Benenti, Chanu, Fino - Corso di Matematica B, 2003-2004. 1

Esercizi svolti - Numeri complessi

1 Determinare e rappresentare geometricamente le radici cubiche di

z = −2 + 2i = 2(i− 1).

***

Dobbiamo innanzitutto calcolare il modulo e l’angolo del numero dato:

ρ = |z| = x2 + y2 =√4 + 4 =

√8 = 2

√2 = 2

32 .

Da ρ cos θ = x = −2 e ρ sin θ = y = 2 ricaviamo

cos θ =√2/2, ρ sin θ =

√2/2.

Dunque: θ = 34π. Nel piano complesso il numero dato risulta collocato cosı:

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1

1

x

y

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Essendo 3√ρ =

3

232 =√2, le tre radici (w0, w1, w2) si trovano collocate sul cerchio di

raggio√2:

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1

1

x

y

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Dipartimento di Matematica 26.1.2004

2 Esercizi svolti - Numeri complessi

La prima radice (w0) ha angolo uguale a θ/3 =π4 . Le altre due sono i rimanenti vertici

del triangolo equilatero costruito a partire da questo punto:

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1

1

x

y

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•w0

•w1

•w2

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z

Applicando la formula delle radici otteniamo comunquew0 =

√2 cos π4 + i sin

π4 = 1 + i,

w1 =√2 cos 13

34π + 2π + i sin 13

34π + 2π =

√2 cos 1112π + i sin

1112π ,

w2 =√2 cos 13

34π + 4π + i sin 13

34π + 4π =

√2 cos 1912π + i sin

1912π .

2 Determinare le radici cubiche di −8 e quindi determinare la decomposizione in fattorireali del polinomio reale x3 + 8.

***

Le tre radici cubiche sono (applicare il metodo dell’esercizio precedente).

w0 = 1 + i√3, w1 = −2, w2 = 1− i

√3.

Esse sono le tre radici dell’equazione x3 + 8 = 0. Pertanto, in base al teorema difattorizzazione abbiamo la scomposizione complessa in tre fattori

z3 + 8 = (z + 2)(z − 1− i√3)(z − 1 + i

√3).

La scomposizione reale si ottiene moltiplicando tra loro i fattori con le radici coniugate(si ottiene un polinomio reale di secondo grado):

x3 + 8 = (x+ 2)(x2 − 2x+ 4).

26.1.2004 Universita di Torino