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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
ESIME Ticoman Ingeniería en Aeronáutica
_______________________________
PROPUESTA ALTERNATIVA DE UN MODELO CONTROL DE RETRACCIÓN Y EXTENSIÓN DEL TREN DE
ATERRIZAJE PRINCIPAL DEL BOEING 727.
_______________________________
TESINA
QUE PARA OBTENER EL TITULO PROFESIONAL DE INGENIERO EN AERONAUTICA
PRESENTA:
JORGE ENRIQUE AVALOS SUAREZ
POR OPCIÓN DE TITULACIÓN:
SEMINARIO DE SISTEMAS DE AVIONICA
ASESOR:
Ing. RODRIGO AVILES VILLAREAL
MEXICO, D.F. 2015
AGRADECIMIENTOS
A mi padre con su esfuerzo y sudor pude obtener estudios por el Instituto
Politécnico Nacional preocupándose por las necesidades requeridas durante mi
estancia de la licenciatura de Ingeniería en Aeronáutica. Estoy muy agradecido y
emocionado por mi carrera y mis conocimientos que me han podido llevar a cabo
una satisfacción muy emocional. GRACIAS, PADRE MÍO. Y darle las gracias al
Ingeniero Rosendo por haber tenido el apoyo económico y junto a mi padre tenerlo
presente como un señor totalmente agradecido yo mismo por su actitud y consejo.
GRACIAS Ingeniero Rosendo. Donde pude ver humildad entre estas dos
personas. GRACIAS.
Vieja madera para arder, viejo vino para beber, viejos amigos en quien confiar, y viejos autores para leer. Sir Francis Bacon (1561-1626)
A mi madre que siempre se ha preocupado por mis actitudes y mi lapso escolar y
he tenido la oportunidad de contar con su apoyo siempre que yo lo requiera.
GRACIAS, MADRE MÍA.
Una casa será fuerte e indestructible cuando esté sostenida por estas cuatro columnas: padre valiente, madre prudente, hijo obediente, hermano complaciente.
(551 AC-478 AC) Filósofo chino
A mis hermanos Ing. Patricia, Lic. Milther, Ing. Georgina, Ing. Monserrat, Tec.
Instrumentista Wilberth, por contar con sus apoyos honorables y que se han
preocupado por mis problemas y lo han llevado acabo junto a ellos para ponerles
fin a tal situación y estoy muy satisfechos por sus apoyos tanto en la parte
económica como en la parte medica. GRACIAS, HERMANOS.
Darle las gracias a mi tía que he contado con su apoyo económico y me ha podido
apoyar en circunstancias bajas y se lo agradezco de una forma muy honesta.
A mí cuñado Dr. Rullan y Ing. Andrés donde estoy agradecido por sus actos
honorables donde me ha podido llevar al ambiente del estudio y de su apoyo en la
ingeniería. GRACIAS, CUÑADO.
Un padre no es el que da la vida, eso sería demasiado fácil, un padre es el que da el amor. Denis Lord (1900-1957)
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Resumen
La ingeniería de control se ha desarrollado desde el siglo III. Las personas se preguntan,
como controlar un sistema mecánico.
En el siglo XVII, los científicos le llamaron a los sistemas controlados como “ingeniería de Control”.
En la actualidad, estos sistemas se han estado controlando con la tecnología moderna.
Los sistemas mecánicos fueron el mejor avance tecnológico en la edad media. Sin embargo la
electrónica se ha estado involucrando con los sistemas mecánicos, en los que se tiene como
resultado una buena ingeniera.
El diseño de sistemas estables también se conoce como ingeniería de control.
En la mayoría de los aviones, el tren de aterrizaje describe un arco de 90º aproximadamente, este
sistema de aterrizaje se ha instalado desde 1935 y seguirá instalándose probablemente en futuras
generaciones.
El sistema tren de aterrizaje ha sido un diseño muy efectivo, la aviación necesita un sistema seguro,
principalmente en los aviones para sus despegues de aterrizaje.
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Abstract
Control engineering has been developed since the III century. People wonder, how can any
mechanical system be controlled?
In the XVII century, scientists started naming the controllable systems as “Control Engineering”.
Nowadays, the current technological advances have allowed these systems´ control.
The mechanical systems were one of the best advances of the middle-age; presently electronics has
been involved with mechanical systems, which has resulted in very effective engineering.
System design is also named “Control Engineering”.
In many airplanes, the landing gear´s operation describes an approximate 90° angle as it extends or retracts. This type of landing gear system has been used since 1935 and these systems will probably be installed in future airplane designs. The landing gear system must be well designed, as aircraft need a safe system, mainly for landing
and takeoff.
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Índice
TITULO Página
Protocolo de Investigación
Marco contextual: Ingeniería en control en sistemas ingeniosos………………1
Situación problemática…………………………………………………………………2
Planteamiento del problema…………………………………………………………...3
Objetivos…………………………………………………………………………………..3
Objetivo general……………………………………………………………………3
Objetivos específicos……………………………………………………………...3
Preguntas de investigación……………………………………………………………3
Hipótesis…………………………………………………………………………………..3
Matriz de operacionalización de variables…………………………………………..4
Tipo de Investigación……………………………………………………………………5
Método de Investigación………………………………………………………………..5
Justificación………………………………………………………………………………5
Oportunidad………………………………………………………………………..5
Relevancia social………………………………………………………………….5
Implicación práctica ……………………………………………………………….5
Valor Teórico……………………………………………………………………….5
CAPITULO 1
Teoría de control
APARTADO 1
Métodos de solución para un sistema dinámico
Introducción………………………………………………………………………………6
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Equilibrio perfecto usando El Principio d’ Alembert………………………6
Método por Energías…………………………………………………………….7
Método de LaGrange…………………………………………………………….8
Método de Hamilton……………………………………………………………..8
APARTADO 2
La función de transferencia y respuestas en función del tiempo
Introducción……………………………………………………………………………..10
Linealidad………………………………………………………………………..10
Respuesta de un sistema con respecto a una entrada escalón……….11
Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden……………..11
La función de transferencia…………………………………………………..12
Elementos de primero y segundo orden…………………………………...13
Respuestas de la función del tiempo de un sistema de primer orden……………...15
Respuestas de la función del tiempo de un sistema de segundo orden……………18
APARTADO 3
Diagramas de bloques para control
Introducción……………………………………………………………………………..22
Diagrama de bloques…………………………………………………………..22
Elementos de un diagrama de bloques…………………………………….22
Trayectoria de la señal………………………………………………………...23
Bloques en serie………………………………………………………………..23
Bloques con lazos de realimentación………………………………………24
Bloques en serie y con un lazo de realimentación………………………24
Bloques en paralelo……………………………………………………………25
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APARTADO 4
Estabilidad y los polos-ceros de 𝐆(𝐬)
Introducción……………………………………………………………………………..26
Estabilidad……………………………………………………………………….26
Polos y ceros……………………………………………………………………27
Geometría de polos y ceros…………………………………………………..28
Salidas con diferentes polos con entrada impulso………………………29
Salidas con diferentes polos con entrada escalón………………………30
APARTADO 5
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Introducción……………………………………………………………………………..31
Método de Routh-Hurwitz……………………………………………………..31
Error en estado estable………………………………………………………..32
APARTADO 6
Control en Matlab y Simulink
Introducción……………………………………………………………………………..33
Control en Matlab……………………………………………………………….33
Simulink…………………………………………………………………………..35
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APARTADO 7
Tren de aterrizaje principal del Boeing 727
Introducción……………………………………………………………………………..41
Tren de aterrizaje principal……………………………………………………41
Safety switch…………………………………………………………………….42
Sistema de actuación de extensión y retracción del tren de aterrizaje
principal…………………………………………………………………………..43
Retracción y extensión………………………………………………………..44
Puertas del tren de aterrizaje principal……………………………………..45
CAPITULO 2
Desarrollo y análisis de diseño de control del
amortiguamiento para el Tren de Aterrizaje del Boeing
727
Introducción……………………………………………………………………………..46
Planteamiento…………………………………………………………………...46
Desarrollo analítico…………………………………………………………….48
Análisis del sistema del tren de aterrizaje principal……………………..55
Diseño de amortiguamiento para concretar la estabilidad del tren de
aterrizaje principal a partir de nuestro diagrama de bloques…………..57
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CAPITULO 3
Conclusiones demostrativas de diseño de
amortiguamiento para el Tren de Aterrizaje del Boeing
727
Demostración……………………………………………………………………65
Resultados finales (Graficas de Estabilidad)……………………………...67
Diseños de amortiguamiento del tren de aterrizaje del Boeing 727…..69
Bibliografía……………………………………………………….70
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Lista de Tablas y Figuras
FIG. 2.0 A. a) Resorte ideal, b) Resorte real.
