Agita BERKMANE, Agnis ANDŽĀNS

ĢEOMETRIJAS PAMATSKOLAS KURSA MODELĒŠANA AR PAPĪRA LOCĪŠANAS

PALĪDZĪBU

Rīga, 2005

2

Anotācija

Darbā izklāstīta ģeometrijas pamatskolas kursa vizualizēšana ar papīra lapas locīšanu. Tajā aplūkotas pamatelementu locīšana, figūru konstrukcija. Darbā ir pierādīts, ka visas konstrukcijas, kuras var veikt ar lineālu un cirkuli, ir iespējams veikt arī ar papīra lapas locīšanu.

SATURS

Ievads ............................................................................................................................. 3 Ģeometrijas vizualizēšana ............................................................................................. 4 Vienādas figūras ............................................................................................................. 5 Ģeometrijas pamatelementu vizualizēšana .................................................................... 6 Stars un nogrieznis ......................................................................................................... 8 Taišņu novietojums plaknē .......................................................................................... 10 Taisnes daļas ................................................................................................................ 13 Leņķis ........................................................................................................................... 16 Leņķa bisektrise. .......................................................................................................... 16 Taisnstūra locīšana ....................................................................................................... 18 Kvadrāta locīšana. ........................................................................................................ 19 Trijstūris ....................................................................................................................... 21 Paralēlā pārnese ........................................................................................................... 27 Pagriešana par leņķi ..................................................................................................... 31 Regulāra astoņstūra locīšana ........................................................................................ 34 Riņķa līnija ................................................................................................................... 35 Riņķa līnijas krustpunkti ar taisni ................................................................................ 36 Divu riņķa līniju krustpunkti ........................................................................................ 38 Locījumi, kurus veic ar papīra strēmeli ....................................................................... 40

Vienādsānu taisnleņķa trijstūris ............................................................................... 40 Vienādsānu trapece .................................................................................................. 40 Paralelograms ........................................................................................................... 41 Regulārs sešstūris ..................................................................................................... 42 Regulārs piecstūris ................................................................................................... 43

Locījumi, kurus veic no riņķveida papīra lapas ........................................................... 45 Riņķa diametrs un rādiuss ........................................................................................ 46 Regulārs sešstūris ..................................................................................................... 47

Ģeometrisko konstrukciju realizēšana ar papīra lapas locīšanu .................................. 49 Ģeometrisku figūru locīšana ģeometrijas stundās ....................................................... 50 Atsauces ....................................................................................................................... 51 Izmantotā literatūra ...................................................................................................... 52

3

Ievads

Šī darba mērķis ir palīdzēt vizualizēt un atdzīvināt ģeometrijas apguvi skolā, padarīt to burtiskā ziņā taustāmāku. Parasti skolā šim mērķim tiek izmantota zīmēšana, lai būtu vieglāk uztvert apgūstamo mācību saturu. Kā varētu mācīties par taisnēm, ģeometriskām figūrām, tās uzskatāmi neattēlojot, es nespēju iedomāties. Ir bieži dzirdēts, ka zīmējums ir puse no risinājuma, bet es vēlos iet tālāk un padarīt ģeometriju taustāmāku. Ja cilvēks ir kaut ko redzējis, tas paliek spilgtāk atmiņā nekā tikai izlasītais vai dzirdētais. Es izvirzīju par mērķi ļaut katram ne tikai dzirdēt vai redzēt, bet pašam ar savām rokām arī “veidot ģeometriju”, lai rastos spēcīgāks iespaids un redzētais, aptaustītais daudz ilgāk paliktu atmiņā.

Sākumā izstāstīšu par izmantojamo materiālu – papīru. Mūsdienās papīrs ir kļuvis par vienu no ikdienas precēm. Papīrs ir mums visapkārt. To izmanto gan informācijas izplatīšanā (grāmatas, žurnāli, avīzes, reklāmas, u.c.), gan kā dekoratīvu elementu, gan kā ietinamo materiālu, gan kā tapetes un vēl daudzos citos veidos. Bet no kurienes tas nāk? Papīrs nav radies pats no sevis, bet ir cilvēka roku darbs.

Papīra aizsākumi meklējami Ķīnā. Ilgu laiku uzskatīja, ka papīru pirmo reizi no lupatām un mizām izgatavojis

Cai Luns 105. gadā. Taču arheoloģiskajos izrakumos atrasts papīrs ar mūsu ēras 93. – 98. g. rakstītiem tekstiem. Domājams, ka Cai Luns būs bijis papīra ražošanas pilnveidotājs. (...) Papīra ražošana no dažādu augu šķiedrām plaši attīstījās, sākot ap 4.gs., kad tas izplatījās arī Japānā Vidusāzijā un Persijā. Krusta karu laikā papīra gatavošanas tehnoloģiju iepazina arī Eiropā (Vācijā ap 1190. g., Francijā 1250. g., Itālijā 1275. g.). ([1], 337. lpp.)

Grūti iedomāties, cik sena un izkopta ir papīra locīšana. Kādu papīra strēmelīti mēs pārlokām gandrīz katru dienu: dažreiz vienkārši tāpat, bez īpaša mērķa vai nolūka, bet dažreiz, veidojot sarežģītas figūras. Šo mākslas nozari sauc par origami.

Papīra locīšana kā mākslas veids radusies Japānā. Aizsākumā origami bija jauks laika kavēklis imperatora galmā. Gadsimtu gaitā origami kļuva pazīstams arī ārpus galma. (...) Origami pamazām sāk iepazīt visā pasaulē. ([2], 5. lpp.) Mūsdienās origami izmanto pat bērnu dārzā, kur bērni no papīra mācās locīt dažādas figūras, šādā veidā attīstot pirkstu veiklību un pacietību.

Esmu pati kādu laiku nodarbojusies ar šo brīnišķīgo mākslas veidu un zinu interesanto iespaidu, kādu tas atstāj uz cilvēku. Kad ir salocīta kāda figūra, pārņem prieka sajūta kā pēc labi padarīta darba un rodas vēlme šo figūru salocīt vēlreiz. Varbūt tieši šādā veidā varētu ienest jaunas vēsmas skolas ģeometrijā, padarot mācību procesu aizraujošāku, bet ne mazāk saturisku. Manuprāt, ar papīra locīšanu var radīt skolēnos lielāku interesi par ģeometriju.

Lai sasniegtu darbā izvirzīto mērķi, sīkāk aprakstīšu pašu vizualizācijas metodi. Jau šobrīd ģeometrija skolā tiek vizualizēta divos veidos. Pirmkārt, ar zīmēšanas palīdzību, kad skolēni zīmē aplūkojamās figūras un, otrkārt, apkārtējā telpā meklējot ģeometrijas elementus. Visbiežāk tās ir paralēlas vai perpendikulāras taisnes (tāfeles paralēlās un perpendikulārās malas, sliedes), dažādas ģeometriskas figūras (taisnstūrveida galds, apaļais Saules disks, pilnmēness).

Savā darbā es aprakstīšu, kā skolēnam “izveidot” ģeometrijas pamatelementus un figūras. Galvenais instruments ir papīra lapa, kura pieejama ikvienam. Netiek izmantoti tādi palīglīdzekļi kā lineāls, transportieris, tikai retos gadījumos, lai

4

nesarežģītu pašu locīšanas procesu, tiek atļauts izmantot rakstāmrīkus, bet arī bez tiem varētu iztikt. Tie ir ērti gadījumos, kad no vienas papīra lapas ir jāsaloka kāda figūra, kuras uzlocīšanai ir nepieciešamas daudzas palīglīnijas. Rakstāmo var izmantot, lai atliktu punktu, bet, protams, šo punktu ir iespējams uzlocīt. Tātad, bez rakstāmā var arī iztikt.

Savā darbā es aplūkošu pamatskolas ģeometriju, pat tikai pašus tās pamatus. Darbu esmu iedalījusi trijās daļās. Pirmajā daļā aplūkošu ģeometrijas pamatskolas kursa modelēšanu, izmantojot “bezgalīgas” papīra lapas locīšanu. Tiks aplūkota ģeometrijas pamatfigūru un elementu locīšana. Otrajā darba daļā es aplūkošu locījumus, kurus var veikt no dažādu formu lapām, precīzāk, taisnstūrveida un riņķveida papīra lapām. Trešajā daļā es aprakstīšu personīgo pieredzi šīs metodes izmantošanā skolā un to, kā skolēni uztver locīšanu ģeometrijas stundās, vai tā viņiem palīdz vai traucē.

Darbā tiek aprakstīta papīra lapas locīšana. Ir izmantoti vairāki jēdzieni, kas ir specifiski tikai locīšanas gadījumā. Piemēram, uzlocīt, nolocīt, locījums, ielocījums utt. Šie jēdzieni nav jāuztver kā pilnīgi atšķirīgi, bet gan kā sinonīmi, kuru nianses parādās tikai konkrētajā gadījumā, bet pamatnozīme tiem visiem ir kopīga.

Ģeometrijas vizualizēšana

Ģeometrija ir matemātikas nozare, kas aplūko figūru telpiskās attiecības un formas un pētī tās, abstrahējoties no citām reālu priekšmetu īpašībām (blīvuma, masas, krāsas u.c.). ([23], 713.lpp.)

Darba mērķis ir vizualizēt un atdzīvināt ģeometrijas apguvi skolā. Ģeometrijā tiek aplūkotas abstraktas figūras. Ne visiem cilvēkiem ir labi attīstīta telpiskā domāšana, kas ir nepieciešama vidusskolas kursā, lai apgūtu stereometrijas pamatus. Tieši tāpat arī pamatskolā tiek aplūkotas abstraktas figūras, kuras daļai ir grūti iztēloties. Tātad ģeometrijas apguvi skolā iespaido arī katra individuālās spējas uztvert abstraktus ģeometriskus tēlus jeb figūras.

Uztvere ir nepieciešams izziņas procesa nosacījums. Nozīmīga vieta uztverē ir iegūtajai pieredzei (..) Uztvere ir aktīvs process, nevis pasīvs atspoguļojums. ([24], 185.lpp.)

Lai atvieglotu uztveri, un līdz ar to arī pašu izziņas procesu, ģeometrija tiek vizualizēta. To dara, pirmkārt, zīmējot, kas ir galvenais ģeometrijas vizualizēšanas paņēmiens. Abstraktās aprakstītās figūras vispirms uzzīmē, lai tās kļūtu skaidrākas, jo dzirdot vārdu “astoņstūris” ne visiem uzreiz rodas attiecīgā asociācija jeb vizuālais tēls. To vieglāk uztvert, ja tas ir uzzīmēts. Tas it kā kļūst saprotamāks. Bet uztvere pēc sava formulējuma ir aktīvs process, tādēļ arī pašam uzzīmējot kādu figūru, tās tēls spilgtāk paliks atmiņā. Jāņem arī vērā tas, ka redzētais paliek spilgtāk atmiņā nekā tikai dzirdētais.

