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sen2θ+4Autor: Francisco Javier López ApesteguíaSupervisión: Daniel Gabarró
BOIRAINTERNACIONAL
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omendado para
METODOLOGÍA ESPAÑOLA ADAPTADA
Dominar los problemasmatemáticos (4)
De una o dos operaciones con las cuatro operaciones básicas
Aprender a pensar con una mente matemática
4ogradoprimaria
Cuaderno de los alumnos
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Atención: Nota mportante
El cuaderno que tienes en tus manos está escrito en español de España, también llamado Castellano.
Es igual que el español que se habla en tu país, pero notarás que algunas palabras y expresiones cambian. Por ejemplo, al chancho
nosotros le decimos cerdo, o a las papas le decimos patatas, al carro o auto, le decimos coche… ¡y así con un montón de palabras!
Esto es porque el español es un idioma con muchas variantes y palabras distintas según el lugar donde se hable... ¿lo sabías?
No te preocupes: gracias a las ilustraciones o dibujos, siempre lo entenderás todo. Además, tus maestros te ayudarán si tienes
dudas.
¡Aprenderás muchas palabras nuevas! ¡Verás que algunas son bien divertidas! Así, si algún día vas a España, lo entenderás todo.
Índi
ce
1. Introducción para docentes ................................................................. 4
2. Preguntas en los problemas de una y de dos operaciones ................... 6
3. Pasos para dominar problemas de dos operaciones ............................ 7
4. ¡Practiquemos! Distingo entre problemas de una y de dos operaciones ............................................................. 10
5. Identifico los datos y sus relaciones en problemas de dos operaciones ..................................................... 16
6. Organizo los datos en un diagrama y decido las operaciones ............ 23
6.1. Problemas de ampliación ......................................................... 29
7. Calculo problemas de dos operaciones ............................................. 31
8. Respondo y valoro si la respuesta es lógica ........................................ 37
9. Plantilla para resolver problemas de dos operaciones ....................... 43
10. Batería de problemas ........................................................................ 45
11. Propuesta de evaluación para problemas de dos operaciones .......... 49
@. Solucionario y propuesta de baremación para la prueba de evaluación ............................................................. 50
3
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(y-yθ)2
a2______b2
mc/
mx× mc2
sen2θ+4
4
INTRODUCCIÓN PARA DOCENTES1
Solamente 3 de cada 10 alumnos comprenden los problemas matemáticos. Ante esta situación, ¿por qué no animar al 70% restante a redescubrir las matemáticas mediante una metodología fácil y sencilla? ¿Por qué no motivar todavía más a ese 30% mediante un sistema innovador y útil? Este cuaderno lo hace posible.
El cuaderno que tenéis en vuestras manos, pensado para 4º de primaria, es completamente distinto a cualquier otro en cuanto a forma y contenido. En él, se explican de manera lógica y ordenada los pasos que se deben dar para resolver problemas de suma-resta o multiplicación-división de dos operaciones.
En los problemas de una operación, todos los datos que necesitamos para resolver el problema siempre están en el enunciado.
En los problemas de dos operaciones, falta uno de los valores necesarios para resolver el problema. Para encontrarlo, buscaremos el dato que actúa como dato de enlace entre ambas operaciones y que nos permitirá solucionar el problema.
En estos problemas, a veces la primera y la segunda operación es de suma-resta o de multiplicación-división. En otros casos, son problemas de combinación, es decir, la primera operación puede ser de suma-resta y, la segunda, de multiplicación-división o viceversa.
Con este cuaderno, vuestro alumnado adquirirá una base excelente que le permitirá identificar el dato de enlace y tener la certeza de cuál es la primera operación y cuál es la segunda. Todo ello gracias a una metodología que incide en el proceso mental, explicado paso a paso.
5
Concretamente, en este cuaderno aprenderá a:
1. Distinguir entre problemas de una operación y de dos operaciones
2. Leer e identificar los datos y sus relaciones aritméticas
3. Elaborar un diagrama de resolución
4. Decidir, a partir del diagrama, qué operaciones hacer y calcularlas
5. Escribir el resultado y valorar si la respuesta es lógica
¡Ayudémosles a adquirir una mente matemática! ¡Empecemos!
Francisco Javier López ApesteguíaAutor
Daniel Gabarró BerbegalSupervisor del método
6
2
P?
T155
T?
T
1
2
P?
P
V12
P104
P1.100
U60
PREGUNTAS EN LOS PROBLEMAS DE UNA Y DE DOS OPERACIONES
) ¿Cómo lo sé?
PROBLEMAS DE UNA OPERACIÓN
PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
En una agencia de detectives tienen 155 casos sin resolver. La semana pasada resolvieron 104 casos. ¿Cuántos casos les quedan por resolver?
¡SÍ! Tengo en el enunciado todos los datos que necesito para resolverlo.
Para responder la pregunta del problema
Por ejemplo:
UNA RELACIÓN¿Qué debo buscar?
DOS RELACIONES¿Qué debo buscar?
) ¿Para qué sirve?
Para responder la pregunta del problema
Para averiguar el valor del dato de enlace, el que une las dos operaciones
) ¿Para qué sirve?Si no te acuerdas, haz los cuadernos anteriores
Para ver la final de un partido de rugby, han salido de la ciudad 12 autobuses llenos con 60 personas en cada uno de ellos. En coche, nos hemos movilizado 1.100 personas. ¿Cuántas personas hemos ido al partido?