FIG. 2.1 B. Relación no lineal.
FIG. 2.2 C. a) Para una entrada escalón, b) No amortiguamiento, c) Algún
amortiguamiento, d) Amortiguamiento alto.
FIG. 2.3 D. Respuesta de un sistema de segundo orden con diferentes amortiguamientos.
FIG. 2.4 E. Diagrama de bloques de una función de transferencia.
FIG. 2.5 F. Grafica de la respuesta escalón de un sistema de primer orden.
FIG. 2.6 G. Grafica de la respuesta rampa de un sistema de primer orden.
FIG. 2.7 H. Grafica de la respuesta impulso de un sistema de primer orden.
FIG. 2.8 I. Respuesta en estado estable con entrada rampa unitaria de un sistema de
segundo orden.
FIG. 2.9 J. Tipos de estados estables más las respuestas transitorias con diferentes
grados de amortiguamiento.
FIG. 2.10 K. Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada impulso en t = 0.
FIG. 3.0 A. Diagrama de bloques.
FIG. 3.1 B. Tipos de trayectorias de señal.
FIG. 3.2 C. a) Realimentación negativa, b). Realimentación positiva.
FIG. 3.3 D. Diagrama de bloque de un sistema de lazo cerrado.
FIG. 3.4 E. Diagrama de bloque de lazo de pre-alimentación.
FIG. 4.0 A. Graficas con salidas 𝜃𝑜 de sistemas estables o inestables. FIG. 4.1 B. Geometría de polos y ceros. FIG. 4.2 C. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada impulso. FIG. 4.3 D. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada escalón. FIG. 6.0 A. Tabla de algunos bloques. FIG. 7.0 A. Tren de aterrizaje principal
FIG. 7.1 B. Tren de aterrizaje principal en vista lateral.
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Ingeniería en Aeronáutica FIG. 7.2 C. Safety switch del tren de aterrizaje principal.
FIG. 7.3 D. Tren de aterrizaje principal extensión.
FIG. 7.4 E. Retracción y extensión del tren de aterrizaje principal.
FIG. 7.5 F. Muestra del actuador (SIDE STRUT).
FIG. 7.6 G. Puertas del tren de aterrizaje principal.
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Glosario
𝑟= Vector de Posición. 𝑚𝑡= Masa Total del Tren de Aterrizaje. 𝜃= Angulo De Salida del Tren de Aterrizaje. 𝐹(𝑡)= Fuerza de Excitación. 𝑙= Longitud del eslabón Tren de Aterrizaje.
𝑙= Longitud del eslabón desde el punto de unión hasta la conexión de los eslabones que generan el momento 𝑀(𝑡). 𝐺(𝑠)= Función de Transferencia. 𝐺(𝑠)𝑇= Función de Transferencia Total. 𝑐= Amortiguamiento. 𝜁= Factor de Amortiguamiento. 𝐾= Amplificador de variación o ganancia proporcional. ��= Peso del Tren de Aterrizaje. δ= Angulo entre el actuador y el eje horizontal.
α= Angulo entre el DOWN-LOCK y el eje horizontal.
β= Angulo entre el SIDE-STRUT y el eje horizontal.
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1.0 Marco contextual: Ingeniería en control en sistemas ingeniosos. [1]
La ingeniería de control se fue dando de una forma más oculta a su nombre de
control pero visible en aquellos sistemas clásicos inventados por grandes
personajes de la ciencia.
En la antigua Grecia hubo tres mecánicos Ktesibios, Philon y Heron.
El primero llamado Ktesibios, en el siglo III diseña un reloj de agua llamado
Clepsydra. Estos relojes consistían en un mecanismo en el cual el objetivo era que
el nivel de un depósito de agua subiera con una velocidad constante.
Philon de Bizancio, diseño un sistema de regulación de nivel de una lámpara de
aceite. Cuando el aceite se quemaba, el nivel del depósito de aceite bajaba
haciendo que entrara aceite en otro depósito de forma que esté suministraba más
aceite al depósito de la lámpara.
En el siglo I antes de cristo, Herón de Alejandría escribió una enciclopedia técnica
allí estando Pneumática y Autómata. En Pneumática describe varios temas sobre
realimentación y en Autómata presenta complicados aparatos que ejecutan un
programa fijo.
En la imagen siguiente se puede ver un sistema de realimentación de dispensador
de vino, donde el funcionamiento se puede ver en el libro de Herón.
En la Edad Media se desarrollaron importantes técnicas pero en el tema de
realimentación existen pocos inventos. Solo un sistema de control de un molino de
harina realizado por H.U. Lansperg hacia el 1200, tal que la cantidad de grano
suministrada al molino dependía de la fuerza del viento y la dureza del grano sin
pretender moler a velocidad constante.
FIG. 1. Sistema de realimentación
de dispensador de vino
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En el siglo XVII hubo diversos sistemas de regulación de temperatura, como por
ejemplo los aplicados en el horno y la incubadora de Drebel. En la regulación de
temperatura consiste que si la temperatura sube se dilata el contenido de un
depósito de alcohol tal que se abre un sistemas de palancas que abre un orificio
de salida de gases.
En 1745, E. Lee inventa un sistema para controlar automáticamente la orientación
e inclinación de las aspas de los molinos de viento, tal que se aprovechara mejor
la dirección del viento. Este invento fue patentado con el nombre de Self-regulating
Wind Machine.
Cuando Watt se dedicaba a perfeccionar su regulador de bolas. Laplace y Fourier
desarrollaban los métodos de Transformación Matemática muy utilizados y
asumidos en la Ingeniería Eléctrica y al igual en la ingeniería de control moderno.
Maxwell plantea la forma de estudiar la estabilidad de un sistema dinámico en
función de la localización de la raíces de su ecuación característica.
En 1877 Routh resuelve el problema de Maxwell en su trabajo “A treatise on the
stability of a given state of motion” ganando el premio Adams.
En 1885 Hurwitz de forma independiente utilizando las técnicas de Cauchy y
Hermite resuelve el mismo problema en términos de un conjunto de
determinantes. En 1911 Bompiani demostraría la equivalencia de los criterios de
Routh y Hurwitz.
En 1889 Liapunov presenta sus trabajos sobre estabilidad, donde servían para la
teoría moderna de control.
A finales del siglo XIX y XX en 1912 del premio Nobel de Fisica al sueco Dalen por
su desarrollo de reguladores automáticos.
1.1 Situación problemática
Bridgestone México brinda consejos de seguridad vial con su misión de servir a la
sociedad con calidad, continua con éxito la implementación de su campaña
“Piensa antes de conducir” en la versión dirigida a niños, futuros conductores y
grandes consejeros de sus padres. Como todos los años, “Piensa Antes de
Conducir Kids” se presenta en escuelas primarias públicas y privadas. [2]
Nuevo sistema de control automático para vehículos hipersónicos: Unos
ingenieros de la Universidad de Ohio han diseñado un Software para el sistema de
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control que es capaz de pilotar y de adaptarse a las condiciones cambiantes
durante el vuelo. [3]
1.2 Planteamiento del problema
¿Cuál es el diseño de amortiguamiento para estabilizar el tren de aterrizaje
principal del BOEING 727 y su grafica de estabilidad por medio de la ingeniería de
control?
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo general
Diseñar el amortiguamiento y mostrar la gráfica de estabilidad del sistema tren de
aterrizaje principal del BOEING 727 por medio de la ingeniería de control.
1.3.2 Objetivos específicos
Diseñar los factores de amortiguamiento que puede contener el tren de aterrizaje
principal del BOEING 727 para ser estable o amortiguado.
Mostrar la gráfica de estabilidad que corrobore que el sistema de amortiguamiento
del tren de aterrizaje principal del BOEING 727 diseñado es correcto.
1.4 Preguntas de investigación
¿Cuál es el factor de amortiguamiento para el tren de aterrizaje principal del
BEOING 727 para ser estable?
¿Cómo es el comportamiento de la gráfica que representa el amortiguamiento del
sistema tren de aterrizaje principal del BOEING 727?
1.5 Hipótesis
Si se determina el factor de amortiguamiento adecuado entonces se conocerá la
estabilidad que hay en el tren de aterrizaje principal del BOEING 727.
Y Efecto (variable dependiente): Diseño del diagrama de bloques de control
X Causa (variable independiente): Gráficos de estabilidad
X → Y
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1.6 Matriz de operacionalización de variables
Variable Definición
conceptual
Definición
operacional
Dimensión Indicador
Y
Diagrama de
bloques
Es un cuadro de flujo de control en donde se lleva a cabo el proceso de todo el sistema
X
Gráficos de
control de
Son gráficos que demuestran la estabilidad o inestabilidad del algún sistema en estudio.