No visām cilvēku sajūtām redze visciešāk saista cilvēku ar apkārtējo pasauli. “Labāk vienreiz redzēt, nekā simts reizes dzirdēt”, - apgalvo sakāmvārds. Lūk kādēļ zinātnieku centieni vienmēr vērsti uz to, lai pētāmo parādību padarītu redzamu. ([25], 16.lpp)

Otrkārt, ģeometrija tiek vizualizēt, meklējot attiecīgās figūras, sakarības apkārtējā telpā, dabā. Piemēram, paralēlās un perpendikulārās taisnes, dažādas formas figūras, piemēram, trijstūrus, kvadrātus, taisnstūrus u.c.

5

Treškārt, ir rūpnieciski izstrādāti dažādi modeļi, kas atvieglo ģeometrijas, it īpaši stereometrijas, apguvi un figūru uztveri. Bet, manuprāt, paša izstrādāts modelis palīdz labāk uztvert, saprast un atcerēties konkrēto ģeometrisko figūru. Tādēļ es aplūkoju veidu kā varētu vizualizēt ģeometriju skolā ar papīra lapas locīšanu.

Vienādas figūras

Ģeometrijā tiek aplūkots vienādu figūru jēdziens. Vizualizējot ģeometriju ar papīra locīšanas palīdzību, nozīmīgi ir izskaidrot, ko nozīmē vienādas figūras. Pēc definīcijas divas figūras sauc par vienādām, ja tās var uzlikt vienu uz otras tā, ka abas figūras pilnīgi sakrīt. Lokot papīra lapu, ir jāņem vērā tas, ka locījuma līnijai ir arī savs biezums. Vispārīgā gadījumā pieņemts, ka locījuma līnija ir bezgalīgi tieva, bet, ja reāli ir jāpārliecinās par figūru vienādību, ir nepieciešams precīzāk formulēt figūru vienādību. Vizualizējot ģeometriju ar papīra lapas locīšanu, divas figūras ir savstarpēji vienādas, ja tās tiek locītas kā vienādas figūras, t.i., visi locījumi tiek veikti vienādi un viena figūra uz otras tiek uzlocīta virsū. Piemēram, ja pārloka doto nogriezni uz pusēm, tad abas šīs daļas ir savstarpēji vienādas pēc konstrukcijas nosacījumiem. Bet, ja ir dots nogrieznis un uz tā atlikts punkts, tad nevar apgalvot, ka abas nogriežņa daļas patiešām ir identiskas. To precīzi apgalvot traucē locījuma līnijas un punkta biezums.

Vienādas figūras veidojas arī tad, ja uzliek vienu lapu uz otras, tad locījumi, kuri tiek veikti vienā papīra lapā, veidojas arī otrā lapā. Arī šie locījumi ir vienādi pēc konstrukcijas. Šāda vienādu figūru konstrukcija darbā ir aprakstīta vairākās vietās. Piemēram, lokot regulāru astoņstūri, papīra lapa tiek salocīta uz pusēm un locījumi, kurus veic vienā lapas pusē, ir identiski locījumiem, kuri veidojas otrā lapas pusē. Tātad tie ir savstarpēji vienādi pēc konstrukcijas.

Ņemot vērā to, ka ar papīra lapas locīšanu tiek vizualizēta pamatskolas kursa ģeometrija, var arī aprakstīt veidu, kādā var ilustrēt, ko nozīmē vienādas figūras. Viennozīmīgi tie nebūs pierādījumi figūru vienādībai, bet tikai to ilustrācija:

1. Visvienkāršākais veids, kā varētu pārbaudīt vai dotās figūras varētu būt vienādas, ir atļaut šajā gadījumā izmantot šķēres. Pieņem, ka ir uzlocītas divas figūras. Lai pārbaudītu vai tās sakrīt, šīs figūras izgriež. Ja tās, burtiskā ziņā, ir iespējams uzlikt vienu uz otras tā, ka tās pilnīgi sakrīt, var apgalvot, ka figūras varētu būt vienādas.

2. Protams, divu figūru vienādību ir iespējams vizualizēt arī ar locīšanas palīdzību, izmantojot paralēlo pārnesi vai pagriešanu par leņķi, bet tas ir darbietilpīgāks process un rada lapā daudzus liekus locījumus. (Skat. nodaļas pagriešana par leņķi, paralēlā pārnese.) Šo metodi nav izdevīgi izmantot, ja ar doto papīra lapu būs jāveic vēl daudzi citi locījumi. Šeit parādās viena no papīra locīšanas nepilnībām – ja veic ļoti daudzus locījumus, papīra lapa pārklājas ar tiem un grūti ir atšķirt palīglīnijas no konkrētā locījumā svarīgajām līnijām.

3. Trešais veids, kā ilustrēt figūru vienādību, ir abu iepriekšējo variantu apkopojums. Figūru, kas ir vienā lapā, var ērti pārnest uz citu lapu. To veic pavisam vienkārši: pieņemsim, ka figūra ir uzlocīta vienā lapā, uz šīs lapas uzliek virsū otru lapu un atkārto visus dotās figūras locījumus. Piemēram, ja ir uzlocīts trijstūris, uz tā uzliek virsū jaunu papīra lapu un ieloka visas dotā trijstūra malas. Katrā no šīm lapām, tās aplūkojot atsevišķi, ir uzlocīts

6

konkrētais trijstūris. Ja ir jāpārliecinās par divu figūru vienādību, var izmantot aprakstīto metodi. Ja ir jāsalīdzina figūras F1 un F2, figūru F1 pārnes uz citu lapu. Tagad bez griešanas var uzlikt dotās figūras vienu uz otras un pārliecināties vai tās ir vienādas. Vienkāršāk to var izdarīt, pirms salīdzināšanas lapu ielocīt pa dotās figūras raksturīgajām līnijām. Piemēram, ja ir jāsalīdzina divi trijstūri, tad abas papīra lapas ieloka pa visām trijstūra malām. Visgrūtāk to izdarīt riņķu salīdzināšanā, tātad katrā gadījumā ir jāizvēlas dotajai figūrai ērtākais salīdzināšanas veids, kura izvēli nav iespējams aprakstīt visos gadījumos.

Protams, ka izpildās arī vienādu figūru īpašības: 1. Vienādas figūras var savietot, t.i., uzlikt vienu uz otras tā, ka figūras sakrīt. Šo

salīdzināšanu mēs veicam burtiskā veidā uzliekot vienu figūru uz otras. Šajā gadījumā vizualizēt ģeometriju ir vienkāršāk, jo grūtāk ir iedomāties kā būtu, ja šīs figūras uzliktu vienu uz otras, nekā reāli to izdarīt, ko ļauj locīšana.

2. Ja katra no divām figūrām ir vienāda ar trešo figūru, tad tās abas ir arī savstarpēji vienādas. Šo īpašību var pārbaudīt pavisam vienkārši. Uzliekot virsū visas trīs figūras vienu uz otras.

Ģeometrijas pamatelementu vizualizēšana

Ir trīs Eiklīda ģeometrijas pamatelementi, kuri netiek definēti. Tie ir punkts, taisne un plakne. Ar locīšanas palīdzību var vizualizēt šos trīs pamatelementus.

1) Pirmais un galvenais Eiklīda ģeometrijas pamatelements ir plakne. Tās vizualizācija ir pati papīra lapa, ar kuras palīdzību tiek veikti visi locījumi. Plakne ir neierobežota. Protams, ka papīra lapa ir ierobežota, tai ir savs laukums, savs malas garums, biezums, forma. Vispārīgā gadījumā pieņemsim, ka papīra lapa ir bezgalīga. Tātad visas locīšanas, par kurām stāstīšu šajā nodaļā, veiksim ar plaknes daļu – papīra lapu.

2) Otrais Eiklīda ģeometrijas pamatelements ir taisne. Ja taisne tiek vizualizēta ar papīra lapas locīšanu, to sauc par locījuma līniju. Locījuma līniju var iegūt pavisam vienkārši: saloka papīra lapu un atkal to

atloka vaļā, ir skaidri redzams ielocījums jeb locījuma līnija.

7

Rodas pirmais jautājums: vai tā tiešām ir taisne? Tā ir taisne, un par to var pārliecināties pavisam vienkārši:

1. Pārloka papīra lapu uz pusēm un atliek uz tās brīvi izvēlētu punktu (par punkta atlikšanu aprakstīšu nedaudz vēlāk).

2. Atloka vaļā papīra lapu. Ir skaidri redzama locījuma līnija a un divi punkti A un B.

a

A B

3. Jebkurš punkts, lai arī kuru izvēlētos uz locījuma līnijas a, vienmēr atradīsies vienādā attālumā no punktiem A un B. Tas seko no locīšanas gaitas, precīzāk, no punktu A un B atlikšanas gaitas.

4. Ja punkts atrodas vienādā attālumā no nogriežņa galapunktiem, tad punkts pieder pie šī nogriežņa vidusperpendikula ([3], 64.lpp.). Var secināt, ka locījuma līnija a ir nogriežņa AB vidusperpendikuls (nogriežņa jēdzienu aplūkošu nedaudz vēlāk).

5. Par nogriežņa vidusperpendikulu sauc taisni, kas perpendikulāra šim nogrieznim un iet caur tā viduspunktu([4], 64.lpp.). Vidusperpendikuls ir taisne, tātad arī dotā locījuma līnija a ir taisne.

a

A B

8

Ir vēl viena problēma papīra lapas locīšanā, un tā ir papīra lapas biezums.

Rodas jautājumi, cik bieza ir locījuma līnija, cik liels ir punkts, kura locīšanu aplūkosim nedaudz vēlāk.

Ja paņem plānu zīdpapīru, tad locījuma līnija tiešām ir ļoti tieva, bet, ja izvēlas biezu kartonu, locījuma līnija būs daudzreiz biezāka. Tātad locījumos jāizvēlas pēc iespējas plānāka papīra lapa, lai locījumi sanāktu pēc iespējas precīzāki. Vispārīgā gadījumā pieņem, ka iegūtā locījuma līnija ir “bezgalīgi plāna”.

3) Trešais Eiklīda ģeometrijas pamatelements ir punkts. Lokot papīra lapu, punktu var iegūt kā vismaz divu locījuma līniju krustpunktu.

Piezīme: Dažos sarežģītākos locījumos vienosimies, ka ērtības un pārskatāmības dēļ atļausimies punktu atlikt ar mums ierastāku metodi - ar rakstāmā palīdzību. Ir aplūkoti un vizualizēti trīs Eiklīda ģeometrijas pamatelementi, kuri netiek definēti.

Stars un nogrieznis

Punkts, kas atrodas uz taisnes, sadala to divās daļās. Katru no šīm

daļām kopā ar minēto punktu sauc par staru, bet minēto punktu – par stara sākumpunktu ([5], 16.lpp.).

Stara locīšana: 1. Pārloka papīra lapu un uz tās locījuma veic vēl vienu locījumu

nepieciešamajā vietā, t.i., atliek punktu.

9

2. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz locījuma līnijas ir atlikts punkts – staru sākumpunkts, kas kopā ar katru locījuma līnijas daļu veido staru.

Nogrieznis ir taisnes daļa, kas atrodas starp diviem punktiem, kas atrodas uz taisnes ([6], 17.lpp). Nogriežņa locīšana:

1. Pārloka papīra lapu un uz tās locījuma veic vēl divus locījumus nepieciešamajās vietās, t.i., atliek divus punktus.

2. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz locījuma līnijas ir atlikti divi punkti, kas kopā ar locījuma līnijas daļu starp šiem punktiem arī veido nogriezni.

