Esercizi svolti diagramma di Bode
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1 COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA IN REGIME SINUSOIDALE Un sistema risponde ad una sinusoide in ingresso con una sinusoide in uscita della stessa pulsazione. In generale la sinusoide d’uscita ha una diversa ampiezza ed ha uno sfasamento rispetto alla sinusoide in ingresso. Il comportamento frequenziale di un sistema si descrive mediante due grafici: • Il diagramma delle ampiezze : esso mostra il rapporto tra l’ampiezza della sinusoide in uscita e quello della sinusoide in ingresso. Descrive l’amplificazione/attenuamento introdotto dal sistema. • Il diagramma delle fasi : esso mostra la differenza tra la fase della sinusoide in uscita e quella della sinusoide in ingresso. Descrive il “ritardo” sulle sinusoidi introdotto dal sistema Gli assi orizzontali (pulsazioni) dei due diagrammi sono logaritmici, per potere esprimere sia i valori piccoli che quelli grandi. Tali assi sono cioè lineare nell’esponente della potenza del 10, e gli intervalli vengono chiamate “decadi”. L’asse verticale del diagramma dei moduli (guadagni) è lineare in decibel. Il decibel è definito come: 20·log(G) dove G è il guadagno. La tabella seguente di conversione tra valore in db e il guadagno G può servire come esempio: 60db G=1000 40db G=100 20db G=10 0db G=1 -20db G=0,1 -40db G=0,01 -60db G=0,001 L’asse verticale del diagramma delle fasi è tarato in gradi, alle volte in radianti. Il comportamento in frequenza di un sistema può essere dedotto in via simulativa, cioè in laboratorio, dando in ingresso al sistema sinusoidi con ampiezza costante ma pulsazione variabile, misurando poi quanto vale l’ampiezza e lo sfasamento della sinusoide in uscita, al variare della pulsazione. Esiste però un metodo analitico per ricavare i due diagrammi precedenti. Tale metodo consiste nel ricavare la F(s) del sistema, sostituire jω al posto di s, e disegnare due diagrammi a partire dalla funzione F (jω), quello del modulo e quello della fase. F(jω) è un numero complesso, variabile con ω, e si può dimostrare che il modulo di F(jω) corrisponde al guadagno del sistema al variare di ω, mentre la fase di F(jω) corrisponde allo sfasamento introdotto sulla sinusoide dal sistema sempre al variare di ω.
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Esercizi svolti diagramma di Bode
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1
COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA IN REGIME SINUSOIDALE
Un sistema risponde ad una sinusoide in ingresso con una sinusoide in uscita della stessa
pulsazione In generale la sinusoide drsquouscita ha una diversa ampiezza ed ha uno sfasamento
rispetto alla sinusoide in ingresso
Il comportamento frequenziale di un sistema si descrive mediante due grafici
bull Il diagramma delle ampiezze esso mostra il rapporto tra lrsquoampiezza della sinusoide in uscita e
quello della sinusoide in ingresso Descrive lrsquoamplificazioneattenuamento introdotto dal sistema
bull Il diagramma delle fasi esso mostra la differenza tra la fase della sinusoide in uscita e quella
della sinusoide in ingresso Descrive il ldquoritardordquo sulle sinusoidi introdotto dal sistema
Gli assi orizzontali (pulsazioni) dei due diagrammi sono logaritmici per potere esprimere sia i
valori piccoli che quelli grandi Tali assi sono cioegrave lineare nellrsquoesponente della potenza del 10 e gli
intervalli vengono chiamate ldquodecadirdquo
Lrsquoasse verticale del diagramma dei moduli (guadagni) egrave lineare in decibel Il decibel egrave definito
come 20log(G) dove G egrave il guadagno
La tabella seguente di conversione tra valore in db e il guadagno G puograve servire come esempio
60db G=1000
40db G=100
20db G=10
0db G=1
-20db G=01
-40db G=001
-60db G=0001
Lrsquoasse verticale del diagramma delle fasi egrave tarato in gradi alle volte in radianti
Il comportamento in frequenza di un sistema puograve essere dedotto in via simulativa cioegrave in
laboratorio dando in ingresso al sistema sinusoidi con ampiezza costante ma pulsazione variabile
misurando poi quanto vale lrsquoampiezza e lo sfasamento della sinusoide in uscita al variare della
pulsazione
Esiste perograve un metodo analitico per ricavare i due diagrammi precedenti
Tale metodo consiste nel ricavare la F(s) del sistema sostituire jω al posto di s e disegnare due
diagrammi a partire dalla funzione F (jω) quello del modulo e quello della fase
F(jω) egrave un numero complesso variabile con ω e si puograve dimostrare che il modulo di F(jω)
corrisponde al guadagno del sistema al variare di ω mentre la fase di F(jω) corrisponde allo
sfasamento introdotto sulla sinusoide dal sistema sempre al variare di ω
2
I diagrammi del modulo possono essere disegnati in maniera approssimata ricordando ad alcune
regole
1) Il diagramma di Bode del guadagno si puograve approssimare ad una spezzata (insieme di
semirette e segmenti)
2) Le pulsazioni ω di cambio inclinazione della spezzata si ricavano dai poli ed i zeri della F(s)
Per trovare tali pulsazioni egrave sufficiente cambiare il segno ai poli ed agli zeri
3) Se non esistono poli o zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale
4) Se esistono poli sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta in discesa
5) Se esistono zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta in salita
6) Ogni polo introduce sulla spezzata una inclinazione in discesa di 20dbdecade
7) Ogni zero introduce sulla spezzata una inclinazione in salita di 20dbdecade
