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1

EQUILIBRIOEQUILIBRIO

Definizione di equilibrio:Definizione di equilibrio:

Diciamo che un corpo è in equilibrio quando è fermo e vi rimane nel tempo

2


Punto materialePunto materiale

1 ) Consideriamo gli oggetti molto piccoli, di poca estensione: corpi puntiformi

2) Considerarli indeformabili : corpi rigidi

La condizione per avere un corpo in equilibrio è quella in cui la risultante di tutte le forze ad esso applicate è nulla

Condizione per avere l’equilibrio

Supponiamo 2 condizioni:

3


Condizione di equilibrioCondizione di equilibrio

R = F1 + F2 + F3 + …… = 0

Possiamo esprimere la stessa cosa con una formula

Cioè la risultante R , somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo deve essere uguale zero

4

Diagramma delle forzeDiagramma delle forze

Forze comuniForze comuni

Per verificare che la risultante delle forze deve essere nulla, occorre sapere quali sono le forze che comunemente agiscono su un corpo

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Forze comuniForze comuni

Quelle che indichiamo sono 4:

• Forza peso

• Reazione vincolare di un piano.

• Forza di attrito

• Tensione di una fune o catena

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Alcune forze comuniAlcune forze comuni

1 forza peso1 forza peso

Si tratta di una forza verticale diretta sempre verso il basso.

Essa si applica su un punto chiamato baricentro di un corpo che per figure regolare si trova al centro degli assi di simmetria

7


1 forza peso1 forza peso

Il peso si applica ad un punto che si chiama baricentro.Def: il baricentro è il punto dove si applica la forza peso.

8


2 reazione vincolare Rv2 reazione vincolare Rv

Reazioni vincolari del piano

Un piano impedisce ad un corpo appoggiato su di esso di cadere.

Lo fa tramite una forza chiamata reazione vincolare Rv

La reazione vincolare Rv è una forza sempre perpendicolare al piano

Rv

Rv

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Reazione vincolare del pianoReazione vincolare del piano

Nel caso del piano inclinato la reazione vincolare è perpendicolare al piano.

2 reazione vincolare del piano

Rv

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La forza di attritoLa forza di attrito3 Forza di attrito

La forza di attrito agisce sempre parallelamente al piano e ha un verso opposto a quello dell’eventuale movimento del corpo

F di attrito

F di attrito

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La forza di attritoLa forza di attrito3 Forza di attrito

F di attrito

velocità

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4 tensione di una fune4 tensione di una fune

La tensione di una fune ha sempre la direzione della corda

Una forza che si applica tramite una fune si chiama tensione e la indichiamo con la lettera T

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Disegnare le forze che agiscono su un corpo significa costruire il diagramma delle forze

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Passi per costruire il diagramma delle forzePassi per costruire il diagramma delle forze

Individuare le forze presenti

Individuare un punto baricentrico

Tracciare le forze individuate come delle frecce che partono dal punto baricentrico

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Forze e loro rappresentazioneForze e loro rappresentazione

Peso appoggiato Peso appoggiato

Una busta della spesa appoggiata su un tavolo

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Quali sono le forze in gioco?

La forza peso; La reazione del piano

Il punto baricentrico è circa al centro della figura della busta

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Punto baricentrico

La forza peso

La reazione del piano

18


slitta slitta

la terra che esercita una forza verso l’alto Reazione vincolare Rv

Il cavallo che spinge in avanti tramite le aste della slitta Fc

la forza di attrito che spinge indietro Fa

il peso che è verso il basso P

Le forze presenti sono:

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slitta slitta

la terra esercita una forza verso l’alto Reazione vincolare Rv

Rv

Fc

P

Fa

Il cavallo spinge in avanti Fc

la forza di attrito spinge indietro Fa

il peso è verso il basso P

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slitta slitta

Rv

Fc

P

Fa

Schema delle forze può essere rappresentato anche all’esterno del disegno

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Provate voiProvate voi

Una mano che regge un peso

22



Forza esercitata dalla mano

peso

23



Punto baricentrico

Quali sono le forze presenti?