Jāatzīmē, ka šis nav vienīgais veids, kā ir iespējams uzlocīt nogriezni.

10

Taišņu novietojums plaknē

Divas taisnes plaknē, kurām ir viens kopīgs punkts, sauc par krustiskām taisnēm. Krustisku taišņu locīšana:

1. Pārloka papīra lapu un atloka to vaļā. 2. Veic vēl vienu locījumu tā, lai jaunā locījuma līnija krustotos ar iepriekš

uzlocīto. Papīra lapu atloka vaļā. Var redzēt, ka ir uzlocītas divas krustiskas taisnes.

Šobrīd ierobežotā papīra lapa rada problēmu, jo ir iespējama tāda situācija, ka šīs taisnes ir krustiskas, bet tās krustojas ārpus lapas malām. Šeit ir jāpieņem, ka lapa ir neierobežota. Pārbaudīt, vai taisnes krustosies, var, pārbaudot, vai taisnes nav paralēlas. Ja taisnes nav paralēlas, tad tās ir krustiskas. Taišņu paralelitāti aplūkosim mazliet vēlāk.

Krustiskas taisnes, kuras krustojoties veido taisnu leņķi, sauc par perpendikulārām taisnēm. (Leņķa jēdzienu un arī taisna leņķa jēdzienu es aplūkošu nedaudz vēlāk.) Perpendikulāru taišņu locīšana:

1. Pārloka papīra lapu pa vēlamo locījuma līniju a, pret kuru vēlas novilkt perpendikulāru taisni.

a

2. Pārloka locījuma līniju a “uz pusēm”. Ja perpendikulārā locījuma līnija jānoloka pret konkrētu punktu, tad pārloka locījuma līniju caur šo punktu.

11

a

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka ir nolocītas divas savstarpēji

perpendikulāras locījuma līnijas a un b.

a

b

Divas dažādas taisnes plaknē, kuras nekrustojas, sauc par paralēlām. Lai varētu uzlocīt divas paralēlas taisnes, tiek izmantotas perpendikulāras taisnes. Paralēlu taišņu locīšana:

1. Sākumā locīšanu veic tādā pašā veidā, kā lokot perpendikulāras taisnes. Konstruē divas perpendikulāras locījuma līnijas a un b, bet papīra lapu neatloka vaļā (skat. perpendikulāru taišņu locīšana 1., 2. punktu).

a

b

2. Pret locījuma līniju b noloka vēl vienu perpendikulāru locījuma līniju c, t.i., pārloka locījuma līniju.

a

b

c

12

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka ir uzlocītas divas savstarpēji paralēlas locījuma līnijas a un c.

a c

Caur punktu ārpus locījuma līnijas ir iespējams uzlocīt tikai vienu locījuma līniju, kas paralēla dotajai. To var izdarīt šādā veidā: 1. Ir dota taisne a un punkts A, kas neatrodas uz a.

a

A

2. Pārloka lapu pa doto locījuma līniju a. Pārloka iegūto locījuma līniju caur doto

punktu A, t.i., noloka dotajai locījuma līnijai perpendikulu b caur doto punktu. Tagad punkts A atrodas uz jaunās locījuma līnijas b.

3. Locījuma līniju b vēlreiz pārloka “uz pusēm” caur doto punktu A, t.i., noloka locījuma līnijai b perpendikulāru locījuma līniju c caur punktu A.

4. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka caur punktu A ārpus locījuma līnijas a ir uzlocīta dotajai paralēla locījuma līnija c. Ir uzlocīta dotajai locījuma līnijai paralēla locījuma līnija. Paralelitāte seko no locīšanas konstrukcijas.

a c

A

13

Taisnes daļas Mērīšanai Eiklīda ģeometrijā izmanto lineālu vai transportieri, bet, lokot papīra lapu, var tikai salīdzināt, vai dotais nogrieznis vai leņķis ir lielāks, mazāks vai tikpat liels kā dotais. Var katrā lapā ieviest savu garuma mēru, turklāt to brīvi izvēlēties. Ja, lokot kādu figūru, izmanto vairākas papīra lapas, tad gan būtu jāievēro, lai locījuma mēri visās papīra lapās tiktu ņemti vienādi. Ja mēs esam izvēlējušies kādu nogriezni par garuma vienību, tad varam arī uzlocīt divreiz, trīsreiz, utt. garāku nogriezni nekā dotais. Divreiz garāka nogriežņa locīšana:

1. Uz papīra lapas atliek vienības nogriezni.

2. Pārloka lapu pa taisni, uz kuras atrodas vienības nogrieznis.

3. Noloka perpendikulāru locījuma līniju caur vienu no nogriežņa galapunktiem

un vēlreiz ieloka otru nogriežņa galapunktu.

4. Atlokot vaļā lapu, var redzēt, ka ir uzlocīts vēl viens nogrieznis. Šie nogriežņi ir

savstarpēji vienādi pēc konstrukcijas.

Tādā pašā veidā var turpināt locīšanu un iegūt trīsreiz, četrreiz utt. garāku

nogriezni.

14

Ir arī iespējams atrast nogriežņa viduspunktu. Nogriežņa viduspunkta locīšana:

1. Uz papīra lapas atliek nogriezni.

2. Pārloka lapu pa taisni, uz kuras atrodas dotais nogrieznis.

3. Pārloka lapu uz pusēm tā, lai abi nogriežņa galapunkti sakrīt.

To visprecīzāk var izdarīt, nolokot perpendikulus pret doto nogriezni caur tā galapunktiem un tikai tad lokot uz pusēm pašu nogriezni tā, lai abi perpendikuli sakristu.

4. Atlokot lapu vaļā, var redzēt, ka dotais nogrieznis ir sadalīts divās daļās. Abas daļas ir savstarpēji vienādas, kas seko no konstrukcijas. Ir atrasts dotā nogriežņa viduspunkts.

Ja var atrast nogriežņa viduspunktu un var uzlocīt divas perpendikulāras

locījuma līnijas, tad tagad var nolocīt arī vidusperpendikulu. Nogriežņa vidusperpendikula locīšana:

1. Noloka locījuma līniju a caur doto nogriezni AB.

15

A B a

2. Caur katru no nogriežņa galapunktiem A un B noloka perpendikulāras locījuma

līnijas b un c.

A B a

b c

3. Noloka papīra lapu pa locījuma līniju a, tad pa locījuma līnijām b un c. Pārloka locījuma līniju a tā, lai sakristu perpendikuli b un c.

4. Atlokot vaļā papīra lapu var redzēt, ka caur doto nogriezni AB ir nolocīta

locījuma līnija d. Tā pēc locīšanas konstrukcijas ir perpendikulāra dotajam nogrieznim AB, turklāt krusto to nogriežņa viduspunktā, kas arī seko no konstrukcijas. Tātad uzlocītā locījuma līnija d ir dotā nogriežņa AB vidusperpendikuls.

A B a

d

16

Leņķis

Divi stari, kuriem ir kopējs sākumpunkts, sadala plakni divās daļās. Katru no šīm daļām kopā ar abiem stariem sauc par leņķi. ([7], 71.lpp.) Lai uzlocītu leņķi, pietiek uzlocīt divas krustiskas taisnes.

Lokot neizmanto lineālu, gluži tāpat netiek izmantots transportieris. Tādēļ nevar izmērīt grādus.

Locīšanā leņķus var iedalīt tādā pašā veidā kā Eiklīda ģeometrijā. 1. Taisns leņķis. Ir iespējams uzlocīt perpendikulāras locījuma līnijas, tātad var

iegūt taisnu leņķi. 2. Šaurs leņķis. Ja ir uzlocīts taisns leņķis, tad mazāks par taisnu ir šaurs leņķis. 3. Izstiepts leņķis. Par izstieptu leņķi sauc leņķi, kura malas ir pretēji vērsti stari. 4. Plats leņķis. Ja leņķis ir lielāks par šauru un mazāks par izstieptu leņķi, tad to

sauc par platu leņķi. 5. Pilns leņķis. Leņķi, kura malas sakrīt, sauc par pilnu leņķi. 6. Atvērts leņķis. Leņķi, kurš ir lielāks par izstieptu un mazāks par pilnu, sauc par

atvērtu leņķi.

Leņķa bisektrise.

Par leņķa bisektrisi sauc staru, kura sākumpunkts ir leņķa virsotnē un kurš dala šo leņķi divās vienādās daļās. ([8], 82.lpp.) Bisektrises locīšana:

1. Uzloka leņķi, kuram nepieciešams novilkt bisektrisi.

17

2. Ieloka papīra lapu pa abām leņķa malām.

3. Uzloka leņķa malas vienu uz otras.

4. Atlokot vaļā lapu, var redzēt, ka ir uzlocīta dotā leņķa bisektrise. Tas, ka tā

tiešām ir bisektrise, seko no konstrukcijas. Abas leņķa malas tika uzlocītas viena uz otras, tātad arī abi leņķi sakrīt un ir vienādi.

Katram leņķim var novilkt tikai vienu bisektrisi. Tas izriet no bisektrises konstrukcijas, jo leņķa malas uzlocīt virsū vienu otrai var tikai vienā vienīgā veidā.

Tāpat kā Eiklīda ģeometrijā, arī, lokot papīra lapu, var uzlocīt krustleņķus, blakusleņķus. Izpildās arī to īpašības: krustleņķi ir vienādi, un blakusleņķi veido izstieptu leņķi (izriet no konstrukcijas). Krustleņķu locīšana ir pavisam vienkārša: tie veidojas, uzlokot divas savstarpēji krustiskas taisnes. Blakusleņķu locīšana:

1. Ir dots leņķis.

18

2. Pagarina vienu tā malu (caur doto malu noloka papīra lapu).

3. Atlokot lapu vaļā, var redzēt uzlocītu blakusleņķi.

4. Kā zināms, divi leņķi ir blakusleņķi, ja tiem viena mala ir kopēja, bet abas

pārējās malas ir savstarpēji pretēji stari. Mūsu gadījumā: locījuma līnija ir taisne, un dotā leņķa virsotne sadala šo taisni divos pretējos staros. Turklāt viena šo leņķu mala tiem ir kopēja. Tātad uzlocītie leņķi tiešām ir blakusleņķi.

Taisnstūra locīšana

Lai uzlocītu taisnstūri, vispirms ieloka brīvi izraudzītu locījuma līniju. Tad šai

līnijai noloka perpendikulu, kam savukārt noloka vēl vienu perpendikulu. Vēlamā attālumā pēdējai locījuma līnijai noloka vēl vienu perpendikulu. Ir iegūts taisnstūris.

19

Kvadrāta locīšana.

Ir divi veidi, kā uzlocīt kvadrātu. Pirmais veids ir ļoti līdzīgs taisnstūra locīšanai:

1. Dots nogrieznis AB – kvadrāta malas garums. Pārloka lapu pa locījuma līniju a , uz kuras atrodas dotais nogrieznis, un katrā nogriežņa galapunktā noloka perpendikulus b un c. Papīra lapu neatloka vaļā.

