Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Dragana Bobicic

Eratostenovo sito i Euklidov algoritam

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Dragana Bobicic

Eratostenovo sito i Euklidov algoritam

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Opcenito o Eratostenu i Euklidu 21.1 Eratosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Kako je Eratosten izmjerio Zemlju? . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Matematicki doprinosi 92.1 Eratostenovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Prosti brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Eratostenovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Jos neki Eratostenovi matematicki doprinosi . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Euklidov algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Euklidovi ”Elementi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Eratostenovo sito i Euklidov algoritam u nastavi matematike . . . . . . 19

2.5.1 Eratostenovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2 Euklidov algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Vrste znanja 243.1 Ucenikovo razumijevanje u matematici: Koje znanje i razumijevanje nas-

tavnici trebaju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.1 Ucenicki koncepti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Instrumentalno i relacijsko razumijevanje: Dihotomija ili kontinuum? . 283.3 Algoritamska, formalna i intuitivna dimenzija matematike: Interakcije i

nedosljednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Znati cinjenice vs. znati djelovati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Literatura 32

Uvod

Matematicari stare Grcke su uvelike doprinijeli matematici kakvu mi poznajemodanas. Svojim istrazivanjima, promatranjima obicnih pojava, stvari u prirodi, zakljucilisu neke elementarne cinjenice danasnjice. Sto se tice matematike, postavili su osnovegeometrije, matematickog dokazivanja, primjenjene matematike, matematicke analize,teorije brojeva, a pomalo su se priblizili integralnom racunu. Neki od tih matematicarasu i Eratosten i Euklid na cijem djelu se bazira ovaj rad.

U prvom djelu rada cemo reci nesto opcenito o Eratostenu i Euklidu. Nesto malosto se znalo o njihovim zivotima izvan znanosti te o njihovim doprinosima za drugeznanosti, osim matematike.

Drugi dio rada temeljit cemo na doprinosu Eratostena i Euklida u matematici.Prvenstveno cemo se bazirati na Eratostenovo sito i Euklidov algoritam. Osim mate-matickog dijela, reci cemo nesto i o upotrebi tih algoritama u skoli.

U trecem dijelu naglasak je na vrstama znanja. Reci cemo nesto o ucenikovomrazumijevanju u matematici, odnosno koje znanje i razumijevanje nastavnici trebaju.Spomenut cemo i ucenicke koncepte. Usporedit cemo instrumentalno i relacijsko ra-zumijevanje. U ovom poglavlju cemo takoder obraditi i interakcije i nedosljednostialgoritamske, formalne i intuitivne dimenzije matematike.

1

Poglavlje 1

Opcenito o Eratostenu i Euklidu

1.1 Eratosten

”Eratostena su njegovi suvremenici prepoznali kao covjeka s velikim odlikama u svimgranama znanja, iako je u svakoj temi bio nadomak prvog mjesta. Zbog toga je

prozvan Beta, ali i Pentatlos, koji implicira isto, predstavljajuci ga kao svestranogsportasa koji nije ni prvi trkac ni hrvac, ali uvijek osvaja drugo mjesto u ovim

natjecanjima kao i drugi.”Thomas L. Heath

Grcki ucenjak, geograf i astronom Eratosten roden je 276. godine prije Krista uKireni u Sjevernoj Africi (danasnji Shahhat, Libija). Nije poznat tocan datum njegovarodenja. Eratosten je prvi koji je sistematizirao geografiju, stoga ni ne cudi sto je danasznan kao otac geografije. Osim toga, bio je glavni knjiznicar Aleksandrijske knjiznice,koja je u to vrijeme bila najveca svjetska biblioteka s oko 700 000 svezaka. Kako je biookruzen mnogim djelima u kojima su bila sadrzana sva tadasnja znanstvena dostignuca,Eratosten je bio jedan od najucenijih ljudi svoga vremena. Bavio se astronomijom,geografijom, poezijom, povijescu, filozofijom, filologijom te matematikom.

Slika 1.1: Eratosten

Eratosten se obrazovao u Kireni kod Kalimaha, a jedno vrijeme je studirao i naPlatonovoj akademiji u Ateni. U Aleksandriju ga je pozvao tadasnji egipatski vladarPtolomej III. Euergeta kako bi bio ucitelj njegovom sinu Filopatoru. 236 god. pr. Kr.

2

3

Ptolomej III. Euergeta ga je imenovao predstojnikom aleksandrijske knjiznice. Alek-sandrijsku knjiznicu planirao je jos Ptolomej I. Soter, ali njegova ideja zazivjela je zavrijeme njegova sina Ptolemeja II. Filadelfa, uspjesnog vladara koji je ucinio Aleksan-driju sredistem knjizevnika i znanstvenika. Originalna djela u knjiznici temeljena su nakopijama djela iz Aristotelove knjiznice. Eratosten je predstojnik knjiznice bio nekolikodesteljeca sve dok nije izgubio vid. Prica se da je Eratosten izgubio volju za zivotomjer vise nije mogao citati. Umro je 194. godine prije Krista izgladnivsi se na smrt.

Eratosten je svojim znanstvenim djelima usao u povijest geografije, astronomijei matematike. Konstruirao je razne astronomske instrumente koje su se koristile sto-ljecima. On je predlozio da se prijestupni dan nadoda svake cetvrte godine u kalendaru.Pokusao je sloziti tocnu kronologiju svijeta skupljajuci datume znanstvenih i politickihdogadaja od opsade Troje. Eratosten je odredio ukosenost ekliptike, tj. nagib Zemjeprema zamisljenoj kruznici kojom se Sunce prividno giba, mjereci nagib Zemlje s ve-likom tocnoscu do dobivene vrijednost od 23◦ 51′ 20′′. Pripremio je zvjezdanu kartuna kojoj je bilo 675 zvijezda, a opis osnova astronomije dao je i u pisanom obliku, upjesmi ”Hermes”. Jos jedno o Eratostenovih poznatijih djela jest ”Katastarismoi”. Uovom djelu Eratosten je dao mitoloska tumacenja imena zvijezda. Eratosten je skupiosva dostupna tadasnja znanja o geografiji i uradio je brojna mjerenja udaljenosti nazemlji izmedu znacajnih mjesta. U svom djelu ”Geografija” skupio je sve svoje metodei rezultate svojih mjerenja i izracuna. Njome je postavio temelje matematickog usmje-renja u geografiji. Nazalost, niti spomenuta ”Geografija” niti djelo ”O izmjeri Zemlje”nije sacuvano, nego o njima saznajemo iz zapisa kasnijih filozofa poput Kleomeda iStrabona. Takoder je napravio geografsku kartu tada poznatog svijeta. U dodatku jeskicirao, prilicno tocno, rutu od Nila do Khartouma te prijedlog da su izvor Nila jezera.

Slika 1.2: Rekosntrukcija Eratostenove karte svijeta

4

Eratsotenova karta svijeta nije prezivjela, samo opisi onih koji su uzivo vidjeli origi-nal. Rekonstrukcije karte prema Eratostenu su bazirane na tim opisima. Eratostenje bio prijatelj s Aristotelom, te su zahvaljujuci toj korespondenciji sacuvani neki odAristotelovih radova. O Eratostenovom doprinosu u matematici reci cemo u posebnompoglavlju.

Procitavsi samo neke od Eratostenovih doprinosa, potrebno je primjetiti da je nje-gov nadimak Beta, spomenut u citatu, vrlo grub, jer se njegovih doprinosa u punorazlicitih podrucja sjecamo i danas, i to ne samo kao povijesno vaznih, nego vrloznacajnih jer u mnogo slucajeva jos uvijek pruzaju osnovu za moderne znanstvenemetode. Stoga cemo spomenuti jos jedan citat povjesnicara znanosti George Sartonakoji je zapisao sljedece: ”medu njima [Eratostenovim suvremenicima] je postojao geni-jalan covjek no kako je on radio na novom podrucju oni su bili preglupi da ga priznaju”.

1.1.1 Kako je Eratosten izmjerio Zemlju?

Eratostenov doprinos u geografiji je izuzetan. On je prvi koji je uopce koristiorijec ”geografija”. On je prvi koji je ispravno podijelio Zemlju u pet klimatskih regija:zarki pojas u sredini, dva hladna pojasa na krajnjem sjeveru i jugu, te dva umjerenapojasa izmedu njih. No, najznacajnije Eratostenovo djelo jest izracun opsega Zemlje spouzdanoscu od 0.5%.Danas, uz pomoc velikih znanstvenih i tehnickih otkrica, nije tesko izracunati opsegZemlje. No, u vrijeme Eratostena nije bilo ni satelita ni racunala, nicega sto bi danasznanstvenici koristili za taj izracun. Sve sto je tada ljudima bilo na raspolaganju zaovaj izracun jesu: Sunce, deve i, naravno, matematika.

