Erori Si Incertitudini

8
Msurri electrice i electronice 6 materializeaz o singur valoare (cal plan-paralel, rezistor electric etc.) sau cu valori multiple, dac materializeaz mai multe valori (rigl gradat, rezistor electric în decade etc.). b) Instrumentul de msurat constituie cea mai simpl asociere de dispozitive i elemente care poate furniza în mod independent informaii de msurare (ubler, balan, ampermetru etc.). c) Prin aparat de msurat se înelege un mijloc de msurare realizat, în general, dintr-un traductor primar, dispozitive intermediare i un instrument de msurat (aparat electric pentru msurat temperatura, voltmetru cu diode în clas B etc.). d) Sistemul de msurare reprezint un ansamblu complet de mijloace de msurare i dispozitive anex în scopul obinerii unor informaii de msurare, reunite prin scheme i metode comune; poate fi asociat cu dispozitive de automatizare i/sau tehnic de calcul. Dup modul de prelucrare i redare a informaiei de msurare, mijloacele de msurare pot fi: analogice, dac semnalul de ieire este o mrime fizic continuu variabil sau numerice, dac semnalul de ieire reprezint valori discrete ale mrimii de intrare. Totalitatea procedeelor folosite pentru obinerea informaiei de msurare formeaz metoda de msurare. Dup modul în care se obine rezultatul msurrii, exist metode de msurare directe - dac valoarea msurandului rezult nemijlocit din procesul de msurare sau indirecte, dac valoarea msurandului se obine pe baza unei relaii de calcul în care intervin valori provenite din msurrile directe. Metodele de msurare direct permit evaluarea msurandului prin comparaie cu un etalon, prin etalon înelegându-se un mijloc de msurare care servete la definirea, realizarea, reproducerea sau conservarea unitii de msur a unei mrimi în scopul transmiterii unitii de msur altor mijloace de msurare (trasabilitate). Aceast comparaie se poate realiza simultan (balan etc.) sau succesiv (ampermetru etc.). 1.4. Erori i incertitudini de msurare Prin metrologie, conform DEX, se înelege un domeniu al fizicii care se ocup cu msurrile precise, cu stabilirea unitilor i a procedeelor de msurare, precum i totalitatea activitilor (legale i administrative), privitoare la msurri, la etaloane, la aparate i instrumente de msurare, precum i la supravegherea folosirii lor economice. De-a lungul timpului, domeniul a suferit o serie de perfecionri; din punct de vedere didactic, metrologia tradiional este mai intuitivi de aceea va fi prezentat iniial în paralel cu unele concepte moderne. În practic se constat c rezultatul unei msurri nu depinde numai de valoarea msurandului, el putând fi influenat de o serie de factori de natur obiectiv (mijloc de msurare, metod de msurare, factori exteriori procesului de msurare etc.), sau de natur subiectiv operatorul care efectueaz msurarea. Pentru caracterizarea rezultatelor obinute în procesul de msurare se definesc urmtoarele valori: Valoarea adevrat X a a unei mrimi, este valoarea exact a msurandului în condiiile existente la un moment dat. De obicei, valoarea adevrat a unei mrimi nu poate fi determinat experimental, ea înlocuindu-se cu o valoare real, convenional adevrat, X, care se obine cu Cum pot fi clasificate mijloacele de msurare dup modul în care furnizeaz informaia la ieire? Exemplificai mrimi care se msoar prin metode indirecte. Enumerai unele metode de comparaie simultan. Din ce cauz la metodele de comparaie succesiv este necesar s existe o memorie? Cum se realizeaz la ampermetru comparaia succesiv?

description

Erori de masurare

Transcript of Erori Si Incertitudini

Page 1: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

6

materializeaz� o singur� valoare (cal� plan-paralel�, rezistor electric etc.) sau cu valori multiple, dac� materializeaz� mai multe valori (rigl� gradat�, rezistor electric în decade etc.). b) Instrumentul de m�surat constituie cea mai simpl� asociere de dispozitive �i elemente care poate furniza în mod independent informa�ii de m�surare (�ubler, balan��, ampermetru etc.).

c) Prin aparat de m�surat se în�elege un mijloc de m�surare realizat, în general, dintr-un traductor primar, dispozitive intermediare �i un instrument de m�surat (aparat electric pentru m�surat temperatura, voltmetru cu diode în clas� B etc.).

d) Sistemul de m�surare reprezint� un ansamblu complet de mijloace de m�surare �i dispozitive anex� în scopul ob�inerii unor informa�ii de m�surare, reunite prin scheme �i metode comune; poate fi asociat cu dispozitive de automatizare �i/sau tehnic� de calcul.

