Equazioni Goniometriche e Esercizi Svolti - …Angolo orientato Funzioni goniometriche gradi...
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Equazioni Goniometrichee Esercizi Svolti
Prof. Francesco Zumbo
www.francescozumbo.it
− Equazioni goniometriche elementari− Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari− Equazioni goniometriche lineari− Equazioni goniometriche riconducibili a lineari− Soluzione grafica delle equazioni goniometriche lineari− Equazioni goniometriche omogenee− Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee− Soluzione grafica delle equazioni goniometriche omogenee− Equazioni goniometriche simmetriche
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Angolo orientato Funzioni goniometriche gradi radianti seno coseno tangente
0° 0 0 1 0
9° 20
π
4
5553 −−+
4
5553 −++
15
52104
−+−
15° 12
π
4
26 −
4
26 + 32 −
18° 10
π
4
15 −
4
5210 +
5
51025 −
22°30’ 8
π
2
22 −
2
22 + 12 −
30° 6
π
2
1
2
3
3
3
36° 5
π
4
5210 −
4
15 + 525 −
45° 4
π
2
2
2
2 1
54° 10
3π
4
15 +
4
5210 −
5
51025 +
60° 3
π
2
3
2
1 3
72° 5
3π
4
5210 +
4
15 − 525 +
75° 12
5π
4
26 +
4
26 − 32 +
90° 2
π 1 0 ±∞→
Immaginiamo di conoscere il valore delle funzioni goniometriche per un angolo α (per semplicità di ragionamento immaginiamo che sia nel primo quadrante: se α si trovasse altrove arriveremmo comunque alle stesse conclusioni). Se ci interessa conoscere le funzioni di un altro angolo β ottenuto riportando α a partire da uno qualsiasi degli assi cartesiani, possiamo fare un semplice ragionamento basato sull’uguaglianza di triangoli. Per semplicità ragioniamo su angoli del periodo [ ]°360;0 . Caso 1: riportiamo l’angolo α a partire dalla posizione 90° in senso orario.
Otteniamo, a partire dalla posizione 0, un angolo αβ −°= 90 I Triangoli OBH e OB’K sono uguali per costruzione, perciò le ascisse e le ordinate di B e di B’ hanno valore uguale, ma sono scambiate. Perciò
( ) αα cos90sen =−° e ( ) αα sen90cos =−° Ragionando analogamente sui triangoli OCA e OC’L otteniamo che
( ) αα cotg90 =−°tg e ( ) αα tg=−°90cotg
A H O α
α B C B’
K L C’
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Capitolo 3
Geometria
3.1 Goniometria
3.1.1 Relazione Fondamentalesin2 x + cos2 x = 1
3.1.2 Tangente e Cotangente: De�nizioniDe�nizione 32 (Tangente) tanx = sin x
cos x∀x 6= π2 + kπ
De�nizione 33 (Cotangente 1) cot x = cos xsin x∀x 6= kπ
De�nizione 34 (Cotangente 2) cot x = 1tan x∀x 6= k π
2
3.1.3 Secante e Cosecante: De�nizioniDe�nizione 35 (Secante) sec α = 1
cos α
sec : R \ {pi2 + kπ, k ∈ Z} → R
De�nizione 36 (Cosecante) csc α = 1sin α
csc : R \ {kπ, k ∈ Z} → R
3.1.4 Formule di Addizionesin(α± β) = sin α cosβ ± cosα sin βcos(α± β) = cosα cos β ∓ sin α sin βtan(α± β) = tan α±tan β
1∓tan α tan β
cot(α± β) = cot α cot β∓1cot α±cot β
17
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18 CAPITOLO 3. GEOMETRIA