Por ejemplo:
) ¿Cómo lo sé?¡NO! Uno de los datos que necesito no está en el enunciado. Debo averiguarlo.
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
RELACIÓN PRINCIPAL
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?
¡En las siguientes
páginas te lo explicamos!?
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7
T ?P 1.100
3 PASOS PARA DOMINAR LOS PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
LEO E IDENTIFICO1) Leo el problema
) Identifico los datos y lo que me preguntan
Para ver la final de un partido de rugby, han salido de la ciudad 12 autobuses llenos con 60 personas en cada uno de ellos. En coche, nos hemos movilizado 1.100 personas. ¿Cuántas personas hemos ido al partido?
RELACIÓN PRINCIPAL: ?
U
V
T
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
Personas en UN
autobús
Autobuses
Personas en TODOS
los autobuses?
Personas en coche
PPersonas en autobús Personas que han ido al partido
P
P
T
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
Personas...
Personas...
Personas...
1.100
Si lo supiera sería un problema de UNA operación
) Identifico las dos relaciones y el dato de enlace ¡Ayúdanos a completarlo!
RELACIÓN COMPLEMENTARIA:
Para conocer este dato hago la operación complementaria
8
ELABORO UN DIAGRAMA DE RESOLUCIÓN2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL(SEGUNDA OPERACIÓN)
3 PASOS PARA DOMINAR LOS PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
DECIDO LAS OPERACIONES Y CALCULO3
Primera operación:RELACIÓN COMPLEMENTARIA
) Calculo:
60x 12______720
TUV
T = U x V
Luego hago la operación principal con el dato que me faltaba
Primero hago la operación complementaria y encuentro el
?PPT
1.100
Segunda operación:RELACIÓN PRINCIPAL
) Calculo:
1.100+ ______
T P P= +
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN ...............................(SEGUNDA OPERACIÓN)
TPP
T UV
?1.100
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9
PROBLEMAS DE UNA OPERACIÓN
?
RESPONDO LA PREGUNTA DEL PROBLEMA4
HAN IDO AL PARTIDO .................... PERSONAS
TP 1.100 P 720 1.820
) Completa:
) ¿Te parece lógico?Sí
No
Hemos ido a ver la final ................. personas: ................. en coche y ................. en autobús.
porque han idopersonas en total que en autobús o en coche.
Más
Menos
Cuando leas el enunciado
Cuando identifiques
los datos
Cuando debas
calcular
Tendrás todos los valores de los datos que necesitas para
responder a la pregunta
Decidir la operación quenecesitas y calcularla
Decidir la Primera Operación: es la que corresponde a la RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Decidir la Segunda Operación: es la que corresponde a la RELACIÓN PRINCIPAL
Te faltará el valor de uno de los datos que necesitas para responder
a la pregunta (el dato de enlace)
¡A TENER EN CUENTA EN LOS PROBLEMAS DE UNA Y DOS OPERACIONES!
1
2
3
PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
oÚNICA RELACIÓN
P P T
U V T
oRELACIÓN PRINCIPAL
P P T
U V T
RELACIÓN COMPLEMENTARIA o
P P T
U V T
?
10
4 ¡PRACTIQUEMOS! DISTINGO ENTRE PROBLEMAS DE UNA Y DE DOS OPERACIONES
Decide, dependiendo de cómo continúa el problema, si forma un problema de una operación o de dos. Remarca la flecha y el contorno con el color que corresponda (una operación: color verde; dos operaciones: color rojo).
Tenía 400 US$ y después de comprarla aún le quedan 120 US$. ¿Cuánto dinero le han
rebajado el precio de la tableta?
Antes la tableta valía 520 US$. ¿Cuánto dinero me he
ahorrado?Precio rebajado: 350 US$
1
En junio realizó 8 experimentos más que el mes pasado.
¿Cuántos experimentos ha hecho en junio?
En junio hizo 36 experimentos, pero 17 acabaron fallando. ¿Cuántos experimentos con éxito ha realizado entre los
dos meses?
2
Mayo, experimentos con éxito: 25
Durante la tarde ha pedaleado el doble de
minutos. ¿Cuántos minutos ha pedaleado en todo el día?
Su padre ha pedaleado durante 95 minutos. ¿Durante
cuántos minutos han pedaleado entre los dos?
3
75 minutos pedaleando
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11
Si en cada fila del avión se sientan 9 personas, ¿cuántas
filas hay?
Cada persona lleva consigo dos maletas. La tripulación
lleva, entre todos, 5 maletas más. ¿Cuántas maletas viajan
a bordo del avión?
Pasajeros: 315
4
En febrero hemos atendido a 600 personas y, a cada una, le hemos dado 5 kg de comida. ¿Cuántos kilos de comida hemos recogido
más que el mes pasado?
Si el comedor atiende a 500 personas, ¿cuántos kilos de
comida podrá recibir cada una de ellas?
5
2.000 kg de comida durante el mes de enero
Hoy nos han comprado 7 quesos. Al cerrar la caja vemos
que, además del dinero de los quesos, hay otros 12 US$.
