Equipe Matemática GRE Recife Sul: Ana Amara Andréia SimoniFernanda Nascimento Samuel Justino

RESOLUÇÃO : ENSINO MÉDIO6º Encontro – 28/07/2015

01) Em uma pesquisa realizada, constatou- se que a população A de determinada bactéria cresce segundo a expressão : A(t) = 25x2 t , onde t representa o tempo em horas. Neste caso, podemos afirmar que Para atingir uma população de 400 bactérias, será Necessário um tempo de: (A) 2 horas. (B) 4 horas. (C) 6 horas. (D) 8 horas.

(‘E)10 horas.

At = População das bactérias

t = Tempo de crescimento das bactérias em horas

Pela Expressão : A(t) = 25x2 t

400 = 25 . 2 t

Resolvendo a equação exponencial: 16 = 2t

24 = 2t Logo t = 4 horas.16 = 2 t Resposta letra B

Sendo a população final = 400 bactérias

Então A(t) = 400

400 /25 = 2 t

02) Entre os seguintes gráficos, aquele que representa adequadamente a função y = 7 x é

Tabela :

Função : y = 7x Variável Gerada : Y

-2 Y=7-2 1/49 = 0,03

-1 Y=7-1 1/7 = 0,14

0 Y=70 1

1 Y= 71 7

2 y=72 49

Parâmetro x

-1-20

20,030,14

1

7

Resposta Letra E

y

x1

03) Em uma escola, há 400 estudantes do sexo masculino e 800 do sexo feminino. Escolhendo se ao acaso um estudante dessa escola, qual a probabilidade de ele ser do sexo feminino?a)1/4 b) 1/3 c) 2/5 d) 1 /2 e) 2 /3

Total de Alunos na sala = 1200 Espaço amostral

Nº de Alunos sexo feminino = 800

Evento favorável n(a)

P(a) = Probabilidade ser do sexo Feminino P(a) = n(a) e

P(a) = 800 1200

P(a) = 4 6

P(a) = 2 3 Resposta Letra e

04) Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada usando-se apenas as 6 cores de tinta que ele possui? a) 6 b) 15 c) 20 d) 30 e) 60

A6,2 = 6! 4!

A6,2 = 6.5 . 4! 4!

A6,2 = 30A ORDEM IMPORTA

Resposta Letra d

Interior Exterior

05) Isabel, Helena e Carla saíram às compras e adquiriram mercadorias iguais, porém, em quantidades diferentes. Isabel comprou uma sandália, duas saias e três camisetas, gastando um total de R$ 119,00. Helena comprou duas sandálias, três saias e cinco camisetas, gastando um total de R$ 202,00. Carla comprou duas sandálias, uma saia e duas camisetas, gastando um total de R$ 118,00. Para determinar os preços x, y e z da sandália, da saia e da camiseta, respectivamente, resolve-se o sistema dado por

O sistema associado a essa matriz é(A) x + 2y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e 3x + 5y + 2z = 118. (B) 3x + 2y + z = 119; 5x + 3y + 2z = 202 e 2x + y + 2z = 118.(C) 2x + 2y + z = 119; x + 3y + 2z = 202 e 2x + 5y + 3z = 118. (D) 3x + 5y + 2z = 119; 2x + 3y + z = 202 e x + 2y + 2z = 118.(E) x + 2y + 3z = 119; 2x + 3y + 5z = 202 e 2x + y + 2z = 118.

Associando os coeficientes a matriz temosx + 2y + 3z = 119

2x + 3y + z = 202

2x + y + 2z = 118.Resposta Letra E

06) Observe o gráfico a seguir.

Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 , 2π ] (A) y = -cos x (B) 2cos(x/2) (C) y = sen(-x)

(D) y = sen2x (E) y = 2 senx

F(x) = A + Bsen (Cx + D)

Valor Médio

AmplitudePeríodo

Deslocamento horizontal

Valor médio

Amplitude

T = 2π C

C = 2π T

Mas : T = 2 π Logo C=1

A forma da função apresentada é f(x) = sen(x) com inversão de fase

Assim, a forma da função apresentada de f(x), é f(x) = -sen(x) Pela identidade trigonométrica –sen(x) = sen (-x)

Logo a função representada é y= sen(-x) Resposta Letra C

07) Qual dos gráficos, abaixo, representa a função y = 2cosx?

