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ÁLGEBR LINE L Y ECU CIONES
DIFERENCI LES
FORM CIÓN POR COMPETENCI S
Espacios Vectoriales y
Transformaciones
lineales
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OBJETIVOS
Definir espacios vectoriales
Reconocer los axiomas de un Espacio Vectorial
Reconocer cuando un conjunto es la base de un
Espacio Vectorial
Definir una Transformación Lineal
Identificar a las Transformaciones Lineales
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas de contexto real
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Espacios Vectoriales
Un Espacio Vectorial es un conjunto no vacío de objetos,
llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones,
llamadas adición y multiplicación por un escalar (números
reales), sujeta a diez axiomas (o reglas)
Adición:
: × →
A cada par ; ∈ × se le
asocia otro vector ∈
Multiplicación por un escalar :
⋅∶ ℝ × → A cada par ; ∈ ℝ × se le
asocia otro vector ∈
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Axiomas de un Espacio Vectorial
Adición
1.- Conmutatividad:
, ∀, ∈ .
2.- Asociatividad: ; ∀ , , ∈
3.- Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ tal que
0 0 , ∀ ∈ .4.- Elemento opuesto: Para cualquier
∈ , existe un
∈
tal que
∀ ∈ existe ∈ tal que 0
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Axiomas de un Espacio Vectorial:
Producto por un escalar
5.- Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para
∈
y , ∈ ℝ se cumple:
6.- Primera ley distributiva: Para , ∈ y ∈ ℝ se cumple:
7.- Segunda ley distributiva: Para
∈ y
, ∈ ℝ se cumple:
. 8.- Para cada vector ∈ se cumple
1.
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Ejemplo 1
El conjunto de uplas de números reales:
ℝ { ; ; … ; ≤≤: ∈ ℝ, 1 } Con las operaciones:
( ; ; … ; )
(; ; … ; )
es un espacio vectorial real.
Solución: (;;)
(; ; )
(; ; ) y B (;;) son vectores
en
ℝ
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Ejemplo 2
El conjunto de matrices reales de orden × : ℳ×(ℝ) { ≤≤
≤≤
, ∈ , 1 , 1 }
con las operaciones: suma de matrices y producto por
números reales, es un espacio vectorial real
Solución:
Por ejemplo las matrices
y
son vectores en ℳ× ℝ
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Ejemplo 3
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable :
(ℝ) :
= ∈ ℕ, ∈ ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:Por ejemplo los polinomios
y
son vectores en ℝ
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Ejemplo 4
El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales
en la variable de grado menor o igual a ∈ ℕ
ℝ
= ∈ ℕ ∪ ; ; ∈ ℝ
Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un escalar.
Solución:
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Ejemplo 5
El conjunto de todas las funciones reales de variable real
cuyo dominio es el intervalo ;
; : ; → ℝ ó ; Con las operaciones usuales de adición de funciones y
multiplicación de una función por un escalar
Solución:
Por ejemplo las funciones mostradasson vectores en el espacio ;
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Ejercicio 1
Considere los vectores ; ; y ; ; .
Demuestre que el conjunto , ∈ ℝ ⊂ ℝ Es un espacio vectorial con las operaciones usuales de ℝ
Solución:
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Combinación lineal
Sea
un espacio vectorial. Se dice que
∈ es combinación
lineal de los vectores ; ; … ; ⊂ , si existen escalares
; ; … ; , tal que
=
Por ejemplo en ℝ el vector ; ; es una combinación
lineal de los vectores ; ; ; (; ; ) y (; ; )
pues
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Ejemplo 1
Exprese el vector ; ; como una combinación lineal
de los vectores ; ; ; ; ; y ; ;
Solución:
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Ejemplo 2
Exprese la matriz como una combinación lineal
de las matrices y Solución:
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Ejemplo 3
En el espacio ; exprese el vector
; ∈ ;
como una combinación lineal de los vectores mostrados enla figura adjunta
Solución:
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Dependencia e independencia lineal de
vectores
Sea
un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de
vectores ; ; … ; ⊂ , es linealmente dependiente (L.D) si
y sólo si existen escalares ; ; … ; , con algún ≠ 0, tales
que:
0
=
En caso contrario, se dice que el conjunto ; ; … ; es
linealmente independiente (L.I)
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Observación
Para estudiar si un conjunto de vectores
; ; … ; , es
linealmente dependiente o independiente, se plantea la
ecuación:
0
=
y se estudian sus soluciones.
Si admite alguna solución no nula ( ≠ 0 para algún ),
entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
Si admite sólo solución nula ( 0 para todo ), entonces el
conjunto de vectores es linealmente independiente.
