Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico Capítulo 01 Introdução a...
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Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico
Capítulo 01
Introdução a Probabilidade
Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
http://epoli.pbworks.com/
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Bibliografia
Bibliografia :
• Spiegel, M. Probabilidade e Estatística. Mc Graw Hill,1993.
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Experimentos Aleatórios
Experimentos que mesmo sendo realizados inúmeras vezes sob condições idênticas não apresentam o mesmo resultado.
Exemplos: Ao se jogar uma moeda { Cara, Coroa } ou dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Espaços amostrais
Conjunto de todos resultados possíveis de um experimento.
Cada resultado é chamado de ponto amostral. O espaço amostral pode ser representado
graficamente como abaixo.
Os pontos representam as possibilidades ao se jogar uma moeda duas vezes.Sendo 0 equivalente a cara e 1 coroa.
(0,0) (1,0)
(0,1) (1,1)
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Eventos
Evento é um subconjunto do espaço amostral. Consiste em um elemento do espaço.
Pode se chamar evento simples ou evento elementar quando consiste em um único ponto do espaço.
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Conceito de Probabilidade
A chance de um evento ocorrer ou não pode ser medida, calculada. Geralmente um numero entre 0 e 1 e atribuído, sendo respectivamente a certeza que não ocorrerá e a certeza de que ocorrerá.
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Conceito de Probabilidade
Existem 2 formas de se obter tal estimativa:
Processo clássico: se divide o número (h) de maneiras diferentes em que o evento pode ocorrer pelas (n) maneiras possíveis, todas igualmente prováveis.
Processo da freqüência: após um número grande de repetições (n), se observa que ocorreram (h) eventos desejados.
Para os dois casos a probabilidade e ( ). n
hP
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Axiomas da probabilidade
Para cada evento A associamos um número real P(A) que é a função de probabilidade do evento, desde que sejam obedecidos os seguintes axiomas:
Axioma 1 – Para todo evento: P(A) ≥ 0
Axioma 2 – Para o evento certo S : P(S) = 1
Axioma 3 – Para um número qualquer de eventos mutuamente exclusivos:
)P(A)P(A )(A P )P(A )A A A P(A n321n321
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Alguns teoremas importantes
Teorema 1: , então
Teorema 2:Para todo evento 0 ≤ P(A) ≤ 1
Teorema 3:P( ) = 0, evento impossível tem probabilidade 0.
21 AA
P(A2) P(A1)
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Alguns teoremas importantes
Teorema 4: Se A' e complemento de A então:
Teorema 5: Se são eventos mutuamente excludentes, então:
n 21n21 A , ,A ,A e A A A A
P(A) -1 )P(A'
)P(A...)P(A)P(A P(A) n21
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Alguns teoremas importantes
Teorema 6: Sendo A e B dois eventos quaisquer, então:
Teorema 7: Para dois eventos A e B quaisquer:
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B')
B)P(A– P(B) P(A) B)P(A
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Alguns teoremas importantes
Teorema 8: Se A deve resultar em um dos eventos excludentes A1, A2, … An , então:
P(A) = P(A ∩ A1) + P(A ∩ A2)+... + P(A ∩ An)
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Atribuições de Probabilidade
Dado um espaço amostral composto por tais eventos elementares A1, A2, ..., An. Então P(A1 ) + P(A2) +... +P(An) = 1
Se admitirmos probabilidade igual para todos os eventos podemos representar da seguinte forma: P(Ak) = 1 / n , k = (1, 2,..., n)
Se A for formado por h desses eventos, então:P(A) = h/n
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Probabilidade Condicional
• Considerando A e B serem dois eventos tal que P(A) > 0.
• Denote P(B | A) ser a probabilidade da ocorrência de B, na hipótese de A ter ocorrido.
• Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço amostral. O que leva à definição:
P(A)
B)P(A A) | P(B
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Teoremas Sobre Probabilidade Condicional
• Teorema 1:Para três eventos quaisquer A1, A2, A3:
P(A1∩A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3| A1 ∩A2)
• Teorema 2:Se um experimento A deve ter como resultado
um dos eventos mutuamente excludentes A1, A2, ..., An então:
P(A) = P(A1)P(A | A1)+P(A2)P(A | A2)+...+P(An)P(A | An)
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Eventos Independentes
• Se a probabilidade de ocorrência de B não é afetada pela ocorrência de A, dizemos que A e B são eventos independentes
P(B)P(A) B)P(A
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Teorema (ou regra) de Bayes
• Sejam A1, A2, ... An eventos mutuamente excludentes, onde um dos eventos deve ocorrer. Então, se A é um evento, temos:
)A|)P(AP(A
)A|)P(AP(A A)|P(A
jj
kkk
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Análise Combinatória
• Método de contagem usado para calcular o número de possibilidades existentes em problemas de grande espaço amostral.
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Princípio fundamental da contagem
• Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
k k k k T n321
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Arranjos Simples (Permutações)
• Arranjos simples são agrupamentos de elementos distintos, que a ordem faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:
– Como no exemplo a ordem r = n ( 0! = 1)– Logo:
{ 312, 321, 132, 123, 213, 231 }
r)!– (n
n! Prn
6 3)!– (3
3! P33
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Combinação simples
• Quando a ordem não importa, mas cada elemento pode ser contado apenas uma vez (Exemplo: 123 = 321 = 132 = 213 ...)
• O número de combinações costuma-se designar o coeficiente binomial pelo fato de aparecerem no desenvolvimento binomial
r)!-(n r!
n! C
r
nrn
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Coeficientes Binomias
Os números da formula de cominações são frequentemente chamados de coeficientes binomiais porque eles surgem na expansão binomial
nnnnn yn
nyx
nyx
nxyx
211
21)(
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Aproximação de Stirling para n!
• Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:
nnennn 2!