ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA …
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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.usp.br/sisea
PPMMEE –– 33336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr
Prof. Dr. José R Simões Moreira
2o semestre/2016 versão 1.5
primeira versão: 2005
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.
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Prof. José R. Simões Moreira Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644
Breve Biografia
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima segunda edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e “Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2016) e autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”? Para satisfazer à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica. A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de
conversão de uma forma de energia em outra”) Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT
inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: Termodinâmica: TmcUQT - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médio – APENAS ISTO!
frasco
ambientef TT Gf TT
t
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Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto tempo t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um meio fluido.
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor
TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho
e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:
c
e
w
qCOP
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.
cw
cq
eq
compressor válvula
condensador
evaporador
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Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.
(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)
dx
dTAq
x
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq
T : temperatura
2T1T . .
x
sólido
xq
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A constante de proporcionalidade é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:
dx
dTkAqx
As unidades no SI das grandezas envolvidas são:
[x
q ] = W ,
[ A ] = 2m , [T ] = K ou Co , [ x ] = m .
assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm
Wo
ou Km
W
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto. Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT
T2
T1
T
x
T
xx1 x2
0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)
Além disso, do esquema; 00
0
x
T
x
T, daí tem-se que o gradiente também será
positivo, isto é:
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0dx
dT mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), concluí-se que,
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0xq
Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)
De forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)
(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)
)( TTAq S
Onde a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:
dx
dTkAq
x
)( TThAq S
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onde: A : Área de troca de calor;
ST : Temperatura da superfície;
T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica
(para um corpo negro) constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4)
Corpos reais (cinzentos) 4ATq , onde é a emissividade da superfície que é sempre menor que a unidade.
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.
4ATq
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR
CONDUÇÃO DE CALOR
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:
x
Tkq
, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a
condutividade térmica do material.
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:
x
TA
qk
m
Cm
Wk
o2
Cm
Wk
o ou
Km
W
.
Sendo:
k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma
experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de
apêndice do livro-texto.
Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k
isolante
x
A
Resistência
elétrica
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
i
Pontos de medição de
temperatura
q
A
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica
enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido
dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de
temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de
temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil
temperatura de é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor
fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq 2 . Sendo a
seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade
térmica do material da haste, k. Neste caso,
x
TA
qk
.
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.
Gases
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica
flui. Pode-se mostrar que.
Tk
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.
Líquidos
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos
líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais
complexa devido à menor mobilidade das moléculas.
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Sólidos
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.
O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de
gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS
Balanço de energia em um
volume de controle elementar
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de
calor que calor de variação calor que
entra no + gerada = da energia + deixa o
V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.
(I) (II) (III) (IV)
Sejam os termos:
(I) Fluxo de calor que entra no V.C.
Direção x
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx
-
Direção y
y
Tdzdxkq yy
y
Tdzdxkq yy Direção z y
Tdydxkq zz
(II) Taxa de calor gerado
dz q '''
G dydxEG
onde: '''
gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW
(III) Taxa temporal de variação da energia interna
t
Tcdzdydx
t
um
t
UEar
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:
Direção x: xdx
qqq xxdxx )(0 2dxdx
x
qqq x
xdxx
Direção y:
dy
y
qqq
y
ydyy
z
Tdydxkq zz
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Direção z:
dzz
qqq z
zdzz
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:
dzz
qqdy
y
qqdx
x
t
Tcdxdydzdxdydzqqqq z
z
y
y
x
xGzyx
'''
+ ordem superior
simplificando os termos zyx qqq e , , vem:
, ''' dzz
qdy
y
qdx
x
q
t
Tcdxdydzdxdydzq zyx
G
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,
dxdydzkz
dxdydzky
dxdydzkxt
Tcdxdydzdxdydzq zyxG
z
T
y
T
x
T '''
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica
para a mesma, porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de
contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da
geometria do problema, do tipo (regime permanente) que perfazem as condições de
contorno e inicial. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT . A
seguir são apresentados alguns casos básicos.
Casos:
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)
kkkk zyx
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T'''
g
T
1
2
2
2
2
2
2
2
onde,
t
T
z
T
y
T
x
T "'
cqkz
ky
kx
Gzyx
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=c
k
é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é:
s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:
onde:
2
2
2
2
2
22
zyx
é o operador matemático chamado de Laplaciano no
sistema cartesiano de coordenadas.
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,
embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a
formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado.
Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o
Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrrr
rr
- Esférico: 2
2
222
2
2
2 sen
1 sen
sen
11
rrr
rrr
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq
(Eq. de Fourier)
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0
t
T
(Eq. de Poisson)
D) Regime permanente e k constante e uniforme
(Eq. de Laplace)
t
T
k
qT G
1
'''
2
12
t
TT
0'''
2 k
qT G
02 T
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado
na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a
uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da
parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2.
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida
na aula anterior, isto é:
t
T
k
qT G
1
'''
2
Introduzindo as simplificações do problema, vem:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional (1D): 1
2
22
x
Assim, com essas condições, vem que 02
2
x
Td, e a solução procurada é do tipo T(x).
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx
dT
Logo, substituindo na equação, vem que 0dx
d
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Integrando por separação de variáveis vem:
1Cd , ou seja: 1C
Mas, como foi definido dx
dT 1C
dx
dT
Integrando a equação mais uma vez, vem:
21)( CxCxT Que é a equação de uma reta, como já antecipado.
Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos
matemáticos isso quer dizer que
(A) em x = 0 1TT
(B) e em x = L 2TT
De (A): 12 TC
e de (B): 112 TLCT L
TTC 12
1
Assim,
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.
Cálculo do fluxo de calor transferido através da
parede
.
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:
dx
dTkq
e, substituindo a distribuição de temperaturas,
vem:
L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12
112
, ou,
em termos de fluxo de calor por unidade de área,
temos: mW 212''
L
TTk
Esquecendo o sinal de (-), vem
112 )()( TL
xTTxT
L
Tkq
''
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”: . Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L
Ou diminuir o fluxo de calor q”: . Com o uso de material isolante térmico k
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua
aplicação é para tubos cilíndricos.
A equação geral é da forma t
T
k
qT G
1
'''
2
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:
t
T
k
q
z
TT
rr
Tr
rr
G
111 '''
2
2
2
2
2
Introduzindo as simplificações:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou
seja, T não depende de z, logo 02
2
z
T
iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2
T
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:
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19
0
dr
dTr
dr
d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:
ee TTrr
Solução:
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:
10 Cdrdrdr
dTrd 1C
dr
dTr
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:
21 Cr
drCdT
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não
linear como no caso da parede plana.
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno:
(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii
(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee
Fazendo-se (A) – (B), temos que e
i1
r
rln CTT ei , ou
e
i1
r
rln
ei TTC
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:
Distribuição de temperatura, supondo ei TT .
21 )ln( CrCrT
e
ei TTT
rT
e
e
i r
rln
r
rln
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
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20
Te
Ti
re ri raio
Lei logarítmica T
O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da
seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo.
rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,
21 )ln()( CrCrT , vem:
])ln([2 21 CrCdr
drLkq
ou, efetuando a derivação, temos:
r
kLrCq1
2 1
ou, ainda: 12 kLCq
Substituindo, 1C :
e
i
r
rln
2 ie TTkLq
(W)
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial
e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
ln
)(
2
2''
e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)('' 2
mW
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21
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:
- parede 1: 1
211
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
1
121
- parede 2: 2
322
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
2
232
- parede 3: 3
433
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
3
343
Assim, somando os termos _____________
de todas as paredes: Ak
LqTT
i
i 41
ou, simplesmente,
R
Tq
Onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
resistência térmica da parede composta, dada por Ak
LR
i
i
ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
qi TU
TÉRMICOÔHMICORR
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22
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
total
R
Tq
5//1 RRRRT
com
432//
1111
RRRR
Resistência térmica de contato Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, ��," , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode estar presente.
q
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23
A resistência térmica de contato é dada por ��," = � − ���"
Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do Incropera, reproduzida a seguir.
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)
2RIP (W) Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)
R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
UIP ou R
UP
2
Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,
V
PqG '''
(W/m3), onde V : volume onde o
calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0''' Gq .
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc...
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24
Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Lb
T1
T2
2L
2b
i
Equação geral
t
T
k
qT G
1'''
2 , sendo que 0
t
T (regime permanente)
0'''
2 k
qT G )(xTT
Condições de contorno: (1) Lx 1TT (2) Lx 2TT
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx
dT ,
Então k
q
dx
d G'''
Integrando essa equação por partes, vem:
1
'''
Cdxk
qd G , mas como
1
'''
então , Cxk
q
dx
dT
dx
dT G
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25
Integrando novamente: Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.
Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno
(1) 21
2'''
1 2CLC
k
LqT G - temperatura da face esquerda conhecida
(2) 21
2'''
2 2CLC
k
LqT G - temperatura da face direita conhecida
Somando (1)+(2), vem:
2
2'''
21 2Ck
LqTT G
k
LqTTC G
22
2'''21
2
.
Substituindo em (1) ou (2), tem-se L
TTC
212
1
Então, a distribuição final de temperaturas é:
CASOS: (A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:
21
2'''
2)( CxC
k
xqxT G
22)(
2
)()( 21
12
22''' TT
L
xTT
k
xLqxT G
SG T
k
xLqxT
2
)()(
22'''
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26
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx
dT
S
GCMÁX
Tk
LqTT
2
2'''
O fluxo de calor (lei de Fourier)
dx
dTkAq ou, o fluxo de calor por unidade de área,
dx
dTk
A
qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
S
'''G'' T
k
)xL(q
dx
dkq
2
22,
ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo,
21 TT , como ilustrado abaixo a seguir.
'''''Gxqq
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27
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :
0máxxdx
dTk ou
022
)()(2
2112
22'''
TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em:
02
)( 12'''
L
TTx
k
qmáx
G
Cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não
sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?
'''12
2
)(
G
máxLq
kTTx
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28
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE
GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:
t
T
k
qT
'''G
12
(Regime permanente)
Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
2
2
2
2
22 11
z
TT
rr
Tr
rrT
Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2
(não há influência da posição angular numa seção
transversal, pois há simetria radial)
- o tubo é muito longo: 02
2
z
(não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdrk
q
dr
dTrd G
, ou, ainda: 1
2'''
2C
k
rq
dr
dTr G
Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1'''
2Cdr
r
Cr
k
qdT G
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
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29
*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 00
rdr
dT simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
02
lim 1'''
0
r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
2'''
4C
k
rqT G
S ou, k
rqTC G
S 4
20
'''
2
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, SG
máx Tk
rqT
4
20
'''
SG Trrk
qT 22
0
'''
4
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30
EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.
Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 01 '''
k
q
dr
dTr
dr
d
r
G
Condições de contorno: (1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)
(2) 0erdr
dT (fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
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31
i
ie
ieG Tr
r
r
rr
k
rqrT
ln2
4)(
2
222'''
k
rqC eG
2
2'''
1 ;
)ln(2
4
22'''
2 i
e
ieGi r
r
r
k
rqTC
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dTkAq
)()2( rTdr
drLkq
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
22'''ieG rrq
L
q (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT
i
i
e
e
eieG
emáx Tr
r
r
rr
k
rqTT
ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C
o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW
o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22
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32
CTo
c 267
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
URiP
22 ;
A
LR
m 81070
mL 3,0 , 26232
100425,84
)102,3(
4m
DA
2
6
8
106111,2100425,8
3,01070R
kWP 830,3106111,2
1002
3,0100425,8
1083,31083,36
33
LAV
PqG
3910587,1
m
WqG
hA
PTTTThAP PP )(
3,0)102,3(1010
1083,395 33
3
PT
CTo
P 222
k
rqTT oG
Pc 4
2
5,224
)106,1(10587,1222
239
cT
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33
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TTq 21
kA
LR
- circuito elétrico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR
5//1 RRRREQ
EQR
TTq 21
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34
- Tubo cilíndrico
R
TTq ei ;
kL
rr
Ri
e
2
ln
- Tubo cilíndrico composto
- Circuito elétrico
ieq RR
Para dois tubos:
Lk
r
r
R1
1
2
1 2
ln
Lk
r
r
R2
2
3
2 2
ln
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
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35
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)( TThAq p e
hA
TTq
p
1
onde, hA
1 é a resistência térmica de convecção
- Circuito elétrico
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico
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36
Tabela-resumo de Resistências Térmicas
Circuito Elétrico
Fluxo de
Transferência
de calor
Resistências Térmicas
Parede plana
R
TTq 21
kA
LR
Parede plana com convecção
R
TTq 21
321 RRRR
AhkA
L
AhR
21
11
Paredes compostas
EQR
TTq 21
5//1 RRRREQ
432//
1111
RRRR
Tubo cilíndrico
R
TTq ei
kL
rr
Ri
e
2
ln
Tubo cilíndrico composto
EQ
ei
R
TTq
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
Convecção em tubo cilíndrico
EQ
ei
R
TTq
hAkL
rr
Ri
e
eq
1
2
ln
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37
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq
Claramente, U está associado com a resistência térmica,
- parede plana
AhkA
L
AhR
21
11
TUAR
Tq
RUA
1 ou
RAU
1
Logo,
21
111
hk
L
h
U
- tubo cilíndrico
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU
Logo, iiee AUAU
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38
U referido à área externa:
e
rr
e
e
hkL
AU
i
e 1
2
ln1
U referido à área interna:
ee
irr
i
i
hA
A
kL
AU
i
e
2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio
ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em
custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e
simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
Como visto, o fluxo de calor é
hLrkL
TTq
e
rr
i
i
e
2
1
2
ln
ou, hrk
TTLq
e
rr
i
i
e 1ln
)(2
Note que o raio externo que aparece no
denominador dessa expressão tem duas
contribuições: uma no termo de condução e a
outra no termo de convecção. De forma que, se
o raio externo do isolamento aumentar, ele
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência
térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um
ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre
quando a derivada é nula, isto é,
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39
h
krcrit
2.
