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Vorlesungsskript
PHYS2100
Physik II für Physiker,
Wirtschaftsphysiker und
Lehramtskandidaten
Othmar Marti
Institut für Experimentelle Physik
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Universität Ulm
20. Februar 2007
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2
2 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Für Gabriela
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Vorläu�geVersionInhaltsverzeichnis
1 Einleitung 91.1 Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche . . . . . . . . . . . 91.3 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Vorlesungstermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Seminargruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Seminardaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Mechanik deformierbarer Medien 192.1 Elastomechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Dehnung und Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Verdrillung eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.4 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.5 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . . . . . 252.1.6 Anelastisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.7 Elastomechanik anisotroper Körper . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Gestalt von Flüssigkeitsober�ächen . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.4 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.5 Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.6 Atmosphärendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.7 Druck als Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Ober�ächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Freie Ober�ächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1 Beschreibung von Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Lokale und totale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3 Innere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.4 Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.5 Strömung idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.6 Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.7 Helmholtzsche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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Inhaltsverzeichnis 6
3 Wärmelehre 613.1 Wärmeenergie und Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Gleichverteilungsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Maxwell-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6 Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.1 Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.2 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Boltzmannverteilung und Di�usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7.1 Di�usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7.2 Di�usionsgleichgewicht im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . 76
3.8 Wärmekraftmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.1 Otto-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.2 Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.9 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.9.1 Lineare Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.2 Wärmeübertrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.3 Wärmeleitung in einem Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.10 Der zweite Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.10.1 Beispiel für Perpetuum Mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10.2 Entropie, Statistische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.10.3 Energie und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 933.10.4 Gleichgewicht von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.11 Wärmereservoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.12 Wie breit ist das Maximum von Ω(E)? . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.13 Anzahl Zustände und externe Parameter . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.13.1 Gleichgewicht zwischen zwei Systemen . . . . . . . . . . . . 1083.14 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . 1103.15 Anwendung auf das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.16 Mischungsentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.17 Extensive und intensive Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.18 Relationen zwischen thermodynamischen Grössen . . . . . . . . . . 114
3.18.1 Relationen zwischen S, U , V , T , p . . . . . . . . . . . . . . 1153.19 Maxwellrelationen für homogene Substanzen . . . . . . . . . . . . . 116
3.19.1 Abgeleitet aus der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . 1163.19.2 Abgeleitet aus der Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.19.3 Abgeleitet aus der freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . 1183.19.4 Abgeleitet aus der freien Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . 1193.19.5 Zusammenfassung der Maxwellrelationen . . . . . . . . . . . 1203.19.6 Die vier thermodynamischen Potentiale . . . . . . . . . . . . 1203.19.7 Gleichgewichte und thermodynamische Potentiale . . . . . . 122
3.20 Allgemeine Formel für spezi�sche Wärmen . . . . . . . . . . . . . . 1243.21 Anwendung auf das Van-der Waals Gas . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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7 Inhaltsverzeichnis
3.22 Joule-Thomson-E�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.23 Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.23.1 Verdampfungsenergie und Steigung der Dampfdruckkurve . . 1353.23.2 Arrhenius-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.23.3 Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit . . . . . . . . . . 1373.23.4 Phasenregel von Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.24 Mehrsto�systeme, Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.24.1 Chemische Potentiale und weitere Maxwellrelationen . . . . 1393.24.2 Zweiphasensystem als Zweikomponentensystem . . . . . . . 140
3.25 Chemische Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.25.1 Reaktionsenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.25.2 Reaktionskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.26 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.27 Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.27.1 Kategorisierung von Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . 146
A Begri�e 149
B Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten 161
C Di�erentiation und Integration 163C.1 Di�erentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164C.2 Di�erentiation einfacher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.3 Taylorreihe und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166C.4 Einige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168C.5 Ableitungen in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.5.1 Gradient in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 169C.5.2 Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 170C.5.3 Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 171
D Identitäten mit Vektorprodukt, Gradient, Divergenz und Rotation 173
E Rechnen mit Integralen 175E.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176E.2 Berechnung von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
F Umrechnungen zwischen kartesischen, sphärischen und zylindrischenKoordinatensystemen 179F.1 Vom kartesischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . . 180F.2 Vom sphärischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . . 180F.3 Vom kartesischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 180F.4 Vom zylindrischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . 181F.5 Vom sphärischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 181F.6 Vom zylindrischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . 181
G Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten 183G.1 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
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Inhaltsverzeichnis 8
G.2 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188G.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
H Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 195
I Korrekturen 197
Abbildungsverzeichnis 198
Tabellenverzeichnis 202
Stichwortverzeichnis 206
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1 Einleitung
1.1 Dank
Ohne die hingebungsvolle Arbeit des Entzi�erns meiner Handschrift durch TamaraStadter würde dieses Skript nicht existieren.
1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien undVersuche
ÜbungsblätterAngegeben ist das Ausgabedatum.
• Übungsblatt 01 ausgegeben am 24. 04. 2006Lösungsblatt 01 ausgegeben am 21. 06. 2006
• Übungsblatt 02 ausgegeben am 27. 04. 2006Lösungsblatt 02 ausgegeben am 03. 05. 2006
• Übungsblatt 03 ausgegeben am 04. 05. 2006Lösungsblatt 03 ausgegeben am 10. 05. 2006
• Übungsblatt 04 ausgegeben am 11. 05. 2006Lösungsblatt 04 ausgegeben am 17. 05. 2006
• Übungsblatt 05 ausgegeben am 18. 05. 2006Lösungsblatt 05 ausgegeben am 24. 05. 2006
• Übungsblatt 06 ausgegeben am 22. 05. 2006Lösungsblatt 06 ausgegeben am 22. 06. 2006
• Übungsblatt 07 ausgegeben am 01. 06. 2006Lösungsblatt 07 ausgegeben am 16. 06. 2006
• Übungsblatt 08 ausgegeben am 08. 06. 2006Lösungsblatt 08 ausgegeben am 21. 06. 2006
• Übungsblatt 09 ausgegeben am 16. 06. 2006Lösungsblatt 09 ausgegeben am 28. 06. 2006
• Übungsblatt 10 ausgegeben am 22. 06. 2006Lösungsblatt 10 ausgegeben am 06. 07. 2006
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Einleitung 10
• Übungsblatt 11 ausgegeben am 29. 06. 2006Lösungsblatt 11 ausgegeben am 20. 07. 2006
• Übungsblatt 12 ausgegeben am 06. 07. 2006Lösungsblatt 12 ausgegeben am 21. 07. 2006
• Übungsblatt 13 ausgegeben am 13. 07. 2006Lösungsblatt 13 ausgegeben am 25. 07. 2006
• Übungsblatt 14 ausgegeben am 20. 07. 2006Lösungsblatt 14 ausgegeben am 25. 07. 2006
• Aufgaben und Lösungen der Klausur vom 28. 7. 2006Ergebnisse der Klausur vom 28. 7. 2006
• Ergebnisse der Nachklausur vom 28. 10. 2006
Folien
• Folien zur Vorlesung am 24. 04. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 27. 04. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 04. 05. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 08. 05. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 11. 05. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 18. 05. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 29. 05. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 01. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 08. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 12. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 19. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 26. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 29. 06. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 03. 07. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 06. 07. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 13. 07. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 17. 07. 2006 PDF
10 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
file:ueb/klausur_1_resultat.htm
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11 1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche
• Folien zur Vorlesung am 20. 07. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 24. 07. 2006 PDF
• Folien zur Vorlesung am 27. 07. 2006 PDF
Übungsblätter und Folien werden in der Regel in der Vorlesung zugänglich ge-macht.
