoluto).
PRECISIONE (precision): Grado di concordanza fra risultati di prova
indipendenti ottenuti con un procedimento di analisi in condizioni stabilite,
indica la riproducibilità delle misure ottenute con lo stesso metodo. Si
esprime mediante la deviazione standard (scarto tipo), la varianza o il
coefficiente di variazione ( deviazione standard relativa).
ESATTEZZA (trueness): indica la vicinanza della media dei valori ottenuti
al valore vero o accettato come vero
18Chimica Analitica- STA- Compagnone
Errore assoluto = xi - xt;
xt = valore vero
Errore relativo = (xi - xt ) / xt 100
p.es. (29.8 - 30.0) / 30.0 100 = - 0.67%
Tipi di errore:
• errore casuale dispersione simmetrica
dei dati
• errore sistematico (bias) media diversa
dal valore vero o accettato
• errore grossolano produce outliers
19Chimica Analitica- STA- Compagnone
Esattezza scarsaPrecisione scarsa
Esattezza buonaPrecisione scarsa
Esattezza scarsaPrecisione buona
Esattezza buonaPrecisione buona
a; b; c = 4; 10 e un numero grande di incertezze indeterminate (U)
Distribuzione degli errori casuali (o indeterminati)
20Chimica Analitica- STA- Compagnone
Media e Varianza
La media e la varianza sono due grandezze fondamentali per descrivere una variabile statistica indipendentemente dalla forma funzionale della PDF.
La media m è quel valore particolare di x per il quale si ottiene:
La varianza (s2) è una grandezza che definisce “l’ampiezza” della PDF, definisce cioè la dispersione possibile dei valori della misura di x.
In pratica, la probabilità di x è concentrata in un intervallo di valori la cui ampiezza è definita dalla varianza.
La varianza è definita attraverso la PDF come mvalore vero:
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PDF x dx
m
PDF x dx
m
dxxfx22 ms
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Media Aritmetica come miglior stima del valore medio
Data una sequenza di misure affette da errore si dimostra che la media aritmetica è una
buona stima del valore atteso della misura stessa, cioè al valore medio della PDF della
variabile misurata.
Al crescere del numero delle misure la media aritmetica converge verso il valore medio
(valore vero m):
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N
i
iN
xN 1
1limm
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Dispersione quadratica media come miglior stima della varianza
Data una sequenza di misure di x, la miglior stima della varianza della PDF che genera le
misure è data dalla dispersione quadratica media, ovvero dalle medie del quadrato della
differenza tra le singole misure ed il valore medio.
La radice della varianza è detta deviazione standard ed è spesso usata per esprimere
l’incertezza di una misura sperimentale.
N
i
ixN 1
22 1ms
Distribuzione Normale gaussiana
La distribuzione di Gauss è la PDF più importante soprattutto per quanto riguarda le misure
sperimentali.
La distribuzione ha la seguente forma funzionale
Dove µ è il valor medio e s2 la varianza
La funzione è simmetrica attorno al valor medio
Il valore di s determina la larghezza della curva.
23
f x 1
2sexp
xm 2
2s 2
Chimica Analitica- STA- Compagnone
• la media cade nel punto centrale di massima frequenza
• la distribuzione delle deviazioni è simmetrica
• diminuzione esponenziale nella frequenza all’aumentare delle deviazioni (le piccole
incertezze sono osservate più spesso delle grandi)
PDF normale come somma di processi casuali elementari
24
Frequenza uscite da un dado a 10 facce
Due dadi
Tre dadi
Quattro dadi
Ndadi
Un fenomeno è distribuito
normalmente quando è costituito
da un numero molto elevato
(tendente a infinito) di processi
casuali.
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Le curve gaussiane possono essere descritte mediante :
la media della popolazione m
la deviazione standard s
popolazione di dati numero teorico infinito di misure
campione di dati numero finito di dati
25Chimica Analitica- STA- Compagnone
26Chimica Analitica- STA- Compagnone
s
m
xz
•Per facilitare l’uso della distribuzione normale conviene ridurre la variabile eventuale ad una
variabile ridotta con media nulla e varianza unitaria
•In questo modo il calcolo della probabilità diventa indipendente dalla particolare natura
della variabile e possono essere usate delle tabelle generali
•Per ridurre la variabile è necessario conoscere il valore medio (µ) e la varianza (s2) della
variabile stessa
Esempio:gradi Brix in Pesche
Supponiamo di avere misurato il contenuto in gradi brix di una popolazione di 31
pesche.
