Equazioni di secondo grado - Dispensa Alessio... · 2015. 5. 21. · Pagina 5 7. EQUAZIONI DI GRADO...
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EQUAZIONI DI II° GRADO
1. DEFINIZIONI
Si dice equazione di secondo grado nell’incognita x un’equazione che
con il coefficiente a diverso da zero.
Un’equazione di secondo grado si dice:
� completa quando tutti e tre i suoi coefficienti (a, b, c,) sono diversi da zero; � incompleta quando almeno uno dei coeff. b e c è uguale a zero, in particolare
o pura se 0=b e 0≠c
o spuria se 0≠b e 0=c
� monomia quando tutti e due i coefficienti b e c sono uguali a zero
2. RISOLUZIONE DI EQUAZIONI INCOMPLETE
2.1. equazione pura 02 =+ cax trasporto c a secondo membro e divido i due membri per
a
cx −=2
estraggo la radice quadrata
Si possono verificare i seguenti casi:
a. 0<−a
c (se a e c sono concordi) l’equazione è
b. 0>−a
c (se a e c sono discordi) l’equazione ammette
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“Sapienza - Università di Roma”
Dipartimento di Matematica
“Guido Castelnuovo”
web-site: www.sabelli87.altervista.org
EQUAZIONI DI II° GRADO
nell’incognita x un’equazione che ridotta a forma normale
ndo tutti e tre i suoi coefficienti (a, b, c,) sono diversi da zero;
dei coeff. b e c è uguale a zero, in particolare
quando tutti e due i coefficienti b e c sono uguali a zero
RISOLUZIONE DI EQUAZIONI INCOMPLETE
a secondo membro e divido i due membri per a (principi di equivalenza
estraggo la radice quadrata
) l’equazione è impossibile
) l’equazione ammette 2 soluzioni opposte x −±=2,1
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è del tipo 02 =++ cbxax
principi di equivalenza)
a
c−
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2.2. equazione spuria
02 =+ bxax raccolgo x a fattore comune
0)( =+ baxx applico la legge dell’annullamento del prodotto
00 =+= baxx
la prima equazione mi fornisce la soluzione
la seconda equazione è di primo grado e fornisce la soluzione
Pertanto un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte
2.3. equazione monomia
02 =ax ha come soluzione 02,1 =x
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a fattore comune
legge dell’annullamento del prodotto
la prima equazione mi fornisce la soluzione 01 =x (sempre soluzione di un’eq. spuria)
la seconda equazione è di primo grado e fornisce la soluzione a
bx −=2
sempre due soluzioni distinte.
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3. RISOLUZIONE DI EQUAZIONI COMPLETE
ax
Si applica la formula risolutiva
bx 2,1
−=
Ci sono tre casi
a. 0>∆ due soluzioni reali distinte
b. 0=∆ due soluzioni reali coincidenti
c. 0<∆ nessuna soluzione reale
4. EQUAZIONI FRAZIONARIE
Si risolvono come quelle intere facendo la discussione dei denominatori
5. RELAZIONE FRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DI UN’EQ. II° GRADO
xx + 21
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RISOLUZIONE DI EQUAZIONI COMPLETE
02 =++ cbxax con 0,, ≠≠≠ coboa
a
acb
2
42 −± ∆=− acb 42
discriminante
i distinte
due soluzioni reali coincidenti (soluzione doppia)
Si risolvono come quelle intere facendo la discussione dei denominatori
NTI E LE RADICI DI UN’EQ. II° GRADO
a
b−= a
cxx =⋅ 21 con 0≥∆
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6. EQUAZIONI PARAMETRICHE
0132 =−++ mmxx i suoi coeff. sono a
Se attribuiamo a m valori diversi otteniamo equ
m=1, m=2, m=5
4− . Al variare di m, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera
parametro e l’equazione si dice parametrica
dipendente da una o più lettere dette parametri.
Gli esercizi sulle eq. parametriche consistono nel
soddisfano certe condizioni.
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131 −=== mcmb
valori diversi otteniamo equazioni diverse che hanno, in generale, soluzioni diverse. Per esempio
, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera
ica. I generale si dice parametrica un’equazione avente almeno un coefficiente
dipendente da una o più lettere dette parametri.
Gli esercizi sulle eq. parametriche consistono nel determinare i valori del parametro per i quali le soluzioni dell’equaz.
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azioni diverse che hanno, in generale, soluzioni diverse. Per esempio m=0,
, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera m si dice
un’equazione avente almeno un coefficiente
determinare i valori del parametro per i quali le soluzioni dell’equaz.