Dup� modul de prelucrare �i redare a informa�iei de m�surare, mijloacele de m�surare pot fi: analogice, dac� semnalul de ie�ire este o m�rime fizic� continuu variabil� sau numerice, dac�semnalul de ie�ire reprezint� valori discrete ale m�rimii de intrare.

Totalitatea procedeelor folosite pentru ob�inerea informa�iei de m�surare formeaz� metoda

de m�surare.

Dup� modul în care se ob�ine rezultatul m�sur�rii, exist� metode de m�surare directe - dac�valoarea m�surandului rezult� nemijlocit din procesul de m�surare sau indirecte, dac� valoarea m�surandului se ob�ine pe baza unei rela�ii de calcul în care intervin valori provenite din m�sur�rile directe.

Metodele de m�surare direct� permit evaluarea m�surandului prin compara�ie cu un etalon, prin etalon în�elegându-se un mijloc de m�surare care serve�te la definirea, realizarea, reproducerea sau conservarea unit��ii de m�sur� a unei m�rimi în scopul transmiterii unit��ii de m�sur� altor mijloace de m�surare (trasabilitate). Aceast� compara�ie se poate realiza simultan (balan�� etc.) sau succesiv (ampermetru etc.).

1.4. Erori �i incertitudini de m�surare

Prin metrologie, conform DEX, se în�elege un domeniu al fizicii care se ocup� cu m�sur�rile precise, cu stabilirea unit��ilor �i a procedeelor de m�surare, precum �i totalitatea activit��ilor (legale �i administrative), privitoare la m�sur�ri, la etaloane, la aparate �i instrumente de m�surare, precum �i la supravegherea folosirii lor economice. De-a lungul timpului, domeniul a suferit o serie de perfec�ion�ri; din punct de vedere didactic, metrologia tradi�ional� este mai intuitiv� �i de aceea va fi prezentat� ini�ial în paralel cu unele concepte moderne.

În practic� se constat� c� rezultatul unei m�sur�ri nu depinde numai de valoarea m�surandului, el putând fi influen�at de o serie de factori de natur� obiectiv� (mijloc de m�surare, metod� de m�surare, factori exteriori procesului de m�surare etc.), sau de natur� subiectiv� – operatorul care efectueaz� m�surarea. Pentru caracterizarea rezultatelor ob�inute în procesul de m�surare se definesc urm�toarele valori:

Valoarea adev�rat� Xa a unei m�rimi, este valoarea exact� a m�surandului în condi�iile existente la un moment dat. De obicei, valoarea adev�rat� a unei m�rimi nu poate fi determinat�experimental, ea înlocuindu-se cu o valoare real�, conven�ional adev�rat�, X, care se ob�ine cu

• Cum pot fi clasificate mijloacele de m�surare dup� modul în care furnizeaz� informa�ia la ie�ire????

• Exemplifica�i m�rimi care se m�soar� prin metode indirecte. • Enumera�i unele metode de compara�ie simultan�. • Din ce cauz� la metodele de compara�ie succesiv� este necesar s� existe o

memorie????• Cum se realizeaz� la ampermetru compara�ia succesiv�?

Page 2: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

7

ajutorul unor mijloace de m�surare de o acurate�e deosebit�; practic, se consider� c� diferen�a dintre valoarea adev�rat� �i valoarea conven�ional adev�rat� este neglijabil� �i deci, cele dou� no�iuni sunt echivalente.

Rezultatul unei m�sur�ri individuale, x, care se ob�ine cu ajutorul unor mijloace de m�surare obi�nuite, reprezint� valoarea m�surat�.

Abaterea valorii m�surate fa�� de valoarea adev�rat� a m�surandului, constituie eroarea de

m�surare.