24



Diagramma delle forze

Forza peso P

Reazione del piano R

Forza F applicata dalla persona

Moto appoggiata ad un piano inclinato

25




Uno sciatore trascinato da uno skilift


26




Reazione del piano Rv Tensione della

fune T

Peso P

Uno sciatore trascinato da uno skilift

Forza di attrito

27



Un bambino in altalena


28



T fune

Forza della mamma

Peso del bambino

Un bambino in altalena

29



Provate a disegnare le forze nei punti (rossi) A e B

AB


30



Provate a disegnare le forze nei punti (rossi) A e B

AB

peso

Tensione della fune

Forza applicata dalla persona

Tensione della fune

A

B

31



Una persona spinge un frigorifero


32



Una persona spinge un frigorifero


Forza applicata dalla persona

Forza di attrito

Reazione del piano

Peso

33


Per casaPer casa

Tener presente che l’asta spinge il punto A

asta

fune

A

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F1 F2

F3

F4

F5

Esempio se su un corpo agiscono 5 forze esso è in equilibrio se la risultante è zero

F1

F2F3

F4

F5

35



Se le forze sono in numero pari, possiamo esprimere la stessa cosa dicendo che le forze devono essere uguali a due a due

36

Equilibrio Equilibrio

Forza equilibrateForza equilibrate

In tutti questi casi anche se le forze sono diverse i corpi sono fermi: si ha un sistema di forze equilibrato

37


Forza equilibrateForza equilibrate

Questi corpi sono in equilibrio in quanto la risultante è nulla

R = 0

R = 0

38


Calcolo Calcolo

Cominciamo da un caso molto semplice: uno schermo appoggiato ad un piano

baricentrose il peso dello schermo vale 25 N quanto vale la reazione vincolare?

Affinché il corpo sia in equilibrio le due forze devono essere uguali ed opposte:

Rv = Peso= 25N

39


Calcolo Calcolo

Reazione vinc. del piano

spinta

Forza di attrito

peso

Supponiamo che il peso sia 3000N; la spinta 450 N.

Se il corpo è in equilibrio quanto vale l’attrito e la reazione vincolare del piano?

40


Tre forze equilibrateTre forze equilibrate

Un anello tirato da 3 persone (A,B,C) come in figura. Esso è fermo quindi in equilibrio

90°

A

B

C

Le forze in gioco sono Fc =Fb = 30 N:

Quanto deve valere Fa per avere l’equilibrio?

Fc

Fb

Fa

90°

41



Le forze in gioco sono Fc =Fb = 30 N:

Quanto deve valere Fa per avere l’equilibrio?

La somma vettoriale di Fc e Fb, cioè la risultante, deve essere uguale ed opposta a Fa

Fc

Fb

FaFc

Fb

Fa Risultante

90°

42



In questo caso le due forze Fb e Fc formano i lati di un quadrato

Fc

Fb

FaRisultante90°

Quindi :

R = Fb2 + Fc2 = 302 + 302 = 42 N

Per cui Fa deve essere uguale a 42N

43

Una sfera appoggiata tra due piani a 90°


44

ESEMPI EQUILIBRIOESEMPI EQUILIBRIO

In questo caso le forze sono : il peso della sfera, e le due reazioni vincolari dei due piani e il caso è praticamente uguale a quello precedente

P

Rv1 Rv290°

45


Sommando le reazioni vincolari, la risultante R, dato che la sfera è in equilibrio, deve essere pari e opposta al peso P

P

Rv1 Rv2

R R = P

46


Rv1 Rv2

R

In questo caso il triangolo è un triangolo particolare , perché è la metà di un quadrato. I due cateti sono uguali Rv1 = Rv2 ; abbiamo detto anche che P= R

Rv1

Rv2

RRv1

45°

rotazione

Possiamo utilizzare in questo caso le funzioni seno e coseno

47


Esempio supponiamo che il peso della sfera si 700N quanto valgono le reazioni vincolari?

