복소수와 그 연산 - hmaths.com복소수의 사칙연산 복소수의 덧셈과 뺄셈은...

50 Ⅱ. 방정식과 부등식

라이프니츠(Leibniz, G. W., 1646~1716)

독일의 수학자

이 글은 제곱해서 이 되는 수는 실수 중에서 존재하지 않지만, 우리의 관념 속에서는

이차방정식 의 근으로 존재하는 양면성에 대해 라이프니츠가 년에 한 말

이다.

1. 복소수와 이차방정식 51

는 허수단위를 뜻하는

imaginary unit의 첫 글자

이다.

복소수

오른쪽 그림은 실수 를

입력하면 의 값이 출력되는 장치이

다.

출력값이 이 되는 실수 가 있

는지 생각해 보고, 그 이유를 말해보자.

제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 방정식 은 실수의 범

위에서 해를 갖지 않는다. 따라서 이 방정식이 해를 가지려면 실수 이외

의 새로운 수가 필요하다.

제곱해서 이 되는 새로운 수를 생각하여 이것을

로 나타내고 허수단위라고 한다. 즉,

이며, 제곱해서 이 된다는 뜻에서 로 나타내기도 한다.

실수 , 에 대하여

꼴의 수를 복소수라고 한다. 이때 를

의 실수부분, 를 의 허수부분

이라고 한다.

특히, 으로 정하면 실수 는

로 나타낼 수 있으므로 실수도 복소수이다.

이때 실수가 아닌 복소수 ≠ 를 허수라고 한다.

이상으로부터 복소수는 다음과 같이 분류할 수 있다.

실수 복소수 (, 는 실수)

허수 ≠

복소수의 뜻과 성질을 이해하고, 사칙연

산을 할 수 있다.

다음을 계산하시오.

⑴

⑵

⑶

방정식의 해를 모두 표현하는 데 실

수만으로는 충분하지 않아서 새로운

수를 생각하게 되었다.

이 새로운 수는 과학과 공학 등에서

다루는 여러 가지 현상을 설명하는

데 활용된다.

복소수와 그 연산


① 복소수 의 실수부분은 , 허수부분은 이다.

② 세 복소수 , , 에서 은 실수, 와 는 허수이다.

문제1 다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 구하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

두 복소수에서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 서로 같을 때, 두

복소수는 ‘서로 같다’고 한다. 즉, 두 복소수 , (, , , 는 실수)에 대하여

, 일 때,

이다.

특히, 이면 , 이다.

, 가 실수일 때, 이면 , 이다.

문제2 다음 등식이 성립하도록 실수 , 의 값을 정하시오.

⑴ ⑵

⑶ ′ ⑷

복소수 (, 는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 를

의 켤레복소수라 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타낸다. 즉,

이다. 또,

이므로 두 복소수 와 는 서로 켤레복소수이다.

한 켤레의 신발처럼 서로

짝이 되는 복소수를 켤레복

소수라고 한다.


,　 ,　 ,　

문제3 다음 복소수의 켤레복소수를 구하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

복소수의 사칙연산

복소수의 덧셈과 뺄셈은 허수단위 를 문자처럼 생각하여 실수부분은 실수부분끼

리, 허수부분은 허수부분끼리 모아서 다음과 같이 계산한다.

복소수의 덧셈과 뺄셈

, , , 가 실수일 때,

➊

➋

예제1 다음을 계산하시오.

⑴ ⑵

⑴

⑵

⑴ 　⑵

문제4 다음을 계산하시오.

⑴ ⑵

켤레복소수가 자기 자신

과 같은 수는 어떤 수일

까?

오일러(Euler, L.,

1707~1783)

스위스의 수학자로 허수를

나타내기 위한 기호 를 처

음 사용했다고 한다.


다음을 통해 복소수의 곱셈을 알아보자.

다음 □ 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

허수단위 를 문자처럼 생각하여 다항식의 곱셈에서와 같이 다음 식을 전개해 보자.

(단, , , , 는 실수이다.)

임을 이용하여 의 결과를 간단히 해 보자.

위의 활동으로부터 다음을 알 수 있다.

복소수의 곱셈

, , , 가 실수일 때,

예제2 를 계산하시오.

문제5 다음을 계산하시오.

⑴ ⑵

복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱하여 계산한다. 즉, , ,

, 가 실수이고 ≠ 일 때, 다음과 같이 계산한다.

봄벨리(Bombelli,

Raphael, 1526~1572)

이탈리아의 수학자로 복소수

의 곱셈에서 허수단위를 문

자처럼 생각하여 계산하는

방법을 처음 체계화했다.

복소수와 그 켤레복소수

의 곱은 어떤 수일까?


이상을 정리하면 다음과 같다.

복소수의 나눗셈

, , , 가 실수이고 ≠ 일 때,

예제3 다음을 의 꼴로 나타내시오. (단, , 는 실수이다.)

⑴

⑵

⑴

⑵

⑴ 　⑵

문제6 다음을 의 꼴로 나타내시오. (단, , 는 실수이다.)

⑴

⑵

⑶

⑷

문제7 교류 회로에서 전류가 흐르기 어려운 정도를 나타내는

임피던스는 복소수 의 꼴로 나타낸다. 오른쪽 그림과 같이

임피던스의 값이 각각 , 인 저항을 병렬로 연결시킨 교류

회로에서 임피던스 는

로 주어진다. , 일 때, 이 회로의 임피던스

를 구하시오.


⋯

음수의 제곱근

음수의 제곱근을 알아보자.

두 복소수 와 에 대하여

,　

이므로 의 제곱근은 와 이다.

일반적으로 일 때,

,　

이므로 의 제곱근은 와 이다.

이때 를 로 나타내기로 한다.


음수의 제곱근

일 때,

➊ ➋ 의 제곱근은 와 이다.

① ② 의 제곱근은 와 이다.

문제8 다음 수의 제곱근을 구하시오.

⑴ ⑵

문제 해결 | 추론 | 창의·융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천

허수단위 의 거듭제곱의 규칙을 이용하여 오른쪽 식의

값을 구하려고 한다.

이 자연수일 때, 다음 표를 완성해 보자.

⋯

⋯

의 결과를 바탕으로 발견할 수 있는 규칙을 말해 보자.

에서 찾은 규칙을 이용하여 주어진 식의 값을 구해 보자.

어떤 수 를 제곱하여

가 될 때, 즉 일 때

를 의 제곱근이라고 한다.

와 를 간단히

± 로 나타내기도 한다.


계수가 실수인 이차방정

식이 서로 다른 두 허근

을 가질 때, 두 허근은

어떤 관계일까?

이차방정식의 실근과 허근

다음과 같은 두 이차방정식이 있다.

ㄱ. ㄴ.

실수의 범위에서 근을 갖는 이차방정식을 말해 보자.

지금까지는 이차방정식의 근을 실수의 범위에서 구하였으나 이제부터

는 복소수의 범위에서 구할 수 있는지 알아보자.

계수가 실수인 이차방정식 의 근의 공식

±

에서

≥ 이면 는 실수,

이면 는 허수

이다.

따라서 계수가 실수인 이차방정식은 복소수의 범위에서 반드시 근을

갖는다.

이때 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라고 한다.

이차방정식 을 근의 공식을 이용하여 풀면

×

± ××

± ±

따라서　 또는

문제1 다음 이차방정식을 풀고, 그 근이 실근인지 허근인지를 말하시오.

⑴ ⑵

이차방정식의 판별식

이차방정식의 실근과 허근의 뜻을 알며,

이차방정식에서 판별식의 뜻을 이해하

고, 이를 설명할 수 있다.

다음 이차방정식을 푸시오.

⑴

⑵

리트머스 시험지를 이용하면 용액이

산성인지 알칼리성인지를 판별할 수

있다.

이차방정식의 경우에도 근을 직접

구하지 않고, 그 근이 실수인지 허수

인지를 판별하는 방법이 있다.



이차방정식 에서 의 값의 부호를 판단하고, 그

근이 실근인지 허근인지를 조사하여 다음 표를 완성해 보자.

의 값의 부호 실근, 허근

×× 실근

위의 생각 열기에서와 같이 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 그 근이 실근인

지 허근인지를 판별할 수 있다.

계수가 실수인 이차방정식 의 근

±

가 실근인지 허근인지는 근호 안에 있는 의 값의 부호에 따라 다음과 같이 결

정된다.