9.80 8.00 10.20 9.10 11.30 12.80 11.30 11.20 9.90
7.70 11.50 11.90 11.60 9.20 8.30 11.90 10.40
9.50 11.20 13.20 14.60 13.70 13.20 13.70 13.20
13.70 11.50 12.50 14.30 12.50 12.10
27
media 1
31xi
i1
31
11.45 51.345.1130
1
1
22
N
i
ixs
Chimica Analitica- STA- Compagnone
_x tende a me s tende a s per un numero elevato di
misure
N-1 = numero di variabili indipendenti o gradi di libertà
(un grado di libertà viene usato per calcolare la media)
Gaussiana ed istogramma
28
4 6 8 10 12 14 16 180
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Chimica Analitica- STA- Compagnone
L’istogramma è una rappresentazione della frequenza con la quale in un
esperimento si è verificato un valore compreso in un intervallo x±∆x
Poichè la frequenza approssima la probabilità, l’istogramma è una
approssimazione della PDF
Dati Brix nelle pesche
Tutti i parametri relativi alla precisione possono essere trovati
tramite un semplice calcolatore o foglio excel! Inserire i dati – selezionare dalle funzioni numeriche dev. st.- sel. le caselle
con i dati
Risultati dell’analisi del campione di rame (II) (Cu2+) 28.7;
30.2; 29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_ x (media) = 29.8 ppm; sx = 0.639 ; sx = 0.583 (m = 30 ppm)
s2 = 0.408 ;
CV (RSD) = 0.639 / 29.8 x 100 = 2.14%Deviazione standard relativa o coefficiente di variazione
attenzione alle cifre significative!
29Chimica Analitica- STA- Compagnone
_ RSD (CV) = (s / x ) 100
Il numero di cifre significative è il numero di cifre necessario per
esprimere i risultati di una misurazione consistenti con la
precisione misurata
Il numero 56.098 ha 5 cifre significative.
56.098 mm = 0.56098 dm = 0.056098 m sempre 5 cifre significative. Lo zero
finale è sempre significativo!
Moltiplicazione e divisione
L’incertezza dell’ultima cifra è trasmessa nelle operazioni matematiche, nel calcolo
si individua un numero chiave, quello con il minimo grado di certezza cioè con
meno cifre significative e più piccolo in valore assoluto:
35.63 0.5481 0.05300 / 1.1689 = 88.5470578
il risultato è 88.55; le altre cifre non hanno senso
se la grandezza del risultato è più piccola del numero chiave si può aggiungere una
cifra su cui però si è incerti
42.68 891 / 132.6 0.5247 = 546.57
il risultato è 547 o 546.6 30Chimica Analitica- STA- Compagnone
Addizione e sottrazione
Non si usa un numero chiave ed è importante determinare quante cifre saranno
significative.
p.es. peso formula di Ag2MoO4 pesi atomici: Ag = 107.870; Mo = 95.94; O =
15.9994
il risultato è 375.68 e si può arrotondare alla seconda (o terza) cifra decimale
prima dell’addizione
Logaritmi
Il numero su cui si deve operare e la mantissa del logaritmo hanno lo stesso
numero di cifre significative
una soluzione di 2.0 x 10-3 M di HCl ha un pH = -log[H+] = -(-3 + 0.30) = 2.70
Per aumentare l’accuratezza di una misura si può aumentare il
numero chiave (p. es. tramite pesata) o misurarlo con una cifra in più
(se possibile).31Chimica Analitica- STA- Compagnone
Limiti ed intervalli di confidenza (fiducia)
CL(limite di
confidenza) di una
singola misura
per m= x zs
di una media Ndi
misure
per m= x zs/N
32Chimica Analitica- STA- Compagnone
spesso s non è noto ed è necessario utilizzare una piccola
serie di dati non solo per il calcolo della media ma anche
della precisione. In questo caso si usa t invece di z dove:
t = (x - m /s
il limite di confidenza per la media di N replicati diventa
_
CL per m = x ts / N (errore standard)
t dipende sia dal livello di confidenza desiderato che dai
gradi di libertà.
