制御の問題から見る量子・古典ダイナミクスの構造

- Shortcuts to Adiabaticity

高橋和孝東工大

M Okuyama and KT, Quantum-Classical Correspondence of Shortcuts to Adiabaticity, JPSJ 86, 043002 (2017) Editors’ Choice

M Okuyama and KT, From Classical Nonlinear Integrable Systems to Quantum Shortcuts to Adiabaticity, PRL 117, 070401 (2016)

2017年5月29日@慶應大

はじめに

時間依存ハミルトニアンの扱い方 ダイナミクスの一般的・普遍的メカニズム 非定常・非平衡系の性質

系の状態を制御したい ほしい答えを得たい

► Monte Carlo法► Simulated/Quantum annealing

1

2 3

（先に）まとめ

古典非線形可積分系から量子断熱制御へ

量子から古典へ

Hamilton-Jacobi 理論と量子古典対応

Shortcuts to Adiabaticity

ゆっくり動かせばよい でも早くしたい 非断熱遷移の制御: STA

ゆっくり断熱的

早い非断熱的

E

t0

断熱遷移とSTA

with STAno STA

Shortcuts to Adiabaticity (Theory)

1969 Lewis Riesenfeld Dynamical Invariant

2000 Emmanouilidou Zhao Ao Niu Early application to 2-level system

2003 Demirplak Rice Assisted Adiabatic Passage

2008 Masuda Nakamura Fast-Forward

2009 Berry Transitionless Quantum Driving

2010 Bilbao G (Chen Muga …) Inverse Engineering, STA

2013 Jarzynski Classical, Scale-Invariant Driving

2013 del Campo Scale-Invariant Driving

2013 KT Quantum Brachistochrone

2016 Okuyama-KT Nonlinear Integrable Systems

2017 Okuyama-KT Classical STA

STAの原理

Counter-Diabatic term

► ハミルトニアンをふたつに分割► 状態はH0の断熱状態をたどる► CD項は非断熱遷移を防ぐ► 任意の速度で”断熱”遷移

時間依存基底によるハミルトニアンの展開

① H0(λ(t))を考える

② 固有値方程式を解く

③ CD項を計算

④ ハミルトニアン

Counterdiabatic driving

► 与えられたH0に対してCD項を見つける► 付加項（CD項）が必要► H0の固有値問題を解く必要

Assisted adiabatic passage

Transitionless quantum driving

Counterdiabatic driving: 例

► H0に無い演算子が必要

Counterdiabatic driving: 例

► translation (x0) + dilation (γ)

Scale-invariant systems Jarzynski (2013): Classicaldel Campo (2013): Quantum

ハミルトニアンの分割

► 任意の h(t) に対して h(t) がみつかる？► 分割は一意的？► Inverse engineering へ

~

Dynamical invariant

Fの瞬間固有状態が状態を決定する

ハミルトニアンはふたつに分割される

Lewis-Riesenfeld (1969)

① Hの演算子形に対してFをみつける② 始・終条件固定③ Fの係数を与えHの係数を決める

Inverse engineering

Inverse engineering: 例

► Hの演算子形は固定► nを与えてhを決める: 微分方程式を解く必要なし► 状態は F の断熱経路をたどる

Shortcuts to Adiabaticity (Experiment)

2010 Schaff Song Vignolo Labeyrie

decompression of an ultracold cloud of trapped 87Rb atoms, HO

2011 Schaff Song Capuzzi Vignolo Labeyrie

decompression and displacement of a 3D interacting BEC, GPE, HO

2012 Bason Viteau Malossi Huillery Arimondo Ciampini Fazio Giovannetti Mannella Morsch

BEC, 2-level

2013 Zhang Shim Niemeyer Taniguchi Teraji Abe Onoda Yamamoto Ohshima Isoya Suter

spin in a NV center in diamond, 2-level

2015 Rohringer Fischer Steiner Mazets Schmiedmayer Trupke

1D Bose gas

問題

解ける例はどれだけあるか、どうやって解くか

古典極限？

量子・古典のSTAは同じ？

量子・古典断熱定理の違い？

► 非線形可積分系の知識

► 対応あり

► 違いあり

► Hamilton-Jacobi理論

古典非線形可積分系から量子断熱制御へ

量子断熱制御の古典極限

制御の問題から見る量子古典対応

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Lax形式

Lax 方程式

Laxペア

Lax (1968)

► F、Lの固有値は時間によらない：たくさんの保存量► 無限に存在するLaxペア

KDV, Toda, Sine-Gordon, Nonlinear Schrödinger, …

全て階層構造をもつ

量子系 古典非線形可積分系

LR方程式

Lewis-Riesenfeld (1969)