Rv1

Rv2

R Rv145°

Rv1= Rv2 = 490N

Rv1= R sen 45°= 700N 0.70 =490N

R= 700 N

Quindi possiamo calcolare Rv

sen 45° = 0.70

cos 45° = 0.70

Se R = P

48


Allo stesso modo possiamo risolvere un oggetto appeso per due corde che formano un angolo di 90°

Il diagramma delle forze nel

punto A è il seguente

90°

AAA

T1 T2

Il punto A è in equilibrio e quindi la risultante R delle due tensioni T1 e T2 deve essere uguale

e opposto al peso

P

T1 T2

R

P

49


A

Anche in questo caso il triangolo rettangolo è la metà i un quadrato e l’angolo e di 45°. I cateti sono uguali

T1 T2

RT1

RT1

T2

45°

P = R

T1 = R sen 45°

P

50


90°

A

Esempio numerico: supponiamo che il peso sia di 3500 N quanto valgono le due tensioni delle due funi?

T1 = R sen 45°

Applicando la formula trovato

Essendo R = P = 3500N

T1 = R sen 45° = 3500N 0.70 = 2450 N

T1= T2 = 2450 N

T2

R

51


Piano inclinatoPiano inclinato

Scomponiamo il peso nelle direzioni parallele e perpendicolari e calcoliamo le componenti

Direzione perpendicolare

Direzione parallela

P

P peso

52



Tracciando le parallele otteniamo le due componenti P e P:

P

P

PQuesto simbolo significa P parallelo al piano

P Questo simbolo significa P perpendicolare al piano

P

53



Il triangolo delle forze a,b,c è simile al triangolo del piano inclinato A,B,C. Per questo l’angolo tra P e P è lo stesso.

P

PP

P

P

a

b

c

a

b

c

A

B

C

Se conosciamo il peso possiamo calcolare le due componenti P e P

54



P

P

a

b

c

Applicando la definizione di sen e cos

sen =C.O.

I

cos =C.AI =

a c

bc

ab

bc

=PP

=

PP

=

P = sen PDa cui con la formula inversa

Da cui con la formula inversa = cos PP

P

55



P

La forza peso quindi può essere sostituita dalle due componenti:

P

P

56



Esempio: disegna le componenti del peso e calcola le sue componenti P e P.

P = 250 N

= 40°

P

sen 40° = 0.64

cos 40° = 0.76

P=190 N P =160N

57



La componente parallela P aumenta man mano che il piano diventa

sempre più inclinato. Mentre quella perpendicolare P diminuisce

58



Consideriamo il carrello che si trova su un piano inclinato. S u esso agiscono 3 forze: il peso, la reazione del piano e la tensione della fune

Rv

P

T

Se il corpo è fermo cioè in equilibrio significa che la risultante delle 3 forze deve essere nulla

R = 0

59



Se vogliamo però calcolare le forze è più utile scomporre la forza peso nella componente parallela al piano e nella componente perpendicolare

P

P

a

b

cP

Componente perpendicolare

Componente parallela

PROMEMORIA

P

60



Il valore delle due componenti si trovano utilizzando la funzione seno e coseno come abbiamo visto

P

P

a

b

c



P = sen P

= cos PP

P

61



Fatto questo si ha l’equilibrio quando le forze sono uguali e due a due:

P

P

a

b

c



P = T P = Rv

Rv

P

T

P

P

P

62



Esempio numerico =30° p = 25N

Rv

P

T

P

P

P= p sen 30° = 25 N 0.5 = 12.5NSen 30° = 0.50

Cos 30° = 0.86Quindi T=P= 12.5N

P = p cos 30° = 25 N 0.86 = 21.5N

Quindi Rv=P =21.5N

63


esercizioesercizio

Esempio numerico =40° p = 800 N Se la forza di attrito mantiene in equilibrio la cassa e non la fa scivolare quanto vale questa forza?

Sen 40° = 0.64

Cos 40° = 0.76

prof. Mastrangelo 64


Il peso è di 20000 N e l’angolo è 25° calcola la tensione della fune di destra

prof. Mastrangelo 65


66

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONEEQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE

Un righello sostenuto da un dito è in equilibrio.

Se il dito, e quindi la forza da esso esercitata , vie spostato il corpo non è più in equilibrio e ruota

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Quindi se il corpo può ruotare, non è sufficiente che le forze hanno risultante nulla.

Nel caso delle rotazioni si deve introdurre una nuova grandezza che si chiama:

Momento torcente di una forza

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MOMENTO TORCENTEMOMENTO TORCENTE

Forze che provocano rotazioneForze che provocano rotazione

Consideriamo un altro esempio

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Altro esempioAltro esempio

Quando consideriamo la rotazione occorre tener conto non solo della forza ma anche della posizione della forza.