A

B

a

b

c

2. Atliek dotā nogriežņa AB garumu uz nolocītā perpendikula b. (Fiksē punktu B.

Pagriež nogriezni AB tā, lai punkts A atrastos uz perpendikula b, un vēlreiz ieloka nogriežņa galapunktu A.)

3. Atlokot vaļā lapu, var redzēt, ka uz perpendikula b ir atlikts punkts C. Caur šo

punktu pret perpendikulu b noloka vēl vienu perpendikulāru locījuma līniju d.

A

B C

d

D

4. Atlokot vaļā papīra lapu var redzēt, ka ir uzlocīts kvadrāts ABCD. Tas, ka tas

tiešām ir kvadrāts, seko no locīšanas konstrukcijas. Visi leņķi ir 900 lielo, jo tika locīti perpendikuli. AB=BC pēc konstrukcijas, jo nogrieznis AB tika atlikts uz perpendikula b. a||d un b||c, tātad AB=DC un AD=BC. Seko, ka visas uzlocītā četrstūra malas ir savstarpēji vienādas, tātad šis četrstūris ir kvadrāts. Otrs kvadrāta locīšanas veids:

1. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā ir dots nogrieznis AB. Tam abos galos noloka perpendikulāras locījuma līnijas b un c.

A

B b

c

20

2. Taisnajam leņķim B, noloka bisektrisi k. Tā ar perpendikulu c izveido krustpunktu D.

k A

B b

c D

3. Caur šo krustpunktu D noloka perpendikulam c perpendikulāru locījuma

līniju d.

k A

B b

c D

d

C

4. Perpendikuls d krusto locījuma līniju b punktā C. Atlokot vaļā papīra lapu,

var redzēt, ka ir izveidojies kvadrāts. Kāpēc var locīt šādi? Ir zināms, ka kvadrāta diagonāle dala leņķi uz pusēm.

Tātad bisektrise ir arī kvadrāta diagonāle. Ir aprakstīti divi kvadrāta locīšanas veidi. Lai gan šie locījumi šķiet līdzīgi, tie

tomēr atšķiras. Šī atšķirība atklāj kādu būtisku ģeometrijas vizualizēšanas niansi. Otrajā gadījumā visas konstruētās locījuma līnijas ir stingri nolocītas, bet pirmajā gadījumā tā nav. Kvadrāta locīšanā šī nianse parādās pirmā veida locīšanas otrajā punktā. Lai atliktu nogriežņa garumu, netiek nolocīta bisektrise (kvadrāta diagonāle). Tātad šī locīšanas metode ļauj atlikt nogriezni (vai kādu citu punktu), nenolokot liekas locījuma līnijas. Lai skaidrāk aprakstītu šo locīšanu, aplūkosim gadījumu, kad nogriežņa AB galapunkts B jāatliek uz taisnes a.

A

B

a

1. Noloka papīra lapu pa taisni a un nogriezni AB. 2. Fiksē punktu A un uzliek nogriežņa AB galapunktu B uz taisnes a, nenolokot

bisektrisi. Ieloka punktu B. (Bisektrises vietā veidojas papīra lapas līkums, nevis locījums.)

21

A

B

a

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz taisnes a ir atlikts punkts, bet nav

radušās liekas locījuma līnijas.

Trijstūris

Par trijstūri sauc daudzstūri ar trim virsotnēm. ([9], 16.lpp.) Trijstūra locīšana: Ja ir jāuzloka jebkāds trijstūris (t.i., nav prasīti konkrēti malu garumi vai leņķu lielumi), tad uzloka trīs savstarpēji krustiskas taisnes.

Par trijstūra mediānu sauc nogriezni, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējās

malas viduspunktu. ([10], 17.lpp) Trijstūra mediānas locīšana:

1. Pārloka papīra lapu pa trijstūra malu, pret kuru vēlas novilkt mediānu.

2. Uzloka perpendikulus nogriežņa galapunktos A un C.

3. Pārloka nogriezni AC uz pusēm (atrod nogriežņa AC viduspunktu D)

22

4. Atloka vaļā lapu un noloka locījuma līniju caur trijstūra virsotni B un malas

AC viduspunktu D. Ir iegūta mediāna BD.

A

B

C D

Par trijstūra augstumu sauc perpendikulu, kas novilkts no trijstūra virsotnes

pret taisni, kas satur pretējo malu. ([11], 17.lpp.) Trijstūra augstuma locīšana:

1. Pārloka papīra lapu pa locījuma līniju a, uz kuras atrodas mala AC, pret kuru vēlas novilkt augstumu.

2. Caur trijstūra virsotni B noloka locījuma līnijai a perpendikulāru locījuma

līniju b.

3. Locījuma līnija b krusto locījuma līniju a punktā D. Atlokot vaļā papīra lapu,

var redzēt, ka ir iegūts trijstūra ABC augstums BD. Ja ir jānoloka augstums platleņķa trijstūrī, tad rīkojas jau pēc aprakstītās trijstūra augstuma locīšanas shēmas. Par trijstūra bisektrisi sauc trijstūra leņķa bisektrises nogriezni, kas atrodas trijstūra iekšpusē. ([12], 17.lpp.) Trijstūra bisektrises locīšana:

1. Noloka papīra lapu pa abām trijstūra malām AB un BC, kuras ierobežo leņķi ABC, kura bisektrisi vēlas nolocīt.

23

2. Uzloka abas nolocītās locījuma līnijas vienu otrai virsū un atloka papīra lapu

vaļā.

3. Ir iegūta trijstūra ABC bisektrise BD. Tā tiešām ir bisektrise, jo leņķis ABC

pēc konstrukcijas tika sadalīts divos vienādos leņķos.

A

B

C D

Trijstūri, kuram divas malas ir savstarpēji vienādas, sauc par vienādsānu

trijstūri. Vienādās malas sauc par sānu malām, trešo malu – par pamatu. ([13], 52.lpp.) Vienādsānu trijstūra īpašības:

1. Vienādsānu trijstūrī mediāna, kas novilkta pret pamatu, ir arī šī trijstūra augstums un bisektrise.

2. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamata ir savstarpēji vienādi. Vienādsānu trijstūra īpašības var vizualizēt šādi:

1. Noloka mediānu pret trijstūra pamatu AC, uzlokot sānu malas vienu uz otras. Izveidojas divi trijstūri ABD un DBC.

A

B

C D

24

2. Šie trijstūri ir savstarpēji vienādi, jo to visas malas pēc konstrukcijas pa pāriem sakrīt.

3. No tā, ka šie trijstūri ir vienādi, seko, ka to visi attiecīgie leņķi arī ir vienādi. Tātad nolocītā mediāna ir arī bisektrise, jo DBCABD ∠=∠ . Un šī bisektrise ir arī augstums, jo CDBADB ∠=∠ un taisni (Izstieptais leņķis ADC ir sadalīts divos vienādos leņķos un tie var būt tikai taisni).

Vienādsānu trijstūra locīšana, ja dota sānu mala un brīvi var izvēlēties pamatu:

1. Noloka locījuma līniju. Uz tās atliek nogriezni - vienu trijstūra sānu malu. 2. Caur vienu no trijstūra malas galapunktu nepieciešamajā leņķī noloka

locījuma līniju.

3. Noloka papīra lapu pa abām locījuma līnijām un uzliek tās vienu uz otras. Vēl

vienu reizi ieloka malas garumu.

4. Atloka vaļā papīra lapu. Uz abām locījuma līnijām ir atlikti vienāda garuma

nogriežņi. Savieno to galapunktus tā, lai izveidotos trijstūris.

Vienādsānu trijstūra locīšana, ja dots pamats un brīvi var izvēlēties sānu malu:

1. Noloka locījuma līniju. Uz tās atliek nogriezni – trijstūra pamatu. Noloka pamata vidusperpendikulu.

25

2. Uz vidusperpendikula atliek punktu un savieno to ar katru pamata nogriežņa

galapunktu. 3. Izveidojas vienādsānu trijstūris.

Vienādsānu trijstūra locīšana, ja dots trijstūra pamata nogrieznis un sānu malas nogrieznis.

1. Noloka locījuma līniju a. Uz tās atliek punktu A. Uz locījuma līnijas a punktā A katru uz savu pusi atliek doto trijstūra pamata nogriezni AC un sānu malas nogrieznis AB.

A a

B C

2. Noloka nogriežņa AC vidusperpendikulu b. (skat. Nogriežņa vidusperpendikula locīšana nodaļā taisnes daļas.)

A a

B C

b

3. Noloka lapu pa locījuma līnijām a un b. Fiksē punktu A. Pagriež nogriezni

AB tā, lai punkts B atrastos uz locījuma līnijas b. Vēlreiz ieloka nogriežņa galapunktu B.

26

4. Atloka vaļā papīra lapu. Uz locījuma līnijas ir atlikts punkts B. Noloka

locījuma līnijas caur punktiem AB un BC. Ir uzlocīts vienādsānu trijstūris.

A a

B

C

b

Trijstūri, kuram visas malas ir vienādas, sauc par vienādmalu trijstūri.

Vienādmalu trijstūra īpašības: 1. Vienādmalu trijstūrī katra mediāna ir arī bisektrise un augstums 2. Vienādmalu trijstūra visi leņķi ir savstarpēji vienādi.

Pārbaudīt šīs īpašības var tādā pašā veidā, kā to izdarījām vienādsānu trijstūra gadījumā. Vienādmalu trijstūra locīšana, ja dota tā mala.

1. Noloka locījuma līniju a. Uz tās atliek punktu A. No šī punkta uz abām pusēm atliek nogriežņus AB un AC, kas vienādi ar doto trijstūra malas nogriezni.

A a

B C

2. Noloka nogriežņa AC vidusperpendikulu b. (skat. Nogriežņa vidusperpendikula locīšana nodaļā taisnes daļas.)

b

A a

B C

3. Noloka lapu pa locījuma līnijām a un b. Fiksē punktu A. Pagriež nogriezni AB tā, lai punkts B atrastos uz locījuma līnijas b. Vēlreiz ieloka nogriežņa galapunktu B.

27

4. Atloka vaļā papīra lapu. Uz locījuma līnijas ir atlikts punkts B. Noloka

locījuma līnijas sauc punktiem AB un BC. Ir uzlocīts vienādmalu trijstūris. b

A a

B

C

Paralēlā pārnese

Šajā nodaļā aprakstīts, kā jāveic paralēlā pārnese. Katrā atsevišķā gadījumā

aplūkota paralēlā pārnese ar divām dažādām figūrām – nogriezni un trijstūri, kas ilustratīvi parāda, kā tas būtu jādara vispārīgā gadījumā ar jebkuru ģeometrisku figūru.

Pieņem, ka ir dots nogrieznis un ir jāveic tā paralēlā pārnese. Aplūko divus gadījumus - ja nogrieznis un punkts, kurā jāattēlo viens no nogriežņa galapunktiem, atrodas uz vienas locījuma līnijas un ja tie neatrodas uz vienas locījuma līnijas.

1. Dots nogrieznis AB un punkts C, kurš atrodas uz tās pašas locījuma līnijas, uz kuras atrodas nogrieznis. Ir jāveic paralēlā pārnese tā, lai kāds no nogriežņa galapunktiem attēlotos dotajā punktā C.

1. Noloka lapu pa taisni, uz kuras atrodas dotais nogrieznis. Noloka perpendikulus caur nogriežņa galapunktiem A un B un caur punktu C.