Prueba de laboratorio.
𝜃 / 𝑡
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1.7 Tipo de Investigación
El método de investigación será del tipo analítico ya que se analizara el efecto que
tendrá la variable independiente (gráficos de estabilidad) con la otra dependiente
(diagrama de bloques) para obtener un modelo matemático del fenómeno que
estamos estudiando.
1.8 Método de Investigación
El método a usar será del tipo analítico, ya que se va tratar de analizar todo tipo
de efectos que produzcan relación sobre el fenómeno, es decir análisis de todo el
sistema que estaremos estudiando.
1.9 Justificación
1.9.1 Oportunidad
La oportunidad de demostrar la estabilidad y el control que tiene un tren de
aterrizaje para poder tener un análisis de buen calculo.
1.9.2 Relevancia social
Es un método que se llevara a cabo para analizar un sistema dinámico de un tren
de aterrizaje en la sociedad debe tener la absoluta confianza de una calidad de
ingeniería.
1.9.3 Implicación práctica
Es un análisis de estabilidad y control para demostrar que un sistema dinámico de
tren de aterrizaje está en buenas condiciones de hacer despegue y aterrizaje.
1.9.4 Valor Teórico
Es un forma de comprender como ha evolucionado la teoría de control hasta hoy
en día, una teoría de ingeniera muy confiable para demostrar seguridad en
sistemas dinámicos en nuestro caso y se demuestra un proyecto de cómo se
realiza un proceso de control y estabilidad en un sistema dinámico de tren de
aterrizaje
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CAPITULO 1
Teoría de control
APARTADO 1
Métodos de solución para un sistema dinámico [4]
Introducción
En este apartado consiste de métodos energéticos y método de inercia para
obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico, tomando en
cuenta diferentes aspectos de movimiento que se tiene en esté.
Equilibrio perfecto usando El Principio d’ Alembert
A partir de la segunda Ley de Newton
F = ma {1a}
Dónde:
F = fuerza
m = masa
El método consiste en apreciar el fenómeno dinámico construyendo el modelo
matemático en donde se comienza describiendo los vectores posibles en el
sistema como se muestra a continuación:
Ecuación de posición que describe el Centro de Masa:
r = xi + yj + zk {1b}
Derivando la ecuación {1b}:
dr
dt=dx
dti +
dy
dtj +
dz
dtk {1c}
Derivando la ecuación {1c}:
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d2r
dt2=d2x
dt2i +
d2y
dt2j +
d2z
dt2k {1d}
Así mismo la suma de momentos o momentos de palanca posibles en el
sistema dinámico son:
ΣMx = Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+Mxn {1e}
ΣMy = My1 + My2 + My3 +⋯+Myn {1f}
ΣMz = Mz1 + Mz2 +Mz3 +⋯+Mzn {1g}
Sustituyendo vectorialmente las ecuaciones {1b}, {1d}, {1e}, {1f} y {1g} en la
ecuación {1h}:
r × md2r
dt2= M {1h}
La forma general expresada matricialmente de {1h}, queda de la siguiente
manera:
[xyz] × m [
xyz] = [
Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+MxnMy1 + My2 + My3 +⋯+MynMz1 + Mz2 + Mz3 +⋯+Mzn
] {1i}
Método por Energías
Consiste en la suma la suma de energías cinéticas, potenciales y de trabajo para
la obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema:
Presentar las energías dinámicas
ΣEk = cte ENERGIAS CINETICAS
ΣEp = cte ENERGIAS POTENCIALES
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Teniendo todas las energías presentes en el sistema se suma como se
muestra a continuación:
ΣEk + ΣEp = Cte {1j}
Tener una ecuación diferencial de segundo orden y se finaliza teniendo la
ecuación dinámica del sistema como se muestra:
ad2x
dt2+ b
dx
dt+ cx = GDL {1k}
Método de LaGrange
Consiste en la suma de energías cinéticas y energías potenciales sustituyendo
estas en la ecuación de Lagrange:
d
dt(∂L
∂φ) −
∂T
∂φ+∂U
∂φ= Q {1l}
Dónde:
L = T − U
T = Suma de energías cinéticas presentadas en el sistema en función de ϕ.
U = Suma de energías potenciales presentadas en el sistema en función de ϕ.
Método de Hamilton [0]
Por último se menciona el principio de Hamilton que consiste en integrar las
ecuaciones de movimiento cuando las fuerzas son conservativas y los enlaces
independientes del tiempo:
L = T − U {1m}
La ecuación anterior se llama “Función Lagrangiana”.
Dónde:
T= Energía cinética.
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U= Energía potencial.
L= Es función de las qi y qi.
Dónde qi y qi son las incógnitas que varían con respecto al tiempo ya sea por
ejemplo posicionamiento qi y velocidad qi.
Ahora se define como “Hamilton” o “Función Hamiltoniana” representado como H:
H = Σpiqi − L {1n}
pi, son las “cantidades de movimiento” conjugadas de las coordenadas
generalizadas qi y están definidos como las derivadas parciales de la energía
cinética.
pi =∂T
∂qi {1ñ}
Ahora no hay enlaces dependientes del tiempo y las fuerzas son conservativas:
2T = Σaijqiqj {1o}
pi = Σaijqj {1p}
Luego de estas dos ecuaciones anteriores tenemos:
Σpiqi = Σaijqiqj = 2T {1q}
Así, la “Función Hamiltoniana” queda expresada de la siguiente forma:
H = 2T − L = 2T − (T − U) = T + U
H = T + U {1r}
Dónde la ecuación anterior H representa la energía total y se deriva dos veces:
ad2x
dt2+ b
dx
dt+ cx = GDL {1s}
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10
APARTADO 2
La función de transferencia y respuestas en función del tiempo. [5]
Introducción
En este apartado podemos verificar las distintas formas de respuestas a la que se
lleva acabo el análisis de un sistema en estudio con respecto a la función de
transferencia.
Linealidad
El principio de superposición es una condición necesaria para un sistema lineal.
Otra condición para un sistema lineal es que si una entrada F1 produce una
deformación x1, entonces una entrada cF1 producirá una salida cx1, donde c es
una constante multiplicativa. Por lo tanto cuando la relación es lineal, la gráfica de
la fuerza F contra x es una línea recta que pasa justamente por el origen. Por
ejemplo un resorte ideal. Ahora bien, un resorte real, no es perfectamente lineal,
pero puede existir un intervalo de operación en la cual suponemos linealidad. Los
dos casos se representan gráficamente en la figura 2.0 A.
También existen casos de relaciones no lineales, en la que las relaciones se
comportan geométricamente de formas diferentes, como se puede mostrar en la
figura 2.1 B.
FIG. 2.1 B. Relación no lineal
FIG. 2.0 A. a) Resorte ideal, b) Resorte real
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11
Respuesta de un sistema con respecto a una entrada escalón
Un sistema que se estudiara, su control y estabilidad tiene que tener una entrada
para ver su comportamiento funcional. Esté comportamiento funcional nos dará
una salida que variará con el tiempo, ya sea x, ésta variable variará con el tiempo;
es decir esto dependerá de la cantidad de amortiguamiento en el sistema. En la
figura 2.2 C se pueden ver tipos de variación de salidas con respecto a una
entrada escalón y en la figura 2.3 D se presentan respuestas de segundo orden
con diferentes amortiguamientos.
Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden
En la figura 2.4 E se presentan diferentes conceptos que especifican tales
desempeños como se muestra a continuación.
Tiempo levantamiento (tr) es el tiempo que toma a la respuesta θo levantarse
desde 0 hasta el valor en estado estable θss y es la medida de que tan rápido el
sistema responde a una entrada con un tiempo de cuarto de ciclo para que la
respuesta oscilatoria sea completada.
ωtr =1
2π
FIG. 2.3 D. Respuesta de un sistema de segundo orden con diferentes amortiguamientos
FIG. 2.2 C. a) Para una entrada escalón, b) No amortiguamiento, c) Algún amortiguamiento, d) Amortiguamiento alto
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12
Haciendo una pausa, se deja la
ecuación diferencial de segundo
orden en términos específicos
𝑑2𝜃𝑜
𝑑𝑡2+ 2𝜁𝜔𝑛
𝑑𝜃𝑜
𝑑𝑡+𝜔𝑛
2𝜃𝑜 = 𝑏1𝜔𝑛2𝜃𝑖
Donde 𝜁 factor de amortiguamiento
relativo y 𝜔𝑛 es la frecuencia angular
con la cual el sistema oscilara
libremente en presencia de cualquier
amortiguamiento.