La forza Fa e Fb che fanno girare la porta non hanno lo stesso effetto, la forza Fc addirittura non la fa girare affatto anche se molto grande

70


Momento di una forza rispetto ad un puntoMomento di una forza rispetto ad un punto

Per tener conto di questo fatto si introduce una nuova grandezza fisica:

Il momento torcente di una forza rispetto ad un punto di rotazione

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Si definisce momento torcente di una forza rispetto ad un punto di rotazionee si indica con M:

Mt = F b

Mt : Momento torcente

F : forza

b : braccioUnità di misura [N m]

72


bracciobraccio

M = F b

Definizione di braccio b :

il braccio è la distanza tra la retta che rappresenta la direzione della forza e il punto di rotazione, che forma un angolo di 90°

73


bracciobraccio

Definizione di braccio b :

il braccio è la distanza tra la retta che rappresenta la direzione della forza e il punto di rotazione, che forma un angolo di 90°

b

Direzione della forza

90°

74


In questo caso il braccio è zero

e quindi il momento torcente è zerobraccio

Direzione della forza

90°

75



braccio

braccioBraccio nullo

76


Segno del mometoSegno del mometo

Al momento torcente si assegna un verso positivo o negativo a seconda se la forza lo fa girare in senso orario o antiorario

Il momento è positivo quando fa girare il corpo in senso antiorario

+Momento positivo

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Segno del momentoSegno del momento

momento e negativo

Momento negativo

Il momento è negativo quando fa girare il corpo in senso orario

78


esempioesempio

Il pedale di una bicicletta è spinto tramite il piede con una forza di 80 N. Se il pedale è lungo 18 cm e l'angolo che forma con la verticale è di 70° calcola il momento torcente

b

d

79


esempioesempio

b

d b = d sen

Utilizzando la funzione seno :

b = 0,18 m sen 70° = = 0,17 m

Mt = F b = 80 N 0,17 m = 13,6 Nm

80


esempioesempio

Una chiave è lunga 30 cm . Essa viene adoperata per svitare un bullone nella posizione come in figura. La forza applicata è di 15 N

40°Disegna e calcola il braccio e poi calcola il momento torcente

Mt = 3,44 Nm

81


Condizioni di equilibrio alla rotazioneCondizioni di equilibrio alla rotazione

Un corpo che può ruotare intorno ad un punto è in equilibrio quando non ruota e questo si ha nella seguente situazione:

La somma algebrica dei momenti torcenti delle forze applicate al corpo deve essere zero

Mtot = M1+ M2+ M3 + …. = 0

82


Sulla una ruota di raggio R 30 cm vengono applicate 3 forze come nella figura. F1 = 20N , F2= 40N , F3 =30N. la forza F2 è applicata a metà raggio. L'angolo tra i raggi è di 45°. verificare che la ruota sia in equilibrio alla rotazione , cioè se ruota oppure no , e se ruota in che verso

F1

F2

F3

83


Intanto disegnamo i bracci

F1

F2

F3

b3

b2

b1

b3 = R sen 45° = 0,3 m 0,7 = 0,21 m

45°

45°b3

RCalcoliamo b3

Il momento torcente della forza F3 è negativo ( fa girare il corpo in senso orario) e vale:

Mt3 = F3 b3 = 30N 0,21 m = 6,3 Nm

84


F1

F2

F3

b3

b2

b1

b2 = R/2 sen 45° = 0,15 m 0,7 = 0,10 m

45° R/2

Calcoliamo b2. L'angolo è sempre 45° ma la froza è applicata alla metà del raggio

Il momento torcente della forza F2 è positivo ( fa girare il corpo in senso antiorario) e vale:

Mt2 = F2 b2 = 40N 0,1 m = 4 Nm

b2

85


F1

F2

F3

b3

b2

b1

b1 = R

45°

Calcoliamo b1. In questo caso il braccio coincide con il raggio

Il momento torcente della forza F1 ènegativo ( fa girare il corpo in sensoorario) e vale:

Mt1 = F1 b1 = 20N 0,3 m = 6 Nm

b1

86


F1

F2

F3 Adesso per vedere se il corpo non ruota occorre fare la somma algebrica dei momenti.