Eratosten je oko 240. god. pr. Kr. precizno izmjerio opseg Zemljine kugle. Ovajdogadaj opisan je kao prvi znanstveni pokusaj davanja matematicke osnove geografskimistrazivanjima. Eratosten se koristio trigonometrijom i poznavanjem kuta visine Suncau podne u Aleksandriji i Sieni (danasnji Asuan, Egipat). Proucavajuci spise u VelikojAleksandrijskoj knjiznici, Eratosten je naisao na neobican podatak. U jednom spisu jestajalo da se odredenog dana u godini, tocno u podne, sunce izravno odbija iz dubokogbunara u blizini grada Siene smjestenog na Rakovoj, tj. sjevernoj obratnici, odnosnoda nema sjene. To znaci da Sunce u Sieni kulminira (ima najvisi polozaj na obzoru) uzenitu, tocki koja se iznad tocke motrista nalazi pod pravim kutem. Taj dan je moraobiti ljetni solsticij: 21. lipnja, prvi dan ljeta.

Slika 1.3: Sunceve zrake u Sieni

5

U Aleksandriji se to nikad ne dogada. Obelisci su uvijek bacali sjenu. Stoga je cekaopodne ljetnog solsticija sljedece godine te je gnomonom1 izmjerio kut pod kojim upa-daju sunceve zrake u Aleksandriji. Dobio je vrijednost od 82◦ 48′. Razlika izmedukuta upada Suncevih zraka u Sieni (90◦) i Aleksandriji u 12 sati iznosi 7◦ 12′, sto jepedesetina punog kuta.

Slika 1.4: Sunceve zrake u Aleksandriji

Eratosten je kao matematicar smatrao da Sunceve zrake upadaju paralelno na Zemlju,dakle paralelno one u Sieni i one u Aleksandriji. Tako je znao da i sredisnji kut kojizatvaraju polumjeri iz sredista do dva grada na istom meridijanu ima istu vrijednost.Trebala mu je jos udaljenost dvaju gradova. To je procijenio na temelju vremena od50 dana koje karavana deva treba da prijede takav put. Deve prijedu oko 100 stadijadnevno tako da je udaljenost od Aleksandrije do Siene procijenjena na 5000 egipat-skih stadija2. Eratosten je takoder poznavao i bitnu cinjenicu da je Zemlja okrugla.Sljedecom slikom opisana je situacija toga dana u podne:

Slika 1.5: Situacija u podne

1Anticki uredaj kojim se na temelju duljine sjene u smjeru meridijana mogao zakljuciti kut.21 stadij = 157.5 m

6

Matematicki gledano, cijeli opseg Zemlje O odnosi se prema luku SA duljine 5000stadija kao puni kut od 360◦ prema kutu od 7.2◦ sto ga zatvara luk SA:

O : 5000 = 360 : 7.2.

Iz ovog razmjera Eratosten je lako izracunao da je opseg Zemlje 250 000 stadija, od-nosno

O = 250000.

Ako preracunamo stadije u metre dobijemo

O = 250000 · 157.5 m ≈ 40000000 m = 40000 km,

sto je vrlo tocna procjena, jer danas znamo da opseg Zemlje iznosi 40 008 km.No, Eratostenovi suvremenici su mislili da je Eratostenov rezultat prevelik, njihovaprocjena je bila da opseg Zemlje nije veci od 30 000 km.Eratostenove pogreske bile su sljedece:

• Udaljenost od Siene do Aleksandrije je 729 km, a ne 770 km,

• Dva grada nisu na istom meridijanu kao sto je pretpostavljao,

• Siena nije na obratnici nego 55 km sjeverno od nje,

• Kut zraka Sunca nije 7◦12′ nego 7◦05′.

Upravo zbog ovog jednostavnog modela racunanja dimenzija Zemlje, koji se koristiojos stoljecima nakon Eratostena, geografi ga s pravom smatraju ”ocem geografije”, ageodeti ”ocem geodezije”. Zasluzeno, po Eratostenu je nazvano sljedece:

• Eratostenov krater na Mjesecu

• Eratostenov period u mjesecevoj geoloskoj vremenskoj skali

• Eratostenove podmorske planine u istocnom Sredozemnom moru

1.2 Euklid

”Zakoni prirode su samo matematicke misli Boga.”Euklid

Euklid je najistaknutiji grcki matematicar. Iako su kroz citavu povijest covjecanstva,mnogi znanstvenici i ucenjaci davali svoje postulate i razne teorije, Euklid je taj koji srazlogom nosi naziv ”otac geometrije”. On je sakupio, ne samo sva svoja razmisljanja iteorije, nego i teorije svojih prethodnika u svom djelu ”Elementi”. Kako su ”Elementi”dozivjeli preko 1700 izdanja, dugotrajnost tog djela sigurno cini Euklida vodecim ma-tematicarem svih vremena. Osim toga, ne cudi cinjenica sto se ”Elemenati” smatrajunajprevodenijim, najtiskanijim i najproucavanijim djelom u ljudskoj povijesti poslijeBiblije.

7

Slika 1.6: Euklid

Malo je poznato o Euklidovom zivotu. Zivio je od oko 330. do 275. godine prijeKrista u sredistu egipatskog kraljevstva, Aleksandriji za vrijeme Ptolomeja I. Sotera.Ptolomej je poceo vladati Egiptom nakon smrti Aleksandra Velikog i raspada njegovogogromnog carstva. On je osnovao sveuciliste i biblioteku u jednom - poznatu visokuskolu Museion. U to vrijeme, Aleksandrija je bila glavni znanstveni centar u kojem suse nalazili tadasnji najveci znanstvenici. Sam Museion je sadrzavao vise od 700 000rukopisa. Prvi ”sef” matematike u Museionu bio je upravo Euklid. Iz nekoliko izvoramozemo saznati nesto o Euklidu kao osobi. Recimo, njegov suvremenik, matematicarPap o Euklidu kaze da je bio cestit, skroman i tih covjek, koji nije znao za oholost iegoizam. Smatralo ga se covjekom koji je zivio samo za znanost i uporno je stajao nastajalistu da je znanje potrebno jedino zbog samog znanja, a nikako zbog koristi kojase iz njega moze izvuci. O njegovoj predanosti geometriji, odnosno znanosti uopce,govore sljedece dvije anegdote:

Prva anegdota

Najpoznatija anegdota o Euklidu (autor je Proklo), kaze kako je Euklid isao faraonuPtolemeju pokazati svoju knjigu Elementi. Faraon ga je upitao: ”Postoji li laksi i kracinacin do geometrije od proucavanja Elemenata?” Ovaj je odgovorio: ”Da, postoji.”Faraon ga upita: ”Postoji li ”kraljevski” nacin do matematike?” Euklid mu odgovori:”Ne, ne postoji. Onaj tko zeli shvatiti geometriju mora raditi. Isto vrijedi i za kraljeve.”

Druga anegdota

Nakon zavrsetka Euklidovog predavanja u njegovoj skoli, jedan od Euklidovih ucenikageometrije upitao je kakvu ce korist u zivotu imati od tog predavanja i koliko on mozezaraditi ako to sve nauci. Euklid nije odgovorio na to pitanje, pozvao je roba i po robuposlao tom uceniku jedan zlatnik i otpustio ga iz skole.

Sto se tice Euklidovih djela, vec spomenuti i sacuvani ”Elementi” su za nas najvazniji.Od ostalih sacuvanih djela spomenimo:

8

• Pojave - spisi o astronomiji,

• Optika - s teorijom perspektive,

• O dijeljenju figura - konstruktivni zadatci,

• Uvjeti - geometrijski zadatci koji se rjesavaju na algebarski nacin,

• Data - vrsta repetitorij.

Iako su ostala djela izgubljena, znamo da su Euklidova podrucja interesa bila matema-tika, optika, glazba i astronomija.

Poglavlje 2

Matematicki doprinosi

2.1 Eratostenovo sito

2.1.1 Prosti brojevi

Definicija 2.1.1 Za prirodan broj p > 1 kazemo da je prost ili prim broj ako nemaniti jednog djelitlja d takvog da je 1 < d < p; tj. ako ima samo trivijalne djelitelje.

Dakle, prost (prim) broj je onaj prirodni broj koji je veci od 1 i djeljiv je samo s 1 isamim sobom.

Definicija 2.1.2 Prirodan broj a > 1 koji nije prost nazivamo slozen broj.

Slozen broj je onaj prirodni broj veci od jedan, a koji nije prost, tj. djeljiv je, osim s1 i samim sobom, s barem jos jednim brojem.