Valor Médio

Amplitude

T = 2π C

C = 2π 2π

C = 1

Y=2cos(x)

Resposta Letra A

X Y =2COS(X) Y 0 Y = 2 COS(0) Y = 2π/2 Y = 2 COS(π/2) Y = 0

π Y = 2COS(π) Y = - 2 3π/2 Y = 2COS(3π/2 ) Y = 0 2 Y = 2COS(2) Y = 2

08) (Saeb). Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo sabendo que r1 representa a reta de equação : x + y = 25 e r2 a reta de equação : 20x + 50y =980 onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado (A) (8,17). (B) (9,16). (C) (7,18). (D) (11,14). (E) (12,13).

x + y = 25

20x + 50y =980

x -20

-20 x - 20 y = -500

20x + 50y = 980

30y = 480 y= 16

x + 16 = 25

x= 9 Resposta Letra B

09) João registrou na tabela abaixo a sua movimentação financeira durante a primeira quinzena do mês de janeiro, com base nesses registros, a maior saída de dinheiro dessa conta ocorreu no dia :

A) 02/01 B) 05/01 C) 10/01 D) 12/01 E) 15/01

A) 02/01 B) 05/01 C) 10/01 D) 12/01 E) 15/01

Saída igual a pagamento

12/01 Transferência de Dinheiro = 345,00 12/01 Cheque Descontado = 245,00

Resposta Letra D

10) O gráfico abaixo mostra a distância, em metros, que um pequeno roedor está de sua toca, no período de 17h até às 23h.Os dados indicam que o animal(A) está mais longe da toca às 23 horas.(B) está 8 metros longe da toca às 20 horas.(C) está sempre afastando-se da toca entre 18 e 20 horas.(D) estava na toca uma única vez entre 17 e 23 horas.

(E) estava sempre a menos de 12 m da toca nesse, nesse período.

Está a 8m da toca ás 20 hrs

Resposta Letra B

11) Um marceneiro fixou uma tábua de passar roupa perpendicular a uma parede, a 0,90 metros do chão.Para aumentar a resistência, ele colocou dois apoios, como mostra a figura abaixo.

O comprimento “x” do apoio menor éA) 0,42 B) 0,48 C) 0,72 D) 0,75 E) 0,87 Proporcionalidade e Semelhança

1,2m

0,9m1,5m

0,9m

A

C

B

AB x

1,5 0,9 = 1,2

x

1,5 . x = 0,9 . 1,2

x= 0,72m

Resposta Letra CC

Triângulo Maior

Triângulo Menor

12) A figura abaixo mostra um poliedro regular formado por 20 faces triangulares e 12 vértices. Sabendo que V é o número de vértices, F é o número de faces, A o número de arestas. E se pela relação de EULER temos a seguinte igualdade: A + 2 = F + V

Então quantos arestas tem esse poliedro?A) 8 B) 9 C) 12 D) 30 E) 42

Pela Relação de Euler: 12 + 20 = A + 2

Nº Faces = 20

Nº Vértices =12

32 = A + 2 A= 30 Resposta Letra D

Relação de Euler: V+ F= A + 2

13) (Saresp 2007). A medida do diâmetro da base do reservatório 2, representado na figura, é o triplo da medida do diâmetro da base do reservatório 1, e ambos têm mesma altura.

Se a capacidade do reservatório 1 é de 0,5l, qual é, em litros, a capacidade do reservatório 2?(A) 1,5 (B) 3,0 (C) 4,0 (D) 4,5 (E) 5,0

r1 r2 =3r1

h1 = h2

v1 = π(r1)². h1 v2 = π(r2)².h2

Como r2 = 3r1 , temos :

v1 = πr1 . h1 v2 = π(3r1)².h2

v1 = πr1 . h1 v2 = π9r1².h2

h1 = h2

h1 = v1

π (r1)2

h2 = v2

9π(r1)²assim, v1

π (r1)2

v2

9π(r1)²V2 =9v1= V2 =9 .0,5

V2 =4,5 l

Resposta Letra D

14) Um empresário produz sólidos pedagógicos de plástico, como por exemplo, pirâmides. Ele quer embalá-las em caixas no formato de um cubo, sabendo que a pirâmide está inscrita, como mostra a figura abaixo.

Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6m³, então o volume do cubo, em m³, é igual a:(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

Vcubo = 3 . Vpirâmide

V pirâmide = 6m³

Vcubo = 3 . 6 Vcubo = 18 m³ Resposta Letra D

25= yx 9805020 = yx (A) (8,17). (B) (9,16). (C) (7,18). (D) (11,14). (E) (12,13).

15) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, a probabilidade de que ela assista: o canal A ou ao canal B é igual a :

(A) 43/50 (B) 43/70 (C) 25/50 (D) 28/50 (E) 10/50

Evento : Assistir A ∩ B = 100 (280 + 250) – ( 500 -70) = 100

Espaço Amostral n(s) = 500Evento : Assistir Canal (A) =280 Evento Assistir Canal (B) =250 A BA ∩ B

100

70Evento Assistir Canais diferentes de (A) e (B) =70

Probabilidade de Assistir ou o canal A ou o canal B = P (AUB) P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) P(A) = 280/500 = 14/25 P(A) =14/25

P(B) = 250/500 = 1/2 P(B) =1/2P (A ∩ B) = 100/500 = 1/5 P (A ∩ B) = 1/5

P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

P (AUB) = 14/25 + ½ + 1/5 P (AUB) = 43/50

S=500

16) Em uma bolsa há 2 cubos vermelhos e 4 cubos azuis. Se dois cubos são selecionados aos acaso, Um de cada vez, e o primeiro cubo retirado não é reposto na bolsa, calcular a probabilidade de ambos os cubos serem vermelhos.

