esfuerzo de torsion

Resistencia de MaterialesResistencia de Materiales

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 3 - Torsión en barras

Tema 3

Torsión en barras



Índice de contenido

Tema 3 - Torsión en barrasÍndice de contenido

•Sección 1 - Deformaciones en un eje circular

•Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

•Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminados

•Sección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

•Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares

•Sección 6 - Resúmen de ecuaciones

Deformaciones en un eje circular

Tema 3 - Torsión en barrasSección 1 - Deformaciones en un eje circular

Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.



Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.______________________________________________________________________________

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Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra.




Observemos la figura. Si el ángulo es muy pequeño, se puede establecer:

LAA '

Donde AA’ es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido a torsión, θ es el ángulo de giro (en radianes) entre dos secciones transversales separadas una longitud L, ρ es el radio de la porción cilíndrica considerada y es la deformación cortante, en radianes.


Ley de Hooke para TorsiónDe forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una

relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.

De forma matemática, podemos expresar dicha relación como sigue:

Donde “”es el esfuerzo cortante, “” es la deformación cortante y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (“E”) de la siguiente forma:

Siendo “” el módulo de Poisson.



G

)1(2

EG


Tema 3 - Torsión en barrasSección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:

- Las secciones circulares permanecen como tales.

- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.

- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.

- El eje está sometido a la acción de pares torsores.

- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.______________________________________________________________________________

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Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Si recordamos la relación de deformación establecida anteriormente:

Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y “L” se mantienen constates, de forma que “” varía linealmente con “”. Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “” :

Luego:

Y, finalmente:



L

Lr max

Lr

max

r

max


Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:

Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la segunda condición de equilibrio:

Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:



r

max

dA

rT

max

dAr

T 2max


Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la forma:

Recordando que anteriormente se estableció que:

Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:



Jr

T max

max

r

JT


Finalmente, obtenemos lo siguiente:



J

T

Nótese que, para barras de sección circular, la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Por otro lado, como se estudió en el capítulo anterior, el esfuerzo cortante debe actuar también en otro plano perpendicular al de la sección transversal para conseguir el equilibrio del elemento diferencial.




Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con la deformación cortante “” mediante la expresión:

En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:

Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo cortante, determinada recientemente:

Lr

G

J

rT

Tema 3 - Torsión en barrasSección 3 - Ejes estáticamente indeterminados



Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “” y “” en la ley de Hooke, obtendremos:

Finalmente, para barras de sección circular:

Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.

L

rG

J

rT

GJ

LT




Observemos el caso mostrado en la figura. En ella se presentan dos barras solidarias, de sección transversal circular, empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor “T” en su unión.

La condición de equilibrio que puede establecerse es la siguiente:

0 TTT CA

Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”). Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.




En primer lugar, estudiemos el tramo AB. El torsor aplicado sobre este segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces:

0 ABA TT

Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de aplicación del siguiente torsor, obtenemos:

0 BCA TTT

ABA TT

ABC TTT




La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:

Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y “B/C” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que deben ser iguales; entonces:

Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que necesitamos para resolver el sistema:

CB

AB

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

GJ

LT

GJ

LT

BCBC

BCA

ABAB

ABA

GJ

LTT

GJ

LT

)()(


Tema 3 - Torsión en barrasSección 4 - Relación entre torsor, potencia y velocidad angular



Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en conjunto con poleas y correas ó con engranajes.

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