¿Cuánto dinero hay en la caja?
Esta primavera hemos elaborado 45 quesos. Si conseguimos venderlos todos, ¿cuánto dinero
conseguiremos?
6
22 US$
En un incendio, utilizan medio
depósito
¿Cuántos litros hay ahora en el
camión?
¿Cuántos kilos pondrá en cada
caja?
¿Cuántos pedidos menos se han repartido hoy?
¿Cuántos kilos de más pesa la
madre que entre sus dos crías?
Marisa quiere repartir la fruta en
5 cajas igualesHoy, sin embargo,
solo se han repartido 85
pedidos.
Su madre pesa 4.660 kg
15.000 litros de agua2.150 kg y 2.290 kg25 kg de plátanos y
35 kg de melocotones
12
4 ¡PRACTIQUEMOS! DISTINGO ENTRE PROBLEMAS DE UNA Y DE DOS OPERACIONES
¡Los siguientes problemas se han roto! Dibuja el camino que une el inicio de cada problema con su parte y su pregunta, y decide si son de una o de dos operaciones. ¡Usa colores diferentes!
98 10
113 pedidos cada día
A
E
HF
G
C
DB
7
PROBLEMAS DE UNA OPERACIÓN
PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES©
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13
Completa, une con flechas y redondea una de las dos manos según sea un problema de una operación o de dos operaciones.
En un tren viajaban 142 pasajeros. En la última estación se bajan 32 y suben 26. ¿Cuántos pasajeros viajan ahora en el tren?
11
c. Pasajeros en el tren ahora 142T
a. Pasajeros en el tren antes P ?b. Diferencia de pasajeros P
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
En un hospital han nacido 65 bebés. Si 28 son niños, ¿cuántas niñas han nacido?12
c. Bebés nacidos T
a. Niños Pb. Niñas P
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
En una floristería tienen 70 rosas y 50 claveles para hacer ramos de 10 flores cada uno. ¿Cuántos ramos podrán hacer con todas las flores que tienen?
13
c. Ramos T
a. Flores entre TODOS los ramos U
b. Flores en UN ramo V
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
14
4 ¡PRACTIQUEMOS! DISTINGO ENTRE PROBLEMAS DE UNA Y DE DOS OPERACIONES
Para cargar la batería de su ordenador, Julio necesita 155 minutos. Ana, por el contrario, solo necesita 105 minutos. ¿Cuántos minutos de más necesita Julio?
14
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
P....................................................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Minutos de diferencia
Elisa tiene una ferretería. En un cajón tenía 25 paquetes de 20 tornillos cada uno. Esta mañana, un cliente le compra 60 tornillos. ¿Cuántos tornillos tiene ahora?
15
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Tornillos que tenía antes
Íngrid y Jorge llevan filmados 75 minutos de una película. Hoy han filmado 45 minutos más. Si quieren hacer dos partes iguales de la película, ¿cuántos minutos tendrá cada parte?
16
¿Conoces todos los valores de los datos que necesitas?
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Partes de la película
a.
a.
a.
b.
b.
b.
c.
c.
c.
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cial
.
¿A qué corresponde el dato de enlace?
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
15
Fíjate en los problemas anteriores que sean de dos operaciones. Completa y responde la pregunta señalando la opción correcta.
¿Con qué operación
descubrirías el dato de enlace ?
11
¿A qué corresponde el dato de enlace?
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
.........................................................
¿A qué corresponde el dato de enlace?
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
.........................................................
¿A qué corresponde el dato de enlace?
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
..................................................................................................................A la diferencia de pasajeros
PP?10
TVUT142
11
?
16
5 IDENTIFICO LOS DATOS Y SUS RELACIONES EN PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
En los siguientes problemas elige entre PPT y UVT para la relación principal y complementaria. Contesta a la pregunta y rodea a qué dato se refiere.
El lunes, Sara tiene 35 viajes en la tarjeta del autobús. Cada uno de los 7 días de la semana gasta 4 viajes. ¿Cuántos viajes le quedan al final de la semana?
18
RELACIÓN PRINCIPAL
Viajes que hace entre todos los días Viajes que le quedan al final de semana
P
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Viajes que hace entre todos los días Viajes que le quedan al final de semana
19
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
Puntos para llegar a 100 Puntos que tienen entre los dos
Puntos para llegar a 100 Puntos que tienen entre los dos
PP
Piensa, ¿cuál es es la pregunta del problema?
¿Cuál es el dato de enlace?
x
T
Jugando a bolos, Carmen tiene 35 puntos y Miguel, 48. Necesitan conseguir entre los dos 100 puntos para llegar a la puntuación máxima. ¿Cuántos puntos les faltan?
17
Una panadería tiene 3 hornos. Hoy, en cada horno, han hecho 5 horneadas de 60 panes en cada una. ¿Cuántos panes han hecho en total?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Panes que han hecho en total Panes que han hecho en cada horno
U
RELACIÓN PRINCIPAL
Panes que han hecho en total Panes que han hecho en cada horno©
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17
20
21
22
Debo escribir una redacción de 220 palabras. Esta mañana he escrito 12 líneas y en cada línea hay 10 palabras. ¿Cuántas palabras me quedan por escribir?
Piensa, ¿cuál es es la pregunta del problema?