A B C

2. Saloka papīra lapu tā, lai perpendikuls pret punktu B sakristu ar dotā punkta C perpendikulu. Un vēlreiz ieloka nogriežņa garumu.

A B C

28

3. Atlokot papīra lapu vaļā, var redzēt, ka dotajā punktā C ir atlikts nogrieznis CD. Šis nogrieznis ir vienāds ar doto, kas seko no konstrukcijas.

A B C D

Pēc aprakstītās shēmas var rīkoties, ja nav svarīgi, kuram nogriežņa galapunktam ir jāattēlojas dotajā punktā C. Veikta paralēlā pārnese, un nogriežņa galapunkts B ir attēlojies dotajā punktā C.

Aplūko gadījumu, ja ir dots nogrieznis AB un punkts A’, kurš atrodas uz tās pašas locījuma līnijas, uz kuras atrodas dotais nogrieznis. Ir jāveic paralēlā pārnese tā, lai viens no nogriežņa galapunktiem attēlotos dotajā punktā A’, turklāt, ir nepieciešams saglabāt nogriežņa virzienu, t.i., dotajā punktā A’ ir jāattēlojas punktam A, tad rīkojas šādi:

1. No dotā punkta A’ atliek divreiz garāku nogriezni A’A’’ nekā dotais nogrieznis AB.

B’ A’’ A’ A B

2. Caur punktiem A’ un A’’ noloka perpendikulus, uzliek tos vienu uz otra un

vēlreiz ieloka dotā nogriežņa AB garumu.

B’ A’’ A’ A B

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka dotajā punktā A’ ir atlikts nogrieznis

A’B’. Pēc konstrukcijas dotais nogrieznis AB ir vienāds ar iegūto nogriezni A’B’, tātad ir veikta paralēlā pārnese. Punkts A ir attēlojies par punktu A’ un punkts B ir attēlojies par punktu B’. Ērtāk locīšanu ir veikt, ja sākumā noloka papīra lapu pa līniju, uz kuras atrodas dotais nogrieznis, un caur katru punktu, kas atrodas uz dotās līnijas, noloka perpendikulu.

Aplūko gadījumu, ja ir dots trijstūris ABC un tas jāattēlo tā, lai trijstūra

virsotne A atrastos punktā A’. Turklāt, punkts A’ atrodas uz tās pašas locījuma līnijas, uz kuras atrodas trijstūra mala AB. Tādā gadījumā rīkojas šādi:

1. Locīšanu sāk no punkta A’, atliekot divreiz garāku nogriezni A’A’’ nekā dotā trijstūra pamata nogrieznis AB. Caur punktiem B un B’ noloka

29

perpendikulus. Uzloka šos perpendikulus vienu uz otra un ieloka arī pārējās trijstūra locījuma līnijas. Ir atlikta arī virsotne C’’. Izveidojas trijstūris B’C’’A’’.

C’’ C

B’ A’’ A’ A B

2. Noloka perpendikulus caur punktiem A’ un A’’. Uzloka šos perpendikulus

vienu uz otra un vēlreiz ieloka trijstūra locījuma līnijas.

C’’ C

B’ A’’ A’ A B

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka dotais trijstūris ir atlikts punktā A’,

turklāt virsotne A attēlojas par virsotni A’, virsotne B – par B’ un virsotne C – par C’.

C’ C’’ C

B’ A’’ A’ A B

2. Dots nogrieznis AB un punkts C, kurš neatrodas uz tās pašas locījuma līnijas, uz kuras atrodas nogrieznis. Ir jāveic paralēlā pārnese tā, lai kāds no nogriežņa galapunktiem attēlotos dotajā punktā C. Lai to izdarītu, rīkojas sekojošā veidā:

1. Dotais nogrieznis atrodas uz locījuma līnijas a. Caur doto punktu C noloka locījuma līnijai a paralēlu locījuma līniju b.

A B a

C b

2. Uzloka abas locījuma līnijas a un b vienu uz otras un ieloka nogriezni AB.

Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz taisnes b ir atlikts nogrieznis A’B’. Šis nogrieznis pēc konstrukcijas ir vienāds ar doto nogriezni AB.

30

A B a

C b A’ B’

3. Lai attēlotu kādu no nogriežņa galapunktiem A’ vai B’ dotajā punktā C,

rīkojas pēc iepriekš aprakstītās shēmas, kad tiek veikta paralēlā pārnese, ja dotais nogrieznis un dotais punkts atrodas uz vienas taisnes.

Aplūko gadījumu, ja ir dots trijstūris ABC un tas jāattēlo tā, lai trijstūra

virsotne A atrastos punktā A’. Turklāt, punkts A’ neatrodas uz tās pašas locījuma līnijas, uz kuras atrodas trijstūra mala AB. Tādā gadījumā rīkojas šādi:

1. Dotā trijstūra mala atrodas uz locījuma līnijas a. Caur doto punktu A noloka locījuma līnijai a paralēlu locījuma līniju b.

A B a

A’ b C

2. Noloka papīra lapu pa locījuma līniju a un vēlreiz ieloka visus trijstūra

locījumus. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka simetriski locījuma līnijai a ir atlikta trijstūra virsotne C’’’.

A B a

A’ b C

C’’’

3. Locījuma līnijas a un b uzloka vienu uz otras un vēlreiz ieloka visas trijstūra ABC’’’ malas. Iegūts trijstūris A’’B’’C’’. Šis trijstūris pēc konstrukcijas ir vienāds ar doto trijstūri ABC.

A B a

A’ b C

C’’’

A’’ B’’ C’’

31

4. Lai trijstūra A’’B’’C’’ virsotni A’’ attēlotu dotajā punktā A’, rīkojas pēc jau iepriekš aprakstītās shēmas, kad trijstūra mala un dotais punkts atrodas uz vienas locījuma līnijas.

Pagriešana par leņķi

Šajā nodaļā ir apraksts, kā jāveic pagriešana par leņķi. Tāpat kā veicot paralēlo

pārnesi, katrā atsevišķā gadījumā aplūko, kā pagriezt nogriezni un trijstūri. Pēc shēmām, kuras ir aprakstītas, var pagriezt jebkuru citu ģeometrisku figūru.

Sākumā apraksta vienkāršāko gadījumu: ja ir dots nogrieznis un viens no nogriežņa galapunktiem jāattēlo uz kādas locījuma līnijas, turklāt šī locījuma līnija nav paralēla dotajam nogrieznim. Ja ir jāattēlo konkrētā punktā, tad papildus jāveic paralēlā pārnese, kas ir aprakstīta iepriekš.

1. Dots nogrieznis AB un taisne a, uz kuras jāatliek dotais nogrieznis. Caur

nogriezni AB noloka locījuma līniju, līdz tā krusto taisni a.

A

B

a

2. Noloka papīra lapu pa abām locījuma līnijām, un tās uzloka vienu uz otras.

Vēlreiz ieloka doto nogriezni.

A

B

a

3. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz dotās taisnes ir atlikts nogrieznis

A’B’. Nogriežņi AB un A’B’ ir savstarpēji vienādi pēc konstrukcijas.

A

B

a A’ B

Tālāk aprakstīts, kā jāveic trijstūra pagriešana par leņķi. Šis piemērs ilustratīvi parādīs, kā varētu pagriezt par leņķi jebkuru citu ģeometrisku figūru.

32

1. Dots trijstūris ABC un locījumu līnija a, uz kuras jāatliek dotā trijstūra mala AC. Caur trijstūra malas AC nogriezni noloka locījuma līniju, līdz tā krusto doto taisni a. Tātad locīšanu veic gadījumā, ja dotā taisne un trijstūra mala nav savstarpēji paralēlas.

a

C B

A

2. Noloka lapu pa abām locījuma līnijām un uzloka tās vienu uz otras, lai tās

sakristu. Vēlreiz ieloka visus trijstūra locījumus (malas).

a

C B

A

3. Atloka vaļā papīra lapu. Var redzēt, ka trijstūris ir uzlocīts uz pretējo pusi.

Noloka lapu pa locījuma līniju a un vēlreiz ieloka visus trijstūra locījumus (malas).

a

C B

A

4. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka dotais trijstūris ABC ir atlikts uz dotās

locījuma līnijas a. Ja trijstūris bija jāpagriež par leņķi un jāattēlo konkrētā punktā, kas atrodas uz locījuma līnijas a, tad papildus vēl veic trijstūra paralēlo pārnesi pēc shēmas, kas jau ir aprakstīta iepriekšējā nodaļā par paralēlo pārnesi.

a

C B

A

Izmantojot aprakstītās shēmas (gan paralēlo pārnesi, gan pagriešanu par leņķi), var veikt jebkāda veida konstrukcijas. Piemēram, ja dotais trijstūris ABC ir jāpagriež par leņķi ap punktu, kas atrodas uz vienas no dotā trijstūra malām. Tādā gadījumā locīšanu veic pēc šādas shēmas:

33

1. Noloka papīra lapu pa locījuma līniju a, uz kuras atrodas dotā trijstūra ABC mala AB, un locījuma līniju b, uz kuras jāatliek konkrētā mala AB. (Trijstūris ir jāpagriež ap punktu D, lai dotā trijstūra mala AB atrastos uz locījuma līnijas b).

a

B C

A D b

2. Abas locījuma līnijas a un b uzloka vienu uz otras un uz locījuma līnijas

atliek punktus B un A. Katra punkta atlikšanu veic atsevišķi, katrā pusē dotajam punktam D, pagriežot par leņķi nogriezni DB, kas attēlojas uz locījuma līnijas b par nogriezni DB’, un nogriezni DA, kas attēlojas uz locījuma līnijas par nogriezni DA’.

a

B C

A D b

A’ B’

3. Fiksē punktu D un nogriežņus DB un DB’ uzliek vienu uz otra, ieloka leņķa

CB malu un vēlreiz ieloka nogriežņa garumu BC.

a B C

A D b

A’ B’

C’

4. Ir atlikts punkts C’. Noloka locījuma līniju caur punktiem A’ un C’. Izveidojas trijstūris A’B’C’. Noloka papīra lapu pa locījuma līniju b, un vēlreiz ieloka visas trijstūra A’B’C’ malas.

5. Dotais trijstūris ABC ir pagriezts par leņķi ap punktu D, kas atrodas uz dotā trijstūra malas AB.

a

B C

A D b A’

C’

D’

34

Regulāra astoņstūra locīšana

Regulāra astoņstūra locīšanu sāk ar kvadrātveida papīra lapu. Var izmantot arī papīra lapu, kurā ir ielocīts kvadrāts. Kvadrātā noloka diagonāles un savieno pretējo malu viduspunktus.

K

A B

C D

E

F

G

H O

AB=BC=CD=DA AC=DB EG=HF Aplūko trijstūri DBC (ΔDBC = ΔDBA). Šajā trijstūrī CO ir augstums pret malu DB. Aplūko trijstūri COB (ΔCOB = ΔCOD). Šajā trijstūrī OF ir augstums pret malu CB. Pārloka doto kvadrātu uz pusēm pa diagonāli DB. Pārloka iegūto trijstūri uz pusēm pa augstumu OC. Pārloka ΔCOB uz pusēm pa augstumu OF. ΔCOF noloka leņķa COF bisektrisi OK. Uz malas OK atliek punktu N. ON būs astoņstūra garākās diagonāles puse.