3.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione
sin(2α) = 2 sin α cos αcos(2α) = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1tan(2α) = 2 tan α
1−tan2 α
sin(3α) = 3 sin α− 4 sin3 αcos(3α) = 4 cos3 α− 3 cos α
tan(3α) = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α
3.1.6 Formule di Bisezione
sin(α2 ) = ±
√1−cos α
2
cos(α2 ) = ±
√1+cos α
2
tan(α2 ) = ±
√1−cos α1+cos α = sin α
1+cos α = 1−cos αsin α
3.1.7 Formule Parametriche
tdef= tan α
2 −→
sin α = 2t1+t2
cos α = 1−t2
1+t2
tan α = 2t1−t2
3.1.8 Formule di Prostaferesi
sin p + sin q = 2 sin p+q2 cos p−q
2
sin p− sin q = 2 cos p+q2 sin p−q
2
cos p + cos q = 2 cos p+q2 cos p−q
2
cos p− cos q = −2 sin p+q2 sin p−q
2
3.1.9 Formule di Werner
cos p · sin q = 12 [sin(p + q)− sin(q − p)]
sin p · sin q = 12 [sin(p− q)− cos(p + q)]
cos p · cos q = 12 [cos(p + q) + cos(p− q)]
3.1.10 Formule di Conversione
* Tabella 3.1 a pag.19
3.1.11 Archi Noti
* Tabella 3.2 a pag.19
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3.1. GONIOMETRIA 19
↙ Sin Cos Tan
sinα sin α ±√1− cos2 α ± tan α√1+tan2 α
cos α ±√1− sin2α cos α ± 1√1+tan2 α
tanα ± sin α√1−sin2 α
±√
1−cos2 αcos α tanα
cot α ±√
1−sin2 α
sin α ± cos α√1−cos2 α
1tan α
sec α ± 1√1−sin2 α
1cos α ±
√1 + tan2 α
csc α 1sin α ± 1√
1−cos2 α±√
1+tan2 αtan α
Tabella 3.1: Formule di Conversione
Rad Deg Sin Cos Tan Cot0 0◦ 0 1 0 n.e.π12 15◦
√6−√24
√6+√
24 2−√3 2 +
√3
π8 22◦30′
√2−√22
√2+√
22
√2− 1
√2 + 1
π6 30◦ 1
2
√3
2
√3
3
√3
π4 45◦
√2
2
√2
2 1 1π3 60◦
√3
212
√3
√3
3
38π 67◦30′
√2+√
22
√2−√22
√2 + 1
√2− 1
512π 75◦
√6+√
24
√6−√24 2 +
√3 2−√3
π2 90◦ 1 0 n.e. 0
Tabella 3.2: Archi noti
Rad Sin Cos Tan Cotx sin x cos x tan x cot x
π − x sin x − cosx − tan x − cot xπ + x − sin x − cosx tan x cot x−x − sin x cos x − tan x − cot x
2π − x − sin x cos x − tan x − cot xπ2 − x cosx sin x cot x tanxπ2 + x cosx − sin x − cot x − tan x
32π − x − cos x − sin x cot x tanx32π + x − cos x sin x − cot x − tan x
Tabella 3.3: Archi associati
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20 CAPITOLO 3. GEOMETRIA
3.1.12 Archi Associati
* Tabella 3.3 a pag.19
3.2 Trigonometria
3.2.1 Triangolo Qualsiasi
Area: S = 12ab sin γ = 1
2bc sin α = 12ac sin β
S = 12a2 sin β sin γ
sin(β+γ) = 12b2 sin α sin γ
sin(α+γ) = 12c2 sin α sin β
sin(α+β)
Teorema 2 (Formula di Erone) S =√
p(p− a)(p− b)(p− c)
Teorema 3 (Formula di Brahmagupta o di Erone) Dato un quadri-latero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) di lati a, b, c, d e se-miperimetro p = a+b+c+d
2 , l'area vale S =√
(p− a)(p− b)(p− c)(p− d);per d = 0, in particolare, si ottiene la formula di Erone per il triangolo.
Teorema 4 (delle Corde) : AB = 2r sin α
Teorema 5 (dei Seni) : asin α = a
sin α = asin α = 2R = abc
4S
Proiezioni: a = b cos γ + c cosβ;b = a cos γ + c cosα;c = a cos β + b cosα.