¿Cuál es el dato de enlace?
En una frutería venden una media de 36 kg por la mañana y 48 kg por la tarde. Si ya han vendido 756 kg, ¿cuántos días lleva abierta la frutería?
El panda del zoológico come diariamente 12 kg de bambú. Esta semana le han traído 600 kg, pero 60 kg se han quedado en el camión. ¿Durante cuántos días tendrá comida?
RELACIÓN PRINCIPAL
Días que lleva abierta la frutería Fruta que venden en un día
U
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Días que lleva abierta la frutería Fruta que venden en un día
RELACIÓN PRINCIPAL
Palabras que me quedan por escribir Palabras que tengo escritas
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Palabras que me quedan por escribir Palabras que tengo escritas
V
RELACIÓN PRINCIPAL
Kg de comida que le han dejado Número de días que tendrá comida
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Kg de comida que le han dejado Número de días que tendrá comida
18
5 IDENTIFICO LOS DATOS Y SUS RELACIONES EN PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
De los problemas anteriores, une mediante flechas los datos de las dos columnas y completa cuando sea necesario.
23
PP?
(Corresponde al núm. 17)
T24 (Corresponde al núm. 18)
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Puntos que tienen entre
los dosP
?P2. Puntuación máxima
T3. Puntos que
necesitan para llegar a 100
1. Puntos que tiene Carmen P 48
P2. Puntos que tiene Miguel
T3. Puntos que
tienen entre los dos
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Viajes que le quedan a principio
de semanaP
P2. Viajes que ha gastado durante
la semana
35T3. Viajes que le quedan al final
de la semana
1. Viajes que hace en UN día U
V2. Viajes que
hace entre TODOS los días
T3. Días
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19
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RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Hornos U
V2. Panes hechos
en TODOS los hornos
T3. Panes
hechos en UN horno
1. Panecillos hechos en un horno en
TODAS las horneadas
2. Panecillos hechos en un horno en UNA horneada
3. Horneadas
25 (Corresponde al núm. 19)
26 (Corresponde al núm. 20)
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Kg vendidos entre TODOS los
días
2. Kg que venden en
UN día
3. Días
1. Kg que venden por la
mañana
P2. Kg que
venden en todo el día
3. Kg que venden por la
tarde
20
5 IDENTIFICO LOS DATOS Y SUS RELACIONES EN PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
27
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Palabras que he escrito
esta mañana
2. Palabras que debo
escribir
3. Palabras que me quedan por
escribir
1. Líneas escritas
2. Palabras escritas esta mañana en TODAS las líneas
3. Palabras escritas esta mañana en
UNA línea
(Corresponde al núm. 21)
28 (Corresponde al núm. 22)
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
1. Días
2. Kg que come en UN día
3. Kg que tendrá para TODOS
los días
1. Kg que llevaba el
camión
2. Kg que se han quedado dentro
del camión
3. Kg de comida que le han
dejado
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21
En los siguientes problemas, completa y redondea de un color el dato de enlace.
29 De lunes a viernes entreno en la piscina 4 horas por la mañana y 2 horas por la tarde. ¿Cuántas horas entreno entre todos los días?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Horas entrenadas en un día
Horas por la mañana
Horas por la tarde
T
PP
RELACIÓN PRINCIPAL
Horas que entreno entre TODOS los días
Horas que entreno en UN día
Días que entreno
U
TV
?
30 Cada día de entrenamiento hago 7 horas. Llevaba 25 días de entrenamiento para el campeonato y esta semana he entrenado 28 horas más. ¿Cuántos días llevo ahora de entrenamiento?
RELACIÓN PRINCIPAL
T
PP
Días que................................................................................
Días que................................................................................
Días que................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Horas que................................................................................
Días que he entrenado esta semana
........................................
........................................
Horas que................................................................................
22
5 IDENTIFICO LOS DATOS Y SUS RELACIONES EN PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
31
32
Mónica va a colocar en 5 bandejas las 48 madalenas que ha cocinado para una fiesta de cumpleaños. Alejandro se come 3 a escondidas. ¿Cuántas madalenas pondrá ahora Mónica en cada bandeja si las quiere repartir equitativamente?
Al cabo de un rato, llega el tío Juan y coloca algunas madalenas de más. Ahora hay 12 madalenas en cada bandeja. ¿Cuántas madalenas ha traído el tío Juan?
RELACIÓN PRINCIPAL RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Madalenas...................................................................................
Bandejas................................................................................
Madalenas...................................................................................
Madalenas que ha traído el tio Juan
........................................
........................................
Madalenas que hay ahora
........................................
........................................
Madalenas que había antes
........................................
........................................45
RELACIÓN PRINCIPAL
Bandejas................................................................................
Madalenas en TODAS las bandejas
........................................
........................................
Madalenas en UNA bandeja
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Madalenas que se come Alejandro
........................................
........................................
Madalenas que quedan
........................................
........................................
Madalenas que hay al principio
........................................
........................................48
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ORGANIZO LOS DATOS EN UN DIAGRAMA Y DECIDO LAS OPERACIONES6
En los siguientes problemas completa la información y marca qué operación necesitarías para la relación principal y la relación complementaria.