Tiempo pico (tp) es el tiempo que toma a la respuesta levantarse desde 0 hasta el
primer valor pico con un tiempo de medio ciclo para que la respuesta oscilatoria
sea completada.
ωtp = π
Sobrepaso es la máxima cantidad que adquiere la respuesta por encima del valor
en estado estable; es decir es la amplitud del primer pico.
Tiempo de asentamiento (ts) se emplea como una medida del tiempo que toman
las oscilaciones en desaparecer; es decir es el tiempo que toma a la respuesta
decaer y mantenerse dentro de un porcentaje especificado por ejemplo 2% dentro
del estado estable esto significa que la amplitud de la oscilación debe ser menor
que el 2% de θss.
La función de transferencia
Ahora bien supongamos que un sistema está relacionada con una entrada θi y con
una salida θo con la ecuación diferencial que se presenta a continuación.
a2d2θo
dt2+ a1
dθo
dt+ aoθo = b1θi {2a}
Donde los coeficientes son constantes.
Si todas las condiciones iniciales son cero,
entonces la transformada de Laplace de esta
ecuación es.
a2s2θo(s) + a1sθo(s) + aoθo(s) = b1θi(s)
La función de transferencia G(s) de un
sistema lineal que describe su
comportamiento dinámico se define como el cociente de la transformada de
Laplace de la variable de salida θo(s) entre la transformada de Laplace de la
variable de entrada θi(s), suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero.
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13
En la figura 2.4 E, se muestra la función de transferencia mediante diagramas de
bloques con una entrada θi(s) y una salida θo(s).
La función de transferencia de la ecuación diferencial queda.
G(s) =θo(s)
θi(s)=
b1a2s2 + a1s + ao
{2b}
Elementos de primero y segundo orden
El orden de un elemento se define como la máxima potencia de s en el
denominador de la función de transferencia. Un elemento de primer orden tendrá a
s como a la potencia de1, mientras que un elemnto de segundo orden tendrá a s
como a la potencia de2.
Para un elemento de primer orden la ecuación diferencial es de la forma.
a1dθodt
+ aoθo = boθi {2c}
Ahora bien la función de transferencia queda.
G(s) =bo
a1s + ao {2d}
Si la acodamos de la siguiente forma.
G(s) =
boao
(a1ao) s + 1
{2e}
Donde bo
ao es la función de transferencia en estado estable G del sistema y
a1
ao es la
constante de tiempo τ del sistema.
FIG. 2.4 E. Diagrama de bloques de una función de transferencia
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14
Así que
G(s) =G
τs + 1 {2f}
Esta es la relación de entrada-salida en el dominio de s para un sistema de primer
orden.
Para un elemento de segundo orden la ecuación diferencial es de la forma.
a2d2θodt2
+ a1dθodt
+ aoθo = b1θi {2g}
Ahora bien la función de transferencia queda.
G(s) =θo(s)
θi(s)=
b1a2s2 + a1s + ao
{2h}
Si la acodamos de la siguiente forma.
G(s) =
b1ao
(a2ao) s2 + (
a1ao) s + 1
{2i}
Recordando que la ecuación diferencial queda en términos específicos.
d2θodt2
+ 2ζωndθodt
+ ωn2θo = b1ωn
2θi {2j}
Así que la función de transferencia queda
G(s) =θo(s)
θi(s)=
b1ωn2
s2 + 2ζωns + ωn2 {2k}
Esta es la relación de entrada-salida en el dominio de s para un sistema de
segundo orden.
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15
Respuestas de la función del tiempo de un sistema de primer orden
Respuesta escalón de un sistema de primer orden
Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada
escalón. Recordando la relación de entrada-salida en el dominio de s para un
sistema de primer orden.
G(s) =G
τs + 1 {2l}
La transformada de Laplace de la salida es
G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)
La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario en t = 0 es 1
s.
Entonces la entrada
Transformada de Laplace de la salida =G
τs+1∗1
s
La transformada queda
a
s(s + a)
Ahora con todo esto, para una entrada escalón unitario. Su grafica se muestra en
la figura 2.5 F.
θo = G [1 − e−tτ] {2n}
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16
Si el escalón es de magnitud A.
θo = AG [1 − e−tτ] {2ñ}
Respuesta rampa de un sistema de primer orden
Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada
escalón.
G(s) =G
τs + 1 {2o}
La transformada de Laplace de la salida es
G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)
La transformada de Laplace para una entrada rampa de pendiente unitaria en t =
0 es 1
s2. Entonces la entrada
Transformada de Laplace de la salida =G
τs+1∗1
s2
FIG. 2.5 F. Grafica de la respuesta
escalón de un sistema de primer
orden
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17
La transformada queda
a
s2(s + a)
Ahora con todo esto, la salida θo para una rampa de pendiente unitario. Su grafica
se muestra en la figura 2.6 G.
θo = G [t − τ(1 − e−tτ)] {2p}
Para una rampa de pendiente A, es decir, θi = At.
θo = GA [t − τ(1 − e−tτ)] {2q}
Respuesta impulso de un sistema de primer orden
Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada impulso
θo = (G
τs + 1) {2r}
La transformada de Laplace de la salida es
G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)
FIG. 2.6 G. Grafica de la respuesta
rampa de un sistema de primer
orden
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18
La transformada de Laplace para una entrada rampa de pendiente unitaria en t =
0 es1. Entonces la entrada
Transformada de Laplace de la salida =G
τs+1∗ 1
La transformada queda
1
s + a
Ahora con todo esto, la salida para un impulso unitario. Su grafica se muestra en
la figura 2.7 H.
θo = G(1
τ) e−
tτ {2s}
Si el impulso tiene una magnitud A.
θo = GA(1
τ) e−
tτ {2t}
Respuestas de la función del tiempo de un sistema de segundo orden
Respuesta escalón de un sistema de segundo orden
La salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada escalón
unitario.
Transformada de Laplace de la salida = G(s) ∗
(Transformada de Laplace de la entrada)
FIG. 2.7 H. Grafica de la respuesta
impulso de un sistema de primer
orden
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19
θo(s) =boωn
2
s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2u}
Para un escalón unitario, θi(s) =1
s, entonces.
θo(s) =boωn
2
(s2 + 2ζωns + ωn2)s {2v}
Por lo tanto queda.
θo(s) = bo [1 −1
√(1 − ζ2)exp (−ζωnt) sin [ωn√(1 − ζ2)t + ϕ]] {2w}
Respuesta rampa de un sistema de segundo orden
La salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada rampa
unitaria.
Transformada de Laplace de la salida= G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)
θo(s) =boωn
2
s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2x}
Para una rampa unitaria, θi(s) =1
s2, entonces.
θo(s) =boωn
2
(s2 + 2ζωns + ωn2)s2 {2y}
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20
Por lo tanto queda.
θo(s) = bo [t −2ζ
ωn+ Cexp(m1t) + Dexp(m2t)] {2z}
Respuesta impulso de un sistema de segundo orden
Salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada impulso unitario
t = 0.
Transformada de Laplace de la salida= G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)
θo(s) =boωn
2
s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2aa}
Un impulso unitario en t = 0, θi(s) = 1, entonces.
θo(s) =boωn
2
s2 + 2ζωns + ωn2 {2bb}
FIG. 2.8 I. Respuesta en estado
estable con entrada rampa unitaria
de un sistema de segundo orden.
FIG. 2.9 J. Tipos de estados
estables más las respuestas
transitorias con diferentes
grados de amortiguamiento.
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21
Por lo tanto queda.
θo(s) =boωn
2
√(1 − ζ2)exp(−ζωnt) sin [ωn√(1 − ζ2)t] {2cc}
FIG. 2.10 K. Respuesta de un
sistema de segundo orden a una
entrada impulso en 𝑡 = 0.
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22
APARTADO 3
Diagramas de bloques para control. [5]
Introducción
En este apartado se demuestra las formas en la que se puede simplificar algún
diagrama de bloques, para llegar al objetivo de nuestra respuesta final para el
análisis de comportamiento de control.
Diagrama de bloques
Es un conjunto de bloques conteniendo flechas de dirección para representar el
flujo de un sistema que se ha analizado. Como se muestra en la figura 3.0 A.
Elementos de un diagrama de bloques.
Las flechas se usan para representar las direcciones de flujo de la señal.
Un punto suma es en el que las señales se suman algebraicamente.
El bloque representa a la función de transferencia escrita dentro de él.
Punto de separación es de la misma forma de un circuito eléctrico, donde la
unión entre dos conductores permite que la corriente se separe, es decir, la
unión se representa mediante el encuentro de dos líneas.