8) Se il diagramma parte orizzontale lrsquoaltezza della semiretta iniziale si ricava trovando il
guadagno per ω=0 (valutato in db)
9) Se il diagramma parte in salita o in discesa la semiretta iniziale deve essere ricavata
trovando un punto di passaggio Questo punto si ottiene valutando il modulo per una ω
sufficientemente piccola (almeno una decade piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di
cambio inclinazione)
Il guadagno per questa ω viene poi valutato in db
I diagrammi della fase possono essere disegnato in maniera approssimata ricordando le seguenti
regole
1) Il diagramma di Bode della fase si puograve approssimare ad una serie di gradini di altezza +-
90deg
2) Le pulsazioni ω di cambio altezza si ricavano dai poli ed i zeri della F(s) Ersquo sufficiente
cambiare il segno ai poli ed agli zeri
3) Se non esistono poli o zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta a fase zero
4) Se esistono poli sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase ndash90deg
5) Se esistono zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase +90
6) Ogni polo introduce un gradino in discesa di 90deg
7) Ogni zero introduce un gradino in salita di 90deg
8) Se vogliamo avere unrsquoapprossimazione migliore le salite e le discese verticali del
diagramma si devono sostituire con delle salite e discese a rampa che iniziano una decade
prima della pulsazione di cambio fase e finiscono una decade dopo
3
ESEMPI DI DIAGRAMMI DI BODE
Esempio n1 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
)0101(631)(
ωωωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
)0101(631)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
100010
100101 minus=minus=rarr=+ Zss
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
631)01)(01(
)01(631)0( =
+++==sF 20 log(316)=30db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 30db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e torna
orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di
20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
4
Esempio n2 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
2316)(
ωωω
jjjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
12316)(
sssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli diversi da s=0
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
2316)01)(01(
12316)0( =
++==sF 20 log(3162)=50db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
2
1
rad
rad
P
P
==
ωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 50db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra il secondo polo a 1000radsec e
scendere con la pendenza di 40dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n3 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(0101()101(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
5
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(0101(
)101(10)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10101 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 100
0101
00101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
10)01)(01(
)01(10)0( =
+++==sF db20120)10log(20 =sdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsaz io ne rad sec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100()110(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(10)(
ss
ssF
+++=
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
2
I diagrammi del modulo possono essere disegnati in maniera approssimata ricordando ad alcune
regole
1) Il diagramma di Bode del guadagno si puograve approssimare ad una spezzata (insieme di
semirette e segmenti)
2) Le pulsazioni ω di cambio inclinazione della spezzata si ricavano dai poli ed i zeri della F(s)
Per trovare tali pulsazioni egrave sufficiente cambiare il segno ai poli ed agli zeri
3) Se non esistono poli o zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale
4) Se esistono poli sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta in discesa
5) Se esistono zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta in salita
6) Ogni polo introduce sulla spezzata una inclinazione in discesa di 20dbdecade
7) Ogni zero introduce sulla spezzata una inclinazione in salita di 20dbdecade
8) Se il diagramma parte orizzontale lrsquoaltezza della semiretta iniziale si ricava trovando il
guadagno per ω=0 (valutato in db)
9) Se il diagramma parte in salita o in discesa la semiretta iniziale deve essere ricavata
trovando un punto di passaggio Questo punto si ottiene valutando il modulo per una ω
sufficientemente piccola (almeno una decade piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di
cambio inclinazione)
Il guadagno per questa ω viene poi valutato in db
I diagrammi della fase possono essere disegnato in maniera approssimata ricordando le seguenti
regole
1) Il diagramma di Bode della fase si puograve approssimare ad una serie di gradini di altezza +-
90deg
2) Le pulsazioni ω di cambio altezza si ricavano dai poli ed i zeri della F(s) Ersquo sufficiente
cambiare il segno ai poli ed agli zeri
3) Se non esistono poli o zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta a fase zero
4) Se esistono poli sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase ndash90deg
5) Se esistono zeri sullrsquoorigine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase +90
6) Ogni polo introduce un gradino in discesa di 90deg
7) Ogni zero introduce un gradino in salita di 90deg
8) Se vogliamo avere unrsquoapprossimazione migliore le salite e le discese verticali del
diagramma si devono sostituire con delle salite e discese a rampa che iniziano una decade
prima della pulsazione di cambio fase e finiscono una decade dopo
