太陽、地球の質量、脱出速度、太陽系外惑星 - …hayasida/Class/Class2005/...rrr rr...
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宇宙地球科学2 2005/10/24 林田 清 http://wwwxray.ess.sci.osaka-u.ac.jp/~hayasida/ の下の“授業”に資料あり
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宇宙地球科学22005/10/24
林田 清
http://wwwxray.ess.sci.osaka-u.ac.jp/~hayasida/の下の“授業”に資料あり
太陽の質量、地球の質量を求めよ
ヒント太陽の質量>>地球の質量>>月の質量と仮定せよ
地球はおよそ１年で太陽のまわりを周り、月はおよそ１月で地球のまわりを周る。
G=6.67x10-11 Nm2kg-1
太陽と地球の距離＝1億５千万ｋｍ地球と月の距離＝３８万ｋｍ
惑星の運動、力学法則、万有引力惑星の運動、力学法則、万有引力
ケプラーの法則（惑星の運動を記述）
どんな力が働いているべきか？
導きだせる
ニュートンの力学の３法則（古典力学の基礎法則）
万有引力の法則（重力を性質を記述）
地上の落下運動と惑星、月の運動
地球上で物を投げると放物線を描いて地面に落下する。初速度をあげていくといずれ地球の周りを一周するような運動が実現できる（はず）。 =人工衛星逆に、月は何も力が働かなければ直進するところ、力が働くために地球に落下しているとみることもできる”地球上で物が落下するのも月が地球の周りを回るのも同じ力が根源にある”と仮定して万有引力の法則が導かれた。
http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch02/0203.htmlCopyright ©1999 The McGraw-Hill Companies.
第１宇宙速度
地球（表面付近）を周回する人工衛星を打ち上げるための速度
2
2
1 7.9 /
e
ee
e
e
mM vG mRR
GMv km sR
=
= ≈
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•１周するのに何時間かかるか？•１周するのに１日かかる（静止衛星）ようにするにはどうすればいいか？
参考）第２宇宙速度
地球の重力圏を脱出するロケットを打ち上げるための速度（地球からのの脱出速度）
2
2 1
1 02
2 2 11.2 /
e
e
eesc
e
mME mv GR
GMv v v km sR
= − ≥
= = = ≈
であれば無限遠まで到達できる
http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch02/0203.htmlCopyright ©1999 The McGraw-Hill Companies.
運動エネルギー 位置エネルギー
参考）脱出速度とブラックホール
2 618 /s
s
GMv km sR
= =太陽表面からの脱出速度
52 2.97 10 /3000( )
sGMv km s cm
= = × ≈
太陽と同じ質量を半径3kmに圧縮したときの脱出速度
（光速）
光も脱出できない天体＝ブラックホール
ブラックホールの大きさ＝シュバルツシルド半径＝（２GM/ｃ２）
極座標表示の位置と速度、加速度極座標表示の位置と速度、加速度
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin
r x y
x y
rx y
x y r
e e e
e e e
dee e e
dtde
e e edt
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
= +
= − +
= − + =
= − − = −
v v v
v v v
vv v v& & &
vv v v& & &
θ
eθ
vrevy
x
太陽（楕円の焦点）を原点にとり、惑星の位置で動径方太陽（楕円の焦点）を原点にとり、惑星の位置で動径方向とそれに垂直な方向の単位ベクトルを考える。向とそれに垂直な方向の単位ベクトルを考える。
( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2
1
r
rr r
rr
r
r
r redev re r re r edt
dedere r r e r e rdt dt
r r e r r e
dr r e r er dt
θ
θθ θ
θ
θ
θ
α θ θ θ
θ θ θ
θ θ
=
= + = +
= + + + +
= − + +
= − +
v v
vv v vv && &
vvv v vv & && &&& & &
v v& & &&&& &
v v& &&&
( )( )
2
21
r r
d rr dt
θ
θ
− &&&
&
動径方向の加速度
垂直な方向の加速度
位置
速度
加速度
惑星の運動方程式惑星の運動方程式
万有引力が中心力として働く万有引力が中心力として働く
( )
( )
θ
θ
− = −
=
&&&
&
22
21 0
mMm r r Gr
dm rr dt
動径方向の運動方程式
それに垂直な方向
θ = =&2 tanr h cons thは角運動量/mで面積速度の２倍に等しい
00r
θ =
=
&
&&
の場合は自由落下
は円軌道に対応
エネルギー積分と軌道の形エネルギー積分と軌道の形
( )222 22
22
2
2 2
2
m m hK r r rr
mMU Gr
m h mME K U r Gr r
θ⎛ ⎞⎡ ⎤= + = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞= + = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
&& &
&
運動エネルギー
ポテンシャル
エネルギー
全エネルギー
22
22 2000
m m h mMr E Gr r
EEE
= − +
>=<
&
双曲線：無限遠に達しえる
放物線
楕円：無限遠に達しえない-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
軌道の形
楕円 (ε=0.5)双曲線 (ε=1.5)放物線 (ε=1.0)
X
２体問題：相対位置、換算質量２体問題：相対位置、換算質量
( ) ( )
1 21 2 1 2 2 12
21 1 2
1 2
22 2 1
2 2
2
2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2 , , ( ) ,
( ) ....(1)
( ) ....(2)
1 1 ( )
1/ 1/ 1/ /
(
m mm m r r f r G r r rr