Primjer 2.1.1 Brojevi 2 i 3 su prosti, jer su djeljivi samo s 1 i sa samim sobom.Brojevi 4 i 6 su slozeni, jer osim s 1 i sa samim sobom, djeljivi su i s nekim drugimbrojem (u ovom slucaju, 4 je djeljiv s 1, 2 i 4, a 6 s 1, 2, 3 i 6)

Vazno je istaknuti da broj 1 nije ni slozen ni prost broj, zbog toga sto broj 1 imaosobiti polozaj medu brojevima. Zato, prirodne brojeve dijelimo u tri klase: broj jedan(1), proste brojeve i slozene brojeve.

Teorem 2.1.1 Svaki prirodni broj n > 1 je ili prost broj ili ima prosti djelitelj.

Dokaz.Ako n nije prost broj, onda ima netrivijalne djelitelje. Najmanji izmedu njih oznacimos p. Broj p je prost, jer kada on to ne bi bio, bio bi slozen, sto bi znacilo da n imamanjeg prostog djelitelja od p.

�Sljedeci teorem dokazao je Euklid.

Teorem 2.1.2 Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.

Dokaz.Indirektnim dokazom cemo zakljuciti da prostih brojeva nema konacno, nego be-skonacno mnogo na sljedeci nacin: ako prostih brojeva ima konacno mnogo, treba

9

10

medu njima biti jedan koji je najveci – oznacit cemo ga s p.Promotrimo broj

(2 · 3 · 5 · · · · · p) + 1 (2.1)

gdje je broj u zagradi za jedan veci od produkta svih prostih brojeva.Broj naveden pod (2.1) veci je od svakog prostog broja (jer je p po pretpostavci najveciprosti broj), pa kao takav ne moze biti prost broj. Taj isti broj nije ni slozen, jer nijedjeljiv niti jednim prostim brojem (od navedenih koji su po pretpostavci jedini prostibrojevi). Ako taj broj podijelimo s bilo kojim od sljedecih brojeva 2, 3, 5, . . ., p ostatakce biti 1.Dakle: zakljucili smo da najveci prosti broj p ne postoji.Skup prostih brojeva je beskonacan.

�

Zelimo li naci sve proste brojeve manje ili jednake n, gdje je n unaprijed odabranprirodan broj, koristimo jednostavni postupak kojeg nazivamo Eratostenovo sito.

2.1.2 Eratostenovo sito

Eratostenovo sito je jednostavan postupak kojim se mogu naci svi prosti brojevi kojinisu veci od nekog zadanog broja n, tj. granica do koje zelimo naci proste brojeve.

Postupak pronalazenja prostih brojeva pomocu Eratostenovog sita:

1. napisemo proizvoljan broj uzastopnih prirodnih brojeva pocevsi od 2,

2. zaokruzimo najmanji neoznaceni broj,

3. precrtamo sve njegove visekratnike, koji nisu vec oznaceni,

4. ponavljamo postupak od 2. koraka dok svi brojevi nisu oznaceni (zaokruzeni iliprecrtani).

Postupak zavrsi u konacno mnogo koraka, jer na pocetku imamo konacno mnogo bro-jeva, a u svakom koraku barem jedan broj oznacimo. Zaokruzeni brojevi su prostibrojevi. Precrtani brojevi su slozeni brojevi.Ovaj postupak ponavljamo dok ne dodemo do broja p za koje je p2 > n. Neprecrtanibrojevi su prosti.

Sada cemo na jednom jednostavnom primjeru pokazati kako Eratostenovo sito radi.

Primjer 2.1.2 Nadimo sve proste brojeve manje ili jednake 120 pomocu Eratostenovogsita.

11

Rjesenje.

• Ispisemo sve prirodne brojeve od 2 do nekog broja n, u ovom slucaju n = 120.

• Precrtamo svaki drugi broj iza broja 2 (svaki paran broj), tj. sve visekratnikebroja 2 (crvena polja).

12

• Dolazimo do broja 3 i precrtamo svaki treci boj iza broja 3, tj. sve visekratnikebroja 3, pri cemu se broje i oni brojevi koje smo prije precrtali (zelena polja).

• Polazimo od sljedeceg neprecrtanog broja, tj. od broja 5 i precrtamo sve njegovevisekratnike, tj. svaki peti broj (plava polja).

13

• Opet polazimo od sljedeceg neprecrtanog broja, tj. od broja 7 i precrtamo svenjegove visekratnike (zuta polja).

• Postupak je gotov kada dodemo do prostog broja p ciji je kvadrat veci od n(n = 120)

• Svi neprecrtani brojevi do broja n su prosti brojevi (ljubicasta polja).

• Precrtani brojevi su, naravno, slozeni.

14

Iz ovog primjera vidimo da se zaista radi o ”prosijavanju” skupa prirodnih brojevanakon kojega u ”situ” ostaju samo prosti brojevi, pa nam je sada jasno zasto ovajpostupak nazivamo Eratostenovim sitom. Nagada se da Eratosten nije samo precrtavaobrojeve, nego da ih je busio. Zato je njegov papirus izgledao kao cetvrtasto sito. Onje ovim putem takoder naslutio da je skup prostih brojeva beskonacan.Razvojem racunalne tehnologije razradene su neke druge efikasnije metode odredivanjaprostih brojeva jer je za Eratostenovo sito, iako je prilicno jednostavno za primjene,potreban jako velik broj operacija.Dokazimo da ”rupe” izmedu dva prosta broja mogu biti po volji velike.

Teorem 2.1.3 Za dani broj n ∈ N \ {1} postoji bar n uzastopnih slozenih brojeva.

Dokaz.Neka je n ∈ N \ {1} proizvoljan. Tada je svaki od brojeva

2 + (n+ 1)!, 3 + (n+ 1)!, . . . , n+ (n+ 1)!, (n+ 1) + (n+ 1)!

slozen broj, jer je prvi djeljiv s 2, drugi s 3, . . ., n-ti s (n + 1) i ocigledno su jedandrugom direktni sljedbenici, odnosno oni su uzastopni brojevi.

�

Iako”rupe“ izmedu prostih brojeva mogu biti po volji velike, s druge strane prosti

brojevi mogu biti i veoma blizu. Brojevi 2 i 3 su jedina dva uzastopna prosta broja(jer je 2 jedini prost paran broj). Medutim, postoje i parovi prostih brojeva koji serazlikuju za 2. Ti brojevi se nazivaju prosti blizanci. Primjeri takvih brojeva su: 3 i 5,5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 101 i 103, . . .,...

2.2 Jos neki Eratostenovi matematicki doprinosi

Jos jedno poznato Eratostenovo djelo jest ”Platonicus” u kojoj se bavio matema-tikom koja se temeljila na Platonovoj filozofiji. Ovo djelo nije sacuvano, nego o njemusaznajemo od Teona iz Smirne. Teon je svoje djelo ”Expositio rerum mathematicarum”bazirao na Eratostenovom djelu.

Kao matematicara zanimale su ga tri cuvena problema tadasnje matematike: kva-dratura kruga, trisekcija kuta i udvostrucenja kocke.Eutokios je u svom komentaru neke propozicije iz Arhimedove knjige ”O sferama icilindrima” prikazao pismo koje je navodno napisao Eratosten Ptolomeju III. Euerge-tesu. Pismo opisuje povijest problema udvostrucenja kocke te opisuje mehanicki uredajkojeg je Eratosten izumio da bi rijesio taj problem. Time je nastalo jedno od najpozna-tijih mehanickih rjesenja problema udvostrucnja kocke koje nazivamo mezolabij. Toje mehanizam za odredivanje srednjih geometrijskih proporcionala: ako su dane dvijeparalelne fiksirane letve AB i CD i na njih pricvrscena tri sukladna pravokutna trokutatako da im po jedna kateta lezi na AB. Ako trokute dovedemo u polozaj kao na Slici6. Vidimo da je K poloviste od BD, tocke A, N , L i K su kolinearne, te vrijedi:

|DK| : |ML| = |ML| : |NO| = |NO| : 2|DK|.

15

Slika 2.1: Mezolabij

Ako je |DK| = a, stranica kocke dvostrukog volumena je |ML|.Jos jedno Eratostenovo izgubljeno djelo ”O sredinama” spominje Pap Aleksandrij-

ski kao odlicnu knjigu iz geometrije.