a) 1/15 b) 1/5 c) 1/3 d) 3/5

Produto de ProbabilidadesNeste caso os eventos são simultâneos : A Probabilidade de ocorrer A e B será dada por: P (A B) = P(A) . P(B)

Evento A – o primeiro cubo é vermelho, então P(A) = 2/6 ; P(A) = 1/3

Evento B – o segundo cubo é vermelho, a probabilidade da ocorrência de B depende da ocorrência de A, pois se o primeiro cubo retirado for vermelho, haverá somente um cubo vermelho na sacola, então P(B/A) = 1/5

A probabilidade de A e B ocorrerem Será dado por P (A B) = P(A) . P(B/A) :

P (A B) = 1/3 . 1/5 = 1/15

Resposta Letra A

17) UERJ ) A Superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma Parábola ao redor do seu eixo. A interseção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo observe a figura baixo. Sendo a parábola formada de foco (B) contida no plano CAD, e o seu vértice (A) estando na origem do sistema cartesiano e que o eixo das abscissas esta paralelo ao diâmetro CD, como mostra a figura, neste caso,podemos afirmar que a equação cartesiana da parábola é

Considere um circulo de centro E e diâmetro CD de 4metros de comprimento, cuja medida da distância do centro (E) ao vértice A do paraboloide é 0,5 metros

a) As coordenadas do vértice são: A(0,0). b) A concavidade é para cima . A parábola tem equação: x² = 2py, o ponto D(2,1/2) pertence a parábola Para determinar a equação da parábola precisamos determinar o valor de “p” , então :

Pelo ponto D(2,1/2) x=2 e y=1/2, substituindo na equação x² = 2py , temos:

2² = 2 p (1/2) 4 = 2 p (1/2) p=4 x² = 2. 4 .y =

x² = 8y

y = 1 x² 8

18 )(UPE) Em relação à hipérbole de equação X² - 3y² = 12 , assinale a alternativa falsa:a) seu eixo real mede 4 √3 b) seu eixo imaginário mede 4 c) sua distância focal mede 8 d) sua excentricidade é √3 e) suas assíntotas são + /- √3x - 3y =0

e) suas assíntotas são + /- √3x - -3y =0

X² - 3y² = 12

X² - 3y² = 1212 12 12

X² - y² = 112 4

a² =12 a² = 4. 3

a = 2. √3

b² = 4b = 2

c² = a² + b²

F1 F2cA1 A2

B1

B2

ba

c

2a

2c

c² = 12 + 4

c² = 16

c = 4

Excentricidade = e = c/a

e = 4 / 2.√3e = 2 / √3e = 2 √3 / 3

2a= eixo real = 4 √3

2b= eixo imaginário= 4

2c= distância focal= 8

Excentricidade = 2√3 /3

Resposta Letra D

2b

s1= bx a

s2= -bx a

Assíntotas:

19) (Saresp 2007). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta o eixo y no ponto (0, 4) e corta o eixo x no ponto(–2, 0). Qual é a equação dessa reta?

P1( 0, 4)

P2(-2, 0)

Dados dois pontos, para estabelecer a equação da reta temos:

Declividade da reta : m = y – y0

x - xx0

m = 4 – 0 0 – (-2)

y

y0

xy

yx0

m = 4 2

m = 2

Equação da reta: y – y0 = m(x – x0)

Equação da reta: y – 0 = 2(x – (-2))

Equação da reta: y = 2x + 4

A) Y= X+4 B) Y = 4X +2 C) Y= X -2 D) Y = 2X + 4 E) Y = -X +2

Resposta Letra D

X Y 1 0 4 1 = 0 -2 0 1

Por Laplace:4x – 2y +8 =0

2x –y +4 =0

y = 2x + 4

20) Considere 7 pontos distintos sobre uma reta e 4 pontos, também distintos sobre outra reta, paralela a primeira. Quantos triângulos podemos obter ligando 3 pontos desses 11 pontos?

a) 129 b) 126 c) 120 d) 100 e)140

A regra para construção de um triangulo é que os três pontos não podem ser colineares, pelo menos 1 tem que está em outra reta, os outros dois seria uma combinação do que está na outra reta

Se pegarmos 2 pontos da reta que possui 7 temos os seguintes Triângulos : 4 . C (7,2)

Se pegarmos 2 pontos da reta que possuí 4 pontos, teremos : 7 . C(4,2)

O total de triângulos será : 4 . C(7,2) + 7 . C(4,2)

C(7,2) = 7! / 2!.5! = 21

C(4,2) = 4! / 2!.! = 6

O total de triângulos será : 4 . 21 + 7 . 6

O total de triângulos será = 126 Resposta Letra B