O

K

C

N

M Caur punktu N velk perpendikulu NM pret malu OC

Atlokot vaļā papīra lapu var redzēt, ka ir izveidojies astoņstūris. Apzīmēsim astoņstūra virsotnes ar skaitļiem 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Pēc konstrukcijas visas locījuma līnijas krustojas punktā O. Ja papīra lapu pārloka uz pusēm, tad locījumi, kuru veic vienā lapas pusē, ir vienādi ar locījumiem, kuri izveidojas otrā lapas pusē. Lokot astoņstūri papīra lapa tika vairākas reizes pārlocīta uz pusēm, tātad locījumi, kuri tika veikti trijstūrī COF, ir tādi paši kā trijstūros BOF, BOE, AOE, AOH, DOH, DOG un COG. Var secināt, ka O1 =O3 = O5 = O7 = O9 = O11 = O13 = O15 O2 = O4 = O6 = O8 = O10 – O12 = O14 = O16 2 4 = 4 6 = 6 8 = 8 10 = 10 12 = 12 14 = 14 16 = 16 2.

35

Tātad visas astoņstūra malas ir savstarpēji vienādas. Aplūko trijstūrus 2O4, 4O6, 6O8, 8O10, 10O12, 12O14, 14O16, 16O2. Šie vienādsānu trijstūri ir savstarpēji vienādi. (Tie ir vienādsānu trijstūri, jo O2 = O4 = O6 = O8 = O10 – O12 = O14 = O16.) Vienādsānu trijstūrim leņķi pie pamata ir vienādi. Katrs pamata leņķis pēc konstrukcijas ir puse no attiecīgā astoņstūra leņķa. Tātad arī visi leņķi astoņstūrī ir vienādi. Seko, ka uzlocītais astoņstūris ir regulārs.

1 2

3

4

5

6

7

8 9 10

11

12

13

14

15

16

Riņķa līnija

Riņķa līnija locīšanā ir vissarežģītākā figūra, jo darbība notiek ar locījuma līnijām, kuras, kā pierādīts, ir taisnes. Ir divi veidi, kā tuvināti uzlocīt riņķa līniju.

1. Izvēlas lapā kādu punktu, kas būs riņķa līnijas centrs. Izvēlas nogriezni, kas būs riņķa līnijas rādiuss. Atliek to tā, lai viens tā galapunkts sakristu ar riņķa līnijas centru un, pagriežot to par nelielu leņķi, atliek tā garumu. Atkārtojot šo locīšanu pēc iespējas vairāk reižu, iegūst punktu kopu, kas tuvināti apraksta riņķa līniju.

2. Ir iespējams uzlocīt regulāru astoņstūri. (skat. nodaļu regulāra astoņstūra

locīšana). Turpinot locīt pēc aprakstītās shēmas, ir iespējams iegūt regulāru sešpadsmitstūri. Šajā gadījumā problēmas sagādā lapas biezums. Lokot astoņstūri, papīra lapa tika pārlocīta uz pusēm četras reizes. Būtu nepieciešams nolocīt bisektrisi, bet sanāk, ka locīšana būtu jāveic ar 16 kopā saliktām lapām, kas ievērojami

36

apgrūtina darbu, to praktiski nav iespējams izdarīt. Tādēļ locīšanu veic katrā trijstūrī atsevišķi, nevis visos uzreiz. Locīšanas gaita kļūst darbietilpīgāka, bet sešpadsmitstūri vēl ir iespējams uzlocīt. Pēc šīs shēmas turpināt locīšanu ir iespējams tikai teorētiski, jo praktiski ir gandrīz neiespējams pārlocīt uz pusēm katru iegūto leņķi, lai nolocītu tā bisektrisi.

Riņķa līnijas krustpunkti ar taisni

Šajā nodaļā aprakstīts veids, kā iegūt riņķa līnijas krustpunktus ar taisni, ja dots riņķa līnijas centrs O, rādiuss R un taisne a. Caur riņķa līnijas centru O noloka taisnei a perpendikulāru taisni b. Uz taisnes b no centra O atliek doto rādiusu.

R b

a

O

Ir iespējami četri gadījumi:

1. Rādiuss nekrusto doto taisni a. Var secināt, ka riņķa līnijai nav krustpunktu ar doto taisni.

R b

a

O

2. Rādiuss ir tikpat garš kā attālums no riņķa līnijas centra līdz taisnei a. Šajā

gadījumā var secināt, ka ar riņķa līniju dotai taisnei ir viens vienīgs krustpunkts un tas ir taišņu a un b krustpunkts.

R b

a

O

3. Riņķa līnijas centrs atrodas uz taisnes a. Šajā gadījumā riņķa līnijai ar doto

taisni ir divi krustpunkti. Tos var atrast šādā veidā: uz taisnes a uz abām pusēm to riņķa līnijas centra O atliek doto rādiusu R. Abi atliktie punkti arī būs riņķa līnijas krustpunkti ar doto taisni.

37

R

R

b

a

O

4. Rādiuss krusto taisni a. Šajā gadījumā riņķa līnijai ar doto taisni arī ir divi

krustpunkti, kurus var atrast sekojošā veidā. a) Uz abām pusēm no riņķa līnijas centra O uz taisnes b atliek doto rādiusu.

Izveidojas punkti R un R1.

R1 R b

a

O

b) Caur punktu R1 novelk taisnei a perpendikulāru taisni c.

c

R1 R b

a

O

c) Noloka papīra lapu pa taisnēm b, a un c norādītajā secībā. d) Fiksējot riņķa līnijas centru, pagriež nogriezni OR1, kamēr punkts R1

sakrīt ar kādu taisnes a punktu. Atzīmē šo punktu, ielokot papīra lapu.

e) Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka uz dotās taisnes a ir atlikti divi

punkti, kas arī ir meklētie riņķa līnijas krustpunkti ar doto taisni a. Šo locīšanas gaitu varētu aprakstīt arī savādāk. Ir jākonstruē taisnleņķa trijstūris, kuram viena katete ir OR. Otra katete jāatliek uz taisnes a, bet hipotenūza ir vienāda ar OR1.

c

R1 R b

a

O

38

Divu riņķa līniju krustpunkti

Šajā nodaļā aprakstīts veids, kā iegūt divu riņķa līniju krustpunktus, ja doti divu riņķa līniju centri O un O1 un to rādiusi R un R1. Lai atrastu riņķu līniju krustpunktus, caur riņķa līniju centriem novelk locījuma līniju a.

a

O O1

No katra riņķa līnijas centra uz locījuma līnijas a atliek attiecīgos rādiusus tā, lai tie būtu vērsti viens pret otru. Ir iespējami trīs gadījumi:

1. Riņķa līnijas rādiusiem nav kopīgu punktu. Tas nozīmē, ka arī pašām riņķa līnijām nav kopīgu punktu.

O1

O

R1

R a

2. Riņķa līniju rādiusiem R un R1 ir viens vienīgs kopīgs punkts, t.i., punkti R

un R1 sakrīt. Var secināt, ka riņķa līnijām ir viens vienīgs krustpunkts, kas ir R vai R1 (R = R1).

O1

O

R1

R a

3. Riņķa līniju rādiusi vai to daļas sakrīt, t.i. punkts R1 tiek atlikts uz rādiusa

OR, bet punkts R – uz rādiusa OR1. Šajā gadījumā riņķa līnijas krustojas divos punktos. Šos punktus atrod sekojošā veidā: a) Uz locījuma līnijas a atliek riņķa līniju rādiusus R un R1 uz abām pusēm

no attiecīgo riņķa līniju centriem O un O1. Atliktos rādiusa R punktus apzīmē ar A un B, bet rādiusa R1 punktus – ar C un D.

D

A

O1

O

C

B a

39

b) Caur punktiem A un D noloka locījuma līnijai a perpendikulāras locījuma līnijas b un c.

c b

D A

O1

O

C

B a

c) Noloka papīra lapu pa locījuma līnijām a, b un c norādītajā secībā. Fiksē

riņķa līniju centrus O un O1. Pagriež nogriežņus OA un O1D, līdz to punkti A un D sakrīt. Atzīmē šo punktu, ielokot papīra lapu.

d) Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka ir atlikti divi punkti E un F, kas arī

ir doto riņķa līniju krustpunkti.

F

E

c b

D A

O1

O

C

B a

40

Locījumi, kurus veic ar papīra strēmeli

Līdz šim aprakstīti locījumi, kuros ir pieņemts, ka papīra lapa ir bezgalīga, gluži tāpat kā plakne. Šajā nodaļā aplūkoti locījumi, kurus var veikt, izmantojot papīra strēmeli jeb taisnstūrveida papīra lapu.

Locījumus, kurus iegūst, izmantojot konkrētas formas lapas (apļveida, kvadrātveida, taisnstūrveida u.c.) nepieciešamības gadījumā var pārnest – ielocīt – pierastajā – bezgalīgajā – papīra lapā. Pārnešanu veic uzliekto vienu papīra lapu uz otras lapas. Veicot locījumus vienā papīra lapā, tie veidosies arī otrajā lapā, turklāt tie būs pa pāriem vienādi.

Vienādsānu taisnleņķa trijstūris

1. Dota papīra strēmele. Uz tās izvēlas kādu punktu un caur šo punktu noloka perpendikulu BD. Papīra lapu atloka vaļā. B

D

2. Vienas papīra strēmeles puses abas malas pieloka pie perpendikula BD. Izveidojas vienādsānu taisnleņķa trijstūris ABC.

B

D A C

Tas tiešām ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris pēc konstrukcijas. Lai to

pierādītu, vēlreiz aplūko locīšanas gaitu. Tika novilkts perpendikuls BD, tātad starp to un papīra strēmeles malu ir taisns leņķis. Tad kad strēmeles vienas puses abas malas pieloka pie perpendikula BD, tiek nolocītas taisnā leņķa bisektrises. Locīšana atkārtota identiski abās perpendikula BD pusēs, tātad abi trijstūra leņķi ABD un CBD ir vienādi, turklāt 450 lieli. Ir uzlocīts taisns leņķis ABC. Tātad tas ir taisnleņķa trijstūris. Tas, ka uzlocītais trijstūris ir arī vienādmalu, seko no locīšanas: perpendikula abās pusēs veikti identiski locījumi – nolocītas bisektrises AB un BC vienādiem 900 lieliem leņķiem. Tātad attiecīgās trijstūra malas AB un BC ir vienādas. Var secināt, ka uzlocītais trijstūris tiešām ir taisnleņķa vienādsānu trijstūris.

Vienādsānu trapece

Lai no papīra strēmeles uzlocītu vienādsānu trapeci, rīkojas līdzīgi kā lokot vienādsānu taisnleņķa trijstūri.

41

1. Dota papīra strēmele. Uz tās izvēlas kādu punktu un caur šo punktu noloka perpendikulu LE. L

E

2. Papīra strēmeli pārloka uz pusēm pa perpendikulu LE. Uz papīra strēmeles malas a atliek punktu C, bet uz papīra strēmeles malas b atliek punktu D. Noloka locījuma līniju caur punktiem C un D.