I valori di t sono tabulati.
33Chimica Analitica- STA- Compagnone
Risultati dell’analisi del campione
di rame (II) (Cu2+) 28.7; 30.2;
29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_ x (media) = 29.8 ppm; sx = 0.639 ;
ad un livello di confidenza all’80%
m = 29.8 1.48 0.639 / 6 = 29.8
0.39
ad un livello di confidenza al 99%
m = 29.8 4.03 0.639 / 6 = 29.8
1.05
34Chimica Analitica- STA- Compagnone
Errore sistematico (bias)
• errori strumentali (p.es. variazioni nel
volume dispensato da una pipetta o nella
tensione di alimentazione di strumenti)
• errori di metodo (comportamento fisico e
chimico non ideale di reagenti e reazioni)
• errori personali (valutazione soggettiva
dell’operatore)
35Chimica Analitica- STA- Compagnone
C’è un bias nella misura? Se mA = valore vero mB contiene un errore sistematico? Se la
differenza mA- mB è dovuta ad errore casuale, deve essere inferiore ad un valore critico , ad
un certo livello di probabilità, (ipotesi nulla ) se xv è il valore vero allora:
Se il valore è maggiore ho un errore sistematico, altrimenti non ho errore sistematico o è
coperto dall’errore casuale
Ntsxx v /
Uso del test Q per il rigetto degli outliers (errori grossolani)
Non ha valore assoluto e bisogna utilizzarlo con attenzione!
36Chimica Analitica- STA- Compagnone
Chimica Analitica- STA- Compagnone 37
Confronto tra due medie sperimentali
p.Es verifica del contenuto di un costituente ottenuto su due materiali identici con lo
stesso metodo. Se m1 e m2 sono le due medie
t
N
i
N
j
N
k
kji
cumNNNN
xxxxxx
s
......
......)()()(
321
1 1 1
23
2
2
2
1
1 2 3
111 Nssm 222 Nssm 2
2
2
1
2
mmd sss
Varianza della differenza tra le medie
2
22
2
11
2 )/()/()/( NsNsNs totd
La deviazione standard cumulativa è una
buona stima della deviazione standard totale!
Per cui
2121
22 /)/( NNNNsNs cumtotd
212121 / NNNNtsxx cum
Formula generale per s cumulativa
se la differenza è inferiore al dato
calcolato al livello di fiducia desiderato i
materiali sono identici!
38
Calibrazione Ogni metodo analitico è descritto da una funzione caratteristica che mette in relazione la
grandezza d’uscita (segnale V) con la grandezza alla quale il metodo è sensibile(misurando-analita x)
Nei casi più semplici, f è lineare:
V: segnale; e: sollecitazione; k: parametro funzionale del sensore
Il metodo è utilizzabile, cioè dal segnale si può stimare il misurando, solo quando sono notisia la funzione caratteristica che I parametri funzionali.
La stima dei parametri funzionali può essere ottenuta solo effettuando una operazione di calibrazione del metodo, cioè attraverso una serie di misure sperimentali ed applicandouna regressione statistica.
V f ( x )
V k e
39
Stima dei parametri funzionali La forma funzionale della caratteristica deve essere imposta a-priori
Le deviazioni tra forma funzionale e dati sperimentali vengono interpretate
come errori di misura.
Per calibrare il sensore lo si deve sottoporre a sollecitazioni note. Quindi si deve
essere in grado di generare valori noti del misurando con grande precisione (uso
di standards)
Da questa precisione dipende la bontà della calibrazione e quindi l’accuratezza
delle misure sui campioni incogniti.
Chiamiamo regressione la stima di parametri da dati sperimentali
La regressione è una operazione statistica necessaria a causa della presenza degli
errori di misura
Gli errori di misura rendono le variabili misurate delle grandezze stocastiche dotate
di una distribuzione di probabilità per cui il valore realmente osservato è solo una
“occorrenza” del fenomeno.
