EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR - pcna.com.br · O que é cinemática? Posição e Deslocamento Velocidade...
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PROGRAMA DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA
EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR
DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR
CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÁTICA
O que é cinemática?
Posição e Deslocamento
Velocidade Média vs Velocidade Escalar Média.
Velocidade Instantânea.
Noções de Cálculo Diferencial.
Inclinação e coeficiente angular de uma reta.
Noção conceitual de derivada.
Conhecer e aplicar algumas propriedades da derivada na
Cinemática.
Aplicação de Derivada nas Engenharias.
Noções de Cálculo Integral e a sua Aplicação na Cinemática.
TÓPICOS A SEREM ABORDADOS
O que é Cinemática?Estudo do movimento dos corpos sem se
preocupar com as causas (Forças).
CONCEITOS IMPORTANTESO QUE É REFERENCIAL?
O QUE É POSIÇÃO?
∆𝒙=𝒙 - 𝒙𝒐Deslocamento
DISTÂNCIA PERCORRIDA VS
DESLOCAMENTO
Distância Percorrida: Caminho real percorrido
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
VS
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Qual a diferença entre essas velocidades?
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
Onde: 𝒙 é a posição final no instante 𝒕 final e 𝒙𝒐é a posição inicial no instante 𝒕𝒐 inicial.
No SI velocidade é dada em m/s
VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA
IMPORTANTE!
O vetor velocidade média é um vetor que aponta
na mesma direção e no mesmo sentido que o
deslocamento, pois a constante ∆𝑡 é sempre
positiva.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓= 𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐=
𝑆
∆𝑡
Obs.: Unidade no SI: metros por segundo (m/s).
NOÇÃO DE VELOCIDADE
INSTANTÂNEAExemplo
Em uma competição de Moto Cross, um engenheiro, por
meio de equipamentos de medição, conseguiu descrever a
função posição de uma das motos como apresentado a
seguir:
𝒙(𝒕) = 𝟓𝒕𝟐
Calcule a velocidade média nos instantes: t = 1s e t = 2s, t =
1,5s e t = 2s, t = 1,9 e t = 2s. Como poderíamos estimar a
velocidade em t = 2s?
O coeficiente angular de uma reta secante é
dada por:
Através da fórmula acima, podemos afirmar
que velocidade média é a inclinação de uma
reta secante como podemos ver na figura abaixo:
h
xfhxf
xhx
xfhxf
x
ym
)()(
)()(
)()(
NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
Substituindo temos:
𝒗𝒎𝒙 =𝒙𝟐 − 𝒙𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏
=∆𝒙
∆𝒕
Figura – gráfico de posição em função do tempo.
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
Velocidade instantânea.
NOÇÕES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
𝐯𝒊𝒏𝒔𝒕 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒕→𝟎
=
VELOCIDADES INSTANTÂNEA X VELOCIDADE
MÉDIA – ANÁLISE GRÁFICA
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALAceleração Vetorial Média X Aceleração Escalar Média
• Aceleração média (am): grandeza vetorial
• Aceleração escalar média: é a intensidade ou magnitude
dessa grandeza vetorial.
𝐚𝐦 =𝐯𝟐 − 𝐯𝟏𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
=∆𝐯
∆𝐭
Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo
ao quadrado (m/s²)
Define-se aceleração média como:
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALAceleração Instantânea (Aceleração)
Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao
quadrado (m/s²)
Definição:
𝐚𝒊𝒏𝒔𝒕= 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎
=
Como podemos ver que a velocidade instantânea é dada por:
Temos que a aceleração também pode ser escrita como:
=𝒅²
𝒅𝒕²
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROPRIEDADES DA DERIVADA
DERIVADA DE UMA CONSTANTE k
𝒌′= 𝟎
Figura - Reta horizontal de uma função constante
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL ANÁLISE DA DERIVADA
f’(xo)>0: A função f é crescente em x=xo;
f’(xo)<0: A função f é decrescente em x=xo;
f’(xo)=0: x=xo é um ponto crítico de f(ponto de
máximo, mínimo ou de inflexão).
Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com
a expressão x =at2-bt3. Sendo x dado em metros e t em
segundos, (a) Que dimensões e unidades a e b devem
ter? Suponha que seus valores numéricos sejam
respectivamente 3,0 e 1,0 (válidos também para o
restante da questão). (b) Para que instante a partícula
atinge a posição máxima? (c) Calcule o deslocamento
atingido pela partícula nos primeiros 4 segundos. (e)
Calcule a velocidade média entre os instantes t=0s e
t=4s. (f) Qual a velocidade da partícula em t=4s? (g) Em
que instante a partícula não está sob a ação de força
externa?
QUESTÃO REVISÃO SOBRE
DERIVADA
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL A Integral é um recurso matemático inverso ao da derivada.
Ao invés de achar derivada𝒅𝒚
𝒅𝒙de uma função f(x), calcula-
se a função f(x) a partir da derivada da função𝒅𝒚
𝒅𝒙.
A integral também é definida como a área sobre a curva de
uma função.
Como determinar a Área (A) da figura acima?
Aproximação cada vez melhor conforme as bases dos
retângulos vão se tornando mais “finas”:
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
A = integral de f = soma das áreas dos retângulos
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
NOTAÇÃO
A integral de uma função f(x) é denotada por
𝒇 𝒙 𝒅𝒙. Tal qual fizemos em relação à derivada,
vamos colocar algumas propriedades da integral.
INTEGRAL - PROPRIEDADES
Integral de uma constante
Integral de uma função potência
ckxkdx
cn
xdxx
nn
1
1
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL - PROPRIEDADES
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
Soma ou subtração de integrais
Constante multiplicando uma função
dxxvdxxudxxf
xvxuxf
)()()(
)()()(
dxxfkdxxkf )()(
APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
A integral pode ser considerada como o
processo inverso da derivada. Assim:
dtvs inst
dtav instinst
)(' tsvinst
)(' tvainst
ESQUEMA DE DERIVADA E INTEGRAL
APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
A área de um gráfico v x t é a variação da posição
(∆S):
APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA
NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL
A área de um gráfico a x t é a variação da
velocidade escalar instantânea (∆v):
QUESTÃO SOBRE INTEGRALO gráfico da velocidade em função do tempo para uma
partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo 𝑂𝑥 e
está representado na figura abaixo.
a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição x(t) para
0 ≤ t ≤ 16 s.
b) Quantos metros a partícula terá percorrido ao todo (para
frente e para trás) no fim de 12 s?
c) Qual o valor de x nesse instante?