3. Uz papīra strēmeles malas a atliek punktu C, bet uz papīra strēmeles malas b

atliek punktu D. Noloka locījuma līniju caur šiem punktiem C un D. 4. Atlokot vaļā papīra lapu, var redzēt, ka ir uzlocīta vienādsānu trapece ABCD.

L

E

a

b

C

D A

B

Tā tiešām ir vienādsānu trapece, jo malas AD un BC ir paralēlas, kā dotās papīra strēmeles paralēlās malas. AB=CD pēc konstrukcijas, jo papīra strēmele bija pārlocīta uz pusēm, un locījumam CD, kuru veidoja vienā papīra strēmeles pusē, veidojās identisks locījums AB otrā papīra strēmeles pusē.

Paralelograms

1. Dota papīra strēmele. Uz tās izvēlas kādu punktu un caur šo punktu novelk

perpendikulu AC. Atloka papīra lapu vaļā. A

C

a

b

2. Papīra strēmeles malu a pieloka klāt pie perpendikula AC no vienas puses, bet malu b – no otras puses.

42

Dotā figūra ir paralelograms, kas seko no locīšanas. Ir zināms, ka četrstūris ir

paralelograms, ja divas tā malas ir vienādas un paralēlas. Malas AD un CB ir paralēlas kā dotās papīra strēmeles paralēlas malas. Turklāt, abas šīs malas AD un CB ir vienādas ar papīra strēmeles platumu. Tātad šis četrstūris ir paralelograms.

Regulārs sešstūris Lai uzlocītu regulāru sešstūri, var izmantot divas vienāda platuma papīra strēmeles. Rīkojas šādi:

1. No katras papīra strēmeles izveido cilpas kādas parādītas zīmējumā, bet ir svarīgi uzreiz nenolocīt šīs figūras malas.

2. Abas šīs cilpas simetriskā veidā ieliek vienu otrā tā, lai katras papīra

strēmeles gali ieietu otrā cilpā

3. Tikai tagad var abas cilpas savilkt stingrāk un ielocīt locījumu vietas.

Izveidojas regulārs sešstūris.

43

F

E

D

C

B

A

O

Tas tiešām ir regulārs sešstūris, jo: Pieņemsim, ka punkts O atrodas sešstūra centrā. Tātad O∈AD, O∈BE un O∈CF. AB||FC un BC||AD kā doto papīra strēmeļu paralēlās malas AB=OC un BC=AO BC||AD un BE||CD kā doto papīra strēmeļu paralēlās malas BC=OD un BO=CD CD||BE un ED||FC kā doto papīra strēmeļu paralēlās malas OC=ED un CD=OE ED||FC un EF||AD kā doto papīra strēmeļu paralēlās malas ED=FO un FE=OD FE||AD un AF||EB kā doto papīra strēmeļu paralēlās malas FE=AO un AF=EO. No tā izriet, ka AB=OC=ED=FO, BC=OD=FE=AO un BO=CD=OE=AF. Aplūko trijstūrus ABO, BCO, CDO, DEO, EFO un FAO. Tie ir savstarpēji vienādi pēc trijstūru vienādības pazīmes. Šie trijstūri ir arī vienādmalu trijstūri, jo visi to augstumi ir vienādi ar doto papīra strēmeļu platumu. Tātad pieņēmums, ka punkts O atrodas sešstūra centrā, ir bijis pareizs. Katru sešstūra leņķi veido divi vienādmalu trijstūra leņķi. Tātad visi sešstūra leņķi arī ir vienādi. Var secināt, ka uzlocītais sešstūris tiešām ir regulārs.

Regulārs piecstūris

Locīšanu sāk no papīra strēmeles jeb taisnstūrveida lapas. Šai strēmelei jābūt garai un vēlams ne pārāk platai. To sasien visparastākajā mezglā. Precīzi nogludinot tā malas, iegūst piecstūri.

Tas tiešām ir regulārs piecstūris. Par to var pārliecināties sekojošā veidā.

Aplūkosim piecstūri ABCDE.

44

M L

H

A

B

C

E D

AD||BC – seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas AB||EC – seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas H∈EC AB||HC H∈AD AH||BC Tātad ABCH ir paralelograms, bet tas ir arī rombs, jo augstumi tajā ir vienādi ar papīra loksnes platumu. Seko, ka AB=BC=CH=HA. AB||EC – seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas EA||DB - seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas L∈EC EL||AB L∈DB BL||AE Tātad ABLE ir paralelograms, bet tas ir arī rombs, jo augstumi tajā ir vienādi ar papīra loksnes platumu. Seko, ka AB=BL=LE=EA. BC||AD – seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas CD||EB – seko no locīšanas, jo papīra loksnes malas ir paralēlas M∈AD BC||MD M∈EB MB||CD Tātad MBCD ir paralelograms, turklāt kā iepriekš tas ir arī rombs, jo augstumi tajā ir vienādi ar papīra loksnes platumu. Seko, ka MB=BC=CD=DM. Ir svarīgi, ka visi aplūkotie rombi ir savstarpēji vienādi, jo visas to malas ir savstarpēji vienādas un visi augstumi ir vienādi ar dotās papīra strēmeles platumu. Ir pierādīts, ka dotajā piecstūrī EA=AB=BC=CD. AE||BD kā dotās papīra loksnes paralēlās malas. Divi loki, kas ietverti starp divām paralēlām taisnēm ir vienādi. ([14], 70.lpp.) Tātad, ∪ED = ∪AB.

45

Vienā riņķī vai divos vienādos riņķos vienādiem lokiem atbilst vienādas hordas, un otrādāk. ([15], 71.lpp.) Konkrētā gadījumā ∪ED = ∪AB ED=AB. Tātad visas piecstūra malas ir savstarpēji vienādas. Aplūko četrstūri DEAB: AE||DB - kā dotās papīra loksnes paralēlās malas. ED=AB - kā piecstūra vienādās malas. Tātad šis četrstūris ir trapece. Aplūko četrstūri BCDE: BE||CD - kā dotās papīra loksnes paralēlās malas. BC=ED - kā piecstūra vienādās malas. Tātad šis četrstūris ir trapece. DEAB=BCDE, jo ED=EA=AB=BC=CD=DE, kā piecstūra vienādās malas, un EB=BD, kā vienādo rombu EABL un BCDM garākās diagonāles. <DEA=<EAB un <BCD=<CDE kā leņķi pie vienādu vienādsānu trapeču pamatiem. <ABC=<BCD kā vienādo rombu ABCH un BCDM platie leņķi. Tātad visi piecstūra leņķi ir vienādi <A = <B = <C = <D = <E. Ir pierādīts, ka uzlocītais piecstūris ir regulārs, jo visas tā malas ir savstarpēji vienādas un visi tā leņķi arī ir savstarpēji vienādi.

Locījumi, kurus veic no riņķveida papīra lapas

Šajā nodaļā ir aplūkoti locījumi, kurus veic, ja ir dota papīra lapa riņķa formā.

Figūru, kas sastāv no visiem tiem plaknes punktiem, kuri atrodas vienā un tajā pašā attālumā no kāda dotā plaknes punkta, sauc par riņķa līniju. Minēto punktu, sauc par riņķa līnijas centru. ([16], 60.lpp.)

Nogriezni, kas savieno divus riņķa līnijas punktus, sauc par hordu. ([17], 61.lpp.) Hordas locīšana ir pavisam vienkārša: pārloka doto riņķveida papīra lapu tā, lai locījuma līnija savienotu divus riņķa līnijas punktus.

46

Riņķa diametrs un rādiuss

Diametra locīšana: 1. Uz riņķa līnijas izvēlas kādu punktu A. Šajā punktā noloka divas savstarpēji

perpendikulāras locījuma līnijas a un b.

AA a

b

2. Locījuma līnija a krusto riņķa līniju punktā C, bet locījuma līnija b krusto

riņķa līniju punktā B. Noloka locījuma līniju caur punktiem C un B. Šī locījuma līnija ir dotā riņķa diametrs, jo ievilkta taisnleņķa trijstūra diametrs iet caur riņķa centru. ([18], 60.lpp.)

AA a

b

C

B

Riņķa centra atrašana. Ja ir iespējams uzlocīt diametru, tad var atrast arī riņķa centru. Ir divi veidi, kā atrast riņķa līnijas centru:

1. Uzloka divus krustiskus diametrus AB un CD. Šo diametru krustpunkts O arī ir riņķa centrs.

2. Uzloka diametru un pārloka to uz pusēm. Diametra viduspunkts ir arī riņķa centrs.

A

B

C

D

O

Attālumu no riņķa līnijas centra līdz brīvi izraudzītam riņķa līnijas punktam sauc par riņķa līnijas rādiusu. ([19], 60.lpp.)

47

Iepriekšējā zīmējumā riņķa rādiusi ir nogriežņi CO, OD, AO un OB. Tātad, rādiusu var uzlocīt, ja uzloka divus krustiskus diametrus vai uzloka vienu diametru un atrod tā viduspunktu, kuru savieno ar kādu riņķa līnijas punktu.

Regulārs sešstūris Lai uzlocītu regulāru sešstūri, ja ir dota riņķveida lapa, rīkojas sekojoši:

1. Pārloka lapu uz pusēm pa tās diametru. Atrod riņķa centru.

2. Fiksē riņķa centru. Nolocītos rādiusus vienlaicīgi griež par leņķi tā, lai viens

no tiem paietu zem otra. Šo griešanu turpina, līdz viens no nogriežņiem atduras pret iekšējo pusriņķa malu (veido konusveidīgu figūru). Ieloka locījuma līnijas.

3. Atloka vaļā papīra lapu. Ir nolocīti trīs diametri (seko no konstrukcijas).

Katru diametra galapunktu savieno ar nākamo diametra galapunktu. Izveidojas regulārs sešstūris

Tas tiešām ir regulārs sešstūris, jo visas tā malas ir vienādas. Tas seko no locīšanas konstrukcijas. Un daudzstūris, kuram ir vienādas malas un kuram ir apvilkta riņķa līnija, ir regulārs. Tātad uzlocītais sešstūris ir regulārs.

Šādā veidā var sadalīt jebkuru leņķi trijās vienādās daļās. Piemēram, lokot sešstūri tika izmantots pusriņķis. Bija jānoloka riņķa diametrs, jāatrod tā viduspunkts, kas ir arī pašas riņķa līnijas centrs. Šis centrs, kopā ar diametru veido izstieptu leņķi. Šis leņķis, lokot sešstūri, tika sadalīts trijās vienādās daļās.

Ir daudzas figūras, kuras var uzlocīt, izmantojot šo sešstūri un leņķa dalīšanu divās vai trijās daļās.

1. No sešstūra var iegūt 12-stūri, katru sešstūra centra leņķi sadalot uz pusēm un savienojot secīgos diametru galapunktus. Tas tiešām būs regulārs 12-stūris, kas seko no konstrukcijas gaitas. Centra leņķis tiek sadalīts divās vienādās daļās, tātad arī loks tiek sadalīts vienādās daļās un veidojas vienādas hordas, kas ir šī daudzstūra malas. Ap daudzstūri, kura visas malas ir vienādas, ir

48

apvilkta riņķa līnija (locīšanu veic ar riņķveida papīra lapu), tātad šis daudzstūris ir regulārs.