33 Un sastre ha cosido 15 pantalones y, de cada uno, le han sobrado 7 cm de tela. Con esta tela y 35 cm más que tenía en el almacén ha hecho una cortina. ¿Cuántos centímetros mide la cortina?
1
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
RELACIÓN COMPLEMENTARIA3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Cm que sobran de TODOS los pantalones
Cm que sobran de UN pantalón
Pantalones
RELACIÓN PRINCIPAL
Cm que mide la cortina
Cm de tela de pantalón
Cm en el almacén
?T
P
P
4
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
RELACIÓN PRINCIPAL
357T TP
24
?
6 ORGANIZO LOS DATOS EN UN DIAGRAMA Y DECIDO LAS OPERACIONES
34 Pedro quiere hacer 3 tartas de manzana. Ha cogido del huerto 38 manzanas, pero, al llegar a casa, ha visto que 8 estaban podridas. ¿Cuántas manzanas pondrá en cada tarta?
1
T = P + P
P = T - P
P = T - P
T = U × V
U = T : V
V = T : U
RELACIÓN COMPLEMENTARIA3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
4 RELACIÓN PRINCIPAL
Escribe directamente qué operación utilizarías
......................................
PU
?
RELACIÓN PRINCIPAL
Tartas................................................................................
Manzanas................................................................................
Manzanas................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Manzanas................................................................................
Manzanas................................................................................
Manzanas................................................................................
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25
4.000
1.450
35 En un recinto entran, por la puerta principal, 2.304 personas. Por una de las puertas laterales entran otras 1.450 personas. Si el recinto tiene espacio para 4.000 personas, ¿cuántas personas podrían entrar aún?
1
RELACIÓN COMPLEMENTARIA3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
4 RELACIÓN PRINCIPAL
Escribe directamente qué operación utilizarías
......................................
RELACIÓN PRINCIPAL
Personas................................................................................
Personas................................................................................
Personas................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Personas................................................................................
Personas................................................................................
Personas................................................................................
?
......................................
26
6 ORGANIZO LOS DATOS EN UN DIAGRAMA Y DECIDO LAS OPERACIONES
36 En casa preparamos 56 bocadillos para los 7 días de la semana. Si cada uno come 2 bocadillos al día, ¿cuántas personas vivimos en la misma casa?
1
3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
........................................
........................................
Bocadillos que comen TODAS las personas en un día
........................................
........................................
Bocadillos que come UNA persona en un día
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Bocadillos para UN día
........................................
........................................
........................................
........................................
Bocadillos para TODOS los días
........................................
........................................
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA 4 RELACIÓN PRINCIPAL
Escribe directamente qué operación utilizarías
............................................................................
© B
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tal o
par
cial
.
27
37 Hoy hay una oferta en el supermercado: 1 caja de fresas a 4 US$. Si he pagado con un billete de 50 US$ y me han devuelto 30 US$, ¿cuántas cajas de fresas he comprado?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
4 RELACIÓN PRINCIPAL
Escribe directamente qué operación utilizarías
......................................
?
......................................
1 RELACIÓN PRINCIPAL
Cajas que he comprado
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
........................................
........................................
US$ que me han costado las cajas
........................................
........................................
........................................
........................................
28
Observa los datos que sí aparecen y completa el resto de la información.¡PONTE A PRUEBA! ¿TE ATREVES CON ESTE RETO?
6 ORGANIZO LOS DATOS EN UN DIAGRAMA Y DECIDO LAS OPERACIONES
T P P= +
38 El mes de diciembre, Ana pintó ................. paisajes y .................retratos. En enero solamente pudo pintar .................cuadros. ¿Cuántos cuadros ha pintado entre los dos meses?
1
RELACIÓN COMPLEMENTARIA3
2
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
4
RELACIÓN PRINCIPAL
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
1812T
P15
?
RELACIÓN PRINCIPAL
......................................
P
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prod
ucci
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cial
.
29
6.1
39 Somos 30 estudiantes y cada uno lleva 5 libros en la mochila. Hoy los dejaremos en clase. ¿Cuántos libros pondremos en cada una de las 6 estanterías si los repartimos equitativamente?
En los siguientes problemas, averigua cuál es el dato que hace de enlace, completa y escribe qué operación iría en cada paso.
2
1 RELACIÓN PRINCIPAL
TU
TU
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
3 PRIMERA OPERACIÓN
?
4 SEGUNDA OPERACIÓN
U = T : ?
PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN
40 A una obra de teatro han asistido 456 personas. En el primer nivel había 155 personas y, en el segundo, 146. ¿Cuántas personas había en el tercer nivel?
2
1 RELACIÓN PRINCIPAL
T
T
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
3 PRIMERA OPERACIÓN
?
4 SEGUNDA OPERACIÓN
?
30
PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN6.1
5
5
450
6
41 Tu ascensor aguanta 5 kg menos por persona que el mío. Si mi ascensor es para 6 personas porque puede elevar 450 kg, ¿cuántos kilos por persona puede elevar tu ascensor?
2
1 RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
3 PRIMERA OPERACIÓN
?
4 SEGUNDA OPERACIÓN
?
42 El mes pasado corrí 6 km cada día que salí y conseguí correr 138 km. Este mes he corrido los mismos días, pero solo he hecho 5 km cada día. ¿Cuántos kilómetros he corrido este mes?