1
.
12
1ln
)(20
erhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
rr
i
ei
e
Assim,
2
11
ee hrkr
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h
k a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h = Cm
Wo27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos
de isolamento para alguns isolantes térmicos.
material
CmW
ok critr (mm)
Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7
Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9
Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9
Folhas de papel e alumínio de
vidro laminado 0,000017 0,0024
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 40
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AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS
Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por
TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o
fluxo de calor trocado, como dado pela expressão de Newton. Porém, há um preço a
pagar e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte
para movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas
abaixo.
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo
aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 41
____________________________
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Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas:
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do
“velho” fusca e motores de motocicletas;
(2) carcaça de motores elétricos;
(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado;
(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de cpus de computadores;
(5) orelhas de elefantes.
TIPOS DE ALETAS
A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a)
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico
truncado; (i) pino parabólico.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 42
____________________________
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EQUAÇÃO GERAL DA ALETA
Volume de controle
elementar, C
Hipóteses:
- regime permanente;
- temperatura uniforme na seção transversal;
- propriedades constantes.
Balanço de energia
convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
(I) dx
dTkAq xx
(II) )( 2dxodxdx
dqqq x
xdxx expansão em serie de Taylor
(III) )TT(hAq Lc
)( TThPdxqc
P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da
aleta que se encontra em contato com o fluido.
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:
dxTThPdxdxdx
dqqq x
xx )(
0)( TThPdx
dqx
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:
0)(
TThPdx
dTA
dx
dk
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 43
____________________________
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mxmx ececx 21)(
Sendo dTdTT
0
k
hP
dx
dA
dx
d Esta é a equação geral da Aleta
)(x que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta;
)(xAA que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida).
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção
transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem:
02
2
2
md
d,
kA
hPm 2
A solução é do tipo: ,
Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e
distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo.
Determinação das constantes 1c e
2c vêm das condições de contorno:
a1 Condição de Contorno
TT
TTxpara
bb
b
)0(
)0(0
0
2
0
1
ececb
bcc 21
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LEMBRETE DE CÁLCULO
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes
02
2
cydx
dyb
dx
yd
Assume-se que nxey
Substituindo essa solução, vem
nxnxnx cebmeem 2
nxe
Daí, obtém-se o polinômio característico
02 cbnn
Caso 1: 1n e
2n reais e distintos
xnxn
ececy 21
21
Caso 2: 1n e
2n reais iguais
xnxn
xececy 11
21
Caso 3: conjugados complexos
qipn 1 ; qipn 2
)]()cos([ 21 qxsencqxcey px
Onde, 2
bp ;
2
4 2bcq
A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:
(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua
extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de
vista matemático uma aleta muito longa pode ser
simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, isto é:
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x
kA
hP
b
mx
b ex
ex )(
)(
0 ouTTx
Assim,
b
mxmx
xccecec 2121 0lim0
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:
Ou, substituindo a definição de , vem:
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode
ser calculado por dois métodos:
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)
(2) dxTThPqaleta )(0
(o fluxo de calor total transferido é a integral do
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)
Usando o método (1), vem:
00
x
b
x
baletadx
dkA
dx
dTkAq
Mas, cteAAb
0
)(
x
mx
b
mx
baleta emkAedx
dkAq
kA
hPkAq baleta
hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta
x
kA
hP
bb
eTT
T)x(T)x(
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mLmL
mL
bee
ec 1
Pelo outro método (2):
dxhPqaleta
0
; cteP
dxehPq mx
baleta 0
bbmb
mx
bmx
baleta hPkAm
hPe
m
hP
m
ehPdxehPq
1limlimlim
00
ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática
(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na
extremidade da aleta é muito pequena. Portanto,
admite-se que é adiabático:
LxLx dx
d
dx
dT
0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx
d
De onde, se obtém, mLmL
mL
b
ee
ec
2
Mas como bcc 21 , então:
Logo, substituindo na equação, vem:
mx
c
mLmL
mLmx
c
mLmL
mL
b
eee
ee
ee
e
21
Ou
2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee
ou
mLcosh
)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb
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)mL(senh
mkhmLcosh
)xL(msenhmk
h)xL(mcosh
T)x(T
T)x(T)x(
bb
)mL(senh
mkh)mLcosh(
)mL(conhmk
h)mL(senh)TT(hPkAq b
Lembrete de funções hiperbólicas:
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senhx
2
xx ee
xcosh
xcosh
2
xx ee
senhx
tghx
x
senhx
cosh
xh2sec
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O mesmo resultado do caso anterior
00 cosh
)(cosh
x
b
x
aletamL
mxL
dx
dkA
dx
dkAq
)()cosh(
)(m
mL
mLsenhkA b
)(mLtghmkA b
)(mLtghhPkAq b
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade
Caso realista.
Condição de contorno na extremidade:
em
)( TThdx
dTkLx L
Lx
condução na extremidade = convecção
Distribuição de temperaturas
Fluxo de calor
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Tabela Resumo. Distribuição de temperaturas e perda de calor em aletas de seção
transversal uniforme.
Caso
Condição de
contorno na
extremidade � = �
Distribuição de Temperatura
Fluxo de Calor
a
Aleta muito
longa
x
kA
hP
bb
eTT
TxTx )()(
)TT(hPkAq baleta
b
Extremidade
adiabática
mL
xLm
TxT
TxTx
bb cosh
)(cosh
)(
)()(
)mL(tghhPkA)TT(q b
c
Convecção na
extremidade
(caso real)
)(cosh
)()(cosh
)(
)()(
mLsenhmk
hmL
xLmsenhmk
hxLm
TxT
TxTx
bb
)()cosh(
)()()(
mLsenhmk
hmL
mLconhmk
hmLsenhTThPkAq b
� = √ℎ���
Comprimento Corrigido de Aleta
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.
b
t
L t/2
Lc=L+t/2
2/tLLc
L t/2
Lc
O erro introduzido por
essa aproximação será
menor que 8% desde que
5,0k
ht
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49
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Seções geométricas irregulares ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral da aleta. Porém, existe um método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por
idealcasobase.tempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaleta/potransmitidcalordefluxoA
q
qb
qb= cte
L
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:
c
c
bc
cbA
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(
qq , com
kA
hPm
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por
btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:
cc Lkt
hmL
2
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50
Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:
bahAq qmax ,
onde, Aa é a área total exposta da aleta e TTbbq
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:
baaA hAq q
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.
Na sequência deste texto há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e
alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.
Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 50 à frente.
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51
mt
LLmL
mt
c 0155,02
015,001,02
)5,25,5(
001,0
255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123
c25
PcP kAhLmtLA
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.
24,225,1
2/1,075,22/
1
2
1
2
r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA q Já que a área exposta da aleta,
vale, . 00394,02 221
22 mrrA ca
Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor
total transferido pelo tubo, se o mesmo for de 1 m de comprimento.
Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq
221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será
Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095
1750%
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.
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52
Ap – área de seção transversal de aleta
Tipo Aa área total exposta da aleta
b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura
Retangular cbL2
Triangular 2/122 )2/(2 LLb
Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb
Anular 2/121
222 rrb c
Fluxo de calor transmitido pela aleta:
baahAq qÁrea total da aleta
Eficiencia da aleta (f da figura)
TTbbq
base Aa é a área total exposta da
aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.
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53
Efetividade da Aleta
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de seleção de tipos
de aletas, já que uma tabela, gráfico ou equação fornece as eficiências das aletas e os
cálculos se dão a partir destes valores. Mas, é preciso continuar com a análise para
determinar se, de fato, haverá incremento ou não da transferência de calor com a
instalação de aletas. Claro que está informação é crucial para que o engenheiro decida
pela instalação de aletas. Para que se possa seguramente tomar uma decisão sobre a
vantagem ou não da instalação de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade
de aleta, . Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido através da aleta com o
fluxo de calor que o ocorreria caso ela não houvesse sido instalada. Lembrando que
caso a aleta não existisse, a transferência de calor em questão ocorreria através da área
da base da aleta, Ab. Assim, define-se a efetividade como sendo a razão entre o fluxo de
calor através da aleta pelo fluxo de calor através da base da aleta, ou seja:
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q
q
/
Ab, Tb
O fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, conforme
ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.
Para aleta retangular da extremidade adiabática
bb
cb
hA
mLtghhPkA
)(
Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA
mLtgh c
/
)(
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54
Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L
= 5 cm e r = 1 cm, é submetida à três condições de resfriamento, quais sejam:
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados: - k aço inox = 19 W/m K (obtido de uma tabela de propriedades de transporte) - Comprimento corrigido: Fórmula 2/rLLc
L= 5cm
Solução:
kPhA
mLtgh c
/
)( , com
hh
kr
h
rk
rh
kA
hPm 24,3
01,0.19
2222
e 2/01,005,024,3 hmLc , ou
seja: hmLc 178,0 .
No denominador tem-se: hh
k
hr
rk
rh
kP
hA0162,0
19.2
01,0.
22
2
.
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:
h
htgh
0162,0
)178,0(
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55
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1
1
50000162,0
)5000178,0(
tgh
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(
tgh
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0
510,0
100162,0
)10178,0(
tgh
Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No
caso A, por exemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já que ε<1.
Um critério básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso
de aletas.
Caso (A) 31,1kP
hA
Caso (B) 026,0kP
hA
Caso (C) 00262,0kP
hA
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor, que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade para cada caso.
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre k = 368 W/m K B – Aço inox k = 19 W/m K C – Alumínio k = 240 W/m K
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56
Solução:
kkkr
hm
4,141
01,0.
100.22 e, portanto,
kkmLc
76,72/01,005,0
4,141
No denominador, agora temos: kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
Substituindo ambos os resultados, obtém-se:
)/76,7(2 ktghk Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que tange a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais
como:
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;
(2) Tem custo relativamente baixo;
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do
equipamento;
(4) Tem excelente condutividade térmica.
Em algumas situações as aletas podem ser parte do projeto original do equipamento e
serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores
elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por exemplo. Nesse caso, as aletas são
feitas do mesmo material da carcaça do motor.
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AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO
Introdução
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas
condições de temperatura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiente de
temperatura diferente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio
térmico. Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais,
tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, entre outros.
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência
pessoal.
T0
1T
10 TT
Tempo t=0
2T
2T
T0
t
t
T(t)
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo pode não ocorrer de
forma uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma ilustrativa a
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas
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58
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da
difusão interna do calor é um pouco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simples. Casos mais
complexos podem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de hoje
é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos práticos. A
ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura uniforme a cada
instante. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado, objeto de análise na sequência.
2T
T0
t
Ts
T0
TC
2T
T
T0
Sistema
Concentrado
TC
Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante t, o sistema tenha uma só temperatura uniforme T(t).
Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua resistência interna à
condução desprezível face à resistência externa à troca de calor externa que, geralmente se
dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um
corpo a uma temperatura inicial T0 e que, subitamente, é exposto a um ambiente de
temperatura T∞, de forma a que ocorra transferência de calor convectiva.
T0
T
q convecção
TS
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59
O balanço de energia fornece o seguinte esquema
Balança de energia
= Termo (I):
dt
dTc
dt
du
dt
dum
dt
dU
m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):
)( TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:
)( TThAdt
dTc
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0. Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:
dtc
hA
TT
dT
Por simplicidade, seja dTdTT , então:
Taxa temporal de variação de energia
interna do corpo (I)
Fluxo de calor Trocado por convecção
(II)
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60
dtc
hAd
, ou
t
t
dtc
hAd
00
, do que resulta em:
tc
hA
0
ln .
Finalmente,
tc
hA
e
0
ou t
c
hA
eTT
TT
0
Analogia Elétrica
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo
ocorrem em diversas sistemas físicos, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,
como ilustrado no esquema abaixo.
V
t
V0 C R
V0
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.
A solução desse circuito RC paralelo é
RC
t
eV
V
0
Note a Analogia
Elétrica Térmica Tensão, V TT
Capacitância, C c Resistência, R hA/1
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61
Circuito térmico equivalente V
t
T0
V0
c hA/1
T Constante de tempo do circuito elétrico,
RC
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápidamente o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de t é o instante em que a tensão do do capacitor atingiu o valor de e-1 ~ 0,368
368,011
0
eee
V
V
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico
abaixo que indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de 0,368V0.