Pe de alt� parte, în activitatea practic�, valoarea adev�rat� este necunoscut�. Intervalul din jurul valorii m�surate, în care se estimeaz�, cu o anumit� probabilitate numit� nivel de încredere, c�se afl� valoarea adev�rat� a m�surandului se nume�te incertitudine de m�surare; incertitudinea de m�surare estimeaz� limitele erorilor de m�surare. Prin urmare, incertitudinea de m�surare este un parametru asociat cu rezultatul unei m�sur�ri care caracterizeaz� dispersia/împr��tierea valorii rezultatelor care, în mod rezonabil, pot fi atribuite m�surandului �i procedeului de m�surare. Pentru o estimare obiectiv�, este necesar ca împreun� cu rezultatul m�sur�rii s� se specifice: erorile sau/�i incertitudinea de m�surare. În figura 1.1 sunt reprezentate schematic no�iunile prezentate anterior.

Dup� modul de reprezentare, erorile se clasific� în: a) Eroare absolut�, ∆, definit� ca diferen�a algebric� dintre valoarea m�surat� �i valoarea (conven�ional) adev�rat�. Este o m�rime cu semn �i unitate de m�sur� identic� cu cea a m�surandului:

∆ = −x X . (1.3)

Eroarea absolut� cu semn schimbat reprezint� corec�ia m�sur�rii, c:

c = - ∆ . (1.4)

b) Eroarea relativ�, δ se define�te ca raport dintre eroarea absolut� �i valoarea adev�rat�. Este o m�rime adimensional� cu semn:

δ = ≈∆ ∆

X x . (1.5)

Eroarea relativ� este o m�rime adimensional� �i se exprim� în procente sau ppm (p�r�i per milion). c) Eroarea raportat�, δr se exprim� prin raportul dintre eroarea absolut� �i o valoare conven�ional� Xc:

Valoarea adevarata Valoare reala

Diferenta neglijabila Valoare masurata

EROARE

Incertitudine

Probabilitate=?

Axa masurand

Valoarea adevarataValoarea adevarata Valoare realaValoare reala

Diferenta neglijabilaDiferenta neglijabila Valoare masurataValoare masurata

EROAREEROARE

IncertitudineIncertitudine

Probabilitate=?Probabilitate=?

Axa masurand

Fig. 1.1. Explicativ� privind valoarea adev�rat�, m�surat�, real�, eroarea de

m�surare �i incertitudinea de m�surare.

Page 3: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

8

δ rcX

=∆

. (1.6)

�i eroarea raportat� este o m�rime adimensional� care este dat�, de obicei, în procente

d) Eroarea tolerat� reprezint� eroarea maxim� cu care este cunoscut� valoarea indicat� de c�tre un mijloc de m�surare ce func�ioneaz� corect; ea reprezint� o eroare relativ� limit� maxim�

admis� �i se folose�te la unele mijloace de m�surare analogice �i rezult� din definirea clasei de

exactitate. În acest caz, clasa de exactitate sau acurate�e (cl), se define�te ca o eroare raportat�, prin raportul dintre eroarea absolut� în modul, de valoare maxim� �i intervalul de m�surare al mijlocului de m�surare:

. 100minmax

max ⋅−

∆=

xxcl (1.7)

Dup� modul de manifestare a erorilor la repetarea m�sur�rilor care au loc în condi�ii practic identice, ele se clasific� în:

1) Erori aleatoare, care variaz� imprevizibil în timp ca valoare �i ca semn; ele pot fi pozitive sau negative; cele mici au o probabilitate de apari�ie mai mare decât cele mari, iar valoarea lor medie tinde spre zero dac� num�rul de m�sur�ri tinde spre infinit.

2) Erorile sistematice, care se caracterizeaz� prin aceea c� nu variaz� în timp sau au o varia�ie lent� la repetarea m�sur�rilor; ele pot avea o lege de varia�ie cunoscut�, îns� pentru determinarea acestora sunt necesare m�sur�ri suplimentare, în afara procesului de m�surare.

Observa�ie: Rezult� c� principala diferen�� între erorile aleatoare �i cele sistematice const� în viteza lor de varia�ie în raport cu intervalul de timp în care se efectueaz� m�surarea (observarea).

3) Erorile grosolane conduc la ob�inerea unor rezultate aberante în procesul de m�surare �i au, de regul�, cauze subiective legate de utilizarea gre�it� a mijloacelor de m�surare, a metodelor de m�surare sau de operator.