2.3 Euklidov algoritam

Euklidov algoritam je jedan od najstarijih algoritama koji se koriste i dan danas.Nalazimo ga u Euklidovim ”Elementima”, u V II. knjizi, gdje je Euklidov algoritamformuliran za cijele brojeve, te u X. knjizi gdje imamo primjenu Euklidovog algoritmau geometriji. Iako smo od Euklida saznali o ovom algoritmu, ne postoje dokazi da je onoriginalni tvorac tog algoritma. Iako stoljecima kasnije, Euklidov algoritam je otkrivenu Indiji i Kini, i to kao sredstvo za odredivanje rjesenja diofantskih jednadzbi koje suse javljale kod astronomskih problema i kod izrade preciznih kalendara.U 19. stoljecu dolazi do razvoja novih brojeva, zahvaljujuci upravo Euklidovom algo-ritmu. Euklidov algoritam je bio prvi algoritam za utvrdivanje cjelobrojne povezanosti,odnosno za pronalazak cjelobrojnih odnosa izmedu usporedivih realnih brojeva. Kra-jem 20. stoljeca razvijeno je jos nekoliko novih algoritama koji mogu provjeriti cjelo-brojnu povezanost.Euklidov algoritam i danas koristimo za pronalazak najveceg zajednickog djeliteljadvaju ili vise brojeva.Definirajmo zajednicki djelitelj dva broja a i b.

Definicija 2.3.1 Najveci zajednicki djelitelj (ili najveca zajednicka mjera) brojevaa i b jest broj m koji ima svojstva:

1. m je djelitelj svakog od brojeva a i b,

2. m je najveci broj s tim svojstvom.

Najveci zajednicki djelitelj oznacavamo s (a, b).

Prije Euklidovog algoritma, izreci cemo sljedeci teorem.

Teorem 2.3.1 (Teorem o dijeljenju s ostatkom)Za proizvoljan prirodan broj b i cijeli broj a postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r takvida je a = bq + r, 0 ≤ r < b. Broj q se zove kolicnik, a r se zove ostatak.

Teorem 2.3.2 (Euklidov algoritam)Neka su b, c ∈ Z gdje su b, c > 0. Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema

16

o dijeljenju s ostatkom dobiven niz jednakosti:

b = cq1 + r1, 0 < r1 < cc = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1r1 = r2q3 + r3, 0 < r3 < r2...rj−2 = rj−1qj + rj, 0 < rj < rj−1rj−1 = rjqj+1.

Tada je (b, c) = rj, odnosno najveci zajednicki djeljitelj je jednak posljednjem os-tatku razlicitom od nule u Euklidovom algoritmu. Vrijednosti od x0 i y0 u izrazu(b, c) = bx0 + cy0 mogu se dobiti izracunavanjem svakog ostatka ri kao linearne kombi-nacije od b i c.

Napomena. Primjetimo da cemo u konacno mnogo koraka doci do situacije: rj+1 =0 ⇒ (b, c) = (c1, r1) = (r1, r2) = · · · = (rj−1, rj) = rj jer je prema pretpostavcirj+1 = 0⇒ (b, c) = rj.Za dokaz ovog teorema potrebna nam je sljedeca propozicija.

Propozicija 2.3.1 Vrijedi(a, b) = (a, b+ ax)

gdje je x ∈ Z.

Dokaz teorema.Prema gornjoj propoziciji slijedi:

(b, c) = (b− cq1, c) = (r1, c) = (r1, c− r1q1) = (r1, r2) = (r1 − r2q3, r2) = (r1, r3).

Nastavljajuci ovaj proces, dobivamo: (b, c) = (rj−1, rj) = (rj, 0) = rj.Indukcijom cemo dokazati da je svaki ri linearna kombinacija od b i c.Za r1 i r2 to vrijedi pa pretpostavimo da vrijedi i za ri−1 i ri−2. Kako je ri = ri−2−ri−1qi,po pretpostavci indukcije dobivamo da je ri linearna kombinacija od b i c.

�

Pokazimo na primjerima:

Primjer 2.3.1 Pronadite najveci zajednicki djelitelj brojeva 3102 i 4002.

Rjesenje.4002 = 1 · 3102 + 9003102 = 3 · 900 + 402900 = 2 · 402 + 96402 = 4 · 96 + 1896 = 5 · 18 + 618 = 3 · 6

17

Najveci zajednicki djelitelj brojeva 3102 i 4002 je

NZD(4002, 3102) = 6.

Primjer 2.3.2 Pronadite najveci zajednicki djelitelj brojeva 224 i 319.

Rjesenje.319 = 1 · 224 + 95224 = 2 · 95 + 3495 = 2 · 34 + 2734 = 1 · 27 + 727 = 3 · 7 + 67 = 1 · 6 + 16 = 6 · 1

Najveci zajednicki djelitelj brojeva 224 i 319 je

NZD(224, 319) = 1.

Definicija 2.3.2 Za dva prirodna broja a i b kazemo da su relativno prosti ako jenjihov najveci zajednicki djelitelj jednak 1, tj. ako je NZD(a, b) = 1.

Dakle, brojevi 224 i 319 su relativno prosti.

2.4 Euklidovi ”Elementi”

”Euklidovi su Elementi i jedno od najkontroverznijih djela u povijesti znanosti.Upravo kritikom sadrzaja Elemenata razvijala se povijest strogo logickog zasnivanja

matematike i bilo koje aksiomatske teorije. Dva osnovna problema koje su Elementiinicirali, problem paralela i problem potpunosti aksiomatike euklidske geometrije,

rijeseni su tek pocetkom odnosno krajem 19. stoljeca nakon bezuspjesnih pokusajagotovo svih najvecih matematicara kroz vise od dvije tisuce godina.”

prof. dr. sc. Vladimir Volenec

Euklidovi ”Elementi” su vrlo vazno djelo matematike, svjetske znanosti i kultureprevedeno na vecinu svjetskih jezika pa tako i na na hrvatski. Prvih sest knjiga Eukli-dovih ”Elemenata” prevela je Maja Hudoletnjak Grgic.

”Elementi” su objavljeni oko 300. g. pr. Kr.. U tom djelu od 13 knjiga skupljeno jesve sto se do tada znalo iz matematike. Originalni rukopis ”Elemenata” nije sacuvannego su na temelju postojecih nezavisnih tekstova krajem 19. stoljeca J.L. Heiberg iH. Menge restaurirali originalni Euklidov tekst.

”Elementi” su u svakom pogledu vise nego znacajni. Sluzili su kao udzbenik izgeometrije sve do 19. stoljeca.Razlika izmedu ”Elemenata” i danasnjih udzbenika se na primjer nalazi u tome sto se u”Elementima” ne spominje neposredno mjerenje povrsina i obujama figura, nego samo

18

Slika 2.2: Hrvatsko izdanje Euklidovih ”Elemenata”

njihova usporedba, nigdje se ne spominje broj π, a dokazi su cisto apstraktni, dobivenicistim logickim razmisljanjem. No, ipak mnogi poucci se po sadrzaju poklapaju u obaudzbenika, a metode dokaza su u vecini slucajeva jednake.U ”Elementima” je na aksiomatskoj osnovi vrlo uspjesno izlozena elementarna geome-trija. Teoremi su logicki poredani tako da svaki slijedi iskljucivo iz vec dokazanih ili pakosnovnih tvrdnji (23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata) danih na pocetku, a zakljuccise izvode strogo deduktivno. U knjizi [5] se takoder istice kako je ideja ”Elemenata” iz-vesti cijelu matematiku iz malog broja pocetnih pretpostavki. U ovom djelu se izrazitoosjeti utjecaj Aristotela na Euklida koji je vec ranije izlozio bit znanstvenih defini-cija, aksioma i dokaza. Tako je Euklid svaku svoju geometrijsku tvrdnju formuliraoopcenito, pa konkretno, crtezima pokazujuci ono sto je zadano i sto treba dokazati ilikonstruirati. Nakon dokaza slijedi zakljucak.

Dakle, ”Elementi” se sastoje od 13 knjiga. Knjige 1 − 4 se bave planimetrijom, aknjige 5− 10 predstavljaju znanje o omjerima i razmjerima.

• Knjiga 1: temeljna svojstva geometrije, Pitagorin poucak, jednakost kutova, pa-ralelnost, zbroj kutova u trokutu,

• Knjiga 2: povrsine trokuta i cetverokuta, zlatni rez,

• Knjiga 3: krugovi, kruznice i njihova svojstva, odsjecci, tangente,

• Knjiga 4: konstrukcija kruznici opisanih i upisanih trokuta te konstrukcija pra-vilnih poligona,

• Knjiga 5: omjeri velicina,

• Knjiga 6: primjena omjera u geometriji, slicnost trokuta,

19

• Knjiga 7: teorija brojeva (djeljivost, prosti brojevi),

• Knjiga 8: geometrijski redovi,

• Knjiga 9: kombinacija rezultata sedme i osme knjige – beskonacnost prostihbrojeva, suma geometrijskog reda,

• Knjiga 10: nesumjerljivost i iracionalni brojevi,

• Knjiga 11: primjena rezultata prve do seste knjige na prostor,

• Knjiga 12: oplosja i volumeni stosca, piramide, valjka, sfere,

• Knjiga 13: generalizacija cetvrte knjige na prostor, upisivanje pet Platonovihpravilnih tijela u sferu.