V
t
V0
III
III
IV
1 2 3 4
0,368V0
Por analogia, a constante de tempo térmica será:
t
tt
c
hA
eeTT
TT
0 →
hA
ct
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62
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.
tt
TT
TT0
)(368,0 0 TT
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem
de dois fios unidos pelas suas extremidades que formam uma junção. Essa junção é exposta
ao ambiente que se deseja medir a temperatura. Suponha, de forma ilustrativa, um ambiente
que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado pela linha cheia no
esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de período em período (onda
quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível
o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note
que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente não “sente” as variações de
temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as
variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um motor de combustão
interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e combustão dos gases.
Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante térmica.
t
10 TT
TT
20 TT
tP 2tP 3tP
12 1
13
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63
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter
a seguinte forma
FoBie
TT
TT
0
Onde, Bi é o número de Biot, definido por k
hLBi , e Fo é o número de Fourier, definido
por 2L
tFo
(trata-se de um “tempo” adimensional). Sendo,
h = coeficiente transferência de calor por convecção;
= difusividade térmica;
k = condutividade térmica;
L = comprimento característico do corpo;
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência
externa à convecção.
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca
de calor.
expostaárea
corpodoolume
v
A
VL
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável
desde que:
1,0Bi
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,
c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é
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64
inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.
SOLUÇÃO
Comprimento característico: mD
A
VL
43
10167,16
107,0
6
Número de Biot: 34
10333,220
10167,1400
k
hLBi
Da expressão da temperatura, vem 76,320020025
2009,199ln
10333,2
1ln
13
0
TT
TT
BiFo
Dado que 610883,54008500
20
c
k
e
2L
tFo
, vem:
s
LFot 4,7
10883,5
10167,176,32006
242
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi . Um tempo de 7,4 s é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade? EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5 oC. Você acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minutos a fatia da mesma estará em temperaturas diferentes? Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades de
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65
transporte sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC. Solução: á��� = , �/�°
Cálculo do Nº de Biot � = ℎ , sendo = �
= , = , �
D= 0,3 m � = 0,0 ×0,02 =
Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua experiência?
D = 0,3 m
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66
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui
dimensões maiores e propriedades de transporte tais que a resistência interna à
condução não pode ser desprezada face à resistência externa à convecção (Bi > 0,1).
Soluções analíticas existem para casos em que uma das dimensões é predominante e
muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esquema abaixo
de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor (à esquerda) e sua dimensão
se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face exposta sofre
bruscas mudanças de condição de contorno, como se verá.
Condições de contorno
(A) Temperatura constante na face exposta:
TiT0
x
Solução: T(x, t)
Equação geral condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Por não haver geração interna de calor, vem que t
T
x
T
1
2
2
, a qual é submetida as
seguintes condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0),0( TtT
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de
temperaturas é dada por:
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67
t
xerf
TT
TT
i 20
0,
Onde, erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:
t
x
det
xerf
2
0
22
2
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.
Tabela B-2 do Incropera
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68
Fluxo de calor numa posição x e tempo t
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas
acima, na equação de Fourier, isto é:
t
x
iix dex
TTkAt
xerfTTT
xkA
x
TkAq
2
0
000
22)()
2()(
t
x
xe
TTkAt
x
i
2
)(240
2
, do que, finalmente, resulta em:
t
x
ix e
t
TTkAq
40
2
)(
(B) Fluxo de calor constante na face exposta:
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor
constante,
Tiq0qx
x
Partindo da equação da condução de calor t
T
x
T
1
2
2
, submetida às seguintes
condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0
0
qx
TkA
x
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69
A solução é:
t
xerf
kA
xq
kA
et
q
TT
t
x
i
21
20
4
0
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!
(C) Convecção de calor na face exposta
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face
exposta à esquerda.
Tiqx
x
T
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:
t
T
x
T
1
2
2
, a qual é submetida às seguintes condições:
- Condição inicial: T (x,o) = Ti
- Condição de contorno:
TtThAx
TkA
x
),0(0
(condução interna =
Convecção)
A solução é:
k
th
t
xerfe
t
xerf
TiT
TT k
th
k
hx
i
21
21
2
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!
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70
Outros casos de condução transitória de interesse
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler
Placas cuja espessura é
pequena em relação as outras
dimensões
Cilindros cujos diâmetros são
pequenos quando comparados
com o comprimento
Esferas
T0 Te
x
2L
T
T
Te r0
r0
rTe
T
TtrTouTtxT ),(),(
TTii
TT00
TTee
Número de Biot: k
hLBi
L – dimensão características (dada no gráfico)
Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por
22 cL
kt
L
tFo
Calor total trocado pelo corpo Qi
iii cTTcQ )(
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71
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt
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72
Exemplo:
Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de
425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,
T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa
e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.
Dados:
k = 43,2 W/mK
α = 1,19 x 10-5
m2/s
x
5 cm
h
Solução:
2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m
1,0289,02,43
025,0500
k
hLBi
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para
isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:
45,3289,0
11
Bi e 43,3
025,0
1801019,12
5
20
L
tF
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:
e 22745,0).65425(65 . Assim,
CT o2270 Na linha de centro após 3 mim
Do gráfico para uma posição qualquer x:
45,3/1 iB
5,005,0
0125,0/ Lx
95,00
95,0)65281(6595,0)( 0 TTTT
CT o2,270 p/ min3,5,0 tL
x
45,3165,0
11
iB
43,30 F
45,00 i
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AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL
Condução Bidimensional
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Também foram estudados os casos
transitórios em uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas reais são bi ou
tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de problemas de
condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser
resolvidos de forma numérica. Entretanto, neste curso introdutório é importante que o
estudante tenha uma visão das soluções analíticas existentes e, para isso, é resolvido um
problema clássico que é o método da separação das variáveis para uma placa retangular
bidimensional.
O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.
y
b
T2
T1
T1
T1
L
T(x,y)
x
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Hipóteses:
(1) Regime permanente (2) Sem geração interna de calor (3) Bidimensional
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 74
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As hipóteses resultam em: 02 T ou 02
2
2
2
y
T
x
T
Condições de contorno – temperaturas dos quatro lados
(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2
É conveniente realizar uma mudança de variáveis
12
1
TT
TT
Condições de contorno na nova variável θ são:
(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1
A variação elementar de temp. é dTT
dT
12
Então, 02
2
2
2
yx
Esta é a equação da condução na nova variável θ.
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas θ(x,y)
seja o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, isto é:
yYxXyx ),(
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:
Primeira derivada: dx
dXY
x
Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
XdY
x
Analogamente em relação à y:
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
YdX
y
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 75
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Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:
02
2
2
2
dy
YdX
dx
XdY
ou, dividindo-se pelo produto XY, vem:
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y
É digno de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da equação são
sempre iguais. Isto implica dizer que cada lado da equação não pode ser nem função de
x, nem de y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida.
De forma que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se
usa o símbolo 2 . Dessa forma, tem se:
22
21 dx
Xd
X e
22
21 dy
Yd
Y
Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações
diferenciais comuns ou ordinárias. As soluções dessas duas novas equações são bem
conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:
xsenCxCxX 21 cos , e
yy eCeCyY 43
De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:
yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,
A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim:
Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0
0.0.0.cos,0 4321 yy eCeCsenCCy
De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C
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Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0
432 .0 CCxsenC
de onde se obtém que 043 CC 43 CC
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0
)(.0 42yy eeCLsenC
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL
ou, seja L
n n = 1,2,3, .....
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. λ são os autovalores.
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:
)(
42 22,
L
ynsenh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
xnsenCCyx
n
ou, seja )()(,L
ynsenh
L
xnsenCyx nn
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.
L
ynsenh
L
xnsenCyx
n
n
1
,
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:
L
bnsenh
L
xnsenC
n
n
1
1
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A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das
funções ortogonais, revista abaixo.
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se
b
a
nm nmpdxxgxg /0)()( (dica: note que se parece com produto escalar de
vetores: o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo)
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L
xnsen e )cos(
L
xn em
Lx 0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:
1
)()(m
mm xgAxf
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:
1
)()()()(m
mmnn xgAxgxfxg
(2) Integra-se no intervalo de interesse:
dxxgAxgdxxfxgb
am
mmn
b
an
1
)()()()(
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja:
nmsedxxgxgb
anm 0)()(
Pode-se eliminar a somatória, então: dxxgAdxxfxgb
amm
b
am )()()( 2
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:
dxxg
dxxfxgA
b
am
b
am
m
)(
)()(
2
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Voltando ao problema, tem-se:
1
1n
nL
bnsenh
L
xnsenC
(A)
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que
,....2,1;)(
n
L
xnsenxg
ortogonalfuncão
n
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem
1
1
n
nL
xnsenA
Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima:
ndx
L
xnsen
dxL
xnsen
An
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0
Então,
11)1(2
1
1
n
n
L
xnsen
n
(B)
Comparando (A) com (B), vem:
1
1
1
1)1(2
n
n
n
nL
xnsen
nL
bnsenh
L
xnsenC
Então, da igualdade das séries:
,....3,2,1;
1)1(2 1
n
L
bnsenhn
Cn
n
De forma que a solução final do problema é:
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1
1 1)1(2),(
n
n
L
bnsenh
L
ynsenh
L
xnsen
nyx
É interessante ver o gráfico desta função
y
b
Lx
1
75.050.0
25.0
10.0
0
00
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:
ix
Tkqx
e jy
Tkq y
. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq e o
módulo do fluxo de calor será 22yx qqq em W/m2
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.
T2
T1
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 80
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T2
T1
SIMETRIA
SIMETRIA
(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.
T2
T1
PAREDES ADIBATICAS
(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.
T2
T1
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.
qX
DL
LINHAS DE FLUXO CTE.
(ADIABÁTICO)
(OU QUADRADO CURVILÍNEO)
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies
T
T
LINHA DE FLUXO CTE.
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 81
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DD
Dl
Tlkqi (1)
qi
DL
DL
O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.
N
TTT 12 D (2)
T1
T2
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)
N
TTkqi
)( 12 (3)
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)
)( 121
TTkN
Mqq
M
i
i
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:
)(5 12 TTkq
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________
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82
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINITAS
Como estudado na aula anterior, a solução da equação da condução de calor em
configurações bi e tridimensional é bastante complexa e, verdadeiramente, na maioria dos
casos práticos não existe nem solução analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos
numéricos de solução. Há uma grande variedade de métodos disponíveis na literatura, mas
vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das diferenças finitas.
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinada em pontos discretos ou
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado
no esquema abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo original em um meio discreto
formado por uma matriz de pontos com propriedades térmicas que “concentram” as
informações do meio contínuo original naqueles pontos. Considerando o esquema a seguir,
considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-1,n) à
esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A distância entre os pontos
nodais é x e y, nas duas direções principais.
m,n
x
ym,nm+1,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
y,n
x,m
Pontos Nodais
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83
A equação da condução de calor em RP, 2-D é dada por 02
2
2
2
y
T
x
T. Ela pode assim
ser assim discretizada:
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,1,
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face esquerda)
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,,1
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face direita)
Assim,
x
x
T
x
T
x
T nmnm
,
2
1,
2
1
2
2
(Segunda derivada na direção x – centro)
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnm
nm
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm
Assim, a equação original da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma
equação algébrica,
2
2
2
2
y
T
x
T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT , se Δx = Δy
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, 2-
D. Note que a temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas
da sua redondeza.
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84
O que acontece nas regiões de contorno do problema?
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a
superfície ou no contorno do meio.
m,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
Convecção
T
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão
)()(
2
)(
2
)(,
1,,1,,,1,
TTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk nm
nmnmnmnmnmnm
se Δx = Δy
0)2(2
12 1,1,,1,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.
Por exemplo, um canto superior à direita:
m,nm-1,n
m,n-1
Ty
x
x = y
0)(212 1,,1,
nmnmnm TTT
k
xh
k
xhT
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.
Tabela 4.2 do Incropera.
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85
Uma vez que as equações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se um
sistema de N equações por N incógnitas do tipo:
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86
NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa
...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
Ou, em notação simplificada matricial, vem:
][]].[[ CTA
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:
0...2211 nnmnmm cTaTaTa
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o seguinte procedimento de solução:
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;
3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura
do ponto nodal correspondente;
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o
método de eliminação gaussiana.