Mt3 = - 6,3 Nm

Mt2 = 4 Nm

Mt1 = - 6 Nm

Mtot = Mt1 +Mt

2 +Mt

3

Mtot = -6 Nm + 4 Nm – 6,3 Nm = – 8,3 Nm ( il corpo gira in senso orario)

87


50°

3m 5 m

F1 F2

Su un'asta, una specie di altalena , sono applicate due forze come nella figura. F1 vale 300N. Quanto deve valere la forza F2 e affinché l'asta non ruoti?

88


50°

3m 5 m

F1F2

Affinché l'asta non ruoti deve essere la somma dei momenti ( considerati con il loro segno) uguale a zero. Mt

1 positivo

Mt2 negativo

Mt1 – Mt

2 = 0 → Mt

1 = Mt

2 → F

1 b

1 = F

2 b

2

b1

b1 = 3 m sen 50° = 2,3 m

b2 = 5 m

F1 b

1 = F

2 b

2

( F1 b

1 ) / b

2 = F

2

F2 = (300 2,3)/5 = 138N

89


Cerniera: punto di rotazione

Un'asta lunga 6 m, è incernierata alla parete ( punto di rotazione) e sostiene un peso di 800N che si trova a 4 m dalla cerniera. Calcolare la tensione della fune

20°

90


Cerniera: punto di rotazione

In questo esempio abbiamo due momenti torcenti uno dovuto al peso P e l'altro dovuto alla tensione della fune T

20°

P

T

bp

bT

20°4 m

6 m

91


P

T

bp = 4m

bT

20°

bT è il braccio della tensione T

bp è il braccio della forza peso P

6 m

bp = 4 m

bT = 6 m sen 20° = 2,05 m

92


L'asta non ruota e quindi i due momenti sono uguali e opposti

P

T

bp = 4m

bT

20°

Mtp = Mt

T

P bp = T b

T

(P bp )

/ b

T= T

6 m

Sostituendo i valori numerici

T = (P bp )

/ b

T= 800N 4m / 2,05 m = 1560 N

93


Le macchine sempliciLe macchine semplici

Un caso semplice a cui si applicano le condizioni di equilibrio sono le macchine semplice:

1. Leve, di 1° 2° e 3° genere

2. Carrucole

3. Verricello argano

94

GUADAGNO GUADAGNO

Una macchina semplice è un dispositivo che permette con una forza piccola chiamata forza motrice di equilibrare una forza più grande chiamata forza resistente sfruttando l'equilibrio alla rotazione

Si definisce guadagno G di una macchina semplice

G = Forza resistente

Forza motrice

95

GUADAGNO GUADAGNO

G = Forza resistente

Forza motrice

Se G > 0 maggiore di zero → macchina vantaggiosa

Se G < 0 minore di zero → macchina svantaggiosa

96

LEVELEVE

Un caso semplice di rotazione è la leva.

La leva è costituita da un’asta che può ruotare attorno ad un punto di rotazione chiamato fulcro. Le forze ai lati opposti del fulcro si chiamano forza motrice e forza resistente.

fulcro

97

LEVA -equazione della levaLEVA -equazione della leva

FmFr

Le forze verticali si equilibrano, quindi per avere l’equilibrio alla rotazione i momenti delle due forze devono essere uguali e contrari

Mm = Mr

bm br

Fm bm = Fr br

Fm = brFr bm

98


Le leveLe leve

Le leve si dividono in 3 tipi:

Leve di 1° genere

Leve di secondo genere

Leve di terzo genere

99


Le leve 1° genereLe leve 1° genere

FrFmbr

bm

Il fulcro sta tra le due forze

Può essere vantaggiosa e svantaggiosa

100

Le leve di primo genere

Il fulcro è posto tra le due forze.

Fm

Fr

FulcroFmFm

Fr

Fm

101



Fr Fmbr

bm

In questa leva la forza resistente si trova tra fulcro e forza motrice. E’ una leva vantaggiosa

Fr

Fm

102

Le leve di secondo genere

La forza resistente è tra il fulcro e la forza motrice.

