Equazioni diofantee irrisolte

Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it

Il nostro obiettivo è quello di risolvere l’equazione diofantea �� � �� � � ove x, y, n, m, k sono interi.

Per risolvere questa equazione utilizziamo le due identità (+)

�� � ���� � � � � ���� � � � �����

�� � ������ � � � � ���� � �� � ����

E riscrivendo la �� � �� � � come �� � �� � � dove però cerchiamo solo le soluzioni tali che � � ��.

Ovvero �� � �� � ��ovvero usando la prima di (+) possiamo scrivere il seguente sistema che ci permette

di trovare i valori a, b e quindi di esplicitare tutte le soluzioni intere dell’equazione:

� � �� 1, � � � � �; � � �;� � � � ��; � � �� � ���� (analogamente per l’altra) . I

passaggi tecnici sono alquanto semplici e si vede chiaramente come ad esempio l’equazione �� � �� � 1

abbia come soluzioni x = 3, y = 2, N = 2, M =3. Nel caso di �� � �� � � , k> 1 dobbiamo tener presenti

anche le soluzioni che provengono dalla terna pitagorica ovvero quelle

� � ��� � 2 �� � � � ���

Ovviamente non sappiamo se ce ne sono altre e di che tipo.

Se M = N in �� � �� � � per la scomposizione i fattori del polinomio del termine di sinistra dell’equazione

diofantea possiamo provare a trovare le soluzioni tali che X-Y= k oppure X+Y=k

Ragionamenti molto simili possiamo fare quando �� � �� � �

Le identità (+) permettono di dare una risposta alle soluzioni dell’equazione �� � �� � ! anche se non si

sa se ce ne sono altre. Se fossero solo quelle determinate da (+) sarebbe automaticamente dimostrato

l’Ultimo Teorema di Fermat ovvero che l’equazione �" � �" � #" non ha soluzioni intere non banali di x, y,

z per n intero n > 2.