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Exemplo Resolvido
Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se
calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:
h = 200 W/m2 ºC
T = 20 ºC
k = 10 W/m ºC
x = y = 10 cm
5 6 7 6 5
3 4 3
1 2 1
20T C
100°C
100°C
100°C
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)
Solução:
Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:
04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT
Portanto,
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321
TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação
0)(2 ,1,
fixonmnm TTT
k
xh
k
xhT
nó 5: 0)100(2010
1,02002
10
1,020065
TT , ou
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01404 65 TT
Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:
022
12 ,1,11,,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
nó 6: 022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou
022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou ainda,
0402
14
2
17653 TTTT
nó 7: 0)22(2
1404 647 TTT , ou
0404 764 TTT
Em forma de Matriz temos:
40
40
140
0
100
100
200
41010002
14
2
10100
0140000
1004210
0101401
0001042
0000114
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT
7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1
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AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA
Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de
resfriamento de Newton, dada por:
)( TTAhq S onde, Ts, T∞ – temperaturas da superfície aquecida e do fluido ao longe; A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. Nota-se que a expressão para o cálculo da transferência de calor é consideravelmente
mais simples que a da condução. De forma que basta resolver uma equação algébrica
simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se conheça o valor de h,
enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação diferencial da condução
de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois, em geral, h é função
de um grande número de variáveis, tais como as propriedades de transporte do fluido
(viscosidade, densidade, condutividade térmica), velocidade do fluido, geometria de
contato, entre outras. Assim, pode-se afirmar de uma forma ampla que o problema
fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do valor de h
para o problema em análise. Nessa e nas demais aulas, serão apresentados expressões e
métodos de obtenção dessa grandeza para diversas condições de interesse prático. Mas,
antes, vamos apresentar os números adimensionais que controlam a transferência de
calor convectiva.
Análise Dimensional
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto é,
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar
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familiarizado são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, e os números de Biot
e de Fourier.
A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta
do problema em análise.
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas
MLtT, sendo:
Comprimento L Tempo t Massa M Temperatura T
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes
dimensões:
Força ML/t2 O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:
Condutividade térmica ML/t3T Calor ML2/t2 Velocidade L/t Densidade M/L3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L2/t2T Coeficiente De transmissão de calor M/t3T
Teorema dos Π ou de Buckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.
É dado por:
M = N – P
Onde,
M – número de grupos adimensionais independentes;
N – número de variáveis físicas dos problemas;
P – número de dimensões primárias;
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Sendo um adimensional genérico, pode-se escrever, então:
0),...,( 21 mF
Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões
primarias. Logo, M = 5-3 = 2, de onde se obtém:
0),( 21 F ou
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.
)( 21 f
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como
ilustrado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizarem experimentos com
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar o comportamento ou
dependência do adimensional 1. Com isso, reduz-se drasticamente o número de
experimentos. Caso contrário, seria necessário fazer experimentos envolvendo as 5
variáveis originais do problema.
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. Nesse caso, tem-se:
0),,( 321 F , ou ),( 321 f
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variar 2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.
2
tesconsdecurvas tan31
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Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura abaixo.
fluido
V
Tubo
aquecido
D
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L k Condutividade térmica do fluido ML/t3T V Velocidade do fluido L/t ρ Densidade do fluido M/L3 μ Viscosidade do fluido M/Lt CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T h Coef. de transferência de calor M/t3T Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) Seja um grupo adimensional genérico do tipo:
gf
p
edcba hcVKD
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
MLL
32
2
33
ou, após rearranjo, vem:
gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323 Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:
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93
0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de
valores
0
1
dc
g
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: a = 1 b = -1 e = f = 0 Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:
Nuk
Dh1
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores
0
1
0
f
a
g
(para não aparecer h)
A solução do sistema fornece: b = 0 c = d = 1 e = -1 De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de
Reynolds, dado por:
D
VDRe2
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(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores e = f =1 b = -1 Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de
Prandtl.
Pr3 k
cp
Então, há uma função do tipo
0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .
Isolando o número de Nusselt, vem:
),( PrReDfNu Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).
Vimos, então, que:
),( PrReDfNu
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar
com outros fluidos, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis.
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleoar
3<ReD<100
10
0,01
Re
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AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA
PLACA OU SUPERFICIE PLANA
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), que pode ser obtida de forma
experimental ou analítica em algumas poucas situações.
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser
obtida de forma analítica e exata para o caso do escoamento forçado sobre uma
superfície plana. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais que regem a
transferência de calor em regime laminar. Depois será indicada a solução dessas
equações. Para começar o estudo, considere o escoamento de um fluido sobre uma
superfície ou placa plana, conforme ilustrado a seguir. Admita que o fluido tenha um
perfil uniforme de velocidades (retangular) antes de atingir a placa. Quando o mesmo
atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai desacelerar as porções de fluido adjacentes
à placa, dando início a uma camada limite laminar, cuja espessura cresce à medida que
o fluido escoa ao longo da superfície. Note que esta camada limite laminar vai crescer
continuamente até que instabilidades vão induzir a uma transição de regime para dar
início ao regime turbulento, se a placa for comprida o suficiente. Admite-se que a
transição do regime de escoamento laminar para turbulento ocorra para a seguinte
condição 5105Re
xu
xtransição (às vezes também se usa 3 105), onde x é a
distância a partir do início da placa (borda de ataque).
y
u
laminar
xTransição Turbulento
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No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy
du
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de
escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir.
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar
Hipóteses principais:
- Fluido incompressível
- Regime permanente
- Pressão constante na direção perpendicular à placa
- Propriedades constantes
- Força de cisalhamento na direção y constante
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),
como indicado.
x
ydy
dx
Equação da continuidade ou da conservação de massa.
dydxx
uu )(
dxdyy
vv )(
vdx
udy
dx
dy
Como entrasai mm , então substituindo os termos, vem:
dydxx
uudxdy
y
vvvdxudy )()(
. Simplificando, tem-se
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97
0
y
v
x
u ou 0VDiv
Onde o operador matemático Div é definido por, y
jx
iDiv
.
Equação da conservação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton, tem-se que
extF Variação do fluxo da quantidade de movimento
Note que essa lei é uma equação vetorial, isto é, o balanço deve ser feitos nas diversas
direções (x, y, z). No caso, nos interessa o balanço de forças e de quantidade de
movimento na direção paralela à placa, ou, seja a direção x.
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)
dxdyy
)(
dx
pdydydx
x
pp )(
dydxx
ppdxdxdy
ypdyFx )()(
ou, simplificando, dxdyx
pdxdy
yFx
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se y
u
que, substituindo, em.
dxdyx
pdxdy
y
uFx
2
2
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)
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98
dxdyy
uudy
y
vv ))((
vudx
dydxx
uu 2)(
dyu2
Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:
superior ordem de termos2
)(
)(2
))(()(
2
222
22
dxdyy
vudxdy
y
uvdxdy
x
uu
uvdxdxdyy
u
y
v
dxdyy
vudxdy
y
uvvudxdyudydx
x
udxdy
x
uudyu
uvdxdxdyy
uudy
y
vvdyudydx
x
uu
Ainda é possível simplificar esta equação para obter
dxdyy
v
x
uudxdy
y
uv
x
uu
decontinuida
0
)()(
dxdyx
uv
x
uu )(
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:
x
p
y
u
y
uv
x
uu
2
2
)(
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica
- Condução na direção x desprezível
- Energia cinética desprezível face à entalpia
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99
dxdyy
uudy
y
vv ))((
dydxx
uu 2)(
dxdyy
uu )
)((
)(
2
2
dyy
T
y
Tkdx
dx
dy
y
Tkdx
dxuvhdx
uhdy
Potência (térmica) líquida das forças viscosas
dydxy
uuu
ydydx
y
udxudxdy
y
uu
)()(
Conservação de energia:
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeo deixa
que energia de fluxo
tempode unidade
na realizado
líquido trabalho
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeno entra
que energia de fluxo
Agora, vamos tratar cada termo em particular
Fluxo de energia que entra
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível –não é
verdade no caso de metais líquidos)
y
Tkdxuhdyvhdx
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)
dxdyy
uu
y
Fluxo de energia que entra
)())(())((2
2
dyy
T
y
Tkdxdydx
x
hhdx
x
uudxdy
y
hhdy
y
vv
dydyx
hhdy
x
uu ))((
dydyy
hhdy
y
uu ))((
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100
Desprezado os termos de ordem superior
dxdyx
ukdxdy
y
vhdxdy
y
hvdxdy
x
uhdxdy
x
hudydx
y
uu
y 2
2
00
2
2
0
)(x
uk
y
v
x
uh
x
hv
x
hu
y
uu
y
decontinuida
Com Tch p e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:
y
uu
yy
Tk
y
Tvc
x
Tuc pp
2
2
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada
para:
2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:
2
2
y
u
y
uv
x
uu
onde, é a viscosidade cinemática
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 .
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada
limite laminar são:
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101
Conservação de massa 0
y
v
x
u
Conservação da quantidade de movimento
direção x
x
p
y
u
y
uv
x
uu
2
2
)(
2
2
y
u
y
uv
x
uu
Pressão constante
Conservação de energia 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:
Espessura da camada limite hidrodinâmica (CLH):
x
x
Re
5 ;
Coeficiente local de atrito local: 2/1
, Re664,0 xxfc ;
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque:
2/1
0
,, Re328,1*21
Lf
L
xfLf LxCdxC
Lc ;
Razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT):
3/1Prt
;
Número de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1
xxNu 50
Número de Nusselt médio: 3/12/1
0
PrRe664,0*21
L
L
LxxL NudxNuL
uN .
Definição do coeficiente de atrito: 2/
2
u
c s
f
, s tensão de cisalhamento na parede
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.
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102
Tu ,
)1(Pr T
)1(Pr T
)1(Pr T
x
C.L.T C.L.H
Temos as seguintes relações: x
C xf
1, , e
xh xf
1, .
TS
T u
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103
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução.
Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada no método integral, também
conhecida como solução de von Karman.
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x paralela ao
escoamento, cuja altura H se estenda para além da camada limite, isto é, H ,
conforme ilustrado na figura abaixo.
x
y
1 2
A A
dx
H
Leis de conservação na camada limite laminar do elemento diferencial acima:
Balanço de massa
Fluxo mássico na face 1 – A: H
udy0
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx
dudy
HH
00
Fluxo mássico na face A – A: dxudydx
dH
0
Balanço de fluxo de quantidade de movimento na direção x
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: H
dyu0
2
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104
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx
ddyu
HH
0
2
0
2
Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx
du
H
0
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =
Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx
dudxdyu
dx
dHH
00
2
Lembrando da regra do produto de diferenciação, vem que:
)()()( ddd ou
)()()( ddd
Fazendo u
H
udy0
, vem
dxdx
duudydxudyu
dx
ddxudy
dx
du
HHH
000
dxudydx
dudxudyu
dx
dHH
00
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:
dxudydx
dudxudyu
dx
ddxdyu
dx
dMQfluxo
HHH
000
2..
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma
mais compacta:
dxudydx
dudxudyuu
dx
dMQfluxo
HH
00
)(..
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos
considerar as forças de pressão e de atrito.
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105
- força resultante da pressão: dxdx
dPH
- força de cisalhamento na parede: -dx
0
y
py
udx
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser
escrita (2ª lei de Newton):
dxudydx
dudxudyuudx
dx
dPH
y
udx
HH
y
000
)(
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa
hipótese não é válida): 0dx
dP
A hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou
cteuP
2
De forma que, na forma diferencial: 002
2
duduudP
Assim, a equação da conservação da Q.M. se resume a:
H
y
udy)uu(dx
d
y
u
00
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:
00
)(
yy
uudyuu
dx
d
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M. válida para o escoamento
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada.
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106
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar
hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da
borda de ataque, (x).
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a
analisar as condições de contorno do problema, que são:
0/0
/0
/
0/0
2
2
ypy
u
ypy
u
ypuu
ypu
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:
3
4
2
321)( yCyCyCCyu
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado
de velocidades: 3
2
1
2
3)(
yy
u
yu
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:
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107
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
31
yy
udy
yyyy
dx
du
Do que resulta, após algum trabalho:
u
udx
d
2
3
280
39 2
Integrado essa equação por partes, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa
na borda de ataque):
x
dxdu
00840
78
ou,
u
vxx 64,4)( , ou
xx
x
Re
64,4)(
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornece: x
x
x
Re
5)(
Ver Holman Apêndice B ou Incropera
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.
Camada Limite Térmica Laminar
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora se pode resolver o problema
térmico, tendo sempre como alvo a obtenção do coeficiente de transferência de calor, h.
Note que junto à superfície todo calor transferido da superfície para o fluido se dá por
condução de calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que se
podem igualar os dois termos da seguinte maneira:
0
)(
y
py
TkTTh , ou
TT
y
Tk
hp
y 0
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:
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108
Condições de contorno
0/0
/
/0
0/
2
2
ypy
T
ypTT
ypy
T
ypTT
t
t
p
Método integral (aproximado)
x
y
x0
t u
T
cteTp
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:
(ver Holmam)
00
2
0
)(
y
H
p
H
y
Tdy
dy
du
cudyTT
dx
d
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3
2
1
2
3)()(
ttp
p yy
TT
TyTy
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as
espessuras de camadas limites:
3/1
4/3
03/1 1Pr026,1
1
x
xt
Se a placa for aquecida ou resfriada desde a borda, x0 = 0, temos
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3/1Pr026,1
1 t
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos
11
11
/Pr
t
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de
velocidades, calculada junto à parede
tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
Tk
h
2
3
2
3
2
3
)(
)(0 , ou
3/14/3
0
3/1
1Pr026,1
2
3
x
xkhx
, ou ainda
3/1
4/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0
x
x
x
ukhx
Lembrando da definição do número de Nusselt, k
xhNu x
x , vem:
3/14/3
02/13/1 1RePr332,0
x
xNu xx
As equações anteriores são para valores locais.