Versuche
24.04.2006 • Versuch zur Vorlesung: Elastische Dehnung (VersuchskarteM-100)
• Versuch zur Vorlesung: Kraft-Dehnungskurve eines Gummibandes(Versuchskarte M-111)
• Versuch zur Vorlesung: Volumenerhaltung (Versuchskarte M-123)• Versuch zur Vorlesung: Elastizitäts- und Schubmodul (Versuchskar-te M-114)
• Versuch zur Vorlesung: Schubmodul von Stahl (Versuchskarte M-003)
27.04.2006 • Versuch zur Vorlesung: Aggregatszustände: fest, �üssig, gas-förmig
• Versuch zur Vorlesung: Flüssigkeitsober�äche in rotierendem Becher• Versuch zur Vorlesung: Hydraulische Presse (Versuchskarte M-008)
04.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Atmosphärendruck (VersuchskarteM-024)
• Versuch zur Vorlesung: Auftrieb (Versuchskarte MF-032)• Versuch zur Vorlesung: Schwimmende Prismen (Versuchskarte MF-045)
• Versuch zur Vorlesung: Auftrieb: Aräometer (Versuchskarte MF-057)
• Versuch zur Vorlesung: Druckmessgeräte (Versuchskarte MF-055)• Versuch zur Vorlesung: Barometrische Höhenformel (VersuchskarteTH-003)
08.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Messung mitRing (Versuchskarte MF-063)
• Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Minimal�ächen (Ver-suchskarte MF-065)
• Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Randwinkel vonTropfen (Versuchskarte MF-059)
• Versuch zur Vorlesung: Druck in Seifenblasen (Versuchskarte MF-060)
c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 11
http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_100V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_100V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_111V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_123V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_114V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_114V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_003V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_003V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF008V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF024V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF024V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF032V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF045V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF045V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF057V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF057V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF055V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th003V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th003V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF063V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF065V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF065V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF059V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF060V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF060V00.PDF
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Einleitung 12
• Versuch zur Vorlesung: Kapilarwirkung bei der Keilküvette (Ver-suchskarte MF-061)
11.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung von Wasser(Versuchskarte MF-072)• Versuch zur Vorlesung: Laminare Strömung um Hindernisse (Ver-suchskarte MF-012)• Versuch zur Vorlesung: Grenzschicht bei Flüssigkeiten (Versuchskar-te MF-058)• Versuch zur Vorlesung: Übergang laminare-trubulente Strömung(Versuchskarte MF-021)• Versuch zur Vorlesung: Viskosität und Strömungspro�l: Honigver-such (Versuchskarte MF-010)
15.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitspro�l bei laminarerStrömung (Versuchskarte MF-013)• Versuch zur Vorlesung: Gesetz von Hagen-Poiseuille (VersuchskarteMF-033)• Versuch zur Vorlesung: Stokessches Gesetz (Versuchskarte MF-011)
18.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Trag�ügel (Versuchskarte MF-004)• Versuch zur Vorlesung: Magnus-E�ekt (Versuchskarte MF-005)• Versuch zur Vorlesung: Bernoulli-Gleichung (Versuchskarte MF-003)
22.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Turbulente Strömung (VersuchskarteMF-017)• Versuch zur Vorlesung: Flüssigkeitsthermometer (VersuchskarteTH-121)• Versuch zur Vorlesung: PT-100-Thermometer (Versuchskarte TH-122)• Versuch zur Vorlesung: Bimetallthermometer (Versuchskarte TH-118)
29.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Wärmekapazität: Mischungskalori-meter (Versuchskarte TH-060)• Versuch zur Vorlesung: Charles-Gesetz: Temperaturabhängigkeitdes Volumens (Versuchskarte TH-012)• Versuch zur Vorlesung: Gay-Lussac-Gesetz: Temperaturabhängig-keit des Drucks (Versuchskarte TH-013)• Versuch zur Vorlesung: 1. Hauptsatz: Mechanisches Wärmeäquiva-lent: Kurbelapparat (Versuchskarte TH-020)• Versuch zur Vorlesung: 1. Hauptsatz: mechanisches Wärmeäquiva-lent: Fallendes Bleischrot (Versuchskarte TH-019)
01.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Adiabatenexponent (VersuchskarteTH-064)
12 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
13 1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche
• Versuch zur Vorlesung: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung(Versuchskarte TH-018)
08.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung: Rüt-telkasten (Versuchskarte TH-095)
• Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung (Versuchs-karte TH-095)
12.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Di�usion (Versuchskarte TH-027)• Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: Stirling-Motor (Ver-suchskarte TH-033)
• Versuch zur Vorlesung: Wärmeleitung: Wärmepuls (VersuchskarteTH-034)
• Versuch zur Vorlesung: Wärmeleitung: Eindimensional in Metallen(Versuchskarte TH-079)
19.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: Bimetallstrei-fen (Versuchskarte TH-126)
• Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: trinkende Ente (Ver-suchskarte TH-037)
• Versuch zur Vorlesung: Entropieelastizität (Versuchskarte TH-008)
22.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kreisprozess: Dampfboot (Versuchs-karte TH-127)
• Versuch zur Vorlesung: Adiabate und Isotherme (Versuchskarte TH-067)
• Versuch zur Vorlesung: Statistik: Galton-Brett (Versuchskarte TH-077)
03.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: p-V-T-Diagramm (VersuchskarteTH-042)
• Versuch zur Vorlesung: Zustandsdiagramm (Versuchskarte TH-041)• Versuch zur Vorlesung: Kritischer Punkt (Versuchskarte TH-017)
06.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Joule-Thomson-E�ekt (Versuchskar-te TH-070)
10.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Sauersto�-Ver�üssigung (Versuchs-karte TH-029)
13.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kristallisation (Versuchskarte TH-115)
• Versuch zur Vorlesung: Latente Wärme (Versuchskarte TH-016)• Versuch zur Vorlesung: Latente Wärme: Handwärmer (Versuchskar-te TH-081)
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http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH018V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH095V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH090V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH090V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH027V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH034V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH034V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH079V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH126V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH037V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH037V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH008V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH127V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH127V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH067V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH067V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH077V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH077V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH042V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH042V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH041V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH017V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH070V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH070V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH029V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH029V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH115V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH115V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH016V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH081V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH081V00.PDF
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Vorläu�geVersion
Einleitung 14
• Versuch zur Vorlesung: Sieden und Schmelzen von Wasser (Ver-suchskarte TH-049)
• Versuch zur Vorlesung: Phasenregel (Versuchskarte TH-047)
17.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Lösungsenthalpie (VersuchskarteTH-039)
• Versuch zur Vorlesung: Siedepunktserhöhung (Versuchskarte TH-028)
• Versuch zur Vorlesung: Geysir-Modell (Versuchskarte TH-080)
20.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Dreifachosmometer (VersuchskarteTH-075)
24.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kältemischungen (VersuchskarteTH-038)
• Versuch zur Vorlesung: Mischungslücke (Versuchskarte TH-040)
27.07.2006 • Versuch zur Vorlesung:Knallgasreaktion (Versuchskarte TH-061)
1.3 Literaturhinweise
Als Begleitliteratur zur Vorlesung können die Lehrbücher �GerthsenPhysik�[Mes04] und �Tipler, Physik�[Tip94] und, als leichtere Einführung,das Buch von Halliday[HRW03] verwendet werden.Zur Mathematik sind die Werke von Arfken und Weber[AW95] und das Internet-
skript von Komma[Kom96] zu empfehlen. Mathematische Probleme und Formelnsind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst.Zum Aufarbeiten des gelernten Sto�es (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch
Kneubühls[Kne74] �Repetitorium der Physik�empfohlen werden.Das hier vorliegende Skript ist in einer rudimentären Fassung vorhanden. Es
gibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site. Korrekturen �nden Sie im Internetunter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/korrekturen.htm.Die Geschichte der Physik ist von Simonyi[Sim90] hervorragend dargestellt.Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von
R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.In diesem Skript werden alle Vektoren fett gedruckt, d.h r = −→r . Begri�e aus
dem Index werden kursiv gedruckt.
1.4 Termine
• Erster Vorlesungstag: Montag, 24. April 2006.
• Letzter Vorlesungstag: Dienstag, 27. Juli 2006.
14 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH049V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH049V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH047V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH039V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH039V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH028V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH028V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH080V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH075V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH075V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH038V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH038V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH040V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH061V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH061V00.pdfhttp://www.mikomma.de/fh/modphys.pdfhttp://www.mikomma.de/fh/modphys.pdfhttp://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/korrekturen.htmhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.htmlhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmath
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Vorläu�geVersion
15 1.4 Termine
• Vorlesung Montag von 08:15�10:00 und Donnerstag jeweils 08:15�10:00 imHörsaal H2.
• Scheinklausur voraussichtlich am 29. Juli 2006 (Nachklausur im Oktober).
• Seminargruppen �nden am Montag und am Freitag statt
� Mo 10�12 in O25/H6, N25/203 und N25/204 sowie am Mo 16�18 inN25/203 und N25/207
� Mi 16�18 in O25/169, N25/203, N25/204, N25/207 und O25/151
• Während den Übungsstunden werden Aufgaben von Studierenden vorgelöst.Sie können sich freiwillig melden, oder werden vom Übungsleiter ausgesucht.
• Die Klausuren werden gewertet, wenn Sie einerseits an mindestens 20Übungsdoppelstunden teilgenommen haben, 60% der Aufgaben votiert undwenn Sie die geforderte Anzahl Male vorgerechnet haben. Diese Zahlen re-duzieren sich, wenn Sie aus Gründen, die Sie nicht zu vertreten haben (mitNachweis!), nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.
• Einen Schein erhalten Sie dann wenn Sie zwei von drei Klausuren bestandenhaben.
• Denken Sie daran, dass auch Aufgaben, die Sie nicht gelöst haben, Sto� derKlausur sind.
• Kontakte:
Vorlesung Prof. Dr. sc. nat/ETH Zürich Othmar Marti, N25/508,[email protected], Tel. 23011
Vorlesungsassistenz Die Vorlesungsassistenten sind:
Manuela Pluntke N25/535 [email protected], Tel. 23022Johannes Gäckle [email protected]
Aufgabenstellung Bernd Heise N25/517 [email protected], Tel.23008
Seminargruppen Die Seminarassistenten sind:
Christopher Eckert [email protected] Mark [email protected] Holzwarth N25/538 [email protected], Tel.
23023Frank Sperka N25/535 [email protected], Tel. 23034Andreas Kleiner N25/517 [email protected], Tel. 23012
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mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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Einleitung 16
1.4.1 Vorlesungstermine
Monat Datum Datum Monat Datum DatumApril 24.04. 27.04. Juni 22.06. 26.06.Mai 04.05. 08.05. 29.06.
11.05. 15.05. H Juli 03.07. 06.07.18.05. 22.05. 10.07. H 13.07.29.05. 17.07. 20.07.