Ej l
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Ejemplo 1
Analice si los vectores 1; 0; 1; 2 , 1; 1; 0; 1 y
2; 1; 1; 1 son linealmente independientes en el espacio
ℝ.Solución:
Ej l
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Ejemplo 2
Solución:
Analice si los vectores 3; 3; 4 , 4; 1; 2 y 3;1;5 son linealmente independientes en el espacio ℝ.
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Ejercicio 1
Determine si el siguiente conjunto de funciones en es
linealmente independiente o dependiente. 1 2, 2 5 , Solución:
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Ejercicio 2
Determine si el siguiente conjunto:
; 5 ;
es linealmente independiente o dependiente en el espacio de
funciones ;
Solución:
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Conjunto generador de un espacio
vectorial
Sea
un espacio vectorial y
S ; ; … ; ⊂ .El
conjunto se denomina conjunto generador de si todo
vector en puede expresarse como una combinación lineal de
vectores en . En estos casos se dice que genera a .
Ej l
1
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Ejemplo 1
Demuestre que los vectores generan el espacio vectorial
dado.
a ; ; , ; ; ; ; ; ; ℝ b ;; ; ℝ
c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ℝ
Solución:
Ej l
2
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Ejemplo 2
Sea el espacio vectorial de ecuación
con las operaciones usuales de ℝ. Demuestre que losvectores ; ; y ; ; generan el espacio
vectorial , pero que no generan el espacio ℝ .
Solución:
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Bases de un espacio vectorial
Si
V es cualquier espacio vectorial y
S ; ; … ; es un
conjunto de vectores en , entonces se llama base de V si se
cumplen las dos condiciones siguientes
1 es linealmente independiente.
2 genera a .
Por ejemplo el conjunto de vectores canónicos ; ; ; ; ; ; ; ; es una base del espacio ℝ
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Teorema
Si
S ; ; … ; es una base del espacio vectorial
,
entonces todo vector ∈ se puede expresar en forma única
como una combinación lineal de los vectores de la base, es
decir
⋯
donde son escalares
Ejemplo
1
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Ejemplo 1
Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos forman
una base de . a.- (1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)
b.- (1;2;3);(0;1;2);(2;0;1)
Solución:
Ejemplo
2
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Ejemplo 2
Verifique que el siguiente conjunto es una base de . S 1; 1 ; 1 ; 1 ; 1
Solución:
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Transformaciónes
Una transformación (función o mapeo)
de
a
es una
regla que asigna a cada vector de un vector () en .
(;)
; (; )
(;)
; (; )
Para cada punto ,
se le asocia el vector
()
Transformación : ℝ → ℝ
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Transformación lineal
Una transformación lineal
de
a
es una transformación
que cumple los siguientes axiomas
T1.- ∀ ; ∈ ℝ.T2.- ∀ ∈ ℝ ,∀ ∈ ℝ
Ejemplo
1
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Ejemplo 1
Sea la función ∶ ℝ → ℝ definida por
; ;
a.- Demuestre que es una transformación lineal.b.- Halle la imagen del punto ;
c.- Esboce la gráfica de la imagen del segmento mostrado en
la gráfica
Solución:
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TEOREMA
Sea
: ℝ
→ ℝ entonces se cumple:
1.- es lineal si y solo si para cualquier , ∈ ℝ y , ∈ ℝ se
cumple
2.- Si
es una transformación lineal, entonces se cumple
Por ejemplo, usando la propiedad 2 podemos deducir
inmediatamente que las siguientes transformaciones NO SON
lineales.
; ; ;
; ; ;
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Ejercicio 1
Dado un vector (; ) y una transformación lineal
T: → definida por: T ; ( ; 2) determinea.- La imagen de 1; 2 , generada por la transformación
.
b.- La preimagen que a través de la transformación genera
(1; 11)
Solución:
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Ejercicio 2
Sea T: → una transformación lineal para la cual se
cumple 1; 2 (2; 3) y 0; 1 1; 4 . Determine la regla de correspondencia de
Solución:
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Ejercicio 3
Sea T: → una transformación lineal para la cual
2; 1;4 , 1 ; 5 ; 2 y 0; 3; 1 . Calcule(2;3;2) Solución:
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Ejercicio 4
Dada la transformación lineal , definida por ; 3 ; 3 9
si D es la región triangular que
se muestra en la figura, grafique
la imagen
()
Solución:
Ej i i
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Ejercicio 5
Considere la transformación: : ℝ → ℝ definida por:
; − ; + y la región ⊂ ℝ limitada por dos rectasde ecuaciones ; y la gráfica de la curva de
ecuación: 2 con ≥ 1
a.- Demuestre que es una transformación lineal.
b.- Grafique la región .c.- Usando la transformación lineal, grafique ().
Solución:
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Bibliografía
4. Calculus – Larson Edwards
3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton
1. Algebra lineal y sus aplicaciones – David C. Lay.
2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.
5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill