CAPITULO I: EQUILIBRIO DE UNA PARTCULA Y CUERPO RIGIDO

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CAPITULO II: EQUILIBRIO DE UNA PARTCULA Y CUERPO RIGIDO1. FUERZALa idea bsica que fundamenta el concepto de fuerza, es la que proviene de Newton: una fuerza es la accin que puede cambiar de estado el movimiento de un cuerpo.

Cuando se lanza o se patea una pelota, se ejecuta o aplica una fuerza.

Es decir, puede asociarse el concepto de fuerza con el cambio en el movimiento de un objeto.

La fuerza es una magnitud fsica vectorial, es decir, tiene magnitud, direccin y sentido. Nos expresa la medida de interaccin mutua entre dos cuerpos en contacto o no. Interesa que quede determinada su intensidad y hacia dnde se aplica.

UNIDADES

Sist. Internacional:[F] = Newton = 1 Kg.-m/s2. Sist. Ingls:

[F] = libra = 1 slug-pie/s2 MKS:

[F] = 1 Kg.-f

CGS:

[F] = DINA = 1 gr.-cm./s2

EQUIVALENCIAS

1 Lib. = 4.45 N

1 slug = 14.594 Kg.1 Kg.-f = 9.8 N

1 Lib. Masa = 0.4536 Kg.1 DINA = 10 -5 N

1 Poundal = 0.031 Lib.-f = 0.138 N.

1 Newton es, la fuerza que necesita un objeto de 1 Kg. de masa para acelerar 1m/s2. En forma anloga se pueden interpretar las dems unidades indicadas.

Nota:

Slug?, Newton?, Poundal?

P = mg

1 kg-f = 1 kg (9,8m/s2) = 9,8 (Kg-m/s2 ) = 9,8 Newton

1 libra = 1 libmasa (32,2 pie/s2) = 32,2 ( libmasa-pie/s2 )= 32,2 Poundal

1 libra = 1 libmasa (32,2 pie/s2) = (32,2 libmasa) pie/s2 = 1 slug- pie/s2

Si dos o ms fuerzas F1, F2, Fn actan al mismo tiempo, en un mismo punto de un objeto, el efecto sobre el movimiento del cuerpo es igual al de la resultante R de las fuerzas (principio de superposicin de fuerzas).

R = FiDonde:

Rx = Fx: suma de componentes en xRy = Fy: suma de componentes en yRz = Fz: suma de componentes en z

| R | = (Rx2 + Ry2 + Rz2); adems:

cos = Rx / R

cos = Ry / R

cos = Rz / R;

Donde , , son los ngulos que forma la resultante con el eje X, Y, Z respectivamente.

Si el sistema de fuerzas es coplanar, se tendr que:

| R | = (Rx2 + Ry2); y tan = Ry / Rx.EJEMPLO 1: Tres gras son conectadas a un objeto para jalarlo en diversas direcciones y en un mismo plano como se muestra en la figura, donde el origen de coordenadas es el objeto. Obtenga las componentes de la fuerza neta o resultante sobre el objeto, su magnitud y direccin.

2. MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZASea la fuerza F que acta en el punto A de un cuerpo rgido.Si el cuerpo rgido puede girar alrededor del punto O y la fuerza no est aplicada en este punto, el efecto de la fuerza ser la rotacin alrededor del punto O.

Donde:

F: fuerza aplicada al cuerpo rgido.

A: punto de aplicacin de la fuerza.

O: eje de rotacin del cuerpo rgido.

r: vector que une el punto de aplicacin con el punto de rotacin b: brazo de giro desde la lnea de accin de la fuerza.

: ngulo entre r y F (ambos con el mismo origen).

El torque o momento de una fuerza en una cantidad vectorial, el cual se define como:

= r x F, es un producto vectorial.

UNIDADES: [] : FL

Sist. Internacional:[ ] = N-m.

Sist. Ingls:

[ ] = lib-pie

MKS:

[ ] = 1 Kg-f -m

CGS:

[ ] = Din-cm

En la figura, puede observarse que:b = r sen , y si se sabe que: | | = | r x F | = rF sen = Fr sen , entonces,

| | = Fb.

A partir de esto se concluye, que a mayor b, es decir a mayor distancia entre la fuerza y el punto de giro, mayor momento.

3. PAR O CUPLA DE FUERZASUn par o cupla de fuerzas se define como una pareja de fuerzas paralelas con la misma magnitud y sentido contrario. Es decir: F1 + F2 = 0.El par o cupla, el nico efecto que producen es la rotacin.

C = r x F

| C | = bF = Fr sen .

Donde:

C: cupla o par.

r: vector que une las fuerzas desde cualquier punto.