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ESEMPI DI DIAGRAMMI DI BODE
Esempio n1 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
)0101(631)(
ωωωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
)0101(631)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
100010
100101 minus=minus=rarr=+ Zss
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
631)01)(01(
)01(631)0( =
+++==sF 20 log(316)=30db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 30db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e torna
orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di
20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
4
Esempio n2 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
2316)(
ωωω
jjjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
12316)(
sssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli diversi da s=0
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
2316)01)(01(
12316)0( =
++==sF 20 log(3162)=50db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
2
1
rad
rad
P
P
==
ωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 50db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra il secondo polo a 1000radsec e
scendere con la pendenza di 40dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n3 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(0101()101(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
5
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(0101(
)101(10)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10101 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 100
0101
00101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
10)01)(01(
)01(10)0( =
+++==sF db20120)10log(20 =sdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsaz io ne rad sec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100()110(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(10)(
ss
ssF
+++=
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
3
ESEMPI DI DIAGRAMMI DI BODE
Esempio n1 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
)0101(631)(
ωωωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
)0101(631)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
100010
100101 minus=minus=rarr=+ Zss
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
631)01)(01(
)01(631)0( =
+++==sF 20 log(316)=30db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 30db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e torna
orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di
20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
4
Esempio n2 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
2316)(
ωωω
jjjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
12316)(
sssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli diversi da s=0
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
2316)01)(01(
12316)0( =
++==sF 20 log(3162)=50db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
2
1
rad
rad
P
P
==
ωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 50db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra il secondo polo a 1000radsec e
scendere con la pendenza di 40dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n3 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(0101()101(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
5
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(0101(
)101(10)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10101 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 100
0101
00101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
10)01)(01(
)01(10)0( =
+++==sF db20120)10log(20 =sdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsaz io ne rad sec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100()110(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(10)(
ss
ssF
+++=
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
4
Esempio n2 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(101(
2316)(
ωωω
jjjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(101(
12316)(
sssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli diversi da s=0
1010
10101 1 minus=minus=rarr=+ Pss
10000010
1000101 2 minus=minus=rarr=+ Pss
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
2316)01)(01(
12316)0( =
++==sF 20 log(3162)=50db
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
2
1
rad
rad
P
P
==
ωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 50db incontra un polo a
10radsec ed inizia a scendere di 20dbdecade poi incontra il secondo polo a 1000radsec e
scendere con la pendenza di 40dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
1 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n3 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(0101()101(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
5
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(0101(
)101(10)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10101 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 100
0101
00101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
10)01)(01(
)01(10)0( =
+++==sF db20120)10log(20 =sdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsaz io ne rad sec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100()110(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(10)(
ss
ssF
+++=
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
5
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(0101(
)101(10)(
ss
ssF
+++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10101 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 100
0101