2. No sešstūra var uzlocīt arī regulāru deviņstūri.

1) Locīšanu sāk ar jau aprakstīto sešstūri ABCDEF. Leņķi AOC pēc aprakstītās shēmas sadala trijās daļās (Izveido konusveidīgu figūru un ieloka tās malas). Izveidojas leņķi AOG, BOH un HOC. Šie leņķi pēc konstrukcijas ir vienādi.

A B

C

D E

F O

G

H

2) Šādā pašā veidā trijās daļās sadala leņķus COE un EOA. Ņemot vērā to,

ka šie leņķi ir vienādi, tad visas leņķu trešdaļas arī ir savstarpēji vienādas. Savieno attiecīgos diametru galapunktus. Izveidojas regulārs deviņstūris.

Tas tiešām ir regulārs deviņstūris, jo visi locījumi veikti ar vienādiem leņķiem. Visi centra leņķi ir vienādi, tātad arī visi leņķi ir vienādi. Ja leņķi ir vienādi, tad arī loki un attiecīgās hordas ir vienādas. Sešstūris, kuram visas malas ir vienādas (vienādās hordas), un kurš ir ievilkts riņķa līnijā ir regulārs, tātad uzlocītai sešstūris ir regulārs.

3. Pēc līdzīga principa var uzlocīt dažādus regulārus daudzstūrus. Ja daudzstūra malu skaits dalās ar trīs, tad to loka, izmantojot figūru, kuras malu skaits ir trīs reizes mazāks nekā vēlamajam daudzstūrim. Ja daudzstūra malu skaits dalās ar divi, tad locīšanu sāk ar figūru, kuras malu skaits ir divas reizes mazāks nekā vēlamajam daudzstūrim.

49

Ģeometrisko konstrukciju realizēšana ar papīra lapas locīšanu

Skolas ģeometrijas kursā tiek aplūkotas konstrukcijas, kuras veic ar lineālu un cirkuli. Šajā nodaļā aplūkots, kādas ir šīs elementārās konstrukcijas un vai tās ir iespējams veikt ar papīra lapas locīšanu. Ir elementi, kuri jau ir konstruēti. Tādi, piemēram, ir uzdevuma nosacījumos dotie elementi. Citi elementi var būt konstruējami ar dotajiem, izmantojot galīga skaita operācijas ar cirkuli un lineālu. Beidzot, trešie elementi nav konstruējami, lai arī cik operāciju ar cirkuli un lineālu neveiktu. ([20], 7.lpp.) Pirmais jautājums, kas ir jānoskaidro, kādi elementi ir konstruējami. Elementi, kas skaitās (vai ir) “konstruējami”:

1. Visi elementi, kas ir doti uzdevuma nosacījumos (punkti, taisnes, riņķa līnijas...).

2. Taisne, ja tā ir uzdota ar diviem “konstruējamiem” punktiem. 3. Riņķa līnija, ja tā ir uzdota ar “konstruējamu” centru un “konstruējamu”

rādiusu (“konstruējamu” punktu pāri). 4. Punkts, ja tas ir divu “konstruējamu” līniju krustpunkts. ([21], 8.lpp.)

Ilustrējot ģeometriju ar papīra lapas locīšanu ir iespējams vizualizēt visus

nosauktos konstruējamos elementus. Ir iespējams uzlocīt punktu, kā divu līniju krustpunktu, taisni, riņķa līniju (lai gan tikai tuvinātu), nolocīt taisni caur diviem dotajiem punktiem, uzlocīt riņķa līniju, ja tā ir uzdota ar centru un rādiusu.

To vai dotais uzdevums ir atrisināms ar galīga skaita operācijām, ir jāpēta katrā uzdevumā atsevišķi.

Skolas ģeometrijas kursā konstrukcijas tiek veiktas ar cirkuli un lineālu. Katram instrumentam ir savas specifiskās īpašības, kuras nosaka ar attiecīgām aksiomām:

1. Lineāla aksioma. Ar lineālu ir iespējams veikt šādas ģeometriskās konstrukcijas: a) Konstruēt nogriezni, kas savieno divus konstruētus punktus; b) Konstruēt taisni, kas iet caur diviem konstruētiem punktiem; c) Konstruēt staru, kas iziet no konstruēta punkta un iet caur citu konstruētu

punktu. 2. Cirkuļa aksioma. Ar cirkuli ir iespējams veikt šādas ģeometriskās

konstrukcijas: a) Konstruēt riņķa līniju, ja ir konstruēti riņķa līnijas centrs un nogriežņa

galapunkti, kas vienāds ar riņķa līnijas rādiusu; b) Konstruēt jebkuru no diviem papildus riņķa līnijas lokiem, ja ir konstruēts

riņķa līnijas centrs un loka galapunkti. ([22], 19.lpp.) Visas aprakstītās lineāla un cirkuļa aksiomas ir iespējams vizualizēt ar papīra

lapas locīšanas palīdzību. To realizācijas shēmas ir izklāstītas darbā. Izmantojot lineāla un cirkuļa aksiomas ir iespējams konstruēt visus konstruējamos ģeometrijas elementus. Ja tos var ar cirkuļa un lineāla palīdzību un visas konstrukcijas ir iespējams realizēt ar papīra lapas locīšanu, tad var apgalvot, ka ar locīšanas palīdzību ir iespējams vizualizēt jebkuru konstrukciju, kuru veic ar cirkuļa un lineāla palīdzību.

50

Ģeometrisku figūru locīšana ģeometrijas stundās

Lai varētu izpētīt vai ģeometrijas vizualizēšana ar papīra lapas locīšanu traucē vai tomēr palīdz skolēniem labāk apgūt mācību vielu, es veicu arī darba praktisko daļu, izmēģinot gandrīz visus šajā darbā aprakstītos locījumus klasē. Es aplūkoju sekojošu elementu modelēšanu: papīra lapa kā plakne, locījuma līnija, punkts, leņķis, stars, nogrieznis, paralēlas, krustiskas, perpendikulāras taisnes, riņķa līnija, trijstūris, kvadrāts, locījumus, kurus veic ar papīra strēmeli (vienādsānu taisnleņķa trijstūris, vienādsānu trapece, paralelograms), regulāra sešstūra locīšana no divām papīra strēmelēm, regulārs piecstūris, locījumus, kurus veic ar riņķveida papīra lapu. Skolēni izrādīja daudz lielāku interesi nekā parastajās ģeometrijas stundās. Lielākoties viņi atzina, ka ģeometrija ir vieglāk izprotama, ja reāli ir iespējams aplūkot konkrēto ģeometrijas elementu. Skolēni šīs figūras izpētīja ar lielāku interesi, protams, arī kā savu roku darbu, kas padarīja ģeometriju “personīgāku”. Nākamā ģeometrijas stunda tika gaidīta ar lielu interesi, lai varētu vēl kaut ko uzlocīt un aplūkot. Protams, ne jau pilnīgi visiem skolēniem šī locīšana patika. Vienam cilvēkam likās lieki gan zīmēt, gan locīt, bet otram problēmas sagādāja pati locīšana. Manuprāt, šis aspekts ir ļoti interesants. Tātad locīšana ir nepieciešama ne tikai no ģeometrijas mācīšanās aspekta, bet arī no pirkstu veiklības attīstīšanas viedokļa. Bet tomēr šis skolēns nenoliedza, ka papīra lapas locīšana padara ģeometriju daudz interesantāku.

Kopumā es ar ģeometrijas pamatkursa modelēšanu aplūkoju 7., 8., 11. un 12. klasē. Katrā vecuma posmā es aplūkoju locīšanas veidus, balstoties uz skolēnu priekšzināšanām ģeometrijā. Visplašāk papīra lapas locīšanu ģeometrijā mēs aplūkojām vidusskolas klasēs, kur aplūkojām arī pierādījumus. Sarežģītākos pierādījumus skolēniem izstāstīju pati, bet vienkāršākos pierādījumus ļāvu veikt pašiem skolēniem. Interese par pierādījumiem bija daudz lielāka nekā par abstraktām, uzzīmētām figūrām. Uzlocīta figūra arī atvieglo pašu pierādīšanas procesu. Septītajā klasē es izmantoju locīšanu pašā ģeometrijas mācīšanas procesā. Var izgriezt no papīra riņķa līniju un tajā uzlocīt hordu, diametru, rādiusu. Uzrakstīt uz paša nogriežņa tā nosaukumu un savu riņķi ielīmēt burtnīcā. Šādā veidā mācīšanās procesu es padarīju interesantāku un arī vieglāk saprotamu, iemācītie elementi labāk saglabājās skolēnu atmiņā. Interesanti, ka locīšanu skolēni neuztvēra kā sarežģītu mācību procesu, bet gan kā interesantu spēli. Dažus locījumus skolēni vēlējās izdomāt paši: piemēram, kā no riņķa uzlocīt sešstūri. Ļoti produktīva bija stundas daļa, kad skolēni locīja riņķi, veidoja dažādus sešstūrus un mēs, balstoties uz konstrukcijas gaitu, pārspriedām, kādēļ konkrētais uzlocītais sešstūris nav regulārs. Divpadsmitajā klasē novēroju, ka, lokot papīra lapu, skolēni mēģināja veikt locījumus ne tikai planimetrijā, bet arī stereometrijā. Tas deva ierosmi šāda veida ģeometrijas kursa modelēšanu, izmantojot papīra lapu, izstrādāt arī stereometrijā, kur vizualizācija ir vēl vairāk nepieciešama kā pamatskolas sākumposma kursā. Protams, ir jau rūpnieciski izstrādāti telpiski modeļi, bet tiem mācību procesā ir daudz mazāka vērtība kā paša bērna patstāvīgi izveidotiem uzskates līdzekļiem.

51

Atsauces

[1] Mūrnieks, Andrejs. Ieskats kultūras un reliģiju vēsturē I, Rīga: RaKa, 1998 [2] Aitīre-Šēle C. Origami, Rīga: Zvaigzne ABC, (vācu izd. - 1995) [3] Latvijas padomju enciklopēdija. 3. sējums, Jērāns, P. (galv. red.), Rīga: Galvenā enciklopēdiju redakcija, 1983 [4] Latvijas padomju enciklopēdija. 10. sējums, 1. daļa, Jērāns, P. (galv. red.), Rīga: Galvenā enciklopēdiju redakcija, 1987

[6] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 2. trijstūri, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995 [7] Turpat [8] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 1. Ģeometrijas pamatelementi, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995 [9] Turpat [10] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 1. Ģeometrijas pamatelementi, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995 [11] Turpat [12] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 2. trijstūri, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995 [13] Turpat [14] Turpat [15] Turpat [16] Turpat

[18] Turpat [19] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 1. Ģeometrijas pamatelementi, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995 [20] Turpat [21] Pogorelovs, A. Ģeometrija 6. - 8. klasei, Rīga: Zvaigzne ABC, 1983 [22] Andžāns, A., Falkenšteine, E., Grava, A. Ģeometrija 7.-9. klasei / 1. Ģeometrijas pamatelementi, Rīga: Zvaigzne ABC, 1995

[24] Turpat

52

Izmantotā literatūra