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0
, ou
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
Lu
hL
, ou finamente:
LxL hL
uh
2Pr332,02
2/1
3/1
Analogamente, para esse caso:
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312166402 //LLxL PrRe,Nu
k
LhuN
Note que é a mesma expressão da solução exata!
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf
2
TTT
p
f
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:
31214530 //LL PrRe,
k
hLNu
Note que as dependências de Re e Pr são as mesmas, variando somente a constante de
multiplicação (0,453 no lugar de 0,664).
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma
temperatura de 90ºC. Determine:
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica ao final da placa
(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.
São dados:
Propriedades calculadas a CT f
0652
9040
= 7,3810-8
ms/s
fk = 0,213 W/moC
= 6,510-5
m2/s
= 9,57102 kg/m
3
= 6,2210-2
N.s/m2
pC = 3016 Ck
J
g
CTp 90
u
T
t
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111
Solução
Verificação se o escoamento é laminar ao final da placa
)105(Re5538105,6
606,0Re 5
5
transiçãoL
Lu
É laminar!
Método Exato Método Aproximado a)
xx Re
5
; x = L = 6m
m40,05538
65
xx Re
64,4
; x = L = 6m
m37,05538
664,4
b) 3/1
8
53/13/1 881
1038,7
105,6)/(Pr
t
mt 042,0881
4,03/1
3/1Pr026,1
1 t
mt 037,0881
37,0
026,1
13/1
c) 2/1
3/1Pr332,0
L
ukhx
Cm
W
hx
2
2/1
5
3/1
4,8
6105,6
06,0)881(213,0332,0
Cm
Whh LxL
28,164,822
2/1
3/1Pr332,0
L
ukhx
Obs*: Tanto a solução exata como a aproximada leva a constante ao mesmo valor de 0,332
Cm
Whx
2
4,8
Cm
Whh LxL
28,164,822
d) )( TThAq s
m
W
TTLhL
qs
p
5040
)4090(68,16)(
)( TThAq s
m
W
TTLhL
qs
p
5040
)4090(68,16)(
Analogia de Reynolds – Colburn ou Analogia entre Transf. de Calor e Atrito
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta seção. Essa é a
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente
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112
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:
2
2
u
Cp
f
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),
a tensão de cisalhamento na parede é:
0
y
py
u
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:
3
2
1
2
3
yy
u
u,
temos que a derivada junto à parede resulta em:
u
y
u
y2
3
0
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da
camada limite, isto é, x
x Re
64,4
que, mediante substituição na definição da tensão de
cisalhamento na parede, resulta em:
x
uu x
p
Re323,0
2
3
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re323,0
2 2
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de
Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:
2/13/2 RePr332,0PrRe
x
St
x
x
x
Nu
, onde Stx
uc
h
p
x
é o número de Stanton. Então,
reescrevendo de forma compacta:
x
xStRe
332,0Pr 3/2
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113
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:
2Pr 3/2 fx
x
cSt
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.
______________________________________________________________________
Exemplo resolvido – continuação do anterior Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior.
Sabe-se que 3/2Pr
2tS
C f
Por outro lado, 5
21070,9
06,030161057,9
8,16
uc
htS
p
L
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma
que a tensão de cisalhamento na superfície é:
2
2222
1007,32
)06,0(9571078,1
2 m
NuC fp
Finalmente, a força de atrito por unidade de largura é:
m
NL
L
Fp
p
184,061007,3 2
______________________________________________________________________
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114
AULA 15 –CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO
EXTERNO
Camada Limite Turbulenta A transferência de calor convectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:
x
yturbulenta
Camada amortecedora
Sub camada laminar
A CLT é subdividida em:
- Subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular - Camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas - Turbulento – misturas macroscópicas de fluido
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o
comportamento da oscilação da velocidade local (isto é, em um ponto do escoamento),
o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.
t
u
u
Do gráfico ilustrado, depreende-se que a velocidade instantânea, u, flutua
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato da flutuação da
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades no equacionamento e no
que se chama “problema da turbulência”. Para analisar o problema, costuma-se dividir a
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115
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,
como indicado:
velocidade na direção paralela: 'uuu
velocidade na direção transversal: 'vvv
O mesmo se faz com o termo de oscilação da pressão local:
pressão: fluctuacàomedio
táneoinsvalor
PPP '
tan
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e uma apóstrofe,
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser
consideradas na análise.
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar, em que o fluido se
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção” correspondente (2) desce para
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise
mais profunda. No entanto, abaixo se mostram os passos principais da modelagem.
O primeiro passo é escrever as equações diferenciais de conservação – aula 13. Em
seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos correspondentes de média e
flutuação, isto é, 'uuu , 'vvv e 'PPP . Esse procedimento é chamado de
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116
médias temporais de Reynolds. Começando pela equação da conservação da quantidade
de movimento, tem-se:
x
P
y
u
y
uv
x
uu
1
2
2
Agora, substituindo a decomposição das grandezas, 'uuu , 'vvv e 'PPP ,
PPx
uuy
uuy
vvuux
uu
1
2
2
x
P
x
P
y
u
y
u
y
uv
y
uv
y
uv
y
uv
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
11
2
2
2
2
Neste ponto é conveniente realizar uma média temporal sobre um intervalo de tempo
T = t2 - t1 longo o suficiente para capturar as informações relevantes de flutuação do
escoamento. Para isso, define-se, a seguinte média temporal sobre uma grandeza
instantânea f (ou sua derivada espacial) qualquer:
2
1
1 t
t
dt )t(fT
f
As seguintes propriedades se aplicam:
011112121
f e s
f
s
f ,ff ,fCCf ,ffff 11
sendo, C uma constante no intervalo de tempo e s é uma coordenada espacial (x, y ou z).
Assim, aplicando a média temporal sobre a equação anterior, vem:
x
P
x
P
y
u
y
u
y
uv
y
uv
y
uv
y
uv
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
11
2
2
2
2
Usando as propriedades de média temporal, obtém-se a seguinte equação:
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117
00
2
2
2
2
000
11
x
P
x
P
y
u
y
u
y
uv
y
uv
y
uv
y
uv
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
Reescrevendo, vem:
y
uv
x
uu
x
P
y
u
y
uv
x
uu
1
2
2
Ainda, vamos tratar em separado as médias temporais que envolvem as flutuações
(termos entre parênteses). O seguinte artifício matemático pode ser escrito:
x
vu
x
vu
x
uv e
x
uu
x
uu
x
uu
De forma que aqueles termos podem ser escritos como:
0
x
v
x
uu
x
vu
x
uu
x
uv
x
uu
O termo entre parênteses do lado direito é nulo pela lei da conservação de massa.
Substituindo a igualdade acima, obtém-se a forma da equação diferencial turbulenta da
conservação da quantidade de movimento:
x
vu
x
uu
x
P
y
u
y
uv
x
uu
1
2
2
Como indicado acima, no processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média
temporal das flutuações e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que
envolvem a média temporal da derivada do produto das flutuações, que são os termos
entre parênteses. Por fim, ainda existe uma última simplificação que envolve a camada
limite. Para o caso do escoamento bidimensional verifica-se que o gradiente do produto
das flutuações na direção principal x (primeiro termo dos parênteses) é desprezível em
relação ao segundo termo, de forma que a equação final da conservação da quantidade
de movimento turbulenta é:
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118
x
vu
x
P
y
u
y
uv
x
uu
1
2
2
Aqui reside grande parte do problema da turbulência que é justamente se estabelecer
modelos para estimar o gradiente da média temporal do produto das flutuações das duas
componentes de velocidade. Este termo dá origem às chamadas tensões aparentes de
Reynolds que têm um tratamento à parte.
De forma análoga, pode-se estabelecer a equação da energia para a camada limite
turbulenta, o que resulta em:
'T'vCy
Tk
yy
Tv
x
TuC pp
Por semelhança ao caso laminar, definem-se:
Viscosidade turbilhonar: uvy
uM
e
Difusividade turbilhonar: Tvy
TH
Assim, definem-se a tensão de cisalhamento total turbulenta por: y
uMt
,
e transferência de calor total turbulenta: y
TCq Hpt
Distante da parede, o domínio da viscosidade e da difusividade turbilhonares é superior
em relação às grandezas moleculares, isto é, M e H . De forma que se
pode definir um número de Prandtl turbulento, HMt /Pr aproximadamente
unitário. Isso indica que os transportes de energia e de quantidade de movimento nessa
região ocorrem na mesma proporção e que os perfis de temperatura e de velocidade
médios sejam mais uniformes nesta região.
O estudo das grandezas turbilhonares dão origem aos perfis de velocidade e temperatura
universais. Importante frisar, que as muitas análises indicam que a analogia de
Reynolds-Colburn entre atrito superficial e transferência de calor pode ser estendida
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119
para região turbulenta. É objeto dos estudos de turbulência adequadamente modelar os
efeitos das variações instantâneas das grandezas, o que foge do escopo destas notas de
aula.
É importante saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela
7.9 do Incropera e Witt.
Resumo das expressões de transferência de calor para regime turbulento sobre
superfícies planas:
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re 8 x
Médio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L
2,0Re37,0 xx
810Re L
Nota: para outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105
_____________________________________________________________________ Exemplo resolvido (Holman 5-7) Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.
Propriedades avaliadas à CT
402
6020
Ckg
kJcp
007,1 3
128,1m
kg 7,0Pr
Cm
Wk
02723,0
ms
kgx 510007,2
610475,1Re xVL
L
2055)871Re037,0(Pr 8,03/1 LL
k
LhNu
CmWNuL
kh L 2/6,74
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(
______________________________________________________________________
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120
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos No caso do escoamento externo cruzado
sobre cilindros e tubos, a análise se torna
mais complexa. O número de Nusselt
local, dado em função do ângulo de
incidência , isto é, Nu(), é fortemente
influenciado não só pela formação das
camadas limites, como também pelo efeito
do descolamento da camada limite. A
figura ao lado indica o que acontece com o
número local de Nusselt. Para ReD 105, o
número de Nusselt decresce como
consequência do crescimento da camada
limite laminar (CLL) até cerca de 80o.
Após este ponto, o escoamento se descola
da superfície destruindo a CLL e gerando
um sistema de vórtices e mistura que
melhora a transferência de calor (aumento de Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transição
de laminar para turbulento e, portanto, a formação da camada limite turbulenta (CLT).
Na fase de transição (80o a 100o) ocorre a melhora da transferência de calor. Uma vez
iniciada a CLT, novamente se verifica a diminuição do coeficiente local de transferência
de calor devido ao crescimento da CLT para, em torno de 140o, descolar o escoamento
da superfície que destrói a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e mistura que
volta a melhorar a transferência de calor. No caso turbulento há, portanto, dois mínimos.
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da
correlação empírica de Hilpert, dada por:
3
1
PrRem
DD Ck
DhNu
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como
função do número de Reynolds.
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121
ReD C m
0,4 – 4 0,989 0,330 4 – 40 0,911 0,385
40 – 4.000 0,683 0,466 4.000 – 40000 0,193 0,618
40.000 – 400.000 0,027 0,805
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na
próxima tabela (Jakob, 1949).
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por
4/1
Pr
PrPrRe
s
nm
DD CNu válida para
610Re1
500Pr7,0
D
,
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se
Pr 10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.
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122
ReD C m 1 – 40 0,75 0,4
40 – 1.000 0,51 0,5 1.000 – 2105 0,26 0,6 2105 – 106 0,076 0,7
____________________________________________________________
Escoamento sobre Banco de Tubos
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.
Arranjos em linha ou quicôncio
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:
4/1
36,0max, Pr
PrPrRe
s
m
DD CNu
válida para
6max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.
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123
Configuração ReD,max C m
Alinhada 10-102 0,80 0,40
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40
Alinhada
Em quicôncio
102-103 Aproximado como um único
102-103 cilíndro (isolado)
Alinhada (ST/SL>0,7)a 103-2105 0,27 0,63
Em quicôncio (ST/SL<2) 103-2105 0,35(ST/SL)1/5 0,60
Em quicôncio (ST/SL>2) 103-2105 0,40 0,60
Alinhada 2x105-2106 0,021 0,84
Em quicôncio 2x105-2106 0,022 0,84
a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.
202
20
LL ND
ND NuCNu
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em
VDS
SV
T
T
max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição
for satisfeita )()(2 DSDS TD que, após uma análise trigonométrica simples, se
obtém a seguinte condição equivalente 22
212
2 DSSSS TT
LD
. Se isso
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124
acontecer, então: VDS
SV
D
T
)(2max . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS
SV
T
T
max .
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)
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125
______________________________________________________________________
Exercício de Aplicação
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais
condições são mantidas. Pede-se:
(a) Em qual caso a troca de calor é maior.
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua
resposta através de um memorial de cálculo.