d r r rm f rdt rd r r rm f rdt r
d r rm m f rdt m m r
m m m m m m
d r f rdt
µ
µ
= − = −
−=
−=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + = +
=
r r r r r
r r r
r r r
r r
r
個の質点 が にあるとき として
(2)/ -(1)/ から
ここで換算質量 を使うと
) rr
r
二体問題：重心のまわりの運動二体問題：重心のまわりの運動
( )
( )( )
( )
1 1 2 2 1 2 2 1
2 32 1 2 2 1 2 2
2 22 2 21 2 21 2 2
232 1 1 2
1 2
2 2 1 1 2
32
0, /
( ) ( )
/
/
2
m r m r r m m r m
d r m m r m m rrm f r f r Gr m r rdt m m r
m M m m m
m m am a am m m
aP
π
+ = = +
+= = = −
+
= +
= +
=
r r
r r rr重心を原点にとると
これは の運動が重心に の質量がある場合の
運動方程式と同じ。
に対する の運動の軌道長半径を とすると、
重心のまわりの の運動の軌道長半径
軌道周期( )
/ 2 3 / 2
1 2
2 aGM G m m
π=
+
連星系の観測と星の質量連星系の観測と星の質量実視連星実視連星
分光連星分光連星星のスペクトル線星のスペクトル線の時間的な変位の時間的な変位から連星であるこから連星であることがわかるとがわかる
i1M
2M
1a
2a
( )
23
1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
1 1
2
, / /cos
2 / sin
aM MG P
a a a M M a aV K tK a P i
π
π
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
≡ + == Ω
=
は視線速度振幅
星２についても同様
( )
( )
31 23 3
1 32
331 21
322 sinπ
+=
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
M Ma a
M
M MK Pi M
を上の式に代入すると
( )( )
3 32 1
21 2
sin2
M i K PGM M π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠+
質量関数：右辺は観測から決められる。 例えば質量M１と傾き角iが推定できていると質量Ｍ２が決まる。
上の二つの図は上の二つの図はhttp://http://exoplanets.org/exoplanets_pub.htmlexoplanets.org/exoplanets_pub.htmlよりより
太陽系外惑星探査太陽系外惑星探査
Masses and Orbital Characteristics of All Known Masses and Orbital Characteristics of All Known ExtrasolarExtrasolar PlanetsPlanets((http://http://exoplanets.org/exoplanets_pub.htmlexoplanets.org/exoplanets_pub.htmlより）に現在より）に現在111111個掲載個掲載
ICRS 2000.0 coordinates*
M sin i Per a K Mstar -------------+----------
(Mjup) (d) (AU) e (m/s) (suns) R.A. | Dec
-----------------------------------------------------------------+----------
0 hd73256 1.85 2.548 0.037 0.04 267.0 1.05 | 8 37 17.0 | -41 19 10
1 hd83443 0.41 2.985 0.04 0.05 58.0 0.79 | 9 37 11.8 | -43 16 19
…………………………………
109 hd72659 3.0 3537.154 4.5 0.26 42.3 0.95 | 8 34 3.0 | -1 34 7
110 55cncd 4.05 5360.000 5.9 0.16 49.3 1.03 | 8 52 36.1 | 28 19 53
Msini(木星質量単位）
恒星質量（太陽質量単位）
公転周期(日）
軌道半径(AU）
http://exoplanets.org/doppframe.htmlでドップラー観測の原理がみられる
回転運動と質量推定
2
2
2
( )
( )
( ) ( )
M r
v mM rm Gr r
M r v rv G M rr G
<
<=
<= < =
物質の分布が、球対称あるいは軸対象の円盤の場合
（球あるいは円盤の中心から）半径rのところにある質点
に働く万有引力は、半径ｒより内側の全質量 が
中心にある場合と等価である（証明してみよ）
変形して あるいは
半径rで運動している天体の回転速度がわかれば、その内側に含まれる物質の総質量がわかる。
国立天文台提供
天の川
Steward Observatory and NOAO 撮影Copyright ©1999 The McGraw-Hill Companies http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch15/1501.htmlより
我々の銀河系 （Our galaxy, Galaxy)
想像図
宇宙開発事業団提供
太陽は銀河系の中心から約8kpc (２５０００光年）直径30ｋｐｃ恒星の数はおよそ1011個
恒星と恒星の空間には希薄なガスが存在する
銀河系外の渦巻き銀河
M31（アンドロメダ銀河）M83
photograph by David Malinhttp://www.aao.gov.au/images/index.htmlより
Photograph by Bill Miller. http://www.aao.gov.au/images/index.html より
銀河の回転曲線
銀河系の中のガスの回転速度を測定した
太陽系はr=8kpc, v=220km/s。
銀河系中心からの距離r (kpc)
M(<r)はrより内側に含まれる質量
回転速度
v (k
m/s
)
Copyright ©1999 The McGraw-Hill Companies http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch15/1526.htmlより