FIG. 3.0 A. Diagrama de bloques
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23
Trayectoria de la señal
Trayectoria directa es usual para los elementos a través de los cuales pasa la
señal en dirección entrada-salida en todo el sistema, como se muestra en la figura
3.1 B.
Trayectoria de realimentación se usa para los elementos por los cuales pasa la
señal cuando se alimenta de regreso desde la salida hasta la entrada.
Trayectoria de pre-alimentación se usa para los elementos que están en paralelo
con la otra trayectoria directa y atraves de los cuales la señal se mueve en la
misma dirección, entrada-salida.
Bloques en serie
Los bloques en serie se multiplican de forma lineal, de la siguiente forma.
G(s) = G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s) {3a}
FIG. 3.1 B. Tipos de trayectorias de señal.
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24
Bloques con lazos de realimentación
La ecuación de este bloque se representa de la siguiente forma, como se muestra
en la figura 3.2 C.
Si la realimentación es negativa.
G(s) =G1(s)
1 + G1(s)H(s) {3b}
Si la realimentación es positiva.
G(s) =G1(s)
1 − G1(s)H(s) {3c}
Bloques en serie y con un lazo de realimentación
La función de transferencia de la trayectoria directa, se representa de la siguiente
manera.
G(s) = G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s) {3e}
FIG. 3.2 C. a) Realimentación negativa, b). Realimentación positiva.
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25
Ahora, ya tenemos una función de transferencia de la trayectoria directa y un lazo
de realimentación con una función de transferencia H(s). La ecuación final queda.
Este modelo se muestra en la figura 3.3 D.
G(s) =θo(s)
θi(s)=
G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s)
1 + [G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s)]H(s) {3f}
Bloques en paralelo
Es un sistema de control con lazo de pre-alimentación. Como se muestra en la
figura 3.4 E.
Ahora bien para representar este diagrama en su ecuación queda.
θo(s) = G1(s)θi(s) + G2(s)θi(s) {3g}
Por lo tanto queda la función de transferencia general.
G(s) = G1(s) + G2(s) {3h}
Si las señales se hubieran sustraído en el punto suma, quedaría.
θo(s) = G1(s)θi(s) − G2(s)θi(s) {3i}
Por lo tanto su función de transferencia general es.
G(s) = G1(s) − G2(s) {3j}
FIG. 3.3 D. Diagrama de bloque de un sistema de lazo cerrado.
FIG. 3.4 E. Diagrama de bloque de lazo de pre-alimentación.
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26
APARTADO 4
Estabilidad y los polos-ceros de 𝐆(𝐬). [5]
Introducción
En este apartado podemos ver diferentes entradas que no dan el resultado de
alguna salida, donde este resultado da la ventaja de saber si la salida del algún
sistema es estable o inestable.
Estabilidad
Un sistema de control tiene un requerimiento importante, es que debe ser estable.
Esto significa, que si el sistema tiene una entrada de magnitud finita, por lo tanto la
salida debe de ser finita de igual modo pero no infinita.
En otras palabras, un sistema se define como estable, sí toda entrada acotada
(finita), produce una salida acotada (finita).
Ahora bien, toda entrada escalón, debe producir salidas finitas.
Si, el sistema tiene una entrada impulso y la salida del sistema tiende a infinito a
medida que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Pero si la
salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente
de cero, entonces el sistema es crítica o marginalmente estable.
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27
Gráficas de sistemas estables e inestables
Se presentan diferentes gráficas con salidas θo, para distinguir, si un sistema es
estable o inestable. Como se muestra en la figura 4.0 A.
La grafica a) tiene una salida θo = 2t y el
sistema es estable.
La grafica b) tiene una salida θo = 5 y el sistema es estable.
La grafica c) tiene una salida θo = e−t y el sistema es estable.
La grafica d) tiene una salida θo = et y el sistema es inestable.
Polos y ceros
La función de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema se presenta de
forma general de la siguiente forma.
G(s) =K(sm + am−1s
m−1 + am−2sm−2 +⋯+ a1s + ao)
(sn + bn−1sn−1 + bn−2sn−2 +⋯+ b1s + bo)
Ahora bien, si se factoriza la función G(s) tanto el numerador como el
denominador, queda:
G(s) =K(s + z1)(s + z2)… (s + zm)
(s + p1)(s + p2)… (s + pn)
Las raíces del numerador son los zm, y se denominan ceros. Las raíces del
denominador son los pn y se denominan polos. Donde K es una constante
multiplicadora o la ganancia del sistema.
FIG. 4.0 A. Graficas con salidas 𝜃𝑜 de sistemas estables o inestables.
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28
Los ceros son las raíces del numerador de G(s), que significa que la función de
transferencia se convierta en cero. Y los polos son las raíces del denominador de
G(s), que significa que la función de transferencia es infinita, así que estos hacen
que el denominador sea cero.
Los polos y los ceros pueden ser cantidades reales o complejas y se pueden
escribir.
s = σ + ωj
Donde esto representa un número complejo con parte real σ y parte imaginaria ω.
Geometría de polos y ceros
Los polos y los ceros de una función de transferencia G(s), se pueden representar
mediante el diagrama de eje imaginario y eje real; es decir cómo se puede
representar la geometría de un número complejo σ + ωj, como se muestra en la
figura 4.1 B.
FIG. 4.1 B. Geometría de polos y ceros
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29
En la imagen se puede ver un polo y un cero geométricamente. El polo tiene
número real de −1 y número complejo de +1, el cero tiene numero real de +1 y no
tiene número imaginario.
Salidas con diferentes polos con entrada impulso
La grafica a) es estable
La grafica b) es críticamente estable
La grafica c) es inestable
La grafica d) es estable
La grafica e) es inestable
FIG. 4.2 C. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada impulso.
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30
Salidas con diferentes polos con entrada escalón
La grafica a) es estable
La grafica b) es críticamente estable
La grafica c) es inestable
La grafica d) es estable
La grafica e) es inestable
FIG. 4.3 D. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada escalon.
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31
APARTADO 5
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.
Introducción
Aquí se tiene el conocimiento de un análisis analítico para determinar si el sistema
es estable con el método de Routh-Hurwitz y saber de otra forma el error en
estado estable del sistema.
Método de Routh-Hurwitz [6]
El método de estabilidad de Routh-Hurwitz responde a la pregunta de estabilidad. Este método funciona mucho para obtener el rango de estabilidad por ejemplo de la ganancia proporcional. Teniendo la ecuación característica en transformada de Laplace.
R(s) = ansn + an−1s
n−1 +⋯+ a1s + ao = 0 {5𝑎}
Ordenando el orden de las incógnitas y el orden de los coeficientes.
{sn
sn−1|an an−2 an−4⋯an−1 an−3 an−5⋯
} {5𝑏}
Ahora de forma general
{
sn
sn−1
sn−2
sn−3
⋮s0
|
|
an an−2 an−4an−1 an−3 an−5bn−1 bn−3 bn−5cn−1 cn−3 cn−5⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯hn−1 0 0 }
{5𝑐}
Donde
bn−1 =(an−1)(an−2) − an(an−3)
an−1=−1
an−1{an an−2an−1 an−3
} {5𝑑}
bn−3 = −1
an−1{an an−4an−1 an−5
} {5𝑒}
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32
cn−1 = −1
bn−1{an−1 an−3bn−1 bn−3
} {5𝑓}
Error en estado estable [1]
El error en algún sistema es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y
la señal de salida real.
Entonces cuando hay una entrada 𝜃𝑖(𝑠) y una salida 𝜃𝑜(𝑠). Por lo tanto el error se
representa de la siguiente forma.
𝐸(𝑠) = 𝜃𝑖(𝑠) − 𝜃𝑜(𝑠) {5𝑔}
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33
APARTADO 6
Control en Matlab y Simulink
Introducción
Aquí en este apartado es necesario comprobar los resultados por medio del
programa Matlab para llevar los resultados a un objetivo de forma muy clara.
Control en Matlab
Como ingresar funciones de un sistema de control en Matlab
G(s)=4(s+10)/(s+5)(s+15) num=4*[1 10]; den=conv([1 5],[1 15]); printsys(num, den, ‘s’)
Encontrar los polos y ceros para la función de transferencia G(s)= (5s^2+3s+4)/(s^3+2s^2+4s+7) num=[5 3 4]; den=[1 2 4 7]; [z, p, k]= tf2zp(num, den) Presentar la respuesta a una entrada escalon para un sistema con funcion de transferencia G(s)=5/(s^2+3s+12) num=5; den=[1 3 12]; step(num,den)
num= Es el numerador den= Es el denominador conv= Multiplica polinomios printsys= Presenta la función de transferencia
[z, p, k]= tf2zp(num, den)= Es el comando para determinar y mostrar los ceros, los polos y la ganancia.
step(num,den)= Genera graficas de
respuesta de escalón unitario.
