Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.

Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

F

Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.

F

Velocidad

EE E E

El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.

La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad

disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial.

F

F

Velocidad

1EE 2E 3E

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.

Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es

mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa).

F

F ViscosaVelocidad

FEE E

F(t)

FEE

Forzado Ext

El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun...

Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:

FF(t)

xmxkxAeiwt

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.

La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición

inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de

equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

FF(t)

),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.

La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición

inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de

equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

FF(t)


Independiente de las condiciones iniciales

Una aproximación empírica a la solución estacionaria.SIMULACIONES 1

Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

FF(t)



PosiciónVelocidad

(Punto de equilibrio)x=0

Crónica de una oscilación

Posición en el punto de equilibrio y velocidad positiva y de modulo

máximo

0

PosiciónVelocidad



Durante este cuarto de ciclo la posición es positiva así como la velocidad. A medida

que aumenta la posición, la velocidad

disminuye.

20

PosiciónVelocidad



Posición en el punto máximo (positivo), la

velocidad es 0 y cambia de signo.

2

PosiciónVelocidad



Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x

es positiva pero la velocidad es negativa.

2

PosiciónVelocidad



Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser

la misma pero la velocidad se ha

invertido. Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación inversa...

PosiciónVelocidad



Durante este cuarto de ciclo de la oscilación

tanto x como la velocidad son

negativas.

2

3

PosiciónVelocidad



Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x

es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.

22

3

PosiciónVelocidad



Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de

pi/2) el ciclo se ha completado. Fase de 0

o de 2pi es estrictamente lo mismo.

2

Velocidad PositivaVelocidad Negativa

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.

x

t



x

t

Fuerza



x

t

v>0F>0+E

v<0F>0-E

v<0F<0+E

v>0F<0-E

Si el movimiento y la fuerza están en fase, la transferencia de energía es 0

Fuerza



x

t

v>0F>0+E

v<0F<0+E

v<0F<0+E

v>0F>0+E

La transferencia de energía es optima cuando la diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.

Fuerza

Una aproximación empírica a la solución estacionaria.

Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

FF(t)




FF(t)


)cos()( twAtxE

Solución analitica a la solución estacionaria.

FF(t)


)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan


FF(t)

)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

Conclusión 1: Tanto A como fi, quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es

insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)

F(t)

)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan


F(t)

)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

)sin()0(:)cos()0( AvAx )cos()( twAtx

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso).

F(t)

)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

)sin()0(:)cos()0( AvAx

))0(

)0(arctan(

)cos(

)sin(

)0(

)0(

x

v

x

v

)cos()( twAtx


F(t)

)cos()( twAtxE

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

)cos()( twAtx )sin()0(:)cos()0( AvAx

))0(

)0(arctan(

)cos(

)sin(

)0(

)0(

x

v

x

v

22222222 )0()0()(sin)(cos)0()0( yxAAAyx


F(t)

)cos()( twAtx 22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

)cos()( 0 twAtx ))0(

)0(arctan(

x

v22 )0()0( yxA

ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS


F(t)


mww

FA

rwk

wmarctan

Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.

F(t)

22 )(wk

mww

FA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

g=0.2

g=0.2

Dos términos positivos. La función será máxima cuando cada uno se minimice.

00)( wm

kw

w

kmw

k=5,m=1

1)La amplitud (y por ende la transferencia de energía) es máxima cuando la frecuencia del forzado es igual a la frecuencia natural del oscilador.2) La amplitud máxima es inversamente proporcional a la velocidad. Nótese que para viscosidad cero es infinita. ¿Porque?


F(t)

22 )(wk

mww

FA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

g=0.2

g=0.2

k=5,m=1

22)0(

k

FA

0)( A

k

mFAwA

max0 )(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


F(t)

22 )(wk

mww

FA

g=2

g=0.5

k=30,m=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

g=2

Cambio de escala

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


F(t)

22 )(wk

mww

FA

g=2

g=0.5

k=30,m=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

g=2

mk

El ancho de la curva de amplitud escalea con la viscosidad y

disminuye con la raíz de la masa y la constante elástica. Nótese que esta comparación es equivalente al cociente para determinar si un

oscilador no forzado llega a oscilar o no.

Amplitud del forzado en función de la masa.

F(t)

22 )(wk

mww

FA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

m=1

m=3

Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas y un mundo “en aparencia” mas

viscoso.

Espectro, una función de transferencia.

F(t)

22 )(wk

mww

FA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE RESONANCIA, que es característico y que establece una huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.


F(t)


mww

FA

rwk

wmarctan

Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.

Fase del forzado en función de los parámetros físicos.

F(t)

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rwk

wmarctan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

k=5,m=1,g=0.5

02

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase del forzado en función de los parámetros físicos.

F(t)

rwk

wmarctan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

k=5,m=1,g=0.5

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud

F(t)

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k=30;gama=2;m=1;


F(t)

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k=30;gama=0.5;m=1;


F(t)

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

k=30;gama=0.5;m=5;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


F(t)

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

k=60;gama=0.5;m=5;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Espectro, una función de transferencia: Fase y amplitud

F(t)

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

k=60;gama=0.5;m=5;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

DILATACION

ROTACION

ieAT

Espectro, una función de transferencia. Un producto complejo.

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

DILATACION

ROTACION

STIMiwtSTIM eA

ieAT

STIMiwtSTIM eAT

STIMiwtSTIM eAA

Espectro, una función de transferencia compleja.

22 )(wk

mww

FA

rwk

wmarctan

DILATACION

ROTACION

STIMiwtSTIM eA

ieAT

STIMiwtSTIM eAT

STIMiwtSTIM eAA

Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w).

Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

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