1-ソリトン 2-ソリトン

KdV方程式

Wikipedia

Zabusky Kruskal 1965

KdV方程式

Laxペア

KdV方程式のLax形式

► ポテンシャルがKdV方程式をみたす► p3のCD項

►基底状態のみ►超対称性►ゲージ変換でポテンシャルに

2 solitons

CD項の変形

ポテンシャルによる制御

-8 -4 0 4 8x

t=1.0

-8

-4

0

t=-1.0

-8

-4

0

t=-0.5

-8

-4

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.5

0

1

-2 -1 0 1 2t

-20

-10

0

t=-0.4

-20

-10

0

t=-0.2

-20

-10

0

-8 -4 0 4 8x

t=0.0

t=0.2

-8 -4 0 4 8x

t=0.4

0

1

-2 -1 0 1 2t

戸田格子と量子スピン系

戸田方程式

1次元等方XYスピン模型

戸田格子

戸田格子と量子スピン系

戸田方程式

1次元等方XYスピン模型

ここまでのまとめ 非線型可積分系

量子力学的描像を利用して解く（逆散乱法等）そのままSTAへ可解性 → 断熱性

Lax形式の階層構造Scale-invariant systems: CD項はpの1次

KdV systems: pの3次高階KdV: pの5次、7次、…

解ける例はこれらで尽きている？

他のLax形式非線型Schrödinger、AKNS、量子Lax、…

数学的には面白そうだが…

古典非線形可積分系から量子断熱制御へ

量子断熱制御の古典極限

制御の問題から見る量子古典対応

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量子から古典へBerry (2009)

Jarzynski (2013): 量子系

Jarzynski (2013): 古典系

► 等エネルギー(H0=ε0) 面での相空間平均► 閉じた周期軌道のみ？

► H0の固有状態基底

CD項

古典STA

► 一般の系で使える► 任意性あり: {ξ,H0}={ξ’,H0}

: 時間微分

: 運動方程式

: H0 の瞬間エネルギーが“保存”

KdVから無分散KdVへ

KdV方程式 無分散KdV方程式

量子 古典

► F=H0：ε0=const► 量子と古典で全く異なる解

無分散KdV方程式

Hodograph法による解

► f: 任意関数► ソリトン解なし

古典STAのまとめ

古典STAの定式化エネルギーを指定する必要あり

次項でさらに考察する

無分散階層KdV、戸田階層など

量子STAと古典STAの違いスケール不変な系は同じ

古典非線形可積分系から量子断熱制御へ

量子断熱制御の古典極限

制御の問題から見る量子古典対応

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For ,

adiabatic state (instantaneous state with a phase)

is an approximate solution of the Schrödinger equation

if

量子断熱定理

► 断熱条件はCD項の導入によって取り除かれる（STA!）

古典断熱定理

λ: constant λ(t): varied

Adiabatic invariant

is conserved if ► 周期軌道のみ► 断熱条件はCD項によって取り除かれる（STA!）

λ(t1)

λ(t2)

断熱不変量

► 断熱条件はCD項の導入によって取り除かれる

Hamiltonの特性関数(簡約化された作用)

► 一般的► Hamilton-Jacobi理論へ

► 1次元周期系

作用関数とSTA

時間依存系: CD項あり

簡約化された作用

► xとλの履歴によらない

時間非依存系: CD項なし

► xの履歴によらない

► エネルギー保存

作用

一般化された作用

Hamilton-Jacobi方程式

時間依存系: CD項あり

► 作用はふたつに分割

時間非依存系: CD項なし

Hamilton-Jacobi方程式

時間依存系: CD項あり

► 作用はふたつに分割

時間非依存系: CD項なし

作用はふたつに分割

例

► 振動するλ

► 軌道は一般に非周期的► この場合、Ω(T)=J► Ωから断熱不変量が得られる

DKdVポテンシャル系

半古典近似と作用関数

► 0次の作用► 一般化された作用の方程式（無分散KdV）

KdVポテンシャル系（量子）

半古典近似と作用関数

► 0次の作用► 一般化された作用の方程式（無分散KdV）

KdVポテンシャル系（量子）

H0とΩが系を特徴づける

古典非線形可積分系から量子断熱制御へ

量子から古典へ

Hamilton-Jacobi 理論と量子古典対応

まとめ

► 非線形可積分系のアイデアを量子・古典ダイナミクスで調べられる► ハミルトニアンを二つに分割できる：ダイナミクスの新奇な概念► マクロな系: 仕事と熱？

M Okuyama and KT, Quantum-Classical Correspondence of Shortcuts to Adiabaticity, JPSJ 86, 043002 (2017) Editors’ Choice

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