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126
Solução
Propriedades do ar à CTT
Tp
45
2
ν = 1,68 x 10-5 m2/s k = 2,69 x 10-2 W/mK Pr = 0,706 Placa
L=0,25m
CTp 60
smu /4
CT 30
critL xLu
Re1095,51068,1
25,04Re 4
5
5105
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1 xNu LL
Assim CmWL
kNuhL
2/56,15
25,0
02697,02,144
Cilindro
D
CTs 60 Tu ,
πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m
Assim, 45
10895,11068,1
0796,04Re
D
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)
3/1PrRem
DD CNu p/ReD=1,895104 C = 0,193
m = 0,618
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu
de forma que: KmWD
kNuh
DD
2/63,250796,0
02697,063,75
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh e a área de troca de calor é a mesma.
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127
b) Placa
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(
Cilindro
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(
c) Porção laminar 5
, 105Re Lcrit
Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crítico.
3/12/1 PrRe664,0
LL
L
kh
(A)
m
D
m
DD CL
kC
D
kh Re
PrRePr
3/13/1 (B)
Portanto de (A), 2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k , que, pode ser subst. em (B), para obter
Lm
D
D
Lm
DD hC
hCh 5,0
2/1Re669,2
Re664,0
Re
Ou 5,0Re669,2 m
D
L
DC
h
h para o caso laminar na placa
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105
3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( L
L
k
Lh e
871Re037,0
Pr8,0
3/1
L
Lh
L
k (C)
sub. em (B), vem 871Re037,0
Re8,0
L
Lm
DD
hCh
Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0
Re8,0
L
m
D
L
D C
h
h
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa
871Re037,0
Re8,0
L
m
D
L
D C
h
h
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128
Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do
cilindro (na faixa de validade das expressões)
ReD C m hD/hL regime
4 0,898 0,33 2,09 laminar
40 0,911 0,385 1,59 “
4000 0,683 0,466 1,38 “
40000 0,193 0,618 1,8 “
159000 0,027 0,805 2,78 “
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb
400000 0,027 0,805 1,43 “
L
D
h
h
ReD
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 129
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AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR
Considerações hidrodinâmicas do Escoamento Diferentemente do escoamento externo sobre corpos e superfícies, a camada limite interior tem início e crescimento sobre a superfície interna do tubo ou duto que, dependendo do comprimento do tubo, vai se coalescer na linha central, como ilustrado abaixo. O comprimento até que isso ocorra é chamado de comprimento de entrada. A partir desse ponto, diz-se que o escoamento é plenamente desenvolvido. Desenvolvimento da camada limite laminar
xe – comprimento de entrada x > xe – escoamento plenamente desenvolvido O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é:
Du
D Re , sendo u – velocidade média
O caso laminar vai ocorrer para 2300Re D e, nesse caso, o comprimento de entrada
se estende até D
e
D
xRe05,0
Desenvolvimento da camada limite turbulenta No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na figura abaixo.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 130
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Nesse caso, Dxe 10 . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento,
quando seu valor será superior a 4000, isto é, 4000Re D . Entre 2300 e 4000 ocorre
transição laminar-turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento
turbulento a partir de 2300.
TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de
calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos
ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando
em consideração a temperatura da superfície, Ts, e do fluido ao longe, T∞, que é
constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior de tubos e dutos. Não
existe uma temperatura ao longe constante, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica
pela lei de resfriamento de Newton. Deve-se, portanto, utilizar uma temperatura
representativa do fluido na seção de interesse, Tm. Não se pode ser a temperatura média
aritmética simples, pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura que
efetivamente represente a temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura
média de mistura ou de copo.
)(cte
s TThAq
T
sT
C.L.
externo
)( ms TThAq
sT
interno
Para se entender como obter a temperatura média de mistura, considere os seguintes
perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido:
sT
cT
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Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede, porém nessa região é
exatamente onde ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples
TdAA
Tm
1 não representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura
efetiva da seção, considere o exercício mental em que uma porção da seção transversal
do tubo com fluido é colocada dentro de um copo. Há de se concordar que a
temperatura efetiva que representa a seção é aquela temperatura decorrente do equilíbrio
térmico daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo
de temperatura de copo (“cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo
original).
dx
(copo)mequilibrio TT
Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE , na seção transversal
dado por: A
h uhdAmhdE0
.
Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por:
mh
A
m hmEuhdAm
h
0
1
Mas, sabendo que mpm Tch , então: A
P
P
m TdAuCmC
T0
1
Se CP= cte., vem que A
m uTdAm
T0
1
Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por A
udAm0
Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou
temperatura de copo, qual seja:
A
A
m
udA
uTdA
T
0
0
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 132
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Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por
rdrdArA 22 que, substituindo na expressão acima, resulta em:
r
r
m
urdr
uTrdr
T
0
0
(Válida para tubo circular)
Além do mais, se ρ= cte, vem
R
R
m
urdr
uTrdr
T
0
0 (válida para tubo circular)
Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se
determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de
velocidade e de temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar
fornece tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de
velocidades ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se um balanço de forças para o
elemento de fluido.
ra
q
r
Elemento de fluido
)2( rdx
dx
2)( rdpp )( 2rp
Um balanço de forças, resulta em: )2(2rdxdpr , ou dx
dr
durdp 2 , ou ainda:
drdx
dprdu
2
Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção
transversal, isto é, p p(r), vem que Cdx
dpru
4
2
A constante C é determinada da condição de parede, isto é,
u = 0 r = r0 dx
dprC
4
. 20
r0
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Assim, )(4
1)( 22
0 rrdx
dpru
Velocidade no centro do tubo, u0: dx
dpru
4
20
0
Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se:
20
2
0
1)(
r
r
u
ru O perfil de velocidades é parabólico (2º grau)!!
Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0dx
dq p
Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em:
x
T
r
Tr
rr
11
Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: ctex
T
Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 00
rr
T e, na parede do
tubo cteqr
Tk p
rr
0
Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil laminar de temperaturas:
4
0
2
0
200
0 4
1
4
1)(
r
r
r
rru
x
TTrT
Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r),
na equação da definição da temperatura média de mistura 00
00
rr
m urdruTrdrT
Após algum esforço, se obtém x
TruTTm
200
0 96
7 (para fluxo de calor constante na
parede).
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 134
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Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de
parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em:
x
TruTTp
2
000 16
31
(fluxo de calor constante)
Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com
propriedades constantes, fluxo de calor constante na parece, e escoamento plenamente
desenvolvido pode ser calculado, a partir da sua própria definição:
0
)(rr
mpr
TkATThAq
, ou mp
rr
TT
r
Tk
h
0
Substituindo as expressões, vem:
mP TT
rr
x
TruT
x
TruT
r
r
r
rru
x
TT
rk
h
200
02
000
4
0
2
0
200
0
96
7
16
31
4
1
4
1
0
Após se efetuarem os cálculos, vai-se chegar a D
kh 364,4 ou, 364,4DNu . Este é
um resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente
desenvolvido, propriedades constantes, submetido a um fluxo de calor constante não
depende do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem
efetuados para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3DNu .
Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são
apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado.
Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as
temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 2
msmem
TTT
quando as diferenças de
temperatura não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar
o conceito de diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, visto adiante.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 135
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No caso de seções transversais não circulares, define-se o chamado diâmetro hidráulico,
Dh, de acordo com:
P
ADh
4 , onde A é a área da seção transversal do tubo e P é o chamado perímetro
molhado (o perímetro que abarca o fluido que está em contato com a parede da
tubulação).
Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está
plenamente desenvolvido e deve-se usar a expressão corrigida. O gráfico abaixo ilustra
como o número de Nusselt varia, começando da entrada, até que o escoamento se torne
plenamente desenvolvido.
Relação para tubo curto: 3/2PrRe)/(04,01
PrRe)/(0668,066,3
D
DD
LD
LDNu
Nu
x
Plenamente desenvolvido
Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada.
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DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO
Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura
média de mistura varia ao longo do tubo. Isto é obtido, mediante um balanço de energia,
conforme ilustrado na figura abaixo. É válida para qualquer regime de escoamento, pois
decorre de uma análise da Primeira Lei da Termodinâmica. Note que, nesta seção, h
refere-se à entalpia específica e não ao coeficiente convectivo de calor.
dx
dxxhm xhm
pdAq"
Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ... dxdx
dhhh x
xdxx
Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm " , que substituindo a expansão, já
desprezando os termos de ordem superior, tem-se
pxx
x dA"qhmdxdx
dhhm
ou, simplesmente px dA"qdx
dx
dhm , sendo Ap = área em contato com o fluido.
Mas, por outro lado PdxdA ; onde P é o perímetro molhado.
De forma que Pdxqdxdx
dhm x "
Ou, ainda, Pqdx
dhm x " . Assumindo cteC/pdTCdh ou,TCh PPmp , tem-se
dx
dTCm
dx
dTAuCPq m
P
m
P "
Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de
contorno impostas na parede do tubo.
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(I) Fluxo de calor constante na parede. cteq"
Integrando a equação, vem ctexAuC
PqxT
P
m
")(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que e
P
m TxAuC
PqxT
"
)(
(II) Temperatura de parede constante Tp = cte Nesse caso, )(" mpxx TThq que, substituindo na expressão Tm, vem
dx
dTCmTTPh m
Pmpx )(
Ou, dxcm
Ph
TT
dT
p
x
mp
m
, cuja integração resulta em ctex
Cm
PhTT
P
c
mp
)ln(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que
P
c
ep
mp
Cm
Pxh
TT
xTT
exp
)(
T Tp
Te
Tm
h
h
Fluxo de calor constante na superfície
T
x
Tp
Te
Temperatura de parede constante
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138
AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE DUTOS - TURBULENTO
Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de Reynolds-Colburn
No caso laminar, a transferência de calor da parede para o fluido (ou vice-versa) é dada
por condução, segundo a lei de Fourier, isto é, dr
dTk
A
q , ou
dr
dT
cA
q
p
No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão análoga que tem a seguinte forma
dr
dT
cA
qH
p
em que, artificialmente, define-se H como difusividade térmica turbilhonar. Analogamente à tensão de cisalhamento , tem-se:
dr
du
dr
dum )(
em que, m é a viscosidade turbilhonar.
Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportados a
uma mesma taxa, ou seja, H = m e = α, então tem-se que Pr = 1. De forma que,
dividindo as equações anteriores, vem:
du
dT
Ac
q
p
ou dTduAc
q
p
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139
Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o
cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que
ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é:
ppP
p
P AC
q
AC
q
ou dTdu
AC
q
ppP
p
As condições de contorno do problema são: u = 0 , T = Tp u = um , T = Tm
De forma, que é possível integrar a equação: m
p
m T
T
u
pPp
pdTdu
CA
q
0
que resulta em mpm
pPp
pTTu
CA
q
mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq . Agora
igualando as duas expressões, tem-se:
mpm
ppp
mppTTu
cA
TThA
)(
que resulta em p
p
m
c
hu (A)
Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido ilustrado abaixo resulta em:
LrrP p 02
0 2 , ou PL
rp
20
Lrp 02
p
20)( rPP
20rP
L
Mas, da mecânica dos fluidos, sabe-se que a perda de pressão distribuída é dada por:
2
2
0
mu
d
LfP ,
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140
sendo, f = fator de atrito (sai do diagrama de Moody ou de uma expressão de ajuste – Colebrook, Churchill, entre outras) Assim, comparando as duas expressões, vem que
2
8 mp uf (B)
Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:
2
8 m
p
m uf
C
hu
Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o
fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por
rearranjar a equação acima, para obter:
8
f
uC
h
mp
Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas,
conforme indicado abaixo:
8
1 f
DuC
k
k
hD
mp
que, pode ainda ser manipulada para obter: 8
11 f
/uD/k
hD
m
Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos:
8
f
RePr
Nu
D
D , ou 8
fSt
Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo
com dados experimentais para gases (Pr ~ 1). Com base em dados experimentais
Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até
100). Lembre-se que essa analogia já havia sido desenvolvida para escoamento laminar.
8RePr 31
fNu
D
D , ou 8
Pr 32 fSt
Na faixa de Reynolds entre 2 104, para tubos lisos, f pode ser aproximado pela seguinte
equação de ajuste
2,0Re184,0 Df .
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141
Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada)
3/18,0 PrRe023,0 DDNu
Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo
n
DDNu PrRe023,0 8,0 sendo, n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido Para tubos rugosos, usar o diagrama de Moody, como mostrado abaixo, para obter f.
Ou uma expressão de correlação, como por exemplo as expressões de Churchill ou Colebrook:
Expressão de Churchill:
121
5,1
121
Re
88
BAf
D
em que,
16
9,0 27,0Re7
1ln457,2
DA
D
e 16
Re
530.37
D
B
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142
A expressão acima tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento
Expressão de Colebrook (clássica):
2/12/1 Re
51,2
7,3
/log0,2
1
f
D
f D
Correlações válidas considerando a região de entrada para tubos lisos:
0,5 < Pr < 1,5 ��̅̅ ̅̅ � = , 4 ��� / − �� / [ + (��) / ] 0,5 < Pr < 1,5
��̅̅ ̅̅ � = , ���0, − 8 �� / [ + (��) / ] CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar As propriedades são calculadas à temperatura de mistura. Acontece que algumas propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da água: (T = 25°C) ~ 8,90 x 10
-4 kg/ms
(T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4
kg/ms
Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em consideração.
n
p
mcor NuNu
m = viscosidade à temperatura da mistura.
p = viscosidade à temperatura da parede Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 (B) Turbulento
n
p
mcor
T
TNuNu
Ver tabela de correlações para outras configurações
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143
T – temperatura absoluta n = 0 (resfriamento de gases) n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) se 0,5 < Tm / Tp < 2,0
Líquidos
11,0
Pr
Pr
p
mcor NuNu
Exemplos resolvidos (1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatura de saída do ar.
