Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un...
Transcript of Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un...
![Page 1: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/1.jpg)
Espacio de Hilbert
![Page 2: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/2.jpg)
Conceptos - Espacio producto interno - Desigualdad de Schwartz - Norma - Ángulo y ortogonalidad
![Page 3: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/3.jpg)
Espacio producto interno
Espacio producto interno
Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto internoEs una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
![Page 4: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/4.jpg)
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
-
-
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
Espacio producto interno
![Page 5: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/5.jpg)
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
- sucesiones tal que converge,
con
-
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
l2, (xi)n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi
Espacio producto interno
![Page 6: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/6.jpg)
Espacio producto internoEs un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V(x, y)
- con , y
-
-
-
(x, x) ∈ ℛ+ x ≠ 0 (0,0) = 0
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
(x, y + z) = (x, y) + (x, z)
Ejemplos
- , con
- sucesiones tal que converge,
con
- , con
𝒞n (x, y) =n
∑i=1
xiyi
l2, (xi)n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi
L2[a, b] ( f, g) = ∫b
af(x)g(x)dx
Espacio producto interno
![Page 7: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/7.jpg)
Espacio producto interno
Desigualdad de Schwartz
-
- sin son linealmente dependientes
con del espacio producto interno
| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)
| (x, y) |2 = (x, x)(y, y)
x, y
Corolario de Schwartz
(x + y, x + y) ≤ (x, x) + (y, y)
![Page 8: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/8.jpg)
Espacio producto interno
Norma
| |x | | = (x, x)
Desigualdad de Schwartz, otra vez
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Luego…
−1 ≤(x, y)
| |x | | | |y | |≤ 1
| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)Recordemos…
![Page 9: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/9.jpg)
Espacio producto interno
Norma
| |x | | = (x, x)
Desigualdad de Schwartz, otra vez
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Ángulo
θ = cos−1 (x, y)| |x | | | |y | |
![Page 10: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/10.jpg)
Espacio producto interno
Ortogonalidad x ⊥ y(x, y) = 0
EjemploEn con las funciones
y son ortogonales para
C[0,π], ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx
sin mx sin nx m ≠ n
Pitágoras: si x ⊥ y
| |x + y | |2 = | |x | |2 + | |y | |2| |x | | = (x, x)Recordar…
Actividad: verificar
![Page 11: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/11.jpg)
Conceptos - Conjunto ortogonal - Base ortogonal - Espacio de Hilbert - Ortogonalización
![Page 12: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/12.jpg)
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
{xi}
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Veamos su importancia…
![Page 13: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/13.jpg)
Espacio de HilbertConjunto ortogonal
- siempre que
- Para cada
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Dimensión finita: ⇒ l . i .
Sea un conjunto
ortogonal, y sea ,
luego, para cada
{x1, ⋯, xn} n
∑i=1
cixi = 0
j
(n
∑i=1
cixi, xj) = 0
n
∑i=1
ci(xi, xj) = 0
n
∑i=1
ciδi,j(xj, xj) = 0
cj(xj, xj) = 0 ⇒ cj | |xj | |2 = 0
⇒ cj = 0 ⇒ l . i .
Porque… xj ≠ 0
![Page 14: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/14.jpg)
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonalUn conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
{xi}
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Base ortogonalUna base ortogonal para un espacio producto interno es un conjunto ortogonal tal que para cualquier
existen escalares , tal que
S(en)
x ∈ S cnx =
∞
∑n=1
cnen
![Page 15: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/15.jpg)
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
![Page 16: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/16.jpg)
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞
| |x | | = (x, x)
Recordar…
![Page 17: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/17.jpg)
Espacio de HilbertConjunto ortogonal
- siempre que
- Para cada
(xi, xj) = 0 i ≠ j
i, xi ≠ 0
Base ortogonal
x =∞
∑n=1
cnen
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una
base
Espacio producto interno
Espacio vectorial con producto interno
V
Espacio completoUn espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de CauchyUna sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
| |xn − xm | | → 0 n, m → ∞
![Page 18: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/18.jpg)
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
- con y base , no es un
espacio de Hilbert
-
C[0,π] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin nx
![Page 19: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/19.jpg)
Espacio de Hilbert
Espacio de HilbertEs un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
- con y base , no es un
espacio de Hilbert
- con es completo.
