Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes...
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Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement
),( ),(
trHt
tri
i2= -1
Fonctionsd`onde complexes
Évolution Hamiltonien
dépend
du champ de forces
),( ...x2
ˆ 2
22
trVm
H
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Équation de Schrödinger
• Est une équation de mouvement• Se réduit à
pour des états « stationnaires » , d`énergie E bien déterminée, d`un système conservatif
)()( ˆEE rErH
)(),( E /
E retr tEi
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État stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
0(R,t)|2
1(R,t)|2
R/a0
à tout temps t
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?),( tRnonstat
Exercices
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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Exercices
) (2
1),( 01 tRnonstat
tEie 1 / tEie 0 /?),( tRnonstat
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
![Page 6: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/6.jpg)
État stationnaire État non stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
0(R,t)|2
1(R,t)|2
R/a0
à tout temps t
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
1(R,t)+ 0(R,t)|2
t=0
t=T/4
t=T/2
R/a0
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Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
Postulat 4
t
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Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
Postulat 5
2
1 ),( )(1
tRP t
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Mesures d’une propriété physique
Mesure de O
)0,( R 1
2
3
1
état après mesure
t
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)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
?),( 0 tEEP
Exercices
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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?),( 0 tEEP
Exercices
2 /2
000
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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?),( 0 tEEP
Exercices
2 /2
000
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
t ,2
1),( 0 tEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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?),( 1 tEEP
Exercices
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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?),( 1 tEEP
Exercices
2
/2
101
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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?),( 1 tEEP
Exercices
t ,2
1),( 1 tEEP
2
/2
101
2
1),( ),( tEi
nonstat etRtEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
![Page 16: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/16.jpg)
?),( 2 tEEP
Exercices
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
![Page 17: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/17.jpg)
?),( 2 tEEP
Exercices
t ,0),( 2 tEEP
)(2
1),( 0
/1
/ 01 tEitEinonstat eetR
)(2
1)0,( 01 tRnonstat
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État non stationnaire
E(u.a)
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
2.5 3 3.5 4
-0.175
-0.17
-0.165
-0.16
-0.155
-0.15
-0.145
-0.14
nonstat(R,t)|2
t=0
t=T/4
t=T/2
R/a0
1E 2E 0E
0.5
1.0
P(E,t)
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Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
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Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
1)|( 11 aAbP
A et B incompatibles
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Mesure simultanée de 2 propriétés physiques
Mesure de A
)0,( R 1a
2a
3a
1a
t
Mesure de B
1b
2b
3b
11 111ˆ1)|( aa bBaAbP
A et B compatibles
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Observables compatibles
A et B compatiblesii aka bB ˆ
AB ˆ ,ˆ ont des fonctions propres communes
0ˆ ,ˆ AB
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Exemple
• Pour l’atome d’hydrogène
0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ ,0ˆ ,ˆ 22 zz LLLHLH
E, L2, Lz compatibles
zLLH ˆ ,ˆ ,ˆ 2 E.C.O.C
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Problèmes exactement solubles
• Particule dans une boîte (1D, nD)– Modèle de polyènes.– Mouvements de translation.
• Oscillateur harmonique (1D,nD)– Vibrations moléculaires
• Rotateur rigide – Rotations moléculaires
• Atome hydrogénoïde
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Particule dans une boîte 1D
Atkins,
![Page 26: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/26.jpg)
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
Atkins, fig.12.1
![Page 27: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/27.jpg)
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
![Page 28: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/28.jpg)
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
![Page 29: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/29.jpg)
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
2000 v
2
1E v )( mtxtx
E=Ecin continue
![Page 30: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/30.jpg)
Particule dans une boîte 1D
• Énergie potentielle
• Force F=0
• Mouvement de translation
uniforme 1D
Classiquement:
2000 v
2
1E v )( mtxtx
E=Ecin continue
Énergie cinétique pure
![Page 31: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/31.jpg)
Particule dans une boîte 1D
)()(
2
- (x)ˆ
2
22
xEdx
xd
mH
En quantique, on résoud
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
![Page 32: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/32.jpg)
Particule dans une boîte 1D
En quantique, on résoud
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) LOpérateur
d`énergie cinétique
)()(
2
- (x)ˆ
2
22
xEdx
xd
mH
![Page 33: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/33.jpg)
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
![Page 34: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/34.jpg)
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
![Page 35: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/35.jpg)
Particule dans une boîte 1D
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
,...)3,2,1,0( * nn N
![Page 36: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/36.jpg)
Particule dans une boîte 1D
Atkins, figs 12.1+12.2
L
xn sin
L
2 (x)n
Solutions
avec conditions aux bornes
0)( 0 (0) L
2
22
n 8
Lm
hnE
,...)3,2,1,0( * nn N
![Page 37: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/37.jpg)
• Propriétés des solutions– Propriétés nodales des
solutions
Particule dans une boîte 1D
(x) n2
n (x)
![Page 38: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/38.jpg)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
Particule dans une boîte 1D
(x) n2
n (x)
![Page 39: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/39.jpg)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
![Page 40: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/40.jpg)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
ou
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
2.
2
nLp
L
np
(x) n2
n (x)
![Page 41: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/41.jpg)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
![Page 42: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/42.jpg)
• Propriétés des solutions– Énergie discrète:
confinement quantification
– Énergie cinétique précise, mais
Particule dans une boîte 1D
2
L
nkk
L
nhp nn
(x) n2
n (x)
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
nnn ikikik eee ˆ
propre valeur propre fonction
![Page 43: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/43.jpg)
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
L
nkk
L
nhp nnn
L
kLdx
d
iLp
x
n
xx
x
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![Page 44: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/44.jpg)
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
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![Page 45: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/45.jpg)
Particule dans une boîte 1D• Propriétés des solutions
2
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proba. de trouver kn
Moyenne de px
![Page 46: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/46.jpg)
Exercices
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![Page 47: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/47.jpg)
Exercices
L
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![Page 48: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/48.jpg)
Exercices
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![Page 49: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/49.jpg)
Exercices
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![Page 50: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/50.jpg)
Exercices
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![Page 51: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/51.jpg)
Exercices
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![Page 52: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/52.jpg)
Exercices
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![Page 53: Équation de Schrödinger Est une équation de mouvement i 2 = -1 Fonctions d`onde complexes Évolution Hamiltonien dépend du champ de forces.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da7497959293b8d8e36/html5/thumbnails/53.jpg)
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