Slika 2.3: Sacuvani fragmenti Euklidovih ”Elemenata”

2.5 Eratostenovo sito i Euklidov algoritam u nas-

tavi matematike

Nastavni plan i program za osnovnu skolu propisuje da se prosti brojevi te najvecizajednicki djelitelj i najmanji zajednicki visekratnik dvaju ili vise prirodnih brojeva iodredivanje istih obraduju u petom razredu osnovne skole. Ovi pojmovi su neophodniza usvajanje racunskih operacija u skupu racionalnih brojeva Q. Najveci zajednickidjelitelj i najmanji zajednicki visekratnik dvaju ili vise brojeva ucenici u osnovnoj skoliodreduju faktorizacijom svakog od danih brojeva. U srednjoj skoli ova nastavna jedinicase obraduje u prvom razredu srednje skole. Vecina ucitelja svoj sat prilagodi udzbeniku,a pojmovi NZD i NZV su u udzbeniku petog razreda, ali i u prvom razredu srednjeskole, predstavljeni tako da je naglasak na uvjezbavanju postupka njihova odredivanja.Obradu ove nastavne jedinice mozemo svesti na ”igre” s brojevima.

20

2.5.1 Eratostenovo sito

Za obradu Eratostenovog sita mozemo kombinirati razne nastavne metode i oblike.Jednu od ideja vidjet cemo kroz sljedecu didakticku igricu. Igrica je namijenjena zaosnovnoskolce, ali moze se primjenjivati i u srednjim strukovnim skolama.

Ucenike podijeliti u parove.

Cilj igre: Usvojiti/ponoviti pojmove: prost broj, djelitelj cijelog broja.

Plan:

1. Uvodno ponoviti pojam prostog broja. Zatim ponoviti i pojam djelitelja.

2. Pratiti upute nastavnika i uredno ih provoditi.

3. Nakon zavrsetka zadatka prouciti tablicu i odgovarati na pitanja nastavnika.

4. Izrada postera.

Provodenje plana.

Svakoj dvojici ucenika podijeliti radni list s kvadraticnom tablicom 10 × 10 u kojusu uneseni brojevi od 1 do 100. Nastavnik cita upute, ucenici izvode dane naredbe.- Zaokruzite broj 2.- Precrtajte u tablici sve parne brojeve (brojeve koji su djeljivi s 2).- Zaokruzite broj 3.- Precrtajte u tablici sve brojeve djeljive s 3.- Zaokruzite prvi sljedeci netaknut broj, broj 5.- Precrtajte u tablici sve brojeve koji su djeljivi s 5.- Nastavite postupak za brojeve 7 i 11.

Pitanja.

Ucenici trebaju odgovoriti na sljedeca pitanja navedena na radnom listu:

1. Ispisite sve proste brojeve manje od 100.

2. Koliko djelitelja ima broj 72?

3. Koji broj manji od 100 ima najvise djelitelja? Koliki je taj broj djelitelja?

4. Koji brojevi imaju tocno tri djelitelja? Mozete li dati opcenit odgovor?

5. Je li broj 1 prost ili slozen? Objasnite odgovor.

6. Nastavite s ispisivanjem prostih brojeva p za 100 < p < 200.

Ocekuju se sljedeci odgovori:

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

21

2. Broj 72 ima ukupno 12 djelitelja. To su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

3. Brojevi 72 i 96 imaju najvise djelitelja.

4. Tocno tri djelitelja imaju kvadrati prostih brojeva. Naime, za svaki prost broj p,djelitelji broja p2 su brojevi 1, p i p2.

5. Broj 1 niti je prost niti je slozen.

6. Pri ispisivanju prostih brojeva mozete se posluziti prilozenim kalkulatorom kojiprovodi Eratostenovo prosijavanje za brojeve koje su manji od 2500.

Poster.

Na ”hamer-papiru“ veceg formata izraditi zavrsnu tablicu. Neka bude sto urednijai preglednija te estetski sto dotjeranija. Izraditi poster sa svim prostim brojevimamanjim od 1000.

2.5.2 Euklidov algoritam

Kako bi ucenici usvojili Euklidov algoritam s razumijevanjem, u [4] je predlozeno danastavnik to moze uciniti kroz sljedeca tri koraka:

• Korak 1. Uocavanje svojstava na kojima se temelji Euklidov algoritam.

• Korak 2. Osigurati da ucenici znaju u kojim situacijama primjeniti Euklidovalgoritam.

• Korak 3. Primjena - stavljanje Euklidovog algoritma u odredeni kontekst i de-monstriranje vaznosti faktorizacije u suvremenom svijetu.

Korak 1.Prvo je potrebno ponoviti sve sto ucenici zanju o djeljivosti prirodnih brojeva. Ucenicitrebaju uociti da ako je d zajednicki djelitelj brojeva a i b, onda d dijeli i zbroj i razlikuvisekratnika brojeva a i b, tj. d dijeli cjelobrojnu linearnu kombinaciju brojeva a i b.

Primjer 2.5.1 Broj 7 dijeli brojeve 35 i 21. Znaci da 7 dijeli i brojeve:

56 = (35 + 21), 14(= 35− 21), 91(= 2 · 35 + 21), 329(= 10 · 35− 21).

Zatim ucenike upoznajemo s Teoremom o dijeljenju s ostatkom. Podsjetimo se defini-cije pojmova: najveci zajednicki djelitelj, relativno prosti brojevi te kako se odredujenajveci zajednicki djelitelj dva prirodna (cijela) broja faktorizacijom kroz nekoliko za-dataka.

Korak 2.Postavlja se pitanje kada primjeniti Euklidov algoritam. Da bi to razjasnili, ucenicimadajemo primjer s brojevima koje je tesko faktorizirati. No, nakon sto primjene Euk-lidov algoritam, ucenici uvidaju da postoje primjeri u kojima je dane brojeve teskofaktorizirati, ali lako primjeniti Euklidov algoritam.

22

Primjer 2.5.2 Odredi najveci zajednicki djelitelj brojeva 3587 i 1819.

Rjesenje.U ovom primjeru je ocito da je lakse primjeniti Euklidov algoritam nego faktorizirati.Odmah na pocetku mozemo eliminirati 2, 3 i 5, pa zakljucujemo da cemo pomocuEuklidovog algoritma brze doci do rjesenja:3587 = 1 · 1819 + 17681819 = 1 · 1768 + 511768 = 34 · 51 + 3451 = 1 · 34 + 1734 = 2 · 17Najveci zajednicki djelitelj brojeva 3587 i 1819 je

NZD(3587, 1819) = 17.

Korak 3.Treci korak jest ucenicima pokazati primjenu Euklidovog algoritma te kontekstualiza-ciju pojma. U sljedecem primjeru Euklidov algoritam postavljamo u kontekst geome-trije.

Primjer 2.5.3 Trebamo pronaci najdulju duzinu koja se cijeli broj puta sadrzi u duzinamacije su duljine 76 mm i 20 mm.

Rjesenje.Duzinu, cija je duljina 76 mm, mjerimo sada pomocu duzine cija je duljina 20 mm.(Probamo dulju duzinu izmjeriti kracom.)

Duzinu, cija je duljina 20 mm, mjerimo sada pomocu duzine cija je duljina 16 mm.(Ostatak pri prethodnom mjerenju.)

Duzinu cija je duljina 16 mm mjerimo sada pomocu duzine cija je duljina 4 mm. (Os-tatak pri prethodnom mjerenju.)

23

Dobili smo da je duzina duljine 4 mm najdulja duzina koja je sadrzana cijeli broj putau duzinama cije su duljine 76 mm i 20 mm.

Jos neki primjeri zadataka u kojima ucenici mogu primjeniti Euklidov algoritam susljedeci:

1. Slasticarna treba isporuciti 120 cokoladnih i 192 vocna kolaca. Kolace zele ras-porediti u jednake kutije tako da u svakoj kutiji bude jednak broj jedne vrstekolaca. U kutiju na ovaj nacin treba stati najveci moguci broj kolaca. Koliko jekutija potrebno i koliki je broj svake vrste kolaca u kutiji?

2. Dvije neonske lampice su ukljucene u isto vrijeme. Prva zasvijetli svake 4 sekunde,a druga svakih 6 sekundi. Koliko ce puta lampice zasvijetliti istovremeno uperiodu od 60 sekundi?