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7. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO
Il primo metodo consiste nello scomporre il polinomio che compone l’equazione in fattori e applicare la legge
dell’annullamento del prodotto
7.1. equazioni biquadratiche
Un’equazione si dice biquadratica quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le
potenze dell’incognita al grado dispari.
INCOMPLETE
1° caso) Se 0=c e 0≠b l’equazione assume la forma
dell’annullamento del prodotto ottenendo
02 =x da cui la soluzione 02,1 =x e
a
bx −=2
da cui se 0>−a
b si hanno le soluzioni
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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO
Il primo metodo consiste nello scomporre il polinomio che compone l’equazione in fattori e applicare la legge
quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le
024 =++ cbxax con 0≠a (1)
l’equazione assume la forma 024 =+ bxax in cui si raccoglie
dell’annullamento del prodotto ottenendo
e
si hanno le soluzioni a
bx −±=4,3
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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO
Il primo metodo consiste nello scomporre il polinomio che compone l’equazione in fattori e applicare la legge
quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le
in cui si raccoglie 2x e poi si applica la legge
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2° caso) Se 0=b e 0≠c l’equazione assume la forma
se 0>−a
c si ha
a
cx −=4
� x ±=
se 0<−a
c l’equazione non ha soluzioni reali
3° caso) Se 0=b e 0=c l’equazione diventa
COMPLETE
Per risolverla si opera la sostituzione x2
che è un’eq. di secondo grado detta equazione risolvente
Si verificano i seguenti tre casi:
a. 0>∆ allora la (2) ha due soluzioni reali e distinte
abbiamo due equazioni di secondo grado pure
• se 01 >t e 02 >t abbiamo
• se, ad es., 01 >t e 02 <t
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l’equazione assume la forma 04 =+ cax :
4
a
c−±
l’equazione non ha soluzioni reali
l’equazione diventa 04 =ax che ha 4 radici reali coincidenti x
t=2 così la (1) diventa
02 =++ cbtat (2)
equazione risolvente dell’equazione biquadratica.
allora la (2) ha due soluzioni reali e distinte a
bt
22,1
∆±−= per cui, in base alla sostituzione operata,
due equazioni di secondo grado pure
12 tx = e 2
2 tx =
abbiamo 4 soluzioni reali dell’eq. biquadratica
12,1 tx ±= e 24,3 tx ±=
0 abbiamo 2 soluzioni reali dell’eq. biquadratica
12,1 tx ±=
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04,3,2,1 =x
per cui, in base alla sostituzione operata,
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• se, ad es., 01 =t abbiamo come soluzioni dell’eq. biquadratica
o 02,1 =x e 4,3x
o 02,1 =x e basta se
• se 01 <t e 02 <t l’equazione biquadratica non ammette soluzioni
b. 0=∆ allora la (2) ha una sola soluzione
• due soluzioni se 01 >t cioè
• una soluzione se 01 =t cioè
• nessuna soluzione se 1 <tc. 0<∆ allora l’equazione risolvente non ha soluzioni e quindi ne
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abbiamo come soluzioni dell’eq. biquadratica
24 t±= se 02 >t
e basta se 02 <t
l’equazione biquadratica non ammette soluzioni
allora la (2) ha una sola soluzione 1t e quindi l’eq. biquadratica ammette:
cioè 12,1 tx ±=
cioè 0=x
0 allora l’equazione risolvente non ha soluzioni e quindi nemmeno l’equaz. biquadratica.
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mmeno l’equaz. biquadratica.
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7.2. equazioni binomie
Un’eq. si dice binomia quando, ridotta a forma normale, è del tipo
Non trattiamo i casi n = 1 e n = 2.
Negli altri casi si ottiene per 2>n
Per risolvere bisogna estrarre la radice n
a. n pari
o se 0>−a
b l’eq. ha due soluzioni
o se 0=−a
b l’eq. ha una soluzione
o se 0<−a
b l’eq. non ha soluzioni
b. n dispari l’eq. ammette sempre una e una sola soluzione
o se 0>−a
b la soluzione è
o se 0=−a
b l’eq. ha una soluzione
o se 0<−a
b la soluzione è
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quando, ridotta a forma normale, è del tipo
0=+ bax n con
+∈ Nn e 0≠a
a
bxn −=
Per risolvere bisogna estrarre la radice n-sima e quindi si hanno i seguenti 2 casi
due soluzioni opposte n
a
bx −±=2,1
una soluzione 0=x
non ha soluzioni.
una e una sola soluzione e precisamente
la soluzione è n
a
bx −=
una soluzione 0=x
la soluzione è n
a
bx −=
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7.3. equazioni trinomie
Un’equazione, ridotta a forma normale, si dice
Non trattiamo i casi n = 1 e n = 2.