1.4.1. Erori aleatoare

Se consider� c� în cazul unor m�sur�ri repetate asupra aceluia�i m�surand, în condi�ii practic identice, erorile întâmpl�toare apar datorit� unor cauze independente între ele, adic�procesele aleatoare sunt necorelate între ele, îns� sta�ionare �i c� au urm�toarele propriet��i:

1) probabilitatea apari�iei unor valori mai apropiate de valoarea adev�rat� este mai mare decât probabilitatea apari�iei unor valori mai dep�rtate de aceasta;

2) valorile cu abateri pozitive fa�� de valoarea adev�rat� au aceea�i probabilitate de apari�ie ca �i valorile cu abateri negative.

Condi�iile prezentate presupun c� erorile sistematice au fost eliminate, fiecare m�surare individual� fiind afectat� de o eroare aleatoare astfel încât mul�imea valorilor individuale este

grupat� în jurul valorii adev�rate cu o anumit� reparti�ie a probabilit��ii.

• Care este diferen�a esen�ial� între eroare �i incertitudinea de m�surare????

• Care sunt sursele care produc erori în procesul de m�surare????

• În ce unit��i de m�sur� se pot exprima erorile relative????

• Ce tip de erori produc modific�rile de temperatur� ale mediului ambiant???? Dar fluctua�iile de temperatur� ce sunt datorate curen�ilor de aer????

• Exemplifica�i câteva erori grosolane.

Page 4: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

9

Aceste erori nu pot fi eliminate �i nici corectate, îns� nivelul lor poate fi redus prin prelucrarea rezultatelor unui �ir de m�sur�ri.

Se demonstreaz� c� cea mai bun� estimare a valorii adev�rate a m�surandului o reprezint�

media aritmetic�, x , definit� cu rela�ia:

x

x

n

ii

n

= =

�1 . (1.8)

Împr��tierea rezultatelor se caracterizeaz� prin eroarea medie patratic� experimental�, s,

definit� prin rela�ia:

s

x x

n

ii

n

=

−=� ( )2

1

1 . (1.9)

Sereciaz� c� prin prelucrare statistic�, în condi�iile folosirii acelora�i mijloace �i metode de m�surare, este posibil� o cre�tere a acurate�ei prin reducerea efectului erorilor aleatoare de 2 - 7 ori.

O problem� legat� de prelucrarea rezultatelor m�sur�rilor afectate de erori întâmpl�toare, o constituie cunoa�terea legii de reparti�ie de probabilitate a acestora. Se obi�nuie�te,ca ini�ial, s� se realizeze o histogram� a �irului de m�sur�ri, adic� o diagram� în care se reprezint� frecven�a de apari�ie în func�ie de un interval de reprezentare. Pentru aceasta, cele n rezultate ale m�sur�rilor se pun în ordine cresc�toare �i se stabile�te intervalul de reprezentare cu ajutorul formulei lui Sturges:

n

xx

lg22,31minmax

⋅+

−=∆ (1.10)

Fig.1.2. Semnal cu distribu�ie de probabilitate normal� (Gauss); în stânga, histograma

semnalului rotit� cu 90°

În teoria probabilit��ilor exist� teorema limit� central� care precizeaz� c� pentru mai multe variabile aleatoare independente: x1, x2, ..., xn, care au diferite tipuri de distribu�ii de probabilitate, cu valoarea medie zero, dac� n��, variabila cumulativ� a acestora tinde spre o lege de distribu�ie normal� (figura 1.2). În practic� este suficient dac� n � 4. În consecin��, pentru tehnica m�sur�rilor se consider� c� erorile aleatoare au o lege de reparti�ie normal�. Densitatea de probabilitate, y

pentru reparti�ia normal� (Gauss), are expresia:

, 2

)(exp

2

12

2

��

���

σ

µ−−

πσ=

xy (1.11)

Page 5: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

10

Maximul densit��ii de probabilitate are loc pentru x = µ, iar gradul de împr��tiere se apreciaz� prin σ (figura 1.3). Legea de reparti�ie se consider� normal� dac� num�rul de m�sur�ri este mai mare de 200; dac� aceast� condi�ie nu este îndeplinit�, se realizeaz� o selec�ie, urmând a fi

estimate: valoarea medie, x �i eroarea medie p�tratic� experimental�, s.

Fig. 1.3. Densitatea de probabilitate la dou� reparti�ii normale caracterizate prin erori

medii patratice σ1 �i σ2 diferite.