Juni 01.06. 08.06. 24.07. 27.07.12.06. 19.06
Tabelle 1.1: Vorlesungstermine. An den mit �H� markierten Terminen wer-de ich in der Vorlesung vertreten, da ich als gewähltes Mitgliedan der Sitzung des Universitätsrates teilnehme.
1.4.2 Seminargruppen
Gruppe 1 Frank Sperka, Montag, 10�12, O25/H6 und Mittwoch 16�18, O25/169
Gruppe 2 Christopher Eckert, Montag 10�12, N25/203 und Mittwoch 16�18,N25/203
Gruppe 3 Michael Holzwarth, Montag 10�12, N25/204 und Mittwoch 16�18,N25/204
Gruppe 4 Andreas Kleiner, Montag 16�18, N25/207 und Mittwoch 16�18,N25/207
Gruppe 5 Daniel Mark, Montag 16�18, N25/203 und Mittwoch 16�18, O25/151
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Vorläu�geVersion
17 1.4 Termine
1.4.3 Seminardaten
Übung Daten Übung Daten1. Teil 2. Teil 1. Teil 2. Teil
1 26. 04. 2006 8 12. 06. 2006 14. 06. 20062 03. 05. 2006 9 19. 06. 2006 21. 06. 20063 08. 05. 2006 10. 05. 2006 10 26. 06. 2006 28. 06. 20064 15. 05. 2006 17. 05. 2006 11 03. 07. 2006 05. 07. 20065 22. 05. 2006 24. 05. 2006 12 10. 07. 2006 12. 07. 20066 29. 05. 2006 31. 05. 2006 13 17. 07. 2006 19. 07. 20067 07. 06. 2006 14 24. 07. 2006 26. 07. 2006
Tabelle 1.2: Seminartermine
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Vorläu�geVersion
Einleitung 18
18 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
2 Mechanik deformierbarer
Medien
Bis jetzt haben wir mit starren Körpern gerechnet, aber: starre Körper existie-ren nicht.Körper können folgendermassen deformiert werden:
Abbildung 2.1: Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers
2.1 Elastomechanik
2.1.1 Dehnung und Kompression
Zieht man an einem Draht (Länge `, Querschnitt d und Querschnitts�äche A =π4d2), dann vergrössert sich die Länge um ∆` und verringert sich (meistens) der
Querschnitt um ∆d.
∆` = �`
−∆d = µ�d (2.1)
Es sind
• � die relative Dehnung
• µ die Poisson-Zahl
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 20
Wir de�nieren nun die Spannung
σ =F
A(2.2)
dabei ist F die an der Querschnitts�äche A wirkende Kraft .
Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung σ und Dehnung �
σ = E� (2.3)
E ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (imenglischen Young's Modulus genannt).Einheiten
• �: dimensionslos
• σ: Nm2
• E: Nm2
Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir
δ` =1
E
`F
A(2.4)
Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderungberechnen. Wir setzen an, dass V = `d2 ist
∆V = d2∆`+ 2`d∆D = V∆`
`+ 2V
∆d
d(2.5)
Umgeschrieben erhalten wir
∆V
V=
∆`
`+ 2
∆d
d= �− 2µ� = �(1− 2µ) = σ
E(1− 2µ) (2.6)
Wir sehen, dass für positives ∆V die Poisson-Zahl der Ungleichung µ ≤ 0.5genügen muss. In speziellen fällen kann µ auch grösser als 0.5 sein.Wir haben hier σ und � als Skalare angenommen.Wird der Testkörper hydrostatischem Druck ∆p unterworfen, ist also die Span-
nung auf allen Seiten gleich, ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert,der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.
∆V
V= −3∆p
E(1− 2µ) (2.7)
Die Kompressibilität κ = ∆VV ∆p
ist
κ =3
E(1− 2µ) (2.8)
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Vorläu�geVersion
21 2.1 Elastomechanik
Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante k = ∆F∆`
= AE`
zuschrei-ben.Bei der Dehnung wird die Arbeit
W =
∆`∫0
kxdx =1
2k∆`2 =
1
2EA`
∆`2
`2=
1
2EV �2 (2.9)
verrichtet. Wenn wir die Arbeit , oder Energie, pro Volumeneinheit ausrechnen, istdie elastische Energiedichte
w =1
2E�2 (2.10)
2.1.2 Scherung
Abbildung 2.2: Scherung eines Würfels
Wenn die Kraft F tangential zur Ober�äche steht, dann wird der Testkörpergeschert. Wenn die Stirn�äche des Würfels A ist, ist die Schubspannung
τ =F
A(2.11)
Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel αgeschert.
τ = Gα (2.12)
Einheiten
• α: dimensionslos
• τ : Nm2
• G: Nm2
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 22
G ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherener-
giedichte
w =1
2Gα2 (2.13)
geschrieben werden.
2.1.3 Verdrillung eines Drahtes
Abbildung 2.3: Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxialeZylinder unterteilt.
Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente M einen Draht um denWinkel φ. Ein Hohlzylinder mit dem Radius r un der Dicke dr wird um
α =rφ
`(2.14)
geschert. Wir benötigen die Scherspannung τ = Gα und eine Scherkraft dF =τ · 2πrdr. Das Drehmoment ist also
dM = dFr =2πGφ
`r3dr (2.15)
Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration
M =
R∫0
=2πGφ
`r3dr =
π
2GR4
`φ (2.16)
Wir können dem Draht die Richtgrösse
Dr =M
φ=π
2GR4
`(2.17)
zuschreiben. Beachte, dass die Richtgrösse Dr extrem stark vom Drahtdurchmesserabhängt.
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23 2.1 Elastomechanik
2.1.4 Biegung
Abbildung 2.4: Biegebalken
Biegebalken werden heute in vielen die Ober�ächen abtastenden Instrumenteneingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.Der Balken der Länge `, Breite b und Dicke h soll einseitig eingespannt sein.
Wir legen am Ende eine Kraft F an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage desBalkens sein soll. An einem Punkt im Abstand x vom Balkenende ist als Wirkungder Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von r. Dieoberen Schichten werden um h
2rgedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In
der Mitte be�ndet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über dieobere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnungh4r. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie
auch für die Dehnung wird eine Kraft von F̃ = E · h4r
hb2, und analog dazu eine
Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand h2),
das Drehmoment
M(x) = F̃h
2≈ Eh
3b
16r≈ αEh
3b
r(2.18)
α ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung be-rechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung,dass α = 1/12 und nicht 1/16 ist. Die Ursache für das Drehmoment M(x) ist dieKraft F am Ende des Balkens im Abstand x. Wir erhalten
Fx = M(x) =αEh3b
r(2.19)
oder
r =αEh3b
Fx(2.20)
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 24
Die Krümmung 1/r ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung σist
σ = Eh
2r=Eh
2
F`
αEh3b=
F`
2αh2b(2.21)
Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspann-stelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eineszweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit h
2b`.
Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken �nden sich in der Mikro-systemtechnik.
Abbildung 2.5: Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig ein-gespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln (W.Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 84])
Abbildung 2.6: REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a)und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Disserta-tion Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])
24 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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25 2.1 Elastomechanik
2.1.5 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten
Abbildung 2.7: Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung
Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherungum den Winkel α. Der Schermodul des Materials ist also
G =2F
αd2
Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot) aufgespal-ten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegendenFlächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken ei-ne reine Dehnung oder Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombinationvon einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Scherung auf-gefasst werden. Die eine Diagonale wird um αd/
√2 gedehnt, die andere um den
gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grössed · d√
2. Die Kräfte müssen gemittelt werden, so dass sie e�ektiv nur halb so grosswie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte F/
√2 erzeugt eine relative
Dehnung oder Stauchung um FEd2
in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder-dilatation von µ F
Ed2dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder Dilatation
von 2F (1+µ)Ed2
= ∆``
= αd√2d√
2= α
21. Wir erhalten
E =4F (1 + µ)
αd2
und durch Vergleich
E = 2G(1 + µ) (2.22)
1Die Kräfte an gegenüberliegenden Ecken haben die gleiche Wirkung: die eine ist die Gegenkraft
zur anderen, deshalb muss nur eine berücksichtigt werden.
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Mechanik deformierbarer Medien 26
Da die Poissonzahl 0 < µ < 0.5 ist, bekommt man auch
E
2> G >
E
3(2.23)
2.1.6 Anelastisches Verhalten
Abbildung 2.8: Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss
Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehrlinear. Wir nennen diesen Bereich auch den �Nicht-Hookeschen� Bereich. Im obi-gen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können diefolgenden Bereiche unterschieden werden:
• Für kleine Dehnungen � bis zur Elastizitätsgrenze σE wir alle in der Defor-mation gespeicherte Energie bei der Entlastung wieder zurückgewonnen.
• Bis zur Proportionalitätsgrenze σP ist die Dehnung proportional zur Span-nung.
• An der Streckgrenze σS beginnen, manchmal schubweise, starke plastischeVerformungen.
• An der Festigkeitsgrenze σF , auch Fliessgrenze genannt, beginnt das Materialzu �iessen.
• Bei der Bruchdehnung �B bricht das Material.
26 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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27 2.1 Elastomechanik
2.1.7 Elastomechanik anisotroper Körper
Abbildung 2.9: Allgemeine Kräfte an einem Würfel
An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Span-nungen sowie Deformationen auftreten:
• An jeder der 6 Flächen können� 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und� 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Di-latation sowie zwei Scherungen bestehen.