Poglavlje 3

Vrste znanja

Danas je nasiroko prihvaceno da bi nastavnici trebali biti svjesni oblika ucenikovogznanja matematike. Vjeruje se da ta svjesnost i znanje znacajno doprinose raznimaspektima nastavnickog zvanja. U ovom dijelu cemo kriticki ispitati ovo ustaljenovjerovanje.

3.1 Ucenikovo razumijevanje u matematici: Koje

znanje i razumijevanje nastavnici trebaju?

Stvaranjem pojma ”pedagosko znanje sadrzaja”, Shulman (1986.) je uvelike pridoniopokretanju sadasnje rasprave o tome sto nastavnici moraju znati o ucenikovom ucenjumatematike. Ovaj pojam se uglavnom odnosio na ”razumijevanje sto ucenje nekeodredene teme cini teskom ili laganom; koncepcije i predrasude koje ucenici razlicitihgodina i podrijetla imaju pri ucenju tih najcesce ucenih tema i cjelina.”

3.1.1 Ucenicki koncepti

U posljednja tri desetljeca, mnogi znanstvenici su istrazivali ucenicke matematickeideje i koncepte te njihov nastanak kod ucenika. Rezultati istrazivanja su pokazali da jeucenje matematike kompleksno, te da je za ucenje matematike potrebno puno vremena.Rezultati pokazuju da ucenici svoje znanje matematickih koncepata i ideja grade nanacine koji se cesto razlikuju od onog sto je pretpostavila profesionalna zajednica.Opisat cemo doprinose tih istrazivanja: gradnja teorije, zablude, put od zablude doznanja i uloga prikazivanja.

Gradnja teorije

Pokusaj da se razvije sveobuhvatna teorija koja opisuje kako ucenici uce odredenematematicke domene ili pojmove je prilicno rijetka u polju matematickog obrazova-nja. Istaknuti primjer je ”Van Hiele teorija”, najsveobuhvatnija teorija formuliranaza ucenje geometrije. Razvili su je Pierre i Dina Van Hiele prije gotovo pola stoljeca.Teorija tvrdi da ucenici, kada uce geometriju, napreduju iz jedne odredene razine ge-ometrijskog misljenja u drugo. Ovaj proces je diskontinuiran, a razine su uzastopne ihijerarhijske. Van Hiele teorija takoder predlaze faze instrukcija koje pomazu ucenicima

24

25

da napreduju kroz razine. Nekoliko znanstvenika je gradenju teorije prislo na drugacijinacin. Oni su pokusali izgraditi teoriju koja nije specificna za ucenje samo odredenogdijela matematike, nego su predlozili opca nacela. Jedan takav pristup se odnosi nastjecanje matematickih koncepata (Breidenbach, Dubinsky, Hawks i Nichols, 1992.;Davis, 1975.; Dubinsky, 1991.; Sfard, 1991.). Ovaj pristup sugerira da postoji lanacprijelaza od operativnih do strukturnih koncepata. Neki znanstvenici nadalje tvrde dasu operativne koncepcije, za vecinu ljudi, prva faza u stjecanju novih matematickihkoncepata. Glavna tvrdnja jest ta da se procesi izvedeni na odredenim apstraktnimobjektima pretvaraju u nove objekte koji sluze kao ulazi u vise razine procesa.

Zablude

Puno izrazenija crta istrazivanja u podrucju matematickog obrazovanja je proucavanjepogresaka. Dok se prethodno istrazivanje bazira na opcim aspektima ucenja mate-matike, ovdje se znanstvenici obicno usredotocuju na odredene ”lokalne” koncepte.Neki se znanstvenici ukljuce u detaljno opisivanje pogresaka koje ucenici naprave uodredenim temama. Drugi istrazuju dodatne dimenzije. U ovom dijelu cemo opisatidvije takve dimenzije: izvori ucenickih zabluda i razvoj zabluda s godinama i uputama.

Izvori ucenickih zabluda

Puno znanstvenika smatra proucavanje ucenickih gresaka fascinantnim. Oni ulazu na-pore da bi otkrili moguce izvore cestih ucenickih pogresaka. Ilustrirat cemo ovo cestodokumentiranom pogreskom: sklonost spajanja algebarskih izraza (npr. kada se izraz2x+ 3 zapise kao 5x ili 5). Literatura predlaze nekoliko razlicitih razloga zasto ucenicicine ovu gresku. Jedna od njih je sto ucenici ne razlikuju zbrajanje i pridruzivanje(spajanje). Jedan od nacina da ucenici ovaj problem rijese jest pomocu drugih pred-meta u kojima koristimo algebarske simbole. Recimo, u kemiji dodavanje kisika ugljikudaje CO2. Zbog slicnih znacenja rijeci ”i” i ”plus” u prirodnom jeziku, normalno jeda ucenici misle da ”ab” znaci isto sto i ”a + b”, jer se simbol ”ab” cita kao ”aib”, ainterpretira kao ”a+ b”.

Drugo objasnjenje za ovu pogresku jest sto se ucenici cesto suocavaju s kognitivnompoteskocom ”prihvacanja nedostatka zatvorenosti” te su otvorene izraze skloni perci-pirati kao ”nedovrsene”. Ovo objasnjenje i dalje ostavlja mjesto za pitanje: ”Zastoucenici osjecaju to?”. Tipicno objasnjenje je to da ucenici ocekuju da se algebarskiizrazi ponasaju slicno kao i aritmeticki izrazi. Ponekad ocekuju odredeni odgovor. tj.da je konacan odgovor jednoznacan. S druge strane, ucenici nekada simbole, kao stoje ” + ”, interpretiraju samo u smislu akcija koje ce se obaviti, kao sto je to inace uaritmetici, i stoga spojiti izraze.

Drugo, nesto sire objasnjenje za isto ponasanje povezujemo s dualnom prirodommatematickih oznaka: postupak i objekt. U algebri, simbol ”5x+ 8” oznacava i proces”dodaj pet puta x i osam”, ali i objekt. Cesto ucenici ”5x + 8” shvacaju samo kaopostupak koji treba izvesti te zbrojiti ”5x+ 8”, sto je njima razumno, te dobiti ”13x”.

Mnogi slucajevi uobicajenih pogresaka, alternativnih koncepcija i zabluda su opi-sani u brojnim istrazivanjima. Na temelju tog dokumentiranog istrazivanja, u nekolikoteorijskih okvira pokusano je opisati opce, temeljne izvore ucenickih netocnih odgovora.Ovdje cemo ukratko pokusati opisati jednu teoriju, ”teoriju intuitivnih pravila”. Bitna

26

tvrdnja ove teorije je da nevazna, vanjska obiljezja zadataka cesto odreduju ljudskeodgovore na matematicke i znanstvene zadatke. Npr., odgovori ucenika da usporedezadatke iz razlicitih podrucja su cesto tipa ”vise A - vise B”. Jedan primjer se odnosina kutove koji su vertikalno polozeni. Istrazivanja su pokazala da kada ucenicima unizim razredima osnovne skole prikazemo dva vertikalna kuta i nacrtamo ih s jednakodugackim krakovima, njima izgleda ocito da su kutovi jednake velicne. No, kada istudjecu pitamo da usporede dva vertikalna kuta, a jedan je nacrtan s duzim krakovima oddrugog, djeca tvrde da je kut s duzim krakovima veci. Ova procjena ilustrira ucinakpravila ”vise A - vise B” na odgovore ucenika. U ovom slucaju, razlika izmedu ku-tova u velicini A (percipirana duljina krakova) utjece na ucenikovu procjenu velicine B(velicinu kutova). Ovo i druga pravila nose karakteristike intuitivnog misljenja: Cinese ocita, koriste se s velikim samopouzdanjem i ustrajnoscu, a alternativni odgovorisu iskljuceni kao neprihvatljivi. Teorija intuitivnih pravila objasnjava brojne netocneodgovore i ima jaku prediktivnu moc.