Il metodo generale per la regressione è il metodo dei minimi quadrati
La soluzione ottimale è quella che rende minimo l’errore quadratico.
40
Metodo dei Minimi Quadrati-Least Squares
Siano y ed x due grandezze misurabili in relazione funzionale tra loro
Esempio: polinomio
Supponiamo di aver eseguito n misure xi,yi
Se non ci fossero errori di misura, la relazione funzionale y=g(x) è esatta, quindi
ci sono n equazioni per m incognite
N=m il sistema è risolvibile
N>m le equazioni eccedenti n=m sono delle identità
y g x; k1 ,,km
12
321
n
n xkxkxkky
yi g xi ; k1 ,,km
41
Errori di misura la relazione funzionale non è esatta
e: variabile aleatoria a media nulla
Criterio dei Minimi Quadrati:
Tra i valori possibili dei parametri k si scelgono quelli che rendono massima la
probabilità degli eventi osservati.
Ipotesi 1:
L’errore di misura alla risposta del sensore (metodo analitico) è molto più grande
dell’errore con cui è nota la sollecitazione (errore di concentrazione nella
preparazione degli standards) (Non è sempre vero!)
yi g xexi ; k1 ,,km eyi
eyiexi
Ipotesi 2: la variabile y ha una distribuzione gaussiana con valor medio g(x) e varianza s
La probabilità di ogni misura è quindi:
Ipotesi 3: Gli n eventi osservati (misure) sono indipendenti tra loro (non sempre vero!).
DP yi 1
2s i
exp yi g xi
2
2s i2
42
La probabilità totale dell’insieme dei dati è quindi il prodotto della probabilità dei
singoli eventi:
La probabilità totale si chiama funzione di verosimiglianza (L)
tesi fondamentale dei minimi quadrati: il set di dati ha la probabilità massima.
La probabilità massima si ottiene minimizzando la somma degli scarti tra valore
ipotetico e misure.
DP y1 yn DP yi ,k i1
n
L yi ,k
L y1 yn ,k 1
2s i
exp yi g xi ,k
2
2s i2
i1
n
max DP max L minyi g xi ,k
2
2s i2
i1
n
43
Ipotesi 4: tutte le misure hanno uguale varianza s s
La condizione di minimo si ottiene annullando la derivata rispetto ai singoli parametri
funzionali sistema di m equazione in m incognite.
k1
yi g xi ,k1km 2
i1
n
km
yi g xi ,k1km 2
i1
n
44
Minimi quadrati
soluzione del caso lineare
yi a xi b
ayi a xi b
20
i1
n
byi a xi b
20
i1
n
a
xi x yi y i1
n
xi x 2
i1
n
b
xi2 x xi yi
i1
n
i1
n
xi yi 2
i1
n
dove x 1
Nxi ;
i1
n
y 1
Nyi ;
i1
n
Chimica Analitica- STA- Compagnone45
Concentrazione di Fe
ppmAssorbanza gruppo 1 Assorbanza gruppo 2 Assorbanza gruppo 3 Media Deviazione Standard CV%
0 -0,032 -0,040 -0,004 -0,036 0,006 -15,7
0,1 -0,021 0,001 0,019 0,010 0,013 127
0,5 0,073 0,074 0,093 0,080 0,011 14,1
1 0,163 0,172 0,162 0,166 0,006 3,32
3 0,577 0,565 0,593 0,578 0,014 2,43
6 1,232 1,182 1,219 1,211 0,026 2,14
10 1,972 1,993 1,950 1,972 0,022 1,09
20 2,000 2,000 2,000 2,000 0,000 0,00
campione 1,084 1,301 1,319 1,235 0,131 10,6
x=(y+0.0341)/0.2068
Assorbanza campione 1,235
mg/L di Fe nel campione 6,14
Fattore di diluizione 1,82
Concentrazione reale di Fe
nel campione mg/L11,2
mg/L di terreno nel
campione1013
% di Fe nel terreno 1,10
y = 0,2068x - 0,0341R² = 0,9997
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
1,400
0 1 2 3 4 5 6 7
ASSO
RBA
NZ
A
ppm Fe
Retta di taratura
Calibrazione su foglio .xls
R2 = coefficiente di determinazione indica
la bontà della regressione rispetto al
modello. Varia tra 0 e 1; se il numero si
avvicina ad 1 il modello è corretto. Nelle
regressioni lineari è il quadrato del
coefficiente di correlazione R.
46
Correlazione lineare
La correlazione è legata alla regressione lineare.
In particolare una serie di misure relative a due grandezze assolutamente
correlate sono definite come:
Nel caso di correlazione parziale si può scrivere
Esattamente come nel caso della regressione lineare
La correlazione lineare esprime la deviazione dalla legge di linearità tra Y e X.
Yi k X iX
Y
••• • • • •
Yi k X i ei
X
Y
••• •• • •
47
Coefficiente di correlazione lineare
22 )()(
)()(
yyxx
yyxxR
ii
ii
y
x
0.90 < r < 0.95
retta (correlazione) discreta
0.95 < r < 0.99 buona
r > 0.99 eccellente
Confronto tra 2 metodi analitici
MATERIALI CERTIFICATI DI RIFERIMENTO
materiali di cui è nota la composizione ed è certificata da
organismi internazionali
vengono usati per la calibrazione dei metodi analitici, per
valutare la performance del metodo e per controllare la
qualità del dato analitico
il loro uso consente una accuratezza migliore
CARTE DI CONTROLLO
si usano per controllare i risultati delle analisi in un
lungo periodo di tempo per evitare l’insorgenza di
errori sistematici
48Chimica Analitica- STA- Compagnone
Carta X = media di due
ripetizioni
Carta R = differenza di due
ripetizioni
se per due volte di seguito la
misura dello standard (o
CRM) è fuori dal livello di
allarme (p.es. 3s) o se le
misure tendono a stare
soprattutto da un lato (10-15
volte) bisogna adottare delle
procedure per la verifica del
metodo
49Chimica Analitica- STA- Compagnone
Validazione“Conferma attraverso l’esame e l’apporto di evidenza oggettiva che
i requisiti particolari per l’utilizzazione prevista siano soddisfatti”
Quando?
un metodo nuovo è sviluppato dal laboratorio
normato ma utilizzato al di fuori del proprio scopo e campo di
applicazione prefissato (p.es altra matrice)
le performances di un metodo devono essere migliorate
un metodo deve essere trasferito ad un altro laboratorio
Devo confrontare un metodo con un metodo standard
Il controllo di qualità non è soddisfacente per tempi lunghi
DECISIONE 2002/657/CE
Classificazione dei metodi analitici
Metodi di confermaI metodi di conferma per i residui o i contaminanti organici fornisconoinformazioni sulla struttura chimica dell’analita.
I metodi basati esclusivamente sull’analisi cromatografica senza l’uso dellarivelazione spettrometrica non sono adeguati all’impiego come metodi diconferma senza il ricorso ad altri metodi.
Se una singola tecnica non dispone di specificità sufficiente, la specificitàdesiderata deve essere ottenuta per mezzo di combinazioni di tecniche.
Metodi di screeningNon danno informazioni strutturali, in caso di non conformità è necessarioanalizzare il campione con un metodo di conferma
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UN METODO
ANALITICO
campo di applicazione (misurando-matrice)selettività-specificitàaccuratezza (ripetibilità, riproducibilità, esattezza) incertezza limite di rilevabilità (LOD)limite di quantificazione (LOQ)robustezza
PROCESSO DI MISURAZIONE
il valore vero è e resta sconosciuto, il processo di misurazione fornisce semplicemente, tramite l’espressione della media aritmetica la migliore stima del valore vero. Proprio per questo motivo il risultato analitico non è completo ne confrontabile con risultati di altri laboratori o con valori di riferimento, se non è accompagnato da un indicatore che quantifica le performances con il quale è stato ottenuto.
per “performances” o qualità si intende la dispersione dei risultati ottenuti nella quantificazione del parametro che stima il valore vero.