• Da keine Netto-Kraft und kein Netto-Drehmoment auf den Würfel wirkensoll, müssen die Kräfte in die x-, y-, oder z-Richtung auf gegenüberliegendenSeiten gegengleich sein.
• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezi�zieren.
• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleichsein.
• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.
• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einenTensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbundensind.
Formal
σi,j =∑
k
∑`
Ei,j,k,`�k,` mit i, j, k, ` = x, y, z (2.24)
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Mechanik deformierbarer Medien 28
Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systemsvon der Orientierung der Probe abhängt. Je höher die Symmetrie eines materialsist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropenMediums bleiben zwei, E und G.
2.2 Flüssigkeiten und Gase
2.2.1 Aggregatszustände
Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zu-ständen, Aggregatszustände genannt, vor.
FestFlüssig Gas Plasma
wohlde�nierteAbstände
wohlde�nierteAbstände
Abstände va-riabel
Abstände va-riabel
geometrischperiodischeAnordnung
nur Nahord-nung
keine Nahord-nung
keine Nahord-nung
Form ist stabil grössere Kräf-te zwischenAtomen
sehr kleineKräfte zwi-schen Atomen
Kerne undElektronensind getrennt,grosse Cou-lombkräfte
grosse Kräftezwischen Ato-men
im Gravi-tationsfeld
wohlde�nierteOber�äche
Im Gravita-tionfeld keinede�nierteOber�äche
Im Gravita-tionfeld keinede�nierteOber�äche
schwingen ge-geneinander
verschiebensich gegenein-ander
Dichte ≈ 1000x kleiner als inFlüssigkeit
Dichte varia-bel
form- und vo-lumenelastisch
Formänderungkraftlos mög-lich (ohneGeschwindig-
keit)
raumfüllend raumfüllend
Tabelle 2.1: Aggregatszustände
2.2.2 Gestalt von Flüssigkeitsober�ächen
28 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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29 2.2 Flüssigkeiten und Gase
Abbildung 2.10: Flüssigkeitsober�äche
Eine Kraft F tangential zur Flüssigkeitsober�äche bewirkt eine Verschiebungaber keine Formänderung
An der Flüssigkeitsober�äche gibt es keine Tangentialkräfte.
Abbildung 2.11: Ober�äche einer rotierenden Flüssigkeits�äche
Beispiel: Ka�ee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeits�ächeberechnen.
Fres =
√(dm ω2r)2 + (dm g)2
=(√
ω4r2 + g2)dm
tgα =dm ω2r
dm g=ω2r
g(2.25)
und
y =
r∫0
ω2r
gdr =
1
2
ω2
gr2 (2.26)
Eine rotierende Flüssigkeitsober�äche hat also Parabelform.
2.2.3 Druck
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Mechanik deformierbarer Medien 30
Abbildung 2.12: De�nition des Druckes
Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.Es sei
∆F n = −p ·∆A ·nWir nennen p den isotropen Druck. Die Einheit von p ist Pascal
[Nm2
]= [Pa]
Bemerkung: die Energiedichte EVhat die gleiche Einheit wie der Druck. Ein-
gehendere Überlegungen zeigen, dass Druck immer mit einer Energiedichte, undEnergiedichte mit Druck verbunden ist.
Merken Sie sich die Identität:
Energiedichte =Druck
2.2.3.1 Wirkung auf Körper
Eine Druckänderung ∆p bewirkt eine Volumenänderung.
∆V
V= θ = ∆ lnV (2.27)
Lokal bewirkt eine Volumenänderung ∆V eine Dichteänderung ∆ρ.
θ = −∆ρρ
= −∆ ln ρ (2.28)
(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung
∆p = −Kθ = − 1βθ (2.29)
K heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist 1Pascal = 1Pa = 1 Nm2. Wir
haben weiter
κ = − 1V
dV
dp=
1
ρ
dρ
dp(2.30)
κ heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist Pa−1 = m2
N
30 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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31 2.2 Flüssigkeiten und Gase
2.2.3.2 Hydraulische Presse
Abbildung 2.13: Hydraulische Presse
Wir haben
F1 = pA1
F2 = pA2
undF1A1
=F2A2
(2.31)
Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellenVerrückungen berechnet werden.
2.2.3.3 Druckarbeit
Abbildung 2.14: Druckarbeit
Das Di�erential der Druckarbeit ist
dW = Fdx = pAdx = −pdV (2.32)
da daAdx = −dV ist. Also ist die geleistete Arbeit :
W = −∫pdV =
∫βV pdp (2.33)
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Mechanik deformierbarer Medien 32
Ändert sich V wenig, so ist die Druckarbeit
W = V
∫βpdp =
1
2βV(p22 − p21
)(2.34)
2.2.4 Schweredruck
Abbildung 2.15: Berechnung des Schweredruckes
Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist Ahρ =m. Die daraus resultierende Gewichtskraft beträgt F = mg = Ahρg. Also ist derSchweredruck des Wassers
p =F
A= hρg (2.35)
unabhängig von A. In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck 10kPa, das heisstes ist unmöglich mit einer Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruckhängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom Querschnitt der Flüssig-keitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleichhoch.
2.2.4.1 Auftrieb
Abbildung 2.16: Auftrieb in Flüssigkeiten
32 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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33 2.2 Flüssigkeiten und Gase
Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist
F1 = −ρghA
Die Kraft von unten ist
F2 = +ρg (h+ l)A
Also ist der Auftrieb
FA = F2 + F1 = ρglA = ρgV (2.36)
Salopp gesagt, ist der Auftrieb die �Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit�.Ein Körper schwebt im Wasser, wenn
FA = FG (2.37)
ist.
2.2.4.2 Schwimmen
Abbildung 2.17: Schwimmen
Wenn ρK < ρ ist die Gewichtskraft Fg = ρK lAg. Die Auftriebskraft ist hingegenFA = ρhAg. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichts-kraft ist (FA = Fg). Dann ist
ρK lAg = ρhAg (2.38)
und der Körper taucht bis zu
h = l · ρKρ
(2.39)
ins Wasser ein.Wann schwimmt ein Körper stabil?
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Mechanik deformierbarer Medien 34
Abbildung 2.18: Stabilität eines schwimmenden Körpers
Sei S der Schwerpunkt des Körpers. SF sei der Schwerpunkt der verdrängtenFlüssigkeit . Solange der Körper schwimmt ist F A = −F G. Die beiden Kräftebilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein Drehmoment
T = R× F A (2.40)
Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn S unter SF liegt, ist dieSchwimmlage stabil. Wenn S über SF liegt, hängt die Stabilität von der Lage desMetazentrums M ab.Das Metazentrum ist durch die Schnittlinie der Mittelliniedes Körpers und der Verlängerung von F A gegeben. Die Schwimmlage ist stabil,wenn M über S liegt.
2.2.4.3 Aräometer
Abbildung 2.19: Aräometer
Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage).
34 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
35 2.2 Flüssigkeiten und Gase
Wir haben
m = ρ (V0 + A ·h)
h =m
Aρ− V0A
2.2.5 Gasdruck
Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet
V =c
p(2.41)
Damit es anwendbar ist, brauchen wir
• eine hohe Temperatur
• eine kleine Dichte
c hängt von der Temperatur T und der Anzahl Moleküle ab. Bei T = 0◦C istdas Volumen eines Gases
V = 22,4m
M· 1p
(2.42)
wobei m die Masse des Gases, M die Molmasse, V das Volumen in Litern undp der Druck in bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist
κ(isotherm) = −1
V
dV
dp=
1
V
c
p2=
1
p(2.43)
2.2.6 Atmosphärendruck
Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.
Abbildung 2.20: Quecksilber-Barometer
A ·h · ρHggA
= pAth = h · ρHgg (2.44)
Normaldruck: 760mm Hg∧= 760Torr
∧= 1atm
∧= 1013hPa
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 36
2.2.6.1 Höhe der Atmosphäre bei konstanter Dichte und konstantemDruck
Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist
ρL = 1.29kg
m3
mitρgh = pAtm (2.45)
bekommt man
h =pAtmρg≈
105 Nm2
10ms2
1,3 kgm3
≈ 8 · 103m (2.46)
Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte
V =c
p⇒ ρ = c̃ · p′ (2.47)
Abbildung 2.21: Druckänderung mit der Höhe
mit p′ < p folgt∆p = p′ − p = −ρ (h) g∆h (2.48)
unddp
dh= −ρ (h) g (2.49)
Nun ist aber
ρ
p= const =
ρ0p0
(2.50)
wobei ρ0,p0 auf Meereshöhe gemessen werden.Also ist
ρ (h) =ρ0p0p (h) (2.51)
unddp
dh= −ρ0
p0g p (2.52)
36 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
37 2.2 Flüssigkeiten und Gase
Die Lösung istp = p0e
−Ah (2.53)
Wir setzen ein und erhalten
Ap0e−Ah = −ρ0
p0gp0e
−Ah (2.54)
oderA =
ρ0p0g (2.55)
Alsop = p0e
−ρ0 ghp0 (2.56)
Diese Gleichung heisst isotherme barometrische Höhenformel . Sie ist eine Nä-herung, da wir die Temperatur als konstant angenommen haben ebenso wie denFeldvektor des Gravitationspotentials g (h) = g0 = const.