Razvoj zabluda s godinama i uputama

Jos jedan trend u istrazivanju pogresaka jest evolucija zabluda s godinama i upu-tama. Npr., Hershkowitz (1987.) te Fischbein i Schnarch (1997.) su istrazivali razvojs godinama i uputama osnovnih geometrijskih koncepta vjerojatnosti. U Hershkowit-zom proucavanju, ispitanici su bili ucenici visih razreda osnovne skole, kao i njihoviucitelji. Zadatci u upitniku su preuzeti iz kurikuluma geometrije osnovnih skola. Usvojim analizama gresaka, Hershkowitz je identificirala nekoliko uzoraka razvoja za-bluda s godinama i uputama. Ocekivani uzorak jest taj da se pogreske smanjuju sgodinama i uputama. Na primjer, ispitanicima je pokazano nekoliko oblika i zamoljenisu da pokazu one koji su cetverokuti. Rezultati su pokazali veliki napredak s obzi-rom na dob u identificiranju netipicnih primjera cetverokuta (npr. konkavnih). Dubljaanaliza otkriva da neke od ovih pogresaka imaju isti uzorak sveukupne ucestalosti, odjednog razreda do drugog, kao i za ucenike te ucitelje. Npr, kada su trebali prepoznatipravokutne trokute, ucenici i ucitelji su imali poteskoca u prepoznavanju tih trokutacije okomite strane nisu bile vertikalno-horizontalnom polozaju. Ova poteskoca se sma-njuje s godinama i iskustvom, ali uzorak pogresaka ostaje prilicno stabilan. Pomaloiznenadujuci uzorak ukljucuje pogreske koje rastu s godinama i uputama. Na primjer,ispitanici su pitani da nacrtaju visinu na jednu stranicu od nekoliko ponudenih tro-kuta: jednakokracnih, raznostranicnih, tupokutnih i pravokutnih. Suprotno onome stose moglo ocekivati, broj ispitanika koji su pogrijesili crtajuci sve visine unutar trokutarasli su s godinama i uputama. Primjer iz drugog podrucja jest intuitivna upotrebaheuristike u vjerojatosti. U sveobuhvatnom nizu studija, Kahneman i Tversky su ot-krili da kada procjenjuju vjerojatnost dogadaja, ljudi su skloni koristenju odredeneosudujuce heuristike. Kada koriste reprezentativnu heuristiku, ljudi procjenjuju vje-rojatnost dogadaja temeljenom na tome koliko je slicno procesu po kojem su izlazigenerirani. Recimo, puno ljudi vjeruje da u obitelji od sestero djece, niz reda rodenjaBGGBGB (B - djecak (boy), G - djevojcica (girl) ) je vjerojatniji od oba, BBBBGB iliBBBGGG. U prvom slucaju, niz BGGBGB se cini vise reprezentativniji za ocekivani50− 50 omjer djecaka i djevojcica u populaciji nego niz BBBBGB. U drugom slucaju,niz BBBGGG nije reprezentativan u slucajnom procesu zacetka djece. Kada se koristi

27

druga heuristika, heuristika dostupnosti, ljudi procjenjuju vjerojatnost dogadaja natemelju toga koliko je jednostavno da se slucajevi tog dogadaja mogu konstruirati umislima. Na primjer, ako pitamo ucenika da procjeni vjerojatnost automobilske ne-srece, ucestalost njegovog/njezinog kontakta s tim dogadajem moze utjecati na njegovuprocjenu. Proucavajuci razvoj s godinama s koristenjem ove heuristike, Fischbein i Sc-hnarch su otkrili da, dok se netocno intuitivno koristenje reprezentativne heuristikesmanjuje s godinama, netocno intuitivno koristenje heuristike dostupnosti dobiva sveveci utjecaj.

Put od zablude do znanja

Pocetna istrazivanja matematickog obrazovanja gledala su na ucenicke pogreske kaomane koje ometaju ucenje i koje se trebaju izbjegavati te kao zablude koje se trebazamijeniti s tocnim znanjem. Noviji trend u tom polju jest fokus na ono sto uceniciznaju i mogu napraviti, naglasavajuci korisnu i produktivnu prirodu ogranicenog znanjaucenika i kontinuitet u znanju izmedu novaka i majstora. Prema starijem trendu,znanstvenici su se fokusirali na to kako ucenici neuspjesno usporeduju razlomke kaosto su 1

6i 1

8, tvrdeci da je 1

8vece jer je 8 vece od 6. U novijem trendu pokazalo se

da su isti ucenici rijesili probleme koji su ukljucivali usporedivanje razlomaka kada suim problemi znacajni i kada im je dopusteno koristenje vlastitog neformalnog znanja.Stovise, pokazalo se da se osnovne slicnosti u karakteristikama znanja o razlomcimai kod majstora i kod novaka. Primjerice, obje grupe su sklone konstruirati strategijekoje su prilagodene rjesavanju odredenih klasa problema umjesto koristenja opcenitijihstrategija koje su ucili u skoli.

Uloga prikazivanja

Uloga razlicitih reprezentacija u konceptualnom razumijevanju je takoder bila fokuspaznje u zajednici matematickog obrazovanja. Istaknuto promatranje u proucavanjufundamentalnih teoretskih i prakticnih pitanja u domeni reprezentacija jest da ucenicicesto drugacije reagiraju na matematicke probleme koji su u osnovi isti ali ukljucujurazlicitu reprezentaciju. Recimo, to je otkriveno na pojmu funkcije, kao i u kontekstubeskonacnih skupova. Potonje su izvjestili Tirosh i Tsamir koje su otkrile da intuitivneodluke ucenika o tome imaju li dva dana beskonacna skupa jednak broj elemenata,uvelike ovise o odredenom prikazu beskonacnih skupova u problemu. Numericki ho-rizontalni prikaz, u kojem su dva skupa vodoravno smjestena, jedan pokraj drugog,(npr. {1, 2, 3, 4, . . .},{1, 4, 9, 16, . . .}), dao je visok postotak odgovora ”razlicitog brojaelemenata”. Oko 70% ukljucenih ucenika kad im je prezentiran ovaj tip reprezenta-cije, slozili su se da dani skupovi nisu ekvivalentni, opravdavajuci tvrdnju s dio-cijelorazmatranjima (npr. ”Broj elemenata u skupu je veci od broja elemenata u njegovompodskupu”). Numericki eksplicitni prikaz, u kojem su oba skupa vertikalno smjestena iu kojem su odgovarajuci elementi u skupovima sastavljeni od istih simbola, s odredenimvarijacijama, npr.({1, 2, 3, 4, . . .})({12, 22, 32, 42, . . .})izmamio je visok postotak odgovora ”isti broj elemenata”, oko 90%, uz visok posto-tak jedan-na-jedan opravdanja (npr.”Svaki element u jednom skupu mozemo upariti

28

s jednim elementom drugog skupa.”). Dakle, ova dva nacina prikazivanja u osnovi is-tog matematickog zadatka, izazvala su razlicita opravdanja i dovela su do proturjecnihrjesenja.

3.2 Instrumentalno i relacijsko razumijevanje: Di-

hotomija ili kontinuum?

Pojmovi znanje i razumijevanje su visedimenzionalni. Razlicite vrste znanja i razlicitevrste razumijevanja su opisani u literaturi vezanoj za matematicko obrazovanje (npr.instrumentalno, relacijsko, konceptualno, proceduralno(algoritamsko), implicitno, eks-plicitno, osnovno, napredno, formalno, intuitivno, vizualno, nalazi se, znati da je, znatikako, znati zasto, znati da, ... ). U ovom poglavlju cemo ukratko predstaviti neke odovih vrsta.

U iznimno utjecajnom clanku iz 1978. godine, Richard Skemp je predstavio svojpogled na razlicitosti izmedu dvije vrste znanja u matematici: relacijsko i instrumen-talno. Relacijsko znanje opisano je kao znati sto raditi i zasto, dok instrumentalnoznanje zahtijeva ”pravila bez razloga”. Skemp je tvrdio da, iako je instrumentalnumatematiku lakse razumijeti unutar vlastitog konteksta, da su njene nagrade nepo-srednije i ocitije te da se cesto pravi odgovor moze dobiti brze i pouzdanije, relacijskamatematika ima prednosti jer je prilagodljivija novim zadatcima, laksa je za zapamtitite moze posluziti kao cilj sama po sebi. Nadalje, Skemp je tvrdio da vrsta ucenja kojavodi k instrumentalnoj matematici ukljucuje ucenje velikog broja ustaljenih nacrta pokojima ucenici mogu pronaci svoj put od odredene pocetne tocke do trazene zavrsnetocke. Ti nacrti im govore sto trebaju raditi na svakoj raskrsnici, ali onda ne postojisvijest o cjelokupnoj vezi izmedu uzastopnih etapa i konacnog cilja pa je ucenik ovisano vanjskim smjernicama za ucenje svakog novog nacrta. Nasuprot tome, ucenje relacij-ske matematike sastoji se od gradenja konceptualne strukture (sheme), iz koje njegovvlasnik moze izvesti neogranicen broj nacrta kako bi se od bilo koje pocetne tocke doslo