Probabilitatea ca o valoare m�surat� s� fie cuprins� între limitele x ± ts, numite limite de

încredere, unde t este coeficientul de amplificare, se determin� cu ajutorul integralei func�iei densit��ii de probabilitate:

. :unde

, dz)2

exp(2

2)(

0

2

σ

µ−=

−π

= �

xz

ztP

t

(1.12)

Valorile coeficientului de amplificare, t se g�sesc tabelate; în practica metrologic� se ia P

≥ 0,9. Merit� a fi men�ionat faptul c� pentru o distribu�ie normal�, în intervalul ±2 se g�sesc 95,45% dintre rezultate (1 din 22 m�sur�ri poate fi în exteriorul intervalului), iar în intervalul ±3se g�sesc 99,73% dintre rezultate (1 din 370 m�sur�ri poate fi în exteriorul intervalului).

1.4.2. Erori sistematice

Caracteristic pentru erorile sistematice este faptul c� au o surs� de generare cunoscut� �i deci este posibil ca legea lor de varia�ie s� fie dat�, putând astfel a fi aplicate anumite corec�ii în procesul de m�surare.

Determinarea erorilor sistematice presupune îns� cunoa�terea unor informa�ii adiacente care nu rezult� direct din procesul de m�surare �i care necesit� efectuarea unor m�sur�ri

suplimentare asupra surselor care le produc. Din punct de vedere practic, determinarea erorilor sistematice nu este întotdeauna justificat� sub aspectul cunoa�terii fizice a surselor de erori, pre� de cost, timp de m�surare, efectuarea calculelor pentru determinarea corec�iilor etc. Rezult� c� din

• Cum interpreta�i no�iunea de împr��tiere a rezultatelor???? Are împr��tierea rezultatelor vreo leg�tur� cu valoarea medie????

• Din ce cauz� se consider� c� erorile aleatoare au o distribu�ie normal�????

• Probabilitatea de apari�ie a unei valori m�surate în intervalul sx 3±±±± este de 99,73%; care este num�rul de m�sur�ri pentru ca un rezultat s� fie în afara intervalului????

• Din ce cauz� în practica metrologic� se ia un nivel de încredere mai mare decât 90%????

y(x)

µ

σ1

σ2 > σ1

Aria =1

Page 6: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

11

punct de vedere practic, erorile sistematice pot fi determinabile, dac� se justific� determinarea lor, �i respectiv, nedeterminabile, în caz contrar; pentru eliminarea sau reducerea efectelor lor se folosesc dou� procedee:

a) Stabilirea corela�iei dintre eroarea sistematic� �i factorul care o produce, adic�determinarea legii de dependen�� a erorii de sursa care o genereaz�. Aceast� metod� se aplic� în cazul în carelegea este cunoscut� �i factorii exteriori sunt u�or determinabili (temperatura mediului ambiant, rezisten�a interioar� a unor instrumente sau aparate de m�surat etc.), valoarea lor rezultând în urma unor m�sur�ri suplimentare.

b) Aleatorizarea erorilor sistematice se aplic� pentru erorile nedeterminabile, de obicei, lent variabile în timp, ceea ce presupune repetarea m�sur�rilor în momente necorelate, cu modificarea factorilor de influen��. Trebuie subliniat faptul c� în urma aleatoriz�rii erorilor sistematice se realizeaz� o estimare a acestora, adic� stabilirea unei valori aproximative pe baza unui criteriu probabilistic. Deoarece în majoritatea cazurilor se poate aprecia c� eroarea sistematic� este cuprins� între limitele ± a, distribu�ia de probabilitate poate fi o distribu�ie echiprobabil� cu o densitate de reparti�ie rectangular� (figura 1.4). Eroarea medie patratic� se determim� cu rela�ia:

3

22 a

=σ (1.13)

Fig. 1.4. Densitatea de probabilitate în cazul distribu�iei echiprobabile.