2.2.7 Druck als Potential
Der Druck p (r) sei eine skalare Funktion des OrtesBehauptung:
F V (r) = −grad (p (r)) (2.57)
F V (r) ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die Ober�ächedes Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.Beweis
Abbildung 2.22: Druck auf ein Volumenelement
also
−∆F (z + ∆z) + ∆F (z) = − (p (z + ∆z)− p (z)) ∆x ·∆y
= −∂pdz·∆z ·∆x ·∆y
= −dpdz·∆V (2.58)
Daraus folgt die Behauptung.
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Mechanik deformierbarer Medien 38
Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement ∆V mitder Ober�ächen ∆a
∆F V =
∫∆a
d F =
∫∆a
−p ·nda =∫
∆V
grad (−p) dV (2.59)
Beispiel: Wasser:
Abbildung 2.23: Kräfte auf ein Volumenelement Wasser
p (r) = −ρH20 · zgr = (x,y,z)
grad (p (r)) = − (0,0,ρH20g)F V = (0,0,ρH20g)
=
(0,0,1000
kg
m3· 10m
s2
)=
(0,0,104
N
m3
)(2.60)
Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft
p (r) = p (r0)−r∫
r0
F v (r) dr (2.61)
Gravitationspotential ↔ Feldvektor der GravitationDruck ↔ VolumenkraftTabelle 2.2: Analogie zwischen Gravitation und Druck
Daraus folgt:
• Volumenkraft ist wirbelfrei
38 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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39 2.3 Ober�ächenspannung
• Die Flüssigkeitsober�äche ist eine Äquipotential�äche. das heisst, gradpsteht senkrecht zur Ober�äche
2.3 Ober�ächenspannung
Abbildung 2.24: Molekulares Bild der Ober�äche
Kräfte sind isotrop verteilt Nettokraft in das Innere der Flüssigkeit
Schiebt sich ein Molekül an die Ober�äche, so leistet es die Arbeit Wis (M) gegenF Salso ist
E(M) = Wis(M) (2.62)
Die potentielle Energie der Moleküle in der Ober�äche A ist minimal, wenn dieOber�äche A minimal ist.
ES (M) = σS ·A (2.63)
Die Einheit von σS ist[
Nm
]. σS heisst Ober�ächenspannung.
Wenn n ·A Moleküle an der Ober�äche sind, gilt
σS = nEA (M) =1
deff2ES (M) (2.64)
Dabei ist n = 1deff2
die Flächendichte der Moleküle, deff der e�ektive Durch-
messer eines Moleküls und ES (M) die Arbeit , die benötigt wird um ein Molekülgegen die Ober�ächenkraft an die Ober�äche zu bringen.Anwendung:
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Mechanik deformierbarer Medien 40
Abbildung 2.25: Berechnung der Kraft eines Flüssigkeits�lmes
1. Der Flüssigkeits�lm hat 2 Ober�ächen
2. Verschiebung um ∆y benötigt die Arbeit
∆F ·∆y = 2∆ES = σS · 2∆A = 2σSb∆y (2.65)
und∆F = 2σSb (2.66)
Pro Flüssigkeitsober�äche wirkt auf die Breite ∆x die Kraft .
∆FS = σS∆x (2.67)
Abbildung 2.26: Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen
Der Umfang ist 2πr. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass kurz vor dem Ab-reissen die aufwärtsgerichte Kraft der Ober�ächenspannung gerade das Gewichtdes Tropfens kompensieren.
2πrσS = V ρg (2.68)
40 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
41 2.3 Ober�ächenspannung
Also ist
V =2πrσSρg
(2.69)
Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.
2.3.1 Freie Ober�ächen
Abbildung 2.27: Krümmungsradien bei einer freien Ober�äche
Die Ober�äche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien R1 und R2Behauptung
1
R1+
1
R2=
∆p
2σS(2.70)
Beweis für eine Kugel
Abbildung 2.28: Ober�ächenspannung und Druck in einer Kugel
Wir haben eine Äquatorial�äche A und einen Äquatorialumfang U . Die Druck-kraft ist ∆p ·A, die Ober�ächenspannung am Umfang 2σSU (da wir 2 Ober�ächenhaben!)
c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 41
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 42
Also
∆pA = 2σSU
∆pπR2 = 2σS · 2πR2
R=
∆p
2σS=
1
R1+
1
R2(2.71)
da bei der Kugel R1 = R2 = R ist.Beispiel Seifenblasen.Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wie-
so?)Freie Ober�ächen sind Minimal�ächen mit
1
R1+
1
R2= 0 (2.72)
Da der Krümmungsradius R−1 ∝ ∂2z∂x2
ist, gilt auch
∂2z
∂x2+∂2z
∂y2= 0 (2.73)
2.3.2 Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität
Abbildung 2.29: Benetzende Flüssigkeiten
Steigt die Flüssigkeit wird ihre Ober�äche kleiner.
FGraviation = FS (am Umfang) (2.74)
πr2 ·h · ρ · g = σS · 2πr (2.75)und
h =2σSrρg
(2.76)
Bei Nichtbenetzung hat man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Queck-silber)
42 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
43 2.4 Strömungen
Grenz�ächenenergien existieren zwischen beliebigen Medien.
Abbildung 2.30: Kräftegleichgewicht an der Grenz�äche
Sei σ23 negativ. Dann ist
σ12 cos θ = σ13 − σ23 (2.77)
Wenn σ13−σ23 > σ12 ist, kriecht die Flüssigkeit hoch. Wenn σ23 > σ13 > 0 dannist θ > 90◦. Beispiel: Quecksilber.
Das Problem kann auch anders angesehen werden:
• Flüssigkeitsteilchen werden von der Wand durch Adhäsionskräfte angezogen
• Flüssigkeitsteilchen werden von der Flüssigkeit durch Kohäsionskräfte ange-zogen
2.4 Strömungen
2.4.1 Beschreibung von Strömungen
Abbildung 2.31: Vektorfeld der Strömung
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Mechanik deformierbarer Medien 44
An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit v (r) einen Betrag und eine Richtung.Das Vektorfeld v (r) ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn v (r) nicht von
der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.Bahnlinien: Bahn eines TeilchensBei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkom-
pressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte ρ.
2.4.1.1 Fluss
Abbildung 2.32: Fluss
Der Fluss ist de�niert als
dφ = ρv cosαdA (2.78)
oderdφ = ρv · dA (2.79)
Integralform
φ =
∫A
ρvd A =
∫A
jdA (2.80)
wobei A beliebige Fläche (auch gekrümmt) ist. φ ist der Fluss. Er hat die Einheit
[φ] =kg
s
j = ρv ist die Stromdichte (analog zum elektrischen Strom). Ihre Einheit ist
[j] =kg
m2s
Bei einer geschlossenen Fläche �iesst netto Masse aus dem Volumen heraus, wenneine Quelle im Volumen ist. Bei geschlossenen Flächen wird der Fluss nach aussenimmer positiv gezählt, nach innen negativ.
Abbildung 2.33: Berechnung der Divergenz
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45 2.4 Strömungen
Im allgemeinen Fall ändert die Dichte mit dem Ort. Wir haben links die Dichteρ(x) und die Geschwindigkeit vx(x) und rechts ρ(x + dx) = ρ(x) +
∂ρ∂xdx und
vx(x+ dx) = vx(x) +∂vx∂xdx. Zusammen erhalten wir
dφ1 (x, y, z) = −ρ (x, y, z) vx (x, y, z)dφ2 (x, y, z) = ρ (x+ dx, y, z) vx (x+ dx, y, z) dydz
=
(ρ (x) vx (x) +
[ρ (x, y, z)
∂vx∂x
+∂ρ
∂xvx (x, y, z)
]dx
)dydz
wobei die Zweitordnungsterme mit dx2 vernachlässigt wurden. Der Netto�uss ist
dφ1 (x, y, z) + dφ2 (x, y, z) =
[ρ (x, y, z)
∂vx∂x
+∂ρ
∂xvx (x, y, z)
]dxdydz
=∂
∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dxdydz
=∂
∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV =dφx (x, y, z)
Analog bekommt man für die y- und die z-Richtung:
dφy (x, y, z) =∂
∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV
dφz (x, y, z) =∂
∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV (2.81)
Der Netto�uss aus dem Volumen ergibt sich zu
dφ (x, y, z) = dφx (x, y, z) + dφy (x, y, z) + dφz (x, y, z)
=
(∂ (ρvx)
∂x+∂ (ρvy)
∂y+∂ (ρvz)
∂z
)dV (2.82)
Ohne Quelle ist dφ = 0. Die Grösse
div (ρv) =∂ (ρvx)
∂x+∂ (ρvy)
∂y+∂ (ρvz)
∂z(2.83)
(Divergenz) beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Sie ist in demFalle auch gleich null.Wenn div (v(r)) 6= 0 ist, so muss sich die Dichte an der Stelle r ändern, oder es
muss eine Quelle vorhanden sein.Wir erinnern uns, der Fluss φ beschreibt die Massenänderung pro Zeit im Vo-
lumen dV . Die Masse im Volumen dV nimmt um dφdt ab (bei positivem dφ undnimmt um ρ̇dV dt zu. Zusammen ergibt sich
dm = −dφdt = −div (ρv)dV dt = ρ̇dV dt
und damit
dφ = div (ρv) dV = −ρ̇dV (2.84)
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Vorläu�geVersion
Mechanik deformierbarer Medien 46
Damit bekommt man
div (ρv) = −ρ̇ (2.85)Dies ist die Kontinuitätsgleichung.