Negli altri casi si ottiene per 2>n si opera la sostituzione
diventa
2 +at
Risolvendo quest’ultima equazione, le soluzioni reali di essa, sostituite al posto di
valori della x che soddisfano l’eq. data.
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Un’equazione, ridotta a forma normale, si dice trinomia quando è del tipo
02 =++ cbxax nn con
+∈ Nn e 0≠a
si opera la sostituzione txn = (*) (equazione binomia) e così l’equazione trinomia
0=++ cbt che si chiama equazione risolvente
Risolvendo quest’ultima equazione, le soluzioni reali di essa, sostituite al posto di t nella (*), ci permettono di calcolare i
che soddisfano l’eq. data.
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) e così l’equazione trinomia
nella (*), ci permettono di calcolare i
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7.4. equazioni reciproche
Un’eq., ridotta a forma normale, si dice
estremi sono uguali (prima specie) oppure opposti (
Ad esempio: 2273 2345 −++− xxxx
8811 34 +− xxx
Vale la seguente proprietà: se un’eq. rec. ammette per soluzione un numero
Osserviamo che le soluzioni di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è
dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure
1.
� equazioni reciproche di terzo grado di prima specie
osserviamo subito che ammette la soluzione
Non ricorriamo alla regola di Ruffini ma effettuiamo dei raccoglimenti parziali ottenendo
Ricordando che ()1(1 23 +=+ xxx
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idotta a forma normale, si dice reciproca, quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli
) oppure opposti (seconda specie)
037 =+− x prima specie
011=−x seconda specie (oss.: manca il termine medio se di 2
specie pari)
se un’eq. rec. ammette per soluzione un numero α , essa ammette anche il suo reciproco
di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è
dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure
o grado di prima specie
023 =+++ abxbxax
osserviamo subito che ammette la soluzione 1−=x
Non ricorriamo alla regola di Ruffini ma effettuiamo dei raccoglimenti parziali ottenendo
( ) ( ) 0113 =+++ xbxxa
)12 +− x abbiamo
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, quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli
oss.: manca il termine medio se di 2a
, essa ammette anche il suo reciproco α1
di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è
dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure –
Non ricorriamo alla regola di Ruffini ma effettuiamo dei raccoglimenti parziali ottenendo
Pagina 11
Ora basta applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
� equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie
Senza usare la regola di Ruffini si p
Ricordando che ()1(1 23 −=− xxx
Ora basta applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
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( ) 0)1(1)1( 2 =+++−+ xbxxxxa
[ ] 0)()1( 2 =+−++ axabaxx
Ora basta applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie
023 =−−+ abxbxax
Senza usare la regola di Ruffini si procede nella seguente maniera
( ) ( ) 0113 =−+− xbxxa
)12 ++ x abbiamo
( ) 0)1(1)1( 2 =−+++− xbxxxxa
[ ] 0)()1( 2 =+++− axbaaxx
Ora basta applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
e-mail [email protected]
Pagina 12
� equazioni reciproche di quarto grado di
Poiché 0=x non è soluzione possiamo dividere per
Poniamo x
xy1+= (*) da cui
2y
2 +ay
Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della
permettono di calcolare i valori della
� equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie
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equazioni reciproche di quarto grado di prima specie
0234 =++++ abxcxbxax
non è soluzione possiamo dividere per 2x ottenendo
02
2 =++++x
a
x
bcbxax
011
22 =+
++
+ cx
xbx
xa
21
222 ++=
xx e quindi 2
1 22
2 −=+ yx
x e pertanto
( ) 022 =++− cbyya
02 =−++ acby che si chiama eq. risolvente
Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della
ttono di calcolare i valori della x che soddisfano l’equazione data.
equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie
034 =−−+ abxbxax
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e pertanto
Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della y nella (*), ci
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Applicando la legge dell’annullamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.
� equazioni reciproche di quinto grado
Ogni eq. reciproca di grado dispari ammette la soluzione
seconda specie. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per
specie o per 1−x se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di
grado di prima specie.
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( ) ( ) 011 24 =−+− xbxxa
( )( ) ( ) 0111 222 =−+−+ xbxxxa
( )( ) 01 22 =++− abxaxx
llamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.
equazioni reciproche di quinto grado
Ogni eq. reciproca di grado dispari ammette la soluzione 1−=x se è di prima specie e la soluzione
. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per
se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di
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llamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.
e la soluzione 1=x se è di
. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per 1+x se di prima
se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di un’eq. reciproca di quarto