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34
Generar la traza de Bode para G(s)=4/(s^2+2s+3) num=4; den=[1 2 3]; bode(num,den) Generar la traza de Nyquist G(s)=4/(s^2+2s+3) num=4; den=[1 2 3]; nyquist(num,den) Generar la traza de rlocus G(s)=(s+1)/(s^2+4s+3) num=[1 1]; den=[1 4 3]; rlocus(num,den)
bode(num,den)= Produce una traza de Bode de ganancia en dB contra frecuencia en rad/s en una escala logarítmica.
nyquist(num,den)= Son
graficas polares y calcula la
respuesta en frecuencia para
sistemas en tiempo continuo.
rlocus(num,den)= Se diuja
en la pantalla la grafica del
lugar de las raíces.
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35
Simulink Ahora bien abrimos Matlab Se presenta la pantalla En la siguiente pantalla seleccionamos “SIMULINK” se muestra una línea roja retirada donde se aprecia más claro la posición del icono simulink.
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36
Enseguida se presenta la siguiente pantalla donde encontraremos los comandos necesarios para armar un diagrama de cuadro de control con respecto una salida y una entrada. Hay diferentes tipos de comandos.
Elementos continuos-Librería de sistemas lineales continuos
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37
Elementos discontinuos
Operaciones matemáticas
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38
Rutas de señal
Modelos de señales
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39
Descripción de algunos bloques que se usan para armar un diagrama de cuadro de control
FIG. 6.0 A. Tabla de algunos
bloques. [7]
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40
Representación de un diagrama de bloques Se puede ver de forma clara como está compuesto de dos funciones de transferencia, uno de alimentación Fcn y otro de retroalimentación Fcn1, incluyendo una ganancia donde su explicación está en la figura 6.0 A.
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41
APARTADO 7
Tren de aterrizaje principal del Boeing 727
Introducción
En este capítulo se explica de una forma breve de como el tren es retraído con
seguros llamados relays y switches y su retracción y extensión por medio de una
válvula de presión.
Tren de aterrizaje principal
El tren de aterrizaje principal se puede mostrar en la figura 7.0 A.
El tren de aterrizaje contiene switch y relays que funcionan como seguros para el
tren.
Los relays de seguridad del tren de aterrizaje junto con los switches del tren
vienen de la retracción del tren cuando el peso del avión cae sobre el tren de
aterrizaje para asegurar una fijación de este. Donde los relays y switches viene del
control del mando.
El switch de seguridad del tren principal junto con los relays retrae al tren cuando
el amortiguador hidráulico (SHOCK STRUT) no está totalmente extendido.
El switch se abre cuando el amortiguador hidráulico es extendido y es cerrado
cuando el avión está en tierra con el amortiguador comprimido (SHOCK STRUT).
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42
El switch está instalado cerca de la válvula del ground spoiler en la raíz del ala, como se muestra en la figura 7.1 B.
Safety switch
La operación del safety switch del tren es atreves de la actuación del spoiler. La
articulación del spoiler está conectada con el upper torsión link como se muestra
en la figura 7.1 B.
FIG. 7.0 A. Tren de
aterrizaje principal.
FIG. 7.1 B. Tren de
aterrizaje principal en vista
lateral.
FIG. 7.2 C. Safety switch del
tren de aterrizaje principal
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43
Sistema de actuación de extensión y retracción del tren de aterrizaje
principal
En la siguiente figura se puede ver la imagen de cómo es la extensión y el ingreso
del tren de aterrizaje principal del Boeing 727, donde más adelante se explica
brevemente la retracción y extensión.
FIG. 7.3 D. Tren de aterrizaje
principal extensión.
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44
Retracción y extensión
Retracción y extensión del tren es generado por una energía hidráulica, un
actuador (SIDE STRUT) que está instalado debajo del ala como se muestra en la
figura 7.5 F. El tren de aterrizaje principal es controlador desde la cabina de piloto
sobre el panel de instrumentación. Cables de actuación transfieren movimiento a
una selector valve que genera presión hidráulica y mueve el tren de aterrizaje,
aquí se puede ver una imagen de la figura 7.4 E.
FIG. 7.4 E. Retracción y
extensión del tren de aterrizaje
principal.
FIG. 7.5 F. Muestra del actuador (SIDE
STRUT).
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45
Puertas del tren de aterrizaje principal
Cuando el mando de control se traslada en la posición de Up, las puertas de los
trenes de aterrizaje principal se abren entonces los trenes se retraen y las puertas
se cierran nuevamente. Ahora cuando el mando de control se mueve a la posición
de Down todas las puertas se abren entonces el tren se extiende y por lo tanto las
puertas vuelven a cerrarse, como se muestra en la figura 7.6 G.
Con el control de mando en la position off la presión hidráulica es liberada de toda
la línea hidráulica del tren de aterrizaje principal, los actuadores y el tren de
aterrizaje se mantienen en la retracción o extensión por los mecanismos
bloqueados.
Las puertas principales del tren son sacadas totalmente hasta el tope por el peso
de la misma salida del tren de aterrizaje sobre un eslabón de seguridad.
FIG. 7.6 G. Puertas del tren de
aterrizaje principal
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46
CAPITULO 2
Desarrollo y análisis de diseño de control del
amortiguamiento para el Tren de Aterrizaje del Boeing
727
Introducción
En este capítulo desarrollaremos nuestro análisis del tren de aterrizaje principal de
forma matemática para obtener nuestro resultado de diseño de amortiguamiento
por medio de diagrama de ingeniería de control.
Planteamiento
Diagrama de bloques general de la extensión del tren de aterrizaje principal
Boeing 727
En el diagrama de bloques se puede ver cómo hay dos funciones de transferencia
𝐺1 y 𝐺2.
Por lo tanto hay que hacer nuestro diseño de amortiguamiento en el diagrama de
bloques de control para llegar a nuestra conclusión de estabilidad.
¿Por qué decir de forma definitiva
“ESTABILIDAD”?, porque sabemos
que el sistema de tren de aterrizaje
es estable de forma definitiva o de
fábrica, lo que hay que hacer es UN
DISEÑO DE AMORTIGUAMIENTO
PROPUESTO O APROXIMADO.
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47
Las siguientes figuras muestran donde está ubicado el momento M (t) y la fuerza F
(t) de los actuadores.
Fig. B. Actuador (SIDE STRUT) generando un
momento M (t).
Fig. C. Actuador generando un
momento F (t).
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48
Del apartado 1 se muestra la teoría de la demostración para una ecuación dinámica
de algún sistema.
Por el método de la segunda ley de Newton.
r = xi + yj + zk
Partiendo de tal ecuación, decimos que:
x = l sin 𝜃
y = l cos 𝜃
Ahora sustituyendo en tal ecuación
r = xi + yj + zk
r = (l sin θ)i + (l cos θ)j
Derivamos dos veces r:
𝑑𝑟
𝑑𝑡= (𝑙�� cos 𝜃)𝑖 − (𝑙�� sin 𝜃)𝑗
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2= (𝑙�� cos 𝜃 − 𝑙��2 sin 𝜃)𝑖 − (𝑙�� sin 𝜃 + 𝑙��2 cos 𝜃)𝑗
Usando tales formulas siguientes de forma matricial y sustituyendo:
[FxFyFz] = m [
xyz]
[xyz] × m [
xyz] = [
Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+MxnMy1 + My2 + My3 +⋯+MynMz1 + Mz2 + Mz3 +⋯+Mzn
]
A partir de las ecuaciones matriciales anteriores se sustituyen la primera y segunda
derivada de r, para obtener las ecuaciones dinámicas del tren de aterrizaje principal
como se muestran al inicio.
Desarrollo analítico
¿Cómo obtener nuestro sistema de ecuaciones diferenciales del tren de aterrizaje
que se muestra en la figura B y figura C?
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49
Las ecuaciones dinámicas del tren de aterrizaje principal son las siguientes
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝐹1(𝑡) cos 𝛿
𝑚𝑡𝑙2�� + 𝑚𝑡𝑙
2𝜃 = 𝑀(𝑡) = cos𝛼 cos 𝛽 𝐹2(𝑡)
Transformando las ecuaciones dinámicas queda de la siguiente forma
Nota: Aplicando serie de Taylor, los cosenos se reducen a solamente su
argumento.
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡) − − − − − −−−−−𝑎𝑎
𝑚𝑡𝑙2�� + 𝑚𝑡𝑙
2𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡) − − − − − −−−− 𝑏𝑏
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50
¿Cómo obtener nuestro sistema de ecuaciones de transferencia del tren de
aterrizaje que se muestra en la figura B y figura C?
Por lo tanto para la ecuación diferencial aa, no es lineal. Por lo tanto se necesita
hacer una linealización por matriz exponencial.
