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Semana 7 [1/39]
Espacios Vectoriales
1 de septiembre de 2007
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [2/39]
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:
〈{v1, ..., vn}〉 = V
o de manera equivalente:
∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =
n∑
i=1
λivi .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [3/39]
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:
〈{v1, ..., vn}〉 = V
o de manera equivalente:
∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =
n∑
i=1
λivi .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [4/39]
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:
〈{v1, ..., vn}〉 = V
o de manera equivalente:
∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =
n∑
i=1
λivi .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [5/39]
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:
〈{v1, ..., vn}〉 = V
o de manera equivalente:
∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =
n∑
i=1
λivi .
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Bases
BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}
ni=1 es
una base de V si y sólo sí:
(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.
(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.
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Bases
BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}
ni=1 es
una base de V si y sólo sí:
(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.
(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.
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Bases
BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}
ni=1 es
una base de V si y sólo sí:
(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.
(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.
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Ejemplos
En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.
En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.
En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.
S el conjunto de las sucesiones, es decir:
S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.
S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [10/39]
Ejemplos
En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.
En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.
En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.
S el conjunto de las sucesiones, es decir:
S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.
S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [11/39]
Ejemplos
En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.
En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.
En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.
S el conjunto de las sucesiones, es decir:
S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.
S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [12/39]
Ejemplos
En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.
En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.
En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.
S el conjunto de las sucesiones, es decir:
S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.
S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [13/39]
Ejemplos
En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.
En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.
En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.
S el conjunto de las sucesiones, es decir:
S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.
S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [14/39]
Caracterización de base
ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}
ni=1 ⊆ V es una base
si y sólo sí
∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.
ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.
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Caracterización de base
ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}
ni=1 ⊆ V es una base
si y sólo sí
∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.
ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.
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Caracterización de base
ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}
ni=1 ⊆ V es una base
si y sólo sí
∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.
ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [17/39]
Caracterización de base
ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}
ni=1 ⊆ V es una base
si y sólo sí
∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.
ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [18/39]
Caracterización de base
ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}
ni=1 ⊆ V es una base
si y sólo sí
∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.
ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [19/39]
Propiedades
TeoremaSi X = {v1, . . . , vn} ⊆ V es un conjunto generador, entonces es posibleextraer un subconjunto B = {vi1, . . . , vis} que es base de V .
TeoremaSupongamos que tenemos B = {vi}
ni=1, base de V y un conjunto arbitrario
X = {wi}mi=1 ⊆ V . Si m > n, entonces el conjunto X es l.d.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [20/39]
Propiedades
TeoremaSi X = {v1, . . . , vn} ⊆ V es un conjunto generador, entonces es posibleextraer un subconjunto B = {vi1, . . . , vis} que es base de V .
TeoremaSupongamos que tenemos B = {vi}
ni=1, base de V y un conjunto arbitrario
X = {wi}mi=1 ⊆ V . Si m > n, entonces el conjunto X es l.d.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [21/39]
Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [22/39]
Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [23/39]
Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [24/39]
Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Dimensión
De lo anterior
CorolarioSi {vi}
ni=1, y {ui}
mi=1 son bases de V , entonces n = m.
DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.
Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).
En particular dim{0}=0.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [27/39]
Espacios de dimensión finita
Propiedades1 Sea dim V = n. Si {vi}
ni=1 es l.i. entonces {vi}
ni=1 es base.
2 Sea U un s.e.v de V , luego dim U ≤ dim V más aún se tiene que
dim U = dim V ⇒ U = V .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [28/39]
Espacios de dimensión finita
Propiedades1 Sea dim V = n. Si {vi}
ni=1 es l.i. entonces {vi}
ni=1 es base.
2 Sea U un s.e.v de V , luego dim U ≤ dim V más aún se tiene que
dim U = dim V ⇒ U = V .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [29/39]
Completación a bases
Completación de basesV espacio vectorial sobre K con dim V = n, y un conjunto de vectores l.i.;X = {v1, . . . , vr}, r < n,
entonces existen vectores vr+1, . . . , vn, tales que el conjunto {v1, . . . , vn} esbase de V .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [30/39]
Completación a bases
Completación de basesV espacio vectorial sobre K con dim V = n, y un conjunto de vectores l.i.;X = {v1, . . . , vr}, r < n,
entonces existen vectores vr+1, . . . , vn, tales que el conjunto {v1, . . . , vn} esbase de V .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [31/39]
Suma de espacios vectoriales
Suma de e.v.U + W = {v ∈ V/v = u + w , u ∈ U, w ∈ W}.
U + W es s.e.v. de V
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [32/39]
Suma de espacios vectoriales
Suma de e.v.U + W = {v ∈ V/v = u + w , u ∈ U, w ∈ W}.
U + W es s.e.v. de V
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [33/39]
Suma directa
Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .
Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si
∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como
v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .
En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [34/39]
Suma directa
Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .
Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si
∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como
v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .
En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [35/39]
Suma directa
Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .
Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si
∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como
v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .
En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [36/39]
Suma directa
Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .
Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si
∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como
v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .
En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [37/39]
Caracterización de suma directa
ProposiciónDado V e.v. y U, W s.e.v. de V , entonces
V = U ⊕ W ⇔ (V = U + W ) ∧ (U ∩ W = {0})
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [38/39]
Caracterización de suma directa
ProposiciónDado V e.v. y U, W s.e.v. de V , entonces
V = U ⊕ W ⇔ (V = U + W ) ∧ (U ∩ W = {0})
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [39/39]
Sumas y dimensión
TeoremaSi V = U ⊕ W y es de dimensión finita, entonces dim V = dim U + dim W .
Teorema (Ejercicio)Supongamos que V = U + W , entonces
dim V = dim U + dim W − dim U ∩ W .
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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [40/39]
Sumas y dimensión
TeoremaSi V = U ⊕ W y es de dimensión finita, entonces dim V = dim U + dim W .
Teorema (Ejercicio)Supongamos que V = U + W , entonces
dim V = dim U + dim W − dim U ∩ W .
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