2
1 RELACIÓN PRINCIPAL
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
3 PRIMERA OPERACIÓN
?
4 SEGUNDA OPERACIÓN
?© B
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.
31
CALCULO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES7
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
T
P = T - P
43 En un glacial viven 850 pingüinos, de los cuales 245 son crías. Un pingüino adulto come 4 kg de pescado cada día. ¿Cuántos kilos de pescado comerán entre todos los pingüinos adultos?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
) Completa la relación principal:
RELACIÓN PRINCIPAL
Pingüinos adultos................................................................................
Kg...................................................................................
Kg...................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Pingüinos................................................................................
Pingüinos................................................................................
Pingüinos................................................................................
P
P
T
32
CALCULO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES7
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
44 Alberto tiene ahorrados 350 US$ y quiere comprarse una mesa de ping-pong que vale 270 US$. El día de su cumpleaños le descuentan 25 US$ del precio final. ¿Cuánto dinero le quedará a Alberto después de comprarla?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN PRINCIPAL
US$ ...................................................................................
US$ ...................................................................................
US$ que le ha costado la mesa
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
US$ rebajados................................................................................
US$ ...................................................................................
US$ ...................................................................................
) Completa la relación principal:
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.
33
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
45 Una tienda de juguetes vende patines en línea. Este mes han vendido en la tienda por valor de 360 US$ y, por Internet, por valor de 450 US$. Si sabemos que venden cada patinete por 30 US$, ¿cuántos patinetes han vendido este mes?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN PRINCIPAL
Patines................................................................................
........................................
........................................
US$...................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
US$...................................................................................
US$ consiguen porInternet
........................................
........................................
US$...................................................................................
) Completa la relación principal:
34
CALCULO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES7
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
46 En un jardín botánico quieren plantar semillas de algunas plantas aromáticas en 9 parcelas distintas. Tienen 15 sobres con 30 semillas en cada uno de ellos. ¿Cuántas semillas plantarán en cada parcela?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN PRINCIPAL
Parcelas................................................................................
........................................
........................................
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
........................................
........................................
Sobres................................................................................
........................................
........................................
) Completa la relación principal:
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prod
ucci
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cial
.
35
6
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
U = T :
47 Mi abuela nos ha dado, a mí y a mis dos hermanos, 27 monedas para repartir entre los tres a partes iguales. Más tarde, el abuelo nos ha dado 6 monedas más a cada uno. ¿Cuántas monedas ha recibido cada uno?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN PRINCIPAL
Monedas................................................................................
Monedas................................................................................
Monedas................................................................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
Monedas................................................................................
........................................
........................................
Monedas................................................................................
) Completa la relación principal:
3
36
CALCULO PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES7
PRIMERA OPERACIÓN SEGUNDA OPERACIÓN
) Calculo: ) Calculo:
48 Olivia tiene 32 años, 11 años más que su hermano menor, Jaime. Su madre tiene los mismos años que ellos dos juntos. ¿Cuántos años tiene su madre?
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
(PRIMERA OPERACIÓN)
RELACIÓN PRINCIPAL
(SEGUNDA OPERACIÓN)
?
RELACIÓN PRINCIPAL
Años que tiene Jaime
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
RELACIÓN COMPLEMENTARIA
........................................
........................................
Años de diferencia................................................................................
........................................
........................................
) Completa la relación principal:
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prod
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par
cial
.
37
49 En un glacial viven 850 pingüinos, de los cuales 245 son crías. Un pingüino adulto come 4 kg de pescado cada día. ¿Cuántos kilos de pescado comerán entre todos los pingüinos adultos?
RELACIÓN PRINCIPAL
RESPONDO Y VALORO SI LA RESPUESTA ES LÓGICA8/ Fíjate en el cálculo y en los datos obtenidos en los problemas anteriores.
Completa la información y responde a la pregunta.
/ ¡TEN CUIDADO! Algún dato podría ser incorrecto. Corrígelo si es necesario.
) Valoro:
) Respondo: ........................................................................................................................................Entre todos los pingüinos adultos comerán 2.420 kg de pescado
TVU
T
V605
2.420
U4
En el glacial viven .............. pingüinos adultos. Si cada pingüino adulto come .............. kg de pescado, entre todos comerán .............. kg.
¿Es el resultado de repetir veces ?2.420T V U
) Sí
No)605 4
Kg UN pingüino adulto
Kg entre TODOS los pingüinos adultos
Pingüinos adultos
38
RESPONDO Y VALORO SI LA RESPUESTA ES LÓGICA850 Alberto tiene ahorrados 350 US$ y quiere comprarse una mesa de ping-pong que vale 270 US$.
El día de su cumpleaños, le descuentan 25 US$ del precio final. ¿Cuánto dinero le queda a Alberto después de comprarla?
) Valoro:
) Respondo: ........................................................................................................................................Después de comprar la mesa de ping-pong le quedan 595 US$
595
T
Alberto tenía .............. US$ ahorrados. Ha comprado una mesa de ping-pong por .............. US$. Por lo tanto, después de pagarla le quedan .............. US$.
¿Es mayor que y que ?
T) Sí
No)
P P
PP
270US$¡descuento 25US$!
RELACIÓN PRINCIPAL
TPP..............................................
.......................
.....................................................................
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39
51 Una tienda de juguetes vende patines en línea. Este mes han vendido en la tienda por valor de 360 US$ y, por Internet, por valor de 450 US$. Si sabemos que venden cada patinete por 30 US$, ¿cuántos patinetes han vendido este mes?
) Valoro:
) Respondo: ........................................................................................................................................Este mes han vendido 27 patinetes
La tienda de juguetes ha vendido, en la tienda y en Internet, por valor de .............. US$.Si cada patinete cuesta .............. US$, este mes habrán vendido .............. patinetes.
¿Es el resultado de repetir veces ?
T V U) Sí
No)
V27
U
30US$
RELACIÓN PRINCIPAL
TVU..............................................
.......................
.....................................................................
T
RESPONDO Y VALORO SI LA RESPUESTA ES LÓGICA852 En un jardín botánico quieren plantar algunas semillas de plantas aromáticas en 9 parcelas
distintas. Tienen 15 sobres con 30 semillas en cada uno de ellos. ¿Cuántas semillas plantarán en cada parcela?
) Valoro:
) Respondo: ........................................................................................................................................En cada parcela plantarán 45 semillas
¿Es el resultado de repetir veces ?
T V U) Sí
No)
V
U45
U45
U45
U45
U45
U45
U45
U45
U45
40
El jardín botánico está dividido en .............. parcelas. Si en cada una plantan .............. semillas, en conjunto habrá .............. plantas aromáticas en el jardín botánico.
RELACIÓN PRINCIPAL
TVU..............................................
.......................
.....................................................................
T
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41
53 Mi abuela nos ha dado, a mí y a mis dos hermanos, 27 monedas para repartir entre los tres a partes iguales. Más tarde, el abuelo nos ha dado 6 monedas más a cada uno. ¿Cuántas monedas ha recibido cada uno?
) Valoro:
) Respondo: ........................................................................................................................................Cada uno ha recibido 15 monedas
PP
¿Es mayor que y que ?
T P P) Sí
No)
La abuela nos ha dado, a cada uno, .............. monedas. Luego, el abuelo nos ha dado .............. monedas más a cada uno. En total, cada uno tiene .............. monedas.
RELACIÓN PRINCIPAL
TPP..............................................
.......................
.....................................................................
T15
42
RESPONDO Y VALORO SI LA RESPUESTA ES LÓGICA854 Olivia tiene 32 años, 11 años más que su hermano menor, Jaime. Su madre tiene los mismos
años que ellos dos juntos. ¿Cuántos años tiene su madre?
) Respondo: ........................................................................................................................................La madre de Olivia y Jaime tiene 20 años
20
PP
¿Es mayor que y que ?
T) Sí
No)
P P
Olivia tiene .............. años y su hermano Jaime tiene .............. años. Su madre tiene .............. años, que es la suma de los años que tienen sus hijos.
) Valoro: RELACIÓN PRINCIPAL
TPP..............................................
.......................
.....................................................................
T
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prod
ucci
ón to
tal o
par
cial
.
Sí No
Relación PRINCIPAL ( ):
Respondo:
Elige y completa una de las 2 alternativas:
Valoro:
.....................................................
...................................................................................
¿Es el resultado de repetir veces ?
¿Es mayor que y que ?
1
2
43
Nombre: ................................................... Curso: .............
1
2
3 4
LEO e IDENTIFICO
RAZONO y ELABORO un PLAN DE RESOLUCIÓN
CALCULO RESPONDO y VALORO
T
T P
V U
Problema Nº: ............ // Página: ............
9. PLANTILLA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
.....................................................
.....................................................
?
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
.....................................................
.....................................................
.....................................................
Relación COMPLEMENTARIA ( ):
Sí No
P
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
?
RELACIÓN COMPLEMENTARIARELACIÓN PRINCIPAL
?
Hemos resuelto el problema número 55 de la Batería de problemas con la plantilla fotocopiable. ¡Utilízala tú también para resolver los otros problemas!
Nombre: ................................................... Curso: .............Problema Nº: ............ // Página: ............
PLANTILLA FOTOCOPIABLE55 45
44
Sí No
Relación PRINCIPAL ( ):
Respondo:
Elige y completa una de las 2 alternativas:
Valoro:
.....................................................
...................................................................................
¿Es el resultado de repetir veces ?1
1
2
3 4
LEO e IDENTIFICO
RAZONO y ELABORO un PLAN DE RESOLUCIÓN
CALCULO RESPONDO y VALORO
T V U
.....................................................
..................................................... ??
?
PRIMERA OPERACIÓN
SEGUNDA OPERACIÓN
.....................................................
.....................................................
.....................................................
Relación COMPLEMENTARIA ( ):
Sí No
U
= T : U
T = U x
U
1.500
1.500
1.500
17
17
25.500
25.500
Metros que correrá UN equipo
Entre todos los equipos correrán 25.500 metros
T
T
Equipos
Metros que correrán TODOS los equipos
Personas en UN equipo
Equipos
Personas en TODOS los equipos
U
T
4
UU
1.500T 4
68
68
68 428 17 0
1.500x 17______10.500
25.500+ 1.500_______
x
¿Es mayor que y que ?2T P P
T
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BATERÍA DE PROBLEMAS10En una carrera de relevos se han inscrito 68 corredores en grupos de 4 personas. Si cada equipo corre 1.500 m, ¿cuántos metros correrán entre todos los equipos?