0,6m
Te TsCTp 38
Calcule as propriedades à temperatura média 2
sem
TTT
Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu (1)
Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh (2)
Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída.
Admite Ts Calcula Tm Calcula da eq. (1)
Nova Ts
hCompara Ts
com eq. (2)fim
igual
diferente
Ts = 21ºC Tm = 18ºC
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144
Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação ρ = 1,2191 kg/m3
γ = 14,58 x 10-6 m
2/s Pr = 0,72
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C
5
610029,1
1058,14
05,030Re x
x
xVDD
turbulento !!!!
34,206)72,0()5^10029,1(023,0PrRe023,0 4,08,04,08,0 xNu DD
Cm
W
D
kNuh
D
24,105
05,0
02554,0*34,206
De (2)
Cx
TTmc
hATT mp
p
es
7,171838
100056,1072,0
6,005,04,10515
3
Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assumindo agora Ts = 18ºC Logo, Tm = 16,5ºC, assim: ρ = 1,2262 kg/m3
= 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C
51004,1Re xD skgm /072,0 CmWh 2/27,105
CTs 95,17 OK! Agora, confere
Realizando os próximos cálculos. Pela lei de resfriamento
WTTAhq mps 3,213)5,1638(6,005,027,105)(
Pela 1ª. Lei
WTTcmq esp 2,217)1518(6,1005072,0)(
As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das propriedades. (2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo.
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145
Solução
As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. ρ = 992,3 kg/m
3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C
= 6,531 x 10-4 kg/ms Pr = 4,34
O número de Reynolds do escoamento é
44
10039,310531,6
3,99202,01Re
VD
D
O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de Dittus-Bolter, vem.
4,08,0 PrRe023,0D
DNu
Assim, 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 DNu As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97.
0,17497,1
34,45,159
Pr
Pr11,011,0
P
mcor NuNu
O coeficiente médio de transferência de calor é
Cm
W
D
kNuh
cor
21,5468
02,0
6286,00,174
2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p
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146
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT
No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido
varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima
foram apenas aproximados, pois usamos uma temperatura média representativa do
fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e a
de saída. No entanto, prova-se (ver próxima aula) que nestes casos deve-se usar a
diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por:
es
es
TT
TTDMLT
ln
sendo, sps TTT e epe TTT
T
x
Tp
Te
Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq
Refazendo o exercício, vem: CDMLT o2,477030ln
7030
- compare com CT o50
Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq
Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e
saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de
parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída. A DMTL será
estudada detalhadamente na próxima aula.
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147
Outro exemplo de Aplicação Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm.
1) se a água entra no tubo a skgm /01,0 e Tm,1 = 20°C. Qual o
comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2
= 80°C? 2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída?
Solução
L
Ts
skgm /01,0
CTm 201
CTm 802
1) 1º Lei TCmQ p , com DLqQ " e, portanto, TCmDLq p "
De forma que: Dq
TCmL
p
"
, ou m,,
,L 3113
060100
604181010
2) )(" 2,2, mps TThq ou 2,2,
"m
sp T
h
qT
Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds:
D
m
D
DmDumD
44Re 2
da tabela 2680 /10352 mNsC
, então
23006031035206,0
01,04Re
6
D - Laminar !!
Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4k
DhNuD
Assim, D
kh
364,4 mas CmWk C /670,080
Logo, CmWx
h 2/73,4806,0
67,0364,4
Finalmente, CTp 5,1008073,48
10002,
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AULA 18 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT E MÉTODO F
O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área
superficial necessária para transferir o calor numa determinada configuração,
conhecidas as vazões e as temperaturas dos fluidos. Este trabalho é facilitado pelo uso
do coeficiente global de transmissão de calor, U.
TAUq
Onde, T é uma diferença média efetiva da temperatura para todo o trocador de calor
que será discutida adiante; U já foi definido e representa as resistências térmicas. Para
as configurações usuais mais encontradas, temos:
Paredes plana: � = 11 ℎ�⁄ + � �⁄ + 1/ℎ
Parede cilíndrica:
� = 1�� ��ℎ�+[�� �� ��⁄ / ]+1 ℎ�⁄⁄ , ( TAUq oo )
�� = 11 ℎ�+[�� �� ��⁄ / ]+�� ��ℎ�⁄⁄ , TAUq ii
Os índices i e o representam as superfícies interna e externa, respectivamente.
A tabela a seguir fornece valores aproximados de U para alguns fluidos utilizados em
trocadores de calor. As faixas relativamente largas de U resultam da diversidade dos
materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configuração
geométrica do trocador de calor.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 149
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Fluido (U – W/m²K) Óleo para óleo 170-312 Orgânico para orgânico 57-340 Vapor para Soluções aquosas 567-3400 Óleo combustível, pesado 57-170 Óleo combustível, leve 170-340 Gases 28-284 Água 993-3.400 Água para Álcool 284-850 Salmoura 567-1.135 Ar comprimido 57-170 Álcool condensado 255-680 Amônia condensado 850-1.420 Freon 12 condensado 454-850 Óleo condensado 227-567 Gasolina 340-510 Óleo lubrificante 113-340
As figuras abaixo mostram alguns tipos de trocadores de calor.
Corrente paralela Contra-corrente
Corrente cruzada Corrente cruzada
Casco e tubo
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Trocador de placas
O TROCADOR DE CALOR DE CORRENTES PARALELAS
Antes de serem efetuados os cálculos da transferência de calor, é necessário definir o
termo T . Seja, por exemplo, um trocador de calor de correntes paralelas, cujos perfis
de temperatura estão mostrados na seguinte figura.
Para a figura acima considerar que:
1. U é constante ao longo de todo o trocador.
2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 151
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3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e
podem ser representadas pela temperatura de mistura.
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.
Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os fluidos quente (q) e frio (f) para
uma espessura infinitesimal dx é:
( )q fdq U T T dA
onde dA é a área elementar de troca de calor. O fluxo de calor recebida pelo fluido frio é
igual à fornecida pelo fluido quente, isto é,
qqqfff dTcmdTcmdq
onde m é o fluxo mássico e c é o calor específico. Da equação anterior resulta:
1 1( )q f
q q f f
d T T dqm c m c
Substituindo dq da equação de conservação, resulta:
( ) 1 1
( )q f
q f q q f f
d T TU dA
T T m c m c
Cuja integração é igual a
2
1
1 1ln
q q f f
TUA
T m c m c
onde, 1 qe feT T T e 2 qs fsT T T , como indicado no gráfico de distribuição de
temperaturas anterior. Por meio de um balanço de energia em cada fluido,
( ) ( )q q f f
qe qs fs fe
q qm c m c
T T T T
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 152
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Substituindo-se estas expressões na equação anterior:
2
1
( ) ( )ln qe qs fs feT T T TT
UAT q
Ou:
12
12
ln TT
TTUAq
Comparando-se este resultado com a primeira equação, nota-se que
DMLTTT
TTT
12
12
ln
Esta diferença média efetiva de temperatura é chamada de diferença média logarítmica
de temperatura (DMLT).
O TROCADOR DE CALOR EM CONTRA-CORRENTE
As distribuições de temperaturas nos fluidos quente e frio associadas a um trocador de
calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figura acima.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 153
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Note que a temperatura de saída de fluido frio (Tfs) pode ser maior que a temperatura de
saída de fluido quente (Tqs).
De forma similar ao do caso de correntes paralelas, pode-se demonstrar que a DMLT
para o caso contra-corrente que as taxas de transferência de calor por conservação de
energia infinitesimal e convectivo são respectivamente:
q q q f f fdq m c dT m c dT e ( )q fdq U T T dA
Subtraindo o segundo e terceiro termos da equação de conservação infinitesimal e
substituindo a segunda equação juntamente com a equação de conservação, tem-se
1 2 1 21 1( ) ( ) q q f f
q f q f
q q f f
T T T Td T T dq U T T dA
m c m c q q
ou
1 1 2 2
( )( ) ( )
( )q f
q f q f
q f
d T T UT T T T dA
T T q
Substituindo a equação anterior em termos das seções 1 e 2 do gráfico acima:
( )1 2
( )
( )q f
q f
d T UT T dA
T q
Integrando a equação acima, obtém-se:
ATTq
U
T
T)(ln 21
1
2
ou
DMLTAUq onde 12
12
ln TT
TTDMLT
Sendo, 1 qe fsT T T e 2 qs feT T T
Para as mesmas temperaturas de entrada e saída, a DMLT em contra-corrente é maior
que para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para
uma determinada taxa de transferência de calor é menor para um trocador em
contracorrente.
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Exemplo resolvido (do Incropera):
Um trocador de calor bitubular (tubos concêntricos) com configuração em
contracorrente é utilizado para resfriar o óleo lubrificante do motor de uma grande
turbina a gás industrial. A vazão da água de resfriamento do tubo interno (Di = 25 mm) é
de 0,2 kg/s, enquanto a vazão do óleo através da região anular (De = 45 mm) é de
0,1 kg/s. O óleo e a água entram a temperaturas de 100 °C e 30 °C, respectivamente. O
coeficiente de transferência de calor por convecção na região anular (do óleo) é de
38,4 W/m²K. Qual deve ser o comprimento do trocador se a temperatura de saída do
óleo deve ser de 60°C?
Solução
Considerações:
Perda de calor para a vizinhança desprezível.
Mudanças nas energias cinética e potencial desprezíveis.
Propriedades constantes.
Resistência térmica na parede do tubo e efeitos da deposição desprezíveis.
Condições de escoamento completamente desenvolvidas na água e no óleo (U
independente de x).
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Propriedades do óleo de motor novo ( qT = 80 °C)
cp = 2.131 J/kg-K; μ = 0,0325 N.s/m²; k = 0,138 W/m K.
Propriedades da água ( cT 35 °C) , primeira aproximação!
cp = 4.178 J/kg K; μ = 0,000725 N.s/m²; k = 0,625 W/m K; Pr = 4,85.
, ( )q p q qe qsq m c T T
0,1 2131 (100 60) 8.524q W
A temperatura de saída da água é:
,fs fe
f p f
qT T
m c
852430 40,2
0,2 4178fsT
°C
Por tanto a primeira aproximação de fT = 35 °C foi uma boa escolha.
A DMLT é igual a:
C
TT
TT
TTTTDMLT
feqs
fsqe
feqsfsqe
2,43
30
98,5ln
308,59
ln
)()(
O coeficiente de transferência global é dado por:
1/U= 1/hi + 1/he
Para o escoamento da água através do tubo,
4 4 0,2Re 14.050
0,025 0,000725c
D
e
m
D
(Turbulento)
9085,414050023,0PrRe023,0 4,05/44,05/4 DDNu
Assim:
KmWD
kNuh
i
Di ²/250.2025,0
625,090
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Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é:
KmWU ²/8,374,38/1250.2/1
1
A área necessária para a troca de calor é de:
DMLTU
qA
E o comprimento será de:
mDMLTUD
qL
i
5,662,438,37025,0
524.8
O MÉTODO F
Para trocadores de calor mais complexos, como os multitubulares, diversos passes na
carcaça ou correntes cruzadas, a determinação da diferença média efetiva de
temperatura é tão difícil que o procedimento usual é modificar a equação acima através
de um fator de correção F, resultando em:
DMLTFAUq
Onde DMLT é aquela para um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente com
as mesmas temperaturas de entrada e saída da configuração mais complexa. As figuras a
seguir fornecem os fatores de correção para diversas configurações. Nestas figuras, a
notação (T, t) representa as temperaturas das duas correntes de fluido, pois não
importando se o fluido quente escoa nos tubos ou na carcaça.
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AULA 19 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA EFETIVIDADE - NUT
O método estudado de cálculo térmico de trocadores de calor estudado na aula anterior,
DMLT, é útil quando as temperaturas de entrada e saída dos fluidos frio e quente são
conhecidas. Porém, se mais de uma das temperaturas de entrada ou saída do trocador de
calor for desconhecida, o método DMLT é trabalhoso, necessitando de um método
iterativo do tipo tentativa e erro. Nesta aula, vamos ver um segundo método que
dispensa o conhecimento de todas as temperaturas. Trata-se do método da efetividade
() e número de unidades de transferência (NUT). Para isso, considere a seguinte
definição de efetividade:
máx
real
q
q
possívelcalordetrocamáxima
realcalordetroca
Sendo que a máxima troca de calor possível é aquela que resultaria se um dos fluidos
sofresse uma variação de temperatura igual à máxima diferença de temperatura possível,
isto é, a temperatura de entrada do fluido quente menos a temperatura de entrada do
fluido frio. Este método emprega a efetividade para eliminar a temperatura de saída
desconhecida e fornece a solução para a efetividade em termos de outros parâmetros
conhecidos ( m , c, A e U).