Linealización. [8, 9]
�� = ��𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
Donde:
��: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
𝐵: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙
𝐶: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝐷: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Ahora bien la función de transferencia es la siguiente.
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)
Y finalmente la ecuación general para la transformada de una ecuación diferencial
no lineal, es la siguiente.
𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵
Linealizando la ecuación aa. [9]
�� = 𝑥
�� = ��
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)
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51
Sustituyendo derivadas
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙𝑥2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)
�� =𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃
Por lo tanto las ecuaciones linealizadas quedan de la siguiente manera. [9]
�� = 𝑥
�� =𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃
Ahora hay que encontrar los puntos de equilibrio.
Donde un punto de equilibrio, es un dato que nos sirve para estabilizar las
ecuaciones diferenciales. Ese punto es un dato muy importante para reducir
nuestro sistema de ecuaciones diferenciales al hacer la matriz jacobiana.
Decimos que la ecuación diferencial para un punto de equilibrio. [9]
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡)---------- 𝑓(��, 𝑡) = 0
Donde decimos que ��, es un punto de equilibrio en algún tiempo 𝑡, donde se lleva
acabo el comportamiento en un punto máximo o mínimo de recorrido de
estabilidad.
Ahora regresando a las ecuaciones de primer orden, analicemos algo más.
�� = 𝑥
�� =𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃
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52
Matriz jacobiana, significa las derivadas parciales de cada variable de estado
sustituyéndole el punto de equilibrio analizado. [9]
�� = [
𝜕𝑃
𝜕𝜃
𝜕𝑃
𝜕𝑥𝜕𝑄
𝜕𝜃
𝜕𝑄
𝜕𝑥
]
��
Empezando el proceso de linealizacion.
Decimos que
𝑥 = 0
𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 = 0
Ahora bien queda que cuando
�� = 0
𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ (0)2𝜃 =
𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙= 0
Por lo tanto el punto de equilibrio dice que
�� = 0 → ��1(𝑡) = 0
Usando la matriz jacobiana y sustituyendo el punto de equilibrio
�� = 𝑥 → 𝑃
�� =𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 → 𝑄
�� = [0 1𝑥2 2𝑥𝜃
] = [0 10 0
]��
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Ahora la matriz 𝐵𝑢. [9]
Se dice que,
𝐵 =𝜕
𝜕𝑢[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢]
Para nuestras ecuaciones diferenciales queda que
𝐵1 =𝜕
𝜕𝑢1[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] =
𝜕
𝜕𝑢1[𝑥] = 0
𝐵2 =𝜕
𝜕𝑢1[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] =
𝜕
𝜕𝑢1[𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 ] =
𝛿
𝑚𝑡𝑙
Usando la formula �� = ��𝑥 + 𝐵𝑢, sustituimos nuestras matrices.
[����] = [
0 10 0
] [𝜃𝑥] + [
0𝛿
𝑚𝑡𝑙] 𝐹1
Aplicando transformada de Laplace nos queda de la siguiente forma.
Recordando la ecuación 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵.
[𝜃(𝑠)𝑥(𝑠)
] = (𝛿
𝑚𝑡𝑙) [
1
𝑠
1
𝑠2
01
𝑠
] [𝐹(𝑠)]
Finalmente nos queda la ecuación de transferencia como,
𝜃(𝑠)
𝐹1(𝑠)= 𝐺(𝑠)1 =
𝛿
𝑚𝑡𝑙𝑠2
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Ahora transformando la ecuación diferencial lineal siguiente
𝑚𝑡𝑙2�� + 𝑚𝑡𝑙
2𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)
Nos queda,
𝑚𝑡𝑙2𝑠2 +𝑚𝑡𝑙
2𝑠 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑠)
𝜃(𝑠)
𝐹2(𝑠)= 𝐺(𝑠)2 =
𝛼𝛽𝑙
𝑚𝑡𝑙2𝑠2+𝑚𝑡𝑙2𝑠
Nuestras ecuaciones transformadas finalmente son las siguientes para ingresarlas
al diagrama de control.
𝐺(𝑠)1 =𝛿
𝑚𝑡𝑙𝑠2
𝐺(𝑠)2 =𝛼𝛽𝑙
𝑚𝑡𝑙2𝑠2+𝑚𝑡𝑙
2𝑠
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Análisis del sistema del tren de aterrizaje principal
¿Cómo obtener nuestra ecuación de transferencia total del sistema tren de
aterrizaje que se muestra en la figura B y figura C?
Nuestra función de la fuerza general que hace el movimiento del tren de aterrizaje
principal viene dada de la siguiente forma.
Primeramente obtenemos nuestras ecuaciones diferenciales
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)
Decimos que la fuerza total es
𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡)
Despejamos 𝐹1(𝑡):
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃
𝛿= 𝐹1(𝑡)
Despejamos 𝐹2(𝑡):
𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃
𝛼𝛽𝑙 = 𝐹2(𝑡)
Por lo tanto nuestra fuerza total es:
𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡) =𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��
2𝜃
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2�� + ��𝑙𝜃
𝛼𝛽𝑙
𝐹𝑇 =𝑚𝑡𝑙��
𝛿−𝑚𝑡𝑙��
2𝜃
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2��
𝛼𝛽𝑙 +��𝑙𝜃
𝛼𝛽𝑙
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Ecuación de transferencia total
Finalmente queda:
𝐹𝑇 = �� (𝑚𝑡𝑙
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2
𝛼𝛽𝑙 ) + 𝜃 (
��𝑙
𝛼𝛽𝑙 )
Transformando esta ecuación a Laplace queda:
𝜃(𝑠)
𝐹𝑇(𝑠)= 𝐺(𝑠)𝑇 =
1
𝑆2 (𝑚𝑡𝑙𝛿+𝑚𝑡𝑙2
𝛼𝛽𝑙 ) + (
��𝑙
𝛼𝛽𝑙)
Entonces 𝐺(𝑠)𝑇:
𝐺(𝑠)𝑇 =1
𝑆2 (𝑚𝑡𝑙𝛿+𝑚𝑡𝑙2
𝛼𝛽𝑙 ) + (
��𝑙
𝛼𝛽𝑙)
𝐺(𝑆)𝑇 =𝛿𝛼𝛽𝑙
𝑆2(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙+𝑚𝑡𝑙2𝛿)+(��𝑙𝛿)
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Podemos fijarnos que la función de transferencia no contiene el termino de
amortiguamiento por lo tanto hay que obtener una ecuación de transferencia de
diseño para demostrar la estabilidad que tiene nuestro sistema tren de aterrizaje.
A continuación se muestra la gráfica de inestabilidad es decir cuando no hay amortiguamiento en el sistema.
Diseño de amortiguamiento para concretar la estabilidad del tren de
aterrizaje principal a partir de nuestro diagrama de bloques
Tomando nuestras ecuaciones diferenciales de movimiento de análisis dinámico
𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)
𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)
Y quedando nuestra ecuación general como
𝐹𝑇 =𝑚𝑡𝑙��
𝛿−𝑚𝑡𝑙��
2𝜃
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2��
𝛼𝛽𝑙 +��𝑙𝜃
𝛼𝛽𝑙
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58
Recordando que:
𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡)
Analizar la ecuación general de movimiento como se muestra en el recuadro de
abajo se puede visualizar que está encerrado en rojo, se necesita el término que
tiene como coeficiente el factor de amortiguamiento para demostrar su estabilidad.
Necesitamos recordar que nuestra ecuación le hace falta el término de amortiguamiento.
Sumando el término de fuerza de amortiguamiento 𝐹𝑎 = 𝑐�� y transformado en coordenadas polares queda como:
𝐹𝑎 = 𝑐�� = 𝑐𝑙��
Recordando que, 𝑥 = 𝑙 sin 𝜃
𝐹𝑇 =𝑚𝑡𝑙��
𝛿−𝑚𝑡𝑙��
2𝜃
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2��
𝛼𝛽𝑙 +��𝑙𝜃
𝛼𝛽𝑙 + 𝑐𝑙��
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Podemos ver que en la ecuación anterior se muestra el término 𝑐𝑙��, para amortiguar el sistema tren de aterrizaje principal y demostrar su estabilidad que tiene el sistema tren aterrizaje. Transformando la ecuación diferencial anterior en transformada de Laplace.