(ⅰ) 이면　　서로 다른 두 실근

(ⅱ) 이면　　중근 (실근)

(ⅲ) 이면　　서로 다른 두 허근

이와 같이 이차방정식 의 근을 의 값의 부호에 따라 판별할

수 있으므로 를 이차방정식의 판별식이라 하고, 기호 로 나타낸다. 즉,

이다.


이차방정식의 근의 판별

계수가 실수인 이차방정식 에서 라 할 때,

➊ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.

➋ 이면 중근 (실근)을 갖는다.

➌ 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

실베스터(Sylvester, J.

J., 1814~1897)

영국의 수학자로 판별식의

기호 를 처음 사용했다고

한다.

계수가 실수인 이차방정

식 이 실근

을 가질 조건은

≥

이다.


예제1 다음 이차방정식의 근을 판별하시오.

⑴ ⑵ ⑶

⑴ 이차방정식 의 판별식 는

×× 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑵ 이차방정식 의 판별식 는

×× 이므로 중근을 갖는다.

⑶ 이차방정식 의 판별식 는

×× 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

⑴ 서로 다른 두 실근　⑵ 중근　⑶ 서로 다른 두 허근

문제2 다음 이차방정식의 근을 판별하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

예제2 이차방정식 이 실근을 갖도록 실수 의 값의 범위를 정하시오.

주어진 이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 가 ≥ 이어야 하므로

×× ≥

따라서 ≤

≤

문제3 이차방정식 이 다음과 같은 근을 갖도록 실수 의 값 또는

범위를 정하시오.

⑴ 중근 ⑵ 서로 다른 두 허근

문제4 이차방정식 에서 와 의 부호가 다르면 이 이차방정식은 항상

서로 다른 두 실근을 가짐을 설명하시오. (단, ≠ )


이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식 의 두 근과 계수 사이의 관계

를 알아보려고 한다.

➊ 두 근의 합을 구하고, 그 값을 의 계수와 비교해 보자.

➋ 두 근의 곱을 구하고, 그 값을 상수항과 비교해 보자.

이차방정식의 두 근의 합과 곱이 각 항의 계수와 어떤 관계가 있는지

알아보자.

이차방정식 의 두 근을

,

라 하면, 합 와 곱 는 각각 다음과 같다.

×



이차방정식 의 두 근을 , 라 하면

,

계수가 실수인 이차방정식에서 두 근의 합과 곱은 항상 실수이다.


이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해

한다.

다음 □ 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴

⑵

지도상의 길이와 축척을 이용하면

두 도시 사이의 거리를 직접 측정하

지 않고도 구할 수 있다.

이차방정식에서도 근과 계수의 관계

를 이용하면 두 근을 직접 구하지 않

고도 두 근의 합과 곱을 구할 수 있

다.



,

문제1 다음 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 구하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

예제1 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ ⑵

근과 계수의 관계로부터　　 ,　

⑴ ×

⑵

⑴ 　⑵

문제2 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

⑴ ⑵

문제3 다음은 이차방정식 을 푼 후 나눈 대화이다. (단, , 는 실수이다.)

⑴ 근과 계수의 관계를 이용하여 , 의 값을 구하시오.

⑵ ⑴의 결과를 이용하여 이차방정식 의 근을 구하시오.

주어진 식을 ,

의 식으로 변형한다.


두 수를 근으로 하는 이차방정식

다음을 통해 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법을 알아보자.

두 수 , 를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식을 구하려고 한다.

다음 □ 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

구하는 이차방정식을

이라 하면, 근과 계수의 관계로부터

,　

이므로

이다.

위의 활동으로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.

두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수 , 를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식은

예제2 다음 두 수를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식을 구하시오.

⑴ ,　 ⑵ ,　

⑴ 두 근의 합과 곱을 구하면

(두 근의 합)

(두 근의 곱)

따라서 구하는 이차방정식은 이다.

⑵ 두 근의 합과 곱을 구하면

(두 근의 합)

(두 근의 곱)

따라서 구하는 이차방정식은 이다.

⑴ 　⑵


문제4 다음 두 수를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식을 구하시오.

