Escuela Superior de Formación de Maestros

“Ángel Mendoza Justiniano”

Docente: Cintia Gutierrez Lazarte

MatemáticaTema: Progresiones

Geométricas

Índice• Concepto• Ejemplos• Fórmula General• Suma de los primeros n términos de una progresión

geométrica• Suma de términos infinitos de una progresión geométrica• Suma de los

términos de una progresión geométrica decreciente• Interpolación de términos en una progresión geométrica• Producto de dos términos equidistantes• Producto de n términos equidistantes de una progresión g

eométrica

ConceptoUna progresión geométrica es una sucesión en la que cada

término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, denominada razón o factor de la progresión.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3,porque:

15 = 5 × 345 = 15 × 3135 = 45 × 3405 = 135 × 3

Y así sucesivamente.

Ejemplos• La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón

vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero.

Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.• La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la

progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7

• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Fórmula General

an =a1 · r n – 1

Donde:

a1 = Primer término

an =Último término

r = Razónn= Número de términos

Suma de los primeros n términos de una

progresión geométricaSe denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos

de una progresión geométrica:Sn = a1 + a2 +... + an-1 + an

    

Cuya fórmula es:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Suma de términos infinitos de una progresión

geométricaSi el valor absoluto de la razón es menor que la

unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, tiende hacia 0, de modo que:

Suma de los términos de una progresión geométrica

decrecienteCalcular la suma de los términos de la

progresión geométrica decreciente ilimitada:

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Interpolación de términos en una progresión

geométricaInterpolar medios geométricos o proporcionales

entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una

progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...