00101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
10)01)(01(
)01(10)0( =
+++==sF db20120)10log(20 =sdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 20db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdecade
Diagramma bode delle ampiezze
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 10 100 1000 10000 100000
p ulsaz io ne rad sec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100()110(
10)(ωω
ωωjj
jjF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(10)(
ss
ssF
+++=
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
6
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
11010
10110 minusminus=minus=rarr=+ sss Z
11 1000100 minusminus=rarr=+ sss P
12 1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ sss P
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi parte orizzontale e lrsquoaltezza si calcola sostituendo s=0 nella F(s)
00101100
110
)01)(0100(
)10(10)0( =
sdot=
+++==sF db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -60db incontra uno zero in
10radsec ed inizia a salire di 20dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e torna orizzontale
infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma bode delle ampiezze
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
01 10 100 1000 10000 100000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101()1(
100)(ωω
ωωjj
jjF
++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101(
)1(100)(
ss
ssF
++=
Non si hanno poli o zeri sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0 1sec101 minusminus=rarr=+ Zss
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
7
11 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec1
1 rad
rad
P
Z
==
ωω
Crsquoegrave un polo per s=0 quindi parte in discesa con pendenza 20dbdecade Per poter disegnare il
grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione
Si prende un pulsazione 10 volte piugrave piccola della piugrave piccola pulsazione di cambio inclinazione
(escluso quella nellrsquoorigine) e cioegrave 01radsec
1000110
1100
)100010(110
110100)10(
2
2
22
22
==sdot+
+=jF
db60)3(20)1000log(20 =sdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione 20dbdecade e vale 60db per
pulsazione 01 radsec
Incontra poi uno zero in 1radsec e diventa orizzontale poi incontra un polo a 1000radsec e torna
a scendere con la pendenza di 20dbdec
Diagramma di Bode delle ampiezze
0
10
20
30
40
50
60
70
010 100 1000 10000 100000 1000000pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(jω)
)00101)(100(
)110(10)( 2
ωωωωω
jj
jjjF
+++= minus
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri di )00101)(100(
)110(010)(
ss
sssF
+++=
Si ha uno zero sullrsquoorigine (s=0) e sono presenti 2 poli ed uno zero diversi da s=0
1sec1010
10110 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec1000100 minusminus=rarr=+ Pss
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
8
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec100
sec10
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Crsquoegrave uno zero per s=0 quindi parte in salita
Si calcola il guadagno per pulsazione 1 radsec
00010100
0101100
1010
1100
1010
)10010(11001
1)110(1010)10(
22
2
2222
22
==sdot
==sdot++
+sdot=jF
db80)4(20)00010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza 20dbdec e vale -80db per la
pulsazione 1 radsec
Poi incontra uno zero in 10radsec sale di 40dbdecade poi incontra un polo a 100radsec e sale
di 20 dbdecade infine incontra il secondo polo a 1000radsec e torna orizzontale
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)00101)(10()1010(
010)(ss
ssF
+++=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
9
1sec100010
101010 minusminus=minus=rarr=+ Zss
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12 sec1000
00101
000101 minusminus=minus=rarr=+ Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec1000
sec10
sec100
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla
001010
010
110
1010
110
1010
)01()100(
)10(010)0( ==
sdot=
sdot=
+sdot++=jF
db60)3(20)0010log(20 minus=minussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash60db
Poi incontra un polo in 10radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 100radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 1000radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
Esempio n8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente F(s)
)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
Soluzione
Si ricavano i poli e gli zeri Non si hanno zeri o poli sullrsquoorigine (s=0) ma sono presenti 2 poli ed
uno zero diversi da s=0
1sec400250
1010250 minusminus=minus=rarr=+ Zss
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
10
11 sec10010 minusminus=rarr=+ Pss
12
3 sec500105000
010105 minusminus=minus=rarr=+sdot Pss
Le pulsazioni di cambio inclinazione si ottengono dai poli e zeri cambiando il segno e sono
sec500
sec10
sec40
2
1
rad
rad
rad
P
P
Z
===
ωωω
Non crsquoegrave nulla per s=0 quindi il diagramma parte orizzontale
Si calcola il guadagno per pulsazione nulla)10105)(10(
)10250(1051)(
32
ss
ssF
+sdot++sdot=
3010
010
500
1150
)05000()100(
)10(150)0( ===
+sdot++=jF
db10)3(20)30log(20 minusasympminussdot=
Dai dati che abbiamo possiamo affermare che
il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale ndash10db
Poi incontra un polo in 01radsec e scende di 20dbdecade poi incontra uno zero a 40radsec e
torna orizzontale infine incontra il secondo polo a 500radsec e scende di 20 dbdecade
Diagramma di Bode delle ampiezze
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
001 010 100 1000 10000 100000 1000000
pulsazione radsec
gu
adag
no
in d
b