1.4.3. Incertitudini de m�surare

Extinderea metrologiei în arii noi ca: sociologie, psihologie, chimia analitic�, medicin� etc. a condus la necesitatea redefinirii principiilor acesteia. Vechile postulate ale metrologiei erau:

- numai m�rimile fizice pot fi m�surate, - m�surarea se face prin compara�ie cu o m�sur�, - la baza uniformit��ii m�sur�rilor se g�sesc unit��ile de m�sur�, - eroarea este o abatere a rezultatului m�sur�rii fa�� de valoarea adev�rat� a m�surandului,

Aceste postulate au trebuit s� fie reexaminate �i formulate astfel încât s� fie aplicabile �i m�sur�rilor netradi�ionale. Solu�ia a fost g�sit� prin introducerea no�iunii de incertitudine de m�surare, diferit� de no�iunea de eroare prin aceea c� nu ia în considerare valoarea adev�rat�. Compararea cu o m�sur� devine doar o metod� posibil� de m�surare, iar m�sura este introdus� în conformitate cu procedeul de determinare a m�rimii ce urmeaz� a fi m�surat�. În locul clasific�rii erorilor în erori aleatoare �i sistematice, incertitudinile sunt clasificate în incertitudini de tip A

pentru cele provenite din surse aleatoare sau de tip B – în cazul în care se folose�te o teorie de probabilitate subiectiv� (cunoscut� din surse externe ca: documenta�ie tehnic�, c�r�i de referin��, experien�� anterioar�, opinii ale exper�ilor etc.). În metrologia tradi�ional� prezenta importan��frecven�a evenimentelor, pe când acum, este important nivelul de încredere dat printr-o probabilitate.

Ca surse de generare a incertitudinii de m�surare, pot fi citate: - definirea incomplet� a testului (la temperatura camerei); - realizarea imperfect� a procedurii de m�surare; - cunoa�terea incomplet� a efectelor produse de caracteristicile mediului ambiant asupra

procesului de m�surare; - erorile instrumentale �i modific�ri suferite dup� calibrare; - valori de referin�� (parametri, constante etc.);

y

x

1/2a

-a +a

Aria =1

Page 7: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

12

- aproxima�ii sau model�ri încorporate în procedeul/metoda de m�surare (erori de model, de interac�iune �i de metod�);

- varia�ii la repetarea m�sur�rilor f�cute în condi�ii aparent identice etc.

Pentru evaluarea incertitudinii de m�surare se recomand� s� se realizeze o list� a factorilor de influen�� �i o estimare a componentelor incertitudinii, inclusiv a corela�iilor dintre acestea. În cazul în care în procesul de m�surare intervin erori aleatoare, ce stabilesc incertitudini de tip A �i incertitudini de tip B �i se calculeaz� incertitudinea compus�:

σ σ σ= +A B

2 2 , (1.14)

care este o incertitudine de nivel 1σ.

Rezultatul corectat �i creditat al m�sur�rii se exprim� în forma: ,Ucx ±+ unde: c

reprezint� corec�ia - provenit� din erorile sistematice calculabile, iar U - incertitudinea de m�surare

global� pentru un nivel de încredere P(t) dat.

Observa�ie: O problem� important� la exprimarea rezultatelor m�sur�rilor este cea de rontunjire, cu urm�toarele principii:

a) num�rul de cifre certe este corelat cu exactitatea m�sur�rii (de exemplu voltmetrele numerice cu 3 1/2 cifre - ce afi�eaz� maximum 1999 - au eroarea tolerat� de 0,1%);

b) dac� se indic� incertitudinea de m�surare, rangul ultimei cifre a num�rului trebuie s� fie egal cu rangul ultimei cifre a incertitudinii (de ex. 2,00 ± 0,05 kg );

c) la prelucrarea statistic� se re�ine un num�r mai mare de cifre (cu una-dou�); În conformitate cu principiile expuse cifrele incerte ale rezultatului unei m�sur�ri trebuie s� fie

eliminate deoarece nu con�in informa�ie de m�surare.

De re�inut: În cadrul m�sur�rilor electrice curente, de obicei erorile aleatoare sunt

reduse, ponderea cea mai mare având-o erorile instrumentale - care reprezint� erori sistematice ce se aleatorizeaz�.

1.4.4. Prelucrarea rezultatelor pentru m�sur�rile indirecte

Dac� m�rimea de m�surat se ob�ine pe baza unei expresii explicite:

( )y f x x xn= 1 12, ,..., , (1.15)

unde m�rimile xi provin din m�sur�ri directe cunoscute cu anumite erori, pentru determinarea erorii se poate folosi metoda bazat� pe dezvoltarea în serie Taylor. Aceast� metod� presupune considerarea situa�iei celei mai dezavantajoase care poate s� apar� la determinarea valorii m�surandului. În acest caz, considerând c� m�rimile sunt afectate de erorile absolute ∆i, eroarea relativ� pentru m�rimea y va fi o sum� ponderat� a erorilor relative de determinare a m�rimilor xi:

. ...2

22

1

11

n

nn

y

xc

xc

xc

y

∆++

∆+

∆=

∆ (1.16)

Valoarea coeficien�ilor de ponderare, ci se stabile�te presupunând c� toate erorile absolute sunt nule, cu excep�ia lui ∆i:

• Ce se în�elege prin stabilirea corela�iei dintre eroarea sistematic� �i sursa care o produce???? De ce este necesar�, efectuarea unor m�sur�ri suplimentare????

