Esercizi svolti con i limiti -...
Transcript of Esercizi svolti con i limiti -...
1/13/17 1
Esercizi svolti con i limiti
Limiti immediati
prerequisiti: • Regole di calcolo con infinito, zero ,
funzione esponenziale e logaritmica. • Intorno destro e sinistro di un numero
Limiti: principali regole di calcolo
0N= 0
∞
N= ∞
+∞ + 5 = +∞−∞ + 7 = −∞−∞−∞ = −∞
+∞ +∞ = +∞
+∞( )⋅ +7( )= +∞+∞( )⋅ −5( )= −∞−∞( )2 = +∞−∞( )3 = −∞
e−∞ = 0+
e+∞ = +∞N∞→ 0
N0→∞ATTENZIONE Quando il denominatore tende ad infinito
l’intera frazione tende a ZERO
Quando il denominatore tende a zero l’intera frazione tende ad INFINITO
ln0+ = −∞ln +∞( )= +∞
Funz. ESPONENZIALE con BASE a>1 o BASE=e
Funz. LOGARITMICA con BASE a>1 o BASE=e
y=ln(x)
operazioni con infinito e zero
y=ex
2
4- significa intorno sinistro di 4: valori immediatamente a sinistra
[…; 3,7 ; 3,8 ; 3,9 ] consiglio di pensare a 3,9
INTORNO sinistro N- e destro N
+ di un numero N
es1: intorno di 4 devo immaginare il numero sulla retta numerica
44+ 4-
significa intorno destro di 4: [ 4,1 ; 4,2 ; 4,3….…] consiglio di pensare a 4,1
devo immaginare il numero sulla retta numerica
-3-3-
significa intorno destro di -3: [ -2,9 ; -2,8 ; -2,7 …….] consiglio di pensare a -2,9
significa intorno sinistro di -3: [……-3,3 ; -3,2 ; -3,1 ] consiglio di pensare a -3,1
-3+ -2 -4
53
es2: intorno di -3
CALCOLO di LimitiIl calcolo di un limite si ottiene, per funzioni
continue, semplicemente sostituendo il valore a cui tende la x nella funzione f(x):
LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il risultato finito o infinito
LIMITE CON FORMA INDETERMINATA Se ottengo*: 0 / 0 +∞-∞ ∞ / ∞ in tal caso devo“ togliere” l’indeterminazione con opportuni procedimenti. (*queste sono le principali forme Indeterminate)
ora svolgerò alcuni LIMITI IMMEDIATI —> 4
limx→52x2 − 4x
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire 5 al posto della x Mi esprimo dicendo “ passo al limite”
= 2(5)2 − 4(5) = 50 − 20 = 30limx→52x2 − 4x = “ passo
al limite”
significato del limite: man mano che la x tende a 5 …………… la funzione ( l’ordinata)
tende a 30
Esercizio svolto 1
5
Esercizio svolto 2 limx→+∞
3− xa
calcola il seguente limite
Devo sostituire +infinito al posto della x “ passo al limite”
significato: man mano che la x tende a + infinito ……la funzione ( l’ordinata) tende a - infinito cioè diverge negativamente
limx→+∞
3− x =
= 3− (+∞) = 3−∞ = −∞
6
Esercizio svolto 3 limx→−∞
5x2 − xa
calcola il seguente limite
Devo sostituire - infinito al posto della x “ passo al limite”lim
x→−∞5x2 − x =
= 5(−∞)2 − (−∞) = 5(+∞)+∞ = +∞ +∞ = +∞
significato: man mano che la x tende a -infinito ………..la funzione ( l’ordinata) tende a + infinito cioè diverge positivamente
Esercizio svolto 4
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire 0 al posto della x “ passo al limite”
Quindi: man mano che la x tende a 0 ……
la funzione ( l’ordinata) tende a “0- meno” cioè da sinistra (dai numeri negativi )
limx→0
2x2
x − 3=
limx→0
2x2
x − 3=
= 2(0)2
0 − 3= 0
+
−3= 0−
ricorda
la REGOLA : zero
diviso un numero —>
zero
Esercizio svolto 5
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire -infinito al posto della x
“ passo al limite”
Quindi: man mano che la x tende a -infinito………
la funzione ( l’ordinata) tende a +infinito cioè diverge positivamente
limx→−∞
x2 + 72
=
limx→−∞
x2 + 72
=
= (−∞)2 + 72
= +∞ + 72
= +∞2
= +∞
ricorda
la REGOLA : infinito
diviso un numero—>
infinito
Esercizio svolto 6limx→0
4 + x7x2
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire 0 al posto della x “ passo al limite”
Quindi: man mano che la x tende a 0 ………
limx→0
4 + x7x2
=
=4 + 07(0)2
=40+
= +∞
la funzione ( l’ordinata) tende a +infinito cioè diverge positivamente
ricorda
la REGOLA : un numero
diviso zero —> infinito
Il denominatore tende a O positivo !!!