Wenn ρ nicht vom Ort abhängt, hat man auch.
ρdivv = −ρ̇
Dann heisst ρdivv = div j die Quelldichte.
Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall divv = 0.
Es gilt:
φ =
∫∫A
(ρv) dA
︸ ︷︷ ︸Fluss durch A (�Materialmenge�)
=
∫∫∫V
div (ρv) dV = −∫∫∫
V
ρ̇dV
︸ ︷︷ ︸Änderung der Dichte
(2.86)
da der Satz von Gauss für ein beliebiges Vektorfeld x besagt
∫∫A
x · dA =∫∫∫
V
(divx)dV (2.87)
Abbildung 2.34: Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit
Die Stromlinien durch A de�nieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinenAustausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit
A1v1 = A2v2 (2.88)
Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.
46 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
47 2.4 Strömungen
Abbildung 2.35: Geschwindigkeitsgradient und Rotation
Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.Wasser strömt mit ±`dvy
dxam Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn
ωz =∂vy∂x− ∂vx
∂y(2.89)
ω zeigt in die z Richtung. Im Allgemeinen ist
ω =
(∂vz∂y− ∂vy
∂z,∂vx∂z− ∂vx
∂y,∂vy∂x− ∂vx
∂y
)(2.90)
mit ∇ =(
∂∂x, ∂∂y, ∂∂z
)wird
rot v = ∇ × v die Rotation des Strömungsfeldes.Es gilt dann ∮
vds︸ ︷︷ ︸Bahnkurve s
=
∫rot vdA︸ ︷︷ ︸
von s berandete Fläche
(2.91)
Falls rot v = 0 ist kann v aus dem Geschwindigkeitspotential U abgeleitetwerden.
v = −gradU (2.92)
Dann gilt rot v = 0Für inkompressible Flüssigkeiten gilt
divv = −div gradU = −∆U = 0 (2.93)
Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch diegleiche Mathematik beschrieben werden:Strömung ←→ Graviation ←→ Elektrostatik
2.4.2 Lokale und totale Ableitungen
c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 47
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Mechanik deformierbarer Medien 48
Abbildung 2.36: Mitbewegtes System
Sei S∗ das Laborsystem, S das mitbewegte System,das ∆m folgt. Seien s∗ lokalezeitliche Ableitungen und s totale zeitliche AbleitungenDas 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von ∆m, aber nur in S (t)(in S∗ betrachtet man Volumina, nicht Massen)Also ist
F m =F
m= a =
dv
dtin S (t) (2.94)
Lokale Ableitung:r ist in S∗ fest
∂ρ
∂t=
∂
∂tρ (r,t) =
∂
∂tρ (x,y,z,t)
∂v
∂t=
∂
∂tv (r,t) =
∂
∂tv (x,y,z,t) (2.95)
Totale zeitliche AbleitungenIn S (t) beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.
r = r (t) = (x (t) ,y (t) ,z (t)) (2.96)
wobei x (t) die Koordinaten in S∗ sind
ρ = ρ (r (t) ,t) = ρ (x (t) ,y (t) ,z (t) t)
v = v (r (t) ,t) = v (x (t) ,y (t) ,z (t) t) (2.97)
Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn r (t)
dρ
dt=
d
dtρ (x (t) ,y (t) ,z (t) ,t)
a =dv
dt(2.98)
Zusammenhang:Dichte
d
dtρ =
∂
∂tρ+ (grad ρ) ·v (2.99)
48 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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49 2.4 Strömungen
Beweis:d
dtρ =
∂ρ
∂x· ∂x∂t
+∂ρ
∂y· ∂y∂t
+∂ρ
∂z· ∂z∂t
+∂ρ
∂t(2.100)
qed.Beschleunigung :
a =dv
dt=∂v
∂t+ (grad v) v =
∂v
∂t+ grad
(1
2v2)− v × rotv (2.101)
2.4.2.1 Kontinuitätsgleichung
Grund Massenerhaltung
∂ρ
∂t+ div (ρv) =
∂ρ
∂t+ ρ div v = 0 (2.102)
Beweis: Ortsfests Volumen
∆V = ∆x ·∆y ·∆z
δ (∆m) = ∆x ·∆y ·∆z · ∂∂tρ
(z +
1
2∆z
)δt
= −ρ (z + ∆z) · vz (z + ∆z) δt∆x∆y + ρ (z) vz (z) · δt ·∆x ·∆yδ (∆m)
∂t= ∆x∆y∆z
∂
∂tρ (z) = −∂ (ρ (z) vz (z))
∂z·∆z ·∆x ·∆y
∂ρ (z)
∂t= − ∂
∂t(ρ (z) vz (z)) usw. (2.103)
2.4.2.1.1 Stationäre Strömung Sei ∂∂tf = 0 für beliebige f . Dann ist die Dichte
dpdt
= (grad ρ) ·v und die Kontinuitätsgleichung div (ρv) = 0.
a =dv
dt= grad
(1
2v2)− v × rotv (2.104)
Im Stromfaden giltA1ρ1v1 = A2ρ2v2 = const (2.105)
Inkompressible Flüssigkeiten
dρ
dt=∂ρ
∂t= 0
div v = 0 (2.106)
dann gilt: A1v1 = A2v2 = const.
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Mechanik deformierbarer Medien 50
2.4.3 Innere Reibung
Abbildung 2.37: Innere Reibung in einer Flüssigkeit
Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.v (z) ist parallel zur Wand.Für die Kraft gilt
F = ηAv
z(2.107)
η :[
Nsm2
]heisst Viskosität (Scherviskosität)
BeispielWasser: 1.8 · 10−3 Ns
m2
Glyzerin 1Nsm2
Allgemein:
F = ηAdv
dz(2.108)
wobei A klein sein soll.Temperaturabhängigkeit:Moleküle müssen ihren Platz wechseln (→ Bolzmannstatistik)
η = η∞ebT (2.109)
2.4.4 Laminare Strömung
Abbildung 2.38: Volumenkräfte
50 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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51 2.4 Strömungen
Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlini-en benachbart bleiben (Beispiel: Blut)
dF 1 = −η∂v
∂x
∣∣∣∣1
dydz
dF 2 = η∂v
∂x
∣∣∣∣2
dydz = η
(∂v
∂x
∣∣∣∣1
+∂2v
∂x2dx
)dydz
dF R = dF 1 + dF 2 = η∂2v
∂x2dxdydz = η
∂2v
∂x2dV (2.110)
Allgemein:
dF R = η
(∂2v
∂x2+∂2v
∂2y2+∂2v
∂2z2
)dV (2.111)
oder
F VR =dF
dV= η∆v (2.112)
die Volumenkraft der Reibung
Die Druckkraft ist
dF p = pdydz −(p+
∂p
∂xdx
)dydz = −∂p
∂xdV (2.113)
alsoF Vp = −grad p (2.114)
F VR und F Vp beschreiben die Dynamik
2.4.4.1 Strömung durch einen Spalt
Abbildung 2.39: Strömung durch einen Spalt
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Mechanik deformierbarer Medien 52
v = 0 an der Wandv = v0 in der Mittedvdx⇒ Reibungskraft FR = 2`bη dvdx
Druck: Fp = 2xb`dpdz
⇒ dvdx
= 1η
dpdzx
⇒ v (x) ist eine Parabel
v = v0 −1
2η
dp
dxx2 = v0 −
p1 − p22η`
x2
Am Rand ist v = 0
⇒ v0 =p1 − p2
2η`d2
2.4.4.2 Rohrströmung
Abbildung 2.40: Rohrströmung
Rand: v = 0
FR = 2πr`ηdv
dr
Fp = πr2 (p1 − p2)
alsodv
dr=p1 − p2
2η`
⇒ v = v0 −p1 − p2
2ηlr2
undv0 =
p1 − p24ηl
R2
in�nitesimal
vz (r) = −1
4η
dp
dz
(R2 − r2
)
52 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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Vorläu�geVersion
53 2.4 Strömungen
Volumenstrom: dV̇ = 2πrdr · v (r)also:
V̇ =
R∫0
2πrv (r) dr =π (p1 − p2)
8ηlR4 =
π
8η
dp
dzR4 (2.115)
Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei dpdz
= −8η v̄R2
und v̄ = V̇πR2
Der Strömungswiderstand ist: 8η`πR4
2.4.4.3 Druck und Volumenstrom
Druckkraft Fp = πR2 (p1 − p2) = 8ηlR2 V̇
2.4.4.4 Strömung um Kugeln
Abbildung 2.41: Strömung um eine Kugel
Die Kugel hat im Abstand r keinen Ein�uss mehr auf die Strömung
⇒ −dvdz∼ vr
Ober�äche: 4πr2
F ≈ ηdvdz·A = −ηv
r4πr2 ∼ −4πηvr
Genauer erhält man
F = −6πηvr (2.116)
das Stokes-Gesetz.