𝐹𝑇(𝑠) = [𝑚𝑡𝑙𝑠
2
𝛿+𝑚𝑡𝑙
2𝑠2
𝛼𝛽𝑙 +��𝑙
𝛼𝛽𝑙 + 𝑐𝑙𝑠] 𝜃(𝑠)
Ordenando
𝐹𝑇(𝑠) = [𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙��
2 +𝑚𝑡𝑙2𝛿𝑠2 + ��𝑙𝛿 + 𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙��
𝛿𝛼𝛽𝑙 ] 𝜃(𝑠)
Nuestra función de transferencia queda como
𝐺(𝑠) =𝜃(𝑠)
𝐹𝑇(𝑠)=
𝛿𝛼𝛽𝑙
𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙��2+𝑚𝑡𝑙2𝛿𝑠2+��𝑙𝛿+𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙��
Reduciendo
𝐺(𝑠) =𝛿𝛼𝛽𝑙
(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑡𝑙2𝛿)𝑠2 + 𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙�� + ��𝑙𝛿
Podemos ver que la ecuación anterior no basta con tener nuestra solución final o la ecuación de transferencia total, sino necesitamos comprobar tal ecuación para llegar a nuestras conclusiones convenientes para demostrar nuestro diseño de amortiguamiento. Ahora nuestra ecuación posible para la demostración de estabilidad en nuestro sistema de estudio confiable Tal ecuación inicial sin amortiguamiento que se obtuvo a partir del análisis dinámico de nuestro sistema tren aterrizaje, analicemos su comportamiento.
𝐺(𝑠)𝑇 =𝛿𝛼𝛽𝑙
𝑆2(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙+𝑚𝑡𝑙2𝛿)+(��𝑙𝛿)
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La convertimos como:
𝐺(𝑠)𝑇 =𝐴
𝐵𝑆2 + 𝐷
Donde:
𝐴 = 𝛿𝛼𝛽𝑙
𝐵 = 𝑚𝑙 𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑙2𝛿
𝐷 = ��𝑙𝛿
Podemos ver a simple vista que tal función de transferencia no contiene el término con coeficiente de amortiguamiento como se muestra en la siguiente imagen. Ahora nos hacemos la siguiente pregunta ¿Cómo estabilizar nuestro sistema de tren de aterrizaje principal a base de un diagrama de bloques? Para un sistema lo pongamos de forma estable o lo estabilicemos, todo aquel sistema necesita un componente llamado amortiguador, que tiene la función de hacer todo tipo de sistema dinámico de forma cómoda o estable.
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En nuestro caso para un sistema dinámico se necesita un amortiguador pero en el tren recordemos que es un actuador hidráulico que funciona como un amortiguador controlado desde la cabina de piloto. Como se muestra en la siguiente imagen.
Recordando tal ecuación
𝐺(𝑠)𝑇 =𝐴
𝐵𝑆2 + 𝐷
Hagamos el proceso para hacer estable el sistema de tren de aterrizaje principal. Lo que se supone hacer es el siguiente proceso:
𝐴
𝐵𝑆2 + 𝐷+
𝑐𝑙
𝐵𝑆2 +𝐷
Donde:
𝐴 = 𝛿𝛼𝛽𝑙
𝐵 = 𝑚𝑙 𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑙2𝛿
𝐷 = ��𝑙𝛿
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Ahora podemos observar tal ecuación anterior con un término agregado de amortiguamiento se puede suponer a partir de esto que aquí está la solución determinada para poder estabilizar nuestro sistema dinámico.
𝑃(𝑠) =𝐴
𝐵𝑆2 +𝐷−
𝑐𝑙𝑠
𝐵𝑆2 +𝐷
Donde:
𝐴 = 𝛿𝛼𝛽𝑙
𝐵 = 𝑚𝑙 𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑙2𝛿
𝐶 = 𝑐𝑙
𝐷 = ��𝑙𝛿 En la ecuación anterior se puede mostrar su diagrama de bloques particular del procesamiento que se hizo cumpliendo con la regla del álgebra de bloques de la ingeniería de control.
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Pero a continuación tenemos el diagrama de bloques completo de nuestro sistema de tren de aterrizaje principal tomando en cuenta un amplificador K y una retroalimentación. Simplificar nuestro diagrama de bloques nos llevara a nuestro resultado final que queremos obtener para demostrar que nuestro sistema está en buenas condiciones para estabilizarse. PRIMER PASO
𝑃(𝑠) =𝐴 − 𝐶𝑆
𝐵𝑆2 +𝐷
SEGUNDO PASO
𝑃(𝑠) =𝐾(𝐴 − 𝑐𝑙𝑆)
𝐵𝑆2 + 𝐷=𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)
𝐵𝑆2 +𝐷
TERCER PASO
𝑃(𝑠) =
𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)𝐵𝑆2 +𝐷
1 +𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)𝐵𝑆2 + 𝐷
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64
CUARTO PASO
𝑃(𝑠) =𝜃(𝑆)
𝐹(𝑆)=
𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)
𝐵𝑆2 − 𝐾𝐶𝑆 + 𝐾𝐴 + 𝐷
Aplicando el criterio de Routh Hurwitz.
𝐵𝑆2 − 𝐾𝐶𝑆 + 𝐾𝐴 + 𝐷
Simplificando
𝑆2 −𝐾𝐶
𝐵𝑆 +
𝐾𝐴+𝐷
𝐵
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Demostración
(𝐴−𝐶𝑆)𝐵𝑆2+𝐷
=𝜃(𝑆)
𝐹(𝑆)
Si obtenemos su transformada inversa
ℒ−1 {(𝐴 − 𝐶𝑆)
𝐵𝑆2 + 𝐷} = ℒ−1 {
𝜃(𝑆)
𝐹(𝑆)}
Queda de la siguiente forma:
𝐵�� + 𝐷𝜃 = 𝐴𝑓(𝑡) − 𝐶ℒ−1{𝑆𝐹(𝑆)}
�� +𝑫
𝑩𝜽 =
𝑨
𝑩𝒇(𝒕) −
𝑪
𝑩𝓛−𝟏{𝑺𝑭(𝑺)}
Podemos notar que este término en color rojo es opuesto o se resta a la fuerza de
excitación 𝑓(𝑡); es decir se puede notar como puede hacer estable al Tren de
Aterrizaje.
�� +𝑪
𝑩𝑺𝓛−𝟏{𝑭(𝑺)} +
𝑫
𝑩𝜽 =
𝑨
𝑩𝒇(𝒕)
CAPITULO 3
Conclusiones demostrativas de diseño de
amortiguamiento para el Tren de Aterrizaje del Boeing
727
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66
Hallemos 𝐾 con los siguientes valores propuestos α, β y δ.
𝑚 𝑙 𝑙 𝛼 𝛽 𝛿 �� 𝑐 𝒈
1500 1,35 0,9 1,57 0,2 0,1 14715 192 9,81
Dónde:
𝐴 = 𝛿𝛼𝛽𝑙
𝐵 = 𝑚𝑙 𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑙2𝛿
𝐶 = 𝑐𝑙
𝐷 = ��𝑙𝛿
𝑏1 =(−𝐶𝐾)(𝐴𝐾 + 𝐷)
−𝐶𝐾= 𝐴𝐾 + 𝐷
Ecuaciones para obtener el diseño de amortiguamiento
ωn2 =
KA+D
B
2ζωn = −KC
B
A B C D
0,02826 845,64 259.2 1986,525
S2 B D+AK
S1 -CK 0
S0
K > -70295
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Resultados finales (Graficas de Estabilidad)
Para un valor de:
𝐾 = −1
PARA 𝒄 = 𝟎, 𝜻 = 𝟎
Es decir cuando es inestable o no contiene el término amortiguamiento o no es
amortiguado.
PARA 𝒄 = 𝟗𝟔𝟎, 𝜻 = 𝟎. 𝟓
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PARA 𝒄 = 𝟏𝟗𝟐𝟎, 𝜻 = 𝟏. 𝟎
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69
DATOS DE DISEÑO DE AMORTIGUAMIENTO
DEL TREN DE ATERRIZAJE PRINCIPAL
c ζ 0 0
192 0.10007949
384 0.20015897
576 0.30023846
768 0.40031794
960 0.50039743
1152 0.60047692
1344 0.7005564
1536 0.80063589
1728 0.90071538
1920 1.0079486
Diseños de amortiguamiento del tren de aterrizaje del Boeing 727
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70
Bibliografía
[1] Evolución histórica de la ingeniería de control, Ramón Piadrafita Moreno, 1999
[2] EL UNIVERSAL [3] http://www.amazings.com/ciencia/noticias/010609b.html [4] Classicals Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics,
Second Edition, Walter Greiner. [5] Ingeniería de Control, W. Bolton, Segunda Edición, AlfaOmega. [6] https://alemansistem.files.wordpress.com/2012/05/e-book-ingenieria-de-
control- control-de-sistemas-continuos.pdf [7] Sistemas de Control Continuo y Discretos, Carlos Valdivia Miranda, [8] Ingeniería de control moderna, Katsuhiko Ogata. [9] Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Dennis G. Zill-Warren S. Wright