55
Una banda de rock ha tocado durante su gira 840 minutos de canciones. Cada canción ha durado una media de 4 minutos y en cada concierto tocaban 15 canciones. ¿Cuántos conciertos ha dado la banda en esta gira?
57
Mi amigo Xian anota, en cada partido, una media de 20 puntos. La última temporada debía jugar 40 partidos, pero los últimos estuvo lesionado y no anotó. Si en los partidos que jugó anotó 560 puntos, ¿cuántos partidos estuvo lesionado?
58
En mi clase teníamos, a principio de curso, 1.600 folios de colores. Al final del curso, 160 se han quedado sin utilizar. Si somos 24 alumnos, ¿cuántos folios habremos utilizado cada uno, sabiendo que todos hemos utilizado el mismo número?
56
45
46
BATERÍA DE PROBLEMAS10El supermercado tiene 6 cajas para comprar y, en cada una, hay el mismo número de carros y cestas. En total hay 78 carros y 42 cestas. ¿Cuántos habrá repartidos en cada caja?
59
Una traductora traduce, cada semana, 10.000 palabras de una novela. Lleva 5 semanas traduciendo y aún le quedan 25.000 palabras por traducir. ¿Cuántas palabras tiene la novela?
61
Para cocinar una paella de marisco, mi madre ha comprado 250 g de gambas y 250 g de cigalas. En el último momento, decide tirar solo la mitad de gambas. ¿Cuántos gramos de marisco habrá en la paella?
62
En una feria he conseguido 850 puntos y, mi hermana, otros 700 puntos. Lo que queremos comprar vale 2.000 puntos. ¿Cuántos puntos necesitamos conseguir aún entre los dos?
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47
En una tienda de deportes hay 650 esterillas de tres colores diferentes. En una estantería hay 215 esterillas amarillas y, en la otra, 265 esterillas azules. ¿Cuántas esterillas verdes hay?
63
A punto de subir al avión, mi hermana pesa su maleta y marca 35 kg. Sin embargo, el peso máximo permitido en el avión son 23 kg. Por suerte, llevamos otras dos maletas medio vacías y va a repartir el peso sobrante equitativamente entre las dos. ¿Cuánto peso repartirá en cada una de ellas?
65
En un zoológico viven 287 animales. Esta mañana, 15 jaulas han aparecido vacías y, en cada una, vivían 8 animales. ¿Cuántos animales continúan dentro del zoológico?
66
Mónica tiene un periquito en casa y, 2 días por semana, le enseña a hablar durante 20 minutos. Su padre lo hace un día a la semana durante 30 minutos. Al final de la semana, ¿durante cuántos minutos hablan con el periquito entre los dos?
64
48
BATERÍA DE PROBLEMAS10Para subir una montaña, cada uno de los 9 miembros de un equipo lleva en la mochila 14 kg de comida. Cada día comemos entre todos 7 kg. ¿Para cuántos días tendremos comida?
67
Alejandra colecciona postales y las va a colocar en álbumes. Ya tenía 237 y durante este año ha conseguido otras 123. Si va a colocar 30 en cada álbum, ¿cuántos necesitará?
69
David ha olvidado el cumpleaños de su tía. Tiene 50 US$ y está muy indeciso. No sabe si comprarle un libro que cuesta 18 US$ o un perfume que vale 28 US$. ¿Cuánto dinero le sobraría si comprase los dos regalos?
70
En una granja produjeron 500 tarros de miel que vendieron a 5 US$ cada uno. Vendieron 245 por Internet y el resto en la tienda. ¿Cuánto dinero consiguieron de los tarros vendidos en la tienda?
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49
Diana ha ido a un safari y ha hecho 50 fotografías. Su amigo Mario ha hecho 12 fotografías menos que ella. ¿Cuántas fotografías han hecho entre los dos?
En una expedición espacial viajarán 3 astronautas. Cada uno ha entrenado 8 horas durante 65 días. ¿Cuántas horas han entrenado entre todos?
Un camión lleva 3.250 kg de patatas. En un supermercado, deja 15 sacos de 50 kg cada uno. ¿Cuánto peso lleva ahora el camión?
En una peluquería canina lavan y peinan, cada semana, a 30 perros. El coste del lavado es de 17 US$ y, el de peinar, 9 US$. ¿Cuánto dinero consiguen cada semana si todos los perros se hacen ambos tratamientos?
Guillermo quiere un teléfono móvil que vale 360 US$ y tiene ahorrados 120 US$. En la tienda le explican que puede ir pagando lo que le falta con 20 US$ cada mes. ¿Cuántos meses necesitará Guillermo para pagarlo por completo?
1
3
5
2
4
11 PROPUESTA DE EVALUACIÓN PARA PROBLEMAS DE DOS OPERACIONES
50
Descarga el solucionario y la propuesta de baremación en PDF en:
boiranternacional.com/solucionarios
SOLUCIONARIO Y PROPUESTA DE BAREMACIÓN
ANOTACIONES
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
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ANOTACIONES
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
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.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................