⑴ ,　 ⑵ ,　

⑶ ,　 ⑷ ,　

예제3 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때,

과

을 두 근으로

하고 의 계수가 인 이차방정식을 구하시오.

근과 계수의 관계로부터 , 이므로

,

×

따라서 구하는 이차방정식은

이다.

문제5 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때, 다음 두 수를 근으로 하

고 의 계수가 인 이차방정식을 구하시오.

⑴ , ⑵ ,

이차식의 인수분해

계수가 실수인 이차식 의 인수분해는 지금까지 실수의 범위에서 생각하

였지만 이차방정식의 근을 이용하면 복소수의 범위에서도 할 수 있다.

이차방정식 의 두 근을 , 라 하면 근과 계수의 관계로부터

,

이므로 다음이 성립한다.

따라서 계수가 실수인 이차식은 복소수의 범위에서 항상 두 일차식의 곱으로 인수분

해할 수 있다.



이차식의 인수분해


예제4 다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하시오.

⑴ ⑵

⑴ 이차방정식 의 근은 ± 이므로

⑵ 이차방정식 의 근은 ±이므로

⑴ 　⑵

문제6 다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

문제 해결 | 추론 | 창의·융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천

이탈리아의 수학자 카르다노(Cardano, G., 1501~

1576)는 년에 발간한 위대한 술법에서, 합이

이고 곱이 인 두 수를 찾는 문제를 제시했다.

두 근의 합이 이고 곱이 일 때, 의 계

수가 인 이차방정식을 구해 보자.

에서 구한 이차방정식을 풀고, 주어진

조건을 모두 만족시키는 두 수를 찾아보자.


01 다음 등식이 성립하도록 실수 , 의 값을 정하시오.

⑴

⑵

02 다음 복소수의 켤레복소수를 구하시오.

⑴ ⑵

03 다음을 계산하시오.

⑴

⑵

⑶

⑷

04 다음 이차방정식의 근을 판별하시오.

⑴

⑵

⑶

05 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때,

다음 식의 값을 구하시오.

⑴ ⑵

⑶ ⑷

Ⅱ 1. 복소수와 이차방정식

복소수

⑴ 실수 , 에 대하여 꼴의 수를 복소수라 하고,

를 실수부분, 를 허수부분이라고 한다.

⑵ 복소수가 서로 같을 조건

두 복소수 , (, , , 는 실수)에 대하여

, 일 때, 이다.

⑶ 켤레복소수: , 가 실수일 때,

⑷ 복소수의 사칙연산: , , , 가 실수일 때,

➊

➋

➌

➍

(단, ≠)

⑸ 음수의 제곱근: 일 때,

➊

➋ 의 제곱근은 와 이다.


계수가 실수인 이차방정식 에서 판별식

라 할 때,

➊ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.

➋ 이면 중근(실근)을 갖는다.

➌ 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.


⑴ 이차방정식의 근과 계수의 관계


,　

⑵ 두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수 , 를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정

식은

⑶ 이차식의 인수분해



06 등식 를 만족시키는 실수 , 에 대하여 의 값을 구하시

오.

07 등식 를 만족시키는 복소수 에 대하여 의 값을 구하시오.

(단, 는 의 켤레복소수이다.)

08 두 복소수 , 에 대하여

의 값을 구하시오.

(단, 는 의 켤레복소수이다.)

09 이차방정식 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 실수 의 값의 범위를

정하시오.

10 이차방정식 의 두 근이 , 이고, 이차방정식 의 두

근이 , 일 때, 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

(단, , 는 실수이다.)


11 다음을 만족시키는 두 수 , 를 구하시오.

⑴ ,　 ⑵ ,　

12 실수가 아닌 두 복소수 , 가 을 만족시킬 때, 항상 실수인 것만을 보기에

서 있는 대로 고르시오. (단, , 는 각각 , 의 켤레복소수이다.)

ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ.

13 에 대한 이차방정식

이 중근을 갖도록 하는 정수 , 에 대하여 의 값 중에서 가장 큰 값을 구하시오.

14 이차방정식 에서 를 잘못 보고 풀었더니 두 근이 와

이 되었

고, 를 잘못 보고 풀었더니 두 근이 와

가 되었다. 처음 이차방정식의 근을 구하

는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

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