EPQ Con Deficit (1)

Modelos Matemticos de Produccin

- 27 -

4.7. MODELO DE MANUFACTURA CON ESCASEZ

Objetivo: Determinar un plan de inventario (poltica de nivel) ptimo (costo mnimo) Funcin Objetivo: CT(QX,QS): Funcin costo total de Inventario. Parmetros: CP : Costo unitario de produccin tc : Tasa de Consumo tp : Tasa de Produccin tp- tc : Tasa de Almacenamiento R : Demanda requerida durante el periodo de planeacin donde R= tc*T S : Costo de ordenar un pedido Setup Cost h : Costo de mantener holding Cost una unidad almacenada por unidad de tiempo T : Periodo de planeacin I : Costo de mantener expresado como un porcentaje sobre el inventario promedio donde h=CpI b : Costo por unidad pendiente aplicado al promedio en escasez Shortages cost Variables de Decisin

QY: Tamao de una corrida de produccin (lote de produccin) elaborada en un tiempo t1+t2 y consumida en un tiempo t

N

Vece

s

t

1

t

1

t

2

t

2

t

3

t

3

t

4

t

4 t t

T

X

(tiempo)

QS

Q

X

Q

Y

Funcin

Almacenamiento

Y=(tp-tc)* X

Funcin Produccin Y=tp*X

Funcin

Agotamiento

Y=QY tc *X

FIGURA 4.7

Y

(Cantida

d)


- 28 -

QX: Nivel de almacenamiento mximo por corrida de produccin ocasionado en un tiempo t2 y consumido en un tiempo t3 Qs: Nivel mximo de escasez por ciclo productivo ocasionado en un tiempo t4 y recuperado en un tiempo t1 N: Nmero de corridas de produccin del tamao QY programadas para ser realizadas en el periodo de planeacin T

t : Tiempo entre corridas de produccin o duracin de un ciclo productivo en donde se consume un lote de tamao QY

t1: Periodo de produccin en donde se recupera una escasez del tamao QS t2: Perodo de produccin por ciclo productivo en donde se ocasiona un almacenamiento de tamao QX

t3: Periodo ocioso de produccin por corrida de produccin, en donde se consume un lote de tamao QX

t4: Perodo ocioso de produccin por ciclo productivo en donde se ocasiona una escasez del tamao QS

t1+t2: Periodo de produccin por ciclo productivo en donde se elabora un lote de tamao QY

t2+t3 : Perodo de almacenamiento por corrida de produccin en donde se ocasiona y se consume un lote de tamao QX t3+t4 : Perodo ocioso de produccin por ciclo productivo t1+t4: Periodo de escasez por corrida de produccin en donde se ocasiona y se recupera una escasez de tamao QS Poltica ptima

0XQ : Nivel mximo de almacenamiento ptimo por ciclo productivo.

0YQ : Nivel ptimo de fabricacin por corrida de produccin.

0SQ : Nivel ptimo de escasez por corrida de produccin.

N0 : Nmero de corridas de produccin ptima por perodo de planeacin

t0 : Duracin ptima de un ciclo productivo. t10 : Perodo de recuperacin de la escasez ptima por corrida de produccin.

t20 : Perodo de produccin de un almacenamiento ptimo por corrida de produccin.

t30 : Perodo ocioso de produccin y de consumo ptimo por corrida de produccin.

t40 : Perodo ocioso en donde se ocasiona la escasez ptima por corrida de produccin.

CT0: Costo total ptimo de inventario.

Identidades:


- 29 -

Y

c

Y Q

Tt

Q

RN (4.47)

t

TN (4.48)

C

Y

t

Qt (4.49)

4321ttttt (4.50)

Cp

S

tt

Qt

1 (4.51)

Cp

X

tt

Qt

2 (4.52)

C

X

t

Qt

3 (4.53)

C

S

t

Qt

4 (4.54)

P

Y

t

Qtt

21 (4.55)

SX

cP

QQtt

tt1

21 (4.56)


- 30 -

C

SX

t

QQtt

43 (4.57)

X

cPC

P Qttt

ttt

.32 (4.58)

S

cPC

P Qttt

ttt

.41 (4.59)

SX

CP

PY QQ

tt

tQ . (4.60)

Funcin Costo Total de Inventarios

N2

Qttb

2

QtthSQCQQCT S41X32

YPSX.