Fr

Fm

103



Fr

Fm

br

bm

In questa leva la forza motrice si trova tra fulcro e forza resistente . E’ una leva svantaggiosa

104

Le leve di terzo genere

La forza motrice è tra il fulcro e la forza resistente.

Fm

Fr

106


Le leveLe leve

Ritornando all’equazione delle leve:

Fm x bm = Fr x br

Fm = brFr bm

Si ha che quando Fm è minore di Fr ,la leva si dice vantaggiosa.

Infatti una forza motrice riesce a sollevare una forza resistente maggiore

1. La prima leva è sempre vantaggiosa

2. La seconda può essere vantaggiosa o svantaggiosa a seconda di dove è posizionato il fulcro

3. La terza è sempre svantaggiosa

107


esercizioesercizio

.La leva disegnata in figura ha una lunghezza di 10 m, e la distanza tra il fulcro e la forza resistente è di 2,5 m. Calcola la forza motrice sapendo che quella resistente vale 300 N

FrFm

108


esercizioesercizio

Fm

Fr br

bm

La cariola in figura deve portare un peso ( forza resistente) di 2000 N calcolare la forza che deve applicare la persona ( forza motrice).

109


esercizioesercizio

Una macchina applica forza di 2000 N al terreno, la ruota del diametro di 60 cm. Quale è il momento torcente che deve applicare l’asse del motore

110


Una carrucola è costituita da una ruota. Ci possono esser due tipi di carrucole: fissa e mobile

FmFr

Fm

Fr

Carrucola fissa: il centro della ruota non si muove

Carrucola mobile: il centro della ruota si muove

La carrucola fissa può essere considerata come una leva con al centro il fulcro e i cui bracci sono pari al raggio. Quindi:

O

La carrucola mobile può essere considerata come una leva di secondo genere con il fulcro nel punto O e quindi br è pari al raggio e bm pari al diametro. Quindi:Fm = Fr

Fm = Fr/2

111


Le carrucoleLe carrucole

112

Lezione 4 - Le macchine semplici

Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi © Zanichelli editore 2010

Paranco

Fm = Fr/2nCon n numero di carrucole mobili

113


Il verricello Il verricello

Il verricello o argano è anch’esso riconducibile ad una leva

114

Lezione 4 - Le macchine semplici


Piano inclinato e vite

Fm = Fr sen

115

Il baricentrodi un corpo è un punto in cuisi può pensare sia applicato

il peso del corpo

Lezione 5 - Il baricentro


116

Lezione 5 - Il baricentroSolidi di forma regolare: possono avere un

centro di simmetria

Solidi di forma irregolare: non hanno centro di

simmetria.

Corpi omogenei: densità costante in ogni punto

Corpi non omogenei: densità varia da punto a

punto; corpi composti da più materiali o con cavità

interne non sono omogenei.


Prof. Mastrangelo Domenico

117


BaricentroBaricentro

BARICENTRO

Nelle figure regolari questo punto è l’incrocio delle mediane.

In questo punto si applica il peso

118


Baricentro: punto in cui si considera concentrata la

forza peso che agisce su un corpo.Se il corpo è omogeneo e ha un centro di simmetria, quest’ultimo è anche il baricentro

del corpo.

Se il corpo non è omogeneo o è

irregolare, il baricentro si può trovare

sperimentalmente, appendendo il corpo

in due punti diversi e trovando il punto

d’incontro delle due verticali.


119


L’equilibrio di un corpo può essere stabile, instabile o

indifferente, in base a cosa accade quando l’oggetto viene

spostato dalla posizione di equilibrio

Equilibrio stabile: ritorna alla posizione di equilibrio

Equilibrio instabile: si allontana definitivamente dalla

posizione di equilibrio

Equilibrio indifferente: resta in una nuova posizione di

equilibrio


120



121


Un corpo appoggiato è in equilibrio se la verticale passante

per il baricentro incontra la base di appoggio.

Se la verticale

cade fuori dalla

base, il corpo si

ribalta.


122

Componenti del vettore dato

Dato un vettore e due direzioni trovare le componenti

PROMEMORIA

123

Dato un vettore e due direzioni una verticale e una orizzontale

Y

XVx

Vy

PROMEMORIA

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