2.4.4.5 Das Navier-Stokes-Gesetz, Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit
Das Navier-Stokes-Gesetz, die Bewegungsgleichung für viskose Medien lautet
ρdv
dt= ρ
(∂v
∂t+ grad
v2
2− v × rotv
)(2.117)
= F V − grad p+ η∆v +(ζ +
η
3
)grad divv
= F V − grad p− ηrot (rotv) +(ζ +
4η
3
)grad divv
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Mechanik deformierbarer Medien 54
wobei η die Scherviskosität, ζ die Volumenviskosität, F V die Volumenkraft (sieheGleichung (2.57) ), v das Geschwindigkeitsfeld und ρ die Dichte der Flüssigkeit ist.Die Volumenviskosität kommt von der Dissipation beim Komprimieren oder
Expandieren von Flüssigkeiten oder Gasen. Wenn wir eine Volumenelement dxdydzbetrachten, so messen wir neben der statischen Druckkraft
p n =F
A
noch eine dynamische Spannung
σ∗ n =F ∗
A= −ζ 1
ρ
dρ
dtn = −ζ
(d
dtln ρ
)n
Die Einheit der Volumenviskosität oder zweiten Viskosität ist [ζ] = kgm s
= [η].In Spezialfällen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung.
Reibungslose Medien Hier ist η = 0 und ζ = 0. Die Navier-Stokes-Gleichungvereinfacht sich zu
ρdv
dt= ρ
(∂v
∂t+ grad
v2
2− v × rotv
)(2.118)
= F V − grad p
Inkompressible Medien Hier ist divv = 0. Die Navier-Stokes-Gleichung wird also
ρdv
dt= ρ
(∂v
∂t+ grad
v2
2− v × rotv
)(2.119)
= F V − grad p+ η∆v= F V − grad p− ηrot (rotv)
Da das Volumen sich nicht ändert, hat die Volumenviskosität keinen Ein�uss.
Potentialströmungen inkompressibler Flüssigkeiten Hier gilt divv = 0 undrotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ableitung nach der Zeit. DieNavier-Stokes-Gleichung wird zu
ρdv
dt= ρ grad
v2
2(2.120)
= F V − grad p
Dies ist auch die Bernoulli-Gleichung.
Potentialströmung Hier gilt rotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ablei-tung nach der Zeit. Die Navier-Stokes-Gleichung wird zu
ρdv
dt= ρ
(grad
v2
2
)(2.121)
= F V − grad p+(ζ +
4η
3
)grad divv
54 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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55 2.4 Strömungen
2.4.4.6 Prandtl-Grenzschicht
Abbildung 2.42: Prandtl-Grenzschicht
Reibungskraft: FR = ηAVDVerschieben um `:
W = FR · ` = ηAV
D` (2.122)
Kinetische Energie in der Grenzschicht :
Ekin =1
2
D∫0
Aρdz
(v · zD
2)
=1
6Aρv2D (2.123)
mit W = Ekin wird
D =
√6ηl
ρv
Reynolds-Kriterium
D � `
⇒ `D� 1√
ρv`2
6ηl=
√ρv`
6η� 1 (2.124)
Re =ρv`
η� 1 (2.125)
dabei ist ` eine typische Dimension und v die mittlere Geschwindigkeit .wenn
• Re� 1: turbulente Strömung mit laminarer Grenzschicht
• Re� 1: laminare Strömung (Grenzschicht macht keinen Sinn)
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Mechanik deformierbarer Medien 56
Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl . Rekritmit
Re > Rekrit ⇒ turbulentRe < Rekrit ⇒ laminar (2.126)
Bem. Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich ⇒ WindkanalBei D � l ist FR = ηAVD = A
√V 3ηρ
l
FR ist etwa der Mittelwert aus
Stokes ∼ ηv` laminar, zu kleinNewton ∼ l2ρv2 turbulent, zu gross
}für Flugzeuge
2.4.5 Strömung idealer Flüssigkeiten
Abbildung 2.43: Ideale Strömung
ideal: keine Reibung, laminar
Volumenerhaltung: A1∆x1 = A2∆x2 = ∆VArbeit : ∆W1 = p1A1∆x1
∆W2 = p2A2∆x2
Energiebilanz: ∆W = ∆W1 −∆W2 = ∆Ekin
(p1 − p2) ∆V =1
2ρ∆V
(v22 − v21
)
alsop+
1
2ρv2 = p0 = const (2.127)
Dies ist die Bernoulli-Gleichung.
Ist die Flüssigkeit im Gravitationsfeld , muss noch ρgh berücksichtigt werden(allg. Wpot)
56 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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57 2.4 Strömungen
2.4.5.1 Anwendungen
2.4.5.1.1 Manometer
Abbildung 2.44: Manometer
Ein Manometer misst nur den statistischen Druck
2.4.5.1.2 Prandtlsches Staurohr
Abbildung 2.45: Prandtlsches Staurohr
p0 − p =1
2ρv2 (2.128)
2.4.5.1.3 Strömung aus einem Loch
Abbildung 2.46: Ausströmen aus einem Loch. Der äussere Druck p0, derja überall gleich ist, wurde vernachlässigt.
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Mechanik deformierbarer Medien 58
1
2ρv2 = p
v =
√2p
ρ(2.129)
Wenn der Druck p ein Schweredruck ist, gilt
p = ρgh
Es folgtv =
√2gh
Wenn v >√
2p0ρ
= vk wird der statische Druck < 0. Negative Drucke können
nicht existieren. Das System reagiert mit einer Dampfbildung (Kavitation).
2.4.6 Strömungswiderstand
Abbildung 2.47: Stromlinie
Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Wi-derstand (Paradoxon von d'Alembert).
Abbildung 2.48: Reales Bild einer Wirbelstrasse
Def. Wirbel: Wenn ein �Boot� auf einem geschlossenen Weg angetrieben wirdDef. Zirkulation :
Γ =
∮vds =
∫rot v da 6= 0 (2.130)
58 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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59 2.4 Strömungen
Abbildung 2.49: Potentialwirbel
vr = 0 (2.131)
vϕ =Γ
2πr(2.132)
Beim Potentialwirbel gilt:
rot v = 0 für r > 0rot v 6= 0 für r = 0
Für r 6= 0 existiert also ein Geschwindigkeitspotential φ = Γ2πϕ
2.4.6.1 Druck und Druckgradient
Nach Bernoulli gibt es einen Radius r0, bei dem der dynamische Druck negativwürde. r0 ergibt sich zu
p = p0 −1
2ρv2 = p0 − ρ
Γ2
8π2· 1r2
p = 0 für r0 =Γ
2π
(ρ
2p0
) 12
(2.133)
d.h. für r < r0 ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.Volumenkraft
F V = −grad p = −ρΓ2
4π2r
r4(2.134)
(nach innen gerichtet)
2.4.7 Helmholtzsche Wirbelsätze
c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 59
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Mechanik deformierbarer Medien 60
Abbildung 2.50: Helmholtzsche Wirbelsätze
In Wirbeln gelten die folgenden Gesetze:
1. Wirbelsatz Im Inneren eines Gases oder einer Flüssigkeit können keine Wirbelbeginnen.
2. Wirbelsatz Wirbel enthalten zu jeder Zeit die gleichen Teilchen
3. Wirbelsatz Die Zirkulation
Γ =
∮v · ds (2.135)
ist für jeden Wirbelquerschnitt Q senkrecht zum Wirbelfaden konstant.
60 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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3 Wärmelehre
3.1 Wärmeenergie und Temperaturen
Beobachtung: potentielle Energie oder kinetische Energie kann in Wärme umge-wandelt werden (Beispiel. Versuch TH 110)Beobachtung: Gase bestehen aus einzelnen Teilchen mi. In Festkörpern laufen
hochfrequente Schallwellen (Phononen)Behauptung: Wärmeenergie ist kinetische Energie der TeilchenMittlere Energie ist Ē = 1
2mv̄2 für alle Teilchen gleich, unabhängig von m :=
12m 〈v2〉t→ Stossprozesse gleichen die Energie aus.
3.1.1 Gleichverteilungsatz
Abbildung 3.1: Wahrscheinlichtkeitsdichte und Anzahl Teilchen in einemEnergieintervall
Sei f (E) die Energieverteilungsfunktion d.h. in (E,E + dE) gibt es f (E) dETeilchen.Stoss eines Teilchens aus (E1E1 + dE) mit (E2E2 + dE)Wahrscheinlichkeit f (E1) · f (E2)danach sind die Teilchen in (E ′1,E
′1 + dE) und (E
′2,E
′2 + dE)
Gleichgewicht, wenn Stösse in beide Richtungen gleich wahrscheinlich sind:als f (E1) · f (E2) = f (E ′1) · f (E ′2)
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Wärmelehre 62
Energieerhaltung: E1 + E2 = E ′1 + E′2
E ′1 ist aber beliebig also mussf (E1) · f (E2) = f (E1 + E2)⇒ f (E1) = A
−E1B
e (−da f (∞) = 0)B ist der Mittelwert der Energie, für alle gleich⇒ Boltzmannverteilung
Temperatur: Mass für die mittlere kinetische Energie
Etranslation =12mv̄2 = 3
2kT
k: Boltzmannkonstante k = 1,381 · 10−23 Jk
Temperatur (gemessen in Kelvin)Konsequenz: es gibt einen absoluten Temperaturnullpunkt
Anwendung:√v̄2 = vth =
√3kTm
: Ausströmgeschwindigkeit ins Vakuum.Bem. Schallgeschwindigkeit: c < vth
ThermometerÜblicherweise wird die Länge eines Sto�es zur Temperaturänderung gemessen
l = l0 (1 + αT ) (3.1)
α :Ausdehnungskoe�.α ∼ 10−6 − 10−5 1
K
Freiheitsgrade:Bewegung im Raum ⇒ 3 Koordinaten ⇒ 3 FreiheitsgradeRotation ⇒ 3 Eulerwinkel ⇒ 3 Freiheitsgrade (wenn >1 Atom
im Molekül)Schwingungen ⇒ weitere Freiheitsgrade
Das Argument mit dem Stössen gilt auch zwischen den Freiheitsgraden, d.h. diemittlere Energie / Freiheitsgrad ist gleich Äquipartitionsgesetz.