F: una de las fuerzas del par.

b: distancia entre el par de fuerzas

EJEMPLO 2.Determinar el torque de la fuerza aplicada al slido de la figura, si r = 45 cm y F = 6N

3. EQUILIBRIO.En muchos diseos de ingeniera, es necesario que un sistema estructural permanezca en reposo con relacin a otro. Un puente debe permanecer en reposo frente a sus cimientos, de igual manera un techo frente a sus apoyos, el asiento de un automvil frente al chasis. Esta condicin es necesaria para que estos sistemas cumplan su funcin en forma ptima.

Un sistema puede ser idealizado como una partcula en algunos casos o como un cuerpo rgido en otros. Para verificar su equilibrio debe hacerse esta distincin.

3.1 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. Una partcula se encuentra en equilibrio, esto es en reposo o con velocidad constante (magnitud y direccin), si el sistema de fuerzas al que est sometido puede reducirse a una fuerza resultante NULA. (Primera condicin de equilibrio)

R = Fi = 0; es decir:

Rx = Fx= 0; Ry = Fy= 0; Rz = Fz= 0.

3.2 EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO. Un cuerpo rgido permanece en equilibrio, esto es, en reposo o con velocidad constante (magnitud y direccin), si el sistema de fuerzas al que est sometido puede reducirse a una fuerza resultante NULA. (Primera condicin de equilibrio) y adems el momento resultante del sistema de fuerzas es NULO (Segunda condicin de equilibrio).

Con estas dos condiciones se verifica si la partcula o el cuerpo rgido se traslada (primera condicin) o si el cuerpo rgido rota (segunda condicin)EJEMPLO 3. Una partcula se encuentra sometida a la accin de tres fuerzas: F1 = 3i+6j-8k; F2 = -j+8k; F3 = -3i+5j Newton. Analizar si se encuentra en equilibrio.

Rpta.: La partcula no se encuentra en equilibrio.EJEMPLO 4. La barra de la figura se encuentra en equilibrio sobre sus apoyos A y B estando sometida a la accin de las fuerzas indicadas. Encontrar las fuerzas en los apoyos (reacciones), la resultante de fuerzas (externas y peso) y su punto de accin si el peso de la viga es 40 Kg-f..

Si la barra est en equilibrio, deben cumplirse ambas condiciones de equilibrio.

4. PRIMERA LEY DE EQUILIBRIO.

Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza, o actan varias fuerzas que se anulan entre s, entonces el cuerpo est en reposo o en movimiento rectilneo y uniforme.

Analicemos los siguientes casos:

Por qu una flecha puede seguir movindose despus de abandonar el arco que lo ha impulsado?

Si tomamos un objeto metlico y lo desplazamos a lo largo de una mesa con una fuerza inicial, la longitud que se desplaza es mayor si la superficie de la mesa es lisa. Es decir depende de la friccin entre la mesa y el objeto, de manera que si sta no existiera, el objeto se movera indefinidamente. Cuando en un automvil en movimiento se aplican los frenos, los pasajeros son impulsadas hacia delante y en algunos casos despedidas fuera de sus asientos.

Al poner en marcha un automvil en reposo, los ocupantes perciben sobre s un movimiento hacia atrs.

Un patinador despus de haber adquirido cierta velocidad, puede seguir desplazndose por ms tiempo sin otro esfuerzo adicional.

Estos ejemplos nos llevan a afirmar que: Un cuerpo que est en movimiento (MRU), tiende a mantener su velocidad tanto en direccin como en magnitud.

As mismo, un cuerpo que est en reposo, tiende a mantenerse en reposo.

5. MODELOS IDEALES.

En Fsica, un modelo es la representacin simplificada de un sistema ms complejo cuyo anlisis sera complicado y su solucin casi imposible.

Por ejemplo, para analizar el movimiento de un automvil, tendramos que considerar su forma no definida, diferentes materiales que lo componen, el medio que lo rodea sometido a la presin atmosfrica, la aceleracin de la gravedad, fuerzas de friccin diversas y no perfectamente uniformes, adems el efecto de rotacin y traslacin de la Tierra, etc.En lugar de ello, buscamos una simplificacin del problema, es decir un modelo ideal: omitimos el tamao del automvil y sus caractersticas de forma y material, lo representamos como un objeto puntual o partcula o como un cuerpo uniforme. Despreciamos el medio en el que se mueve y lo suponemos en el vaco, nos olvidamos de la rotacin terrestre y suponemos su peso constante.

En toda tecnologa se requieren modelos ideales, el xito en el anlisis se da en cuanto el modelo sea vlido.

6. CENTRO DE MASA.Es el punto en el cual se considera est concentrado el peso del cuerpo.

La direccin de la fuerza gravitacional (peso), en realidad converge hacia el centro de la Tierra. Sin embargo, cuando hablamos de partculas o de cuerpos de

dimensiones relativamente pequeas, sus pesos se consideran en direccin vertical.