UN PROCESSO DI MISURAZIONE È IL PROCEDIMENTO PER IL QUALE, TRAMITE UNA
SERIE DI MISURE RIPETUTE, SI RESTITUISCE IL VALORE VERO DELLA MISURA (VALORE
SCONOSCIUTO)
L’esistenza di un incertezza associata ad una misura, non implica un dubbio sulla
validità della misura ma, al contrario, la conoscenza della stessa implica un aumento
della significatività e della validità di tutte le informazioni che il risultato fornisce
Campo di misura (validità) Intervallo tra il più alto e il più basso livello dell’analita determinabili con precisione ed
accuratezza applicando il metodo stesso
Il campo di misura (validità) è espresso nella stessa unità di misura dell’analita
Dipende dallo scopo del metodo
Specificità-Selettività analitica
Abilità di misurare accuratamente l’analita in presenza di interferenti
Specificità: Si riferisce ad un metodo che produce una singola risposta
Selettività: si riferisce ad un metodo che produce più risposte (metodo separativo)
Limite di rilevabilità (LdR=3*Sb/S )
• minore quantità di analita che può essere rilevata, ma non necessariamente determinata
quantitativamente, nelle condizioni sperimentali del metodo, dipende dall’errore strumentale
Sb = deviazione standard del valore del bianco (almeno 5 campioni)
S =coefficiente angolare della curva di taratura
Limite di quantificazione Minore concentrazione analitica che può essere determinata quantitativamente con accettabile
precisione ed esattezza nelle condizioni sperimentali del metodo
LdQ = 10*Sb/S
Esattezza
Grado di concordanza tra il valore medio ottenuto a partire da un grande
insieme dì risultati di prova, e un valore dì riferimento accettato
Confronto con un metodo analitico di ordine metrologico superiore
Analisi di idonei materiali di riferimento certificati a diversi livelli di
concentrazione
Confronto con i valori attesi in studi collaborativi (circuiti interlaboratorio)
Analisi di idonei campioni costruiti aggiungendo alla matrice quantità certificate
di analita (Spike) a diversi livelli di concentrazione
Ripetibilità
concordanza tra risultati di prova indipendenti ottenutì con lo stesso metodo su
materiali ídentici, nello stesso laboratorio, dallo stesso operatore, usando la
stessa apparecchiatura e in intervalli di tempo brevi (stessa serie analitica)
Riproducibilità concordanza tra risultati di prova indipendenti ottenuti con lo stesso metodo su
materiali identici, in laboratori diversi, da operatori diversi, usando
apparecchiature diverse e in intervalli di tempo diversi
Robustezza
Insensibilità a piccole variazioni dei parametri
sperimentali
Variazioni deliberate
% solventi organici
pH
temperatura
Flusso
….esplicitare l'intervallo di incertezza relativo ad una misura fornisce un'indicazione
sulla qualità del risultato analitico presentato e sulle prestazioni del laboratorio per
quel tipo di prova. Questa informazione può essere utilizzata dall'utente per decidere se
affidare o meno la misura al laboratorio in funzione delle proprie esigenze analitiche.
Ad esempio, un cliente che abbia la necessità di verificare la presenza di un inquinante
in tracce nella merce di sua produzione, e verificarne la conformità con le normative
vigenti, sarà orientato verso un laboratorio che effettui la misura con un intervallo di
incertezza ristretto. Un altro può avere l'esigenza di controllare “grossolanamente” un
parametro (ad esempio un controllo di qualità o un parametro indicatore specifico di un
processo industriale ecc.) ritenendo sufficiente affidare la prova ad un laboratorio che
indichi un risultato analitico con un intervallo di incertezza piuttosto largo.
Tali argomentazioni concordano con i principi del libero mercato con cui il legislatore si
è ispirato nella stesura delle normative di settore, sfociate poi con l'emanazione delle
norme ISO 9000 ed UNI CEI 45000…..
S.De Martin, C.Del Bianco; Boll.Chim.Igien. vol.52 (2001)
Incertezza di misura
Incertezza di misura
stima legata ad un risultato di prova che
caratterizza l'escursione dei valori entro cui si
suppone che cada il valore vero del
misurando - Ha le dimensioni di uno scarto tipo
(deviazione standard) e si indica con ”U"