• Care este eroarea sistematic� de metod� la m�surarea unei rezisten�e prin metoda “amonte”????• La verificarea instrumentelor de m�surat, acestea se compar� cu un instrument etalon cu o

clas� de exactitate de 5 ori mai mic�, ceea ce conduce la un nivel de încredere de 95%; din câte instrumente verificate s-ar putea ca unul s� fie defect????

Page 8: Erori Si Incertitudini

M�sur�ri electrice �i electronice

13

, /y

x

x

y

xyc i

ii

iy

i ⋅∂

∂≈

���

� ∆

���

� ∆= (1.17)

de unde rezult�:

δ∂

∂δy

i

i

ii

n f

x

x

y=

=

� .1

(1.18)

Observa�ie: În rela�ia prezentat�, semnul derivatelor se va lua în a�a fel încât s�rezulte situa�ia cea mai defavorabil� din procesul de m�surare, f�r� a neglija îns� eventualele corela�ii ce pot exista între m�rimile xi.

1.5. Semnale �i perturba�ii

În accep�iunea cea mai larg�, prin semnal se în�elege o manifestare fizic� care se propag�printr-un mediu dat. Semnalele care se suprapun în mod nedorit peste semnalul util se numesc perturba�ii.

Dup� modul de apari�ie, semnalele se clasific� în: a) semnale singulare; b) semnale periodice; c) semnale aleatoare.

Semnalele singulare sunt acele semnale care au un caracter unic; ele se folosesc în transmiterea informa�iilor, în analiza sistemelor, în test�ri etc. Pot fi descrise în domeniul timp, func�ia de timp fiind caracterizat� prin: momentul trecerilor prin zero, valorile de vârf, durat�, energie etc. În domeniul frecven�e, analiza semnalelor singulare se face cu ajutorul transformatei Fourier, ele având, de regul�, un spectru de frecven�e continuu �i infinit.

Semnalele periodice sunt acele semnale care se reproduc în form� identic� dup� un interval de timp numit perioad�. Ele pot fi descrise în domeniul timp ca func�ii de amplitudine, frecven��, perioad� �i faz�. Analiza în domeniul frecven�e se face cu ajutorul seriei Fourier, rezultând un spectru de frecven�e discret (figura 1.5). Dac� avem un semnal periodic: s (t ) = s (t +T), atunci:

Aplica�ie: Pentru m�surarea unei surse de tensiune se compar� valoarea acesteia cu o surs� de tensiune etalon având tensiunea nominal� de 1,018 V, cunoscut� cu o eroare tolerat� de ±0,1% �i se constat� c� este mai mic� cu 2 mV. �tiind c� milivoltmetrul m�soar� cu o eroare tolerat� de ±2%, s� se determine eroarea de m�surare a tensiunii necunoscute. Solu�ie: Tensiunea necunoscut� are valoarea:

Ux=Ue – Uv = 1,018 - 0,002=1,016 V. Aplicând formula de la propagarea erorilor se ob�ine:

( ) ( ) . 11 v

vE

ve

vE

ey

UU

U

UU

−−+δ

−+=δ

În rela�ia de mai sus trebuie considerat� situa�ia cea mai defavorabil�, adic� prima eroare pozitiv�, iar cea de-a doua - negativ�, ob�inându-se:

.104,0004,01,02002,0018,1

002,01,0

002,0018,1

018,1=+≈×

−+×

−=δ y

Din rezultatul ob�inut se constat� c� milivoltmetrul are o contribu�ie foarte redus� în eroarea final�. Concluzie: La m�sur�rile diferen�iale, dac� una dintre m�rimi este mult mai mic� decât cealalt� m�rime, contribu�ia acesteia la eroarea final� este foarte redus� �i deci nu prea conteaz� cât de precis este cunoscut�!