29

do bilo koje zavrsne tocke unutar nacrta. Sto je potpunija ucenikova shema, to on visegradi svoje samopouzdanje u vlastitu sposobnost pronalska novih puteva do rjesenjabez pomoci izvana. No, te sheme nisu nikad dovrsene i proces njihova gradenja sesamostalno nastavlja, bez obzira koji cilj treba postici, i samostalno nagraduje, jeru sustini zadovoljava cilj sam po sebi. Skemp je tvrdio da se ove dvije vrste znanja

Slika 3.1: Richard Skemp

toliko razlikuju da ih se moze promatrati kao dvije vrste matematike. Protivio se ins-trumentalnoj matematici, smatrajuci da se pojam ”matematika” treba vezati samo zarelacijsku matematiku. Iznio je nekoliko ozbiljnih problema koji bi se mogli pojavitikada bi ucenici, ciji je cilj instrumentalno razumjeti matematiku, ucili od nastavnikakoji od njih zeli relacijsko razumijevanje i obratno. Skempov rad znacajno doprinosi du-gogodisnjoj raspravi o relativnoj vaznosti vjestine racunanja u odnosu na matematickorazmisljanje te daljnim istrazivanjima i raspravama na tu temu. Na primjer, PearlaNesher u svom clanku iz 1986. godine istice da je dihotomija izmedu ucenja algoritamai razumijevanja povrsna i zavaravajuca, tvrdeci da nas istrazivanja o matematickim iz-vedbama ne informiraju o vezi izmedu uspjeha u algoritamskoj izvedbi u odnosu nauspjeh u razumijevanju, niti daje dokaze o doprinosima razumijevanja algoritamskojizvedbi. Isto tako, ona tvrdi da je mogucnost ucenja matematike bez algoritamskihi proceduralnih aspekata upitno. Slicno, 1981. godine, Lauren B. Resnick i WendyW. Ford sugeriraju da pamcenje odredenih cinjenica i postupaka nije vazno toliko kaocilj sam po sebi, nego kao nacin da se produzi kapacitet radne memorije razvijanjemautomatskog odgovora. One tvrde da kad se odredeni procesi izvedu automatski, bezpotrebe za direktnim uputama, vise prostora ostane slobodno u radnoj memoriji zaprocese koji zahtijevaju paznju.I drugi znanstvenici koji su istrazivali obrazovanje matematike takoder ispituju koris-nost instrumentalno-relacijske dihotomije i daju razlicite, povezane ishode. Hiebert injegove kolege (Hiebert i Carpenter, 1992. godine; Hiebert i Lefevre, 1986. godine), naprimjer, predlazu da je i konceptualno i proceduralno znanje potrebno za matematickoznanje. Oni definiraju konceptualno znanje kao znanje koje je bogato u vezama. Ucenjenovog koncepta ili veze implicira dodavanje cvora ili poveznice na postojecu kognitivnustrukturu, sto cjelinu cini stabilnijom nego prije. S druge strane, proceduralno ili al-goritamsko znanje je niz radnji koje se mogu nauciti sa ili bez znacenja. Hiebert iCarpenter sugeriraju da veze izmedu konceptualnog i proceduralnog znanja mogu va-rirati, tako da ne moraju imati nikakve medusobne veze ili je pak veza medu njima

30

toliko bliska da ih postane tesko razlikovati.Pokazali smo da razliciti znanstvenici koji su istrazivali obrazovanje matematike imajurazlicita gledista na ovo pitanje dihotomije/kontinuuma. Dok Skemp tvrdi da postojidihotomija izmedu instrumentalnog i relacijskog znanja, a Nesher, Resnick i Ford is-pituju njenu korisnost, Hiebert i Carpenter i drugi znanstvenici tvrde da je apsolutnaklasifikacija nemoguca.

3.3 Algoritamska, formalna i intuitivna dimenzija

matematike: Interakcije i nedosljednosti

U nekoliko od svojih brojnih radova, Fischbein predlaze da bilo koja matematicka ak-tivnost zahtijeva upotrebu tri osnovne dimenzije matematickog znanja: algoritamsku,formalnu i intuitivnu. Ova tri tipa znanja se u sustini razlikuju od vrsta znanja opisa-nih u prethodnom poglavlju. Algoritamska dimenzija se sastoji od pravila, postupakaza rjesavanje i njihovih teoretskih objasnjenja. Formalna dimenzija ukljucuje aksiome,definicije, teoreme i dokaze. Intuitivna dimenzija je vrsta spoznaje koja obuhvaca idejei uvjerenja o matematickim subjektima i mentalnim modelima koji se koriste za prezen-tiranje matematickih koncepata i operacija. Intuitivno znanje je okarakterizirano kaovrsta znanja koju prihvacamo izravno i samouvjereno kao nesto sto je ocito, s osjecajemda nam ne treba dokaz. Ova vrsta znanja je imperativ, tj. intuitivno znanje eliminiraalternativna zastupanja, tumacenja ili rjesenja. Fischbein tvrdi da ove tri dimenzijeznanja nisu diskretne, odnosno znacajno se preklapaju. U idealnom slucaju, ove dimen-zije trebaju suradivati u procesima prikupljanja koncepata, razumijevanja i rjesavanjaproblema. No, u stvarnosti se cesto ne poklapaju. I formalna i algoritamska dimenzijaznanja mogu postati rutina kod ucenika. Ceste su ozbiljne nedosljednosti medu algo-ritamskim, intuitivnim i formalnim znanjem ucenika. Takve nedosljednosti mogu bitiizvor ucestalih poteskoca koje ucenici susrecu u svojim matematickim aktivnostima,kao sto su zablude, kognitivne prepreke i neodgovarajuce koristenje algoritama.

3.4 Znati cinjenice vs. znati djelovati

Frustrirajuci fenomen, cesto opisivan i sa strana znanstvenika i sa strane nastavnika, jetaj da ucenici za koje se zna da imaju svo potrebno znanje da bi rijesili neki problem,nisu u mogucnosti to znanje iskoristiti da bi rijesili nepoznati problem. Mason i Spencesu 1999. godine u svom clanku pokusali opisati ovaj fenomen, tako sto su definiraliposebnu vrstu znanja: ”Znati djelovati u trenutku”. Oni su opisali i diskutirali o nekimtradicionalnim epistemoloskim razlikama izmedu vrsti i stupnjeva matematickog zna-nja, ukljucujuci: ”znati da” (je nesto istinito), ”znati kako” (izvesti neki postupak) i”znati zasto” (nesto vrijedi). Tvrdili su da obrazovanje koje ide kroz ova tri tipa znanjavide znanje kao nepokretni predmet koji se moze prenositi s generacije na generacijukao zbirka cinjenica, tehnika, vjestina i teorija. Mason i Spence tvrde da je ”znati o”samostalna vrsta znanja, radije izlagana nego koristena te da takvo znanje ne znaciautomatsko razvijanje svijesti koja omogucava ucenicima da koriste to znanje u novimsituacijama. Oni predlazu da cetvrti oblik znanja, ”znati djelovati u trenutku”, budevrsta znanja koja omogucava ljudima da djeluju kreativno, a ne da samo reagiraju

31

na podrazaje treniranim ili ustaljenim ponasanjem. Oni tvrde da ”znati da” zahti-jeva osjetljivost na situacijske znacajke i neki stupanj svijesti o trenutku tako da sebitnom znanju pristupi kad god je potrebno. Oni opisuju interakcije izmedu ta cetiritipa znanja, sugerirajuci da je ”znati o” kriticna vrsta znanja, vrsta znanja koju stu-denti trebaju da bi sudjelovali u rjesavanju problema gdje je kontekst nov, a rjesavanjenerutinsko.

Bibliografija

[1] F. M. Brueckler, Povijest matematike 1, Odjel za matematiku, Osijek, 2007.

[2] Euklidovi Elementi I-VI, clanak, Matematika i skola, 1(1999), 33-35,http : //mis.element.hr/fajli/102/01− 07.pdf

[3] Even, R., Tirosh, D., Teacher knowledge and understanding of students’ mathe-matical thinking and knowledge, In L. English (Ed.), *Second handbook of inter-national research in mathematics education *(pp. 202-222). NY: Routedge., 2008.

[4] B. Ibrahimpasic, K. Pjanic: Euklidov algoritam za odredivanje najveceg za-jednickog djelioca, MAT-KOL(Banja Luka), XX(1),2014, 15-25

[5] G. Isakovic Gleizer, Povijest matematike za skolu, Skolske novine i HMD, Zagreb,2003.

[6] R.A. Nowlan: A Chronical of Mathematical People, Eratosthenes, dostupno nahttp : //www.robertnowlan.com/pdfs/Eratosthenes.pdf

[7] A.Vidic, Matematicari starog vijeka, Diplomski rad, Odjel za matematiku,Sveuciliste u Osijeku, 2013.

32