forman una base. Luego, es un espacio de Hilbert
C[0,π] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin nx
L2[a, b] ( f, g) = ∫π
0f(x)g(x)dx sin
nπ(x − a)(b − a)
L2[a, b]
![Page 20: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/20.jpg)
Espacio de Hilbert
Ortonormalización de Gram-SchmidtDada cualquier sucesión de elementos de un espacio producto interno, existe una sucesión ortogonal , tal que cada combinación lineal finita de es una combinación lineal de , y viceversa
( fn)(gn)
fn gn
![Page 21: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/21.jpg)
Espacio de Hilbert
Construcción
- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones lineales de elementos precedentes
-
- , con tal que
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 + cg1 c (g2, g1) = 0 ⇒
0 = (g2, g1) = (F2, g1) + (cg1, g1) ⇒ c = −(F2, g1)(g1, g1)
![Page 22: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/22.jpg)
Espacio de Hilbert
Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones
lineales de elementos precedentes
-
-
- con determinados a partir de
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)
g1
g3 = F3 + dg2 + eg1 d, e (g3, g2) = (g3, g1) = 0
0 = (g3, g2) = (F3, g2) + d(g2, g2) + e(g1, g2) ⇒ d = −(F3, g2)(g2, g2)
0 = (g3, g1) = (F3, g1) + d(g2, g1) + e(g1, g1) ⇒ e = −(F3, g1)(g1, g1)
![Page 23: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/23.jpg)
Espacio de Hilbert
Construcción- Construimos l.i.: eliminando (i) vector nulo, (ii) combinaciones
lineales de elementos precedentes
-
-
-
-
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1 = F1
g2 = F2 −(F2, g1)(g1, g1)
g1
g3 = F3 −(F3, g2)(g2, g2)
g2 −(F3, g1)(g1, g1)
g1
⋯
⋮
![Page 24: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/24.jpg)
Conceptos - Expansión ortogonal - Descomposición ortogonal
![Page 25: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/25.jpg)
Espacio de Hilbert
TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en)x
x =∞
∑n
cnen
(x, em) = (∑n
cnen, em) = ∑n
cn(en, em)
= ∑n
cnδn,m(em, em) = cm(em, em)
con…
⇒ cm =(x, em)(em, em)
![Page 26: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/26.jpg)
Espacio de Hilbert
TeoremaSea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en)x
x =∞
∑n
cnen
cn =(x, en)(en, en)
=(x, en)
| |en | |2
Coeficientes generalizados de Fourier
![Page 27: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/27.jpg)
Espacio de Hilbert
Teorema sobre la mejor aproximación
Sea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno. Para cualquier , los coeficientes que minimizan
, son lo coeficiente generalizados de Fourier
{e1, ⋯, eN}x
| |x −N
∑n=1
cnen | |
cn = (x, en)Coeficientes generalizados de Fourier
con | |en | |2 = 1
![Page 28: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/28.jpg)
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1x
con cn = (x, en)∞
∑n
|cn |2 ≤ | |x | |2
![Page 29: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/29.jpg)
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de BesselSi es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1x
con cn = (x, en)∞
∑n
|cn |2 ≤ | |x | |2
Teorema: relación de ParsevalSea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno,
es una base sí y sólo sí para cada en el espacio se verifica,(en)
(en) x∞
∑n
|cn |2 = | |x | |2
![Page 30: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/30.jpg)
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H(en)∞
∑n
|cn |2 x ∈ H
con cn = (x, en)
x =∞
∑n
cnen
![Page 31: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/31.jpg)
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-FischerSea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H(en)∞
∑n
|cn |2 x ∈ H
con cn = (x, en) x =∞
∑n
cnen
Isomorfo con l2sucesiones tal que converge, con (xi)
n
∑i=1
|xi |2
(x, y) =∞
∑i=1
xiyi Actividad: porqué y porqué no es cierto para espacios finitos?
![Page 32: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/32.jpg)
Espacio de Hilbert
Complemento ortogonalSea cualquier sub conjunto de un espacio de Hilbert . El complemento ortogonal de es el conjunto
XH X
X⊥ = {x ∈ H : x ⊥ X}
Con espacio de HilbertX⊥
![Page 33: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/33.jpg)
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
Con…
![Page 34: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/34.jpg)
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
y x E
H = E ⊕ E⊥
Con…
![Page 35: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/35.jpg)
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonalSi es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E Hx ∈ H
x = y + z con , y y ∈ E z ∈ E⊥
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
y x E
H = E ⊕ E⊥
Sobre las basesSi es base de , y es base de , entonces
es base para (en) E ( fn) E⊥
(en) ∪ ( fn) H
Con…
![Page 36: Espacio de Hilbertidbetan/CursoMetodos2/...Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E H](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070220/613239a6dfd10f4dd73a4fce/html5/thumbnails/36.jpg)
Fin final