Esercizio svolto 7
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire +infinito al posto della x “ passo al limite”
Quindi: man mano che la x tende a +infinito……
la funzione ( l’ordinata) tende a “0 più” cioè da destra (dai numeri positivi )
limx→+∞
8x − 3
=
limx→+∞
8x − 3
=
= 8+∞− 3
= 8+∞
= 0+
ricorda
la REGOLA : un numero
diviso infinito —> zero
11
Esercizio svolto 8
a
calcola il seguente limite
Devo sostituire +4 al posto della x
“ passo al limite”
limx→4
8 − 5x(x − 4)2
=
= 8 − 5x(x − 4)2
= 8 − 5(4)(4 − 4)2
= −70+ = −∞
limx→4
8 − 5x(x − 4)2
=
Quindi: man mano che la x tende a +4………………… la funzione ( l’ordinata)
tende a - infinito cioè diverge negativamente 12
a
calcola il seguente limite
inizialmente sostituisco 5 al posto della x “ passo al limite”
limx→5+
x − 30x − 5
limx→5+
x − 30x − 5
=
= 5 − 305 − 5
= −150
= ∞
scrivo infinito senza segno:
ora immagino di sostituire 5+(≃5,1) nella x al denominatore 5,1-5 —>viene positivo —>scrivero’
= −150
= ∞+ - ottenendo il segno del risultato
Esercizio svolto 9 con intorni
a
calcola il seguente limite
inizialmente sostituisco 2 al posto della x “ passo al limite”
limx→2−
7x +10x − 2scrivo infinito senza segno:
ora immagino di sostituire 2- (≃1,9) nella x al denominatore 1,9-2 —>viene negativo —>scrivero’
= +240
= ∞- ottenendo il segno del risultato
Esercizio svolto 10 con intorni
limx→2−
7x +10x − 2
=
= 7(2)+102 − 2
= 240
= ∞
-
a
calcola il seguente limite
prima sostituisco -3 al posto della x “ passo al limite”
limx→−3+
x2 + 7x + 3
scrivo infinito senza segno
ora immagino di sostituire -3+(≃-2,9) nella x al denominatore -2,9+3—>viene negativo —>scrivero’
= +160
= ∞- -
Esercizio svolto 11con intorni
limx→−3+
x2 + 7x + 3
=
= (−3)2 + 7
−3+ 3= +160
= ∞
ottenendo il segno del risultato
a
calcola il seguente limite
“ passo al limite”
limx→−∞
5ex
=Esercizio svolto 12 con funzione esponenziale
limx→−∞
5ex
= = +5e−∞
=
+50+ = +∞
ricordo che e≃2,7…è il numero di Nepero
a
calcola il seguente limite
“ passo al limite”
limx→+∞
42ex + x
=Esercizio svolto 13 con funzione esponenziale
limx→+∞
42ex + x
= = 42e+∞ +∞
=
= 42(+∞)+∞
= 4+∞ +∞
= 4+∞
= 0+
a
calcola il seguente limite
“ passo al limite” = ln(0
+ )− 3(0) =
= −∞− 0 == −∞
Esercizio svolto 14con funzione logaritmica
limx→0+
ln(x)− 3x =
limx→0+
ln(x)− 3x
*ricordo che ln(x) rappresenta
il logaritmo naturale in base
e≃2,7 (numero di Nepero)
a
calcola il seguente limite
“ passo al limite”
Esercizio svolto 15 con funzione logaritmicalimx→+∞
45 ln(x)
=
limx→+∞
45 ln(x)
= = 45 ln(+∞)
=
= 45(+∞)
=
= 4+∞
= 0+