Teorema 6 (di Carnot o del Coseno) :a2 = b2 + c2 − 2bc cosα;b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ;c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
3.2.2 Triangolo Rettangolo
Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di untriangolo rettangolo e α , β e γ sono le misure degli angoli opposti, sussi-stono le seguenti relazioni:
b = a sin β = a cos γc = a sin γ = a cos βb = c tanβ = c cot γc = b tan γ = b cot β
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Tavola di relazioni trigonometriche
Funzioni trigonometriche dell'angolo
sin=yr
cos=xr
tan=yx
cot=xy
cosec= 1sin
sec=1
cos
la funzione seno è dispari, la funzione coseno è pari, la funzione tangente è dispari.
Relazioni fondamentali
sin2cos2=1 tan=sincos
cot=cossin
Espressione delle funzioni goniometriche mediante una di esse
sin cos tan cot
sin= sin ±1−cos2 ±
tan
1 tan2
±1
1cot2
cos= ±1−sin2 cos ±
1
1 tan2
±cot
1cot2
tan= ±sin
1−sin2
±1−cos2
cos tan
1cot
cot= ±1−sin2
sin±
cos
1−cos2
1tan
cot
Angoli associati, complementari e che differiscono di /2sin−=sin cos−=−cos tan −=− tan cot −=−cot
sin=−sin cos=−cos tan =tan cot =cot
sin2−=−sin tan 2−=− tan sin−=−sin tan −=−tan
cos2−=cos cot 2−=−cot cos−=cos cot −=−cot
sin/2−=cos cos/2−=sin tan /2−=cot cot /2−= tan
sin/2=cos cos/2=−sin tan /2=−cot cot /2=−tan
Formule di addizione e sottrazionesin±=sin cos±cos sin cos±=cos cos ∓sinsin
tan ±=tan±tan
1∓ tan tan cot ±=
cot cot ∓1cot ±cot
Formule di duplicazione, triplicazione e bisezione
sin 2=2sin cos cos2=cos2
−sin2=1−2 sin2
=2cos2−1 tan 2= 2 tan
1−tan 2
sin 3=3 sin−4 sin3 cos3=4cos3
−3cos tan3= 3 tan− tan3
1−3 tan 2
sin
2=± 1−cos
2cos
2=± 1cos
2tan
2=± 1−cos
1cos=
sin1cos
=1−cos
sin
Formule parametriche
sin=2 tan
2
1tan 22
cos=1− tan2
2
1 tan2 2
tan=2 tan
2
1−tan 22
Formule di prostaferesi
sin±sin =2 sin ±
2cos ∓
2coscos =2cos
2cos −
2cos−cos =−2sin
2sin−
2
o
y
x
r
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ac
b
Formule di Werner
sinsin =12[cos−−cos] cos cos=
12[coscos−] sincos =
12[sin sin −]
Teoremi sui triangoli
Triangoli rettangolib=a sin c=a sin b=c tan c=b tan
b=a cos c=a cos b=c cot c=b cot
Teorema di Pitagora
a2=b2
c2
Triangoli qualsiasi
Teorema dei seni
asin
=b
sin=
csin
=2R
Teorema delle proiezioni
a=b cosc cos b=c cosa cos c=a cos bcos
Teorema del coseno o di Carnot
a2=b2
c2−2b c cos b2
=c2a2
−2c a cos c2=a2
b2−2a b cos
Altro
Sviluppo di Taylor delle funzioni trigonometriche
sin=−
3
3!
5
5! cos=1−
2
2!
4
4!
Formule di Eulero (esponenziale complesso)
e±i=cos±i sin sin=
e i−e−i
2icos=
e ie−i
2
Funzioni iperboliche
sinh x=e x−e−x
2=
sin ii
cosh x=exe−x
2=cos i tanh x=
sinh xcosh x
=ex−e−x
exe−x
il seno iperbolico è dispari, il coseno iperbolico è pari, la tangente iperbolica è dispari.
Valori delle funzioni trigonometriche di angoli particolari
gradi radianti seno coseno tangente cotangente
0° 0 0 1 0 non definita
30°6
12
32
33 3
45°4
22
22
1 1
60°3
32
12 3 3
3
90°2
1 0 non definita 0
180° 0 -1 0 non definita
270°32 -1 0 non definita 0
360° 2 0 1 0 non definita
© gerlos - http://gerlos.altervista.org – Licenza CC Attribution-ShareAlike 2.5 Italy, vedi http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/it/.
ac
b
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