.....),( (4.61)

Realizando el producto de N y sustituyendo 4132tttt y se tiene:

Y

c

cpc

P

X

X

Y

c

Y

c

YSX

Q

Tt

ttt

tQ

Qh

Q

TtS

Q

TtCQQQCT .

.2

.),(

Y

c

cpc

P

S

S

Q

Tt

ttt

tQ

Qb.

.2

.


- 31 -

Simplificando se tiene:

CP

P

Y

S

CP

P

Y

X

Y

c

cPSX

tt

t

Q

QTb

tt

t

Q

QTh

Q

TStTtCQQCT .

2

....

2

..),(

22

Sustituyendo QY se tiene:

CP

P

SX

CP

P

SX

CP

P

SX

c

cPSX

tt

tQQ

tt

tbTQhTQ

tt

tQQ

TStTtCQQCT

.2

.

.

),(

22

Simplificando:

FUNCIN COSTO TOTAL DE INVENTARIO

).(

.....),(

SX

2

S

2

X

P

CP

SX

c

cPSXQQ2

QTbQTh

t

tt

QQ

TStTtCQQCT (4.62)

El propsito del modelo es encontrar el costo mnimo entonces se utiliza la optimizacin

clsica derivando la funcin costo total con respecto a SX QyQ e igualando a 0 se tiene:

02

.....2...2.2.

)(2

22

2

SX

SXXSX

P

cP

SX

c

X QQ

QTbQThQThQQ

t

tt

QQ

TSt

Q

QCT

02

.....2...2.2.

)(2

22

2

SX

SXSSX

P

CP

SX

c

S QQ

QTbQThQTbQQ

t

tt

QQ

TSt

Q

QCT

Se resuelve el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:


- 32 -

0........2....2

0........2....2

22

22

SXSSX

P

CPc

SXXSX

P

CPc

QTbQThQTbQQt

ttTtS

QTbQThQThQQt

ttTtS

Restando la segunda de la primera se tiene:

0... SXSX QbQhQQ (4.63)

De donde se obtienen dos races donde QX =-QS se rechaza por el dominio de las variables es positivo y la otra raz da como resultado:

XS Qb

hQ .

Remplazando en una de las ecuaciones del sistema que se est resolviendo se tiene:

0..........2....2

2

2XXXXX

P

CPc Q

b

hTbQThQThQ

b

hQ

t

ttTtS

Factorizando y despejando XQ se tiene:

P

CPcXX

t

ttTtS

b

hThQ

b

hThQ ....21...1....2 22 (4.64)

P

CPcX

t

ttTtS

b

hbThQ ....2...2 (4.65)

P

CPc

X

t

tt

hb

b

Th

TtSQ ..

.

...22 (4.66)

P

CPc

X

t

tt

hb

b

Th

TtSQ ..

.

...2 (4.67)


- 33 -

Dando origen a dos races una positiva y otra negativa la cual se rechaza por no estar en

el dominio de la variable Q (Niveles de inventario negativo no existen), por lo tanto la cantidad econmica de almacenamiento ser:

P

C

P

CPc

X

t

t

hb

bEOQ

t

tt

hb

b

Th

TtSQ 1....

.

...20

(4.68)

El nivel ptimo en escasez ser:

P

CP

P

CPc

S

t

tt

hb

h

b

hEOQ

t

tt

hb

b

Th

TtS

b

hQ .....

.

...2.

0

(4.69)

El lote econmico de produccin ser:

CP

P

CP

Pc

Y

tt

t

b

hbEOQ

tt

t

b

hb

Th

TtSQ ....

.

...20

(4.70)

Sustituyendo en la funcin costo total de inventario se tiene:

).(2

...

...

...2 00

2

0

2

00

QsQx

QsTbTQxh

tt

t

b

hb

Th

TtS

TStTtCCT

CP

Pc

c

cP

Simplificando y racionalizando se tiene la expresin:

P

C

ccP

t

t

hb

bThTtSTtCCT 1......2

0 (4.71)

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