Si tomamos en cuenta esta consideracin, el Centro de Masa coincide con el Centro de Gravedad, salvo en el caso en que la gravedad no sea constante a lo largo del espacio ocupado por el cuerpo.

rc = CG = (xc, yc, zc).Donde:

xc = xi Wi Wi

yc = yi Wi Wi

zc = zi Wi

Wi

Teniendo en cuenta que W = mg, se tendr que:xc = xi mig = xi mi mig miyc = yi mig = xi mi mig mizc = zi mig = xi mi , que constituye el Centro de Masa. mig mi6.1 CENTRO DE MASA DE LINEAS.Sea un alambre de seccin constante a, densidad constante y longitud L.

W = V = a L

Wi = Vi = a Li. Entonces:

xc = xi Wi = xi a Li = xi Li Wi a Li Liyc = yi Wi = yi a Li = yi Li Wi a Li Lizc = zi Wi = zi a Li = zi Li Wi a Li Li6.2 CENTRO DE MASA DE AREAS.Sea un rea A de espesor constante e y densidad constante.

W = V = e A

Wi = Vi = e Ai. Entonces:

xc = xi Wi = xi e Ai = xi Ai Wi e Ai Aiyc = yi Wi = yi e Ai = yi Ai Wi e Ai Aizc = zi Wi = zi e Ai = zi Ai Wi e Ai Ai6.3 CENTRO DE MASA DE VOLUMENES.Sea un cuerpo de densidad constante.

W = V

Wi = Vi. Entonces:

xc = xi Wi = xi Vi = xi Vi Wi Vi Viyc = yi Wi = yi Vi = yi Vi Wi Vi Vizc = zi Wi = zi Vi = zi Vi Wi Vi ViNota: El centro de masa de un cuerpo, lnea o rea, se encuentra en su eje de simetra; si ste posee dos ejes, se hallar en la interseccin de ellos.

EJEMPLOS DE APLICACIN.FUERZAS DISTRIBUIDAS

Estudiaremos el caso en que las fuerzas se distribuyen en forma continua sobre una lnea, rea o volumen en un slido rgido. En realidad, ste es el caso ms real en las estructuras ya que al interactuar dos elementos determinan un rea de contacto ms no un punto.

Determinaremos el modo en que se representan las fuerzas distribuidas por medio de fuerzas concentradas equivalentes.

1.1 FUERZAS DISTRIBUIDAS POR UNIDAD DE LONGITUD (CARGAS LINEALES) Sea el elemento lineal S sobre el cual actan las fuerzas distribuidas q.

La fuerza concentrada equivalente al sistema de fuerzas distribuidas resulta de multiplicar el valor de q en un punto por el elemento de la longitud de arco en el mismo punto (s). Entonces, cada fuerza tendr un valor igual a qs, por lo que, la resultante total de las fuerzas que actan a lo largo de s ser:

R = qi si;

R = rea determinada por el conjunto de fuerzas q.

R = k qi siEsta resultante acta en el punto C (Xc, Yc) denominado centro de presin.

El centro de presin se calcula con el Teorema de Varignon con respecto al origen de coordenadas.

MR = MiEn el caso de que las fuerzas se distribuyan linealmente, el centro de presiones coincide con el centroide del rea determinada por las fuerzas.

EJEMPLO 1Determinar la resultante de carga uniformemente distribuida sobre una longitud L con una intensidad de carga de w (Kg/m) a lo largo del eje X

Para el problema: R = qi si (j); R = -w L j; R = w L Kg.

Ntese que la magnitud de R corresponde al rea bajo la curva de distribucin de carga.

La lnea de accin de la fuerza R pasa por el punto C(Xc, 0, 0).

Xc = 1.2 FUERZAS DISTRIBUIDAS POR UNIDAD DE AREA (CARGAS SUPERFICIALES) Sea el elemento de rea A sobre el cual actan las fuerzas distribuidas p.

R = pi Ai;

R = pi Ai uNEn Mecnica, la distribucin de fuerzas por unidad de longitud o de rea se denomina presin. La distribucin de las fuerzas en una unidad de rea formar un slido imaginario denominado espacio presin cuya altura es la magnitud de la presin y el punto donde acta la resultante de fuerzas distribuidas es el centro de presin.

Aplicando el Teorema de Varignon, se pueden determinar las coordenadas del centro de presin.

En el caso en que el volumen de presin tome formas conocidas, el valor de la fuerza resultante es el volumen del mismo y su punto de aplicacin est en su centroide.EJEMPLOS DE APLICACION

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Cuando movemos un auto atascado en la arena, ejercemos una fuerza sobre l

Cuando un cable ejerce una fuerza sobre una viga para sostenerla.

Rpta:

R = -132.20i + 188.35j N

R = 231.11 N

= 125.06

Rpta:

= -0.925k N-m

= 0.925 N-m

Rpta:

Ay = 509.09 Kg.-f ; By = 630.91 Kg.-f.

X = 3.04 m a partir del punto A.

q(s)

S

s

q(s) s