Seja a capacidade definida como cmC . Então, pela 1a Lei da Termodinâmica, tem-
se:
( ) ( )real q qe qs f fs feq C T T C T T
O que indica que o fluxo de calor cedido pelo fluido quente é aquele recebido pelo
fluido frio. A máxima troca de calor ocorre quando o fluido de menor C sofrer a maior
variação de temperatura possível, isto é,
min ( )máx qe feq C T T
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Esta troca de calor seria conseguida num trocador de calor de contracorrente de área
infinita. Combinando as equações acima, obtém-se:
min ( )real qe feq C T T
Trocador de Calor de Correntes Paralelas
Considere o trocador de calor simples de correntes paralelas como aquele da figura
abaixo:
As seguintes hipóteses simplificadoras são válidas:
1. O coeficiente global de transf. de calor U é constante ao longo de todo o trocador.
2. O sistema é adiabático; ocorre transferência de calor somente entre os dois fluidos.
3. As temperaturas de ambos os fluidos são uniformes numa dada seção transversal e
podem ser representadas pela temperatura de mistura.
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.
Note que são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálculo de DMLT.
Combinando as equações acima, são obtidas as duas expressões para a efetividade:
min min
( ) ( )
( ) ( )
q qe qs f fs fe
qe fe qe fe
C T T C T T
C T T C T T
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Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o fluido quente quanto para o fluido
frio, existem dois valores possíveis para a efetividade:
:qe qs
q f q
qe fe
T TC C
T T
:fs fe
q f f
qe fe
T TC C
T T
Os índices de indicam qual fluido tem o valor mínimo de C. Para um TC muito
grande ( A )
Retomando a equação da DMLT, esta pode ser escrita em função de C da seguinte
maneira:
2
1
1 1ln
q q f f
TUA
T m c m c
, (eq. da DMLT)
1 1ln
qs fs
qe fe q f
T TUA
T T C C
Ou
1q
q f
CUA
C Cqs fs
qe fe
T Te
T T
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Se considerado que o fluido quente tem o valor mínimo de C, a partir da equação da
efetividade, obtém-se:
feqe
fefs
feqe
fsqs
feqe
feqe
feqe
qsfsfsfefeqe
esqe
qsqe
qTT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TTTTTT
TT
TT
real
f
real
feqe
fsqs
feqe
fefs
feqe
fsqs
q
C
q
C
q
TT
TT
TT
TT
TT
TT
11
Rearranjando,
feqe
fsqs
f
q
qTT
TT
C
C
11
ou
1
1
1 /
q
q f
CUA
C C
q
q f
e
C C
Se o fluido frio tem o valor mínimo de C:
qf
C
C
C
UA
fC/C
eq
f
f
1
11
Ou generalizando:
máx
C
C
C
UA
CC
e máx
/1
1
min
1 min
min
Denomina-se Número de Unidades de Transferência (NUT) ao agrupamento:
minC
AUNUT
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Então temos para um T.C de corrente paralela:
máx
C
CNUT
CC
e máx
/1
1
min
1 min
Note que, para um evaporador ou condensador, C = Cmin/Cmáx=0, porque um dos
fluidos permanece numa temperatura constante, tornando seu calor específico (aparente)
efetivo infinito.
Outras Configurações
Expressões para a efetividade de outras configurações estão na seguinte tabela, em que
C = Cmin/Cmáx. NUT (na tabela NUT está escrito como NTU – number of transfer units).
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 164
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Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 165
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Exemplo
Uma fluxo de água de 0,75 kg/s entra num TC de tubo duplo, em contra-corrente, a
temperatura de 38 °C. A água é aquecida por um fluxo de óleo de 1,51 kg/s (cp=1,88
kJ/kgK) que entra no TC a 116 °C. Para uma área de 13 m² e U=340 W/m²K determinar
o fluxo de calor total transferido.
Solução:
Cágua = 0,75 x 4184 = 3138 W/oC = 3,138 kW/
oC
Cóleo = 1,51 x 1880 = 2838,8 W/oC = 2,8388 kW/
oC
Logo, Cmin = Cóleo
Então,
NUT = UA/Cmin = 340 x13/2838,8 = 1,557
C = Cmin/Cmax = 2838,8/3138 = 0,905
Da expressão ou do gráfico do TC em tubo duplo, em contra-corrente:
� = − �−� −�− × �−� −� = − � ,557 ,9 5−− , × � ,557 ,9 5− = ,
kW,)(,,qq maxreal 813838116838826270
As temperaturas de saída das correntes quente e fria são obtidas da equação de
conservação de energia:
C,,
,
C
qTT
óleo
realqeqs 167
83882
8138116
C,,
,
C
qTT
água
realfefs 282
1383
813838
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Correntes paralelas
Considere o mesmo TC, mas agora na configuração de correntes paralelas.
498090501
1
1
1 9050155711
,,
e
C
e,,CNUT
q
kW ,)(,,qq maxreal 311038116838824980
C,,
,
C
qTT
óleo
realqeqs 077
83882
3110116
C,,
,
C
qTT
água
realfefs 173
1383
311038
Exemplo – Continuação
Calcule o fluxo de calor do trocador de calor do exemplo anterior usando o método F-
DMLT da aula anterior. Admita as temperaturas de entrada do problema e as de saída
que foram obtidas para as configurações de contra-corrente e de correntes paralelas.
Comente.
Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 167
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Solução
Contra-corrente = °
� = , ° = °
� = , ° ∆ = − � = − , = , ° ∆ = � − = , − = , °
�� = , − ,� ,, = , °
��� = × � × ��= × × , ��� = , �
Correntes paralelas = °
� = , ° = °
� = , ° ∆ = − = − = ° ∆ = � − � = , − , = , °
� = − ,� , = , °
�� = × � × �= × × , �� = , �
Comentários
(1) Nas configurações contra-corrente e correntes paralelas os valores do fluxo de
calor são os mesmos, como era de se esperar. A diferença (110,3 e 109,2 kW) no
caso de corrente paralela se deve pelo número de casas decimais usadas.
(2) Evidentemente, esse era um resultado esperado, pois os dois métodos são
equivalentes e devem levar do mesmo resultado.
(3) Note que, em geral, a configuração de contra-corrente tem uma capacidade
maior para a mesma carga térmica de trabalho, mantidas as demais condições
operacionais.
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168
AULA 20 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE
Nos casos anteriormente estudados, os de convecção interna e externa, havia o
movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento
forçado pode ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou
outra máquina de fluxo. A força da gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito
sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em
repouso e em contato com uma superfície aquecida (ou resfriada) a transferência de
calor da superfície para o fluido deverá ocorrer de forma não forçada. Nesse caso o
número de Reynolds é nulo e as correlações desenvolvidas para a convecção forçada
não se aplicam. Assim, o movimento do fluido junto à superfície vai ocorrer como
resultado de outro fenômeno, originário da variação de densidade do fluido como
consequência de gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto,
considere uma superfície vertical em contato com um fluido em repouso. A região em
contato com a superfície aquecida também vai se aquecer e, como consequência, haverá
uma diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as menos
aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas
tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e
hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da CLH, as
condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície
e também na extremidade da camada limite, como ilustrado.
Equações diferenciais
Quantidade de movimento
2
2
y
ug
x
p
y
uv
x
uu
x
y
CLH
CLT
Tœ
uœ = 0
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169
Mas, gx
p
, de forma que substituindo na equação da QM, vem
2
2
)(y
ug
y
uv
x
uu
Mas o coeficiente de expansão voluntária, , pode ser escrito como:
TTT p
11, ou )( TT (aproximação de
Boussinesq), logo,
2
2
)(y
uTTg
y
uv
x
uu
Note que para gás perfeito, ][K 11 1-
TRT
P
TP
RT
T pp
GP
A equação da Energia: 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da
convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da
energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo TTg
acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da solução dessas
camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9.4 do livro do Incropera, como ponto de
partida para aquele aluno mais interessado. De forma que, a partir desse ponto, lança-se
mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório.
O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional
chamado número de Grashof, Gr, por
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170
2
3)(
xTT
gGr sx
Este adimensional representa a razão entre as forças de empuxo e as forças viscosas na
convecção natural. Ele desempenha um papel semelhante ao do número de Reynolds na
convecção forçada, o qual representa a razão entre as forças de inércia e as forças
viscosas. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e da energia pode
ser escrita da seguinte forma geral:
Pr),(GrfNu
A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar,
resulta em:
4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu
e o valor médio de Nusselt
Lxx
L
xL NuGrdxNuL
uN 3
4Pr)952,0(Pr677,0
1 4/14/12/1
0
Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas
limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é
910Pr critGr
Relações Empíricas
Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser
relacionadas da seguinte forma.
,Pr)( mm CRaGrCuN
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171
sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a
temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de
Rayleigh
v
LTTgGrRa s
3
Pr.
a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas
Geometria Ra C m obs
4/1
35
LGrL
D Cilindros e placas verticais 104 – 109 0,59 ¼ Laminar
109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento
Cilindros horizontais 104 – 109 0,53 ¼ Laminar
109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento
b) Fluxo de calor constante
Grashof modificado: Gr* 2
4* .
k
xqgNuGrGr B
xx
Laminar, placa vertical: 5/1* Pr.60,0 xx GrNu 11*5 1010 xGr
Turbulento, placa vertical: 4/1* Pr.17,0 xx GrNu 16*13 10Pr10.2 xGr
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172
Sumário de correlações (Incropera)
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173
____________________________________________________________________
Exemplo sugerido
Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de
Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD para
cilindros horizontais.
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174
Espaços Confinados
Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes
verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas
por uma distância . A figura seguinte mostra os perfis de
velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com
MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado
na distância entre as placas:
2
321 )(
TTgGr
Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção
diminuem com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é
transferido por condução de calor. Outros regimes de convecção também existem,
dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é expresso em
T2 T1
21 TT
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175
função da distância das placas, isto é: k
hNu
. Conforme indicado por Kreith,
algumas correlações empíricas podem ser empregadas:
Gr - número de Grashof baseado na distância entre as placas.
No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não
haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e,
nesse caso, a transferência de calor se dará por meio de condução de calor simples. Já
no caso recíproco, isto é, temperatura da placa inferior maior que a da placa superior,
haverá convecção. Para um número de Grashof baseado na distância entre as placas,
Gr, inferior a 1700 haverá a formação de células hexagonais de convecção conhecidas
como células de Bernard, como ilustrado abaixo. O padrão das células é destruído pela
turbulência para Gr 50000.
Segundo Holman, há certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços
confinados pode ser expressa por meio de uma expressão geral do tipo:
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176
m
n LGrC
k
hNu
Pr
C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman
adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica.
CONVECÇÃO MISTA
Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente.
Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações e os fenômenos vão
ocorrer mediante a presença das forças que o controlam (forças de empuxo, atrito e
inercial). De forma que existem determinadas situações em que os dois efeitos
convectivos são significativos, para as quais se dá o nome de convecção mista.
Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 LLGr . As formas
combinadas dessas duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias
gerais: (a) escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas
formas de convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com
movimento forçado ascendente de ar); (b) escoamento oposto se dá quando os
movimentos induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas
(exemplo de uma placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); (c)
escoamento transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um
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177
cilindro aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto
seja resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e
natural, NuN, segundo a seguinte expressão:
n
N
n
F
n NuNuNu
Onde, o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para
escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas),
respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais,
enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos.
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178
Exemplo
Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm
de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de
TS = 69 oC e é circundada por água a T∞ = 25 oC. Determine o fluxo de calor total em
watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações:
(a) a água está em repouso;
(b) a água se movimenta com uma velocidade ascendente de U∞ = 0,04 m/s;
(c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada?
Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natural (livre) e
forçada. Para isso, verifique se a condição em que os dois efeitos são significativos dado por GrD ≈ReD2 e
use a expressão Nu3 = NuF
3 + NuN3, onde, NuN é o número de Nusselt calculado como se houvesse apenas
convecção natural e NuF se houvesse apenas convecção forçada. Todos os números de Nusselt são
baseados no diâmetro da esfera.
Solução
(a) Propriedades da água a CTT
T sf
47
2
2569
2
mKWksmxK /627,0/1082,5/0004366,0 27
smxKkgJcp /10515,1)7,0(84,3Pr/4182 27
11677
33
101014,21051,11082,5
01,0)2569(0004366,081,9
x
xxv
DTTgRa s
22
84,3
469,01
)1014,2(589,02
Pr
469,01
589,02 9/416/9
4/16
9/416/9
4/1
xRa
Nu N
KmWD
kNuh NN
2/137901,0
627,022
222 0003140010 m,,DAs
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179
W,,TTAhq ssNN 119256900031401379
(b)
556398
)1082,5(
01,0)2569(0004366,081,927
3
2
3
xv
DTTgGr s
D
6871082,5
01,004,0Re
7
xv
DUD
121,1687
556398
Re 22
D
DGr
mskgmskgx s /10400/10557 66
25,0
4,05,05,0
25,0
4,03/25,0
400
55784,368706,06874,02PrRe06,0Re4,02
s
DDFNu
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