EFreiheitsgrad =1
2kT
EMolekül =f
2kT (3.2)
f: Anzahl Freiheitsgrade
WärmekapazitätEnergie pro Molekül: Emol =
f2kT
Energie für Temperaturerhöhung ∆Emol =f2k∆T
Anzahl Moleküle der Masse m im Körper des Masse M: n = Mm
also ∆E = Mm
f2k∆T = C∆T
Wärmekapazität Cv =Mf2mk
spezi�sche Wärmekapazität Cv =fk2m
62 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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63 3.2 Kinetische Gastheorie
Mol: NA = 6,022 · 1023 Teilchenmolmolare Wärmekapazität:Cvmol = NA
f2k
mit f=6 (z.B. Festkörper)
Cvmol = 3NAk = 25J
mol K(3.3)
Dulong Petit
Bei Gasen unterscheidet man: Cv (v = const)Cp (p = const)
Cp enthält die Kompressionsarbeit
3.2 Kinetische Gastheorie
Gase bestehen aus einzelnen Teilchen, die sich ungeordnet bewegen1. Teilchen: v = (vx,vy,vz) v2 = v2x + v
2y + v
2z
x−Komponente : vxDa x,y,z gleichwertig, ist 〈v2x〉 =
〈v2y〉
= 〈v2z〉also v2 = 3 〈v2x〉Impulsänderung der Wand ∆p = 2mvxAnzahl Teilchen die in x-Richtung �iegen: n = N
VTeilchendichte
dz = n ·A · vxdt Anzahl Teilchen
Totale Impulsänderung: dp = 2mvxdz = 2mvxnAvxdtdpdt
= F = 2mnAv2xMittlere Kraft: 〈F 〉 = 2mnA 〈v2x〉〈v2x〉 schliesst sowohl Teilchen die nach rechts laufen wie auch solche die nach
links laufen ein.also: Druck
p =1
2
〈F 〉tA
=1
3mn
〈v2〉
t
Grundgleichung von D.Bernoulli
mit 〈Etransl〉t =12m 〈v2〉t =
32kT wird
p = nkT (3.4)
Mit NV
= n N:Teilchenzahl, V:Volumenerhalten wir
pV = NkT (3.5)
Zustandsgleichung des idealen Gases.Wichtig: in der HerleitungAnnahme: keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen, kein Eigenvolumen
c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 63
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Wärmelehre 64
mit R = NAk = 8,31 JK molwir pV = νRT ν : MolzahlDaraus p ∼ V −1 (T = const.) Boyle−Mariotte
p ∼ T (V = const.) Gay − LussacV ∼ T (p = const.) Charles
3.3 Der erste Hauptsatz
Energieerhaltung:∆Q = ∆U −∆W (3.6)
∆Q : zugeführte Wärmeenergie∆W : zugeführte Arbeitsleistung∆W : abgegebene Arbeit∆U : Innere Energie
∆U :kann Bewegung sein: ∆U = νCmol∆TFür ein Gas gilt:
∆W = −p∆V ′ (3.7)also
∆Q = ∆U + p∆V (3.8)
bei idealem GasdQ = CVmolνdT + pdV (3.9)
3.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck
Volumenarbeit:
∆V = V∆T
T(3.10)
Arbeit:
p∆V = pV∆T
T= νRT
∆T
T= νR∆T (3.11)
Erwärmungsarbeit:
CV ∆T =1
2fνR∆T (3.12)
also
Cp = CV +Rν =
(f
2+ 1
)νR (3.13)
Wärmeäquivalent:
1kcal = 4,1kJ
1cal = 4,1J (3.14)
Adiabatenexponent:
γ =CpCV
=f + 2
f(3.15)
64 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl
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65 3.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck
⇒ d.h. die Wärmekapazität erlaubt Aussage über die molekulare Struktur.Bei schnellen Vorgängen ist dQ = 0 (Beispiel Schall)dann gilt:
CVmolνdT = −pdVf
2νRdT = −νRT dV
V(3.16)
oderf
2
dT
T= −dV
V
⇒(T
T0
)− f2
=
(V
V0
)(3.17)
oderV
V0=
(T
T0
) 11−γ
(3.18)
oderT
T0=
(V
V0
)1−γ(3.19)
oder mit
pV = νRT
p
p0=
(V
V0
)−γ(3.20)
undp
p0
(T
T0
) γγ−1
(3.21)
Bemerkung: Da mit der Atmosphäre keine Wärme ausgetauscht wird gilt:
pV γ = const
und nichtpV = const
In analoger Form ändert sich T .Prozesse werden mit Zustandsdiagrammen beschrieben:z.B.: T (p,V )
es gibt:
V=const: Isochorep=const: IsobareT=const: IsothermedQ=0 Adiabate
Druckarbeit (abgegebene Arbeit):∆W = p∆V (isobar)W = U1 − U2 = CVmolν (T1 − T2) adiabatischW =
∫pdV = νRT
∫ V2V1
dVV
= νRψ ln V2V1
(isotherm)W = 0 (isochor)
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Wärmelehre 66
3.5 Maxwell-Verteilung
aus der Boltzmann-Verteilung folgt:
f (v) dv = Ce−mV 2
2 · 1kT
dv
C: stat. GewichtBemerkung: im Auftrag haben wir eine Gerade betrachtet (1Dimensional)in 2 Dimenisonen
Die Anzahl Vektoren mit v0 < |v| < v0 + dv ist proportional zu 2πv · dvin 3 Dimensionen ist die Anzahl proportional zu 4πv2dv d.h. obwohl die
Boltzmannverteilung ein Maximum bei E = 12mv2 = 0 hat bewirkt der Phasen-
raum dass das Maximum bei v > 0 ist.also
f (v) dv = C ′4πv2e−mv2
21
kT dv (3.22)
Normierung: ∫f (v) dv = 1 (3.23)
mitA =
m
2kT(3.24)
wird∞∫
0
f (v) dv = 1 = C ′4π
∞∫0
v2eAv2
dv (3.25)
mitd
da
∞∫0
e−aξ2
dξ = −∞∫
0
ξ2e−aξ2
dξ (3.26)
1 = C ′ · 4π ·
− ddA
∞∫0
e−Av2
dv
= C ′4π ·
(− ddA
1
2
√π
A
)= C ′ · 4π · 1
4
√π
A32
⇒ C ′ =(A
π
) 32
(3.27)
Also
f (v) dv = 4π ·( m
2πkT
) 32v2e−
mv2
2kT dv (3.28)
=
√2
π
( mkT
) 32v2e−
mv2
2kT dv (3.29)
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Vorläu�geVersion
67 3.5 Maxwell-Verteilung
Mittelwerte:
〈vx〉 = 0 = C ′′+∞∫−∞
vxe− v
2x0 (antisymetrisch) (3.30)
〈v2〉
=
∫v2f (v) dv =
√2
π
( mkT
) 32
∞∫0
v4e−Av2
dv
=
√2
π
( mkT
) 32 d2
dA2
(1
2
√π
A
)=
√2
π
0 ( mkT
) 32 · 1
2· 12· 32
√π
A52
= 3kT
m(3.31)
d.h. 〈Ekin〉 = 32kT folgt aus Boltzmannverteilung unter der Berücksichtigungdes Phasenraumes.
〈v〉 =∞∫
0
vf (v) dv =
√8kT
πm
(3.32)
Was ist vmax?
df (v)
dv= 0
= 2ve−mv2
2kT − v2 · 2mv2kT
e−mv2
2kT
⇒ 2v −m v3
kT= 0
⇒ vmax =√
2kT
m(3.33)
Für grosse v ist die Anzahl Teilchen
∞∫E0
f (E) dE
∞∫0
f (E) dE
=2√π
√E0kT
e−E0kT (3.34)
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Vorläu�geVersion
Wärmelehre 68
3.6 Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung
3.6.1 Mittlere freie Weglänge
Zwei Teilchen mit Radius r tre�en sich wenn ihre Mittelpunkte weniger als 2aauseinander sind. Damit kann man Stösse so behandeln, wie wenn die beteilig-ten Teilchen sich wie punktförmige Teilchen bewegen würden, sich aber mit derQuerschnitts�äche σ, dem Stossquerschnitt stossen.
Abbildung 3.2: Alle Moleküle in der gezeigten Röhre mit Geschwindig